Ripasso delle matematiche elementari: esercizi proposti I
Equazioni e disequazioni algebriche
3
1
Esercizi sui polimoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2
Esercizi sulle equazioni di grado superiore al secondo . . . . . . . . . . . .
3
3
Esercizi sulle disequazioni razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
Esercizi sulle equazioni e disequazioni irrazionali . . . . . . . . . . . . . .
6
5
Esercizi sulle equazioni e disequazioni con il valore assoluto . . . . . . . .
7
II Equazioni e disequazioni trascendenti
11
1
Esercizi su equazioni e disequazioni logaritmiche . . . . . . . . . . . . . . 11
2
Esercizi su equazioni e disequazioni esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . 12
3
Esercizi su equazioni e disequazioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . 13
i
ii
Ripasso delle matematiche elementari: esercizi proposti
Capitolo I
Equazioni e disequazioni algebriche 1
Esercizi sui polimoni
Esercizio 1. Scomporre in fattori i seguenti polinomi: (a)
x3 − 3x2 − x + 3
(b)
x3 + x2 − 2x
(c)
x3 − x2 − x − 2.
[(x − 1)(x + 1)(x − 3)]
[x(x − 1)(x + 2)] h
i
(x − 2)(x2 + x + 1)
Esercizio 2. Dato il polinomio p(x) = x4 − 2x3 − 2x2 + 9x − 6, dire se `e divisibile per x−5 e trovarne le radici reali. Dire poi se la disequazione p(x) > 0 `e equivalente a
2
x−1 x+2
[No, −2, 1, S`ı]
> 0.
Esercizi sulle equazioni di grado superiore al secondo
Esercizio 1. Risolvere le seguenti equazioni:
(a)
(b)
3x − 5 x
6
+9
5 − 3x x
3
+8=0
(−x2 + 2x − 1)3 = (−x2 + 2x − 1)5 . 3
5 ;5 2
[0; 1; 2]
4
Capitolo I Equazioni e disequazioni trascendenti
Esercizio 2. Determinare per quali valori di b ∈ R l’equazione x4 + bx2 + 1 = 0 ammette: (a) nessuna soluzione;
[b > −2]
(b) una sola soluzione;
[6 ∃b ∈ R]
(c) due soluzioni;
[b = −2]
(d) quattro soluzioni.
[b < −2]
Esercizio 3. Determinare per quali valori di b ∈ R l’equazione x4 + bx2 − 1 = 0 ammette: (a) nessuna soluzione;
[6 ∃b ∈ R]
(b) una sola soluzione;
[6 ∃b ∈ R]
(c) due soluzioni;
[∀b ∈ R]
(d) quattro soluzioni.
[6 ∃b ∈ R]
3
Esercizi sulle disequazioni razionali
Esercizio 1. Risolvere le seguenti disequazioni: (a)
(b)
x2 − 5x + 6 >0 x2 + 1
(c)
x4 − 10x2 + 9 > 0
−
2x2
2 x < −1, < x < 1 5
5x3
− 5x + 2 < 0
[x < 2, x > 3]
[x < −3, −1 < x < 1, x > 3]
Esercizi sulle disequazioni razionali: esercizi proposti
(d)
x2 − 5x + 6 >0 x2 − 3x + 10
(e)
x2 + 10x + 16 > 10 x−1
(f )
2(x2 − 5)(x2 + 4) < 0
(g)
(−2x2 + 7x − 5)3 (x + 1)(4 − x2 )4 ≤ 0
(h)
4 1 − < 0. (1 + x2 )2 (16 + x2 )2
5
[x < 2, x > 3]
[x > 1]
h
√ i √ x < − 5, x > 5
x = −2 , −1 ≤ x ≤ 1 , x = 2 , x ≥
h
5 2
√ √ i x < − 14 , x > 14
Esercizio 2. Sia P (x) un polinomio. Sapendo che la soluzione della disequazione P (x) > 0 `e data da x < −1 ,
0 < x < 1,
x > 9,
determinare le soluzioni delle seguenti disequazioni: P (−x) > 0 ,
P
P
√ x > 0,
1 x > 0, 3
P x2 > 0 ,
1 > 0, P (x)
P (3x) > 0 ,
P (x) > 0. P (−x)
P (−x) > 0 =⇒ x < −9 , −1 < x < 0 , √ P x > 0 =⇒ 0 < x < 1 , x > 81 ,
P x2 P (3x) 1 P x 3 1 P (x) P (x)
P (−x)
x > 1,
> 0 =⇒ x < −3 ,
−1 < x < 0 ,
1 > 0 =⇒ x < − , 3
0<x<
> 0 =⇒ x < −3 ,
0 < x < 3,
x > 27 ,
> 0 =⇒ x < −1 ,
0 < x < 1,
x > 9,
> 0 =⇒ x < −9 ,
x > 9,
1 , 3
0 < x < 1, x > 3,
x > 3,
6
Capitolo I Equazioni e disequazioni trascendenti
4
Esercizi sulle equazioni e disequazioni irrazionali
Esercizio 1. Risolvere le seguenti equazioni: (a)
√ √ − x3 − 4 x + 4x + 1 = 0
(b)
√ √ 2 x2 − 1 + x 4 − x2 = 0
(c)
2+
(d)
(e)
"
√ # 7±3 5 1; 2 h √ i
− 2
1 =0 (x + 1) −(x + 1)
h
p
2x (4 − x2 ) 2
−
3 2
1 (x2 − 1) 1
4 − x3 1 − x3
2
3 2
2
i
−1 − 2− 3
h√ i
=0
2
= 0.
[−1; 8]
Esercizio 2. Risolvere le seguenti disequazioni: (a)
(b)
x+3> √
√
3x2
+ 10x + 3
x2 − 3x + 2 ≥ √ 4
1 − ≤x<1 3
√
−x2 − x + 6
[−3 ≤ x ≤ −1 , x = 2] 1 8
1 1 −2 ≤ x ≤ , x ≥ 3 2
16x4 + 32x3 + 24x2
x>−
(c)
2x + 1 >
(d)
√ 2 6x3 + 7x2 − 9x + 2 ≥ −x2
"
(e)
√ 3x 1 + x2 + 2 ≥ 0
s
(f )
(g)
x−2 >2 x−1
10 −
x2
√ + 3x 5 − x2 ≥ 0
"
√ − 5 ≤ x ≤ −2 , −
r
√ # 3 x≥− 3
2 <x<1 3
√ 5 ≤x≤ 5 2
#
5. Esercizi sulle equazioni e disequazioni con il valore assoluto
(h)
√ x2 2 − x2 > 10
(i)
√ 16 − 3x − 8 4 − x ≥ 0
(l)
√ 4x x − 3x − 1 √ ≥0 4x(x + 1)2 x
(m)
(n)
(o)
(p)
(q)
5
x (4 − x2 ) √
√
3 2
+
7
[6 ∃x ∈ R] 32 ≤x≤4 9
x ≤ 0,
[x ≥ 1]
1 ≤0 x2
h
−2 < x ≤
h
7 − 2x ≥ x − 3
x≤2+
"
x+1<2−x
−1 ≤ x <
q
(x − 1)(3 − x) > −2x + 3
p
3 − 2x − x2 > 0.
5−
√ i 2 √ i 2
√
13
#
2
6 <x<3 5
[−3 < x < 1]
Esercizi sulle equazioni e disequazioni con il valore assoluto
Esercizio 1. Risolvere le seguenti equazioni: (a)
|x − 1| = |1 − x|
(b)
|6x − 5| = |3 − 2x|
(c)
|x2
[∀x ∈ R]
" √
− 2| = 3 − |x|.
1 ,1 2
21 − 1 ± 2
#
Esercizio 2. Risolvere le seguenti disequazioni: (a)
|x| + | − x| ≤ 2
[−1 ≤ x ≤ 1]
8
Capitolo I Equazioni e disequazioni trascendenti
"
(b)
2
3x − x − 2 < 1
(c)
6x + 1
<1 − 3
2x + 5
(d)
√ 3
6
37
<x<
1−
√ 6
13 1 + ,
√
13
6
x<−
x3 − |x| ≥ |x|
(f )
p 3
|x|3 + |x| ≥ |x|
#
19 9 ,x> 2 2
1+
6
#
2 − ≤x≤0 2
[x = 0]
[∀x ∈ R]
−x + |x| ≥ 2
[−1 ≤ x ≤ 0] 1 ∀x ≥ 2
(h)
(i)
(l)
(m)
1 + |x − 1| ≤ 1 + |x| √
√
37
<x<
x3 − x ≥ |x|
p 3
√
√
" √
(e)
(g)
1−
x + 1 < −|x2 − 3x + 7|
[6 ∃x ∈ R]
1 4|x| + ≥0 2 1+x x(16 + x2 )
[∀x ≥ −2]
"
2 2 |x| (2|x| − 2) 3 ≥ (x + 1) 3 . x
√ √ # 9−4 2 9+4 2 x≤ ,x≤ 7 7
Esercizio 3. Determinare per quali valori di a ∈ R l’equazione
|x| − 1 = a
ammette: (a) nessuna soluzione;
[a < 0]
(b) una sola soluzione;
[6 ∃a ∈ R]
(c) due soluzioni; (d) tre soluzioni; (e) quattro soluzioni.
[a = 0 , a > 1] [a = 1] [0 < a < 1]
Esercizi sulle equazioni e disequazioni con il valore assoluto: esercizi proposti
9
Esercizio 4. Determinare per quali valori di x ∈ Z il numero
2
(x + x − 1)(x2 − 7x + 11)
`e primo.
{x ∈ Z : −2 ≤ x ≤ 5}
Esercizio 5. Determinare quanti sono i punti P (x, y) del piano con entrambe le coordinate x, y intere tali che |x| + |y| ≤ 3 . Determinare quanti sono i punti P (x, y) del piano con entrambe le coordinate x, y intere tali che |x| + |y| ≤ n al variare di n ∈ N . 25; 2n2 + 2n + 1
10
Capitolo I Equazioni e disequazioni trascendenti
Capitolo II
Equazioni e disequazioni trascendenti 1
Esercizi su equazioni e disequazioni logaritmiche
Esercizio 1. Risolvere le seguenti equazioni: (a)
1 (log x − 1) = 3
√
2 3
1±
e
"
(b)
log (2x + 3) − log (x + 2) = log (1 − x)
(c)
x+2 − log x = 0. log x−2
−3 + 2
"
3+
3 9
√ # 5
√
17
#
2
Esercizio 2. Risolvere le seguenti disequazioni: (a)
log 1 (x2 + 3x + 2) < log 1 (x2 + x − 2) 2
[x > 2]
2
(b)
√ log 2x − 3 4x + 1 ≤ log (x2 − 4x + 3)
(c)
log x − 2 log
(d)
logx (2 − x2 ) ≥ 0
√
"
√ # 9 + 6 15 x> 2
2 < log (3x2 − 1)
x>
2 3
[6 ∃x ∈ R]
11
12
(e)
Capitolo II Equazioni e disequazioni trascendenti
log 1
√
"√
x + 1 < log 1
3
p
4 − x2 + 1
3
(f )
log (|x| − 1) <0 x
(g)
log (−x) <0 1−x
(h)
| log x| 1 ≤ (log x − 1)2 2
(i)
1 logx2 +2 (x + 1) ≤ . 2
#
61 − 9 <x<2 2
[x < −2 , 1 < x < 2]
[−1 < x < 0]
h
0 < x ≤ e2−
√
3
, x ≥ e2+
√
−1 < x ≤
3
1 2
i
Esercizio 3. Rappresentare nel piano cartesiano (O, x, y) le soluzioni delle seguenti equazioni:
1 y= x
1 y = ,x > 0 x
1 x
e y = ,x > 0 x
(a) log (xy) = 0
(b) log x + log y = 0
(c) log |x| + log |y| = 0
y=±
(d) log x + log y = 1 (e) log (−x) − log y = log 2.
2
[y = −2x , x < 0]
Esercizi su equazioni e disequazioni esponenziali
Esercizio 1. Risolvere le seguenti equazioni: "
(a)
2x
2·4 √ x
(b)
(c)
−3·4 −1=0
58−3x √ = 52x
2−x
x
√
3−x
5x+5
9x + 3x+1 − 4 = 0.
log4
3+
√
17
#
4
[1]
[0]
3. Esercizi su equazioni e disequazioni trigonometriche
13
Esercizio 2. Risolvere le seguenti disequazioni:
(a)
ex − e−x >1 2
(b)
(ex − 1) e2x − 5ex + 6 ≤ 0
(c)
2 − ex (ex − 1) 3 ≥ 0
x > log 1 +
1 4
√ i 2
[x ≤ 0 , log 2 ≤ x ≤ log 3]
2
4x2 −1
(d)
h
[x ≤ log 2]
3x2 +2x+2
<
1 4
[x < −1 , x > 3]
2x−3
(e)
(f )
3
1 2
>8
[x < 0]
5x + 5 2 < 2.
[x < 0]
x
Esercizi su equazioni e disequazioni trigonometriche
Esercizio 1. Risolvere le seguenti equazioni:
3
(a)
sin x − 1 = 0
(b)
sin (3x − 2) =
(−1)k
1 2
π + 2kπ , ∀k ∈ Z 2
π 2 π + + k , ∀k ∈ Z 18 3 3
(c)
sin x − cos 2x = 2.
π + kπ , ∀k ∈ Z 2
Esercizio 2. Risolvere le seguenti disequazioni: (a)
1 π cos x > − 2 2
(b)
cot
3x + π 2
4 4 − + 4k < x < + 4k , ∀k ∈ Z 3 3
> −1
(2k − 1)
π π π < x < + (2k − 1) , ∀k ∈ Z 3 2 3
14
Capitolo II Equazioni e disequazioni trascendenti
(c)
cos x(1 − 2 sin x) > 0 π π 3 5 + 2kπ < x < + 2kπ , π + 2kπ < x < π + 2kπ , ∀k ∈ Z 6 2 2 6
(d)
1 + 2 sin 2x ≥ 0 ,
−π ≤ x ≤ π
−π ≤ x ≤ −
(e)
√ cos x 2 √ > , 2 2 cos x − 1
(f )
5 1 sin2 x + sin2 2x > cos 2x , 4 4
(g)
√
π 7 11 5 π, − ≤ x ≤ − π, π≤x≤π 12 12 12 12
π π <x< 3 3
5 π π 5 − π<x<− , <x< π 6 6 6 6
π 5 0 ≤ x ≤ , π ≤ x ≤ 2π 6 6
π 2 5 4 ≤ x < π, π ≤ x < π 6 3 6 3
−π < x < π
−
−π < x < π
5 − 2 sin x ≥ 6 sin x − 1 ,
(h)
1 − 2 sin x ≤ 0, 1 + 2 cos x
(i)
1 tan 1 + x2
0 ≤ x ≤ 2π
0 ≤ x ≤ 2π
" r
≥ 1.
−
4−π ≤x≤ π
r
4−π π
#