La formula di Taylor: esercizi proposti Esercizio 1. Calcolare lo sviluppo di Taylor con il resto di Peano delle seguenti funzioni arrestato all’ordine n nel punto x0 : (a)
f (x) = 2x
(n = 4, x0 = 0)
1 1 1 f (x) = 1 + x log 2 + x2 log2 2 + x3 log3 2 + x4 log4 2 + o x4 , 2 6 24
(b)
f (x) = log (4 − x2 )
x→0
(n = 3, x0 = 1)
5 26 2 f (x) = log 3 − (x − 1) − (x − 1)2 − (x − 1)3 + o((x − 1)3 ), 3 9 81
(c)
f (x) = sin2 x − sin x2
x→1
(n = 4, x0 = 0) 1 f (x) = − x4 + o x4 , 3
(d)
f (x) = sin x "
(d)
n = 4, x0 =
π 2
1 π f (x) = 1 − x− 2 2
x→0
2
1 π + x− 24 2
4
+o
π x− 2
4 !
,
n = 2 , x0 = π3 . " √ √ ! 3 1 π 3 π 2 π 2 f (x) = + x− − x− +o x− , 2 2 3 4 3 3
π x→ 2
#
π x→ 3
#
f (x) = sin x
Esercizio 2. Calcolare la parte principale dei seguenti infinitesimi: (a)
1 x
sin
f (x) = e − e
1 x
,
x → +∞
1
1 1 , 6 x3
x → +∞
2
La formula di Taylor: esercizi proposti
(b)
f (x) = sin (sin x) − x cos x,
x→0
(c)
f (x) = sin x(cos 2x + sin 2x − 1),
(d)
f (x) = sin x(x − log(1 + x)),
x→0
h
x → 0.
1 3 x , 6
x→0
i
2x2 ,
x→0
1 3 x , 2
x→0
Esercizio 3. Calcolare i seguenti limiti utilizzando gli sviluppi di Taylor: 2
(a)
ex − cos x − 32 x2 lim x→0 x4
(b)
sin2 x − sin x2 lim 2 x→0 x log (cos x)
(c)
51+tan x − 5 lim x→0 1 − cos x
(d)
(1 + x) x − e lim x→0 x
(e)
lim
11 24
2 3
2
[10 log 5]
1
x→0
sin x x
lim
x→+∞
1 x2
h
1 x − x log 1 + sin x
(f )
2
(g)
ex − 1 + log (1 − x) x→0 tan x − x
(h)
1 lim x→0 x
lim
e − 2
1
i
1 1 − . sin x x
e− 6
1 2
−
1 2 1 6