Richiami di teoria: integrali Integrali indefiniti delle funzioni elementari Z
k dx = kx + c ,
c ∈ R,
1 xα+1 + c , α+1
Z
xα dx =
Z
1 dx = log |x| + c , x
Z
ex dx = ex + c ,
Z
ax dx =
Z
ax + c, log a
sin x = − cos x + c ,
c ∈ R,
a > 0 , a 6= 1
c∈R
cos x dx = sin x + c ,
c∈R
sinh x = cosh x + c ,
c∈R
Z
cosh x dx = sinh x + c ,
c∈R
1 dx = arctan x + c , 1 + x2 √
α 6= 1
c∈R
Z
Z
c ∈ R,
c∈R
Z
Z
k∈R
c∈R
1 dx = arcsin x + c , 1 − x2
Z
1 dx = tan x + c , cos2 x
Z
1 dx = − cot x + c , sin2 x
c∈R
c∈R c∈R 1
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Richiami di teoria: integrali
Formula di integrazione per parti Siano I ⊆ R un intervallo e f, g : I → R due funzioni derivabili. Allora Z
0
f (x)g(x) dx = f (x)g(x) −
Z
f (x)g 0 (x) dx .
Formula di integrazione per sostituzione Siano I, J ⊆ R due intervalli, f : I → R una funzione continua e ϕ : J → I una funzione derivabile con derivata continua. Allora Z
Z
f (x) dx =
f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt .
Integrazione delle funzioni razionali: metodo di decomposizione in fratti semplici di Hermite Calcoliamo Z
P (x) dx , Q(x)
dove P e Q sono due polinomi. Se grado(P ) ≥ grado(Q) , allora operando la divisione fra i polinomi P e Q si ottiene P (x) = S(x)Q(x) + R(x) , dove il polinomio S `e il quoziente, quindi grado(S) = grado(P ) − grado(Q) ≥ 0 , e il polinomio R `e il resto, quindi grado(R) < grado(Q) . Ne segue che Z
P (x) dx = Q(x)
Z
Z
S(x) dx +
R(x) dx . Q(x)
Poich`e il primo dei due integrali `e semplice, rimane da calcolare il secondo che `e ancora un integrale del rapporto fra due polinomi, ma con il numeratore (R) che ha grado inferiore del denominatore (Q). Pertanto possiamo limitarci a calcolare Z
P (x) dx , Q(x)
nel caso in cui grado(P ) < grado(Q) . Supponiamo che il polinomio a denominatore Q sia cos`ı scomposto: Q(x) = (x − x1 )n1 · · · (x − xk )nk · (a1 x2 + b1 x + c1 )m1 · · · (ah x2 + bh x + ch )mh ,
Richiami di teoria: integrali
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dove h, k ∈ N , xi ∈ R e ni ∈ N per ogni i = 1, . . . , k e aj , bj , cj ∈ R e mj ∈ N tali che b2j − 4aj cj < 0, per ogni j = 1, . . . , h . Allora P (x) Q(x)
=
Ak A1 + ··· + + x − x1 x − xk
(1.1) Bh x + Ch B1 x + C1 d + ··· + + + 2 2 a1 x + b1 x + c1 ah x + bh x + ch dx
N (x) , M (x)
dove M (x) = (x − x1 )n1 −1 · · · (x − xk )nk −1 · (a1 x2 + b1 x + c1 )m1 −1 · · · (ah x2 + bh x + ch )mh −1 , N `e un generico polinomio di grado pari a grado(M ) − 1 (con la convenzione che se grado(M ) = 0 , cio`e se M `e un polinomio costante, allora N (x) = 0) e Ai , Bj , Cj ∈ R , per ogni i = 1, . . . , k e j = 1, . . . , h (Ai , Bj , Cj e il polinomio N sono da determinarsi in modo che sussista l’uguaglianza (1.1)). Ne segue che Z
P (x) dx = Q(x)
Z
A1 Ak + ··· + + x − x1 x − xk
d B1 x + C1 Bh x + Ch + + + ··· + 2 2 a1 x + b1 x + c1 ah x + bh x + ch dx Z
A1 dx + · · · + x − x1
Z
B1 x + C1 dx + · · · + a1 x2 + b1 x + c1
= +
N (x) M (x)
dx =
Ak dx+ x − xk
Z
Z
Bh x + Ch N (x) dx + . 2 ah x + bh x + ch M (x)
Formula di integrazione per parti negli integrali definiti Siano f, g : [a, b] → R due funzioni derivabili con derivata continua. Allora Z
b
a
b
f 0 (x)g(x) dx = f (x)g(x)
− a
Z
b
f (x)g 0 (x) dx =
a
= f (b)g(b) − f (a)g(a) −
Z
b
a
f (x)g 0 (x) dx .
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Richiami di teoria: integrali
Formula di integrazione per sostituzione per gli integrali definiti Siano f : [a, b] → R una funzione continua e ϕ : [α, β] → [a, b] una funzione invertibile, derivabile con derivata continua tale che ϕ(α) = a e ϕ(β) = b . Allora Z
b
Z
β
f (x) dx = a
α
f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt .