Serie numeriche e di funzioni Esercizi proposti Serie numeriche Esercizio 1. Studiare la convergenza delle serie seguenti: ∞ X e −n
a)
n=2
log n
;
X
cos2 n √ e) ; n n + n2 n≥1 ∞ X n51
b) f)
X
1 √ ; n log n n≥2
;
l)
n≥2
n≥1 ∞ X
3n4 −
√ ; g) n+1 ¶
µ
2
3n
1 n2 log n
;
m)
n≥1 ∞ X
3n3 − 2 µ
3n
n=1
n−1 n
;
1 ; n log n(log(log n))2 n≥2 ∞ µ X
h)
¶n2
n=0 ∞ X
n 2 n +1
¶n
;
3 + sin n √ ; n n=1 ∞ X log n r) 3 ; n=1 n 2
;
n)
∞ X log n
q)
X
d)
X n2 − cos n2
X 2n + sin 2n
n−3 n ; 4n n n=0 n=1 ∞ ∞ X X 3 + sin n 1 √ o) ; p) ; n n log(n + 1) n=1 n=2 µ ¶ ∞ ∞ X X n+1 1 s) log ; t) arctan √ ; 2 n n n=1 n=1 i)
X
c)
; n4 √ √ n+2− n−2 u) . n n=1 n=1 ∞ X
Esercizio 2. Studiare la convergenza della serie X
1 n(n + 3) n≥1 e calcolarne la somma. Esercizio 3. Studiare la convergenza semplice e assoluta delle serie seguenti: ∞ X
¶
µ
∞ X
2n ; a) (−1) [log(n + 1) − log n]; b) 2 arctan 3+1 n n=1 n=0 d)
n
∞ X
n23 ; n (−2) n=0 ∞ X
1 ; log(n + 1) n=0 √ ∞ X (−1)n · (3n + n) √ l) ; n2 n − 1 n=2 ∞ X 1 o) (−1)n ; log(n + 1) − log n n=1
g)
(−1)n
∞ X 3n
µ
¶
nπ ; 4 n 2 n=1 ∞ X n h) (−1)n ; log(n + 1) n=0 Ã ! ∞ X 2 + n2 n m) (−1) log ; n2 n=1 2 ∞ X 3n p) cos nπ; (n!)n n=1 e)
sin
1
c)
X
µ
(−1)
n≥1 ∞ X
n
¶
1 (−1)n √ + ; n n
(−5)n n ; n 7 n=0Ã ! ∞ X (−1)n (−1)n+1 i) + ; n2 n n=1 ∞ X 1+n n) (−1)n log ; n2 n=1 µ ¶ ∞ X 1 (−1)n n q) (−1) √ + . n n n=1
f)
2
SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI PROPOSTI
Esercizio 4. Studiare la convergenza semplice e assoluta di ∞ X
· n
(−1)
n=1
¸
π − arctan(log n) . 2
Esercizio 5. Studiare la convergenza di ∞ X
|α|nα
n=0
al variare di α ∈ R \ {0}. Esercizio 6. Determinare per quali valori del parametro α ∈ R convergono o convergono assolutamente le seguenti serie: a)
∞ X cos2 (nα)
;
b)
∞ X 2 + sin n
n=1 ∞ X
n=0
n=2
c)
∞ X log n
; nα nα n=1 ∞ ³ ´ X 1 n αn ; f) d) e) (−1)n nα 1 − e n ; n+1 n=1 n=0 n=1 ∞ ∞ ∞ √ X X X 4 n 2n n α n 5 g) (−1) (tan α) ; h) (−1) n n ; i) e −n +αn . n(n + 1) − arctan n ; (n + 1)α
n=1 ∞ π X 2
;
n=0
SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI PROPOSTI
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Serie di potenze Esercizio 1. Determinare raggio di convergenza e insiemi di convergenza puntuale, uniforme, assoluta di
∞ X
∞ X x2n 8n 3n b) ; c) x ; (n3 − 1)3n n+1 n=0 n≥2
X
xn a) ; (n2 + 2)2n n=0 d)
∞ X log n
∞ X n + 1 3n (x − 2) ; e) x ; n
n+1 2n (x − 1)n g) ; 3n + 5n n=0 Esercizio 2. Data la serie
n=0
∞ X an+1 xn n=1
; (n + 1)2n X 2n i) x3n+5 . 2 log n n n≥2 f)
n+2 √ X 2 n xn h) ; n2 n≥1
n=1 ∞ X
n(n + 1)
∞ X (3x + 2)n
n=0
,
a) determinare il raggio di convergenza al variare di a ∈ R; b) per a = 2, determinare la somma della serie. Esercizio 3. Data la serie
∞ X (x − 2)n · (−1)n
n3n
n=1
;
a) calcolarne raggio di convergenza e insiemi di convergenza puntuale, uniforme, assoluta; b) calcolarne la somma. Esercizio 4.
∞ X (log x)n n=0
5n
a) Determinare l’insieme di convergenza puntuale della serie data; b) determinare, se esiste, almeno un intervallo in cui la serie converge uniformemente; c) calcolare la somma della serie. Esercizio 5.
∞ X 2n xn n=1
√ n
a) Determinare l’insieme di convergenza puntuale della serie data; b) determinare, se esiste, almeno un intervallo in cui la serie converge uniformemente. Esercizio 6. Determinare raggio di convergenza ed insieme di convergenza puntuale delle serie: ∞ X
1 xn ; a) (−1) log(4 + 2n) n=0 Esercizio 7. Data la serie
n
∞ X (cos x)n n=1
n
:
b)
∞ µ X n=0
1 3+ n
¶n
n2
1 xn . +3
4
SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI PROPOSTI
a) determinarne l’insieme di convergenza puntuale; b) determinarne l’insieme di convergenza assoluta; c) gli insiemi trovati sono degli intervalli?
Esercizio 8. Data la serie
∞ X 1
n3n n=1
(x − 2)n , determinarne:
a) il raggio di convergenza; b) l’insieme di convergenza; c) la somma.
Esercizio 9.
∞ X 1 2n t (1 − t) n=1
n
a) determinarne l’insieme di convergenza puntuale; b) determinarne l’insieme di convergenza assoluta; c) discutere la convergenza uniforme; d) calcolare la somma della serie.
Esercizio 10. Al variare di a, b > 0, determinare raggio e insieme di convergenza di
Esercizio 11. Al variare di a > 0, determinare raggio e insieme di convergenza di
∞ X
xn . an + b2 n=0
∞ µ X
an +
n=0
¶
1 xn . an
SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI PROPOSTI
Sviluppi di MacLaurin Esercizio 1. Sviluppare in serie di MacLaurin µ
1+x f (x) = log 2+x
¶
individuando l’insieme in cui la serie converge puntualmente a f (x). Esercizio 2. Sviluppare in serie di MacLaurin (se possibile) 2
1 − e −x f (x) = . x2 Esercizio 3. Sviluppare in serie di MacLaurin f (x) = log(3x2 − 7x + 2).
Esercizio 4. Esprimere in serie di MacLaurin
Z x 0
sin(t2 )dt.
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SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI PROPOSTI
SOLUZIONI Esercizio 1. a) convergente; e) convergente; i) convergente; o) convergente; s) divergente;
b) divergente; f) convergente; l) convergente; p) divergente; t) divergente;
Esercizio 2. Convergente; s =
1 3
h
1+
Esercizio 3. a) converge, non assolutamente; d) converge assolutamente; g) converge, non assolutamente; l) converge assolutamente; o) non converge;
c) convergente; g) divergente; m) divergente; q) convergente; u) convergente. 1 2
+
1 3
i
=
d) convergente; h) divergente; n) divergente; r) convergente
11 18 .
b) converge assolutamente; e) converge assolutamente; h) non converge; m) converge assolutamente; p) converge assolutamente;
Esercizio 4. Converge, non assolutamente (`e utile ricordare che
c) non converge; f) converge; i) converge, non assolutam. n) non converge; q) non converge. π 2
− arctan t = arctan 1t per
t → +∞). Esercizio 5. Converge se α < −1 e 0 < α < 1. Diverge se −1 ≤ α < 0 e α ≥ 1. Esercizio 6. a) converge assolutamente ∀α ∈ R; b) converge se α > 1; c) converge se α > 1; d) converge se α > 0; e) converge assolutamente, se |α| < 1; f) converge assolutamente se α < 0, converge ma non assolutamente se 0 ≤ α < 1; g) converge assolutamente, se α ∈
¡π 4
¢
+ kπ, π4 + (k + 1)π , k ∈ Z;
h) converge assolutamente se α < −1, converge ma non assolutamente se −1 ≤ α < 0; k) converge assolutamente ∀α ∈ R.
SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI PROPOSTI
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Serie di potenze Esercizio 1. a) R = 2, converge puntualmente, assolutamente e uniformemente in [−2, 2]; b) R =
√ √ √ 3, converge puntualmente, assolutamente e uniformemente in [− 3, 3];
c) R = ∀[a, b]
1 2 , hconverge ´ ⊂ − 12 , 12 ;
h
´
puntualmente in − 12 , 21 , assolutamente in
³
− 12 , 12
´
e uniformemente
d) R = 1, puntualmente in [1, 3), assolutamente in (1, 3), uniformemente ∀[a, b] ⊂ [1, 3); e) R = 1, puntualmente e assolutamente in (−1, 1), uniformemente ∀[a, b] ⊂ (−1, 1); f) R = 23 , puntualmente in [− 43 , 0), assolutamente in (− 43 , 0), uniformemente ∀[a, b] ⊂ [− 43 , 0); h
i
g) R = 52 , puntualmente, assolutamente e uniformemente in − 32 , 72 ; h) R = 1, puntualmente e assolutamente in (−1, 1), uniformemente ∀[a, b] ⊂ (−1, 1); i) R =
1 √ 3 , 2
h
1 puntualmente, assolutamente e uniformemente in − √ 3 , 2
1 √ 3 2
i
.
Esercizio 2. a) Per a = 0, R = +∞ (e la somma `e 0); per a 6= 0, R = b) Derivando due volte si ottiene s(x) =
(1−2x) x
1 |a| .
· [log(1 − 2x) − 1].
Esercizio 3. a) R = 3, convergenza puntuale in (−1, 5], assoluta in (−1, 5), uniforme in ∀[a, b] ⊂ (−1, 5]; ³
b) s(x) = − log 1 +
x−2 3
´
.
Esercizio 4. a) (e −5 , e 5 ); b) tutti i sottoinsiemi chiusi di (e −5 , e 5 ). c) s(x) = Esercizio 5.
5 5−log x .
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SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI PROPOSTI h
´
a) − 12 , 12 ; h
´
b) tutti i sottoinsiemi chiusi di − 12 , 12 . Esercizio 6. a) R = 1, converge in (−1, 1]; i
h
b) R = 13 , converge in − 13 , 13 . Esercizio 7. a) Convergenza puntuale per x 6= 2kπ, k ∈ Z; b) convergenza assoluta per x 6= kπ, k ∈ Z; c) no, gli insiemi sono unioni di intervalli disgiunti. Esercizio 8. a) R = 3; b) [−1, 5); ³
c) s(x) = − log 1 −
x−2 3
´
.
Esercizio 9. a) (−1, 1); b) (−1, 1); c) ∀[a, b] ⊂ (−1, 1); d) s(t) = (t − 1) log(1 − t2 ). Esercizio 10. Se a ≤ 1, R = 1, insieme di convergenza (−1, 1); se a > 1, R = a, insieme di convergenza (−a, a). Esercizio 11. L’insieme di convergenza `e (−R, R), dove ½
1 R = min a, a
(
¾
=
a 1 a
se a ≤ 1 se a > 1.
SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI PROPOSTI
Sviluppi di MacLaurin Esercizio 1. f (x) = − log 2 +
X
·
(−1)
n≥1
Esercizio 2. f (x) =
∞ X
(−1)n+1
n=1
n+1
¸
1 1 − n xn , per x ∈ (−1, 1]. n n2
x2n−2 , R = +∞. n!
Esercizio 3. Osservando che log(3x2 − 7x + 2) = log [(1 − 3x) (2 − x)] si ottiene ¶ X 1µ 1 n f (x) = log 2 − 3 + n xn , n 2 n≥1
con R = 13 . Esercizio 4. f (x) =
∞ X
(−1)n x4n+3 . (4n + 3)(2n + 1)! n=0
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