Geometria analitica by Andrigo Rodrigues

Paulo Winterle

VETORES

e GEOMETRIA ANALÍTICA O autor apresenta um livro cujo realce está em suas qualidades didáticas j,..

Vetores

Produtos Escalar, Vetorial e Misto

j,..

A Reta e o Plano

Ji..-

Distâncias

,..

Cônicas e Quádricas

Os títulos acima citados são apresentados de forma acessível e enriquecidos com mu1 figuras e vários exemplos. Não houve economia em exercícios resolvidos e propostos dando ao livro uma estrutura e abrangência tais, que permitam seu uso em cursos diferentes orientações e níveis de adiantamento.

O Autor Bacharel e Licenciado em Matemática pela PUCRS. Sua vida profissional caracterizou-se pela relevância na dedicação dada â sala de aula. Professor de Matem6tica desde 1959, exerceu a docência nos mais diferentes nivels Alfabetização, Ensino Fundamental e Médio, Cursos Pré-Vestibulares, Ensino Superior, tendo atuado 26 anos na UFRGS e ainda em plena atividade na PUCRS, onde já completou 35 anos de docência, em diversos Cursos de Graduação. Participou de Comissões de Concursos Públicos e integrou equipes de elaboração de provas de vestibular daquelas Universidades. Exerceu atividades administrativas de Direção e de CoordenaÇio de Departamento. Autor de obras didáticas de Matemática para o Ensino Médio e quatro livros de Geometria Analftica e Algebra Linear, para o Ensino Superior, resultante de estudos e dedicação continuos destes conteúdos.

1\.utor: Winterle, Paulo Título: Vetores e geometria analltica.

11~111-llllll~ml~lll 00122204

Ac. 48703

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XII

Vetores e Geometria Analítica

MAKRON Books 2.

Produto Escalar

.............. 49

Definição Algébrica ................ .49 Propriedades do Produto Escalar ....... 50 Definição Geométrica de Produto Escalar .......................... 52 Cálculo do Ângulo de Dois Vetores ... 56 Ângulos Diretores e Co-senos Diretores de um Vetor ..................... 57 Projeção de um Vetor sobre Outro ..... 60 Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Escalar . . . . . ........... 61 Produto Escalar no Plano ............. 63 Uma Aplicação na Física ............. 64 Problemas Propostos. . . . . . .......... 66

Sumário

'[SI :

Agradecimentos .................... V li X V

Para início de Conversa ............. VIl I.

Vetores ....................... I

O TRATAMENTO GEOMÉTRICO ..... 1 Noção Intuitiva ...................... 1 Casos Particulares de Vetores ......... .4 Operações com Vetores ............... 7 Ângulo de Dois Vetores .............. 13 Problemas Propostos ................. 14

_____

.._

u +v

Preliminares ....................... Definição de Produto Vetorial ........ Características do Vetor x Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial ................ Uma Aplicação na Física ............ Problemas Propostos ...............

u v ........

V X U

O TRATAMENTO ALGÉBRICO ..... 18

Vetores no Plano ................ 18 . Igualdade de Vetores ........ . Operações com Vetores Vetor Definido por Dois Pontos .... Ponto Médio .............. . Paralelismo de Dois Vetores .......... Módulo de um Vetor. . ..

Produto Vetorial ............... 73

21 21 24 27

28 29

Vetores no Espaço ............... 32 Igualdade, Operações, Vetor Definido por Dois Pontos, Ponto Médio, Paralelismo, Módulo de um Vetor .... 37 Problemas Propostos ................ 40

Produto Misto ................ 93

Definição .......................... 93 Propriedades do Produto Misto ....... 94 Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto ................. 96 Volume do Tetraedro ............... 98 Problemas Propostos ................ 99

73 74 76 80 86 87

Sumário

XIII

A Reta ...................... 103

XIV

'--------~A /,

Equação Vetorial da Reta ........... 103 _)(Equações Paramétricas da Reta ....... 105 Reta Definida por Dois Pontos ....... 107 Equações Paramétricas de um Segmento de Reta ................ 108 ~ Equações Simétricas da Reta ........ 108 ~Equações Reduzidas da Reta ........ I 09 Retas Paralelas aos Planos Coordenados I I O Retas Paralelas aos Eixos Coordenados 112 Ângulo de Duas Retas .............. 114 Retas Ortogonais ................... 115 Reta Ortogonal a Duas Retas ........ 115 Interseção de Duas Retas ............ 116. Problemas Propostos ................ 118

4 ----------;_/

------~-/

Vetores e Geometria Analítica

Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 As Seções Cônicas ............... 159 PARÁBOLA ...................... 162 Definição ........................ 162 Elementos ....................... 163 Equações Reduzidas ................ 163 Translação de Eixos ................ 167 Outras Formas da Equação da Parábola . 167 Equações Paramétricas .............. 171 Problemas Propostos ................ 172

ELIPSE ......................... Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementos ........................ Equações Reduzidas . . . . . . . . . . . . . . . Outras Formas da Equação da Elipse .. Equações Paramétricas . . . . . . . . . . . . . Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . .

O Plano ..................... 125

:Jir

x=O X=

4: I I

I I

r------t-~------,_

//0 4/

Equação Geral do Plano . . . . . . . . . . . . 125 ?-Equação Vetorial e Equações Paramétricas do Plano ............ 128 Equação Vetorial de um Paralelogramo 132 Casos Particulares da Equação Geral do Plano . . . . . . . . . . . . . 133 ~Ângulo de Dois Planos ............ 136 ~!anos Perpendiculares 137 Paralelismo e Perpendicularismo entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Reta Contida em Plano . . 139 Interseção de Dois Planos ......... . 139 140 Interseção de Reta com Plano Problemas Propostos .............. . 141

177 177 178 179 183 186 189

HIPÉRBOLE ...................... 193 Definição ......................... 193 Elementos ................. 194 Equações Reduzidas ............... 195 Outra~ Forma~ da Equação da Hipérbole . 199 Equações Paramétricas .............. 202 Problemas Propostos ............... 204 Curiosidades ...................... 209

9. 7.

Distâncias ................... 151

~ Distância entre Dois Pontos .......... 151 ·)<. Distância de um Ponto a uma Reta .... 151 ~ Distância de Ponto a Plano .......... 153 ~ Distância entre Duas Retas .......... 155 ~ Problemas Propostos ............... 157

Superfícies Quádricas ......... 213 Introdução ....................... Superfícies de Revolução .......... Elipsóides ....................... Hiperbolóides .................... Parabolóides ..................... Superfícies Cônicas ................ Superfícies Cilíndricas ............. Problemas Propostos ..............

213 214 215 218 221 223 224 225

Bibliografia ...................... 231

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Vetores

Vetores e Geometria Analítica

Na Figura 1.1 (b) a direção é definida pela reta que passa pelos pontos A e B. 0 deslocamento de uma pess~a nessa mesma direção pode ser feito de duas maneiras: no sentido de· Adpara contrário, de B para A. Portanto ' a cada di.reça- 0 podemas asso. · B ou · no sentido · Ois sentidos. Fica claro · · " ou em "senciar . ~ . , . então que ,só podemos falar em " sent"d I os Iguais tidos contranos caso esteJamos diante da mesma direção. ,

[! ___________________________

[3--------------------------Com o propósito de garantir uma maior clareza para o leitor, a abordagem do estudo de vetores será feita por meio de dois tratamentos que se completam: Keométrico e alKébrico. A grande vantagem da abordagem geométrica é de possibilitar predominantemente a visualização dos conceitos que são apresentados para estudo, o que favorece seu entendimento. Posteriormente, os mesmos assuntos e ainda outros serão abordados sob o ponto de vista algébrico, mais formal e abstrato.

O TRATAMENTO GEOMÉTRICO Noção Intuitiva Existem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. As escalares são aquelas que ficam completamente definidas por apenas um número real (acompanhado de uma unidade adequada). Comprimento, área, volume, massa, temperatura, densidade, são exemplos de grandezas escalares. Assim, quando dizemos que uma mesa tem 3m de comprimento, que o volume de uma caixa é de 10 dm3 ou que a temperatura ambiente é de 30°C, estamos determinando perfeitamente estas grandezas. Existem, no entanto, grandezas que não ficam completamente definidas apenas pelo seu módulo, ou seja, pelo número com sua unidade correspondente. Falamos das grandezas vetoriais, que para serem perfeitamente caracterizadas necessitamos conhecer seu módulo (ou comprimento ou intensidade), sua direção e seu sentido. Força, velocidade, aceleração, são exemplos de grandezas vetoriais. Antes de apresentar um exemplo mais palpável de grandeza vetorial, precisamos ter bem presente as idéias de direção e de sentido. A Figura l.l(a) apresenta três retas. A reta r 1 determina, ou define, uma direção. A reta r 2 determina outra direção, diferente da direção de r 1• Já a reta r3, por ser paralela a r~o possui a mesma direção de r 1• Assim a noção de direção é dada por uma reta e por todas as que lhe são paralelas. Quer dizer, retas paralelas têm a mesma direção.

(a)

(b)

Figura 1.1

Agora vamos a um exemplo. Consideremos um avião com uma velocidade constante d~ 40_0 ~· de~locand~-se para n~rdeste, sob um ângulo de 40° (na navegação aérea, as di~eçoes sao da~as pelo a~gulo considerado a partir do norte (N), em sentido horário). Esta grandeza (velocidade) sena representada por um segmento orientado (uma flecha_ F 1.2), ~endo o seu módulo dado pel_o comprimento do segmento (no caso, 4cm, e cadaI~~~ corres~~nd~ a I 00 kmlh), com a direção e o sentido definidos pelo ângulo de 40° o sentido sera mdicado por uma seta na extremidade superior do segmento. . - contmua · Observemos que no. caso de o ângulo ser 220° (40° + 180°) , a, d.rreçao , sendo a mesma, porem, o sentido é o oposto. Este exemplo de grandeza vetorial sugere a noção de vetor. N

' 40°

s -------------- -------- ---------------Figura 1.2

Abstendo-se. da idéia de grandezas vetoriais, diríamos que o vetor é representado por um segmento or~entado (um segmento está orientado quando nele se escolhe um sentido de percurso, considerado positivo).

Cap. 1

Vetores

3 4

Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma direção (são paralelos ou colineares) e mesmo sentido são representantes de um mesmo vetor. Na Figura 1.3 todos os segmentos orientados paralelos, de mesmo sentido e mesmo comprimento de AB, representam o mesmo vetor, que será indicado por AB

Vetores e Geometria Analítica

O módulo, a direção e o sentido de um vetor ~ é o módulo, a direção e 0 sentido de qualquer um dos seus representantes. Indica-se o módulo de ~ por 1~ 1 ou 11 ~

11.

Casos Particulares de Vetores

B-A

onde A é a origem e B a extremidade do segmento. O vetor também costuma ser indicado

a) ~ois~ vetores ~ e ~ são paralelos, e indica-se por u

uI/ v, se os seus representantes tiverem a mesma dire-

por uma letra minúscula encimada por uma flecha, tal como v .

ção. Na Figura 1.6, tem-se ~/I~ /I;, onde ~ e ~ têm

o mesmo sentido, enquanto u e v , têm sentido contrário ao de;.

Figura 1.6

b) Dois vetores ~ e v são iguais, e indica-se por u =v , se tiverem iguais o módulo, a direção e o sentido.

c) Qual~uer p~o do espaço é representante do vetor zero (ou vetor nulo), que é indicado

Figura 1.3

Quando escrevemos v AB (Figura 1.4), estamos afirmando que o vetor v é determinado pelo segmento orientado AB. Porém, qualquer outro segmento de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido de AB representa também o mesmo vetor ~. Assim sendo, cada ponto do espaço pode ser considerado como origem de um segmento orientado que é representante do vetor v. Esta é a razão de o vetor também ser chamado vetor livre, no sentido de que o representante pode ter sua origem colocada em qualquer ponto.

po.r O. ou_ AA (a .orige~ c_oincide com a extremidade). Pelo fato deste vetor não possmr d1reçao e sentido defimdos, considera-se o vetor zero paralelo a qualquer vetor. d) A cada vetor não-nulo v corresponde um vetor oposto

- ~. de mesmo módulo e mesma direção de~. porém, de sentido contrário (Figura 1. 7). Se ~ = AB , o vetor BA é o oposto de AB , isto é,

= - AB .

Figura 1.7

e) Um vetor ~ é unitário se I~ I= 1. A cada vetor ~ , ~

Ô, é possível associar dois

vetores unitários de mesma direção de ~ : u e - u

Figura 1.4

(Figura 1.8).

Nesta

figura, tem-se I~ I = 3

I ~ I = 1- ~ I = 1. O vetor

~ que tem o mesmo sentido de ~ é chamado verso r de~ . Na verdade o vetor ~

Ainda, dados um vetor v AB e um ponto P, existe um só ponto Q (Figura 1.5) tal que o segmento orientado PQ tem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido de AB. Portanto, temos

não é versor só de~ ' mas sim de todos os vetores

v I I I

I I I

-U

• '!!I(

I I

)lo'I I I I

• Figura 1.8

paralelos e de mesmo sentido de ~ e medidos com a mesma unidade.

também v = PQ , o que vem reforçar o fato de que um representante de ~ pode ter sua origem em qualquer ponto P do espaço. Figura 1.5

Cap. 1

Vetores

5 6

f) Dois vetores u e v (Figura 1.9(a)) são

ortogonais, e indica-se por u .l v , se algum representante de ~ formar ângulo

Exemplos 1) A Figura 1.12 é constituída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho). Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:

reto com algum representante de v . A Figura 1.9(b) apresenta dois repre(b)

(a)

Figura 1.9

sentantes de u e v, com origem no ponto A, formando ângulo reto. Considera-se o vetor zero ortogonal a qualquer vetor. g) Dois ou mais vetores são coplanares se existir algum plano onde estes vetores estão representados. É importante observar que dois vetores u e v quaisquer são sempre coplanares, pois basta considerar um ponto P no espaço e, com origem nele, traçar os dois representantes de

Figura 1.10

~ e ~ pertencendo ao plano

(Figura

1.1 0) que passa por aquele ponto.

No caso de ~ e v serem não paralelos corno nesta figura, estes vetores determinam a "direção" do plano TC, que é a mesma de todos os planos que lhe são paralelos. Três vetores poderão ser coplanares (Figura l.ll(a)) ou não (Figura l.ll(b)).

Vetores e Geometria Analítica

~---M~----N~-----~ É r

0 K 1------+---"+----~ F

h) AC 11 HI

JO 11 LD

p) IACI = IFPI

BC= OP

AJ 11 FG

q) I IFI = I MF' I

k) AB l_ EG

d) BL;:::: -MC e) DE ~ - ED

f) L___---'--1_ __,H_ _--,-J G

o) PN l_ AM

AB OF AM = PH

AM l_ BL

m) PE _l_ EC

AO=

MG g) KN = FI

r) IAJI=IACI

s) IAOI=21NPI t)

n) PN _l_ NB

Figura 1.12

Respostas a) V

d) V e) V f) V

b) V c) F

g) F h) v i) F

j) k) 1)

v v

m) F n) V o) V

p) v q) r) F

s) V t) v

2) A Figura 1.13 representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:

DH = BF

-AB

= -HG

Figura 1.11

AB _l_ CG

-AF

e) IAêi=IHFI ~

f) IAG I= I DFI

(b)

IAM I= IBLI

Figura 1.13

(a)

_l_

g) BG 11 ED

AB , BC e CG

são coplanares

Cap. 1

Vetores

7 8

AB , FG e EG são coplanares

m) AB , DC e CF são coplanares

EG , CB e HF são coplanares

n) AE é ortogonal ao plano ABC

k) AC, DB e FG são coplanares

o) AB é ortogonal ao plano BCG

p) DC é paralelo ao plano HEF

AB , BG e CF são coplanares

Vetores e Geometria Analítica

No caso de os vetores u e v não serem paralelos, há uma

c outra maneira de se encontrar o vetor soma u + v . Repre-

Respostas

v v v

a) V

e) V

b) F

f) v

c) V d) v

g) F

i) j) k)

h) F

1) F

m)V n)

ponde à diagonal do paralelogramo, é o vetor u + v, isto é,

u +v = AC

o) V p) v

Figura 1.16

AB + AD = AC Para o caso de se determinar a soma de três vetores ou mais, o procedimento é análogo (Figura 1.17(a)) e, em particular, se a extremidade do representante do último vetor coincidir com a origem do representante do primeiro (Figura 1. 17 (b) ), a soma deles será o

Operações com Vetores

Adição de Vetores

orientado AB representante do vetor u. Utilizemos a extremidade B para traçar o segmento orientado BC repre-

vetor zero ( u + v + w + t :;:: O).

Consideremos os vetores u e v , cuja soma u + v pretendemos encontrar. Tornemos um ponto A qualquer (Figura 1.14) e, com origem nele, tracemos um segmento

!---.-~ .

U+Y+W

sentante de v . O vetor representado pelo segmento orientado de origem A e extremidade C é, por definição, o

(b)

(a)

Figura 1.14

Figura 1.17

vetor soma de u e v , isto é,

u + v

sentam-se u = AB e v =AD por segmentos orientados de mesma origem A. Completa-se o paralelogramo ABCD (Figura 1.16) e o segmento orientado de origem A, que corres-

Sendo u, v e w vetores quaisquer, a adição admite as seguintes propriedades:

ou AB +BC= Sendo u // v, a maneira de se obter o vetor u + v é a mesma e está ilustrada na Figura 1.15(a) (u e~ de mesmo sentido) e na Figura 1.15(b) (u e v de sentidos contrários).

_,.

Associativa: ( u + v ) + w = u + (v + w )

~ Observemos que no paralelogramo determinado

;

Figura 1.15

ve~res ~~ e ~ (Figura 1.18), verifica-se que

-ç

pelos

u_v _v

a soma u + v é representada por uma das diago-

(b)

(a)

- - - - IV) Elemento oposto: u + (- u ) = O - - O vetor u + (-v ), escreve-se u - v, é chamado diferença entre u e v .

______,.,...,

...._

+ u

III) Elemento neutro: u + O = u

-ç u + y

Comutativa: u + v

II)

li Figura 1.18

nais, enquanto a diferença ~ - ~ pela outra diagonal.

r Cap. 1

Vetores

9 10

Vetores e Geometria Analítica

Exemplos 1) Com base na Figura 1.12, página 6, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A:

AC + CN

e) AC + EO

AB + BD

AM + BL

AC + DC

AK + AN

AC + AK

h) AO

Solução

i/Y/c

k) LP + PN + NF l)

BL + BN + PB

Solução

a) AN

c) AB

e) AM

i) AC

k) AE

b) AD

d) AO

f) AK

j) AC

AB + CG

BC + CM

AD + MA (igualdade de vetores) MA +

(propriedade comutativa)

(definição de soma)

BM = MD , conclui-se que M é ponto médio de

Ora, como

BD .

Multiplicação de Número Real por Vetor -:1- Õ e um número real a i:- O, chama-se produto do número real a pelo

BC+ DE

BF + EH

g) AB + AD + AE

vetor ~, o vetor a~ tal que a) módulo: I a~ I = I a li~ I, isto é, o comprimento de a~ é igual ao comprimento de v

+DA+ FH

multiplicado por I a I ;

Solução

b) direção: a v é paralelo a v ;

g) AG

h) AD

c) sentido: a~ e ~ têm o mesmo sentido se a > O, e contrário se a < O. Se a

= O ou v = O, então a v = O -

--+

A Figura 1.20 apresenta o vetor v e alguns de seus múltiplos.

3) Dados dois vetores u e v não-paralelos, construir no mesmo gráfico os vetores u + v ,

u - v , v - u e - u - v , todos com origem em um mesmo ponto.

Solução

(definição de soma)

Dado um vetor ~

(Figura 1.19), equivale dizer que AM = MC . Vamos provar que M é também ponto médio de BD. Pela figura, tem-se

Figura 1.19

CG + EH EF

Consideremos o paralelogramo ABCD de diagonais AC e BD e seja M o ponto ~io d~C

2) Com base na Figura 1. 13, página 6, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A: a)

4) Provar que as diagonais de um paralelogramo têm o mesmo ponto médio.

- -

Para os vetores u e v da figura, tem-se:

Figura 1.20

Cap. 1

Vetores 11

Vetores e Geometria Analítica

Observações

Exemplo

a) Considerando o ponto O como origem de ~, ~ "F Õ, e de todos os vetores a~ que lhe são paralelos (Figural.21 ), se fizermos a assumir todos os valores reais, teremos repre-

Seja o vetor v "F

sentados em uma só reta todos os vetores paralelos a ~ .

Õ. Determinar o vetor paralelo a ~ tal que

a) tenha o mesmo sentido de ~ e módulo 5;

b) tenha sentido contrário ao de v e módulo 1O. Solução

-3 -;

-2 -;

-v

A partir de um vetor arbitrário ~ "F

rrv

Õ (Figura 1.23) é sempre

. / . possível associar os dois vetores paralelos e umtanos:

-=Iv I

Figura 1.21 v

Por outro lado, supondo u // v, v "F O, sempre existe um número real a tal que u =av. Por exemplo, na Figura 1.22, onde DC está dividido em cinco segmentos congruentes (de mesmo comprimento), em

v --=-

(sentido contrário ao de v ).

Iv I

Logo, tem-se as soluções: o

relação ao vetor AB (I AB I= 2), tem-se

Figura 1.23

Figura 1.22

5 a) _v Ivi

e b)

lOv I vi

Se ~ e ~ são vetores quaisquer e a e ~ números reais, a multiplicação de número

AC=]_AB 2

real por vetor admite as propriedades:

BD =-2AB

(mesmo sentido de v ) e

III) a( u

- + v)=a u +a v

~) ~ 1v = v

li) (a +

IV)

= av +

CD=--AB 2

b) Vimos em Casos Particulares de Vetores, Figura 1.8, página 4, que a cada vetor v,

Õ, é possível associar dois vetores unitários paralelos a ~.

O vetor unitário

A Figura 1.24 ilustra a propriedade III para a = 2, isto é,

--!- ~

ou ~ de mesmo sentido de v é o versor de v . Ivi Por exemplo, se I~ I= 5, o versar de ~ é Y'_ · 5'

I se Iv I = - , o versar de v é 3 v ; 3

se Iv I = 1O, o versar de -v é - ~ . 10

- = 2 -u + 2 -v .

2( u + v )

Ivi

Figura 1.24 -3~

Exemplos

1-w

I) Representados os vetores u, v e

;

graficamente o vetor x tal que 1x=2u-3v+-W. 2 Solução: Figura 1.25(b)

"'-"

como na Figura 1.25(a), obter

(b)

(a) Figura 1.25

... Cap. 1

Vetores 13

2) Demonstrar que o segmento cujos extremos são os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e igual à sua metade.

Vetores e Geometria Analítica

Problemas Propostos 1) A Figura 1.29 apresenta o losango EFGH ins-

Solução Seja o triângulo ABC eM e N os pontos médios dos lados CA e CB, respectivamente (Figura 1.26). c Pela figura, tem-se

crito no retângulo ABCD, sendo O o ponto de interseção das diagonais desse losango. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:

Figura 1.29

MN=MC+CN a) EO = OG

= _!_ AC + _!_CB 2 1

b) AF = CH

=-( AC+CB)

f) H-E=O-C

k) AO 11 OC

g) I AC I = I BD I

c) DO= HG

1h) I OA I = -I DB i

- - - z1,-,

d) IC -OI= 10- Bl

Portanto, MN 11 AB e I MN I =

Figura 1.26

e) IH- OI= IH- DI

j) GF 11 HG

AB.

vetores não-nulos u e v é o ângulo e formado por duas semi-retas OA e OB de mesma origem O (Figu-

o) OB =- FE

- -

= OA,

d) Se ~ = ~, então ~ 11 ~ .

v = OB e O::; e::; 1t (e em radianos)

1t.

v Selvl=3, oversorde-lOv é--. 3 Com base na Figura 1.29, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A: i) OG - HO e) EO + BG a) OC + CH k)

EH + FG

f) 20E + 20C

2AE + 2AF

EH g) _!_BC+ 2

)lo

2~ (a)

são paralelos.

i) Os vetores 3 v e -4 v são paralelos e de mesmo sentido.

I~ I + I~ I, então ~ , ~ e ;

j) Se ~ /I ~, I~ I= 2 e I~ I= 4, então ~ = 2 ~ ou ~ = -2 ~.

É o caso de ~ e -3 u (Figu-

•

= ~ + ~, então I; I= I~ I+ I~ L

f) I; I =

h) 15 ~I= 1-5 ~I= 51~ L

Figura 1.27

Se u //v e u e v têm sentidos contrários, então ra L28(b)).

e) Se ;

g) Se AB = DC, então ABCD (vértices nesta ordem) é paralelogramo.

~I/~ e ~ e ~ têm o mesmo sentido, então e = O. É o

que ocorre, por exemplo, com os vetores u e 2 u que têm o mesmo sentido (Figura L28(a)).

n) AO

c) Se u // v, então u = v.

o ângulo entre os

AF 11 CD

b) Se Iu I = Iv I, então u = v .

ra 1.27), onde u ou oo::; e::; 180°.

m) EO j_ CB

a) Se ~ = ~,então I~ I= I~ L

Ângulo de Dois Vetores

2) Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:

_!_AB

d) EH + EF

(b) Figura 1.28

h) FE + FG

AF + FO +AO

Cap. 1

Vetores 15 16

I .7

4) O paralelogramo ABCD (Figura 1.30) é determinado pelos vetores AB e AD , sendo M e N pontos médios dos lados DC e AB, respectivamente. Determinar:

AD + AB

d) AN + BC

8) Dados os vetores u e v da Figura 1.32, mostrar, em um gráfico, um representante do vetor

íT

YJ No triângulo ABC (Figura 1033 ), seja AB = ~ e AC =

a) b) (d)

(c)

(b)

(a)

2 b

a- b

- I2a- -- b

If) -a- 2b

Figura 1.33

lO) Dados os vetores a, b e c (Figura 1.34), apresentar,

graficamente. um representante d~ vetor ~ tal que

6~'~ X

a)~=4;-2h-~ b)

+ b + ~) + ~

c) a + c + x =

'-')

(c)

(b)

]])

= 2 CA + 2 BA

~a ~igu~ 1°35 estão representados os vetores coplanares

u. v e w

a) a~ e

x. nos casos: _a) x == BA + 2 BC b)

:) a)

(d)

7) Dados três pontos A, B e'c não-colineares, como na Figura 1.31, representar o vetor

== 3 AB

2BC

Figura 1.34

(a)

- Id) a+-b

a+b

6) Determinar o vetor x nas figuras:

b) Figura 1.32

Co~str~ir um representante de cada um dos vetores )11

2 LI

C) - \' -

v nos casos:

;

A L

d) 2 ~ - 3 ~

5) Apresentar, graficamente, um representante do vetor u

h) ~ - ~

IJ) D·

a) u - v

Figura 1.30

BM - l DC

•

e) MD + MB

BA +DA

Vetores e Geometria Analítica

CY.

Indicar, na própria figura, os vetores

\) a)

tal que ~ =a~ + b w

~ e ~ ; tal que ~ = a~

Teria si~J p~)ssí":l realizar este exercício no caso de os

== _!_ AB - 2 CB 2

vetores u . v e w seremnüo-coplanares .,

h) Figura 1.35

Figura 1.31

12) Sabendo yue o ân 0uulo entre os vetore.s u- e v é de 60°, Jeternânar o ângulo formado

pelos vetme.-.; a)

u e-\

hJ-ue2~

c) -u

e-v

d) 3 ~ e 5 v

_)) a) 1) N ~) a)

\) b)

Cap. 1

Vetores 17 18

U) Dados os vetores coplanares ~, v e ; ra 1.36, determinar

representados na Figu-

O TRATAMENTO ALGÉBRICO

a) um representante do vetor x + y, sendo

u+2~ey=~

2u;

Vetores no Plano

b) o ângulo entre os vetores -3 ~ e ; ;

Consideremos dois vetores v 1 e v 2 não-paralelos, representados com a origem 1 ponto O, sendo r1 e r2 retas contendo estes representantes, respectivamente, (Figura I

c) o ângulo entre os vetores -2 ~ e w. 14) Demonstrar que os pontos médios dos lados de um quadrilátero ~ qualquer são vértices de um paralelogramo. Figura 1.36

15) Demonstrar que o segmento de extremos nos pontos médios dos lados não-paralelos de um trapézio é paralelo às bases e igual à sua semi-soma. 16) No triângulo ABC (Figura 1.37), tem-se BM BN =

Vetores e Geometria Analítica

l BC e 2

1-BC. Expressar os vetores AM e AN em fun-

3 Figura 1.37

ção de AB e AC.

\espostas de Problemas Propostos e) F f) F g) V h) d) V e) F f) V

i) V j) F k) V

h) V i) F

\) a) AE

d) AB

g) AH ;

j) AC

b) AC

e) AO

c) :to..'l

ado

m)V n) F o) V

) a) V uJ F c) V d) :) a) V b) F c) F

d) AM

f) BD

a) u- v Não a) 120° b) 75°

1 6) AM=-(AB+

c) v- u

u -v

c) 60°

b) 120° c) 60°

) e

v v

e) MN

h) AO

c) AB

~) a)

5) \) !) 3)

1) g) F

2 1 -AB+-AC

d) u +v d) 60°

Figura 1.38

Os vetores de v, e v2 por

-u,

-v, -w, -t , -x e y, representados na figura, são expressos em 1

,..... Cap. 1

...,......

Vetores 19 20

Vetores e Geometria Analítica y

U=5v 1 +4V~

vetores ortogonais e unitários, neste caso, são simbolizados

v=-2v 1 +3vz W

por i e

=-4VJ-V2

ambos com origem em O e extremidades em

(1, 0) e (0, 1), respectivamente, (Figura 1.40), sendo a base

De modo geral, dados dois vetores quaisquer ; 1 e ; 2 não-paralelos, para cada vetor v representado no mesmo plano de VI e vz, existe uma só dupla de números reais a 1 e a 2 tal que

={i

, j } chamada canônica. Portanto, i

= (1, 0) e

co.l) (1,0)

~~--~--------~~x

j = (0, 1). Daqui por diante, trataremos somente da base canônica.

i Figura 1.40

Dado um vetor ~ qualquer do plano (Figura 1.41 ), existe uma só dupla de números x e y tal que

A Figura 1.39 ilustra esta situação, onde v 1 e v 2 são vetores não-paralelos

Os números x é y. são as componentes de

quaisquer e v é um vetor arbitrário do plano determinado por

v na base canônica. A primeira componente é

e vz

y~~

chamada abscissa de v e a segunda componente

Quando o vetor v é expresso como

y é a ordenada de v .

em (I), diz-se que v é combinação Une-

- -

(2)

v =xi +yj

---------------------------- v

arde v, evz. O conjunto B ={Vt, vz } é chamado base no plano. Aliás, qual-

O vetor v em (2) será também representado por

-------*~~----------~~~-x

Figura 1.39

quer conjunto de dois vetores nãoparalelos constitui uma base no plano. Embora estejamos simbolizando a base como um conjunto, nós a pensamos como um conjunto ordenado. Então, dada uma base qualquer no plano, todo vewr desse plano é combinação linear dos vetores dessa base, de modo único. Os números a 1 e a 2 da igualdade (1) são chamados componentes ou coordenadas de v na base B ( a 1é_ a primeira componente e a 2 a segunda componente). O vetor v da igualdade (1) pode ser representado também por ~=(ai' a 2 ) 8 ou vs=(a 1 ,a 2 ).

v = (x, y)

(3)

dispensando-se a referência à base canônica C. A igualdade (3) sugere a definição:

Figura 1.41

Vetor no plano é um par ordenado (x, y) de números reais. O par (x, y) é chamado expressão analítica de ~. Para exemplificar, veja a seguir alguns vetores e suas correspondentes expressões analíticas:

Na prática, as bases mais utilizadas são as ortonormais.

Uma base { e 1 , e 2 } é dita ortonormal se os seus vetores forem ortogonais e unitários,

3 i -5j

isto é, se ~~ _L ~2 e I~~ I = I ~zl = 1. Dentre as infinitas bases ortonormais no plano, uma delas é particularmente importante. Trata-se da base que determina o conhecido sistema cartesiano ortogonal xOy. Os

= (3, -5)

= (0, 3)

-4 i = (-4, O)

O = (0, O)

Cap. 1

Vetores 21 22

Vetores e Geometria Analítica

Observação

-...:

r }deve-se exclusivamente à simplificação. A cada ponto P(x, y) do plano xOy corresponde o vetor ~ = OP =X T + y r

A escolha proposital da base { T,

y/(

(Figura 1.42). Quer dizer, as coordenadas do ponto extremo P são as próprias componentes do vetor OP na base canônica. Em geral, deixa-se de indicar nos eixos os vetores i e

-----1;1

---~-;~

I I

(a)

Exemplo O vetor u = (x + 1, 4) é igual ao vetor v

(5, 2y- 6) se x + 1

5 e 2y- 6 = 4 ou x

y = 5. Assim, se ~ =~,então x = 4, y = 5 e ~ = v = (5, 4).

1) u +v

= ( x 2 , y2 ) e a

-u =(-l)u =(-x 1 ,-yj) u- v= u +(-v)=(x 1,y 1 )+(-x 2 ,-y 2 )=(x 1-x 2 ,y 1 -y 2 ) As definições anteriores e as operações algébricas dos números reais permitem demonstrar as propriedades: a) para quaisquer vetores u, v e w , tem-se U+V=V+U

(u+v)+w=u+(v+w)

-u+(-u)=Ü - -

- o- = -u

u +

b) para quaisquer vetores u e v e os números reais a e

Operações com Vetores Sejam os vetores u = ( x 1 , y 1

Figura 1.43

=v .

) e v

(b)

Considerando estes mesmos vetores, tem-se ainda:

( x 1 , y 1 ) e v = ( x 2 , y 2 ) são iguais se, e somente se, x 1 = x 2 e y 1 = y 2 ,

Igualdade de Vetores escrevendo-se u

Figura 1.42

De acordo com as considerações feitas, o plano pode ser encarado como um conjunto de pontos ou um conjunto de vetores.

Dois vetores u

""l------------~-------~ l____________ :

I I

--0~~----------~x----~x

r como se vê nessa figura.

------------------

R. Define-se:

(x 1+x 2 ,y 1 +y2)

2)au=(ax 1 ,ay 1 ) Portanto, para somar dois vetores, somam-se as correspondentes coordenadas, e para multiplicar um número real por um vetor, multiplica-se cada componente do vetor por este número. As Figuras 1.43(a) e 1.43(b) ilustram as definições das operações dadas acima.

- -

p, tem-se

a(u+v)=au+av 1v=v Sugerimos como exercício ao leitor, demonstrar estas propriedades.

Exemplos 1) Dados os vetores

~ = (2, -3) e v = (-1, 4), determinar 3 u + 2 v e 3 u - 2 v.

Solução 3 ~ + 2_v = 3(2 ,-3) + 2(-1, 4) = (6, -9) + (-2, 8) = (6- 2, -9 + 8) = (4, -1) 3 u - 2 v = 3(2, -3)- 2(-1, 4) = (6, -9) + (2, -8) = (6 + 2, -9- 8) = (8, -17) -

2) Determinar o vetor x na igualdade 3 x + 2 u = -v + x, sendo dados u = (3, -1) e 2

v =(-2,4).

Cap. 1

Vetores 23 24

Solução Esta equação, em vista das propriedades das operações com vetores expostas anteriormente, pode ser resolvida como ~ma equação numérica: 6x+4u

v+2x

6x 2x

v - 4u

Vetor Definido por Dois Pontos Consideremos o vetor AB de origem no ponto A( x 1, y 1 ) e extremidade em B( x 2 , y 2 ) (Figura 1.44 ). De acordo com o que foi visto em (3), os vetores OA e OB têm expressões analíticas:

- - 4x =v - 4u

OA = ( x 1, y 1 ) e OB = ( x 2 , y 2 ). Por outro lado, do triângulo OAB da figura, vem

1 X

Vetores e Geometria Analítica

~--

OA + AB = OB

donde

Substituindo ~ e v nesta equação, vem ~ 1 x= (-2, 4)-(3,-1)

AB = OB- OA ou

=(--, 1)+(-3, 1)

Figura 1.44

=(--- 3, 1+1)

isto é, as componentes de AB são obtidas subtraindo-se das coordenadas da extremidade

=(-~,2)

B as coordenadas da origem A, razão pela qual também se escreve AB

=B - A

3) Encontrar os números a 1 e a 2 tais que É importante lembrar que um vetor tem infinitos representantes que são os segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido. E, dentre os infinitos repre-

~ = a 1 ~~ + a 2 ~ 2 , sendo~ = (10, 2), ~~ = (3, 5) e ~z = (-1, 2). Solução Substituindo os vetores na igualdade acima, temos (10,2)= a 1 (3,5)+ a 2 (-1,2)

(lO, 2)

sentantes do vetor AB , o que "melhor o caracteriza" é aquele que tem origem em 0(0, 0) e extremidade em P( x 2 - x 1, y 2 - y 1) (Figura 1.45).

= (3 a 1, 5 a 1) + (- a 2 , 2 a 2 )

(10,2) (3a 1 a 2 ,5a 1 +2a 2 ) Da condição de igualdade de dois vetores, conclui-se que 3a 1 a 2 = 10 { 5a + 2a 2 =2

:t~~~~~B(x,,y,) I I I I

I I I I

O vetor v = OP é também chamado vetor posição ou representante natural de AB.

sistema cuja solução é dada por a 1

Figura 1.45

2 e a 2 = -4. Logo, v

É conveniente observar que este sistema sempre terá solução única no caso de v 2 formarem base do plano, o que realmente acontece.

Na Figura 1.46, os segmentos orientados OP, AB e CD representam o mesmo vetor

~ = P- O= B- A= D- C= (3, 1). Esta figura deixa claro que o fato de os segmentos orientados ocuparem posições diferentes, é irrelevante. O que importa, é que eles tenham o mesmo comprimento, a mesma direção e o Il}esmo sentido para representarem o mesmo vetor.

Cap. 1

Vetores 25

Vetores e Geometria Analítica

Solução Seja D(x, y). Então, CD =D-C=(x,y)-(-2,4)=(x+2,y-4) AB = B- A= (3, -1)- (-1, 2) = (4, -3) Logo, 1 (x+2,y-4)= Q(4,-3) (x + 2,y - 4)

= (2,

)

Pela condição de igualdade de dois vetores, tem-se

r4 :-~ 2

Figura 1.46

Por outro lado, sempre que tivermos

. . soluçao - ex , = Sistema cuJa

v AB ou v =B A podemos também concluir que B = A+ v

5 Portanto, D(O, - ). 2

ou B = A + AB

isto é, o vetor ~ "transporta" o ponto inicial A para o ponto extremo B. Retornando à Figura 1.46, onde v

5 o e y =-.

= (3,

1), tem-se

B = A+ ~ = (-2, 3) + (3, 1) = (1, 4) D=C+ ~ =(1,2)+(3, 1)=(4,3)

Observação Este problema poderia, também, ter sido resolvido da seguinte maneira: 1lda condição CD = - AB ou D - C = - AB , vem 2 2 1-

51---·--·----...

D=C+-ABe 2 1

P =O+ v (0, 0) + (3, I) (3, 1) Ainda uma ilustração: na Figura 1.47, os vértices do triângulo são os pontos A( 4, 1),

D = (-2, 4)

B(5. 3) e C(3, 5) e os vetores u, v e w indicados são

3 5 2 (4, -3) = (-2, 4) + (2, -2) = (0, 2 ).

2) Sendo A(-2,4) e B(4 ,1) extremidades de um segmento, determinar os pontos F e G que dividem AB em três segmentos de mesmo comprimento.

Solução v

Pela Figura 1.48 tem-se ---

;, = CA =A- C= (1, -4) Observamos ainda que

u+ v + w =

AF = FG = GB = - AB 3

Mas

o = (0, 0).

AB = B- A= (4, 1)- (-2, 4) = (6, -3)

Figura 1.47

Exemplos ]) Dados os pontos A(-1, 2), B(3, -1) e C(-2, 4), determinar o ponto D de modo que ~ 1CD =- AB. 2

11 - AB =- (6, -3) 3 3

= (2, -1)

Figura 1.48

Cap. 1

Vetores 27

Portanto,

Vetores e Geometria Analítica

x=x1+x2 2 Portanto,

F=A+ l AB =(-2,4)+(2,-1)=(0.3) 3 G=F+

y= Y1 +y2

AB =(0,3)+(2,-1)=(2,2) 3 3) Sendo A(2, 1) e B(5, 2) vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD e M(4, 3) o ponto de interseção das diagonais, determinar os vértices C e D.

M ( X1+

Y1+Y2)

Solução

Exemplo

Em Adição de Vetores, Exemplo 4, página 10, demon~u-se~e as diagonais de um

O ponto médio do segmento de extremos A(-2, 3) e B(6, 2) é M( - 2 + 6 3 + 2 ) ou M ( 2

paralelogramo têm o mesmo ponto médio, isto é, AM = MC e BM Então, pela Figura 1.49 tem-se

MD .

C :;;;; M + MC = M + AM

' 2

Paralelismo de dois Vetores

Vimos que, se dois vetores ~ = ( x 1, y 1 ) e ~ = ( x 2 , y 2 ) são paralelos, existe um número

D = M + MD = M + BM (ou: A + BC)

real a tal que u = a v , ou seja,

Mas, AM =M-A

( X 1 • YI )

(2, 2)

= a( X 2 • Y2 )

BM Portanto,

M- B = (-1, 1) Figura 1.49

c= (4, 3) + (2, 2) = (6, 5) e D

=(4, 3) + (-1, 1) =(3, 4)

que pela condição de igualdade resulta em xi=ax2 e Yt =ay2 donde

Ponto Médio Seja o segmento de extremos A( x 1, y 1) e B( x 2 , y 2 )

y A

(Figura 1.50). Sendo M(x, y) o ponto médio de AB, podemos expressar de forma vetorial como AM

e daí

o x x 1=x 2 x e y y 1 Y2 y Resolvendo em relação a x e y, temos 2x = X I + X 2 e 2y YI + Y2

~E Figura 1.50

Esta é a condição de paralelismo de dois vetores, isto é, dois vetores são paralelos quando suas componentes forem proporcionais.

Exemplo

Os vetores u = (-2, 3) e v -2 3 -4 6

(-4, 6) são paralelos pois

Observações a) Considera-se o vetor

Õ = (0,0) paralelo a qualquer vetor.

Cap. 1

Vetores 29 30

b) Se urna das componentes de um vetor for nula, a componente correspondente de um vetor paralelo também é nula.

Exemplo O versor de ~ = (3, -4) é

Módulo de um vetor

Vetores e Geometria Analítica

u=~=

Seja o vetor ~ = (x, y) (Figura 1.51). Pelo teorema de Pitágoras, vem

=(3,-4)=(3,-4)=(i,-~) -[25 5 5 5

(3,-4)

~32 +(-4)2

1;1

O versor é, na verdade, um vetor unitário, pois

-~)\=

ei 5' 5

ci)2 5

+C-~)2 =~ 9

+ 16 = 25

{2s = 1

~ 2s

É importante observar que este versor ~ é também versor de todos os vetores múltiFigura 1.51

Exemplo

Para exemplificar, o versor de 2v = 2(3, -4) = (6, -8) é ainda

Se v= (2, -3), então lvl=

plos de v que tiverem o mesmo sentido dele.

.J4 + 9 Jl3

u.c. (unidades de comprimento)

(6,-8) ~62 +(-8)2

12vl

=(6,-8)=(~,-~)=(i,-~) 10

Observações a) Distância entre dois pontos A distânci:l entre dois pontos A( x 1 , y 1) e B( x 2 , y 2 ) (Figura1.52) é o comprimento (módulo) do vetor AB , isto é, d(A, B) IAB I. Como AB ; ; ; B - A = ( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 ), temos

Exemplos

1) Dados os pontos A(2, -1) e B(-1, 4) e os vetores u-= (-1, 3) e v= (-2, -1), determinar

IAB[~B

'A~ ---0+-----------------~X

12u

-3vl

a)lul

b)lu+vl

d) a distância entre os pontos A e B

Solução 2 =14+1 =J5 2 -+-(--1)a) 1~1=~.-2-

b) Por ser u + v= (-1, 3) + (-2, -1) = (-3, 2), temos

d(A, B) =

Figura 1.52

Vimos em Multiplicação de Número Real por Vetor, Figura 1.23, página 12, que a

vetor~ , ~ =t- Ô, é possível associar

v versor de v ) e seu oposto ---:::;- . I vi

1(-3, 2)1

=~(-3) 2

+2 =.J9+4 =m

c) Por ser 2 u - 3 v = 2(-1, 3)- 3(-2, -1)

b) Vetor Unitário

cada

~~+;I=

dois vetores unitários paralelos a v : v (é o

= (-2, 6) + (6, 3) = (4, 9), temos

12~- 3;1 =1(4, 9)1 = ..)16+81 = J97 d) Por >er AB

=B- A= (-1, 4)- (2, -1) = (-3, 5), temos

d(A,B)=IABI = 1(-3,5)1 =.J9+25 =f34 2) Determinar, no eixo Ox, um ponto P que seja eqüidistante dos pontos A(-1, -2) e B(5, -4 ). Solução O ponto procurado é do tipo P(x, 0). Deve-se ter d(P, A)= d(P, B) ou

IPAI= IPBI

Cap. 1

Vetores 31

Mas,

Vetores e Geometria Analítica

~etores

PA =A P = (-1 - x, -2) e PB = B P = (5- x, -4), logo 1(-1- X, -2)1 = 1(5 X, -4)1

no Espaço

Vimos em Vetores no Plano que a base canônica { i , j } no plano determina o sistema cartesiano ortogonal xüy e que a um ponto P(x, y) qualquer desse plano corresponde o

vetor OP = x i + y j , isto é, as próprias coordenadas x e y do ponto P são as componentes do vetor OP na base canônica (Figura 1.42), página 21. No espaço, de forma análoga, considerare-

ou l + 2x + x

= 25 -

lüx +

+ 16

x=3 Portanto o ponto é P(3, 0).

3) Dado o vetor v = (-2, 1), achar o vetor paralelo a v que tenha a) o mesmo sentido de v e três vezes o módulo de v ; b) sentido contrário ao de v e a metade do módulo de v ;

dos x (das abscissas) corresponde ao vetor i , o eixo Oy ou eixo dos y (das ordenadas) correspon-

c) o mesmo sentido de v e módulo 4; X

d) sentido contrário ao de v e módulo 2. Figura 1.53

Solução a) Basta multiplicar o vetor por 3: 3 v= 3(-2, 1) = (-6, 3) 1 · . 1 1 b) Basta mu1tlp 1tear o vetor por - : -2 v = -2 (-2, 1) = (1,

;

(-2, 1)

I vi

1 -2)

~ =(- ~· ~)(eoversorde v).

v4+ 1

e o eixo Oz ou eixo dos z (das

de ao vetor j

cotas) corresponde ao vetor k. As setas nessa figura indicam o sentido positivo de cada eixo, chamado também de eixo coordenado. Cada dupla de vetores de base, e, conseqüentemente, cada dupla de eixos, determina um plano coordenado. Portanto, temos três planos coordenados: o plano xüy ou xy, o plano xOz ou xz e o plano yüz ou yz. As Figuras 1.54(a) e 1.54(b) dão uma idéia dos planos xy e xz, respectivamente.

Um vetor unitário obtido a partir de ~ é -::;-=

- -

mos a base canônica { i , j , k } como aquela que irá determinar o sistema cartesiano ortogonal Oxyz (Figura 1.53), onde estes três vetores k unitários e dois a dois ortogonais estão represen_o__,..Y------~Y tados com origem no ponto O. Este ponto e a direção de cada um dos vetores da base determinam os três eixos cartesianos: o eixo Ox ou eixo

v5 v5

Uma vez que o vetor procurado deve ter módulo 4 e mesmo sentido de v , basta multiplicar o versor por 4: 2 l 8 4 4(-

J5 ' J5 )= (- J5 ' J5 ).

d) Uma vez que o vetor procurado deve ter módulo 2 e sentido contrário ao de v , basta multiplicar o versor por -2: 2 1 4 2 X

(b)

(a)

Figura 1.54

... Cap. 1

..........

Vetores 33 34

Assim como no plano, a cada ponto P (x, y, z) do espaço irá corresponder o vetor OP = x i + y j + z k , isto é, as próprias coordenadas x, y e z do ponto P são as componentes do vetor OP na base canônica. As coordenadas x, y e z são denominadas abscissa, ordenada e cota, respectivamente. A Figura 1.55(a) apresenta um ponto P(x, y, z) no espa-

Vetores e Geometria Analítica

Para algumas observações, tomemos o paralelepípedo da Figura 1.56 onde P(2, 4, 3). Faremos considerações a pontos como também poderíamos referi-las aos correspondentes vetores.

3t~z________________ E ~D

ço e a Figura 1.55(b) o correspondente vetor v =OP, que representa a diagonal do paralelepípedo cujas arestas são definidas pelos vetores x i , y j

e zk .

/ p

I I

I I I

----

...........

''-,-,-.P

//~,'--------------- ~------.!-4------____,.~y

I I I

--~~----------~~--~~-Y I

........ ' ------------~==::~-:t.~,/

;

Figura 1.56 X

(a)

(b)

Figura 1.55

O vetor v = x i + y j v

+ z k também será expresso por (x, y, z)

que é a expressão analítica de v. Para exemplificar

2i-3j +k

(2,-3,1)

r:;:: (1, -1, o) 2j -

k =(o, 2. -I)

4k e, em particular, i

(0, O, 4) (1, O, 0), j = (0, 1, O) e k = (0, O, 1).

Com base nesta figura, e levando em conta que um ponto (x,y,z) está no a) eixo dos x quando y = O e z = O, tem-se A (2, O, O); b) eixo dos y quando x = O e z = O, tem-se C (0, 4, 0); c) eixo dos z quando x =O e y =O, tem-se E (0, O, 3); d) plano xy quando z = O, tem-se B(2, 4, O); e) plano xz quando y =O, tem-se F(2, O, 3); f) plano yz quando x =O, tem-se D (0, 4, 3). O ponto B é a projeção de P no plano xy, assim como D e F são as projeções de P nos planos yz e xz, respectivamente. O ponto A(2, O, 0) é a projeção de P(2, 4, 3) no eixo dos x, assim como C(O, 4, O) e E(O, O, 3) são as projeções de P nos eixos dos y e dos z, respectivamente. Como todos os pontos da face a) PDEF distam 3 unidades do plano xy e estão acima dele, são pontos de cota z = 3, isto é, são pontos do tipo (x, y, 3); b) PBCD distam 4 unidades do plano xz e estão à direita dele, são pontos de ordenada y = 4, isto é, são pontos do tipo (x, 4, z);

Cap. 1

c) PF AB distam 2 unidades do plano yz e estão à frente dele, são pontos de isto é, são pontos do tipo (2, y. z). É muito importante que o leitor tenha presente os casos especiais dos pontos pertencentes aos eixos e aos planos coordenados, ilustrados na Figura 1.57. Esta figura mostra que o eixo dos x pode ser descrito como o conjunto dos pontos do tipo (x, O, 0), ou seja, daqueles que têm y = O e z = O, enquanto que o plano xy como o conjunto dos pontos do tipo (x, y, 0), ou seja, daqueles que têm z O. Comentários análogos faríamos para os outros eixos e planos coordenados indicados nessa figura.

Vetores 35

~'la x

Vetores e Geometria Analítica z

e(O,y,z) • (x,O,z)

~------~~------~~{~ ~ (O,y,O) • (x,y,O)

y=O {z o

Figura 1.57

Ao desejarmos marcar um ponto no espaço. digamos A(3, -2, 4), procedemos assim (Figura 1.58): z 1º)marca-se o ponto A'(3, -2, 0) no plano xy; 2º) desloca-se A' paralelamente ao eixo dos z, 4 4 unidades para cima (se fosse -4 seriam 4 unidades para baixo) para obter o ponto A. Os três planos coordenados se interceptam segundo os três eixos dividindo o espaço em oito regiões denominadas octantes (Figura 1.59). A cada octante correspondem pontos cujas coordenadas têm sinais de acordo com o sentido positivo adotado para os eixos. O primeiro octante é consX tituído dos pontos de coordenadas todas positivas. Os demais octantes acima do plano xy se sucedem Figura 1.58 em ordem numérica, a partir do primeiro, no sentido positivo. Os octantes abaixo do plano xy se sucedem na mesma ordem a partir do quinto que, por convenção, se situa sob o primeiro.

Figura 1.59

A Figura 1.60 apresenta os pontos A, B, C e D situados acima do plano xy e todos de cota igual a 2, enquanto os pontos A', B', C' e D' estão abaixo desse plano e têm cota -2: ponto A(6, 4, 2), situado no 1º octante ponto B(-5, 3, 2), situado no 2º octante ponto C(-6, -5, 2), situado no 3º octante ponto D(5, -3, 2), situado no 4º octante ponto A'(6, 4, -2), situado no 5º octante ponto B'(-5, 3, -2), situado no 6º octante ponto C'(-6, -5, -2), situado no 7º octante ponto D'(5, -3, -2), situado no 8º octante

Cap. 1

Vetores 37

Vetores e Geometria Analítica

A Figura 1.61 indica que para encontrar as coordenadas do ponto extremo B, somam-se ordenadamente as coorde!_ladas do ponto inicial A com as componentes

c B

do vetor v. IV) Se A( x 1 , y 1 , z 1 ) e B( x 2 , y 2 , z 2 ) são pontos extremos de um segmento, o ponto médio M de AB é

-6

11 I I /

///

I I

M( x, + x2

V) Se os vetores

Figura 1.61

~-~5~/~--~-3~~+-~-+--~~-*~--~--~y D

y, + Y2 z, + z2 2 ' 2 ).

~ = ( x 1 , y 1 , z 1) e ~ = ( x 2 , y 2 , z 2 )

são paralelos, então

~=a~ ou ~=ll__=~

1,(~---

VI) O módulo do vetor ~ = (x, y, z) é dado por

lvl

1 I

I }

}

=~x-+y-+z-.

Fica a cargo do leitor a dedução desta fórmula.

Exemplos

D' A'

1) D~dos os pontos A(O, 1, -1) e B(l, 2, -1) e os vetores ~ = (-2, -1, 1), ~ == (3, O, -1) e

w = (-2, 2, 2), verificar se existem os números a 1, a 2 e a 3 tais que

Figura 1.60

Igualdade Operações - Vetor Definido por Dois Pontos - Ponto Médio - Paralelismo - Módulo de um Vetor As definições e conclusões no espaço, relativas aos títulos acima, são análogas às do plano:

I) Doisvetores ~=(x 1 ,y 1 , z 1)e v=(x 2 ,y 2 , z 2 )sãoiguaisse,esomentese,

X1= X2, Y1= Y2 e Z1=Z2. Il) Dados os vetores u = ( x 1 , y 1, z 1 ) e v == ( x 2 , y 2 , z 2 ) e a U+

R, define-se:

(xi+X2•Yi+Y2•zi+Z2)

w = a 1 AB + a 2 u + a 3 v.

Solução AB=B-A=(l,2,-l)-(0, 1,-1)=(1, 1,0) Substituindo os vetores na igualdade dada, resulta (-2, 2, 2) = a 1 (1, 1, O)+ a 2 (-2, -1, 1) + a 3 (3, O, -1) ou (-2, 2, 2) = (a 1,a 1 , O)+ (-2a 2 , -a 2 ,a 2 ) + (3a 3 , O, -a 3 ) Somando os três vetores do segundo membro da igualdade_, vem (-2,2,2)=(a 1-2a 2 +3a 3 , a 1-a 2 , ara 3 ) Pela condição de igualdade de vetores, obteremos o sistema

au = (ax 1 , ay 1, az 1 ) III) Se A ( x 1 , y 1, z 1 ) e B ( x 2 , y 2 , z 2 ) são dois pontos quaisquer no espaço, então AB =B-A==(xrx 1,y 2 -y 1 ,zrz 1) Já vimos que: se v B =A+ v.

A, então

a 1- 2 a 2 + 3 a 3 = -2 a 1{

a2 a2

= -

a3 = 2

(4)

........

.....

1 ... -

Cap. 1

Vetores 39

Logo

Vetores e Geometria Analítica

4) Seja o triângulo de vértices A(4, -1, -2), B(2, 5, -6) e C(l, -1, -2). Calcular o comprimento da mediana do triângulo relativa ao lado AB.

w=3AB+u-v

Solução

Observação No plano, todo conjunto { v 1 , v 2

}

de dois vetores não-paralelos constitui uma de suas

bases, isto é, todo vetor desse plano é combinação linear de v 1 e v 2 . No espaço. todo conjunto de três vetores não-coplanares constitui uma de suas bases, isto é, todo vetor do espaço pode ser escrito de modo único como combinação linear dos vetores desta base. Como no exercício anterior o sistema (4) tem solução única (a 1= 3, a 2 = l e a 3 -I), podemos "intuir" que o conjunto { AB , u , v } é uma base deste espaço e, portanto, estes três vetores são não-coplanares. 2) Encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo ABCD. sendo dados A(3. -2. 4), B(5, 1, -3) e C(O, 1, 2).

Solução O ponto D (Figura 1.62) é dado por D =A+ BC ou D

A mediana em questão, de acordo com a Figura 1.64, é o segmento que tem como extremidades o ponto médio M de AB e o vértice oposto C. Então, o comprimento da mediana é o

módulo do vetor MC.

MC =C- M = (1, -1, -2)- (3, 2, -4) = (-2, -3, 2) Portanto

IMCI=~(- 2)

+(-3) +2

=2 i

- 3

a):?.u-v

Solução Como os pontos A, B e P pertencem à mesma reta (Figura 1.63), qualquer dupla de vetores formados utilizando estes três pontos são paralelos. Tomemos a condição AB // AP,

m+ 2

n- 4

ou -2(m + 2) = 4 { -2(n-4)= 12 sistema de solução m = -4 e n = -2.

Figura 1.64

=-!0

f ,~

= i - j

e w = -2 T + j , determinar -

c) -u-2v-w 2

obtemos D = (3, -2, 4) + (-5. O, 5) Figura 1.62 D = (-2, -2, 9) 3) Sabendo que o ponto P(-3, m, n) pertence à reta que passa pelos pontos A(l, -2, 4) e B(-1, -3, 1), determinar me n.

-4

=~4+9+4

1 -

Como BC =C- B = (-5, O, 5), pela la igualdade

ou seja (-2, -1, -3) // (-4, m + 2, n- 4) e, portanto, -1 -3 -2

t l'oblemas Propostos i ) Dados os vetores

C + BA

M(4+2 , -1+5 , -2-6 ) ou M(3, 2, -4) 2 2 2

1 1~ d) 3 u - - v - - w

2) Dados os vetores ~ = (3, -1) e ~ = (-1, 2), determinar o vetor ~ tal que -

a) 4( U

-V )

1 + - X = 2U

- X

b) 3 ~ - (2 ~ - ~) = 2(4 ~ - 3 ~) 3) Dados os pontos A(-1, 3), B(2, 5), C(3, -1) e 0(0, 0), calcular

a) OA - AB

b) OC - BC

4) ~ados o~ vetore~ ~ = (2, -4), ~ = (-5, 1) e ;

c) 3 BA - 4CB = (-12, 6), determinar a 1 e a 2 tais que

w = a1u + a2 v A

Figura 1.63

5) Dados os pontos A(3, -4) e B(-1, 1) e o vetor ~ = (-2, 3), calcular a) (B- A)+ 2 ~ b) (A-B)-

c) B + 2(B- A) d) 3~-2(A-B)

6) Sejam os pon~s A(-5, 1) e B(l, 3). Determinar o vetor ~=(a, b) tal que a)B=A+2v b) A=B+3~ Construir o gráfico correspondente a cada situação.

Cap. 1

Vetores 41 42

7) Representar no gráfico o vetor AB e o correspondente vetor posição, nos casos: a) A(-L 3) e B(3, 5) c) A(4, 0) e B(O, -2) d) A(3, l) e B(3, 4) b) A(-1, 4) e B(4, 1) 8) Qual o ponto inicial do segmento orientado que representa o vetor ~ = (-1, 3), sabendo que sua extremidade está em (3, l)? Representar graficamente este segmento. 9) No mesmo sistema cartesiano xOy, representar a) os vetores u = (2, -1) e v= (-2, 3), com origem nos pontos A(l, 4) e B(l, -4), resb) os vetores posição de u e v . 10) Sejam os pontos P(2, 3), Q(4, 2) e R(3, 5). a) Representar em um mesmo gráfico os vetores posição de u , v e w de modo que

17) Calcular os valores de a para que o vetor ~ =(a, -2) tenha módulo 4. 18) Calcular os valores de a para que o vetor ~ -(a · - , 1 ) seJa· um·t'ano.

19 ) dProvar que os pontos A(-2, -1), B(2, 2), C(-1, 6) e D(-5, 3), nesta ordem são vértices ' e um quadrado. 20) ~ncontrar um ponto P de eixo Ox de modo que a sua distância ao ponto A(2 -3) · tgual a 5. ' seJa 21) Dados os pontos A( -4, 3) e B(2, 1), encontrar o ponto p nos casos a) P pertence ao eixo Oy e é eqüidistante de A e B· b) Pé eqüidistante de A e B e sua ordenada é o dobro da abscissa· c) P pertence à mediatriz do segmento de extremos A e B. '

pectivamente:

Q=P+u,R

Q+ v eP=R+w.

22) En_::ontrar o vetor unitário que tenha (I) o mesmo sentido de ~ e (II) sentido contrário a v, nos casos: a) ~ = -

b) Determinar u + v + w . 11) Encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para a) A(-3, -1), B(4, 2) e C(5, 5)

b) A(5, 1), B(7, 3) e C(3, 4) 12) Sabendo que A(l, -1), B(S, 1) e C(6, 4) são vértices de um paralelogramo, determinar o quarto vértice de cada um dos três paralelogramos possíveis de serem formados. 13) Dados os pontos A(-3, 2) e B(S, -2), determinar os pontos M e N pertencentes ao 2 AB C · que AM = l AB e AN . o gra'f.tco, marcando . onstrmr segmento AB tais 2 3 3os pontos A, B, M, N e P, devendo P ser tal que AP = AB. 2 14) Sendo A(-2, 3) e B(6, -3) extremidades de um segmento, determinar a) os pontos C, D e E que dividem o segmento AB em quatro partes de mesmo com-

primento; b) os pontos F e G que dividem o segmento de AB em três partes de mesmo comprimento. 15) O ponto P pertence ao segmento de extremos A( x 1, y 1) e B( x 2 , y 2 ) e a distância dele ao ponto A é a terça parte da distância dele ao ponto B. Expressar as coordenadas de P em função das coordenadas de A e B.

16) Dados os vetores u = (1, -1), v a) lu I

c) lw I

b) I~ I

d)lu+vl

(-3, 4) e w = (8, -6), calcular v g)--::;e) 12 u wl Ivi f)lw -3ul

Vetores e Geometria Analítica

h)\ ~~I

c) ~=(1,

b) v= 3 i - j

J3)

d) ~=(0,4)

23) Dado o vetor ~ =(I, -3), determinar o vetor paralelo a ~ que tenha: a) sentido contrário ao de ~ e duas vezes o módulo de~ · b) o mesmo sentido de

24)

25)

26)

27) ) 28

e módulo 2;

c) sentido contrário ao de ~ e módulo 4. Traçar no mesmo sistema de eixos os retângulos de vértices a) A(O, O, 1), B(O, O, 2), C(4, O, 2) e 0(4, O, 1) b) A(2, 1, 0), B(2, 2, 0), C( O, 2, 2) e 0(0, 1, 2) Traçar o retângulo formado pelos pontos (x, y, z) tal que a) x = O, 1 :::: y ::::; 4 e O ::::; z ::::; 4 b)-l::::x::::2,0::::y::::3 ez=3 Construir o cubo constituído dos pontos (x, y, z), de modo que a) -4:::: x :::: -2, 1 ::::; y ::::; 3 e O::::; z ::::; 2 b) -2:::: x ::::0, 2:::: y ::::4 e -4::::z ::::-2 Construir o paralelepípedo retângulo formado pelos pontos (x y z) de modo I ::::; x ::::; 3' 3 .-A-. < y < 5 e O< <4 Q · . , ' ' ' que - z- · musas coordenadas dos mto vertices do paralelepípedo? Calcular a distancta do ponto A(3, 4, -2) · d) ao eixo dos x; a) ao plano xy; b) ao plano xz; e) ao eixo dos y; c) ao plano yz; f) ao eixo dos z.

Cap. 1

Vetores 43 44

Vetores e Geometria Analítica

34) Sabendo que 3 u - 4 v== 2 w , determinar a, b, e c, sendo u = (2, -1, c), v= (a, b- 2, 3) e w = (4, -I, 0).

29) A Figura 1.65 apresenta um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos eixos coordenados e de medidas 2, 1 e 3. Determinar as coordenadas dos vértices deste sólido, sabendo que A(2,-1,2).

Figura 1.65

30) O paralelepípedo retângulo de dimensões 3, 4 e 5 está referido ao sistema Oxyz conforme a Figura 1.66. Considerando um segundo sistema chamado de O'x'y'z', onde Oxf/O'x', Oy//O'y' e Ozi/O'z', e sendo O' um dos vértices do paralelepípedo de acordo com a figura, determinar as coordenadas dos pontos O, A, B, C, De O' em relação aos sistemas dados.

D ,4-------'.'----~.t'----+--~ y'

~L---r----~-1---k-·--c.J-----;.,.. Y /'' ,~/,,.,

Figura 1.66

31) Dados os pontos A(2, -2, 3) e B(1, 1, 5) e o vetor v a) A+ 3 v

c) B + 2(B

=(1, 3, -4), calcular:

b) (A- B)- v d) 2 v 3(B- A) 32) Dados os pontos A(3, -4, -2) e B(-2, 1, 0), determinar o ponto N pertencente ao seg-

mento AB tal que AN

AB .

5 33) Dados os pontos A(l, -2, 3), B(2, 1, -4) e C(-1, -3, 1), determinar o ponto D tal que AB + CD== O.

35) Dados os vetores u = (2, 3, -1), v= (1, -I, 1) ew = (-3, 4, 0),

- - - a 1, a 2 e a 3 tais que a 1 u + a 2 v +

a) determinar o vetor x de modo que 3 u - v + x = 4 x + 2 w ; b)

encontrar os números

a 3 w = (-2, 13, -5).

36) Representar no mesmo sistema Oxyz o vetor v= (1, -1, 3) com origem nos pontos 0(0, O, 0), A(-3, -4, 0), B(-2, 4, 2), C(3, O, -4) e D(3, 4, -2). 37) Sendo A(2, -5, 3) e B(7, 3, -1) vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD e M(4, -3, 3) o ponto de interseção das diagonais, determinar os vértices C e D. 38) Determinar os três vértices de um triângulo, sabendo que os pontos médios de seus lados são M(5, O, -2), N(3, 1, -3) e P(4, 2, 1). 39) Dados os pontos A(l, -1, 3) e B(3, 1, 5), até que ponto se deve prolongar o segmento AB, no sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique de valor? 40) Sendo A(-2, 1, 3) e B(6, -7, 1) extremidades de um segmento, determinar a) os pontos C, De E, nesta ordem, que dividem o segmento AB em quatro partes de mesmo comprimento; b) os pontos F e G, nesta ordem, que dividem o segmento AB em três partes de mesmo comprimento. 41) O ponto A é um dos vértices de um paralelepípedo e os três vértices adjacentes são B, C e D. Sendo AA' uma diagonal do paralelepípedo, determinar o ponto A' nos seguintes casos: a) A(3, 5, 0), B(l, 5, 0), C(3, 5, 4) e D(3, 2, 0) b) A(-1, 2, 1), B(3, -1, 2), C(4, 1, -3) e D(O, -3, -1) c) A(-1, 2, 3), B(2, -I, 0), C(3, 1, 4) e D(-2, O, 5) 42) Apresentar o vetor genérico que satisfaz a condição: a) paralelo ao eixo dos x; e) ortogonal ao eixo dos y; b) representado no eixo dos z; f) ortogonal ao eixo dos z; c) paralelo ao plano xy; g) ortogonal ao plano xy; d) paralelo ao plano yz; h) ortogonal ao plano xz.

43) Quais dos seguintes vetores u == (4, -6, 2), v= (-6, 9, -3), w == (14, -21, 9) e t = (10, -15, 5) são paralelos? 44) Dado o vetor w = (3, 2, 5), determinar a e b de modo que os vetores u = (3, 2, -1) e

-v= (a, 6, b) + 2 -w sejam paralelos.

45) A reta que passa pelos pontos A(-2, 5, 1) e B(l, 3, O) é paralela à reta determinada por C(3, -1, -1) e D(O, m, n). Determinar o ponto D. 46) Verificar se são colineares os pontos: a) A(-1, -5, 0), B(2, 1, 3) e C(-2, -7, -1)

Cap. 1

Vetores 45 46

b) A(2, 1, -1), B(3, -1, 0) e C(l, O, 4) c) A(-1, 4, -3), B(2, 1, 3) e C(4, -1, 7) 47) Sabendo que o ponto P(m, 4, n) pertence à reta que passa pelos pontos A(-1, -2, 3) e B(2, 1, -5), calcular me n. 48) Encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para a) A(-1, O, 3), B(l, 1, 2) e C(3, -2, 5) b) A(4, O, 1), B(5, 1, 3) e C(3, 2, 5) 49) Verificar se são unitários os seguintes vetores:

(1 1 1·· ( I , , ) e v=

__2__ - 1-)

Vetores e Geometria Analítica

12) (2, 2),

F(~,

16) a)

.J2

51) Determinar o valor de a para que u =(a, -2a, 2a) seja um versor. 52) Dados os pontos A(l, O, -1), B(4, 2, 1) e C( I, 2, 0), determinar o valor de m para que

17)

2 4

2 ) a) ( 15 15)

b) ( 23

b) v=(-2,

8) (4, -2)

21) a) P(O, 5) ') 1 1

L) a) (-

c) (-9, 11)

28) a) 2 29) 30)

c) (-5, -30)

d) (-14, 19)

b) D(l, 2)

b) P(-5, -10) c) P(x, 3x + 5), x 3 1 3 1 b) ( r;-;: ,- r;-;: ) e ( - r;-;: , r;-;: ) -v10 -vlü -v10 -vlü

.J2, .J2) e ( .J2,- .J2)

.J3

-2)

d) (0, 1) e (0, -1)

-v10

-vlü

b) ( r;-;: ' - r;-;: )

c) 3

2J5

4 12 c)( - r;-;: ' r;-;: )

-vlO -vlO

27) Vértices da base inferior: (1, 3, 0), (1, 5, 0), (3, 3, O) e (3, 5, O) Vértices da base superior: (1, 3, 4), (1, 5, 4), (3, 3, 4) e (3, 5, 4)

31) 32)

33)

10) b) 11) a) D(-2, 2)

13 d) ( 2 , -9)

11)

b) (2, 5) 3) a) (-4, 1) 4) a 1 -1 e a 2 = 2 b) (6, -8) 5) a) (-8, 11)

6) a) v = (3, 1)

)

.Jl3

23) a) (-2, 6)

)

20) (6, O) ou (-2, O)

Respostas de Problemas Propostos

.J3

c) ( 2'2) e ( -2,

c) sentido contrário ao de v e módulo 5.

y2 4

c) 10

b) o mesmo sentido de v e módulo 4;

c) (L

~, -1)

± 2.J3

18) ±

a) sentido contrário ao de v e três vezes o módulo de v;

b) (-5, 4)

4' 4YI

b) 5

56) Dado o vetor v= (2, -1, -3), determinar o vetor paralelo a v que tenha

1) a) (3, -5)

1), G(

. 1 d ( 1 3) . . ,. 50) Deternnnar o va or e n para que o vetor v= n, seJa urutano.

13) M(l, 0), N( -, -- ), P(9, -4) 3 3 3 3 14) a) C(O, - ), 0(2, 0), E(4, --)

4XI

I v I= 7, sendo v= mAC + BC. 53) Determinar o valor de y para que seja eqüilátero o triângulo de vértices A(4, y, 4), B(lO, y, -2) e C(2, O, -4). 54) Obter o ponto P do eixo das abscissas eqüidistante dos pontos A(3, -1,4)eB(l, -2, -3). 55) Obter um ponto P do eixo das cotas cuja distância ao ponto A( -1, 2, -2) seja igual a 3.

(10, 6)

15 ) P(

J6' J6

(0, -4)

.Jl3

b) 4 d) f) 5 B(2, -3, 2), C(3, -3, 2), 0(3, -1, 2), E(3, -1, 5), F(2, -1, 5), G(2, -3, 5), H(3, -3, 5) em relação a Oxyz: 0(0, O, 0), A(3, O, 0), B(3, 4, 0), C(O, 4, 5), D(3, O, 5) e 0(3, 4, 5) em relação a O'x'y'z': O( -3, -4, -5), A( O, -4, -5), B(O, O, -5), C( -3, O, 0), D(O, -4, O) e 0'(0, O, O) a) (5, 7, -9) b) (0, -6, 2) c) (-1, 7, 9) d) (5, -3, -14) 6 N(l,-2,--) 5 0(-2, -6, 8)

,_ Cap. 1

Vetores 47

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7 34) a = -- , b = - , c = 4 2 4 11 2 4 35) a) x=( , ,- ) 1

3 3 3

Produto Escalar

b) a 1 = 2, a 2 = -3, a 3 = 1 37) C(6, -1, 3) eD(l, -9, 7) 38) (4, -1, -6), (6, 1, 2) e (2, 3, O) 39) (9, 7, 11) 5 3 40) a) (0, -1, - ), (2, -3, 2), (4, -5, -)

25710135

b) ( 3'

-3, 3 ), (3' -3, 3)

41) a) (1, 2, 4) 42) a) (x, O, 0)

b) (9, -7, -4) c) (x, y, O) d) (0, y, z)

b) (0, O, z)

c) (5, -4, 3)

g) (0, O, z) h) (0, y, O)

e) (x, O, z) f) (x, y, O)

Definição Algébrica

.......

43) são paralelos: u , v e t 44)a=9eb=-15 45) D(O, 1, 0) 46) a) sim b) não 47) m=5 e n=-13 48) a) D(l, -3, 6) b) D(2, 1, 3)

~ = x2

53) 54) 55)

k, e se representa por

~ . ~,ao número real

~ por ~ também é indicado por < ~ , ~ > e se lê " ~ escalar ~ ".

Exemplos 1) Dados os vetores

4 1

56) a) (-6, 3, 9)

+ z2

O produto escalar de

~ = 3 T - 5 j + 8 k e ~ = 4 T - 2 j - k, tem-se

~. ~ = 3(4)- 5(-2) + 8 (-1) = 12 + 10 -8 = 14

51) ±3 52)

T+ y 2 j

(1)

±.[3

13 3 ou-5 ±2 P(3, O, O) P(O,O,O)

c) sim

49) v é unitário 50)

Chama-se produto escalar de dois vetores u = x 1 i + y 1 j + z 1 k e

2) Sejamos vetores~ = (3, 2, 1) e~ = (-1, -4, -1). Calcular:

a)(~+~).(2~-~),

b)~.~

c)Õ.~.

Solução a) Como u + v = (2, -2, O) e ou

P(O, O, -4) 12 8 4 b) ( - , - - , - - )

J14J14Jl4

_E_)

(-J14, J14' J14

2 u - v = (6, 4, 2)- (-1, -4, -1) = (7, 8, 3), tem-se

(~+~).(2~- ~)=2(7)-2(8)+0(3)= 14-16+0=-2 b) ~. ~ =3(3)+2(2)+1(1)=3 2 +2 2 +1 =9+4+1=14 2

c) Õ. ~=(0,0,0).(3,2, 1)=0(3)+0(2)+0(1)=0

r 50

Cap. 2

Vetores e Geometria Analítica

3) Dados os vetores

~ = (4, a, -1) e ~ =(a, 2, 3) e os pontos A (4, -1, 2) e B (3, 2, -1),

u. (v+ w)

determinar o valor de a tal que ~ . ( ~ + BA ) = 5.

(x 1, y 1, z 1). (x 2 +x 3, y 2 + y 3, z 2 +z 3 )

= xl(x2 +x3)+yt(Yz +y3)+z1(z2 +z3) = x,xz+x,x3 +y,yz +YtY3 +z,zz +z,z3

Solução

(x 1x 2 +y 1y 2 +z 1z 2 )+(x 1x 3 +y 1y 3 +z 1z 3 )

BA =A- B = (1, -3, 3)

-v + BA =(a, 2, 3) + (1, -3, 3) =(a+ 1, -1, 6) Substituindo e resolvendo a equação dada, vem (4, a, -1). (a+ I, -1, 6) = 5

=u.v+u.w

Exemplos

4a + 4- a- 6 = 5 3a= 7 7

Solução

----------

(3u- 2v). (-u+4v)

3u. (-u+4v)-2v. (-u+4v)

-- -- -

<X=-

= -3u • u + 12u • v+ 2v • u

Para

~ua~qu~ ve~ores ~ , ~ e ; e o número real a, é fácil verificar que:

u. v= v . u

~ :;:. Ô e

IV) u . u > O se

~.~=1~1

= -3(4)

e (~ +~ ) . ; =

~ .; + ~ .;

u . u = O,

se u = O = (0, O, O).

De fato, vimos que o módulo do vetor

-u = (x, y, z) é dado por

81~1

= -38 -

-2

2) Mostrar que Iu + v 1- = Iu 12 + 2 u • v + I v I

Solução

1~+~1 2

(u+v). (u+v)

=u. (u+v)+v. (u+v)

1~1= ~x2+y2+z2.

=u.u+u.v+v.u+v.v

Tendo em vista que

~· ~

= (x, y, z) . (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 , conclui-se que

I~ I=~~.~ Demonstraremos a propriedade 11, deixando a cargo do leitor as demais. Se

=(x,,y,,z 1 ),

Observação De forma análoga demonstra-se que

ou de modo equivalente ~. ~ = 1~ 12 . =(x 2 ,y 2 ,z 2 ) e ; =(x 3 ,y 3 ,z 3 ),então

~ j2 = I ~ 12 2 ~ • ~ + I ~ 12 -

---

=Iu 1- - Iv l-?

Solução u.(u u.u

-~-----

3) Provar que ( u + v ) • ( u - v )

(u+v).(u-v)

1""-"---

+ 14(3) - 8(2) 2

-48+42

III) a( ~ . ~ ) = (a ~ ) . ~ = ~ . (a ~ ) V)

14u. v

-31ul

Propriedades do Produto Escalar ~. (v+w ) = ~ . ~ + ~ . ;

-2-v ) • (- u + 4 v )

1) Sendo I u I = 4, I v I = 2 e u • v = 3, calcular (3 u

4(a + 1) + a(-1)- 1(6) = 5

11)

Produto Escalar 51

v)+v.(u v) u.v+v.u

v.v

8v . v

Cap. 2 52

Produto Escalar 53

Vetores e Geometria Analítica

Observações

Definição Geométrica de Produto Escalar

a) Vamos exemplificar com um caso particular a equivalência das expressões do produto escalar apresentadas em (I} e (2). Pela Figura 2.2 vemos que o ângulo forma-

Se u e v são vetores não-nulos e e o ângulo entre eles, então u • v = I u li v I cos e Aplicando a lei dos co-senos ao triângulo ABC da Figura 2.1, temos -

-2

I u - v I = I u 1- + I v _1- - 21 u I I v I cos e Por outro lado, de acordo com o exemplo 2 (item anterior): -2 -2 -2 -lu- vi =lul +lvl -2u.v Comparando as igualdades (3) e (4): -7

-7

do pelos vetores u = (L 1, 0) e Então, por ( 1), temos

(2)

I ~ 12 + I ~ 12 - 2 ~ . ~ = I ~ 12 + I ~ 12 - 21 ~ I I ~ I cos e e, daí

(3)

u. v

Figura 2.1

Conclusão: O produto escalar de dois vetores não-nulos é igual ao produto de seus módulos pelo co-seno do ângulo por eles formado.

u.v

= 1(0) + l( I)+ 0(0) =

(0, 1, O) é 45°.

e, por (2)

(4)

Figura 2.2

b) Deixaremos de demonstrar dois resultados válidos para todos os vetores u e v :

1) I~ • ~ I ~ I~ I I~ I (Desigualdade de Schwarz) 2) I u + v I :s; I~ I+ I~ I (Desigualdade Triangular)

A segunda desigualdade confirma a propriedade geométrica segundo a Exemplo

qual, em um triângulo (Figura 2.3), a soma dos comprimentos de dois la-

Sendo I ~ I = 2, I ~ I = 3 e 120° o ângulo entre ~ e v , calcular

dos

b) I~ + ~I

a) u. v

Figura 2.3

A igualdade somente ocorre quando ~ e v forem paralelos e de mesmo sentido.

a) Pela relação (2), tem-se - -

(I~ 1+ I~ I) é maior do que o comprimento do terceiro ·lado (I u + v 1).

I~ - ~I

Solução

u.v =lullvlcos 120°=(2)(3)(-

b) Vimos que

I ~ + ~ 12 = I ~ 12 + 2 ~ . ~ + I ~ 12 Então,

c) Como em (2) o sinal de~ • ~ é o mesmo de cos )=-3

1°) u. v >O{::::} cos e> O{::::}

2°) u. v <O{::::} cose< O{::::} 90° < e 3°) u • v = O {::::} cos e

= O {::::}

e, conclui-se que:

oo :s; e < 90° (Figura 2.4(a)) s

180° (Figura 2.4 (b))

e = 90° (Figura 2.4 (c))

I~ + ~ 12 = 22 + 2(-3) + 3 2 = 7 e, portanto,

1~+~1=-fi c) De forma análoga tem-se

-. u

I ~ - ~ 12 = I ~ 12 - 2 ~ . ~ + I ~ 12 = 2

= 19

e, portanto

1~-~1=119

2(-3)+3

(a)

(b) Figura2.4

(c)

-Cap. 2 54

Produto Escalar 55

Vetores e Geometria Analítica

O sistema Esta última afirmação estabelece a condição de ortogonalidade de dois vetores:

y=0 X+Z=0 tem infinitas soluções do tipo y =X e Z =-X X

{

Dois vetores u e v são ortogonais se, e somente se, u. v= O.

Exemplos

Logo, os vetores ortogonais a

1) Mostrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais:

e v2 são da forma u = (x, x, -x)

ou u = x(l, 1, -1 ), x E R, isto é, são todos múltiplos de (1, 1, -1 ), conforme sugere a Figura 2.5.

a) u = (1, -2, 3) e v = (4, 5, 2)

b) i e j

Figura 2.5

4) Demonstrar que as diagonais de um losango são perpendiculares entre si.

Solução

a) u.v = 1(4)-2(5)+3(2)=4-10+6=0

Observação

O vetor O é ortogonal a todo vetor, isto é, O. v = O para todo v .

AC.DB

2) Provar que o triângulo de vértices A(2, 3, 1), B(2, 1, -"1) e C(2, 2, -2) é um triângulo retângulo. Solução A forma mais simples de provar a existência de um ângulo reto é mostrar que existem dois vetores que determinam os lados do triângulo cujo produto escalar é zero. Consideremos os vetores AB = (0, -2, -2) AC = (0, -1, -3)

( u +;). ( ~ ; )

I u 12 I; 12

(5)

Figura 2.6

pois I u I = Iv I.

1;!

5) Provar, utilizando o produto escalar, que o ângulo inscrito em urna semicircunferência é reto.

Observemos que, considerados os vetores u e v como na Figura 2. 7, os vetores u + v e u v determinam o ângulo inscrito na semicircunferência. Portanto, de maneira análoga ao exemplo anterior, visto em (5), ternos

AB. AC = (0, -2, -2). (0, -1, -3) =O+ 2 + 6 = 8 :;t: O AB. BC = (0, -2, -2). (0, 1, -1) =O- 2 + 2 =O Tendo em vista que AB. BC = O, o triângulo é retângulo em B.

um vetor ortogonal aos vetores

= (1, -1, O) e v2 = (1, O, 1).

Solução Seja ~ = (x, y, z) o vetor procurado. Como ~ é ortogonal a u. v2 = (x, y, z). (1, O, 1) = x + z =O

Fazendo AB == u e AD = v , pela figura vemos que --AC = u + v e DB = u - v. Logo, AC. DB

U-V

Solução

BC= (0, 1, -1) (poderíamos também considerar os vetores opostos deles). Calculemos:

u. Vi = (x, y, z). (1, -1, O)= x- y =O

Lembremos que todo losango é um paralelogramo cujos lados têm o mesmo comprimento. Consideremos o losango ABCD (Figura 2.6). Devemos mostrar que

b) i . j = (1, O, 0). (0, 1, O)= 1(0) + 0(1) + 0(0) =O

3) Determinar

e~2, devemos ter

(u+v).(u-v) pois I uI= I v I (medida do raio). Figura 2.7

,.... 56

Cap. 2

Vetores e Geometria Analítica

Cálculo do Ângulo de Dois Vetores

6m 2 +24m+36

4+8m+4m

Da igualdade

2m 2 +16m+32

u . v = I u I I v I cos e, vem (6)

lullvl fórmula a partir da qual se calcula o ângulo e entre os vetores ~ e ~ não-nulos.

m +8m+l6=0 Portanto, m = -4 (raiz dupla) 3) Determinar os ângulos internos ao triângulo ABC, sendo A(3, -3, 3), B(2, -1, 2) e C(l, O, 2).

Solução determinado pelos vetores AB

l) Calcular o ângulo entre os vetores ~ = (I, 1, 4) e ~ = (-1, 2, 2).

cosÂ

Solução cose= ~. ~ lu li v I Logo,

(1, 1, 4). (-1, 2, 2)

-Jl+l+l6 -JI+4+4

-1+2+8

(-1, 2, -1). (-2, 3, -1)

2 +6+ 1

IABIIACI

J1+4+1-J4+9+ 1

-J6Jl4

Jl8 J9 = 3.fi . 3 = .fi = 2

2) Sabendo que o vetor ~ = (2, 1, -1) forma ângulo de 60° com o vetor AB determinado pelos pontos A(3, 1, -2) e B(4, O, m), calcular m.

cosÊ ~ B

De acordo com a igualdade (6), tem-se v.AB

cos 6o = -=-= lviiABI I ~ Como cos 60° = l e AB = B- A= (1, -1, m + 2), vem (2, 1,-1). (1,-l,m +2) 2

+4m+4

-J6 ~m 2 +4m+6

(_!_)2=( -1-m )2 2 ~6m 2 +24m+36

cos

Figura 2.8

BA. BC

(1, -2, 1). (-1, 1, O)

IBAIIBCI

-JI+4+I-Jl+l+O

-1 -2

-3

f6Ji=2f3

= are cos(--) = 150° 2

Solução

1+2m+m 2 6m 2 +24m+36.

0,982

Analogamente,

-J4+1+1 ~l+l+m 2-l-m-2

are cos

8 =are cos ( - ) = 45°

. Logo,

AB. AC

.fi

I 4

Observemos que no triângulo ABC da Figura 2.8, o ângulo A é

Exemplos

cose=~·~

I 2

Produto Escalar 57

CA.CB

5 C = are cos ( r;;;;) v28 A

=19 7'. Notemos que A+ B +C O

0,9449

180°

Ângulos Diretores e Co-senos Diretores de um Vetor

Seja o vetor v = x i + y j + z k não-nulo. Ângulos diretores de ~ são os ângulos a, ~ e y que

v forma com os vetores i

k , respectivamente (Fi-

gura 2.9).

Co-senos diretores de v são os co-senos de seus ângulos diretores, isto é, cos a., cos ~ e cos y.

x Figura 2.9

,.... Cap. 2 58

Produto Escalar 59

Vetores e Geometria Analítica

c os 2 a +c os 2 45° +c os 2 60° = 1

Para o cálculo destes valores utilizaremos a fórmula (6): cosa=

v •i

(x, y, z). (1, O, O)

lvllil

1~1(1)

Ivi

cos ~ = ~

(x, y, z). (0, 1, 0)

I~IIJI

cos 'Y =

1~1(1)

=I~ I

v.k

{x, y, z) • (0, O, 1)

lvllkl

I ~1(1)

I vi

)

1 . ., =1 2 4 2 1 cos 2 a = 1 - ~ - ! = - - = ! 4 4 4 4

(7)

cosa Logo,

Notemos que os co-senos diretores de ~ são precisamente as componentes do versar de v: v _ (x, y, z) _ ~--~

a = 60° ou a= 120°

vamente. Determinar o vetor v, sabendo que I v I

cos60o =

Exemplos de~ = (1,

Seja v= (x, y, z) o vetor procurado. No caso presente: a= 60° e zando (7), temos (8)

1) Calcular os ângulos diretores

ângulos de 60° e 120°, respecti-

Solução

- (-:::;-,-:::;-,-:::;-) = (cos a, cos ~. cos y)

lvl lvl lvl lvl lvl Como o versar é um vetor unitário, decorre imediatamente

I vi

cos 120° =

-1, 0).

2 1

= 120°.

Então, utili-

donde x = 1 donde y

-1

Como I v I = 2, isto é,

Solução

I~ I= -J1 + 1+O Utilizando (7), temos 1 cosa= J2 cos ~ =

±~

±Jf

3) Um vetor v do espaço forma com os vetores i e j

Observação

--=- -

J2 . ,

cos- a + (-) ~ + (-)-

0Y2

vem

.J2 00

J2 J2 =-2 .. -1

a = 45°

(1)

+ (-1) 2 + z 2

=4 =2

~ = 135°

z=±J2 Portanto,

cos 'Y = __Q_ = o

'Y =90°

2) Os ângulos diretores de um vetor são a, 45° e 60°. Determinar a.

v= (1, -1,

~por

45° e y por 60°, vem

ou v= (1, -1,

4) Obter o vetor~. sabendo que I~ I = 4, ~é ortogonal ao eixo Oz, forma ângulo de 60° com o vetor

Solução Substituindo em (8),

-/2)

T e ângulo obtuso com j .

Solução

Sendo ~ ortogonal ao eixo Oz, ele é do tipo ~ Por (7), tem-se

(x, y, 0).

cos60°

I vi

Produto Escalar 61

Cap. 2

Vetores e Geometria Analítica

O vetor ~ 1 é chamado projeção ortogonal de v sobre u e indicado por

donde x = 2

Como I v I = 4, isto é,

= proj~ V

(9)

~x2+y2=4 a u e como v 2

Ora, sendo v 1II u , temos v 1

vem

2 (2) +y =16 2

Tendo em vista que~ (ângulo de ~ com j ) é obtuso (90° < ~:::; 180°), na igualdade

a u é ortogonal a

au). u=O

v.u -au.u =0

cos ~ = ~ o valor de y é negativo. I vi Portanto,

v.u a=-::;;--:::;:u.u Portanto, sendo v 1 =

-2/3, O)

. -

Projeção de um Vetor sobre Outro

ptOJ-V

Sejam os vetores ; e ~ não-nulos e 8 o ângulo entre eles. Pretendemos decompor um dos vetores, digamos v , tal que sendo ~ 1 II ; e ~ 2 _L ;

y =± 2/3

V= VI

u, vem

y 2 = 12

-v= (2,

a u , por (9) conclui-se que v. u

=(-:::;;--:::;:-) u. u

(10)

Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Escalar

A Figura 2.1 O ilustra as duas situações possíveis, podendo ser 8 um ângulo agudo (Figura 2. I O (a)) ou obtuso (Figura 2.1 O (b)).

-::,[7

Se em ( 10) o vetor ~ é unitário (I; I proj~ v

= (v. u) u

l ), tem-se - 2

pois u. u =I uI = I

e, portanto, I proj ~ ~ I = I( ~ • ~ ) ~ I = I v • ~ I I u I

{---------v

-I I I

I I I

I proj~ v I= I v. uI

: e Logo, (a)

(b) Figura 2.10

o comprimento do vetor projeção de v sobre u , sendo u unitário, é igual ao

- -

módulo do produto escalar de v por u .

rCap. 2

Produto escalar 63

62 Vetores e Geometria Analítica

Exemplos 1) Determinar o vetor projeção de

Como AB = (3, 2, -1) e AC (m+1, -4, 1), vem 3(m + 1) + 2(-4)- 1(1) =O

~ = (2, 3, 4) sobre ~ = (1, -1, O).

3m +3 8-1

Solução Temos

v.u =2(1)+3(-1)+4(0)=-1 --

-2

u . u = I u I = ( 1) + (-1) - + Logo

-1 1 1 proJ~V=(-::;-::;- )u=(-)(1,-1,0)=(--, -,0) u.u 2 2 2 2) Dados os vetores ~ = (1, 3, -5) e ~ = (4, -2, 8), decompor ~ como v = v 1 + v 2 , sendo ~ 1 II ~ e ~ 2 _L ~ . Solução a) Pela Figura 2.10 e por (10), temos

.v.uVI = prOJ~ V = ( -::;-::;- ) U u.u Como v. u = 1(4) +3(-2)- 5(8) = -42 e -

Figura 2.11

b) O ponto H é dado por H

B + BH sendo BH

projscBA

v. u

. -

3m=6

Mas BA. BC = (-3, -2, 1). (0, -6, 2) =O+ 12 + 2 = 14

e BC. BC = (0, -6, 2) • (0, -6, 2) O+ 36 + 4 = 40 Logo, 21 7 14 7 BH = (0, -6, 2) = (0, -6, 2) = (0, --, - ) 40 20 lO 10 e, portanto, 21 7 H= (2, 1, 1) + (0, - - , - ) 10 lO ou

H (2 __!_! _!2_) ' 10' 10

u.u =4 +(-2) +8 =84, vem -42 1 VI = 84(4, -2, 8) = -2(4, -2, 8) = (-2, 1, -4) b) Sendo ~ = ~~ + ~2, tem-se

V2= v -v, = (1, 3, -5)- (-2, I, -4) = (3, 2, -1) Observamos que ~ 2

~ pois

V2.U =3(4)+2(-2)-1(8)=0 3) Sejam os pontos A(-1, -1, 2), B(2, 1, 1) e C(m, -5, 3). a) Para que valor demo triângulo ABC é retângulo em A? b) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A.

Produto Escalar no Plano Todo o estudo feito neste capítulo em relação a vetores do espaço é válido também a vetores no plano. Considerando os vetores ~

AB.AC =0.

v = ( x 2 , y 2 ), temos

a) u. v = x 1 x 2 + y 1 y 2 ; b) validade das mesmas propriedades do produto escalar; c) se e é o ângulo entre u :t

Solução

a) Sendo Â ângulo reto, os vetores AB e AC (Figura 2.11) são ortogonais, isto é,

( x 1 , y 1) e

Õe

v :tÕ, então

cose= ~ • ~ ; lullvl

d) u l_ v se, e somente se, u • v = O; e) se a e ~ são os ângulos diretores de ~ , ~ :t

Õ, então

--Cap. 2

Produto escalar 65

64 Vetores e Geometria Analítica

Solução cos

a =~

lul

f) cos

a + cos 2 ~

e cos

~ = 21_ ·

a) WF= I F li d I cos

1~1'

Como e oo (ângulo entre F e d ). vem Wp= (10N)(10m)(l) = 100 J

= 1

.v.ug) proJ- v= ( -:::;--::;- ) u , com u e v não-nulos.

li • li

w ~"a =IFa li dI cos e

= 180° (ângulo entre =(8N)(l0m)(-1) = -80 J WP = I P I Id I c os e

e d ), vem

Como e

Uma Aplicação na Física

WF"

O produto escalar é uma importante ferramenta matemática para a Física, uma vez que inúmeras grandezas físicas são definidas com seu emprego, como por exemplo, o trabalho.

O trabalho realizado por uma força constante F ao longo de um determinado deslo-

da força

que realiza o trabalho é

WF" = (3N)(10m)(0) =O J )lo I

Neste exemplo, o trabalho resultante W R das quatro forças pode ser calculado de duas maneiras: a) pela soma algébrica dos trabalhos realizados pelas forças:

1F x 1= 1F 1c os e onde e é o ângulo entre a força e o deslocamento. A grandeza física trabalho, notada por W, é uma grandeza escalar e tem como unidade no Sistema Internacional o joule, notado por J. A expressão para o cálculo do trabalho W é

WF+ Wr,.

100 J - 80 J +0 J +0 J = 20 J

b) pelo trabalho realizado pela força resultante F R :

Como P + Logo,

wR= I

Exemplos

FN e P

(Figura 2.13) e

pela força resultante, para deslocar o bloco de A até B, sabendo que IF I = lON,

- -

IFa I= 8N, IPI= 3N, IFN I= 3N, d= AB e ldl =10m.

FR = F + Fa + P + FN (soma de vetores)

lJ = IN. lm (l Newton vezes um metro)

1) Calcular o trabalho realizado pelas forças constantes, F, F a,

+ WP + Wp!\

Figura 2.13

Como e= 90° (ângulo entre P e d ), vem

Como e= 90° (ângulo entre FN e d ), vem

Figura 2.12

W = IF I Id I cos

,----------,f?=:.

-Fx

me mostra a Figura 2. 12. Então,

)lo •

paralela ao deslocamento AB = d, confor-

W =F. d

WP = (3N)(l0m)(O) =O J

camento d é definido como o produto escalar desta força pelo deslocamento efetuado pelo corpo no qual a força está aplicada. Pode-se observar que a componente

-F

Fr-.:

=O , conclui-se que I

li dI cos e (e

I = 2N

Ü0 )

ou WR = (2N)(l0m)(l) = 20 J

2) Calcular o trabalho realizado pela força F para deslocar o corpo de A até B (Figura 2. 14), sabendo que

IFI= ION, IABI

ldl=20mee:::36,9°. Figura 2.14

Cap. 2

~ores e Geomet,;a Analitlca Solução

A Força F (Figura 2.15) é decomposta em F = 8 i + 6 j ,

n426N F

T+o

O trabalho realizado pela força F pode ser calculado por W =F . d (produto escalar)

=-·B

onde 8 = IF Icos e, 6 = IF Isen e e

Figura 2.15

w = (8 T + 6 w = 160 J

r ).

9) Calcular ~ • ~ + ~ • ; + ~ . w , sabendo que ~ + ~ +; = Õ, I~ I= 2, I~ I = 3 e Iw I= 5. lO) Os pontos A, B e C são vértices de um t~ângulo eqüilátero cujo lado mede 20 em. Calcular AB • e AB • CA . 11) O quadrilátero ABCD (Figura 2.16) é um losango de lado 2. Calcular:

c2o T + o j )

w = 1F 11 ct 1 cos e 13)

W = (I ON)(20m)( cos 36,9°) = 160 J

= (2a- 1, -2, 4). Determinar a de

~ = (-1, -2, 3), obter o vetor x tal que

~) ~

4) Determinar o vetor~. paralelo ao vetor

sabendo que

vetores~=

(2, 1, 1) e

(BC.~)~= ( ~ · ~) ~ ~ . ~ = -42.

= (2, -1, 3), tal que

I~ I= 5, ~é ortogonal ao eixo Ox, ~ ·

6) Determinar o vetor~. ortogonal ao eixo Oy,

= (3,

1, -2) e ~2

~. ~1

- 3~ ·

; = 6e

~',

sendo

= (-1, 1, 1).

I~ I= 2, I~ I= 3 e ~ . ~ = -1, calcular a)(~-3~). ~ c)(~+~). (~-4~) b)(2~-~). (2~) d)(3~ +4~). (-2~ -5~)

~2= -3,

~ =(1,2,-3), ~=(2,0,-1)e; =(3, 1,0),determinaro vetor x

tal que ~ . ~ = -16, ~ . ~ = O e ~ . w = 3. 8) Sabendo que

vi e (u+v). (u v ), sabendo que

I~ I = 4, I~ I = 3 e o ângulo entre ~ e ~ é de 60°. Sabendo que I uI , I v I= 3 e que ~ e v formam ângulo 3

c Figura 2.16

rad, determinar

-- -

b)l~ -2vl

2v ) I

I~ • v I ::;: I u li~ I (Desigualdade de Schwarz)

15) Qual o valor de a para que os vetores a = a i + 2 j

4k e

b = 2 T+ (I

- 2a) j + 3

sejam ortogonais?

;=i+2j.

7) Dadososvetores

f) BC.DA

modo que ~ . ~ = ( ~ + ~ ) • ( ~ +; ). 3) Dados os pontos A (4, O, -1), B (2, -2, 1) e C (1, 3, 2) e os

5) Determinar o vetor

c) BA.BC

.BC

b) I~ + ~I ::;: I~ I+ I v I (Desigualdade Triangular)

d) ( u + v ) • ( v - u )

+ ( AB.

e) AB.DC

14) Verificar para os vetores ~ = (4, -1, 2) e ~ = (-3, 2, -2) as desigualdades

c)(~+~).(~-~)

2) Sejam os vetores ~ = (2, a, -1), ~ = (3, 1, -2) e ;

b)AB.AD

a) I (2 u -v ) • ( u

1) Dados os vetores ~ = (2, -3, -1) e~ = (1, -1, 4), calcular

a) 3 ~ + 2 ~ =

Problemas Propostos a)2u.(-v) b) ( ~ + 3 ~ ) . ( ~ - 2 ~ )

a) AC.BD

12) Calcular I u + v I, lu

ou por

Produto escalar 67

16) Dados os vetores ~ = (2, 1, a), b =(a+ 2, -5, 2) e ~ = (2a, 8, a), determinar o valor de

a para que o vetor

-a + -b seja ortogonal ao vetor c- - a . ..

17) Dados os pontos A( -1, O, 5), B(2, -1, 4) e C(l, 1, 1), determinar x tal que AC e BP sejam ortogonais, sendo P (x, O, x 3). 18) Provar que os pontos A( -1, 2, 3), B( -3, 6, 0) e C( -4, 7, 2) são vértices de um triângulo retângulo. 19) Dados os pontos A(m, 1, 0), B(m - 1, 2m, 2) e C( 1, 3, -1 ), determinar m de modo que o triângulo ABC seja retângulo em A Calcular a área do triângulo. 20) Encontrar os vetores unitários paralelos ao plano yOz e que são ortogonais ao vetor v =(4, 1-2).

21) Determinar o vetor u tal que lu I= 2, o ângulo entre u e v= (1,-1, O) é 45° e u é ortogonal a w = (1, 1, 0).

-~----------

Cap.2

G o r e s e Geometria Analítica

36) Determinar um vetor unitário ortogonal ao eixo Oz e que forme 60° com o vetor i .

22) Seja o vetor v = (2, -I, 1). Obter

37) Determinar o vetor ~ de módulo 5, sabendo que é ortogonal ao eixo Oy e ao vetor

a) um vetor ortogonal a v;

b) um vetor unitário ortogonal a v ; c) um vetor de módulo 4 ortogonal a v .

---

~ é ortogonal ao eixo Oz, I~ I = 8, forma ângulo de 30° com o vetor

24) Demonstrar que sendo u , v e w vetores dois a dois ortogonais, então

e ângulo

obtuso com j ;

a)l~ + ~1 =1~1 2 +1~r2 . 2 2 2 b) I~ + ~ + ; 1 = I~ 1 + I~ 1 + I; 12 . 2

b) ~ é ortogonal ao eixo Ox, I~ I = 2, forma ângulo de 60° com o vetor

e ângulo

agudo com k.

25) Determinar o ângulo entre os vetores

u = (2, -I, -I) e v =(-I, -I, 2). U=(l,-2, l)e V=(-1, 1,0). ~

39) O vetor ~ é ortogonal aos vetores u

b) 26) Seja o triângulo de vértices A(3, 4, 4), B(2, -3, 4) e C(6, O, 4). Determinar o ângulo interno ao vértice B. Qual o ângulo externo ao vértice B? 27) Calcular os ângulos internos do triângulo de vértices A(2, 1, 3 ), B(l, O, -1) e C(-1·, 2, I). 28) Calcular o valor de m de modo que seja 120° o ângulo entre os vetores u = (1, -2, I)

- -

30) Se IuI= 4, Iv I= 2 e 120° o ângulo entre os vetores u e v, determinar o ângulo entre

-u + -v e -u - -v e construir uma figura correspondente a estes dados. d) IOB I e IOG I

b) OA.OD

e) EG.CG

í:

---

~_l--------~-~y Va

A/ a

32) Calcular os ângulos diretores do vetor v = (6, -2, 3). 33) Os ângulos diretores de um vetor a são 45°, 60° e 120°

I I I I

1,2),determinar proj\:u eproj~v.

T -3 j

+ 2 k sobre os eixos cartesianos x.

y e z. 42) Para cada um dos pares de vetores ; e ~ , encontrar a projeção ortogonal de ~ sobre a);= (1, 2. -2) e b)u=(l,l,l) e

F <f-LI_ _ __._G

c) OE .OB f)(ED.AB)OG g) o ângulo agudo entre a diagonal do cubo e uma aresta; h) o ângulo agudo formado por duas diagonais do cubo.

(3,0, l)e v

41 ) Determinar os vetores projeção de v = 4

c) ;

31) Seja o cubo de aresta a representado na Figura 2.17. Determinar: a) OA .OC

40) Dadososvetores u

1) e forma ângulo agu-

u e decompor v como soma de v1 com v2, sendo VJ // u e v:z_l u.

29) Calcular n para que seja de 30° o ângulo entre os vetores v = (-3, 1, n) e k.

= (1, 2, 0) e w = (2, O, . Determinar~ , sabendo que Iv I =

do com o vetor j

e v =(-2, I,m+ 1).

= T - 2 k , e forma ângulo obtuso com o vetor T.

38) Determinar o vetor v nos casos

----

23) Sendo a _i b, Ia I= 6 e Ib I= 8, calcular Ia + b I e Ia - b I.

Produto escala~

= (2, O, 0)

v= (3, -2, 1) v =(3,1,-1)

= (3, 5, 4)

d) ; (3, l, -3) e v (2, -3, 1) 43) Sejam A(2, 1, 3), B(m, 3. 5) e C(O, 4, 1) vértices de um triângulo (Figura 2.18). a) Para que valor demo triângulo ABC é retângulo emA? b) Calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC. c) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A.

Figura 2.18

Figura 2.17

e I~ I = 2. Determinar i . 34) Os ângulos diretores de um vetor podem ser de 45°, 60° e 90°? Justificar. 35) Mostrar que existe um vetor cujos ângulos diretores são 30°, 90° e 60°, respectivamente, e determinar aquele que tem módulo 1O.

d) Mostrar que AH _i BC. 44) Determinar o valor de k para que os vetores u = (-2, 3) e v = (k, -4) sejam a) paralelos; b) ortogonais. 45) Obter os dois vetores unitários ortogonais a cada um dos vetores a)

4i +3

b) (-2, 3)

c) (-1, -1)

tJ•re•

r--

Cap. 2

46) Determinar um par de vetores unitários e ortogonais entre si, em que um deles seja

- - -

paralelo a v = 6 i + 8 j . 47) Determinar, aproximadamente, o ângulo entre os pares de vetores a)

~ = (2, 1)

c) u = (1, 1) e v = (-1, 1) - - - Dados os vetores u = i - j e v = 2 i + j , determinar o módulo e o ângulo que os a) u

c) u + v d) u- v

- ---sobre u e decompor v como soma de v1 com v2, sendo v1 // u e v2 ..lu. a) u=(l,O)e v =(4,3) c) u = (4, 3) e v = (1, 2) b) u = ( 1, 1) e v = (2, 5)

50) Para cada um dos pares de vetores u e v , encontrar o vetor projeção ortogonal de v

Respostas de Problemas Propostos b)21

c)-4

ou (1, -1,

-J2)

o ângulo entre os vetores u = (2, 1) e

v =(l,a).

1) a)-2

J2)

ou (0,

22) a) Dentre os infinitos possíveis: (1, 1, -1) 1 1 1 b) Um deles:

e) v- u

49) Determinar o valor de a para que seja 45

19) m=leJ30 2 2 1 20) (0, 21) (1, -1,

seguintes vetores formam com o vetor i :

b) v

16) 3 ou -6 25 17) X=2 18) BA.BC =O

~ = (4, -2)

b) u = (1, -1) e v = (-4, -2)

48)

Produto escalar 71

e Geomet•la Analftlca

4 4 4 c) Um deles: ( r;;, r;;,- r;:;) -v3 -v3 -v3 23) 10 e 10 25) a) 120° b)l50° 26) 4SO e 135° 27) Â 50°57', Ê 28) o ou -18 29)

d)4

72°2 1

J30

30) are cos

2) a= --

57°1',

49°6 1

3) a) (3, 6, -9)

4) (-6, 3, -9) 5) (0, 3, 4) ou 6) (2, O, -1)

31) a) O

3' 3'

(0, 3, -4)

7) 8) 9) 10) 11)

x=(2,-3,4) a)7 b)38 -19 200 e -200 a)O b)2

12)

J37, Jl3 e 7

13) a) 37 15) -5

b) (-- -- 1)

32) c)-4

d) -181

d) 2

e) 4

f) -4

g) are cos

6 7 3

33) a

= are cos

(-) 7

= are

J50

= 65°

( J2, 1, -1)

35)

csJ3, o, 5)

36)

(~, ~

0) ou

(~, ~

cos (--) 7

34) Não, cos 2 45°+COS 2 60°+Cos 2 90° i:- 1 b)

J3 =54°44

3 I h) are cos (-) 3

a-/2 e aJ3

a =are cos (-)=:31° y

c)-2

c) O

=107

=70°31'

~ MAKRON

72 Vetores e Geometria Analítica

Books

(-2-JS,

37) ~=

--JS)

b) (0, 1,

38) a) (413, -4, O) 39) (-2, I, 4) 40 )

<9· -9, -9)

fj)

Produto Vetorial

(-5, 0' -5)

41) 4i,-3J, 2k I 42) a) VJ=(-3,

-3, 3),

10 4 I V2 =(3, -3, 3)

b) ~~=(!,I, l)e ~2 =(2,0,-2) c) ~~=(3,0,0)e ~2 =(0,5,4) d) ~~ = (0, O, O) (~e ~ são ortogonais) e ~2 = ~ 43)a)m=3 44) a) 45)

b)!____J26 26

8 3 3

3 4 - ) 5 5

a)(~,-~)

.,;2

(3 4)

5' 5

(-~,

.,;2

( 4

-5, 5

1::

3 4 4 3 ou ( 5' 5) e ( 5' -5) I

48) a) .fi, 45°

d).,; :J, are cos (-

a) O produto vetorial é um vetor, ao contrário do produto escalar u. v que é um escalar (número real). b) Para simplicidade de cálculo do produto vetorial, faremos uso de determinantes. Um determinante de ordem 2 e definido como

.,;2

b) are cos (- r;-;; ) .,;10 ~

(

r;:;)

47) a) are cos ( ~):::: 53° 5

-JS. are cos

b) ( r;-;; , r;-;; ) e (- r;-;; , - r;-;; ) .,;13 .,;13 .,;13 .,;13

Antes de definirmos produto vetorial de dois vetores u e v , faremos algumas considerações importantes:

b) -6

c) (r;;·- r;:;l e(- r;:;•

46)

Preliminares

c)H(2!_, 87 94) 26 26' 26

]s) =26°

-JS, are cos

(

= 108

1 -J5) =117

~:1

Por exemplo,

(3)(5) - (-4)(2)

Js) =63°

15+8

c) Algumas propriedades dos determinantes serão utilizadas nesta seção: c 1) a permutação de duas linhas inverte o sinal do determinante. Em relação ao exemplo anterior, temos

3, oo

I 49) 3 ou - ~ 3

-4 3

50) a) VJ = (4, 0), V2 = (0, 3) 7 7 3 3 b) VJ = ( 2' 2 ), V2 = (-2, 2)

51 2

(-4)(2) - (3)(5)

-8 - 15

-23

1 c) VJ

8 6 -) V2 5 '5 '

=(~

3 4 -) 5' 5

=(-~

c2 ) se duas linhas forem constituídas de elementos proporcionais, o determinante é zero (duas linhas iguais é um caso particular).

Cap. 3

Produto Vetorial 75

74 Vetores e Geometria Analítica

No determinante a seguir, os elementos da segunda linha são o triplo dos elementos da primeira:

-21

-6

O proouto vetorial de ~ por ~ também é indicado por ~

c3) se uma das linhas for constituída de zeros, o determinante é zero. Por exemplo,

I~ ~I

v e lê-se " u vetorial v ".

Observemos que a defmição de u x v dada em ( 1) pode ser obtida do desenvolvimento segundo o Teorema de Laplace (item d das Preliminares) substituindo-se a, b e c pelos vetores unitários i , j

(1)

e k , fato que sugere a notação

d) Um determinante de ordem 3 pode ser dado por a

xl X2

I Yt

uXv=x 1

xz Y2 Zz

A expressão da direita é conhecida como desenvolvimento do determinante pelo Teorema de Laplace aplicado à primeira linha. Notemos que os três determinantes de ordem 2 desta expressão são obtidos a partir das duas últimas linhas, desprezando-se nelas, pela ordem, a Iª coluna, a 2ª coluna e a 3ª coluna, trocando-se o sinal do determinante intermediário. Por exemplo, 3 -2 -4 1

-2

Exemplo Calcular u

para u

X V

=si

+4J +3k e v = i + k

Solução

(6-5)(3)- (2 + 10)(-2) + (1 + 6)(-4)

3+ = -1 =

24-28

uxv

Observação

=I~ ~I T I~ ~~T I~ ~lk +

= (4

Todas as propriedades dos determinantes acima citadas fizeram referência às linhas da matriz pelo fato de, no estudo do produto vetorial, haver menção somente a linhas. No entanto, estas propriedades valem também para as colunas.

+ z2

k, tomados

4) k

2j - 4k

Dispõe-se os dois vetores em linha, e repete-se pela ordem, as duas primeiras colunas. As

Chama-se produto vetorial de dois vetores

k e ~ = x2 T+ y 2 j

= 4i

O) i - (5 - 3) j + (O

Dispositivo prático para o cálculo de u

Definição do Produto Vetorial

por u x v , ao vetor

O símbohu à direita de (2) não é um determinante, pois a primeira linha contém vetores em vez de escalares. No entanto, usaremos esta notação pela facilidade de memorização que ela propicia no cálculo do produto vetorial.

5 =

u =xt T+ Ytj + Zt

(2)

y1 z1

nesta ordem, e se representa

três componentes de u x ~ são dadas pelos três determinantes, conforme está indicado a seguir. A vantagem do dispositivo é que não se corre o risco de esquecer a troca de sinal do determinante intermediário.

Cap. 3

Produto Vetorial 77

76 Vetores e Geometria Analítica

Tendo em vista que dois vetores são ortogonais quando o produto escalar deles é zero, basta mostrar que

I~ Levando-se em conta as considerações feitas sobre as propriedades dos determinantes, concluímos de imediato que: 1°)

-1>

v). u

IY2

- -:F -v x -u conclui-se que o produto vetori-

Por outro lado, como u x v

al não é comutativo (ao contrário do produto escalar: u. v = v . u ). Portanto, no produto vetorial a ordem dos fatores é importante.

= ~X

U=- ( UX

Figura 3.1

têm suas linhas constituídas por elementos proporcionais. Estão aí também incluídos os casos particulares: I)

11)

YJ YJ

I x1

X")

I i

,.;.

YJ + x,

O (primeira e segunda linhas iguais). U X V

Logo, u x ~ é ortogonal a u e a ~ . Como o vetor ~ x ~ tem a mesma direção de ~ X v (apenas seus sentidos são opostos), também ele é ortogores u x v e v x ~ ortogonais ao plano

determinado

por u e v.

V X U

Exemplos de produto vetorial de vetores paralelos: -1>

--+

b)(2u)x(-7u)= O

-1>

d) ( u- V)

Figura 3.2 -

Exemplo

(v- u) = 0

---- f)(5u)x0 =0

e)(2u +3v)x(6u +9v)

Dados os vetores u

(3, I, 2) e v

(-2, 2, 5), tem-se

c)(uxv)x(vxu) =O Sabemos que um vetor está bem definido quando conhecemos sua direção, seu senti-1>

do e seu comprimento. A seguir passaremos a definir o vetor u x v no caso de u e v serem não-nulos e não-paralelos.

Características do Vetor

Consideremososvetores u =(x 1 ,y 1 ,z 1 )e v =(x2,y 2 ,z 2 ). a) Direção de u x v O vetor u x v é simultaneamente ortogonal a u e v

I z,

na] tanto a ~ como a~. A Figura 3.2 apresenta os veto-

u X u = O (determinantes de ordem 2 com linhas iguais) - u x O = O (determinantes de ordem 2 com uma linha de zeros) ~

a) u X (3 u) = 0

y, Y2

De forma análoga, demonstra-se que ( u x v ) • v = O.

2°) u X v = O se, e somente se, u l/v, pois neste caso, todos os determinantes de ordem 2

I,, -

U X V

u x v implica troca de sinal de todos os determinantes de ordem 2, ou seja, troca de sinal de todas as suas componentes.

z, z2

V X u = - ( u X V ), isto é, os vetores V X u e u X V são opostos (Figura 3.1 ), pois a troca de ordem dos vetores no produto vetorial

(~X~). ~=0

Temos, então (u

(uxv). u

k uxv

-2

(L -19, 8)

(~X~).~=(l, -19, 8).(3, 1, 2)

3-19+16=0

(~X~).~=(l, -19, 8).(-2, 2,5)=-2-38+40=0

Cap. 3

Produto Vetorial 79

78 Vetores e Geometria Analítica

quaisquer é o vetor seguinte. Assim, neste dispositivo temos imediatamente

b) Sentido de u x v O sentido de u

(Figura 3.3(a)). Sendo

v poderá ser determinado utilizando-se a "regra da mão direita"

e o ângulo entre

~ e ~, suponhamos que ~ (1° vetor) sofra uma

X =- k (sentido horário). (sentido anti-horário) e, conseqüentemente, A tabela de dupla entrada apresenta as seis possibilidades com produto vetorial não-nulo:

~ . Se os dedos da mão direita forem dobrados na mesma direção da rotação, então o polegar estendido indicará o sentido de ~ x v . rotação de ângulo

e até coincidir com

U X V

-k

o -i

c) Comprimento de u x v

Se e é o ângulo entre os vetores ~ e v não-nulos, então

I~ x ~ l=l~ll~lsene V X U

(a)

(3)

Este resultado será imediato quando se conhece a Identidade de Lagrange: (b)

(4) Figura 3.3

Como

A Figura 3.3 (b) mostra que o produto vetorial muda de sentido quando a ordem dos veto-

I~ X~ 1

res é invertida. Observemos que só será possível dobrar os dedos na direção de ~ para ~ se invertermos a posição da mão, quando então o dedo polegar estará apontando para baixo.

Caso tenhamos dúvidas sobre o sentido de ~ x ~, podemos associar estes dois veto-

u x v , com i x j e tendo em vista que

1~1 2 1~1 2 - (~. ~) 2

= (0, O,

= k,

(5)

~ • ~ == I ~ 11 ~ I cos e a igualdade (4) pode ser escrita como I u X v 12 = I u 12 1~ 12 I u 12 1v 12 cos 2 e

o sentido de k daria o sentido de u X v . Da mesma forma temos

e kx i Na Figura 3.4 apresentamos um dispositivo mnemônico para lembrar os seis produtos vetoriais possíveis com estes três vetores unitários que determinam o sistema cartesiano. Associando estes vetores a três pontos distintos de uma circunferência, e adotando o sentido anti-horário, o produto vetorial de dois vetores sucessivos

zl Z2

= (xt + y~ + + +z~) - (x 1x 2 + y 1y 2 + (6) a identidade (4) poderá ser verificada desenvolvendo-se os membros da direita de (5) e (6) e constatando sua igualdade (a cargo do leitor). Tendo em vista que

o o o

I X1

zt 1 I X y 1 Y2 + 1 X2 Z2 I + X2 Y2 2 2 2 (y 1z2-y 2Z 1) + (xl z2-x2zJ) + (xly 2-x2y 1)

res a uma dupla de vetores unitários escolhidos entre i , j e k . Por exemplo, associando

i Xj

2 I Y1

= I~ 12 1~ 12 (1 - cos 2 e)

= I~ 12 1v 12 sen2 e Extraindo as raízes quadradas e notando que sen e :2:: O (pois 00 ~ e Figura 3.4

I ~ x ~ I = I~ I I ~ I sen e.

1800), obtemos

Cap. 3

Produto Vetorial 81

80 Vetores e Geometria Analítica

Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial

2) Para quaisquer vetores u, v, w e o escalar a, são válidas as propriedades (U+V)X; =(~X;)+(~X;)

Observando que no paralelogramo determinado pelos

11) a(ux~)=(a~)x v

vetores não-nulos u e v (Figura 3.5), a medida da base é I~ I e da altura é I~ I sen ralelogramo é

-u.(vxw)=(uxv). - - -wu x(av)

IH)

e, a área A deste pa-

As demonstrações destas propriedades, todas ligadas à aplicação da definição ( 1) e de propriedades dos determinantes além das citadas no texto, deixamos a cargo do leitor · como desafio.

A= (base) (altura)= I~ li~ I sen e ou seja, Figura 3.5

(7)

A=lu X vi

ux(v+w)=(uxv)+(~X;)e

Exemplos 1) Determinar o vetor x, tal que x seja ortogonal ao eixo dos y e

O resultado dado em (7) poderá ser expresso por: "a área do paralelogramo deter-

= (1,

minado pelos vetores ~ e v é numericamente igual ao comprimento do vetor ~X~ ". Va~os ~mp~ovar _:ste resultado por meio de um exemplo particular tomando os

Solução

vetores u = 2 i e v= 3 j . Temos, então

Como x

u X V=

= (0,

O, 6)

(1, 1, -1)

U X V

~1=6

i X (j Xj ) = i X Ô =

(x, O, z).

equivale a

-1

= (z, -x + 2z, -x). Pe{ ~;n:i:;~~~igualdade de dois vetor~ resulill o sistenm

determinado por ~ e ~ tem 6 u.a. (unidades de área) e o

(lXJ)XJ =kXJ =-l enquanto que

(1, 1, -1)

A Figura 3.6 mostra claramente que o paralelogramo vetor u x v tem 6 u.c. (unidades de comprimento). Quer dizer, numericamente estas medidas são iguais. Para encerrar o estudo do produto vetorial, as conclusões finais: 1) O~pr~duto ~etor~l nã(~ é ~sociativo, isto é, em geral

x x v, sendo

(uxv)x w 1:- u x(vxw) Basta considerar, por exemplo,

= 6k

(2, -1, 1).

Oy, ele é da forma ~

Então, u

1, -1) e v

cuja solução é x

Figura 3.6

1e z

Portanto, x = (1, O, 1). 2) Sejam os vetores ~ =(I,- 1, -4) e ~

(3, 2, -2). Determinar um vetor que seja

a) ortogonal a ~ e v; b) ortogonal a ~ e ~ e unitário; c) ortogonal a u e v e tenha módulo 4; d) ortogonal a

~ e v e tenha cota igual a 7.

r Cap. 3

82 Vetores e Geometria Analítica

Solução

3) Seja um triângulo eqüilátero ABC de lado 10. Calcular I AB X AC I.

a) Sabe-se que o vetor u X v é simultaneamente ortogonal a u e v . Como multiplicar um vetor por um número real não altera a sua direção, todos os vetores do tipo .......

a ( u x v ), a E R, são também ortogonais a u e v . Portanto, este problema tem infinitas soluções. i

Solução É uma aplicação direta da relação (3):

IAB

!AB x AC! = IIACI sen Â Como Â = 60° (Figura 3.7), vem

uxv= 1

-1

-4 = (10, -10, 5)

-2

IAB

J3 = x -ACI = (10)(10)(-) 2

r;; 50-v3.

Observação

Logo, as infinitas soluções são a (10, -10, 5), a E R

Figura 3.7

Este resultado representa a área do paralelogramo determinado pelos vetores AB e AC . Logo, a área do triângulo da figura é a metade, ou seja, 25J3 .

Observação

Se chamarmos de x = (x, y, z) todos os vetores ortogonais a u e v, estas mesmas soluções seriam obtidas resolvendo-se o sistema.

{X - y - 4 Z= 0

; . ~ = 0 { -x. -v =0

3x + 2y - 2z

b) A partir de u x v (ou de qualquer a (u X v), a

-:1:-

0), obtém-se dois vetores unitários:

~I = ~ = (10, -10, 5) = ( 3_ _3_ _!_) I~ x ~I 15 3' 3' 3

4) Dados os vetores ~ = (1, -L 1) e v = (2, -3, 4), calcular a) a área do paralelogramo determinado por u e v;

b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor u.

Solução a) Sabemos de (7) que a área A é dada por A

lu X vi

Como

e -

uxv

U2 =-UI =(-3, 3' -3 ).

c) Para obter um vetor de módulo 4 que seja ortogonal a ~ e v , basta multiplicar por 4 um vetor unitário: 2 2 1 8 8 4 4 (3, -3, 3)=(3, -3, 3). ou 2

4(-3,

2 3'

-3) =(-3, 3' -3 ).

d) Dentre as infinitas soluções a(l O, -10, 5) = (1 Oa, -10a, 5a), deseja-se aquela cuja cota é 7. Então, 5a = 7, ou seja, a= 7

Produto Vetorial 83

- (10, -10, 5) = (14, -14, 7). 5

2. Logo, temos a solução 5

-1

-3

(-1,-2,-1) U X V

tem-se A

.J6 u.a (unidades de área).

1(-1, -2, -1)1

b) A Figura 3.8 ilustra outra vez o significado geométrico de I~ x ~ I e indica a altura h que se pretende calcular. De A= (base)(altura) =I uI. h vem A h= -:::;lu I

lux vi

Figura 3.8

\\\ Cap. 3

Produto Vetorial 85

84 Vetores e Geometria Analítica

~(a

ou seja

h=__)}__=~= J2 u.c. 1(1, -1, 1)1 "3

J6i

Elevando ambos os membros ao quadrado e ordenando os termos, vem

(unidades de comprimento).

a 2 2a + 1 + 4 a 2 + 4a + 1 + 9 = 62

5a 2 +2a 51=0

5) Determinar a distância do ponto P(5, 1, 2) à reta r que passa por A (3, 1, 3) e B (4, -1, 1). donde

Solução

Seja da distância do ponto P à reta r (Figura 3.9). Os vetores AB e AP determinam um paralelogramo cuja altura relativa à base AB é a distância d de P a r. Logo, de acordo com o problema anterior, temos d= IABx API

P________________ i

IABI

Como AB = (1, -2, -2), AP= (2, O, -1) e i

ABX AP=

-2

-2 = (2, -3, 4)

-1

B Figura 3.9

17 5 7) Dados os pontos A(2, 1, 1), B(3, -1, 0) e C(4, 2, -2), determinar a) a área do triângulo ABC; b) a altura do triângulo relativa ao vértice C.

Solução a) A Figura 3.1 O mostra que, a partir do triângulo ABC, é possível construir um paralelogramo ABDC, cuja área é o dobro da área do triângulo. Como o paralelogramo é determinado pelos vetores ~

AB e AC , conclui-se que a área A do triângulo é

vem

Figura 3.10

1~-

d = 1(2, -3, 4)1 = J4+ 9 + 16 = 1(1, -2, -2)1

-J1 + 4 + 4

AA = -IAB X ACI

fi9 u.c.

do paralelogramo determinado por ~ e ~ seja igual a

Mas AB = (1, -2, -I),

J62.

ABxAC

= (2, 1, -3)

k -2

-1

= (7, 1, 5)

-3

Logo,

l~x~I=J62 k

-1 =(a - 1, -2a- I, -3)

-1

1 -1(7, I, 5)1

l(a - I, -2a - I, -3)1 =

5 J3 u.a. 2 b) A altura do triângulo indicada na figura é a mesma do paralelogramo de base AB. Como a área A do paralelogramo é A= (base) (altura)= b. h, vem Ail

Mas u X v=

Solução A área A do paralelogramo é dada por

A=luxvl Deseja-se que

6) Dados os vetores ~ = (2, 1, -1) e ~ = (I, -1, a), calcular o valor de a para que a área

- 1) + (-2a - 1) + (-3) =

J62

IAB x ACI

J75

u.c.

Cap. 3

Produto Vetorial 87

86 Vetores e Geometria Analítica z

Observação

Uma Aplicação na Física

-'t= -r

onde I r I é a distância do ponto de aplicação da força F

ao eixo de rotação, ao qual o corpo está vinculado. Lembrando o cálculo do módulo do produto vetorial visto em (3) tem-se

- - -

oncte e é o ângulo entre ; e

(3 v )

d)( ~ X ~ ) X ( ~ X ~ ) 2) Efetuar

- (emmetros), F=lüi (em

a) i x k

newtons) e o eixo de rotação é o eixo z.

Solução O vetor torque, para o caso desta figura, é

b) j

c )(3 i ) Figura 3.11

=(O

T+ 2 r+ ok )m X (lO T+o j

- = (O i + Oj ~

+ Ok)N

- 20 k )mN

T. ( j

A intensidade (módulo) do torque pode ser calculado por I't I = I r li F I sen

e = (2m)(l ON) (sen 90°) = 20mN

V) X W

-+ v). v

UX V

U X W

f)(uxv)x w

j) ( u

g) u

k) (u x v). w

(v X W)

h) ~ X (v+ w)

1) ~. (~X

e) (3 T)

i)(ixr)xk

. (2 j

)

;

j)(ixr)x r

(2 k )

g) i • ( j

i )

k) i

X k)

h) j . ( j X

1) ( j X k) . i

X (

3) Dados os pontos A(2, 1, -1), B(3, O, 1) e C(2, -1, -3), determinar o ponto D tal que AD

= BCxAC.

a) {

b){-

r =k

~. (4 T _2 r+ k)

= 20mN

)

f) (3 i ) X (2 j )

6) Dados os vetores ~

ou por

~(- 20) 2

-kew = - T + k , determinar

4) Determinar o vetor x tal que x • (1, 4, -3) = -7 e x x (4, -2, 1) 5) Resolver os sistemas

- = (-20k- )mN

I:( I=

Figura 3.12

(2 i )

dado por

e) ( u

c)(uxw)+(wxu)

- - ondeAB =r =2j

Problemas Propostos 1) Se ~ ==d T - r - 2 k ' v =2i+4j

b) (2 v )

Calcular o torque sobre a barra AB (Figura 3.11),

a) lu x uI

Exemplo

F= -1 OT (em newtons ), o torque é dado por

1= (20k )mN.

x F

I 't I = I r I IF I sen

F seja invertida (Figura 3.12), isto é,

Caso a força

O produto vetorial é uma importante ferramenta matemática utilizada na Física. Dentre algumas de suas aplicações pode-se citar o torque. O torque é uma grandeza vetorial, representado por 't , e está relacionada com a possibilidade de um corpo sofrer uma torção ou alterar seu movimento de rotação. A equação para o cálculo do torque é

= 10

= (3,

- -

que x _L w e x x u = v .

- - =-

(2 ~i - j + 3 k)

~.c T + 2 r- 2 k)

1, 1), v= (-4, l, 3) e w

= (3, 5, -2). 0

= 12

= (1, 2, 0), determinar

-x de modo

Cap. 3

88 Vetores e Geometria Analítica

17) Dados os vetores u = (3, -1, 2) e v = (-2, 2, 1), calcular

7) Levando em conta a Figura 3.13, calcular a) OF x OD

a) a área do paralelogramo determinado por u e v;

d) EÇ x EA

b) ACx FA

e) OA.(OCxOE)

c)ABxAC

f) GB x AF

b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor v. 18) Mostrar que o quadrilátero ABCD de vértices A(4, 1, 2), B(5, O, 1), C(-1, 2, -2) e D (-2, 3, -1) é um paralelogramo e calcular sua área. 19) Dois vértices consecutivos de um paralelogramo são A(2. -4, 0) e B< I, -3, -1) e o ponto médio das diagonais é M (3, 2, -2). Calcular a área do paralelogramo.

V = (1, -2, I), ~ = (1, I, 1) e ; (1,0,-1). a) Utilizar o produto escalar para mostrar que os vetores são, dois a dois, ortogonais. Figura 3.13 b) Utilizar o produto vetorial para mostrar que o produto vetorial de quaisquer dois deles é paralelo ao terceiro vetor.

8) Sejam os vetores

c) Mostrar que ~

X (

X ;

)

20) Calcular o valor de m para que a área do paralelogramo determinado por u = (m, -3, 1) e v

a) a área do triângulo determinado por u e v;

u = (-3, 2, 0) e v= (0, -1, -2). 1O) Obter um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos A(2, 3, 1), B(l, -I, 1) e C(4, I, -2).

~2 e ~3 de modo que os três sejam mutua-

12) Dados os vetores ~ = (1, 1, 0) e ~ = (-1, I, 2), determinar

b) a área do paralelogramo determinado por u e(- v);

22) Calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v, sabendo que

23) 24)

25)

13) Determinar um vetor de módulo 2 ortogonal a ~ = (3, 2, 2) e a ~ =(0,1,1). 14) Com base na Figura 3.14, calcular A

a) IAB x ADI

26)

b) lBA x BCI c) IAB x DCI

27)

d) IAB x CDI

28)

e) IBD xACI f) IBD x CDI

15) Sendo a) I

I~ I = 2.J2, I~ I = 4 e 4SO o ângulo entre ~ e ~ , calcular

b) -ux -v I -~

12 5

16) Determinar ~ . ~,sabendo que I~ X ~I= 12, I~ I= 13 e ~ é unitário.

Figura 3.14

c) a área do paralelogramo determinado por u + v e u - v.

a) um vetor unitário simultaneamente ortogonal a ~ e ~ ; b) um vetor de módulo 5 simultaneamente ortogonal a ~ e ~ .

9) ~eterminar um v_:tor simultaneamente ortogonal aos vetores ~ + 2 ~ e ~ - u, sendo

(1, -2, 2) seja igual a

21 ) Sabendo que I u I = 6, I v I = 4 e 30° o ângulo entre u e v, calcular

li) Dado ~~ = (1, -2, 1), determinar vetores mente ortogonais.

Produto Vetorial 89

29)

........

suas diagonais são u +v = (-1, 3, 4) eu -v = (l, -1, 2). Calcular a distância do ponto P(4, 3, 3) à reta que passa por A( I, 2, -I) e B(3, I. 1). Calcular a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC, sendo dados a) A(-4, I, I),B(l,O, l)eC(O, 1,3) h) A(4,2, l),B(l,O, l)eC(l,2,0) Encontrar um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos P, Q e R e calcular a área do triângulo PQR. a) P(3, O, 0), Q(O, 3, 0), R(O, O, 2) b) P(2. 3, 0), Q(O. 2, I), R(2, O, 2) Calcular sabendo-se que A (2, O, 0), B(O, 2, 0) e C(O, O, :) são vértices de um triângulo de área 6. Dados os pontos A(2, I, -1) e B(O, 2, 1), determinar o ponto C do eixo Oy de modo que a área do triângulo ABC seja I ,5 u.a. Sabendo que os pontos A(4, O, 0), B(O, O, 2), C(O, 3, 0) e D(4, 3, -2) são coplanares, calcular a área do quadrilátero ABCD. Os pontos médios dos lados do triângulo ABC são M((), I, 3), N(3, -2, 2) e P( I. O. 2). Determinar a área do triângulo ABC.

Respostas de Problemas Propostos l) a)O d) Õ g)(-6,-20, I) h) Õ e) (-5, O, -5) h) (8, -2. 13) i) (8, -2, 13)

j)O k) 5 I) 5

Cap. 3

Produto Vetorial 91

90 Vetores e Geometria Analítica

2) a) - j

b)-2k

t)6k

j)- i

c) -6 j

g) O

d) I h) O 3) D (-4, -1, 1)

e) O

1) 1

27)

c (0, 1, 0)

28) 2J61

(-4, 2, -6)

6) Não existe ~ pois ~ não é ortogonal a ~ . 7) a) (-a b) (-a

2 2

, ,

-a -a

2 2

x ( ~- ~) = (-12, -18,

1 I l 12) a)(../3,-../3'../3) b) ( 5 5 5 .fj'-../3'../3)

14) a) 2../3 b) 2../3 15) a)16

~ 1 = (1, -2, 1), ~ 2

= (1,

l 1 1 (-../3, ../3'-../3)

(0, -.fi, .fi)

J3 ' J3 ' ·- J3 )

c) O d)

b)~ 5

18)

JiO

.Jl22

19) 2.J74 o ou 2 21) a) 6 20)

22)

23)

J35 J65 3

16) 5ou-5

17) a) 3-Jiü

AC = (12, -3, 10)

11) Uma das infinitas soluções:

13) (0, .fi, -.fi)

29) e) a3

a2 )

d) (-a 2 , -a 2 , -a 2 )

9) Um deles: ( ~ + 2 ~ )

10) Um deles: AB

c) (0, O,

)

b) 12

2J35

b) 7 e 7

2 E

R e

3f0 2

26) 4 ou -4

x=(3,-1,2)

5) a) x = (1, -3, O)

25) a) t (2, 2, 3), t

r;;;:

~4) a)-v35

c) 24

1, 1) e

~ 3 =(-1, O, I)

4.fi

5 C (0, -,O) 2

b)t(l,4,6),tER e

.[53 2

94 Vetores e Geometria Analítica

MAKRON Books

Exemplo Calcular o produto misto dos vetores u = 2 i + 3 j + 5 k , v = - i + 3 j + 3 k e

Produto Misto

w =4i -3j +2k.

Solução (u, v, w)

-1

-3

Propriedades do Produto Misto Definição Chama-se produto misto dos vetores u = x 1 i + e w =

T+

+ z 1 k, v= x2 i + y 2 j + z, k

tornados nesta ordem, ao número real u . (v

As propriedades do produto misto decorrem, em sua maioria, das propriedades dos determinantes. I) O produto misto (~,~,;)muda de sinal ao trocarmos a posição de dois vetores.

w ).

Em relação ao exemplo anterior onde ( u , v , w ) = 27, teríamos

O produto misto de ~ , ~ e w também é indicado por ( u , v , w ). Tendo em vista que

k vxw = x2 x3

Y2 Y3

I y,

z,.l

i -

I X2

I x, x3

(v, u, w) = -27 (permuta de u e v) ( w, v, u) = -27 (permuta de u e w)

( u, w, v)= -27 (permuta de v e w) Se em qualquer um destes três últimos produtos efetuarmos nova permutação de dois vetores, o produto misto resultante volta a ser 27.

É o que acontece com ( v , w , u ) = 27, onde no primeiro deles permutamos ~ e w .

vem -

u. (v x w)

=x 1

- yI

x2 x3

+ zl

I x3 X'-

Então, se em relação ao produto misto ( u , v , w ) ocorrer a) uma permutação- haverá troca de sinal; b) duas permutações - não altera o valor. Resulta desta propriedade que os sinais . e x podem ser permutados, isto é,

Y2 Y3

e, portanto, xl

u. (v X w)

Yt Y2 Y3

u .(vxw)=(uxv). w

zl z2

(l)

pois (uxv). w= w .(uxv)=(w,u,v)=(u,v,w)= u .(vxw)

li)

(u+x, v,w)=(u,v,w)+(x,v,w) (u,v+x,w)=(u,v,w)+ (u,x,w)

(u,v,w+x)=(u,v,w)+(u,v,x)

---

III) (a u , v , w ) = ( u , a v , w ) = ( u , v , a w ) = a ( u , v , w )

Cap. 4

Produto Misto 95 96 Vetores e Geometria Analítica

IV)

( u , v , w ) = O se, e somente se, os três vetores forem coplanares. Admitindo-se que ( u, v, w)

= O,

isto é, 2

ou seja,

- - = -- - - vetor v X w é também ortogonal a v e w . Assim

~xw

u . ( v Xw ) O, conclui-se que ( v X w ) j_ u . Por outro lado, no estudo do produto vetorial vimos que o

-I

Figura 4.1

Reciprocamente, admitindo-se que u , v e w

e w , é também ortogonal a u .

Ora, se u e v x w são ortogonais, o produto escalar deles é igual a zero, isto é, U, (V X W)

= (U, V,

Observação A equivalência da propriedade IV continua válida em situações particulares, tais como: a) se pelo menos um dos vetores é nulo (o determinante ( 1) é zero por ter uma fila de zeros e os três vetores são coplanares); b) se dois deles forem paralelos (o determinante ( 1) é zero por ter duas filas de elementos proporcionais ou iguais e os três vetores são coplanares).

Exemplos

-1

2 - 2m - 12 + m = O e, portanto, m = -10 3) Verificar se os pontos A(l, 2, 4), B(-1, O, -2), C (0, 2, 2) e D(-2, 1, -3) estão no mesmo plano.

v e w, estes são coplanares (Figura 4.1 ).

x w , por ser ortogonal a v

sendo, como v x w é ortogonal aos três vetores u ,

sejam coplanares, o vetor v

-I

1) Verificar se são coplanares os vetores u = (2, -1, 1), v= (1, O, -1) e w = (2, -1, 4). Solução Como

Solução Os quatro pontos dados são coplanares se forem coplanares os vetores AB

(Pigu:0~:~ ~~~:~~~~~ ~;ve; te; ~O, -3 -1 os pontos dados são coplanares.

-7

/<Ecl Figura 4.2

Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto

x; )

(u, v, w) 2

Geometricamente, o produto misto ~ . ( ~ é igual, em módulo, ao volume do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores nãocoplanares~, ~ e ; (Figura 4.3). ~área da base do paralelepípedo é I v x w I.

-I

-1 =3:;t:O

-I

os vetores não são coplanares. 2) Qual deve ser o valor de m para que os vetores u w = (-1, 3, -1) sejam coplanares?

Solução Para que u , v e w sejam coplanares deve-se ter (u,v,w)=O

(2, m, 0), v

1, 2) e

AC e AD

Seja 8 o ângulo entre os vetores ~ e v X w . Sendo ~ x ; um vetor ortogonal à base, a altura será paralela a ele, e, portanto, h = I ~ I I cos8 I Figura 4.3

Cap. 4

Produto Misto 97 98 Vetores e Geometria Analítica

(É necessário considerar o valor absoluto lcos 91, pois Então, o volume V do paralelepípedo é V= (área da base) (altura)

e pode ser um ângulo obtuso). Volume do Tetraedro Sejam A B, C e D pontos não-coplanares. Portanto, os vetores AB , AC e AD também são não-coplanares. Em conseqüência, estes vetores determinam um paralelepípedo (Figura 4.4) cujo volume é

I~ x w li~ llcos 91 = 11 ~ 11~ x ; 1cos e1 =I~ • ( ~ x; )I onde a última igualdade decorre da relação (2) do Produto Escalar. Portanto,

V = I ( AB , AC, AD ) I. Este paralelepípedo, por sua vez, pode ser repartido em dois prismas triangulares de mesmo tamanho (conforme figura) e, portanto, o volume vp de cada prisma é a metade do

'' <:\--------- ~ -~ D ,''

111

,,'','

-:"'... volume V do paralelepípedo (V =_!_V).

Exemplo Sejam os vetores

(3, m, -2),

~ = (1, -1,

0) e ;

===_

(2,_-1,

2~ Calcular o valor ~em para

que 0 volume do paralelepípedo determinado por u, v e w seja 16 u.v. (umdades de volume).

Solução

Por outro lado, da Geometria Espacial sabemos que o prisma pode ser repartido em três pirâmides de mesmo volume, sendo uma delas o tetraedro ABCD. Assim, o volume vt do tetraedro é um terço do volume do prisma, isto é,

_,_---' i

~,,'

,. ......

Figura 4.4

V = _!_V = _!_ (_!_V) t 3 p 3 2 ou

O volume do paralelepípedo é dado por V l(u,v,w)l e, no caso presente, deve-se ter

l(u,~,;)l=16 Sendo

3 m -2

-1

2 -1

(u, V, w)=

=-2m- 8

SejamA(l, 2, -1), B(5, O, 1), C(2, -1, 1) eD(6, 1, -3) vértices de um tetraedro. Calcular a) o volume deste tetraedro; b) a altura do tetraedro relativa ao vértice D.

vem

I -2m - 8 I= 16,

Solução

que, pela definição de módulo, implica duas hipóteses:

-2m 8=16

= -12

a) O volume do tetraedro é dado por

-2m-8=-16

=i/ (AB, Ac, AD) /

Mas

e, portanto,

Exemplo

m=4

-2

(AB, AC, AD) = 1

-3

2 = 36

-1

-2

-:~

,...... Cap. 4

Produto Misto 99

Portanto, o volume do tetraedro é

6) Determinar o valor de k para que sejam coplanares os vetores

V::::-.36::::6u.v.

b) Observemos na Figura 4.4 que a altura do tetraedro traçada do vértice D e a propna altura do paralelepípedo de base determinada por paralelepípedo é dado por V = (área da base) (altura)

= IAB

e AC . Como o volume V do

x ACI.h

= (2,

-1.

k),

= (k, 3, k)

(1, O, 2) e ;

9) Qual o volume do cubo determinado pelos vetores i , j

e k?

10) Um paralelepípedo é determinado pelos vetores ~ = (3, -1, 4 ), ~ = (2, O, 1) e

-w = (-2, 1, 5). Calcular seu volume e a altura relativa à base definida pelos vetores u e v .

Mas,

11) Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores

k ABxAC

-2

-3

Vi= (0, -1, 2), (2, -6, -10)

Ki-~6.

-lo)!-

= (3, -1,

1), v= (1, 2, 2)

a)(~.~,;)

e_~_= ~2, O, -3), calcular

b)(w,u,v)

c) ( w , u , v ) · - d) v • ( w x u )

b) ( -v , u , w )

3) Sabendo que ~ • ( ~ x;) = 2, calcular a) -u • (

b) -v • ( w

x -. v ) X

) u c ) (.. v X w .•

e) ~. (2 W X V)

d) ( U

f) ( ~

X W ) • (3 . V )

+ ~ ). . ( ~ X W

)

4) Sabendo que ( ~.;, ~) = 2 e ( ~,;, ~) = 5, calcular

a)(~,x,-w)

b)(3~.3w,-2~)

c)(2~ +4v, w, x)

5) Verificar se são coplanares os vetores

a) ~ =(1, -1, 2), ~ = (2, 2, 1) e ; (2, -1, 3), ~

(3, 1, -2) e w

= (-2, O, -4)

= (7, -1, 4)

d)(5u

16) Sabendoqueosvetores AB=(2, 1,-4), AC=(m,-1,3)e AD =(-3, 1,-2)determinam um tetraedro de volume 3, calcular o valor de m. 17) Três vértices de um tetraedro de volume 6 são A(-2, 4, -1), B(-3, 2, 3) e C(l, -2, -1). Determinar o quarto vértice D, sabendo que ele pertence ao eixo Oy. 18) Calcular a distância do ponto D(2, 5, 2) ao plano determinado pelos pontos A(3, O, 0), B(O, -3, O) e C(O, O, 3).

2) Sabendo que ( ~, ~,;) = -5, calcular a) ( -w , -v , u )

•

para que o volume do paralelepípedo determinado por AB , AC e AD seja 25 u. v. 14) Representar graficamente o tetraedro ABCD e calcular seu volume, sendo A(l, 1, 0), B(6, 4, 1), C(2, 5, 0) e D(O, 3, 3). 15) Calcular o volume do tetraedro de base ABC e vértice P, sendo A (2, O, 0), B (2, 4, 0), C(O, 3, 0) e P(2, -2, 9). Qual a altura do tetraedro relativa ao vértice P?

Problemas Propostos 1) Dados os vetores~

(-4, 2, -1) e VJ= (3, m, -2) seja igual a 33. Calcular a altura

deste paralelepípedo relativa à base definida por v 1 e v 2

V2=

12) O ponto A(l, -2, 3) é um dos vértices de um paralelepípedo e os três vértices adjacentes são B(2, -1, -4 ), C( O, 2, O) e D( -1, m, 1). Determinar o valor de m para que o volume deste paralelepípedo seja igual ao 20 u.v. (unidades de volume). 13) Dados os pontos A(2, 1, 1), B( -I, O, I) e C(3, 2, -2), determinar o ponto D do eixo Oz

e, portanto,

b) u

b) U=(2,k, 1), V=(l,2,k)e W =(3,0,-3) 7) Verificar se são coplanares os pontos a) A(l,1,0),B(-2, l,-6),C(-1,2,-l)eD(2,-1,-4) b) A(2, I, 2), B(O, 1, -2), C(l, O, -3) e D(3, 1, -2) 8) Para que valor demos pontos A(m, 1, 2), B(2, -2, -3), C(5, -1, 1) e D(3, -2, -2) são coplanares?

- -

tem-se

h:::::

100 Vetores e Geometria Analítica

3v,2w,x)

19) Sendo I u I= 3, Iv I= 4 e 120° o ângulo entre os vetores u e v, calcular c) o vo~me ~o ~aral~lepípedo determinado a) 1~ + ~ 1 por u X v, u e v. b) I~ X ( v - u )I

I....-

Cap. 4

Produto Misto 101

§o:.

MAKRON Books

20) Determinar m e n para que se tenha a) (m, n, 2). (4, -1, 3) = -2 b) (m, n, 2) x (4, -1, 3) = (8, -1, -11) c) (m, n, 2). ((3, 1, 2) X (0, 1, -1)) = 9

A Reta

Respostas de Problemas Propostos 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

a)-29 a) 5 a) -2 a) 2 a) Não a) 6 a) Sim m=4

b)-29 b) 5 b) 2 b) -36 b) Sim b) 2 ou -3 b) Não

c) -5 c) 2 c) 24

d) -5 d)-6 d) -lO

lO) 17 e

m=-_!2 e 4

nulo v= (a, b, c). Só existe uma reta r que passa por A e

h=~

tem a direção de~ .~Um ponto@(x, y, z) pertence a r se,

J89

12) 6 ou 2 13) D(O, O, -10) ou D(O, O, 15) 19 14) -u.v. 2 15) 12 u.v. e 9 u.c. 17 19 16) m = - - ou m 2 2 17) D(O, 2, O) ou D(O, -4, O) 4 18) fju.c. 19) a) Jl3 20) a) n = 4m + 8

Vetorial da Reta

'Consideremos um ponto A( x 1 , y 1 , z 1 ) e um vetor não-

f) -2

~Equação

__!2_

11) m=4

e) -4

6J3

b) m = 3 e n = 2

e somente se, o vetor AP é paralelo a v (Figura 5. 1), isto é, AP= tv para algum real t. De (1), vem

(1) Figura S. I

P-A=tv ou P =A+ tv ou, em coordenadas c) 108 u.v. c)n=m+ 1

(2) (3)

Qualquer uma das equações (1), (2) ou (3) é denominada equação vetorial de r. O vetor v é chamado vetor diretor da reta r e t é denominado parâmetro.

Exemplo A reta r que passa por A( 1, -1, 4) e tem a direção de v = (2, 3, 2), tem equação vetorial, de acordo com (3):

I..-

Cap. 5

A reta 105

104 Vetores e Geometria Analítica

r: (x, y, z) = (1, -1, 4) + t(2, 3, 2) onde (x, y, z) representa um ponto qualquer de r.

(4)

Se desejarmos obter pontos de r, basta atribuir valores para t. Por exemplo, para t =I, obtém-se (x, y, z) = (1, -1, 4) + 1(2, 3, 2) = (1, -1, 4) + (2, 3, 2) = (3, 2, 6) e, portanto, P1 (3, 2, 6) E r. De forma análoga, para t = 2, obtém-se (x, y, z) = (1, -1, 4) + 2(2, 3, 2) = (5, 5, 8) e, portanto, P2 (5, 5, 8) E r; para t = 3, obtém-se o ponto P3 (7, 8, 10);

Desta igualdade, vem (5, 5, 8)- (1, -1, 4) = t(2, 3, 2) ou (4, 6, 4) t(2, 3, 2) e, portanto, t 2. b) A equação (4) não é a única equação vetorial de r. Existem, na verdade, infinitas, pois basta tomar outro ponto de r (em vez de A) ou outro qualquer vetor não-nulo que seja múltiplo de v. Por exemplo, a equação (x, y, z) = (1, -1, 4) + t(4, 6, 4)

é outra equação vetorial de r onde se utilizou o vetor 2 v

para t =O, obtém-se o próprio ponto A(l, -1, 4); para t = -1, obtém-se o ponto P4 (-1, -4, 2);

em vez de v = (2, 3,

e assim por diante. Se t assumir todos os valores reais, teremos todos os infinitos pontos da reta. A Figura 5.2 mostra os pontos obtidos com seus correspondentes parâmetros. z

De acordo com P=A+tv tem-se

Equações Paramétricas da Reta Da equação vetorial da reta (x,y,z) = (x 1 ,y 1 ,z 1 )+t(a,b,c) ou ainda (x, y, z)

( x 1 + at, y 1 + bt, z 1 + ct),

pela condição de igualdade, obtém-se X= X 1 +

P1 =A+ (I) v

P2 =A+ (2)v

{

P3 = A+ (3)v

A= A+ (O) v

Figura 5.2

Observações a) Vimos que a cada real t corresponde um ponto P E r. A recíproca também é verdadeira, isto é, a cada P E r corresponde um número real t. Por exemplo, sabe-se que o ponto P(5, 5, 8) pertence à reta r: (x, y, z) = (1, -1, 4) + t(2, 3, 2) Logo, o ponto (5, 5, 8) é um particular (x, y, z) na equação (4) e, portanto, é verdadeira a afirmação (5, 5, 8) = (1, -1, 4) + t(2, 3, 2), para algum real t.

= Yt + bt

(5)

z = z1 + ct

As equações (5) são chamadas equações paramétricas da reta.

P4 =A+(-1)v 2

(4, 6, 4) como vetor diretor

Exemplos 1) A reta r que passa pelo ponto A(3, -4, 2) e é paralela ao vetor v= (2, I, -3), de acordo com (5), tem equações paramétricas X= 3 + 2t r: { y = -4 + t z = 2- 3t 2) Dado o ponto A(2, 3, -4) e o vetor v= (1, -2, 3), pede-se: a) b) c) d) e)

Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção de v. Encontrar os dois pontos B e C de r de parâmetros t = 1 e t 4, respectivamente. Determinar o ponto de r cuja abscissa é 4. Verificar se os pontos D(4, -1, 2) e E(5, -4, 3) pertencem a r. Determinar para que valores de m e n o ponto F(m, 5, n) pertence a r.

1,....

Cap. 5

A reta 107

106 Vetores e Geometria Analítica

f) Escrever outros dois sistemas de equações paramétricas de r.

g) Escrever equações paramétricas da retas que passa por 0(5, 2, -4) e é paralela a r. h) Escrever equações paramétricas da reta t que passa por A e é paralela ao eixo dos y.

Da equação 5 = 3 - 2t, vem t = -1 e, portanto, m=2+(-1)=1 n = -4 + 3( -1) = -7 f) Tornando o ponto B(3, 1, -1) E r (item c) e o vetor diretor

Soluções

2 v = 2(1, -2, 3) = (2, -4, 6) tem-se X= 3 + 2t r: y = 1- 4t { z = -1 + 6t

a) De acordo com (5) temos imediatamente: x=2+t r: y = 3- 2t { z = -4 + 3t b) Das equações acima tem-se: x=2+(1)=3 para t = 1 vem y = 3 - 2( 1) = 1 { Z=-4+3(1)=-1 X=

para t = 4 vem

{

2 + (4)

. . B(3, 1, -1)

E r

r{,

{

y = 3- 2(4) = -5 z = -4 + 3(4) = 8

z = 8- 3t

g) Como s// r, os vetores diretores de s são os mesmos de r. Para v

. . C(6, -5, 8)

E r

c) Como o ponto tem abscissa 4 (x = 4), temos 4=2+t (1 o equação de r) e, portanto, t = 2. Como y = 3 - 2(2) = -1 t = 2 => { z = -4 + 3(2) = 2, o ponto procurado é (4, -1, 2). d) Um ponto pertence à reta r se existe um real t que satisfaz as equações de r. Para D( 4, -1, 2) as equações 4 =2+t -1 = 3- 2t { 2 = -4 + 3t se verificam para t = 2 e, portanto, D E r. Para E(5, -4, -3) as equações 5 =2 + t -4 = 3- 2t { -3 = -4 + 3t não são satisfeitas para o mesmo valor de t (t = 3 satisfaz a primeira equação mas não as duas outras). Logo, E É r. e) Como F

Para o ponto C(6, -5, 8) e o vetor diretor -v= (-1, 2, -3), tem-se 6- t X r: y = -5 + 2t

~:r~r n = -4 + 3t se verificam para algum real t.

{

(1, -2, 3), tem-se

5+t

y = 2 2t z = -4 + 3t

h) Como a reta t é paralela ao eixo dos y, um de seus vetores diretores é j = (0, 1, 0). Então,

2 + 0. t = 2 3+l.t=3+t z = -4 + t = -4 X=

{

Reta Definida por Dois Pontos A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou B) e tem a direção do vetor v =AB.

Exemplo Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A(3, -1, -2) e B(l, 2, 4).

Solução Escolhendo o ponto A e o vetor v X= 3 2t r: y=-1+3t { z = -2 + 6t

= B- A

(-2, 3, 6), tem-se

1...-

Cap. 5

A reta 109

108 Vetores e Geometria Analítica

As equações (6) são denominadas equaçlJes simétricas da reta que passa pelo ponto

Equações Paramétricas de um Segmento de Reta Consideremos a reta r do exemplo anterior e nela o segmento AB (origem A e extremidade B) (Figura 5.3). As equações paramétricas do segmento AB são as mesmas da reta r, porém, com O::::; t::::; I, isto é, x=3-2t AB: y = -1 + 3t { Z = -2 + 6t, tE [0, 1J

A( x 1 , y 1 , z 1 ) e tem a direção do vetor ~=(a, b, c).

Exemplo A reta que passa pelo ponto A(3, O, -5) e tem a direção do vetor v (2, 2, 1), tem equações simétricas x-3 1 z+5 2 2 -1 Se desejarmos obter outros pontos da reta, basta atribuir um valor qualquer a uma das variáveis. Por exemplo, para x 5, tem-se

Figura 5.3

Observemos que para t = O, obtém-se o ponto A, para t = I, obtém-se o ponto B, e para t entre O e I, obtém-se os pontos entre A e B. Se considerássemos o segmento BA, a fim de manter o mesmo intervalo de variação de t, para ponto tomaríamos o B e para vetor diretor BA =A- B = (2, -3, -6). Então, X= I+ 2t BA: y = 2- 3t { z = 4 - 6t, t E lO, I]

t=~

= y-yl = z-zl b

(7)

-3

l(y + 4)

2(x

y + 4

-3 2)

l(z + 3)

-3(x - 2)

z + 3

-3x + 6

y 2x 8 z -3x + 3 Estas duas últimas equações são equações reduzidas da reta r, na variável x.

z = z 1 + ct

(8)

Observações a) É fácil verificar que todo ponto P E r é do tipo P(x, 2x- 8, -3x + 3), onde x pode assumir um valor qualquer. Por exemplo, para x = 3 tem-se o ponto P1 (3, -2, -6) E r.

t=~

b c Como para cada ponto da reta corresponde um só valor para t, obtemos as igualdades ~

O, vem a

= ---

A partir destas equações pode-se expressar duas variáveis em função da terceira. Isolando, primeiramente, as variáveis y e z e expressando-as em função de x, obtém-se x-2 ~ x-2 z+3

Equações Simétricas d_a Reta

t=~

Equações Reduzidas da Reta

r: - - -

A equação P =A+ t(B- A) também pode ser expressa de modo equivalente por P = t B + (I - t)A

-::F

z+5

2 -1 onde y = 2 e z = -6 e, portanto, o ponto (5, 2, -6) pertence à reta.

Seja a reta r definida pelo ponto A(2, -4, -3) e pelo vetor diretor ~ = (l, 2, -3) e expressa pelas equações simétricas x-2 y+4 z+3

Observação

supondo abc

3 2

Em vez de realizar um tratamento genérico, tomaremos um caso particular.

Notemos que as equações vetoriais dos segmentos AB e BA com O::::; t::::; 1, são P = A + t(B - A) e P = B + t(A - B), respectivamente, onde P(x, y, z) representa um ponto qualquer do segmento.

Das equações paramétricas x = x 1 + at y = y 1 + bt

b) Equações reduzidas na variável x serão sempre da forma (6)

y mx +n { z =px+q

Cap. 5

A reta 111

11 O Vetores e Geometria Analítica

c) Com procedimento idêntico, a partir das equações (7), pode-se obter as equações

A Figura 5.4 mostra a reta r (r// xüy) que passa pelo ponto A(-1, 2, 4) e tem vetor diretor v = (2, 3, O) (a 3a componente é nula porque ~ 11 xüy).

X=_!_y+4

_~ 2

{ z=

y - 9

(equações reduzidas na variável Y)

(equações reduzidas na variável z)

+4 I I I

d) A reta r das equações (7) pode ser representada pelas equações paramétricas x=2+t y = -4 + 2t { z = -3- 3t Da primeira equação obtém-se t = x - 2 que, substituindo nas outras duas as transforma em y = -4 + 2(x - 2) = 2x - 8 z = -3 - 3(x - 2) = -3x + 3 que são as equações reduzidas de (8). e) Para encontrar um vetor diretor da reta y = 2x- 8 r: { z = -3x + 3

..L I I I

)/·-------;)·

/ / 3 O ~-------+--~----------------------~Y

~//

~-·-------·-------=

Figura 5.4

uma das formas é determinar dois pontos A e B de r e, posteriormente, encontrar o vetor AB = B - A Por exemplo, para x =O, obtém-se o ponto A(O, -8, 3) e para x = 1, obtém-se o ponto B(l, -6, 0). Logo, AB = (1, 2, -3) é um vetor diretor de r. Outra maneira seria isolar a variável x nas duas equações, obtendo-se desse modo equações simétricas de r: X y+8 Z - 3 2 -3 onde a leitura do vetor diretor ( 1, 2, -3) é imediata.

Retas Paralelas aos Planos Coordenados Uma reta é paralela a um dos planos xüy, xüz ou yüz se seus vetores diretores forem paralelos ao correspondente plano. Neste caso, uma das componentes do vetor é nula.

Um sistema de equa{ões paramétricas de r é X= -1 + 2t y = 2 + 3t Z=4

Observação Como todos os pontos de r são do tipo (x, y, 4), isto é, são pontos de cota 4, todos eles distam 4 unidades do plano xOy e por isso r 11 xOy. Por outro lado, sendo P1 ( x 1·, y 1 , 4) e ( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , O) sempre P2 ( x 2 , y 2 , 4) pontos distintos de r, o vetor diretor P1P 2 terá a 3a componente nula. Comentário idêntico faríamos para os casos de uma reta ser paralela aos outros dois planos.

Cap. 5

A ret2< 113

112 Vetores e Geometria Analítica z

A Figura 5.5 mostra a reta r que passa por A(l, 5, 3) e é paralela ao vetor v = (-1, O, 2)

e, portanto, r:

x=1-t y= 5 { z = 3 + 2t

)OL--~--~-~/~--~_.y

Figura 5.6

Para o caso particular da reta ser paralela a um eixo coordenado, costuma-se fazer uma simplificação. expressando as equações só pelas constantes. Para o caso particular acima, diz-se que as equações de r são

{;=~

?"----------3- y

subentendendo-se z variável livre que assume todos os valores reais. Na verdade, todos os pontos de r são do tipo (2, 3, z) e as coordenadas constantes identificam perfeitamente a reta. As Figuras 5.7 e 5.8 apresentam retas que passam por A( x 1 , y 1 , z 1 ) e são paralelas

Figura 5.5

aos eixos Oy e Ox, respectivamente. Logo, suas equações, já na forma simplificada, são

Retas Paralelas aos Eixos Coordenados

{

respectivamente z

Uma reta é paralela a um dos eixos Ox, Oy ou Oz se seus vetores diretores forem paralelos a

; 1

~ : ~1

1 {: :

T= ( 1, O, 0) ou a r = (0, 1, O) ou a k = (0, O, 1). Neste caso, duas das componentes do

vetor são nulas. A

Exemplo Seja a reta r que passa por A(2, 3, 4) e tem a direção do vetor ~ = (0, O, 3). Como a dire-

ção de ~ é a mesma de k, pois ~ = 3 k, a reta r é paralela ao eixo Oz (Figura 5.6). A reta r pode ser representada pelas equações

{ ;:~

z = 4 + 3t

0::;-----31Do--------:;- y

_.J.._ _ _ _ ___,_.

Figura 5.7

Figura 5.8

Cap. 5

A reta 115

114 Vetores e Geometria Analítica

Retas Ortogonais

Observação Os eixos Ox, Oy e Oz são retas particulares. Todas passam pela origem 0(0, O, O) e têm a direção de

r ou k, respectivamente. Logo suas equações são:

y=O { z =O,

{x=O z =O

Sejam as retas r 1 e r 2 com as direções de v 1 ev2, respectivamente. Então,

{x=O y =O , nesta ordem.

Sejam as retas r1 e r2 com as direções de v, e v2,

Exemplo As retas

diretor der2 . Logo, sendo e este ângulo, tem-se $.;

.!:

y -2x + 1 r,: { . z =4x

(9)

Figura 5.10

ortogonais a r. Porém, r2 e r são concorrentes. Neste caso, diz-se que são perpendiculares.

nor ângulo de um vetor diretor de r1 e de um vetor

I~ I • ~? ' com o $.; e I v 1 11 v 2 1

v, • v 2 =O

Duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou não. Na Figura 5.1 O, as retas r 1 e r:! são

respectivamente (Figura 5.9). Chama-se ângulo de duas retas r1 e r2 o me-

cos e =

Observação

Ângulo de Duas Retas

Na verdade, sendo v 1

Figura 5.9

Exemplo

r2 :

4+t

2t são ortogonais.

Z=t

(1, -2, 4) e v 2

v, . V2 = 1(-2)

= (-2,

I, 1) vetores diretores de r1 e r2 e

2(1) + 4(1) =O,

as retas r1 e r2 são ortogonais.

Calcular o ângulo entre as retas

X+ 2

rz: ---2-

Reta Ortogonal a Duas Retas Sejam as retas r1 e r2 não-paralelas. com as direções de v 1 e v 2 , respectivamente. Toda reta r ao mesmo tempo ortogonal a r1 e r2 terá a direção de um vetor v tal que

Solução Os vetores que definem as direções das retas r1 e r2 são, respectivamente,

-VJ = (1, 1, -2) e -V2

= (-2, 1, 1)

I~~ . ~2 I

I (1, 1, -2). (-2, 1,

e = are cos (-) 2

.!: 3

rad

V. V2 =Ü

(10)

~1 2 +1 2 +(-2) 2 ~(-2) 2 +1 2 +1 2

l-2 + I - 21 _ l-31 cose= ~~---c-r= '\11+1+4'\14+1+1 v6 .,.;c Logo,

, VJ

Em vez de tomarmos um vetor v ::t: O como uma solução particular do sistema (10), poderíamos utilizar o produto vetorial (Capítulo 3 ), isto é,

Pela fórmula (9):

cose=1~,11~2l

Vt X Vz

Definido um vetor diretor, a reta r estará determinada quando for conhecido um de seus pontos.

116 Vetores e Geometria Analítica

Exemplo

Determinar equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(3, 4, -1) e é ortogonal às retas r1 : (x, y, z) = (0, O, 1) + t(2, 3, -4)

r2 :

{;:

-4 = (1, 2, 2)

{

das duas retas. 1) Igualando as expressões em x, y e z nas equações de r 1 e r 2, tem-se

/1. 3 +

h = 5 + 3t

1 + 2h 2- h

~-~

=-3 - 2t =4 +

{ h - 3t = 2 2h + 2t = -4 -h - t = 2

sistema cuja solução é h = t = -1. Substituindo h -1 nas equações de r, obtém-se X 3 + (-1) = 2 y = 1 + 2( -] ) -1 Z = 2 - ( -1 ) 3 Portanto, o ponto de interseção é 1(2, -1, 3). O mesmo ponto seria obtido substituindo-se t = -1 nas equações de r2 . 2) Substituindo x, y e z das equações de r~ nas equações de r1 , resulta o sistema

4 - t { 2 + 2t

-1

Logo, tem-se r:

Se existe um ponto I(x, y, z) comum às duas retas, suas coordenadas verificam todas as equações de r1 e r2 , isto é, o ponto I é solução única do sistema formado pelas equações

(

As direções de r1 e r 2 são definidas pelos vetores ~ 1 = (2, 3, -4) e v 2 = (0, 1, -1). Então a reta r tem a direção do vetor

A reta 117

Solução

z =1 - t

Solução

VI X V2 = 2

Cap. 5

= -2t- 3 t

Da primeira equação obtemos t = -7 e da segunda t = -2. Como o sistema não tem solução, não existe ponto de interseção, isto é, as retas r1 e r2 não são concorrentes.

X= 3 + t y = 4 + 2t z = -1 + 2t

3) Observando que v 1=(I, -3, 2) e v 2 = (2, -6, 4) são vetores diretores de r1 er2 , respectivamente, e que v 2 = 2 v 1 , conclui-se que as retas são paralelas e não-coincidentes

Interseção de Duas Retas

(basta ver que o ponto A 1(0, 2, 1) E r1 e A 1é r2 ). Fica a cargo do leitor buscar a solução do sistema constituído pelas equações de r1 e r 2 para concluir da não-existência do

Exemplos

ponto de interseção.

Verificar se as retas r1 e r 2 são concorrentes e, em caso afirmativo, determinar o ponto de interseção: X= 5 + 3t 1) {x=3+h r1 : y =I + 2h e r2 : y=-3-2t { z = 2- h z=4+t 2)

r . I.

r..

{

y = 2x- 3

{ ' = -t

Z =-X

r2:

Y_= -3x + 2 ri: { z- 2x- 5

r2 :

y = 4- t z = 2 + 2t

x+2 2

y- 1

-6

Observações a) Se duas retas, como no exemplo (1 ), se interceptam, elas são coplanares, isto é, estão situadas no mesmo plano (Figura 5.11). Também são coplanares as retas paralelas do exemplo (3) (Figura 5.12).

/X/ Figura 5.11

Figura 5.12

Cap. 5

A reta 119

118 Vetores e Geometria Analítica

b) Se duas retas não são coplanares, elas são ditas reversas. É o caso do exemplo (2) (Figura 5.13), pois as retas além de não concorrentes são não-paralelas, e, portanto, não-coplanares. Figura 5.13

Problemas Propostos 1) Determinar uma equação vetorial da reta r definida pelos pontos A(2, -3, 4) e B(1, -1, 2) e 5 -4, 5) e D(-1, 3, 4) pertencem a r. ven'f'1car se os pontos C(-, 2

2) Dada a reta r: (x, y, z) = (-1, 2, 3) + t(2, -3, 0), escrever equações paramétricas der. 3) Escrever equações paramétricas da reta que passa por A(l, 2, 3) e é paralela à reta r: (x, y, z) = (1, 4, 3) + t(O, O, 1). 4) Dada a reta x=2+t r: y=3-t { z = -4 + 2t , determinar o ponto de r tal que a) a ordenada seja 6; b) a abscissa seja igual à ordenada; c) a cota seja o quádruplo da abscissa. 5) A reta r passa pelo ponto A(4,-3,-2) e é paralela à reta X= 1 + 3t s: y = 2- 4t { z = 3 - t . Se P(m, n, -5) E r, determinar me n. 6) Determinar equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos: a)A(l,-1,2)eB(2, 1,0) b) A(3, L 4) e B(3, -2, 2) z c)A(1,2,3) eB(l,3,2) d) A( O, O, O) e B(O, 1, O) 7) Com base na Figura 5.14, escrever equações paramétricas B 4 da reta por a) A eB b) C eD c) AeD c d) B e C e) De E f) B eD

8) O ponto P(m, 1, n) pertence à reta que passa por A(3, -1, 4) e B(4, -3, -1). DeterminarP. 9) Seja o triângulo de vértices A(-1, 4, -2), B(3, -3, 6) e C(2, -1, 4). Escrever equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do lado AB e pelo vértice oposto C. 10) Os pontos M 1(2, -1, 3), M 2 (1, -3, 0) e M 3 (2, 1, -5) são pontos médios dos lados de um triângulo ABC. Obter equações paramétricas da reta que contém o lado cujo ponto médio é M 1 • li) Os vértices de um triângulo são os pontos A(-1, 1, 3), B(2, 1, 4) e C(3, -L -1). Obter equações paramétricas dos lados AB, AC e BC. e da reta r que contém a mediana relativa ao vértice B. i2) Verificar se os pontos P1 (5, -5, 6) e P2 (4, -1, 12) pertencem à reta r:

-1

-2

13) Determinar o ponto da reta r :

que possui

a) abscissa 5; b) ordenada 2. 14) Obter o ponto de abscissa 1 da reta r :

z + 4 e encontrar um

vetor diretor de r que tenha ordenada 2. 15) Obter equações reduzidas na variável x, da reta que passa por A(4, O, -3) e tem a direção de v (2, 4, 5); pelos pontos A(l, -2, 3) e B(3, -1, -1); pelos pontos A(-1, 2, 3) e B(2, -1, 3); dada por { x = 2 - t y = 3t z = 4t- 5 16) Escrever equações reduzidas na variável z da reta que passa por A(-1, 6, 3) e B(2, 2, I). 17) Na reta {y 2x + 3 r : z = x - 1 , determinar o ponto de a) ordenada igual a 9; b) abscissa igual ao dobro da cota; c) ordenada igual ao triplo da cota. 18) Representar graficamente as retas de equações d) y = 2x b) -x c) x=y=z a) {x=1-t {z 3 y -1 + 2t Z =3 + X z 2+t a) b) c) d)

Figura 5.14

{;

f) {y=3 z -1

{X= 3 y=-4

Cap. 5

120 Vetores e Geometria Analítica

19) Determinar equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa por

a) b) c) d) e)

A(3, -2, 4) e é paralela ao eixo dos x; A(2, 2, 4) e é perpendicular ao plano xüz; A(-2, 3, 4) e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos x e dos y; A(4,-1,3)etemadireçãode3T -2f; A(3, -I, 3) e B(3, 3, 4).

20) Escrev~r equações paramétricas das retas que passam pelo ponto A(4, -5, 3) e são,

respectivamente, paralelas aos eixos Ox, Oy e Oz. 21) Determinar o ângulo entre as seguintes retas: = -2- t X ri : y = t e r2 : 2 z = 3- 2t

a) {x

A reta 121

24) Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A e é simultaneamente ortogonal às retas r1 e r2 , nos casos: a) A(3, 2, -1)

ri: {

~: ~~

b) A(O, O, O)

f;>:

{y =X

r2:

{X= y -t31 +1

z = -2x + 3

z=2 y + 6

c) A é a interseção de r 1 e r2 z- 1

z 3

ri : x- 2

. {x=l-y z=2+

r1 .

25) Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de

b) ri : {y = -2x + 3 z=x-2

z +I r2 : y = ---1-;x

interseção: 4

r . a)

c) ri : d)

ri :

r=·H'2· y=t z = 5- 3t

x-4=1.=~ 2

-1

-2

y=nx-1 b) ri : { z = 2x 23) Sabendo que as retas ri e x = 2mt- 3 a) r1 : y = 1 + 3t { z = -4t

e r2

r . { y = nx + 5 2 · z = 2x - 2

r1 •

r1 :

2x- 3 =-X+ 5

X= 2y- 1 { z = -y + 4

{y = z

r :

r2:

{y =

-3x + 7 z=x+l -l+t

X {

y=4

2x- 3 -x 10

; -

= 6- 6t ri : (x, y, z) = (2, 4,

r1 :

X= 2 + t = 4- t

{ z = -t

-4 z+l -2 3 X= -3 + 6h

-h

1) + t(l, -2, 3)

= -8 + 3t

r2 : eixo Oy

são ortogonais, determinar o valor de m para os casos:

z 2

{x=l r2 : ~ = z ; 2

22) Determinar o valor de n para que seja de 30° o ângulo entre as retas

x-2 z a) ri : - = -y = _: 4 5 3

{y =

r2 : {X=3 y=2 c)

r2 :

{

= 1 + 7h

-1 + 13h

r2 : (x, y, z)

r .

= (-1, 2, 5) + t(4, 3. -2) X

2· { z=2-x

26) Calcular o valor de m para que sejam concorrentes as seguintes retas: v= 2x- 5 a) r1 : { ~ -x + 2 e r2 : x- 5 = m z + 1

reta por A(l, O, m) e B(-2, 2m, 2m)

r1 :

m-t 1+ t

= 2t

r2:

y+~.

-2

Cap. 5

A reta 123

122 Vetores e Geometria Analítica

Respostas de Problemas Propostos

27) Dadas as retas

X :

= - y; z = 3

encontrar equações reduzidas na variável x da reta que passa por A(O, I, O) e pelo ponto de interseção de r1 com r2 •

28) Determinar na reta

r: {

2+ t

y= t z = -1 + 2t

um ponto eqüidistante dos pontos A(2,-1 ,-2) e B(l ,0,-1 ). 29) Determinar os pontos da reta

30) 31)

32) 33)

r: x = 2 + t, y = 1 + 2t, z = 3 + 2t que a) distam 6 unidades do ponto A(2, 1, 3); b) distam 2 unidades do ponto B( I, -I, 3 ). Escrever equações reduzidas da reta que passa por A( I, 3, 5) e intercepta o eixo dos z perpendicularmente. Escrever equações reduzidas na variável z, de cada uma das retas que satisfazem às condições dadas: a) passa por A(4, -2, 2) e é paralela à reta r: x = 2y = -2z; b) passa pela origem e é ortogonal a cada uma das retas 2 1 2 e s : x = -y = -z. r: x - = y + = 2z - 2 3 2 Determinar o ângulo que a reta que passa por A(3, -1, 4) e B(l, 3, 2) forma com a sua projeção sobre o plano xy. Apresentar equações paramétricas da projeção da reta r. = 5x- 7 sobre o plano xy. · z = -2x + 6

34) Dados o ponto A(3, 4, -2) e a reta x = I+ t r: y=2-t { z = 4 + 2t, a) determinar equações paramétricas da reta que passa por A e é perpendicular a r; b) calcular a distância de A a r; c) determinar o ponto simétrico de A em relação a r.

1) (x,y,z) (2,-3,4)+t(-1,2,-2), 2) x=-1+2t y=2-3t 3) x=l y=2 5 4) a)(-1,6,-10) b)(

5) m = 13, n = -15 6) a) x = I + t b) X 3 c) x =I d) X= 0 7) a) x = 2 + 2t b) X= 2t c) x 2 d) X= 0 e) x = 2 f) X= 2t

CEr e Díi'Õr. z=3 z=3+t 5

. 2,-3)

I+ 2t I - 3t y=2+t y=t y=O y=3 y 3t y = 3t y = 3 + 3t y = 3t

(-4, 9, -16)

4 2t z = 3- t z =O (eixo Oy)

Z=4 z=0 z 4 4t z = 4 4t z=O z = 4- 4t

8) P(2, 1, 9) 9)

3 y=-1--t 2 y -1 + 4t y I y = 1 2t y = 1 2t y =1+ t

2+t

10) X 2 + t 11) AB: X -I + 3t AC: X -1 + 4t BC: X 2+t r: x = 2 + t 12) Apenas P 1

= 4 + 2t

z = 3 5t

3+t

z = 3- 4t z = 4 5t z = 4 + 3t

com tE [0,1] com tE [0,11 com tE [0,1]

13) (5, -5, 8) e (-9, 2, -20)

14) (L -,-3)e v=(-, 2,3)

15) a) y

= 2x

X 5 2 2

b) y 16) x

8 e z

--z +

17) a)(3,9,2)

e z e y

-2x + 5

y = -x + I e z = 3

d) y

-3x + 6 e z

= 2z b)(2,7,1)

c) (6, 15, 5)

-4x + 3

124 Vetores e Geometria Analítica

19) a)

= -2

b){x = 2 Z=4

Z=4 d) {X= 4 + 3t y=-1-2t z=3

20)

MAKRON Books

c){x=-2 y=3

e){x = 3 y =-I + 4t z=3+t

y = -5 { z=3

{

21) a) 60°

O Plano

x=4 z=3 2

b) 30°

d) 8 =are cos(-) 3

22) a) 7 ou 1 7 23) a) m = --

b) ±

24) a) x = 3 + t b) X= 2t c)x=2+t 25) a) (2, 1, 3)

e) reversas 26) a) -3 27) { y =-X+ 1 z = 3x 7 I 3 28 ) (4,-4,-2)

=48°11'

Jl5

3 b ) I ou - 2 y = 2- t y = 6t y = -1 - 5t b) (1, 2, -2) c) f) coincidentes b) 4

z = -1 z = -5t z = 3t

Equação Geral do Plano Seja A( x 1 , y 1 , z 1 ) um ponto pertencente a um plano 1t e d) (3, 8, 12)

reversas

= (a,

b, c), n :t:O, um vetor normal (ortogonal) ao

plano (Figura 6.1 ).

Como n _L TC, n é ortogonal a todo vetor representado em TC. Então, um ponto P(x, y, z) pertence a 1t se, e somente se, o vetor AP é ortogonal a n , isto é,

Figura 6.1

n. (P- A)= O

29) a) (4, 5, 7) e (0, -3, -1) 30) y = 3x, z = 5 31) a) { x = -2z + 8 y = -z 32) 8 = arccos

7_ 25 9'9'9

b) ( _!2

{xy

)

1 1) ,-'

a(x -x 1 ) + b(y -y 1 ) + c(z -z 1 ) =O ou. ainda ax + by +

f30 6

34) a) { x = 3 - 2h y=4 z = -2 +h

y = -2 + 5t

(a,b,c).(x-x 1,y-y 1 ,z-z 1 )=0 ou

= 5z = 4z

(~-)

33) X= 1 + t

Z=Ü

b)m

CZ -

aXI

b yI

- CZI

Fazendo -a x 1 - b y - c z 1 = d, obtemos 1 c) (-5, 4, 2)

ax + by + cz + d = O Esta é a equação geral do plano TC.

(1)

Cap. 6 O Plano 127 126 Vetores e Geometria Analítica

Observações a) Assim como ~=(a, b, c) é um vetor normal a rc, qualquer vetor k~, k i:- O, é também vetor normal ao plano. b) É importante notar que os três coeficientes a, b e c da equação ( 1) representam as componentes de um vetor normal ao plano. Por exemplo, se um plano rc é dado por 1t : 3x + 2y - z + 1 = 0, um de seus vetores normais é n = (3, 2, -1 ). c) Para obter pontos de um plano dado por uma equação geral, basta atribuir valores arbitrários a duas das variáveis e calcular o valor da outra na equação dada. Assim, por exemplo, se na equação anterior fizermos x = 4 e y = -2, teremos: 3(4)+2(-2)-z+ 1=0 12-4-z+ 1 =0 z=9 e, portanto, o ponto A(4, -2, 9) pertence a este plano.

Exemplos 1) Obter uma equação geral do plano rr que passa pelo ponto A(2, -1, 3) e tem n = (3, 2, -4) como um vetor normal.

Solução

Como n é normal a TC, sua equação é do tipo 3x + 2y - 4z + d = O e sendo A um ponto do plano, suas coordenadas devem verificar a equação, isto é, 3(2) + 2(-1)- 4(3) + d =o 6-2-12+d=0 d=8 Logo, uma equação geral do plano rr é 3x + 2y -4z + 8 = O

Observação Este exemplo, como outro qualquer que envolva determinação de equação do plano, pode ser resolvido de modo análogo à dedução da equação, pois um vetor normal ao plano é suficiente para caracterizar sua direção. Em nosso estudo utilizaremos sempre a equação geral em vez de sua dedução. O leitor poderá optar entre uma ou outra maneira. 2) Escrever uma equação geral do plano rr que passa pelo ponto A(2, 1, 3) e é paralelo ao plano rr 1 : 3x- 4y -2z + 5 =O.

Solução É imediato que "um vetor normal a um plano é também normal a qualquer plano paralelo a este". Então, como rc I/ rr~. o vetor n1 = (3, -4, -2) normal a rc 1 é também normal a rc. Logo, uma equação de rc é da forma 3x 4y 2z + d O Tendo em vista que A E rc, suas coordenadas devem verificar a equação: 3(2)- 4(1) 2(3) + d =o

e d = 4: portanto, uma equação de 1t é 3x - 4y - 2z + 4 = O 3) A reta 5 + 3t X r: y = -4 + 2t { z=l + t é ortogonal ao plano rr que passa pelo ponto A(2, I, -2). Determinar uma equação geral de rc e representá-lo graficamente.

Solução Como r .l rc, qualquer vetor diretor de r é um vetor normal ao plano. Sendo n = (3, 2, 1) um destes vetores, uma equação de rc é da forma 3x + 2y + z + d = O z Como A E rc, deve-se ter 3(2) + 2(1) + (-2) + d o e d -6; portanto, uma equação de rc é 3x + 2y + z - 6 = O Para a representação gráfica do plano, obteremos três de seus pontos. Se nesta equação fizermos y = O e z = O, vem x = 2 x O e z O, vem y 3 \ x O e y = O, vem z = 6 \ \ Obtemos, assim, os pontos A 1(2, O, 0), A 2 (0, 3, 0) e A 3 (0, O, 6) nos quais o plano intercepta os eixos

coordenados. A Figura 6.2 mostra o referido plano. Figura 6.2

Observação Se um plano rc intercepta os eixos coordenados nos pontos (p, O, 0), (0, q, 0) e (0, O. r) com p • q • r i:- O, então rc admite a equação

Cap. 6 O Plano 129 128 Vetores e Geometria Analítica

denominada equação segmentária do plano 1t. Para o caso do problema anterior, onde estes pontos são A 1(2, O, 0), A 2 (0, 3, O) e A 1 (0, O, 6), a equação segmentária do plano é (2)

que é equivalente à equação 3x + 2y + z- 6 =O, ao eliminarmos os denominadores e ordenarmos os termos. Reciprocamente, se escrevermos esta última equação como 3x + 2y + z = 6 e dividirmos ambos os membros por 6, voltaremos a ter a equação segmentária (2).

Estas equações são chamadas equações paramétricas de liares denominadas parâmetros.

l) Seja o plano 1t que passa pelo ponto A(2, 2, -1) e é paralelo aos vetores u = (2, -3, I) e v = (-1, 5, -3). Obter uma equação vetorial, um sistema de equações paramétricas e uma equação geral de 1t.

Equação Vetorial e Equações Paramétricas do Plano

Solução a) Equação vetorial: (x, y, z)

- -

= (2, 2, - 1) + h(2, -3,

{

AP, u e v são coplanares. Um ponto P(x, y, z) pertence a 1t se, e somente se, existem números reais h e t tais que

y = 2 - 3h + 5t z -1 + h 3t

Observação

P-A=hu+tv ou P=A+hu+tv ou, em coordenadas

Figura 6.3

(3)

1t.

Os vetores u e v são

Se quisermos algum ponto deste plano, basta atribuir valores reais para h e t. Por exemplo, para h = O e t = 1, vem x 1, y 7 e z=-4 e, portanto, B(l, 7, -4) é um ponto do plano 1t. c) Equação geral: Como o vetor

X V

-3

-1

-3

(4, 5, 7)

é simultaneamente ortogonal a u e v, ele é um (x,y,z)=(x 0 +a 1h+ a 2 t, y 0 + b 1 h+ b 2 t, z 0 + c 1 h+ c 2 t) que, pela condição de igualdade, vem

1) + t( -1, 5, -3)

b) Equaç<Jes paramétricas: X= 2 + 2h - t

= ( a 2 , b 2 , c 2 ) dois vetores paralelos a 1t (Figura 6.3), porém, u e v não-paralelos. Para todo ponto P do plano, os vetores

Esta equação é denominada equação vetorial do plano vetores diretores de 1t. Da equação (3) obtém-se

e h e t são variáveis auxi-

Exemplos

Seja A( x 0 , y 0 , z 0 ) um ponto pertencente a um plano 1t e ~ = ( a 1, b 1 , c 1 ) e

-v

vetor n normal ao plano 1t (Figura 6.4 ). Então, uma equação geral de 1t é da forma 4x + 5y + 7z + d = O e, como A E 1t tem-se 4(2) + 5(2) + 7(-1) + d =o

Figura 6.4

Cap. 6 O Plano 131 130 Vetores e Geometria Analítica

é um vetor normal a 1t (Figura 6.6). Então, uma equação geral é da forma 3x + 6y + 3z + d = O. Como A E 1t (poderíamos tomar B ou C): 3( I)+ 6( -1) + 3(2) + d =O e d -3; portanto, uma equação geral de 1t é 3x + 6y + 3z 3 O. ou, multiplicando ambos os membros da equação 1 por :

e d = -11 ; portanto, 4x + 5y + 7z - 11 = O é uma equação geral de 1t.

Observação Existe uma outra maneira de se obter uma equação geral de n: como P(x, y, z) representa um ponto qualquer do plano, os vetores AP , ~ e ~ são coplanares (Figura 6.5) e, portanto, o produto misto deles é nulo, isto é,

Figura 6.6

Figura 6.5

(AP,u,v)=O Assim, obtém-se uma equação geral do plano desenvolvendo o I o membro da igual-

X+ 2y + z 1 =O. 3) Dado o plano 1t de equação 2x - y - z + 4 = O, determinar um sistema de equações

paramétricas de

dade x-2

y-2

-3

-1

Solução

z+1

o -3

que é equivalente à equação 4x + 5y + 7z- 11 =O 2) Dado o plano 1t determinado pelos pontos A(l, -1, 2), 8(2, I, -3) e C(-1, -2, 6), obter um sistema de equações paramétricas e uma equação geral de 1t.

Basta tomarmos três pontos A B e C não alinhados de 1t e proceder corno no problema anterior. Fazendo x=y=O vem,z=4 .. A(0,0,4)E1t x=l e y=O vem.z=6 .. B(l,0,6)E1t x =O e y I vem, z = 3 . . C(O, 1, 3) E n

a) Equações paramétricas:

Sabe-se que existe apenas um plano que contém três pontos não em linha reta. Os vetores não-paralelos u = AB = (1, 2, -5) e v = AC = (-2, -1, 4) são vetores diretores de 1t (Figura 6.6) e, portanto, as equações (utilizando o ponto A) X= 1 + h- 2 t y=-1 +2ht { z=2-5h+4t são equações paramétricas do plano. b) Equação geral:

Como no problema anterior, sendo ~ e v vetores diretores de 1t, o vetor i n

Como AB = ( 1, O, 2) e AC = (0, 1, -1) são vetores diretores de 1t, as equações

Solução

ux v

-2

-5 = (3, 6, 3)

-1

{

+ 1. h + 0 • t

y = O + O• h + I • t

z = 4 + 2 •h - 1•t são equações paramétricas de n.

{

=h =t z = 4 + 2h X

Observações a) Como é possível encontrar infinitos ternos A, B e C de pontos não alinhados em 1t, existem infinitos sistemas de equações paramétricas que representam o mesmo plano. b) É importante observar que os vetores diretores sejam não-paralelos. Se ocorrer AB li AC, basta trocar um dos pontos de modo a garantir que AB e AC sejam não-paralelos. c) Uma outra maneira de obter equações paramétricas a partir da equação geral, é substituindo duas das variáveis pelos parâmetros h e t e, posteriormente, isolar a terceira variável em função destes. Por exemplo, se na equação geral 2x - y - z + 4 = O, fizerI

mos y =h e z = t, teremos 2x- h- t + 4 =O. Isolando x resulta, x = -2 + -h+ - t.

Cap. 6 O Plano 133

132 Vetores e Geometria Analítica

Então,

P X

{

= -2 +

2h + 2t

P = A + h(B - A) + t(C - A)

y=h Z=t

~nálogo obtecfa~os outms s{;s~e:L Zh _ 1

z = 4 + 2h - t z=t 4) Determinar uma equação geral do plano 1t que contenha as retas

ly=x+ I r 1 : z=-3x-2

r2: {

com h, t E [0, 1]

onde P representa um ponto qualquer deste paralelogramo. A B Observemos que para h = t =O, obtém-se o ponto A (P = A); Figura 6.8 para h= 1 e t =O, obtém-se o ponto B (P = B); para h= O e t 1, obtém-se o ponto C (P C); para h= t =1, obtém-se o ponto O (P O); 1 para t e h E [0, 1], obtém-se o segmento MN onde M e N são os pontos médios 2 de AC e BO, respectivamente, e assim por diante; para h e t entre O e 1, obtém-se todos os pontos do paralelogramo.

são equações paramétricas do plano. De{mr:

= A + h( AB ) + t( AC )

X= 2t y = 2t + 3 z = -6t + 1

Solução Observemos que as direções das retas são dadas pelos vetores ~ 1 = (1, 1, -3) e v 2 = (2, 2, -6).

Casos Particulares da Equação Geral do Plano

C orno ~ 2 = 2 ~ 1 , as retas r1 e r2 são paralelas e os vetores ~ 1 e ~ 2 não são vetores diretores

No caso de um ou mais coeficientes da equação geral do plano ax + by + cz + d =O serem nulos, o plano ocupará uma posição particular em relação aos eixos ou planos coordenados. Faremos uma análise dos diversos casos a partir de uma equação completa ax + by + cz + d = O. Por exemplo

do plano procurado. Tendo em vista que os pontos A 1(0, 1, -2)

E r1

e A 2 (0, 3, 1)

r2 tam-

bém pertencem a Jt, o vetor A 1A 2 = (0, 2, 3) está representado neste plano. Então, ~ 1 e A 1A 2 (ou v 2 e A 1A 2 ) são vetores diretores de 1t e um de seus vetores normais (Figura 6. 7) será i

3x + 4y + 2z 12 = O (4) onde a = 3, b = 4, c = 2 e d = -12. O plano que esta equação representa intercepta os três eixos coordenados em (4, O, 0), (0, 3, 0) e (0, O, 6) (Figura 6.9).

-3 = (9, -3, 2)

Portanto, uma equação geral de 1t é da forma 9x - 3y + 2z + d = O e, como A 1 E 1t, tem-se 9(0)- 3(1) + 2(-2) + d =o ed=7 Logo, 1t: 9x - 3y + 2z + 7 = O.

Figura 6.7

Equação Vetorial de um Paralelogramo Dados os pontos A, B e C não em linha reta, os vetores AB e AC determinam o paralelogramo (Figura 6.8) cuja equação vetorial é

1°) Se tivéssemos d = O, a equação (4) seria 3x + 4y + 2z =O e representa um plano paralelo ao da Figura 6.9, porém, passando pela origem 0(0, O, 0), pois as coordenadas deste ponto verificam a equação: 3(0) + 4(0) + 2(0) = o X

Figura 6.9

Cap. 6 O Plano 135 134 Vetores e Geometria Analítica

2°) Se tivéssemos a= O, a equação (4) seria 4y + 2z- 12 =O (ou: Ox + 4y + 2z- 12 =O), e representa um plano paralelo ao eixo dos x, interceptando os outros dois eixos ainda em (0, 3, O) e (0. O. 6) (Figura 6.10).

(5)

Observemos ainda que nenhum ponto do tipo (x. O. O) satisfaz a equação (5) pois O(x) + 4(0) + 2(0) - 12 = O é falso. Ora, se nenhum ponto do eixo dos x verifica a equação (5), significa que o plano não tem ponto em comum com este eixo e, portanto, só pode ser paralelo a ele. Figura 6.10

Desta análise ainda se conclui que o plano é paralelo ao eixo da variável ausente na equação.

Se em (5) tivéssemos ainda d = O, a equação resultante 4y + 2z =O representa um plano pela origem, e, portanto, contém o eixo Ox (Figura 6.11 ).

3°) Se tivéssemos a = b = O, a equação (4) seria 2z-12=0 (ou:Ox+0y+2z 12 0) (6) ou, simplesmente, z=6 Observemos que todos os pontos do tipo (x, y, 6) verificam a equação (6). Ora, se todos os pontos deste plano têm cota 6, significa que todos estão 6 unidades afastados do plano xOy. Portanto. trata-se de um plano paralelo a xOy e que intercepta o eixo Oz perpendicularmente em (0, O, 6). Assim, concluímos que toda equação de forma z =k representa um plano paralelo ao plano xOy e intercepta o eixo Oz em (0, O, k). Na Figura 6.14 estão representados os planos X de equação z = 6 e z =O (plano xOy).

Raciocínio análogo, leva-nos a concluir que y k representa um plano paralelo a xOz e x = k representa um plano paralelo a yOz. Na Figura 6.15 estão representados os planos de equação y = 3 e y = O (plano xOz) e na Figura 6.16 os planos de equação x = 4 e x = O (plano yOz). X

(Figura 6.12)

3x + 4y - 12 = O

(Figura 6.13).

6~----~

Figura 6.14

Comentários idênticos faríamos para os casos b = O ou c = O, quando a equação (4) seria 3x + 2z- 12 =O

ou Figura 6.11 z

x=O

I I I

)------+---'-----')lo-

/ 4/

y 4

4 X

X X

Figura 6.12

Figura 6.13

Figura 6.15

Figura 6.16

Cap. 6 O Plano 137 136 Vetores e Geometria Analítica

Solução

Ângulo de Dois Planos

Sendo

Sejam os planos 1t 1 e 1t 2 com vetores normais ~ 1 e ~ 2 , respectivamente (Figura 6.17).

1tt e 1t2,

111

cose

de acordo com (7) tem-se 3 .fi

Logo, e

=are

.fi

cos ( - ) =

Planos Perpendiculares Consideremos dois planos 1t 1 e 1t2, e sejam n1 e n2 vetores normais a 1t 1 e 1t2. respectivamente. Pela Figura 6.18 concluise imediatamente:

Figura 6.18

Figura 6.17

Exemplo Chama-se ângulo de dois planos 1t 1 e 1t2 o menor ângulo que um vetor normal a forma com um vetor normal a 1t 2• Sendo e este ângulo, tem-se

cose

I n 1 • n 2 I com Os e s ~ I ~1ll ~2 I 2

Como cos e 2': O quando O s e

1t1

(7)

s ~ , o numerador de (7) deve ser positivo, razão pela 2

qual tomou-se o produto escalar em módulo, pois que este poderá ser negativo quando o ângulo entre os vetores for o suplementar de e.

Exemplo 2x + y- z + 3 =O

a) 1t1: 3x + y- 4z + 2 =O

1t2:

b) n 1: x + y 4 = O

n 2:

x + y - 4 = O.

{

Y= h + t z=t

a) Sendo n1 = (3, 1, -4) e n2 = (2, 6, 3) vetores normais a como

1t 1 e 1t2 ,

respectivamente, e

nJ. n2 = 3(2) + 1(6)- 4(3) =o conclui-se que 1t 1 e 1t 2 são perpendiculares. (1, 1, O) é um vetor normal a

1t2:

2x + 6y + 3z =O X= 2- h+ 2t

Solução

b) O vetor n1

Determinar o ângulo entre os planos 1t 1:

Verificar se 1t 1 e 1t2 são planos perpendiculares:

1t 1•

Teremos que encontrar um vetor

normal a 1t2. Como u = (- 1, 1, O) e v= (2, l, l) são vetores diretores de considerar uxv

-1 2

O = (1, 1, -3)

1t 2,

podemos

Cap. 6 O Plano 139 138 Vetores e Geometria Analítica

ou de modo equivalente, 2 -3 I

Tendo em vista que

~ 1 • ~ 2 = (I , I , O) . (1 , I , -3) = I (1) + 1(1) + O(-3) = 2 :;t: O os planos n 1 e Jr 2 não são perpendiculares.

Paralelismo e Perpendicularismo entre Reta e Plano Sejam uma reta r com a direção do vetor v e um plano Jr, sendo ~ um vetor normal a Jr. Pelas figuras conclui-se imediatamente: l)r//n~

11) r j_ n

vj_n

v // n

(Figura 6.19 (b))

(a)

i1 ~

I I I

(b)

Exemplo 1 + 2t y = -3t é paralela ao plano n : 5x + 2y - 4z - 1 =:_O z=t X=

{

pois o vetor diretor ~ = (2, -3, I) de r é ortogonal ao vetor normal n = (5, 2, -4) de Jr, isto é,

~. ~ = (2, -3, I). (5, 2, -4) = 2(5)- 3(2) + 1(-4) =O Esta mesma reta, por sua vez, é perpendicular ao plano 1t1: 4x - 6y + 2z - 5 =O, pois o vetor diretor ~ = (2, -3, I) de r é paralelo ao vetor normal ;I = (4, -6, 2) de Jr1, isto é, 1 v= - nl 2

Uma reta r está contida em um plano n (Figura 6.20) se I) dois pontos A e B de r forem também de 1t ou

r Figura 6.20

Determinar os valores de m e n para que a reta

Figura 6.19

A reta r :

Reta Contida em Plano

Exemplo

11) v . n = O, onde v é um vetor diretor de r e n um vetor normal a 1t e A E Jt, sendo A E r.

v.n=O (Figura6.19(a))

-v = an-

-6

r: { ; : z

~~+ ~ -2 t

esteja contida no plano n: 2x + my + nz 5

Solução Utilizando o primeiro critério exposto acima, sejam A(3, -1, -2) e B(4, -2, -3) os pontos de r. Como r c Jt, as coordenadas de A e B devem satisfazer a equação de n, isto é, 2(3)+m(-l)+n(-2) 5=0 {-m 2n+l O { 2(4)+m(-2)+n(-3)-5=0 ou -2m-3n+3=0 donde m = 3 e n = -I.

Interseção de Dois Planos Sejam os planos não-paralelos 1t 1: 5x- y + z- 5 =O e 1t2: x + y + 2z- 7 =O A interseção de dois planos não-paralelos é uma reta r cujas equações se deseja determinar. Para tanto, dentre os vários procedimentos, apresentaremos dois. I) Como r está contida nos dois planos, as coordenadas de qualquer ponto (x,y,z) E r devem satisfazer simultaneamente as equações dos dois planos. Logo, os pontos de r constituem a solução do sistema:

r. { 5x - y + z - 5 O · x + y + 2z - 7 = O

(8)

Cap. 6 O Plano 141 140 Vetores e Geometria Analítica

O sistema tem infinitas soluções (são os infinitos pontos de r) e, em termos de x, sua solução é y = 3x- 1 r: { z = -2x + 4 que são equações reduzidas de r. 2) Outra maneira de obter equações de r é determinar um de seus pontos e um vetor diretor. Seja determinar o ponto A E r que tem abscissa zero. Então, fazendo x = O nas equações do sistema (8), resulta o sistema -y + z- 5 =o { y + 2z -7 =O cuja solução é y = -1 e z = 4. Logo, A(0,-1,4). Como um vetor diretor v de r é simultaneamente ortogonal a ~~ = (5, -1, 1) e ~2 = (1, 1, 2), normais aos planos rr 1 e rr 2, respectivamente, (Figura 6.21), o vetor v pode ser dado por i v

n1 X n2

k (-3, -9, 6)

5 -1

Figura 6.21

2 1

ou também -- (-3, -9, 6) = (1, 3, -2) 3 Escrevendo equações paramétricas de r, temos

r:{~=~1+3t z = 4- 2t

Interseção de Reta com Plano Exemplos 1) Determinar o ponto de interseção da reta r com o plano rr, onde X= -1 + 2t rr: 2x - y + 3z - 4 = O r: y = 5 + 3t e z = 3- t

Solução Qualquer ponto de r é da forma (x, y, z) = (-1 + 2t, 5 + 3t, 3 - t). Se um deles é comum ao plano rr, suas coordenadas verificam a equação de rr: 2(-1 + 2t)- (5 + 3t) + 3(3- t)- 4

e daí resulta t -1. Substituindo este valor nas equações de r obtém-se X=-1+2(-1)=-3 y=5+3(-1)=2 Z=3-(-1)=4 Logo, a interseção de r e rr é o ponto (-3, 2, 4). 2) Determinar a interseção da reta x 2y - 2z + 2= O r: { 2x + y z = O com o plano 1t: x + 3y + z 2 = O

Solução Se existir um ponto I(x, y, z) E r que também pertence a 1t, suas coordenadas devem verificar as equações dos três planos dados. Logo, I será a solução do sistema x 2y 2z + 2 =O 2x + y- z O X+ 3y + Z - 2 = 0 Resolvendo o sistema obtém-se: x = 2, y =- t e z = 3. Logo, I(2, -I, 3) é a interseção de r e rr, ou seja. é a interseção dos três planos.

Problemas Propostos Os problemas de 1 a 48 estão de acordo com a ordem do texto e os demais se constituem em ótimo reforço. l) Seja o plano rr: 3x + y z - 4 = O Calcular: a) O ponto de rr que tem abscissa 1 e ordenada 3; b) O ponto de rr que tem abscissa O e cota 2; c) O valor de k para que o ponto P(k, 2, k I) pertença a rr; d) O ponto de abscissa 2 e cuja ordenada é o dobro da cota; e) O valor de k para que o plano rr 1: kx 4y + 4z 7 =O seja paralelo a rr.

Nos problemas de 2 a 4, determinar uma equação geral do plano 2) paralelo ao plano rr: 2x- 3y- z + 5 =O e que contenha o ponto A(4,-2,1); 3) perpendicular à reta X 2 + 2t r: y 1 3t { z = 4t e que contenha o ponto A( -I, 2, 3); 4) que passa pelo ponto médio do segmento de extremos A(S,-1,4) e B(-1 ,-7, I) e seja perpendicular a ele. 5) Dada a equação geral do plano 1t: 3x- 2y- z- 6 =O, determinar um sistema de equações paramétricas de rr.

,..

I""'"

Cap. 6

O plano 143

142 Vetores e Geometria Analítica

6) Sendo

21) r 1 :

X= I +h- 2t y= I -t z = 4 + 2h- 2t

{

equações paramétricas de um plano 1t, obter uma equação geral.

Nos problemas de 7 a 11, escrever uma equação geral e um sistema de equações paramétricas do plano determinado pelos pontos: 7) A(l,0,2), B(-1,2,-1) e C(l, 1,-1). 8) A( O, O, 0), B(l, I, 5) e C( -I, 1, 1). 9) A(2, O, -1), B(-2, 6, 3) e C(O, 3, 4). 10) A(2, 1, 0), B(-4, -2, -1) e C(O, O, 1). 11) A(2, 1,3), B(-3,-1,3) e C(4,2,3). 12) Determinar o valor de a para que os pontos A(a, 1, 9), B(2, 3, 4), C(-4, -1, 6) e D(O, 2, 4) sejam coplanares. Nos problemas de 13 a 18, determinar uma equação geral do plano nos seguintes casos:

13) O plano passa por A(2, O, -2) e é paralelo aos vetores ~ = T- + k e ~ = 2 T + 3 14) O plano passa pelos pontos A(-3, 1, -2) e B(-1, 2, 1) e é paralelo à reta r· ~ = ~- y=4 2 -3' o

15) O plano contém os pontos A(l, -2, 2) e B(-3, 1, -2) e é perpendicular ao plano 1t 1 : 2x + y- z + 8 =O. 16) O plano contém os pontos A(2, 1, 2) e B(l, -1, 4) e é perpendicular ao plano xOy. 17) O plano contém a reta x=2+t r: y=1-t { z = 3 + 2t e é perpendicular ao plano 1t 1: 2x + 2y - 3z = O 18) O plano contém o ponto A( 4, I, 1) e é perpendicular aos planos 1t 1: 2x + y - 3z = O e 1t2: x + y - 2z - 3 = O.

Nos problemas de 19 a 22, os pares de retas r 1 e r 2 são paralelas ou concorrentes. Encontrar uma equação geral do plano que as contém. 19) rl:{y=2x-3 Z =-X+ 2 1 + 2t y = -2 + 3t z = 3- t

r2 :

{

20) r 1 :

{

X=-2+t y = -t { z -3

r2 :

{

~=~ 3

y =- 1 X= 1- 2t y = -2- t z = 3 + 2t

-1

y =-X

rz: { z

r2 :

X= -t y =1 { z::;:;; 2- t

Nos problemas 23 e 24, determinar ponto e a reta dados: { x 23)A(4,3,2)

Ul1Ul

equação geral do plano que contenha o

y=2

z = 3 + 2t 24) A(l, -1, 2)

o eixo dos z

Nos problemas de 25 a 30, obter uma equação geral do plano 25) paralelo ao eixo dos z e que contenha os pontos A(O, 3, 4) e B(2, O, -2);

paralelo ao eixo dos xeque contenha os pontos A(-2, O, 2) e 8(0, -2, 1); paralelo ao eixo dos y e que contenha os pontos A(2, 3, 0) e B(O, 4, 1); paralelo ao plano xOy e que contenha o ponto A(5, -2, 3); perpendicular ao eixo dos y e que contenha o ponto A(3, 4, -1 ); que contenha o ponto A(l, -2, 1) e o eixo dos x. Representar graficamente os planos de equações: a) 3x+4y+2z-12=0 e)3y+4z+12=0 b) 6x+4y-3z-12=0 f)2z-5=0 c) x + y - 3 = O g) y + 4 = O d) 2x + 3y- 6 =O h) 2x- y =O 32) Determinar o ângulo entre os seguintes planos e 1t 2: 2x - y - z + 3 O a) rr 1: x 2y + z 6 = O b) rr 1: x y + 4 O e 1t 2 : 2x y z O c) 1t1:x+2y 6 O e 1t2:y=O 26) 27) 28) 29) 30) 31)

d) 1t 1:

{

X =1+ h t y =h+ 2t Z=h

{ X=2+ t

rr 2 :

y = -2h Z=h+t

33) Determinar o valor de m para que seja de 30° o ângulo entre os planos rr1: x + my + 2z - 7 = O e rr2: 4x + 5y + 3z + 2 = O 34) Determinar m de modo que os planos 1t 1 e rr 2sejam perpendiculares: e rr 2: 2x 3my + 4z + 1 = O a) rr 1: mx + y - 3z - 1 =O

Cap. 6

O plano 145

144 Vetores e Geometria Analítica

b)n 1 :

x=2-h+2t y=2h+3 { z = t- 2h + l

n 2: 2mx + 4y - z - l

Nos problemas de 45 a 47, determinar o ponto de interseçllo da reta r com o plano 45) r : x =3t, y = 1 - 2t, z = -t e 1t : 2x + 3y - 2z - 7 = O = x 10 46) r: z -x + 1 e n : 2x y + 3z 9 O

rc:

35) Dados a reta r e 0 plano n, determinar o valor de m para que se tenha I) r/In e Il) rl_n, nos casos: a) r : x = -3 + t, y = -1 + 2t, z = 4t e n : mx - y - 2z - 3 = O b) r: (x, y, z) = (1, 2, O)+ t(2, m, -1) e n: 3x + 2y + mz =O 36) Verificar se a reta r está contida no plano n: r: { y = 4x + 1

n : 2x + y - 3z - 4 = O

z = 2x- 1

y+2 b) r: x-2=--=z+3 2

47)

49)

contida no plano n: 37) r:

{ ' ~ -2 + t y = 3- 2t z = 2t

38) r: {y = 2x- l z = -x + m 1 + 3t y = -2 + mt z = n- 4t

n : mx + 2y - 3z + n = O 50)

n : 5x - ny + z + 2 = O

n : 3x - 3y + z - 7 = O

51)

39) r : {

Nos problemas de 40 a 42, estabelecer equações reduzidas na variável x da reta interseçüo dos planos:

n2 : x + 2y - 3z - 4 = O e 40) n 1:3x-y+2z-1=0 1[2: X + 2y - Z - 7 = 0 e 41) n 1 :3x-2y-z-1=0 n2 : x + y + 2z - 1 = O e 42) n 1:x+y-z+2=0 Nos problemas 43 e 44, encontrar equações paramétricas da reta interseção dos planos: 43) n 1:3x+y-3z-5=0 44) n 1:2x+y-4=0

n 2:

x -

y - z - 3 =O

{

4+ k

= 3 + 2k z = -2- 3k y.

2 +h+ 2t v=-3-h-t z = 1 + 3h- 3t X=

{

48) Sejam a reta r e o plano 1t dados por 2 3 xe r ·{y n: 2x + 4y - z - 4

x=h+t n: y=-1+2h-3t { z = -3 +h- t

Nos problemas de 37 a 39, calcular os valores de m e n para que a reta r esteja

53)

54)

55)

Z =-X+

= O. Determinar:

a) o ponto de interseção de r com o plano xOz; b) o ponto de interseção de r com n; c) equações da reta interseção de n com o plano xOy. Dado o ponto P(5, 2, 3) e o plano n: 2x + y + z 3 =O, determinar a) equações paramétricas da reta que passa por P e é perpendicular a n; b) a projeção ortogonal de P sobre o plano n; c) o ponto P' simétrico de P em relação a n; d) a distância de P ao plano 1t. Determinar equações reduzidas na variável x, da reta que passa pelo ponto A(3, -2, 4) e é perpendicular ao plano 1t: x- 3y + 2z- 5 =O. Obter equações paramétricas das retas nos casos: a) A reta passà por A( -1, O, 2) e é paralela a cada um dos planos n 1:2x+y+z+ 1 O e Jt 2:x 3y z-5=0. b) A reta passa pela origem, é ortogonal à reta r: 2x y 3z e paralela ao plano n: x - y - z + 2 = O. Escrever uma equação geral do plano que passa por A( -I, 2, -1) e é paralelo a cada uma das retas r 1: y = x, z = 1 - 3x e r 2: 2x = y = 3z. Achar equações paramétricas da reta r que passa por A, é paralela ao plano Jt e concorrente com a reta s, nos casos: s: x = 1 + 3t, y = 3- t, a) A(2, 1, -4), n: x- y + 3z- 5 =O, z = -2- 2t; b) A(3, -2, -4), n: 3x 2y- 3z + 5 =O, s: x = 2 + t, y = -4 2t, z 1 + 3t. Determinar ainda o ponto de interseção entre r e s. Dada a reta r: x = 3 + t, y = 1 2t, z = -1 + 2t, determinar equações reduzidas das retas projeções de r sobre os planos xüy e xüz. Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A(3, 6, 4), intercepta o eixo Oz e é paralela ao plano n: x - 3y + 5z - 6 = O.

-Cap. 6

146 Vetores e Geometria Analítica

56) 57) 58) 59) 60) 61) 62) 63) 64)

65)

Nos problemas de 56 a 62 apresentar uma equação geral dos planos: O plano que passa por A(-1, 2, -4) e é perpendicular aos planos 1t 1: x + z = 2 e n 2 : y- z =O. O plano que intercepta os eixos coordenados nos pontos de abscissa, ordenada e cota iguais a -3, 6 e -5, respectivamente. O plano que passa por A(l, -3, 4) e intercepta os três semi-eixos de mesmo sinal a igual distância à origem do sistema. O plano paralelo ao eixo dos z e que intercepta o eixo dos x em -3 e o dos y em 4. O plano paralelo ao plano xOz e que intercepta o eixo dos y em -7. O plano que passa pela origem e é paralelo às retas ri: y = -x, z = 2 e r 2 : (x, y, z) = (2, -1, 4) + t(l, 3, -3). O plano que passa por A( -I, 2, 5) e é perpendicular à interseção dos planos ni:2x-y+3z-4=0 e n 2:x+2y-4z+l=0. Estabelecer equações gerais dos planos bissetores dos ângulos formados pelos planos xOz e yOz. Calcular os valores de m e n para que a ret(! r esteja contida no plano n: a) r: x = 2 - 2t, y = -1 - t, z = 3 e n : 2mx - ny - z + 4 = O b) r: (x, y, z) = t(2, m, n) + (n, 2, 0) e n: x- 3y + z = 1 Calcular k de modo que a reta determinada por A(l, -1, O) e B(k, I, 2) seja paralela ao plano n: x = I + 3h, y = 1 + 2h + t, z = 3 + 3t.

72) O plano n: 3x + 2y + 4z- 12 =O intercepta os eixos cartesianos nos pontos A, B e C. Calcular: a) a área do triângulo ABC: b) a altura deste triângulo relativa à base que está no plano xOz: c) o volume do tetraedro limitado pelo plano n e pelos planos coordenados.

Respostas de Problemas Propostos l)a)(1,3,2)

b)(0,6,2)

2) 2x 3y z- 13 O 4) 4x + 4y + 2z + 3 O 6) 2x- 2y- z + 4 =O

8) 2x + 3y z

{

66) 67) 68)

69)

70)

71)

3x + 2y- 6 =O

10) x 2y

ll)z 3=0

{

t, y =h, z

X= 1- 2h y = 2h + t z = 2- 3h 3t X h t y=h+t z = 5h + t

2 4h 2t

= 6h + 3t z = -1 + 4h + 5t y

x=2-6h-2t y 1 - 3h t { z =-h+ t

X= 2- 5h + 2t y = 1 - 2h + t z=3

{

12) a = 3 - Sz 16 =O 13) 3x 14) 3x- 12y + 2z + 25 =O 15) x - 12y - lüz - 5 = O l6)2x-y 3=0 17)x 7y 4z+ 17 O 18) X + y + Z 6 := 0 19) x + y + 3z - 3 O 20) 5x - 2y + 4z - 2 I = O 21)6x+6y-z+9=0

d)(2,-4,-2)

3) 2x 3y + 4z 4 O 5) Existem infinitos. Um deles é: x

7) 3x + 6y + 2z - 7 = O

c)k

Nos problemas 66 e 67, obter uma equação geral do plano que contenha o ponto e a reta dados: X + 2y + Z - 1 = 0 r. { A(3, -2, -1) e · 2x + y - z + 7 = O A( 1, 2, I) e a reta interseção do plano x - 2y + z - 3 = O com o plano yOz. Mostrar que as retas r,:{3x-y-z=0 e ro.·{x-3y+z+3=0 3x - y - z + 5 = O 8 x - 2y - 3z + 1 = O são paralelas e encontrar uma equação geral do plano determinado por estas retas. Determinar o ponto P de interseção dos planos 2x- y + z- 8 =O, x + 2y - 2z + 6 =O e 3x- z- 3 =O e uma equação geral do plano determinado por P e pela reta r : x = y, z = 2y. Dadas as retas ri: y = -2x, z = x e r 2 : x = 2- t, y = -1 + t, z = 4- 2t, determinar a) o ponto P' simétrico de P(l, O, 5) em relação à reta r 1; b) o ponto O' simétrico de 0(0, O, O) em relação à reta r2 • Ach;•r o pnnto N, projeção ortogonal do ponto P(3, -1, -4) no plano determinado pelos 1 1-'vlilU.'> r>v:., -2, '3), B(4, -3, -2) e C(O, -4, 5). Qual o ponto simétrico d<' p PP' fP "lç'í.~ · . 't: p1an:1:

O plano 147

22) 2x + y 2z + 3 =O 23) x- 9y- 5z + 33 =O 24)x+y=0 25) 3x + 2y- 6 =O 26) y - 2z + 4 = O 27)x+2z-2=0 28)z 3 29) y = 4 30) y + 2z =O

e)k=-12 -6 + 3h 2t

r---------------------~---------------------------,.

Cap. 6 148 Vetores e Geometria AnalĂtica

32) a) 3

~ 6

33) I ou 7 34) a) -12

d) are cos r;-;

"V14

b) 2

1 35) a) 10 e - 2

36) a) sim 37)m= 10 38) m = -4

54) 55) 56) 57) 58) 59) 60) 61) 62) 63)

c) are cos

e e

b) -6 e nĂŁo existe valor para m b) sim n= 14 n=2

39) m = e n = -2 3 40) {y=-llx+ 11 z=-7x+6 1 3 41) = x + 2 2 z = 2x- 4 =-X-} 42)

65) 66) 67) 68) 69)

y=6+2t,

43){x=t y = -1 z = t- 2

y - Z - 1= 0 1Ox 5y + 6z + 30 = O x+y+z 2=0 4x - 3y + 12 = O y=-7 3x+3y+4z=0 2x 11 y - 5z + 49 = O X + y =0 e X y

b) ( 18

b)x=3-2t,

4 )

u'u' 11

a) x = 5 + 2t, y = 2 + t, z = 3 + t y=-3x+7, z=2x-2 a) x = 2t- 1, y = 3t, z = -7t + 2 20x - 11 y + 3z + 45 = O

53) a) x = 2 + 7t,

b) (1, O, 1)

y=-_!_X+ 1 2

{

z=O c) (-3, -2, -1) d)

b)x=4t, y=-5t, z=9t

y = 1 + t,

z = -4- 2t

_!__! ( 2' 2'

y=-2+31,

z=-4-4t

(-5, 10, -20)

2J6

b) m

3 2x + 3y + z + 1 = O 6x- 2y + z- 3 =O 4x + 2y- 3z + 5 = O P(2, -1, 3), 5x + y- 3z =O

72) a)

z=4+t

X-

71) N(5, -2, -3),

44){x=t y = 4- 2t z=5 45) (6, -3, -2) 46) (2, -8, -1) 47) (1, -3, 7) 3 1 48) a) (-,O, -)

y=O

e z ;; 2x - 7,

b O'( 1 5 2)

70) a) P'(1, -4, -3)

z= 1

49) 50) 51) 52)

z =O

x=3+t,

64) a) m

{y {y

y = - 2x + 7,

3J29 u.a.

)

3 3 3

(7, -3, -2)

-129 5

u.c.

c) 12 u.v.

O plano 149

152 Vetores e Geometria Analítica

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A área A do paralelogramo é dada

---------------------'l /

/ / /

por / /

a) A= (base) (altura) = Iv I . d ou também por

Distâncias

b) A= I v x AP I (Capítulo 3) Comparando a) e b), vem

///"

A Figura 7.1

d = d(P, r) =

APl

(2)

Ivi

Exemplo Calcular a distância do ponto P(2, 1, 4) à reta X= -1 + 2t r: y = 2- t { z = 3- 2t

Distância entre dois Pontos Dados os pontos P1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) e P2 ( x 2 , y 2 , z 2 ), a distância dentre eles é I P1P :::! . Como

Solução A reta r passa pelo ponto A(-1, 2, 3) e tem direção do vetor v= (2, -1, -2). Seja ainda o

tem-se

vetor AP = P - A= (3, -1, 1). Calculemos (1)

-v X AP

Exemplo Calcular a distância entre P1(2, -1, 3) e P2 (1, 1, 5).

P1 ==(1, 1,5) (2,-1,3)==(-1,2,2)

de acordo com ( 1), tem-se 1

)

2 == ~·(--1-)2_+_2_2_+_2_

-1

-2 = (-3, -8, l)

-1

(-3, -8, 1) d(P, r) = I ( 2, -1, -2 ) I 1

d(P , P

De acordo com (2), temos

Solução Como P1P 2 == P2

3 u.c. (unidades de comprimento)

Distância de um Ponto a uma Reta Dado um ponto P do espaço e uma reta r, quer-se calcular a distância d(P, r) de P a r. Consideremos na reta r um ponto A e um vetor diretor~. Os vetores ~ e AP determinam um paralelogramo cuja altura corresponde à distância d(P, r) (Figura 7.1).

~(-3)2 + (-8)2 + 12

J22 + (-1)2 + (-2)2

J74

--u.c. 3

Observação

Uma outra forma de calcular esta distância seria proceder assim: 1º)encontrar uma equação geral do plano 1t que passa por p e é perpendicular à reta r (um vetor normal a 1t é um vetor diretor de r); 2º) determinar o ponto I de interseção de 1t e r; 3º) calcular a distância por d(P, r)= IPI I. A Figura 7.2 ilustra este procedimento.

Figura 7.2

Cap. 7

Distâncias 153 154 Vetores e Geometria Analítica

Distância de Ponto a Plano

Observemos que a expressão a x 0 + b y 0 + c z 0 + d se obtém substituindo x, y e z

Dado um ponto P0 e um plano 1t, quer-se cal-

no primeiro membro da equação geral de n pelas coordenadas do ponto P0

cular a distância d( P0 , 1t) de P0 a 1t. Seja A

Exemplo

um ponto qualquer de 1t e n um vetor normal a n. A Figura 7.3 esclarece que a distância d( P0 , 1t) é o módulo da projeção de AP o na direção de n . De acordo com o visto no Capítulo 2, tem-se d( P0 , Jt)

jrroj; APoj

I APo ,

1 1

Calcular a distância do ponto P0 (4, 2, -3) ao plano n: 2x + 3y- 6z + 3 =O. Solução d (P0 • n) =

Figura 7.3

(3)

como

APo = (x 0

x 1, Yo- y 1, z 0

z1) e

-:::;:-=-;======~=pela

12(4)+3(2)-6(-3)+31 18+6+18+31 35 -5 ~2 2 +3 2 +(-6) 2 ~4+9+36

-7-

Observações

Admitindo-se então que P0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ), n: ax+ by+ cz+ d=O eA(x 1 ,y 1 ,z 1 ) E 1t,

a) Uma outra forma de calcular esta distância seria proceder assim:

1º) encontrar equações da reta r que passa por P0 e é perpendicular ao plano n (um

vetor diretor de r é um vetor normal a n); 2º) determinar o ponto I de interseção de r e n; 3º) calcular a distância por d( P0 , n) = I Pi I. A Figura 7.4 ilustra este procedimento. b) A fórmula (4) é também aplicada se tivermos dados: bt) dois planos n 1 e n 2 paralelos. Neste caso: d( n 1 , n 2 ) = d( P0 , n 2 ), com P0 E n 1 ou d( n: 1 , n 2 ) = d( P0 , n: 1 ), com P0 E n: 2

fórmula (3) vem

In I

Jr paralelos. Neste caso: d(r, n:) = d(P. n), com P E r

Como A E n, suas coordenadas satisfazem a equação de n, isto é, ax 1 +by 1 +cz 1 +d O

Exemplo

d = -a X l Logo,

Calcular a distância da reta y = 2x + 3 r· { · z = 2x + 1 ao plano n: 4x- 4y + 2z- 7 =O

e C ZI

(4)

Solução Observemos primeiramente que r// n, pois

v . n = (1, 2, 2) . (4, -4, 2) = 4 - 8 + 4 = O

--fi-__J

L . _ _ __ _

b2) uma reta r e um plano

b yl

Figura 7.4

Cap. 7

Distâncias 155 156 Vetores e Geometria Analítica

sendo v vetor diretor de r e n um vetor normal a (4) tem-se 4(0)- 4(3) + 2(1)- 7 d(r, rc) = d(P, rc) =.:.__r======~

Então, tomando P(O, 3, I)

r, por

Comparando a) e b) vem

d = d( r 1, r 2 ) =

Dadas as retas r1 e r 2 , quer-se calcular a distância d( r1 , r2 ). Podemos ter os seguintes p

I) r1 e r 2 sâo concorrentes.

2) r1 e r2 são paralelas.

Neste caso: d( r1 , r 2 ) = d(P, r2 ), com P E r1 Figura 7.5

{

y = 3- 2t

rz:

z= I -t

A Figura 7.5 ilustra esta situação, que se reduz ao cálculo da distância de ponto à reta.

_ VI

Então, A 1A 2 = A 2 (

~~. ~2.

rz pelo

A 1A 2

I -2

-1

-I = 9

-2

X V2 =

Os vetores~~. ~ 2 e A 1A 2 , por serem não-coplanares,

-6

k Vt

-I = (3, O, 3)

-1 De acordo com (5) temos

determinam um paralelepípedo (Figura 7.6) cuja altura é a distância d( r1 , r 2 ) que se quer

191

I (3, O, 3) I

calcular (a reta r2 é paralela ao plano da base do paralelepípedo

Observação

definida por Vt e v2 ). O volume V do paralelepípedo é dado por

Uma outra forma de calcular esta distância seria proceder assim: 1º)encontrar uma equação geral do plano rc definido pelo ponto A 1 e pelos veto-

(Capítulo4)

=(1,-2,-l)eareta

A 1 = (1, -6, 2) e

Seja r1 a reta definida pelo ponto A 1 e pelo vetor diretor v 1 e a reta r~ pelo ponto

~(~I.~2.A 1 A 2 )1

= x- 3 z =-X+ I

Solução

3) r1 e r2 são reversas

b) V

Areta r1 passapeloponto A 1(-1,3. l)etemadireçãode

r1 ) com P E r 2

a) V= (área da base). (altura)= I v 1 x v2l. d ou também por

(5)

~21

ponto A 2 (0, -3, I) e tem a direção de ~2 = (1, 1. -I).

A 2 e pelo vetor diretor v 2

X=-]+ t r1 :

= d(P,

l~1

Calcular a distância entre as retas

casos:

d( r 1 , r2 )

Exemplo

Distância entre Duas Retas

Neste caso: d( r1 • r 2 )

I(~!. ~2. AIA2)

__!__ _ _ _ _____,_

Figura 7.6

J18

res diretores ~ 1 e ~ 2 (o vetor normal a

- -

rc é dado por n = VI x v2 ). Como v2 é vetor diretor de TC, a reta r2 é paralela a rc (Figura 7.7).

Figura 7.7

1 ........

Cap. 7

2º) calcular a distância por d( r1 , r1 ) =d( r2 , rr)

= d(P, n:), P E

r2 ,

aplicando a fórmula (4).

e P 2 (2. -1, 0) Achar a distâncía do ponto P à reta r, nos casos: 3) P(2, 3, -1) r: x = 3 + t y = -2t 4) P(l,-I,O) r:x=2-t y O 5) P(3, 2, I) r : y 2x z =x + 3

7) 8) 9) 10)

z =I- 2t z=t

n::2x 1t : X

13) P( L 3, -6) 14) P(O, O, 0)

1t :

z+3

1t :

x + y 12

19) r:{x = 3 y=4

1t:

y o

r2 : x == t

l -3t

z = -2t- 2

z = 1 - 2t

-J19 J3

= 2t

z = 2x- 1

+ t(l, -1, 3)

z = -4x

y=2

r2 : x = 1

y=4

r 2 : eixo dos z

y=4

13)

-ft3

14) 4

19) 4 20) __2__

fii7 J6

15)

_i_

1 21)-

10) 4

I6)

22)

J6 o

5)~

Achar a distância entre r 1 e r 2 , nos casos: y == 3 + t

y= t + 2

fu 35

Jil

11)

17)

__2_

23)

2J3

18)

__2_

24) 2J2

12)

25) 5

Achar a distância da reta r ao plano Jt, nos casos: 17) r: x 4 + 3t y I +t z == t e Jt: x y 2z + 4

20) r1 : x = 2 - t

r 2 : (x, y, z) = (2, -1, 2)

+ y + z =o n:: 4x y + z + 5 =O

3x - 4y + 20 = O X= 2 + 2h + 3t 15) P( 1, 1, 1) 1t : y == -1 + h + t { z = 2- h 16) Calcular a distância entre os planos paralelos n1: x + y + z 4 e rr 2 : 2x + 2y + 2z

18) r: {;

z=3

P(3, -1, I) r: (x, y, z) = (2, 3, -1) + t(l, -4, 2) P(l, 2, 3) r: eixo Ox P(l, 2, 3) r: eixo Oz P(I,2,3) r:x z=-1 Achar a distância do ponto P ao plano Ir, nos casos:

li) P(2,-1,2)

r2 : y = x

22) ri: y = 2x 23) ri: x = t + 1

Respostas de Problemas Propostos

:{~x+ :-+2~ +31 = 00

12) P(3, -L 4)

21) ri: x = y = z

24) ri: x = 3 25) ri: x = 3

Achar a distância de P1 a P2 , nos casos: 1) P1 (-2,0,1) e P2 (l,-3,2)

158 Vetores e Geometria Analítica

r 2 : y = 3x

Problemas Propostos

6) P(O, O, O)

Distâncias 157

160 Vetores e Geometria Analítica

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Cônicas (a)

As Seções Cônicas Sejam duas retas e e g concorrentes em O e não-perpendiculares. g Conservemos fixa a reta e e façamos g girar 360 graus em torno de e mantendo constante o ângulo entre estas retas. Nestas condições, a reta g gera uma superfície cônica circular infinita formada por duas folhas separadas pelo vértice O (Figura 8.1 ). A reta g é chamada geratriz da superfície cônica e a reta e, eixo da superfície. Chama-se seção cônica, ou simplesmente cônica, ao conjunto de pontos que formam a interseção de um plano com a superfície cônica. Quando uma superfície cônica é seccionada por um plano TC qualquer que não passa pelo vértice O, a cônica será: Figura 8.1 a) uma parábola, se rr for paralelo a uma geratriz da superfície (Figura 8.2(a)); b) uma elipse, se TC não for paralelo a uma geratriz e intercepta apenas uma das folhas da superfície (Figura 8.2(b)) (ou uma circunferência, se rr for perpendicular ao eixo). c) uma hipérbole, se 1t não é paralelo a uma geratriz e intercepta as duas folhas da superfície (Figura 8.2(c)). A hipérbole deve ser vista como uma curva só, constituída de dois ramos, um em cada folha da superfície.

(b)

(c)

Figura 8.2

Observação As superfícies cônicas apresentadas nas Figuras 8.2 e 8.3 devem ser encaradas como ilimitadas, isto é, constituídas de duas folhas que se estendem indefinidamente em ambos os sentidos. Se cada um dos planos secantes da Figura 8.2 forem transladados paralelamente até chegarem ao vértice O, obteremos as respectivas cônicas "degeneradas" da Figura 8.3: (a) uma reta (b) um ponto (c) duas retas

(a)

(b)

Figura 8.3

(c)

Cap. 8

Cônicas 161 162 Vetores e Geometria Analítica

As comcas foram de fundamental importância para o desenvolvimento da astronomia. sendo descritas na antigüidade por Apolônio de Perga, um geômetra grego. Mais tarde, Kepler e Galileu mostraram que essas curvas ocorrem em fenômenos naturais. como nas trajetó1ias de um projétil ou de um planeta. No final deste capítulo estão descritas as propriedades de reflexüo para cada uma das cônicas com algumas de suas aplicações. No Museu de Ciências e Tecnologia da Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul encontra-se um experimento que diz respeito às propriedades da reflexão anteriormente referidas, chamado reflexão sonora. Trata-se das Parábolas Acústicas. Na verdade, são parabolóides constituídos por duas antenas parabólicas metálicas (fotos da Figura 8.4). Estas antenas de mesmo tamanho estão perfeitamente alinhadas e dispostas uma em frente a outra e separadas por aproximadamente 20 m (para maior nitidez foram necessárias duas fotos, razão pela qual a idéia desta distância não foi possível passar). O anel metálico num determinado ponto representa o foco da antena. Quando uma pessoa fala, emitindo o som próximo ao anel (foto da esquerda), as ondas sonoras refletidas na superfície da antena produzem um feixe de ondas paralelas que, ao incidirem na outra antena, refletem-se convergindo para o foco (anel) desta. Então, uma outra pessoa com o ouvido próximo deste anel (foto da direita) ouve nitidamente a primeira.

A Figura 8.4(a) esquematizao experimento descrito anteriormente.

foco

eixo

foco

20 metros Figura 8.4 (a)

É importante observar que as cônicas são curvas planas e, portanto, tudo o que dissermos sobre parábola, elipse e hipérbole se passa num plano.

PARÁBOLA Definição Parábola é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo e de uma reta fixa desse plano. Consideremos uma reta de um ponto F não pertencente a d. Na Figura 8.5 estão assinalados cinco pontos (P~o P 2, V, P 3 e P) que são eqüidistantes do ponto F e da reta d. e

Figura 8.5 Figura 8.4

,... Cap. 8

Cônicas 163 164 Vetores e Geometria Analítica

Então, um ponto P qualquer pertencente à parábola, se e somente se,

d(P,

F)~

Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos

d(P, d)

P2 =(x-x) 2 +(y+-) P2 (x-0) ~ +(y--)

ou, de modo equivalente d(P,

F)~

d( P, P')

(l)

onde P' é o pé da perpendicular baixada de P sobre a reta d.

Elementos

ou simplesmente,

Pela Figura 8.5, tem-se: Foco: é o ponto F. Diretriz: é a reta d. Eixo: é a reta e que passa por F e é perpendicular a d. É fácil ver pela própria definição de parábola que esta curva é simétrica em relação ao seu eixo. Fértice: é o ponto V de interseção da parábola com o seu eixo.

Equações reduzidas y

bola (Figura 8.6) de foco F( O, E) e diretriz de 2 equação y ~ - E . 2 A definição de parábola expressa pela igualdade ( 1) é equivalente a IFPI Corno P'(x,

Observações a) O número real p :;t: O é chamado parâmetro da parábola. b) Da equação (2) conclui-se: como py ~O,

P'(-~, y)

-~--~(x,y)

2px

I/;,;V1

/F(%.0)

(3)

Da análise da equação (3) conclui-se imediatamente: se p > O, a parábola tem abertura para a direita e se p < O, para a esquerda (Figura 8.9 a seguir).

y<O p<O

focoF(~.O) e diretriz x=-E_obteremos, de forma

2 2 análoga ao 1o caso, a equação reduzida

~)I ~ Jc x - x, Y +~)I

y>O p>O

2") O eixo da parábola é o eixo dos x Sendo P(x, y) um ponto qualquer da parábola (Figura 8.8) de

Figura 8.6

vem

I< x - o, y -

IP'PI

_E) E d,

que é a equação reduzida para este caso.

o parâmetro p e a ordenada y de P têm sinais iguais (py = O se y = 0) e, conseFigura 8.7 qüentemente, se p > O a parábola tem abertura para cima e, se p <O, para baixo (Figura 8.7). c) O gráfico da equação (2) é simétrico em relação ao eixo dos y pois substituindo-se x por -x a equação não se altera, isto é, se o ponto (x, y) pertence ao gráfico, o ponto (-x, y) também pertence. y

Seja a parábola de vértice V(O,O). Consideremos dois casos: 1°) O eixo da parábola é o eixo dos y Seja P(x,y) um ponto qualquer da pará-

(2)

Figura 8.8

Cap. 8

Cônicas 165 166 Vetores e Geometria Analítica

-:1

Portanto, foco: F(-_!_,0) 2 I

Figura 8.9

Exemplos 1) Para cada uma das parábolas

8ye x

, construir o gráfico e encontrar o

foco e uma equação da diretriz. Solução

diretriz: x = ~ 2 2) Traçar um esboço do gráfico e obter uma equação da parábola que satisfaça as condições: a) vértice V(O, 0) e foco F(l, O) b) vértice V(O, O) e diretriz y = 3 c) vértice V(O, 0), passa pelo ponto P(-2, 5) e concavidade voltada para cima. Solução a) A equação é da forma

a) x 2 =8y

y 2= 2px (Figura 8.12- o eixo da parábola é Ox) Mas,

Observemos que nesta equação, a cada valor de y, por exemplo, 2, correspondem dois valores de x simétricos, no caso, 4 e -4. Logo, os pontos (4, 2) e (-4, 2) pertencem à parábola (Figura 8.1 0). Como a equação é da forma y x

= 2py, tem-se

p=2

2p = 8 p=4

2p = 4 Substituindo este valor de 2p na equação acima, obtemos 2

-4

------2+---- y -2

Portanto, foco: F(0,2) diretriz: y -2 h) A equação reduzida de x

y =4x b) A equação é da forma

E_=-3

= -2x

P<O

2p=-12 Figura 8.13

Logo, a equação é X

------ 2

Figura 8.12

x 2 = 2py (Figura 8.13- o eixo da parábola é Oy) Mas

Figura 8.10

Observemos que nesta equação, a cada valor de x, por exemplo, -2, correspondem dois valores de y simétricos, no caso, 2 e -2. Logo, os pontos (-2, 2) e (-2, -2) pertencem à parábola (Figura 8.11).

-l2y

c) A equação é da forma x 2 = 8y (Figura 8.14- o eixo da parábola é Oy) Como P pertence à parábola, o ponto (-2, 5) é uma solução da equação, isto é, a afirmação

Como a equação é da forma y 2 = 2px, tem-se 2p = -2 p = -1 E_ __!_

2 Figura 8.11

(-2) 2 =2p(5) é verdadeira. Daí vem 4 2p=~ 5

Figura 8.14

Cap. 8

Cônicas 167

e, portanto, a equação desejada é 4 =-'V

168 Vetores e Geometria Analítica

e pela substituição em (5) resulta a equação (x- h) 2

que é afornza padrão para este caso e referida ao sistema xüy. As observações feitas anteriormente com relação ao parâmetro p continuam válidas: se p > O, a parábola está voltada para cima e, estará para baixo, se p < O.

-4y=O

Translação de Eixos

x'+h

2°) O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x

Consideremos no plano cartesiano xüy um ponto O 1 (h,k), arbitrário. Vamos introduzir um novo sistema X 1 0 1 y 1 tal que os eixos 0 1 X 1 e 0 1 y 1 tenham a mesma unidade de medida, a mesma direção e o mesmo sentido dos eixos Ox e Oy. Assim, todo ponto P do plano tem duas representações: P(x,y) no sistema xOy e P( x 1 , y 1 ) no sistema x 1 O 1 y 1 (Figura 8.15) Desta figura obtém-se x

(y- k) 2

P(x,y) -~-

- - - - - - -.- - - - - - - I yl

-'----+----r--x 01

=2p(x - h)

P( X!) I)

Outras formas da equação da parábola serão apresentadas no próximo exemplo.

I I I

1--X-----

Exemplos I) Determinar uma equação da parábola de vértice V(3, -2), eixo paralelo ao dos y e parâmetro p = I .

Solução Como o eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y, sua equação é da forma I

(4) e

De modo análogo temos

y=y'+k

ou x'=x-h

=2p(y- k)

y'=y k Figura 8.15

(x- h) 2 = 2p(y- k) e, neste caso, temos

(x- 3) = 2(1 )(y + 2)

que são as fórmulas de translação. ou

Outras Formas da Equação de Parábola

Seja uma parábola de vértice V(h, k) :t= (0, 0). Consideraremos somente os casos de o eixo Y da parábola ser paralelo a um dos eixos yl coordenados. 1°) O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y

Com origem no ponto V, tracemos o sistema x 1 O 1 y 1 (O 1 =V) nas condições do que foi visto no item anterior (Figura 8.16). A parábola em relação a este sistema tem vértice na origem e, portanto, sua equação reduzida é 2

x' = 2py

(5)

Como para todo ponto P da parábola, por (4) temos 1 X =X h e Y 1 =y-k

[ y

(6) 2(y + 2) e cujo gráfico é o da Figura 8.17. A equação (6) ainda pode receber a forma x 2 - 6x + 9 = 2y + 4 ou (7) x 2-6x-2y+5=0 Figura8.17 que é a Equação Geral desta parábola. Assim, qualquer parábola cujo eixo coincide ou é paralelo a um dos eixos coordenados, sempre pode ser representada pela equação geral que terá uma das formas (x- 3) =

(8)

I I ~ ~~~04-------c,------r-----x >I

1------x--Figura 8.16

ou (9)

Cap. 8

Cônicas 169 170 Vetores e Geometria Analítica

Se em (7) isolarmos o valor de y, teremos y

Ora, sendo (0, -1 ), ( 1, 0) e (3, O) pontos da parábola, suas coordenadas devem satisfazer esta equação, isto é,

3x+ 5

-1 = a(0) 2 + b(O) +c

que é a Equação Explícita da parábola deste exemplo. Então, sempre que explicitarmos y numa equação do tipo (8) ou x numa equação do tipo (9), obteremos a respectiva equação explícita na forma

0=a(l)-+b(1)+c 2

fO= a(3) + b(3) +c

y = ax + bx +c a =F O

c= -1

ou x = ay 2 + by +c a =F O

{

2) Seja a parábola de vértice V(4, 2) e foco F(l, 2). Traçar um esboço do gráfico e deter-

minar sua equação geral.

Solução

. . 2p

= -12,

\1 F V t:ixo -~-----t---· h

+--:oo+---11':-l---1~-+-+1~-:4-- x

a equação acima fica

Figura 8.18

Efetuando as operações indicadas e ordenando, vem y 2 -4y+4=-12x+48

ou y

eixo I

Solução Entre a equação na forma padrão e a explícita, a segunda é mais simples para este problema. Então, como o eixo desta parábola é paralelo ao dos y, sua equação é da forma 2

y=ax +bx+c

4) Dada a parábola de equação y 2 + 6 y -8x + 17 =O, determinar a) sua equação reduzida; b) o vértice; c) um esboço do gráfico; d) o foco e uma equação da diretriz; e) uma equação do eixo.

Solução

(y-2) = -12(x 4)

3) Determinar uma equação da parábola da Figura 8.19.

l<t-----2----..1

y 2 +12x-4y 44 O que é uma equação geral desta parábola.

f= -3

y=--x-+-x-1 p<O

h =4. k = 2,

. . I - , a=--, 1 b =-e 4 s1stemacupsouçaoe c=-1 3 3 Logo, a equação da parábola é

2p(x- h)

e como

9a+3b+c =O

a) Um esboço do gráfico: Figura 8.18. b) Tendo em vista que o eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x, sua equação na forma padrão é (y-

a+b+c=O

a) Iniciemos escrevendo a equação na forma /'+6y=8x-17 Completemos o quadrado do primeiro membro: y 2 +6y+9=8x -17+9 Como adicionamos 9 ao primeiro membro, devemos fazer o mesmo com o membro da direita. A última equação pode ser escrita (y+3) 2 =8(x-l) (10) que é a forma padrão de uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos x. Então, se em (I O) utilizarmos as fórmulas de translação X =X-1 ey =y+3 obteremos 1

y~- =

Figura 8.19

que é a equação reduzida desta parábola referida ao sistema x 1 O 1 y 1 , onde O 1 =V (vértice), X 110x e 0 y //0y.

Cap. 8

Cônicas 171 172 Vetores e Geometria Analítica

b) Como a equação ( 10) é da forma padrão 2p(x -h)

onde h e k são as coordenadas do vértice. vem imediatamente: V(l, -3). c) Um esboço do gráfico: Figura 8.20. d) Confrontando (1 0) e ( l l} concluímos: 2p = 8, p

= 4,

2) (y -3) 2 = 2(x + 2)

(li) -1 3 --l---l-----1!---t---t--+---x

eixo

i---

constitui equações paramétricas desta parábola. 2) Fazendo y- 3 = t, vem y = t + 3. Então t Figura 8.20

=2(x+2)

e 2 t - 4 x=--

Consideremos a equação reduzida da parábola cujo eixo é o dos y:

= 2py

Nesta equação, onde x pode assumir qualquer valor real, se fizermos x ~ 1 ma d o para metro) teremos y = 2p

Assim, o sistema (t é cha-

Então, equações paramétricas da parábola são, neste caso, dadas por

X=\ {y 2p

Equações Paramétricas 2

t::,,

I I

E_ = 2 2

e pelo gráfico tem-se foco: F(3, -3) diretriz: x = -1 e) Eixo: y -3

Solução 1) Se fizermos x = t, teremos y = 4t 2 e, portanto, o sistema

tE R

De igual forma, se na equação

2px fizermos y :::: t, o sistema

{::::~4 constitui equações paramétricas desta parábola. Por outro lado, de y = t + 3, vem t = y - 3, que substituindo na primeira equação resulta (y-3) 2 -4 x=---2 ou

(y -3) 2 = 2(x + 2) que é a equação cartesiana dada inicialmente.

Problemas Propostos constitui equações paramétricas da parábola com vértice V(O,O) e eixo Ox. Com procedimento semelhante, obtém-se equações paramétricas no caso de o vértice da parábola não ser a origem do sistema, conforme exemplo a seguir.

Exemplos

Para cada uma das parábolas dos problemas de 1 a 10, construir o gráfico e encontrar o foco e uma equação da diretriz. y2 10) x=-4) X 2 + y = 0 7) X 2 - 10y = 0 1) X 2 = -4y 8 2) /=6x

5) y 2

3) y 2 = -8x

6) y 2+3x=O

- X=

Obter equações paramétricas da parábola de equação: I)

1 4

-y

8) 2y 2 - 9x =0 x2 9) y=l6

1 .....

Cap. 8

Cônicas 173

Nos problemas de 11 a 26, traçar um esboço do gráfico e obter uma equação da parábola que satisfaça as condições dadas. 11) vértice: V(O, 0); diretriz d: y -2 12) foco: F(2, 0); diretriz d: x + 2 == O 13) vértice: V(O, O); foco: F(O, -3) 14) vértice: V(O. 0); foco:

F(-_!_, 0) 2

15) foco: F(O, 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26)

; diretriz d: 4y

1 ==O

vértice: V(O, O); simetria em relação ao eixo dos y e passa pelo ponto P(2,-3) vértice: V(O, 0); eixo y ==O; passa por (4,5) vértice: V(-2, 3); foco: F(-2, l) vértice: V(2, -1 ); foco: F(5, -1) vértice: V(4, 1); diretriz d: y + 3 ==O vértice: V(O, -2); diretriz: 2x 3 O foco: F(4, -5); diretriz: y = I foco: F(-7, 3); diretriz: x + 3 =O foco: F(3, -1); diretriz: 2x- I= O vértice: V(4, -3); eixo paralelo ao eixo dos x, passando pelo ponto P(2, 1) vértice: V(-2, 3); eixo: x + 2 =O, passando pelo ponto P(2, O)

Em cada um dos problemas de 27 a 36, determinar a equação reduzida, o vértice, o foco, uma equação da diretriz e uma equação do eixo da parábola de equaçtío dada. Esboçar o gráfico. 2

27) x +4x+8y+l2=0 28) x 2 - 2x- 20y -39 =O .; 29) y 2 + 4y + 16x -44

30) y 2 -16x+2y+49=0 •

31) y=

x-? 4

-2x -1

32) x 2 -12y+72=0 33) y 34) y

- 4x+2 ? 4x x-

35) y 2 -12x -12 =0 36) 2x 2 -12x -y+14=0

174 Vetores e Geometria Analítica

Nos problemas de 37 a 39, encontrar a equação explícita da parábola que satisfaça as condiçl'ies: 37) eixo de simetria paralelo ao eixo dos y e passando pelos pontos A(-2, 0), B(O, 4) e C(4. 0).

38) eixo de simetria paralelo a x = O e passando pelos pontos A(O, 0), B( 1, -1) e C(3, -1 ). 39) eixo paralelo a y = O e passando por A( -2, 4 ), B( -3, 2) e C( -6, 0). 40) Dada a parábola de equação y =- x 2 + 4x + 5, determinar: a) o vértice; b) as interseções com os eixos coordenados; c) o gráfico; d) o foco; e) uma equação da diretriz.

Nos problemas de 41 a 44, obter equações paramétricas da parábola de equação dada. 41) y 2 =-4x 42)

= 2y

43) (x + 4) 2 =- 2(y- 1) 44) y 2

4y+x+l=O

Nos problemas 45 e 46, obter uma equação geral da parábola dada por equações paramétricas. 45)

jx =~:1 y=--2

47) Em que pontos a parábola de vértice V( -2, 0) e foco F(O, 0) intercepta o eixo dos y? 48) Encontrar sobre a parábola y 2 = 4x um ponto tal que sua distância à diretriz seja igual a 3. 49) Utilizar a definição para encontrar uma equação da parábola de foco e diretriz dados: a) F(-3, 4); d: y=2 b) F(O, 3); d: x-2 =O 50) Determinar uma equação da curva gerada por um ponto que se move de modo que sua distância ao ponto A(-1, 3) seja igual à sua distância à reta y + 3 =O. 51) Encontrar uma equação da parábola e suas interseções com os eixos coordenados, sendo dados: a) foco: F(O, 0), eixo: y =O e passa por A(3, 4); b) foco: F(O, -1 ), eixo: x =O e passa por A(4, 2).

Cap. 8

Cônicas 175 176 Vetores e GJ<>metria Analítica

52) Na Figura 8.21, o arco DC é parabólico e o segmento AB está dividido em 8 partes iguais. Sabendo que d = 10 m, AD = BC = 50 m e AB = 80 m, determinar h 1 e h 2 •

53) Uma farm1ia de parábolas tem equação y = ax + bx +8. Sabendo que uma delas passa pelos pontos (1,3) e (3,-1), determinar: a) os pontos de interseção com o eixo dos x; b) os pontos de ordenada 15; c) equações paramétricas desta parábola.

[0, 8]

{X=~: y

21) y 2 +4y+6x+4=0

15) x2=-y

22) x 2 -8x+12y+40=0

16) 3x 2 +4y=O

23) y 2 -6y+8x+49=0

17) 4y 2

24) 4y 2 +8y-20x+39=0

18) x 2 + 4x + 8y- 20 =O

25) y 2 +6y+8x-23=0

19) y 2 +2y-12x+25=0

26) 3x 2 +12x+l6y-36=0

v@ -1),

28) x' = 20y', V(l, -2), 29) y' =-16x', V(3,

F(l, 3),

y=_~J·

X =1·

F(-1, -1),

X =7,,

y = -2

V(3, -1),

F(7,-1),

X= -1,

y = -1

V(4, -5),

F(4, -4),

y = -6,

x=4

V(O, 6),

F(O, 9),

y=3,

x=Ü

V(2, -2),

7 9 F(2 , --) 4, y=-4,

34) x'2= -y',

V(2, 4),

F(2,

35) y' 2 =12x',

V(-1,0),

F(2, 0),

V(3, -4),

31 F(3, --), 8y +33 =O, 8

32) x' = 12y', 1:?_

=y'

0],

mostrar que eles representam parte de urna mesma parábola, esboçando o gráfico.

Respostas de Problemas Propostos 1) F(O, -1),

2) F(-, 0), 2 3) F(-2,0), 4) F(O,

2x+3=0 x=2 y

7) F( O.. 2_) 2' 2y+5=0

y =1

10) F(-2, 0),

1 5) F(-, 0), X 4 4 3 6) F(--,0), 4x-3 4

9 8) F(-, 0), 8x+9 8 9) F(O, 4), y+4 X 2

o o

36) X =2y,

4y-17 =Ü, X= -4,

37) y=--x-+x+4 2 1 7 4 38) y=-x~--x

39) x=--y-+2y-6 4

11)

40) a) V(2,9) d)F(2,

12)

[~-~

30) y' = 16x', 31) x' =4y',

tE [- 4,

-~,

F(j, -3), y = 1,

33)

+ 3,

25x =0

54) Dados os sistemas de equações paramétricas e

14) y 2 =-2x

27) x' =-8y', 2

20) x 2 - 8x -16y+32=0

Figura 8.21

{

13) x 2 =-12y

35 4

b)(-1,0),(5,0),(0,5) )

e)4y-37=0

x=2 x-2=0 y=O x=3

Cap. 8

Cônicas 1n 178 Vetores e Geometria Analítica

41)

42)

JX= ~ =t

46) y 2 - 4x + 16 O 47) (0,4) e (0, 4)

48) (2,

b) y 2 6y+4x+5

45)

F2 amarrando-se neles as extremidades de um fio não esticado. Um lápis que deixa o fio distendido marca o ponto P. Se fizermos o lápis deslizar sobre o papel, mantendo o fio sempre distendido, a ponta descreverá a elipse e, portanto, para todo o ponto P da elipse, a soma das distâncias d(P, F1) e d(P, F2 ) será sempre igual ao comprimento Figura 8.23 do fio, isto é, um valor constante, que na definição foi denominado 2a. Se variarmos as posições de F1 e F2 mantendo fixo o comprimento do fio, a forma da

50) x +2x-12y+l=O

Sl)a)

b) x -4y-8

O, (±2/2,0), (0,-2)

20m e h 2

elipse irá variar. Assim, quanto mais afastados um do outro estiverem os pontos F1 e F2 , tanto

32,5m

mais "achatada" é a forma da elipse. Por outro lado, se d(F1, F2 ) está próximo de zero, a elipse

53) a) (2, 0) e (4, 0) b) (-1, 15) e (7, 15)

{X= 3 t2 t+2 - 2x- 3y- 5

4x 4=0,(-1,0), (0.±2) 2

52) h 1 y

J8>

49) a) x +6x 4y+21=0

y -

44)

(2,-

{X= :2

43) {:::_

J8) e

Para construir uma elipse no papel, pode-se proceder como sugere a Figura 8.23: fixam-se dois percevejos em pontos arbitrários F1 e

é quase circular e no caso de F1 = F2 , temos a circunferência de centro F1 e raio a.

c)x=t+3e y=t 2 -1

Elementos

ELIPSE

Definição Elipse é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante. Consideremos no plano dois pontos distintos, F1 e F2 , tal que a distância d(F1, F2 )

2c, e um número real positivo a com 2a > 2c.

Chamando de 2a a constante da definição, um ponto P pertence à elipse (Figura 8.22) se, e somente se, (1)

Com base na Figura 8.24, tem-se: Focos: são os pontos F1 e F2 • Distância focal: é a distância 2c entre os focos. Centro: é o ponto médio C do segmento F1 F2 . Eixo maior: é o segmento A 1A 2 de comprimento 2a (este segmento contém os focos). Eixo menor: é o segmento B 1B 2 de comprimento 2b e perpendicular a A 1A 2 no seu ponto médio.

2a -------

---------->l

Figura 8.24

Vértices: são os pontos A 1, A 2 , B 1e B2.

Pela Figura 8.24 é imediato que B 2 F2 = a pois B 2F1 + B 2 F2 = 2a (definição de elipse) e B 2 F1 =B 2 F2 . Logo, do triângulo retângulo B 2 C F2 vem (2)

Figura 8.22

Esta igualdade mostra que b <a e c< a. Excentricidade da elipse é o número real

e=~

(O<e< 1) a A excentricidade é responsável pela "forma" da elipse: elipses com excentricidade perto de O (zero) são aproximadamente circulares, enquanto que elipses com excentricidade próxima de I são "achatadas". Por outro lado, fixada uma excentricidade, por exemplo,

Cap. 8

Cônicas 179

, todas as infinitas elipses com esta excentricidade têm a mesma forma (diferem 2 apenas pelo tamanho).

180 Vetores e Geometria Analítica

Observação A lo lei do astrônomo alemão Johannes Kepler (1571-1630) é expressa por: ''qualquer planeta gira em torno do Sol, descrevendo uma órbita eUptica, da qual o Sol ocupa um dos focos". A maioria dos planetas tem órbitas aproximadamente circulares, o que significa dizer que suas excentricidades estão perto de zero. Por exemplo, a órbita da Terra tem excentricidade 0,02, a de Júpiter 0,05, a de Marte 0.09, para citar apenas algumas. Mercúrio e Plutão, cujas órbitas elípticas têm excentricidades bem maiores, 0,21 e 0,25, respectivamente, constituem uma exceção à Figura 8.25 maioria dos planetas. O "campeão" de excentricidade no sistema solar parece ser o Cometa de Halley com e = 0,967 (quase 1) e ele leva aproximadamente 76 anos (período de revolução) para dar uma volta em torno do Sol. A Figura 8.25 dá uma idéia das trajetórias da Terra e de Halley com o Sol num dos focos. Com a finalidade de obtermos uma equação de elipse, teremos que referi-la ao sistema de eixos cartesianos. Iniciemos pelos casos mais simples.

Equações Reduzidas

=a--ex 2 2cx +c ) = a 4 - 2a 2 ex +c 2 x 2

a 2 ( x 2+ y 2 a 2 x 2 +a 2y 2 - 2a 2 cx +a 2c 2 =a 4 - 2a 2cx +c 2 x 2 a2x2-c2x2+a2y2=a4-a2c2 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) Como por (2) tem-se a 2 - c 2 = b 2 , resulta b2x2+a2y2= a2b2 Dividindo ambos os membros da equação por a 2b 2 , vem y

que é a equação reduzida para este caso. 2°) O eixo maior está sobre o eixo dos y

Observando a Figura 8.27, com procedimento análogo ao 1o caso, obteremos a equação reduzida x2

-+-=1

Seja a elipse de centro C( O. 0). Consideraremos dois casos: 1°) O eixo maior está sobre o eixo dos x Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse (Figura 8.26) de focos fi (-c, O) e F2 (c, 0).

a-yx-+y--2cx+c~

Observação

Como em toda elipse tem-se a > b (ou a 2 > b 2 ), para saber se a elipse tem seu eixo maior sobre Ox ou sobre Oy, basta obser-

Pela definição em ( 1), tem-se d(P, F1 ) + d(P, F2 ) = 2a

Figura 8.27 y

var onde está o maior denominador (a 2 ) na sua equação reduzi-

da. Se esse for denominador de x 2 , o eixo maior está sobre Ox. Caso contrário, estará sobre Oy. Por exemplo, na equação reduzida X 2 y2 -+-=1 4 9

Figura 8.26

o maior denominador é 9. Como ele é denominar de y 2 , o eixo maior da elipse está sobre o eixo dos y (Figura 8.28). No caso, temos

-3

Figura 8.28

,... Cap. 8 Cônicas 181 182 Vetores e Geometria Analítica

a=3

b =4 .. b=2 e, portanto, as interseções com os eixos são os quatro pontos (0, ± 3) e (±2, O). Observemos, por outro lado, que se na equação anterior fizermos x = O, vem y = ±3 e para y =O, vem x = ±2, o que confirma as interseções com os eixos em (0, ± 3) e (±2, 0).

Solução a) Conduzindo a equação para a forma reduzida, vem ~

4x 2+y 2 =16

Nos problemas de l a 3, para cada uma das elipses, determinar a) a medida dos semi-eixos; b) um esboço do gráfico; c) os focos; d) a excentricidade.

b 2 =4 b=2 b) Gráfico: Figura 8.30.

1) 9x 2 +25y 2 =225

c) a 2 =b 2 +c 2

a 2=16

( ~

a=4 -2

c2 =12

a) Para expressar a equação na forma reduzida, dividimos ambos os membros da equação por 225: 9x 2 25y 2 225 --+--=-225 225 225

Jii

Figura 8.30

Logo. os focos são F1 (O, - Jii) e F2 (O, d)

c=Jii

I 12

\ bJ

16=4+c 2

Solução

Jii)

2/3 J3

e=-=--=--=~-

x +y -9=0

-+-=1 25 9

Solução

Maior denominador: 25. Logo, a

25 e o eixo maior da elipse está sobre o eixo dos x

a 2 = 25

a =5

9 :. b =3 b) Gráfico: Figura 8.29

c=4

-3

Logo, os focos são F1 (-4, 0) e F2 (4, O)

4 5

d) e=-=-

Neste caso, tem-se a 2 = b 2 = 9 e, portanto, a= b = 3 Trata-se de uma circunferência de raio 3. b) Gráfico: Figura 8.31. Figura 8.31 9=9+c 2 c=O Portanto. os dois focos coincidem com o centro da circunferência.

25 = 9+c 2 :.

c) a 2 = b 2 +c 2

b 2 +c 2

a) A forma reduzida desta equação é -+-=1 9 9

porque 25 é denominador de Então,

c a

Maior denominador: 16 (denominador de y 2 ) Logo,

Exemplos

-+-=1 4 16

Figura8.29

d) e =-=-=0 a 3 A circunferência pode ser considerada uma elipse de excentricidade nula. 4) Uma elipse de centro na origem tem um foco no ponto (3, O) e a medida do eixo maior é 8. Determinar sua equação.

Cap. 8

Cônicas 183 184 Vetores e Geometria Analítica

Solução

2°) O eixo maior é paralelo ao eixo dos

Como o foco é ponto do eixo do x, a equação desta elipse é da forma 1

~+L=1 a2

De modo análogo ao lo caso, temo; (x-h)

(y-k) 2

---+---=1

Precisamos determinar a e b. Como o eixo maior mede 8, isto é,

2a =8 :. a =4

Uma outra forma da equação da elipse será apresentada no próximo exemplo.

Tendo em vista que o centro da elipse é (0, 0) e um dos focos é (3, 0), conclui-se que c= 3. Mas

Exemplos I) Uma elipse, cujo eixo maior é paralelo ao eixo dos y, tem centro C(4, -2), excentricidade

. 21 e e1xo menor de medida 6. Obter uma equação desta elipse. cj

Solução Como o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo dos y, sua equação é da forma

Logo, a equação procurada é x-) y-' -+-=1 16 7

Seja uma elipse de centro C(h, k) :f. (0, 0). Consideraremos somente os casos de os eixos

1°) O eixo maior é paralelo ao eixo dos x

Utilizando uma conveniente translação de eixos, obtemos um novo sistema x'O'y' (Figura

resulta

ou , , a2 a-= 9 + - , donde a-= 12

Logo, a equação da elipse é

y' = y - k ,

que substituídas em (3) resulta

··········X.....................

Figura 8.32

que é a forma padrão para este caso.

b=3

(3)

c I a e = - =- , vem c = a 2 2

Para expressá-la em relação ao sistema original xOy, utilizamos as fórmulas de translação

x' = x h

2b = 6

8.32) em relação ao qual a elipse tem centro na origem e eixo maior sobre o eixo O' x'. Logo, sua equação reduzida é

Sendo

da elipse serem paralelos aos eixos coordenados.

(y-k) 2

com h = 4 e k = -2. Precisamos determinar a e b. Mas

Outras Formas da Equação da Elipse

x'2 y'2 -+-=1

(x-h) 2

---+---=I

. ..... ..

(x-4) 2 (y+2) 2 ---+---=1 9 12 Se eliminarmos os denominadores, desenvolvermos os quadrados e ordenarmos os termos, obteremos outra forma da equação da elipse:

4( x 2 - 8x + I6) + 3( y 2 + 4 y + 4) = 36

Cap. 8

Cônicas 185 186 Vetores e Geometria Analítica

b) Como a equação (4) é da forma padrão (x-h) 2

ou 2

4x +3y -32x+l2y+40 O que é uma equação geral desta elipse. Assim, q~alquer elipse cujos eixos estão sobre os eixos coordenados ou são paralelos a eles, sempre pode ser representada por uma equação geral que terá a forma ax 2 +by 2 +cx +dy+f =0 com a e b de mesmo sinal. Em particular, quando a = b esta equação poderá representar uma circunferência. 2) Dada a elipse de equação 4x 2 + 9y 2 - 8x - 36y + 4 =O, determinar: a) sua equação reduzida; b) o centro; c) o gráfico;

d) os vértices; e) os focos; f) a excentricidade.

Solução a) Iniciemos escrevendo a equação na forma (4x 2 -8x)+(9y 2 -36y)=-4

(y-k) 2

-+---=1 a2 bz onde h e k são coordenadas do centro, vem imediatamente: C(l, 2).

d) Confrontando (4) e (5), concluímos: a 2 =9 .. 2

b =4

a=3 b= 2

e pelo gráfico tem-se: A 1(-2,2) e A 2 (4,2) B 1(1, O) e B 2 (1, 4) e) Para determinar os focos precisamos do valor de c.

4(x -2x)+9(y 4y) -4 onde agrupamos os termos de mesma variável e evidenciamos os fatores 4 e 9 para facilitar a construção dos trinômios quadrados nestes dois parênteses. Então temos 4(x 2 - 2x + 1) + 9(y 2 - 4y +4)

= -4+ 4(1) +9(4)

ou 4(x 1) 2 + 9(y- 2) 2 = 36 e dividindo ambos os membros por 36, resulta 2

(4) (x -1) + (y- 2) = 1 9 4 que é a forma padrão da elipse de eixo maior paralelo ao eixo dos x. Utilizando em (4) as fórmulas de translação y-2 x'=x-1 e

obtemos

ou 9 = 4 + c 2 , vem c = J5 e, portanto, os focos são: F1 (1-JS, 2)

y'2 -+-=1

9 4 que é a equação reduzida desta elipse.

F2 (1 +

JS, 2)

~ = J5 a

Equações Paramétricas 2

y 2

Consideremos a elipse de equação ~ + ~ = 1. Tracemos a 2 ba circunferência de centro O e raio igual ao semi-eixo maior a da elipse (Figura 8.34). Seja P(x,y) um ponto qualquer desta elipse. A reta que passa por P e é paralela ao eixo dos y, intercepta a circunferência em A e o raio AO determina com o eixo dos X Um ângulo 8 . Do triângulo A' OA vem OA'= OA.cose ou X=

x'2

Figura 8.33

De a 2 = b 2 +c 2

c) O gráfico: Figura 8.33.

f) Excentricidade: e =

(5)

COS8

Figura 8.34

Cap. 8

Cônicas 187 188 Vetores e Geometria Analítica

Como x é abscissa de um ponto da elipse, a ordenada y do mesmo ponto é calculada substituindo o valor de x na equação da elipse: 2

(acose) + y a2 b2

::;;:

d) O sistema de equações X= a sen e

o:-:::; e:-:::; 2n: y = bcos8 descre,ve de outra forma a mesma elipse dada pelo sistema (6), porém, neste caso o ponto P parte de (O,b) e "descreve" a elipse no sentido horário.

{

donde

Exemplos e

Obter equ<i.ões paramétricas da elipse de equação:

y bsene Observemos que, para cada valor de corresponde um e um só ponto P da elipse e, quando varia de O a 2 n:, o ponto P parte de (a, O) e "descreve" a elipse no sentido antihorário. Então, é o parâmetro e o sistema

1) 16x 2 +25y 2 ;400

(6)

bsenO

constitui equações paramétricas dessa elipse.

Observações X y a) Das equações (6) vem -::;;:cose e - = sen a b Somando membro a membro, resulta

e e, portanto,

X-

- 7 a-

:;::;:

cos 2

ye e ------:;b-

sen e.

são equações paramétricas desta elipse. 2) A forma padrão de 9x 2 + 4y 2

54x + 16y + 61 =O é

. (x-3) (y+2) ----- + = 1 (a cargo do leitor)

I ( 1 = cos 2 e+ sen 2 e )

que é a equação da elipse dada inicialmente. I (eixo maior sobre Oy), suas equações paramétricas são

b) No caso da elipse ser

-+-=1 25 16 e, portanto, a= 5 e b = 4. Logo, x =5 cosO { y = 4sen8

Solução 1) Aformareduzidadeequação 16x 2 +25y 2 =400 é

x =a cose {y

2) 9x 2 +4y 2 -54x+16y+61=0

e, portanto, o centro da elipse é (3, -2), sendo a= 3 e b = 2. Logo, X= 3+ 2 cose y = -2 + 3sen e sào equações paramétricas desta elipse. Por outro lado, das equações (7) vem 3 = COS é e y + 2 = Sell 8 X2 3 Elevando ao quadrado ambos os membros das duas equações, temos {

x =bcose {y

asen e c) Quando o centro da elipse for C(h, k), pela translação de eixos obtemos

Xh {y - k =

a cose b sen

h +a cose

y = k + b sen O

(eixo maior paralelo a Ox)

e x

h+bcose

k+asene

(eixo maior paralelo a Oy)

( x - 3) 4

cos 2 8

(y + 2) 9

sen 2 8

(7)

Cap. 8

Cônicas 189 190 Vetores e Geometria Analítica

Somando membro a membro resulta 3)2 ·~··-----

21) eixo maior igual a I O e focos F 1(2, -1) e F2 (2, 5);

+ 2)2 9

. "dade 22) focos F 1( -1, -3) e F 2 ( -1 , 5) e excentnc1

que é a equação da elipse na forma padrão dada anteriormente.

32 ;

. "dade-; 23) focos FJ(-3, 2) e F2 (3, 2) e excentnct 2

Problemas Propostos Em cada um dos problemas de 1 a 10, esboçar o gráfico e determinar os vértices A 1 e A 2 , os focos e a excentricidade das elipses dadas. 1)

2) 25x 2 +4y~=100 3) 9x 2+16y 2 144

8) 4x 2 + 25y 2= 1

9) x 2 +2y 2 - 5 =O 10) 9x 2+ 25

J3;

2 26) centro C(-3, 0), um foco F(-1, O) e tangente ao eixo dos y; 27) centro C(2, -1 ), tangente aos eixos coordenados e eixos de simetria paralelos aos eixos coordenados. Em cada um dos problemas de 28 a 33, determinar a equação reduzida, o centro, os vértices A 1 e A 2 , os focos e a excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico.

4) 9x 2 +5y 2 - 45 =O 5) x2+

25) centro C(O, 1), um vértice A(0,3) e excentricidade

6) 4x~+9y 2 =25

24) vértices A 1(-7,2)e A 2 (-1,2)eeixomenorigua1a2;

28) 9x 2 +16/ -36x+96y+36=0 29) 25x 2 +16y 2 +50x+64y-311=0

11) Esboçar o gráfico de uma elipse de excentricidade 1 3 b) 1 c)a)5 2 3 Em cada um dos problemas de 12 a 19, determinar uma equaçiio da elipse que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.

30) 4x 2 +9y 2 -24x+l8y+9=0 31) 16x 2 +y 2 +64x-4y+52=0 32) 16x 2 +9y 2 -96x+72y+144=0

12) focos F1 (-4, 0) e F2 (4,0), eixo maior igual a 10;

33) 4x 2 +9y 2 - 8x- 36y+4 =O Nos problemas de 34 a 39, obter equações paramétricas da elipse de equação dada.

13) focos F1 (0,-5) e F2 (0,5), eixo menor igual a 10;

34) x 2 +4y 2 =4

37) 9(x-1) 2 +25(y+1) 2 =225

14) focos F(±3, O) e vértices A(±4, 0);

35) x 2 +y 2 =36

38) 49(x + 7) 2+ y 2 = 7

. "da de - ; 15) focos F(O, ±3) e excentnc1

16) vértices A(±lO, O) e excentricidade -; 2 17) centro C(O, 0), eixo menor igual a 6, focos no eixo dos x e passando pelo ponto

( 215, 2); 18) vértices A(O, ±6) e passando por P(3, 2);

19) centro C( O, 0), focos no etxo dos x, e =

e passando por P( 2, - - ).

3 3 Em cada um dos problemas de 20 a 27, obter uma equação da elipse que satisfaça as condições dadas. . "da de 20) centro C(l, 4), um foco F(5, 4) e excentnc1

;

39) 4x 2 +9y 2 -54y+45=0 36) 9x 2 +16y 2 =1 Nos problemas de 40 a 43, obter uma equação geral da elipse dada por equações paramétricas. x =2+4cose X= 5 cose 42) 40) { y =3 + 2sene { y = Ssene 41 ) {X= cose y = 3sen e

43 ) {X= .fi COSe y = -1+sene

44) Determinar os focos da elipse de equações x = 4 + 3 cos t e y = -2 + 5 sen t . 45) Determinar uma equação da curva gerada por um ponto que se move, de modo que a soma de suas distâncias aos pontos (4, -1) e (4, 7) seja sempre 12.

,. Cap. 8

Cônicas 191 192 Vetores e Geometria Analítica

46) Determinar uma equação da curva gerada por um ponto que se move, de modo que sua distância ao ponto A(3, -2) seja igual à metade de sua distância à reta y -2 =O. 47) Determinar uma equação da elipse de centro (0, 0), eixo maior sobre o eixo dos y, sabendo que passa pelos pontos P( I, Ji4) e Q( 2,- 2.fi ). 48) Encontrar uma equação da elipse de centro (0, 0), eixo maior sobre Ox, excentricida1

de - e que passa pelo ponto (2, 3 ). 2 49) Determinar uma equação das circunferências inscrita e circunscrita à elipse de equação dada. a) l6x 2 +y 2 -16 2

50) Um satélite de órbita elíptica e excentricidade _!_ viaja ao redor de um planeta situado 3 num dos focos da elipse. Sabendo que a distância mais próxima do satélite ao planeta é de 300 km, calcular a maior distância.

Respostas de Problemas Propostos e

.J2l

F( O,± .J2i), e=-5

2) A(O, ±5),

3) A(±4, 0),

F(±J7, 0),

4) A(O, ±3),

F(O, ± 2),

F(O. ±

7) A( O,± 1),

~ 0), F(± ~5 . 0), 9) A<±.J5,

F ± .J2l 0) e

A(±_!_, 0),

(

4 F(±-, 0), 3

16)

13) 2x 2 + y 2

17) x 2 +4y 2 -36=0

14) 15) 4x 2 +

50= O

16y 2 -112 -12 =0

25) 4x 2 + y 2 - 2y- 3 =O

22) 9x 2 +5y 2 + 18x -lOy -166 =O

26) 5x 2 + 9y 2 + 30x =O

23) 3x 2 +4y 2 -16y-11=0 27) x 2 +4y 2 -4x+8y+4=0 x'2 y'2 .J7 28) - + - = 1, C(2, -3), A 1 ( -2, -3), A 2 (6, -3), F(2 ± .J7, -3), e = 16 9 4 x'2 y'2 3 29) l6 + 2S = 1, C(-1, -2), A 1 (-1, -7), A 2 (-1, 3), F1 ( -1, -5), F2 ( -1, 1), e= S

18)

4 e=5

8x 2 =I + 81 36 -

45 =O

{x=-7+~cose y = .J7 sene

= J2j 5 35)

y'2

33) - + - = 1, C(l, 2), A 1(-2, 2), A 2 (4, 2), F(1±J5, 2), e = 9 4 3 1 x = cose 34) {X= 2 cose 36) 38 31 y = sene { y =-sene {X= 6 cose y = 6sene 2

40) x + y 2

37)

25 =O

X= 1+ 5 COSe {y = -1 + 3 sen e 2

39)

{X = 3 COSe y = 3 + 2 sen e

42) x +4y -4x-24y+24=0

41) 9x +y -9 =0

43) X2 + 2y 2 + 4y = 0

44) (4, 2)

e (4, -6)

46) 4x 2 + 3y 2 - 24x + 20y + 48 =O 47) 2x 2 + y 2 = 16

48) 3x 2+ 4y 2 = 48

19) 5x 2 + 9y 2

.J15

t2 Y' 31) x + - = 1, C(-2, 2), A 1(-2, -2), A 2 (-2, 6), F(-2, 2±M), e = 16 4 x'2 y'2 .J7 32) - + - = 1, C(3, -4 ), A 1(3, -8), A 2 (3, 0), F(3, -4 ± .J7 ), e = 9 16 4

45) 9x 2 +5y 2 -72x-30y+9=0

12) 9x + 25y = 225 -

lO '

100

2/6 5) A(±5, 0), F(±2J6, 0), e = - lO) A(±~, 0), 5 3 11) a) Existem infinitas, todas elas com a= 2c e b = cf3 2

fj),

21) 25x 2 +16y 2 -100x-64y-236=0

x'2

5 F(± J5, 0), e

5 6) A(±-, 0), 2

J7 4

24) x 2 +9y 2 +8x- 36y+43 =O

b) 4x +9y -32x+36y+64=0

F(±.J21. 0),

5x 2 +9y 2 -lüx -72y-31=0

x'2 y'2 . 30) - + - = 1, C(3, -1), A 1 (6, -1), A 2 (0, -1), F(3± JS,-1), e = 9 4 3

1) A(±5, 0),

20)

49) a) x 2 +y 2 =1 e x 2 +y 2 =16 b) x 2 +y 2 -8x+4y+16=0 e x 2 +y 2 -8x+4y+ll=O 50) 600 km

Cap. 8

Cônicas 193 194 Vetores e Geometria Analítica

HIPÉRBOLE

um retângulo MNPQ inscrito nesta circunferência. Tracemos as retas r e s que contêm as diagonais do referido retângulo e, por fim, a hipérbole conforme a figura. Com base nesta figura temos os elementos da hipérbole.

Definição Hipérbole é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja diferença das distâncias, em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano é constante.

Elementos Focos: são os pontos F1 e F2 • Distância focal: é a distância 2c entre os focos. Centro: é o ponto médio C do segmento F1 F2 •

Consideremos no plano dois pontos distintos F1 e F2 tal que a distância d( F1 , F2 ) = 2c e um número real positivo a de modo que 2a < 2c. Chamando de 2a a constante da definição, um ponto P pertence à hipérbole (Figura 8.35) se, e somente se,

Vértices: são os pontos A 1eA 2 • Eixo real ou transverso: é o segmento A 1A 2 de comprimento 2a. Observemos que os pontos A 1 e A 2 são pontos da hipérbole porque satisfazem a

(1)

Como se vê, a hipérbole é uma curva com dois ramos. Na verdade, pela equação (1 ), um ponto P está na hipérbole se, e somente se. d(P, FI) d(P, F2 ) = ±2a

definição (1). Na verdade, para A 1 , tem-se d(A 1,F1)=c-a Figura 8.35

Para possibilitar um traçado bem melhor da hipérbole e tecermos considerações a respeito de seus elementos, faremos a construção da Figura 8.36 a seguir explanada.

d(A 1,F2 )=a+c

e ld(A 1, F1)- d(A 1, F2 )I= l-2al = 2a. Eixo imaginário ou não-transverso: é o segmento B 1B 2 de comprimento 2b, com

B 1B 2 .l A 1A 2 em C. Observemos que o retângulo MNPQ tem dimensões 2a e 2b, sendo a a medida do semi-eixo real e b a medida do semi-eixo imaginário. Ainda, do triângulo C A 2 M obtemos a relação

Figura 8.36

Consideremos no plano dois pontos quaisquer FI e F2 com d( F1 , F2 ) = 2c. Chamando de C o ponto médio do segmento F1F2 , tracemos uma circunferência de centro C e raio c. Tomemos um valor arbitrário a, a< c, e marquemos sobre F1 F2 , a partir de C, os pontos A 1 e A 2 tais que d(C, A 1 ) = d(C, A 2 ) =a. Por estes pontos tracemos cordas perpendiculares ao diâmetro F1 F2 • As quatro extremidades destas cordas são os vértices de

de larga aplicação nos problemas de hipérbole. Assíntotas: são as retas r e s. As assíntotas são retas das quais a hipérbole se aproxima cada vez mais à medida que os pontos se afastam dos vértices. Esta aproximação é "contínua" e "lenta" de forma que a tendência da hipérbole é tangenciar suas assíntotas no infinito. Naturalmente, esta particularidade das assíntotas constitui um excelente guia para traçar o esboço do gráfico. Com o que já vimos na construção da hipérbole, esta fica determinada quando se conhece o centro C e os valores a e b (ou a e coube c). De fato, a partir destes elementos, constrói-se o retângulo MNPQ e, conseqüentemente, as assíntotas r e s, e daí, os dois ramos da hipérbole. o ângulo assinalado na figura é chamado abertura da hipérbole. Chama-se excentricidade da hipérbole o número

e=a e por ser c > a, tem-se e > I .

Cap. 8

Cônicas 195 196 Vetores e Geometria Analítica

A excentricidade da hipérbole está intimamente relacionada com a sua abertura. De fato: se na Figura 8.36 tivéssemos tomado um valor para "a'' menor do que o anterior, o novo retângulo MNPQ seria mais "estreito" e, em conseqüência, a abertura e seria maior. c Ora, diminuir o valor de "a" (mantendo c fixo) signifca aumentar o valor de e a Assim, quanto maior a excentricidade, maior será a abertura, ou seja, mais ''abertos" estarão os ramos da hipérbole. Quando a = b, o retângulo MNPQ se transforma num quadrado e as assíntotas serão perpendiculares (8 = 90°). A hipérbole, neste caso é denominada "hipérbole eqüilátera".

2°) O eixo real está sobre o eixo dos y

Observando a Figura 8.38, com procedimento análogo ao I o caso, obtemos a equação reduzida

Equações reduzidas

Figura 8.38

Seja a hipérbole de centro C(O, 0). Consideraremos dois casos:

y y

Exemplo

1°} O eixo real está sobre o eixo dos x.

A partir de um caso particular, serão feitas algumas observações. Seja a hipérbole da Figura 8.39. Sua equação reduzida é

Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma hipérbole (Figura 8.37) de focos F1 (-c, 0) e F2 (c, 0). Pela definição em (1 ), tem-se id(P, F1)- d(P, F2

>I= 2a

~-~=1

ou, em coordenadas

= 2a

Figura 8.37

(2)

onde a 2 = 32 = 9 e b 2= 2 2

Com procedimento de simplificação análogo ao que foi usado na dedução da equação da elipse, e lembrando que c 2

= a2 + b2,

Figura 8.39

chegamos à equação

Observações a) É imediato que os vértices são A 1 (-3, 0) e A 2 (3, 0). Estes também seriam obtidos 2

que é a equação reduzida para este caso.

fazendo y =O na equação (2), donde resulta ~ = 1 ou x = ±3, que são as abscissas 9 dos vértices.

Por outro lado, se na equação (2) fizermos x = O, obteremos - ~ = 1 ou y = -4, 4 que é uma equação impossível no conjunto dos reais. Isto signifca que a hipérbole não corta o eixo dos y. 2

b) Como a equação apresenta somente potências pares de x e y, a hipérbole é simétrica em relação ao eixos coordenados e em relação à origem.

1..,...

Cap. 8

Cônicas 197 198 Vetores e Geometria Analítica

Por exemplo, o ponto P1 (6, Jl2) pertence a esta hipérbole por ser verdadeira a afirmação

4-3

J0.) (simétrico de

ção a Ox), P3 ( -6, Jli) (simétrico de P1 em relação a Oy) e P4 (-6. P1 em relação à origem).

-Jii)

P1 em rela-

(simétrico de

c) As assíntotas r e s são retas que passam pelo centro da hipérbole, no caso, a origem do sistema. Logo, suas equações são do tipo y mx, sendo m a declividade. b 2 A assíntota r tem declividade m 1 a 3 b 2 e a assíntotas tem declividade m 2 = a 3 Portanto, as assíntotas têm equações

-X

Então. a 2 = 4

a=2

e, da mesma forma, também pertencem os pontos P2 (6,-

que representa uma hipérbole com eixo real sobre Oy.

3 2

b =16 :. b=4 b) O gráfico com assíntotas: Figura 8.40. c) Vértices: A 1 (0, -2) e A 2 (0, 2)

ou A(O, ±2). d) Para determinar os focos, precisamos do valor de c:

c2=a2+b2

Figura 8.40

c =4+16

c=fiO =2J5 Focos: F1 (0, -2J5)

F2 (0, 2J5).

c 2J5 r; e) Excentricidade: e = - = - - = -v 5 a 2 1 . a 2 1 f) Assíntotas: y = ±- x (pms - =- =-) 2 b 4 2

Quando a equação da hipérbole é da forma L-~= 1, as declividades das assína2 b2 totas serão m ::= ±~. b

Solução a) Passando para a forma reduzida, obtém-se x2 / ---=1

Exemplos Nos problemas 1 e 2, determinar, para cada uma das hipérboles: a) a medida dos semi-eixos; b) um esboço do gráfico; c) os vértices; d) os focos; e) a excentricidade; f) as equações das assíntotas;

que representa uma hipérbole com eixo real sobre Ox. Então, a 2 = b 2 = 4

a= b = 2 (hipérbole eqüilátera)

b) O gráfico com assíntotas: Figura 8.41. c) Vértices: A 1 (-2, O) e A 2 (2, O) d) c 2 = a 2+ b

c 2 = 4+4

c=J8 =2J2 Focos: F1(- 2J2. O) Solução a) Passando esta equação para forma reduzida, obtém-se '

x- -4yL::::-16

x---=1 4 16 y

e) Excentricidade:

e F2 (2J2, 0).

e=~= 2J2 = J2

2 b 2 f) Assíntotas: y = ± x (pois - =- = 1) a 2 a

Figura 8.41

........ Cap. 8

Cônicas 199 200 Vetores e Geometria Analítica

Observemos que, em toda hipérbole eqüilátera, excentricidade é sempre igual a e as equações das assíntotas são sempre iguais a y = ± x.

-/i

Solução Em função dos dados do problema, esboçamos o gráfico desta hipérbole (Figura 8.43) Sendo o eixo real A 1A 2 paralelo a Ox, a equação da hipér-

3) Uma hipérbole tem focos em F1 (-5, 0) e F2 (5. O) e a medida do eixo real é 6. Determi-

nar sua equação reduzida.

bole é da forma

Solução Tendo em vista que os focos são pontos do eixo dos x, a equação desta hipérbole é da forma

(x-h)2 (y-k)2 -1 ~-b'2-

o centro é o ponto médio de

C(3, -2).

c= d(C, F)= 3. 2

Da relação c 2 = a 2 + b 2 ou 9 = 4 + b 2 , vem b = 5. Logo, uma equação da hipérbole é

De ou 25 = 9 + b 2 , vem b 2 = 16 . Portanto, a equação procurada é

I Figura 8.43

(x - 3)2 - (y + 2)2 = 1

4 5 Eliminando os denominadores, desenvolvendo os quadrados e ordenando os termos, encontramos

---=1 9 16

5(x 2 - 6x + 9)- 4(y 2 + 4y + 4)

5x -30x+45-4/ -16y-16-20=0 5x 2 -4y 2 -30x-16y+9=0 que é uma equação geral desta hipérbole. Assim, qualquer hipérbole cujos eixos estejam sobre os eixos coordenados ou são paralelos a eles, sempre pode ser representada por uma equação geral que terá a forma

Seja uma hipérbole de centro C(h, k) :f. (0, 0). Consideraremos somente os casos de os eixos da hipérbole serem paralelos aos eixos coordenados. 1°) O eixo real é paralelo ao eixo dos x Corri procedimento análogo ao que foi visto para a elipse, resulta a equação

= 20

Outras Formas da Equação da Hipérbole

ax 2 + by 2 + ex + dy + f = O P(x,y)

com a e b de sinais contrários. 2) Dada a hipérbole de equação 9x 2 - 4y 2 - 54x + Sy + 113 =O, determinar

que é afonna padrão para este caso (Figura 8.42).

a) sua equação reduzida; b) o centro; c) um esboço do gráfico;

o eixo real é paralelo ao eixo dos y De igual modo ao 1o caso, temos

É imediato que: a= d(C, A 1 ) = 2

na qual precisamos determinar a e b. De F(±5. O),' vem c= 5 (distância de cada foco ao centro). O eixo real mede 6, isto é 2a 6. Logo, a 3.

2°)

A 1A 2

- ...1- -+-~ A 1 C A2 F

-2

-O~---h-_-c

______ h _____h_+_c----~x

Solução a) Iniciemos escrevendo a equação na forma

Figura 8.42

(9x 2 -54x)-(4y 2 -Sy)=-113

Exemplos

ou 9(x 2 - 6x)- 4(y 2

1) Determinar uma equação da hipérbole de vértices A 1(1, -2) e A 2 (5, -2), sabendo que

F(6, -2) é um de seus focos.

ili

2y) = -113

d) os vértices; e) os focos; f) a excentricidade.

Cap. 8

Cônicas 201 202 Vetores e Geometria Analítica

onde agrupamos os termos de mesma variável e evidenciamos os fatores 9 e 4 para facilitar a construção dos trinômios quadrad0s nestes dois parênteses. Então, temos 9(x 2 -6x+9)-4(y 2 -2y+l)= 113+9(9)-4(1)

Consideremos a hipérbole de equação ~ - ~ = 1 . Escrevendo esta equação como a b-

ou 9(x 3) 2 4(y

Equações Paramétricas

-36

(5)

e dividindo ambos os membros por -36, resulta =1

(y-1)2 _(x-

(3)

que é a forma padrão da hipérbole de eixo real paralelo ao eixo dos y. Utilizando em fórmulas de translação x'=x-3e y -1 teremos x'2 --=1 9 4 que é a equação reduzida desta hipérbole.

(3)

significa dizer que ~ e '!_ são números reais cuja diferença de seus quadrados é sempre a b igual a 1. Se na identidade sen 2 e + cos 2 e = 1 dividirmos ambos os membros por cos 2 e -:f- o. obtemos 2

sen e + 1 = _1_ cos 2 e cos 2 e ou

b) Como a equação (3) é da forma padrão (y-k)2 _(x-h)2 =1 a2 b2

a =3

sec 2 e-tan 2 e=l Portanto, confrontando esta equação com a equação da hipérbole em (5), podemos fazer

~ = sece

b =4 .. b=2 e pelo gráfico tem-se: A 1(3, - 2) e A 2 (3, 4)

a + b ou

e daí concluir que para

9+4

Jl3) e

f) Excentricidade: e =

F2 (3,1 + J13)

~ = .[1}_ a

parâmetro

, n e, 0 :::; e :::; 27t, exclmdos 2

3n 2

e -,

SIStema

x =asece { y=btane

vem c = J13 e, portanto, os focos são F1(3, 1

e) Para determinar os focos precisamos do valor de c. Da relação 2

sen e 1 Como - - = tan e e - - = sec e , vem cose cose

onde h e k são as coordenadas do centro. vem imediatamente: C(3, I). c) Um esboço do gráfico: Figura 8.44. y d) Confrontando (3) e (4), concluímos: 9 ..

(:~~: r -Co~ r +I

(4)

constitui equaçàes paramétricas dessa hipérbole. Figura 8.44

Quando

e percorre o intervalo

(x :2: a) e quando percorre o intervalo

(-%,%) será descrito o ramo direito da hipérbole

3n) , o ramo esquerdo (x:::; -a).

n. (2 2

Cap. 8

Cônicas 203 204 Vetores e Geometria Analítica y

Observações Ponto (3, o)

()

a) No caso da hipérbole ser

I (eixo real sobre Oy), suas equações paramétri-

cas são

(3J2, 2)

4 x btane { y = asece

2!32

b) Quando o centro da hipérbole for C( h, k), aplicando a translação de eixos. as equações paramétricas são

(6, 2J3)

-------

-2

I I I

3\~3J216

~ ~~~~~~~

satisfi 14) f 15) f 16) f

I I I

(3J2,-2)

-----;x----: I

- - - - :

h+asece

= k + b tan e

h+btane

h = k +a sec e

(x+4) 2

9y 2 36

(a cargo do leitor) 3 e, portanto, o centro da hipérbole é (-4, 2), sendo a = 3 e b = J3 Logo, X = -4 + 3 SeC e

2) x 2 -3y 2 +8x+l2y-13=0

{

Solução I) A forma reduzida da equação 4 x

9 4 e, portanto, a== 3 e b

36 = O é

2. Logo,

3sec e 2tane

são equações paramétricas desta hipérbole. A Figura 8.45 apenas indica pontos da tabela para alguns ângulos no intervalo

[-~.~}

y = 2+J3 tane

são equações paramétricas desta hipérbole. 2

18) ' 19) 1 20) j 21) f 22) c

Obter equações paramétricas da hipérbole de equação:

{

(y-2) 2

--- - --- = 1

Exemplos

.yx

figura 8.45

2) A forma padrão de x 2 - 3y 2 + 8x + 12y -13 =O é

conforme o eixo real seja paralelo a Ox ou Oy, respectivamente.

I) 4x

(6,- 2J3)

17) f

23) 24) ' 25) 26) 27) 28)

Problemas Propostos

29) 30)

Em cada um dos problemas de I a 12, esboçar o gráfico e determinar os vértices, os focos. a excentricidade e equações das assíntotas das hipérboles dadas.

32)

y2 x2 2) - - - = 1

--L= 1

3) 16x 2 -25/-400=0

4) 9x 2 -16y 2 =144

5) 4x 2 -5y 2 +20=0

6) x 2 -2y 2 -8=0

7) x 2 -4y 2 +16=0

8) x 2 -y =1

9) y 2 -x 2 =2 X

a)-

~ 2

33) ( 34) 35) 36) ( 37) (

10) y -4x =1

J 12) 2 Y2 - 4 X 2 = 1 9y·= 1 13) Esboçar o gráfico de uma hipérbole (com suas assíntotas) de centro (0, 0), eixo real sobre Ox e excentricidade 5

JJ)

31)

c) 2

vértic boça ')((38) • 39) 40)

Cap. 8

Cônicas 205 206 Vetare!> e Geometria Analítica

. Em cada um_ dos problemas de 14 a 37, detenninar uma equação da hipérbole que satzsfaça as condzções dadas. Esboçar o gráfico. 14) focos F(±5,0), vértices A(±3,0); 15) focos F(O, ±3), vértices A(O, ±2); 16) focos F(O, ±4), eixo real de medida 2; 4 17) focos F(±8, 0), excentricidade , 3 18) vértices A(O, ±5), excentricidade 2; 19) vértices A(O, ±2), distância focal 2.Jil ; 20) focos F(±4, O) e que seja hipérbole eqüilátera; 21) focos F(±5, 0), eixo imaginário medindo 4; 5 22) centro C(O, 0), eixo real sobre Oy, b = 8, excentricidade · 3' 23) vértices A(±4, 0) e passando por P(8,2); 24) vértices A(±3, 0) e equações das assíntotas y = ±2x:

es, os

25) vértices A(O, ±2) e equações das assíntotas y = ±_!_ x; 4 26) focos F(±3, O) e equações das assíntotas y = ±x; 27) centro C(3, 2), um vértice A(l ,2) e um foco F(-1, 2); 28) vértices em (3, -2) e (5, -2) e um foco em (7, -2); 29) vértices em (2, -4) e (2, O) e um foco em (2, -2 + Jl3 ); 30) vértices em (5, -1) e (5, 5) e excentricidade 2; 31) focos F1 (3, -2) e F2 (3, 4) e excentricidade 2;

• 39)

-4y 2 +6x+24y-31=0

40) 9x 2 4y 2 54x+8y+l13=0

48) 9x 2 - 25/- 18x- 50y- 241 =O

9=0

2 49) 3x 2 - y + 18x + 18 =O

46) x 2 -y='=l

Nos problemas 50 a 53, obter uma equação geral da hipérbole dada por equações paramétricas. Esboçar o gráfico. x = 2+3tane 52) { y=1+4sece

x=4sece 50) { y = 2tane X=

51)

{

tan e

53)

y = 3sece

x = 2sece { y = 4 + .J3 tan e

54) Determinar os focos da hipérbole de equações

= 4 + J5 tan e e y = -5 + 2 sec e .

-~ =1 5

vértices nos focos dessa hipérbole. 57) Encontrar uma equação da hipérbole de excentricidade 2 e focos coincidentes com os 7

X-

32x+4y+24

40y

focos da elipse - + - = 1. 25 9 58) Determinar uma equação da curva descrita por um ponto que se move, de modo que sua distância ao ponto A(-1, 3) seja a) igual a sua distância à reta x = 3; b) a metade de sua distância à reta x = 3; c) o dobro de sua distância à reta x = 3.

Respostas de Problemas Propostos

Jl3

I) A(±2. 0), F(±Jl3, 0),

e=-,

2) A(0,±2). F(O,±Jl3).

Jl3 e=-,

..s42) 16x 2 -9y 2 -64x-18y+l99=0 43) 25x 2

56) Encontrar uma equação da elipse com focos nos vértices da hipérbole L4

, . Em cada um dos problemas 38 a 43, determinar a equação reduzida. o centro, os verttces, os focos, a excentricidade e equações das assíntotas das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico. 41)

45) 3y 2 -

vértices nos focos dessa elipse.

35) focos F1 (-1, -5) e F2 (5, -5) e que seja hipérbole eqüilátera; 36) centro C(2, -3), eixo real paralelo a Oy e passando por (3, -1) e (-1, 0); 37) centro C(-2,1), eixo real paralelo a Ox e passando por (0, 2) e (-5, 6).

2 47) 9x 2 -16y +1=0

2 44) x 2 -4y =4

33) centro C(5, 1), um foco F(9, 1) e eixo imaginário medindo 4-Ji; 34) vértices A 1 (-3, -4) e (-3, 4) e que seja hipérbole eqüilátera;

'Jil38) 9x 2 4y 2 18x 16y 43

dada.

<:: Encontrar uma equaçao - de h'1per / bo Ie com ctocos nos vert1ces / . da eI'1pse -X +/ - = 1 e 5_,) 25 9

32) focos F1 (-6, 1) e F2 (0, 1) e eixo real medindo 4;

o real

Nos problemas de 44 a 49, obter equações paramétricas da hipérbole de equação

3) A(±5,0),

J4l

F(±-J4i,O), e=-- , 5

y = ±-x

2 2

y=±-x 3 4

y=±Sx

Cap. 8

Cônicas 207 208 Vetores e Geometria Analítica

4) A(±4, 0), 5)

6) 7)

A(O,

F(O, ± 3),

± 2),

F(±2~, 0),

± 2J5),

.JS,

y y

A(O, ± 1),

.J5 F(O, ± -).

.J5 e=-

A(± L 0),

+ F(_-, 0), 3

1O) 11)

J1o

A(O, ±

F(O, ±--), 2

14) 16x 2 9y 2 -144

15)

4x 2

20 =O

16)

15y 2

17)

7x 2 -9y 2 -252=0 X

3y 2 + 75

19) 4x

2 '

fW 3

e=-, 2

I ±-x 3

26)

22) 16y X

24) 4x 2

25)

576

-16=0 -36

64x

116

9y 2 16x 36y+16

29) 4x 2

31) 12y~ -

- 24y + 24x 51

34) x-

37) 4

47)

{ y = tane

45)

1=.fi y

sece

X= sec8 46) { y=tane 50) x 2 -4y 2 -16=0 51) 9x 2 -y 2 +9=0

20y-51

- 20x - 48y - 25

1 { y = -sece

52) 16x 2 - 9y 2 - 64x+ 18y+ 199 =O O O

53) 3x 2 -4l+32y-76=0 54) (4, -8) e (4, -2) 55) 9x 2 -16y 2 -l44=0

x = 1 + 5sec8 48) { y = -1+3tan8 49)

56) 9x 2 +5y 2 38}

x =* tan8

x = 2sec8

4y +30x+8y+21 ::::()

35) 2x 2 -2y 2 -8x 36)

-fi9

r;;;:;

x = 3tan8

- 3y 2 - lOx + 12y + 40 =O

33) x -y -l0x+2y+l6=0

84 2

44)

-18x+4y

32)

43) L_~= 1, C(O, 5), A 1(0, O), A 2 (0, 10), F(O, 5 + -v29), e= - 5 25 4 5x-2y+10=0 e 5x+2y-10=0

30)

,2 x'2 _ 5 42) L __ = I, C(2, -1), A 1(2, -5), A 2 (2, 3), F1 (2, -6), F2 (2, 4) e- 4 16 9 4x - 3y - 11 =O e 4x + 3y - 5 =O

y = ±2x y

Y' =1,C(4,2),A 1 (1,2),A 2 (7,2),F(4±3.J5,2),e=.J5 9 36 2x - y - 6 = O e 2x + y- 1O= O

28) 8x 2

20) 21)

4 1) x'

±x

27)

,2 ,2 r;-;; J13 40) L_~= 1, C(3, 1), A 1 (3, -2), A 2 (3, 4), F(3, 1 ± -v13), e= - 3 9 4 3x- 2y- 7 =O e 3x + 2y- 11 =O

±-x 2 1 ±-x 2

y=±x

A(O,±fi, ),

.J5 2

x-2y+9=0 e x+2y-3::::0

0),

,2 ,2 ~ 39) ~_L= 1, C(-3, 3), A 1 (-5, 3), A 2 (-1, 3), F(-3± -v5, 3), e= X

F(0,±2),

23)

e-fi -

A(±L 0),

18)

3 y=±-x 4

3 2

J6 ,

F(O.

12)

e=-, 4

A(±2fi, 0), A(O,

F(±5, 0),

45 =O

57) - - - = 1 4 12

x = -3 + ~ sec e

y = 3tan8

Cap. 8

Cônicas 209 21 O Vetores e Geometria Analítica

58) a) y 2 - 6y + 8x + 1 =O (parábola) b)3x 2 +4y 2 +14x c)

24y+31

O(elipse)

- y 2 - 26x + 6y + 26 =O (hipérbole)

Curiosidades Para encerrar o estudo das cônicas, vejamos, a título de ilustração, a propriedade da reflexão de cada uma delas.

Entende-se agora porque as antenas e os espelhos telescópicos precisam ser parabólicos. O experimento da foto (Figura 8.50) encontra-se no Museu de Ciências e Tecnologia da PUCRS e traduz de uma forma particular a propriedade da reflexão da parábola. A mesa é dotada de um anteparo curvo de forma parabólica. O orifício na mesa está exatamente na posição do foco desta parábola. Então, um objeto (na foto é um botão) ao ser lançado paralelamente ao eixo da curva, após chocar-se contra o anteparo, retoma e cai sempre no orifício. O menino da foto deve estar achando esta "proeza" resultado de sua habilidade.

1) Parábola Na prática, esta curva tem uma série de aplicações. Ouve-se dizer que antenas de TV e os espelhos dos faróis dos automóveis são parabólicos. Mas isso tem alguma coisa a ver com a curva que estudamos? Tem tudo. Na verdade não se trata de "urna" só parábola e sim de um parabolóide (Figura 8.46), que é a superfície de revolução obtida girando-se a parábola em torno do seu eixo. Todas as infinitas parábolas que possamos imaginar formando o parabolóide têm o mesmo foco F. Admitindo espelhada a parte interna deste parabolóide (pode ser um farol de automóvel, ou holofote, ou outros refletores em geral), se uma fonte de luz for colocada em F, os raios que esta fonte irradia serão refletidos ao longo de retas paralelas ao eixo (Figura 8.47). Esta propriedade, chamada reflexão, está baseada no fato de que, sendo t uma reta tangente a uma parábola no ponto P (Figura 8.48) o ângulo a (ângulo de incidência) é igual ao ângulo {3 (ângulo de reflexão).

eixo

Figura 8.46

Figura 8.50

eixo

2) Elipse A propriedade da reflexão na elipse é análoga à da parábola. Se t é a tangente no ponto P de uma elipse de focos F1 e F2 , são iguais os ângulos a e f3 formados pela reta tangente e os raios focais F1 P e Figura 8.47

Este mesmo princípio é utilizado na fabricação de antenas parabólicas e espelhos de telescópios. Como os sinais (ondas de rádio ou raios de luz) são muito fracos, há a Figura 8.48 necessidade de captá-los utilizando uma superfície ampla e concentrá-los num único ponto (que é o foco F) a fim de serem amplificados (Figura 8.49).

F2 P, respectivamente (Figura 8.51 ). Imaginando uma superfície obtida girando-se a elipse em torno do eixo maior (a superfície é um elipsóide), e admitindo espelhada a parte interna. se uma fonte de luz for colocada num dos focos, digamos F1 • os

Figura 8.51

raios que esta fonte itTadia serão retletidos todos no outro foco F~ (Figura 8.52). Se ao invés de uma fonte luminosa tivéssemos uma fonte sonora. o som emitido de F1 se refletiria nas paredes do elipsóide. convergindo em F2 • Figura 8.49

Figura 8.52

Cap. 8

Cônicas 211

3) Hipérbole A propriedade da reflexão na hipérbole é análoga à da elipse: a reta tangente t num ponto P da hipérbole é bissetriz do ângulo formado pelos raios focais F P e F2 P, isto é. a= f3 (Figura 8.53(a)).

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Superfícies Quádricas

Seja a superfície obtida girando-se uma hipérbole em torno da reta que contém seu eixo real (a superfície é um hiperbolóide de duas folhas), e admitindo-se espelhada a parte externa da superfície, todo raio de luz incidente à superfície na direção de um dos focos, é refletido na direção do outro foco (Figura 8.53(b )).

Introdução A equação geral do 2° grau nas três variáveis x, y e z (a)

(b)

ax 2 + by 2 + cz 2 + 2dxy + 2exz + 2fyz + mx + ny + pz + q =O Figura 8.53

(1)

onde pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e ou f é diferente de zero, (a fim de assegurar grau 2 para a equação), representa uma supeifície quádrica, ou simplesmente, uma quádrica. Observemos que, se a superfície quádrica dada pela equação ( 1) for cortada pelos planos coordenados ou por planos paralelos a eles, a curva de interseção será uma cônica. A interseção de uma superfície com um plano é chamada traço da superfície no plano. Por exemplo, o traço da superfície quádrica (1) no plano z = O é a cônica ax 2 +by 2 +2dxy+mx+ny+q=O (2) contida no plano z = O, isto é, no plano xüy, e representa uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola, pois suas equações gerais são desse tipo. Em casos particulares, no entanto, a equação (2) pode também representar uma reta (3x 2 = O~ x =O), ou duas retas (xy =O~ x =O ou y =0), ou um ponto (3x 2 +4y 2 =0 ~ x = y =O) ou o conjunto vazio (x 2+ y 2 + 3 =O). Estes casos constituem as cônicas degeneradas. A redução da equação geral (1) das quádricas às suas formas mais simples exige cálculos laboriosos, o que não é objeto deste texto. Daremos ênfase ao estudo das quádricas representadas por equações denominadas canônicas e intimamente relacionadas às formas reduzidas das cônicas.

Cap. 9

Superfícies quádricas 215

214 Vetores e Geometria Analítica

Observemos que essa equação (3) pode ser obtida imediatamente pela substituição.

Superfícies de Revolução

Superfície de Rei'Olu~úo é a superfície gerada por uma curva plana (chamada geratriz) que gira de 360° em torno de uma reta (chamada eixo) situada no plano da curva. Neste caso, o traço da superfície num plano perpendicular ao eixo é uma circunferência e a equação da superfície de revolução é obtida através da equação da geratriz.

. Utilizaremos este procedimento para na equação z = 2y (geratriz), dez por todos os casos de superfície de revolução. Então, se a geratriz estiver contida num dos planos coordenados e girar de 360° em torno de um dos eixos desse plano, a equação da superfície assim gerada será obtida da seguinte maneira: se a curva gira em torno

Exemplo Seja a superfície gerada pela revolução da parábola

z 2= 2 { x=O

a) do eixo dos x, substitui-se y ou z na equação da curva por y em torno do eixo dos y

(Figura 9.1 ).

b) do eixo dos y, substitui-se x ou z na equação da curva por

c) do eixo dos z, substitui-se x ou y na equação da curva por A seguir estudaremos as superfícies quádricas denominadas dipsóidcs, hiperholói-

des e parabolóides.

Observação Quando da substituição de z por considerou-se

na equação

2y para resultar x

r' =

z 2: O. Para se ter a superfície completa devemos -,ubstituir

z por

± f;. + z , o que não vai alterar em nada a equação (3) da superfície. A mesma observação vale também para as outras substituições acima descritas. 2

Figura 9.1

Elipsóides Seja P(x. y.z) um ponto qualquer da superfície e C(O,y,O) o centro da circunferência que é o traço da superfície no plano que passa por P e é perpendicular ao eixo dos y (eixo de revolução). A interseção desta circunferência com a parábola é o ponto Q(O,y.z 1 ). Seja R o pé da perpendicular traçada de P ao plano xy. Ainda, CP serem raios da mesma circunferência.

= CQ

Consideremos no plano yz a elipse de equações

I, x

O (Figura 9.2)

Ao girarmos essa elipse em torno do eixo Oy, obtemos o elipsóide de revoluçüu (Figura 9.3 ), cuja equação será obtida da equação da elipse, substituindo-se z

= r, por

por ± -J x 2 + z 2

1 " 1 ~ Como o triângulo CRP é retângulo em R, vem CP=-y(CR)-+(RP)-=-yx-+r.

Mas. CQ

= z = .J2Y .pois Q é ponto da parábola. Portanto. 1

~--;

r;;:·

~x-+r=-v2Y

ou x~+z.:'=2y

que é a equação desta superfície.

(3)

Figura 9.2

Figura 9.3

Cap. 9

Superfícies quádricas 217

216 Vetores e Geometria Analítica z

Exemplos

De maneira análoga se obtém o elipsóide de revolução em torno de Oz. Neste caso sua equação é obtida da equação da elipse, substituindo-se y por

±~:

x 2 yz z2 -+-+-=1 bz bz cz O elipsóide da maneira mais geral (Figura 9.4) é representado pela equação

Solução: a) Da equação (5), vem imediatamente ou b) Se o centro da superfície esférica é C(h,k,l), por simples translação de eixos a equação (5) assume a forma

Figura 9.4

x2 y2 zz -+-+-=1 a2 b2 cz

(x-h) 2 +(y-k) 2 +(z-1) 2 =r 2

(4)

Observemos também que as interseções do elipsóide com planos x = k, y = k ou z = k (k =constante), resultam numa elipse, num ponto ou no conjunto vazio. No caso de a= b =c, a equação (4) toma a forma ~

ou - 4x +4+

+ 2z + 1 = 9

8 y + 16 +

ou x 2 +y 2 +z 2 4x 8y+2z+l2=0 2) Dada a equação da superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 + 6x- 4y -12 =O, determinar o centro e o raio.

Solução: Comecemos escrevendo a equação na forma

x 2 y2 z2 -+-+-=1 a~

(x 2) 2+(y 4) 2+(z+

O traço no plano xy é a elipse -;.-+L= I, z = O e os traços nos planos xz e yz são a~ b2 xz zz y2 z2 as elipses -----::;- + 7 = 1 , y = O e -----::;- + 7 = 1, x = O, respectivamente.

(6)

No caso presente, tem-se

onde a, b e c são reais positivos e representam as medidas dos semi-eixos do elipsóide. Observemos ainda que os pontos (±a, O, 0), (0, ± b, O) e (0, O,± c) são soluções da equação (4), chamadaforma canônica do elipsóide.

1) Determinar uma equação da superfície esférica de centro C e raio r, nos casos: a) C(O, O, 0), r 4 b) C(2, 4, -1), r= 3

(x 2 +6x)+(y 2 -4y)+z 2 e completemos os quadrados

ou (5)

e representa uma superfície e:;férica de centro (0, O, O) e raio a. Observemos que esta superfície também é de revolução e obtida pela revolução de uma circunferência em torno de um de seus diâmetros. Se o centro do elipsóide é o ponto (h, k, 1) e seus eixos forem paralelos aos eixos coordenados, a equação (4) assume a forma

(x 2 +6x+9)+(y 2 -4y+4)+(z 2 )=12+9+4 não esquecendo de somar 9 e 4 ao segundo membro para "equilibrar" a soma feita ao primeiro membro. Logo, a equação fica (x

+ 3) 2 + (y- 2) 2 + (z- 0) 2 =5 2

e, portanto, C(-3, 2, 0) e r= 5.

Observação É fácil ver que uma equação de superfície esférica do tipo (6) poderá representar obtida por uma translação de eixos.

a) um ponto, se r 2

O (é o próprio centro);

b) um conjunto vazio, se r 2 <O.

Cap. 9

218 Vetores e Geometria Analítica

Superfícies quádricas 219 7

3) Obter uma equação geral do plano rr tangente à superfície esférica

A rotação dessa hipérbole em torno do eixo Oz resulta no hiperbolóíde de uma folha (Figura 9.7), cuja equação será obtida da equação da hipérbole

x 2 + y 2 + z 2 - 4x + 6y + 2z- 35 =O, no ponto P(4, 3, 2).

Solução: Um plano rr é tangente a uma superfície esférica de centro C e raio r se a distância d(C, rr) = r e, sendo P o ponto de tangên-

ou 1

-~+

'1---:;-=1 b- b- c Um hiperbolóide de uma folha da maneira mais geral é representado pela equação

(x -2) 2 +(y+3) 2 +(z+l) 2 =49 e, portanto, C(2, -3, -I).

Figura 9.7

(7)

Figura 9.5

Hiperbolóides

chamada forma canônica do hiperbolóide de uma folha ao longo do eixo Oz. As outras duas formas são zx z,+, e + ,+--:;-=1 b~ cb- c e representam hiperbolóides de uma folha ao longo dos eixos Oy e Ox, respectivamente. A equação (7) mostra que o traço do hiperbolóide no plano xy é a elipse ~

Consideremos no plano yz a hipérbole de equações

substituindo-se y por

cia. o vetor CP é um vetor normal a rr. Então, precisamos determinar o ponto C. Utilizando o método do problema anterior, a equação da superfície esférica será

Como CP = P - C = (2, 6, 3) é um vetor normal a rr, uma equação geral de rr é 2x + 6y + 3z + d =O e pelo fato de que P(4,3,2)E1t tem-se 2(4)+6(3)+3(2)+d=O e d=-32. Logo, uma equação de rr é 2x + 6y + 3z- 32 =O .

Hiperbolóide de uma Folha

--:;----:;- = I , x =O (Figura 9.6) b- cz

l.z=O

e os traços nos planos xz e yz são as hipérboles x-' z-1 e ----:;-=l,y=O

respectivamente. Um traço no plano z = k é uma elipse que aumenta de tamanho à medida que o plano se afasta do plano xy. Os traços nos planos x = k e y = k são hipérboles.

Observação Figura 9.6

Os hiperbolôides de revoluçüo serão obtidos por rotações em torno de um de seus eixos.

É importante assinalar que, embora a Figura 9.7 mostre um hiperbolóide limitado ao longo do eixo Oz, essa figura se prolonga indefinidamente ao longo desse eixo (a menos que se restrinja o valor de z a um intervalo limitado). Esta observação estende-se para todas as superfícies a serem apresentadas.

Cap. 9

Superfícies quádricas 221

220 Vetores e Geometria Analítica z

Hiperbolóide de duas Folhas

A rotação da hipérbole da Figura 9.6 em torno do eixo Oy resulta no hiperbolóide de duas folhas (Figura 9.8) cuja equação será obtida da equação dessa hipérbole, substituindo-se z por ± ~ x 2 + z 2 :

Parabolóides a) Parabolóide Elíptico Consideremos no plano yz a parábola de equações , x =O (Figura 9.9)

A rotação dessa parábola em torno do eixo Oz resulta no parabolóide de revolução (Figura 9.10) cuja equação será obtida

Y2_x2+z2=1 b2 c2

da equação da parábola, substituindo-se y por ±

ou J 7 x-J y- z- -----:;- +-----:;-- 7 = 1

Um hiperbolóide de duas folhas da maneira mais geral é representado pela equação x2 y2 z2 --+---=1 a2 b2 c2 chamada forma canônica do hiperbolóide de duas folhas ao longo do eixo Oy. As outras duas formas são x2 y2 z2 x2 y2 z2 -----=1 e ----+-=1 a 2 b2 c2 a 2 b2 c2 e representam hiperbolóides de duas folhas ao longo dos eixos Ox e Oz, respectivamente. Observemos ainda que os traços desses hiperbolóides nos planos x = k, y = k ou z = k (k =constante) resultam em hipérboles, elipses, um ponto ou o conjunto vazio. Resumo As equações dos elipsóides e hiperbolóides podem ser reunidas em 7

)

+~+L+~=l

-a2-b2-c2

Hiperbolóide de uma folha Hiperbolóide de duas folhas

Um parabolóide mais geral, denominado parabolóide elíptico, é representado pela equação x2 y2 z=-+a2 b2

(8)

chamada forma canônica do parabolóide elíptico ao longo do eixo Oz. As outras duas formas são z2

y=+----;7

X b c e representam parabolóides elípticos ao longo dos eixos Oy e Figura 9.10 Ox, respectivamente. A equação (8) mostra que o traço do parabolóide no plano xy (z =O) é a origem (0, O, 0), os traços nos planos z = k > O são elipses, nos planos z k < O são vazios e nos planos x = k e y = k são parábolas.

e conforme os sinais dos termos do 1o membro, apresentados nesta ordem, temos o seguinte quadro: Elipsóide

x2 y2 z =- 7 +-:;-

Figura 9.8

Figura 9.9

sinais + + + - + + + - + + + + - - + - +

ao longo do eixo

Exemplo A Figura 9.11 representa o parabolóide elíptico de equação

-------

Ox Oy Oz Ox Oy Oz

ou y

-2

ao longo do eixo Oy. Figura 9.11

Cap. 9

222 Vetores e Geometria Analítica

Superfícies quádricas 223

z 2

Observemos que no plano y = 4 está a elipse x 2+ z =I e as parábolas nos planos x = O 4 e z =O são y=z 2 ,x=0

y = 4x 2 , z =O, respectivamente.

b) Parabolóide Hiperbólico /

equação da reta substituindo-se y por

(9)

z=---

e z2 -

y2 b2

Figura 9.12

(r-~ I( r+~ I= o b

z=m(±

Figura 9.13

x-'

-, + aA reta g é chamada geratriz da superfície e o ponto O, que separa as duas folhas é o vértice da superfície. Uma superfície cônica mais geral, denominada superflcie cônica elfptica é representada pela equação z-

chamada forma canônica da superfície cônica ao longo do eixo Oz. As outras duas formas são , x-' z-' y- =-, e aFigura 9.14 e representam superfícies cônicas elípticas ao longo dos eixos Oy e Ox, respectivamente. A equação (lO) mostra que o traço da superfície no plano xy (z = 0) é o ponto 0(0, O, O) e em z = k são elipses. Os traços nos planos x = k ou y = k são hipérboles que se degeneram em duas retas no caso de x =O ou y =O.

Exemplo

Se a reta z = 2y, x = O, do plano yz é girada em torno de Oz, a superfície de revolução resultante é a superfície cônica circular de vértice na origem e eixo coincidindo com Oz, e

o que implica

rb _~a = o

(10)

e representam parabolóides hiperbólicos ao longo dos eixos Oy e Ox, respectivamente. A equação (9) e a própria Figura 9.12 mostram que os traços nos planos x = k e y = k são parábolas, ao passo que em z = k são hipérboles que se degeneram em duas retas quando z = O. Na verdade, fazendo z = O na equação (9), resulta

± ~ x 2+ y 2

ou ainda,

é denominada parabolóide hiperbólico e esta equação é chamada fórma canônica do parabolóide hiperbólico ao longo do eixo Oz (Figura 9.12). As outras formas são

A rotação desta reta em torno do eixo Oz resulta na superflcie cônica circular (Figura 9.14) cuja equação será obtida da

A superfície dada por uma equação do tipo

Superfícies Cônicas Consideremos no plano yz a reta g de equações z=my, x=O(Figura9.13).

r+~ = b

e representam as duas retas acima referidas, podendo ser visualizadas na Figura 9.12. Ainda com relação à equação (9), observemos que quando z = k > O, os traços nesses planos são hipérboles com eixo real paralelo a Oy, enquanto que para z = k < O, os traços são hipérboles de eixo real paralelo a Ox.

cuja equação se obtém dez

±2~x +/· 2

2y substituindo y por ± x + y

Observação No caso dos hiperbolóides, parabolóides e superfícies comcas de centro ou vértice no ponto (h, k, 1) e eixo paralelo a um eixo coordenado, de forma análoga ao que foi feito para

Cap. 9

Superfícies quádricas 225

224 Vetores e Geometria Analítica

o elipsóide, as equações serão obtidas das correspondentes formas canônicas substituindose x por x - h, y por y - k e z por z - 1.

Superfícies Cilíndricas

esta pode ser vista como x 2 = 2y + Oz. Em outras palavras, a

J~·~·-~-~-,~.~- .-~·~·(I~~~ Y

Assim tambéiil,z2a equação -+-=1

Seja C uma curva plana e r uma reta fixa não-paralela ao plano de C. Superfície cilíndrica é a superfície gerada por uma reta g que se move paralelamente à reta fixa r em contato permanente com a curva plana C. g A reta g que se move é denominada geratriz e a curva C é a diretriz da superfície cilíndrica (Figura 9.15). Esta superfície pode ser vista como um conjunto de infinitas retas paralelas que são as infinitas posições da geratriz. Em nosso estudo consideraremos apenas superfícies cilíndricas cuja diretriz é uma curva que se encontra num dos planos coordenados e a geratriz é uma reta paralela ao eixo perpendicular ao plano da diretriz. Figura 9.15 Para exemplificar, consideremos a parábola no plano xy dada por (11)

representa uma superfície cilíndrica elíptica (a diretriz é uma elipse) ao longo do eixo Oy (y é a variável ausente) (Figura 9.17).

-31

2 Figura 9.17

Problemas Propostos l) Determinar uma equação das superfícies esféricas nas condições dadas. a) Centro C(2, -3, 1) e raio 4. b) Centro C(4, -1, -2) e passando por P(2, 3, -1). c) O segmento de extremos A(-1, 3, -5) e B(5, -1, -3) é um de seus diâmetros. d) Centro C(-2, 3, 4) e tangente ao eixo Oz. e) Centro C(O, -4, 3) e tangente ao plano 1t: x + 2y- 2z 2 O 2) Determinar uma equação da superfície esférica de centro C(2, -3, 4) e a) tangente ao plano xüy b) tangente ao plano xüz c) tangente ao plano yOz 3) Obter uma equação geral do plano tangente à superfície esférica E no ponto P.

(na verdade a parábola tem equações: x 2 = 2y, z = 0). Como a geratriz é uma reta paralela ao eixo Oz, a superfície cilíndrica está ao longo deste eixo (Figura 9 .16). É importante observar que se tomarmos um ponto da diretriz, por exemplo A(2, 2, 0), todo ponto do tipo (2, 2, z), para z real qualquer, também satisfaz a equação (11) pois

chamada circular, elíptica, hiperbólica ou parabólica. Portanto, a Figura 9.16 apresenta uma superfície cilíndrica parabólica ao longo do eixo Oz.

a) E: x 2 + y 2 +

9, P(2, 1, -2)

b)E:(x 3) +(y+l) 2 +(z 2) 2 =12,P(l,-3,4) 2

f--.....,/,.:. 2--+--Y

2 ............ · x

superfície contém o ponto A e toda reta por A e paralela ao eixo 6 Oz. Significa dizer: o valor de z não influi no fato de um ponto Figura 9.l P(x, y, z) pertencer ou não à superfície. Então, como para o ponto só interessam as variáveis x e y, a própria equação da diretriz é a equação da superfície cilíndrica, isto é, x 2 = 2y A ausência da variável z para este caso permite concluir de modo geral: o gráfico em três dimensões de uma equação que não apresenta uma determinada variável, corresponde a uma superfície cilíndrica ao longo do eixo desta variável ausente. E, ainda, conforme a diretriz seja uma circunferência, elipse, hipérbole ou parábola, a superfície cilíndrica é

c) E:x 2 +y 2 + 4x+2y-6z-11 O, P(2,-5,6) 4) Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado. "~ x-I t) y = 4x 2 , z =O; eixo Oy. a) +L 1, z =O; eixo maior. 4 16 x2

-+L =1, 4

c) x 2 + y 2

z =O; eixo menor.

= 9 , z = O; eixo Ox.

g) z = -2y 2 , x =O; eixo Oz. h) z

2y, x =O; eixo Oz.

z4 z-? 4

y 2 = 1, x =O; eixo Oy.

2y, x =O; eixo Oy.

y-I

x , z = O; eixo Oy.

1, x = O; eixo Oz.

Cap. 9

226 Vetores e Geometria Analítica

5) Reduzir cada uma das equações à forma canônica (caso não esteja), identificar a superfície e construir seu gráfico. xê+y~+z 2 =25

36x 2 +16y 2 +9z 2 -144=0 2

36x +16y -9z -144=0 2

- z

o) z=2+x +y

m) 4x

+ 4y 2

n) z=x 2 +y 2 2

4x -y +4z -4=0

p) z==-x2-y2

z 2 -4x 2 -4y 2 =4

y=-2+x 2 +z 2

4x 2 -y 2 +2z 2 +4=0 2

h) 4x +z 2 -y=O i)

X .2 -

4z 2 2x

a) S:

9x +4y +9z=O

b) S:4x +4y -z

L-~=1

y+z

e) S :

d) z

=x 2 +y 2 -l,

f) S:18x +9y

,..,

z-'

y=-~+x~+-,

2 f) g)

y = 62

x =2z.

2 - Z ,

Representar grafi-

n: z

-4 + -Y + Z L 2 '

z=4-2x 2 -y 2 ,

n::x=2

k) y +4z 2 =x,

-4 S

2 2

O e -

n :y + 4

O e

n:z

-18

6x+4y+9::;:0

4y +8x-8y-4z+28=0

-3szs3

1t dado.

9) Identificar e descrever as superfícies de equações dadas.

-3szs3

x-y=O

e n:z::;:4

-3szs0

c) z 2 =x 2+y 2+l,

n: x 2

)

x 2 +L=-~

9 4 6) Identificar e representar graficamente as superfícies expressas pelas equações nos intervalos dados. a)

+ Z- 9

x 2 +z=O 7

O e 2

u) z=4-x 2

y +4z -x=O

Identificar a superfície S e a sua interseção com o plano camente esta interseção no plano rc .

s) x 2 +y 2 =9

f) g)

I) 36x 2 -4y 2 +9z 2 =0

b) 2x~+4y 2 +z 2 -16 =0 c)

Superfícies quádricas 227

z 2 - 24x- 4y 8z+42

Oszs4 e)

Osxs4

-2sys2

24x 6y -12z+39

-3 S y S 6

-3sys5

n) z=9-y 2 ,

-4sxs4

7) Identificar as superfícies definidas pelas equações, dizendo ao longo de que eixo elas ocorrem, conforme o caso. a)

2Sx 2 +l00y"+36z 2 -900=0

z=-~16-x 2 -y 2

z=~9-x 2 -y 2

y=~l6x 2 +4z 2

x +y

6y 2 2

- 24y

6z 27

4x 6y z + 12

lO) O traço de um elipsóide (centro na origem) no plano xy é a elipse x Determinar a equação do elipsóide, sabendo que contém o ponto

(o, I, J6).

Cap. 9 228 Vetores e Geometria Analítica

11) Deduzir uma equação do parabolóide de vértice na origem, sabendo que sua interseção com o plano z = 4 é a circunferência de centro (0, O, 4) e raio 3. z2 , . . x2 / . 12) Determmar os vertices e os focos da ehpse - + - - - = 1, z = 3. 2 8 9

Respostas de Problemas Propostos

4 x:2

-x:

c) x 2 +y 2 +z 2 -4x-2y+8z+7=0

1, hiperbolóide de uma folha

e) 9x 2 + 9y 2 + 9z 2 + 72y- 54z- 31 =O

h) y

= l_

i) z

c) x 2 +y 2 +z 2 -4x+6y-8z+25=0

j) x =

f) y=4x 2 +4z 2

, superfície cônica -

2y 2

2 2 z2 h) X +y --=0 4 x 2 z2 i) - - y +-=0 4 4 j) 7

x2-y2+z2=0

r = 1 , superf'ICiees · f'enca · de raiO · 5 5) a )x- +y-+25 25 25 ?

~+L+!::__ = 1 , elipsóide 8

m) z 2 =

z , parabolóide elíptico

k) parabolóide hiperbólico

g) z = -2x 2

z +-=1

, parabolóide elíptico

b) x+y-z+6=0

+ z 2 , parabolóide elíptico

3) a) 2x + y- 2z- 9 =O

x 2 +y 2 +z 2 -4x+6y-8z+20=0

+L - !:_ =1 , hiperbolóide de duas folhas 7

2) a) x 2 +/+z 2 -4x+6y-8z+l3=0

x d) - -

1 , hiperbolóide de uma folha

2 _ y 2 + !:_ = 1, hiperbolóide de duas folhas 4

g) - x 2

d) x 2 +/+z 2 +4x-6y-8z+16=0

b) x 2 +y 2 +z -8x+2y+4z=O

c) 4y-3z+38=0 x2 y2 z2 4) a) - + - + - = 1 4 16 4

I ) a) x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 6 y - 2z - 2 = O

z- = 1 . elipsm ''de +-

n) o) p) q)

r) s) t) u)

, superfície cônica 1 1 4 4 parabolóide circular parabolóide circular parabolóide circular parabolóide circular parabolóide circular superfície cilíndrica circular superfície cilíndrica parabólica superfície cilíndrica parabólica superfície cilíndrica hiperbólica

Superfícies quádricas 229

230 Vetores e Geometria Analítica

6) a) parabolóide elíptico h) superfície cônica circular b) superfície cônica i) parabolóide elíptico c) hiperbolóide de duas folhas j) parabolóide elíptico d) hiperbolóide de uma folha k) parabolóide elíptico e) parabolóide elíptico 1) superfície cilíndrica elíptica f) parabolóide circular m) superfície cilíndrica hiperbólica g) superfície cilíndrica parabólica n) superfície cilíndrica parabólica 7) a) elipsóide b) semi-superfície esférica superior de raio 3 c) semi-superfície esférica inferior de raio 4 d) semi-superfície cônica ao longo de Oy e) superfície cônica circular ao longo de Oz f) hiperbolóide de duas folhas ao longo de Oz g) semi-hiperbolóide de uma folha ao longo de Oz h) semi-hiperbolóide de duas folhas ao longo de Oz i) semi-superfície cônica inferior ao longo de Oz j) semi-superfície cônica ao longo de Oz k) superfície cilíndrica parabólica ao longo de Oy I) plano que contém o eixo Oz 8) a) parabolóide hiperbólico e hipérbole b) superfície cônica e circunferência c) parabolóide hiperbólico e hipérbole d) hiperbolóide de duas folhas e ponto (2, O, O) e) parabolóide elíptico e circunferência f) hiperbolóide de uma folha e elipse 9) a) superfície esférica, centro (3, -2, 0) e raio 2 b) parabolóide elíptico, vértice (-4, I, 2), eixo paralelo a Oz c) hiperbolóide de uma folha, centro (3, -1, -4 ), eixo paralelo a Oy d) hiperbolóide de duas folhas, centro (0, -1, 0), eixo paralelo a Oz e) superfície cilíndrica circular, geratriz paralela a Oz f) parabolóide hiperbólico, centro (-1, 3, -3), ao longo de Ox g) elipsóide, centro (-2, 1, 3), eixo maior paralelo a Oz h) superfície cilíndrica parabólica, geratriz paralela a Oy i) superfície cônica, vértice (0, -2, I), eixo paralelo a Ox j) parabolóide circular, vértice (2, 3, -I), eixo paralelo a Oz o

10) x~+_r::_+z- =I

4 2

11) 4 x + 4 y

8 2

9z = O

12) vértices: (0,

± 4, 3)

e ( ± 2, O, 3), focos: (0,

± 2J3, 3).