UNIVERSIDAD DEL QUINDÍO FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS PROGRAMA DE ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS
TALLER ANUALIDADES
Por: ANDRES FELIPE RODRIGUEZ
ARMENIA, QUINDIO 2013
EJERCICIOS MATEMÁTICAS FINANCIERA 1.
Una empresa comercial vende equipos de sonido con una cuota inicial de
500.000 y 24 cuotas mensuales de 185.500. Si se carga el 30% con capitalización mensual, hallar el valor de contado. Respuesta: $ 3’817.664,87 VP=185.500
[
−24
1−( 1+ 0.025 ) 0.025
]
+500.000
VP=3' 317.664,872+500.000 VP=3.817.664,87 2.
Una persona debe pagar una cuota de $ 60.000 trimestrales durante 5 años. Si no
efectúa los 4 primeros pagos, ¿Cuánto debe pagar al vencer la quinta cuota, para poner al día su deuda, si la tasa de operación es del 30% con capitalización trimestral? Asuma que los intereses de mora son iguales a los intereses corrientes. Respuesta: $ 348.503,46 VF :60.000
[
( 1+0.075 )5−1 0.075
]
VF=348.503,46 3.
Pedro Pica-piedra debe pagar durante 10 años una cuota de 100.000 semestrales
pactados al 16% semestral. Al efectuar el noveno pago desea liquidar su saldo con un pago único, ¿Cuánto debe pagar en este momento para liquidar su deuda? Respuesta: $ 502.864,44 VP=100.000
[
1−( 1+ 0.16 )−11 0.16
VP=502.864,4378
]
Calcular el valor futuro y el valor presente de la siguiente serie de pagos: a. 12
4.
pagos mensuales de $ 100.000 cada uno a una tasa de interés del 36% MV. b. 18 pagos trimestrales anticipados de $ 200.000 cada uno a una tasa del 9.0% trimestral Respuesta: a) VF = $ 1’149.203 VP = $ 995.400 b) VF = $ 9’003.692 VP = $ 1’908.726 A:
[
( 1+0.03 )−12−1 VF=100.000 0.03
]
VF=1419202,956
VP=100.000
[
1−( 1+ 0.03 )−12 0.03
]
VP=995.400,3994
B: VF=200.000
[
(1+ 0.09 )18+1−( 1+0.09 ) 0.09
]
'
VF=9 003.691,697
[
(1+ 0.09 )18−1 VF=200.000 ( 1+ 0.09 ) 0.09 ( 1+0.09 )18
]
VP=1' 908.726,274
5.
Calcular el valor de contado de un equipo industrial comprado así: $ 150.000 de
cuota inicial y 12 pagos trimestrales de $ 80.000, a una tasa de interés del 40% capitalizable trimestralmente. Respuesta: $ 695.095,34 X =150.000+80.000
[
1−( 1+ 0.1 )−12 0.1
]
X =150.000+545.095,3458
X =695.095,3458 6.
Calcular el valor de los depósitos semestrales necesarios en una cuenta de
ahorros que paga el 30% con capitalización semestral, para tener en 5 años un capital de $ 19’560.000. Respuesta: $ 963.370,34 A=19.560 .000
[
0.15 ( 1+0.15 )10−1
]
A=963.370,3428 7.
Una obligación P se había pactado cancelar de la siguiente forma: una cuota
inicial equivalente al 20% y dos pagos en los meses 6 y 12 de $ 5’000.000 y $10’000.000 respectivamente, con una tasa del interés del 3% mensual. Transcurridos 8 meses se resuelve cancelar el saldo en 12 cuotas mensuales iguales a una tasa de interés del 3.2% mensual. Calcular esos nuevos pagos. Respuesta: $ 903.282,42
−4
VP=10' 000.000 ( 1+0.03 )
VP=8' 884.870,479
A=8 ' 884.870,479
[
0.032 1−( 1+0.032 )−12
]
A=903282,4222 Hallar el valor futuro equivalente de la siguiente combinación de pagos,
8.
utilizando la tasa de interés igual al 2% mensual: un pago de $ 5.000 vencido el tercer mes, un pago de $ 18.000 vencido al 5 mes, un pago de $ 45.000 al principio del 7 mes, y una anualidad de $ 25.000 que se inicia al finalizar el periodo 9 y termina en el periodo 17. Respuesta: $ 329.243,30
[
( 1+0.02 )9−1 X =5.000 (1+ 0.02 ) +18.000 ( 1+0.02 ) +45.000 ( 1+0.02 ) +25.000 0.02 14
12
11
]
X =6.597,393815+ 22.828,3523+55.951,84388+ 24.386,57108
X =329.243,3808 9.
Una entidad financiera le ofrece un préstamo de $ 1’000.000 a 3 años, a una tasa
de interés del 34% capitalizable trimestralmente, y usted puede cancelarlo por medio de cuotas mensuales iguales. a)
Halle el valor de cada cuota
Respuesta: $ 44.155,88 b)
Si después de pagar la cuota No 30, usted decide cancelar el saldo con un solo
pago único, ¿de cuánto debe ser ese pago? Respuesta: $ 241.238,25 A:
it=
0.34 1 /3 ℑ= (1+ 0.085 ) −1 4
it=0.085im=0.02756644195
A=1 ' 000.000
[
0.02756644195 1−( 1+0.02756644195 )−36
]
A=44.155,88069
B:
[
1−( 1+0.02756644195 )−6 VP=44.155,88069 0.02756644195
]
vp=241.142,4666 10.
Un terreno que vale de contando $ 25’000.000 se va a financiar de la siguiente
manera: cuota inicial igual al 8%, 36 cuotas mensuales iguales pagaderas en forma anticipada y una cuota extraordinaria al final del mes 18 de $ 250.000. Si la tasa es del 26% capitalizable mensualmente, calcular el valor de las cuotas. Respuesta: $ 840.006,55
[
]
( 1+ 0.0216666667 )36−1 25 ' 000.000=2' 000.000+ A ( 1+0.0216666667 ) + 2.500 .000(1+0.02 36 0.0216666667 ( 1+0.0216666667 ) 25 ' 000.000−2' 000.000−1' 699.706,653= A( 25,35743064) 21' 300.293,35= A( 25,35743064)
A=
21' 300.294,35 25,35743064
A=840.002,0353 11.
El propietario de una casa tiene las siguientes alternativas.
a)
Vender hoy de contado por $ 44’500.000
b)
Arrendarla por 400.000 pesos mensuales vencidos durante 3 años, cuando la
espera vender en $ 36’800.000 Si la tasa de interés es del 48% capitalizable mensualmente ¿Cuál será la mejor opción? X =400.000
[
]
1−( 1+0.04 )−36 +36 ' 800.000 0.04
X =44 ' 363.312,78 Respuesta: Primera Opción.
12.
Usted desea comprar un vehículo que vale de contado $ 25’000.000. El
concesionario acepta financiarlo con una cuota inicial y 36 cuotas mensuales iguales, cobrando una tasa de interés del 35% mensual. Usted solamente dispone de $ 600.000 mensuales. Calcule el valor de la cuota inicial. Respuesta: $ 12’825.703,71 25 ' 000.000= X + 600.000
[
1−( 1+ 0.035 )−36 0.035
]
25 ' 000.000= X + 12' 174.296,29 '
X =25 ' 000.000−12 174.296,29 X =12825 703,71 13.
Calcular el valor de un activo que financiado se puede adquirir así: cuota inicial
equivalente al 20% del valor de contado y 24 cuotas mensuales de $800.000, mas una
cuota extraordinaria de $ 2’000.000 pagadera en el mes 6. La tasa de interés cobrada por la financiación es del 30% capitalizable mensualmente. Respuesta: $ 20’040.728
X =0.2X+800.000
[
]
1−( 1+0.025 )−24 + 2 ' 000.000 ( 1+0.025 )−6 0.025
X −0.2X=14 ' 307.988,67+1' 724.593,732
X=
16 ' 032.582,4 0.8
X =20 ' 040.728
14.
Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes
condiciones: $ 3’000.000 pagado en el día de hoy, $ 150.000 por mensualidades vencidas durante 2 años, y un último pago por $ 350.000 un mes después de pagada la ultima mensualidad. Para el cálculo, utilice el 36% con capitalización mensual. Respuesta: $ 5’707.493,27 X =3' 000.000+150.000
[
]
1−( 1+0.03 )−24 +350.000 ( 1+ 0.03 )−25 0.03
X =3' 000.000+ 2' 540.331,318+167.161,9492 X =5' 707.493,267 15.
Hoy adquiere un equipo de sonido y se compromete a cancelarlo con 18 cuotas
mensuales anticipadas, cada una por valor de $ 85.000. Si le cobran una tasa de interés del 3% mensual, ¿Cuánto cuesta de contado?
Respuesta: $ 1’204.120,07 X =85.000(1+0.03)
[
18
(1+ 0.03) −1 0.03(1+0.03)18
]
X =1' 204.120,07 16.
Se desea comprar una nevera, el cliente se encuentra ante dos opciones:
a)
Compra a crédito bajo las siguientes condiciones: cuota inicial de $350.000 más
12 cuotas mensuales anticipadas de $ 100.000. Compra de contado por $1’400.000
b)
El rendimiento del dinero es del 4% mensual. ¿Cuál opción le conviene más al cliente? X =350.000+100.000 ( 1+ 0..04 )
[
( 1+0.04 )12−1 12 0.04 ( 1+0.04 )
]
X =350.000+976.047,6711 X =1' 326.047,6711
Respuesta: primera opción 17.
Una compañía vende un juego de muebles que tiene un valor de contado de $
12’000.000. Se conviene en pagar cuotas mensuales iguales de $ 847.091 pagaderas en forma anticipada, si la tasa de financiación es del 36% capitalizable mensualmente, ¿con cuantas cuotas se cancela el crédito? Respuesta: 18 cuotas 12 ' 000.000−847091 847.091−0.03 ¿ ¿ ¿ ¿ 847091−log¿ log ¿ N =¿
N=
5,927930068−5,709697031 +1 0.01283722471 N =18 , 0000169
18.
El banco ganadero le concede un préstamo de$ 10’000.000 a una tasa del 36%
trimestre vencido. Usted consigue un periodo de gracia de un año, durante el cual, el banco le cobra el 2.5% mensual de intereses y los intereses no se pagan, si no que se capitalizan. El préstamo tiene un plazo de 3 años, incluido el periodo de gracia y se va a cancelar en cuotas trimestrales iguales. Calcule el valor de cada cuota. Respuesta: $ 2’429.869,52 VF=10 ' 000.000(1+0.025)12 VF=13 ' 448.888,24
it=
A=13 ' 448.888,24
[
0.09 −8 1−( 1+0.09 )
0.36 4
= 0.09
]
A=2 ' 429.869 , 516
19.
Un electrodoméstico se financia de la siguiente manera: una cuota inicial de
$400 000 y 12 cuotas mensuales iguales de $ 85.000 pagadera en forma anticipada. Si la tasa de interés que le cobran es del 3.5% mensual ¿Cuál es el valor del electrodoméstico? Respuesta: $ 1250131,83
[
( 1+ 0.035 )12−1 X =400.000+85.000 ( 1+0.035 ) 12 0.035 ( 1+0.035 )
]
X =400.000+850131,836
X =1' 250.131,838
20.
Usted tiene un crédito de $ 5’000.000 para pagarlo en 18 cuotas mensuales de $
50000, más tres cuotas extras iguales, pagaderas en los meses 6, 12 y 18. Si la operación financiera se realiza con un interés del 2.5% mensual, ¿Cuáles es el valor de las tres cuotas? Respuesta: $ 1’905.783,83 1+0.025 ¿−18 1+ 0.025¿−12 + X ¿ −6 1+0.025 ¿ + X ¿ 1−( 1+ 0.025 )−18 5' 000.000=50.000 +X ¿ 0.025
[
]
5' 000.000=717.668,1813+ 0,862296866 X +0,743555885 X +0,6411659093 X
5' 000.000−717. 668,1813=2,24701866X X=
4 ' 282.331,819 2,24701866
X =1' 905.783,826
21.
Una compañía debe comprar un terreno para la ampliación de su planta. Lo
puede adquirir con una cuota inicial de $15’000.000 y 8 pagos trimestrales de $1’000.000 cada uno, haciendo el primer pago dentro de 1 año. Determinar el valor de contado del terreno, sabiendo que en la financiación se pacto un interés del 34% nominal con capitalización trimestral. Respuesta: $ 19’069.089,41 it=
0.34 =0.085 4 −12
1+ 0.085¿
X =15' 000.000+1 ' 000.000
[
−8
1−(1+0.085) 0.085
]
∗¿
1+0.085 ¿−4 X =15' 000.000+5 ' 639.182,968 ¿ X =15' 000.000+ 4' 069.089,414
X =19' 069.089,414 22.
Se está construyendo un negocio que estará en servicio dentro de 1 año. Suponga
que las utilidades sean de $ 650.000 mensuales y durante 4 años de servicio. Usted desea comprar este negocio ¿Cuál será el valor en pesos de hoy, que debe ofrecer para que al final de los 4 años tenga una ganancia adicional de $ 3000000, si su tasa de interés es del 3% mensual? Respuesta: $ 12’245.010,19 1+0.03 ¿−48 ¿ 1+0.03 ¿−12 1−¿∗¿ ¿ 1+0.03 ¿−48+ 650.000 ¿ X =3' 000.000 ¿
−12
1+ 0.03¿ X =725.996,4028+ 16' 423.359,31 ¿ X =725.996,4028+ 11' 519.013,79
X =12' 245.010,19
23.
Un electrodoméstico que tiene un valor de contado de $ 3’000.000, lo compro
financiado de la siguiente forma: cuota inicial de $250.000 y cuotas mensuales de $ 194.125,16 pagaderas en forma anticipada. Si le cobran una tasa de interés del 3% mensual, ¿en cuánto tiempo termina de cancelar el electrodoméstico? Respuesta: 18 meses VP=3000000−2500000 VP=2750000
N =log 194125,16−log
n=
[
]
194125,16−0.03 ( 2750000−194125,16 ) +1 log ( 1+ 0.03 )
0.2182328183 +1 0.01283722471
N =17.9999 24.
Dos personas (Juan y Pedro) deciden ahorrar dinero durante 2 años. Juan hace
depósitos mensuales de $ 50.000 y le reconoce una tasa de interés del 30% capitalizable mensualmente. Pedro hace depósitos de $ 95.000 trimestrales a una tasa de interés del 33% capitalizable trimestralmente. ¿Cuál de las dos personas tiene más dinero ahorrado al final de los dos años? Respuesta: Juan
JUAN: ℑ=
0.30 =0.025 12
VF=50.000
[
( 1+ 0.025)24−1 0.025
]
VF=1 ' 617.451,899
PEDRO: it=
0.33 =0.0825 4
VF=95000
[
(1+ 0.0825)8−1 0.0825
]
VF=1 ' 019.650.186 25.
un vehículo tiene un valor de contado $ 25000000. Y se puede adquirir
financiado de la siguiente forma: 30% de cuota inicial y el resto financiado con 24 cuotas mensuales iguales. Calcular el valor de las cuotas, si la primera se paga al final del sexto mes, y se cobra como tasa de financiación el 30% capitalizable mensualmente. a)
Los intereses durante el periodo de gracia se cancelan mensualmente.
b)
No se cancelan los intereses durante el periodo de gracia.
Respuesta: a) $ 978.474,36 b) $ 1’107.053,92 A: VP=25000000−7500000
VP=17500000
A=17500000
[
0.025 1−(1+0.025)−24
]
A=1107053,923
B: VP=17500000 ( 1+0.025 )5 VP=19799643.73
A=19799643.73
[
0.025 1−(1+ 0.025)−24
]
A=1107053,923 26.
Un terreno que tiene un valor de contado de $ 100’000.000 se puede adquirir
financiado de la siguiente forma: cuota inicial de $ 10’000.000, 24 cuotas mensuales iguales debiendo cancelar la primera dentro de 6 meses y una cuota extraordinaria de $ 20’000.000 dentro de 18 meses. Calcular el valor de las cuotas mensuales, si la tasa de interés de financiación que se cobra es del 32% MV. Respuesta: $ 5.037.154,48 ℑ=0.026666667
7 1+ 0.02666666¿ ¿ 1+0.026666667 ¿−18 1−(1+0.026666667)−24 100000000=10000000+ A ∗¿ 0.026666667
[
]
90000000= A ( 17.56004449 ) ( 0.876734005 )+ 12453736.76
A=
77546263.18 15.39495072
A=5' 037.123,83 27.
Una entidad bancaria concede un crédito a 3 años, a un cliente por valor de
$50’000.000 con las siguientes condiciones: periodo de gracia de 6 meses, cuotas mensuales iguales, tasas de interés del 34% capitalizable mensualmente, y durante el periodo de gracia se cancelaran los intereses. Calcular el valor de las cuotas mensuales. Respuesta: $ 2’899.617,72 ℑ=0.02883333333
A=50' 000.000
[
0.0283333333 1−( 0.0283333333)−36
]
A=2 ' 233.593.739
28.
Un concesionario le financio a un cliente un vehículo que tiene un precio de
contado de $42’000.000 por medio de una cuota inicial equivalente al 30% de valor de contado y 24 cuotas mensuales iguales de 2’953.585,31. Después de canceladas la primeras 7 cuotas, este solicita que le amplíen el plazo de la deuda a 48 cuotas mensuales iguales. Calcular: a)
Tasa de interés mensual de financiación del primer plan de pagos
b)
Valor de las nuevas cuotas mensuales.
Respuesta: a) 8.68% mensual b): 2’278.027,60 A:
[
−24
1−(1+i) 42 ' 000.000=12 ' 600.000+2 ' 953.585,31 i
•
]
[
]
=0
[
1−(1+0.09)−24 0.09
]
=0
[
1−( 1+0.0868 )−24 0.0868
1−(1+ 0.08)−24 29 ' 400.000−2 ' 953.585,31 0.08
29 ' 400.000−31' 097.585,8 ≠ 0=−1697585.799
•
29 ' 400.000−31' 097.585,31
29 ' 400.000−28 ' 669.305=730.694,068
•
29 ' 400.000−2 ' 953.585,31
]
29 ' 400.000−29 ' 411.768,77=11768.77 B: VP=2 ' 953.585,31
[
1−( 1+0.0868 ) 0.0868
17
]
VP=25 ' 761.657,77 Saldoinsoluto al mes 7
A=25' 761.657,77
[
0.0868 1−(1+ 0.0868)−48
]
A=2 ' 278.027,77
29.
¿A qué tasa nominal capitalizable mensualmente se está pagando una deuda de $
30’000.000 mediante pagos mensuales de $ 1374113.82 durante 3 años? Respuesta: 36% MV
[
−36
1−(1+ i) 30000000−1374113.82 i
]
[
1−(1+ 0.02)−36 30000000−1374113.82 0.02
•
]
≠0
30000000−35024570.71=−5024570.71
30000000−1374113.82
•
[
]
1−(1+ 0.04)−36 ≠0 0.04
30000000−25982131=4017869
30000000−1374113.82
•
[
1−(1+ 0.03)−36 0.03
]
30000000−29999999.82=0
¿= J ∗n ¿=0.03∗12=36MV
30.
Le financian un electrodoméstico que tiene un valor de contado de $ 3500000 en
12 cuotas mensuales iguales, pagaderas en forma anticipada de $ 332882.87. Calcular la tasa nominal mes vencido que le están cobrando. Respuesta: 30% MV
[
(1+ i)12−1 3500000−322882.87−322882.87 12−1 i ( 1+i )
•
[
]
=0
]
(1+ 0.02)12−1 3167117.13−332882.87 ≠0 12−1 0.02 (1+ 0.02 )
3167117.13-3257874.066= -90756.93559
•
[
3167177.13-332882.87
12−1
(1+0.03) 12−1 0.03 ( 1+ 0.03 )
]
≠0
3167177.13-3080040.07= 870770611
•
3167177.13-332882.87
[
12−1
(1+0.025) 12−1 0.025 ( 1+ 0.025 )
]
=0
3167177.13-3167177.102=0 ¿= J ∗n
¿=0.025∗12=30 %MV 31.
Le arriendan un local comercial por 2 años con pagos mensuales vencidos de $
200000. Usted ofrece un solo pago en el día de hoy. ¿Cuánto deberá pagar al inicio del contrato si la tasa de interés del arrendador es del 3% mensual? Respuesta: $ 3387108.42 1+ 0.03¿−24 ¿ 1−¿ ¿ vp=200000¿ VP=3387108.424 32.
Usted acude a un crédito comercial de un electrodoméstico que tiene un precio
de contado de $5000000, se lo financian de la siguiente manera: cuota inicial de 30% y 36 cuotas mensuales iguales de $160313,28. Si usted solo puede pagar $150000 mensuales, calcular el número de cuotas enteras necesarias para cancelar la deuda. La tasa de interés cobrada es del 3% mensual. Respuesta: Por redondeo, 41 pagos
X =5000000−1500000
X =3500000 150000−3500000∗0.03 ¿ ¿ ¿ 150000−log ¿ log ¿ n=¿
n=
50176091259−4.653212514 0.01283722471
n=
0.5228787452 0.01283722471
n=40.73 33.
El señor Pérez compró un apartamento a una corporación que tiene un valor de
contado de $150000000, de la siguiente forma: cuota inicial de $40000000 y cuotas mensuales iguales de $4409748,34. Después de cancelar la cuota número 18, solicita el saldo de la deuda para hacer un solo pago y le informan que es de $96286838,22. Calcular la tasa de interés que le están cobrando. Respuesta: 3.5% mensual 34.
Un ahorrador deposita $250000 trimestrales, al finalizar cada trimestre, en una
cuenta de ahorros que paga el 28% trimestre vencido. Dos años más tarde retira la mitad de su saldo en la cuenta y luego hace depósitos mensuales de $150000 durante año y medio, retirando el total seis meses después del último deposito. Calcular el saldo disponible al finalizar la operación. Respuesta: $ 5973638.37 it=0.07
7 1+0.0 ¿ ¿ ¿ 8−1 ¿ ¿ vf =250000 ¿ vf =2564950.642 vf =1282475.32 2 1/ 3
1+0.07 ¿ ℑ=¿
•
ℑ=2.2809122177
vf =150000
[
18
(1+0.022809122177) −1 0.022809122177
]
vf =3292961.191 7 1+ 0.0 ¿ ¿ 6 1+ 0.22809171¿ vf =1282475.32 ¿
VF=5973642.645 35.
¿A cuántos meses se deben diferir 18 pagos trimestrales a $232226,50 para
poder cancelar una deuda que inicialmente estuvo pactada en 6 pagos trimestrales de $350000, a una tasa de interés del 36% capitalizable trimestralmente? Respuesta: 9 meses it=0.09
[
−6
1−(1+ 0.09) vp=350000 0.09
]
vp=1570071.507
n=
log 232226.50−log [ 232226.50−0.09(15070071.507−232226.50)] +1 log(1+0.09)
n=
5.365911777−5.048521233 +1 0.03742649794 n=9.480369831
36.
Un electrodoméstico tiene un valor de contado de $2500000 y se adquiere con
el siguiente plan: Cuota inicial del 20%, 18 cuotas mensuales iguales, debiendo pagar la primera dentro de 6 meses, y dos pagos adicionales de $200000 en los meses 20 y 30. Calcular el valor de las cuotas mensuales si la tasa de interés de financiación es del 24% capitalizable mensualmente. Respuesta: $ 129245.49 ℑ=
0.24 12 =0.02
1+0.02 ¿−30 1+0.02 ¿−20 +200000 ¿ 1+ 0.02¿−5+ 200000 ¿ 1−( 1+0.02 )−18 2500000=500000+ A ¿ 0.02
[
]
2000000=A ( 13.57874461) +134594.2666+110414.1778 1754991.356= A ( 13.57874461 )
A=
1754991.356 13.57874461
A=129245.556
37.
El señor Pérez le debe al señor García $25000000 a una tasa de interés del 36%
capitalizable mensualmente, y le propone pagarle todos los meses $650000 ¿En cuántos meses le habrá cancelado totalmente la deuda? Comente el resultado. Respuesta: No tiene solución ℑ=
0.36 =0.03 12
ℑ=25000000∗0.03 ℑ=750000
750000>650000 Respuesta: No tiene solución porque el ejercicio es determinado, esto se da en la realidad ya que el valor del solo interés es mayor al valor de lo que se propone en cuota y nunca se pagaría. 38.
Se había pactado una obligación con una cuota inicial de $2000000 y 8 cuotas
trimestrales anticipadas de $3315126,20 con una tasa de interés del 36% capitalizable trimestralmente. Se resuelve a última hora cancelarla con 36 cuotas mensuales iguales. Calcular el valor de las nuevas cuotas. Respuesta: $ 994824.39 2000000+3315126.26+ 3315126.26
32000000.37= A ( 32.11430091 ) A=996440.8212
[
] [
(1+0.09)8−1 −1 1−(1+ 0.029142467)−36 = A 0.029142467 0.09(1+ 0.09)8−1
]
39.
Un lote que tiene un valor de contado de $20000000 se está cancelando con
cuotas mensuales iguales. El saldo después de pagada la cuota número 15 es de $12000000. Si se está cobrando una tasa de financiación del 36% capitalizable mensualmente. ¿Cuál es el valor de las cuotas? Respuesta: $ 1030132.64
[
1−(1+0.03)−15 1+0.03 ¿ + A 0.03 20000000=12000000 ¿ −15
]
20000000=7702343.369+ A ( 11.93793509 ) A=1030132.643 40.
Un activo tiene un valor de $ 50000000 se financio de la siguiente forma: cuota
inicial equivalente al 20% de su valor, 36 cuotas mensuales por valor de $1698.063.07 y una tasa de financiación del 30% capitalizable mensualmente. Después de pagada la cuota número 26, se resuelve cancelar el saldo en 4 cuotas trimestrales iguales. Calcular el valor de las nuevas cuotas. Respuesta: $ 4456001.38 ℑ=0.
30 =0.025 12
1+0.025 ¿12−1=0.3448888242 iea=¿ 1
1+0.3448888242 ¿ 4 −1=0.076890625 it =¿
X =1698063.07
[
X =14861556.55
1−(1+0.025)−10 0.025
]
A=14861556.55
[
0.076890625 1−(1+ 0.0768906625)−4
]
A=4455998
41.
Una obligación que inicialmente se había pactado con un pago de $2000000
dentro de 8 meses y otro pago de $ 3250000 para dentro de 16 meses, se conviene pagar con 12 cuotas trimestrales iguales. Si la tasa de interés es del 3% mensual, calcular el valor de las cuotas trimestrales. Respuesta: $ 510182.93 1+0.03 ¿−12−1=0.4257608868 iea =¿ 1
1+0.04257608868¿ 4 −1=0.092727 it =¿
[
−12
1−(1+ 0.092727) 0.092727 −8 1+0.03 ¿ +3250000 ¿ 2000000 ¿
1+0.03 ¿−16=A
]
1578818.469+ 2025292.552= A(7.063396583)
A=
3604111.021 7.063396583
A=510251.8284 42.
Un vehículo está financiando con 36 cuotas mensuales de $800000. Faltando el
pago de 12 cuotas, se resuelve cancelar el saldo con un solo pago, 6 meses más tarde. Calcular el valor de este pago si la tasa de interés es del 32% capitalizable mensualmente.
Respuesta: $ 9513651.26 ℑ=
0.32 =0.2666666667 12
1+0.02666666667¿−12 ¿ 1+ 0.02666666667¿ 6 1−¿∗¿ ¿ X =80000 ¿ X =8124010.142∗( 1+0.02666666667 )6 X =9513651 . 262
Una obligación de $20000000 se está cancelando con 36 cuotas mensuales de $
43.
893437,50. Faltando 16 pagos, se propone cancelar el saldo en 2 cuotas iguales en los meses 24 y 36. Si la tasa de interés que se está cobrando es del 34% MV, Calcular el valor de los nuevos pagos. Respuesta: $ 6908439.73 ℑ=
0.34 =0.02833333333 12 −16
1+ 0.02833333333¿ −4 1+ 0.02833333333¿ + X ¿ 1−(1+0.02833333333)−16 893437.5 =X ¿ 0.02833333333
[
]
11366896.71= X ( 0.8942611121 ) +( 0.6395247869)
X=
11366896.71 1.533785899
X =7411006.137 44.
Un almacén vende neveras de contado $2500000, y a plazos exige una cuota
inicial del 20% y cuotas trimestrales de $445839,57, pagándose la primera un trimestre después de la entrega de la cuota inicial. ¿A cuántos trimestres se está financiando la nevera, si se cobra una tasa del 36% capitalizable trimestralmente? Respuesta: 6 trimestres n=
log 445834.57−[ log 445834.57−( 2500000∗0.03) ] +1 log (1+0.03)
n=
5.649173741−5.569180213 +1 0.01283722471 n=6.231372393 trimestres
45.
Una obligación (P) se había pactado cancelar con 18 cuotas mensuales iguales
de $500000 cada una, pagando la primera cuota en el mes 12. Se resuelve cancelarla en 6 pagos trimestrales iguales, empezando a pagar la primera en el mes 3. Si la tasa de interés es del 34% capitalizable mensualmente, calcular el valor de las nuevas cuotas, si durante el periodo de gracia no hay pago de intereses. Respuesta: $ 1134560.03 1+0.
34 12 ¿ −1=0.39832127EA 12 iea=¿ 1
1+0.39832127 ¿ 4 −1=0.0874310787 it =¿
[
−18
1−( 1+ 0.2833333333) vp=500000 0.02833333333
]
−11
1+0.02833333333¿ vp=6974663.899 ¿ vp=5129207.09
A=5129207.09
[
0.0874310487 −6 1−(1+0.0874310187)
]
A=1134852.03
46.
Un empleado deposita en una entidad financiera, cada fin de mes, durante 4
meses, $200000. Calcular el valor acumulado al final del cuarto mes, si se esperan las siguientes tasas de interés. Mes
1
2
3
Tasa
0,5%
0,8%
0,4%
Respuesta: # Cuotas
Valor
Intereses
Deposito(+)
Saldo
Tasa
cuotas 0
47.
1
200000
200000
200000
0.005
2
200000
1000
201000
401000
0.008
3
200000
3208
203208
604208
0.004
4
200000
2416.832
202416.832
806624.832
Una pareja de recién casados compra un apartamento en $50000000 pagando
una tasa de interés del #% mensual. Si la pareja puede hacer pagos mensuales cada fin de mes de $1806648. ¿Cuándo terminan de pagar el apartamento? Respuesta: 60 pagos mensuales o en 5 años n=
log 1806648−log [ 1806648−50000000∗0.03 ] +1 log ( 1+ 0.03 )
n=
6.256893543−5.436640137 +1 0.01283722471
n=
0.7702334085 0.01283722471
n=59.99999425 pagos 48.
¿Cuánto se debe depositar al final de cada mes en una cuenta de ahorros que
reconoce una tasa de interés del 2% mensual durante 5 años, para cancelar una obligación de $20000000 prestada a una tasa del 3% mensual? Respuesta: $ 1033147.49 20000000 ( 1+0.03 )60 = 117832062.1
A=117832062.1
[
0.02 (1+0.02)60−1
]
A=1033147.494 49.
Se abre una cuenta de ahorros con $10000000 en una entidad que paga el 2,5%
mensual. Se desean hacer 12 retiros mensuales, empezando 6 meses después de abierta la cuenta. ¿De qué valor son los retiros? Respuesta: $ 1102977.36 1+0.025 ¿5=11314082.13 10000000 ¿
A=11314082.13
[
0.025 ( 1+ 0.025 )−12
]
A=1102977.564
50.
Se desea comprar un vehículo que cuesta hoy $30.000.000, para tal efecto se
depositan mensualmente $2000000 en una entidad financiera que paga una tasa de interés del 24% capitalizable mensualmente, y se hace un deposito adicional a los 6 meses de $5000000. si el valor del vehículo se incrementa mensualmente en un 0,66% calcular ¿en qué tiempo se puede comprar el vehículo? Respuesta: 12 meses 51.
Al comprar un lote de mercancía se quedan debiendo $12000000, para pagarlos
en 3 años, por medio de cuotas mensuales iguales el primer años; cuotas bimestrales iguales durante el segundo año y con cuotas trimestrales iguales en el tercer año. Si las
cuotas bimestrales son el doble de las cuotas mensuales, y las cuotas trimestrales son la tercera parte de las cuotas mensuales, calcular el valor de las cuotas, si la tasa de financiación es del 2% mensual. Respuesta: Mensuales: $ 613882.65, Bimestrales: $ 1227765.30, Trimestrales: $ 204627.55 12
1+0.03 ¿ −1=0.2682417946 iea=¿ 1
1+0.2682417946 ¿ 6 −1=0.0404 ib=¿ 1
1+0.2682417946 ¿ 4 −1=0.061208 it =¿ 1+0.061208 ¿−8 −4 1−( 1+0.061208 ) 1+0.0404 ¿−6 + A/3 ¿ 0.061208
[
[
]
] [
]
1−(1+0.02)−12 1− (1+ 0.0404 )−6 12000000= A + 2A ¿ 0.02 0.0404 12000000= A ( 10.5754122 ) + A ( 8.256024144 ) A ( 0.7161282707 ) 12000000= A ( 19.54799368 )
A=
12000000 19.54799368
Mensual=613889.441
Bimestral =1227778.888 Trimestral =204627.8147
52.
Se inicia una cuenta de ahorros en un fondo de empleados con un depósito
inicial (P).Desde el mes 6 hasta el mes 9 se hacen depósitos adicionales de $600000. Si desde el mes 14 hasta el mes 17 se hacen retiros de $800000 y todavía al final del tercer año se tiene un saldo disponible de $ 3497321,19, calcular el valor del depósito inicial, si reconocen una tasa de interés del 2% mensual. Respuesta: $ 2000000 36
1+ 0.02 ¿ 9 1+0.02 ¿ + P ¿ ( 1+0.02 )4 −1 27 1+0.02 ¿ −800000 ¿ 0.02
[
3497321.19=600000
]
[
4
]
( 1+0.02 ) −1 ¿ 0.02
34972321.19=4221070.174−4803523.667−P ( 2.039887344 )
P=
4079774.683 2.039887344
P=2000000 53.
Se hacen depósitos en una entidad financiera desde el mes 6 hasta el mes 12 de
$350000. Luego se hacen retiros desde el mes 18 hasta el mes 22 de $200000 cada mes. Si se tiene un saldo después de 3 años de $3200000 ¿Qué tasa de interés le reconocieron? Respuesta: 2.41% mensual
12
1+i ¿
[
] [ ] 5
( 1+i ) −1 1+i ¿ −200000 ¿ i 24
3200000=350000
( 1+i )7 ¿ i
1+ 0.0241¿ 12 5 ( 1+0.0241 ) −1 1+0.0241 ¿24−200000 ¿ 0.0241 3200000=350000
[ [
]
]
( 1+ 0.0241 )7 ¿ 0.0241
3200000=4665545.656−1610992.756
3200000−3054553.5=0 145446.5=0 54.
El doctor Vega tiene planeado viajar con su familia a los juegos olímpicos, para
tal efecto necesita tener al final del año $25000000. Para lograr su objetivo comienza hoy a hacer depósitos de $1803446,30 en un banco que le paga el 2,2% mensual. Al llegar a hacer el sexto depósito le informan que la tasa de interés ha bajado al 2% mensual, calcular el nuevo valor de los depósitos. Respuesta: $1838061.84 25000000=1803446.30
[
]
5.224893474 (1.022 )( 1.26162419 ) + A(7.43428338) 25000000=1803446.30 ¿ 25000000−10845075.55=A(7.43428338)
A=
14154924.45 7.43428338
[
7 ( 1+0.022 )5−1 (1+0.02) ( 1+0.022 ) ( 1+ 0.02 )6 + A 0.022 0.02
]
A=1904006.557 55.
Se hacen depósitos de $200000 cada fin de mes, durante 24 meses, a una tasa del
2% mensual ¿a qué tasa de interés se deben colocar igual número de depósitos, del mismo monto, en forma anticipada, para tener el mismo valor acumulado? Respuesta: 1.8495% mensual 200000
[
[
]
1−(1+ 0.02)−24 (1+i)24−1 =200000+ 200000 0.02 i(1+i )24−1
3782785.121−200000−200000
[
[
]
]
( 1+i )24−1 =0 24−1 i ( 1+i )
]
(1+i )24−1 3582785.121−200000 =0 i ( 1+i )24−1
•
[
]
( 1+0.01 )24−1 3582785.121−200000 ≠0 0.01 ( 1+0.01 )24−1 3582785.121−4091164.226=−508379.105
•
[
]
( 1+0.02 )24−1 3582785.121−200000 ≠0 0.02 ( 1+0.02 )24−1 3582785.121−73126881.=−3734096.525
•
[
]
( 1+0.018495 )24−1 3582785.121−200000 ≠0 0.018495 ( 1+ 0.018495 )24−1 3582785.121−3719247.538=−136462.4174
≈ 1.8495
56.
Una empresa tomo un préstamo en un banco por $50000000, para pagarlo con
20 cuotas trimestrales iguales, con un interés del 10% trimestral. Si una vez pagada la cuota numero 10 hizo un abono y el saldo lo cancelo con 6 cuotas trimestrales de $5989751,04 ¿De cuánto fue el abono? Respuesta: $ 10000000 A=50000000
[
0.1 1−(1+0.1)−20
]
A=5872981.239
vp=5872981.239
[
1−(1+0.1)−10 0.1
]
vp=36086927.33
[
1−(1+0.1)−6 36086927.33= X + 5989751.14 0.1
]
36086927.33= X + 26086927.33
X =10000000
57.
Una persona recibe en préstamo $10000000 en una entidad financiera, para ser
cancelados con 12 pagos mensuales, con una tasa de interés del 1,2% mensual. Los pagos mensuales fueron calculados de la siguiente manera: Valor del préstamo
$10.000.000
Valor interés por año
1.440.000
Gasto del préstamo
200.000
Total
$11.640.000
Valor cuota mensual: $11.640.000/12
$970.000
¿Qué opinión le merecen la forma como liquidaron las cuotas? A=10000000
[
0.012(1+ 0.012)12 (1+0.012)12−1
]
A=899752.0267
10000000=970000
•
[
]
i( 1+i)12 =2.42 (1+i)12−1
Se aumento el valor de la deuda de una manera que no se debía.
•
La manera en la que se maneja la anualidad es incorrecta, porque no fue hecha con una formula. •
La anualidad equivale a $ 899 752.0267 y no $ 970 000
58.
Una persona desea recibir dentro de 2 años una renta de $300000 mensuales, en
forma indefinida. ¿Cuánto debe depositar hoy en una cuenta de ahorros que paga el 1,80% mensual? Respuesta: $10861806.90 1+ 0.018¿−24 ¿ ¿ ¿ vp=300000 ¿ VP=10861806.90 59.
Para usted. ¿Que resulta mejor negocio para comprar un electrodoméstico que
cuesta $2000000? a)
Pagar 12 cuotas mensuales de $189.119,19
[
12
(1+0.016) −1 2000000=189119.19 0.016 (1+ 0.016)12
]
2000000 ≠ 2050026.821
[
(1+0.02)12−1 2000000=189119.19 0.02( 1+ 0.02)12
]
2000000=1999999.9 2000000=2000000 b)
Pagar 4 cuotas trimestrales de $578.769,79
2000000=578769.79
[
(1+0.06)4−1 0.06 (1+ 0.06)4
]
2000000=2005498.448
2000000=578769.79
[
(1+0.0612)4−1 0.0612( 1+ 0.0612) 4
]
2000000=1999999.9
2000000=2000000 Respuesta: da lo mismo aceptar cualquiera de las dos opciones de pagos ya que las dos tasas son equivalentes. 60.
Un amigo le dice que es preferible comprar de contado un vehículo que cuesta
$20000000, a pagar una cuota inicial de $5000000 y 24 cuotas mensuales de $900000 porque con el sistema a plazos termina pagando $26.600.000. ¿Usted que le respondería a su amigo? ¿qué tasa de interés le cobraron? Respuesta: 3.15% mensual
15000000=900000
[
24
(1+i) −1 i( 1+i)24
]
3.15 =14998599.49
VF= A
[
]
( 1+i )n −1 31572740.76 i
El interés cobrado es de 3,15% pero le mintieron en valor futuro, no paga $ 26’600 000 sino $ 31’572 740.76.
61.
Se constituye un CDT por valor de $12000000 a un año con intereses del 18%,
MV. Transcurridos 4 meses se vende a un comisionista de bolsa que cobra el 16% EA. Calcular el precio de venta. Ignore el tratamiento tributario. Respuesta: $12232094.59. El valor de un activo es igual al valor presente de los intereses más el presente de su valor nominal.
ip=
0.18 =0.015 12 1
1+0.16 ¿ 12 −1=0.0124445137 ip=¿ RA=12000000
RA=1100159.915
vf =1100159.915
[
0.015 1−(1+0.015)12
]
4 −1
1+0.015 ¿ ¿ ¿ ¿ vf =4500647.909¿
vp=4500647.909 4 −1
1+0.015 ¿ ¿ ¿ ¿ vp=4500647.909¿
VP=12846580.29
62.
Una compañía de Leasing entrega en arrendamiento a José Luis un local
comercial que cuesta $80000000, dentro de 36 meses. Si el valor de la opción de compra, al concluir el plazo, es del 8.0% y el canon mensual anticipado es de $3204327,85. ¿Qué tasa de interés le cobraron? Respuesta: 2.50%
[
1+i ¿n −vc vp ¿ i [ ¿ ¿(1+i) ] ( 1+i )n −1 ¿ A=¿
]
A=3204327.85=3841139.301 i=2.5