Provas do Colegio Naval by Braulio Dória

Rua Baronesa, 705 - sala 206 - Praรงa Seca Tel: 39022608 - 94306166

ร NDICE ano

pag

ano

1975 1976 1977 1978 1978 an 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986

01 03 05 07 10 12 15 17 19 21 23 26 29

1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999

pag 32 34 37 39

42 45 47 49 51 54 57 59 61

ano

pag

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 Gabarito

64 67 69 71 73 76 79 81 83 85 89 90 93

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COLÉGIO NAVAL - 1975 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 1975 - Matemática 01. Achar o valor de: 6 ⋅ (3 3,375 + 1,777... + 5 32 −1 ) a)

3+ 2

b) 20

2+ 3

d) 17 + 5

48 7

02. A que taxa mensal deve ser colocado um capital durante certo tempo, para que o juro recebido seja o triplo do que receberá na taxa anual de 2%? a) 2,5% b) ,5% c) 3% d) 1% e) 0,5% 03. Uma engrenagem é constituída por duas rodas de raios iguais a 4cm e 3cm que se tangenciam exteriormente. Qual o ângulo descrito pela roda menor enquanto a roda maior gira de um ângulo de 12º48’? a) 9º36’ b) 17º04’ c) 20º10’ d) 18º25’ e) 10º40’ 04. Calcular a soma dos termos da maior fração própria irredutível, para que o produto de seus termos seja 60. a) 17 b) 23 c) 32 d) 61 e) 19 05. Em um pátio retangular de 500dm por 0,4hm estão crianças em recreio. Havendo duas crianças por centiare, quantas crianças estão no pátio ? a) 2500 b) 3000 c) 3500 d) 4000 e) 5000 06. Dois números inteiros positivos tem soma 96 e o máximo divisor comum igual a 12. Dar o maior dos dois números sabendo que o produto deles deve ser o maior possível a) 48 b) 84 c) 60 d) 72 e) 36 07. Em um concurso foi concedido um tempo T, para a realização da prova de MATEMÁTICA. Um candidato gas1 tou deste tempo para resolver a parte de aritmética e 25% do tempo restante para resolver a parte de álgebra, 3 2 do tempo de que ainda dispunha para resolver a parte de geometria, entregou a prova faltando ele só gastou 3 35 minutos para o término da mesma. Qual foi o tempo T concedido? a) 3h10min b) 3h c) 2h50min d) 3h30min e) 4h 08. Um composto A leva 20% de álcool e 80% de gasolina e um composto B leva 30% de álcool e 70% de gasolina. Quantos litros devemos tomar do composto A para, complementando com o composto B, preparar 5 litros de um composto com 22% álcool e 78% de gasolina? a) 2 litros b) 3 litros c) 2,5 litros d) 3,5 litros e) 4 litros 09. Achar a área de um triângulo equilátero de lado l = 4cm a) 6 3 cm2

b) 8 3 cm2

c) 16 cm2

d) 4 3 cm2

3 cm2

10. Qual é o nome do ponto de interseção das mediatrizes de um triângulo? a) ortocentro b) baricentro c) incentro d) paricentro e) circuncentro 11. Achar a razão do apótema para o lado do hexágono regular. a)

3 2

2 3 3

1 2

3 6

12. Qual o perímetro do quadrado que tem a diagonal igual a 3 6 m? a) 12 3 m

b) 12 6 m

c) 6 3 m

d) 8 3 m

e) 12 2 m

13. Os pontos A, B, C, D e E são cinco vértices consecutivos de um decágono regular. Achar o ângulo ∠BAE. a) 60º b) 36º c) 45º d) 108º e) 54º 14. O lado de um triângulo equilátero é igual ao lado de um hexágono regular e ambos medem 6 3 cm. Se colocarmos, sobre um plano, o triângulo ao lado do hexágono, de maneira que dois lados fiquem em coincidência, qual será a distância entre os centros das duas figuras. a) 12 3 cm

b) 12cm

c) 18cm

d) 7,5cm

e) 12,5cm

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COLÉGIO NAVAL - 1975 - Matemática 15. Um trapézio de 2 2 cm de altura tem, para uma de suas bases, a diagonal de um quadrado de 6cm de lado. Achar a área do trapézio, sabendo que a outra base tem as extremidades sobre os lados do quadrado . a) 16cm2

b) 20cm2

c) 20 2 cm2

d) 16 2 cm2

e) 32cm2

16. Uma circunferência de 4cm de raio está dentro de um ângulo de 120º tangenciando os lados do ângulo nos pontos A e B. Achar a área do retângulo inscrito na circunferência que tem, para um dos lados a corda AB . a) 16cm2

b) 8 3 cm2

c) 12 3 cm2

d) 16 3 cm2

e) 24cm2

17. Cinco círculos de 1cm de raio são interiores ao quadrado. Um deles tem o mesmo centro que o quadrado e cada um dos demais tangencia o primeiro círculo e dois lados consecutivos do quadrado. Achar a área do quadrado. a) 18cm2

(

)

b) 12 + 4 2 cm2

)

c) 12 + 8 2 cm2

d) 12,5cm2

(

)

e) 10 + 12 6 cm2

18. Achar a área do círculo inscrito triângulo de lados 9cm, 5cm e 6cm. π a) cm2 b) πcm2 c) 4πcm2 d) 2πcm2 e) 5πcm2 2 19. Na figura, temos AB = 55 cm e AC = 5cm . Calcule a razão entre a área do triângulo ABC e a área do triângulo BDC. 6 a) 5

5 c) 6

b) 1

11 6

e) 2

C D

20. Três círculos de raio igual a 2cm, são tangentes 2 a 2, nos pontos A, B e C. Calcular a área da figura plana limitada pelo menores arcos AB, BC e CA.

( b) (2

) 3 − 4π) cm

( d) (4

) 3 − 4π) cm

a) 3 2 − 4π cm2

c) 2 3 − 2π cm2

21. Simplificar a expressão

(

)

e) 4 3 − 2π cm2

A A −3 3 A− 3

a) A - 9 + A 3

c) A - 3 +

b) A + 3 +

d) 3 - A +

e) 9 +

22. Achar o produto dos valores inteiros de M que fazem com que a equação em x, raízes reais a) 0 b) 1

c) -1

23. Resolver a inequação a) x ≤ 1

b) x > 2

d) -4

4x 2 M − Mx + = 0 não tenha M 4

e) 4

(x − 1)3 ⋅ (x 2 − 4x + 4) ≥ 0 − x 2 + x −1 c) x ≥ -2

d) x < 2

e) x = 1

24. Calcular o menor valor positivo de K, para que a raiz real da equação inteiro a) 1 b) 60 c) 27 d) 37 e) 40

4 − x 3 − K = 1 seja um número racional

25. Calcular a soma dos valores de m e n de modo que as equações (2n + m)x2 - 4mx + 4 = 0 e (6n + m)x2 + 3(n - 1)x - 2 = 0 tenham as mesmas raízes. 9 9 7 a) d) 0 e) 1 b) c) − 5 5 5

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COLÉGIO NAVAL - 1976 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 1976 - Matemática 01. Marcar a frase certa: a) Todo número terminado em 30 é divisível por 3 e por 5. b) Todo número cuja soma de seus algarismos é 4 ou múltiplo de 4, é divisível por 4. c) O produto de dois números é igual ao produto do M.D.C pelo M.M.C desses números. d) O M.M.C. de dois números primos entre si é a semi-soma desses números. e) Toda soma de dois quadrados perfeitos é um quadrado perfeito. 02. A raiz cúbica de um número N, é 6,25. Calcular a raiz sexta desse número N. a)

2 5 5

c) 2 5

b) 2,05

d) 2,5

e) 1,5

03. Um capital é empregado à taxa de 8%a.a. No fim de quanto tempo os juros simples produzidos ficam iguais a 3 do capital ? 5 a) 5 anos e 4 meses c) 8 anos e 2 meses e) 7 anos e 3 meses b) 7 anos e 6 meses d) 6 anos e 4 meses 04. Calcular m , no número A = 2m - 1.32.5m, de modo que o M.D.C entre o número A e o número 9000 seja 45. a) 0 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1 05. Em uma Universidade estudam 3000, entre moças e rapazes. Em um dia de temporal faltaram

2 das moças e 3

7 dos rapazes, constatando-se ter sido igual, nesse dia, o número de moças e rapazes presentes. Achar a por9 centagem das moças que estudam nessa Universidade, em relação ao efetivo da Universidade. a) 40% b) 55% c) 35% d) 60% e) 62% 06. Marcar a frase certa: a) O ortocentro de qualquer triângulo é o ponto de interseção de suas medianas. b) O baricentro de qualquer triângulo é eqüidistantes dos seus vértices. c) Os ângulos opostos de qualquer quadrilátero inscritível são complementares. d) As diagonais de todo retângulo são iguais e perpendiculares. e) O incentro de qualquer triângulo é eqüidistante dos três lados do triângulo. 07. Duas retas paralelas são cortadas por uma terceira reta de modo que dois ângulos colaterais internos são dados, em graus, pelas expressões ∠A = 10x + 20 e ∠B = 6x - 20. Calcular ∠B. a) 62º20’ b) 52º12’ c) 47º30’ d) 67º30’ e) 72º15’ 08. A razão entre o raio do círculo inscrito para o raio do círculo circunscrito ao mesmo triângulo equilátero é: a)

3 3

1 3

2 3

1 2

3 2

09. Achar a área do trapézio retângulo que tem um ângulo interno de 45º e bases 10cm e 8cm a) 36cm2

b) 16cm2

c) 20 2 cm2

d) 18 2 cm2

e) 9 3 cm2

10. Calcular o ângulo interno do polígono regular em que o número de diagonais excede de 3 unidades o número de lados a) 60º b) 72º c) 108º d) 150º e) 120º 11. A área de um losango é 120cm2. Calcular o seu perímetro, sabendo que uma das diagonais vale 10cm. a) 48cm b) 52cm c) 60cm d) 40cm e) 76cm 12. Dividindo-se um círculo de 8cm de raio em duas partes equivalentes, por meio de uma circunferência interior ao círculo, qual será o raio do círculo inferior? a) 4cm

b) 2cm

c) 4 2 cm

d) 2 2 cm

e) 4,8cm

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COLÉGIO NAVAL - 1976 - Matemática 13. Sobe os lados de um hexágono regular de 4cm de lado, e exteriormente a ele, constroem-se quadrados, de modo que cada quadrado tenha um lado em comum com o hexágono. Calcular a área do dodecágono cujos vértices são os vértices dos quadrados que não são vértices do hexágono:

(

)

(

a) 48 3 + 2 cm2

)

(

b) 50 3 + 2 cm2

14. O valor numérico de

(2x − 4)(3x + 6)

5x 2 − 20 a) depende do valor dado x b) é maior que 5, para x maior que 3 c) é menor que 2, para x menor que 1

)

c) 24 3 + 4 cm2

d) 192cm2

e) 36cm2

: d) é nulo para x = 0 e) é sempre o mesmo, para x ≠ 2

15. O resto da divisão de x3 - x2 + 1 por x - 2 é: a) 4 b) 5 c) 3 d) -2 e) -5 16. O M.D.C. dos polinômios x3 -5x2 + 6x e x3 - 3x2 + 2x é: a) x2 - 3x b) x2 - 2x c) x2 + 2x d) x - 2

e) x

17. O número 38 é dividido em duas parcelas. A maior parcela dividida pela menor dá quociente 4 e resto 3. Achar o produto dessas duas partes : a) 240 b) 136 c) 217 d) 105 e) 380 18. Sabendo que na equação x2 + Bx - 17 = 0 é positivo e que as raízes são inteiras, achar a soma das raízes : a) 17 b) 16 c) -17 d) -10 e) -16 19. Dar a soma das raízes da equação 2x − 4 − 34 2 x − 4 = −2 a) 12,5 b) 11,5 c) 7 d) 7,5 e) 0 x 2 + 5x + 16 >0 x 2 + 5x − 4 b) qualquer x real

20. Resolver a inequação a) impossível

c) x < 2

d) 1 < x < 4

e) x > 3

21. O valor mínimo do trinômio y = 2x + bx + p ocorre para x = 3. Sabendo que um dos valores de x que anulam esse trinômio é o dobro do outro, dar o valor de p. a) 32 b) 64 c) 16 d) 128 e) 8 2 x +3 − = −1 : x −1 x +1 a) tem duas raízes de sinais contrários b) tem só uma raiz positiva

22. A equação

c) tem uma raiz nula d) é impossível

e) tem só uma raiz negativa

23. Dar os valores de m, na equação mx2 - 2mx + 4 = 0, para que as suas raízes tenham o mesmo sinal a) m ≤ 0 b) m ≥ 3 c) m ≥ 7 d) m ≤ 5 e) m ≤ 4 24. Um recipiente é dotado de duas torneiras. A primeira torneira esvazia-o em um tempo inferior a outra de 30 minutos. Sabendo que as duas torneiras juntas esvaziam o recipiente em 20 minutos, determine em quanto tempo a primeira torneira esvazia 60% do recipiente. a) 18 minutos b) 30 minutos c) 15 minutos d) 20 minutos e) 12 minutos 25. Dois inteiros positivos, primos entre si x e y, satisfazem a equação y2 - 6xy - 7x2 = 0. Achar a soma x + y. a) 6 b) 8 c) 4 d) 10 e) 13

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COLÉGIO NAVAL - 1977 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 1977 - Matemática 01. O valor de 3 16 8 ⋅ 6 0,125 é: a) 2 8

b) 43 4

d) 23 2

c) 4 2

e) 46 2

02. Os números x, y e z são diretamente proporcionais a 3, 9 e 15 respectivamente. Sabendo que o produto desses 3 números é xyz = 960, a soma será: a) 45 b) 48 c) 36 d) 72 e) 24 03. Em uma prova realizada em uma escola, foram reprovados 25% dos alunos que a fizeram. Na 2ª chamada, para os 8 alunos que faltaram, foram reprovados 2 alunos. A porcentagem de aprovação da turma toda foi de: a) 23% b) 27% c) 63% d) 50% e) 75% 04. O MMC de dois números é 300 e o MDC desses números é 6. O quociente entre o maior e o menor desses números: a) pode ser 2 c) é um número primo e) nada se pode afirmar b) tem 4 divisores positivos d) tem 6 divisores positivos

3 da largura e o seu perímetro é de 100m. O terreno foi vendi2 do à razão de R$3000,00 o acre e ficou combinado que a metade do preço seria paga na hora e a outra metade seria paga 18 meses depois com um juros de 8% ao ano. O custo total do terreno ficou em a) R$19080;00 b) R$21800,00 c) R$23640,00 d) R$25800,00 e) R$19440,00

05. Um terreno regular tem o comprimento igual a

06. Assinale a frase falsa: a) Dois ângulos de lados respectivamente paralelos são iguais ou suplementares b) O triângulo retângulo de catetos 6m e 8m, tem a altura relativa à hipotenusa igual a 4,8m. c) Se os ângulos opostos de um quadrilátero são iguais, o quadrilátero é um paralelogramo. d) A diferença entre o ângulo interno e o ângulo central de um pentágono regular é 60º. e) O hexágono regular tem 9 diagonais . 07. A medida da distância entre os centros de 2 circunferências é dada pelo número 13 e os raios são representados pelos números 4x - 3 e 2x - 1. A soma dos valores de x inteiros que tornam as circunferências secantes, sendo o 1º raio maior que o 2º, é: a) 6 b) 25 c) 13 d) 20 e) 22 08. Um resultado está a 3 2 cm e 3cm, respectivamente, de 2 duas retas de seu plano que se cortam em um outro ponto que está a 6cm do primeiro. O ângulo entre as retas mede: a) 60º b) 90º c) 75º d) 80º e) 83º 09. Um triângulo ABC tem 96m2 de área. AM e BN são duas medianas e P é o ponto de inserção dessas medianas. A área do triângulo PMN é de: b) 8m2 c) 12,5m2 d) 9,6m2 e) 6,4m2 a) 10m2 10. A área do segmento circular determinado por uma corda de 4 3 cm em um círculo de 4cm de raio é :  8π  − 3 3  cm2 a)   3   9π  b)  − 6 3  cm2 3  

(

)

c) 4π − 3 3 cm2

 16π  e)  − 2 3  cm2  9 

 16π  d)  − 4 3  cm2 3  

11. A área de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência tem 600cm2. A área do hexágono regular inscrito na mesma circunferência medirá : a) 1200cm2

b) 450cm2

c) 600 3 cm2

d) 800 3 cm2

e) 1000 3 cm2

12. Em um círculo de centro em P e 20cm de raio está inscrito um ângulo de 30º formado por duas cordas iguais MA e MB . A área do quadrilátero MAPB é de: a) 150 3 cm2

b) 200cm2

c) 200( 3 + 1)cm2

d) 100 3 cm2

e) 100( 3 + 1)cm2

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COLÉGIO NAVAL - 1977 - Matemática 13. Uma corda de uma circunferência divide um diâmetro da mesma circunferência em partes proporcionais a 1 e 3. Sabendo que a corda é perpendicular ao diâmetro, vamos ter que a razão do arco maior para o arco menor determinados pela referida corda é : 3 a) 5 b) 4 c) d) 3 e) 2 2 14. No triângulo isósceles ABC, o ângulo em A, oposto à base, tem 36º e a bissetriz do ângulo em B intercepta o lado AC em um ponto D, podemos afirmar que é igual a : a) AB

b) AC + BC

c) AC . DC

d) DC . BC

e) DB . DC

15. As tangentes tiradas de um ponto P a um círculo de centro O e 4cm de raio formam um ângulo de 60º e tocam o circulo nos pontos Q e T. A área do quadrilátero PQOT é de: a) 8 3 cm2

b) 16 3 cm2

c) 24 3 cm2

d) 12 3 cm2

e) 32 3 cm2

16. A soma da média aritmética com a média geométrica das raízes da equação ax2 - 8x + a3 = 0 dá : a)

4 − a2 a

− 4 + a2 a

8 + a2 a

4 + a2 a

e) 5

17. Um retângulo é tal que se aumentarmos de 1cm a menor de suas dimensões, a sua área aumentará de 20%, mas se tivéssemos aumentado cada uma das dimensões de 2cm, a área seria aumentada de 75%. O perímetro do retângulo é de: a) 32cm b) 24cm c) 26cm d) 20cm e) 28cm 18. Uma expressão do 1º grau em x se anula para x = rico dessa expressão para x = a) 1

b) 4 2

2 e tem valor numérico 2 -

8 para x = 1. O valor numé-

8 é:

d) 3 2

e) 2 2

19. Se as equações do 2º grau (2p + q)x2 - 6qx - 3 = 0 e (6p - 3q)x2 - 3(p - 2)x - 9 = 0 possuem as mesmas raízes, então: a) p = 6q + 2 b) p + q = 7 c) 3q = p + 2 d) p - 2 = 0 e) 2p + 3q = 8 20. Simplificando

a 4 − b4

)(

)

+ b + 2ab a + b − 2ab a+b a−b b b) c) d) a a−b a+b

a) 1

−

2ab

para b ≠ ± a obtém-se:

a − b2 2

a b

21. Uma liga ouro e cobre contém 9 partes de ouro para 12 de cobre. Outra liga, também de ouro e cobre tem 60% de ouro. Para se obter uma liga com 36 gramas e partes iguais de ouro e cobre, devemos tomar das ligas iniciais: a) 12 gramas da 1ª e 24 gramas da 2ª d) 21 gramas da 1ª e 15 gramas da 2ª b) 24 gramas da 1ª e 12 gramas da 2ª e) 16 gramas da 1ª e 20 gramas da 2ª c) 18 gramas de cada uma 22. Uma das raízes da equação a)

b) − 5

2+x − 2−x = 2 c) − 3

d) − 2

1 1 3  − = 23. O sistema  x y 8 admite para x e y valores positivos cuja soma é:  xy = 16  a) 6

b) 10

c) 12

d) 14

e) 16

24. Se abc ≠ 0 e a + b + c = 0, o trinômio y = ax2 + bx + c: a) pode ter raízes nulas c) tem uma raiz positiva b) não tem raízes reais d) só tem raízes negativas

e) tem as raízes simétricas

25. A razão entre as áreas dos quadrados inscritos em um semicírculo e num círculo de mesmo raio é igual: a) 1:2 b) 2:3 c) 2:5 d) 3:4 e) 3:5 Rua Baronesa, 705 - sala 206 - Praça Seca - Rio de Janeiro - Tel 39022608 - 94306166 6

COLÉGIO NAVAL - 1978 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 1978 - Matemática 01. Sejam os conjuntos X = {-1, 0, 1, 2}; ∅ = conjunto vazio; Y = Conjunto dos números pares positivos que são primos; Z = Conjunto dos múltiplos de 2 que têm um algarismo e que não são negativos. É falso afirmar que: a) {x ∈ (X ∩ Y) / x > 3} = ∅ d) {x ∈ (X ∩ Y) / x ≤ 2} = {2} b) {x ∈ (X - Y) / x < 4} = {-1, 0, 1} e) {x ∈ (Z - Y) / x < 8} = Z - {8} c) {x ∈ (X ∪ Y) / x < 5} = X 54 x − 27 6 - 1458x − 729 = -2 é: 3 c) 33,5 d) 30,5 e) 23,5 3

02. A soma das raízes da equação a) 20,5

b) 10,5

03. Um retângulo tem dimensões 8cm e 6cm. De cada vértice traça-se a bissetriz interna. A área do quadrilátero cujos vértices são as interseções das bissetrizes é: b) 4cm2 c) 6cm2 d) 2cm2 e) 12cm2 a) 3cm2 04. A soma dos valores reais de k que fazem com que a equação x2 - 2(k + 1)x + k2 + 2k - 3 = 0 tenha uma de suas raízes igual ao quadrado da outra é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 05. A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8 são os vértices consecutivos de um octógono regular de 6 2 cm de lado. Ligando-se os pontos A1, A2, A3, A4 obtém-se um trapézio cuja área é, em cm2. de: a) 18( 2 + 1)

b) 24( 2 + 2)

c) 24( 2 + 1)

d) 36( 2 + 2)

e) 36( 2 + 1)

x 3 − xy 2 − yx 2 + y 3 = 16 em um do 1º grau , os valores de módulo dife06. Depois de transformarmos o sistema  3 x − xy 2 + yx 2 − y 3 = 32 rentes de x e y têm para módulo da diferença: a) 1 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2 07. O valor mais aproximado de a) 0,045

b) 0,125

16 −0, 75 + 5 0,00243 é: 2 + 4,333... 3 c) 0,315 d) 0,085

e) 0,25

08. Se na equação ax + bx + c = 0 a média harmônica das raízes é igual ao dobro da média aritmética destas raízes, podemos afirmar que: a) 2b2 = ac b) b2 = ac c) b2 = 2ac d) b2 = 4ac e) b2 = 8ac 09. O piso de uma cozinha tem 0,045hm de comprimento e 0 ,5dam de largura. Sabendo-se que para ladrilhar a cozinha foram usados ladrilhos quadrados de lado 15cm, ao preço unitário de R$0,30 e que comprou-se 8% a mais do número de ladrilhos necessários para eventuais perdas, a despesa na compra de ladrilho foi de: a) R$324,00 b) R$234,00 c) R$423,00 d) R$243,00 e) R$342,00 10. O comprimento do arco de um setor circular com 6πcm2 de área, de um círculo com 12cm de raio é: 3 c) 3πcm d) 2πcm e) πcm a) 4πcm b) πcm 2

11. A divisão de um número inteiro e positivo A pelo número inteiro positivo B dá o quociente Q e deixa o resto R. Se aumentarmos o dividendo A de 9 unidades, mantendo o mesmo divisor B, a divisão dá exata e o quociente aumenta de 2 unidades. O menor valor da soma A + B que satisfaz as condições acima é: a) 9 b) 11 c) 8 d) 10 e) 13 12. Certa máquina, trabalhando 5 horas por dia, produz 1200 peças em 3 dia. O número de horas que deveria trabalhar no 6º dia, para produzir 1840 peças se o regime de trabalho fosse de 4 horas diárias seria: a) 18 horas b) 3,75 horas c) 2 horas d) 3 horas e) Nenhuma hora 13. Num triângulo de lados a = 148 cm , b = 6cm e c = 8cm a projeção do lado c sobre o lado b mede: a) 3cm b) 4cm c) 4,5cm d) 3 ,5cm e) 5cm

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COLÉGIO NAVAL - 1978 - Matemática 14. O produto de dois números inteiros é 2880. O primeiro destes números é um quadrado perfeito e o segundo não é quadrado perfeito, mas a raiz quadrada do segundo por falta excede a raiz quadrada do primeiro de 2 unidades. O maior destes dois números é: a) múltiplo de 15 b) menor que 50 c) maior que 90 d) menor que 68 e) maior que 70 15. Um triângulo retângulo tem os catetos medidos 3cm cada um. Tomando-se os catetos e a hipotenusa como lados, construirmos externamente 3 quadrados cujos centros são os pontos A, B e C. A área do triângulo ABC é: 9 9 Y a) cm2 b) 18cm2 c) 9cm2 d) cm2 e) 6cm2 2 4 C

16. Determine a área da figura hachurada OBCD sabendo que OB = R; O é o centro B do círculo; CD é o paralelo a OB ; AB e XY são diâmetros perpendiculares.

(

)

π R2 + 3 4 2 R 2π + 3 3 b) 24

(

R2 3+ 3 π 2 πR + 3 d) 4 c)

)

πR 2 + 3 12

D A O

17. Sejam N = o conjunto dos inteiros não negativos; Z = o conjunto dos números inteiros e Q = o conjunto dos números racionais. Podemos afirmar que: a) {x ∈ N / x > 0} = Z - {0} c) {x ∈ Q / 2x - 5 = 0} ⊂ Z e) N ∩ Z ∩ Q = ∅ 3 1 b) {x ∈ (Z ∩ Q) / x2 - x + = 0} ≠ ∅ d) {x ∈ Q / x2 - 4 = 0} ⊂ N 2 2 18. Dois ângulos internos e opostos de um quadrilátero inscrito em um circunferência são proporcionais aos números 2 e 5. O menor desses ângulos mede: a) 24º22’23

4 7

b) 35º22’35

3 7

c) 51º25’42

6 7

d) 37º27’32

19. A soma dos valores inteiros e positivos de x que satisfazem a inequação a) 8

b) 10

c) 6

d) 9

6 7

e) 52º23’35

5 7

− x 2 + 4x + 7 ≥ 1 dá: − x 2 + 3x + 4

e) 14

20. Um losango é interno a uma circunferência de 6cm de raio, de maneira que a diagonal maior do losango coincide com um diâmetro da circunferência. Sabendo que um dos ângulos internos do losango tem 60º podemos afirmar que a área deste losango é: a) 12 3 cm2

b) 24 3 cm2

c) 48 3 cm2

d) 6 3 cm2

e) 36 3 cm2

21. Se P(x) = ax2 + bx + c e P(k) é o seu valor numérico para x = k e sabendo que P(3) = P(-2) = 0 e que P(1) = 6, podemos afirmar que P(x) 25 a) tem valor negativo para x = 2 d) tem valor máximo igual a 4 27 25 b) tem valor máximo igual a e) tem valor mínimo igual a 4 4 11 c) tem valor máximo igual a 4 22. Um ponto P dista d de uma circunferência de raio R. Do ponto P traçam-se as tangentes PA e PB à circunferência. A expressão da flecha menor da corda AB é: dR dR d−R dR e) 2 b) (d + R)(d - R) c) d) 2 a) 2 d+R d+R R −d d + R2 23. Num triângulo de vértices A, B, e C, os lados opostos medem respectivamente a = 13cm, b = 12cm e c = 5cm. O círculo inscrito tem centro em O e tangencia os lados a e b respectivamente nos pontos T e P. A área do quadrilátero CTOP mede: b) 20cm2 c) 4cm2 d) 10cm2 e) 8cm2 a) 6cm2

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COLÉGIO NAVAL - 1978 - Matemática 7 24. O quociente de dois números inteiros dá e o mínimo múltiplo comum entre esses dois números é 1680, o 4 máximo divisor comum terá a) 12 divisores b) 16 divisores c) 8 divisores d) 10 divisores e) 20divisores 25. A soma de todos os valores inteiros e positivos de P que fazem com que y = Px - P - 3 - x2 seja negativo para qualquer valor de x é: a) 21 b) 28 c) 10 d) 14 e) 15

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COLÉGIO NAVAL - 1978 - anulada - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 1978 - anulada - Matemática 01. A área do quadrilátero circunscrito a um círculo de 4cm de raio e que tem para soma dos comprimentos de dois de seus dois lados opostos 17cm, é: b) 34cm2 c) 136cm2 d) 51cm2 e) 40cm2 a) 68cm2 02. A hipotenusa do triângulo retângulo, em que as medianas dos catetos medem 17 cm e a) 5 2 cm

b) 2 5 cm

c) 5cm

d) 8cm

8 cm , tem:

e) 4 2 cm

03. A área de um círculo inscrito em um setor circular de 90º , de um círculo de (3 + 3 2 )cm de raio, é: a) (4 + 3 2 )πcm2

b) (3 - 4 2 )πcm2

(27 + 18 2 ) πcm

d) (4 - 3 2 )πcm2

e) 9πcm2

04. Um triângulo eqüilátero ABC tem 16 3 cm2 de área. Do ponto Q sobre BC , traçamos paralelas aos outros dois lados, determinando os pontos P e R sobre estes lados. O perímetro do paralelogramo APQR mede: a) 24cm

b) 16cm

c) 12cm

d) 8 3 cm

e) 16 3 cm

05. A diferença entre o número de diagonais de dois polígonos convexos é 29 , e a diferença entre as somas dos ângulos internos destes polígonos é de 360 º . A soma dos números de lados dos dois polígonos é: a) 22 b) 28 c) 32 d) 36 e) 35 06. O perímetro de um triângulo retângulo isósceles é 2cm. A área deste triângulo é igual a: 3 a) (1 + 3 )cm2 b) (2 - 2 )cm2 c) 3cm2 d) cm2 e) (3 - 2 2 )cm2 2

07. O máximo divisor comum dos polinômios x3 - 5x2 + 6x e x2 - 4x + 3 é: a) x - 1 b) x - 2 c) x - 3 d) x + 1 e) x + 3 08. Para que o trinômio y = x2 - 4x + k tenha seu valor mínimo igual a -9, o maior valor de x que anula este trinômio, é: a) 2 b) 4 c) 1 d) 5 e) 3 09. A soma dos cubos das raízes da equação x2 - 3 3 x + a) -3 b) -12 c) -9 d) 12 e) -6

9 = 0 é:

10. ABC é um triangulo retângulo em A , de hipotenusa igual a 8cm. O ângulo C mede 30º. Ligando o vértice C a um ponto M do cateto oposto AB , e sendo P o pé da perpendicular baixada de M sobre a hipotenusa CB , obtém-se os triângulos AMC e MBP de mesma área. O valor de MB é: a) 3( 2 + 1)cm

b) ( 2 + 1)cm

c) 3 5 cm

d) 8( 2 - 1)cm

e) 2 3 cm Q

11. Na figura temos que a medida do ângulo A é igual a 30º, o menor arco QS é dobro do menor arco PR e as cordas PQ e RS são iguais. A razão

da corda QS para a corda PR é: a)

3 2

b) 2

e) faltam dados

12. Na figura, temos AD = DF = FC = AE = EG = GB = 2cm e BC = 6 2 cm. A área do trapézio DEGF é igual a: 2

a) 2 2 cm

b) 6cm

c) 3cm

d) 4 2 cm

e) 4cm

13. O produto do mínimo múltiplo comum pelo máximo divisor comum de dois múltiplos de um número inteiro N é 4235. O número N é: B a) 385 b) 77 c) 55 d) 11 e) 35

14. Se, ao efetuarmos o produto do número 13 por um número inteiro N de dois algarismos e, por engano, invertemos a ordem dos algarismos desse número N, o resultado poderá aumentar de a) 130 b) 260 c) 65 d) 167 e) 234 Rua Baronesa, 705 - sala 206 - Praça Seca - Rio de Janeiro - Tel 39022608 - 94306166 10

COLÉGIO NAVAL - 1978 - anulada - Matemática 15. Os ângulos internos de um quadrilátero convexo são proporcionais aos números 3, 7, 10 e 12. O menor dos ângulos mede: a) 16º52’30’’ b) 11º15’ c) 27º20’ d) 33º45’ e) 31º12’17’’ 16. Se 30 operários gastaram 18 dias, trabalhando 10 horas por dia, para abrir um canal de 25 metros, quantos dias de 12 horas de trabalho 10 operários, que têm o triplo da eficiência dos primeiros, gastarão para abrir um canal de 20 metros, sabendo-se que a dificuldade do primeiro está para a do segundo do como 3 está para 5? a) 20 dias b) 24 dias c) 60 dias d) 25 dias e) 13 dias 17. Certa pessoa pesava 65 quilos no dia primeiro de setembro. Durante este mês, seu peso diminuiu de 20%. Todavia, durante o mês de outubro, seu novo peso aumentou de 20%. Esta pessoa pesará, no dia primeiro de novembro: a) 78 quilos b) 65 quilos c) 62 ,4 quilos d) 54,95 quilos e) 63,4 quilos 18. O resto da divisão por 5 do número 57439319 é: a) 0 b) 2 c) 1 d) 4 e) 3 19. Seja R o conjunto dos números reais e Z o conjunto dos números inteiros. Seja A = {x ∈ R / x3 + x = 0}, B = {x ∈ Z / -2 < 2x + 2 < 2} E C = {x ∈ (R ∩ Z) / x2 - 2 x = 0}. Então, a) A - C = {0}

b) C - B = { 2 }

c) C ∩ A = A

d) A ∪ C = B

e) A ∪ B = C

20. Para que 4 + 11 seja uma das raízes da equação x2 + Bx + C = 0, com B e C inteiros, o produto BC será: a) 20 b) 40 c) 30 d) 60 e) 64 x + my = 6  o valor de x seja o dobro do valor de y, m pode ter valores cuja soma é: 21. Para que, no sistema  x y + = 2  m 3 a) 1 b) -2 c) 3 d) -1 e) 5

x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 = 2 x 2 + 4xy + 2 y 2 22. Na solução do sistema  2 encontramos, para x e y , valores tais que 2 x − 4 xy + 2 y 2 = x 2 − y 2 x + y é igual a: a) 4 b) 2 c) 1 d) 5 e) 3 23. O menor número inteiro que se deve somar ao polinômio x3 + x - 1, para que o resto da sua divisão por x + 3 seja um número par positivo, é: a) 33 b) 31 c) 39 d) -1 e) 29 24. Todos os valores de x que satisfazem a expressão -15 < 3x2 - 2x - 20 < 20, são os do intervalo:  10  5   10  5  5  c)  − ,−1 ∪  ,3  e)  ,4  a)  − ,−1 ∪  ,4   3  3   3  3  3   10  5  5  b) (− 3,−1) ∪  ,4  d)  − ,−2  ∪  ,4   3  3  3  25. O valor de K positivo, para que a diferença das raízes da equação x2 - 2Kx + 2K = 1 seja 10, é: a) 6 b) 8 c) 5 d) 1 e) 10

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COLÉGIO NAVAL - 1979 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 1979 - Matemática 01. Um quadrilátero é circunscritível a um círculo e tem os lados proporcionais aos números 6 , 18 , 24 e 36 e a soma das medidas de dois lados opostos dá 14. Podemos dizer que o produto dos dois lados maiores dá: a) 24 b) 96 c) 72 d) 60 e) 100 02. Um paralelogramo está inscrito em uma circunferência e um de seus ângulos internos mede em graus 7x - 20º. O valor de x é: a) 15º42’51

3 7

b) 15º43’17

1 7

c) 15º40’32

1 7

d) 15º45’35

2 7

e) o problema é impossível

03. O valor de p para que o trinômio do 2º grau px2 - 4p2x + 24p tenha máximo igual a 4K, quando x = K é: a) 2 b) -2 c) 3 d) -3 e) 1 04. Um polígono regular convexo tem o ângulo interno medindo 150º . O número das diagonais deste polígono que não passam pelo seu centro é: a) 48 b) 42 c) 54 d) 65 e) 30 05. O lado de um losango é igual ao lado de um quadrado. Tendo áreas diferentes, a soma de suas áreas dá 18cm2. A soma das duas diagonais do losango dá: a) 6 2 cm

b) 8 2 cm

c) 9 2 cm

d) 12 2 cm

06. Se a distância do ponto P ao centro de um círculo aumentar de

relação ao círculo aumentará de: a) 20% de x2 b) 42% de x2

c) 96% de x2

e) 10 2 cm

2 de sua medida (x) a potência do ponto P em 5

d) 86% de x2

e) 92%d e x2

07. O valor de K na equação x2 + Mx + K = 0, para que uma de suas raízes seja o dobro da outra e o seu discriminante seja igual a 9 é: a) 20 b) 10 c) 12 d) 15 e) 18 08. Dois círculos se tangenciam externamente e ambos tangenciam os lados de um ângulo de 60º que os contém. A razão da área do menor círculo para a área do maior é: 1 1 2 1 9 b) c) d) e) a) 4 9 25 16 16 09. Um trapézio retângulo tem a base maior medindo 9cm e uma diagonal medindo 6cm é perpendicular ao lado não paralelo. A área do trapézio é de: a) 18 5 cm

b) 15 5 cm

c) 13 5 cm

d) 27 5 cm

e) 16 5 cm

10. Em um círculo as cordas AB e CD são perpendiculares e se cortam no ponto I. Sabendo que AI 6cm, IB = 4cm e CI = 2cm, podemos dizer que a área do círculo é de: b) 100cm2 c) 120cm2 d) 60cm2 e) 50cm2 a) 144cm2 11. O número de divisores de X = 25.32.62 é: a) 54 b) 28 c) 20 d) 9

e) 40

12. No triângulo ABC, AB = 12 e AC = 8. A bissetriz interna do ângulo em A corta o lado BC em D e a bissetriz externa do mesmo ângulo corta o prolongamento do lado BC em E. A razão da área do triângulo ACE para a área do triângulo ABD é: 8 3 4 10 5 a) b) c) d) e) 3 2 9 3 2 13. Sejam os conjuntos X = conjunto dos números ímpares positivos que têm um algarismo, Y = conjunto dos divisores ímpares e positivos de 10, Z = conjunto dos múltiplos não negativos de 3, que têm um algarismo e ∅ = conjunto vazio. Assinale a afirmativa correta a) X - Y = {3, 6, 7, 9} c) (X ∩ Y) - (X ∪ Z) = {3, 6, 7, 9, 0} e) Z - Y = ∅ b) Y - X = {3, 7, 9} d) (Y ∩ Z) ∪ X = {1, 3, 5, 7, 9} Rua Baronesa, 705 - sala 206 - Praça Seca - Rio de Janeiro - Tel 39022608 - 94306166 12

COLÉGIO NAVAL - 1979 - Matemática 14. Em um círculo uma corda AB de 4 2 cm forma com uma tangente ao círculo no ponto A um ângulo de 45º. O menor arco tem comprimento medindo: a) 6πcm

b) 4πcm

15. Simplificando a)

(2x

c) 2πcm

)(

− 4x + 8 x 2 − 4 2 x + 128 3

2 (x +2)

2 (x -2)

d) 8πcm

e) 4π 3 cm

) vamos encontrar: c)

2 (x2 -4)

mx + y = 1 + 3x 16. O sistema  2x − 3y = my a) é possível e determinado para todo m. b) é impossível para m ≠ 2 e m ≠ 1. c) é possível e indeterminado para m = 2 e m = -1.

2 2

d) não é indeterminado, qualquer que seja o valor de m. e) não é impossível, seja qual for o valor de m.

17. As divisões, do número x por 4 e do número y por 3, têm resultados exatos e iguais. Sabendo que o menor múltiplo comum multiplicado pelo maior divisor comum desses dois números x e y, dá 588, podemos dizer que a soma x + y dá: a) 36 b) 52 c) 49 d) 42 e) 64 18. Sejam os conjuntos N = conjunto dos inteiros não negativos, Z = conjunto dos inteiros, Q = conjunto dos racionais e R = conjunto dos reais. Assinale a afirmativa falsa. a) {x ∈ N / x2 - 4 = 0} é um conjunto com um elemento. b) {x ∈ Q / x2 - 3 = 0} é um conjunto vazio. c) {x ∈ R / x2 + 4 = 0} é um conjunto que tem dois elementos. d) {x ∈ Z / x2 - 4 = 0} é um conjunto que tem dois elementos. e) {x ∈ Z / x ∉ N} é um conjunto não vazio.

2 x + y = 3 quando x assume o seu valor mínimo é: 19. O valor de y no sistema  2 3x + y = m − 4m + 1 a) 11 b) 1 c) 7 d) 15 e) 9 20. O maior divisor comum dos 3 polinômios: x2 - 4x + 4; 2x2 - 8 e mx + p é x - 2 . Então: a) p - m = 0 b) 2p - m = 0 c) 2p + m = 0 d) p + 2m = 0 e) p - 2m = 0 21. Com uma produção diária constante, uma máquina produz 200 peças em D dias. Se a produção diária fosse de mais 15 peças, levaria menos 12 dias para produzir as 200 peças. O número D é um número: a) múltiplo de 6 b) primo c) menor que 17 d) maior que 24 e) entre 17 e 24

 x + y + x − y = 5 vamos ter 22. Sendo x e y números positivos e x maior do que y, que satisfazem o sistema   x 2 − y 2 = 6 x2 + y2 igual a: a) 48,5 b) 42 c) 40 ,5 d) 45 e) 45 ,5 3 de uma peça de fazenda com um lucro de 30% e a parte restante com um prejuízo 10 de 10%. No total da operação, o comerciante: a) teve um lucro de 20%. c) teve um prejuízo de 20%. e) não teve lucro nem prejuízo b) teve um lucro de 2%. d) teve um prejuízo de 20%.

23. Um comerciante vendeu

24. A expressão

a) 13

−2

0,25 − 3 2 3 3

2 4

é equivalente a:

2 c) -1

d) -

1 2

0,5

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COLÉGIO NAVAL - 1979 - Matemática 25. A soma dos quadrados dos inversos das raízes da equação Kx2 - Wx + p = 0 , sendo Kp ≠ 0, é: a)

W 2 − 2Kp p2

W 2 − 4Kp p2

2Kp − W 2 p2

4Kp − W 2 10 3 p2

Kp W

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COLÉGIO NAVAL - 1980 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 1980 - Matemática 01. PQ é a corda comum de duas circunferências secantes de centros em A e B. A corda PQ , igual a 4 3 cm, determina, nas circunferências, arcos de 60º e 120º . A área do quadrilátero convexo APBQ é: a) 6 3 cm2

b) (3 3 + 12)cm2

c) (12 + 6 3 )cm2

d) 12cm2

e) 16 3 cm2

02. A razão entre as áreas de dois círculos tangentes exteriores dá 9 e a soma dos comprimentos de suas circunferências 8πcm. Uma tangente comum aos dois círculos corta a reta que contém os dois centros em um ponto exterior P que está a uma distância do centro do círculo maior de: a) 5cm b) 7cm c) 4cm d) 3cm e) 6cm 03. Uma figura de 6 pontas é obtida pela arrumação de 2 triângulos equiláteros circunscritos ao círculo de 4cm de raio, de maneira que os lados fiquem 2 a 2, paralelos. A área dessa figura é: a) 32 3 cm2

b) 64 3 cm2

c) 96 3 cm2

d) 36 3 cm2

e) 72 3 cm2

04. Na base AB de um triângulo isósceles de vértice C, toma-se o ponto P. A base mede 3cm e o perímetro 17cm. Do ponto P tomam-se paralelas aos lados iguais, obtendo um paralelogramo que terá de perímetro: a) 20cm b) 23cm c) 14cm d) 18cm e) 16cm 05. Um quadrilátero convexo inscrito em um círculo de 3cm de raio tem dois ângulos internos iguais. Um 3º ângulo interno mede 150º. A soma das diagonais dá: a) ( 3 + 3)cm

b) 9cm

c) 6cm

d) ( 2 + 3 3 )cm

e) (3 + 3 3 )cm

06. A área do círculo inscrito no trapézio que tem 32 3 cm2 de área, e 16cm para soma dos lados não paralelos é de: a) 18πcm2 b) 12πcm2 c) 27πcm2 d) 16πcm2 e) 9πcm2 07. A área do losango que tem um ângulo interno de 120º e que circunscreve um círculo de 16πcm2 de área é de: a) 64 3 cm2

b) 128 3 cm2

132 3 cm2 3

80 3 cm2 3

128 3 cm2 3

08. Em uma circunferência de 6cm de raio estão os arcos AB = 60º e BC = 120º. A altura do triângulo ABC relativamente ao maior lado mede: a) 2 3 cm

b) 2cm

c) 5 3 cm

d) 3 3 cm

e) 4 3 cm

09. Um triângulo isósceles tem o ângulo de 30º formado pelos lados iguais, que mede 8cm cada um. A área desse triângulo é de: a) 16 3 cm2

b) 8 3 cm2

c) 12cm2

d) 16cm2

e) 64cm2

10. Um paralelogramo tem 24cm de perímetro, 24cm2 de área e uma altura é o dobro da outra. A soma dessas alturas dá : a) 5cm b) 7cm c) 9cm d) 11cm e) 13cm 11. Um exercício sobre inequações tem como resposta {x ∈ R / x < -1 ou 0 < x < 5}. O exercício pode ser: a)

x 2 − 4x − 5 >0 −x

b) (-x3 + 4x + 5x) ≥ 0

c) (x3 - 4x2 - 5x) > 0 d)

−x ≥0 x − 4x − 5 2

1 ≥0 − x + 4 x 2 + 5x 3

12. Sendo X = {-3, - 2 , -2, -1, 1} será vazio o conjunto:   a)  x ∈ X / 2 x 2 − 1 = 2   

c) {x ∈ X / x2 + x = x3 + x}

b) {x ∈ X / x2 > 1 e x < -2}

d) {x ∈ X / x -

  x2 + 5 > 0 e)  x ∈ X / −x+2  

x + 2 = 0}

13. Se P(x) = ax2 + bx + c e P(-1).P(1) < 0 e P(1).P(2) < 0, P(x) pode admitir, para raízes, os números: a) 0,3 e 3,2 b) -2,4 e 1,5 c) -0,3 e 0,5 (d) 0,7 e 1,9 (e) 1,3 e 1,6

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COLÉGIO NAVAL - 1980 - Matemática 14. O trinômio do segundo grau y = (K + 1)x2 + (K + 5)x + (K2 - 16) apresenta máximo e tem uma raiz nula. A outra raiz é: a) uma dízima periódica positiva c) decimal exata positiva e) inteira b) uma dízima periódica negativa d) decimal exata negativa

(x 15. Sendo B e C números inteiros, o grau do polinômio que representa o quociente é: a) 1º

b) 6º

c) 4º

d) 8º

)( (x + Cx − 3) + (x

− Bx 2 + 3x − 1 x 2 − 7 x 2

−3

)

e) 2º

16. A soma das soluções da equação 2x + 1 - 4 3 2x + 1 + 3 6 2x + 1 = 0 dá um número: a) nulo b) par entre 42 e 310 c) ímpar maior que 160 d) irracional e) racional 3x − 4 na soma de duas outras frações com denominadores do 1º grau, a soma x − 5x + 6 das constantes que aparecerão nos numeradores dará: a) 3 b) -5 c) 6 d) -4 e) 5

17. Para se decompor a fração

18. Relativamente às operações com conjuntos, é falso afirmar que: d) se A ∩ B = B ∩ A então A = B a) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) b) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C) e) se A - B = B - A então A = B c) se A ∩ B = ∅ então A - B = A 19. Fatorando e simplificando a expressão

x+2 x−2

x−2 x −1

x ( x 4 − 5x 2 + 4) − 2( x 4 − 5x 2 + 4) obtemos: ( x 3 − 6x 2 + 12 x − 8)( x 2 − 1)

x +1 x−2

x−2 x+2

e) 1

20. Se o trinômio y = mx(x - 1) - 3x2 + 6 admite (-2) como uma de suas raízes, podemos afirmar que o trinômio: a) tem mínimo no ponto x = -0,5 c) pode ter valor numérico 10 e) tem máximo no ponto x = -0,25 b) pode ter valor numérico 6,1 d) tem máximo no ponto x = 0,5 21. Em um problema de regra de três composta, entre as variáveis X, Y e Z, sabe-se que, quando o valor de Y aumenta, o de X também aumenta; mas, quando Z aumenta, o valor de X diminui, e que para X = 1 e Y = 2, o valor de Z = 4. O valor de X, para Y = 18 e Z = 3 é: a) 6,75 b) 0,333... c) 15 d) 12 e) 18 22. Se, ao multiplicarmos o número inteiro e positivo N por outro número inteiro e positivo de 2 algarismos, invertemos a ordem dos algarismos deste segundo número, o resultado fica aumentado de 207. A soma dos algarismos que constituem o número N dá: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 23. Dois veículos partem juntos de um ponto A , em uma corrida de ida e volta entre os pontos A e B. Sabendo que a distância AB = 78km e que as velocidades dos veículos são 70km/h e 1000 metros por minuto, concluímos que eles voltam a se encontrar depois do tempo de: a) 1h 30min b) 1h 12min c) 1h 40min d) 1h 42min e) 1h 36min . 24. O número inteiro e positivo N, de dois algarismos, quando dividido por 13, dá quociente A e resto B e, quando dividido por 5, dá quociente B e resto A . A soma de todos os valores de N que se adaptam às condições acima dá: a) 160 b) 136 c) 142 d) 96 e) 84 25. A soma de dois números inteiros positivos, em que o maior é menor que o dobro do menor, dá 136 e o máximo divisor comum entre eles é 17. A diferença entre esses números é: a) 102 b) 65 c) 34 d) 23 e) 51

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COLÉGIO NAVAL - 1981 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 1981 - Matemática 01. Se h, g e a são, respectivamente, as médias; harmônica, geométrica e aritmética entre dois números, então: a) ah = 2g

b) ah = g

c) ah = 2g2

d) ah = g2

e) ah = 2 g

02. Uma bicicleta tem uma roda de 40cm de raio e a outra de 50cm de raio. Sabendo que a roda maior dá 120 voltas para fazer certo percurso, quantas voltas dará a roda menor, para fazer 80% do mesmo percurso? a) 78,8 b) 187,5 c) 120 d) 96 e) 130 03. Um capital foi empregado da seguinte maneira: seus dois quintos rendendo 40% ao ano e a parte restante rendendo 30% ao ano. No fim de um ano, a diferença entre os juros das duas partes foi de CR$2700,00. Qual era o capital inicial? a) CR$94500,00 c) CR$140000,00 e) CR$135000,00 b) CR$27000,00 d) CR$120000,00 04. 3 10 + 6 3 é igual a:

a) 1 +

b) 1 +

c) 1 +

d) 1 +

e) 1 +

05. Um número natural de 6 algarismos começa, à esquerda, pelo algarismo 1. Levando-se este algarismo 1, para o último lugar, à direita, conservando a seqüência dos demais algarismos, o novo número é o triplo do número primitivo. O número primitivo é: a) 100006 b) múltiplo de 11 c) múltiplo de 4 d) maior que 180000 e) divisível por 5 06. Sendo X e Y conjuntos em que: X – Y = {a, b} e X ∩ Y = {c}. O conjunto X pode ser: a) {∅} b) {a} c) {a, d} d) {a, c, d} e) {a, b, c, d}

4x 4x 2 + 4x para x ≠ 3 e x ≠ -1 dá: divido por x + 2 x −3 x − 2x − 3 a) x + 1 b) x – 4 c) x + 4 d) x2 – 3 e) x – 1

07. x2 -

08. Na equação x2 – mx – 9 = 0, a soma dos valores de m, que fazem com que as suas raízes a e b satisfaçam a relação 2a + b = 7 dá: a) 3,5 b) 20 c) 10,5 d) 10 e) 9 09. Os valores de K que fazem com que a equação: Kx2 – 4x + K = 0 tenham raízes reais e que seja satisfeita a inequação 1 – K ≤ 0 são os mesmos que satisfazem a inequação: a) x2 – 4 ≤ 0 b) 4 – x2 ≤ 0 c) x2 – 1 ≥ 0 d) x2 – 3x + 2 ≤ 0 e) x2 – 3x + 2 ≥ 0 10. Para valores de x inteiros e x ≥ 2, os inteiros P e Q têm para expressões P = x2 + 2x – 3 e Q = ax2 + bx + c e o produto do máximo divisor comum pelo mínimo múltiplo comum desses números, P e Q dá x4+5x3-x2-17x+12. A soma de a, b e c é: a) 0 b) 8 c) 6 d) 2 e) 1 11. Relativamente ao trinômio: y = x2 – bx + 5, com b constante inteira, podemos afirmar que ele pode: a) se anular para um valor de x d) ter valor mínimo igual a 1 b) se anular para dois valores reais de x cuja soma seja 4 e) ter máximo para b = 3 c) se anular para dois valores reais de x de sinais contrários a 2 x + y = 1 podemos afirmar: 12. Sobre o sistema  x + y = a a) para a = 1, o sistema é indeterminado b) para a = -1, o sistema é determinado c) para a ≠ -1, o sistema é impossível

d) para a = 0, x = y = 2 e) para a = -1, x = y = 3

13. A equação 3x + 1 - 2x − 1 = 1 tem duas raízes cuja soma é: a) 10 b) 4 c) 8 d) 5 e) 6

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COLÉGIO NAVAL - 1981 - Matemática 2

2 2

x y y z x z = 2, 2 = x. O produto dos valores de x nesse sistema é: =3e 2 2 2 2 x +z x +y y + z2 a) -1,5 b) -2,4 c) -3,2 d) 2,5 e) 3,4

14. Se

15. A área máxima do retângulo que se pode inscrever no triângulo retângulo de catetos com 3cm e 4cm de maneira que dois lados do retângulo estejam sobre os catetos e um vértice do retângulo sobre a hipotenusa é: a) 3cm2 b) 4cm2 c) 5cm2 d) 4,5cm2 e) 3,5cm2 7 3 cm de apótema e Z é o lado 2 do triângulo eqüilátero inscrito no círculo de 5cm de raio. Escrevendo em ordem crescente esse três números teremos: a) Z, X,Y b) Z, Y, X c) Y, Z, X d) Y, X, Z e) X, Y, Z

16. X é o lado do quadrado de 4820mm2 de área; Y é o lado hexágono regular de

17. Um hexágono tem 24 3 cm2 de área. Se ligarmos alternadamente, os pontos médios dos lados desse hexágono, vamos encontrar um triângulo equilátero de área: a) 12 3 cm2

b) 8 3 cm2

c) 9 3 cm2

d) 6 3 cm2

e) 18 3 cm2

18. O ângulo interno de 150° de um triângulo é formado por lados que medem 10cm e 6cm. A área desse triângulo é: a) 30cm2

b) 30 3 cm2

c) 12 3 cm2

d) 15 3 cm2

e) 15cm2

19. O triângulo ABC tem 60cm2 de área. Dividindo-se o lado BC em 3 partes proporcionais aos números; 2, 3 e 7 e tomando-se esses segmentos para bases de 3 triângulos que têm para vértice o ponto A, a área do maior dos 3 triângulos é: b) 21cm2 c) 35cm2 d) 42cm2 e) 28cm2 a) 30cm2 20. Do ponto P exterior a uma circunferência tiramos uma secante que corta a circunferência nos pontos M e N de maneira que PN = 3x e PM = x - 1.Do mesmo ponto P tiramos outra secante que corta a mesma circunferência em R e S, de maneira que PR = 2x e PS = x + 1. O comprimento do segmento da tangente à circunferência tirada do mesmo ponto P, se todos os segmentos estão medidos em cm é: a)

40 cm

60 cm

34 cm

d) 10cm

e) 8cm

21. Um triângulo retângulo tem os catetos com 2cm e 6cm. A área do círculo que tem o centro sobre a hipotenusa e é tangente aos dois catetos é de: 9π 2 25π 2 16π a) cm b) cm c) cm2 d) 20πcm2 e) 18πcm2 4 9 9 22. Em um círculo de 3cm de raio, a corda AB tem 1,8cm. A distância do ponto B à tangente ao círculo em A mede: a) 0,54cm b) 1,08cm c) 1,5cm d) 2,4cm e) 1,8cm 23. Em um triângulo AB = AC = 5m e BC = 4cm. Tomando-se sobre AB e AC os pontos D e E, respectivamente, de maneira que DE seja paralela a BC e que o quadrilátero BCED seja circunscritível a um círculo, a distância AD = AE mede: 15 4 5 cm d) cm e) cm a) 0,75cm b) 1,2cm c) 7 3 3 24. O triângulo ABC é retângulo em A. A hipotenusa BC mede 6cm e o ângulo em C é de 30°. Tomando-se sobre AB o ponto M e sobre BC o ponto P, de maneira que PM seja perpendicular a BC e as áreas dos triângulos CAM e PMB sejam iguais, a distância BM será: a) 4cm

b) 6( 3 - 2)cm

c) 6( 2 + 1)cm

d) 6( 2 - 1)cm

e) 6( 3 -

2 )cm

25. Duas circunferências são tangentes exteriores em P. Uma reta tangencia essas circunferências nos pontos M e N, respectivamente. Se PM = 4cm e PN = 2cm , o produto dos raios dessas circunferências dá: a) 8cm2 b) 4cm2 c) 5cm2 d) 10cm2 e) 9cm2

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COLÉGIO NAVAL - 1982 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 1982 - Matemática 01. Na expressão a) 15

(0,125)b −a

b + 21  + a b = 191 a e b são números e positivos, a + b vale: a c) 13 d) 12 e) 11

8 a −b

b) 14

02. x + y + z = 201. x é diretamente proporcional a 2 e inversamente proporcional a 5; y é diretamente proporcional 1 3 e z é inversamente proporcional a . O menor desses números é: a 2 4 a) 30 b) 45 c) 36 d) 20 e) 15

03. Um número natural N é formado por dois algarismos. Colocando-se um zero entre esses dois algarismos, N aumenta de 270 unidades. O inverso de N dá uma dízima periódica com 2 algarismos na parte não periódica. A soma dos algarismos de N é: a) 5 b) 7 c) 8 d) 9 e) 11 04. Seja N = 24.35.56. O número de divisores de N que são múltiplos de 10, é: a) 24 b) 35 c) 120 d) 144 e) 210 2+ 3

05. Efetuando a) 4

2− 3

, obtém-se:

2+ 3

2 3

e) 1

06. Os minérios de ferro de duas minas X e Y possuem, respectivamente, 72% e 58% de ferro. Uma mistura desses dois minérios deu um terceiro minério possuindo 62% de ferro. A razão entre as quantidades do minério da mina X, para o da mina Y, nessa mistura é: a) 1,4 b) 1,2 c) 0,5 d) 0,2 e) 0,4 07. Se M ∩ P = {2, 4, 6} e M ∩ Q = {2, 4, 7}, logo M ∩ (P ∪ Q), é: a) 2,4} b) {2, 4, 6, 7} c) {6} d) {7} e) {6, 7} 08. Um terreno deve ser dividido em lotes iguais por certo número de herdeiros. Se houvessem três herdeiros a mais, cada lote diminuiria de 20m2 e, se houvessem quatro herdeiros a menos, cada lote aumentaria de 50m2. O número de metros quadrados da área do terreno todo é: a) 1600 b) 1400 c) 1200 d) 1100 e) 900 09. No sistema os valores x – y = 2 e a) 9

b) 20

c) 11

x y 13 a soma de todos os valores de x e y que satisfazem ao sistema é: + = y x x

d) 14

e) 13

10. Ao extrairmos a raiz cúbica do número natural N verificamos que o resto era o maior possível e igual a 126. A soma dos algarismos de N é: a) 11 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 11. O valor da expressão a) 4

b) 2

(a − 2)x 3 + (b − 1)x 2 + (c − 1)x + 10 c) -3

x2 − x + 5 d) 0 e) 1

independe de x. A soma dos valores de a, b e c é:

2 x + 2 y = b é indeterminado. O produto ab é: 12. O sistema  3x + ay = 4 a) 12

b) 24

c) 8

d) 6

e) 18

13. A inequação 2px + x + p > 0, é satisfeita para qualquer valor real de x, se, e somente se: a) p < -

2 4

b) -

2 2 <p< 4 4

c) p > -

2 4

d) p < -

2 2 ou p > 4 4

e) p >

2 4

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COLÉGIO NAVAL - 1982 - Matemática 14. O valor de m que torna mínima a soma dos quadrados das raízes da equação x2 – mx + m – 1 = 0, é: a) – 2 b) – 1 c) 0 d) 1 e) 2 15.

(zx

)(

)

+ y 2 x + 2xyz x 2 − y 2 é igual a: x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 a) z(x + y) b) z(x - y) c) zx + y 2

d) zx - y

e) z + y

16. O polinômio x + px + x + q é divisível por x + 1. Logo p + q é igual a: a) 2 c) 1 c) 0 d) – 1 e) – 2 17. As bases de um trapézio isósceles medem 8cm e 4cm e a altura 6cm. As diagonais desse trapézio dividem-no em quatro triângulos. A área, em cm2, de um dos triângulos que não contêm nenhuma das bases é: a) 8 b) 6 c) 9 d) 10 e) 12 18. Duas retas tangenciam uma circunferência, de centro P e 8cm de raio, nos pontos R e S. O ângulo entre essas tangentes é de 120°. A área do triângulo PRS em cm2, é: a) 16

b) 16 3

c) 16 2

d) 8 3

e) 8 2

19. Um quadrilátero ABCD está inscrito em um círculo. O lado AB é o lado do triângulo eqüilátero inscrito nesse círculo. O lado CD é o lado do hexágono regular inscrito nesse círculo. O ângulo formado pelas diagonais do quadrilátero é de: a) 30° b) 45° c) 60° d) 90° e) 108° 20. Um polígono ABCD... é regular. As bissetrizes internas dos ângulos dos vértices A e C formam um ângulo de 72°. O número de lados desse polígono é: a) 7 b) 10 c) 12 d) 15 e) 20. 21. O segmentos da bissetriz do ângulo reto de um triângulo vale 4 2 cm. Um dos catetos vale 5cm. A hipotenusa vale, em cm: a) 3 17

b) 4 17

c) 5 17

d) 6 17

e) 7 17

22. Pela extremidade A de um diâmetro AB de uma circunferência de raio R, traça-se uma tangente. Com centro na extremidade B, descreve-se um arco de raio 4R, que intercepta a tangente no ponto C. Traça-se BC que encontra a circunferência dada em E. O valor de AB é: a) 0,25R b) 0,5R c) 0,75R d) 0,8R e) R

23. Num círculo de 2cm de raio traçam-se dois diâmetros perpendiculares, AA' e BB' . Sobre o arco AB marca-se o ponto P de modo que PB = PQ , sendo PQ perpendicular a AA' e Q situado em AA' . PB vale, em cm: a)

b) 2 3 - 2

3 +1

d) 1

e) 2 3

24. Duas circunferências têm centros, respectivamente, em R e S. Seus raios medem 3cm e 4cm. Essas circunferências se cortam em P e Q. Sabendo que a maior passa no centro da menor; a área do quadrilátero convexo RPSQ, em cm2, é: a) 3 55

b) 2 55

3 55 2

55 2

25. A diagonal de um pentágono regular convexo de lado igual a 2cm, mede, em cm: a)

5 +2

5 -2

5 -1

5 +1

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COLÉGIO NAVAL - 1983 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 1983 - Matemática 01. Sendo A = {x ∈ N / x2 – 4 = 0}, B = {x ∈ Z / - 2 ≤ x < 5} e C = {x ∈ Z / 0 < A ∪ (B ∩ C) é: a) {0, 2} b) {–2, 2, 1}

c) {–2, –1, 0, 2}

d) {–2, 0, 3, 5}

− 3x + 2 ≤ 5} e o conjunto 3

e) {–2, 0, 2, 4}

02. Um triângulo de 30cm de altura é dividido por duas paralelas perpendiculares a essa altura, em três partes equivalentes. O maior dos segmentos em que ficou dividida essa altura por essas paralelas é: a) 5 3

b) 6 3

c) 10 3

d) 15 3

e) 20 3

03. Na figura: AC = 3 AF e BC = 3 CE , sendo S a área da triângulo ABC, a área do triângulo AGF é: S S S S S b) c) d) e) a) 3 7 9 21 18

(x 04. Se a divisão a) 3

b) 5

)

− 6 x 2 + 12 x − 8 + 2 x 2 − 8x + 1 + k é exata, o valor de k é: x 2 − 4x + 4 c) 6 d) 7 e) 8

F G

05. A área da coroa circular determinada pelos círculos inscrito e circunscrito a um hexágono regular de área 54 3 cm, é: a) 6πcm2 b) 9πcm2 c) 12πcm2 d) 18πcm2 e) 27πcm2 06. De um pedaço quadrado de metal corta-se uma peça circular de diâmetro máximo e desta peça circular corta-se outro quadrado de lado máximo. A quantidade de material desperdiçado é: 1 1 da área do quadrado primitivo. d) da área do círculo. a) 4 4 1 1 b) da área do círculo. e) da área do quadrado primitivo. 2 2 1 c) da área do quadrado primitivo. 3 07. O total de diagonais de dois polígonos regulares é 41. Um desses polígonos tem dois lados a mais que o outro. O ângulo interno do polígono que tem o ângulo central menor, mede: a) 120º b) 135º c) 140º d) 144º e) 154º

 1 08. O valor de  2 −   3  5 a) 139

   

b) 120

2   5 53   5 −     (  212  2 0,333...) 2    − , é: −  10   −  3 3 5   2        c) 92 d) 121 e) 100 1

ˆ é o dobro do ângulo B ˆ , AB = 9cm e AC = 4cm, O lado BC mede: 09. Em um triângulo ABC, o ângulo A a) 9 13 cm

b) 3 13 cm

c) 4 13 cm

d) 6 13 cm

e) 2 13 cm

10. A diferença entre dois números naturais que têm para produto 2304 e para máximo divisor comum 12, é: a) 180 b) 72 c) 0 d) 192 e) 168 11. Um triângulo ABC circunscreve um círculo de raio R. O segmento de tangente ao círculo tirado do vértice A mede 4cm. Se o lado oposto a esse vértice mede 5cm, a área do triângulo ABC é: a) 20Rcm2 b) 10Rcm2 c) 5Rcm2 d) 9Rcm2 e) 4Rcm2 12. O número de triângulos diferentes cujos lados têm medidas representadas por números inteiros e de perímetro 12 cm, é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

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COLÉGIO NAVAL - 1983 - Matemática 13. A área do segmento circular determinado por uma corda de 6 3 cm e sua flecha de 3cm, é: a) (12π + 9 3 )cm2

c) (12π + 3 3 )cm2

b) (12π - 9 3 )cm2

d) (12π - 3 3 )cm2

e) (12π - 6 3 )cm2

14. A soma dos valores inteiros que satisfazem a inequação

a) 11

b) 4

c) 6

d) 8

(− x + 3)3 (x 2 + x − 2)(5 − x )11 (2x − 8)10

≤ 0 , é:

e) 2

15. O número de divisores inteiros de N, sendo N igual ao produto de K números primos distintos, é: a) K2 b) 2K c) K d) 2K e) K+2 16. Numa cidade constatou-se que as famílias que consomem arroz não consomem macarrão. Sabe-se que: 40% consomem arroz; 30% consomem macarrão; 15% consomem feijão e arroz; 20% consomem feijão e macarrão e 60% consomem feijão. A porcentagem correspondente às famílias que não consomem esses três produtos é: a) 10% b) 3% c) 15% d) 5% e) 12% 17. Se

2 2 2 x y z 8 = e x + y + z = 16, o produto x.y.z é: + + + + + x y z yz xz xy 3

a) 192

b) 48

c) 32

d) 108

e) 96

4 x + 5 y = 3 , é: 18. O maior valor de y, na solução do sistema   x + 5 y 2 = 5 a) 1 b) 16 c) 32 d) 64 e) 128 19. Seja P um ponto exterior a um círculo de centro O e raio R e tal que OP = R 3 . Traça-se por P a secante PAB ao círculo. Se PA = R, AB é igual a: R d) 2R a) R b) c) R 3 2

e) R 2

20. Duas estradas de iguais dimensões começam simultaneamente a ser construídas por 15 operários cada uma de2 las. Mas, exclusivamente devido a dificuldades no terreno, percebe-se que enquanto uma turma avançou na 3 4 sua obra, a outra avançou da sua. Quantos operários deve-se retirar de uma e por na outra, para que as duas 5 obras fiquem prontas ao mesmo tempo? a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10 21.

a 2 − 2ab − b 2 , onde a e b são números positivos, é um número real se, e somente se: a a a a 1 a) b) d) ≥1+ 2 ≥2 c) ≥ 2 ≥0 e) ≥1 b b b b b

22. Se o lado de um quadrado aumentar de 30% de seu comprimento, a sua área aumentará de: a) 55% b) 47% c) 30% d) 69% e) 90% 23.

3 + 23 2 2 a) 1 b) 2

3 − 23 2 2 é igual a: c) 3 d) 4 e) 5

24. Um reservatório contém 0,064 dam3 de água, e seu esvaziamento é feito por uma torneira, à razão de 17000l de água por hora. O tempo mais aproximado para que ele se esvazie é de: a) 23h 35mim b) 23h 48mim c) 23h 12mim 10s d) 23h 05mim 12s e) 23h 31mim 45s 25. A soma dos cubos das raízes da equação x2 + x – 3 = 0, é: a) -10 b) -8 c) -12 d) -6 e) -18

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COLÉGIO NAVAL - 1984 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 1984 - Matemática 01. Uma grandeza X é diretamente proporcional às grandezas P e T e inversamente proporcional ao quadrado da grandeza w. Se aumentarem P de 60% do seu valor e diminuírem T de 10% do seu valor, para que a grandeza X não se altere, devemos: a) diminuir w de 35% do seu valor b) diminuir w de 20% do seu valor c) aumentar w de 25% do seu valor d) aumentar w de 35% do seu valor e) aumentar w de 20% do seu valor x 3 − 3x 2 y + 3xy 2 − y 3 = 8 , a soma dos valores de x e y é: 02. No sistema  2 ( x − y 2 )( x 2 − 2 xy + y 2 ) = 12 a) 1

3 4

3 2

4 3

2 3

03. A soma das raízes da equação x2 - 6x + 9 = 4 x 2 − 6 x + 6 é: a) 6 b) -12 c) 12 d) 0 e) -6 04. Simplificando a expressão

a) 5

b) 5-1

600 , para n ∈ N = { 0; 1}, temos: 25 − 5 2n +2 d) 52 e) 50

n+2

c) 5-2

05. Na figura, o diâmetro AB mede 8 3 cm e a corda CD forma um ângulo de 30º com AB . Se E é ponto médio

de AO , onde O é o centro do circulo, a área da região hachurada mede:

a) (8π - 3 3 )cm

A E

b) (10π + 13 )cm

c) (18π + 2 3 )cm2

d) (27π - 3 2 )cm2 e) (8π + 3 3 )cm2

06. As retas PA e PB são tangentes a circunferência de raio R nos pontos A e B, respectivamente. Se PA = 3x e x é a distância do ponto A à reta PB , então R é igual a: a) 3(3 - 2 2 )x

b) 3(3 + 2 2 )x

c) 3x

d) 2(2 + 3 2 )x

e) x

07. A secante (r) à uma circunferência de 5cm de raio determina uma corda AB de 8 2 cm de comprimento. A reta (s) é paralela a (r) e tangência a circunferência no menor arco AB. A distância entre (r) e (s) é de: a) 6cm b) 10cm c) 5cm d) 4cm e) 7cm 08. A equação k2x – kx = k2 – 2k – 8 + 12x é impossível para: a) um valor positivo de k c) 3 valores distintos de k b) um valor negativo de k d) dois valores distintos de k

e) nenhum valor de k

09. Num colégio verificou-se que 120 alunos não têm pai professor; 130 alunos não têm mãe professora e 5 têm pai e mãe professores. Qual o número de alunos do colégio, sabendo-se que 55 alunos possuem pelo menos um dos pais professor e que não existem alunos irmãos? a) 125 b) 135 c) 145 d) 155 e) 165 ( −2 ) ( −2 )

10. Seja um número N = (10000 ) a) 6 b) 13 c) 15

, o número de divisores positivos de N é: d) 4 e) 2

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COLÉGIO NAVAL - 1984 - Matemática 11. A, B e C são, respectivamente, os conjuntos dos múltiplos de 8, 6 e 12. Podemos afirmar que o conjunto A ∩ (B ∪ C) é o conjunto dos múltiplos de: a) 12 b) 18 c) 24 d) 48 e) 36 12. Sendo P > 3, podemos afirmar que o trinômio y = 2x2 – 6x – P: a) se anula para dois valores positivos de x b) se anula para valores de x de sinais contrários c) se anula para dois valores negativos de x d) não se anula para valor de x real e) tem extremo positivo 13. Sabendo que 3x – y – 10z = 0 e que x + 2y – z = 0, o valor de

a) 18

b) 9

c) 6

d) 1 100

14. Efetuando o produto (x + 1)(x a) x100 – 1 b) x200 + 1

x3 + x2y , sendo z ≠ 0, é: xy 2 − z 3

e) 0 99

- x + x - x97 + .......+ x2 - x + 1), encontramos: c) x101 + x50 – 1 d) 2x100 + 2 e) x101 + 1

15. A soma dos valores inteiros de x, no intervalo –10 < x < 10, e que satisfazem à inequação (x2 + 4x + 4)(x + 1) ≤ x2 - 4 é: a) 42 b) 54 c) -54 d) -42 e) -44 16. Um triângulo ABC está inscrito em um circulo e o arco BC mede 100º. Calcular a medida do ângulo BEˆC , ˆ com o prolongamento do segmento CM , onde sendo E o ponto de intersecção da bissetriz externa relativa a B M é o ponto médio do arco menor AB. a) 15º b) 25º c) 20º d) 40º e) 50º 17. Seja P(x) = 2x4 – 5x2 + 3x – 2 e Q(x) = x2 – 3x + 1; se P(x) R(x), o valor de Q’(0) + R(1) é: a) 0 b) 28 c) 25 d) 17 e) 18

÷ Q(x) determina um quociente Q’(x) e o resto

18. A roda de um veículo tem 50cm de diâmetro. Este móvel, em velocidade constante, completa 10 voltas em cada segundo, com um gasto de um litro de combustível por 10km rodados. Sabendo-se que o veículo fez uma viagem de 6h, o número que mais se aproxima da quantidade de litros gastos na viagem é: a) 52 b) 40 c) 30 d) 34 e) 20 19. O resto da divisão por 11 do resultado da expressão 121120 + 911932 x 34326, é: a) 9 b) 1 c) 10 d) 6 e) 7 20. Num triângulo ABC de lado AC de medida 6cm, traça-se a ceviana AD que divide internamente o lado BC ˆ mede 85º, ˆ mede 20º e o ângulo C nos segmentos BD de medida 5cm e DC de medida 4cm. Se o ângulo B ˆ D mede: (ANULADA) então o ângulo BA a) 65º b) 55º c) 75º d) 45º e) 35º 21. Calcule a diferença y – x, de forma que o número 2x.34.26y possa ser expresso como uma potência de base 39. a) 8 b) 0 c) 4 d) 2 e) 3 22. Um trapézio é obtido cortando-se um triângulo escaleno de área S por uma reta paralela a um dos lados do triângulo que passa pelo baricentro do mesmo. A área do trapézio é: 5 4 2 1 1 b) S c) S d) S e) S a) S 9 9 3 3 2 23. Num triângulo ABC, a medida do lado AB é o dobro da medida do lado AC . Traça-se a mediana AM e a bissetriz AD (M e D pertencentes a BC ). Se a área do triângulo ABC é S, então a área do triângulo AMD é: S S S 3S S b) c) d) e) a) 3 4 6 8 12

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COLÉGIO NAVAL - 1984 - Matemática 24. Associando-se os conceitos da coluna da esquerda com as fórmulas da coluna da direita, sendo a e b números inteiros positivos quaisquer, têm-se: I- media harmônica dos números a e b a) a.b a b) II- media ponderada dos números a e b b a.b c) III- a media proporcional entre os números a e b 2 2a.b d) IV- o produto do máximo divisor comum pelo mínimo múltiplo comum de a e b a+b V- a média aritmética simples entre a e b e) a.b a) (I; b); (II; c); (IV; e) b) (II; c); (III; a); (IV; e) c) (I; d); (II; c); (V; b) d) (III; a); (IV; e); (V; b) e) (I; d); (III; a); (IV; e) 25. valor de a, para que a soma dos quadrados das raízes da equação x2 + (2 – a)x – a – 3 = 0 seja mínima, é: a) 1

b) 9

d) -1

e) -9

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COLÉGIO NAVAL - 1985 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 1985 - Matemática 01. Dados dois conjuntos A e B tais que: - o número de subconjuntos de A está compreendido entre 120 e 250. - B tem 15 subconjuntos não vazios. O produto cartesiano de A por B tem a) 8 elementos b) 12 elementos c) 16 elementos d) 28 elementos e) 32 elementos  1 −3   02. O valor da expressão    .0,666... +  6  2 2 5 b) c) d) a) 5 5 2

2   3

5 2 2

−

2 1  − é: 1,333...   2 5 e) 5

03. Antonio constrói 20 cadeiras em 3 dias de 4 horas de trabalho por dia. Severino constrói 15 cadeiras do mesmo tipo em 8 dias de 2 horas de trabalho por dia. Trabalhando juntos, no ritmo de 6 horas por dia, produzirão 250 cadeiras em: a) 15 dias b) 16 dias c) 18 dias d) 20 dias e) 24 dias 04. A soma de todas as raízes da equação (3x – 12)(x + 2)(x – 2) = (3x – 12)(-x +6) é: a) -3 b) -1 c) 0 d) 1 e) 3 05. Um polígono regular possui 70 diagonais que não passam pelo seu centro. O valor da medida do ângulo interno do referido polígono está, em graus, compreendido entre: a) 70º e 80º b) 100º e 120º c) 120º e 130º d) 140º e 150º e) 150º e 160º 06. Uma empresa possui uma matriz M e duas filiais A e B. 45% dos empregados da empresa trabalham na matriz M e 25% dos empregados trabalham na filial A. De todos os empregados dessa empresa, 40% optaram por associarem-se a um clube classista, sendo que 25% dos empregados da matriz M e 45% dos empregados da filial A se associaram ao clube. O percentual dos empregados da filial B que associaram ao clube é de 1 2 a) 17,5% b) 18,5% c) 30% d) 58 % e) 61 % 3 3

07. Dois lados de um triângulo são iguais a 4cm e 6cm. O terceiro lado é um número inteiro expresso por x2 + 1. O seu perímetro é: a) 13cm b) 14cm c) 15cm d) 16cm e) 20cm 2

1 1  08. Se  x +  = 3, então x3 + 3 é igual a: x x  a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 mx − 5 y = 3 é equivalente ao sistema 09. O sistema  3x + ky = 4 1 c) mk = a) m - k = -8 b) km = -1 7

2 x − y = 4 . Logo, pode-se afirmar que:  3x + y = 1 d) m.k =

7 2

e) m + k = 8

10. José e Pedro, constituíram uma sociedade, onde José entrou com Cr$2.000,00 e Pedro com Cr$2.500,00. Após 8 meses, José aumentou seu capital para Cr$3.500,00 e Pedro diminuiu seu capital para Cr$1.500,00. No fim de 1 ano e 6 meses houve um lucro de Cr$344,00. A parte do lucro que coube a José foi: a) Cr$140,00 b) Cr$144,00 c) Cr$ 186,00 d) Cr$ 204,00 e) Cr$ 240,00 11. Considere a soma de n parcelas S = n15 + n15 + ........... + n15. Sobre as raízes da equação se afirmar que: a) seu produto é –36 c) sua soma é 5 e) seu produto é 36 b) sua soma é nula d) seu produto é 18

S = 13n2 - 36, pode-

12. Num triângulo equilátero de altura h, seu perímetro é dado por: a)

2h 3 3

b) h 3

c) 2h 3

d) 6h

e) 6h 3

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COLÉGIO NAVAL - 1985 - Matemática 13. O menor valor inteiro da expressão 5n2 – 195n + 1 ocorre para n igual a: a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30 14. O circulo de centro O da figura abaixo tem medida do segmento PC é igual a

6 cm de raio. Sabendo que PA é tangente à circunferência e que a

6 cm, a área hachurada é, em cm2, igual a: (questão modificada) A

a) π

b) 3π

c) 6π

d) 2π

e) 4π

 xy  15. Sendo x2 = 343, y3 = 492 e z6 = 75, o algarismo das unidades simples do resultado de    z  a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

é:

16. O pentágono ABCDE da figura é regular e de lado l. Sabendo que o segmento AF tem medida igual a l, podese afirmar que o ângulo BFE mede. A

a) 36º

b) 45º

c) 54º

d) 60º

e) 72º

17. Sejam r e s as raízes da equação x2 3 + 3x - 7 = 0. O valor numérico da expressão (r + s + 1) (r + s – 1) é: 2 3 9 4 b) c) d) e) 2 a) 7 7 7 3 18. Considere os conjuntos A = {1, {1}, 2} e B = {1, 2, {2}} e as cinco afirmações: I- A – B = {1} II- {2} ⊂ (B – A) III- {1} ⊂ A IV- A ∩ B = {1, 2, {1, 2}} V- B – A = {{2}} Logo, a) todas as afirmações estão erradas d) as afirmações III e V estão corretas b) se existe uma afirmação correta e) as afirmações I e IV são as únicas incorretas c) as afirmações ímpares estão corretas 19. O coeficiente do termo do 2º grau do produto entre o quociente e o resto, da divisão de x2 - 3x + x4 + 7 por 2 - x2 é: a) -22 b) -11 c) -10 d) -1 e) 1 20. Dois lados de um triângulo medem 4cm e 6cm e a altura relativa ao terceiro lado mede 3cm. O perímetro do circulo circunscrito ao triângulo mede: a) 4πcm b) 6πcm c) 8πcm d) 12πcm e) 16πcm 21. Unindo-se os pontos médios dos quatro lados de quadrilátero L, obtém-se um losango. Pode-se afirmar que L a) é um retângulo b) tem diagonais perpendiculares. c) é um trapézio isósceles d) é um losango e) tem diagonais congruentes 27

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COLÉGIO NAVAL - 1985 - Matemática 22. Considere os conjuntos M pares ordenados (x, y) que satisfazem a equação (a1x + b1y + c1).(a2x + b2x + c2) = 0 a 1 x + b1 y + c1 = 0 sendo (a1.b1.c1.a2.b2.c2 ≠ 0, podee N dos pares ordenados (x, y) que satisfazem o sistema  a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 se afirmar que a) M = N b) M ∪ N = M c) M ∩ N = ∅ d) M ∪ N = N e) M ∩ N = ∅ 4cm

23. A figura abaixo representa a planta de uma sala e foi desenhada na escala 1:100. A área real da sala é: a) 20cm2 b) 28,5cm2 c) 2850cm2 d) 26,5m2 e) 80,4m2

0,4dm 6cm 0,01m 70mm

24. Os hexágonos regulares da figura são congruentes e os segmentos CD e HG são colineares. A razão entre a área de um deles e a área do triângulo EMN é igual a: A

N M B

a) 6

b) 9

c) 12

d) 16

e) 18

25. Sabendo que a media aritmética e a media harmônica entre dois números naturais valem, respectivamente, 10 e 32 , pode-se dizer que a media geométrica entre esses números será igual a: 5 a) 3,6 b) 6 c) 6,4 d) 8 e) 9

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COLÉGIO NAVAL - 1986 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 1986 - Matemática 01. Representando-se por n(X) o número de elementos de um conjunto X, considere dois conjuntos A e B tais que n(A ∩ B) = 4, n(A – B) = 5 e n(A x B) = 36. Podemos afirmar que n(A ∪ B) é igual a: a) 4 b) 6 c) 7 d) 9 e) 10 02. Considere os conjuntos X = {x ∈ N / x ≤ 4} e y, y ⊂ x. O número de conjuntos y tais que 4 ∈ y e 0 ∉ y é: a) 6 b) 7 c) 8 d) 15 e) 16 03. A media harmônica entre as raízes da equação 340x2 – 13x – 91 = 0 é: 340 1 a) 7 b) -7 c) d) e) -14 7 7 04. O número máximo de divisores do número natural 48. 2 − X a) 12 b) 10 c) 24 d) 6 e) 18

2 +2X

, x ∈ N, é

16 x − y = 1 05. O valor de x no sistema  é:  x + 2 − 4 x + 33 = 1 a) 15 + 14 2

b) 15 + 12 2

c) 15 + 10 2

d) 15 + 8 2

e) 15 + 6 2

06. Uma mercadoria foi comprada por Cr$20.000. Para que haja um lucro de 60% sobre o preço de venda, essa mercadoria deve ser vendida por: a) Cr$32.000 b) Cr$50.000 c) Cr$48.000 d) Cr$45.000 e) Cr$58.000

(

 5 −1. 33 + 3 2 (−2) 3 07. O valor da expressão E = 9a3 – 3a, para a =  0,2666... + (0,333...) −3 .(−5)  a)

5 5

d) 0

) 

1 2

 

e) 1

08. O resto da divisão de ( x5 + x4 – 5x3 – x2 + 9x – 8) por (x2 + x – 3) é: a) independente de x e não nulo c) nulo e) igual a 21, para x = 13 5 d) par, para x ∈ N b) positivo para x < 2 09. O número 1 + 3 4 + 3 16 está situado entre: a) 1 e 1,5 b) 1,5 e 2 c) 2 e 2,5

d) 2,5 e 3

e) 3,5 e 4

10. Sendo P e Q dois polinômios de mesma variável e de graus respectivamente iguais a m e n, e sendo m ≤ n, podemos afirmar que: a) a soma de P e Q é de grau m + n d) o quociente entre P e Q. caso exista é de grau m – n b) o produto de P por Q é de grau m.n e) a diferença entre P e Q é de grau n c) a soma de P e Q é de grau m 11. Duas pessoas constituíram uma sociedade, a primeira entrou com um capital de Cr$5.000.000 e a segunda com Cr$6.000.000. Um ano depois, admitiram um terceiro sócio, que entrou com um capital de Cr$10.000.000. Decorridos 18 meses desde o início da sociedade, a firma teve um lucro de Cr$12.000.000. A parte do lucro que caberá ao terceiro sócio é: Obs: o lucro é dividido proporcionalmente ao capital e ao tempo, não se levando em conta outros fatores, como por exemplo a inflação. a) Cr$1.000.000 b) Cr$2.000.000 c) Cr$3.000.000 d) Cr$4.000.000 e) Cr$5.000.000

y ≥ x + 2 12. O sistema  y ≤ x − 2 a) não tem solução c) tem solução que contém o 2º quadrante e) tem solução apenas para y = 2 b) tem solução contida no 4º quadrante d) é satisfeito por apenas um ponto do plano cartesiano

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COLÉGIO NAVAL - 1986 - Matemática 13. Um vendedor de refresco acondiciona o seu produto numa caixa de isopor com as seguintes dimensões internas: 1m x 60cm x 40cm. Cada copo de refresco de 300ml é vendido por Cr$400. Nessas condições, ao término de 3 da capacidade da caixa, o um dia de trabalho, pela venda de uma quantidade de refresco correspondente a 4 vendedor apurou a) Cr$360.000 b) Cr$300.000 c) Cr$270.000 d) Cr$330.000 e) Cr$240.000 14. O retângulo ABCD dado tem base igual a x + y. O segmento AF tem medida z. Sabe-se que x2 + y2 + z2 = 3,54 e que xz + yz – xy = 0,62. A área do quadrado FBCE é: a) 16 d) 8 b) 14 e) 20 c) 12 15. Na figura, as retas r, s e t são tangentes à circunferência de diâmetro AB . O segmento AC mede 4cm. A medida, em centímetros, do segmento CD é: a) 16 b) 14 c) 12 d) 8 e) 20 16. O trapézio ABCD da figura é retângulo. A bissetriz do ângulo Â intercepta BC no seu ponto médio M. A altura do trapézio é igual a: 6 D

a) 2 15

b) 8 15 M

c) 6 15 d) 4 15 e) 5 15

B 10

17. O número de triângulo de perímetro igual a 19 e uma das alturas igual a 4, inscritível num circulo de raio 5, e cujos lados têm medidas expressas por números inteiros é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 18. As bases de um trapézio medem 3cm e 9cm. Os segmentos determinados pelas diagonais do trapézio sobre a base media, são proporcionais aos números: a) 1, 1, 1 b) 1, 2, 1 c) 1, 3, 1 d) 1, 4, 1 e) 2, 3, 4 19. O intervalo solução da inequação (x + 3)(x + 2)(x – 3) > (x + 2)(x – 1)(x + 4) é: 5 5    5  c)  − 2, −  e) (-1, 2) b) (-∞ , -1) d)  − , ∞  a)  − ∞, −  3 3    3  20. Em um triângulo os lados de medidas m e n são opostos, respectivamente, aos ângulos de 60º e 40º. O segmento da bissetriz do maior ângulo interno do triângulo é dado por: a) m

m+n n

b) n

m+n m

c) m

n m+n

d) n

m m+n

m n

21. Considere um ponto P interno a um hexágono regular de lado igual a 6cm. A soma das distâncias de P a cada uma das retas suportes dos lados desse hexágono.

a) depende da localização de P

c) é igual a 18cm

b) é igual a 36cm

d) é igual a 12 3 cm

e) é igual a 18 3 cm.

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COLÉGIO NAVAL - 1986 - Matemática 22. A figura abaixo tem-se: QB e QA são tangentes ao circulo de raio 2 a medida do segmento PA é 2 3 e a potência do ponto P em relação ao circulo é igual a 24. A área hachurada da figura é igual a: 4 4 d) 4 3 − π a) 2 3 − π 3 3 4 4 b) 3 3 − π e) 6 3 − π 3 3 4 c) 3−π 3

( ( (

) )

( (

) )

)

23. O maior divisor comum dos polinômios x4 – 16, x3 – 6x2 + 12x – 8 e x4 – 8x2 + 16 é: a) x + 2 b) x + 4 c) x – 2 d) x – 4 e) 1 24. Uma equação biquadrada tem duas raízes respectivamente iguais a 2º grau dessa equação é: a) 7 b) -7 c) 11 d) -11 e) 1

2 e 3. O valor do coeficiente do termo de

25. Num triângulo ABC de lado AC = 12, a reta AD divide internamente o lado BC em dois segmentos: ˆ D = y, o ângulo BD ˆ D = x e AC ˆ A é dado por BD = 18 e DC = 6. Se AB a) y – x b) x + y c) 2x – y d) 2y – x e) 2x + y

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COLÉGIO NAVAL - 1987 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 1987 - Matemática a , b ≠ 0} e S = {2; 1,3; 0,444...; b c) S ∩ R é unitário e) S – R é unitário d) S ∩ R tem dois elementos

01. Sendo a e b números inteiros quaisquer, R = {x / x = a) S ⊂ R b) S ∩ R = ∅

2 }, então

02. a e b são números reais diferentes de zero e a – b > 0, então, necessariamente a a b a) a2 > b2 b) > 1 d) a – 2 < b – 2 e) 1 – a < 1 – b c) + ≥ 2 b b a 2

3 03. A soma dos algarismos na base 10 de 10 n + 3  , onde n é um número intei  ro positivo, é: a) 16 b) 13 c) 13n d) n3 + 3n e) n6 + 2n3 + 1

04. Dois capitais são empregados a uma mesma taxa de 3% ao ano. A soma dos capitais é igual a Cr$50.000,00. Cada capital produz Cr$600,00 de juros. O primeiro permaneceu empregado 4 meses mais que o segundo. O segundo capital foi empregado durante. a) 6 meses b) 8 meses c) 10 meses d) 2 anos e) 3 anos 05. Dados os conjuntos M, N e P tais que N ⊂ M, n(M ∩ N) = 60%n(M), n(N ∩ P) = 50%n(N), n(M ∩ N ∩ P) = 40%n(P) e n(P) = x%n(M), o valor de x é (obs: n(A) indica o número de elementos de um conjunto A). a) 80 b) 75 c) 60 d) 50 e) 45 06. O denominador racionalizando de a) 10

b) 8

c) 4

07. Simplificando-se a expressão a) 3

3 b) 2

3 c)   2

3 + 12 + 1 d) 3 e) 2 4

é:

(6 x 12 x 18 x ... x 300) obtém-se (2 x 6 x 10 x 14 x ... x 98) x (4 x 8 x 12 x 16 x ... x 100) 23

3 4

e) 225

08. O conjunto dos valores de m para os quais as equações 3x2 – 8x + 2m = 0 e 2x2 – 5x + m = 0 possuem uma e apenas uma raiz real comum é a) unitário, de elementos positivos d) composto de 2 elementos não negativos. b) unitário, de elementos não negativos. e) vazio. c) composto de 2 elementos não positivos.

 x 2 − 5 y = 8000 09. O sistema  0,001x − y = 5000 a) tem apenas uma solução (x, y), x < 0 e y < 0. b) tem apenas uma solução (x, y), x > 0 e y < 0. c) tem apenas uma solução (x, y), x < 0 e y > 0.

d) tem duas soluções. e) não tem solução.

10. Num sistema S de duas equações do 1º grau com duas incógnitas, x e y, os coeficientes de x e de y de uma das equações são, respectivamente, proporcionais aos coeficientes de x e de y da outra. Logo, o conjunto solução de S. a) é unitário b) é infinito c) é vazio d) pode ser vazio e) pode ser unitário 11. A equação do 2º grau x2 – 2x + m = 0, m < 0, tem raízes x1 e x2. Se x 1n − 2 + x n2 − 2 = a e x 1n −1 + x n2 −1 = b, então x 1n + x n2 é igual a: a) 2a + mb b) 2b – ma

c) ma + 2b

d) ma – 2b

e) m(a – 2b)

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COLÉGIO NAVAL - 1987 - Matemática 12. No processo da divisão do polinômio P(x), de coeficientes não nulos, pelo polinômio g(x), obteve-se, para quociente um polinômio do 4º grau e, para penúltimo resto, um polinômio do 2º grau. Considerando-se as afirmativas, I- O grau de P(x) é 6 II- O grau de g(x) pode ser 1 III- P(x) é composto de 7 monômios. Conclui-se que: a) apenas I é verdadeira. c) apenas II é verdadeira. e) todas são falsas. b) apenas III é falsa. d) apenas I e III são verdadeiras. 13. Considere os números reais x – a, x – b e x – c, onde a, b e c são constantes. Qual o valor de x para que a soma de seus quadrados seja menor possível? a+b+c a+b+c 2a + 2 b + 2c a −b−c 2a − 2 b + 2c a) b) c) d) e) 2 3 3 3 3

 x 4 −1 x 2 , para x ∈ R*, obtêm-se: 14. Simplificando a expressão 1 +  2   2x  2 a)

1 2x 2

x4 + x2 −1 2x 2

x4 − x2 −1 2x 2

( )

x2 +1 2

x2 2

( )

15. Considere o quadrilátero ABCD onde med AB = 5cm, med BC = 7,5cm, med CD = 9cm, med AD = 4cm

( )

e med BD = 6cm. o ângulo ABC deste quadrilátero é igual a: ˆ ˆ D + ADC ˆD ˆD ˆ D + BC ˆ D - BC ˆ C + 2 BA a) BC e) AD c) BA 2 ˆD ˆ D + AD ˆ D + AD ˆ C - BC ˆC d) 2 BC b) BA 16. O vértice E de um triângulo equilátero ABE está no interior de um quadrado ABCD, e F é o ponto de interseção da diagonal BD e o lado AE . Se a medida de AB é igual a 1 + 3 , então a área do triângulo BEF é: a)

3 4

b) 1 -

3 4

3 +1 4

3 −1 4

3− 3 4

17. Por um ponto P exterior a um circulo de centro O e raio R = 1cm, traça-se uma secante que intercepta a circunferência do circulo dado nos pontos A e B, nesta ordem. Traça-se pelo ponto A uma paralela à reta PO que intercepta a mesma circunferência no ponto C. Sabendo que o ângulo OPA mede 15º, o comprimento do menor arco BC, em centímetros, é: π π π π 5π b) c) d) e) a) 12 6 4 3 12 18. Um polígono regular tem vinte diagonais. A medida em graus, de um de seus ângulos internos é: a) 201º b) 167º c) 162º d) 150º e) 135º 19. Um triângulo retângulo de perímetro 2p está inscrito num circulo de raio R e circunscrito a um circulo de raio r. Uma expressão que dá a altura relativa à hipotenusa do triângulo é: pr p+r 2pr R R d) b) a) c) e) R R pr p+r R 20. Uma expressão que dá o lado do eneágono regular, em função das diagonais a, b e c, com a < b < c, é: a)

c2 + b2 a

cb b) a 33

c−b e)    a 

c2 − b2 a

c+b d)    a 

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COLÉGIO NAVAL - 1988 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 1988 - Matemática 01. As medianas traçadas dos ângulos agudos de um triângulo retângulo, medem mediana traçada do ângulo reto é: a) 5 2 cm

b) 4 2 cm

c) 3 2 cm

d) 2 2 cm

7 cm e

23 cm. A medida da

2 cm

02. Os lados de um triângulo medem AB = 40, AC = 50 e BC = 60. Sendo D a intersecção da bissetriz interna do ângulo B com o lado AC , a área do triângulo ABC é:

a) 225 7

375 7 2

c) 150 7

d) 125 7

e) 75 7

03. Considere as 4 afirmações abaixo. A seguir, coloque (V) ou (F) nos parênteses, conforme sejam verdadeiras ou falsas, e assinale a alternativa correta. I- ( ) Em qualquer trapézio circunscrito a uma circunferência, a medida da base media é a quarta parte do seu perímetro. II- ( ) As diagonais de um trapézio podem se interceptar no seu ponto médio. III- ( ) Todo quadrilátero que tem as diagonais perpendiculares é um losango ou um quadrado. IV- ( ) Existe quadrilátero plano cujos segmentos das diagonais não se interceptam. a) Apenas II é verdadeira d) II, III e IV são verdadeiras b) Apenas III é verdadeira e) I e IV são verdadeiras c) Apenas III e IV são verdadeiras 04. Num grupo de rapazes e moças, 10 moças foram embora e o número de rapazes ficou igual ao número de moças. Após um certo tempo, 24 rapazes foram embora, e o número de moças ficou o quíntuplo de números de rapazes. Podemos afirmar que, inicialmente, havia no grupo: a) 30 moças b) 40 moças c) 40 rapazes d) 50 rapazes e) 60 pessoas 05. Considere as sentenças dadas abaixo: 3

1 I- 3 = 1 II- 2 = 2 III- -3 = 9 Pode-se afirmar que o número de sentenças verdadeiras é: a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 50

3 3

-2

IV-

1 − 81 2

= +9

7  −2 4  x + y = 6 06. Sobre o sistema  pode-se afirmar que: x − 4 − y = 7  36 a) é impossível

b) é indeterminado

c) x =

1 2

d) x =

6 3

07. As raízes da equação 2x2 – x – 16 = 0 são r e s (r > s). O valor da expressão a)

129 2

127 2

127 4

129 4

e) y =

1 16

r − s4 , é: r 3 + r 2 s + rs 2 + s 3

e) impossível de ser calculado.

08. Uma mercadoria que teve dois aumentos sucessivos de 30% e 20% deverá ter um único desconto de x% para voltar ao preço inicial. Logo: a) 30 < x < 35 b) 35 < x < 40 c) 45 < x < 55 d) 55 < x < 65 e) x > 65 09. Cláudio comprou 10 dólares com 125 australes e Marta comprou 5 australes com 120 pesos chilenos. Assim, João pode comprar. a) 3 dólares com 100 pesos chilenos. d) 800 pesos chilenos com 2 dólares. b) 3000 pesos chilenos com 10 dólares. e) 50 dólares com 1000 pesos chilenos. c) 1200 pesos chilenos com 5 dólares.

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COLÉGIO NAVAL - 1988 - Matemática 10. Se a + b + c = 0 onde a, b e c são números reais diferentes de zero, qual a opção que é uma identidade? c) a3 + b3 + c3 = 3abc e) a2 + b2 + c2 = 3abc a) a3 - b3 + c3 = 3abc d) a3 – b3 - c3 = -3abc b) a3 + b3 + c3 = -3abc 11. O valor da expressão a) – 10

b) – 9

1 1+ 2 c)

1 9

1 2+ 3

d) 9

1 3+2

+ ... +

1 99 + 10

, é:

e) 10

12. A solução da equação 2 + 3 3x − 1 + 3 3x − 1 = 4, é: a) divisor de 30 b) múltiplo de 5 c) fator de 40

d) múltiplo de 7

e) divisível por 9

13. Considere as 5 afirmações abaixo. A seguir, coloque (V) ou (F) nos parênteses, conforme sejam verdadeiras ou falsas. I- ( ) 2,4h = 2h 40min III- ( ) 0,2dm2 = 2m2 V- ( ) 3 0,008 m2 = 2000cm2 6 II- ( ) km = 1200dm IV- ( ) 5l = 5000cm3 5 Pode-se concluir que são verdadeiras apenas as afirmações: a) I e V b) III e IV c) II, IV e V d) IV e V e) I e II 14. Num grupo de 142 pessoas foi feita uma pesquisa sobre três programas de televisão A, B e C e constatou-se que: I- 40 não assistem a nenhum dos três programas; II- 103 não assistem ao programa C; III- 25 só assistem o programa B; IV- 13 assistem aos programas A e B; V- O número de pessoas que assistem somente aos programas B e C é igual a metade dos que assistem somente a A e B; VI- 25 só assistem 2 programas; e VII- 72 só assistem a um dos programas. Pode-se concluir que o número de pessoas que assistem: a) ao programa A é 30. c) aos 3 programas é 6. e) aos programas A ou B é 63. b) ao programa C é 39. d) aos programas A e C é 13. mx + ny = 2m + 3n onde m.n.p.q ≠ 0, 15. Dado o sistema  px + qy = 2p + 3q a) se mq – np = 0, então o sistema pode ser impossível. b) se mq – np = 0, então o sistema não é indeterminado. c) se mq – np ≠ 0, então o sistema não é determinado. d) o sistema não é impossível. e) se mq – np ≠ 0, então o sistema é impossível. 16. Sobre os lados AB e AC de um triângulo ABC tomam-se os pontos D e E, respectivamente, de modo que os triângulos ABC e ADE sejam semelhantes. Considere as 4 afirmações abaixo: AD AE = IAB AC ˆ ˆ =D ˆ e Eˆ = C II- B AD DE = IIIAB BC (IV) Se a razão entre as áreas dos triângulos ABC e ADE é 16, então a razão de semelhança é 4. Pode-se concluir que o número de afirmações corretas é a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

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COLÉGIO NAVAL - 1988 - Matemática 17. Considere as seguintes afirmações abre o trinômio y = – 497x2 + 1988x – 1987: I- Seu valor máximo é 1 II- Tem duas raízes de mesmo sinal. III- Os valores numéricos para x = -130 e x = 107 são iguais. IV- O gráfico intercepta o eixo das ordenadas em – 1987. Pode-se concluir que o número de afirmações verdadeiras é: a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 18. Um polígono regular convexo de 18 vértices A1A2A3...A18 está inscrito em uma circunferência de raio R. Traçam-se as diagonais A 1 A 7 e A 2 A 5 . A área da parte do circulo compreendida entre essas diagonais é: a)

(

R2 4π − 3 3 12

)

πR 2 3

(

c) R 2 π − 3

)

(

R2 2π − 3 3 12

)

πR 2 6

19. Considere as cordas AP = 13 e BD = 12 de uma circunferência, que se interceptam no ponto Q; e um ponto C da corda AP , tal que ABCD seja um paralelogramo. Determinado este ponto C, AC mede: a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 18 D A Q B O

20. Um subconjunto do conjunto solução da inequação

1 + 4x − x 2 > 0 é: x2 +1

a) {x ∈ R / x > 5} b) {x ∈ R / x < 2} c) {x ∈ R / x < 0} d) {x ∈ R / 0 < x < 4} e) {x ∈ R / - 1 < x < 3}

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COLÉGIO NAVAL - 1989 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 1989 - Matemática 1. Num triângulo ABC traça-se a ceviana interna AD, que o decompõe em dois triângulos semelhantes e não congruentes ABD e ACD. Conclui-se que tais condições: a) só são satisfeitas por triângulos acutângulos b) só são satisfeitas por triângulos retângulos c) só são satisfeitas por triângulos obtusângulos d) podem ser satisfeita, tanto por triângulos acutângulos quanto por triângulos retângulos e) podem ser satisfeita, tanto por triângulos retângulos quanto por triângulos obtusângulos 2

2. Os números da forma 4 k +50 + 4 k + 51 + 4 k a) 17 b) 19 c) 23 d) 29

2 + 52

+ 4k e) 31

2 + 53

são sempre múltiplos de:

3. O maior valor inteiro que verifica a inequação x.(x – 1).(x – 4) < 2.(x – 4) é: a) 1 b) negativo c) par positivo d) ímpar maior que 4

e) primo

4. Um aluno ao tentar determinar as raízes x1 e x2 da equação ax + bx + c = 0, a.b.c ≠ 0, explicitou x da seguinte 2

forma x = a) x1 e x2

− b ± b 2 − 4ac . Sabendo-se que não teve erro de contas, encontrou como resultado: 2c −1 −1 b) -x1 e -x2 d) c.x1 e c.x2 e) a.x1 e a.x2 c) x 1 e x 2

5. O número de polígonos regulares, tais que quaisquer duas de suas diagonais, que passam pelo seu centro, formam entre si ângulo expresso em graus por número inteiro, é: a) 17 b) 18 c) 21 d) 23 e) 24 6. Uma pessoa tomou um capital C emprestado a uma taxa mensal numericamente igual ao número de meses que levará para saldar o empréstimo. Tal pessoa aplica o capital C a uma taxa de 24% ao mês. Para que tenha um lucro máximo na operação, deverá fazer o empréstimo e a aplicação durante um número de meses igual a: a) 6 b) 12 c) 18 d) 24 e) 36 7. Sabe-se que a equação do 1º grau na variável x: 2mx – x + 5 = 3px – 2m + p admite as raízes 3

2+ 3 e

3 + 2 . Entre os parâmetros m e p vale a relação:

a) p2 + m2 = 25

b) p.m = 6

c) mp = 64

d) pm = 32

p 3 = m 5

8. Se o m.d.c(a; b; c) = 100 e o m.m.c(a; b; c) = 600, podemos afirmar que o número de conjuntos de três elementos distintos a, b e c é: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 9. O cubo de 12(b) é 1750(b). A base de numeração b é: a) primo c) par menor que 5 b) ímpar não primo d) par entre 5 e 17

e) par maior que 17

10. No Colégio Naval, a turma do 1º ano é distribuída em 5 salas. Num teste de Álgebra, as médias aritméticas das notas dos alunos, por sala, foram respectivamente: 5,5; 5,2; 6,3; 7,1 e 5,9. A media aritmética das notas da turma é: a) 5,9 c) 6,15 e) impossível de ser calculada com esses dados b) 6,0 d) 6,5 11. Sejam A ={x ∈ N* / x < 1200}e B = {y ∈ A / y é primo com 1200}. O número de elementos de B é: a) 270 b) 300 c) 320 d) 360 e) 420 12. O quadrilátero ABCD está inscrito num circulo de raio unitário. Os lados AB, BC e CD são, respectivamente, os lados do triângulo equilátero do quadrado e do pentágono regular inscrito, no circulo. Se x é a medida do lado AB do quadrilátero, pode-se afirmar que: a) 1,0 < x < 1,2 b) 1,2 < x < 1,4 c) 1,4 < x < 1,6 d) 1,6 < x < 1,8 e) 1,8 < x < 2,0

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COLÉGIO NAVAL - 1989 - Matemática 13. Os lados do triângulo medem: AB = 2, AC = 2 3 e BC = 4. A área da intersecção entre o circulo de centro B e raio BA , o circulo de centro C e raio CA e o triângulo ABC, é: 3π 4π 5π 5π 6π a) −2 3 b) −2 3 c) −2 3 d) −2 3 e) −2 3 2 3 4 3 5 1

14. O denominador da fração irredutível resultante da racionalização de

é:

6 50 − 5 75 − 128 − 16 48 a) 11

b) 22

c) 33

d) 44

e) 55 A

15. O raio do círculo da figura, onde a2 = bc é igual a: Dados: Centro O P ponto interior qualquer Med(PM) = Med(MB) = a AB é tangente ao círculo em A a) |a + c – b| c) |a + b – c| e) |b – c| b) |2a + c – b| d) |2a - c|

b O c P

16. Um vendedor sempre coloca os seus produtos à venda com lucro de 70% sobre o preço do custo. Se o preço de custo de um certo produto aumentou de NCr$170,00, o que corresponde a 20% do preço que tal produto era vendido, o novo preço de venda é: a) NCr$850,00 b) NCr$1.020,00 c) NCr$1.139,00 d) NCr$1.224,00 e) NCr$1.445,00 17. No quadrado ABCD de área S da figura, os pontos E e F, são médios. A área da parte hachurada é:

2S 15

S 5

4S 15

S 15

2S 5

18) No trinômio y = ax2 + bx + c, a < 0, o seu valor numérico para x = - 3 é positivo e para x = 7 é negativo. Logo, pode-se afirmar que: a) b > 0 b) b < 0 c) b = 0 ou c = 0 d) c > 0 e) c < 0 8   x .y.z = 3   4 2 19) Resolvendo o sistema  x. y .z = , tem-se que: 3   16 2  x.y. z = 27  a) 21/4 b) 35/8 c) 35/16 d) 105/16

e) 105/32

20) Numa divisão polinomial, o dividendo, o divisor, o quociente e o resto são, respectivamente, 4x3+ ax2 + 19x–8, 2x – b, 2x2 – 5x + 7 e - 1. A soma dos valores de a e b é igual a: a) – 14 b) – 13 c) – 12 d) – 11 e) – 10

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COLÉGIO NAVAL - 1990 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 1990 - Matemática 01. Considere três números naturais x, y e z, tais que x < y < z. Sabe-se que o maior é a soma dos outros dois e que o menor é um quinto do maior. Então x, y e z são, nesta ordem, diretamente proporcionais a: a) 1, 2, 3 b) 1, 4, 5 c) 1, 3, 5 d) 1, 4, 6 e) 2, 5, 6 02. O número 583ab é divisível por 9. O valor máximo da soma dos algarismos a e b, é: a) indeterminado b) 20 c) 18 d) 11 e) 2 03. Um minério A tem massa igual a 5kg e contém 72% de ferro, é um minério B de massa m, contém 58% de ferro. A mistura dessas massas contém 62% de ferro. A massa m, em kg, é: a) 10 b) 10,5 c) 12,5 d) 15,5 e) 18,5 04. O número 12 é o máximo divisor comum entre os números 360, a e b tomados dois a dois. Sabendo-se que 100 < a < 200, e que 100 < b < 200, pode-se afirmar que a + b vale: a) 204 b) 228 c) 288 d) 302 e) 372 4

05. O valor de

2 −1 − 4

a) 1

8− c) 2

8−

2 −1

é:

2 +1 d) 2 2

e) 3 2 U

06. Considere os conjuntos A, B, C e U no diagrama. A região hachurada corresponde ao conjunto: d) (A ∪ B) - [(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)] a) [A - (B ∩ C)] ∪ [ (B ∩ C) - A] b) C[(AA∪∪BB∪)C−C]

e) [(B ∩ C) - A] ∪ (A - B)

c) C[(AA∪∩( BB∪)∪C()A ∩C]

07. A representação decimal do número (2a.3b.5c)-1, sendo a, b e c números naturais, é uma dízima periódica composta. Sendo assim, pode-se afirmar que, necessariamente: a) a = 0, b ≠ 0 e c ≠ 0 c) a ≠ 0, b = 0 e c ≠ 0 e) a ≠ 0, b ≠ e c ≠ 0 b) a ≠ 0, b ≠ 0 e c = 0 d) a ≠ 0, ou c = 0 e b ≠ 0 x −3   ≥ 0 , B = {x∈R/(x - 3)(x + 5) ≥ 0} e C = {x∈R/(x - 3) ≥ 0 e (x + 5) ≥ 0}. 08. Sejam os conjuntos A =  x ∈ R / + x 5   Pode-se afirmar que: c) A ⊂ C ⊂ B d) C ⊂ A ⊂ B e) C ⊂ A = B a) A = B = C b) A ⊂ B ⊂ C 09. Os ponteiros das horas, dos minutos e dos segundos de um relógio indicam zero hora. Até as 9 horas do mesmo dia, os ponteiros dos minutos e dos segundos terão se encontrado um número de vezes igual a: a) 524 b) 531 c) 540 d) 573 e) 590 10. Considere um losango de lado L e área S . A área do quadrado inscrito no losango, em função de L e S é: 4S 2 16S 2 S2 4S 2 S2 b) c) d)  e) a) 2 L + 2S 4L2 + S L2 + S 4L2 + S L2 + 2S 11. O total de polígonos cujo número n de lados é expresso por dois algarismos iguais e que seu número d de diagonal é tal que d > 26n, é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 12. No triângulo ABC, tem-se BC = a e a altura AH = h. O lado do triângulo equilátero DEF inscrito em ABC tal que DE é paralelo a BC , é dado pela expressão: 2ah 2a 2ah c) e) a) a 3 + 2h h 3+a 2a 3 + h B ah 2a d) b) h+a 3 a 3+h

h D

C F H a

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COLÉGIO NAVAL - 1990 - Matemática

 x + 2 . x − 2 − 54 x − 4 + 6 < 0 13. Qual a solução do sistema  ? 1500 x −1 + > 80 a) x > 85 c) 20 < x < 85 e) 20 < x < 30 ou 50 < x < 85 b) 30 < x < 50 d) 20 < x < 50 ou x > 85 14. Sobre o polinômio P(x) = axb – 3 sabe-se que P(2) = 17 e P(4) = 77. O número de divisores inteiros do número N = (a + 1)3.b5 é: a) 24 b) 36 c) 48 d) 72 e) 108 15. Num triângulo retângulo, se diminuirmos cada um dos catetos de 4cm, a área diminuirá de 506cm2. A soma dos catetos em cm, vale: a) 182 b) 248 c) 250 d) 257 e) 260  1 + 2 + 3 + ... + 50  16. Qual o valor da expressão    5 + 10 + 15 + ... + 250 

a) 1

17. Simplificando a expressão

5 5

−

1 2

5 5

−1

. 3 2 1,25  ?  

)

− b 2 − c 2 − 2bc (a + b − c) , para os valores de a, b e c que não anulam o deno(a + b + c) a 2 + c 2 − 2ac − b 2 2

minador, obtém-se: a) 1 b) 2 c) 3

(

)

d) a + b + c

e) a – b + c

18. O triângulo ABC da figura tem área S. A área da região hachurada é, em função de S: Dados: AB = BC = 2 AC D

BH é a altura AD é a bissetriz do ângulo Â a)

25 15

5 10

5 18

75 30

5 21

C H

19. De um ponto fora de um circulo de 60cm de raio traçam-se duas tangentes. Os pontos de tangência determinam na circunferência um arco de 10πcm. O ângulo formado pelas duas tangentes vale: a) 30º b) 120º c) 145º d) 150º e) 330º 20. As raízes da equação ax2 + bx + c = 0 são iguais a m e n. Assinale a equação cujas raízes são m3 e n3. d) a3x2 + b(b2 – 3ac)x – c3 = 0 a) a3x2 – b(3ac + b2)x + c3 = 0 b) ax2 – b(3ac - b2)x + c = 0 e) a3x2 + b(b2 – 3ac)x + c3 = 0 2 2 c) ax + b(b – 3ac)x + c = 0 21. Para que o trinômio y = ax2 + bx + c admita um valor máximo e tenha raízes de sinais contrários, deve-se ter: a) a < 0, c > 0 e b qualquer d) a > 0, c < 0 e b = 0 b) a < 0, c < 0 e b = 0 e) a < 0, c < 0 e b qualquer c) a > 0, c < 0 e b qualquer 22. O lado do hexágono equilátero inscrito numa semicircunferência do circulo de raio r e centro O, onde uma de suas bases está sobre o diâmetro, é: a)

r 2

r 2 2

r 3 2

d) r

3r 2 O

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COLÉGIO NAVAL - 1990 - Matemática 23. Na figura abaixo, AB e AC são, respectivamente, os lados do quadrado e do octógono regular inscritos no círculo de centro O e raio r. A área hachurada é dada por: a) b) c) d) e)

r2 2 r2 8 r2 8 r2 8 r2 8

(π + 4 - 2 2 )

(π + 4 + 2 2 ) (4 - π +

(4 + 2 2 - π) (π - 4 + 2 2 )

24. Considere as sentenças abaixo. 3

I - 4 8 = 21024 II - 4 64 = 6 512 < 3 128 Pode-se concluir que: a) todas são verdadeiras. b) (III) é a única falsa. c) somente (I) e (II) são verdadeiras.

III -

25 +

56 = 9

IV -

A 4 + B 4 = A2 + B2

d) (IV) é a única falsa. e) existe somente uma sentença verdadeira.

25. A divisão do polinômio P(x) = x4 + x2 + 1 pelo polinômio D(x) = 2x2 – 3x + 1 apresenta quociente Q(x) e resto R(x). Assinale a alternativa falsa. a) R(1) = 3 b) R(x) > 0 para x >

d) A média geométrica dos zeros de Q(x) é 1 9

e) O valor mínimo de Q(x) é

c) o menor valor de Q(x) ocorre para x =

22 4

35 32

3 4

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COLÉGIO NAVAL - 1991 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 1991 - Matemática 01. Considere a seguinte questão já resolvida por um aluno: Numere a segunda coluna de acordo com a 1ª 1ª COLUNA ( 1 ) A soma dos quadrados de três e cinco. ( 2 ) Menos três ao quadrado. ( 3 ) O quadrado da soma de três é cinco. ( 4 ) O quadrado do oposto de três. ( 5 ) O oposto de sete menos cinco. ( 6 ) O oposto da diferença entre sete e cinco. ( 7 ) A diferença entre o quadrado e o triplo de um número. ( 8 ) O quadrado de um número menos três, vezes o mesmo número. Logo, o número de acertos do aluno é: a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

2ª COLUNA

( 2 ) (-3)2 ( 5 ) -(7 - 5) ( 1 ) (3 + 5)2 ( 8 ) x2 - 3x

1 1 02. A área hachurada na figura abaixo onde ABCD é um quadrado de área S, AF = AB e AE = AB é igual a: 2 3 A

S 12

S 14

S 18

11S 70

31S 420

03. Sobre uma circunferência, marcam-se os n pontos A1, A2, A3, ..., An de tal maneira que os segmentos A1A2, A2A3, ..., An - 1An e AnA1 têm medidas iguais a da corda do arco de 157º30’ dessa mesma circunferência. Logo o número n é: a) primo b) múltiplo de 3 c) múltiplo de 6 d) potência de 2 e) múltiplo de 5 04. Sejam U o conjunto das brasileiras, A o conjunto das cariocas, B o conjunto das morenas e C o conjunto das mulheres de olhos azuis. O diagrama que representa o conjunto de mulheres morenas ou de olhos azuis, e não cariocas; ou mulheres cariocas e não morenas e nem de olhos azuis é: a) c) e) U

d) B

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COLÉGIO NAVAL - 1991 - Matemática 05. Um cofre é equipado com sistema automático que o destranca por um minuto e volta a trancá-lo se não for aberto. Tal sistema tem dois dispositivos independentes: um que dispara de 46 minutos em 46 minutos, após ser ligado o sistema, e o outro de 34 minutos em 34 minutos. Sabendo-se que o cofre pode ser aberto tanto por um, quanto pelo outro dispositivo, e que um não anula o outro, quantas vezes por dia, pode-se dispor do cofre para abertura, sendo o sistema ligado a zero hora? a) 74 b) 73 c) 72 d) 71 e) 70 06. Um livro de 200 páginas vai ser reenumerado no sistema de numeração de base 8. O número na base 10 de algarismos que serão utilizados é: a) 520 b) 525 c) 530 d) 535 e) 540 07. Para a construção com a régua e compasso do número r , r primo, um aluno determinou a altura relativa a hipotenusa de um triângulo retângulo, cujas proteções dos catetos sobre a hipotenusa são números. a) primos d) múltiplo de r b) cujo quociente pode ser r - 1 e) cuja soma é r c) cuja diferença é r - 1 8 9 e b= é um número N tal que: 17 17 c) 10-3 < N < 10-2 d) 10-2 < N < 10-1 e) 10-1 < N < 1

08. O valor numérico da expressão a4 - 2a2b2 + b4 para a = a) N < 0

b) 10-4 < N < 10-3

09. Num quadrilátero inscritível, um de seus ângulos é a sexta parte do seu ângulo oposto. Escrito em graus, minutos e segundos, o número da parte inteira de segundos, do referido ângulo, é: a) 50 b) 51 c) 52 d) 53 e) 54 10. O número de solução inteira da equação 4x5 + 11x3 -3x = 0 é: a) 5 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 11. Para se explicitar x na equação ax2+bx+c=0, a ≠ 0, usa-se o recurso da complementação de quadrados. Usandose o recurso da complementação de cubos um aluno determinou uma raiz real da equação x3-6x2+12x-29=0. Pode-se afirmar que: a) 0 < r < 1 b) 1 < r < 2 c) 2 < r < 3 d) 3 < r < 4 e) 4 < r < 5

x2 −1 x −1 x +1 − =− em Q, é: 2x + 2 2 2 Observação: Q – Conjunto dos números racionais a) 0 b) {-1} c) Q d) {-1; 1} e) {1}

12. O conjunto-verdade da equação

13. Seja M um conjunto cujos elementos são números naturais compostos por três algarismos distintos e primos absolutos. Sabe-se que o inverso de cada um deles é a dízima periódica simples e que, invertendo-se a posição dos algarismos das centenas com os das unidades, em todos eles, os respectivos inversos são dízimas periódicas compostas. O número de subconjuntos de M é: a) 16 b) 256 c) 1024 d) 2048 e) maior que 3000 14. O produto de todos os divisores inteiros de 144 é: a) -230 x 315 b) 230 x 315 c) -260 x 330

d) 260 x 330

e) -630

15. S é a área do segmento circular do ângulo de 40º de um círculo de raio 6. Logo, pode-se afirmar que: a) 0,4 < S < 1,5 b) 1,5 < S < 2,4 c) 2,4 < S < 3,5 d) 3,5 < S < 4,4 e) 4,4 < S < 5,0 16. Se r é a menor raiz da equação x 2 . x 4 = x 6 , então a) r < -1 b) -1 < r < 0 c) r = 0 d) 0 < r < 1

e) r > 1

17. Um sistema de três equações do 1º grau com duas incógnitas é determinado. Logo um sistema formado por apenas duas dessas equações a) é determinado. d) pode ser impossível ou determinado. b) é indeterminado. e) pode ser indeterminado ou determinado. c) é impossível.

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COLÉGIO NAVAL - 1991 - Matemática 18. Se a equação x4 - 4(m + 2)x2 + m2 = 0 admite quatro raízes reais, então a) o maior valor inteiro de m é -3. b) a soma dos três menores valores inteiros de m é zero. c) a soma dos três maiores valores inteiros de m é -12. d) só existem valores inteiros e positivos para m. e) só existem valores negativos para m. 19. Num triângulo ABC as medidas dos lados AB, AC e BC, são respectivamente iguais a 4, 6 e 8. Da extremidade D da bissetriz AD traça-se o segmento DE, E pertencente ao lado AB, de tal forma que o triângulo BDE é semelhante ao triângulo ABC. A medida do segmento BE é igual a: a) 2,56 b) 1,64 c) 1,32 d) 1,28 e) 1 20. A eleição para o diretor de um colégio é feita por voto de qualidade dos votos válidos. Os votos dos professores valem 50%, os votos dos alunos 45% e os votos dos funcionários 5%. Apurados os votos válidos, obteve-se a seguinte tabela: Votaram em A Votaram em B ALUNOS 600 480 PROFESSORES 15 180 FUNCIONÁRIOS 240 40 Sabendo-se que o resultado é homologado se, e somente se, o vencedor tiver 10% mais que o oponente, pode-se concluir que: a) não houve vencedor. b) o candidato A venceu por uma margem aproximada de 20%dos votos válidos. c) o candidato A venceu por uma margem aproximada de 30%dos votos válidos. d) o candidato B venceu por uma margem aproximada de 20%dos votos válidos. e) o candidato B venceu por uma margem aproximada de 30%dos votos válidos.

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COLÉGIO NAVAL - 1992 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 1992 - Matemática 01. Considere a seguinte subtração, onde x, b e z são algarismos: 6 8 4 x - x 6 8 4 b x b z Logo, x + y + z é igual a: a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 02. Uma fábrica de fósforo usa as seguintes definições: Caixa : conjunto de 45 fósforos Maço : conjunto com 10 caixas Pacote : conjunto com 12 maços Dividindo-se 13 pacotes, 5 maços, 8 caixas e 22 fósforos por 8, obtém-se um número p de pacotes, m de maços, c de caixas e f de fósforos, tais que p + m + c + f é igual a: a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29 03. Considere os diagramas onde A, B, C e U são conjuntos. A região hachurada pode ser representada por: a) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) - (B ∩ C) d) (A ∪ B) - (A ∪ C) ∩ (B ∩ C) b) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) - (B ∪ C) e) (A - B) ∩ (A - C) ∩ (B - C) c) (A ∪ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

04. Considere as afirmativas: I - O número 1147 não é primo. II - Todo o número da forma abba, onde a e b são algarismos, é divisível por 11. III - Todo número múltiplo de 5 e 15 é múltiplo de 75 IV - O número de divisores naturais de 576 é divisor de 63 O número de afirmativas verdadeiras é a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 05. A expressão a) −

14 3

(0,5)−2 ⋅ 2 0,333... ⋅ 3 16 (0,125)−3 b) −

16 3

c) -6

escrita como potência de base 2, tem como expoente:

d) −

22 3

e) -8

06. O conjunto P é formado pro três elementos respectivamente proporcionais a 2, 3 e 7. Sabendo que o menor mais o triplo do maior menos o dobro do outro é igual a 34, a soma destes três elementos é igual a: a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 07. Uma aplicação do mercado financeiro que rende 0,3% ao dia, exige um mínimo de R$50000,00 para ser efetuada. Uma pessoa que dispõe de R$45000,00, toma R$5000,00 a taxa de 1% ao dia, para fazer tal aplicação. Durante quantos dias, no mínimo, deverá aplicar para pagar o empréstimo e continuar aplicando? Observação : Considerar os juros simples a) 40 b) 43 c) 45 d) 47 e) 50 08. O conjunto solução da equação x - x + 4 = 2, é: a) Unitário de elemento par. c) Unitário de elemento ímpar não primo. b) Unitário de elemento ímpar e primo. d) Binário.

e) Vazio.

xy 2 − x 2 = 8x 09. A soma dos valores de y que pertencem ao conjunto solução do sistema  é: y + 2x = 5 1 13 23 9 b) c) d) a) − e) Infinita 2 2 2 2 10. O resultado mais simples para a expressão a) 2 3

b) 44 3

c) 4

(

d) 2 7

48 + 7

)

(

48 − 7

)

é:

4 3 +7 + 4 3 −7

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COLÉGIO NAVAL - 1992 - Matemática 1 x−2 11. O conjunto verdade da inequação 2 é: ≤ 2 x − x x − 3x + 2 c) {x∈ R / 0 < x < 1} a) {x∈ R / x < 0 ou x > 1} * b) {x∈ R / x ≠ 1 e x ≠ 2} d) {x∈ R / x > 2}

e) { x > 0, x ≠ 1 e x ≠ 2}

12. Sendo m e n as raízes da equação x2 - 10x + 1 = 0, o valor da expressão a) 970

b) 950

c) 920

d) 900

1 m

1 n3

é:

e) 870

13. Um aluno encontrou zero para o valor numérico da expressão x2 + y2 - 2x + 5 + 4y. Pode-se concluir que os valores pelos quais substituiu as variáveis x e y são tais que sua soma é: a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 14. Um polígono regular admite para medida de suas diagonais apenas os números n1, n2, n3, ..., n27 tais que n1 < n2 < n3 <... < n27. Logo este polígono a) Tem 30 lados d) Pode ter 58 lados b) Pode ter 54 lados e) Tem um número de lados maior que 60 c) Pode ter 57 lados 15. Sejam r1, r2 e d, respectivamente, os raios e a distância entre os centros de duas circunferências exteriores C1 e C2. Se d = x2 + 4, r1 = 2x - 3 e r2 = x + 2, logo o conjunto de todos os valores de x é : 3 3 c) R d) {x ∈ / x > -2} e) {x ∈ / -2 < x < } a) 0 b) {x ∈ / x > } 2 2 16. Sejam os triângulos ABC e A’B’C’ onde os lados AB e AC são, respectivamente, congruentes aos lados A’B’ e A’C’. Sabendo que os ângulos internos B e B’ possuem a mesma medida, considere as seguintes afirmativas: I- Os triângulos ABC e A’B’C’ possuem o mesmo perímetro. II- Os triângulos ABC e A’B’C’ possuem a mesma área. III- Os ângulos C e C’podem ser suplementares. Logo pode-se afirmar que: a) Apenas I é verdadeira c) Apenas III é verdadeira e) I, II e III são verdadeiras b) Apenas II é verdadeira d) Apenas I e II são verdadeiras 4,32456m

17. Qual a área do terreno da figura abaixo? a) 5,19296m2 b) 5,28386m2 c) 5,29176m2 d) 5,31233m2 e) 5,38756m2

4,32456m 3,67544m 3,67544m

18. O perímetro do heptágono regular convexo inscrito num círculo de raio 2,5, é um número x ∈ R tal que a) 14 < x < 15 b) 15 < x < 16 c) 16 < x < 17 d) 17 < x < 18 e) 18 < x < 19 19. Considere a figura, onde x e y são medidas de arcos e z é a medida de ângulo assinalado. Pode-se afirmar que x + y + z é igual a: a) 255º y b) 265º c) 275º d) 285º e) 295º

50º

20º

z 30º x

20. Num triângulo retângulo ABC de catetos AB = 8 e AC = 6, a mediana AM intercepta a bissetriz BD no ponto E. A área do triângulo BME é expressa pelo número real x, tal que b) 4,0 ≤ x ≤ 4,5 c) 4,5 ≤ x ≤ 5,0 d) 5,0 ≤ x ≤ 5,5 e) 5,0 ≤ x ≤ 6,5 a) 3,5 ≤ x ≤ 4,0 46

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COLÉGIO NAVAL - 1993 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 1993 - Matemática 01. Sendo x o lado do quadrado inscrito em um hexágono regular convexo de lado 12, tem-se que: a) 12,5 < x < 13 b) 13 < x < 13,5 c) 13,5 < x < 14 d) 14 < x < 14,5 e) 14,5 < x < 15 02. Considere o gráfico do trinômio y = ax2 + bx + c = 0, onde ∆ = b2 - 4ac, e as seguintes afirmativas: y

y1 x

x2 x1

−b− ∆ −b+ ∆ −b −∆ III- y2 = e x3 = II- x2 = IV- y1 = c 2a 2a 2a 4a Quantas são as afirmativas verdadeiras? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 03. A que taxa de juros simples, em porcento, ao ano deve-se emprestar um certo capital, para que no fim de 6 anos e 8 meses, duplique de valor? a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 20

I- x1 =

04. Se o número ”x” é a terceira proporcional entre os números a e b, então os segmentos de medidas respectivamente iguais a a, x e b podem ser num triângulo retângulo, respectivamente a) a hipotenusa, um cateto e a projeção deste cateto sobre a hipotenusa. b) a hipotenusa, um cateto e o outro cateto. c) a hipotenusa, uma projeção e a outra projeção dos catetos sobre a hipotenusa. d) uma projeção, a outra projeção dos catetos sobre a hipotenusa e a altura. e) um cateto, o outro cateto e a altura relativa à hipotenusa. 05. Em um navio existem 6 barcos e 15 guarnições. Cada barco tem uma guarnição de serviço por dia. Quantos dias, no mínimo, serão necessários para que todas as guarnições tenham ficado de serviço o mesmo número de vezes? A a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 15 06. O triângulo ADE da figura é equivalente ao quadrilátero BCDE. Se AE =

2 AB , 3

___

então AD é qual fração de AC ?

E D

2 a) 3

3 b) 4

1 c) 2

4 d) 5

5 e) 8

07. Um aluno escreveu o ângulo formado pelas mediatrizes de dois lados adjacentes de um polígono regular convexo de treze lados, em graus, minutos e segundos. Sendo estes últimos com uma parte inteira e outra fracionária. Assim sendo, pode-se afirmar que o número inteiro de segundos é: a) 26 b) 28 c) 30 d) 32 e) 34

08. O número 4

2 +1

é igual a:

2 2 +3

2+2

2 −1

2− 2

e) 1 − 2

09. O resto da divisão do número 743 por 6, é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

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COLÉGIO NAVAL - 1993 - Matemática 10. Um tanque tem duas torneiras para enchê-lo. A primeira tem uma vazão de 6 litros por minuto e a segunda de 4 litros por minuto. Se metade do tanque é enchido pela 1ª torneira num certo tempo t1, e o restante pela segunda em um certo tempo t2, qual deveria ser a vazão, em litros, por minuto de uma única torneira para encher completamente o tanque no tempo t1 + t2? a) 4,5 b) 4,8 c) 5,0 d) 5,2 e) 5,8 11. A razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro é um número a) que varia em função do raio da circunferência. b) constante e inteiro. c) constante e tem notação decimal finita. d) constante e tem notação decimal infinita periódica. e) constante e tem notação decimal infinita e não periódica. kx − 6 y = 5k − 3p é indeterminado? 12. Para que valores de k e p o sistema  (k − 4) x + 2 y = 4k + 3 a) k = 20 e p = 3 b) k = 10 e p = 6 c) k = 10 e p = 3 d) k = 3 e p = 20

e) k = 3 e p = 10

1 do seu volume . Quantos litros de água obtém-se quando 15 se descongela um bloco de gelo de 0,50m de comprimento, 0,30m de largura e 0,40m de altura? a) 56 b) 56,25 c) 56,5 d) 60 e) 64

13. Considere que, ao congelar-se, a água aumenta de

14. Considere a equação do primeiro grau em “x”: m2x + 3 = m + 9x. Pode-se afirmar que a equação tem conjunto verdade unitário se: a) m = 3 b) m = -3 c) m ≠ -3 d) m ≠ 3 e) m ≠ 3 e m ≠ -3 15. A soma das raízes da equação de raízes reais mx4 + nx2 + p = 0, m ≠ 0 é: p p n 2n a) 0 b) − e) − c) − d) m m m m 16. Num certo país, o governo resolveu substituir todos os impostos por um imposto único, que seria, no caso dos salários, de 20% sobre os mesmos. Para que um trabalhador receba, após o desconto, o mesmo salário que recebia antes, deverá ter um aumento sobre o mesmo de: a) 15% b) 20% c) 25% d) 40% e) 50% 17. Os raios de dois círculos medem 15m e 20m e a distância dos seus centros tem 35m. O segmento da tangente comum, compreendido entre os pontos de contato , mede em metros: a) 5 3

b) 10 3

c) 12 3

 4x − 9  7 < x − 3 18. Se  , então:  3x + 10 > 2 x − 5  4 a) x < 4 b) 4 < x < 6 c) 5 < x < 6 19. Efetuando-se a)

x 2+y

d) 15 3

e) 20 3

d) 6 < x < 7

x 4 − 4x + x 2 2 − x , encontra-se + 2 : 2 + y y + 4y + 4 2 + y x+2 2 2x c) b) d) y+2 y+2 y+2

e) x > 7

2−x y+2

20. A área esquematizada abaixo representa um pátio para estacionamento de veículos. Reservando-se um espaço retangular mínimo de 2 veículos. Reservando-se um espaço retangular mínimo de 2 metros por 3 metros para cada um, quantos veículos no máximo pode-se ali estacionar? a) 1150 b) 1155 c) 1160 d) 1166 e) 1170

100m

70m

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COLÉGIO NAVAL - 1994 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 1994 - Matemática 01. Um retângulo é obtido unindo-se os pontos médios dos lados de um trapézio retângulo ABCD de bases AB = 32 e CD = 8. A altura BC é igual a: a) 8 b) 10 c) 12 d) 16 e) 20 02. O trinômio y = x2 - 14x + k, onde k é uma constante real positiva, tem duas raízes reais distintas. A maior dessas raízes pode ser: a) 4 b) 6 c) 1 d) 14 e) 17 03. Seja P o produto de 3 números positivos. Se aumentarmos dois deles de 20% e diminuirmos o outro de 40%, teremos que P: a) não se altera c) aumenta de 10% e) diminui de 13,6% b) aumenta de 13,6% d) diminui de 10% 04. Sabendo-se que a seguinte identidade

a⋅x + b⋅y a b = + é verdadeira para quaisquer número reais a, b, x ≠ 0 x. ⋅ y y x

13 13 13 13 + + + ⋅⋅⋅ + é igual a : 2⋅ 4 4⋅6 6⋅8 50 ⋅ 52 25 25 25 25 b) c) d) e) 12 8 4 2

e y ≠ 0, o valor de

25 16

05. A que distância do vértice de um triângulo eqüilátero de lado igual 6cm deve-se traçar uma reta paralela à base, de forma que o quadrilátero assim obtido seja circunscritível? a)

3 cm

b) 2 3 cm

c) 3 3 cm

d) 4 3 cm

e) 5 3 cm

06. Um triângulo de vértices A, B e C, retângulo em A, os catetos AB e AC medem respectivamente 6 3 cm e 6cm. Traça-se o segmento AN , com M pertencente e interno ao segmento BC . Sabendo-se que ângulo ∠MAC mede 15º, a razão entre as áreas dos triângulos AMC e ABC é: a) b)

3 +1 2 3 −1 2

2+ 3 2 2− 3 d) 2 c)

e) impossível de se determinar com apenas esses dados

07. Sobre o conjunto solução em R da equação

(2x + 1)2

= x - 3, podemos afirmar que:

a) é unitário cujo elemento é positivo b) possui dois elementos em que é racional e outro irracional c) é vazio d) é unitário cujo elemento é negativo e) possui dois elementos irracionais 08. Um capital C foi aplicado a uma taxa mensal numericamente igual ao capital. Quantos meses são necessários para que os juros simples sejam iguais ao quadrado do capital? a) 20 b) 50 c) 100 d) 200 e) 400 09. Analise as afirmativas abaixo: I- se x2 - 4x > x, então x > 5.

x − 3 = x + 1 , então x só pode ser igual a 1.

III- se

x − 36 = x + 6 para todo x real . x−6 2

II- se x2 - 1 > 0, então x > 1.

IV-

Assinale a alternativa correta: a) Todas as afirmativas são corretas. b) Apenas as afirmativas I, II e III são corretas. c) Apenas as afirmativas III e IV são corretas. d) Somente a afirmativa I é correta. e) Nenhuma das afirmativas é correta .

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COLÉGIO NAVAL - 1994 - Matemática 10. Um polígono regular convexo tem seu número de diagonais expresso por n2 - 10n + 8, onde n é o seu número de lados . O seu ângulo interno x é tal que: a) x < 120º b) 120º < x < 130º c) 130º < x < 140º d) 140º < x < 150º e) x > 150º

144a + 12b + c = 0 11. Os números a, b e c são inteiros não nulos , tais que  , logo 256a + 16b + c = 0 a) 151 b) 152 c) 153 d) 154 e) 155 12. Resolvendo-se a expressão

a) 1

b) 2

c) 3

8 0,666... + 4

−2 −1

d) 4

 1     49  e) 5

+ 9 0,5

b 2 − 4ac pode ser

, encontra-se

___

13. Na figura abaixo, PA é uma secante ao círculo, PT é uma tangente ao círculo

___

____

___

____

___

____

___

____

___

14. Sejam M =

____

___

e BC é uma corda do círculo. Qual das relações abaixo sempre será válida?

D P

___

x⋅y , onde x e y são reais positivos, logo M é: x+y

a) o quociente entre a média geométrica e a média aritmética de x e y. b) a metade do quociente entra média geométrica e a média aritmética de x e y c) a média aritmética dos inventos de x e y. d) a média harmônica de x e y. e) a metade da média harmônica de x e y. 15. Calcule a soma dos cubos das raízes da equação x2 + x - 1 = 0. a) 1 b) -4 c) -3 d) -8 e) -6 16. A fração a) 53

312 a é equivalente à fração irredutível , logo a + b é igual a 455 b b) 55 c) 57 d) 59 e) 61

17. A equação x4 - 8x2 + k2 - 5 = 0, onde k é um número inteiro, tem 4 raízes reais. A soma dos valores absolutos de k é: a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 18. Num concurso, cada candidato fez uma prova de Português e uma de Matemática. Para ser aprovado, o aluno tem que passar nas duas provas. Sabe-se que o número de candidatos que passaram em Português é o quádruplo do número de aprovados no concurso: dos que passaram em Matemática é o triplo do número de candidatos aprovados no concurso: dos que não passaram nas duas provas é a metade do número de aprovados no concurso: e dos que fizeram o concurso é 260. Quantos candidatos foram reprovados no concurso? a) 140 b) 160 c) 180 d) 200 e) 220 19. Qual deverá ser o menor número inteiro que somado a cada um dos números 6, 8 e 14, obtém-se as medidas dos lados de um triângulo em que o ortocentro está no seu interior? a) 9 b) 10 c) 1 d) 12 e) 13 9

20. O quociente entre a maior e a menor raiz da equação a) 227

b) 232

c) 236

d) 245

x 8 17 = é: x 4

e) 254

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COLÉGIO NAVAL - 1995 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 1995 - Matemática 01. Sejam os triângulos ABC e MPQ, tais que: I- MPQ = ACD = 90º II- PQM = 70º Se PQ = x e BC = y,então AB é igual a: a) x + y

x 2 + y2

IV- AC = MP

III- BAC = 50º

2 xy

(x + y )2

2 xy x+y

e) 2x + y

02. No triângulo ABC, retângulo em A, da figura, AB = c, AC = b, AM = 2 e AH e a altura relativa ao lado BC. Qual é a área do triângulo AHM? a)

bc 2 b + c2

b 2c2 b2 + c2

bc 2 b2 + c2

b 2c 2

b2 + c2

bc b2 + c2

03. O quociente da divisão de (a + b + c+ )3 - a3 - b3 - c3 por (a + b)[c2 + c(a + b) + ab] é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 04. Considere a equação do 2º grau em x tal que ax2 + bx + c = 0 , onde a, b e c são números reais com “a” diferente de zero. Sabendo que 2 e 3 são as raízes dessa equação, podemos afirmar que: a) 13a + 5b + 2c = 0 b) 9a + 3b - c = 0 c) 4a - 2b = 0 d) 5a - b = 0 e) 36a + 6b + c = 0 05. Sejam ABCDEFGHIJKL os vértices consecutivos de um dodecágono regular num círculo de raio metro do triângulo de vértices AEH é igual a:

[ b) 3[1 +

] 3]

[ d) 3[2 +

a) 3 3 + 2 + 3 2+

] 3]

[

e) 3 1 − 2 + 2 3

c) 3 1 + 2 2 + 3 2 +3

06. Sabendo-se que a velocidade para rebobinar uma fita de vídeo é

6 . O perí-

]

52 da normal, qual o tempo gasto para rebo3

binar uma fita de um filme de 156 minutos? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 07. Considere as afirmativas sobre o triângulo ABC: I- Os vértices B e C são eqüidistantes da mediana AM. M é o ponto médio do segmento BC; II- A distância do baricentro G ao vértice B é o dobro da distância de G ao ponto N, médio do segmento AC; III- O incentro I é eqüidistante dos lados do triângulo ABC; A IV- O circuncentro S é eqüidistante dos vértices A, B e C. T x O número de afirmativas verdadeiras é: a a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 D c

08. Na figura, AT é tangente ao círculo, TC e BD são as cordas que interceptam no ponto E. Sabe-se que existe a relação c2 + d2 + 2ab + 4c2 = 4(c + d)2. O valor de x é: c+d c+d 2c + d c + 2d 3c + 4d a) b) c) d) e) 2 3 4 8 6 09. Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A, o ponto O é o centro do semi-círculo de raio r, tangente aos lados AB e AC. Sabendo-se que OB = r 3 , a área do triângulo ABC é dada por:

(

)

(

)

r2 2 2+4 3 r2 2 3+4 b) 4

(

)

(

)

r2 3 2+2 4 r2 d) 3 2+4 4 c)

(

r2 4 3+4 3

E b

d B

) B

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COLÉGIO NAVAL - 1995 - Matemática 10. Num depósito estão guardadas 300 folhas de compensado de espessura 5,0mm e 1,5cm, respectivamente, formando uma pilha com 2,35m de altura. Qual é a soma dos algarismos do número que expressa a quantidade de folhas 5,0mm? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 11. Quantos valores do k ∈ Z existem, tais que, a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

113.k + 7 é um número inteiro? k +1

e) 8

12. Um comerciante aumentou o preço de uma mercadoria em 25%. Contudo a procura por essa mercadoria continuou grande. Então ele fez um novo aumento de 10%. Como o preço ficou muito alto, a mercadoria encalhou e, além disso, o prazo de validade estava vencendo. Finalmente fez um desconto para que o preço voltasse no valor inicial. Esse último desconto: a) foi de 35% c) ficou entre 27% e 28% e) ficou entre 22% e 25% b) ficou entre 30% e 35% d) foi de 25% 13. Sejam C1 e C2 dois círculos ortogonais de raios R1 e R2. A distância entre os centros é π. A soma das áreas dos círculos é igual a: a)

3π 2 2

π2 4

c) π2

d) π3

5π 2 4

14. Dadas as operações x * y = x + y, x # y = x - y e x ∆ y = xy; o valor da expressão: [2 * (8 # 12)] *{[(3 * 2) # 5] ∆ [10 * (2 # (4 ∆ 2)]} b) ) é igual a -1 c) é igual a -2 d) é igual a -3 e) é igual a -4

a) não é real

15. Dadas as afirmativas a seguir: 1- x5 - 1 ≡ (x2 - 1)(x + 1)(x - 1)    1− 5 1+ 5 2- x 5 − 1 ≡ (x − 1) x 2 + x + 1 x 2 + x + 1     2 2    5 4 3 2 3- x - 1 ≡ (x - 1)(x + x + x + x + 1) 4- x5 - 1 ≡ (x3 + 1)(x2 - 1) 5- x5 - 1 ≡ (x - 1)(x + 1)(x - 1)(x + 1)(x - 1) Quantas são verdadeiras? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

16. Se k abelhas, trabalhando k meses do ano, durante k dias do mês e durante k horas por dia, produzem k litros de mel; então o número de litros de mel produzidos por w abelhas, trabalhando w horas por dia, em w dias e em w meses do ano será: a)

K3 W2

W5 K3

K4 W3

W3 K3

W4 K3

17. Os raios das rodas dos carros A, B e C, inscritos em uma corrida, são respectivamente iguais a x, 2x e 3x. Quantos quilômetros, respectivamente, percorrerão os três carros, se desenvolverem uma velocidade de 80km/h durante 4 horas? a) 320, 640 e 960 b) 240, 6,4 e 960 c) 320, 160 e 80 d) 320, 320 e 320 e) 640, 320 e 100 18. Sabendo-se que o resultado de 12 x 11 x 10 x ... x 3 x 2 x 1 + 14 é divisível por 13, qual o resto da divisão do número 13 x 12 x ... x 3 x 2 x 1 por 169? a) 143 b) 149 c) 153 d) 156 e) 162 1937 podemos afirmar que é: 8192 a) uma dízima periódica simples b) uma dízima periódica composta c) um decimal exato com 12 casas decimais

19. Sobre o número

d) um decimal exato com 13 casas decimais e) um decimal exato com 14 casas decimais

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COLÉGIO NAVAL - 1995 - Matemática A   B B 20. Sejam A, B, C e D números naturais maiores que 1. Para que a igualdade C = , seja verdadeira, é neA C C   D cessário que:

a) A 2 =

B3C D

b) B2C = AD

c) A4 = B4C4

A2 B = D2 C

e) B3 = C2

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COLÉGIO NAVAL - 1996 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 1996 - Matemática 01. Três pessoas resolveram percorrer um trajeto da seguinte maneira: a primeira andaria a metade do percurso mais 1km, a segunda a metade do que falta mais 2km e finalmente a terceira que andaria a metade do que resta mais 3km. O número de quilômetros desse trajeto é: a) menor que 20 c) Maior que 24 e menor que 30 e) Maior que 34 b) Maior que 19 e menor que 25 d) Maior que 29 e menor que 35 02. Numa cidade, 28% das pessoas tem cabelos pretos e 24% possuem olhos azuis. Sabendo que 64% da população têm cabelos pretos e olhos castanhos e que a população que tem cabelos pretos é 10% do total de pessoas de olhos castanhos e cabelos preto, qual a porcentagem, do total de pessoas de olhos azuis, que tem os cabelos pretos? Obs.: Nesta cidade só existem pessoas de olhos azuis, verdes ou castanhos. a) 30,25% b) 31,25% c) 32,25% d) 33,25% e) 34,25% 03. Os números naturais M e N são formados por dois algarismos não nulos. Se os algarismos de M são os mesmos algarismos de N, na ordem inversa, então M + N é necessariamente múltiplo de: a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 1 04. Uma pessoa comprou uma geladeira para pagamento à vista, obtendo um desconto de 10%. Como a balconista não aceitou o seu cheque, ele pagou com 119565 moedas de um centavo. O preço da geladeira sem desconto é: a) R$1284,20 b) R$1284,50 c) R$1328,25 d) R$1328,50 e) R$1385,25 05. Foram usados os números naturais de 26 até 575 inclusive para numerar as casas de uma rua. Convencionou-se colocar uma lixeira na casa que tivesse 7 no seu número. Foram compradas 55 lixeiras, assim sendo, podemos afirmar que: a) O número de lixeiras compradas foi igual ao número de lixeiras necessárias b) Sobraram duas lixeiras c) O número de lixeiras compradas deveria ser 100 d) Deveriam ser compradas mais 51 lixeiras e) Ficaram faltando 6 lixeiras 06. Um aluno declarou o seguinte, a respeito de um polígono convexo P de n lados: “Partindo da premissa de que eu posso traçar (n - 3) diagonais de cada vértice de P, então, em primeiro lugar, o total de diagonais de P é dado por n(n - 3); e, em segundo lugar, a soma dos ângulos internos de P é dada por (n - 3).180º . Logo o aluno: a) Errou na premissa e nas conclusões b) Acertou na premissa e na primeira conclusão, mas errou na segunda conclusão. c) Acertou na premissa e na segunda conclusão, mas errou na primeira conclusão. d) Acertou na premissa e nas conclusões. e) Acertou na premissa e errou nas conclusões. 07. A solução da equação

x +1 − x =

1 4 x

é:

a) Uma dízima periódica b) Um nº natural, quadrado perfeito c) Um nº racional cujo inverso tem 4 divisores positivos

d) Um nº irracional e) Inexistente

08. As quatro circunferências da figura abaixo têm raios r = 0,5. O comprimento da linha que as envolve é aproximadamente igual a: A a) 6,96 b) 7,96 c) 8,96 d) 9,96 e) 10,96 09. Considere a figura abaixo, o triângulo ABC de lados AB = 8, AC = 10 e BC = 12 e seja H o seu ortocentro. As retas que passam por A e H, B e H, C e H intersectam o círculo circunscrito ao triângulo nos pontos F, E e D, respectivamente. A área do hexágono de vértices A, D, B, F, C e E é igual a: a) 30 7

b) 18 7

c) 80

d) 70

e) 65

H C

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COLÉGIO NAVAL - 1996 - Matemática 10. O número de troncos de árvore de 3m3 de volume cada, que foram necessários derrubar para fazer os palitos de fósforos, que estão em 1200 containeres, cada um com 12000 pacotes com 10 caixas de 40 palitos cada, é: Dado: Considerar cada palito com 200mm3 de volume. a) 1152 b) 876 c) 576 d) 498 e) 384 11. Dados os números: A = 0,273849 51 , B = 0, 27384951 , C = 0,2738 4951 , D = 0,27 384951 , E = 0,27384 951 e F = 0,2738495127989712888..., podemos afirmar que: a) A > F > E > C > D > B c) F > C > D > B > A > E e) E > A > C > D > F > B b) A > F > B > D > C > E d) B > C > A > F > E > D 12. Considere as seguintes inequações e suas respectivas resoluções, nos reais: Solução :3x - 6x > 7 - 1; -3x > -6; x > -6 / 3; x > -2 1a) 1 + 3x > 6x + 7 2ª) 5 > 3 / x + 2; 5x > 3 + 2x; 5x - 2x > 3; 3x > 3; x > 3/ 3; x > 1 3ª) x2 - 4 > 0; x2 > 4; x > ± 4 ; x > ±2 Logo a respeito das soluções, pode-se afirmar que: a) As três estão corretas c) Apenas a 1ª e 2ª estão erradas e) Apenas duas estão corretas b) As três estão erradas d) Apenas a 1ª e 3ª estão erradas 13. O ponto P interno ao triângulo ABC é eqüidistante de dois de seus lados e dois de seus vértices. Certamente P é a interseção de: a) Uma bissetriz interna e uma altura desse triângulo b) Uma bissetriz interna e uma mediatriz dos lados desse triângulo c) Uma mediatriz de um lado e uma mediana desse triângulo d) Uma altura e uma mediana desse triângulo e) Uma mediana e uma bissetriz interna desse triângulo

(

)

(

)

14. A soma e o produto das raízes reais da equação x 2 − 5x + 6 − 5 x 2 − 5x + 6 + 6 = 0 , são respectivamente: a) 6 e 8 b) 7 e 10 c) 10 e 12 d) 15 e 16 e) 15 e 20

(

)

 2 1  12 − 6 + 17 +  1 2 90, 5 + 15. O valor da expressão   + 2 15  16    a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

 32 −1  0 ,1   1    

3   

−1

é:

16. Na figura abaixo, tem-se um semicírculo de centro O e diâmetro AD e os semicírculos de diâmetros AB, BC, CD e os centros O1, O2 e O3, respectivamente. Sabendo-se que AB = BC = CD e que AO = R, a área hachurada é igual a:

C O2

(

R2 3 3 − π 4

)

(

πR 2 2 3+π 16

)

(

R2 6 3−π 8

)

(

R 2 5 3 − 2π 24

)

πR 2 4

a 1 x + b 1 y = c1 17. Considere o sistema linear S, de incógnita x e y tal que S:  a 2 x + b 2 y = c 2 Se os pares ordenados (x, y) = (3, -5) e (x, y) = (2, -3) são soluções de S, então: d) S só tem mais uma solução além das apresentadas a) (-3, 7) também é solução de S b) (3, -7) também é solução de S e) Qualquer par ordenado de números reais é solução de S c) S só tem as duas soluções apresentadas

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18. O valor de

a) b)

(

3 2+ 3+ 5+2

(

)

2 2 + 3 + 5 + 1 − 1  

3 + 4 2 − 15 12 2+ 3+ 5 12

COLÉGIO NAVAL - 1996 - Matemática −

1 2+ 3+ 5

2 3 + 3 2 − 30 24 2 3 + 3 2 − 30 d) 24 c)

é: 2 3 + 3 2 + 4 30 24

19. Quantos triângulos obtusângulos existem, cujos lados são expressos por números inteiros consecutivos? a) um b) dois c) três d) quatro e) cinco 20. Um quadrilátero de bases paralelas B e b, é dividido em dois outros semelhantes pela sua base média, caso seja, necessariamente, um: a) paralelogramo c) trapézio isósceles e) losango b) trapézio retângulo d) trapézio qualquer

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COLÉGIO NAVAL - 1997 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 1997 - Matemática 01. Dois segmentos de uma reta, AB e CD, interceptam-se interiormente no ponto O. Sabe-se que as medidas de AO e CB são respectivamente, 3cm e 4cm, e que as medidas de OC e OD são, respectivamente, 2cm e 6cm. Qual o número de pontos do plano, determinado por AB e OD, que eqüidistam dos pontos A, B, C e D? a) zero b) um c) dois d) três e) infinito 02. Na figura abaixo os segmentos AB e DA são tangentes à circunferência determinada pelos pontos B, C e D. Sabendo-se que os segmentos AB e OD são paralelos, pode-se afirmar que o lado BC é: a) a média aritmética entre AB e OD D b) a média geométrica entre AB e OD A c) a média harmônica entre AB e OD C d) o inverso da média aritmética entre AB e OD e) o inverso da média harmônica entre AB e OD B

30 . O valor de c é: 03. Duas raízes da equação biquadrada x4 + bx2 + c = 0 são 0,2333... e 7 a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 2 04. Um baleiro vende dois tipos de balas: b1 e b2. Três balas do tipo b1 custam R$0,10 e a unidade de bala b2 custa R$0,15. No final de um dia de trabalho, ele vendeu 127 balas e arrecadou R$5,75. O número de balas do tipo b1 vendidas foi: a) 114 b) 113 c) 112 d) 111 e) 110 05. Define-se potência de um ponto P em relação a um círculo C, de centro O e raio r, como sendo o quadrado da distância de P a O, menos o quadrado de r. Qual é a potência de um dos vértices do hexágono regular circunscrito a um círculo de raio r, em relação a este círculo? a)

2r 2 3

r2 2

r2 3

r2 4

r2 6

06. Um vendedor comprou 50 camisetas por R$425,00. Quantas camisetas, no mínimo, deverá vender a R$11,00 cada, para obter lucro? a) 37 b) 38 c) 39 d) 40 e) 41 07. Uma cafeteira elétrica tem, no recipiente onde se coloca a água, um mostrador indicando de 1 a 20 cafezinhos. O tempo gasto para fazer 18 cafezinhos é de 10 minutos, dos quais 1 minuto é o tempo gasto para aquecer a resistência. Qual o tempo gasto por essa mesma cafeteira para fazer 5 cafezinhos? a) 3 minutos b) menos de 3 minutos c) entre 3 minutos e 3,5 minutos d) 3,5 minutos e) mais de 3,5 minutos 08. O aluno Mauro, da 8ª série de um certo colégio, para resolver a equação x4 - x2 + 2x - 1 = 0, no conjunto dos números reais, observou-se que x4 = x2 - 2x + 1 e que o segundo membro da equação é um produto notável. Desse modo, conclui que (2x + 1)2 é igual a: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 09. Dados os conjuntos A, B e C, tais que: n(B ∪ C) = 20, n(A ∩ B) = 5, n(A ∩ C) = 4, n(A ∩ B ∩ C) = 1 e n(A ∪ B ∪ C) = 22, o valor de n[A - (B ∩ C)] é a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6

(2 + 3 ) 10. Sejam x =

1997

a) 1

b) 2

(

)

1997

+ 2− 3 2 c) 3 d) 4

(2 + 3 ) e y=

1997

(

− 2− 3 3

)

1997

, o valor de 4x2 - 3y2 é:

e) 5

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COLÉGIO NAVAL - 1997 - Matemática 11. Considere as afirmativas abaixo sobre um polígono regular de n lados, onde o número de diagonais é múltiplo de n. I - O polígono não pode ter diagonal que passa pelo seu centro. II - n pode ser múltiplo de 17 III - n pode ser um cubo perfeito. IV - n pode ser primo Assinale a alternativa correta. a) Todas as afirmativas são falsas. d) Apenas as afirmativas II, III e IV são verdadeiras. b) Apenas a afirmativa II é verdadeira. e) Todas as afirmativas são verdadeiras. c) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. 12. O número de trapézios distintos que se obter dispondo-se de 4, e apenas 4, segmentos de reta medindo, respectivamente, 1cm, 2cm, 4cm e 5cm é : a) nenhum b) um c) dois d) três e) quatro 13. Num triângulo ABC, retângulo em A, os lados AB e AC valem, respectivamente c e b. Seja o ponto G o baricentro do triângulo ABC. A área do triângulo AGC é: bc bc bc bc bc a) b) c) d) e) 2 3 4 6 9 14. A expressão

a) 4x3

+ y3 + z3

) − (x 2

y3 + z3 c) 4zx3

b) 4yx2

− y3 − z3

)

, é equivalente a:

d) 4yzx3

e) 4xyz

15. Uma roda gigante tem uma engrenagem que é composta de duas catracas, que funcionam em sentidos contrários. Em um minuto, a menor dá três voltas completas enquanto a maior dá uma volta. Após dezoito minutos de funcionamento da menor, o número de voltas da maior é: a) 54 b) 36 c) 24 d) 18 e) 9 −7 , 2

0 12    3 1,331 5   −1        1 × 302 encontra-se: 16. Resolvendo-se a expressão 33 33 33 33 33 8 +8 +8 +8 +8 2 a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

(

)

17. Considere o conjunto A dos números primos positivos menores do que 20 e o conjunto B dos diversos positivos de 36. O número de subconjuntos do conjunto diferença B - A é: a) 32 b) 64 c) 128 d) 256 e) 512 x 2 − 6 x + 10 < 0 é: x2 −1 e) infinito

18. O número de soluções inteiras da inequação a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

19. Um polinômio do 2º grau em x é divisível por (3x - 3 3 + 1) e (2x + 2 3 - 7). O valor numérico mínimo do polinômio ocorre para x igual a 19 23 29 31 35 a) b) c) d) e) 12 12 12 12 12

20. Um aluno, efetuando a divisão de 13 por 41, foi determinando o quociente até a soma de todos os algarismos por ele escritos, na parte decimal, foi imediatamente maior ou igual a 530. Quantas casas decimais escreveu? a) 144 b) 145 c) 146 d) 147 e) 148

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COLÉGIO NAVAL - 1998 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 1998 - Matemática 01. Um triângulo isósceles tem os lados congruentes medindo 5cm, a base medindo 8cm. A distância entre o seu baricentro é, aproximadamente, igual a: a) 0,1cm b) 0,3cm c) 0,5cm d) 0,7cm e) 0,9cm 02.

−

5− 3 a) 0 e 2

2 3

é um número que está entre: 2 b) 2 e 4 c) 4 e 6 d) 6 e 8

e) 8 e 10

03. Tem-se 500ml de soro glicosado a 5%. Quando se acrescentam 10 ampolas de 10ml cada de glicose a 23%, a concentração do volume final do soro glicosado é: a) 6,0% b) 6,3% c) 7,0% d) 7,3% e) 8,0% 04. Dados dois conjuntos A e B tais que n(A∪B) = 10, n(A∩B) = 5 e n(A) > n(B), pode-se afirmar que a soma dos valores possíveis para n(A - B) é: a) 10 b) 1 c) 12 d) 13 e) 14 05. Coloque (F) falsa ou (V) verdadeira nas afirmativas e assinale a opção correta. ( ) Se x2 = 4 então x6 = 64 ( ) Se x6 = 64 então x = 2

( )

( ) 22 < 22 ( ) Se 10x = 0,2 então 102x = 0,04 ( ) 2n + 2 + 2n = 5.2n a) F, V, V, V, F b) V, F, V, V, V

c) V, F, V, V, F

d) V, V, F, V, V

e) V, F, V, F, V

06. Quando uma pessoa caminha em linha reta uma distância x, ela gira para a esquerda de um ângulo de 60º; e quando caminha em linha reta uma distância y = x 2 − 2 , ela gira para a esquerda de um ângulo de 45º. Caminhando x ou y a partir de um ponto P, pode-se afirmar que, para qualquer que seja o valor de x, é possível chegar ao ponto P descrevendo um I - ptágono convexo III - heptágono convexo II - hexágono convexo IV - octógono convexo O número de afirmativas verdadeiras é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 07. Considere o quadrado ABCD e o triângulo eqüilátero ABP, sendo P interior ao quadrado. Nestas condições o triângulo cobre cerca de quanto por cento da área do quadrado? a) 40 b) 43 c) 45 d) 50 e) 53 2 de seu capital em letras durante 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês (juros sim5 A ples) e recebe R$9600,00 de juros, então o seu capital é de : a) R$128000,00 c) R$320000,00 e) R$960000,00 b) R$240000,00 d) R$400000,00

08. Se uma pessoa aplica somente

09. Na figura, DE é paralela a BC e AM é bissetriz interna do triângulo ABC. Sabendo que AD = 6, AE = x, DB = 2, EC = 5, BM = 6 e MC = y. Então x + y é igual a: a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35

M 10. Observe as afirmativas abaixo sobre os números reais x e y e assinale B a opção correta. 1 x x 1 = ,y≠0 (III) x2 > y então x > y (I) < y, então x > , xy ≠ 0 (II) x y y y

a) Apenas I é falsa b) Apenas II é falsa

c) Apenas III é falsa d) I, II, III são falsas

e) Apenas I e II são falsas

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COLÉGIO NAVAL - 1998 - Matemática 11. Dois sistemas de equações lineares são equivalentes quanto toda solução de um é solução do outro e vice-versa.  x − y = 0 ax + by = 1 sejam equivalentes? e  Qual é a soma dos valores de a e b, tais que os sistemas   x + y = 2 bx − ay = 1

a) 1

b) 2

c) -1

d) -2

e) zero

12. Se m + n + p = 6, mnp = 2 e mn + mp + np = 1, podemos dizer o valor de a) 1

b) 3

c) 7

d) 18

m n p é: + + np mp mn

e) 22

13. A distância entre os centros de dois círculos de raios iguais a 5 e 4 é 41. Assinale a opção que apresenta a medida de um dos segmentos tangentes aos dois círculos. a) 38,5 b) 39 c) 39,5 d) 40 e) 40,5 14. Um hexágono regular ABCDEF tem lado 3cm. Considere os pontos: M, pertencente a AB, tal que ME é igual a 1cm; N, pertencente a CD, tal que ND é igual a 1cm; e P pertencente a EF, tal que PF é igual a 1cm,. O perímetro, em centímetros, do triângulo MNP é igual a: a) 3 15

b) 3 17

c) 3 19

d) 3 21

e) 3 23

15. Dos números (I) 0,4333... (II) 0,101101110... (III) 2 (IV) O quociente entre o comprimento e o diâmetro de uma mesma circunferência. São racionais: a) Todos b) Nenhum c) Apenas 1 deles d) Apenas 2 deles e) Apenas 3 deles 16. Uma cidade B encontra-se 600km a leste de uma cidade A; e uma cidade C encontra-se 500km ao norte da mesma cidade A. Um ônibus parte de B, com velocidade constante, em linha reta e na direção da cidade A. No mesmo instante e com velocidade constante igual à do ônibus, um carro, também em linha reta, parte de C para interceptá-lo. Aproximadamente a quantos quilômetros de A, o carro alcançará o ônibus ? a) 92 b) 94 c) 96 d) 98 e) 100 17. Um grupo de alunos faz prova numa sala. Se saírem do recinto 10 rapazes, o número de rapazes e moças será igual. Se em seguida, saírem 10 moças o número de rapazes se tornará o dobro do número de moças. Sendo r o número de rapazes e m o número de moças podemos afirmar que 2r + m é igual a: y a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100 18. Considerando o gráfico abaixo referente ao trinômio do 2º grau y = ax2 +bx + c, pode-se afirmar que: a) a > 0 ; b > 0; c < 0 d) a < 0 ; b > 0; c > 0 b) a > 0 ; b < 0; c > 0 e) a < 0 ; b > 0; c > 0 c) a < 0 ; b < 0; c < 0

19. Um quadrilátero convexo Q tem diagonais respectivamente iguais a 4 e 6. Assinale dentre as opções, a única possível para o perímetro de Q. a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30 20. Um professor elaborou 3 modelos de prova. No 1º modelo colocou uma equação do 2º grau; no 2º modelo, colocou a mesma equação trocando apenas o coeficiente do termo do 2º grau; e no 3º modelo, colocou a mesma equação do 1º modelo trocando apenas o termo independente. Sabendo que as raízes da equação do 2º modelo são 2 e 3 e que as raízes do 3º modelo são 2 e -7, pode-se afirmar sobre a equação do 1º modelo, que : a) não tem raízes reais. b) a diferença entre a sua maior e a sua menor raiz é 7. c) a sua maior raiz é 6. d) a sua menor raiz é 1. 2 e) a soma dos inversos das suas raízes é . 3 60

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COLÉGIO NAVAL - 1999 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 1999 - Matemática 01. Dado um trapézio qualquer, de bases 6 e 8, traça-se paralelamente às bases um segmento de medida x que o divide em outros dois trapézios equivalentes. Podemos afirmar que: a) x = 6,5

b) x = 4 3

c) x = 7

d) x = 5 2

e) x = 7,5

02. Dadas as afirmativas abaixo, coloque (V) verdadeiro ou (F) falso: ( ) Se a altura AH de um triângulo ABC o divide em dois triângulos ABH e ACH semelhantes, então o triângulo ABC é retângulo. ( ) A mediana AM de um triângulo ABC o divide em dois triângulos AMB e AMC equivalentes. ( ) A bissetriz interna AD de um triângulo ABC o divide em dois triângulos ABD e ACD cujas áreas são, respectivamente, proporcionais aos lados AB e AC. Assinale a alternativa correta. a) V, V, V b) V, V, F c) V, F, V d) F, V, F e) V, F, F 03. Considere um sistema de numeração, que usa os algarismos indo-arábicos e o valor posicional do algarismo no numeral, mas numera as ordens da esquerda para a direita. Por exemplo: no número 3452 tem-se: 1ª ordem: 3 2ª ordem: 4 3ª ordem: 5 4ª ordem: 2 Além disso, cada 7 unidades de uma ordem formam 1 unidade de ordem registrada imediatamente à direita.. Com base nesse sistema, coloque (E) quando a operação for efetuada erradamente e (C) quando efetuada corretamente. Lendo o resultado final da esquerda para a direita, encontramos: 245 -461 543 ( )

620 +455 416 ( )

a) E, E, E

360 x4 543 ( )

b) E, C, C

c) C, E, C

d) C, C, E

e) C, C, C

16 por 32, um aluno subtraiu 14 do numerador. Por qual número deverá dividir o deno3 minador para acertar o resultado? 1 2 4 6 b) c) d) e) 4 a) 4 4 3 4

04. Para dividir a fração

05. Se as grandezas A e B são representadas numericamente por números naturais positivos, tais que a relação matemática entre elas é A.B-1 = 4, coloque (V) verdadeiro ou (F) falso, assinalando a seguir, a alternativa que apresenta a seqüência correta. ( ) A é diretamente proporcional a B, porque se aumentando o valor de B, o de A também aumenta. ( ) A é inversamente proporcional a B, porque o produto de A pelo inverso de B é constante. ( ) A não é diretamente proporcional a B. ( ) A não é inversamente proporcional a B. a) V, F, F, V b) F, V, V, F c) F, F, V, F d) F, F, F, V e) F, F, V, V 06. São dadas as afirmativas abaixo: 12-

(− 2)2 −4

= −2

(− 1)(4) = (− 1)(9)

−1 ⋅ 4

(

−2

)

= −2

2 3

4- 3 + 2 = 3 + 2 9 −1 ⋅ 9 −9 Assinale a alternativa correta: a) Todas as afirmativas são falsas. c) 1 e 2 são verdadeiras. e) Todas as afirmativas são verdadeiras b) Somente 2 é verdadeira. d) 1, 2 e 3 são verdadeiras. =

07. Sejam 30 moedas, algumas de 1 centavo e outras de 5 centavos, onde cada uma tem, respectivamente, 13,5 e 18,5 milímetros de raio. Alinhando-se estas moedas, isto é, colocando-se uma do lado da outra, obtém-se o comprimento de 1 metro. O valor total de moedas é: a) R$0,92 b) R$1,06 c) R$1,34 d) R$2,00 e) R$2,08

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COLÉGIO NAVAL - 1999 - Matemática 08. No quadrilátero da figura, o ângulo ∠BAD mede 90º e as diagonais C AC e BD são perpendiculares. Qual área desse quadrilátero, sabendo que BI = 9, DI = 4 E CI = 2? a) 26 b) 39 c) 52 d) 65 e) 104 09. Para registrar o resultado da operação 2101.597, o número de dígitos necessários é: a) 96 b) 97 c) 98 d) 99 e) 100

10. Um fazendeiro repartiu seu rebanho de 240 cabeças de boi entre seus 2 três filhos da seguinte forma: o primeiro recebeu do segundo, e o 3 terceiro tanto quanto o primeiro mais o segundo. Qual o número de cabeças de boi que o primeiro recebeu? a) 12 b) 30 c) 36 d) 48 e) 54 11. Sabendo que

a) 19999

x 2 = 1999 6 ,

b) 19996

y = 1999 4 ,

z 4 = 1999 8 , (x > 0, y > 0 e z > 0); o valor de (x ⋅ y ⋅ z )

1 1999 9

d) 1999-6

−

1 3

é:

e) 1999-9

12. Dados os casos clássicos de congruência de triângulos ALA, LLL, LAA0 onde L = Lado, A = Ãngulo e A0 = Ângulo oposto ao lado dado, complete corretamente as lacunas das sentenças abaixo e assinale a alternativa correta. 1- Para se mostrar que a mediatriz de um segmento AB é o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes dos extremos A e B, usa-se o caso _______ de congruência de triângulos. 2- Para se mostrar que a bissetriz de um ângulo ∠ABC tem seus pontos eqüidistantes dos lados BA e BC desse ângulo, sem usar o teorema da soma dos ângulos internos de um triângulo, usa-se o caso ______ de congruência de triângulos. c) LLL / LAA0 d) LAA0 / LAL e) ALA / LLL a) LAL / ALA b) LAL / LAA0 13. Em uma circunferência de raio R está escrito um pentágono regular P. Coloque (V) verdadeiro ou (F) falso nas afirmativas abaixo: ( ) P tem diagonal que mede 2R ( ) P tem diagonal que mede R 2 ( ) P tem diagonal que mede R 3 R ( ) P tem diagonal que mede 10 − 2 5 2 Assinale a alternativa correta: a) V, V, F, F b) F, V, V, F c) F, F, V, V d) V, V, V, F e) V, V, V, V 14. Uma pizza circular de raio 30cm foi dividida em 6 partes iguais para seis pessoas. Contudo, uma das pessoas resolveu repartir ao meio o seu pedaço, como mostra a figura . O valor de x é: a) 10

2π 3

b) 10

3π 3

c) 10

d) 10

3π

e) 10

5π 3

x x

d) tem duas raízes positivas. 15. Sobre a equação 1999x2 - 2000x -2001 = 0, a afirmação correta é: a) tem duas raízes reais de sinais contrários, mas não simétricas. e) tem duas raízes negativas. b) tem duas raízes simétricas. c) não tem raízes reais. Rua Baronesa, 705 - sala 206 - Praça Seca - Rio de Janeiro - Tel 39022608 - 94306166 62

COLÉGIO NAVAL - 1999 - Matemática x 2 + 3xy é: 16. Se 2x - 3y - z = 0 e x + 3y - 14z = 0, com z ≠ 0, o valor da expressão 2 y + z2 20 a) 7 b) 2 c) 0 d) − e) -2 17 17. Uma equação biquadrada de coeficientes inteiros, cuja soma desses coeficientes é zero, tem uma das raízes igual a 3 . O produto das raízes dessa equação é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 18. Num círculo, duas cordas AB e CD se interceptam no ponto I interno ao círculo. O ângulo ∠DA mede 40º e o ângulo ∠CB mede 60º. Os prolongamentos de AD e CB encontram-se num ponto P externo ao círculo. O ângulo ∠APC mede: a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 50º 19. As vendas de uma empresa foram, em 1998, 60% superior às vendas de 1997. Em relação a 1998, as vendas de 1997 foram inferiores em : a) 62,5% b) 60% c) 57,5% d) 44,5% e) 37,5% 20. O número de triângulos que podemos construir com lados medindo 5, 8 e x de tal forma de que o seu ortocentro seja interno ao triângulo é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

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COLÉGIO NAVAL - 2000 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 2000 - Matemática 01. Numa prova de vinte questões, valendo meio ponto cada uma, três questões erradas anulam uma certa. Qual é a nota de um aluno que errou nove questões em toda essa prova? a) Quatro b) Cinco c) Quatro e meio d) Cinco e meio e) Seis e meio 02. A, B. C e D são vértices consecutivos de um quadrado e PAB é um triângulo equilátero, sendo P interno ao quadrado ABCD. Qual é a medida do ângulo PCE? a) 30º b) 45º c) 60º d) 75º e) 90º 03. Dois sinais luminosos fecham juntos num determinado instante. Um deles permanece 10segundos fechado e 50 segundos aberto, enquanto outro permanece 10segundos fechado e 40 segundos aberto. O número mínimo de segundos necessários, a partir daquele instante, para que os dois sinais voltem a fechar juntos outra vez é de: a) 110 b) 120 c) 150 d) 200 e) 300 04. Considere as afirmativas abaixo: 68 (I) 2 68 + 10 68 = 2 68 + (2 × 5) = 2 68 + 2 68 × 5 68 = 4 68 × 5 68 = 20 68 (II) 2 68 + 10 68 = 2 68 + (2 × 5) = 2 68 + 2 68 × 5 68 = 2136 × 5 68 68

(

) (

)

(III) 617 + 10 23 = (2 × 3) + (2 × 5) = 217 × 317 + 2 23 × 5 23 = 217 × 2 23 + 317 × 5 23 Pode-se afirmar que: a) apenas a afirmativa I é verdadeira d) apenas as afirmativas II e III são verdadeiras b) apenas as afirmativas I e III são verdadeiras e) as afirmativas I, II e III são falsas c) apenas a afirmativa II é verdadeira 17

05. Um bebedouro que usa garrafão de água tem 2,5m metros de serpentina por onde a água passa para gelar. Sabese que tal serpentina gasta 12 segundos para ficar totalmente gelada. Colocando-se um garrafão de 10 litros e ligando-se o bebedouro, leva-se 5 minutos para que tida a água saia gelada. Se nas mesmas condições fosse colocado um garrafão de 20 litros no lugar do de 10 litros, o tempo gasto para que toda a água saísse gelada seria de: a) 9min36seg b) 9min48seg c) 10min d) 10min12seg e) 1min 06. Para se demarcar o estacionamento de todo o lado direito de uma reta, foram pintados 20 retângulos de 4,5 metros de comprimento e 2,5 metros de largura. Sabendo-se que os carros estacionam no sentido do comprimento dos retângulos e da rua, e à frente e atrás de cada um dos retângulos e da rua, e a frente e atrás de cada um dos retângulos tem 50 centímetros de folga, qual é o comprimento, em metros, da rua? a) 90 b) 90,5 c) 95 d) 100 e) 100,5 1

4 2 2 2 4 2     07. O valor de  a 2 + a 3 b 3  +  b 2 + a 3 b 3  é         2

3 3  2  a)  a 3 + b 2     

3 2  2  b)  a 3 + b 2     

2 2 3  3  c)  a 2 + b 3     

2 2  3  d)  a 2 + b 3     

2 2  2  e)  a 3 + b 3     

08. Uma massa fermentada ao ser colocada para descansar ocupou uma área circular S de raio r. Após um certo tempo t, ela passou a ocupar uma área 21% maior que S. Qual o valor de r, em centímetros, para descansar durante o tempo t, em um tabuleiro circular de raio 22 centímetros? 2 a) 17,38 b) 18 c) 20 d) 20,38 e) 21 11

1 09. Um aluno calculou a média aritmética entre os cem primeiros números inteiros positivos, encontrando 50 . 2 27 . O número retirado está entre: Retirando um desses números encontrou como nova média aritmética 50 99 a) 30 e 40 b) 40 e 50 c) 50 e 60 d) 60 e 70 e) 70 e 80

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COLÉGIO NAVAL - 2000 - Matemática 10. Os pontos X, O e Y são vértices de um polígono regular de n lados. Se o ângulo XOYmede 22º 30' , considere as afirmativas: (I) n pode ser igual a 8 (II) n pode ser igual a 12 (III) n pode ser igual a 24 Podemos afirmar que: a) apenas I e II são verdadeiras c) apenas uma delas é verdadeira e) nenhuma é verdadeira b) apenas I e III são verdadeiras d) I, II e III são verdadeiras 11. Um comerciante comprou k objetos idênticos por t reais, onde t é um número inteiro positivo. Ele contribuiu para um bazar de caridade, vendendo dois objetos pela metade do preço de custo. Os objetos restantes foram vendidos com um lucro de seis reais por unidade. Se o seu lucro total foi de setenta e dois reais, o menor valor possível para k é: a) 11 b) 12 c) 15 d) 16 e) 18 12. Suponha que 1 (um) naval (símbolo n) seja a medida de um ângulo convexo, menor que um ângulo reto, inscrito em um círculo de raio r, cujos lados determinam, nesse círculo, um arco de comprimento r. Assim sendo, a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a π π a) n d) 2πn e) 4πn b) n c) πn 4 2 13. Dividindo-se o cubo de um número pelos terça parte desse número é: a) 2 b) 3 c) 4

d) 5

2 do seu quadrado, acha-se 18 para quociente. A raiz quadrada da 3

e) 6

−2  16 16  3  3 + ⋅ (0,333... + 1) −  −  14. O valor da expressão  − 27 9   4 

−

1 3

2 3

c) 0

d) 1

   

25 +3 2

,é

e) -1

15. Sejam os conjuntos A = {x ∈ Z / x = 6n + 3, n ∈ Z} e B = { x ∈ Z / x = 3n, n ∈ Z}. Então A ∩ B é igual a: Dado: Z conjunto dos números inteiros a) {x ∈ Z| x é par múltiplo de 3} c) {x ∈ Z| é múltiplo de 3} e) {x ∈ Z| é ímpar} b) {x ∈ Z| x é ímpar e múltiplo de 3} d) {x ∈ Z| é múltiplo de 6} 16. A ligação entre as cidades A e B pode ser feitas por dois caminhos C1 e C2. O caminho C1 é mais curto, porém com mais tráfegos e o caminho C2 é 14% mais longo do que o C1 mais possui tráfego menor, o que permite um aumento na velocidade de 20%. De quantos porcento diminuirá o tempo de viagem para ir de A até B usando o caminho C2? Dados: considere as velocidades sempre constantes e as maiores possíveis. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 17. Seja ABCD um quadrilátero qualquer onde os lados opostos NÃO são paralelos. Se as medidas dos lados opostos AB e DC são, respectivamente, iguais a 12 e 16, um valor possível para o segmento de extremos M (ponto médio do lado AD) e N (ponto médio do lado BC) é a) 12,5 b) 14 c) 14,5 d) 16 e) 17 18. Num gibi, um ser de outro planeta capturou em uma de suas viagens três tipos de animais. O primeiro tinha 4 patas e 2 chifres, o segundo tinha 2 patas e nenhum chifre e o terceiro 4 patas e 1chifre. Quantos animais do terceiro tipo ele capturou, sabendo que existiam 227 cabeças, 782 patas e 303 chifres? a) 24

b) 25

c) 26

d) 27

e) 30

19. Seja N = xyzzyx um número natural escrito na base dez, onde x, y e z são algarismos distintos. Se N1 e N2 são os dois maiores números divisíveis por 3 e 25, obtidos a partir de N pela substituição de x, y e z, então N1 + N2 é igual a a) 1008800 b) 1108800 c) 1106650 d) 1157000 e) 1209800

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COLÉGIO NAVAL - 2000 - Matemática 20. Considere três quadrados de bases AB, CD e EF, respectivamente. Unindo-se o vértice A com F, B com C e D com E, observa-se que fica formado um triângulo retângulo. Pode-se afirmar que: I - O perímetro do quadrado de maior lado é igual à soma dos perímetros dos outros dois quadrados. II - A área do quadrado de maior lado é igual à soma das áreas dos outros dois quadrados. III - A diagonal do quadrado maior é igual à soma das diagonais dos outros dois quadrados. Logo, apenas: a) A afirmativa I é verdadeira b) A afirmativa II é verdadeira c) A afirmativa III é verdadeira d) As afirmativas I e II são verdadeiras e) As afirmativas II e III são verdadeiras

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COLÉGIO NAVAL - 2001 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 2001 - Matemática 01. Considere um retângulo inscrito em um losango, conforme a figura abaixo. Se as diagonais do losango medem, respectivamente, 8cm e 12cm e a área do retângulo é 24cm2, então o perímetro deste retângulo, em cm, é igual a: a) 28 b) 24 c) 22 d) 20 e) 18 02. Um pedaço de doce de leite tem a forma de um paralelepípedo, com seis faces retangulares, como indica a figura abaixo. O doce deve ser dividido totalmente em cubos iguais, cada um com xmm de aresta. O maior valor inteiro de x é: a) 16 b) 18 c) 24 d) 30 e) 32

96 mm

192 mm 256 mm

03. Marta comprou petecas, bolas e bonecas, pagando por cada unidade, respectivamente, R$1,00, R$10,00 e R$20,00. Gastou R$220,00 em um total de 10 unidades desses brinquedos. Quantas petecas ela comprou? a) 95 b) 93 c) 92 d) 91 e) 90 04. A mínimo múltiplo comum entre dois números naturais a e b é 360 e ab = 3600. Qual o menor valor que a + b pode assumir? a) 120 b) 130 c) 150 d) 200 e) 370 05. Se 2 < x < 3, então a) 2

x + 2 x − 1 − x − 2 x − 1 é igual a:

c) 2 x − 1

d) 2 x

e) 3

06. Se a e b são números naturais e 2a + b é divisível por 13, então um número múltiplo de 13 é: a) 91a + b b) 92a + b c) 93a + b d) 94a + b e) 95a + b 07. Considere-se um soro glicosado a 5% quando para cada 100ml de soro tem-se 5ml de glicose. Com dois soros X e Y, respectivamente, glicosados a 5% e 23%, deseja-se obter 3 litros de uma mistura com 8% de glicose. Portanto, necessita-se, em litros, de um volume do soro X igual a: D E a) 2,5 b) 2,3 c) 2,1 d) 2,0 e) 1,8 08. As diagonais AC, BD, CE, DF, EA e FB de um hexágono regular ABCDEF interceptam-se formando outro hexágono A’B’C’D’E’F’ conforme a figura abaixo. Qual a razão entre as áreas do maior e a do menor hexágono? 3 a) 2 b) 3 c) d) 2 e) 3 2

D’

E’

C’

F’

B’

C A’

A B 09. Se os números x, y e z são respectivamente, iguais às médias aritmética, geométrica e harmônica de dois números reais positivos, então: a) xz = 1 b) xz = y c) xz = y2 d) y2 + z2 = x2 e) (y + z)2 = x2 C’ D’ 10. Observe a figura, onde os seis lados do hexágono regular ABCDEF foram prolongados de segmentos AA’ = BB’ = CC’ = DD’ = EE’ = FF’, de modo D C que a medida do segmento AA’ corresponde a P% da medida do lado AB, P > E B’ E’ 0. Se o percentual de aumento que a área do hexágono A’B’C’D’E’F’ apreB senta em relação à área do hexágono original é 75%, então o valor de P é: F A a) 25 b) 30 c) 45 d) 50 e) 75 11. Se a é um número natural, a5 - 5a3 + 4a é sempre divisível por: a) 41 b) 48 c) 50 d) 60 e) 72

F’

A’

12. Considere um quadrado ABCD e dois triângulos eqüiláteros ABP e BCQ, respectivamente, interno e externo ao quadrado. A soma das medidas dos ângulos ∠ADP, ∠BQF e ∠DPQ é igual a: a) 270º b) 300º c) 330º d) 360º e) 390º

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COLÉGIO NAVAL - 2001 - Matemática 13. Observe a figura que representa três semi-circunferências de centros M, N e P, tangentes duas a duas, respectivamente, nos pontos A, B e C. Os segmentos MM’, NN’, BB’ e PP’ são perpendiculares à reta r. Se a medida do segmento BB’ é 6cm, a área do triângulo M’N’P’, em cm2, é igual a: a) 9 b) 10 c) 12 d) 18 e) 36

N’

B’

M’ P’

M N C P A B 14. Um torneio de judô é disputado por 10 atletas e deve ter apenas um campeão. Em cada luta não pode haver empate e aquele que perder três vezes deve ser eliminado da competição. Qual o número máximo de lutas necessário para se conhecer o campeão? a) 27 b) 28 c) 29 d) 30 e) 31

15. A soma de dois números reais distintos é igual ao produto desses números. O menor valor natural desse produto é igual a: a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4 16. As dimensões de um retângulo são, em metros, indicadas por x e y. Sua área aumenta 52m2 quando acrescentase 2m a x e 4m a y. Sua superfície diminui 52m2 quando subtrai-se 2m de x e 8m de y. Qual o valor de x? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 x +1 − 17. O conjunto solução da equação x − 1 2 + x +1 a) ∅ b) R c) R - {-1, 0, 1}

x −1 x + 1 = 1 é igual a: 2 x −1 d) R - {-1, 1}

e) {0}

18. Quatro corredores, João, Pedro, André, e Fábio combinaram que, ao final de cada corrida, o que ficasse em último lugar dobraria o dinheiro que cada um dos outros possuía. Competiram 4 vezes e ficaram em último lugar na 1ª, 2ª, 3ª e 4ª corridas respectivamente, João, Pedro, André, e Fábio. Se no final da 4ª competição, cada um ficou com R$16,00, então, inicialmente João possuía: a) R$5,00 b) R$9,00 c) R$16,00 d) R$17,00 e) R$33,00 19. A equação x4 - (a - 6)x2 + (9 - a) = 0, na variável x, tem quatro raízes reais e distintas, se e somente se: a) a > 0 b) 6 < a < 8 c) 8 < a < 9 d) 6 < a < 9 e) a > 9 20. Na figura, o ponto P do menor arco AB dista 6cm e 10cm, respectivamente, das tangentes AQ e BQ. A distância, em cm, do ponto P á corda AB é igual a: a)

b) 2 15

c) 16

d) 18

e) 6 10

P Q

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COLÉGIO NAVAL - 2002 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 2002 - Matemática 1 1 ) - 8(x + ) + 10 ≤ 0 é S, então o número de elementos da in2 x x terseção do conjunto S com o conjunto dos números inteiros é igual a: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

01. Se o conjunto solução da inequação 3.(x2 +

02. Se um segmento AB tem 2cm de comprimento, então a flecha do arco capaz de 135º desse segmento mede: a)

2+1

2-1

e) 2 -

03. Um relógio indica dois minutos menos do que a hora certa e adianta t minutos por dia. Se estivesse atrasado três 1 minutos por dia e adiantasse (t + ) minutos por dia, então marcaria a hora certa exatamente um dia antes do 2 que vai marcar. O tempo t, em minutos, que esse relógio adianta por dia está compreendido entre: 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9 a) e b) e c) e d) e e) e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 04. Em um trapézio, cujas bases medem a e b, os pontos M e N pertencem aos lados não-paralelos. Se MN divide esse trapézio em dois outros trapézios equivalentes, então a medida do segmento MN corresponde a a) média aritmética de a e b. b) média geométrica das bases. c) raiz quadrada da média aritmética de a2 e b2. d) raiz quadrada da média harmônica de a2 e b2. e) média harmônica de a e b 05. Considere um triângulo retângulo e uma circunferência que passa pelos pontos médios dos seus três lados. Se x, y e z, (x < y < z) são as medidas dos arcos dessa circunferência, em graus, exteriores ao triângulo, então a) z = 360º - y b) z = x + y c) x + y + z = 180º d) x + y = 180º e) z = 2x + y 06. João vendeu dois carros do modelo SL e SR, sendo preço de custo do primeiro 20% mais caro que o do segundo. Em cada carro teve um lucro de 20% sobre os seus respectivos preços de venda. Se o total dessa venda foi R$88000,00, o preço de custo do segundo modelo era, em reais, igual a a) 30000,00 b) 32000,00 c) 34000,00 d) 35 000,00 e) 36000,00 07. Dois ciclistas, com velocidades constantes, porém diferentes, deslocam-se em uma estrada retilínea que liga os pontos A e B. Partem de A no mesmo instante e quando alcançam B, retornam a A, perfazendo o movimento A-B-A-B, uma única vez. Quando o mais veloz alcança o ponto B, pela primeira vez, retorna no sentido de A encontrando o outro a 4km de B. Quando o mais lento atinge o ponto B, retorna imediatamente e reencontra, no meio do percurso o outro que está vindo de A. Desprezando-se o tempo gasto em cada mudança no sentido de percurso, a distância entre os pontos A e B, em km, é igual a a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 08. Se a e b são dois números reais, denotarmos por min(a, b) o menor dos números a e b, isto é, a , se a ≤ b . O número de soluções inteiras negativas da inequação min(2x – 7, 8 – 3x) > -3x + 3 é min(a, b) =  b, se a ≥ b igual a a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 09. Considere um triângulo eqüilátero ABC, inscrito em um círculo de raio R. Os pontos M e N são, respectivamente, os pontos médios do arco menor AC e do segmento BC. Se a reta MN também intercepta a circunferência desse círculo no ponto P, P ≠ M, então o segmento NP mede a)

R 7 2

3R 3 2

3R 7 14

R 5 7

R 5 3

10. Justapondo-se os números naturais conforme a representação 123456789101112131415161718192021.......... *, onde o sinal * indica o último algarismo, forma-se um número de 1002 algarismos. O resto da divisão do número formado por 16 é igual a a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

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COLÉGIO NAVAL - 2002 - Matemática 11. Se 2x + y = 1, com x e y reais, então o maior valor da expressão x2 + 3xy + y2 é igual a 5 7 13 17 31 b) c) d) e) a) 4 4 8 8 16 12. Se x e y são números inteiros e positivos, representa-se o máximo divisor comum de x e y por mdc(x, y); assim, a + b = 810 o número de pares ordenados (x, y) que são soluções do sistema  é mdc(a , b) = 45 a) 6 b) 8 c) 10 d) 16 e) 18 13. Observe o quadrado em que as letras representam números naturais distintos desde 1 até 9. Se a adição de três números de cada linha, de cada coluna ou de cada diagonal, desse quadrado, tem sempre o mesmo resultado,então a letra e representa o número: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

a d g

b e h

c f i

14. Se os lados de um triângulo medem, respectivamente 3x, 4x e 5x, em que x é um número inteiro positivo, então a distância entre os centro dos círculos inscrito e circunscrito a esse triângulo corresponde a a)

5x 4

(1 + 2 )x 2

c) x 2

x 5 2

5x 6

15. Se x é um número inteiro tal que 2x 2 + 3x − 5 ≤ x + 1, o número de elementos do conjunto soluço dessa inequação é igual a a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 16. Considere os triângulos ABC e MNP. Se as medidas dos lados do segundo triângulo são, respectivamente, iguais às medidas das medianas do primeiro, então a razão da área de MNP para a área de ABC é igual a 1 1 2 3 5 b) c) d) e) a) 3 2 3 4 6 17. Considere a equação x2 – 6x + m2 – 1 = 0, com parâmetro m inteiro não nulo. Se essa equação tem duas raízes reais e distintas com o número 4 compreendido entre essas raízes, então o produto de todos os possíveis valores de m é igual a a) –2 b) –1 c) 2 d) 4 e) 6 18. O número de múltiplos de 12 compreendidos entre 357 e 3578 é igual a: a) 268 b) 269 c) 270 d) 271 e) 272 19. Se a, b e c são algarismos distintos, no sistema de numeração decimal existe um único número de dois algarismos (ab) tal que (ab)2 – (ba)2 = (cc)2. O valor de (a + b + c) é igual a: a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 20. Se a = a) 10

4 − 10 + 2 5 e b = b) 4

c) 2 2

4 + 10 + 2 5 , então a + b é igual a: d)

5+1

3+2

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COLÉGIO NAVAL - 2003 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 2003 - Matemática 01. Analise as seguintes afirmativas sobre um sistema S se duas equações do primeiro grau com duas incógnitas X eY. I- S sempre terá ao menos uma solução, se os seus termos independentes são iguais a zero. II- Se a razão entre os coeficientes de X for igual a dos de Y, S terá infinitas soluções. III- Se a razão entre os coeficientes de X for diferente da dos de Y, S terá apenas uma solução. Assinale a alternativa correta a) Apenas a afirmativa I é verdadeira. b) Apenas a afirmativa II é verdadeira. c) Apenas a afirmativa III é verdadeira. d) Apenas a s afirmativas I e III são verdadeiras. e) As afirmativas I , II e III são verdadeiras. 02. Quantas raízes reais tem a equação x + 20 = x? a) Nenhuma. d) Duas, as quais são negativas. b) Uma. e) Duas, a quais têm sinais opostos. c) Duas, as quais são positivas. 03. Quantos são os pontos de um plano α que estão equidistantes das três retas suportes dos lados de um triângulo ABC contido em α? a) Um. b) Dois. c) Três. d) quatro. e) cinco. 04. Se o número natural expresso por a2 - b2, b ≠ 0, é primo , então a é a) o antecedente de b

b) o consequente de b

c) múltiplo de b

d) divisor de b

e) um número par

05. Se m.m.c(x , y) = 23.33.52.7 e m.d.c(x , y) = 23.32.5, x e y números naturais, quantos são os valores possíveis para x? a) 16 b) 8 c) 6 d) 4 e) 2 06. Um certo líquido aumenta o seu volume em 15%, ao ser congelado. Quantos mililitros desse líquido deve-se colocar, no máximo, em um recipiente de 230mililitros, sabendo-se que este não sofre qualquer alteração da sua capacidade nesse processo? a) 195,5 b) 200 c) 205 d) 210 e) 215 07. Considere uma circunferência λ de raio R e diâmetros perpendiculares AB e CD. O raio da menor circunferência tangente interiormente à λ e à corda AC, no seu ponto médio, é dado por a)

R 4

R 2 4

(

R 2− 2 4

)

08. O resultado da divisão de 712 por 6, é um número a) inteiro. b) com parte decimal finita. c) com parte decimal infinita periódica simples.

(

)

2 +1 4

R 6

d) com parte decimal infinita periódica composta. e) com parte decimal infinita e não-periódica.

9) O resto da divisão de 5131 + 7131 + 9131 + 15131 por 12 é igual a a) 0 b) 2 c) 7 d) 9 e) 11 10) Num quadrilátero ABCD tem-se: AB = 42, BC = 48, CD = 64, DA= 49 e P é o ponto de interseção entre as diagonais AC e BD. Qual é a razão entre os segmentos PA e PC, sabendo-seque a diagonal BD é igual a 56? 7 8 7 6 49 a) b) c) d) e) 8 7 6 7 64 1 da produção do 5 mês anterior. Considerando a condição dada, se, em janeiro de 2004, a sua produção for P, em que mês desse mesmo ano a sua produção será, pela primeira vez, maior ou igual a 2P? a) Abril. b) Maio. c) Junho. d) Julho. e) Agosto.

11. Um fabricante observou que tem condições de aumentar, mensalmente, a sua produção em

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COLÉGIO NAVAL - 2003 - Matemática 12. Dada a equação do 2° grau na incógnita X: 4X2 + kX + 3 = 0. Quantos são os valores inteiros possíveis do parâmetro k, tais que essa equação só admita raízes racionais? A P B a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8 13. Num quadrado ABCD tem-se os pontos: P, pertencente ao lado AB; Q, pertencente ao ladoCD; R, médio de DA; e S, médio de BC. Se PB é o dobro de DQ e E é o ponto de interseçãoentre PQ e RS, quantos trapézios retângulos semelhantes sempre existirão na figura, sabendose que PB + DQ < AB? a) dois. b) três. c) quatro. d) cinco. e) seis.

E R

14. Analise as afirmativas abaixo , onde A e B são números reais. I- a + b = (a + b ) II- a . b = (a.b ) Assinale a alternativas correta. a) As afirmativas I , II e III são sempre verdadeiras. b) Apenas a afirmativa I é sempre verdadeira. c) Apenas as afirmativas I e II são sempre verdadeiras. d) Apenas as afirmativas I e III são sempre verdadeiras. e) Apenas as afirmativas II e III são sempre verdadeiras. 2

III-

a / b =

(a : b )

C 2

, b ≠ 0.

15. Dada a equação: (X2 + 1)2 + (X2 + 3X - 17)2 = 0, pode-se afirmar que, nouniverso dos números reais, o seu conjunto solução a) é vazio. c) tem apenas dois elementos e) tem apenas quatro elementos . b) tem apenas um elemento. d) tem apenas três elementos. P1 V1 PV = 2 2 , onde P1, V1 e T1 são , T1 T2 respectivamente , as condições de pressão, volume e temperatura de um gás perfeito num primeiro estado; e P2, V2 e T2 num segundo estado. Considerando afórmula dada , analise as afirmativas abaixo. I- Pressão e volume são diretamente proporcionais. II- Pressão e temperatura são diretamente proporcionais. III- Volume e temperatura são inversamente proporcionais. Assinale a alternativa correta. a) As afirmativas I, II e III são falsas. d) Apenas a afirmativa III é falsa. b) Apenas a afirmativa I é falsa. e) Apenas as afirmativas I e III são falsas. c) Apenas a afirmativa II é falsa.

16. No estudo de ciências, item “Gases Perfeitos“, tem-se a seguinte fórmula:

17. O conjunto dos trinta talheres de uma certa casa é constituído de garfos, facas e colheres, deaço inoxidável e aço comum .Sabe-se que • existem cinco facas, seis garfos e sete colheres, todos de aço comum. • o número total de garfos é o dobro do número de facas de aço inoxidável. • o número de facas de aço inoxidável excede o número de colheres desse mesmo tipo de aço em duas unidades. Quantas colheres tem esse conjunto de talheres? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 18. Um estudante foi calculando o lado do polígono regular de 2n lados, inscrito em uma circunferência de raio 10 centímetros, para n sucessivamente igual a 6, 12, 24, 48, 96, etc. Após determinar cada lado, calculou o perímetro p do respectivo polígono, e observou que p é um número cada vez mais próximo, porém menor que a) 60 b) 61 c) 62 d) 63 e) 64 19. Sejam os polinômios P = x2 + 4x e Q = x2 + (3k - 1)x. Se a razão entre P e Q é diferente de 1, necessariamente 5 3 4 3 b) k ≠ c) k ≠ d) k ≠ e) k ≠ 1 a) k ≠ 3 5 3 4 20. Num triângulo acutângulo isósceles ABC, o segmento BP, P interno ao segmento AC, forma com o lado BA um ângulo de 15°. Quanto mede o maior ângulo de PBC, sabendo que os triângulos ABP e ABC são semelhantes? a) 65,5° b) 82,5° c) 97,5° d) 135º e) 150º

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COLÉGIO NAVAL - 2004 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 2004 - Matemática 01. Na figura, ABCD é um quadrado de área 104 e o ponto O é o centro do semicírculo de diâmetro AB. A área do triângulo AEF é dada por: a) 2( 3 3 + 3 )

b) 6( 4 3 − 3 )

c) 5( 4 3 − 6 )

30º

B O F

d) 3( 4 3 − 3 ) e) 8( 4 3 − 3 ) 02. Um certo professor comentou com seus alunos que as dízimas periódicas podem ser representadas por frações em que o numerador e o denominador são números inteiros e, neste momento, o professor perguntou aos alunos o motivo pelo qual existe a parte periódica. Um dos alunos respondeu justificando corretamente, que em qualquer divisão de inteiros a) o quociente é sempre um inteiro. b) o resto é sempre um inteiro. c) o dividendo é o quociente multiplicado pelo divisor, adicionado ao resto. d) os possíveis valores para o resto têm uma quantidade limitada de valores. e) que dá origem a uma dízima, os restos são menores que a metade do divisor.

03. Um professor de matemática apresentou uma equação do 2º grau completa, com duas raízes reais positivas, e mandou calcular, as médias aritmética, geométrica e harmônica entre essas raízes, sem determiná-las. Nessas condições a) somente foi possível calcular a média aritmética. b) somente foi possível calcular as médias aritmética e geométrica. c) somente foi possível calcular as médias aritmética e harmônica. d) foi possível calcular as três médias. e) Não foi possível calcular as três médias pedidas. 04. Sabendo-se que a equação x2(x2 + 13) - 6x(x2 + 2) + 4 = 0 pode ser escrita como um produto de binômios do primeiro grau, a soma de de duas das suas raízes reais é igual a A E B a) -3 b) -2 c) -1 d) 3 e) 3 05. Um retângulo ABCD de lados AB = a e BC = b (a > b), é dividido, por um segmento EF, num quadrado AEFD e num retângulo EBCF, semelhante ao retângulo ABCD conforme a figura. Nessas condições, a razão entre a e b é aproximadamente igual a a) 1,62 b) 2,62 c) 3,62 d) 4,62 e) 5,62 06. A interseção do conjunto solução, nos reais, da inequação

)

− 2x + 1 12x − 4

≤ 0 com o conjunto {x ∈ R / x < 4} é

dada por a) {x ∈ R / x <

1 } 3

b) {x ∈ R / x < 0}

1 } ∪ {2} 3 1 d) {x ∈ R / x < } ∪ {1} 3

c) {x ∈ R / x <

e) {x ∈ R / x < 2}

07. Na figura, AM e PB são cevianas do triângulo ABC de área S. Sendo AP = 2PC e AQ = 3QM, qual é o valor da área do triângulo determinado pelos pontos P, Q e M, em função de S? S S S S S b) c) d) e) a) B 16 18 20 21 24

A P Q C M

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COLÉGIO NAVAL - 2004 - Matemática 08. Considere o triângulo escaleno ABC e os pontos P e Q pertencentes ao plano de ABC e exteriores a esse triângulo. Se as medidas dos ângulos PAC e QBC são iguais; as medidas dos ângulos PCA e QCB são iguais; M é o ponto médio de AC; N é o ponto médio de BC; S1 é a área do triângulo PAM; S2 é a área do triângulo QBN; S3 é a área do triângulo PMC e S4 é a área do triângulo QNC, analise as afirmativas: I- S1 está para S4, assim como S3 está para S2. II- S1 está para S2, assim como (PM)2 está para (QN)2. III- S1 está para S3, assim como S2 está para S4. Logo pode-se concluir, corretamente, que a) apenas a afirmativa I é verdadeira. b) apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. c) apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. d) apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. e) as afirmativas I, II e II são verdadeiras. 09. Uma máquina é capaz de fabricar, ligada durante um tempo inteiro de minutos T, 3T peças, sendo que 20% delas são defeituosas. Para obter-se, no mínimo, 605 peças perfeitas essa máquina deverá funcionar quantos minutos? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 10. Um número natural N tem 2005 divisores positivos. Qual é o número de bases distintas da sua decomposição em fatores primos? a) Um b) Dois c) Três d) Quatro e) Cinco 11. Um aluno resolvendo uma questão de múltipla escolha chegou ao seguinte resultado 4 49 + 20 6 , no entanto as opções estavam em números decimais e pedia-se a mais próxima do valor encontrado para resultado, e, assim sendo, procurou simplificar esse resultado, a fim de melhor estimar a resposta. Percebendo ue o radicando da raiz de índice 4 é quarta potência de uma soma de dois radicais simples, concluiu, com maior facilidade, que a opção para a resposta foi a) 3,00 b) 3,05 c) 3,15 d) 3,25 e) 3,35 12. Se a, b, c, e d são números reais não nulos tais que ad2 + bc2 = 0, pode-se afirmar que a c a+c c b b+c = ;b+d≠0 d) + = ;a+d≠0 a) + b d b+d a d a+d a b a+b c d c+d b) + = ;c+d≠0 e) + = ;a+b≠0 c d c+d b a a+b a b a+b c) + = ;c+d≠0 d c c+d 13. Um número natural N deixa resto 2 quando dividido por 3; resto 3 quando dividido por 7; resto 19 quando dividido por 41. Qual é o resto da divisão do número k = (N + 1).(N + 4).(N + 22) por 861? a) 0 b) 13 c) 19 d) 33 e) 43 14. Uma herança P foi dividida por dois herdeiros, com idade, respectivamente, iguais a n e m, em partes diretamente proporcionais ao quadrado de suas idades. Qual foi a parte da herança recebida pelo herdeiro de idade n? a)

p2n m2 + n 2

pn 2 m2 + n 2

p2n2 m2 + n 2

pn 2 m m2 + n 2

15. Qual é o produto notável representado, geometricamente, na figura, na qual ABCD é um retângulo? a) a3 + b3 b) (a + b)3 c) (a + b)2 d) (a2 + b2)2 e) (a + b)4 16. O valor numérico da expressão 120k4 + 10k2 + 8, sendo k pertencente ao conjunto dos números naturais, é o quadrado de um número natural para a) somente um único valor de k. b) somente dois valores de k. c) somente valores de k múltiplos de 13. d) somente valores de k múltiplos de 18. e) nenhum valor de k

p2n2m m2 + n 2 A

b a

a b

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COLÉGIO NAVAL - 2004 - Matemática 17. Considere os pontos A, B e C pertencentes ao gráfico do trinômio do segundo grau definido por y = x2 - 8x. Se a abscissa do ponto A é -4; B é o vértice; a abscissa do ponto C é 12; o segmento AB tem medida d1 e o segmento BC tem medida d2, pode-se afirmar que a) d1 + d2 < 48 c) 64 < d1 + d2 < 72 e) d1 + d2 > 128 d) 72 < d1 + d2 < 128 b) 48 < d1 + d2 < 64 18. Dado um triângulo retângulo, seja P o ponto do plano do triângulo equidistante dos vértices. As distâncias de P aos catetos do triângulo são K e L. O raio do círculo circunscrito ao triângulo é dado por K+L a) 4

b) 2K + L

K 2 +L2

K 2 +L2 2

19. Dada a equação na variável real x: 7x -

3 = k, pode-se concluir, em função do parâmetro real k, que essa equax

ção a) tem raízes reais só se k for um número positivo. b) tem raízes reais só se k for um número negativo. c) tem raízes reais para qualquer valor de k. d) tem raízes reais somente para dois valores de k. e) nunca terá raízes reais. 20. Sejam L1 e L2 duas circunferências fixas de raios diferentes, que se cortam em A e B. P é um ponto variável exterior às circunferências (no mesmo plano). De P traçam-se retas tangentes à L1 e L2, cujos pontos de contatos são R e S. Se PR = PS, pode-se afirmar que P, A e B a) estão sempre alinhados. b) estão alinhados somente em duas posições. c) estão alinhados somente em três posições. d) estão alinhados somente em quatro posições. e) nunca estarão alinhados.

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COLÉGIO NAVAL - 2005 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 2005 - Matemática 01. Num triângulo ABC, AB = AC, o ponto D interno ao lado AC é determinado de modo que DC = BC. Prolongando-se o lado BC (no sentido de B para C) até o ponto E de modo que CE = BC. Se o ângulo ABD mede 12º, qual a medida, em graus, do ângulo BAC? a) 100 b) 88 c) 76 d) 54 e) 44 02. o algoritmo foi utilizado para o cálculo do máximo divisor comum entre os números A e B. Logo A + B + C vale 1 1 2 A B C 40 D E 0 a) 400 b) 300 c) 200 d) 180 e) 160 03. Sejam os conjuntos A = {1, 3, 4}, B = {1, 2, 3} e X. Sabe-se que qualquer subconjunto de A ∩ B está contido em X, que por sua vez é subconjunto de A ∪ B. Quantos são os possíveis conjuntos X? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 04. Três dos quatro lados de um quadrilátero circunscritível são iguais aos lados do triângulo equilátero, quadrado e hexágono regular circunscritos a um círculo de raio 6. Qual é a medida do quarto lado desse quadrilátero, sabendo-se que é o maior valor possível nas condições dadas? a) 16 3 - 12

b) 12 3 - 12

c) 8 3 + 12

d) 12 3 + 8

e) 16 3 - 8

05. Um círculo α de centro num ponto A e raio 2 3 é tangente interior, num ponto B, a um círculo β de centro num ponto O e raio 6 3 . Se o raio OC é tangente a α num ponto D, a medida da área limitada pelo segmento DC e os menores arcos BC de β e BD de α é igual a a) 4π - 3 3

b) 5π - 4 3

c) 4π - 6 3

d) 5π - 6 3

e) 5π - 5 3

06. As raízes do trinômio do 2º grau y = ax2 + bx + c são 1000 e 3000. Se quando x vale 2010 o valor numérico de y é 16, qual é o valor numérico de y quando x vale 1990? a) 64 b) 32 c) 16 d) 8 e) 4 07. O número de diagonais de um polígono regular P inscrito em um círculo K é 170. Logo a) o número de lados de P é ímpar. b) P não tem diagonais passando pelo centro de K. c) o ângulo externo de P mede 36º. d) uma das diagonais de P é o lado do pentágono regular inscrito em K. e) o número de lados de P é múltiplo de 3. 08. Qual é o conjunto solução S da inequação [(x - 1).(x - 2)]-1 > [(x - 2).(x - 3)]-1 a) S = {x ∈ R / x < 1} c) S = {x ∈ R / x < 1 ou 2 < x < 3} b) S = {x ∈ R / x < 1 ou 1 < x < 2} d) S = {x ∈ R / x < 2} 09. No algoritmo dado, tem-se a decomposição simultânea em fatores substituindo todos os números que são diferentes de a, b, c e 1. Analise as afirmativas abaixo. a, I- a certamente é múltiplo de 36. a, a, II- b certamente é múltiplo de 30. III- c certamente é múltiplo de 35. a, Assinale a opção correta. x, x, a) Apenas a afirmativa I é falsa. x, b) Apenas a afirmativa II é falsa. x, c) Apenas a afirmativa III é falsa. 1, d) Apenas as afirmativas II e III são falsas. e) As afirmativas I, II e III são falsas.

e) S = {x ∈ R / 2 < x < 3}

primos dos números a, b e c, onde x está

b, x, x, x, x, x, x, x, 1,

c x x x x x x 1 1

2 2 2 3 3 3 5 7

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COLÉGIO NAVAL - 2005 - Matemática 10. Um professor usa para medir comprimentos uma unidade denominada “nix”, definida como 1nix = 3 centímetros. Ele mediu na unidade nix as diagonais de um hexágono regular de lado 1cm e encontrou para as menores x e para as maiores y. Pode-se concluir que x e y são, respectivamente, a) números racionais. b) números irracionais. c) um número inteiro e um número irracional. d) um número irracional e um número inteiro. e) um número racional não inteiro e um número irracional. 11. Observe o sistema linear S. É correto afirmar, em relação aos parâmetros a, b e c, que 2 x + 3 y = 7  S: 3x + 2 y = 9 ax + by = c  a) quaisquer que sejam, S será possível e determinado. b) existem valores desses parâmetros que tornam S possível e determinado. c) quaisquer que sejam, S será possível e indeterminado. d) existem valores desses parâmetros que tornam S indeterminado. e) quaisquer que sejam, S será impossível. 12. As linhas da tabela mostram a variação de quatro grandezas A, B, C e D. Observa-se, por exemplo, que quando a grandeza A vale 6 as grandezas B, C e D valem, respectivamente, 18, 108 e 1. Com base nos dados apresentados, analise as afirmativas abaixo. I- A grandeza A é diretamente proporcional a B. A 1 3 6 9 II- A grandeza A é diretamente proporcional a C. B 3 9 18 27 III- A grandeza A é inversamente proporcional a D. C 3 27 108 243 Assinale a opção correta. D 3 2 1 1/3 a) Apenas a afirmativa I é verdadeira. b) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. c) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. d) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. 13. Um polígono convexo de n lados tem três dos seus ângulos iguais a 83º, 137º e 142º. Qual é o menor valor de n para que nenhum dos outros ângulos desse polígono seja menor que 121º? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 14. Uma máquina enche um depósito de cereais na razão de seis toneladas por hora. Num determinado dia, essa máquina com a tarefa de encher três depósitos de mesma capacidade. Encheu o primeiro normalmente, mas apresentou um defeito e encheu os outros dois na razão de três toneladas por hora. Em média, nesse dia quantas toneladas por hora trabalhou essa máquina? a) 3,2 b) 3,5 c) 3,6 d) 4,0 e) 4,5 15. Em quantos meses, no mínimo, um capital aplicado segundo a taxa a taxa simples de 0,7% ao mês produz um montante que supera o dobro do seu valor? a) 140 b) 141 c) 142 d) 143 e) 144 a 4 + b 4 − 6a 2 b 2 , onde a > b, obtém-se a 2 − b 2 + 2ab b) a2 - b2 + 2ab c) a2 + b2 - 2ab d) a2 + b2 + 2ab

16. Simplificando-se a fração a) a2 - b2 - 2ab

e) a2 + b2

17. Num determinado triângulo escaleno ABC, o ângulo BAC é igual a 90º. Sabe-se que AB = c, AC = b e BC = a. (c + b)(c − b) Internamente ao segmento BC, determina-se o ponto P de modo que BP = . O perímetro do tria ângulo APC é dado pela expressão 2 b (a + b ) 2c ( a + b ) 2 b ( b + c) 2c ( b + c ) 2 b ( a + c) a) b) c) d) e) a a a a a

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COLÉGIO NAVAL - 2005 - Matemática 18. No triângulo ABC, os lados AB e AC têm a mesma medida x e a mediana BM tem a mesma medida y do lado x BC. Sendo assim, é correto afirmar que a razão é um valor compreendido entre y a) 0 e 1 b) 1 e 2 c) 2 e 3 d) 3 e 4 e) 4 e 5 19. Uma determinada conta a pagar de valor x vence no dia 30 de novembro, mas, se for paga até o dia 30 de setembro, tem 20% de desconto sobre x e, se for paga até 31 de outubro, tem 10% de desconto sobre x. Alguém reservou o valor exato y para pagar essa conta no dia 30 de setembro, no entanto esqueceu-se de fazê-lo e só efetuou esse pagamento no dia 31 de outubro. Qual a porcentagem a mais sobre y que terá de pagar? a) 10% b) 12,5% c) 17,5% d) 20% e) 25% 20. Os números reais positivos a e b satisfazem a igualdade: a a 2 + 2b 2 = b 9a 2 − b 2 . Um valor possível para a é b 5+2 5 5+ 3 3+ 2 3 3+ 3 5+ 5 b) c) d) e) a) 2 2 2 2 2

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COLÉGIO NAVAL - 2006 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 2006 - Matemática  x 2 + y 3 = 12 01. Observe o sistema de equações lineares S1 =  . Sendo (x1, y1) solução de S1, o resultado de 2x + 7 y = 4 (6 + 2 )x1 + (21 + a) 18 b) 21

3 )y1 é igual a c) 24 d) 28

e) 32

02. Qual é o perímetro de um quadrilátero convexo inscrito em uma circunferência de raio unitário, sabendo-se que foi construído utilizando-se, pelo menos uma vez e somente, os lados do triângulo equilátero, quadrado e hexágono regular inscritos nessa circunferência? a)

3+ 2+2

3+2 2+1

c) 2 3 +

2+1

3+2 2+2

e) 2( 3 +

2 + 1)

03. Uma criação de 12 aves tipo A consome um saco de ração K em exatamente 30 dias e uma criação de 6 aves tipo B consome um saco de ração K, igual ao primeiro, em exatamente 10 dias. Inicialmente tem-se um saco de ração K para cada um dos tipos de aves mencionados. No fim do quinto dia, a ração disponível para as aves do tipo B estragou-se, obrigando a distribuição de toda a ração restante para os dois tipos de aves. Assim sendo, quantos dias inteiros vai durar a ração restante para alimentar todos os animais na forma regular? a) Cinco b) Seis c) Sete d) Oito e) Nove 04. Uma instituição financeira abaixou a sua taxa de juros de 2,5% para 2,0%. Assinale a opção que apresenta, em percentagem, a redução sobre a taxa inicial. a) 0,5 b) 5 c) 7,5 d) 15 e) 20 05. Em um quadrado ABCD de lado 10, toma-se internamente sobre o lado CD o ponto P, que dista 4 do vértice C, e internamente sobre o lado BC, o ponto Q, de modo que os triângulos ADP e PCQ sejam semelhantes, com o segmento CQ menor possível. Nessas condições, o ângulo BAQ será igual ao ângulo a) APB b) PAQ c) PAC d) BPQ e) AQP 06. Observe os conjuntos A = {3, {3}, 5, {5}} e B = {3, {3, 5}, 5}. Sabendo-se que n(X) representa o número total de elementos de um conjunto X, e que P(X) é o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto X, pode-se afirmar que a) n(A ∩ B) = 3 b) n(A ∪ B) = 7 c) n(A - B) = 2 d) n(P(A)) = 32 e) n(P(B)) = 16 07. Se x = 7200, y = 102440.3100 e z = 1625.62550, pode-se afirmar que a) x < y < z b) x < z < y c) y < x < z d) y < z < x x+a , qual é o valor numérico de y para x = x+b y.(x2 - 2) = x2 + 2 x - 4? a) 0 b) 0,5 c) 0,666... d) 1,5 e) 2

08. Sendo y =

e) z < x < y

2 , sabendo-se que, para todo número real x ≠ -b,

09. O resultado da expressão (187002 + 209002):(18700 x 20900) é aproximadamente igual a a) 2,01 b) 2,03 c) 2,05 d) 2,07 e) 2,09 10. O litro do combustível x custa R$2,00 e o do combustível y, R$3,00. O tanque do veículo V, que se move indiferentemente com os combustíveis x e y, tem capacidade total de 54 litros. O veículo V, quando abastecido unicamente com o combustível x, tem rendimento de 15 quilômetros por litro e, quando abastecido unicamente com o combustível y, tem rendimento de 18 quilômetros por litro. Quantos reais gastará o proprietário de V, caso resolva abastecer completamente o seu tanque com uma mistura desses combustíveis, de forma que, numericamente, os volumes correspondentes de x e y sejam, simultaneamente, diretamente proporcionais aos rendimentos e inversamente proporcionais aos custos de cada um deles? a) 131,00 b) 132,00 c) 133,00 d) 134,00 e) 135,00 N x 11. No dispositivo, tem-se a decomposição tradicional em fatores primos de um número natural N, x x em que a letra x está substituindo qualquer número natural diferente de N, zero e um. Sendo y o x x número total de divisores naturais de N, quantos são os valores possíveis para y? x x a) Três b) Quatro c) Cinco d) Seis e) Sete 1

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COLÉGIO NAVAL - 2006 - Matemática x ( x + x − y) + y ( y + 1) 2 , x + y2 - xy ≠ 0, obtém-se 2 2 x + y − xy b) x - y - 1 c) x + y - 1 d) 1 + x + y e) 1 - x + y 2

12. Simplificando-se a fração a) x - y + 1

1− x =x 2

13. Qual é a solução, no conjunto dos números reais, da equação a) x =

1 2

b) x = -1

c) x = 1

d) x = -1 ou x =

1 2

e) x = -

1 2

− b ± 23 * 4 determina as raízes do trinômio ax2 + bx + c, de coeficientes inteiros positivos e 8 raízes racionais. Sabendo-se que o símbolo * está substituindo um algarismo, qual é o menor valor numérico para esse trinômio? a) -72 b) -144 c) -172 d) -288 e) -324

14. A expressão x =

15. Em lugar do quadrado de lado igual a 1 (um) centímetro, tomou-se como unidade de área o triângulo equilátero de lado igual a 1 (um) centímetro. Qual será, nessa nova unidade, o número que expressará a área de um retângulo de base igual a 6 (seis) centímetros e altura igual a 4 (quatro) centímetros? a) 24

b) 6 3

c) 18 3

d) 24 3

e) 32 3

16. O produto de dois números reais x e y é igual a 150. Assim sendo, x + y não pode ser igual a a) 31,71 b) 28,27 c) 25,15 d) 24,35 e) -26,94 17. Quantos são os números primos maiores que 100 e menores que 200, nos quais os algarismos das dezenas é par e maior do que o das unidades? a) Um b) Dois c) Três d) Quatro e) Cinco 18. De um ponto P exterior a um círculo de raio 6, traçam-se secantes PXY (PX < PY), X e Y pontos variáveis pertencentes à circunferência desse círculo. Os pontos médios das cordas XY descrevem um arco de circunferência de raio R. Assim sendo, qual será o valor de R, sabendo-se que a tangente PT ao círculo mede 8? a) 5

b) 6

c) 4 2

d) 4 3

e) 10

19. Com a finalidade de se pesquisar a renda média em reais M da sua população, uma determinada região S foi dividida em quatro setores: X, Y, Z e W, com, respectivamente, 2550, 3500, 3750 e 4200 pessoas. Observou-se, então, que a renda média em reais de X é de 800,00, a de Y é de 650,00, a de Z é de 500,00 e a de W é de 450,00, logo a) 605,00 < M < 615,00 c) 585,00 < M < 595,00 e) 565,00 < M < 575,00 b) 595,00 < M < 605,00 d) 575,00 < M < 585,00 20. Em um triângulo retângulo ABC, o cateto AC e a hipotenusa BC medem, respectivamente, 10 e 40. Sabe-se que os segmentos CX, CY e CZ dividem o ângulo ACB em quatro ângulos de medidas iguais, e que AX, XY, YZ e ZB são segmentos consecutivos contidos internamente no segmento AB. Se S1, S2, S3 e S4 são, respectivamenSS te, as áreas dos triângulos CAX, CXY, CYZ e CZB, qual será o valor da razão 1 3 ? S2S4 a) 0,25

b) 0,5

c) 0,75

d) 1

e) 1,25

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COLÉGIO NAVAL - 2007 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 2007 - Matemática 01. Sabe-se que a3 - 3a + 1 = 93 e k = a4 - 6a + 1. Logo k também pode ser expresso por d) 6a2 + 84a + 1 a) 3a2 + 86a + 1 b) 3a2 + 84a + 1 e) 9a2 + 86a + 1 2 c) 6a + 86a + 1 02. Sabendo-se que um grado é a centésima parte de um ângulo reto, quantos grados tem o ângulo de 45º36’54’’? a) 50,48333... b) 50,58333... c) 50,68333... d) 50,78333... e) 50,88333... 03. Se x + y = 2 e (x2 + y2) / (x3 + y3) = 4, então xy é igual a 12 13 14 15 16 b) c) d) e) a) 11 11 11 11 11 04. Uma dívida, contraída à taxa de juros simples de 10% ao mês, deverá ser paga em duas parcelas, respectivamente iguais a R$126,00, daqui a 4 meses e R$192,00 daqui a 6 meses. Caso essa mesma dívida fosse paga em duas parcelas iguais, uma daqui a 4 meses e a outra daqui a 6 meses, qual seria a diferença entre as somas dos valores pagos em cada caso? a) R$4,30 b) R$4,40 c) R$4,50 d) R$4,60 e) R$4,70 05. Em um número natural N de 9 algarismos, tem-se: os algarismos das unidades simples, unidades de milhar e unidades de milhão iguais a x; os algarismos das dezenas simples, dezenas de milhar e dezenas de milhão iguais a y; e os algarismos das centenas simples, centenas de milhar e centenas de milhão iguais a z. Pode-se afirmar que N será sempre divisível por a) 333664 b) 333665 c) 333666 d) 333667 e) 333668 06. ABC é um triângulo retângulo de hipotenusa BC e altura AH. Seja P um ponto do mesmo semi-plano de A em relação à reta suporte de BC. Os ângulos HPC e ABC são iguais a 15º. Se o segmento PH é o maior possível, pode-se afirmar que PH é igual a BC HC a) AC b) AB c) d) e) AH 2 2 07. Num triângulo acutângulo qualquer ABC, os pontos D, E e F são , respectivamente, os pés das alturas AD, BE e CF. Traçam-se , a partir de D, as semi-retas DE e DF. Uma reta r passa por A, intersectando a semi-reta DE em G e a semi-reta DF em H. Qualquer que seja a reta r, pode-se afirmar que a) AG:AH : : DG:DH c) DG:DH : : DE:DF e) DE:AG : : DF:AH b) EG:DE : : FH:DF d) AG:GE : : AH:HF 08. Qual a soma das raízes quadradas das raízes da equação do 2ºgrau x2- 6x + 2 = 0? 1 a)  6 + 2.2 2    1 b)  6 + 2.3 2    1 c)  3 + 2.2 2   

1 d)  3 + 2.3 2   

1 e)  3 + 3.2 2   

09. Qual será o dia da semana na data de 17 de setembro de 2009? a) 2ª feira b) 3ª feira c) 4ª feira d) 5ª feira e) 6ª feira 10. Qual é a soma dos valores reais de x que satisfazem a equação x2 - 3x + 1 + (x2 - 3x + 2)-1 = 1? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 11. Deseja-se revestir uma área retangular, de 198cm de comprimento e 165cm de largura, com um número exato de lajotas quadradas, de tal forma que a medida do lado dessa lajotas, expressa por um número inteiro em cm, seja o maior possível. Quantas lajotas deverão ser usadas? a) 27 b) 30 c) 33 d) 36 e) 38

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COLÉGIO NAVAL - 2007 - Matemática 12. Um móvel P1 parte, no sentido horário, do ponto A de uma circunferência K1 de diâmetro AB = 2 e, no mesmo instante, um outro móvel P2 parte, no sentido anti-horário, do ponto C de uma circunferência K2 de diâmetro BC = 4. Sabe-se que: • A, B e C são colineares; • P1 e P2 têm velocidade constante; • K1 e K2 são tangentes exteriores em B; • P1 e P2 mudam de circunferência todas as vezes que passam pelo ponto B; • P2 leva 4 segundos para dar uma volta completa em K2; • o primeiro encontro de P1 e P2 ocorre no ponto B, quando eles passam pela terceira vez por este ponto. Quantos segundos leva P1 para dar uma volta completa em K1? 24 22 20 18 16 a) b) c) d) e) 7 7 7 7 7 13. Com a “ponta seca” de um compasso, colocado no centro de um quadrado de lado 2, traça-se uma circunferência de raio r. Observa-se que cada arco da circunferência, externo ao quadrado, tem o dobro do comprimento de cada arco interno. Usando-se raiz quadrada de três igual a 1,7 e pi = 3, qual a área da região intersecção do quadrado e do círculo, assim determinado? a) 2,8 b) 3,0 c) 3,2 d) 3,4 e) 3,6 14. Dois amigos compraram uma rifa por R$20,00, cujo prêmio é de R$1000,00. Um deles deu R$15,00, e, o outro R$5,00. Caso sejam contemplados, quantos reais a mais deverá receber o que deu a maior parte? a) R$250,00 b) R$300,00 c) R$450,00 d) R$500,00 e) R$750,00 15. Em uma classe de x alunos, o professor de matemática escreveu, no quadro de giz, um conjunto A de n elementos. A seguir, pediu que, por ordem de chamada, cada aluno fosse ao quadro e escrevesse um subconjunto de A, diferente dos que já foram escritos. Depopis de cumprirem com a tarefa, o professor notou que ainda existiam subconjuntos que não haviam sido escrito pelos alunos. Passou a chamá-los novamente, até que o 18º aluno seria obrigado a repetir um dos subconjuntos já escritos. O valor mínimo de x, que atende às condições dadas, está entre a) 24 e 30 b) 29 e 35 c) 34 e 40 d) 39 e 45 e) 44 e 50 16. Um reservatório deve ser enchido completamente com uma mistura de 76% de gasolina e de 24% de álcool. A torneira que fornece gasolina enche este tanque, sozinha, em 4 horas e a torneira que fornece álcool enche este tanque, sozinha, em 6 horas. Abrindo-se essas torneiras no mesmo instante, quanto tempo a mais uma delas deve ser deixada aberta, depois de a outra sr fechada, para que as condições estabelecidas sejam satisfeitas? a) 1h 30min b) 1h 36min c) 1h 42min d) 1h 48min e) 1h 54min 17. Um hexágono regular ABCDEF está inscrito em uma circunferência de raio 6. Traçam-se as tangentes aà circunferência nos pontos A, B, D e F, obtendo-se, assim, um quadrilátero circunscrito a essa circunferência. Usando-se 1,7 para raiz quadrada de três, qual é o perímetro desse quadrilátero? a) 54,4 b) 47,6 c) 40,8 d) 34,0 e) 30,6 18. Teoricamente, num corpo humano de proporções perfeitas, o umbigo deve estar localizado num ponto que divide a altura da pessoa na média e extrema razão (razão áurea), com a distância aos pés maior que a distância a cabeça. A que distância, em metros, dos pés, aproximadamente, deverá estar localizado o umbigo de uma pessoa com 1,70m de altura, para que seu corpo seja considerado em proporções perfeitas. Dados: usar 2,24 para raiz quadrada de 5. a) 1,09 b) 1,07 c) 1,05 d) 1,03 e) 1,01 19. Dado um triângulo ABC de área 72, sobre a mediana AM = 12, traçam-se os segmentos AQ = 3 e QP = 6. Sabendo-se que E é o ponto de intersecção entre as retas BP e QC, qual é a área do triângulo QPE? a) 6 b) 8 c) 9 d) 12 e) 18 20.Os conjuntos dos números naturais, inteiros e racionais foram denominados A, B e C, não necessariamente nessa ordem. Em um grupo de 19 números reais, sabe-se que 4 são irracionais, 7 pertencem a C e 10 pertencem a A. Quantos desses números pertencem, exclusivamente, ao conjunto B? a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

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COLÉGIO NAVAL - 2008 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 2008 - Matemática 01. Sabendo-se que 2x + 3y = 12 3e que mx + 4y = 16 são equações sempre compatíveis, com x e y reais, quantos são os valores de m que satisfazem essas condições? a) Um b) Dois c) Três d) Quatro e) Infinitos 02. O número a ≠ 0 tem inverso igual a b. Sabendo-se que a + b = 2, qual é o valor de (a3 + b3)(a4 - b4)? a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 e) 0 2 3 03. Qual é a soma dos quadrados das raízes da equação + = 1, com x real e x ≠ ±1? x −1 x +1 a) 16 b) 20 c) 23 d) 25 e) 30 04. O mínimo múltiplo comum e o máximo divisor comum entre os números naturais a, x e b, são respectivamente iguais a 1680 e 120. Sendo a < x < b, quantos são os valores de x que satisfazem essas condições? a) Nenhum b) Apenas um c) Apenas dois d) Apenas três e) Apenas quatro 05. Considere um triângulo acutângulo ABC, e um ponto P coplanar com ABC. Sabendo-se que P é equidistante das retas suportes de AB e de BC e que o ângulo BPC tem medida igual a 25º, pode-se afirmar que um dos ângulos de ABC mede a) 25º b) 45º c) 50º d) 65º e) 85º 06. Do vértice A traçam-se as alturas do paralelogramo ABCD. Sabendo-se que essas alturas dividem o ângulo interno do vértice A em três partes iguais, quanto mede o maior ângulo interno desse paralelogramo? a) 120º b) 135º c) 150º d) 165º e) 175º 07. A solução de

4x 2 − 4 x + 1 = 3 − 1 + 6x − 12 x 2 + 8x 3 no campo dos reais é

a) o conjunto vazio

1  b)   2

 1 1 c) − ,   2 2

1  d)  ,+∞  2 

e) ]− ∞,+∞[

08. Quantas vezes inteiras a raiz quadrada de 0,5 cabe na raiz cúbica de 10? a) Uma b) Duas c) Três d) Quatro e) Cinco 09. Duas tangentes a uma circunferência, de raio igual a dois centímetros, partem de um mesmo ponto P e são perpendiculares entre si. A área, em centímetros quadrados, da figura limitada pelo conjunto de todos os pontos P do plano, que satisfazem as condições dadas, é um número entre a) vinte e um e vinte e dois c) vinte e três e vinte e quatro e) vinte e cinco e vinte e seis b) vinte e dois e vinte e três d) vinte e quatro e vinte e cinco 10. Num determinado jogo, o apostador recebe, toda vez que ganha, o valor apostado inicialmente, mais 25% do mesmo; e recebe, toda vez que perde, apenas 25% do valor apostado inicialmente. Sabendo-se que foi feita uma aposta inicial de uma quantia x e que foram realizadas quatro jogadas, sempre sendo apostado o valor total obtido na jogada anterior, das quais ganhou-se duas e perdeu-se duas, qual é, aproximadamente, o percentual de x obtido no final? a) 3,7 b) 4,7 c) 5,7 d) 6,7 e) 9,8 11. Seja ABC um triângulo retângulo com catetos AC = 12 e AB = 5. A bissetriz interna traçada de C intersecta o lado AB em M. Sendo I o incentro de ABC, a razão entre as áreas de BMI e ABC é 1 13 1 13 2 b) c) d) e) a) 50 60 30 150 25 12. Sejam y e z números reais distintos não nulos tais que

a) -2

b) -1

c) 0

d) 2

4 y2 z2 + = 3. Qual é o valor de y + z? + yz 2z 2 y

e) 3

13. Uma expressão constituída por números de dois algarismos é do tipo  x  - , no qual cada quadrinho deve ser ocupado por um algarismo, num total de seis algarismos para toda a expressão. Sabendo-se que os algarismos que preencherão os quadrinhos são todos distintos, o menor valor possível para essa expressão é Observação: números do tipo 07 são considerados de um algarismo. a) 123 b) 132 c) 213 d) 231 e) 312

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COLÉGIO NAVAL - 2008 - Matemática 14. De uma determinada quantidade entre 500 e 1000 DVDs, se forem feitos lotes de 5 DVDs sobram 2; se forem feitos lotes de 12 DVDs sobram 9 e se forem feitos lotes de 14 DVDs sobram 11. Qual é a menor quantidade , acima de 5 DVDs por lote, de modo a não haver sobra? a) 6 b) 8 c) 9 d) 13 e) 15 15. Ao dividir-se a fração tido? a) 35,55%

3 2 2 pela fração encontrou-se . Qual é, aproximadamente o percentual de erro come5 3 5

b) 45,55%

c) 55,55%

d) 65,55%

e) 75,55%

16. O gráfico de um trinômio do 2º grau y tem concavidade para cima e intersecta o eixo das abscissas em dois pontos à direita da origem. O trinômio -y tem um valor a) mínimo e raízes positivas c) máximo e raízes positivas e) mínimo e raízes de sinais opostos b) mínimo e raízes negativas d) máximo e raízes negativas 17. Um triângulo retângulo, de lados expressos por números inteiros consecutivos, está inscrito em um triângulo equilátero T de lado x. Se o maior cateto é paralelo a um dos lados de T, pode-se concluir que x é aproximadamente igual a a) 6,5 b) 7,0 c) 7,5 d) 8,0 e) 8,5 18. Analise as afirmativas abaixo. I- Dois números consecutivos positivos são sempre primos entre si. II- Se o inteiro x é múltiplo do inteiro y e x é múltiplo do inteiro z, então x é múltiplo do inteiro yz. 1 1 2 III- A igualdade + = , é possível no campo dos reais. a b a+b Assinale a opção correta. a) Apenas a afirmativa I é verdadeira. d) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. b) Apenas a afirmativa II é verdadeira. e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. c) Apenas a afirmativa III é verdadeira.

(3 + 2 2 ) 19. O valor de (5 2 + 7)

2008

1338

a) múltiplo de onze

+ 3 - 2 2 é um número b) múltiplo de sete

c) múltiplo de cinco

d) múltiplo de três

e) primo

20. Um trinômio do 2º grau tem coeficientes inteiros, distintos e não nulos. Se o termo independente for uma das suas raízes, a outra será o a) inverso do coeficiente do termo de 1º grau. b) inverso do coeficiente do termo de 2º grau. c) simétrico inverso do coeficiente do termo de 1º grau. d) simétrico inverso do coeficiente do termo de 1º grau. e) simétrico inverso do coeficiente do termo independente.

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COLÉGIO NAVAL - 2009 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 2009 - Matemática 01. Num quadrado ABCD de lado 6cm, traça-se a circunferência k de centro em A e raio 4cm. Qual é a medida, em cm, do raio da circunferência tangente exterior a k e tangente ao lado BC no ponto C? a) 2,4 b) 2,5 c) 2,6 d) 2,7 e) 2,8 02. A área de um quadrado de 5cm de lado, na unidade u definida como sendo a área de um círculo de raio 1cm, é a) exatamente 25. c) aproximadamente 8 e) aproximadamente 5. b) exatamente 12,5. d) aproximadamente 6. 03. Sabe-se que: o número natural K dividido pelo número natural A dá quociente 56 e resto zero; K dividido pelo número natural B dá quociente 21 e resto zero; e os algarismos de A são os mesmos de B e ambos possuem dois algarismos, porém na ordem inversa. A soma dos algarismos de K é igual a a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 04. Sobre o sistema formado por 3x + 4y = 7 e 6x + 8y = 15, pode-se afirmar que é a) indeterminado c) determinado e x = y = 0. e) impossível b) determinado e 9x + 12y = 22. d) determinado e x = -y ≠ 0 05. Um funcionário usa uma empilhadeira para transportar bobinas de 70kg ou de 45kg, sendo uma de cada vez. Quantas viagens com carga deverá fazer, no mínimo, para transportar exatamente uma tonelada dessa carga? a) 18 b) 17 c) 16 d) 15 e) 14 06. A menor raiz da equação ax2 + bx + c = 0, com abc ≠ 0, é a média geométrica entre “m” e a maior raiz. A maior raiz é a média geométrica entre “n” e a menor raiz. Pode-se afirmar que “m + n” é expresso por: 3abc − b 3 3abc + b 3 3abc − b 3 abc + b 3 abc − b 3 b) c) d) e) a) a 2c a 2c c2a c2a a 2c 07. O combustível A é composto de uma mistura de 20% de álcool e 80% de gasolina. O combustível B é constituído exclusivamente de álcool. Um motorista quer encher completamente o tanque do seu carro com 50% de álx cool e 50% de gasolina. Para alcançar o seu objetivo colocou x litros de A e y litros de B. A razão é dada y por 5 3 2 5 3 a) b) c) d) e) 3 5 5 2 2

08. Sobre o lado maior de um retângulo de base 1 e altura 2 constrói-se um retângulo de base 2 e altura 3; sobre o maior lado desse último constrói-se um retângulo de base 3 e altura 4; e assim sucessivamente, até se construir o retângulo de base 99 e altura 100. Com quantos zeros termina o produto das áreas de cada um desses retângulos? a) 39 b) 40 c) 46 d) 78 e) 80 09. O conjunto solução de números reais, tal que o valor da expressão

( x − 5)15 (2 x − 1)10 é maior do que, ou igual (3x + 1)8

a zero, é:  1 1 a) [5, +∞ [ ∪ − ,   3 2 1  b)  − ∞,  ∪ [5, +∞ ] 2 

c) ]- ∞, +∞ [

1  e)   ∪ [5, +∞ ] 2

 1 1 d)  − ,  ∪ [5, +∞ ]  3 2

10. Em um triângulo retângulo ABC, BD é bissetriz interna relativa ao cateto maior AC e AH é a altura relativa à med(BH) hipotenusa BC. Se o ponto I é a interseção entre BD e AH, pode-se afirmar que é igual a: med(IH) a)

med(BC) med(AH)

med(BC) med(AD)

med(BC) med(CD)

med(AD) med(AI)

med(AD) med(IH)

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COLÉGIO NAVAL - 2009 - Matemática 11. Sendo: hA, hB e hC as medidas das alturas; mA, mB e mC as medidas das medianas e bA, bB e bC as medidas das bissetrizes internas de um triângulo ABC, analise as afirmativas a seguir. 1 1 1 I- O triângulo formado pelos segmentos , e é semelhante ao triângulo ABC. hA hB hC 1 1 1 , e é semelhante ao triângulo ABC. mA mB mC 1 1 1 III- O triângulo formado pelos segmentos , e é semelhante ao triângulo ABC. bA bB bC Pode-se concluir que a) apenas I é sempre verdadeira. d) I, II e III são sempre verdadeiras. b) apenas II é sempre verdadeira. e) I, II e III é sempre falsas. c) apenas III é sempre verdadeira. II- O triângulo formado pelos segmentos

12. Quantos são os números inteiros com os quais é possível, no conjunto dos reais, calcular o valor numérico da expressão algébrica 103x − x 2 − 300 ? a) 100 b) 99 c) 98 d) 97

e) 96

13. O número natural 198 está escrito na base 10. Em quantas bases de numeração o número dado é escrito com três algarismos? a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 14. Os números

4x 2−x e são inteiros e positivos, com x ∈ R - {0, 2}. Nessas condições, pode-se concluir 2−x 4x

que: a) x < 0

b) 0 < x <

1 3

1 1 <x< 3 2

1 2 <x< 2 3

2 <x<1 3

15. Dado o número [(2009)40 - 1]40 - 2010, analise as afirmativas a seguir. I- N é divisível por 2008 II- N é divisível por 2009 III- N é divisível por 200940 - 2010 Com base nos dados apresentados, pode-se concluir que a) Apenas a afirmativa I é verdadeira. d) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. b) Apenas a afirmativa II é verdadeira. e) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. c) Apenas a afirmativa III é verdadeira. 16. Em um trapézio isósceles ABCD, de base maior AB , está inscrito um arco de circunferência AMB, onde M é o ponto médio da base menor CD. O ângulo DBC, formado pela diagonal BD e pelo lado BC desse trapézio, mede 50º e o ângulo DBA mede 10º. Qual é a razão entre as medidas da base AB e do comprimento do arco AMB, sabendo-se que os lados congruentes desse trapézio são tangentes ao arco AMB nos pontos A e B? a)

3 π

2 3 3π

3 3 2π

2 2 π

17. Sobre o lado BC de um quadrado ABCD constrói-se um triângulo PBC, sendo o ponto P externo ao quadrado e o quadrilátero PCDB convexo. Se o ângulo PDC é congruente ao ângulo PBC, pode-se afirmar que o quadrilátero PCDB é a) sempre inscritível em um círculo. d) circunscritível a um círculo apenas se for um trapézio. b) sempre circunscritível a um círculo. e) impossível de ser inscrito em um círculo. c) inscritível em um círculo apenas se for um trapézio. 18. Analise as afirmativas a seguir. I- (30,333...)27 =

(

)

( 3) 3

III- 103k tem (3k + 1) algarismos, qualquer que seja o número natural k.

−1

II- 2 + 3 = 2 - 3 Assinale a opção correta. a) Apenas a afirmativa II é verdadeira. b) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. c) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. 86

d) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.

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COLÉGIO NAVAL - 2009 - Matemática 19. Os números naturais x e 18 são, nessa ordem, inversamente proporcionais aos números naturais y e 45. Se x > y, quantos são os valores possíveis para x? a) 9 b) 10 c) 15 d) 18 e) 20 20. O triângulo de lados 0,333...cm, 0,5cm e 0,666...cm é equivalente ao triângulo isósceles de base 0,333...cm e lados congruentes medindo x centímetros cada um. Com base nos dados apresentados, é correto afirmar que x é igual a a)

3 2

151 24

1 3

257 48

15 + 4 6 36

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COLÉGIO NAVAL - 2010 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 2010 - Matemática 01. Seja ABC um triângulo com lados AB = 15, AC = 12 e BC = 18. Seja P um ponto sobre o lado AC, tal que PC = 3AP. Tomando Q sobre BC, entre B e C, tal que a área do quadrilátero APQB seja igual a área do triângulo PQC, qual será o valor de BQ? a) 3,5 b) 5 c) 6 d) 8 e) 8,5 02. Sejam p(x) = 2x2010 - 5x2 - 13x + 7 e q(x) = x2 + x + 1. Tomando r(x) como sendo o resto na divisão de p(x) por q(x), o valor de r(2) será a) -8 b) -6 c) -4 d) -3 e) -2 03. Tem-se o quadrado de vértices ABCD com lados medindo ‘k’cm. Sobre AB marca-se M, de modo que BM . Sendo N o simétrico de B em relação ao lado CD, verifica-se que MN corta a diagonal AC em P. AM = 3 Em relação a área ABCD, a área do triângulo PBC equivale a: a) 18% b) 24% c) 27% d) 30% e) 36% 04. No conjunto dos inteiros positivos sabe-se que ‘a’ é primo com ‘b’ quando mdc(a, b) = 1. Em relação a este conjunto, analise as afirmativas a seguir. I- A fatoração em números primos é única. II- Existem 8 números primos com 24 e menores que 24. III- Se (a + b)2 = (a + c)2 então b = c. IV- Se a < b, então a.c < b.c Quantas afirmativas são verdadeiras? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 05. Estudando o quadrado dos números naturais, um aluno conseguiu determinar corretamente o número de soluções inteiras e positivas da equação 5x2 + 11y2 = 876543. Qual foi o número de soluções que este aluno obteve? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 06. ABCD é um quadrado de lado L. Sejam K a semicircunferência, traçada internamente ao quadrado, com diâmetro CD, e T a semicircunferência tangente ao lado AB em A e tangente à K. Nessas condições, o raio da a semicircunferência T será 5L 4L 2L 3L L b) c) d) e) a) 6 5 3 5 3 07. Considere o conjunto de todos os triângulos retângulos. Sendo ‘h’ a altura relativa a hipotenusa, quantos ele15 2 h? mentos nesse conjunto, tem um dos catetos igual a 4 a) Infinitos d) Apenas um b) Mais de dezesseis e menos de trinta e) Nenhum c) Mais de quatro e menos de quinze 08. Seja ‘x’ um número real. Define-se x como sendo o maior inteiro menor do que ‘x’, ou igual a ‘x’. Por exemplo, 2,7; -3,6; 5 são, respectivamente, igual a 2; -4 e 5. A solução da igualdade x + 2x = 6 é o intervalo [a; b). O valor de a + b é 15 9 11 13 17 b) c) d) e) a) 4 2 2 3 5 09. ABC é um triângulo equilátero. Seja P um ponto do plano de ABC e exterior ao triângulo de tal forma que PB intersecta AC em Q (Q está entre A e C). Sabendo que o ângulo APB é igual a 60º, que PA = 6 e PC = 8, a medida de PQ será 24 23 19 33 11 a) b) c) d) e) 7 5 6 14 4 10. A diferença entre um desconto de 50% e dois descontos sucessivos de 30% e 20% sobre o valor de R$40000,00 é um valor inteiro: a) múltiplo de 7 c) múltiplo de 12 e) zero, pois os descontos são iguais b) múltiplo de 9 d) ímpar Rua Baronesa, 705 - sala 206 - Praça Seca - Rio de Janeiro - Tel 39022608 - 94306166 88

COLÉGIO NAVAL - 2010 - Matemática 11. Sejam A, B e C conjuntos tais que:A = {1, {1, 2}, {3}}, B = {1, {2}, 3} e C = {{1}, 2, 3}. Sendo X a união dos conjuntos (A - C) e (A - B), qual será o total de elementos de X? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 12. No conjunto dos números reais, o conjunto solução da equação

a) é vazio

b) é unitário

c) possui dois elementos

(2 x + 1) 4 = 3x + 2

d) possui três elementos

e) possui quatro elementos

13. Sabe-se que p(x) = acx + b(a + c)x + (a + b + c )x + b(a + c)x + ac é um produto de dois polinômios do 2º grau e que os números a, b e c são reais não nulos como (b2 - 4ac) positivo. Nessas condições, é correto afirmar que (ANULADA) a) há apenas um valor de x tal que p(x) = 0 d) há quatro valores de x tais que p(x) = 0 b) há apenas dois valores de x tais que p(x) = 0 e) não há valores de x tais que p(x) = 0 c) há apenas três valores de x tais que p(x) = 0 14. Em um triângulo acutângulo não equilátero, os três pontos notáveis (ortocentro, circuncentro e baricentro) estão alinhados. Dado que a distância entre o ortocentro e o circuncentro é ‘k’, pode-se concluir que a distância entre o circuncentro e o baricentro será 5k 4k 4k k k b) c) d) e) a) 2 3 5 2 3 15. Dois números reais não simétricos são tais que a soma de seus quadrados é 10 e o quadrado de seu produto é 18. De acordo com essas informações, a única opção que contém pelo menos um desses dois números é: a) {x ∈ R / -1 ≤ x ≤ 1} c) {x ∈ R / 3 ≤ x ≤ 5} e) {x ∈ R / 7 ≤ x ≤ 9} b) {x ∈ R / 1 ≤ x ≤ 3} d) {x ∈ R / 5 ≤ x ≤ 7} 3x − y 3 = 0  16. No sistema  2 − 2 1 , a quantidade de soluções inteiras para ‘x’ e ‘y’ é:  x .y = 3  a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) infinita 1

17. No conjunto dos números reais, qual será o conjunto solução da inequação 2 15   a)  x ∈ R / < x <  15 2  2  b)  x ∈ R / 0 < x ≤  15  

2   c)  x ∈ R / − < x < 0 15   15 2  d)  x ∈ R / − ≤ x < −  2 15  

88 1 - ≤ 0,25 2 ? 121 x

15   e)  x ∈ R / x < −  2 

375y 2 x − 125 y3 − 375 yx 2 + 125x 3 = 125b 18. Considere o sistema  2 nas variáveis reais x e y, sendo a e b reais. Nes y + x 2 + 2 yx = a 2 sas condições, qual será o valor de (x2 - y2)6? b) a8b6 c) a6b2 d) a3b6 e) a4b6 a) a3b6 1 1 1 + = . Qual o valor mínimo do produto pq? p q 2010 d) 1005 e) 105

19. Sejam p e q números reais positivos tais que a) 8040

b) 4020

c) 2010

3 3 3 = ? x − 1 2x − 2 2x + 2 e) R - [-1; 1)

20. No conjunto ‘R’ dos números reais, qual será o conjunto solução da equação a) R

b) R - (-1; 1)

c) R - [-1; 1]

d) R - {-1; +1}

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COLÉGIO NAVAL - 2011 - Matemática

Provas anteriores do Colégio Naval - 2011 - Matemática 01. É correto afirmar que o número 52011 + 2.112011 é múltiplo de a) 13 b) 11 c) 7 d) 5 e) 3 7 8 9 − = 2 é um divisor de x −1 x +1 x −1 c) 15 d) 16 e) 19

02. A solução real da equação a) 12

b) 14

03. A soma das raízes de uma equação do 2º grau é 2 e o produto dessas raízes é 0,25. Determine o valor de a 3 − b 3 − 2ab 2 , sabendo que a e b são as raízes dessa equação do 2º grau e a > b, e assinale a opção correta. a 2 − b2 a)

1 2

3−2 4

c) -1

1 4

2 +

04. Sejam a, b e c números reais não nulos tais que

2 -

1 4

1 1 1 a b c a b c + + = p, + + + + + = q e ab + ac + bc = r. ab bc ac b a a c c b

O valor de q2 + 6q é sempre igual a a)

p2r2 + 9 4

p 2 r 2 − 9p 12

c) p 2 r 2 - 9

p 2 r 2 − 10 4r

e) p 2 r 2 - 12p

33x 3 + 97 = 5 é

05. A quantidade de soluções reais e distintas da equação 3x3 a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6

AB = 2. Seja M o ponto médio de AB e P o pé da altura BC de ABCD baixada sobre o prolongamento de AB, a partir de C. Sabe-se que a razão entre as áreas dos triângu2+ 3 . A área do triângulo BPC é igual a los MPC e ADM é 2 15 3 9 3 5 3 3 3 3 a) b) c) d) e) 2 2 2 2 2

06. Num paralelogramo ABCD de altura CP = 3, a razão

9 0,5 x 0,333... + 7 4 x 0,0625 -

07. O valor de

a) 0

3-2

3,444... + 4,555... 3

2 -2

e) 1

08. Dado um quadrilátero convexo em que as diagonais são perpendiculares, analise as afirmações abaixo: I- Um quadrilátero assim formado sempre será um quadrado. II- Um quadrilátero assim formado sempre será um losango III- Um quadrilátero assim formado sempre será um retângulo Assinale a opção correta. a) Apenas a afirmativa I é verdadeira d) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras b) Apenas a afirmativa II é verdadeira e) Nenhuma das afirmativas é verdadeiras c) Apenas a afirmativa III é verdadeira 09. Observe a figura A figura mostra, num mesmo plano, duas ilhas representadas pelos pontos A e B e os pontos C, D, M e P fixados no continente por um observador. ˆ B = AD ˆ B = APˆD = 30º, M é o ponSabe-se que AC to médio de CD = 100m e que PM = 10m é perpendicular a CD. Nessas condições, a distância entre as ilhas é de: a) 150m

b) 130m

c) 120m

d) 80m

Mar

M P C terra continental

e) 60m

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COLÉGIO NAVAL - 2011 - Matemática 10. Numa pesquisa sobre a leitura dos jornais A e B, constatou-se que 70% dos pesquisados leem o jornal A e 65% leem o jornal B. Qual o percentual máximo dos que leem os jornais A e B? a) 35% b) 50% c) 65% d) 80% e) 95% 11. Analise as afirmações abaixo referentes a números reais simbolizados por a, b ou c. I- A condição a.b.c > 0 garante que a, b e c não são, simultaneamente, iguais a zero, bem como a condição 2 a + b2 + c2 ≠ 0. II- Quando o valor absoluto de a é menor do que b > 0, é verdade que -b < a < b. III- Admitindo que b > c, é verdadeiro afirmar que b2 > c2 Assinale a opção correta. a) Apenas a afirmativa I é verdadeira b) Apenas a afirmativa II é verdadeira c) Apenas a afirmativa III é verdadeira Etapa 4 d) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras Etapa 3 e) Apenas as afirmativas I, II e III são verdadeiras Etapa 2

12. Observe a figura

Etapa 1 A figura representada foi construída por etapas. A cada etapa acrescenta-se pontos na horizontal e na vertical, com uma unidade de distância, exceto na etapa 1, iniciada com 1 ponto. Continuando a compor a figura com estas etapas e buscando um padrão, é correto concluir que a) cada etapa possui quantidade ímpar de pontos e a soma desses ‘n’ primeiros ímpares é n2. b) a soma de todos os números naturais começando do 1 até o ‘n’ é sempre um quadrado perfeito. c) a soma dos pontos das ‘n’ primeiras etapas é 2n2 - 1. d) cada etapa ‘n’ tem 3n - 2 pontos e) cada etapa ‘n’ tem 2n + 1 pontos 3

13. O número real a) 5 -

26 − 15 3 é igual a 7−4 3

c) 3 -

d) 13 − 3 3

e) 2

14. A divisão do inteiro positivo N por 5 tem quociente q1 e resto 1. A divisão de 4q1 por 5 tem quociente q2 e resto 1. A divisão de 4q2 por 5 tem quociente q3 e resto 1. Finalmente, dividindo 4q3 por 5 tem quociente q4 e resto 1. Sabendo que N pertence ao intervalo aberto (621, 1871), a soma dos algarismos de N é a) 18 b) 16 c) 15 d) 13 e) 12 15. Assinale a opção que apresenta o único número que NÃO é inteiro. a) 6 1771561 16. A expressão deles é: a) 2

b) 3

20561

4826807

e) 6 148035889

331776

− ( x − 1) 6 é um número real. Dentre os números reais que essa expressão pode assumir, o maior

2 -1

[

c) 2 -

d) 1

e) 0

]

17. Sejam A = 7 2011 ,112011 e B = {x ∈ R / x = (1 - t).72011 + t.112011 com t ∈ [0, 1]}, o conjunto A - B é a) A ∩ B

b) B - {112011}

c) A - {72011}

d) A

e) ∅

18. Um aluno estudava sobre polígonos convexos e tentou obter dois polígonos de N e n lados (N ≠ n) e com D e d diagonais, respectivamente, de modo que N - n = D - d. A quantidade de soluções corretas que satisfazem essas condições é A a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) indeterminado b 4c

19. Considere a figura A razão a) 91

7 12

S(MPQ) , entre as áreas dos triângulos MPQ e ABC, é S(ABC) b)

5 12

7 15

8 15

7 8

c B 3a

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COLÉGIO NAVAL - 2011 - Matemática 20. Observe a ilustração PEÇA I 1

PEÇA II 2 1

2 2 1 1

Qual a quantidade mínima de peças necessárias para revestir sem falta ou sobra, um quadrado de lado 5, utilizando as peças acima? a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8

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