31
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 1
Página 57 PRACTICA Números reales
1 a) Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales: ) 3 41 ; √49 ; 53, 7; 3,2; √12 ; √5 13 b) ¿Alguno de ellos es entero? c) Ordénalos de menor a mayor.
) a) Racionales: 41 ; – √49 ; 53,7; 3,2 · 10 –10 13 3
Irracionales: √12 ; √5 b) Entero: – √49 = –7
) 3 c) – √49 < 3,2 · 10 –10 < √5 < 41 < √12 < 53,7 13 2 Di cuáles de los siguientes números son irracionales: – 3; 4
) 1,73 ;
√3 ;
π;
√9 ;
– 1 + √5 2
1 + √5 . 2
Son irracionales √3 , π y
3 Ordena de menor a mayor: ) a) 1,45; 1,4; √2
3 b) √2 ; √3 ; 13 9
)
3 b) √2 < √3 < 13 9
a) √2 < 1,4 < 1,45
4 Clasifica estos números como naturales, enteros, racionales y/o reales: 3 –2
–3 4 π
√2
7,23
0
–4
1 3
√–1
11 9
√5
2
2,48
18
1 + √2
–1
3
1
1,010203…
Unidad 3. El número real
√–1
31
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 2
N
→ 3; 0; 2; 18; 1
Z
→ 3; 0; 2; 18; 1; –2; –4; –1; √–1
Q
3 → 3; 0; 2; 18; 1; –2; –4; –1; √–1 ; – 3 ; 7,23; 1 ; 11 ; 2,48 4 3 9
Á
3 → 3; 0; 2; 18; 1; –2; –4; –1; √–1 ; – 3 ; 7,23; 1 ; 11 ; 2,48; 4 3 9
3
√2 ; π; 1 + √2 ; 1,010203…
5 Representa en la recta real los siguientes números: a) –3; 2,7; √17 ; 1 , de forma exacta. 3 b) π = 3,14…, de forma aproximada. a) √17 = √4 2 + 1 2
— √17
1 –3
–2
–1
b)
0
1 — 3
1
2
3 2,7
3,1 3,2
3
4 π ≈ 3,14…
Inter valos
6 Dados los números: 1; 2; 2,3; 3; 3,9; 4; 4,1: a) Indica cuáles de ellos pertenecen al intervalo [2, 4). b) Lo mismo, pero con el intervalo [2, 4]. c) Igual, pero con el intervalo (2, +∞). a) Al intervalo [2, 4) pertenecen el 2; 2,3; 3; 3,9 b) En el intervalo [2, 4] están el 2; 2,3; 3; 3,9; 4 c) En el intervalo (2, +∞) se encuentran los números 2,3; 3; 3,9; 4; 4,1 Unidad 3. El número real
4 √— 17
31
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 3
7 Escribe en forma de intervalo y representa los números que cumplen las condiciones dadas en cada caso: a) Menores o iguales que 3. b) Comprendidos entre –1 y 0, incluyendo el 0, pero no el –1. c) Mayores que 2, pero menores que 3. d) Mayores que 5. a) (– ∞, 3] b) (–1, 0]
3 –1 0
c) (2, 3) d) (5, +∞)
2
3
5
8 Escribe en forma de intervalo y representa en cada caso: a) {x / – 6 ≤ x ≤ 3}
b) {x / – 4 < x ≤ 4}
c) {x / x ≥ 3}
d) {x / 0 < x < 5}
e) {x / x > –2}
f ) {x / 10 ≥ x }
a) [–6, 3] b) (–4, 4] c) [3, +∞) d) (0, 5)
–6
0
–4 0
0
4
3
0
e) (–2, +∞) f ) (–∞, 10]
3
5
–2 –1
0
0
10
9 Escribe en forma de intervalo y representa los números que cumplen las condiciones indicadas en cada caso: a) 0 < x < 1
b) x ≤ –3
c) x > 0
d) –5 ≤ x ≤ 5
e) x > –5
f) 1 ≤ x < 3
Unidad 3. El número real
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31
Pág. 4
a) (0, 1)
0
1
b) (–∞, –3]
–3
c) (0, +∞)
0
0
d) [–5, 5]
–5
e) (–5, +∞)
–5
0
f ) [1, 3)
0
1
5
3
10 Escribe en forma de desigualdad y representa los siguientes intervalos: a) (1; 2,5)
b) [–2, 3]
c) [–7, 0)
d) [–3, +∞)
e) (2, +∞)
f ) (–5, 2]
a) {x / 1 < x < 2,5} b) {x / –2 ≤ x ≤ 3}
0
1
–1
0
–2
c) {x / –7 ≤ x ≤ 0}
2 2,5 3 1
2
3
–7
d) {x / –3 ≤ x}
0 –3
0
e) {x / x > 2}
0
f ) {x / –5 < x ≤ 2}
–5
2 0
2
Potencias y raíces
11 Expresa en forma de potencia con exponente fraccionario: 3
5
c) √a 5
8
d) √x
f ) √a 2
4
g) √a
h) √2
a) 5 2/3
b) a 2/5
c) a 5/8
d) x 1/3
e) a –1/2
f ) a 2/4 = a 1/2
g) a 1/2
h) 2 1/2
a) √52
b) √a 2
e) √a –1
3
12 Expresa en forma de raíz: a) 32/5
b) 23/4
c) a 1/3
d) a 1/2
e) x 1/4
f ) a 3/2
g) x –1/2
h) x –3/2
5
5
a) √3 2 = √9 4
e) √x Unidad 3. El número real
4
4
3
b) √2 3 = √8
c) √a
d) √a
f ) √a 3
g) √x –1
h) √x –3
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
31
Pág. 5
13 Calcula: a) 251/2
b) 271/3
c) 1252/3
d) 813/4
a) 25 1/2 = (5 2) 1/2 = 5 2/2 = 5 b) 27 1/3 = (3 3) 1/3 = 3 3/3 = 3 c) 125 2/3 = (5 3) 2/3 = 5 3 · 2/3 = 5 2 = 25 d) 81 3/4 = (3 4) 3/4 = 3 3 = 27 Página 58
14 Calcula las siguientes raíces: 4
b) √243
4
e) √–1
3
h) √144
a) √16 d) √1 g) √–27 4
5
c) √0
3
f ) √–1
4
7
5
a) √16 = √2 4 = 2
5
b) √243 = √3 5 = 3
7
d) √1 = 1
4
3
f ) √–1 no existe
c) √0 = 0 e) √–1 = –1 3
3
g) √–27 = √(–3) 3 = –3
h) √144 = √12 2 = 12
15 Obtén con la calculadora: 5
3
a) √9 d)
√ 4
3 — 5
g) 8 –1/3
4
b) √–173
c) √143
e) √283
f ) 283/4
h) 0,021/2
i ) 0,2 –1/2
5
b) √–173 ≈ –5,57
c) √14 3 = 14 3/4 ≈ 7,24
4
d)
e) √28 3 ≈ 148,16
f ) 28 3/4 ≈ 12,17
g) 8 –1/3 = 0,5
h) 0,02 1/2 ≈ 0,14
a) √9 = 9 1/5 ≈ 1,55
i) 0,2 –1/2 ≈ 2,24 Unidad 3. El número real
3
√ () 4
3 = 3 5 5
1/4
≈ 0,88
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
31
Pág. 6
Radicales
16 Multiplica y simplifica el resultado: 3
3
a) √2 · √3 · √6
b) √a · √a 2
c) √5 · √10 · √8
d) √a · √a 3
a) √2 · √3 · √6 = √2 · 3 · 6 = √36 = 6 3
3
3
3
b) √a · √a 2 = √a · a 2 = √a 3 = a c) √5 · √10 · √8 = √5 · 10 · 8 = √400 = 20 d) √a · √a 3 = √a · a 3 = √a 4 = a 2
17 Simplifica los siguientes radicales: a) √5 3
6
b) √212
12
e) √x 2y 2
d) √a 4 · b 8
15
c) √a 8
10
8
f ) √x 12
4
6
15
a) √a 3 = √a 10
5
5
b) √2 12 = √2 4 = √16
5
12
c) √a 8 = √a 4 8
3
d) √a 4 · b 8 = √a · b 2
4
4
e) √x 2 · y 2 = √x · y
f ) √x 12 = x 3
18 Reduce a índice común y ordena de menor a mayor en cada caso: 3
4
3
a) √2 , √3 , √4 3
4
4
a) √2 , √3 , √4 12
12
3
12
12
4
12
12
3
4
√2 = √2 6 = √64 √3 = √3 4 = √81 √4 = √4 3 = √64
4
3
√2 = √4 < √3
6
b) √2 4 , √5 3 , √3 5 3
12
4
12
6
12
√2 4 = √2 16 ; √5 3 = √5 9 ; √3 5 = √3 10 6
3
4
Como 3 10 < 2 16 < 5 9 → √3 5 < √2 4 < √5 3 Unidad 3. El número real
6
b) √2 4 , √53 , √35
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
31
Pág. 7
19 Divide y simplifica el resultado: 3
√ 12 a) √3
b)
√4 √2
e)
√ √
4
√a 2 d) 4 √a
√
a)
√ 12 = √3
b)
√ 4 = √ 42 = 6 √2 √23
3
c)
3
d)
e)
3
3
a2 = a
3 : 2
6
f)
√ 6
4
4
20 = 3
12 12
4
20 — 3
6
√ 20 f) 4 √ 10
2 3
5 20 —:— = 12 3
√ 4
5·3 = 12 · 20
√ 4
1 = 1 16 2
a2 3 = √a a
3 2 —:— = 2 3
2 = 3
20 = 10
5 — : 12
42 6 = √2 — 23
√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 4
5 : 12
3 : 2
√ √ 4
12 = √4 = 2 3
6
4
c)
20 2 = 10 3
12
√ √
32 = 3 — 2 22
12 400 4 = 1 000 10
20 Extrae todos los factores que puedas de los siguientes radicales: 3
4
a) √16
b) √28
c) √2 10
d) √8
e) √200
f) √300
3
3
3
a) √16 = √2 4 = 2 √2 b) √28 = √7 · 2 2 = 2 √7 4
4
4
c) √2 10 = √2 4 · 2 4 · 2 2 = 4 √4 d) √8 = √2 3 = 2 √2 e) √200 = √5 2 · 2 3 = 5 · 2 √2 = 10 √2 f ) √300 = √2 2 · 5 2 · 3 = 10 √3
21 Calcula y simplifica en cada caso: a) ( √2 ) 10 4
d) √√8 Unidad 3. El número real
3
4
b) ( √2 )4
c) ( √3 2 )8
e) ( √√2 )10
f) ( √√2 )6
3
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
31
Pág. 8
3
a) ( √2 )10 = √2 10 = 2 5 = 32
3
4
c) ( √3 2 )8 = √3 16 = 3 4 = 81
d) √√8 = √8
e) ( √√2 )10 = √2 10 = √2 5
f ) ( √√2 )6 = √2 6 = 2
4
4
3
4
22
3
b) ( √2 )4 = √2 4 = 2 √2 8
6
( E S T Á R E S U E LTO E N E L L I B RO ) .
23 Calcula y simplifica: a) √3 + 3 √3 – 5√3
b) 2 √8 + 4 √72 – 7 √18
c) 3 √2 + 4 √8 – √32 + √50
d) 5 √12 + √27 – 8 √75 + √48
e) √2 +
3 √2 5 √2 – 4 3
a) √3 + 3 √3 – 5 √3 = (1 + 3 – 5) √3 = – √3 b) 2 √8 + 4 √72 – 7 √18 = 2 √2 3 + 4 √3 2 · 2 3 – 7 √3 2 · 2 = = 4 √2 + 24 √2 – 21 √2 = (4 + 24 – 21) √2 = 7 √2 c) 3 √2 + 4 √8 – √32 + √50 = 3 √2 + 4 √2 3 – √2 5 + √5 2 · 2 = = 3 √2 + 8 √2 – 4 √2 + 5 √2 = = (3 + 8 – 4 + 5) √2 = 12 √2 d) 5 √12 + √27 – 8 √75 + √48 = 5 √2 2 · 3 + √3 3 – 8 √52 · 3 + √2 4 · 3 = = 10 √3 + 3 √3 – 40 √3 + 4 √3 = = (10 + 3 – 40 + 4) √3 = –23 √3 e) √2 +
3√ 2 5√ 2 12√ 2 9√ 2 20√ 2 (12 + 9 – 20)√ 2 √ 2 – = + – = = 12 4 3 12 12 12 12
24 Efectúa: a) √320 + √80 – √500 3
3
b) √125 + √54 – √45
3
c) √40 + √135 – √5 a) √320 + √80 – √500 = √2 6 · 5 + √2 4 · 5 – √2 2 · 5 3 = = 2 3 · √5 + 2 2 · √5 – 2 · 5 √5 = = 8 √5 + 4 √5 – 10 √5 = (8 + 4 – 10) √5 = 2√5 Unidad 3. El número real
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
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Pág. 9
b) √125 + √54 – √45 = √5 3 + √3 3 · 2 – √3 2 · 5 = = 5 √5 + 3 √6 – 3 √5 = 2 √5 + 3 √6 3
3
3
3
3
3
c) √40 + √135 – √5 = √2 3 · 5 + √33 · 5 – √5 = 3
3
3
3
3
= 2 √5 + 3 √5 – √5 = (2 + 3 – 1) √5 = 4 √5
25 Racionaliza y simplifica: a)
2 √2
a)
2 2 √2 = = √2 2 √2
b)
4 4√ 6 2√ 6 = = 6 3 √6
c)
6 6√ 12 √ 12 2 √ 3 = = = = √3 2 12 2 √ 12
d)
3 3√ 15 √ 15 = = 15 5 √ 15
b)
4 √6
c)
6 √ 12
26 Racionaliza y simplifica: 3 √5
b)
1 √x
d)
a)
3
c)
3
3
3
1 √a 5 8
3
3 3 · √52 3 · √52 3 √ 25 a) 3 = 3 = = — 3 3 — 5 √ 5 √ 5 · √ 52 √ 53 8
8
3
1 √a 3 √a 3 = √ a 3 = 8 8— = 8 a √a 5 √a5 · √ a3 √a8
b) 8
3
3
3
1 √x 2 = √x 2 = √ x 2 c) 3 = 3 3 — 3 x √x √x · √ x 2 √x 3 4
4
4
2 2 √23 2 √23 2√ 8 4 d) 4 = 4 = = = √8 — 4 4 2 √ 2 √ 2 · √ 23 √ 2 4 Unidad 3. El número real
2 √2
4
d)
3 √ 15
31
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 10
Página 59
27 Racionaliza y simplifica: a)
2 1 + √2
b)
d)
1 1 – √3
1 e) — √5 + 3
10 g) — — √3 + √2
h)
4 3 – √2
√2 √2 + 3
c)
23 5 – √2
1 f) — — √3 – √2 i)
1 + √3 1 – √3
— 2(1 – √ 2) 2 2(1 – √2) 2 – 2√ 2 a) = = = 2 √2 – 2 — — = 1–2 –1 1 + √ 2 (1 + √ 2)(1 – √ 2) — 4(3 + √ 2) 4 4(3 + √2) 12 + 4√ 2 b) = = — — = 9–2 7 3 – √ 2 (3 – √ 2)(3 + √ 2) — 23(5 + √ 2) 23 23(5 + √2) 23(5 + √2) c) = = = 5 + √2 — — = 25 – 2 23 5 – √ 2 (5 – √ 2)(5 + √ 2) — 1 + √3 1 1 + √3 1 + √3 1 + √3 d) = = =– — — = 1 – 3 –2 2 1 – √ 3 (1 – √ 3)(1 + √ 3) — √ 5–3 1 √5 – 3 = √5 – 3 = 3 – √5 e) = — = — –4 4 √ 5 + 3 (√ 5 + 3)(√ 5 – 3) 5 – 9 — — – √ 3 + √2 1 √ 3 + √2 f) — — = — — — — = = √3 + √2 3–2 √ 3 – √ 2 (√ 3 – √ 2)(√ 3 + √ 2) — — – 10(√ 3 – √ 2) 10 10(√3 + √2) g) — — = — — — — = = 10 √3 – 10 √2 3–2 √ 3 + √ 2 (√ 3 + √ 2)(√ 3 – √ 2) — — – — √ 2 (√ 2 – 3) √ 2(√2 – 3) 2 – 3√2 3√2 – 2 √ 2 h) — = — = = = — 2–9 –7 7 √ 2 + 3 (√ 2 + 3)(√ 2 – 3) — — — 1 + √ 3 ( 1 + √ 3 )( 1 + √ 3) 1 + 2√3 + 3 = 2√3 + 4 = – √3 – 2 i) —= — — = 1–3 –2 1 – √ 3 (1 – √ 3)(1 + √ 3) P I E N S A Y R E S U E LV E
) ) 28 ¿Cuántos números racionales hay entre 0,8 y 0,9? Pon ejemplos y razona tu respuesta.
Unidad 3. El número real
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
31
Pág. 11
)
)
Entre 0,8 y 0,9 hay infinitos números racionales. Basta con introducir nueves ) ) en) tre la parte entera y el primer decimal de 0,8. Por ejemplo, 0,98 está entre 0,8 y 0,9.
)
)
)
Lo mismo ocurre con 0,998; 0,9998; 0,99998, y así, sucesivamente, vemos que ) ) podemos incluir infinitos números racionales entre 0,8 y 0,9.
29 Explica un procedimiento para construir un segmento que mida, exactamente, √13 cm.
Con un rectángulo 3 × 1 construimos su diagonal, que medirá √3 2 + 1 2 = √10 . Con un rectángulo de dimensiones √10 y 1 construimos √11 .
√(√10 )2 + 1 2= √10 + 1 = √11 Análogamente, con un rectángulo de dimensiones √11 y 1 construimos √12 . Finalmente, con un rectángulo de dimensiones √12 y 1 construimos √13 .
30 ¿Cuáles de las siguientes raíces no existen?: 3
6
5
4
√–20 ; √0,12 ; √–1 ; √241 ; √–16 4
No existen las raíces de índice par y radicando negativo: √–1 , √–16 no existen.
31 Obtén con la calculadora:
32
—
1 – √5 a) 3
√3 + √ 2 b)
1 – √5 a) ≈ –0,41 3
√ 3 + √ 2 ≈ 1,57 b)
2
c)
√2 1 + √2
c)
√ 2 ≈ 0,59 1 + √2
—
2
( E S T Á R E S U E LTO E N E L L I B RO ) .
33 Expresa como potencia única: 3
3
a) √3 · √3
b) 2 √4 3
√8 √4
d) 3
e)
√a8 a2
3
a) √3 · √3 = 3 1/2 · 3 1/3 = 3 1/2 + 1/3 = 3 5/6 3
c) a √a
3
b) 2 √4 = 2 · √2 2 = 2 · 2 2/3 = 2 1 + 2/3 = 2 5/3 Unidad 3. El número real
3
6
f) √a 2 · √a
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
31
Pág. 12
c) a √a = a · a 1/2 = a 3/2 d)
√ 8 = √ 2 3 = 23/2 = 23/2 – 2/3 = 2 5/6 3 3 2/3 √4 √22 2 3
e)
√ a 8 = a8/3 = a 8/3 – 2 = a 2/3 2 2 a
a
3
6
f ) √a 2 · √a = a 2/3 · a 1/6 = a 2/3 + 1/6 = a 5/6
34 Expresa en forma exponencial: 5
b) √a 5 · a 2
d) ( √a )–3
e) ( √a 2 )2
4
5
f) ( √a )5 8
a) ( √a 2 )3 = (a 2/5) 3 = a 6/5 3
3
4 c) √√x
8
a) ( √a 2 )3
8
b) √a 5 · a 2 = √a 7 = a 7/8
4 c) √√x = √x = x 1/12 12
d) ( √a )–3 = (a 1/2) –3 = a –3/2
4
e) ( √a 2 )2 = (a 2/4) 2 = a
f ) ( √a )5 = (a 1/2) 5 = a 5/2
35 Reduce a un solo radical: 8
3
4
4
a) √2 2 · √2 3
4
4
6
6
b) √a 3 · √a 5 12
12
12
c)
√8 — √2 · √ 2 4
12
a) √2 2 · √2 = √2 8 · √2 3 = √2 8 · 2 3 = √2 11 12
12
12
12
12
b) √a3 · √a5 = √a 9 · √a 10 = √a 9 · a 10 = √a 19 = a √a 7 8
c)
8
√8 = √23 — 8 2 8 —4 = 4 √2 · √ 2 √2 · √ 2
Unidad 3. El número real
√ 8
23 = 22 · 2 4
√ √ 8
23 = 26
8
1 = 8√2 –3 23