Introducción El Problema De La Interpolación Muchas veces, de una función sólo conocemos un conjunto de valores. Esto puede suceder, por ejemplo, porque son los resultados de un experimento gobernado por una ley que desconocemos. Si queremos calcular el valor de la función para una abscisa diferente de las conocidas, debemos utilizar otra función que la aproxime y, naturalmente, el valor que obtengamos será una aproximación del valor real. También puede suceder que sepamos la expresión analítica de la función, pero sea lo suficientemente complicada como para calcular aproximaciones a los valores de la función a partir de otros ya conocidos. Existen varias formas de hacer esto, pero la más sencilla y una de las más utilizadas es la interpolación, que consiste en construir una función que pase por los valores conocidos (llamados polos) y utilizar ésta como aproximación de la función primitiva. Si se utilizan polinomios como funciones de aproximación, hablamos de interpolación polinómica. Si la abscisa para la que queremos encontrar un valor aproximado de la función se encuentra fuera del mayor intervalo definido por las abscisas de los polos, se dice que estamos haciendo extrapolación. Siempre que se utiliza un valor aproximado se está cometiendo un error. El estudio del error queda fuera de los límites del curso al que está dirigida esta unidad didáctica Tabla De Diferencias Dados los valores de una función desconocida correspondiente a dichos valores de x, ¿cuál es el comportamiento de la función?; el propósito es determinar dicho comportamiento, con las muestras de los pares de datos (x, f(x)); se encontrará un polinomio que satisfaga un conjunto de puntos seleccionados (xi, f(xi)) donde los valores
que aporten el Polinomio y la función se comportan casi de la misma manera, en el intervalo en cuestión. Si se desea encontrar un polinomio que pase a través de los mismos puntos que la función desconocida se puede establecer un sistema de ecuaciones, pero este proceso es un poco engorroso; resulta conveniente arreglar los datos en una tabla con los valores de x en forma ascendente. Además de las columnas para x y para f(x) se deberán tabular las diferencias de los valores funcionales. Cada una de las columnas de la derecha de f(x), se estima o determina calculando las diferencias entre los valores de la columna a su izquierda. La siguiente tabla es una tabla típica de diferencias (ejemplo): x
f(x)
0,0
0,000
D f(x)
D 2f(x)
D 3f(x)
D 4f(x)
0,203 0,2
0,203
0,017 0,220
0,4
0,423
0,024 0,041
0,261 0,6
0,684
0,044 0,085
0,346 0,8
1,030
0,052 0,096
0,181 0,527
1,0
0,020
1,557
0,211 0,307
0,488 1,015
1,2
2,572
Polinomios Interpolantes de Newton-Gregory y Gauss Polinomio Interpolante de Newton-Gregory
Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se le puede aproximar al polinomio que se le parece. Una forma sencilla de escribir un polinomio que pasa por un conjunto de puntos equiespaciados, es la fórmula del Polinomio Interpolante de Newton-Gregory (en avance y retroceso). Fórmula de Avance
Fórmula de Retroceso
La fórmula usa la notación, que es el número de combinaciones de s cosas tomadas de n a la vez, lo que lleva a razones factoriales. Donde s viene dada por: x es el valor a interpolar el polinomio obtenido; Xo viene a ser el punto de partida para seleccionar los valores , que serán seleccionados de la tabla de diferencias, formando una fila diagonal hacia abajo en el caso de la fórmula de avance; en caso de la fórmula de retroceso los valores forman una fila diagonal hacia arriba y a la derecha. Y ha viene a ser la longitud o distancia entre los valores de xi Polinomio Interpolante de Gauss Hay una gran variedad de fórmulas de interpolación además del Método de NewtonGregory, difieren de la forma de las trayectorias tomadas en la tabla de diferencias; Por
ejemplo la fórmula del Polinomio Interpolante de Gauss (en avance y retroceso), donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decir los valores desde el punto de partida Xo serán seleccionados en forma de zig-zag. En el caso de la fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo, y así sucesivamente. En fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba, y así sucesivamente. A continuación se tiene las fórmulas de avance y retroceso del Polinomio Interpolante de Gauss. Interpolación De Hermite Aquí buscamos un polinomio por pedazos Hn(x) que sea cúbico en cada subintervalo, y que interpole a f(x) y f'(x) en los puntos . La función Hn(x) queda determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo requiere de la solución de n sistemas lineales de tamaño 4x4 cada uno. La desventaja de la interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad de los lo cual no es el caso en muchas en muchas aplicaciones. Interpolación Usando Splines Los dos tipos de polinomios por pedazos que hemos discutidos hasta ahora tienen la desventaja de que su segunda derivada no es continua en los puntos de interpolación. Se ha observado que en aplicaciones gráficas, el ojo humano es capaz de detectar discontinuidades en la segundas derivadas de una función, haciendo que los gráficos con este tipo de funciones no luscan uniformes. Esto motiva el uso de los splines que son funciones s(x) continuas por pedazos con las siguientes propiedades:
1. s(x) es polinomio cúbico en . 2. existen y son continuas en . 3. s(x) interpola a la función f en los datos . 4. s(x) es continua en el intervalo. Si escribimos , entonces tenemos un total de 4n desconocidas. Las condiciones 2) y 4) nos dan 3(n-1) ecuaciones mientras que de 3) obtenemos n+1 para un total de 4n-3(n-1)(n+1)=2 grados de libertad. Estos grados de libertad se fijan imponiendo condiciones de frontera adicionales en s(x). Defina . Como s(x) es cúbico en , entonces s"(x) es lineal Polinomio Interpolante De Lagrange Para construir un polinomio de grado menor o igual que n que pase por los n+1 puntos: , donde se supone que si i ¹ j. Este Polinomio Pn es la fórmula del Polinomio Interpolante de Lagrange. Esta
fórmula
si
puede
aplicarse
independientemente del espaciamiento de la tabla, pero tiene el inconveniente de que no se conoce el grado del polinomio. Como no se conoce, se tiene que determinar iterativamente. Se propone un grado, se realiza la interpolación, se propone el siguiente grado, se vuelve a interpolar y se compara con algún criterio de convergencia, si se cumple terminamos si no, se repite el procedimiento. Diferencias Divididas Y La fórmula General De Newton
La diferencia dividida de Newton para la Interpolación de Polinomios está entre los modelos más populares y útiles. Para un polinomio de grado n se requiere de n + 1 puntos:
... , , Se usan estos datos
para determinar los coeficientes para las diferencias divididas. Partiendo de una tabla de diferencias divididas que viene dada por X
f(x)
.......
X0 f(X0)
X1 f(X1)
.................. X2 f(X2)
.................. ..................
X3 f(X3)
................
. . .
f(Xn)
X4
Para aplicar el Polinomio de Interpolación por diferencias divididas de Newton, no es necesario que los datos tabulados sean necesariamente equiespaciados o que los valores deban estar ordenados en forma ascendente. El valor que aporta el polinomio de Newton está sujeto a un error
Aplicación De Los Métodos Numéricos De Interpolación En La Resolución De Problemas. Para datos tabulados en forma equiespaciada o no esquiespaciada, a través de una serie de técnicas que antes de la llegada de las computadoras tenían gran utilidad para la interpolación, sin embargo, con fórmulas como las
de
Newton-Gregory,
Gauss,
Lagrange,
Hermite, Newton, etc., son compatibles con computadoras y debido a las muchas funciones tabulares disponibles, como subrutinas de librerías; dichas fórmulas tienen relevancia en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Una gran cantidad de problemas físicos están descritos por ecuaciones diferenciales en las que interviene un operador Laplaciano (la ecuación de Laplace, la ecuación de onda, la ecuación de Schrödinger, etc.). Matemáticamente, estas ecuaciones corresponden a casos particulares del problema de Sturm-Liouville, vale decir, ecuaciones de autovalores para un operador diferencial autoadjunto. No entraremos en los detalles de esta discusión. Sólo diremos que los polinomios de Hermite son un caso particular de soluciones a un problema de Sturm-Liouville. Dichas soluciones forman un conjunto completo y ortogonal, con cierta función de peso. En el caso de familias de polinomios ortogonales, existen relaciones de recurrencia que vinculan cada polinomio con los de grados inmediatamente anterior y posterior, y típicamente poseen una función generatriz, así_ como operadores de subida y de bajada. En los capítulos siguientes encontraremos nuevas familias de polinomios ortogonales. Todos ellos provienen de sendos problemas de Sturm-Liouville, y por tanto no será extraño encontrar las mismas características que hemos identificado en los polinomios de Hermite.
Definición Dada una función de la cual se conocen sus valores en un número finito de abscisas , se llama interpolación polinómica al proceso de hallar un polinomio de
grado
menor
o
igual
a
m,
cumpliendo
. A este polinomio se le llama Polinomio interpolador de grado m de la función f. Interpolación polinómica En análisis numérico, la interpolación polinomial es una técnica de interpolación de un conjunto de datos o de una función por un polinomio. Es decir, dado cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento se pretende encontrar un polinomio que pase por todos los puntos. Definición Dada una función de la cual se conocen sus valores en un número finito de abscisas , se llama interpolación polinómica al proceso de hallar un polinomio de
grado
menor
o
igual
a
m,
cumpliendo
. A este polinomio se le llama Polinomio interpolador de grado m de la función f. Motivación del polinomio interpolador La interpolación polinómica es un método usado para conocer, de un modo aproximado, los valores que toma cierta función de la cual sólo se conoce su imagen en un número finito de abscisas. A menudo, ni siquiera se conocerá la expresión de la función y sólo se dispondrá de los valores que toma para dichas abscisas. El objetivo será hallar un polinomio que cumpla lo antes mencionado y que permita hallar aproximaciones de otros valores desconocidos para la función con una precisión deseable fijada. Por ello, para cada polinomio interpolador se dispondrá de una fórmula del error de interpolación que permitirá ajustar la precisión del polinomio. Es fácil demostrar, usando el determinante de Vandermonde, que por n puntos, con la única condición de que para cada x haya una sola y, siempre se puede encontrar un polinomio de grado igual a (n-1) que pase por los n puntos. Cálculo del polinomio interpolador
Se dispone de varios métodos generales de interpolación polinómica que permiten aproximar una función por un polinomio de grado m. El primero de estos es el método de las diferencias divididas de Newton. Otro de los métodos es la interpolación de Lagrange, y por último, la interpolación de Hermite. Método de las diferencias divididas de Newton Sea una variable discreta de elementos y sea otra variable discreta de elementos los cuales corresponden, por parejas, a la imagen u ordenada y abcisa de los datos que se quieran interpolar, respectivamente, tales que:
Este método es muy algorítmico y resulta sumamente cómodo en determinados casos, sobre todo cuando se quiere calcular un polinomio interpolador de grado elevado. El polinomio de grado
definiendo
y definiendo
resultante tendrá la forma
como
como
Los coeficientes
son las llamadas diferencias divididas.
Una vez se hayan realizado todos los cálculos, nótese que hay (muchas) más diferencias divididas que coeficientes . El cálculo de todos los términos intermedios debe realizarse simplemente porque son necesarios para poder formar todos los términos finales. Sin embargo, los términos usados en la construcción del polinomio interpolador son todos aquellos que involucren a . Estos coeficientes se calculan mediante los datos que se conocen de la función queda definido, como:
.
Se muestra ahora una tabla mnemotécnica con las diferencias divididas de una cierta función dada para construir un polinomio interpolador de grado 2:
Interpolación de Lagrange Sea
la función a interpolar, sean las abscisas conocidas de y sean los valores que toma la función en esas abscisas, el polinomio interpolador de grado de Lagrange es un polinomio de la forma
donde
son los llamados polinomios de Lagrange, que se calculan de este modo:
Nótese que en estas condiciones, los coeficientes siempre distintos de cero.
están bien definidos y son
Se muestra en el ejemplo siguiente el cálculo de un polinomio interpolador de Lagrange usando interpolación por Lagrange y diferencias divididas de Newton: Ejemplo: Se quiere hallar el valor de la función polinomio interpolador de Lagrange de grado 2.
para
usando un
Para ello se usan los siguientes datos:
Se usa primero el método directo para calcular el polinomio interpolador de Lagrange. Con las condiciones dadas, los polinomios de Lagrange son:
Se calcula ahora el polinomio interpolador de grado 2:
Ahora evaluamos este polinomio en de :
Si
se
usase
una
calculadora
para obtener un valor aproximado
para
efectuar
el
cálculo
obtenemos
, por lo que el error cometido es el siguiente:
Se trata de un error del orden del 0.66 %.
Se procede a realizar ahora la interpolación mediante el método de las Diferencias Divididas de Newton:
Se diseña una tabla de Diferencias Divididas esquemática y se realiza los pertinentes cálculos para obtener los siguientes coeficientes:
Ahora se debe tomar de estos coeficientes los que se necesitasen para escribir el polinomio interpolador. Hay que recordar, según lo apuntado anteriormente, que sólo se usan aquéllos coeficientes que involucren a . De esta forma se obtiene el polinomio interpolador de Lagrange de grado 2:
Y, como se puede apreciar, se llega al mismo polinomio pero con relativamente menos trabajo.
Interpolación de Hermite Artículo principal: Interpolación polinómica de Hermite La interpolación de Hermite, llamada así en honor a su inventor Charles Hermite, es similar a la de Newton pero con el añadido de que ahora también conocemos los valores que toma la derivada de la función en las abscisas conocidas .
El Polinomio Interpolador de Hermite de grado de la forma
de la función
es un polinomio
con
La interpolación de Hermite puede extenderse al conocimiento de las derivadas sucesivas de la función a interpolar en las abscisas tomadas, de modo que se puede obtener un polinomio cada vez más ajustado a la función real, ya que éste podrá cumplir otros requisitos como una determinada monotonía, concavidad, etc. En este caso, estaremos hablando de interpolación de Hermite generalizada y su cálculo se llevará a cabo de forma similar a la apuntada, pero obteniendo polinomios de grado cada vez mayor debido a las sucesivas derivadas de los coeficientes
.
Notar, pues, que la interpolación de Lagrange puede considerarse como un caso particular de la interpolación de Hermite generalizada (el caso en el que "conocemos" cero derivadas de ). Tal y como ocurría con la Interpolación de Lagrange, para la interpolación de Hermite también disponemos una fórmula del error de interpolación que, naturalmente, tiene en cuenta factores relacionados con las derivadas de f. Más concretamente, se dispone de una fórmula del error en el caso en que la función sea 2m+2 veces diferenciable en un intervalo mediante la siguiente expresión:
para
y
donde
La diferencia esencial entre la Interpolación de Hermite y la Interpolación de Lagrange reside en el cálculo a través de la construcción de los Polinomios de Lagrange. En este caso, su cálculo es árduo, largo y complicado; por lo que el uso de las llamadas diferencias divididas generalizadas simplifica mucho el cálculo del polinomio interpolador. Las diferencias divididas generalizadas se construyen de igual modo que las Diferencias Divididas de Newton, salvo que ahora necesitaremos escribir tantas veces más una
como derivadas de f conozcamos. Aquí sólo veremos el caso en el que conocemos la primera derivada, siendo el resto una generalización de este. Como en la Interpolación de Lagrange, el Polinomio Interpolador de Hermite de grado se escribirá, una vez calculadas las Diferencias Divididas, de este modo
Nótese que, aparentemente, los coeficientes
no están bien definidos, pues
Sin embargo, podemos tomar límites y escribir esta expresión así:
Pero esto no es más que la definición de la derivada de en el punto
, de modo que
Por ello, incluiremos en nuestra tabla de Diferencias Divididas los datos sobre todas las derivadas conocidas de la función a interpolar. Interpolación segmentaria Existen métodos de Interpolación segmentaria que nos permiten aproximar funciones de un modo eficaz. Entre ellos cabe destacar la interpolación de Taylor y la interpolación por Splines. La Interpolación de Taylor usa el Desarrollo de Taylor de una función en un punto para construir un polinomio de grado que se aproxima a la función dada. Tiene dos ventajas esenciales sobre otras formas de interpolación:
Requiere sólo de un punto conocido de la función para su cálculo, si bien se pide que la función sea suficientemente diferenciable en un entorno de ese punto. El cálculo del Polinomio de Taylor es sumamente sencillo comparado con otras formas de interpolación polinómica:
Sin embargo, en ocasiones no será deseable su uso dado que el error de interpolación puede alcanzar cotas demasiado elevadas. Es especialmente útil para emplearse en lugar de métodos de interpolación de Hermite generalizada sobre derivadas de orden superior de la función . La Interpolación por Splines es un refinamiento de la interpolación polinómica que usa "pedazos" de varios polinomios en distintos intervalos de la función a interpolar para evitar problemas de oscilación como el llamado Fenómeno de Runge. La idea es que agrupamos las abscisas en distintos intervalos según el grado del spline que convenga emplear en cada uno. Así, un spline será un polinomio interpolador de grado n de para cada intervalo. A la postre, los distintos splines quedarán "unidos" recubriendo todas las abscisas e interpolando a la función. El principal problema que presenta la interpolación por splines reside en los puntos que son comunes a dos intervalos (extremos). Por esos puntos deben pasar los splines de ambos intervalos, pero para que la interpolación sea ajustada, conviene que el punto de unión entre dos splines sea lo más "suave" posible (ej. evitar puntos angulosos), por lo que se pedirá también que en esos puntos ambos splines tengan derivada común. Esto no será siempre posible y, a menudo, se empleará otro tipo de interpolación, quizás una interpolación no-polinómica. Otras formas de interpolación Existen otros métodos de interpolación no-polinómica que proporcionan aproximaciones de funciones de las cuales conocemos información limitada. En el mismo contexto que la interpolación polinómica, contamos con la interpolación racional y la interpolación trigonométrica, que consisten en aproximar funciones por cocientes de polinomios y por polinomios trigonométricos respectivamente. La segunda es
especialmente útil para funciones con valores en el cuerpo de los números complejos También es frecuente el uso de wavelets (ondaletas). Cuando el conjunto de las abscisas Interpolación de Whittaker-Shannon.
.
es infinito, podemos recurrir a la Fórmula de
Cuando estamos trabajando con funciones de varias variables, disponemos de la interpolación multivariable para conseguir aproximaciones de las mismas. Entre los métodos de interpolación multivariable, destacar la interpolación bilineal y la interpolación bicúbica para funciones de dos variables y la interpolación trilineal para funciones de tres variables.
Interpolación polinómica de Lagrange En análisis numérico, el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es una forma de presentar el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado. Lagrange publicó este resultado en 1795, pero lo descubrió Edward Waring en 1779 y fue redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783.1 Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo engañoso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre más apropiado es interpolación polinómica en la forma de Lagrange.
En esta imagen se muestran, para cuatro puntos ((−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9)), la interpolation polinómica (cúbica) L(x), que es la suma de la bases polinómicas escaladas y0l0(x), y1l1(x), y2l2(x) y y3l3(x). La interpolación polinómica pasa exactamente por los cuatro puntos (llamados puntos de control) y cada base polinómica escalada pasa por su respectivo punto de control y se anula cuando x corresponde a los otros puntos de control.
Definición Dado un conjunto de k + 1 puntos
donde todos los xj se asumen distintos, el polinomio interpolador en la forma de Lagrange es la combinación lineal
de bases polinómicas de Lagrange
Demostración La función que estamos buscando es una función polinómica L(x) de grado k con
El problema de interpolación puede tener tan solo una solución, pues la diferencia entre dos tales soluciones, sería otro polinomio de grado k a lo sumo, con k+1 ceros. Por lo tanto, L(x) es el único polinomio interpolador. Concepto La resolución de un problema de interpolación lleva a un problema de álgebra lineal en el cual se debe resolver un sistema de ecuaciones. Usando una base monómica estándar para nuestro polinomio interpolador, llegamos a la matriz de Vandermonde. Eligiendo una base distinta, la base de Lagrange, llegamos a la forma más simple de matriz identidad = δi,j, que puede resolverse inmediatamente.
Ejemplo
La función tangente y su interpolador. Se desea interpolar
en los puntos
Con cinco puntos, el polinomio interpolador tendrá, como máximo, grado cuatro (es decir, la máxima potencia será cuatro), al igual que cada componente de la base polinómica. La base polinómica es:
Así, el polimomio interpolador se obtiene simplemente como la combinación lineal entre los
y los valores de las abscisas:
Desventajas de su uso Si se aumenta en número de puntos a interpolar (o nodos) con la intención de mejorar la aproximación a una función, también lo hace el grado del polinomio interpolador así obtenido, por norma general. De este modo, aumenta la dificultad en el cálculo, haciéndolo poco operativo manualmente a partir del grado 4, dado que no existen métodos directos de resolución de ecuaciones de grado 4, salvo que se puedan tratar como ecuaciones bicuadradas, situación extremadamente rara. La tecnología actual permite manejar polinomios de grados superiores sin grandes problemas, a costa de un elevado consumo de tiempo de computación. Pero, a medida que crece el grado, mayores son las oscilaciones entre puntos consecutivos o nodos. Se podría decir que a partir del grado 6 las oscilaciones son tal que el método deja de ser válido, aunque no para todos los casos. Sin embargo, pocos estudios requieren la interpolación de tan sólo 6 puntos. Se suelen contar por decenas e incluso centenas. En estos casos, el grado de este polimonio sería tan alto que resultaría inoperable. Por lo tanto, en estos casos, se recurre a otra técnica de interpolación, como por ejemplo a la Interpolación polinómica de Hermite o a los splines cúbicos Otra gran desventaja, respecto a otros métodos de interpolación, es la necesidad de recalcular todo el polinomio si se varía el número de nodos. Otras aplicaciones Aunque el polinomio interpolador de Lagrange se emplea mayormente para interpolar funciones e implementar esto fácilmente en una computadora, también tiene otras aplicaciones en el campo del álgebra exacta, lo que ha hecho más célebre a este polinomio, por ejemplo en el campo de los proyectores ortogonales: Sea un espacio vectorial complejo de dimensión finita E en el que definimos un producto escalar (no necesariamente el usual). Sea F un operador normal, tal que gracias al teorema
de la descomposici贸n espectral es igual a . Donde son los proyectores ortogonales y los autovectores de F asociados a cada proyector. Entonces:
Siendo I la matriz identidad.
Demostraci贸n: Haciendo uso de la descomponsici贸n espectral y aplicando las propiedades de los proyectores: