Estudo de Funções

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FUNĂ‡ĂƒO Dados dois conjuntos nĂŁo vazios A e B , denominamos função toda relação f : A → B na qual, para todo elemento de A , existe um Ăşnico correspondente em B . Observe que toda função ĂŠ uma relação, mas nem toda relação ĂŠ uma função. Desta forma podemos observar que, um diagrama de relação de em representa uma função se: de cada elemento de parte apenas uma flecha; nĂŁo “sobraâ€? elemento em . Uma função f : A → B ĂŠ tambĂŠm representada por:

, ∈ | " !"#çã "&

A lei de formação Ê uma sentença matemåtica, representada por:

ĂŠ denominado independente e , dependente

variĂĄvel variĂĄvel

Exemplo: 1. SĂŁo dados A = {− 1,0,1,2} , B = {− 2,−1,0,1,2,3,4,5} e f : A → B definida por f = {( x, y ) ∈ A Ă— B | y = 2 x}. Encontre os pares ordenados de f . 1 0 1 2

2 1 2 2 0 0 2 1 2 2 2 4

. Par ordenado

1, 2

0, 0

1, 2

1

2

0

0

1

2, 4

2

2

4

1 1 3

5

2. Considere A = {x ∈ Z | −1 ≤ x ≤ 1} , B = {y ∈ Z | −2 ≤ y ≤ 2} e a relação R : A → B , definida por

{

}

R = (x, y ) ∈ A Ă— B | y = x 2 . .

1 0 1

1 1 0 0 1 1

Par ordenado

1, 1

0, 0

1, 1

0 1 1

2 0 2 1 1

Observe que para cada elemento de A hå um único elemento em B, portanto R Ê uma função. MATEMà TICA

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DEFINIÇÃO Uma função real f é uma lei a qual para cada elemento x em um subconjunto D de ℝ faz corresponder exatamente um elemento chamado f x , em um subconjunto C de ℝ. D é denominado de domínio e C de contradomínio da função f. Exemplo: Sendo f : IR → IR , onde x a f ( x ) = 2 x + 4 , temos: a. b. c.

f (0 ) = 2 ⋅ 0 + 4 = 0 + 4 = 4 f (− 2 ) = 2 ⋅ (− 2 ) + 4 = −4 + 4 = 0 f (h + 1) = 2 ⋅ (h + 1) + 4 = 2h + 2 + 4 = 2h + 6

2

DOMÍNIO E IMAGEM E CONTRA DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO Seja f : A → B , como toda função é uma relação, temos que o domínio de f é: , A Imagem de f é formada pelos elementos de B que são correspondentes dos elementos do domínio e é definida por: -" ∈ | & O contradomínio de f é o próprio conjunto B : ., Exemplo 1. Seja a função f : A → B representada pelo diagrama abaixo:

1 2 3 5

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4 8 5 6 9 7

Temos:

, -" 4, 5, 6, 7& .,

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EXERCICIOS 1. Dada a função f : IR → IR definida por f ( x ) =

x − 1 calcule A = f (− 1) + f (3) − 2 ⋅ f (0 ) . 3

 x − 1, para x ≥ 2 , determine: 2 x, para x < 2 c. f (2 ) d. x, para que f ( x ) = 4

2. Para a função f : IR → IR definida por f ( x ) =  a. b.

f (− 1) f (3)

3. Dada a função f : IR → IR definida por f (x ) = 2 x − 8 , determine o elemento do domínio para cada uma das 3 imagens: a. y = −3 c. f ( x ) = 0 b.

f (x ) = 8

d.

y = −8

4. Dadas as funções f ( x ) = 2 x + p e g ( x ) = − x + q , determine p e q , sabendo que f (− 1) = 4 e g (2 ) = −3 .

DETERMINAÇÃO DO DOMÍNIO E IMAGEM IMAGEM DE UMA FUNÇÃO REAL DEFINIÇÃO: A imagem de uma função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os quais existe

pelo menos um x ∈ D tal que f (x ) = y :

Im( f ) = {y ∈ C | ∃ x ∈ D com f ( x ) = y}

Exemplo: 1. Seja a função definida por

2. Seja a função definida por

g : IR → IR x a f (x ) = 2 x

g : IR → IR x a f (x ) = x 2

Determine a imagem da função.

Determine a imagem da função.

Im( g ) = IR

Im(g ) = IR+

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ou Im(g ) = [0,+∞ )

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DOMÍNIO

Quando uma função real é definida apenas pela sua lei de associação, convenciona-se que o seu domínio é o maior subconjunto de IR para o qual é possível avaliar a função.

Exemplo:

1. Determine o domínio da função f (x ) = C.E.: x ≠ 0 Logo, D( f ) = {x ∈ IR | x ≠ 0}

ou D( f ) = IR − {0}

1 . x

4

2. Determine o domínio de y = 2 x − 4 . C.E.: 2x − 4 ≥ 0 2x ≥ 4 4 x≥ 2 x≥2 Logo, D( y ) = {x ∈ IR | x ≥ 2}

ou

D( y ) = [2,+∞)

3. Qual é o domínio de f (x ) = C.E.:

x −x

?

x −x>0⇔

Logo,

1

⇔ x >x

⇔ x < − x ou x > x ⇔ x + x < 0 ou x − x > 0 ⇔ x < 0 ou 0 > 0

D( f ) = {x ∈ IR | x < 0} ou D( f ) = (− ∞, 0)

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EXERCĂ?CIOS

1. Encontre o domĂ­nio das seguintes funçþes: a. f (x ) = 4 x − 2 b.

g (x ) =

h. h( x ) =

2 x

1 c. f ( x ) = x+3 5x + 2 d. f ( x ) = 2 x − 4x e. h ( x ) = x f.

t (x ) = 3 x + 2

g.

f (x ) = 2 x − 6 + 4 x − 8

2x + 6

i.

g (x ) =

j.

g (x ) =

k.

f (x) = 4

x−2

x+2 x −8 x−2 x 2 − 16 4

x+7 −

x 2 − 5x + 6 3

3x − 9

RESUMO: DETERMINAĂ‡ĂƒO DO DOMĂ?NIO

U â&#x;š â„Ž ≠0; â„Ž

ZU â&#x;š U ≼ 0;

[\]

U

Zâ„Ž

[\]

â&#x;š â„Ž > 0

Podemos determinar o domínio e a imagem de uma função a partir de seu gråfico. Projetando a curva sobre o eixo obtemos o domínio e projetando a curva sobre o eixo obtemos a imagem:

Desta forma temos que: , ∈ �| ` ≤ ≤ &

-" ∈ �| ` ≤ ≤ &

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Exemplo: 1. Determine o domínio e a imagem das seguintes funções representadas graficamente:

, b 2, 1c -" b0, 4c

, b 2, 3c -" b 1, 4c

, ℝ∗ -" c1, 2b ∪c 2, 0b

NOÇÕES BÁSICAS DE PLANO CARTESIANO

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, c 2, 2b -" 1, 2&

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GRĂ FICO DE UMA FUNĂ‡ĂƒO Para obtermos o grĂĄfico de funçþes definidas por leis y = f ( x ) , procedemos, em geral, da seguinte maneira: a. ConstruĂ­mos uma tabela a partir de valores x ∈ D , obtendo y = f ( x ) .

f

â‹Ž

â‹Ž

g h

`

7

i

b. A cada par ( x, y ) associamos um ponto no plano cartesiano.

Dependendo do domínio e da lei de formação que define uma função, Ê importante notar que o seu gråfico pode ter apenas um ponto, alguns pontos, ou ainda infinitos pontos.

Exemplo 1. Construa o gråfico da função

B = {− 1,0,1,2,3,4} . 2 1 1 2

+ 1 2 + 1 1 1 + 1 0 1+1 2 2+1 3

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Par ordenado

2, 1

1, 0

1, 2

2, 3

f : A → B , definida por

f ( x ) = x + 1 , para

A = {− 2,−1,1,2} e

Observe que neste caso, o gråfico da função não Ê contínuo, pois o domínio Ê um conjunto de números inteiros.

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2. Construa o gråfico das seguintes funçþes: a. f ( x ) = 2 x

g

2 1 2

g

2 1 2

2 0 0

l

2 2 4

b.

8

f (x ) = x 2

2 4

l

0 0

1 1

g g

1 1

2 4

c.

f ( x ) = sen (x )

l pq p

hpq p

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mno 0 1 0

1 0

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d.

f (x ) =

1 x g v 1 2 1 1

g g

1/2

h

9

1/3 + 2, s < 2 e. r 4, s 2 ≤ < 3 5, s ≼ 3

EXERCĂ?CIO 1. Construa o grĂĄfico da função f : IR → IR , definida por y = −2x + 1. 2. Construa o grĂĄfico da função f : IR → IR , definida por y = x + 5 . 3. Construa o grĂĄfico da função f : IR → IR , definida por y = −4 x + 2 .

RECONHECIMENTO DE UMA FUNĂ‡ĂƒO ATRAVÉ DO GRĂ FICO AlĂŠm de construir o grĂĄfico de uma função, ĂŠ possĂ­vel tambĂŠm reconhecer se um determinado grĂĄfico de uma relação representa ou nĂŁo uma função. Para tanto, verificamos se a cada x do domĂ­nio corresponde uma Ăşnica imagem, traçando retas paralelas ao eixo y e observando se cada uma delas intercepta o grĂĄfico em um Ăşnico ponto.

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Exemplo: 1. Verifique se os gråficos das relaçþes representam ou não funçþes

É FUNĂ‡ĂƒO

NĂƒO É FUNĂ‡ĂƒO

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Qualquer reta paralela ao eixo intercepta o grĂĄfico em um Ăşnico ponto.

Existe uma ou mais de uma reta paralela ao eixo que intercepta o grĂĄfico em mais de um ponto.

RAIZ DE UMA FUNĂ‡ĂƒO

Raiz ou zero de uma função ĂŠ todo valor de x ∈ D que faz f x 0.

Para calcular a raiz, ou raĂ­zes, devemos igualar a função a zero e resolver a equação assim obtida. x ĂŠ raiz de â&#x;ş x 0

Raiz i

Raiz `

Raiz

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Raiz z

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Exemplo 1. O grĂĄfico abaixo representa uma função f definida em um subconjunto de IR . Determine: a. O domĂ­nio da função b. A imagem da função c. Os valores de f (− 4) , f (− 2 ) , f (0 ) e f (3) . d. Quais os zeros (raĂ­zes) de f .

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ESTUDO DOS SINAIS DE UMA FUNĂ‡ĂƒO Estudar o sinal de uma função significa determinar para quais valores do domĂ­nio essa função assume valores positivos, nulos ou negativos.

Sendo x1 , x 2 e x3 raĂ­zes de f ( x ) para < ` ou < < i â&#x;š < 0 para ` ou ou i â&#x;š 0 para ` < < ou > i â&#x;š > 0 MATEMĂ TICA

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Exemplo 1. Faça o estudo do sinal da função f definida pelo gråfico abaixo.

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FUNĂ‡ĂƒO CRESCENTE E DECRESCENTE •

•

•

Uma função real , de domínio ,, Ê crescente num intervalo contido em , se, para quaisquer ` e desse intervalo, com > ` , ocorrer > ` .

Uma função real , de domínio ,, Ê decrescente num intervalo contido em , se, para quaisquer ` e desse intervalo, com > ` , ocorrer < ` .

Se em um dado intervalo do domínio a função não Ê crescente nem decrescente, então Ê uma função constante.

Exemplo

ĂŠ Decrescente nos intervalos: < ` e < < i

ĂŠ Crescente nos intervalos: ` < < e i < < z ĂŠ constante para > z

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FUNĂ‡ĂƒO CRESCENTE DEFINIĂ‡ĂƒO:

Uma função real y f x , de domínio D, Ê crescente num intervalo contido em D se, para quaisquer x` e x desse intervalo, com x > x` , ocorrer, f x > x` . Exemplo:

A função f x 2x i + x 1 Ê crescente no intervalo b 1, 1c, ou em qualquer outro intervalo.

FUNĂ‡ĂƒO DECRESCENTE DEFINIĂ‡ĂƒO:

Uma função real y f x , de domĂ­nio D, ĂŠ decrescente num intervalo contido em D se, para quaisquer x` e x desse intervalo, com x > x` , ocorrer, f x < x` . Exemplo: A função f x 2x i + x 1 ĂŠ decrescente no intervalo b ∞, 1c,

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FUNĂ‡ĂƒO PAR E FUNĂ‡ĂƒO Ă?MPAR

FUNĂ‡ĂƒO PAR DEFINIĂ‡ĂƒO: Uma função real f: D â&#x;ś C ĂŠ par se f x f x , ∀x ∈ D.

Exemplo: 1. Ê uma função par, pois:

14

2

f (− x ) = (− x ) = x 2 = f ( x ) Assim, f (− x ) = f ( x )

2.

3 z + 5 Ê uma função par, pois: 4

f (− x ) = 3(− x ) + 5 = 3x 4 + 5 = f ( x ) Assim, f (− x ) = f ( x ) 3. A função 2 3 z ĂŠ uma função par, pois:

∀x ∈ IR, 4

f (− x ) = 2 − 3(− x ) = 2 − 3 x 4 = f (x ) Assim, f (− x ) = f (x ) O grĂĄfico de uma função par ĂŠ simĂŠtrico com relação ao eixo y!

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FUNÇÃO ÍMPAR DEFINIÇÃO: Uma função real f: D ⟶ C é ímpar se f x f x , ∀x ∈ D. Exemplo: 1.

i é uma função ímpar, pois: 3

f (− x ) = (− x ) = − x 3 = − f (x ) Assim, f (− x ) = − f (x )

15

2. 3 i + é uma função ímpar, pois: 3

(

)

f (− x ) = 3(− x ) + (− x ) = −3x 3 − x = − 3x 3 + x = − f ( x ) Assim, f (− x ) = − f ( x )

3. A função i 3 é uma função ímpar, pois:

∀x ∈ IR,

3

(

)

f (− x ) = (− x ) − 3(− x ) = − x 3 + 3 x = − x 3 − 3 x = − f ( x ) Assim, f (− x ) = − f ( x )

O gráfico de uma função ímpar é simétrico com relação origem!

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OBSERVAÇÕES: 1. Existem funções que não são nem pares nem Ímpares Exemplo: A função f x 1 x ~

Pois f 2 1 2 ~ 1— 32 1 + 32 33

e f 2 1 2~ 1 32 31, logo f 2 ≠ f 2

e f 2 33 ≠ 31 f 2

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2. Existe uma única função que é par e ímpar ao mesmo tempo, a função nula em ℝ. f x 0

FUNÇÃO INVERSA

Dada uma função f: A ⟶ B, Bijetora, podemos obter uma função f ` de D em C invertendo-se a ordem dos pares ordenados de f. Essa função é chamada de inversa. Assim temos:

Domínio de ` Imagem de

Imagem de ` Domínio de Exemplos:

1. Encontre a inversa da função : ℝ ⟶ ℝ, definida por 2 + 3. y = 2x + 3 Trocando x por y e y por x x = 2y + 3 2y = x − 3 y=

x−3 2

Assim, f −1 ( x ) =

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x−3 2

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2. Vamos obter a inversa, o domínio e a Imagem da função f (x ) = inversa.

3x + 2 bem como de sua 5x − 8

Calculo da inversa : 3x + 2 5x − 8 Trocando x por y e y por x

y=

3y + 2 5y − 8 x ⋅ (5 y − 8) = 3 y + 2 5 xy − 8 x = 3 y + 2 x=

17

5 xy − 3 y = 8 x + 2 y (5 x − 3) = 8 x + 2 8x + 2 y= 5x − 3 Assim 8x + 2 f −1 ( x ) = 5x − 3 Cálculo do domínio da f (x ) :

Cálculo do domínio da f

3x + 2 5x − 8 C .E . 5 x − 8 ≠ 0 f (x ) =

f

−1

−1

(x ) = 8 x + 2

5x − 3 C .E . 5 x − 3 ≠ 0

5x ≠ 8 x≠

(x ) :

5x ≠ 3 3 x≠ 5

8 5

8  Assim, Dom[ f ( x )] = IR −   5  Como o domínio da f ( x ) é a imagem de f serem funções bijetoras), então:

[

Assim, Dom f −1

(x ) , e o domínio da

−1

(x )] = IR −  3 

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5 

f −1 ( x ) é a imagem de f ( x ) (devido a

8  3 f : IR −   → IR −   5  5  3 8  f −1 : IR −   → IR −   5  5 

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Podemos construir o gráfico de f ` utilizando sua lei ou a partir do gráfico de f. O gráfico de f ` é simétrico de f em relação à bissetriz do 1º e 3º quadrantes: Exemplo: Gráfico de f x x i e sua inversa f ` √x

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COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES:

A composição de f e g é a função f o g: Dg ⟶ Cf definida por: fog x f g x .

Exemplos: 1. Sendo f ( x ) = x 2 + 3 e g (x ) = a.

x , calcule:

f o g (x ) 2

f o g ( x ) = f [g ( x )] = [g ( x )] + 3 =

b.

2

g o f (x )

g o f ( x ) = g [ f ( x )] =

( x) + 3 = x +3

f (x ) =

x2 + 3

Em geral f o g (x ) ≠ g o f ( x ) .

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Novas funções a partir de antigas: transformações de funções

1. U ∙ : ALONGAMENTOS E COMPRESSÕES VERTICAIS Multiplicar uma função f por uma constante não-negativa c tem o efeito geométrico de alongar (para c > 1) ou comprimir (para 0 < < 1) verticalmente o gráfico de f. Exemplo:

Para f ( x) = cos x e g( x) = 2 cos x .

2. U · : ALONGAMENTOS E COMPRESSÕES HORIZONTAIS

Multiplicar a variável independente de uma função f por uma constante não-negativa c tem o efeito geométrico de alongar (para 0 < < 1) ou comprimir (para c > 1) horizontalmente o gráfico de f. Exemplo:

Para f ( x) = cos x e g ( x) = cos(2 x) .

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3. U + : TRANSLAÇÕES VERTICAIS

Somar uma constante c a uma função f tem o efeito geométrico de transladar verticalmente para cima (quando c > 0) ou verticalmente para baixo (quando c < 0) o gráfico de f. Exemplo:

Para f ( x) = cos x e g (x ) = cos( x ) + 2 .

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4. U + : TRANSLAÇÕES HORIZONTAIS

Somar uma constante c a variável independente x de uma função f tem o efeito geométrico de transladar horizontalmente para a direita (quando c < 0) ou para a esquerda (quando c > 0) o gráfico de f. Exemplo:

Para f ( x) = cos x e g (x ) = cos( x + 2) .

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5. U : REFLEXÃO COM RELAÇÃO AO EIXO

Multiplicar uma função f por 1 tem o efeito geométrico de refletir com relação ao eixo x o gráfico de f .

Exemplo:

(

)

Para f (x ) = x 2 − 4 e g (x ) = − x 2 − 4 .

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6. U : REFLEXÃO COM RELAÇÃO AO EIXO Multiplicar a variável independente x de uma função f por 1 tem o efeito geométrico de refletir com relação ao eixo y o gráfico de f . Exemplo:

Para f ( x ) = x 3 e g ( x ) = − x 3 .

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FUNÇÃO DO 1º GRAU

Denominamos função do 1º grau a função f: ℝ → ℝ, definida pela lei y ax + b, com a e b reais e a ≠ 0.

Gráfico O gráfico da função # + é uma reta. Os pontos onde a reta intercepta os eixos são: Em : 0 ⇒ ⇒ , 0 : 0 ⇒ ⇒ 0, Em

22

Onde a é chamado de coeficiente angular e b coeficiente linear.

Exemplo: 1. Obtenha a lei da função que representa o gráfico:

Para x = 0 → y = 2 Para y = 0 → x = −2 b a 2 b= y −2=− então a b=2 2 a= 2 a =1 x=−

Assim, y = ax + b .y = x + 2

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2. Obtenha a lei da função que representa o gráfico:

Para x = 0 → y = 4 Para y = 0 → x = −2 b a 4 b= y −2=− então a b=4 4 a= 2 a=2 x=−

Assim, y = ax + b .y = 2x + 4

CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO DO 1º GRAU

O domínio e o conjunto Imagem da função do 1º grau são: D ℝ e Im ℝ. Se a > 0, a função é dita crescente se a < 0 a função é dita decrescente.

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FUNÇÃO QUADRÁTICA Denominamos função quadrática ou função do 2º grau a função

f : IR → IR , definida pela lei

f ( x ) = ax + bx + c com a, b, c ∈ IR e a ≠ 0 . 2

O gráfico é uma parábola, se a > 0 a parábola é côncava para cima (VALOR MÍNIMO) se a < 0 a parábola é côncava para baixo (VALOR MÁXIMO).

24

Gráfico O gráfico da função f ( x ) = ax 2 + bx + c é uma parábola. As coordenadas do vértice são:

xv = −

b ∆ e yv = − . 2a 4a ∆  b ,− . 4a   2a

O vértice é dado pelo ponto V =  −

Para o cálculo das raízes, utilizamos báscara ou soma e produto.

− b ± b 2 − 4ac → báscara 2a b S : x ′ + x ′′ = − a soma e produto c P : x ′ ⋅ x ′′ = a x=

Domínio e imagem:

∆   4a   ∆  Para a < 0 : Dom = IR e Im =  y ∈ IR | y ≤ −  4a   Para a > 0 : Dom = IR e Im =  y ∈ IR | y ≥ −

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Exemplo: 1. Determine as raízes, valor máximo ou mínimo o domínio e a imagem das funções: a. f ( x ) = x 2 − 5 x + 6 b.

f ( x ) = 6 x 2 − 12 x

c.

f ( x ) = x 2 − 16

25

FUNÇÃO MÓDULO: Da definição do módulo de um número temos:

 f ( x ), se f ( x ) ≥ 0 g (x ) = f (x ) =  − f ( x ), se f ( x ) < 0 Exemplo: Para f ( x) = cos x e g ( x ) = cos( x + 2) .

Exemplo:

1. Esboce o gráfico de 4 | 2|.

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FUNÇÃO EXPONENCIAL Para estudarmos função exponencial devemos relembrar alguns conceitos:

POTÊNCIA

Se x e y são números racionais, temos então as seguintes propriedades:

PROPRIEDADES DA POTÊNCIA # sã s s ú" ! s sã # s ! ú" ! s ! # s, ã : 1. # # . #

2. #

4. # #

¡

¢

¡

3. # #

5. #¢ √# ¢

Exemplo: 1. Utilizando as propriedades das potências, simplifique as expressões: −4 a. 3 5 ⋅ 3 4 ⋅ 3 −3 = 1 b.

c.

7   ⋅2 2 d. = 5 1   2 −3 ⋅   2

57 = 58 e5e3 = e4

e.

π n + 2 ⋅ π n −2 = πn

f.

4 n ⋅ 4 −2 n ⋅ 4 n +1 = 4 2 n +5

EQUAÇÃO EXPONENCIAL Exemplo: 1. Dê o conjunto solução de cada uma das equações: a. 3 x + 2 = 9 b. 7 2 x +1 = 8 49 c.

(5 ) = (0,2) x +1 3

x −1

d. 3 x + 3 x −1 + 3 x +1 = 13 e. 25 x − 6 ⋅ 5 x + 5 = 0

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INEQUAĂ‡ĂƒO EXPONENCIAL

# ž < #  ⇔ < Para # > 1

# ž < #  ⇔ > Para 0 < # < 1

Exemplo: 1. DĂŞ o conjunto solução das seguintes inequaçþes exponenciais: a. 25 2 x −1 ≼ 625 x 2 −x

1 1 b.   ≼ 4 2 c. 9 x − 4 â‹… 3 x > −3

FUNĂ‡ĂƒO EXPONENCIAL

As funçþes exponenciais são as funçþes da forma f x a£ , onde a base a Ê uma constante positiva. Os ` £

grĂĄficos de y 2ÂŁ e y “ ” sĂŁo mostrados abaixo. Em ambos os casos ∞, +∞ ĂŠ o domĂ­nio e a imagem ĂŠ

0, +∞ . GrĂĄficos: a.

y = 2x

b.

1 y=  2

MATEMĂ TICA

x

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c.

y = ex

Como a base é positiva e diferente de zero temos que ax 1, portanto todo gráfico de f x a£ , corta o 28 eixo y no ponto 0,1 . Se a > 1 é crescente se 0 < # < 1 f é decrescente. Exemplo: 1. Esboce o gráfico da função 3 2 e determine seu domínio e sua imagem. O domínio de uma função exponencial em geral é o conjunto dos números reais

g l

h

h , ¥¦ , ¦ g g

¦

Podemos observar que a Imagem é Im ∞, 3 .

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2. A meia-vida do estrĂ´ncio-90 ĂŠ de 25 anos. Isso significa que metade de qualquer quantidade determinada de estrĂ´ncio serĂĄ desintegrada em 25 anos. a. Se uma amostra de §x–! tem uma massa de 24 mg, encontre uma expressĂŁo para a massa que permanece apĂłs anos de t.

A cada 25 anos a massa de 24 mg do estrĂ´ncio 90 cai pela metade dessa forma temos:

Observe que apĂłs t anos a massa ĂŠ:

m 0 24 1 m 25 24 2 1 1 1 m 50 ∙ 24 24 2 2 2 1 1 1 m 75 ∙ 24 i 24 2 2 2 1 1 1 m 100 ∙ i 24 z 24 2 2 2 m t

1

¨ 24 ~ 2

¨

24.2Â ~

b. Encontre a massa restante apĂłs 40 anos. A massa restante apĂłs 40 anos ĂŠ :

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zx

" 40 24.2Â ~ 7,9 "U

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FUNĂ‡ĂƒO LOGARĂ?TMICA:

Seja a função exponencial f x aÂŁ , a sua inversa f  ` ĂŠ chamada de função logarĂ­tmica na base a, a > 0 e a ≠1.

log Â’ ⇒ # Â

30

PROPRIEDADES:

1. log ’ # ž para todo ∈ �

3. log Â’ log Â’ + log Â’

5. log ’ Ž ! log ’ # ž

2. #­\ ž para todo > 0 ž

4. log Â’ “ ” log Â’ log Â’ Â

Exemplo:

1. Use as propriedades e encontre o valor de log 80 log 5: 2. Usando as propriedades desenvolva as expressĂľes: a. log(x â‹… y â‹… z ) b. log 3 x â‹… y â‹… z c. log 4 xy 3

( )

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EQUAÇÃO LOGARÍTMICA É toda equação da forma log ¯ x k ⇒ x a± ou log x log m ⇒ x m, m > 0 # > 0 # ≠ 1. Exemplo: 1. Encontre a solução das equações: a. log 2 (2 x + 1) = 3 b. log3 (5 x − 1) = log3 (8 − 2 x )

31

log 2 ( x + 1) + log 2 (3 x + 1) = 3 d. log x −1 (10 − 2 x ) = 2 c.

MUDANÇA DE BASE

log ¯ m.

Dado log ¯ m, para transformá-lo em um logaritmo de base b, basta obtermos o quociente de log ² m por log ¯ m

DEMONSTRAÇÃO:

log ² m log ² a

log ¯ m x ⇒ a£ m 1

Aplicando logaritmos de base b nos dois membros da igualdade (1):

log ² a£ log ² m ⇒ x log ² a log ² m ⇒ x

log ² m log ² a

Exemplo: 1. Vamos calcular o valor de log z 8, mudando-o para a base 2: 2. Dê o Conjunto solução de cada uma das equações logarítmicas: a. log 2 (3 x − 1) − log 1 ( x − 6 ) = log 2 (2 x − 5) 8

b. log 8 x − log 4 ( x + 1) +

1 log 2 ( x + 1) = 0 6

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INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA

log > log ⇔ > Para # > 1

log > log ⇔ < Para 0 < # < 1

Exemplo:

32

1. Dê o conjunto solução das inequações logarítmicas: a. log 3 (2 x + 4 ) < log 3 8 b.

log 1 ( x − 1) − log 1 (4 − x ) ≤ −1 2

2

LOGARITMO NATURAL

O logaritmo com base e é chamado de logaritmo natural e tem uma notação especial:

log ³ ln

log ³ ⇔

As propriedades são as mesmas, vistas anteriormente:

1. ln para todo ∈ ℝ

2. «´ para todo > 0

ln 1

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Exemplos:

1. Encontre o valor de sabendo que ln 5 ln x 5

⇒e

~

x

Ou podemos aplicar a função exponencial em ambos os membros e«´ £ e~ pela propriedade 2 acima temos; x e~

33 2. Resolva a equação ~ i 10. Basta tomar o logaritmo natural de ambos os lados ln e~ i£ ln 10 5 3x ln 10 x

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5 ln 10 3

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