DECLIVE DE UMA RETA COMO TANGENTE DA INCLINAÇÃO
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Distância entre dois pontos y B
yB dAB
yA
o
(yB - yA)
A (xB - xA) x
xA
xB
(dAB )2 (xB x A )2 (yB y A )2
ou
dAB (xB x A )2 (yB y A )2
Coordenadas do Ponto Médio
y
B
yB M
yM yA
o
A
x xA
xM
xM
xB
x A xB 2
y A yB yM 2
M(x m , ym )
Equação da reta
(u1+v1, u2+v2) (v1,v2)
(u1,u2)
(u1+v1, u2+v2)
(4,6)
(v1,v2)
(-3,2)
(u1,u2)
(4,6)
u=(7,4)
(-3,2)
r
y yB
B (yB - yA) A
yA
o
(xB - xA)
xA
tg
x xB
yB y A y yA ou mAB B xB x A xB x A
Inclinação Positiva (m>0) r
y B
yB
(yB - yA) yA
o
A
(xB - xA)
xA
x
xB
•As diferenças (yB - yA) e (xB - xA) têm o mesmo sinal. •O ângulo que a reta forma com o eixo x, contado no sentido positivo (anti-horário), é agudo, ou seja, menor que 90°.
Inclinação Negativa (m < 0) r y yA
A (yB - yA)
B yB
(xB - xA)
o
xA
xB
•As diferenças (yB - yA) e (xB - xA) têm sinais opostos •O ângulo que a reta forma com o eixo x, contado no sentido Positivo (anti-horário), é obtuso (maior que 90°).
x
Pontos Colineares
y C
yC
yA
Três ou mais pontos estão alinhados Se formarem uma reta!
B
yB
A
x o
xA
xB
xC
Algebricamente... Condição para que os pontos sejam colineares
yB y A y C yB xB x A x C xB
Equação Reduzida da reta r y B
yB
P
y
y0
o
m
A
x0
y y0 x x0
x x
y y0 m x x0
xB
y y0 m(x x 0 )
DOIS EXEMPLOS DE APLICAÇÃO: Ex.01: Determina as equações da reta representada abaixo: y A 4
0
x
Solução: (4,0) (0,-8)
-8 B
m =
yB - yA
xB - xA y =-2x + 8 Eq. Reduzida
m=
-8 - 0 4– 0
Ex.02: Determina as equação da reta que faz 60° com o eixo x e passa por P(-2, -2): y x 3 2.( 3 1)
Condição de paralelismo entre duas retas y r
o Pode-se notar que: mr = tg e ms = tg então: mr = ms
s
x
y = 2x + 2
1 9 y x 2 2
Condição de perpendicularidade entre duas retas y
r
s
1 mr ms o
b x
Dist창ncia de um ponto a uma reta
d ( A, B)
5 4.162 1 0.122
d ( A, B) 1.4
Conjuntos de pontos definidos por condições no plano e no espaço
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MEDIATRIZ DE [AB]
Propriedades: • Um ponto qualquer da mediatriz de um segmento de reta é equidistante dos extremos desse segmento. • O ponto médio do segmento de reta é o ponto da mediatriz desse segmento que se encontra à menor distância dos extremos desse segmento de reta. • A mediatriz é perpendicular ao segmento de reta.
A
P
M
B
MP.AB 0
x xM , y yM . xB xA , yB y A 0
PLANO MEDIADOR DE [AB]
O plano representado a verde denomina-se Plano Mediador do segmento de reta.
P
B A
O plano mediador de um segmento de reta é o lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes dos extremos do segmento de reta.
O plano mediador é perpendicular ao segmento de reta e contém o ponto médio desse segmento de reta.
P
MP.AB 0 B A
x xM , y yM , z zM . xB xA , yB y A , zB z A 0
CIRCUNFERÊNCIA DE DIÂMETRO [AB]
AP .BP 0 x xA , y y A . x xB , y yB 0
x 6x y 8 y 1 0 2
2
Determina o raio e o centro da circunferência:
x 3
2
x 6x 3 2
2
y 4 1 32 42 0 2
y 2 8 y 42
x 32 y 42 C( 3,4 ) r 2 6
24
SUPERFÍCIE ESFÉRICA DE DIÂMETRO [AB] A
AP .BP 0 P
B
RETA TANGENTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA NUM PONTO DADO
CT .TP 0 xT xC , yT yC . x xT , y yT 0
PLANO TANGENTE A UMA SUPERFÍCIE ESFÉRICA NUM PONTO DADO
T
C
P
CT .TP 0
FIM
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