Índice:
1) Significado de las operaciones…….2 a) Suma……...………………………………....2 b) Resta……………………………………...….3 c) Multiplicación…………………….…….4 d) División…………………………….………..5 2) Cómo se usan las operaciones……...6 a) Suma y Resta…………………….……..6 b) Multiplicación……………………..……8 c) División………………………………...…10 3) Trucos para resolver problemas.16 4) Confección de datos……………………19
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1) Significado de las operaciones:
Para lograr entender y aplicar los pasos a seguir en la resolución de problemas, primero hay que saber qué operación usar en todo momento. ¿Por qué uso una suma y no una resta? ¿Por qué uso una multiplicación y no una división?
a) Suma:
A veces nos piden en problemas de manera directa o indirecta que acumulemos cantidades distintas de una misma magnitud (es decir, que vayamos acumulando un número distinto de “cosas” de una misma índole). Este proceso se le denomina suma. Para saber cuándo hay que aplicar esta operación tenemos que manejar un amplio glosario de
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sinónimos referente a la suma. Estos pueden ser: Sumar/Suma: añadir, dar, aumentar, poner, poner más que, adición, aumento,… Nota: Hay que decir que cualquier sinónimo referente a los conceptos anteriores sirve a la hora de aplicar la suma.
b) Resta:
En el mismo sentido que la suma puede ser tratada la resta, sólo que son procesos antagónicos. Realizar una resta en definitiva es realizar una suma pero con cantidades negativas. Para diferenciar en los enunciados esta operación necesitamos conocer algunos sinónimos sobre ésta:
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Restar/Resta: devolución, quitar, extracción, gastar, borrar, sobrar, sacar, resto, devolver, extraer,… Nota: Hay que decir que cualquier sinónimo referente a los conceptos anteriores sirve a la hora de aplicar la resta. Al igual que cualquier antónimo de la suma.
c) Multiplicación:
El concepto de multiplicación se usa cuando nos piden que acumulemos cantidades iguales de una misma magnitud (es decir, que vayamos acumulando un mismo número de “cosas” de una misma índole). En otras palabras es una gran suma. Tal y como ocurren con las dos operaciones anteriores, la multiplicación tiene el
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mismo tratamiento: manejar un glosario que nos permita identificar esta operación, Multiplicar/Multiplicación: a razón de, por cada uno, doble triple,…
d) División:
La misma dualidad que ocurre entre la suma y la resta, sucede con la multiplicación y la división. Son procesos antagónicos que se complementan de la misma forma. La división puede entenderse como un reparto equitativo, es decir, un reparto de una cierta cantidad de una magnitud en partes iguales. El conjunto de sinónimos que se refiere a esta operación es: Dividir/División: repartir, reordenar, reducir a la
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unidad, reparto, fraccionar, fracción,… Nota: Para la multiplicación y la división, se mantiene la misma estrategia sobre sinónimos y antónimos.
2) Cómo se usan las operaciones:
Para entender el tratamiento de cada operación es necesario saber (aparte de su significado), qué estamos haciendo si sumamos cosas, restamos, multiplicamos magnitudes o las dividimos.
a) Suma y Resta:
Como bien sabemos, dos magnitudes distintas no se pueden sumar ni restar, a menos que cambiemos una de ellas a la otra magnitud o viceversa. El típico
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ejemplo: “2 plátanos más 3 manzanas”, no podemos realizarlo desde el punto de vista sumativo. Pero si cambiamos las magnitudes por piezas de frutas, si sabemos que son 5 piezas de frutas en el total. Matemáticamente: 2 plá tanos
3 manzanas
2 piezasde fruta
No puede hacerse
3 piezasde fruta 5 piezas de fruta
Nota: observa que lo que hemos explicado atiende a la definición que habíamos hecho de la suma: acumular
cantidades distintas (2 y 3) de una misma magnitud (piezas de fruta). Ejemplo:
“Manuel ha reunido en el último mes 25 euros en su hucha. Si se gasta 9 euros en ir al cine y unas palomitas, y vuelve a meter en la hucha 200 céntimos de euros que le han dado. ¿Cuánto dinero tiene ahora?”
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Datos 1) 25 € en la hucha 2) 9 € gasta en cine y palomitas (Gastar: sinónimo de restar) 3) 200 cts le dan (Dar: sinónimo de sumar) Resolución 25€ -9€ = 16€ quedan Ahora no podemos sumar lo que le han dado porque no tienen la misma magnitud. Pero es fácil averiguar que 200 céntimos son 2€ (porque 1€ tiene 100 céntimos de euro). Luego: 16€ + 2€ = 18€ Solución 18€ tiene en la hucha.
b) Multiplicación:
Hemos hablado ya de la relación existente entre las operaciones suma y multiplicación (Multiplicación = Gran Suma). Por tanto las propiedades, sinónimos, antónimos, y todo lo conocido sobre la suma es aplicable a la multiplicación.
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Por ejemplo, qué significa que Manuel duplique sus ahorros si tiene 25€. Pues que aumenta (Aumentar = sumar = multiplicar) otra vez la cantidad que tiene. Matemáticamente: 25€ + 25€ = 50€ ó mejor 25€ x 2 = 50€
Duplica r
Nota: observa que lo que hemos explicado atiende a la definición que habíamos hecho de la multiplicación:
acumular cantidades iguales (25 y 25) de una misma magnitud (euros). Ejemplo:
“Manuel tenía en su agenda 34 números de móviles y al cambiar de colegio llegaron a ser el triple. En el verano apuntó 12 más y borró 18, ¿cuántos números de móviles hay ahora en la agenda de Manuel?”
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Datos 1) 34 números de móviles 2) tuvo el triple (Triple: multiplicar por tres) 3) anotó 12 más (Más: sumar) y borró 18 (Borrar: restar) Resolución 34 x 3 = 102 nº de móviles tuvo Si en verano anota 12 más, quiere decir que Manuel tiene ahora: 102 + 12 = 114. Y si finalmente borra 18, quedan entonces: 114 – 18 = 96 Solución 96 nº de móviles hay en la agenda.
c) División:
Quizá por la “complicación” que tiene el proceso de división, sea más difícil reconocer, aplicar y/o entender esta operación en el marco de los problemas. Existe una principal diferencia con las otras operaciones: si con las anteriores sólo hemos podido operar con las mismas magnitudes, con
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la división vamos a poder operar con diversas magnitudes entre sí (lo veremos más adelante). Separemos por tanto en dos apartados el uso de la división: I. Reparto equitativo de una cierta cantidad: Imaginemos que queremos repartir (Repartir = Dividir) una cierta cantidad en partes iguales, por ejemplo 300€ de paga entre 4 hermanos: € 4 300 020 00
75 €
Partes iguales Para cada hermano
Nota: observa que lo que hemos explicado atiende a la definición que habíamos hecho de la división: un
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reparto de una cierta cantidad (300) de una magnitud (euros) en partes iguales (4). Ejemplo:
“Una granja tiene 3 gallineros con 87 gallinas cada uno. Vamos a repartirlas en jaulas de 9 gallinas para llevarlas a la granja nueva y queremos saber cuántas jaulas necesitaremos.” Datos 1) 3 gallineros con 87 gallinas cada uno (… cada uno: multiplicar) 2) repartir en jaulas de 9 gallinas (Repartir: dividir) Resolución Para poder repartir las gallinas en jaulas de 9 cada una, tendremos que saber primero cuántas gallinas hay en la granja: 87 x 3 = 261 gallinas en la granja. A continuación para repartir equitativamente las gallinas en las jaulas procedemos de la siguiente forma:
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gallinas 9 gallinas cada jaula 261 081
29 jaulas
00 Solución 29 jaulas.
II. Reparto de dos magnitudes distintas: A veces nos encontramos en situaciones en las que sabemos que la operación correcta a realizar es la división, pero las magnitudes son distintas (A y B) y por tanto no sabemos cómo realizar la división (A entre B, ó ,B entre A). Por ejemplo: “en un supermercado
cuestan 5kg de naranjas 4€ y queremos saber cuánto cuesta 1kg”. Para responder a esto veremos el significado de ambas divisiones: o Si hacemos la división:
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5 kg 4 € 10
1'25
Fíjate en el sentido de la división kg €
20 0 1’25kg cada 1 € . Observa que se respeta el mismo sentido que en la división. El significado de la división es: “ calculamos
los kilogramos que hay en una unidad de euro”.
o
Por el contrario realizando la división contraria, obtenemos: 40 € 5 kg 0
0'8
Fíjate en el sentido de la división € Kg
0’8 € cada 1 Kg. Observa que se respeta el mismo sentido que en la división. El significado de la división es: “ calculamos los euros que hay en una unidad de kilogramo ”.
Luego para responder a la pregunta inicial, ¿cuánto cuesta 1kg?,
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debemos fijarnos en la 2ª división, y en su resultado (es decir, el cociente) 0’8€ cuesta 1kg. La interpretación del otro resultado (cociente de la 1ª división) es 1’25kg por cada 1€, es decir, cantidad de naranjas en kilogramos que puedo comprar con 1€. Ejemplo:
“En un puesto del mercado dos docenas de huevos cuestan 3€. Si el tendero vende 400 huevos en todo el día, ¿cuánto ha recaudado?” Datos 1) dos docenas cuestan 3€ (recordar que 1 docena tiene 12 huevos) 2) vende 400 huevos Resolución Al preguntarnos cuánto se ha recaudado sabiendo que se vendieron 400 huevos, lo lógico es saber el precio de un huevo para poder multiplicar por 400.
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12 huevos x 2 docenas = 24 huevos cuestan 3€ Para saber cuánto cuesta un huevo, habrá que usar una de las divisiones anteriores, concretamente € huevos . Por tanto:
€ 24 huevos 30 060
0'125
120 000 Como ya hemos estudiado, el significado es 0’125€ cuesta cada 1 huevo. Finalmente cuánto costarán 400 huevos: 400 x 0’125 = 50€ Solución 50€ de recaudación.
3) Trucos para resolver problemas:
Normalmente los problemas no se resuelven de manera única, quiere esto decir que existen muchas formas de resolución. Lo que se ha expuesto hasta ahora es un molde para poder
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construir, y una vez que se aprende a construir no hace falta ese molde. Por tanto el único truco para resolver un problema es intentar aplicar lo visto hasta el momento: 1º Paso: “Datos” Obtener los datos del problema, intentando saber en todo momento que sinónimos usar para descubrir las operaciones básicas escondidas. Una vez que se exponen éstos, tiene que quedar bien claro qué es lo que me están preguntando y adónde tengo que llegar . 2º Paso: “Resolución” Traducir al lenguaje matemático los datos que anteriormente hemos extraído de la lectura del problema. Al resolver el
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problema es importante llevar un orden para llegar a la meta del problema: lo que nos están preguntando. 3º Paso: “Solución” Hay que dejar siempre bien claro lo que se ha calculado. El resaltar esta solución es importante para el siguiente paso. 4º Paso: “Comprobación” Una vez que se tiene la solución del problema se recomienda la comprobación de la misma a través de los datos iniciales. Esto nos da una información veraz o errónea del proceso seguido.
4) Confección de datos: 18
Una buena lectura y entendimiento de un problema a resolver, asegura por un lado una buena confección de datos y por otro el éxito a la hora de resolver dicho problema. No siempre que nos encontremos un número en la redacción de un problema significa que lo tengamos que usar como dato. Por tanto extraer un dato de un problema es: localizar una expresión matemática
(número, palabra, frase,…) y asociarle un sinónimo sobre alguna operación básica.
Además una confección de datos clara nos permite estructurar el proceso de resolución. En este proceso, aparte de traducir al lenguaje matemático los datos extraídos, es importante la pericia del que realiza el problema. Saber interpretar es imprescindible en el
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proceso de resolución, ya que en todo momento hay que saber cual es el camino que se ha elegido para llegar a la meta. Veamos con un ejemplo cómo podemos extraer todos los datos de un problema. Ejemplo: “El propietario de una librería compró
42 lápices y 34 bolígrafos. Todo esto le costó 712 pesetas. Los vendió y con la venta ganó 134 pesetas. Sabiendo que los lápices los vendió a 8 pesetas cada uno, ¿cuál fue el precio de venta de todos los bolígrafos juntos? ¿A cuánto vendió cada bolígrafo?” Datos 1) compró 42 lápices y 34 bolígrafos. Si observas, estos datos no van seguidos de sinónimos para operar porque son
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simplemente materiales de compra, es decir, magnitudes (lápices y bolígrafos). 2) costó todo 712 pesetas. El verbo costar es asociado como sinónimo de la operación suma. El precio de los lápices más el de los bolígrafos es 712 pesetas. 3) ganó 134 pesetas en la venta. El verbo ganar es asociado como sinónimo de la operación suma. Es decir aparte de ganar el dinero que se gastó al comprar el material, aumento sus ganancias en 134 pesetas. 4) vende los lápices a Cada lápiz lo vende a uno, y …cada uno se le asocia multiplicación como ya hemos ocasiones.
8 pesetas. 8 pesetas cada el sinónimo de visto en otras
Resolución El siguiente paso es saber qué me están preguntando y qué camino debo seguir para tener éxito. Nos están preguntando el precio final de todos los bolígrafos que vendió y a cuánto vendió cada uno. Atendemos a lo siguiente: si sumamos el precio de todos los
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bolígrafos y el precio de todos los lápices obtenemos la recaudación total de los bolígrafos. Finalmente sabiendo esto, sólo tenemos que relacionarlo con el número de bolígrafos, para responder a la segunda pregunta. Luego si sabemos cuánto ha ganado en total y en los lápices, podremos saber la recaudación de los bolígrafos. Veamos: - 712 pesetas le costó todo el material y ganó con la venta 124 pesetas. Por tanto ganó en total: 712 + 134 = 846 - Cada lápiz lo vende a 8 pesetas y vendió 42 lápices: 42 x 8 = 336 - Tenemos la recaudación total y el dinero recaudado por los lápices, luego el dinero que resta será el de los bolígrafos: 836 – 336 = 510 Solución 1ª pregunta 510 pesetas ganó con los bolígrafos. - Como vendió 34 bolígrafos y recaudó 510 pesetas en la venta de ellos, sólo tenemos que relacionarlos mediante una división (porque
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estamos relacionando magnitudes distintas y es la única operación que lo admite, aparte del significado matemático que conlleva).
pesetas 34 bolígrafos 510 170
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00 Si observas el sentido de la división, hemos obtenido como resultado en el cociente 15
pesetas cada 1 bolígrafo. Solución 2ª bolígrafo.
pregunta
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pesetas
cada
Realizado por: Antonio de los Santo Soler
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