1.3 EL PRODUCTO CRUZ En la sección 1.2 hemos definido un producto de vectores que daba como resultado un escalar. En esta sección definiremos un producto de vectores que da como resultado un vector; esto es, mostraremos como dados dos vectores a y b, podemos producir un tercer vector a x b, llamado el producto cruz de a y b. Este nuevo vecotr tendrá la muy agradable propiedad geometría de ser perpendicular al plano generado (determinado) por a y b. La definición del producto cruz esta basada en los conceptos de matriz y determinate que desarrollaremos primero. Una vez hecho esto podremos estudiar las implicaciones geométricas de la estructura matemática construida. Definimos una matriz de 2 x 2 como arreglo +"" ”+ #"
+"# +## •
donde +"" ß +"# ß +#" y +## son cuatro escalares. Por ejemplo, # ”!
" ß %•
" ” "
! y "•
"$ ” '
( "" •
son matrices de 2 x 2. El determinante +"" º+ #"
+"# +## º
de dicha matriz es el número real definido por la ecuación +"" º+ #"
+"# œ +"" +## +"# +#" +## º
Ð"Ñ EJEMPLO " " " º " " º œ " " œ !à º $ Una matriz de 3 x 3 es un arreglo
# & œ % ' œ #à º º % ( Ô +"" +#" Õ +$"
+"# +## +$#
+"$ × +#$ +$$ Ø
' œ %! %# œ #Þ )º
donde, de nuevo, cada +34 es un escalar; +34 denota el registro o posición en el arreglo que está en 3-ésimo renglón y la 4-ésima columna. Definimos el determinante de una matriz 3 x 3 por la regla â â +"" â â +#" â â +$"
Ð#Ñ
â +"$ â + â +#$ â œ +"" º ## +$# â +$$ â
+"# +## +$#
+#$ + +"# º #" º +$$ +$"
+#$ + +"$ º #" º +$$ +$"
+## +$# º
Sería difícil memorizar la fórmula (2) sin algún recurso mnemotécnico. La regla que hay que aprender es que nos movemos a lo largo del primer renglón, multiplicando +"4 por el determinante de la matriz de 2 x 2 obtenida al eliminar el primer renglón y la j-ésima columna, y después sumando todo esto, pero recordando poner un signo de resta antes del término +"# . Por ejemplo, el determinante multiplicado por termino de en medio en la formula (2), a saber +#" º+ $"
+#$ +$$ º
=e obtiene al eliminar el primer renglón y la segunda columna de la matriz dada 3 x 3: Ô +"" +#" Õ +$" â â" â â! â â!
EJEMPLO 2
â â" â â% â â(
! " !
â !â " â ! â œ "º ! â "â
â $â & â ' â œ "º ) â *â
# & )
+"# +## +$#
+"$ × +#$ +$$ Ø
! ! !º º " !
' % #º º * (
! ! !º º " !
' % $º º * (
" œ" !º
& œ $ "# * œ ! )º
Una importante propiedad de los determinantes es que al intercambiar dos renglones o dos columnas se cambia su signo. Para determinantes de 2 x 2, esto es una consecuencia de la definición. Para renglones tenemos +"" º+ #"
+"# + œ +"" +## +#" +"# œ Ð+#" +"# +"" +## Ñ œ º #" º +## +""
y para columnas,
+## +"# º
+"" º+ #"
+"# + œ Ð+"# +#" +"" +## Ñ œ º "# º +## +##
+"" +#" º
Dejamos al lector verificar esta propiedad para el caso 3 x 3. (Ver el ejercicio 1 al final de la sección.) Una segunda propiedad fundamental de los determinantes es que podemos sacar como factor común a escalar de cualquier renglón o columna. Para determinantes de 2 x 2 esto significa !+"" º !+ #"
+"# + œ º "" º +## +#"
!+"# + œ !º "" º !+## +#"
+"# !+ œ º "" º +## +#"
!+"# + œ º "" º +## !+#"
+"# !+## º
De manera análoga, para determinantes de 3 x 3 tenemos â â !+"" â â +#" â â +$"
!+"# +## +$#
â â !+"$ â â +"" â â +#$ â œ !â +#" â â +$$ â â +$"
+"# +## +$#
â â +"$ â â +"" â â +#$ â œ â +#" â â +$$ â â +$"
â +"$ â â +#$ â â +$$ â
!+"# !+## !+$#
y así sucesivamente. Estos resultados se siguen de las definiciones. En particular, si cualquier renglón o columna esta formado(a) por ceros, entonces el valor del determinante es cero. Un tercer hecho fundamental acerca de los determinantes es el siguiente: si cambiamos un renglón (o columna) mediante la suma de otro renglón (o, respectivamente, columna), no cambia el valor del determinante. Para el caso de 2 x 2 esto significa que +" º, "
+# + ," +# ,# +" +# œº " œº º º ,# ," ,# ," +" ,# +# º + +# +# + +# +# œº " œ " ," ,# ,# º º ," ,# ,# º
Para el caso de 3 x 3, esto significa que â â +" â â ," â â -"
+# ,# -#
â â +$ â â +" ," â â ,$ â œ â ," â â -$ â â -"
+# ,# ,# -#
â â +$ ,$ â â +" +# â â ,$ â œ â ," ,# â â -$ â â -" -#
+# ,# -#
â +$ â â ,$ â â -$ â
y así sucesivamente. De nuevo, se puede probar esta propiedad usando la definiciones de determinante (ver el ejercicio 35). EJEMPLO 3 Suponer a œ !, " - ; i.e., a œ a+" ß +# ß +$ b œ !a," ß ,# ß ,$ b " a-" ß -# ß -$ b
â â +" â â ," â â -"
Mostrar que
â +$ â â ,$ â œ !Þ â -$ â
+# ,# -#
SOLUCIÓN Probaremos el caso ! Á !, " Á !. El caso ! œ ! œ " es trivial, y el caso en que exactamente uno de !, " es cero, es una modificación sencilla del caso que probamos. Usando las propiedades fundamentales de los determinantes, el determinante en cuestión es â â !," " -" â ," â â -" â
!,# " -# ,# -#
â â !,$ " -$ â â !," " -" â "â ,$ â œ ! â !," â â -$ -" â â
!,# " -# !,# -#
â !,$ " -$ â â !,$ â â -$ â
(factorizando "Î! en el segundo renglón) â â !," " -" â œ ˆ !" ‰Š "" ‹â !," â â " -"
!,# " -# !,# " -#
â !,$ " -$ â â !,$ â â " -$ â
(factorizando "Î" en el tercer renglón) â â " -" " â œ !" â !," â â " -"
â â ! " â œ !" â !," â â " -"
" -# !,# " -# ! !,# " -#
â " -$ â â !,$ â â " -$ â
â ! â â !,$ â œ ! â " -$ â
(sumando el segundo renglón al primero)
(sumando el tercer renglón al primero)
Ahora que hemos enunciado las propiedades necesarias de los determinantes y estudiado su historia, estamos listos para proceder con el producto cruz de vectores. Sean a œ +" 3 +# 4 +$ 5 y b œ ," 3 ,# 4 ,$ 5 vectores en V $ . El producto cruz de a y b, denotado por a x b, está definido como el vector axb œ º o, simbólicamente,
+# ,#
+$ + 3º " º ,$ ," â â 3 â a x b œ â +" â â ,"
+$ + 4º " º ,$ ,"
4 +# ,#
â 5â â +$ â â ,$ â
+# 5, ,# º
Aunque solo definimos los determinantes para arreglos de números reales, esta expresión formal que incluye vectores es una ayuda útil para recordar el producto cruz. Notar que el producto cruz de dos vectores es otro vector, a veces se le llama producto vectorial. EJEMPLO 4 Hallar a$3 4 5 b x a3 #4 5 b SOLUCIÓN â â3 â a$3 4 5 b x a3 #4 5 b œ â $ â â"
4 " #
â 5 â â " â œ 3 %4 (5 â "â
Ciertas propiedades algebraicas del producto cruz se deducen de la definición. Si a, b y c son vectores y !, " y # son escalares, entonces aib
a x b œ ab x a b
aiiiiib
a x a" b # cb œ " aa x bb # aa x cb a!a " bb x c œ !aa x cb " ab x cb
Notar que a x a œ aa x ab, por la propiedad (i). Asi, a x a œ !. En particular, 3 x 3 œ !ß
4 x 4 œ !ß
5x5 œ !
3 x 4 œ 5ß
4 x 5 œ 3ß
5x3 œ 4
Además
lo cual se puede recordar al permutar cíclicamente 3, 4 y 5 así:
Nuestro siguiente objetivo es proporcionar una interpretación geométrica del producto cruz. Para hacerlo, introducimos primero el triple producto. Dados tres vectores a, b y c, el número real a † (b x c)
se llama el triple producto de a, b y c (en ese orden). Para obtener una fórmula sean a œ +" 3 +# 4 +$ 5ß b œ ," 3 ,# 4 ,$ 5 y c œ c" 3 c# 4 c$ 5. Entonces a † (b x c) œ a+" 3 +# 4 +$ 5 b † Œº œ +" º
,# -#
,# -#
,$ , 3º " º -$ -"
,$ , +# º " º -$ -"
,$ , 4º " º -$ -"
,$ , +$ º " º -$ -"
,# 5 -# º
,# -# º
Esto se puede escribir de manera más concisa â â +" â a † (b x c) œ â ," â â -"
+# ,# -#
â +$ â â ,$ âÞ â -$ â
Supongan ahora que a es un vector en el plano generado por los vectores b y c. Esto significa que el primer renglón en la expresión como determinante de a † (b x c) es de la forma a œ !, " - , y por lo tanto a † (b x c) œ !, por el ejemplo 3. En otras palabras, el vector b x c es ortogonal a cualquier vector en el plano generado por b y c, en particular tanto a b como a c. A continuación calculamos la magnitud de b x c. Noten que , mb x cm# œ º # -#
#
,$ , º " º -$ -"
#
,$ , º " º -$ -"
,# -# º
#
œ a,# -$ ,$ -# b# a," -$ -" ,$ b# a," -# -" ,# b# Þ Desarrollando esta última expresión, vemos que es igual a a,"# ,## ,$# ba-"# -## -$# b a," -" ,# -# ,$ -$ b# œ m,m# m-m# sen# ) donde ) es el ángulo entre b y c, ! Ÿ ) Ÿ 1Þ Combinando nuestros resultados concluimos que b x c es un vector perpendicular al plano generado por b y c, con longitud m,mm-m lsen )l. Sin embargo, hay dos vectores que pueden satisfacer estas condiciones, pues se pueden escoger dos direcciones que sean perpendiculares (o normales) al plano T generado por b y c. Esto se ve claro en la figura 1.3.1, que muestra las dos posibilidades n" y n" perpendiculares a T , con mn" m œ m n" m œ m,mm-mlsen )lÞ
Figura 1.3.1 n" y n# son los dos posibles vectores ortogonales a b y a c, ambos con norma m,mm-mlsen )lÞ ¿Cuál es el vector que representa a b x c?, ¿n" o n" ? La respuesta es n" œ b x c. Resuelvan algunos casos, como 5 œ 3 x 4, para verificarlo. La siguiente "regla de la mano derecha" determina la dirección de b x c: Si colocan la palma de su mano derecha de manera que sus dedos se curven desde b en la dirección de c en un ángulo ), el dedo pulgar apuntará en la dirección b x c (figura 1.3.2).
Figura 1.3.2. Regla de la mano derecha para determinar en cuál de las dos direcciones posibles apunta b x c. Si b y c son colineales, sen ) œ !, de modo que b x c œ !. Si b y c no son colineales, entonces generan un plano y b x c es un vector perpendicular a este plano. La longitud de b x c, m,mm-mlsen )l, es simplemente el área del paralelogramo que tiene como lados adyacentes a los vectores b y c (figura 1.3.3).
Figura 1.3.3 La longitud de b x c es igual al área del paralelogramo por b y c. EJEMPLO 5
Hallar un vector unitario ortogonal a los vectores 3 4 y 4 5Þ
SOLUCIÓN
Un vector perpendicular a 3 4 y a 4 5 es el vector â â3 â a 3 4 b x a4 5 b œ â " â â!
4 " "
Como m3 4 5m œ È$, el vector
" È $ a3
â 5â â ! â œ 3 4 5Þ â "â
4 5b
es un vector unitario perpendicular a 3 4 y 4 5. Usando el producto cruz podemos obtener la interpretación geométrica básica de los determinantes de 2 x 2 y, más adelante, de 3 x 3. Sean b œ ," 3 ,# 4 y c œ -" 3 -# 4 dos vectores en el plano. Si ) denota el ángulo entre b y c, hemos visto que mb x cm œ m,mm-mlsen )l. Como ya se dijo, m,mm-mlsen )l es el área del paralelogramo con lados adyacentes b y c (ver figura 1.3.3). Usando la definición del producto cruz, â â 3 â b x c œ â ," â â -"
4 ,# -#
â 5â , â !✺ " -" â !â
Así, mb x cm es el valor absoluto del determinante
,# 5Þ -# º
," º"
,# œ ," -# ,# -" Þ -# º
De aquí se sigue que el valor absoluto del determinante anterior es el área del paralelogramo que tiene como lados adyacentes a los vectores b œ ," 3 ,# 4 y c œ -" 3 -# 4. EJEMPLO 6 Hallar el área del triangulo con vértices en los puntos (1,1), (0,2), y (3,2) (figura 1.3.4) SOLUCIÓN Sean a œ 3 4, b œ #4 y c œ $3 #4. Es claro que el triangulo cuyos vértices son los extremos de los vectores a, b y c tiene la misma área que el triangulo con vértices en 0, b a y c a (figura 1.3.4). En efecto, este último es solo una traslación del triangulo anterior. Como el área de este triangulo trasladado es la mitad del área del paralelogramos con lados adyacentes b a œ 3 4 y c a œ #3 4, hallamos que el área del triangulo con vértices (1,1), (0,2) y (3,2) es el valor absoluto de " #º
" #
" œ $# ß "º
esto es, $# .
Figura 1.3.4 Problema (a): Hallar el área E del triangulo sombreado. Solución: Expresar los lados como diferencias de vectores (b) para obtener E œ "# mab ab x a c a b m. Hay una interpretación de los determinantes de matrices de 3 x 3 como volúmenes, que es análoga a la interpretación de los determinantes de matrices de 2 x 2 como áreas. Sean a œ +" 3 +# 4 +$ 5ß b œ ," 3 ,# 4 ,$ 5 y c œ -" 3 -# 4 -$ 5, vectores en V $ . Mostremos que el volumen del paralelogramo con aristas adyacentes a, b y c (figura 1.3.5) es el valor absoluto del determinante
â â +" â H œ â ," â â -"
+# ,# -#
â +$ â â ,$ âÞ â -$ â
Sabemos que ma x bm es el área del paralelogramo con lados adyacentes a y b. Más aun, maa x bb † cm œ mcmma x bm cos<ß donde < es el ángulo agudo que forma c con la normal al plano generado por a y b. Como el volumen del paralelepípedo con aristas adyacentes a, b y c es el producto del área de la base ma x bm por la altura mcm cos<ß se sigue que el volumen es laa x bb † cl. Vimos en la pág. 35 que H œ a † ab x cb. Al intercambiar renglones vemos que H œ c † ab x ab œ c † aa x bb œ aa x bb † c; por lo tanto, el valor absoluto de H es el volumen del paralelepípedo con aristas adyacentes a, b y c. Para concluir esta sección, usaremos métodos vectoriales para determinar la ecuación de un plano en el espacio. Sean T un plano en el espacio, a un vector que termina en el plano, y n un vector normal al plano (ver la figura 1.3.6)Þ
Figura 1.3.5 El volumen del paralelepípedo formado por a, b, c es el valor absoluto del determinante de la matriz de 3 x 3 con renglones a, b y c.
Figura 1.3.6 Los puntos r del plano que pasa por a y es perpendicular a n satisfacen la ecuación ar ab † n œ !. Si r es un vector en V $ , entonces el extremo de r esta en el plano T si, y solo si, r a es paralelo a T y, por lo tanto, si, y solo si, ar ab † n œ ! (n es perpendicular a cualquier vector paralelo a T ver figura 1.3.6). Como el producto interno es distributivo, esta última condición es equivalente a r † n œ a † n. Por lo tanto, si hacemos a œ +" 3 +# 4 +$ 5 , n œ E3 F4 G5 y r œ B3 C3 D5, se sigue que el extremo de r está en T si, y solo si, EB FC GD œ r † n œ a † n œ E+" F+# G+$ Þ Ð$Ñ Como n y a se tomaron fijos, el lado derecho de la ecuación (3) es una constante, digamos, H. Entonces una ecuación que determina el plano T es EB FC GD H œ !Þ Ð%Ñ donde E3 F4 G5 es normal a T ; recíprocamente, si E, F y G no son cero simultáneamente, el conjunto de puntos aBß Cß D b que satisfacen la ecuación (4) es un plano con normal E3 F4 G5. La ecuación (4) es lineal en las res variables B, C, y D así corresponde geométricamente a una superficie lineal, esto es, un plano, en V $ . Los cuatro números E, F , G , H no están determinados de manera única por T . Para verlo, noten que aBß Cß D b satisface la ecuación (4) si, y solo si, además satisface la relación a-EbB a-F bC a-- bD a-Hb œ !
para cualquier constante - Á !. Si E, F , G , H y Ew , F w , G w , Hw determinan el mismo plano T , entonces E œ -Ew , F œ -F w , G œ -G w , H œ -Hw para un escalar -. Decimos que E, F , G , H están determinadas por T salvo un múltiplo escalar. Recíprocamente, dados E, F , G , H y Ew , F w , G w , Hw ß determinan el mismo plano si E œ -Ew , F œ -F w , G œ -G w , H œ -Hw para algún escalar -. Este hecho se aclarará en el ejemplo 8. El plano con normal E3 F4 G5, que pasa por un punto es V œ aB! ß C! ß D! b es EaB B! b F aC C! b G aD D! b œ ! Ð&Ñ (notar que B œ B! , C œ C! , D œ D! satisface la ecuación (5), entonces, en este caso, H œ aEB! FC! GD! b)Þ EJEMPLO 7 Determinar la ecuación del plano perpendicular al vector 3 4 5 , que contiene al punto a"ß !ß !b. SOLUCION De la ecuación (5), el plano es "ÐB "Ñ "ÐC !Ñ "ÐD !Ñ œ !; esto es, B C D œ ". EJEMPLO 8 a"ß "ß !b.
Hallar la ecuación del plano que contiene a los punto a"ß "ß "b, a#ß !ß !b y
SOLUCIÓN Método 1. Cualquier ecuación del plano es de la forma EB FC GD H œ !. Como los puntos a"ß "ß "b y a#ß !ß !b y a"ß "ß !b están en el plano, tenemos EFG H œ! #E H œ! EF H œ! Mediante eliminación, reducimos este sistema de ecuaciones a la forma #E H œ ! #F H œ ! G œ!
(segunda ecuación) (2 x tercerasegunda) (primeratercera)
Como los números E, F , G y H están determinados salvo un múltiplo escalar, podemos fijar el valor de uno y así los otros quedaran determinados de manera única. Si hacemos H œ #, entonces E œ ", F œ ", G œ !. Así, la ecuación del plano que contiene a los puntos dados es B C # œ !.
Método 2. Sean a œ 3 4 5, b œ #3 y c œ 3 4. Cualquier vector normal al plano debe ser ortogonal a los vectores a b y c b, que son paralelos al plano, ya que sus extremos están en el plano. Así, n œ aa bb x ac bb es normal al plano. Al calcular el producto cruz tenemos, â â 3 â nœâ " â â "
4 " "
â 5â â " â œ 3 4Þ â !â
Así, cualquier ecuación del plano es la forma B C H œ ! (salvo un múltiplo escalar). Como a#ß !ß !b está en el plano, H œ #. Después de sustituir, obtenemos B C # œ !. EJEMPLO 9 Determinar la distancia del punto I œ aB" ß C" ß D" b al plano con ecuación EaB B! b F aC C! b G aD D! b œ EB FC GD H œ !. SOLUCIÓN
Considerar al vector nœ
E3F4G5 È E# F # G #
que es un vector unitario normal al plano. Bajar una perpendicular de I al plano y construir el triangulo VIU mostrado en la figura 1.3.7. La distancia . œ lIUl es la → longitud de la proyección de v œ VI (el vector de V a I ) sobre n; así, distancia œ lv † nl œ lÒaB" B! b3 aC" C! b4 aD" D! b5 † Ónl œ
Figura 1.3.7
lEaB" B! bF aC" C! bG aD" D! bl Þ È E# F # G #
La geometría para determinar el punto E al plano P.
Si el plano está dado en la forma EB FC GD H œ !, escogemos un punto aB! ß C! ß D! b sobre él y notamos que H œ aEB! FC! GD! b. Al sustituir en la formula da distancia œ
lEB" FC" GD" Hl Þ È E# F # G #