Μεγιστοποίηση Χρησιμότητας υπό τον Εισοδηματικό Περιορισμό. Έστω: MaxU = X 1a X 21− a
και M = P1 X 1 + P2 X 2
ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ L:
Κατασκευάζουμε την Λαγκρανζιανή Συνάρτηση L:
L = ( X 1a X 21− a ) − λ ( P1 X 1 + P2 X 2 − M ) ⇔
ΟΙ ΜΑΡΣΑΛΙΑΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΖΗΤΗΣΗΣ των αγαθών X1,X2.
Παραγωγίζω ως προς X1,X2, λ:
∂L = 0 ⇔ aX 1a −1 X 21−a − λ P1 = 0 (1) ∂X 1
L = ( X 1a X 21− a ) + λ ( M − P1 X 1 − P2 X 2 )
∂L = 0 ⇔ ( 1 − a ) X 1a X 2− a − λ P2 = 0 (2) ∂X 2
Χ(P, M) Λύνουμε σύστημα:
∂L = 0 ⇔ M = P1 X 1 + P2 X 2 (3) ∂λ aX 1a −1 X 21−a1 λP P a (1) a X 2 P1 ⇔ − 1 =0⇔ = ⇔ X2 = 1 X 1 (4) a −a (2) 1 − a X 1 P2 P2 1 − a ( 1 − a ) X 1 X 2 λ P2 Αντικαθιστ ώ την
( 4)
στην ( 3) και
M = P1 X 1 + P2 X 2 ⇔ M = P1 X 1 + P2 M (5) P1 M X 2* = ( 1 − a ) P2 X 1* = a Αντικαθιστώ στην εξίσωση (4) και έχω
(6)
P1 a a a X 1 = P1 X 1 + P1 X 1 ⇔ M = X 1P1 1 + ÷⇔ P2 1 − a 1− a 1− a
Είναι Ομογενείς μηδενικού βαθμού ως προς τις τιμές P1,P2 και το χρηματικό Εισόδημα M. Αν αυξηθούν τα P1 ,P2 και M κατά α%, το σημείο (Χ1* Χ2*)θα παραμείνει το ίδιο. Ο καταναλωτής θα εξακολουθεί να επιλέγει τον αρχικό βέλτιστο συνδυασμό κατανάλωσης. ΕΜΜΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ. V(P1 ,P2,M)
Αντικαθιστώ τις Μαρσαλιανες Συναρτήσεις Ζήτησης στη συνάρτηση χρησιμότητας U και δημιουργείται η ΕΜΜΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ.
X 1* = a
M M (5) X 2* = ( 1 − a ) P1 P2
(6)
V(P1 ,P2,M) a
U = X1 X a
1− a 2
1− a M M 1−a a M a 1− a M = a ÷ ( 1 − a ) = a = ( 1− a) P2 P1a P21− a P1 1− a
a ( 1− a) = ÷ M P1 P2 Η χρησιμότητα εξαρτάται από τις τιμές και το εισόδημα. a
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΔΑΠΑΝΗΣ e(P1 ,P2,U).
ΧΙΞΙΑΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΖΗΤΗΣΗΣ των αγαθών X1,X2. h1 (P1 , P2 , U) h 2 (P1 , P2 , U)
Αν λύσω την Έμμεση Συνάρτηση Χρησιμότητας ως προς Μ θα κατασκευάσω την ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΔΑΠΑΝΗΣ e(P1 ,P2,U). Για κάθε δεδομένο συνδυασμό τιμών P1 ,P2 και επίπεδο χρησιμότηταςU προσδιορίζει το ελάχιστο εισόδημα – δαπάνη που μου εξασφαλίζει την παραπάνω χρησιμότητα που έχω επιλέξει.
a P P e( P1 , P2 ,U ) = M = 1 ÷ 2 a ( 1− a)
1− a
Παραγωγίζοντας την Συνάρτηση Δαπάνης e(P1 ,P2,U) ως προς τις τιμές P1 ,P2 προσδιορίζω τις ΧΙΞΙΑΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΖΗΤΗΣΗΣ των αγαθών X1,X2.
a P1 P2 e( P1 , P2 ,U ) = M = ÷ a ( 1− a)
1− a
U
Pa U = 1a a
P21− a U ÷ 1− a ( 1 − a )
1− a 1− a aP1a −1 P21−a ∂e a P2 = h1 (P1 , P2 , U) = a ÷ U =U ÷ ÷ 1− a ∂P1 1 − a P1 a ( 1 − a ) a
a
∂e 1 − a P1 = h 2 (P1 , P2 , U) = U ÷ ÷ ∂P2 a P2