Μικροοικονομική Θεωρία Θεωρία Χρησιμότητας και Προτιμήσεων.
Καταναλωτικές Προτιμήσεις: Βασικά Αξιώματα.
Συνολική και οριακή χρησιμότητα
Καμπύλη αδιαφορίας ή ισοϋψής καμπύλη χρησιμότητας.
Ιστορική Αναδρομή
Χαρακτηριστικά Καμπυλών Αδιαφορίας
Οριακός λόγος υποκατάστασης
Φθίνον Οριακός αδιαφορίας)
Είδη Καμπυλών Αδιαφορίας
Λόγος
Υποκατάστασης
1
(αφορά
κυρτές
καμπύλες
Θεωρία Χρησιμότητας και Προτιμήσεων. Δέσμη ή δεσμίδα ή συνδυασμός κατανάλωσης είναι ένα διάνυσμα Χ= (χ 1, χ2, χ3…..χν) που περιέχει αγαθά. Ανήκει σε ένα σύνολο κατανάλωσης Χ ( x ∈ X ) όπου X ∈ R1n (το Χ υποσύνολο του θετικού τεταρτημορίου) > : τουλάχιστον τόσο προτιμητέο όσο > : αυστηρά προτιμητέο ~ : αδιάφορο Κάθε συνδυασμός καταναλωτικών αγαθών δίδεται από ένα διατεταγμένο σύνολο μη – αρνητικών πραγματικών αριθμών και απεικονίζεται γεωμετρικά ως ένα σημείο στο μη – αρνητικό τμήμα του σχετικού χώρου. Καταναλωτικές Προτιμήσεις: Βασικά Αξιώματα. 1. Συγκρισιμότητα – Πληρότητα Για οποιουσδήποτε συνδυασμούς αγαθών Α και Β, ο καταναλωτής μπορεί να προσδιορίσει ποιος συνδυασμός του αποφέρει μεγαλύτερη ικανοποίηση. Αν ο Α παρέχει μεγαλύτερη ικανοποίηση από τον Β, τότε λέμε ότι ο Α είναι προτιμητέος έναντι του Β και το αντίστροφο. Αν και οι δυο συνδυασμοί παρέχουν την ίδια ικανοποίηση, τότε λέμε ότι ο καταναλωτής είναι αδιάφορος μεταξύ των Α και Β. 2. Μεταβατικότητα – Συνέπεια Αν ο συνδυασμός Α προτιμάται έναντι του συνδυασμού Β και ο Β προτιμάται έναντι του συνδυασμού Γ, τότε ο Α προτιμάται έναντι του. Παρόμοια αν ο καταναλωτής είναι αδιάφορος μεταξύ των συνδυασμών Α και Β και μεταξύ Β και Γ, τότε είναι αδιάφορος και μεταξύ Α και Γ. Το αξίωμα αυτό εξασφαλίζει την εσωτερική συνέπεια των επιλογών του καταναλωτή. Τα σύνολα αδιαφορίας δεν έχουν κοινά σημεία, δηλαδή οι καμπύλες αδιαφορίας δεν τέμνονται. Ορθολογικός Καταναλωτής: ο καταναλωτής του οποίου οι επιλογές εκπληρούν τις δυο παραπάνω ιδιότητες. 3. Συνεχεία Δεδομένου ενός συνδυασμού αγαθών Α, υπάρχουν συνδυασμοί αγαθών, τους οποίους ο καταναλωτής προτιμά έναντι του Α, άλλοι συνδυασμοί έναντι των οποίων ο Α είναι προτιμότερος και τέλος, υπάρχουν οπωσδήποτε συνδυασμοί αγαθών, διάφοροι ποσοτικά του Α, οι οποίοι του παρέχουν την ίδια ικανοποίηση. Άρα οι καμπύλες δεν μπορούν να είναι διακεκομμένες, αλλά είναι συνεχείς, δεν υπάρχουν δηλαδή ασυνέχειες. 4. Ανακλαστικότητα Το Αξίωμα της Ανακλαστικότητας, σύμφωνα με το οποίο ένας συνδυασμός είναι εξίσου καλός με τον εαυτό του. Κάθε δεσμίδα ανήκει σε κάποιο σύνολο αδιαφορίας, έστω και στον εαυτό της.
2
Τα παραπάνω 4 αξιώματα θεωρούνται τα βασικά υπάρχουν όμως και δυο επικουρικά αξιώματα. 5. Μονοτονικότητα ? Ασθενής Μονοτονικότητα: ο καταναλωτής προτιμά μια δεσμίδα που έχει περισσότερες ποσότητες από μια άλλη που έχει λιγότερες. Άρα θέλει και τα δυο αγαθά να έχουν περισσότερη ποσότητα από την άλλη δεσμίδα για να την προτιμήσει. Ισχυρή Μονοτονικότητα: ο καταναλωτής προτιμά μια δεσμίδα αρκεί το ένα αγαθό να είναι σε μεγαλύτερη ποσότητα από το άλλο για να την προτιμήσει. Αντιπροσώπευση – Εκπροσώπηση Μια συνάρτηση Μ(χ) που αντίστοιχη έναν αριθμό σε κάθε δεσμίδα κατανάλωσης, αντιπροσωπεύει τις προτιμήσεις του καταναλωτή, δηλαδή αποτελεί συνάρτηση χρησιμότητας. Το μόνο που απαιτείται από την συνάρτηση χρησιμότητας είναι να εκφράζει απλά, την κατάταξη των συνδυασμών των αγαθών κατά τις προτιμήσεις του καταναλωτή, δίδοντας μεγαλύτερη τιμή σε ορισμένους συνδυασμούς έναντι άλλων χωρίς, όμως να έχουν σημασία οι αριθμοί αυτοί καθαυτοί και, επομένως και οι μεταξύ τους διαφορές. (μιλάμε για την χρησιμότητα ως τακτικό μέγεθος και όχι ως απόλυτο) Πολλές συναρτήσεις χρησιμότητας μπορούν να περιγράψουν εξίσου καλά τις προτιμήσεις του καταναλωτή: Π.χ. u1= u(x,y) = xy & u2= u(u)2=(xy)2 x 10 5 1
y 10 20 100
u1 100 100 100
u2 10.000 10.000 10.000
Άρα ο συγκεκριμένος καταναλωτής είναι αδιάφορος μεταξύ των τριών αυτών συνδυασμών παρόλο που η απόλυτη τιμή (αριθμός) της χρησιμότητας διαφέρει. Η απόλυτη τιμή της χρησιμότητας εξαρτάται από τη συγκεκριμένη συνάρτηση χρησιμότητας που θα πάρουμε. Έχοντας μια συνάρτηση, που αντανακλά τις τακτικές προτιμήσεις του καταναλωτή, μπορούμε να κατασκευάσουμε έναν οποιοδήποτε αριθμό εναλλακτικών συναρτήσεων χρησιμότητας που να αντανακλούν τις ίδιες τακτικές προτιμήσεις. Συνολική και οριακή χρησιμότητα Η γενικευμένη μορφή της συνάρτησης χρησιμότητας είναι: u(x1, x2,x3…xv) όπου: u= συνολική χρησιμότητα και x1, x2,x3…xv = ποσότητες των αγαθών 1, .., ν
3
Η οριακή χρησιμότητα είναι: η χρησιμότητα που επιτυγχάνεται από την κατανάλωση ∂u ≡ ux μιας επιπλέον μονάδας του αγαθού X, ∂x Καμπύλη αδιαφορίας ή ισοϋψής καμπύλη χρησιμότητας. Είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων (ή των συνδυασμών αγαθών) μεταξύ των οποίων ο καταναλωτής είναι αδιάφορος. Κάθε σημείο μιας καμπύλης αδιαφορίας αποφέρει την ίδια συνολική χρησιμότητα με οποιαδήποτε άλλο σημείο της ίδιας καμπύλης αδιαφορίας. Αν η συνάρτηση χρησιμότητας δίνεται από τον τύπο u(x1, x2,x3…xv) όπου χ1 είναι η καταναλισκόμενη ποσότητα του αγαθού 1, χ2 είναι η καταναλισκόμενη ποσότητα του αγαθού 2 κ.τ.λ., τότε η καμπύλη αδιαφορίας ορίζεται ως το σύνολο όλων των συνδυασμών των αγαθών (χ 1, χ2, χ3,…χv) που ικανοποιούν την εξίσωση u(x1, x2,x3…xv) = c όπου c είναι το σταθερό επίπεδο χρησιμότητας για αυτή τη καμπύλη αδιαφορίας. Ένας Χάρτης καμπυλών αδιαφορίας δημιουργείται αν δοθούν διάφορες τιμές στη σταθερά c της εξίσωσης u(x1, x2,x3…xv) = c Π.χ. Όταν u(x,y) = xy οι καμπύλες αδιαφορίας δίνονται από την εξίσωση xy=c όπου c είναι η σταθερή τιμή της χρησιμότητας κατά μήκος μιας καμπύλης αδιαφορίας. Τα σημεία (x,y) : (1,5) και (2,5 , 2) βρίσκονται πάνω στην ίδια καμπύλη αδιαφορίας μιας και αποδίδουν την ίδια χρησιμότητα c=5. Έστω ότι αλλάζουμε τις απόλυτες τιμές χρησιμότητας με την ύψωση τους στο τετράγωνο έτσι ώστε u’ (x,y) = [u(x,y)]2= x2y2. Διαπιστώνουμε ότι βρισκόμαστε πάνω στην ίδια καμπύλη αδιαφορίας αλλά τώρα c=25. Επομένως οι καμπύλες αδιαφορίας παραμένουν αμετάβλητες (εκτός από τις αριθμητικές ταμπέλες τους) μετά από μονοτονικούς μετασχηματισμούς της συνάρτησης χρησιμότητας. Ιστορική Αναδρομή Jeremy Bentham 1789 = απόλυτη χρησιμότητα 1. Stanley Jevons 1871, Carl Menger 1871, Leon Warlas 1874 = Απόλυτη, Αθροιστική Χρησιμότητα u= u(x1) + u(x2) + u(x3) +….. u(xn) 2. Francis Edgeworth 1881, G.B. Antonelli 1886, Irving Fisher 1892 = Μετρήσιμο μέγεθος (απόλυτη χρησιμότητα) αλλά όχι αθροιστική. u(x1, x2,x3…xv) 3. Vilfredo Pareto 1906 = Τακτική χρησιμότητα Χαρακτηριστικά Καμπυλών Αδιαφορίας 1.
Το πεδίο των καμπυλών αδιαφορίας είναι πυκνό. Υπάρχει μια καμπύλη αδιαφορίας που περνά από κάθε σημείο του χώρου των αγαθών.
4
2.
Ο χάρτης αδιαφορίας είναι μοναδικός για κάθε καταναλωτή.
3.
Οι συνδυασμοί πάνω στην ίδια καμπύλη αδιαφορίας δίνουν την ίδια ικανοποίηση στον καταναλωτή.
4.
Κάθε συνδυασμός δεξιά της καμπύλη αδιαφορίας προτιμάται και αριστερά της καμπύλη αδιαφορίας δίνει λιγότερη ικανοποίηση.
5.
Καμπύλες αδιαφορίας που παριστούν διαφορετικά επίπεδα προτίμησης δεν μπορούν να τέμνονται.
Σημεία πάνω σε δυο καμπύλες αδιαφορίας: Α, Β, Γ. Τα σημεία Α,Β ανήκουν στην καμπύλη αδιαφορίας Ι, και τα σημεία Α, Γ ανήκουν στην καμπύλη αδιαφορίας ΙΙ. Ο καταναλωτής είναι αδιάφορος μεταξύ των συνδυασμών Α και Β αφού ανήκουν στην ίδια καμπύλη αδιαφορίας. Αντίστοιχα ο καταναλωτής είναι αδιάφορος μεταξύ των συνδυασμών Α και Γ αφού ανήκουν στην ίδια καμπύλη αδιαφορίας. Σύμφωνα με την ιδιότητα της Μεταβατικότητας: οι συνδυασμοί Β, Γ θα πρέπει να μας είναι αδιάφοροι (ταυτίζονται). Εδώ εμφανίζεται μια αντίφαση μιας και οι συνδυασμοί Β, Γ ανήκουν σε ξεχωριστή καμπύλη αδιαφορίας. 6.
Μονοτονικές προτιμήσεις η οποία και συνεπάγεται αρνητική κλίση στις καμπύλες αδιαφορίας Αυστηρή Μονοτονικότητα: ο συνδυασμός Α είναι αυστηρά μεγαλύτερος από τον Β διότι έστω ο πρώτος περιέχει περισσότερες μονάδες για κάθε αγαθό σε σχέση με τον συνδυασμό Β. Στον χώρο των αγαθών αυτό φαίνεται επειδή ο Α βρίσκεται βορειοανατολικά του Β. Αν ο καταναλωτής δεν έχει φτάσει σε σημείο κορεσμού και για τα δυο αγαθά, τότε προτιμά τον Α από τον Β: κατά συνέπεια οι καμπύλες αδιαφορίας έχουν αρνητική κλίση. Γιατί έστω ότι ο καταναλωτής είναι αδιάφορος μεταξύ των συνδυασμών Γ, Δ, ο Γ δεν μπορεί να περιέχει μεγαλύτερες ποσότητες και των δυο αγαθών από ότι ο Δ και το αντίστροφο (θα είχαμε θετική κλίση). Αντίθετα κάθε συνδυασμός πρέπει να περιέχει μεγαλύτερη ποσότητα του ενός αγαθού και μικρότερη ποσότητα του αλλού.
5
Η κλίση τους (δηλ. ο MRS) μειώνεται όσο προχωρούμε από πάνω προς τα κάτω. Αυτό σχετίζεται με το νόμο της φθίνουσας οριακής χρησιμότητας. Όσο αυξάνεται η ποσότητα του Χ και μειώνεται η ποσότητα του Υ η οριακή χρησιμότητα του Χ μειώνεται ενώ η οριακή χρησιμότητα του Υ αυξάνεται. 7. Κυρτότητα (ή φθίνων οριακός λόγος Υποκατάστασης) ένας καταναλωτής που είναι αδιάφορος ανάμεσα στο Α και το Β θα προτιμούσε αυστηρά έναν γραμμικό συνδυασμό Γ = αΑ + (1-α)Β από είτε απλά Α είτε απλά Β. Άρα προτιμά μίγματα. Σε περίπτωση κοίλης καμπύλης αδιαφορίας ο καταναλωτής απεχθάνεται τα μίγματα. Κυρτές προτιμήσεις -ο σταθμισμένος μέσος όρος δύο αδιάφορων συνδυασμών είναι αυστηρά προτιμότερος από τους δύο ακραίους συνδυασμούς- συνεπάγεται καμπύλες αδιαφορίας κυρτές ως προς την αρχή των αξόνων. Η διαπίστωση της κυρτότητας (ή κοιλότητας) γίνεται πιο εύκολα εάν η καμπύλη βρίσκεται πάνω (κάτω) από την εφαπτόμενη της σε κάθε σημείο. Οριακός λόγος υποκατάστασης Ο λόγος υποκατάστασης του Υ σε όρους του Χ μετράει τον αριθμό των μονάδων του Υ οι οποίες πρέπει να θυσιαστούν για την απόκτηση μιας επί πλέον μονάδας του Χ, έτσι ώστε ο καταναλωτής να απολαμβάνει το ίδιο επίπεδο ικανοποίησης (να διατηρήσει το επίπεδο χρησιμότητας – στην ίδια καμπύλη αδιαφορίας) • • •
Η κλίση των καμπυλών αδιαφορίας ονομάζεται οριακός λόγος υποκατάστασης (marginal rate of substitution, MRS) Ορίζεται μόνο για μετακινήσεις κατά μήκος μιας καμπύλης αδιαφορίας και ποτέ για μετακινήσεις μεταξύ καμπυλών. ∆Y ΟΛΥ = MRS = ∆Χ
Έστω ότι η συνάρτηση χρησιμότητας είναι u(x,y). Η μεταβολή της χρησιμότητας που προέρχεται από μια μικρή μεταβολή του χ (ή του y) είναι η οριακή χρησιμότητα του χ ∂u ≡ u x και η οριακή χρησιμότητα (ή του y). Άρα η οριακή χρησιμότητα του χ είναι ∂x
6
∂u ≡ u y . Μια καμπύλη αδιαφορίας δίνεται από τον τύπο u(x,y = c μια ∂y σταθερά. Παίρνοντας την ολική παράγωγο βρίσκουμε u x ( x, y ) ×dx + u y ( x, y ) ×dy = 0 και λύνοντας ως προς την κλίση της καμπύλης αδιαφορίας βρίσκουμε ότι: u ( x, y ) dy − = ΟΛΥ y / x = x dx u y ( x, y ) του y είναι
Άρα ο λόγος υποκαταστάσεως του y με χ (κλίση) είναι ο λόγος των οριακών χρησιμοτήτων του Χ και του Υ.
Φθίνον Οριακός Λόγος Υποκατάστασης (αφορά κυρτές καμπύλες αδιαφορίας) Ο ΟΛΥ του Υ με Χ μειώνεται σε απόλυτους όρους καθώς το Υ υποκαθίσταται με το Χ κατά μήκος μιας κυρτής καμπύλης αδιαφορίας. Η κυρτότητα των καμπυλών αδιαφορίας δικαιολογείται συνήθως με το επιχείρημα ότι καθώς ο καταναλωτής αποκτά ολοένα και μεγαλύτερες ποσότητες του Χ, η οριακή χρησιμότητα μιας επιπλέον αυξήσεως του Χ μειώνεται. Ενώ αντίθετα η οριακή χρησιμότητα του Υ διαρκώς αυξάνει, με αποτέλεσμα η μείωση της καταναλώσεως του Υ κατά μια επιπλέον μονάδα να απαιτεί όλο και μεγαλύτερη ποσότητα του Χ για να αντισταθμίσει ο καταναλωτής την απώλεια χρησιμότητας του. ΟΛΥΥμε Χ=7 αυξάνεται το Χ μια μονάδα, μειώνεται το Υ κατά 7 ΟΛΥΥμε Χ=5 αυξάνεται το Χ μια μονάδα, μειώνεται το Υ κατά 5 ΟΛΥΥμε Χ=3 αυξάνεται το Χ μια μονάδα, μειώνεται το Υ κατά 3 Όσο αυξάνεται το Χ τόσο μειώνεται ο ΟΛΥ Υμε Χ εξαιτίας του βαθμιαίου κορεσμού που επέρχεται στον καταναλωτή όταν αυξάνεται η κατανάλωση του Χ. Συνεπώς καθώς αυξάνεται η κατανάλωση του Χ ο καταναλωτής είναι διατεθειμένος να θυσιάσει ολοένα και μικρότερες ποσότητες του Υ για την απόκτηση μιας προσθετής μονάδας του Χ.
−
u ( x, y ) dy ∂u ∂u = ΟΛΥ y / x = x ≡ u y ( x, y ) ≡ u x ( x. y ) αυξάνεται μειώνεται dx u y ( x, y ) ∂y ∂x
Π.χ. ένας καταναλωτής που έχει 1000 λίτρα νερού εβδομαδιαίως μπορεί να είναι απόλυτα ευχαριστημένος από την ανταλλαγή ενός λίτρου νερού με μια φέτα ψωμί. Αν όμως μόνο ένα λίτρο νερού την εβδομάδα μπορεί να δίσταζε, ίσως να ανταλλάξει ακόμα και ένα ποτήρι νερού έστω και με ένα ολόκληρο φούρνο ψωμιά. Θεώρημα: Εάν υποθέσουμε ότι οι προτιμήσεις του καταναλωτή είναι πλήρεις, ανακλαστικές, μεταβατικές και συνεχείς, τότε υπάρχει μια συνεχής συνάρτηση χρησιμότητας, η οποία αντιπροσωπεύει αυτές τις προτιμήσεις.
7
Αυστηρά κοίλη συνάρτηση χρησιμότητας + αυστηρά κυρτή καμπύλη αδιαφορίας + φθίνοντας οριακός λόγος υποκαταστάσεως. Τα παραπάνω ισχύουν όταν ∂y ∂2 y < 0 και >0 ∂x ∂x 2 Η συνάρτηση χρησιμότητας τύπου Cobb Douglas u = x a y b πλήρη τις πιο πάνω προϋπόθεσης. ΟΛΥ Υµε X =
Είδη Καμπυλών Αδιαφορίας 1. Οι καμπύλες αδιαφορίας είναι ευθείες γραμμές (U(x,y) = aX + bY) για αγαθά τέλεια υποκατάστατα με MRS = - a / b 2. Οι καμπύλες αδιαφορίας έχουν σχήμα L για αγαθά τέλεια συμπληρωματικά με U(x,y) = min(aX, bY) με MRS είτε 0 είτε άπειρος. 3. Στα ουδέτερα αγαθά οι καμπύλες αδιαφορίας είναι κάθετες γραμμές με MRS παντού άπειρος. 4. Στα ανεπιθύμητα αγαθά η κατεύθυνση αύξουσας προτίμησης των καμπυλών αδιαφορίας είναι προς τα κάτω και δεξιά προς το «αγαθό». 5. Οι καμπύλες αδιαφορίας που παριστάνουν κορεσμένες προτιμήσεις είναι κυκλικές 6. Οι (κυρτές) Καμπύλες Αδιαφορίας εμφανίζουν έναν μειούμενο οριακό λόγο υποκατάστασης Ομοθετικές και Μη Ομοθετικές προτιμήσεις • Ομοθετικές συναρτήσεις: ο οριακός λόγος υποκατάστασης στις συναρτήσεις χρησιμότητας εξαρτάται μόνο από το λόγο των ποσοτήτων των δύο αγαθών και όχι από τις συνολικές ποσότητες των δύο αγαθών. • Οι οριακές χρησιμότητες και των δύο αγαθών εξαρτώνται από τα Χ και Υ. • οι κλίσεις των καμπυλών αδιαφορίας εξαρτώνται μόνο από τον λόγο Υ / Χ και όχι από το πόσο μακριά είναι η καμπύλη από την αρχή των αξόνων. • Μη Ομοθετικές συναρτήσεις: ο οριακός λόγος υποκατάστασης στις συναρτήσεις χρησιμότητας εξαρτάται μόνο από την μια ποσότητα του Υ ή Χ.
8