Ejercicios para aprender a derivar: Derivación de polinomios y series de potencias Reglas de derivación. If(x) = k
~
f'(x) ==
01
If(x) == ax ~ f'(x) ==
n
al
If(x) == u(x) + v(x) -7 f'(x) == u'+v'
f(x) == ax ~ f'(x) == a
Ejemplos: f(x)==4~f'(x)==0
f(x)=x~f'(x)=l
f(x):::: 3x 2 ~ f'(x)
f(x)
= 6x
= x 4 + 4 ~ f'(x):::: 4x 3 9
f(x)
= 3x
5
3
4
_x -7 f'(x) == 15x -3x
7
8
6
, x x 9x 7x f(x)=-;¡- J5~f(x)==7- J5
2
Ejercicios: 10 Derive las siguientes funciones polinómicas: 4
a) f(x) == x 3 +5x 20 + 2x d) f(x)
b) f(x)
x + 7x 4 5
e)f(x)
6x +5x 2 +5
c) f(x):::: x -3x 4 5
f) f(x)==4x +x 3 +4
7
4
x h) f(x):::: -+ x 5 2X2 4 k) f(x):::: _x-2
1) f(x) == x-4
n) f(x)
ñ)
a) f'(x):::: 3X2 + 100X 19 + 2
1 ' b) f'(x) == -+28x' 5
c) f'(x):::: x3_i 4
d) f'(x)
e) f'(x):::: 42x 6 + 10x
f) f'(x):::: 20x 4 +3x 2
j) f'(x)=-2x- 3 -20x-6
= x 3 +5x4 4x k) f'(x):::: _x-2 + 2x-3
i) f'(x) 1) f'(x)
m) f'(x)=-5x- 2
n) f'(x) ==
g) f(x)
j) f(x) = x-2 + 4x- 5 m) f(x)
5
x
+
4
5
i) f(x):::: 1fX 2 + J3x 3
+ 2x-3
f(x)::::~+-kx
x
Sol:
2x 5
g) f'(x) == 5x -15x
2°
4
h) f'(x)
P +if;.:
e) f(x) = -2V
e) f(x)::::3x 1l3 +4 x I/ 4
+W
f) f(x)
Sol:
~X-l/3 + 5X 1/ 4
a) f'(x)= 35 X1l4 +4x- 1I2 4
b) f'(x)
e) f'(x) = _X-2/3 +
x- 4 !5 d) f'(x)==l+- 5
4X- 517 2X-7/9 e) f'(x):::: - - - + - -
7
9
3
X-119/120
f) f'(x)::::
-4x- s -6x-4
ñ) f'(x):::: -2x-3 - IOx- 1I
- IOx-3
Derive, con un poco de ingenio, las siguientes funciones: a) f(x) 7X5/4_8xJl2 b) f(x)==x 2 !3 +4x 5 !4 d) f(x) =
= 21fx + 3J3x 2
120
~V~if;.:
Derivación de potencias de funciones Reglas de derivación:
r
Ejemplos:
f(x) = (X2 +X)3 ~ f'(X) = (6x+3)(x 2 + x f(x) = (3x + x 2yoo ~ f'(X) = 100(3 + 2x)(3x+ X2)99
f(x) :::: (X 3 + X2 + 1)6 ~ f '(x) = 6 o(3x 2 + 2x)o(x 3+ X2 + 1)5
f(x) = (4x 3 + 5x 2 + 7)15 ~ f'(x) 15 o(12x 2 + lOx)o(4x 3 + 5x 2 + 7)15
f(x) f( x) =
(X5 +4x3 +6t 15{5x4 + 12x2){x5 +4x3 + 6t 8 ~ f'(x) = 8
4
r
(2x 3 -2
(X3 _2X)3
+
5
~ f'(x)
=
3{3x2 _2){X3 -2x 4
r
6{ 6x 2 )(2x 3 -2
+
5
f
Ejercicios: 3° Derive las siguientes funciones con paréntesis: a) f(x)=(x+l)7
(x
4_ 3X 2)2
d)
f (x) =-'-----.:-
g)
f
j)
3
( 2X 3 + 7 x
(x)
r
Sol: a) f'(x)
= (x 2 +3x+5)3
c) f(x)
e) f(x)
= (4X 7 / 2 + 3)../5
f) f(x) = (x 2
k)
5/2
f
(x)
l' (x) :::: ,J5(14x 5 / 2 )(4x 7 /2 + 3) )5-1 -5{ 6X2 + 7)( 2X3 + 7x
= 8(6 X5 + 12X3 -
5)( X
6
3
4
5)7
5(20x 3 - 6x-3 )o(5x + 3X-2 )4 5 ( 5X2 = 2{10x-3)'
3x)3/2
3(2x+3)(x 2 +3x+5)2
d) f'(x)
%( 4x
3
6x)( x
4
-
3x 2 )
t
h) f'(x) = 7( 6X2 -12x-S )( 2X3 + 3x-4 + 2
+ X - X
12
b) f'(x)
f) f'(x) :::: e(2x - 1l'X JT - 1 )(x 2 - x JT )e-l
r
4
m) f'(x)
f
J
e)
k) f'(x)
)"
n) f(x):::: ( 4x 6 -x )7/3
f'(X)~4(h3F3x't; +F3x'
') f'() X
Jr
= -'---1-2--'
e)
1
x
(5x 4 +3x-2
7(x+ 1)6
g) f'(x)
-
h) f(x)::::(2x 3+3x-4+2f
f (x) :::: -'---7----'-
m) f(x):::: ( 5X2 - 3x )
= ~7+ J3x3J4
b) f(x)
6 o(3x + 14x)·(x3 + 7X2 _5)5 7 2
j) f'(x)
-2){¡+ x 1 )2 x
, 9{ 1 1) f (x)=S ¡-x
Derivación de raíces cuadradas y raíces de orden superior Reglas de derivación:
Ejemplos:
f(x)
Ejercicios: 4° Derive las siguientes funciones con paréntesis: a) f(x) ~ b) f(x) = W¡'-x3-+-¡-0-x d) g)
f(x)=~x+x2 +x 3 f(x) = ~¡ + 'JJx
h) f(x) =?j x 5 +-rx
3~(2x+4)2
d) f'(x)
+ e) f'(x)
f) f(x)
= 1Fx +3x
i) f(x)
JxM
1) f(x)
1<fx2+1+7
1
x
e) f'(x)
¡;z;j
3x 2 + 10 b) f'(x)=-r====
2
a) f'(x)
1+2x+3x 2
=---¡====
10
3'~(10x)2
f)
f
'(x)
=::
---¡======
4'~( Fx + ~10x)3
g) f'(x)
1
1
2~1 + 'JJx
39[;2
7
s'if¡ 2x
k) f'(x)
f(x)=V-rx+~
~x+Fx+'JJx
j)f(x) Sol:
i) f'(x)
e)
e) f(x)
=
h) f' (x)
= ----¡:========::==
p
Derivaci贸n de producto de funciones Re las de derivaci贸n. f(x) = uv ~ f'(x)
= u'v + v'u
If(x)
= u(v(x)) ~ f'(x) = u'(v(x))v'(x) I
Ejemplos: f(x)
= (X2 -1)(x+ 1)~f'(x) = 2x(x -1)+ (X2 -1)
f(x) = (x+ 4X2){X + 1) ~ f'(x) = (1 +8x)(x+ 1) + (x+ 4x 2)
f(x)
= (x+ x7 r (X2
-Ir ~
f'(x)
f (X2 -Ir +14x(x2 -Ir (x+x7r
= 5 (I+7x 6 )(x+x7 o
Ejercicios: 5掳 Derive las siguientes funciones: b) f(x)=x 2(7x 7 +8)
= (x 2 -1)(x -1)
a) f(x)
e) f(x)=(X 2 )3(X+I)
d) f(x)=(x-l)-l(x+l)
f(X)=(~+IJ(~J
e)
1) f(x) = (x 2 - 3f5 (x- X2)
g) f(x) = (x- l - 2)-2(1 + x2)
i) f(x)
= x(x _1)2 (x -
h) f(x)
= (x 2 + x)(x + 2x 2 )(x + 1)
k) f(x)=J;+l:Vx-l
3
7
2)3
j) f(x)=(x +7x)(x +5x 1)
2
)
f(x)=x~~(x+l)4
Sol: 2 a) f'(x)=2x(x-l)+(x -1)
b) f'(x)=2x(7x 7 +8)+49x 8
e) f'(x)=6x 5 (x+l)+x 6
d) f'(x)=-(x-l)-2(x+l)+(x-l)-1
e)
J'(X)~~(~+ln~r +4(~+ln~r
1) f'(x)
= -10x(x 2 -3f6 (x-x 2)+(1-2x)(x 2 -3f5
g) f'(x) =2x-2 (x- l - 2)-3 (1 + x2) + 2x(x- 1 - 2)-2
h) f'(x) = (x-l)2(x-2)3 +2x(x-l)(x-2)3 +3x(x-l)2(x-2)2
2
i) f'(x) = (2x + 1)(x + 2x )(x + 1) + (x 2 + x)(1 + 4x)(x + 1) + (x 2 + x)(x + 2x2) 7 2 2 3 6 j) f'(x) = (3x + x + 5x )+( x + 7x)(7x + 10x)
7)(
k) f'(x)
= (x + l)-1I2 :Vx-l + (X_l)-2/3 2
1) f'(x)
= .Jx 2 +1(x+ 1)2 +
.Jx+l
3
~ (x+l)2 +2x.Jx 2 +1(x+l)
2 X2 +1
Funciones racionales Re1!las de derivación: 1 v' f(x) --+f'(x)=-2
!!. -+ f'(x) = u'v -v'u
f(x)
v
V
v2
V
Ejemplos:
1
f(x) ==--2 -+f'(x) l+x f(x)
=
-+f'(x)=2x(XIOO+4x)-(100X99+4)xZ + 4x (x IOO + 4X)2
XZ
x
100
f (x)
=
X2 + 1 +1
-+ f'(x) == ---'-:---'----'
Ejercicios:
6° Derive las siguientes funciones: a) f(x)
1
=
b) f(x)
2x
=
1 5
x -6x
1
e) f(x) ==
2
3
(4X-x2 )
Sol:
5'(4-2x)
c)f(x)=-
s
( 4x-xZ)
7° Usando las reglas de derivación anteriores derive las siguientes funciones: a) f(x)
=
x 3 -3 -1
x3 b) f(x)=-zx +1
e) f(x) = (x _1)3 f) f(x) = ~ 3x ,,3x Sol: 3X2 a) f '(x) =--'----'---;;-'---'-
c) f '(x ) =
e) f'(x)
2(x+3)<x 2)-(x+3)2 2
+
c) f(x)
=
g) f(x)
= Jh
d) f(x)
2
x
X2 =-2
x -1 h) f(x)
x
=
Xi + 1 x e -2
b) f'(x)
(X2 + 2x (X2 d) f'(x)
(x-2)
-1) - 2X3
(X2 f) f'(x)
-Ir
_1(Jh 3x
x_3_)
2Jh
h) f'(x)
8° Demostrar que las siguientes funciones tienen por derivada: x 4 -1 x 4 +3x3 +x 2 a) f(x) = -+ f'(x) 2x b) f(x) == 2 -+ f'(x) = 2x +1 x +3x+l 4 3 3 3 2 c) f(x) = x + x + x + x -+ f '(x) == 1 1 + +x h) f(x) = -+ f'(x) (x + 1)2
Funciones exponenciales Reglas de derivaciรณn:
Ejemplos:
f(x)
e h3x ---+ f'(X)
f(x) f(x)
2
=2X
f(x)=x+(i
4e 4x +3
= (2x+3)e h3X
---+ f'(x)
2h5X' ---+ f'(x)
f(x)
90
= e 4x+3 ---+ f'(x)
2
2x-2X In2
=(3x 2 + lOx )2"'+5X
2 x : 2 ---+f'(X)=[
2
In 2
22J2x:21n2 (x+2)
Ejercicios: Usando las reglas de derivaciรณn anteriores derive las siguientes funciones: x3 2n1 a) f(x) = e +2X b) f(x) =e c) f(x) d) f(x) = 2 e) f(x) 2,,3+ 2x f) f(x) = 32x +1 g) f(x) 4-:.: h) f(x) 7r x'+Sh3 Sol: a) f'(x) = (3x 2 + 2)_e h2X d) f'(x)
= (7x 6 + 30x 5 )-e
f) f'(x)
= 2-3 2n1 ln 3
X7
b) f'(x)
= 2e 2n1
c) f'(x) = _2xex3 2 e) f'(x) = (3x + 2)_2 +2X -In 2 g) f'(x) _2x-4- x2 -In 4
6
+5x +3
x2
(7x 6 +30x5)-7rx7+sh3-ln7r
h) f'(x)
100 Derive las siguientes funciones: a) f(x)
=
+e n1 +5
b) f(x)=ex2-2X+2x
e) f(x) = ((
j) f(x) Sol:
3
6
4 + eX + 1 X
a) f'(x) == 2xe
c) f'(x)
e) f'(x)
X
2
2e X+ xe
=4x 3e x
(2 x2 -
k) f(x)
*
4
2
4x 'ln4+(2x+3)T +3x 'ln7
i) f'(x)
eXlO In 10 eX
-7-
2x- 2 In 2 (x-2i
r
+ x-:fi
J1/),+1 x
i) f(x)
= lOe
1) f(x)
=<15 + XC + e.J7
X2 2X -
+ 2 x In 2 d) f'(x):::: 4x 3e 3x + 3e Jx x 4 + e n1 + xe n1
X
cx
3
= xe x +e x +e
f) ยก(x) =
b) f'(x)
g) f'(x)
k) f'(x)
(eXrrJ
h) f(x)::::
+e n1
c) f(x)
(2x 2)e
Ji
6x+l
f) f'(x)
=
h) f'(x)
=(3x 2 _3)2,,3_3x
x
j) f'(x)==3x24xoln4+6x5exรณ
5ex ex
1) f(x)=--2-1n5+e-xe-ยก
Funciones logarítmicas Rel!las de derivación: u' f(x) = loga u ~ f'(x) = -Ioga e u
f(x) = Inu
~
u'
f'(x) = u
Ejemplos: 3
f(x)=log 4 (8x+x )~f'(x)= f(x)
8 + 3x 8x+x
2
31og 4 e
l2x
4
3
= In(3x + 7) ~ f'(x) = -------:-4 3x +7
11 o
Ejercicios: Usando las reglas de derivación anteriores derive las siguientes funciones: b) f(x) = In(x 2 -3x) c) f(x) = ln(x 3 -2x 4) a) f(x) = ln(3x -1) d) f(x) = log(6x -5)
e) f(x) = log(2x 2 -x) h) f(x) = IOg3(3x 2 _x 6 )
f) f(x) = log(2x 5 _X-2)
g) f(x) = log2(6x-x 2) i) f(x) = log5(x 2 -8x) Sol: 3 b) f'(x) = 2x-3 c) f'(x) = 3~2 - 8~3 a) f'(x)=- X2 -3x 3x-l
x -2x 2x-l 6 '( )=lOx4+2x-3l d) f'(x) = --Ioge
e) f'(x) = 2 loge f) f x 5 -2 oge 6x-5
2x -x 2x -x 6-2x 2x-8 , 6x-6x 5 g) f'(x) = 2 log2 e i) f'(x) = 2 log5 e h) f (x) = 2 6 log3 e 6x-x x -8x 3x -x
120 Derive las siguientes funciones:
a) f(x) = ln( x; J d) f(x) =
1 -rx In x
g) f(x) = log5o (.J4X3 +5)
j) f(x) = e 11nx +
b) f(x)=xln(x+l)
x+2 c) f(x)=ln ~
e) f(x) = ln-Jx-2
f) f(x) = log2 (x J7 )
h) f(x) = Inx x 3 x -x k) f(x) = In (2 -2 x +4
(
J3
X4 i) f(x)=ln(1+e +1)
J
1) f(x) = In (In (1n x))
Sol: 3 a) f'(x) = x
d) f'(x) =
b) f'(x)
-2 x(1nx)2
6X2 g) f'(x) = 3 log50 e 4x +5
j) f'(x) = ~e1+1nx = e
x
x
= In(x+l)+
x+l
1 e) f'(x) = 2(x-2)
c) f'(x) =_3__ ~ x+2 x
J7
f) f'(x) = -log2 e x
x4 4x 3e +1 x h) f'(x) = _ _ T ln3·lnx i) f'(x) = 4 x 1 + eX +1 X2 1 1) f'(x) = k) f'(x) = 2 +8x~4 x·ln(x)·ln (In x) (x + 4)·(x - x)
TX
Funciones trigonométrica sin u ---1- f '(x) = u "cosu f(x)
Ejemplos: 2 f (x) = sine 4x )
If(x)
tan u ---1- f'(x)
= cos u ---1- f'(x) ::::: -u "sin u I
u' cos U
=-2
2
f(x) = cos(x ) ~ f'(x) -2xsin(x 2 ) . -cosx 3X2 1 f(x) tan(sm(x» ~ f'(x) ::;: 2. f(x) = tan(x 3 -x) ~ f'(x)::;: --;:---:::-- cos (sm(x» -x) 8x cos(4x
f'(x)
---1-
2
)
Ejercicios: 13° Usando las reglas de derivación anteriores derive las siguientes funciones: a) f(x)::::: cos(3x) b) f(x) sin(3x 2 -2) e) f(x) = 4sinx-3cosx d) f(x)
sin(3x + 5)
f) f(x) == sin (2x 6 +
e) f(x) = cos(sinx) 7 h) f(x) = tan (2x +2x)
g) f(x)=tan(x 3 +2)
7)
i) f(x) = tan (x-cosx)
Sol: a) f'(x) =
sin(3x)
b) f'(x)
d) f '(x)
3 cos(3x + 5)
e) f'(x)
-cos xsin(sin x)
h)f'(x)==
14x +2 cos 2 (2x7 +2x)
6x'cos(3x 2 2)
e) f'(x) == 4cosx +3sinx 6
f) f'(x):::::12x 5 'cos(2x +7)
6
g) f'(x) =
2
3X2
COS (X
3
+2)
i)f'(x)=
l+sinx cos 2 (x-cosx)
14° Derive las siguientes funciones y simplifíquelas si fuese posible: 2
a) f(x):::::sin("hx -5x) d) f(x) g) f(x)
j) f(x)
= ~sin(3x) = sin(x 2 )cos(x)
b) f(x)=sin 2 (x)
e) f(x)=3sin 2 (2x-3)
e) f(x)::;: cos 2 (x 3 )
f) f(x)
= cos 4 (3x 4 )
i) f(x)
tanxcosx
,Jcos 2 x-sin 2 x
h) f(x)
~2tan xsin(2x)
k) f(x)
=~tan Fx
1) f(x)::::: cotan(x)
Sol: a) f'(x)
=
e) f'(x)
= 12sin(2x-3)cos(2x-3)
d) f'( x)
e) f'(x)
= -6X2 sinx
f) f'(x)
g) f'(x)
= 2xcos(x 2 ) cosx-sin(x 2 ) sinx
i) f'(x) k) f'(x)
,J6X 5 cos( ,J3x2 -5x ) 2 3X2 -5x
3
cosx
3
1
2Fx cos
3 cos(3x)
5~(sin(3x»4
= -48x 3 sin(3x4 )cos3 (3x 4 )
h) f'(x)
2
1
Fx 6
6
(tan
Fxr
-sin(2x)
~cos(2x) j) f'(x)
cosx
=
b) f'(x) = 2sinxcosx
1) f'(x)::;:
4cos(2x)
-1