ECUACIONES EXPONENCIALES 1. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales 3 2H3
a) 3-x +1 Solución.
Exponenciales con igual base., se igualan los exponentes.
3-x+1 = 3 2x +3 ~-x+l=2x+2 1-2= 2x+x -1 3x -1:x = 3
b) 3·3 x Solución.
243
Los dos términos se pueden expresar como exponenciales de igual base.
x
3·3 =243 31+x =3 5 l+x 5 x=4
e) 2 2x +2 = 0'5 2x 1 Solución.
Los dos términos se pueden expresar como exponenciales de igual base.
2 2x +2 = 0'5 2x - J
2 2x +2
= (..!:.)2X-l
2 2HZ = (2 -1 )2X-l
\2 2 2x+z
2- 1.(2x-l)
2x+2=-1.(2x
2x+2x = 1 2
d)
4x
1)
-)
2x+2=-2x+l x
-1
4
2x = ( ~)3X-J \25
5·
Solución. Los dos términos se pueden expresar como exponenciales de igual base.
r··~--
5·~1252x
=
5 2
j3x-1
25/ 6x 5.55 =5- 6H2 6x
e) 7 x -5x+6 Solución.
(1-1 + 6x
2-1
({ )2x 5.\ \5 3 J \
5
)Ys = (5-2 )}3x-l
5 =
5- 6x + 2
6x +30x =1 5
J
5.5 6x 1+5
36x =5
3·2x·-··
-6x+2 x=
=1
Los dos términos se pueden expresar como exponenciales de igual base. 2 7 x -5x+6 70 ~x2 5x+6 O
x
1
()
5 =5- 2· 3x - 1
5 36
t) 4 x =2 Solución. Ecuación de segundo grado en la variable 2x • 2 x - 2 :::: O 4x - 2x 2 (2 2 r Cambio de variable: 2' = t > O (por definición, la exponencial siempre es positiva). t2-t-2 • •
-(-1)±~(-lf-4.1.(-2) ::::!t=-l 2·1 lt 2
O
-1: No tiene sentido, la exponencial siempre es positiva x 1 2: t=2 =2=2 <:=:>x=l
t
Solución. Los dos términos se pueden expresar como exponenciales de igual base. 4 x ·16 x =2: (2 2 r'(2 4 2 : 2 2x .2 4x 2 : 22x+4x::::21
f
2 6x :::: 2' => 6x
1 1 : x::::
6
h) 9 x 2·3X+2¡.81=0 Solución. Ecuación de segundo grado en la variable 3'. 9 x _ 2 . 3 x+2 + 81
{ )2
~3x
-IS.3 x +81
2
f
~
1:
O) 9 x (3 xJ (3 x )2 _ 2 .9 . 3 x + SI = O 13X+2 =3 2 ·3 x =9·3 x J \
f}
2 O: lt=3 x >O:t -18·t+81
O:t=
(-lS) ± '(-IS)2 - 4 ·1· SI
V
9
2·1
i) 72x+3_8·7x+l+1=0 Solución. Ecuación de segundo grado en la variable 7'. 72x+3 _S.7x+l +1=0:f7 1
2X 3
3
x =343.(7 J):343'(7 X)2 -S·7·7 x +1 x x 7 .7 7· 7
+ =7 ·7
7 x+1
2x
O
1
(-56)±~(-56)2 -4·343·1 2·343
2 x ·3 x =12.18 Solución. Los dos términos se pueden expresar como exponenciales de igual base. 2 x .3 x =12.1S : (2·3)X =(2 2 .3)'(2.3 2 ): 6 x =2 3 .3 3 : 6 x 6 x =6 3 <:=:>x 3
j)
2
(2.3)3
Solución. Ecuación de segundo grado en la variable 3x • 3x +
l 4: 3x + 1 3 x- 1 3x .
Para quitar el denominador, se multiplica toda la ecuación por 3'.
X X 3 {3 +3:)
x 3 .4:
(3 xl+3=4.3 x : (3xr-4.3x+3
O:?x=t}
1) 4 x+l+2 x+3 _320 O Solución. Ecuación de segundo grado en la variable 2x • 4 x+1 +2 x+3
~x
t
t
X1 1 x x 2 320=0:{4 + =4 .4 =4.(2 =4.(2 r):4'(2 X )2 +8·2 x -320=0 x x x 3 3 2 + = 2 .2 = 8·2
> O}: 4· t 2 + 8 . t - 320 = O:t
8±J82 -4.4'(-320).{ .
2·4
t=-lO<ONoválida t=8
3
2 =2
x
<=;>x
3
m) 2x-I+2x+2x+l=896 Solución. Ecuación con la exponencial 2' como factor común del primer miembro. x 2 x- 1 +2 x +2 x+1 =896:{2X+l =21 ·2 .2 x +2 x +2 1 .2 x =896:(2- 1 +1+21).2X =896 x 1 I 2 T ·2 x
}:rl
( ~+1+21.2X=896 2)
2.2x=807
2 x =896.2
2
256=2 8
<=;>x
8
7
n) 3 x +3 1- x =4 Solución. Ecuación de segundo grado en la variable 3" es otra forma diferente de la ecuación k.
3" +3 1- x =4 : 3x +~=4 3"
:{xx
O
+ 2 x- 4 = 960
Solución. Ecuación con la exponencial 2' como factor común del primer miembro. 2,,-1 +2"-2 +2 x- 3 +2,,-4 =960 2 x .r l +2" ·r2 +2 x ·r3 +2" ·2-4 2" .(2-1 +
+r3 +2- 4 3
960: 2 x .(~+_I_+_l_+ 1 1 2 2 2 23 2 4
2
2x. 2 +2 +2+1 =961: 2 x = 1024
2x 15 =960: 2 x 16 2 10
<=;> x
960
960
960·16 15
= 10
3
-------_
......
r - - - - -....- - - - - - - - - -.........---.- ..~-------
Solución. Ecuación de bícuadrada en la variable 2x. Para transfonnar la ecuación se multiplican los dos miembros por 2 3x , que es el ténnino que queremos eliminar. +4·2- 3x O: (2 x -5 +4.2-3x ).2 3X = 0·2 3x 2 x -5. 2 x .2 3x -5. ·2 3x +4. ·2 3x =0 : 2 x+3x -5. +4·2-3x +3x =0 2 4x _5·2 2x +4.20 O; 2 4x 5·2 2x +4·1=0: 2 2x ·2 _5·2 2x +4=0 (2 2X
r
5·2 2x
+4=0:~2X
O
=t>0}:t2-5t+4
Resolviendo la ecuación de segundo grado se obtienen dos posible valores de t. 2x 2 {t = 1 = 2 O 2 <::> O= 2x : x = O t -5t +4 O: t=4 2 2x <::> 2 2x : x 1
q) 3x-l+3x+3x+l=117 Solución. Ecuación con la exponencial3 x como factor común del primer miembro. ·r1 +3 x .3 1 =117: 3 x .~-1 +1+3)=117 3 x- 1 +3 x +3 x+1 =117:
.í~ \3
+ 1 + 3)
117:
3 x .1+3+9 =117 : 3 x 3
.~=117 : 3 x 13 117: 3 x 3
117 ·3 13
3
16 x +16 1- x -10 O Solución. Ecuación de segundo grado en la variable 16x •
r)
16 x +16 1- x -IO
10=0: (16 X + 16 - 10 1. 16 x=0.16 x 16 x )
O: 16 x + 16 16 x
O : (16
x
r
+16-10·16
x
O: (16
x
r
x
10·16 +16
O
1 4x:x= 4 3 4x:x
4
s)
+22x-l +
+2 2x - 3 +2 2x - 4 =1984
Solución. Ecuación con la exponencial 2 2x como factor común del primer miembro. +22x-l + +2 2x - 3 + 2 2x - 4 =1984 : 22x+22x.TI+ .2-2 +2 2x . +2 2x . =1984 22X(I+
+2- 2 +2- 3 +2-4)=1984:
22X(I+~+ 1 +~+~l \
2 2x31 16
2
4
8
16)
1984: 2 2x 16+8+4+2+1 16
1984: 2 2x =1984.16: 2 2x =1024: 2 2x =2 10<::>2x=1O:x 31
1984
5
4
-----
- - - _ . _ - - - _......
_----
t) 3 2-(x+l) 28·3" +3 O Solución. Ecuación de segundo grado en la variable 3'_ 3 2-(x+l) -28·3 x +3 O: 3 2x + 2 -28-3 x +3 9.(3 x )2 -28·3 x +3= O: Ecuación de segundo grado.
~x
O: 3 2 _3 2x -28-3 x +3
O
t > 0}:9t 2 -28t+3 = O
-2 u) 3x+3x-I+3x-2+ +3 x- 4 =363 Solución. Ecuación con la exponencial 3' como factor común del primer miembro. +3 x - 2 +3 x- 3 +3 x- 4 363: 3 x +3 x · r1 +3 x +3 x · r3 +3 x · r4 3x +
363
1 1 I 1) +r3 +3-4 )=363 : 3xll+-+-+-+- =363 3 9 27 81
x 3 (l+r 1 +
, f
3 x . 81 + 27 + 9 + 3 + I = 363 : 3 x 121 = 363 : 3 x 81 81 x 5 3 3 <=>x=5
= 363·81
: 3x
= 243
121
v) Solución. Ecuación con la exponencial 5' como factor común del primer miembro. +5'+5 x - 1 =62: 5x.51+5x+5x.5-1=62:
5
62 5
5
.(5 1 +1+5- 11=62 I
5
5x -(6+2.) 62: 5x. 30+1 == 62 : 5 x . 31 62 55 55 55
62.5: 5 x =2 5·31 Como 2 no se puede poner en base 5, para despejar x hay que tomar logaritmos en ambos miembros de la igualdad y aplicando las propiedades de estos, despejar x. 5x
5x
2=>log5 X =log2 : xlog5
log2: x= log2 log5
w) 3 x
=4 Solución. Teniendo en cuenta que 4 no se puede expresar en base 3, para resolver la ecuación se toman logaritmos_ log4 4 : log 3 x = log 4: x log 3 log 4 : x = - log3 x) e 4x - 2 28 Solución. Para resolver la ecuación se toman logaritmos neperianos, que son en base e, y permiten eliminar la exponencial del primer miembro. e 4x - 2 =28: In =ln28: (4x 2)lne In28: (4x-2).I=ln28 4x - 2
In 28 : x = 2 + In 28 4
5
y)
e 2x - 1
(tI2j
Solución. Para resolver la ecuación se toman logaritmos neperianos, que son en base e, y permiten eliminar la exponencial del primer miembro. e 2x - 1
(tI2)3:
Ine 2X - 1 =ln(2)X
2x-l = 3ln2 4
(2x
1)lne=i 1n2 : (2x
4
1).1=i 1n2
4
4+31n2
x
8
2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones exponenciales:
a)
3.5 X +2·6y+l =807
{ 15·5 x -6 Y =339
Solución. Se resuelve por cambio de variable (5 X = t; 6Y s). 1.3 . 5 x + 12 . 6 y = 807 3.5 X +2'6 Y+1 807. {'3'5 X +2.6 1 .6 Y =807. 13'5X+12'6Y 807 1 { 15·5 x - 1 6 Y =339' 15.5-1 .5 x -6 Y 339' 15. 5 x 6 Y 339: 15. .5 x -6 Y =339
L
5
5
X
3.5 +12'6 { 3·5 x -6 Y
Y
X
807 : Camb'10 de vana . bl e: {5 =t>O : => 339 6 Y 8>0
(3t+12s
807
13t-s=339
Se resuelve el sistema (Por eliminación, restando las ecuaciones se elimina t).
3t+ 12s = 807
468
3t-s =339 : 13s =468: s == 36 (_ ): / 138 = 468 13 Conocido el valor de s se sustituye en la segUnda ecuación y se despeja t. 3t 36=339: 3t=375: t= 375 =125 3 125 == 53 <=> x 3 s = 36 = 6 2 =Q Y 2 t
b)
5 X+ Y
{
Solución. X 6 5X+Y = :{5 +Y =5 <=>{X+ y =6 x x y y { 5 - = 25 5 - = 52 x Y= 2
El sistema resultante se resuelve por eliminación, sumando se despeja x, restando y. (x+y
lx-y
6.{X 4 2' y=2
e) Solución. Se resuelve por cambio de variable (3 X t; 3 Y s). X X X Y t> O}:{t+s =36 36:{3 3 +3Y =36={3 +3 y { 3 x+ == 243 t'8=243 3 x ·3 Y == 243 3 Y 8>0 Sistema no lineal.
6
t+S=36: S =36 { t·s=243
t:{t.(36
t)==243:t2_36t+243=0:{t=27:S 36-27 9 t=9:s 36-9 27
x 2 x 3 ~x 2 :(2,3) 27=33 =3 ~x=3:(3,2) Ó {t 9=3 3 { s=9 Y =3 ~y=2 s 27=3 3 Y ~y=3 t
Solución. 2y s).
Se resuelve por cambio de variable (2 2x = t; 2 2X 2X
2Y 85={22X+22Y 85.{2 t}.rt+S==85 2 +2 2x 2y 2y { 2 2.(x+y) 324 2 ·2 324' 2 =s 'lt.s=324 Sistema no lineal de ecuaciones. Se resuelve por sustitución. t+s 85 2 :s=85-t:{t·(85 t)=324:t { t·s 324
Jl
t = 81
85t+324
O:
2 2 = 2 2x ~ 2x 2: x = 1 : log81 == log2 2y : 2ylog2 == log81: y ==
{t=4:S=85-481 t=81:s=85 81=4
t=4
2
2y
7
81 2log2
o viceversa