ECUACIONES LOGARÍTMICAS
1. Calcular Los logaritmos que se indican a continuación a)
log} 9
b)
log2 1024
e)
log l3' 9
d)
logJ5 125
e)
log2166
1
Ji
t)
log27 9 Solución. Aplicando la definición de logaritmo se transforma en una exponencial. loga x = y <::;> a y = x
a) log 3 9=x<=>3 x
9
b) log2 1024 = x <=> 2 x
3 =3 2 =>x=2
x
10 1024 : 2 = 2 => x
X
= 10
l'\x
-j \3
=> -x = 2
e) log 1/ 9 = x <=> (
/3
d) log
e) log 216 6 = x <=> 216 x f)
(1512'JX =5-
1: J5 =125
3
1 = x <=> ( )x 125
r;: -
.,¡5
x=-2
x=-6
1 x= 3
(6 3 ) = 6 : 6 3x
6
Ji 3 Ji.. log27 -9 = x <=> 27 9
~
(3 3
3x )x __ 3~, 3 '.
-3
: 3
3x
= 32
y
=> 3x = 3
2
2. Hallar la base de los logaritmos en las siguientes igualdades a) loga 4=2 b) loga9=2 e) log. 0'125 = 3 d) log.0'015625 3 e) loga 0'001 =-3
t) In 4x = 5
g) log3 64 = x
Solución. Aplicando la definición de logaritmo se transforma en una exponencial. loga x=y<::;> aY =x 2
a) loga 4=2<=>a =4 2
b) loga 9=2<=>a =9
e) loga 0'001 = -3 <=> a -3
a a
!4 .J9
= 0'001
.
2
3
~= 212 =¡
+
= 0'001
a
8
: a
3
0'001
a3
1000: a = :VI 000 = 10
x
-
2
3. Resolver las siguientes igualdades aplicando la definición de logaritmo: x
a)
2
b) e)
3 =9 log2 64= x
d) e)
logl6 0'5 = x
t)
logx 125 ==
g)
log3 X == 4
h)
log343 .J7 == x
= 16
Yx
loglo 0'00001 == x
30.
27 log% -==x 3 25 j) In4x 5 k) log3 64 =x Solución.
Para resolver este ejercicio hay que tener en cuenta que el logaritmo y la exponencial son
operaciones inversas: • loga a n n
i)
•
alogan == n
a) 2 ==16<::>log 2 2 X =log216:~og22X ==X}:X==IOg224: x=4 X
1
1/
11
1
b) 3/x==9<::>log3yx==log39: -==log332 x 6 e) log 2 64 = x : log 2 2 = X : x == 6 d) logI60'5==x<::>16x e)
f)
==~: 2
(2
4
f
==r1 : 2
1
-==2: x= x 2
1 r l : 4x=-1: x=- 4
4x
loglo 0'00001 == x <::> IOx = 0'00001 : lO x = 10-5 <::> x =-5 logx 125 =
30. <::> x~ == 125 :
x == (53
r
")
==
53.~ == 52 = 25
g) log3 x=4<::>3 4 =x: x=81
h) lo g343 .J7 == x <::> 343" =.J7 : (7 3 )"
=7
>i : 7 3x 7>i => 3x
1
1
2
6
-: x
i) j) k) log3 64 == x Como los logaritmos en base 3 no están tabulados ni aparecen en las calculadoras, es necesario hacer un cambio de base. log3 64 == x <::> 3" == 64 Tomando logaritmos decimales en ambos miembros de la igualdad, se despeja x. 3" == 64 <::> log 3 x log 64: x log 3 = log 64: x = log 64 == 3,79(Calculadora) log3
9
4. Sabiendo que log2 = 0'3010, calcular los logaritmos de los siguientes n煤meros: a) 5
b) 125
e) 0'25
d)
VO'08
1
e)
V16
f)
V781'25
g)
.JO'025 8
h)
VO'02
i)
3'2 3 -0'64 5
0'0125-\180 3 Soluci贸n. Aplicando las propiedades de los logaritmos, e "ideas felices" se transfomIan los logaritmos y se expresan en funci贸n de log 2_ 10 a) log5=log- 10g1O log2=1-0,3010=0,6990 2
b) log 125 = log 5 3
310g 5 == 310g.!.Q == 3(log 10 -log 2) 2
3(1 - 0,30 10) == 2,0970
e) 10gO'25==log! log] log4=0-log2 2 =-21og2 -2-0,3010=-0,6020 4
1
e) log 3~ == log ,,16
t)
(24
78125)}:4: logV781'25 =log ( - 100
57 1 (, 1 log-=-\log5 7 4 10 2 4
) 1 logl02 == (71og5-210g10) 隆 4
!(710g .!.Q - 2 -1) =! [7 (log 10 -log 2)- 2] =! [7(1-log 2)- 2] = 1 [7(1-0,3010)- 2]= 0,7232 4 2 4 4 4
g) log .JO'025 ==log(25-1O-3 8
r
1 (log52 +logI0-3 )-31og2 2
log8= 11og(25-10-3 )-10g2 3 2 1 (2Iog5+(-3)logI0)-3Iog2 2
!(2 2
10 -3-1~-3Iog2= 2 )
![2(logI0-log2)-3]-3Iog2 1 [2(1-log2)-3]-31og2 1-log2 3 31og2= 2 2 2 1 1 = ---4Iog2 ---4-03010 -1,704 2 2'
10
h) logt!0'02 =log(2.1O- 2
r
=..!..(log2+1ogI0- 2 )=..!..(log2+(-2)loglO)= 3 3 l l = 3 (Iog 2 - 2 .1) = 3(0,3010 - 2)= -0,S663
i)
5 3 log 3'2 .0'64
=Iog (32.10-
0'012S.~803
1
L.(64.10- L=
2
12S.10-4.80X
5
1
6
=IOg[(2 .10- ) .(2 .105
= log(2 .10-
1
2
j]-IO{S3 .10-4 .(2 4 .srJ=
r
Y+ log(2 6 .10-2 j -[10 g S3+ loglO-4 + log(2 4 ·S J=
= 310g(2 5 .10- 1 )+ Slog(2 6 .10- 2 )-3Iog S -(- 4)log 10
_i log(2 4 .S)= 4
=3(log2 +log10- )+S(log2 +loglO- )-3Iog.!Q+4.I-i(log2 4 +logS)= 2 4 5
1
6
2
= 3(Slog 2 + (-1)log10)+ S(6log 2 + (- 2)loglO)-3(logI0-1og2)+ 4 = 3(Slog 2 -1.1)+ S(61og2 - 2 .1)-3(1-log 2)+4
-¡(
410g 2 + log l~) =
_i ·4log 2 _i (Iog 10-log 2) = 4
4
= 3(Slog 2 -1)+ S(6log 2 - 2)-3(1-log 2)+ 4-31og 2 - i(I-log 2) = 4 3 3 183 = ISIog2 -3+30Iog 2-10-3+3Iog2 +4-3Iog2--·1 +-Iog 2 = -Iog 2 - - = 4 4 4 4
SI
= ~.O 301O-2.!. = 10207 4' 4'
5. Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas:
x 7
2Iogx=log-- 2 4
Solución.
a)
7i
2 x 7 2 x 7/ 4 2Iogx=log---: logx =log--loglO/4: logx =Iog- 2 4 2 10%
logx
2
=Iog
x
7/ <=>x
2.10/4
2
x
7/
4x =--·2·10/ 7/ . 4 2.10/ X = O
2
7/
2
=X·. 2·10/4 x -x=O
¡
1 2.IO%x-l=0: x=--...,.. 2.10%
x = Ono es válida porque no existe el logaritmo de o.
(2.10%X-1}X=0:
b) log(7x-9)2 +log(3x-4)2 =2 Solución. log(7x _9)2 + log(3x _4)2 = 2 :
21og(7x -9)+ 2log(3x -4)= 2
2(log(7x-9)+log(3x-4))=2 : log(7x-9)+log(3x-4)=1 : log[(7x-9)·(3x-4)]=log10 1 (7x-9)-(3x-4)=1O : 21x2-SSx+36=10 : 21x 2 -SSx+26=0 Resolviendo la ecuación de 2° grado:
11
21x
2
55x +26
O
,{XX:~
. logantmos . d ' . 1 a porque no eXIsten e numero negativos x = -13 no es va'I'd 21
log(25-x 3 )-3.log(4Solución.
e)
O
log(25-x 3 )-3 .log(4- x)= O 25-x 3 =4 3 3.4 2 x+3.4x 2 _x 3 : 25-x 3 =64-48x+12x 2 _x 3 Simplificando y ordenando se obtiene una ecuación de 20 grado. -48x+39
o:jx=
4+2~
4-,,3 x=- 2
Las dos son válidas.
d) log(3x -.1)-log(2x +3) Solución.
1 log25
3x - 1 1 log (3x -.1 ) -log( 2x +) 3 1 log 25 : log _ _ = log 10 -log 25 2x+3 o
lO <=> 3x .l:=~: 3x-.l =3.: 5.(3x 25 2x + 3 25 2x + 3 5 15x 5=4x+6: x=1
2.(2x+3)
Válida logx 3 =log6+logx Solución.
e)
logx 3 =log6+logx
logx 3 =log(6.x)<=>x 3 =6x
x. (x
2
6)= O: {
= 0r:;: = ±,,6
X
x
La única válida es . X O no es válida porque no existe el logaritmo de cero, x válida porque no existen logaritmos de números negativos.
f)
log8+{x2 Solución.
no es
5x+7).log3=log24
log8+(x 2 5x+7).log3
log24: log3X2-SX+7
3 X2 - Sx+7
24 8 Las dos son válidas
g)
= -.[6
log(5x + 4 )-log 2
log24-log8
2
log3 X -Sx+7
8
5x+6=O: {
1
2
. log(x +4)
Solución. 1
log(5x +4)-log 2 = -.log(x +4) 2
2· [log(5x + 4 )-log 2] == log(x + 4)
12
24 = log<=> X
=2
x=3
210g(5x+4)-210g2=log(x+4) : log(5x+4)2 -log2 2 =log(x+4) ( ) (5x + 4)2 2 =Iog x+4 <=> =x+4: (5x+4) =4,(x+4) 2 2 2 X =0 2 2 25x +40x+16=4x+16: 25x +36x=0: x'(25x+36)=0: 25x+36=0: x=-36 { 25 log
(5x + 4)2 2
' . 1 a porque genera l ogantmos negativos. x = - -36 no es va I'd 25 h)
(x 2 - X- 3).Iog 4 = 3 .Iog..!..
4
Solución.
(X2 -X-3).log4=3.10g ¡ : log4
X2 X 3 x2 x - - =IOg(¡r <=>4 - - 3 =(¡r
x2 x 3 - - =4- 3 <=>x 2 -x-3=-3: x2-x=0: X'(X_1)=0:{x=0 x-1=0: x=l Válidas las dos soluciones. 4
i) Solución.
log(16-x2) (2) =2: log\16-x =210g(3x-4): log(3x - 4)
X = O
2 2 2 16-x =9x -24x+16: 10x -24x=0: x.(10x-24)=0: 10x-24=0:x=24=g { 10 5
j) 210gx-Iog(x-16)=2 Solución. 210gx-Iog(x-16)=2: logx 2 -log(x-16)=log10 2 : logx 2 -log(x-16)=log10 2 {x = 20 x2 x2 log--=log100<=>--=100: x2 =100.(x-16): x2 -100x+1600=0: x -16 x -16 x = 80 Las dos soluciones son válidas k) (x2 -4x+7).log5+log16=4 Solución.
(x 2 -4x+7).log5+log16=4: log5X2-4X+7 =log104-log16: log5X2-4x+7 =log10000 16 2 2 2 X X x 4 2 log5 -4x+7 =log625<=>5 -4x+7 =625: 5 -4x+7 =5 <=>x -4x+7=4 x 2 - 4x + 3 = O:
-1 x=3
X
{
Las dos soluciones son válidas
Solución.
y+x + log 1250 = 4 :
log(2 2- X
log 2 (2-x}(2+x) = log 10 4 -Iog 1250
2 2 2 2 lo 24-x =10 10000 <=>24-x = 10000: 24-x =8: 24-x =2 3 <=>4-x2 =3 g g 1250 1250
13
1
X~
1: x =±l
Las dos soluciones son válidas
Solución.
Las dos soluciones son válidas
n) 1ogx 2 - log lOx10+ 11 Solución. 2
logx -Iog log x 2
lOx + 11 2 1 lOx + 11 =1 : logx ==loglO +log-- 10 10
= log(lO. 10x + 11 ~ X 2 = 10. 10x + 11 10 x2
: x2
=:
1Ox + 11
10
O: {x = -1 x = 11 11 no es valida porque genera un logaritmo negativo
x
lOx -11
o) 21ogx-log(x+6)=3Iog2 Solución. 2log x -Iog(x + 6)= 3log 2 : log x 2 -Iog(x + 6)= log 2 3 8x+48: x2 -8x x
48
O:
{
X
--4
x
12
-4 no es valida porque genera un logaritmo negativo
p)
2lgx Solución.
Ig(x-16)=2
2Igx-lg(x 16)=2: logx 2 -log(x-16)=logl02
log
~ = log 100 ~ x -16
x 2 = 100: x 2 = 100x -1600 : x 2 -1 OOx + 1600 x 16
O: {x = 20 x 80
Las dos soluciones son válidas
6. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas a) { x-y=15
log x + log Y = 2
Solución. x-y=15 {)ogx+logy 2
x-y 15 { log(x.y) log102 y2 +15y-lOO
~
{X-
y =15 'X x'y=100'
O: [y=-20 = 5 x == 5 + 15
h
y + 15 : {(y + 15). y
20
x == 20; Y= 5, es la única solución válida, No existen logaritmos negativos.
14
--------~~~~~~~
------
100
X2 y2
11
b) { logx-Iogy 1 Solución.
IOg X(y-18)= 2
e) { logy(x+3)= )~ Solución.
(X+ )IOg2 = (x
y)log4
Y e) { xylog3 = log531441
Solución.
(X+ Y)10 g 2 = (x {
y)log4 = {IOg2(x+ Y) xylog3 = log531441 log3 xy
2(X+ Y) { 3xy
22(x-y) {X+ Y=2(X- y) {X-3 Y O 2 <=> = : x = 3y: 3y 312 xy 12 xy=12
•
Si y = 2 => x
•
Si y=-2 => x = 12 = -6 Válida
1) {
log4(x-y) <=> {2(x+Y) = 4(x-y) ={2(X+Y) = 22(x-y) log3 12 3 xy 312 3xy 312
12
2
=
6 Válida
-2
log(x+y)=2Iog3
x log2 + YIog3 = log2592
15
fI2
12 => Y= ± -3
±2
5
(3.' 1 <=>x=5:y=9 \3)
5 4'{'X 5 . y=4
logx(y+8)=2
g) {logy(x-4)= ,}~ Solución.
h) flog(x + y)+ log(x - y) log 33
l
·eY=e I1
Solución. Aplicando las propiedades de los logaritmos y exponenciales se transforma el sistema.
{
IOg[(X+ y).(x-y)] XTy e =e ll
log33 =
rIOgf(~)=IOgg(X)<=>f(x)=g(x)}={(x+Y)'(X-Y)=33
1a
f
()
ag(x) <=>f(x)=g(x)
x+y
II
Sustituyendo x + y por 11 en la primera ecuación se obtiene un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas
{
i)
11'(X- y )=33 {x y=3 ., {X::=7 = : Por redUCClOn : x+y=ll x+y 11 y=4
-l
== 10.000 x2 {(x _y)l0g(x+ y) == 1.000
Solución.
x2-y2=10.000 log(x2-l)=loglO.000 ={ log((x+yXx-y))=4 == { (x - yYOg{x+ y) ::= 1.000 { log((x - y)log(x+ y))== log 1.000 log(x + y )'Iog((x - y)) = 3 IOg(X+Y)+lOg(X y)=4 { = log(x+y).log((x-y))=3 Para resolver el sistema se hace un cambio de variable:
r
'a = log(x + y)l: a+ b =4:b = 4-a: {a.(4-a)= 3 { b= log(x y)J a·b 3 I
1
Ordenando se obtiene una ecuación de 2° grado que nos permite cncontrar la solución. 2 {'a=l:::>b 4-1 3 a -4a+3=0: a 3:::>b=4 3=1 . ia=l {IOg(X+Y)=l {x+y=lOl {X=505 ,. 81:: <=> : ValIda ,b 3 log(x y)=3 x-y 10 3 y -495 3
Y {a=3 . 1 8 : : {IOg(X+ )=3 <=> {X+ Y =10 1 : {X=505 Va'l'd 1 a b 1 log(x y) == 1 x - Y 10 Y 495
16
2 log x -log y
S
j) { logx-4 -Iog y Solución.
210gX-IOgY=S={IOgX2_10gy=S { log X 4 -logy log x+logy 4
¡log y ( log x·
= log10 5 log 10
o¡X; =10
4
5
4
x . y == 10
10
k) {YIOgX
xlogy
=y2
Solución.
{
YIOgX=XI0 gy ={IOgXY =logyX o{xY =yX
2 2 2 2
X2 -_ y2 X =y X Y
x = y E R + Por definición solo existen logaritmos de números positivos
17
----~~~-
~---~-~~~~~~~~