OPCIÓN A Ejercicio 1. Calificación máxima: 2,5 puntos.
Sea la matriz
(
3 0 m A= −5 m −5 m 0 3
)
a) (1 punto) Determina los valores de b) (1,5 puntos) Para
m
para los que la matriz
m=−2, resuelve la ecuación matricial
A−2I
tiene inversa.
AX =2X + I.
Ejercicio 2. Calificación máxima: 3 puntos. Dado el sistema de ecuaciones lineales:
{
( 2m +2 ) x + my+2z=2m−2 2x + ( 2−m ) y=0 ( m+1 ) x + ( m+1 ) z =m−1
a) (2 puntos) Discutirlo según los valores de
m.
b) (0,5 puntos) Resolverlo para el caso
m=1.
c) (0,5 puntos) Resolverlo para el caso
m=2.
Ejercicio 3. Calificación máxima: 2,5 puntos. Sea
rA
la recta con vector director
( 1, α , 1 ) que pasa por el punto
vector director (1,1,1) que pasa por B(1,-2,3), y por
C(4,1,-3). Se pide:
rC
A ( 1,2,1 ) , r B
la recta con
la recta con vector director (1,1,-2) que pasa
a) (1 punto) Hallar
α
r A y r B se corten.
para que las rectas
α
b) (1,5 puntos) Halla
para que la recta
rA
sea paralela al plano definido por
r B y rC . Ejercicio 4. Calificación máxima: 2 puntos. Dados los puntos A(1,3,-1), B( a,2,0), C(1,5,4) y D(2,0,2), se pide: a) (1 punto) Hallar el valor de a para que los cuatro puntos estén en el mismo plano. b) (1 punto) Hallar los valores de a para que el tetraedro con vértices A, B, C y D tenga volumen igual a
3
7u .
OPCIÓN B
Ejercicio 1. Calificación máxima: 2,5 puntos. Dada la matriz
(
A= α +1 0 1 −1
)
a) (1, 25 puntos) Determina los valores de
α
para los cuales la matriz
2
A +3A
no tiene
inversa. b) (1,25 puntos) Para
α=0 , halla la matriz
X
Ejercicio 2. Calificación máxima: 3 puntos. Dado el sistema de ecuaciones lineales:
{
( 2m+2 ) x + my+2z=2m−2 2x + ( 2−m ) y=0 ( m+1 ) x + ( m+1 ) z =m−1
d) (2 puntos) Discutirlo según los valores de
m.
e) (0,5 puntos) Resolverlo para el caso
m=1.
f)
m=2.
(0,5 puntos) Resolverlo para el caso
que verifica la ecuación
AX + A=2I.
Ejercicio 3. Calificación máxima: 2 puntos. Considera los puntos A(1,0,-1) y B(2,1,0), y la recta
{
r : x + y=1 x+ z=2
a) (1 punto) Determina la ecuación del plano que es paralelo a
r
y pasa por A y B.
b) (1 punto) Determina si la recta que pasa por los puntos P(1,2,1) y Q(3,4,1) está contenida en dicho plano.
Ejercicio 4. Calificación máxima: 2,5 puntos. a) (1,25 puntos) Hallar el volumen del tetraedro que tiene un vértice en el origen y los otros tres vértices en las intersecciones de las rectas
r 1 : x= y=z
{
r 2 : y=0 z=0
{
r 3 : x=0 z =0
con el plano
25 puntos) Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta
{
s : x−3y−5=0 x−3z−8=0
π : 2x+3y +7z=24. x y−1 z−2 r: = = 1 −1 2
b) (1,
y