OPCIÓN A
Ejercicio 1. Calificación máxima: 2 puntos. Dada la función
f :R→ R
definida por
f ( x )=a x 3+ b x 2 +cx
, determina
a ,b y c
sabiendo que su gráfica tiene un punto de inflexión en (1,0), y que la recta tangente en ese punto tiene por ecuación y=−3x+ 3. Ejercicio 2. Calificación máxima: 3 puntos. Sean las rectas:
r:
x +1 y −2 z = = −2 2 −4
s:
x−2 y +1 z +2 = = 3 1 1
a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen y corta a las dos rectas
anteriores. b) Hallar la recta perpendicular común a las rectas
r y s.
Ejercicio 3. Calificación máxima: 2 puntos. Dada la función
{
−x f ( x )= ax2+b e si x ≤ 0 b x −2a+1 si x >0
a) Determina los valores de
a yb
para los que la función cumple las hipótesis del
teorema del valor medio en el intervalo
[ −1,1 ] .
b) Para los valores obtenidos en el apartado anterior, hallar el punto de dicho intervalo
cuya existencia garantiza el teorema del valor medio. Ejercicio 4. Calificación máxima: 3 puntos.
lim
a) Calcula los límites
1
√ 4+ x−√ 4−x
y
4x
x→ 0
lim ( 1+ senx ) 2senx x→ 0
f ( x )=√ x +1+ √ x+ 2
b) Calcula el dominio de las siguientes funciones g ( x )=
1+log √ x x 2 −4
y
. OPCIÓN B
Ejercicio 1. Calificación máxima: 2 puntos. f ( x )=x 3 +a x 2 +bx +c
Hallar a , b y c de modo que la función
alcance en x=1 un máximo
relativo de valor 2, y tenga en x=3 un punto de inflexión.
Ejercicio 2. Calificación máxima: 3 puntos. Sea el plano
π : x −2y−3z=6.
a) Hallar el punto simétrico del (0,0,0) respecto de b) Hallar el plano perpendicular a
π
π.
que contiene al eje OZ.
c) Hallar el volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen de coordenadas y los
π
puntos de intersección de
con los ejes coordenados.
Ejercicio 3. Calificación máxima: 2 puntos. Estudiar la posición relativa de ambas rectas en función del valor del parámetro
. r:
x−1 y +4 z +1 = = 2 3 5
y
s:
x +2y + z =a {2x− y− z=−2
Ejercicio 4. Calificación máxima: 3 puntos. a) Calcula los siguientes límites
2 3 3 x
lim ( 1+ 4 x ) x→ 0
y
lim
x→+ ∞
(
x 2+ 2x+1 x2
)
2
x +1 x−1
.
a
b) Dada la función
f ( x )=a x 3+ x 2−1 , calcular los posibles valores del parámetro
para que la recta tangente a dicha función en el punto de inflexión sea decreciente.
a