MATEMÁTICAS
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EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA
Juan Jesús Pascual
TRIGONOMETRÍA A. Introducción teórica A.1 Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo. A.2. Valores del seno, coseno y tangente para ciertos ángulos significativos (en grados y radianes). A.3. Significado geométrico de las razones trigonométricas en la esfera goniométrica. A.4. Relaciones entre las razones trigonométricas. A.5. Resolución de triángulos: Teoremas del seno y del coseno. B. Ejercicios resueltos B.1. Razones trigonométricas. B.2. Ecuaciones trigonométricas. B.3. Problemas. A. INTRODUCCIÓN TEÓRICA
A.1 Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo:
Las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo son las siguientes funciones: La función seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. Todas ellas pueden entenderse como relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo. Veamos las expresiones de cada una de ellas referidas a los ángulos α y β del triángulo rectángulo aquí representado: a)
Para el ángulo α: función seno a senα = c función cosecante 1 c cos ec α = = senα a
función coseno b cos α = c función secante 1 c s ecα = = cos α b
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función tangente a tgα = b función cotangente 1 b cotgα = = tgα a
Ejercicios de trigonometría resueltos
b)
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Para el ángulo β: función seno b senβ = c función cosecante 1 c cos ecβ = = senβ b
función coseno a cos β = c función secante 1 c s ecβ = = cos β a
función tangente b tgβ = a función cotangente 1 a cotgβ = = tgβ b
A.2. Valores del seno, coseno y tangente para ciertos ángulos significativos (en grados y radianes)
ángulo 0º 30º 45º
sen
cos
tg
0 rad
0
1
0
π rad 6 π rad 4
1 2 2 2
3 2 2 2
1 3
ángulo π rad 60º 3 π rad 90 2
1
180º
π rad
sen 3 2
cos 1 2
tg
1
0
∞
0
–1
0
3
A.3. Significado geométrico de las razones trigonométricas en la esfera goniométrica Se llama circunferencia goniométrica a aquella que tiene por radio la unidad. Para una circunferencia goniométrica es posible dar un sentido muy intuitivo a todas las razones trigonométricas. Vamos a verlo mediante el siguiente dibujo.
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Ejercicios de trigonometría resueltos
A.4. Relaciones entre las razones trigonométricas a) Relaciones fundamentales: El seno, el coseno y la tangente de un ángulo están relacionados mediante la siguiente igualdad: senθ = tgθ cos θ Por otro lado, se cumple la siguiente igualdad, estrechamente vinculada al teorema de Pitágoras: sen 2 θ + cos 2 θ = 1 b) Relaciones del ángulo suma–diferencia: sen ( α ± β ) = senα ⋅ cos β ± senβ ⋅ cos α cos ( α ± β ) = cos α ⋅ cos β ∓ senα ⋅ senβ
tg ( α ± β ) =
tgα ± tgβ 1 ∓ tgα ⋅ tgβ
c) Relaciones del ángulo doble Es un caso particular del anterior en el que α y β son iguales. sen ( 2 α ) = 2senα ⋅ cos α cos ( 2 α ) = cos 2 α − sen 2 α tg ( 2 α ) =
2tgα 1 − tg 2 α
d) Relaciones del ángulo mitad sen 2
α 1 − cos α = 2 2
cos 2
α 1 + cos α = 2 2
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Ejercicios de trigonometría resueltos
tg 2
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α 1 − cos α = 2 1 + cos α
A.5. Resolución de triángulos: Teoremas del seno y del coseno
Sea el siguiente triángulo. ¡No hace falta que sea rectángulo! Se verifican las siguientes dos expresiones, conocidas como teorema del seno y teorema del coseno. A c
b
B
C a
a) Teorema del seno:
a b c = = senA senB senC
b) Teorema del coseno: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
B. EJERCICIOS RESUELTOS
B.1. Cálculo de razones trigonométricas
1. Sabiendo que senα = 0, 86 calcula las demás razones trigonométricas directas e inversas Solución: Las razones trigonométricas directas son el seno, el coseno y la tangente, y las inversas la cosecante, la secante y la cotangente. Vamos a relacionar todas ellas con el seno, que es el dato que nos dan: •
senα = 0, 86
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•
Ejercicios de trigonometría resueltos
El coseno se deduce a partir de la ecuación fundamental sen 2 θ + cos 2 θ = 1 : sen 2 θ + cos 2 θ = 1 ⇒ cos 2 θ = 1 − sen 2 θ ⇒ cos θ = 1 − sen 2 θ Sustituyendo datos:
1 2 La tangente buscada se deduce de la fórmula fundamental senθ = tgθ . Sólo hay que sustituir en ella los valores conocidos: cos θ cos θ = 1 − sen 2 θ ⇒ cos θ = 1 − 0, 86 2 ⇒ cos θ =
•
senθ 0, 86 = tgθ ⇒ tgθ = ⇒ tgθ = 1,72 cos θ 0, 5 •
La cosecante es la inversa del seno. cos ecα = sen−1α =
1 = 1, 26 0, 86
•
La secante es la inversa del coseno.
•
1 =2 1 2 La cotangente es la inversa de la tangente. s ecα = cos−1 α =
cot gα = tg −1α =
1 = 0, 58 1,72
2. Calcula las relaciones directas de α y β Solución:
trigonométricas
Las razones trigonométricas directas son el seno, el coseno y la tangente.
Para el ángulo α : 40 ⇒ senα = 0, 8 , 50 30 cos α = ⇒ cos α = 0, 6 50 40 tgα = ⇒ tgα = 1, 33 30 Observa que se cumple que sen 2 α + cos 2 α = 1 senα =
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Para el ángulo β : 30 senβ = ⇒ senβ = 0, 6 50
cos β = tgβ =
40 ⇒ cos β = 0, 8 50
30 ⇒ tgβ = 0, 75 40
Observa que también se cumple que sen 2β + cos 2 β = 1 , como no podía ser de otra manera.
3. Halla las razones trigonométricas de los siguientes ángulos:
135º Solución: El ángulo 135º está en el 2º cuadrante. Será equivalente a un ángulo de 45º para el que sen45 es positivo y cos45 es negativo, tal como se indica en la figura.
sen 45
135º 45º - cos 45
- 560º Solución: Como el ángulo es mayor que 360º lo tratamos del siguiente modo: 560 200
360 ⇒ 1 vuelta ⋅ 360º + 200º 1
El ángulo que tenemos que manejar es -200º. Ello es equivalente a un ángulo de 20º en el segundo cuadrante, en donde sen20 es positivo y cos20 es negativo
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sen 20 20º - cos 45 -200º
3 y que α está en el 4º cuadrante, halla las 2 demás razones trigonométricas.
4. Sabiendo que cos α =
Solución: Si α está en el 4º cuadrante entonces cosα es positivo y senα es negativo. El senα
lo deducimos usando la relación fundamental de la
trigonometría: sen 2α + cos 2 α = 1 2
3 Así: sen α + cos α = 1 ⇒ sen α + = 1 ⇒ senα = − 2 2
2
2
3 1 1 − = − 4 2
El resto de razones trigonométricas se obtiene de forma inmediata:
1 1 senα 1 =− 3 ; ; cotgα = tgα = = 2 =− tgα cos α 3 3 2 −
sec α =
1 3 1 = ; co sec α = = −2 cos α 2 senα
1 y que α está en el 2º cuadrante, halla las 3 demás razones trigonométricas.
5. Sabiendo que tgα = −
Solución: Si α está en el 2º cuadrante entonces cosα es negativo y senα es positivo. -
1 para hallar senα : sen 2α 2 1 1 1 4 1 3 2 tg α + 1 = ⇒ − + 1 = ⇒ = ⇒ senα = 2 2 2 sen α sen α 3 sen α 2 3
Utilizamos la relación tg 2α + 1 =
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-
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Hallamos cosα a partir de tgα =
senα : cos α
3 senα 3 cos α = = 2 =− . 1 tgα 2 − 3 -
Las obtención de las razones trigonométricas inversas es inmediata: sec α =
1 2 1 2 1 =− 3 = − ; co sec α = = ; cot gα = cos α 3 tgα senα 3
1 6. Si α está en el tercer cuadrante y senα = − , determina las siguientes 2 razones trigonométricas:
sen (180º −α ) Solución:
Como α está en el tercer cuadrante el senα es negativo, como bien indica el enunciado. Pero, en general, senα = sen (180 −α ) , así que 1 sen (180 −α ) = − 2 sen (180º +α ) Solución:
Como α está en el tercer cuadrante el senα es negativo. Además: 1 senα = −sen (180 −α ) , así que sen (180 −α ) = 2 cos (180º −α ) Solución: Como α está en el tercer cuadrante cosα es negativo. Además: cos α = − cos (180 −α ) . Deduzcamos cosα : Usamos la relación fundamental de la trigonometría: sen 2α + cos 2 α = 1 2 1 1 3 sen 2α + cos 2 α = 1 ⇒ − + cos 2 α = 1 ⇒ cos α = −1 − = − 2 4 4
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Entonces, cos (180 −α ) =
3 4
cos (180º +α ) Solución: Se cumple que cos α = − cos (180 + α ) . Entonces: 3 3 − = − cos (180 +α ) ⇒ cos (180 + α ) = 4 4
tg (180º −α ) Solución:
1 sen (180º −α ) − 2 2 tg (180º −α ) = = = cos (180º −α ) − 3 3 4
tg (180º +α ) Solución: 1 sen (180º +α ) 2 2 tg (180º +α ) = = = cos (180º +α ) 3 3 4
B.2. Demostración de igualdades trigonométricas:
2sen α + 3 = cos α 2tg α + 3 sec α
7.
Solución:
Vamos a tratar de manipular el lado izquierdo de la igualdad, para sen α convertirlo en cos α . Teniendo en cuenta que tg α = y que cos α 1 sec α = , podemos escribir: cos α 2sen α + 3 2sen α + 3 = 2tg α + 3 sec α 2 sen α + 3 cos α cos α
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Operamos esa expresión con el fin de simplificarla: 2sen α + 3 2sen α + 3 cos α (2sen α + 3) = = = cos α sen α 3 2sen α + 3 2sen α + 3 2 + cos α cos α cos α
8.
Como acabamos de ver, la igualdad se cumple.
tg 2α =
sen 2α 1 − sen 2α
Solución: Vamos a manipular primeramente el miembro de la izquierda, que llamaremos A: A = tg 2α =
sen 2α cos 2 α
Manipulamos el miembro de la derecha, que llamaremos B: En B =
sen 2α vamos a reescribir el denominador de una forma 1 − sen 2α
más conveniente: Teniendo en cuenta que sen 2α + cos 2 α = 1 1 − sen 2α = cos 2 α . Entonces: B=
se deduce que
sen 2α sen 2α = 1 − sen 2α cos 2 α
Observamos que A=B, luego la identidad es verdadera.
9.
tg (α )⋅ cot g (α ) −
1 cos (α ) + sen (α ) ⋅ 1 − = sec (α ) cos ec (α ) 1 + cot g 2 (α ) 2sen (α )
Solución: Vamos a manipular primeramente el miembro de la izquierda, que llamaremos A:
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A = tg (α )⋅ cot g (α ) −
= 1−
2 ⋅ sen (α ) 2
1+
cos (α ) sen 2 (α )
2 ⋅ sen (α ) 1 + cot g 2 (α )
= tg (α )⋅
2 ⋅ sen (α ) 1 − = tg (α ) 1 1+ 2 t g (α )
2 ⋅ sen (α )
= 1−
2
2
sen (α ) + cos (α ) sen 2 (α )
= 1−
2 ⋅ sen (α ) = 1 sen 2 (α )
= 1 − 2 ⋅ sen 2 (α )
Manipulamos el miembro de la derecha, que llamaremos B:
1 1 = B = cos (α ) + sen (α ) ⋅ − sec (α ) cos ec (α )
= cos (α ) + sen (α ) ⋅ cos (α ) − sen (α ) = = cos 2 (α ) − sen 2 (α ) = 1 − sen 2 (α ) − sen 2 (α ) = 1 − 2 ⋅ sen 2 (α ) Observamos que A=B, luego la identidad es cierta.
10.
1 = sen 2α ⋅ cos 2 α + cos 4 α 2 sec α Solución: Manipulamos primeramente el miembro de la izquierda, que llamaremos A: A=
1 = cos 2 α sec2 α
Manipulamos el miembro de la derecha, que llamaremos B: B = sen 2α ⋅ cos 2 α + cos 4 α = (sen 2α + cos 2 α )⋅ cos 2 α = cos 2 α Observamos que A=B, luego la identidad es cierta.
11. cos ec 4α − 1 = 2 cot g 2α + cot g 4α Solución: Manipulamos el miembro de la izquierda, que llamaremos A:
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A = cos ec 4α − 1 = (cos ec2α − 1)( cos ec 2α + 1)
Recordamos que cos ec2α = 1 + cot g 2α . Entonces:
(cos ec2α − 1)(cos ec2α + 1) = (1 + cot g 2α − 1)(1 + cot g 2α + 1) = = cot g 2α ( cot g 2α + 2) = cot g 4α + 2 cot g 2α . Hemos llegado a obtener el lado B de la expresión dada, luego se ha demostrado que la igualdad es cierta.
12. sen 2α =
2tg α 1 + tg 2α
Solución: Partiendo del miembro de la izquierda, que llamaremos A, mediante manipulaciones adecuadas llegaremos al miembro de la derecha: sen α ⋅ cos α sen 2α = 2 ⋅ sen α ⋅ cos α = 2 ⋅ ⋅ cos α = 2 ⋅ tg α ⋅ cos 2 α = cos α
= 2 ⋅ tg α ⋅
=
13.
tg α 1 1 = 2 ⋅ tg α ⋅ = 2⋅ = 2 2 2 1 sen α + cos α sen α cos 2 α + cos 2 α cos 2 α cos 2 α cos 2 α
2 ⋅ tg α . Queda así demostrado. 1 + tg 2α
2 ⋅ sen x + 3 = cos x 2 ⋅ tg x + 3 ⋅ sec x Solución: Partiendo del miembro de la izquierda, que llamaremos A, mediante
B.3. Ecuaciones trigonométricas
14. Resuelve: sen x =
3 2
Solución:
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x = sen−1
π x = 60º = 1 3 3 ⇒ 2π 2 x 2 = 180º −60º = 120º = 3
15. Resuelve: cos x =
1 2
Solución:
x = cos−1
16. tg x =
π π x1 = 45º = 45º ⋅ = 1 180º 4 ⇒ 2 x = 360º −45º = 315º = 315º ⋅ π = 7 π 2 180º 4
1 3
Solución:
x = tg −1
π π x = 30º = 30º ⋅ = 1 180º 6 ⇒ π 3 x = 30º +180º = 210º = 7
17. Resuelve la ecuación cos 2x = sen x en el intervalo [ 0, 2π ] Solución: •
Hay que recordar que cos 2x = cos 2 x − sen 2 x . Así: cos 2x = sen x ⇒ cos 2 x − sen 2 x = sen x
•
Por otro lado, hay que tener en cuenta que cos 2 x + sen 2 x = 1 . Por ello: cos 2 x − sen 2 x = sen x ⇒ 1 − sen 2 x − sen 2 x = sen x ⇒ 2
2
⇒ 2 ⋅ sen x + senx − 1 = 0 ⇒ senx =
−1 ± (−1) − 4 ⋅ 2 ⋅ (−1) 2⋅2
sen x = −1 = 1 sen x = 2 •
Finalmente estudiamos cada uno de estos dos casos:
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=
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Si sen x = −1 , entonces: x 1 = Si sen x =
3π 2
1 π 5π , entonces: x 2 = y x 3 = 2 6 6
18. Resuelve la ecuación sen 2x ⋅ cos x = 6sen 3 x en el intervalo [ 0, 2π ] Solución: •
Hay que recordar que sen 2x = 2sen x ⋅ cos x . Así: sen 2x ⋅ cos x = 6sen 3 x ⇒ 2 ⋅ sen x ⋅ cos x ⋅ cos x = 6sen 3 x ⇒ ⇒ 2 ⋅ sen x ⋅ cos 2 x = 6sen 3 x
•
Por otro lado, hay que tener en cuenta que cos 2 x + sen 2 x = 1 . Por ello:
2 ⋅ sen x ⋅ (1 − sen 2 x) = 6 ⋅ sen 3 x ⇒ ⇒ sen x ⋅ (1 − sen 2 x) = 3 ⋅ sen x ⋅ sen 2 x ⇒
sen x = 0 ⇒ sen x ⋅ ( 4 ⋅ sen x − 1) = 0 ⇒ 1 1 sen 2 x = ⇒ sen x = ± 4 2 2
•
Finalmente estudiamos cada uno de estos tres casos: Si sen x = 0 , entonces: x 1 = 0 1 π 5π Si sen x = , entonces: x 2 = y x 3 = 2 6 6 1 7π 11π Si sen x = − , entonces: x 4 = y x5 = 2 6 6
19. Resuelve: cos 2x − cos 6x = sen5x + sen3x Solución:
Vamos a utilizar las siguientes relaciones:
A+B A−B ⋅ sen 2 2 A +B A −B senA − senB = 2 ⋅ sen ⋅ cos 2 2 cos A − cos B = −2 ⋅ sen
Entonces:
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2x + 6x 2x − 6x ⋅ sen 2 2 5x + 3x 5x − 3x sen5x − sen3x = 2 ⋅ sen ⋅ cos 2 2 cos 2x − cos 6x = −2 ⋅ sen
Sustituimos lo obtenido en la ecuación dada y pasamos todo a un miembro −2 ⋅ sen ( 4x)⋅ sen (−2x) = 2 ⋅ sen ( 4x)⋅ cos (x)
Si tenemos en cuenta que sen (−a) = −sen (a) y sacamos factor común, entonces: 2 ⋅ sen ( 4x) = 0 2 ⋅ sen ( 4x)⋅ sen (2x) − cos (x) = 0 ⇒ sen ( 2x) − cos (x) = 0 - Resolvemos la primera ecuación de las dos:
4x = 0 + 2kπ ⇒ x = k π 2 2 ⋅ sen ( 4x) = 0 ⇒ π π 4x = π + 2kπ ⇒ x = + k 4 2 - Resolvemos la segunda ecuación: sen ( 2x) − cos (x) = 0 ⇒ 2 ⋅ sen (x) cos (x) − cos ( x) = 0 ⇒
⇒ 2 ⋅ sen (x) − 1 cos (x) = 0 ⇒ π x = + 2kπ 2 cos (x) = 0 ⇒ 3 x = π + 2kπ 2 ⇒ π x = + 2kπ 6 2 ⋅ sen (x) − 1 = 0 ⇒ sen (x) = 1 ⇒ 5π 2 + 2kπ x = 2 La solución es entonces la unión de todas estas soluciones.
20. Resuelve el siguiente sistema en el intervalo [ 0, 2π ] sen x + sen y = 1 2x + 2y = π Solución:
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•
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Despejamos x en la segunda ecuación y llevaremos su valor a la primera ecuación: π − y , por lo que: 2 π sen x + sen y = 1 ⇒ sen − y + sen y = 1 2 2x + 2y = π ⇒ x =
•
Ahora, para poder simplificar esta expresión usamos la fórmula del seno de la diferencia de dos ángulos: π π π sen − y = sen ⋅ cos y − cos ⋅ seny = cos y , es decir: 2 2 2 π sen − y + sen y = 1 ⇒ cos y + seny = 1 2
•
Intentamos expresar el coseno en función del seno, elevando al cuadrado los dos miembros de la ecuación: 2
(cos y + seny) = 12 ⇒ cos 2 y + sen 2 y + 2 ⋅ seny cos y = 1 ⇒ ⇒ 1 + 2 ⋅ sen y cos y = 1 ⇒ sen y cos y = 0 Pero sen y cos y = sen 2y , por lo que sen y cos y = 0 ⇒ sen 2y = 0 •
Las soluciones para sen 2y = 0 están dadas por: 2y = 0 y 2y = π , π π esto es: y 1 = 0 ; y 2 = . Teniendo en cuenta que x = − y , 2 2 entonces: π y1 = 0 ⇒ x1 = 2 π y2 = ⇒ x2 = 0 2
21. Calcula las soluciones del siguiente sistema, en el intervalo [ 0, 2π ] . sen x = 2 ⋅ sen y π x−y = 3 Solución:
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•
Ejercicios de trigonometría resueltos
Despejamos x en la segunda ecuación y llevaremos su valor a la primera ecuación: π π ⇒ x = + y , por lo que: 3 3 π sen x = 2 ⋅ sen y ⇒ sen + y = 2 ⋅ sen y 3 x−y =
•
Usamos la fórmula del seno de la suma de dos ángulos en el miembro izquierdo de la ecuación:
π π π 3 1 sen + y = sen ⋅ cos y + cos ⋅ seny = cos y + seny 3 3 3 2 2 Entonces la fórmula a resolver es: 3 1 3 1 cos y + seny = 2seny ⇒ cos y = seny ⇒ 3 = tg y 2 2 2 2
π y 1 = 60º = 3 Solución: tg y = 3 ⇒ 4π y 2 = 180º +60º = 3
22. Calcula las soluciones del siguiente sistema. 4y ⋅ sen x ⋅ cos x = 3 2y ⋅ cos 2x = 3 Solución: •
Dividimos las dos ecuaciones del sistema: 4y ⋅ sen x ⋅ cos x = 3 4y ⋅ sen x ⋅ cos x 3 2 ⋅ sen x ⋅ cos x ⇒ = ⇒ = 3 2y ⋅ cos 2x cos 2x 3 2y ⋅ cos 2x = 3
•
Recordamos que 2 ⋅ sen x ⋅ cos x = sen 2x y sustituimos en la ecuación: 2 ⋅ sen x ⋅ cos x 3 sen 2x = ⇒ = 3 ⇒ tg 2x = 3 cos 2x cos 2x 3
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•
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Despejamos x: 2x =
π π + 2kπ ⇒ x = + kπ 3 6
B.4. Problemas 23. Calcula la altura de un árbol que a una distancia de 10 m se ve bajo un ángulo de 30º. Solución: La altura, y, del árbol la deducimos de la relación siguiente: tg30 =
y ⇒ y = 10 ⋅ tg30 ⇒ y = 5,77 m 10
24. Calcula x e y: Solución: b a los a dos triángulos rectángulos, obteniendo el siguiente sistema de ecuaciones: Aplicamos la relación tgθ =
y
30º 40 m
47º
y tg47 = x Operando: y tg30 = 40 + x
x
x ⋅ tg47 = y ⇒ ( 40 + x) tg30 = y
x ⋅ tg47 = y ⇒ x ⋅ tg47 = ( 40 + x)⋅ tg30 ⇒ ( 40 + x) tg30 = y
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⇒ 1, 07x = 23, 09 + 0, 58x ⇒ 0, 49x = 23, 09 ⇒ 23, 09 ⇒x= ⇒ x = 47, 12 m . 0, 49
Calculemos finalmente el valor de y:
x ⋅ tg47 = y ⇒ 47, 12 ⋅ 1, 07 = y ⇒ y = 50, 42 m
25. Calcula x Solución: 30º 100 m
60º
Tenemos dos triángulos. De cada uno de ellos obtendremos una ecuación trigonométrica.
y
x
Resolvemos el sistema:
y tg30 = 100
30º 100 m y
57,7 = y ⇒ 57, 7 = 173, 2 − x ⇒ 173, 2 − x = y ⇒ x = 115, 5 m
tg60 =
x+y 100
60º
100 m
x+y
26. Calcula el valor de y (las longitudes están expresadas en m)
Solución: 12
y
40º
Aplicamos el teorema del coseno: a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A Entonces:
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y 2 = 10 2 + 12 2 − 2 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ cos 40 ⇒
y = 100 + 124 − 240 ⋅ cos 40 = 6, 35 m 27. Calcula el valor de los lados x e y, aplicando el Teorema del seno: a b c = = senA senB senC Solución:
z= 3m
y 80º
40º
Sustituimos los valores dados en la expresión del teorema del seno: a b c = = ⇒ senA senB senC
x 3 ⋅ sen40 y = = 1, 96 m sen80 ⇒ 3 ⋅ sen60 = 2, 64 m x = sen80
28. Halla la altura de la montaña 45º
B
C 4000 m h 30º
A
Solución: Rehacemos el dibujo y de él extraeremos dos ecuaciones, cada una de ellas y el ACC´ perteneciente a un triángulo rectángulo (el CBB´
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B
: Triángulo CBB´
45º 4000 − h
tg45 =
45º
C
B´
4000 − h x
4000 m
: Triángulo ACC´
h
tg30 =
30º
C´
h x
A
x
Resolvamos éste sistema: 4000 − h 4000 − h 1= x = 4000 − h x x ⇒ ⇒ ⇒ 4000 − h = h 3 ⇒ 1 h h x=h 3 = tg30 = 3 x x tg45 =
⇒h=
4000 m ≈ 1464 m 3 +1
29. Halla la altura de las Torres Petronas, x y también las distancias y, z. C
z
x y
60º
75º
45º 678 m
D A Solución:
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B
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. De él Primeramente vamos a centrarnos en el triángulo ABC deduciremos las distancias y, z C
y z 678 = = ⇒ sen45 sen75 sen60
60º
z
y 75º
45º
B
A
y 678 = sen45 sen60 ⇒ ⇒ z 678 = sen75 sen60
y 678 = 2 2 3 m y = 678 3 2 2 ⇒ ⇒ z 678 = z = 1356 sen75 sen75 3 3 2
m
. De él obtendremos la altura Ahora nos fijamos en el triángulo ACD de las torres, x. A
x
600
x=
2 m 3
60º D
C
22/22
2 2 2 678 ⋅ sen60 = 678 ⋅ = 452 m 3 3 3