5to basico santillana - profesor by juan albornoz

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AUTORAS TEXTO PARA EL ESTUDIANTE Y GUÍA DIDÁCTICA PARA EL PROFESOR FRANCISCA MARÍN RODRÍGUEZ LICENCIADA EN EDUCACIÓN, PROFESORA DE EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA, ESPECIALISTA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE

MARÍA ANTONIETA CASTILLO CHIPON LICENCIADA EN EDUCACIÓN, PROFESORA DE EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE

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El material didáctico Guía Didáctica para el Profesor, correspondiente al texto Matemática 5º, para Quinto Año de Educación Básica, es una obra colectiva, creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección de: MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA COORDINACIÓN DEL PROYECTO: EUGENIA ÁGUILA GARAY COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICA: VIVIANA LÓPEZ FUSTER EDICIÓN: VIVIANA LÓPEZ FUSTER PALOMA FERNÁNDEZ VÁZQUEZ AUTORAS TEXTO PARA EL ESTUDIANTE: FRANCISCA MARÍN RODRÍGUEZ MARÍA ANTONIETA CASTILLO CHIPON AUTORAS GUÍA DIDÁCTICA PARA EL PROFESOR: FRANCISCA MARÍN RODRÍGUEZ MARÍA ANTONIETA CASTILLO CHIPON REVISIÓN DE ESPECIALISTAS: LORNA JIMÉNEZ MARTÍNEZ CORRECCIÓN DE ESTILO: ISABEL SPOERER VARELA ASTRID FERNÁNDEZ BRAVO DOCUMENTACIÓN: PAULINA NOVOA VENTURINO JUAN CARLOS REYES LLANOS La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de: VERÓNICA ROJAS LUNA COORDINACIÓN GRÁFICA: CARLOTA GODOY BUSTOS COORDINACIÓN LICITACIÓN: XENIA VENEGAS ZEVALLOS DISEÑO Y DIAGRAMACIÓN: PATRICIA LÓPEZ FIGUEROA KAREN WARNER TORREALBA MARÍA ISABEL RENCORET EDITH PARRA PARRA CUBIERTA: XENIA VENEGAS ZEVALLOS PRODUCCIÓN: GERMÁN URRUTIA GARÍN

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

© 2009, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile) PRINTED IN CHILE Impreso en Chile por Quebecor World Chile S.A. ISBN: 978 - 956 - 15 - 1489 - 8 Inscripción N° 176.847 www.santillana.cl

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Índice 6

Presentación de la Guía didáctica

Organización de la Guía didáctica

Propuesta de planificación

Información sobre los Mapas de Progreso del Aprendizaje (MPA)

Habilidades del pensamiento

Evaluación en Matemática 23

Instrumentos de evaluación

Razonamiento matemático y resolución de problemas

Presentación del Texto

Índice del Texto

Unidad 1: Números naturales

Propósito de la unidad

Cuadro de Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) / Aprendizajes esperados / Indicadores

Relación entre los aprendizajes de la unidad y los de otros años

Esquema de la unidad

Errores frecuentes

Bibliografía

Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos

Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio, desarrollo y cierre (páginas 10 a 37 del Texto para el Estudiante)

Evaluación. Números naturales

Unidad 2: Múltiplos, divisores y operaciones 72

Propósito de la unidad

Cuadro de Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) / Aprendizajes esperados / Indicadores

Relación entre los aprendizajes de la unidad y los de otros años

Esquema de la unidad

Errores frecuentes

Bibliografía

Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos

Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio, desarrollo y cierre (páginas 38 a 65 del Texto para el Estudiante)

104

Evaluación. Múltiplos, divisores y operaciones

Índice

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Indicaciones y orientaciones para el Taller de evaluación 1

Unidad 3: Fracciones 108

Propósito de la unidad

108

Cuadro de Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) / Aprendizajes esperados / Indicadores

109

Relación entre los aprendizajes de la unidad y los de otros años

110

Esquema de la unidad

110

Errores frecuentes

111

Bibliografía

111

Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos

112

Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio, desarrollo y cierre (páginas 68 a 91 del Texto para el Estudiante)

136

Evaluación. Fracciones

Unidad 4: Decimales 138

Propósito de la unidad

138

Cuadro de Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) / Aprendizajes esperados / Indicadores

139

Relación entre los aprendizajes de la unidad y los de otros años

140

Esquema de la unidad

140

Errores frecuentes

141

Bibliografía

141

Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos

142

Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio, desarrollo y cierre (páginas 92 a 113 del Texto para el Estudiante)

164

Evaluación. Decimales

166 168

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Indicaciones y orientaciones para el Taller de evaluación 2

Unidad 5: Perímetros y áreas 168

Propósito de la unidad

168

Cuadro de Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) / Aprendizajes esperados / Indicadores

169

Relación entre los aprendizajes de la unidad y los de otros años

170

Esquema de la unidad

170

Errores frecuentes

171

Bibliografía

171

Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos

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Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio, desarrollo y cierre (páginas 116 a 137 del Texto para el Estudiante)

194

Evaluación. Perímetros y áreas

Unidad 6: Ángulos 196

Propósito de la unidad

196

Cuadro de Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) / Aprendizajes esperados / Indicadores

197

Relación entre los aprendizajes de la unidad y los de otros años

197

Esquema de la unidad

198

Errores frecuentes

198

Bibliografía

198

Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos

200

Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio, desarrollo y cierre (páginas 138 a 159 del Texto para el Estudiante)

222

Evaluación. Ángulos

Unidad 7: Datos y azar 224

Propósito de la unidad

224

Cuadro de Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) / Aprendizajes esperados / Indicadores

225

Relación entre los aprendizajes de la unidad y los de otros años

226

Esquema de la unidad

226

Errores frecuentes

227

Bibliografía

227

Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos

228

Indicaciones y orientaciones para las páginas de inicio, desarrollo y cierre (páginas 160 a 183 del Texto para el Estudiante)

252

Evaluación. Datos y azar

254

Indicaciones y orientaciones para el Taller de evaluación 3

256

Evaluación Final

260

Solucionario del texto

279

Bibliografía del texto

282

Solucionario de la Guía didáctica

284

Bibliografía

Índice

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Presentación de la Guía didáctica El año 2007 el Ministerio de Educación hizo una revisión del currículum, para responder a diversos requerimientos sociales y para mantener su vigencia y relevancia. En este contexto, el Ministerio ha elaborado una propuesta de ajuste curricular que tiene como propósito: mejorar la definición curricular nacional para responder a problemas detectados, a diversos requerimientos sociales y a los cambios en el mundo productivo y tecnológico. Aunque es un proceso de ajuste de mayor envergadura que las modificaciones realizadas a la fecha, no se trata de una nueva Reforma Curricular, ya que el currículum sigue manteniendo su enfoque y está orientado hacia el desarrollo de conocimientos, habilidades y actitudes que son relevantes para el desenvolvimiento personal, social y laboral de los sujetos en la sociedad actual. Esta propuesta considera que el aprendizaje de la Matemática debe buscar, consolidar, sistematizar y ampliar las nociones y prácticas matemáticas que los alumnos y alumnas poseen, como resultado de su interacción con el medio y lo realizado en los niveles anteriores. Además, promover el desarrollo de formas de pensamiento y de acción que posibiliten a los y las estudiantes procesar información proveniente de la realidad y así profundizar su comprensión acerca de ella. Por consiguiente, esta propuesta pretende estimular: en los y las estudiantes el desarrollo de su confianza en las propias capacidades para aprender, la generación de actitudes positivas hacia el aprendizaje de la Matemática, la apropiación de formas de razonar matemáticamente, la adquisición de herramientas que les permitan reconocer, plantear y resolver problemas y, por último, el incremento de la confianza y creatividad. La propuesta didáctica para Matemática 5 aborda el conjunto de Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios del subsector y nivel establecidos en los documentos de este ajuste curricular, e integra y articula el tratamiento de Objetivos Fundamentales Transversales con los contenidos y actividades centrales, dando énfasis especialmente a los siguientes: aceptación y valoración de la diversidad etaria, cultural, socioeconómica, de género, condición física, opinión u otras; respeto a la vida, conciencia de la dignidad humana y de los derechos y deberes de todas las personas; preservación de la naturaleza y cuidado del medioambiente; desarrollo de habilidades de pensamiento. Tanto el Texto para el Estudiante Matemática 5 como la Guía didáctica para el Profesor se organizan a partir de los cuatro ejes temáticos considerados para el sector: números, álgebra, geometría y datos y azar, considerando como eje transversal el de razonamiento que incluye tanto la resolución de problemas, exploración de caminos alternativos y modelamiento de situaciones o fenómenos, como el desarrollo del pensamiento creativo, analógico y crítico para la formulación de conjeturas, búsqueda de regularidades y patrones, discusión de la validez de las conclusiones. Si desea saber más sobre el ajuste curricular visite: www.bibliotecas-cra.cl/uploadImg/File/Curriculum/PresentacionprocesoajusteVF181007a.ppt Desde esta perspectiva la Guía didáctica para el Profesor del Texto Matemática 5º es un instrumento de apoyo que ha sido elaborada con el propósito de orientarlo u orientarla en el trabajo de los contenidos, recursos y actividades presentes a lo largo del texto, apoyando el desarrollo, profundización, evaluación y reforzamiento del aprendizaje. El acercarse al conocimiento matemático implica un proceso de construcción social, en donde los objetos matemáticos no están totalmente acabados sino en continua construcción, y en el que el y la estudiante son considerados uno de los protagonistas fundamentales, otorgando significado a los conocimientos desde su experiencia. A partir de este fundamento, las actividades que se plantean en el Texto para el Estudiante y en esta Guía son significativas y cercanas a la realidad y a las experiencias de los y las estudiantes. Así, al inicio de cada unidad se presenta una imagen en la cual se pueden observar situaciones y contextos cotidianos o familiares, a través de cuales se invita a las 6

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alumnas y alumnos a comentar, opinar y participar por medio de preguntas orientadoras relacionadas con ella, que permiten activar sus experiencias y conocimientos previos con respecto al contenido que se trabaja. Del mismo modo, durante el desarrollo de cada unidad se presentan situaciones de la vida cotidiana y actividades relacionadas con la misma, que promueven el razonamiento y la comprensión de los contenidos. Considerando que el razonamiento matemático constituye un eje central de la actividad matemática debe, en consecuencia, debe ocupar un lugar importante desde los niveles más elementales, ya que todos los contenidos son trabajados a partir de situaciones que promueven el razonamiento y desarrollo de las habilidades relacionadas con la resolución de problemas. Enfatizando lo anterior, cada unidad del Texto incluye la sección BUSCANDO ESTRATEGIAS donde se trabajan específicamente las habilidades de resolución de problemas, intencionando los pasos o etapas necesarios para su desarrollo. A partir de las actividades propuestas, se potencia el desarrollo de las habilidades, entendidas como el proceso mental o el conjunto de operaciones mentales por medio de las cuales una persona opera sobre una realidad o sobre un conjunto de conocimientos de tal modo de integrarlos dándoles un sentido. Es así como el desarrollo de las habilidades es intencionado en la Guía y en el Texto a través de actividades que desafían a el o la estudiante a poner en interacción sus capacidades con los contenidos a trabajar, de manera de ir potenciando e integrando las distintas habilidades. El proceso de evaluación de los aprendizajes es parte fundamental en el proceso de enseñanza-aprendizaje, ya que tiene como objetivo conocer cómo se está produciendo el aprendizaje en los y las estudiantes, por ello es que tanto en la Guía como en el Texto se plantean distintas instancias evaluativas que permiten obtener información en las distintas etapas del aprendizaje, es decir, se sugieren evaluaciones diagnósticas al comienzo de cada unidad en la sección ¿CUÁNTO SABES?, cuya finalidad es identificar los conocimientos previos de los y las estudiantes con los cuales se van a enfrentar a los nuevos contenidos; evaluaciones formativas en la sección MI PROGRESO de las páginas de contenido, las cuales van evaluando contenidos específicos trabajados durante la unidad y que permiten a el o la docente, según los resultados obtenidos, tomar decisiones durante el proceso que permitan nivelar el curso; y al cierre de cada unidad, en la sección ¿QUÉ APRENDÍ?, se sugieren evaluaciones sumativas las cuales evalúan todos los contenidos trabajados. Además, en esta Guía se sugiere una evaluación sumativa fotocopiable al cierre de cada semestre. En cada caso, y según los resultados obtenidos, se plantean actividades remediales que tienen como objetivo subsanar las dificultades observadas y poder así, dar paso a los contenidos planificados. Para organizar con mayor claridad el año escolar, se presenta una propuesta de planificación por unidad, la cual contempla los Contenidos Mínimos Obligatorios, los aprendizajes esperados, los recursos didácticos utilizados, y las evaluaciones correspondientes a cada una de ellas. Esta propuesta de planificación permite tener una mirada global del trabajo correspondiente al Quinto Año Básico, así como también permite al profesor o profesora organizar y preparar las actividades sugeridas contemplando los recursos didácticos especificados en dicha planificación. Finalmente, es importante considerar que el aprendizaje es un proceso dinámico y gradual, que evoluciona desde lo más simple a lo más complejo. Por ello, se han tomado como referentes antes de realizar la planificación y la organización del Texto, los Mapas de Progreso del Aprendizaje (MPA), ya que en estos se definen los distintos niveles del aprendizaje y qué deben lograr en cada uno de ellos. Del mismo modo, la secuencia de las unidades y de las actividades propuestas en esta Guía tiene una carácter progresivo en cuanto a graduación y complejidad. Fuente: Propuesta ajuste curricular. Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios Matemática. Documento borrador para Consulta Pública. Ministerio de Educación. Santiago de Chile, septiembre 2007 Introducción

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Organización de la Guía didáctica La Guía para el Profesor está organizada a partir de las siguientes secciones: • Propósito de la unidad: en esta se entrega una orientación sobre el trabajo que se debe realizar con sus alumnos y alumnas a lo largo de la unidad. • Cuadro de Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) / aprendizajes esperados / indicadores: en una tabla se organizan los contenidos de la unidad, aprendizajes esperados e indicadores de logro que orientan el desarrollo de cada unidad. • Relación de los aprendizajes de la unidad y los de otros años: en una tabla de doble entrada se articulan la secuencia de aprendizajes desde Quinto a Octavo año Básico, que tienen relación con los de la unidad. • Esquema de la unidad: en un organizador gráfico se presentan los contenidos trabajados en la unidad. • Errores frecuentes: se indican las posibles dificultades que pueden tener sus estudiantes en la unidad y las sugerencias para poder subsanarlos o evitarlos. • Bibliografía: se presentan distintos recursos bibliográficos que pueden apoyarlo con el trabajo de los contenidos de la unidad. • Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos: presentación teórica de apoyo para el o la docente que le permita actualizar sus conocimientos, conocer estrategias que permitan un mejor aprendizaje de los contenidos, aclarar dudas conceptuales, etc., acompañada de bibliografía específica. • Hipertexto: La propuesta pedagógica se complementa con un conjunto de recursos multimedia cuyo objetivo es motivar, diagnosticar, enriquecer, profundizar, ejercitar, sintetizar y evaluar cada unidad de la propuesta pedagógica. Con el fin de lograr lo anterior, el Texto para el Estudiante invita a trabajar en estos recursos mediante un icono, el cual se repite en la Guía con sugerencias para el trabajo con el Hipertexto. Además, de acuerdo con la etapa de desarrollo de cada unidad, se distinguen:

PÁGINAS DE INICIO • Información complementaria para docentes: se dan indicaciones que permiten orientar la activación de conocimientos previos de los y las estudiantes con respecto a los contenidos de la unidad. • Actividades complementarias: se presentan actividades que complementan las del Texto para reforzar, ampliar o profundizar el aprendizaje. • Evaluación diagnóstica: tiene como objetivo orientar a el o la docente en la identificación de los aprendizajes previos de los y las estudiantes, a partir de las actividades de la sección ¿CUÁNTO SABES? del Texto para el Estudiante. Detalla las habilidades que se evalúan en cada actividad, sugerencias para evaluar las respuestas de los y las estudiantes y las posibles dificultades en la evaluación y remediales.

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PÁGINAS DE DESARROLLO • Contenidos Mínimos Obligatorios: se especifican los Contenidos Mínimos Obligatorios que se trabajan en las actividades propuestas, extraídos del Marco Curricular. • Actividad inicial: se plantean orientaciones que permitan extraer los conocimientos de entrada de sus alumnos y alumnas relacionados con los contenidos a trabajar, a partir de la situación de inicio. • Habilidades que se desarrollan en las actividades del texto: se especifican las habilidades que se trabajan en cada actividad. • Orientaciones para el desarrollo de las actividades: se dan indicaciones con respecto a los procedimientos a desarrollar en las distintas actividades, uso de recursos, estrategias pedagógicas, etc., para potenciar de mejor manera el desarrollo de las habilidades en los y las estudiantes. • Indicaciones respecto del contenido: en esta sección se plantean sugerencias o aclaraciones específicas del contenido que se trabaja, tales como definiciones, propiedades, formalizaciones, etc. • Actividades complementarias: se plantean actividades que permitan reforzar y/o ampliar el contenido y las habilidades que se están trabajando. • Evaluación formativa: esta sección tiene como objetivo orientar la evaluación del logro de los aprendizajes referidos a los contenidos específicos que se hayan trabajado hasta el momento, realizada a partir de la sección MI PROGRESO del Texto para el Estudiante, incluyéndose en un cuadro las habilidades que se evalúan en ella.

PÁGINAS DE CIERRE • Buscando estrategias: en esta sección se plantean orientaciones para trabajar la resolución de problemas paso a paso, a partir de las actividades de esta sección del Texto del Estudiante. Además, se especifican las habilidades implicadas y se proponen actividades complementarias que permiten reforzar y/o ampliar el contenido trabajado, cuando es pertinente. • Conexiones: se plantean orientaciones para el desarrollo de las actividades de esta sección y actividades complementarias que potencien el establecimiento de vínculos entre los contenidos matemáticos trabajados y la realidad nacional o internacional. • Síntesis: en esta sección se entregan sugerencias para organizar y sintetizar lo aprendido, a través de las actividades presentadas en esta sección del Texto para el Estudiante. Además, se propone otra técnica de estudio para organizar los contenidos trabajados en la unidad. • Evaluación sumativa: se orienta la evaluación de las actividades presentadas en la sección ¿QUÉ APRENDÍ?, permitiendo evaluar los logros alcanzados por sus alumnos y alumnas en la unidad. Se explicitan también posibles dificultades en la evaluación y remediales. • Evaluación fotocopiable: se incluye una evaluación sumativa anexada al final de cada unidad de la Guía, de forma complementaria a la presentada en el Texto para el Estudiante. Además, se sugiere una pauta que incorpora las habilidades que evalúa y los puntajes otorgados a cada ítem.

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Propuesta de planificación Basados en la propuesta de ajuste curricular elaborada por el Ministerio de Educación, nuestro texto Matemática 5 se divide en 7 unidades, que en su conjunto abordan los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios del subsector y nivel establecidos. Estas unidades consideran el razonamiento matemático como eje transversal y se organizan en torno a los siguientes cuatro ejes: • Números, incluye los aprendizajes referidos al concepto de cantidad y de número, las operaciones aritméticas, los diferentes sistemas numéricos, sus propiedades y los problemas provenientes de la vida cotidiana, de otras disciplinas y de la Matemática misma, que los diferentes tipos de números permiten resolver. • Álgebra, reúne los aprendizajes y conocimientos relacionados con las abstracciones que prefiguran el álgebra, en los primeros niveles, para luego introducir operaciones y relaciones usando símbolos, así como el planteamiento de problemas y su resolución mediante el uso del lenguaje algebraico y las ecuaciones. Una dimensión importante del aprendizaje en este eje se refiere al concepto de función y al estudio de algunas funciones en particular. • Geometría, reúne aprendizajes relacionados con el estudio y la comprensión del espacio bi y tri dimensional, propiedades de las formas geométricas, demostración de algunas de ellas y la medición de figuras y cuerpos geométricos. • Datos y Azar, incluye los conocimientos y las capacidades para interpretar, recolectar, organizar, representar, analizar y realizar inferencias a partir de información de índole estadística en variados contextos, además del estudio e interpretación de situaciones en las que interviene el azar. A continuación le presentamos la propuesta de planificación para el año escolar, la cual puede adaptar, según la realidad de su grupo curso.

UNIDAD 1: NÚMEROS NATURALES Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) Lectura y escritura de números naturales de más de seis cifras, […] interpretación de la información expresada con estos números y comunicación en forma oral y escrita haciendo uso de ellos, en contextos del mundo real, científico y tecnológico.

Representación de números naturales […] en la recta numérica y establecimiento de relaciones de orden entre ellos.

TIEMPO ESTIMADO: 6 A 7 SEMANAS.

Aprendizajes esperados

Recursos didácticos

Leer y escribir números naturales de más de seis cifras.

Información numérica extraída de variadas fuentes como: Organización de Naciones Unidas (ONU), censo 2002, Instituto Nacional de Estadísticas (INE), Almanaque mundial 2006, Atlas de Chile y el mundo 2007 y El Mercurio.

Interpretar información proporcionada, empleando números naturales de más de seis cifras y utilizarlos para comunicar información. Representar números naturales en la recta numérica, establecer relaciones entre ellos.

Tipos de evaluación Diagnóstica: páginas 12 y 13 del Texto para el Estudiante. Formativa: páginas 19, 25 y 31 del Texto para el Estudiante. Sumativa: páginas 36 y 37 del Texto para el Estudiante y páginas 70 y 71 de esta Guía.

Tablas de datos. Tablas para organizar información. Ilustración de planetas y su distancia al Sol.

continúa en la sig. pág. 10

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Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) Cálculo mental, escrito y empleo de la calculadora u otra herramienta tecnológica en adiciones, sustracciones […] de números naturales de más de 6 cifras a partir de la generalización de los procedimientos conocidos.

Aprendizajes esperados Utilizar procedimientos de cálculo mental, escrito y emplear herramientas tecnológicas para efectuar adiciones y sustracciones de números naturales. Reconocer algunas de las propiedades de la adición de números naturales.

Verificación de expresiones que usan letras o símbolos para representar propiedades de las operaciones (conmutatividad, asociatividad y existencia del elemento neutro en la adición […]), mediante la sustitución de las variables por números.

Verificar algunas de las propiedades de la adición de números naturales en que se utilizan letras o símbolos, mediante la sustitución de las variables por números.

Resolución de problemas referidos a contextos diversos haciendo uso de las operaciones de adición, sustracción […] de números naturales […], enfatizando en habilidades relacionadas con la búsqueda de la información necesaria para su solución, la planificación y puesta en práctica de estrategias de solución y la interpretación y evaluación de los resultados obtenidos en relación al contexto.

Resolver situaciones problemáticas en diversos contextos.

Recursos didácticos

Tipos de evaluación

Ilustración de un cheque. Gráfico de barras. Noticia de actualidad en sección Conexiones. Pauta de autoevaluación. Materiales necesarios para desarrollar las actividades propuestas: • calculadora • diversas fuentes como enciclopedias o Internet.

Interpretar expresiones matemáticas en que se emplean letras para representar números o cantidades variables en diversos contextos significativos.

Aplicar las habilidades básicas del proceso de resolución de problemas, haciendo uso de las operaciones de adición y sustracción de números naturales.

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UNIDAD 2: MÚLTIPLOS, DIVISORES Y OPERACIONES Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO)

Aprendizajes esperados

Reconocimiento de múltiplos, divisores y factores primos de números naturales, y formulación y verificación de conjeturas acerca de propiedades de números naturales a partir del análisis de descomposiciones en factores primos.

Determinar múltiplos divisores y factores primos de números naturales.

Cálculo mental, escrito y empleo de la calculadora u otra herramienta tecnológica de […] multiplicaciones y divisiones de números naturales de más de 6 cifras a partir de la generalización de los procedimientos conocidos.

Utilizar procedimientos de cálculo mental, escrito y empleando herramientas tecnológicas para efectuar multiplicaciones y divisiones con números naturales.

Verificación de expresiones que usan letras o símbolos para representar propiedades de las operaciones (conmutatividad, asociatividad y existencia de elemento neutro en la […] multiplicación, y la distributividad de la multiplicación respecto de la adición), mediante la sustitución de las variables por números.

Verificar expresiones que usan letras o símbolos para representar propiedades de las operaciones mediante la sustitución de las letras o símbolos por números.

Resolución de problemas referidos a contextos diversos haciendo uso de las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división de números naturales […], enfatizando en habilidades relacionadas con la búsqueda de la información necesaria para su solución, la planificación y puesta en práctica de estrategias de solución y la interpretación y evaluación de los resultados obtenidos en relación al contexto.

Resolver situaciones problemáticas en diversos contextos.

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TIEMPO ESTIMADO: 6 A 7 SEMANAS. Recursos didácticos Tablas para organizar información. Diagrama de árbol.

Analizar descomposiciones de números naturales en factores primos, formulando y verificando sus propiedades.

Aplicar las habilidades básicas del proceso de resolución de problemas, haciendo uso de las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división, y de las propiedades de los números.

Noticia de actualidad en sección Conexiones. Esquema en sección Síntesis. Pauta de autoevaluación. Materiales necesarios para desarrollar las actividades propuestas: • 3 pliegos de papel lustre (amarillo, verde y rojo), tijeras y plumón delgado, para utilizar por equipo en la página 44 del Texto para el Estudiante; • calculadora.

Tipos de evaluación Diagnóstica: páginas 40 y 41 del Texto para el Estudiante. Formativa: páginas 59 del Texto para el Estudiante. Sumativa: páginas 64 y 65 del Texto para el Estudiante, páginas 104 y 105 de esta Guía y taller de evaluación 1 en páginas 66 y 67 del Texto para el Estudiante (evaluación de unidades 1 y 2).

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UNIDAD 3: FRACCIONES Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO)

TIEMPO ESTIMADO: 6 A 7 SEMANAS. Aprendizajes esperados

Lectura y escritura […] de fracciones positivas […], interpretación de la información expresada con estos números y comunicación en forma oral y escrita haciendo uso de ellos, en contextos del mundo real, científico y tecnológico.

Leer y escribir fracciones positivas.

Representación de números naturales, fracciones […] en la recta numérica y establecimiento de relaciones de orden entre ellos.

Representar números naturales y fracciones positivas en la recta numérica y establecer relaciones entre ellos.

Determinación y aplicación de procedimientos para efectuar adiciones y sustracciones de fracciones positivas, a través de la amplificación o simplificación de fracciones.

Determinar procedimientos de amplificación y simplificación de fracciones positivas.

Resolución de problemas referidos a contextos diversos haciendo uso de las operaciones de […] adición y sustracción de fracciones […], enfatizando en habilidades relacionadas con la búsqueda de la información necesaria para su solución, la planificación my puesta en práctica de estrategias de solución y la interpretación y evaluación de los resultados obtenidos en relación al contexto.

Resolver situaciones problemáticas en diversos contextos.

Interpretar información proporcionada empleando fracciones positivas y utilizarlas para comunicar información.

Recursos didácticos Ilustración en página de activación de conocimientos previos. Diagramas para representar fracciones. Rectas numéricas.

Tipos de evaluación Diagnóstica: páginas 70 y 71 del Texto para el Estudiante. Formativa: páginas 77, 81 y 85 del Texto para el Estudiante. Sumativa: páginas 90 y 91 del Texto para el Estudiante y páginas 136 y 137 de esta Guía.

Noticia en sección Conexiones. Esquema en sección Síntesis. Pauta de autoevaluación.

Efectuar adiciones y sustracciones de fracciones positivas, a través de la amplificación o simplificación de fracciones.

Aplicar las habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en diversos contextos, haciendo uso de las operaciones de adición y sustracción de fracciones positivas.

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UNIDAD 4: DECIMALES Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO)

TIEMPO ESTIMADO: 6 A 7 SEMANAS. Aprendizajes esperados

Lectura y escritura […] de números decimales positivos, interpretación de la información expresada con estos números y comunicación en forma oral y escrita haciendo uso de ellos, en contextos del mundo real, científico y tecnológico.

Leer y escribir números decimales positivos.

Representación de números naturales, fracciones y números decimales positivos en la recta numérica y establecimiento de relaciones de orden entre ellos. Representar números naturales, fracciones y números decimales en la recta numérica y establecer relaciones entre ellos.

Representar números naturales, fracciones y números decimales positivos y utilizarlos para comunicar información

Interpretar información proporcionada, empleando números decimales positivos y utilizarlos para comunicar información.

Representaciones gráficas de fracciones. Tablas para organizar información. Tablas de datos. Rectas numéricas.

Pauta de autoevaluación.

Expresar el resultado de una división no exacta como un número decimal.

Determinación y aplicación de procedimientos para efectuar adiciones y sustracciones de números decimales positivos en base a la generalización de los procedimientos de cálculo y las propiedades de la adición y la sustracción en los números naturales.

Utilizar procedimientos de cálculo mental, escrito y emplear herramientas tecnológicas para efectuar adiciones y sustracciones de números decimales positivos.

Resolución de problemas referidos a contextos diversos haciendo uso de las operaciones de […] adición y sustracción de […] números decimales, enfatizando en habilidades relacionadas con la búsqueda de la información necesaria para su solución, la planificación y puesta en práctica de estrategias de solución y la interpretación y evaluación de los resultados obtenidos en relación al contexto.

Resolver situaciones problemáticas en diversos contextos.

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Imagen inicial para la activación de conocimientos previos.

Noticia en sección Conexiones.

Expresión del resultado de una división no exacta en términos de un número decimal y transformación de fracciones en números decimales.

Recursos didácticos

Transformar fracciones positivas en números decimales.

Aplicar las habilidades básicas de la resolución de problemas, haciendo uso de las operaciones de adición y sustracción de números decimales positivos.

Materiales necesarios para desarrollar las actividades propuestas: • calculadora • papel cuadriculado

Tipos de evaluación Diagnóstica: páginas 94 y 95 del Texto para el Estudiante. Formativa: páginas 99, 105 y 107 del Texto para el Estudiante. Sumativa: páginas 112 y 113 del Texto para el Estudiante, páginas 164 y 165 de esta Guía y taller de evaluación 2 en páginas 114 y 115 del Texto para el Estudiante (evaluación de unidades 1, 2, 3 y 4).

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UNIDAD 5: PERÍMETROS Y ÁREAS

TIEMPO ESTIMADO: 4 A 5 SEMANAS.

Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO)

Aprendizajes esperados

Interpretación de fórmulas usadas para el cálculo del perímetro de un triángulo, de un cuadrado o de un rectángulo y del área de un cuadrado o de un rectángulo.

Interpretar expresiones matemáticas en que se emplean letras para representar números o cantidades variables en diversos contextos significativos.

Noticia en sección Conexiones.

Determinación y aplicación de fórmulas para el cálculo de áreas de cuadrados y rectángulos, cálculo del área de figuras que pueden ser descompuestas en cuadrados y rectángulos, identificación y uso del milímetro cuadrado, centímetro cuadrado y metro cuadrado como unidades de área.

Emplear procedimientos para calcular áreas de cuadrados y rectángulos, comunicando los resultados en las unidades de medida correspondientes.

Materiales necesarios para desarrollar las actividades propuestas:

Resolución de problemas en situaciones variadas que implican el cálculo de áreas y el empleo de los teoremas conocidos, […]

Resolver situaciones problemáticas en diversos contextos.

Recursos didácticos

Tipos de evaluación Diagnóstica: páginas 118 y 119 del Texto para el Estudiante.

Pauta de autoevaluación.

• regla

Formativa: páginas 125 y 131 del Texto para el Estudiante. Sumativa: páginas 136 y 137 del Texto para el Estudiante y páginas 194 y 195 de esta Guía.

• papel cuadriculado • calculadora.

Aplicar las habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en contextos que implican el cálculo de áreas y la aplicación de teoremas conocidos.

UNIDAD 6: ÁNGULOS Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO)

TIEMPO ESTIMADO: 4 A 5 SEMANAS. Aprendizajes esperados

Medición de ángulos con transportador o herramientas tecnológicas y empleo del grado como unidad de medida.

Emplear procedimientos para medir ángulos, comunicando los resultados en la unidad de medida correspondiente.

Identificación de ángulos internos y externos en triángulos y cuadriláteros y verificación, en cada caso, de teoremas relativos a la suma de dichos ángulos.

Identificar ángulos internos y externos en triángulos y cuadriláteros. Verificar y aplicar proposiciones relativas a la suma de los ángulos internos y externos en triángulos y cuadriláteros.

Recursos didácticos Noticia en sección Conexiones. Pauta de autoevaluación. Materiales necesarios para desarrollar las actividades propuestas: • transportador • escuadra

Tipos de evaluación Diagnóstica: páginas 140 y 141 del texto para el estudiante. Formativa: páginas 149 y 153 del texto para el estudiante. Sumativa: páginas 158 y 159 del texto para el estudiante y páginas 222 y 223 de esta guía.

continúa en la sig. pág.

Introducción

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Identificación de ángulos opuestos por el vértice en rectas que se cortan, y de ángulos correspondientes, alternos internos y alternos externos en rectas paralelas cortadas por una transversal y verificación de las igualdades de medida que se dan en estos casos.

Verificar y aplicar proposiciones relativas a la medida de ángulos en rectas que se cortan y en rectas paralelas cortadas por una transversal.

Resolución de problemas en situaciones variadas que implican […] formulación y verificación de conjeturas relacionadas con la medida de ángulos en figuras geométricas y su verificación, utilizando mediciones o los teoremas conocidos.

Aplicar las habilidades básicas de la resolución de problemas en contextos que requieren la formulación y verificación de conjeturas simples con respecto a la medida de ángulos en triángulos y cuadriláteros.

UNIDAD 7: DATOS Y AZAR Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) Obtención de información de gráficos de barras comparadas y de gráficos de línea relativa a valores de las magnitudes representadas y a características de la relación que existe entre ellas.

Aprendizajes esperados Extraer e interpretar información proporcionada por gráficos de barras comparadas y gráficos de línea.

TIEMPO ESTIMADO: 4 A 5 SEMANAS. Recursos didácticos

Tipos de evaluación

Diagnóstica: páginas 162 y 163 del texto para el estudiante. Formativa: páginas 169, 173 y 177 del texto para el estudiante. Sumativa: páginas 182 y 183 del texto para el estudiante, páginas 252 y 253 de esta Guía y taller de evaluación 3 en páginas 184 y 185 del texto para el estudiante (evaluación de unidades 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7).

Tablas de datos. Empleo de herramientas tecnológicas en la construcción de gráficos de barras comparadas y de gráficos de línea, a partir de datos obtenidos a través de diversas fuentes o recolectados empíricamente mediante experimentos o encuestas.

Construir gráficos de barras comparadas y de líneas, a partir de datos de diversas fuentes o recolectados empíricamente, haciendo uso de herramientas tecnológicas.

Gráficos de barras. Gráficos de barras comparadas. Gráficos de línea. Noticia en sección Conexiones. Pauta de autoevaluación.

continúa en la sig. pág.

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Análisis de ejemplos de tablas y gráficos conocidos, destacando en cada caso las variables representadas y el rango de valores en que se mueven, identificando si se trata de variables continuas o discretas.

Reconocer y caracterizar las variables representadas en tablas y gráficos conocidos.

Reconocimiento de las diferencias de significado de términos de uso corriente relacionados con probabilidades, tales como: seguro, posible, imposible, probable, improbable, y formulación de argumentaciones en torno a lo adecuado o no de su uso, en situaciones concretas de la vida cotidiana.

Utilizar términos de uso corriente relacionados con probabilidades para describir la probabilidad de ocurrencia de un evento.

Resolución de problemas que implican la recolección empírica de información o la selección de datos puntuales extraídos de gráficos o tablas, y formulación de conjeturas relativas a valores no dados directamente en tablas o gráficos y que se pueden estimar a partir de los valores dados.

Resolver situaciones problemáticas en diversos contextos.

Materiales necesarios para desarrollar las actividades propuestas: • computador • calculadora

Formular argumentos en torno a lo adecuado o no del uso de determinados términos de uso corriente relacionados con probabilidades, de acuerdo al contexto.

Aplicar las habilidades básicas del proceso de resolución de problemas, utilizando información recolectada empíricamente o extraída de gráficos y tablas; y formular y verificar conjeturas simples que se puedan estimar a partir de esta información.

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Información sobre los Mapas de Progreso del Aprendizaje (MPA) A partir del año 2007, el Ministerio de Educación ha puesto gradualmente a disposición del sistema escolar los Mapas de Progreso del Aprendizaje, que son un instrumento de apoyo al y la docente para monitorear el progreso en el aprendizaje de sus alumnos y alumnas, identificando distintos niveles de logro. Los niveles de logro son descripciones de los aprendizajes que demuestran los alumnos y alumnas, y le ayudarán a saber cuántos de sus estudiantes han alcanzado aprendizajes que les permitirán abordar bien los aprendizajes del nivel siguiente, cuántos se encuentran progresando hacia esos aprendizajes y cuántos están recién iniciando ese proceso. Ya sabemos que todos somos distintos y por lo mismo no todos aprendemos de la misma manera o al mismo ritmo, por esto, el conocer el nivel en el que se encuentra cada uno de sus alumnos y alumnas le servirá para atender la diversidad de estudiantes que se presenta en su aula, sus distintas maneras de aprender y orientarlos a avanzar. De acuerdo a lo anterior, en la elaboración y organización de nuestra propuesta fueron considerados los niveles de logro de los Mapas de Progreso del Aprendizaje, a partir de los cuales se diseñan actividades que promuevan el logro de los aprendizajes en forma gradual, proponiéndose además evaluaciones en las distintas etapas del proceso de aprendizaje, para conocer los avances de los y las estudiantes respecto de los contenidos y habilidades esperados en el nivel. A continuación, se presenta una tabla con los Mapas de Progreso del Aprendizaje correspondiente a números y operaciones que describen el desarrollo del concepto de cantidad y de número; y la competencia en el uso de técnicas mentales y escritas para calcular y resolver problemas que involucran distintos tipos de números.

NIVEL

DESCRIPCIÓN

NIVEL 7 Sobresaliente

Comprende los diferentes conjuntos numéricos, las relaciones entre ellos y los problemas que les dieron origen. Comprende que en cada conjunto numérico se puede operar sobre la base de reglas o propiedades que pueden ser usadas para justificar o demostrar relaciones. Muestra autonomía y flexibilidad para resolver un amplio repertorio de problemas, tanto rutinarios como no rutinarios, utilizando diversas estrategias y para formular conjeturas acerca de objetos matemáticos. Utiliza lenguaje matemático para presentar argumentos en la demostración de situaciones matemáticas.

NIVEL 6

Utiliza potencias de base real y exponente racional para resolver problemas. Reconoce a los números complejos como una extensión del campo numérico y los utiliza para resolver problemas que no admiten solución en los reales. Usa las cuatro operaciones con números complejos. Resuelve problemas, utilizando un amplio repertorio de estrategias, combinando o modificando estrategias ya utilizadas. Realiza conjeturas que suponen generalizaciones o predicciones y argumenta la validez de los procedimientos o conjeturas.

NIVEL 5

Reconoce a los números irracionales como números decimales no periódicos que no pueden ser escritos como fracción entre dos números enteros y a los números reales, como la unión de los números racionales e irracionales. Realiza las cuatro operaciones con números reales en forma algebraica, utilizando propiedades, e identifica el conjunto numérico al que pertenecen los resultados. Utiliza las potencias de base racional y exponente racional, y sus propiedades, para simplificar cálculos, y establece la relación entre potencias y raíces. Resuelve problemas utilizando estrategias que implican descomponer un problema o situaciones propuestas en partes o sub-problemas. Argumenta sus estrategias o procedimientos y utiliza ejemplos y contraejemplos para verificar la validez o falsedad de conjeturas.

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NIVEL

DESCRIPCIÓN

NIVEL 4

Comprende que todo número racional es un cociente entre dos números enteros y los utiliza al estimar, establecer razones, proporciones y calcular porcentajes. Comprende la conexión entre las cuatro operaciones en los números racionales positivos y negativos. Utiliza la notación científica y las potencias de base racional y exponente entero, y sus propiedades, para simplificar cálculos. Resuelve problemas no rutinarios y/o formula conjeturas en diversos contextos en los que se deben establecer relaciones entre conceptos. Justifica la estrategia utilizada, las conjeturas formuladas y los resultados obtenidos, utilizando conceptos, procedimientos y relaciones matemáticas.

NIVEL 3

Reconoce que los números naturales se pueden expresar como producto de factores y los expresa en forma de potencias. Utiliza números decimales positivos y fracciones positivas para ordenar, comparar, estimar, medir y calcular. Utiliza números enteros para cuantificar magnitudes, ordenar y comparar. Comprende el significado de porcentaje y establece equivalencias entre estos y fracciones o números decimales, para calcular porcentajes simples. Comprende y realiza las cuatro operaciones con números decimales y con fracciones. Resuelve problemas no rutinarios y/o formula conjeturas en diversos contextos, que requieren reorganizar la información disponible. Argumenta sobre la validez de un procedimiento, estrategia o conjetura planteada.

NIVEL 2

Utiliza los números naturales hasta 1 000 000 para contar, ordenar, comparar, medir, estimar y calcular. Comprende que las fracciones simples y los números decimales permiten cuantificar las partes de un objeto, una colección de objetos o una unidad de medida, y realiza comparaciones entre números decimales o entre fracciones. Multiplica y divide (por un solo dígito) con números naturales, comprendiendo el significado de estas operaciones y la relación entre ellas. Realiza estimaciones y cálculos mentales de multiplicaciones y divisiones exactas que requieren de estrategias simples. Resuelve problemas rutinarios y/o formula conjeturas en contextos familiares en que los datos no están necesariamente explícitos y requieren reorganizar la información del enunciado. Justifica la estrategia utilizada, explicando su razonamiento o verificando conjeturas a través de ejemplos.

NIVEL 1

Utiliza los números naturales hasta 1000 para contar, ordenar, comparar, medir, estimar y calcular cantidades de objetos y magnitudes. Comprende que en estos números, la posición de cada dígito determina su valor. Realiza adiciones y sustracciones comprendiendo el significado de estas operaciones y la relación entre ellas. Reconoce que los números naturales se pueden expresar como adiciones o sustracciones de dos números naturales y descomponer en centenas, decenas y unidades. Realiza estimaciones y cálculos mentales de adiciones y sustracciones que requieren de estrategias simples, con números menores que 100. Resuelve problemas rutinarios en contextos familiares, en que los datos están explícitos y cuya estrategia de solución está claramente sugerida en el enunciado. Describe y explica la estrategia utilizada.

Extraído de: • Mapas de Progreso del Aprendizaje. Ministerio de Educación. 20 de enero 2008. www.mineduc.cl/biblio.

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Habilidades del pensamiento El trabajo de la Matemática en el aula, orientado al desarrollo de habilidades, es de gran importancia en el proceso de enseñanza y aprendizaje, y se basa en la necesidad de formar personas capaces de resolver problemas de la vida cotidiana y del ámbito matemático, de forma autónoma y eficaz. De esta forma, las actividades a desarrollar por los alumnos y alumnas de quinto año básico, propuestas en el Texto para el Estudiante y en la Guía didáctica para el Profesor, buscan promover el desarrollo de estas habilidades, mediante estrategias metodológicas que propician su adquisición. Para ello, tanto en las actividades como en los ítemes de evaluación diseñados han jugado un papel central las destrezas y habilidades utilizadas en el “Estudio internacional de Tendencias en Matemática y Ciencia 2003” (TIMSS), proyecto de la Asociación Internacional para la Evaluación del Rendimiento Educativo (IEA). Así, las habilidades incluidas en este Texto son las que se espera deberían manifestar los alumnos y alumnas de este curso, aunque el grado de sofisticación de esta manifestación varíe en relación con los cursos superiores o inferiores. A continuación, se presenta la descripción de las habilidades consideradas en esta propuesta. En general, la complejidad cognitiva aumenta desde las primeras habilidades hasta las finales del listado, permitiendo una progresión desde el conocimiento de un hecho, procedimiento o concepto hasta el uso de este conocimiento en la resolución de problemas. No obstante, esta complejidad no debe confundirse con la complejidad de la actividad o del ítem de evaluación, pues esta también depende de la interacción entre el contenido y la habilidad.

Recordar Reconocer / Identificar

Recordar definiciones; vocabulario; unidades; hechos numéricos; propiedades de los números; propiedades de las figuras planas; convenciones matemáticas. Reconocer o identificar entidades matemáticas que sean equivalentes, es decir, áreas de partes de figuras para representar fracciones, fracciones conocidas, decimales y porcentajes equivalentes; expresiones algebraicas simplificadas; figuras geométricas simples orientadas de modo diferente.

Calcular

Conocer procedimientos algorítmicos para +, –, •, : o una combinación de estas operaciones; conocer procedimientos para aproximar números, estimar medidas, resolver ecuaciones, evaluar expresiones y fórmulas, dividir una cantidad en una razón dada, aumentar o disminuir una cantidad en un porcentaje dado. Simplificar, descomponer en factores, expandir expresiones algebraicas y numéricas; reunir términos semejantes.

Usar herramientas

Usar las matemáticas y los instrumentos de medición; leer escalas: dibujar líneas, ángulos o figuras según unas especificaciones dadas. Dadas las medidas necesarias, usar regla y compás para construir la mediatriz de una línea, la bisectriz de un ángulo, triángulos y cuadriláteros.

Clasificar

Clasificar o agrupar objetos, figuras, números, expresiones e ideas según propiedades comunes; tomar decisiones correctas con relación a la pertenencia a una clase; ordenar números y objetos según sus atributos.

Representar

Representar números mediante modelos; representar información matemática de datos en diagramas, tablas, cuadros, gráficos; generar representaciones equivalentes de una entidad o relación matemática dada.

Formular

Formular problemas o soluciones que puedan ser representados por ecuaciones o expresiones dadas.

Distinguir

Distinguir preguntas que se pueden plantear con información dada, por ejemplo un conjunto de datos, de aquellas que no se pueden plantear así.

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Seleccionar

Seleccionar o usar un método o estrategia eficiente para resolver problemas en los que haya un algoritmo o método de solución conocido, es decir, un algoritmo o método que cabría esperar que resultase conocido para los estudiantes. Seleccionar algoritmos, fórmulas o unidades apropiadas.

Representar

Generar una representación apropiada, por ejemplo una ecuación o un diagrama, para resolver un problema común.

Interpretar

Interpretar representaciones matemáticas dadas (ecuaciones, diagramas, etc.); seguir y ejecutar un conjunto de instrucciones matemáticas.

Aplicar

Aplicar conocimientos de hechos, procedimientos y conceptos para resolver problemas matemáticos habituales (incluidos problemas de la vida real), es decir, problemas similares a los que probablemente hayan visto los estudiantes en clase.

Verificar o comprobar

Verificar o comprobar la corrección de la solución a un problema; evaluar lo razonable que es la solución de un problema.

Formular hipótesis,

Hacer conjeturas adecuadas al investigar patrones, discutir ideas, proponer modelos, examinar conjuntos de conjeturar o predecir datos; especificar un resultado (número, patrón, cantidad, transformación, etc.) que resultará de una operación o experimento antes de que se lleve a cabo.

conjeturar o predecir

Analizar

Determinar y describir o usar relaciones entre variables u objetos en situaciones matemáticas; analizar datos estadísticos univariantes; descomponer figuras geométricas para simplificar la resolución de un problema; dibujar la red de un sólido dado poco conocido; hacer inferencias válidas a partir de información dada.

Evaluar

Discutir y evaluar críticamente una idea matemática, conjetura, estrategia de resolución de problemas, método, demostración, etc.

Generalizar

Extiende el dominio al que son aplicables el resultado del pensamiento matemático y la resolución de problemas mediante la reexposición de resultados en términos más generales y más aplicables.

Conectar

Conectar conocimientos nuevos con conocimientos existentes; hacer conexiones entre diferentes elementos de conocimiento y representaciones relacionadas; vincular ideas u objetos matemáticos relacionados.

Sintetizar o Integrar

Combinar procedimientos matemáticos (dispares) para establecer resultados; combinar resultados para llegar a un resultado ulterior.

Resolver problemas

Resolver problemas enmarcados en contextos matemáticos o de la vida real de los que es muy poco probable que los estudiantes hayan encontrado ítems similares; aplicar procedimientos matemáticos en contextos poco conocidos.

Justificar

Proporcionar pruebas de la validez de una acción o de la verdad de un enunciado mediante referencia a propiedades o resultados matemáticos; desarrollar argumentos matemáticos para demostrar la verdad o falsedad de enunciados, dada la información relevante.

Fuente: Ina V.S. Mullis, y otros. Marcos teóricos y especificaciones de evaluación de TIMSS 2003. Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Secretaría General de Educación y Formación Profesional. Instituto Nacional de Calidad y Evaluación (INCE), Madrid. 2002.

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Evaluación en Matemática La evaluación es una parte central del proceso curricular, el cual se entiende como un proceso continuo de observación, monitoreo y el establecimiento de juicios profesionales sobre el estado de aprendizaje de los alumnos y alumnas a partir de lo observado. En el proceso de evaluación están involucradas tres acciones: medición, evaluación y calificación. Medir se puede realizar de muchos modos y con diferentes niveles de estructuración. Puede ser un proceso de clasificación, o de generación de categorías a partir de la observación o la comparación de comportamientos observables con categorías o escalas conocidas. Evaluar supone la existencia de estándares o criterios para la población a la que pertenecen los y las estudiantes, de modo que se puede comparar los resultados de la medición y emitir un juicio acerca de la relación entre lo demostrado por el o la estudiante y el estándar o criterio seleccionado. Calificar es expresar mediante un código (generalmente un número que indica una posición en una escala dada) el resultado de ese juicio. El proceso de evaluación es parte constitutiva del proceso de enseñanza y aprendizaje, ya que es un proceso continuo que consiste en recoger información acerca de cómo se está produciendo el aprendizaje. Debe entregar al educador y al educando antecedentes objetivos acerca de cómo se produce dicho aprendizaje y qué aspectos de este no domina integralmente, y así regular y mejorar los aprendizajes de los y las estudiantes. Con los resultados obtenidos en las evaluaciones, la o el profesor crea un plan de acción que permita mejorar los resultados obtenidos, a través de actividades remediales o de reforzamiento de los contenidos. Con el fin de monitorear el proceso en su totalidad se proponen en esta guía la aplicación de tres instancias de evaluación: diagnóstica, formativa y sumativa. • Evaluación diagnóstica. Se integran al inicio de cada unidad, para identificar los conocimientos previos con los cuales el y la estudiante se enfrentará a los nuevos aprendizajes, y para detectar falencias que pudieran entorpecer el logro de aprendizajes más complejos, y poder entonces aplicar refuerzos o remediales. Este momento evaluativo es de carácter formativo. En esta guía podemos encontrar esta instancia de evaluación al comienzo de cada unidad en la sección ¿CUÁNTO SABES? • Evaluación formativa. Se desarrolla durante la unidad y dado su carácter procesual, permitirá al y la estudiante retroalimentar su desempeño, y al o la docente realizar a tiempo las modificaciones necesarias para mejorar el logro de los aprendizajes. La evaluación formativa también es considerada dentro de cada unidad de esta Guía en la sección MI PROGRESO en la cual se busca monitorear el proceso de aprendizaje de los contenidos que han sido trabajados. • Evaluación sumativa. Entrega información acerca del nivel de logro alcanzado respecto de los aprendizajes esperados al término de la unidad, dando la posibilidad de reforzar los aprendizajes identificados como más débiles, a través de la aplicación de actividades remediales. Al finalizar cada unidad se presenta una evaluación sumativa en la sección ¿QUÉ APRENDÍ?, que evalúa los contenidos trabajados a lo largo de toda la unidad.

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Es importante considerar que el proceso de evaluación de los aprendizajes busca determinar el potencial de aprendizaje de los y las estudiantes, la capacidad para resolver problemas, la capacidad para comunicar lo aprendido, conocer el tipo de razonamiento empleado, identificar los conceptos que maneja, los procedimientos que aplica y la actitud presentada frente al problema a resolver; además permite hacerse una aproximación al estado del pensamiento matemático de los y las estudiantes. Para establecer desde dónde y cómo se ve el conocimiento matemático escolar, se parte desde una concepción en la cual se reconocen dos aspectos, el conceptual y el procedimental. El conocimiento conceptual, se refiere a una serie de informaciones conectadas entre sí mediante múltiples relaciones, que constituyen lo que se denomina estructura conceptual, donde los conceptos se unen o se relacionan, constituyendo conceptos de orden superior. El conocimiento procedimental, se refiere a la forma de actuación o de ejecución de tareas matemáticas que van más allá de la ejecución mecánica de algoritmos. En él se distinguen tres niveles: • Destrezas: en el campo de la matemática escolar se distinguen entre destrezas aritméticas, geométricas, métricas, gráficas, y de representación. • Razonamiento en Matemática: conjunto de enunciaciones y procesos asociados que se llevan a cabo para fundamentar una idea en función de unos datos o premisas y unas reglas de inferencia. • Estrategias: formas de responder a una determinada situación dentro de una estructura conceptual, implica tener una gran dosis de creatividad e imaginación.

INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN Dentro del proceso de evaluación es importante considerar distintos instrumentos que permitan evaluar los aprendizajes de sus alumnos y alumnas. A continuación, se presentan algunos instrumentos que el o la docente puede utilizar para la evaluación del aprendizaje matemático. Evaluación de mapas conceptuales Los mapas son un medio para visualizar conceptos y relaciones jerárquicas entre conceptos, tienen por objetivo "representar relaciones significativas entre conceptos en forma de proposiciones", es decir, dos o más términos conceptuales (conceptos) unidos por palabras y que en conjunto forman una unidad con un significado. Para evaluar y, eventualmente, calificar el trabajo de los y las estudiantes con los mapas conceptuales, Bartels propone tres categorías y para cada una establece 4 criterios de desempeño a los cuales le asigna un puntaje y que se muestra a continuación:

CONCEPTOS Y TERMINOLOGÍA 3 puntos.

Muestra un entendimiento del concepto o principio matemático y una notación y una terminología adecuada.

2 puntos.

Comete algunos errores en la terminología empleada y muestra algunos vacíos en el entendimiento del concepto o principio.

1 punto.

Comete muchos errores en la terminología y muestra vacíos conceptuales profundos.

0 punto.

No muestra ningún conocimiento en torno al concepto tratado.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/evaluacion.htm

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CONOCIMIENTO DE LAS RELACIONES ENTRE CONCEPTOS 3 puntos.

Construye un mapa conceptual apropiado y completo, incluyendo ejemplos, colocando los conceptos en jerarquías y conexiones adecuadas y colocando relaciones en todas las conexiones, dando como resultado final un mapa que es fácil de interpretar.

2 puntos.

Coloca la mayoría de los conceptos en una jerarquía adecuada estableciendo relaciones apropiadas la mayoría de las veces, dando como resultado un mapa fácil de interpretar.

1 punto.

Coloca solo unos pocos conceptos en una jerarquía apropiada y usa solo unas pocas relaciones entre los conceptos, dando como resultado un mapa difícil de interpretar.

0 punto.

Produce un resultado final que no es un mapa conceptual.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/evaluacion.htm

HABILIDAD PARA COMUNICAR CONCEPTOS A TRAVÉS DEL MAPA CONCEPTUAL 3 puntos.

Identifica todos los conceptos importantes y demuestra un conocimiento de las relaciones entre estos.

2 puntos.

Identifica importantes conceptos pero realiza algunas conexiones erradas.

1 punto.

Realiza muchas conexiones erradas.

0 punto.

Falla al establecer cualquier concepto o conexión apropiada.

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/evaluacion.htm

Evaluación de proyectos realizados por estudiantes Considerar como punto de partida los intereses o motivaciones personales al momento de plantear estrategias que permitan alcanzar logros en el aprendizaje, permite plantear el conocimiento como un desafío más atractivo y eficaz para los y las estudiantes. La realización de proyectos estimula a los y las estudiantes a plantearse un desafío, ya que surge a partir de sus propios intereses o necesidades, por lo cual el aprendizaje del tema investigado se hace más significativo. La pauta siguiente establece tres áreas de observación respecto del trabajo de los estudiantes, en donde es importante observar y orientar su desempeño, a saber: la formulación del proyecto, el desarrollo del proceso de investigación y, por último, la presentación de los resultados.

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PROYECTO: INTEGRANTES: FORMULACIÓN

BIEN

MAL

NECESITA MEJORAR

Usa ideas propias o reformula en forma original las ideas de otros para orientar su investigación. Plantea en forma clara el problema a investigar. Formula una secuencia de pasos a seguir para orientar su investigación (plan de trabajo). Se plantea metas parciales a lograr en el tiempo. DESARROLLO Utiliza distintas fuentes de información y de consulta (incluido el profesor). Discute con otros compañeros y compañeras acerca de los avances de su investigación. Presenta avances parciales de su trabajo. PRESENTACIÓN DE RESULTADOS Realiza voluntariamente una exposición oral al resto de la clase para presentar los resultados de su investigación. Presenta un informe escrito de acuerdo con los términos de referencia del proyecto. Usa un lenguaje claro y adecuado para presentar los resultados de su trabajo. Usa figuras, tablas y diagramas que ayudan a la claridad de la información presentada. Establece conclusiones apropiadas válidas, acordes con el problema investigado y con los objetivos planteados. Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/evaluacion.htm

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Evaluación de la comunicación de procedimientos Dentro del proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas es indispensable la comunicación de los procedimientos realizados por los y las estudiantes en la resolución de problemas. La comunicación en Matemática es fundamental, ya que obliga a detenerse sobre el propio pensamiento para precisarlo, justificarlo y clarificarlo. Informar sobre lo realizado implica la reconstrucción de la acción realizada. Para potenciar este proceso metacognitivo, en el cual sus alumnos y alumnas deben explicitar el razonamiento aplicado, se sugiere aplicar una pauta como la que se presenta a continuación, la cual permite evaluar la exposición oral de los resultados obtenidos en la resolución de un problema matemático. PROBLEMA: INTEGRANTES: LOGRADO

MEDIANAMENTE LOGRADO

Explica el problema. Identifica y explica la pregunta del problema. Explica claramente los procedimientos realizados en la resolución. Presenta más de una solución (en caso que sea posible). Pregunta por otras soluciones a la clase. Extiende el problema mediante la presentación a la clase de un problema nuevo derivado del presentado. Realiza buenas preguntas a la clase, tales como: ¿será esta la única manera de hacerlo?, ¿es esta la única respuesta posible?, ¿qué pasa si...? Responde las preguntas realizadas por la clase. Se expresa en forma audible y clara. Escucha las ideas de otras personas. Fuente: adaptación de documento extraído de www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/evaluacion.htm

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POR LOGRAR

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Técnicas de observación Consisten en evaluar aspectos que difícilmente se evaluarían con otras técnicas o instrumentos, como por ejemplo: los aspectos afectivo y psicomotor. Los instrumentos utilizados para estos casos son: • Lista de control: este tipo de instrumento requiere de la delimitación de las categorías de la conducta a observar. • Participación: se utiliza en la lista de participación para registrar la frecuencia con que los alumnos y alumnas aportan verbalmente ideas relacionadas con el tema de la clase. • Escala de evaluación: consiste en una serie de frases precedidas por una gradación donde el o la docente indica, según su apreciación, el nivel en que se encuentran sus alumnos, en relación con el estado ideal de una característica específica. Las escalas de evaluación pueden ser: escalas numéricas, escalas gráficas o escalas comparativas. Para evaluar a sus alumnos y alumnas a través de la observación, usted puede elaborar una escala gráfica como la que se presenta a continuación. CONOCIMIENTO Y HABILIDADES, PROCESO DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, DESTREZAS Y ACTITUDES.

SÍ

Intenta comprender de qué trata un problema. Relaciona los datos en la solución de un problema. Utiliza más de una estrategia en la solución de problemas. Verifica la solución. Maneja la calculadora. Maneja instrumentos de medición. Se observa motivado frente a la resolución de problemas. Trabaja en colaboración con otros. Es perseverante. Fuentes consultadas: • Evaluación del aprendizaje matemático. Alternativas para innovar. www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/alternativas.htm • “La evaluación de las matemáticas en el aula” www.dgest.sep.gob.mx/Documentos/academica/La_evaluacion_de_las_matematicas_en_el_aula.pdf • Oteíza, F., Montero, P., Rencoret, M. La matemática en el aula: contexto y evaluación. Santiago, Chile. Ministerio de Educación, Programa MECE Media, 1997.

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Razonamiento matemático y resolución de problemas En la interacción con el entorno y con los otros, diariamente las personas nos enfrentamos a situaciones problemáticas necesarias de ser resueltas de la manera más óptima. En la búsqueda de estas soluciones interactúan la experiencia, la creatividad y, por supuesto, las capacidades de cada individuo. Al resolver un problema determinado se aprende también cómo actuar frente a nuevas situaciones o que impliquen un desafío. Consideraremos la resolución de problemas como una modalidad didáctica en la que el y la docente genera situaciones en las que los alumnos y alumnas pueden explorar conceptos, aprender acerca de procedimientos, argumentar, analizar y/o generar aplicaciones, investigar y, en general, elaborar acerca de los conceptos, procedimientos, algoritmos u otros tópicos matemáticos en relación con lo que deben aprender. Esto se traduce en diferentes situaciones didácticas en las que el y la estudiante, interactuando con desafíos especialmente diseñados, en un ambiente cooperativo y estimulante, busca soluciones, explicaciones o distinciones. Algunas de estas situaciones pueden ser: • Explorar una situación problemática con el objetivo de acercarse a un concepto o generar procedimientos para buscar y reconocer una solución. • Analizar una situación problemática insuficientemente definida con el propósito de aprender acerca del enunciado de un problema y/o con el objeto que formule. • Investigar una situación con el objetivo de reunir y sistematizar información que involucre el uso de modelos matemáticos. En nuestra propuesta, el trabajo de razonamiento matemático y resolución de problemas es transversal al desarrollo de todos los contenidos y considera cinco componentes interconectados: conceptos, habilidades, procesos, actitudes y metacognición. • Conceptos: se refiere al conocimiento matemático básico, necesario para resolver problemas matemáticos. • Habilidades: se refiere a las aptitudes que se espera que los y las estudiantes sean capaces de desarrollar en cada contenido. • Procesos: se refiere al razonamiento y la heurística involucrados en la resolución de problemas matemáticos. • Actitudes: se refiere a los aspectos afectivos del aprendizaje de la Matemática. • Metacognición: se refiere a la habilidad de monitorear el proceso de pensamiento propio durante la resolución de problemas.

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Polya propone un modelo para resolver situaciones problemáticas, en un plan que consiste en cuatro pasos: 1. Comprender un problema: identifica, analiza e interpreta los datos disponibles dentro del contexto del problema. ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?, ¿cuál es la pregunta del problema?, ¿qué datos me entrega el problema?, ¿sabes a qué quieres llegar?, ¿son suficientes los datos que me entregan para resolver el problema?, ¿hay datos que no son necesarios para resolver el problema? 2. Crear un plan: encuentra las conexiones entre los datos y la incógnita o lo desconocido. ¿Qué puedo hacer con los datos que tengo para responder correctamente la pregunta? 3. Poner en práctica un plan: ejecuta lo planificado. Implementar la o las estrategias escogidas hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción sugiera tomar un nuevo curso. Al desarrollar su plan verifique cada uno de los pasos. ¿Puede estar seguro que cada uno está correcto?, ¿puede demostrar (o argumentar) que está correcto? 4. Examinar lo hecho: examina la solución obtenida. ¿Puede usted comprobar la respuesta?, ¿puede usted comprobar los argumentos?, ¿puede obtener el resultado por un camino diferente?, ¿puede usted "ver" la respuesta de una sola mirada?, ¿puede usar el resultado o el procedimiento para resolver otro problema? Considerando las etapas de la propuesta de Polya, se han diseñado actividades a través de las cuales los y las estudiantes pueden identificar cada uno de los pasos descritos. En la sección BUSCANDO ESTRATEGIAS del Texto para el Estudiante se plantean problemas en contextos cercanos y familiares a los alumnos y alumnas con el objetivo que sean recepcionados por ellos y ellas como un desafío y los y las estimule a utilizar todos los recursos de los cuales disponga. Además, se determina una estructura clara de los pasos a seguir para resolverlos.

Introducción

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Para evaluar la resolución de problemas se propone la siguiente tabla que especifica los indicadores de logro de acuerdo a cada etapa de la resolución de problemas. EN PROCESO, LOGRO PARCIAL

LOGRO, APLICACIÓN

No intenta entender el problema. Entiende mal el problema. Como rutina pide explicaciones.

Copia el problema. Identifica palabras clave. Puede que mal interprete parte del problema. Puede que tenga alguna idea acerca del problema.

Puede expresar en sus propias palabras o interpretar coherentemente el problema. Comprende las condiciones principales. Elimina la información innecesaria. Tiene una idea acerca de la respuesta.

No modela los conceptos rutinarios correctamente. No puede explicar el concepto. No intenta resolver el problema. No hace conexiones.

Demuestra un entendimiento parcial o satisfactorio. Puede encontrar y explicar usando una variedad de modos. Está listo para hacer conexiones acerca de cómo y por qué. Relaciona el concepto con conocimiento y experiencias anteriores. Puede crear problemas relacionados. Realiza las tareas cada vez con menos errores.

Aplica correctamente reglas o algoritmos cuando usa símbolos. Conecta cómo y por qué. Aplica el concepto a problemas o situaciones nuevas. Hace y explica conexiones. Realiza lo pedido y va más allá.

Hace comparaciones directas entre objetos. No puede ordenar objetos de acuerdo a su medida. No distingue diferencias entre distintas unidades de medida.

Puede ordenar y comparar usando unidades no estándares. Puede estimar y medir usando unidades no estándares. Puede resolver algunos problemas relacionados con medida.

Puede estimar y medir usando unidades estandares. Puede utilizar incrementos fraccionarios para medir. Puede resolver problemas relacionados.

Hace conjeturas poco realistas. No usa estrategias para refinar la estimación. No puede modelar o explicar la estrategia especificada. No puede aplicar estrategias unidas a explicaciones.

Refina conjeturas o estimaciones mediante particiones/comparaciones. Puede modelar, explicar y aplicar una estrategia cuando le preguntan. Demuestra poseer estrategias, otras le faltan. Usa estimación cuando es apropiado.

Refina conjeturas o estimaciones mediante particiones, comparaciones. Puede modelar, explicar y aplicar una estrategia cuando le preguntan. Demuestra poseer estrategias, otras le faltan. Usa estimación cuando es apropiado.

No revisa cálculos ni procedimientos. No reconoce si su respuesta es o no razonable.

Revisa cálculos y procedimientos. Puede investigar razones si existen dudas.

Chequea racionalidad de los resultados. Reconoce sin razones.

NO COMPRENDE

COMPRENSIÓN DEL PROBLEMA O DE LA SITUACIÓN

COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS

MEDICIÓN (LONGITUD, MASA, CAPACIDAD)

VERIFICACIÓN DE RESULTADOS Y/O PROGRESOS

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EN PROCESO, LOGRO PARCIAL

NO COMPRENDE

LOGRO, APLICACIÓN

No hace planteamientos. No puede proceder sin instrucciones ni asistencia. Comete graves errores al recolectar o mostrar datos.

Puede recolectar y desplegar datos, dada una forma de registrarlos. Tiene errores menores al recolectar y desplegar datos. Puede corregir errores en momentos críticos.

Puede recolectar y desplegar en forma organizada. Clasifica en forma exacta y apropiada.

INTERPRETACIÓN Y SÍNTESIS DE RESULTADOS

No hace planteamientos para resumir y describir datos. Puede responder preguntas simples relacionadas con los datos si es requerido. No puede comunicar resultados en forma rudimentaria.

Resume y describe datos apropiadamente. Puede generar una respuesta a una pregunta relacionada con los datos. Puede comunicar resultados en forma rudimentaria.

Expresa conclusiones e interpretaciones válidas. Hace generalizaciones. Comunica resultados en forma clara y lógica.

APLICACIÓN DE CONCEPTOS, PROCEDIMIENTOS Y ESTRATEGIAS

No intenta. Se apoya en otros para seleccionar y aplicar estrategias. Su trabajo no es comprensible. No puede explicar su trabajo o estrategia adecuadamente. Selecciona estrategias inadecuadas. Su implementación no es lógica ni ordenada.

Usa estrategia si se lo piden. Reconoce estrategias. Puede explicar estrategias. Usa un limitado número de estrategias. Puede seleccionar una estrategia, pero puede necesitar ayuda en su implementación. Puede presentar su trabajo en una forma aceptable.

Genera nuevos procedimientos. Extiende o modifica la estrategia. Conoce o usa diversas estrategias. Usa estrategias en forma flexible. Reconoce cuando una estrategia es aplicable. Presenta su trabajo en forma lógica y coherente.

DISPOSICIÓN (VALORES, ACTITUDES)

Demuestra ansiedad o disgusto. Se retira o es pasivo durante la clase. Cede fácilmente y se frustra en la clase. Necesita un apoyo frecuente, atención y retroalimentación.

Se aplica a la tarea. Participa activamente en las actividades de aprendizaje. Esta dispuesto a intentar nuevos métodos. Responde si le preguntan, pero puede que no tome la iniciativa.

Demuestra confianza en su trabajo. Es persistente cuando intenta varios enfoques. No se da por vencido. Es curioso, muestra flexibilidad. Hace muchas preguntas.

No intenta hacer conexiones. No hace conexiones. No puede extender ideas en nuevas aplicaciones. Hace el mínimo esperado.

Puede reconocer problemas o aplicaciones similares. Hace conexiones.

Propone y explora conexiones. Puede crear problemas paralelos variando las condiciones del problema original. Puede aplicar ideas en nuevas aplicaciones.

RECOLECCIÓN Y ORGANIZACIÓN DE DATOS

GENERALIZACIÓN Y CONEXIONES

Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm Fuentes consultadas: • Chamorro, C. El aprendizaje significativo en el área de matemáticas. Alambra Longmam. Madrid. 1991. • Stemberg, R., Spears-Swerling, L. “La comprensión de los principios básicos y de las dificultades de enseñar a pensar”, en: Teaching for thinking, trad. De R. Llavori. Enseñar a pensar, Santillana, Madrid. 1996. • www.educarchile.cl/planificaccion/1610/propertyvalue-42121.html Introducción

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En la presentación del Texto se muestran las diferentes páginas y secciones que componen cada unidad, con su respectiva descripción, distinguiéndose en su estructura didáctica los tres momentos presentes en ellas (inicio, desarrollo y cierre). • En las páginas de inicio se explicitan los aprendizajes que se espera que logren los y las estudiantes con el desarrollo de la unidad, además se presentan actividades de motivación y activación de experiencias y conocimientos previos junto con una evaluación diagnóstica que le permitirá evaluar los conocimientos que tienen sus alumnos y alumnas y que serán el punto de partida para el trabajo de la unidad.

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Texto para el Estudiante 4 y 5

• Las páginas de desarrollo incluyen variadas actividades de exploración, construcción y aplicación de los contenidos, algunas para desarrollarlas en forma individual, otras para comentar y discutir, y otras para realizar con metodología de trabajo colaborativo. En estas páginas se destacan las ideas o conceptos fundamentales, a través de una formalización.

Presentación del Texto

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Además, las páginas de desarrollo contienen secciones que permitirán que sus estudiantes aprendan estrategias de cálculo mental e imaginación espacial y otras en que deberán utilizar herramientas tecnológicas como calculadora y computador. Las evaluaciones formativas que aquí se presentan le permitirán obtener información sobre el proceso de aprendizaje de sus estudiantes.

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Texto para el Estudiante 6 y 7

• En las páginas de cierre, se presentan actividades específicas para la resolución de problemas, actividades de consolidación a partir de una noticia de actualidad y de síntesis, y finalizan con una evaluación sumativa que integra los contenidos tratados a lo largo de la unidad. Además, incluye una autoevaluación que permite que los y las estudiantes sean conscientes del logro de sus aprendizajes y que reflexionen sobre cómo aprenden, las dificultades que encontraron y cómo las superaron. Se espera que los alumnos y alumnas logren distinguir con claridad estas páginas y secciones, para lo cual es conveniente que, antes de iniciar el trabajo en las unidades del Texto, revise con ellos y ellas esta organización, deteniéndose en cada una de las páginas y secciones correspondientes y realizando preguntas que le permitan verificar la comprensión de sus estudiantes respecto del tipo de información que encontrarán en cada tipo de página y sección.

Presentación del Texto

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El índice del Texto permite distinguir las unidades en que se encuentra dividido este y los contenidos que se trabajan en cada una de ellas. En cada unidad es posible observar que las páginas están agrupadas en tres columnas que se relacionan con los momentos didácticos considerados en la estructura pedagógica del Texto. Así, la primera columna corresponde a las páginas de inicio, la segunda, a las de desarrollo y la tercera, a las páginas de cierre de la unidad.

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Texto para el Estudiante 8 y 9

Es conveniente revisar este índice con los alumnos y alumnas, de modo que logren visualizar las diferentes unidades que trabajarán a lo largo del año escolar y cómo estas incorporan diferentes instancias de aprendizaje y evaluación. Para ello, puede pedirles que formulen preguntas que se puedan responder a partir de la información que entrega el índice y las compartan con sus compañeros y compañeras.

Índice del Texto

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UNIDAD

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Números naturales Propósito de la unidad En esta unidad se continúa el estudio de los números naturales con su operatoria (adición y sustracción) extiendiendo el ámbito numérico de años anteriores. Se trabaja su representación en la recta numérica, sus relaciones y algunas de sus propiedades. Se incorpora el eje de álgebra como una generalización y verificación de las propiedades de la adición a partir de la sustititución de las variables, orientada a que logren interpretar este tipo de expresiones matemáticas. A continuación, se presenta un cuadro que vincula los Contenidos Mínimos Obligatorios, los aprendizajes esperados de la unidad y los indicadores, que le permitirán evaluar el aprendizaje de sus alumnos y alumnas.

Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO)

Aprendizajes esperados

Lectura y escritura de números naturales de más de seis cifras, […] interpretación de la información expresada con estos números y comunicación en forma oral y escrita haciendo uso de ellos, en contextos del mundo real, científico y tecnológico.

• Leer y escribir números naturales de más de seis cifras. • Interpretar información proporcionada empleando números naturales de más de seis cifras y utilizarlos para comunicar información.

• Leen y escriben números mayores que un millón. • Describen la relación entre la posición de un dígito y su valor. • Componen y descomponen aditivamente grandes cantidades. • Interpretan información y la comunican en forma oral y escrita, en contextos del mundo real, científico y tecnológico.

Representación de números naturales […] en la recta numérica y establecimiento de relaciones de orden entre ellos.

• Representar números naturales en la recta numérica, establecer relaciones entre ellos.

• Ubican cantidades en la recta numérica. • Determinan criterios para comparar grandes números.

Cálculo mental, escrito y empleo de la calculadora u otra herramienta tecnológica en adiciones, sustracciones […] de números naturales de más de 6 cifras a partir de la generalización de los procedimientos conocidos.

• Utilizar procedimientos de cálculo mental, escrito y emplear herramientas tecnológicas para efectuar adiciones y sustracciones de números naturales. • Reconocer algunas de las propiedades de la adición de números naturales.

• Redondean números, como estrategia para el cálculo mental aproximado de sumas y restas. • Redondean cantidades y evalúan la razonabilidad de los resultados. • Calculan por escrito adiciones y sustracciones con números de más de seis cifras. • Utilizan estrategias de cálculo mental que corresponden a extensiones de combinaciones aditivas básicas al ámbito de los millones. • Calculan adiciones y sustracciones, utilizando la calculadora.

• Verificar algunas de las propiedades de la adición de números naturales en que se utilizan letras o símbolos, mediante la sustitución de las variables por números. • Interpretar expresiones matemáticas en que se emplean letras para representar números o cantidades variables en diversos contextos significativos.

• Representan propiedades de la adición, mediante la sustitución de variables por números.

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Indicadores

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• Formular y verificar conjeturas simples y aplicar las habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en contextos diversos que requieren el uso de los contenidos del nivel.

• Resuelven situaciones problema que involucran adiciones o sustracciones de números naturales.

Relación entre los aprendizajes de la unidad y los de otros años

3º y 4º Básico

• Comprender la estructura de formación de números naturales de 4, 5 y 6 cifras, leerlos, escribirlos, identificar el valor de posición de los dígitos que los forman, ordenarlos, representarlos en la recta numérica, descomponerlos en forma aditiva, interpretar información proporcionada empleando dichos números y utilizarlos para comunicar información. • Cuantificar mediante el conteo por agrupaciones, comparar y estimar cantidades y magnitudes y asociar números de hasta seis cifras con la cantidad que ellos representan. • Emplear herramientas tecnológicas para efectuar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con números naturales, y utilizar el redondeo para estimar y evaluar resultados. • Formular afirmaciones y aplicar las habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en contextos familiares que requieren el uso de los contenidos del nivel y que contribuyan a afianzar la confianza en la propia capacidad para resolver problemas.

5º Básico

• Leer y escribir números naturales, representarlos en la recta numérica, establecer relaciones entre ellos, reconocer algunas de sus propiedades, interpretar información proporcionada empleando dichos números y utilizarlos para comunicar información. • Utilizar procedimientos de cálculo mental, escrito y empleando herramientas tecnológicas para efectuar adiciones y sustracciones con números naturales. • Interpretar expresiones matemáticas en que se emplean letras para representar números o cantidades variables en diversos contextos significativos. • Formular y verificar conjeturas simples y aplicar las habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en contextos diversos que requieren el uso de los contenidos del nivel.

6º Básico

7º Básico

• Emplear propiedades de las operaciones para encontrar el valor desconocido en ecuaciones de primer grado con una incógnita en el ámbito de los números naturales. • Formular conjeturas, verificar proposiciones simples y aplicar habilidades del proceso de resolución de problemas en contextos diversos utilizando los contenidos del nivel.

• Interpretar información proporcionada empleando números enteros, reconocer su utilidad, representarlos en la recta numérica, establecer relaciones de orden entre ellos, efectuar adiciones y sustracciones de números enteros y aplicarlas en diversas situaciones. • Resolver problemas referidos a diversos contextos por medio de ecuaciones de primer grado con una incógnita, en el ámbito de los números naturales, fracciones o decimales positivos y en las que es necesario reducir las expresiones involucradas. • Emplear formas simples de modelamiento matemático, aplicar habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en contextos diversos utilizando los contenidos del nivel, y analizar la validez de los procedimientos utilizados y de los resultados obtenidos. Unidad 1

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Esquema de la unidad

SE LEEN Y ESCRIBEN AGRUPADOS EN

Los dígitos

PERMITEN FORMAR

SE DESCOMPONEN

Grandes números

SE UBICAN EN LA

PRESENTES EN PROBLEMAS DE

Adición y sustracción

ES POSIBLE

A TRAVÉS DE SE PUEDEN EXPRESAR

Cálculos escritos

Cálculos mentales

OBTENIENDO RESULTADOS

Exactos

Herramientas tecnológicas SE ENCUENTRAN EN

Miles, millones, miles de millones Aditivamente Recta numérica Ordenarlos y compararlos Algebraicamente Datos de países, estadísticas y otros

Estimados

Errores frecuentes En la siguiente tabla presentamos algunos de los errores frecuentes que cometen los alumnos y alumnas y sugerencias que le permitirán evitarlos o subsanarlos. Errores frecuentes

Cómo subsanarlos

Al leer y escribir números que tienen ceros, no consideran las posiciones en que se ubican estos. Por ejemplo: “tres millones treinta y cuatro mil ciento trece”, lo escriben así: 334 113.

Poner énfasis en que comprendan que cada dígito tiene un valor diferente, según su posición. El uso de tarjetas como las siguientes facilita la comprensión de la posición y valor de los dígitos en un número. 3 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 0 0 0 1 0 0 1 0 3 También, el alumno o alumna que presenta dificultades puede utilizar una tabla de valor posicional.

Al construir rectas numéricas las gradúan en forma incorrecta.

Se sugiere que los y las estudiantes utilicen el siguiente procedimiento: 1. Ordenar los números de menor a mayor. 2. Elegir el número de inicio y término de la recta. 3. Estimar la diferencia entre el número mayor y el menor. 4. Estimar la diferencia entre cada par de números consecutivos. 5. Elegir la graduación más adecuada para los números que se desean ubicar en la recta (por ejemplo, múltiplos de 10, de 50, de 200, etc.).

Al redondear números y estimar cantidades, no consideran la naturaleza de la situación.

Se recomienda presentar diferentes situaciones en las cuales es conveniente redondear y estimar y otras en que no, promoviendo la discusión para desarrollar criterios acordes a las situaciones.

Presentan dificultades para calcular el término desconocido en adiciones y sustracciones.

Puede presentar la misma situación pero con números de un ámbito numérico menor para que el o la estudiante pueda identificar la operación que debe realizar con los términos que se conocen para hallar el término desconocido.

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BIBLIOGRAFÍA • Parra, Cecilia; Sáiz, Irma. Didáctica de matemáticas. Aportes y reflexiones. Editorial Paidós Educador. Décima reimpresión, Buenos Aires, 2005. • Cofré, Alicia; Tapia, Lucila. Cómo desarrollar el razonamiento lógico matemático. Editorial Universitaria. Tercera edición, Santiago de Chile, 2003. • Zúñiga Caro, Ana María. Aprender a estudiar. Manual de desarrollo metacognitivo y afectivo para alumnos de Segundo Ciclo y Educación Media. Colección Aprender a Aprender. Ediciones Repsi. Santiago de Chile,1997. • Sitios: http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/usr/eltanque/default.htm http://www.areamatematica.cl/Recursos/enlaces.htm http://www.aaamatematicas.com Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.

Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos El incluir álgebra desde 5º Básico, en lugar de retrasarla a los niveles de Educación Media, pretende desarrollar el pensamiento algebraico, incorporando expresiones en las que se usan letras y símbolos desde que se inicia segundo ciclo. El razonamiento algebraico implica representar, generalizar y formalizar patrones y regularidades en cualquier aspecto de las matemáticas. A medida que se desarrolla este razonamiento, se va progresando en el uso del lenguaje y el simbolismo necesario para apoyar y comunicar el pensamiento algebraico, especialmente las ecuaciones, las variables y las funciones. Algunas características del razonamiento algebraico que son sencillas de adquirir por los niños y niñas, son: 1. Los patrones o regularidades existen y aparecen de manera natural en las matemáticas. Pueden ser reconocidos, ampliados o generalizados. El mismo patrón se puede encontrar en muchas formas diferentes. Los patrones se encuentran en situaciones físicas, geométricas y numéricas. 2. Podemos ser más eficaces al expresar las generalizaciones de patrones y relaciones usando símbolos, sobresaliendo los que permiten representar variables y los que permiten construir ecuaciones e inecuaciones. 3. Las variables son símbolos que se ponen en lugar de los números o de un cierto rango de números y tienen significados diferentes dependiendo de si se usan como representaciones de cantidades que varían o cambian, como representaciones de valores específicos desconocidos o formando parte de una fórmula. 4. Las funciones son relaciones o reglas que asocian los elementos de un conjunto con los de otro, de manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y solo uno del segundo conjunto. Se pueden expresar en contextos reales mediante gráficos, fórmulas, tablas o enunciados. Todas las representaciones de una función dada son simplemente maneras diferentes de expresar la misma idea. Si desea leer más acerca del tema, le recomendamos visitar el sitio: http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros

BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA DE ENSEÑANZA DEL ÁLGEBRA • Grupo Azarquiel. Ideas y actividades para enseñar álgebra. Editorial Síntesis. Madrid, 1991. • Socas, M.; y otros. Iniciación al álgebra. Editorial Síntesis. Madrid, 1989.

Recuerde que el contenido de este sitio puede cambiar.

Unidad 1

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En estas páginas se propone motivar a los alumnos y alumnas y ponerlos en contacto con grandes cantidades para que sean capaces de expresar, interpretar, comunicar y comprender información con números de más de seis cifras con distintos referentes y en variados contextos.

ACTIVIDAD INICIAL Puede pedir a sus alumnos y alumnas que busquen en catálogos, revistas o diarios, información que contenga números de más de seis cifras y que a partir de ella reflexionen sobre la necesidad de incorporar este nuevo ámbito numérico para interpretar y comunicar información.

INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA PARA DOCENTES El trabajo con estas páginas es una excelente instancia para activar conocimientos y experiencias previas, respecto de la lectura, escritura e interpretación de información numérica con más de seis cifras. Se persigue que los alumnos y alumnas sean capaces de identificar aquellas situaciones en las cuales se utilizan grandes números y en las que no es adecuado utilizarlos. Por ejemplo: es posible expresar la distancia de un planeta al Sol en millones de kilómetros, pero no es viable expresar la distancia de una ciudad de Chile a otra en millones de kilómetros. Estos grandes números que se introducen formalmente en 5° Básico se encuentran en situaciones, a veces, poco significativas para los y las estudiantes. Sin embargo, en las estadísticas de Chile, que realiza el Instituto Nacional de Estadísticas, es posible encontrar información interesante en la que se utilizan números con más de seis cifras. Por ejemplo, para expresar la cantidad de habitantes de una ciudad, región o del país. Esta información es posible extraerla de http://www.ine.cl 42

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Texto para el Estudiante 10 y 11

CONVERSEMOS DE… Habilidades que se desarrollan Analizar y evaluar.

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA Puede evaluar la coherencia de las siguientes situaciones respecto a la información cuantitativa que se presenta: a) Ayer bebí millones de litros de agua. b) Para ir al colegio debo recorrer miles de kilómetros diarios. c) Santiago mide mil quinientos kilómetros aproximadamente de largo. d) En mi bolsillo guardo miles de bolitas. e) En el océano hay millones de litros de agua salada. (Habilidad que desarrolla: evaluar).

Es importante, además, conversar con los y las estudiantes en torno al concepto de números naturales, recalcando que surgen de la necesidad del ser humano de contar lo que le rodea y que es un conjunto de números infinito (porque dado un número cualquiera siempre es posible obtener el siguiente sumándole una unidad), cuyo primer elemento es el número 1. Se sugiere comentar las situaciones presentadas por los y las estudiantes en las cuales se utilizan números de más de seis cifras.

El recurso de Introducción presentado en la unidad 1 del Hipertexto complementa y motiva el inicio de esta unidad. Se sugiere que ingresen a este recurso y que luego trabajen la sección CONVERSEMOS DE…

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EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA ¿CUÁNTO SABES? Ítem

Habilidades que se evalúan

Identificar.

Clasificar.

3, 4 y 5

Calcular.

Formular.

Las actividades evaluativas de la sección ¿CUÁNTO SABES?, consideran los siguientes criterios: Ítem 1: Identificar números de hasta 6 cifras, según condiciones dadas en base a la cantidad de cifras y el valor posicional de sus dígitos. Ítem 2: Comparar números de 6 cifras, usando los signos <, > o =. Ítem 3: Identificar dígitos que faltan en los términos y resultados de adiciones y sustracciones. Ítem 4: Identificar la descomposición de un número de 6 cifras. Ítem 5: Redondear números de hasta 6 cifras, justificando la elección del nivel de aproximación utilizado. Ítem 6: Inventar dos preguntas que se puedan responder a partir de información conocida. Para su corrección puede utilizar la siguiente rúbrica: Ítem

Completamente logrado

Identifica todos los números desconocidos, a partir de la información dada sobre la cantidad de cifras y valor posicional de sus dígitos.

Identifica 3 de los números desconocidos, a partir de la información dada sobre la cantidad de cifras y valor posicional de sus dígitos.

Compara correctamente todos los pares de números, asignándoles el símbolo correspondiente. Identifica todos los dígitos desconocidos para la adición y sustracción. Redondea correctamente las cantidades de las 3 situaciones dadas y explica el criterio que utilizó.

Compara correctamente 5 ó 4 pares de números, asignándoles el símbolo correspondiente. Identifica 8 ó 7 de los dígitos desconocidos para la adición y sustracción. Redondea correctamente las cantidades de las 3 situaciones dadas y no explica el criterio que utilizó. O bien redondea correctamente las cantidades de las 2 situaciones dadas y explica el criterio que utilizó.

Crea 2 preguntas a partir de la información dada y las responde adecuadamente.

Crea 2 preguntas a partir de la información dada y responde una adecuadamente.

2 3

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Logrado

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Texto para el Estudiante 12 y 13

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ejercicio 1 d), la complejidad radica en que los y las estudiantes podrían poner como menor número el 0245679. En este caso, recuérdeles que para formar un número, el primer dígito que se escribe debe ser distinto de cero. Puede decirles que se utiliza el cero como primer dígito en los códigos, claves o en la telefonía celular. • En el ejercicio 5, la dificultad podría presentarse al explicar el criterio que usaron para hacer el redondeo, ya que esto es una habilidad más avanzada y no todos están preparados para enfrentarla. Pida a sus estudiantes que justifiquen sus respuestas, como una forma de verificar que comprenden lo que están realizando y de desarrollar en ellos habilidades comunicativas para exponer ideas, argumentos y dar opiniones bien fundamentadas.

Los recursos de Diagnóstico y Links de apoyo del Hipertexto complementarán la activación de conocimientos previos de sus estudiantes. Es importante que apoye a aquellos que presentan dudas, ya que esto puede dificultar el aprendizaje que se espera que logren en la unidad. Medianamente logrado

Por lograr

Identifica 2 de los números desconocidos, a partir de la información dada sobre la cantidad de cifras y valor posicional de sus dígitos.

Identifica 1 o ninguno de los números desconocidos, a partir de la información dada sobre la cantidad de cifras y valor posicional de sus dígitos.

Compara correctamente 3 pares de números, asignándoles el símbolo correspondiente. Identifica 6 ó 5 de los dígitos desconocidos para la adición y sustracción. Redondea correctamente las cantidades de 3 ó 2 situaciones dadas y no explica el criterio que utilizó. O bien, redondea correctamente las cantidades de una de las situaciones dadas y explica el criterio que utilizó.

Compara correctamente 2 o menos pares de números, asignándoles el símbolo correspondiente. Identifica 4 o menos de los dígitos desconocidos para la adición y sustracción. Redondea incorrectamente las cantidades de las 3 situaciones dadas y no explica el criterio que utilizó.

Crea 2 preguntas a partir de la información dada, pero no las responde adecuadamente.

Crea 2 preguntas que no se pueden responder a partir de la información dada.

Unidad 1

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Lectura y escritura de números naturales de más de seis cifras, […] interpretación de la información expresada con estos números y comunicación en forma oral y escrita haciendo uso de ellos, en contextos del mundo real, científico y tecnológico.

ACTIVIDAD INICIAL En la actividad inicial se pretende que los y las estudiantes expresen de manera oral y por escrito cantidades de más de seis cifras, de esta manera es posible conocer las experiencias previas que tienen sus estudiantes respecto de este tema y las dificultades que presentan al escribir o leer grandes números. Guíelos para que reconozcan las regularidades que se dan en la formación de números y sus nombres, y pídales que los relacionen con números más pequeños que ellos ya conocen.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Reconocer.

Clasificar.

Analizar.

4y5

Reconocer.

Reconocer y clasificar.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE ACTIVIDADES • En la actividad 1, es importante que los alumnos y alumnas seleccionen y clasifiquen números con más de seis cifras de contextos variados y significativos para ellos. Puede indicarles algunas fuentes para la búsqueda de información como el cuerpo de economía de alguna prensa escrita, libros científicos, atlas geográficos y el sitio http://www.ine.cl • Para asegurarse de que sus alumnos y alumnas son capaces de leer e interpretar correctamente la información presentada en la tabla de la actividad 3, antes de comenzar la actividad, plantéeles las siguientes preguntas: ¿de qué trata la tabla?, ¿qué información nos entrega?, ¿qué es un censo?, etc. • En la actividad 6, es importante dar espacio para comentar cómo formaron cada uno de los números y que establezcan semejanzas y diferencias entre ellos. • En la actividad EN EQUIPO, se sugiere apoyar a sus alumnos y alumnas en la construcción de la tabla de doble entrada, ayudándolos a identificar las variables, que en este caso son: población y superficie de los cinco países escogidos.

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Texto para el Estudiante 14 y 15

EN EQUIPO Habilidad que se desarrolla Aplicar.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • A partir de la información dada en la tabla de la página 15, puede pedirles que respondan las siguientes preguntas escribiendo los números con palabras: a) ¿Cuál era la población de mujeres el año 1992? b) ¿Cuál era la población de hombres el año 2002? c) ¿Cuál era la población total de hombres y mujeres el año 1992?, ¿y el 2002? (Habilidades que desarrolla: reconocer y calcular).

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Para conseguir que los y las estudiantes escriban grandes cantidades, numéricamente y con palabras, es fundamental que ellos expresen y usen constantemente información que contenga números de más de 6 cifras, a partir de situaciones motivadoras y variadas que les permitan ampliar sus conocimientos respecto de la forma en que se van generando los números, darles sentido y comprender el orden de magnitud de las cantidades que expresan. Por esto resulta necesario que les dé el espacio para que recopilen, clasifiquen, organicen y analicen conjuntos de datos referidos a grandes cantidades. En el caso de los y las estudiantes que presentan dificultades para leer y escribir información numérica, se les puede pedir que construyan una tabla de valor posicional como la siguiente para facilitarles la lectura y escritura de números de más de seis cifras: CMi

DMi

UMi

• A los y las estudiantes que no presentan dificultades para leer y escribir información numérica se les puede motivar a buscar más información numérica de más de seis cifras, crear noticias con ellas y construir una página de diario. Para guiarse pueden visitar el sitio: www.elmercuriodelosestudiantes.com Una actividad interesante que permite trabajar el cuidado del medio ambiente es pedir que averigüen la cantidad de basura que se produce anualmente en su región o en el país y qué se hace con ella. Además, puede preguntarles: ¿por qué es importante reciclar? (Habilidades que desarrolla: seleccionar y representar).

Unidad 1

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ACTIVIDAD INICIAL En la actividad inicial de estas páginas se introducen números más grandes que los usados hasta ahora: los miles de millones. Puede preguntar a sus estudiantes en qué otras situaciones se usan los miles de millones. Seguramente no serán muchas las situaciones que ellos puedan nombrar y que sean cercanas o significativas para ellos, algunos ejemplos son: distancias de los planetas al Sol, cantidad de habitantes en algunos continentes y el dinero recaudado en la campaña de solidaridad que se realiza en nuestro país, llamada Teletón.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE ACTIVIDADES • A partir de la primera actividad, se recomienda preguntar por la posición y valor de cada uno de los dígitos que forman la cantidad de habitantes de Chile. Es probable que sus estudiantes encuentren información diferente sobre esa cantidad, pregúnteles sobre la diferencia que existe entre cada uno de los datos numéricos encontrados y que expliquen el procedimiento que utilizaron para calcularla. • En las actividades 2, 3 y 4 se debe poner énfasis en comparar la posición y el valor de un dígito (según su posición) en distintos números y referentes. Por ejemplo, el dígito 9 en la distancia de Mercurio al Sol corresponde a 90 000 km, en la distancia de Marte al Sol, a 900 000 km, y en la cantidad de habitantes de América, a 900 000 000 habitantes. • Al realizar la actividad 5, enfatice que los dígitos que forman un número representan un valor, según la posición en que se ubiquen y que si cambiamos algún dígito de posición el número cambia, aumentando o disminuyendo en cierta cantidad de unidades. 48

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Texto para el Estudiante 16 y 17

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Recordar.

2, 3 y 4

Recordar y conectar.

Calcular.

Recordar.

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA Para motivar el trabajo en esta parte de la unidad, invite a sus alumnos y alumnas a jugar, en parejas, “Toque y fama” con números de 8 cifras. El juego consiste en que, por turno, uno de los jugadores escoge un número formado por 8 dígitos distintos y lo guarda en secreto. El otro le dice un número de 8 cifras y el primero revisa en cuántos dígitos y posiciones coincide, la cantidad de dígitos que coinciden serán toques y los que coinciden además en la posición serán famas. Por ejemplo: María escoge

10 879 354

Andrés dice

60 972 485

Entonces, Andrés tiene 4 toques y 2 famas.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Para conseguir que los y las estudiantes identifiquen la posición y el valor que representa un dígito (según su posición) en un número, es fundamental que recuerden lo que han aprendido sobre las características de nuestro sistema de numeración en años anteriores. Al respecto, puede mencionarles que es decimal y posicional. Además, recuérdeles que: • Una decena es una agrupación de 10 unidades. • Una centena es una agrupación de 10 decenas, es decir, 100 unidades. • Una unidad de mil es una agrupación de 10 centenas, es decir, 1000 unidades.

Gana el que descubra primero el número de su pareja, es decir, el que tenga 8 famas. (Habilidades que desarrolla: reconocer y analizar).

Ingresando a Recursos Digitales, en el octavo link podrán observar y comprender el significado que tiene el valor posicional de un número.

• Una decena de mil es una agrupación de 10 unidades de mil, es decir, 10 000 unidades. • Una centena de mil es una agrupación de 10 decenas de mil, es decir, 100 000 unidades. Unidad 1

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ACTIVIDAD INICIAL En la situación inicial se trabaja la descomposición aditiva a través de los billetes y monedas nacionales, ya que los y las estudiantes tienen un cierto manejo del dinero y esto permite que comprendan el tema y sea significativo para ellos. Puede pedirles que recorten de catálogos algunos productos y que, con dinero simulado, que pueden dibujar en hojas de bloc, trabajen diversas descomposiciones a través de la representación de estos precios. Otra actividad interesante es que jueguen al banco, para ello pueden conseguir boletas de depósito o de giro de libretas de ahorro, y con dinero simulado, algunos estudiantes serán los cajeros y otros los clientes del banco.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

1y2

Calcular.

Saber.

4y5

Calcular.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE ACTIVIDADES • En la primera actividad es importante poner atención en cómo componen los diferentes números. La dificultad que generalmente presentan los y las estudiantes se produce cuando en el número hay algunas posiciones ocupadas por ceros. En este caso, el o la docente puede proporcionar tarjetas con números o monedas y billetes simulados para realizar la actividad. • Antes de comenzar con la segunda actividad se sugiere plantear situaciones con billetes y monedas en un ámbito numérico menor. En estas, se debe plantear la necesidad de pagar cantidades utilizando solo billetes de $ 10 000 y $ 1000 y monedas de $ 100, $ 10 y $ 1. Se pueden presentar también situaciones que impliquen desafíos relacionados con la expresión de cantidades con la menor o mayor cantidad de billetes y monedas posible. • En la cuarta actividad se pueden presentar dificultades porque las cantidades están expresadas según su posición y no su valor. Si es así, la tabla de valor posicional utilizada anteriormente puede servir de apoyo.

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Texto para el Estudiante 18 y 19

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA Las actividades propuestas en el texto se pueden profundizar pidiéndoles que busquen en el diario tres cantidades de dinero: una entre cero y 100 000, otra en 100 000 y 1 000 000 y la última entre 1 000 000 y 10 000 000, y que a partir de esta información: a) señalen la manera de pagar estas cantidades con la menor cantidad de billetes de $ 10 000 y $ 1000 y monedas de $ 100, $ 10 y $ 1. b) señalen la manera de pagar estas cantidades con la menor cantidad de billetes y monedas, incluyendo los billetes de $ 20 000, $ 5000 y $ 2000 y las monedas de $ 500, $ 50 y $ 5. (Habilidades que desarrolla: clasificar y aplicar).

EVALUACIÓN FORMATIVA MI PROGRESO

• Para realizar la actividad cinco, el aprendizaje sobre la composición y descomposición debe estar bastante afianzado en los alumnos y alumnas, ya que si no es así, el buscar errores los puede llevar a confusión.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Para solucionar las dificultades que presentan los y las estudiantes para componer y descomponer grandes cantidades según su valor posicional, puede disminuir el ámbito numérico de la información y utilizar material concreto, para luego transferir esto a números con más de seis cifras. Si la dificultad tiene relación específicamente con la presencia de ceros en el número, presente a sus alumnos y alumnas variados números en los cuales el cero se encuentra en diferentes posiciones. Pídales que los descompongan aditivamente y que verifiquen si la suma corresponde con el número que se estaba descomponiendo, para lo cual pueden sumar los términos de la descomposición que realizaron.

Ítem

Habilidades que se evalúan

Aplicar.

Recordar.

Identificar.

Antes de realizar la actividad evaluativa presentada en MI PROGRESO, es importante explicar el significado de la palabra “dividendo” en el pago de una propiedad, para que logren comprender adecuadamente la situación planteada.

Ingresando a Recursos Digitales, en el primero, segundo y noveno links podrán ejercitar la composición y descomposición aditiva de un número. Se sugiere que luego ingresen a Actividades, en el primer recurso aplicarán la descomposición aditiva a través de una situación real. Unidad 1

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Representación de números naturales […] en la recta numérica y establecimiento de relaciones de orden.

ACTIVIDAD INICIAL En las actividades de estas páginas se debe poner énfasis en la construcción de la recta numérica, ya que es la tarea que seguramente involucrará mayor dificultad para los y las estudiantes. Antes de comenzar las actividades de estas páginas, puede mostrar cómo construir rectas numéricas ubicando fechas significativas para ellos (nacimiento, ingreso al colegio, nacimiento de hermanos, etc.).

EN EQUIPO Habilidades que se desarrollan Usar herramientas, evaluar, representar e identificar.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Representar.

Evaluar.

Justificar.

Comprobar.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES Se sugiere que luego de que cada pareja construya su recta y ubique los datos en ella (primera actividad), se invite a construir estas rectas numéricas en papelógrafos para ser expuestas frente a todo el curso. Lo ideal es que se den distintos tipos de rectas para esta misma actividad, que permitan discutir, comentar y explicar sobre las ventajas y desventajas de usar una u otra en diferentes situaciones. Si no es así, el o la docente debe promover la realización de otras rectas numéricas. Pídales que expliquen cómo construyeron la recta numérica pedida y cómo determinaron el punto de inicio y término y la graduación de esta.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO En 4º año Básico los y las estudiantes aprendieron a construir rectas numéricas, pero el procedimiento que utilicen puede no ser el más apropiado para construir rectas numéricas en las que debamos ubicar cantidades de más de seis dígitos. 52

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Texto para el Estudiante 20 y 21

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • Puede pedirles que a partir de la información presentada en la siguiente tabla sobre la cantidad de habitantes aproximada de algunos países de América Latina, realicen las siguientes actividades: País

Población

Chile

16 400 000

Colombia

46 800 000

Argentina

39 000 000

Ecuador

13 300 000

Perú

28 400 000

Fuente: Population Reference Bureau, 2006

a) Construye una recta numérica y ubica las cantidades en ella. b) ¿Cuál es el país con mayor población?, ¿y cuál tiene menor población? c) Ordena los países según su cantidad de habitantes. • A aquellos estudiantes que no tuvieron dificultades para construir las rectas con el ámbito numérico señalado, puede pedirles que construyan una recta con las distancias al Sol de los planetas (página 23 del texto). Para solucionar las dificultades que presentan sus estudiantes en la construcción de rectas numéricas, puede comenzar por ayudarles a identificar entre qué múltiplos de 10 se encuentra el conjunto de datos que se desea ubicar en la recta numérica. Por ejemplo, para los números 2 356 000, 2 450 000 y 2 490 0000 mencione que: • 2 356 000 se encuentra entre el 2 300 000 y 2 400 000 • 2 450 000 se encuentra entre el 2 400 000 y 2 500 000 • 2 490 000 se encuentra entre el 2 400 000 y 2 500 000 Luego, pídales que determinen el punto de inicio y término de la recta, que en este caso podría ser 2 000 000 y 2 500 000. Y, por último, la graduación de la recta, que en este caso podría ser de 100 000 en 100 000 Es importante considerar otras propuestas de los y las estudiantes y realizar las rectas correspondientes para que tomen conciencia de las ventajas y desventajas de usar una u otra, dependiendo de la situación.

Planetas

Distancia al Sol (km)

Marte

228 000 000

Mercurio

58 000 000

Venus

108 000 000

Urano

2 870 000 000

Tierra

149 000 000

Neptuno

4 497 000 000

Júpiter

778 000 000

Saturno

1 427 000 000

Fuente: Atlas de Chile y el mundo. 2007

(Habilidades que desarrollan: representar, comparar y clasificar).

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Representación de números naturales […] en la recta numérica y establecimiento de relaciones de orden.

ACTIVIDAD INICIAL En la actividad inicial de estas páginas es importante verificar si los y las estudiantes comprendieron el procedimiento para comparar dos o más cantidades. Guíe la conversación a través de la cual comentan los procedimientos que utilizaron para comparar las cantidades dadas.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

1y2

Clasificar.

Clasificar y evaluar.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • La actividad 2 requiere que los y las estudiantes pongan en juego los aprendizajes que han adquirido hasta el momento, ya que deben formar números con cierta cantidad de dígitos y con la exigencia de formar con ellos el menor o el mayor posible. Generalmente, la dificultad se encuentra en la formación de números con presencia de ceros. Los alumnos y alumnas pueden cometer el error de ubicar el cero en la primera posición de la izquierda para escribir numéricamente el menor número posible con los dígitos dados. • Es importante que dé el tiempo necesario a sus estudiantes para que discutan acerca de los procedimientos utilizados para ordenar y comparar las cantidades, y luego formalizarlos adecuadamente.

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Texto para el Estudiante 22 y 23

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • Para comprobar la comprensión del tema se sugiere que les pida a sus estudiantes que ordenen un grupo de números, como los que se muestran a continuación, de mayor a menor. Luego, que expliquen el procedimiento que utilizaron.

7 950 000 11 999 999 120 000 000 11 498 213 12 004 003 16 423 580 11 948 213 8 667 748 120 000 6 867 748

También puede pedirles que encuentren el menor número de 6 cifras, el mayor número de 7 cifras y el mayor número posible de 9 cifras que puedan formar, sin repetir ningún dígito.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Para conseguir que los y las estudiantes comparen y ordenen adecuadamente números de más de seis dígitos, es fundamental presentarles una gran variedad de situaciones en las cuales sea necesario comparar y ordenar cantidades. Para solucionar las dificultades que pueden presentar algunos estudiantes en este tema, puede pedirles que descompongan y luego compongan los números a comparar, utilizando material concreto como las tarjetas con números (dígitos y múltiplos de 10, 100, 1000, 10 000, 100 000, 1 000 000, etc.). En la página oficial del Instituto Nacional de Estadísticas (http://www.ine.cl/ine/canales/chile_estadistico/home.php) existe mucha y variada información sobre estadísticas de Chile, que se puede utilizar para actividades en clases o tareas. Es importante recordarles que Plutón dejó de ser considerado planeta del Sistema Solar, por la Asamblea de la Unión Astronómica Internacional (UAI) el año 2006. Por lo que ahora los planetas son ocho.

• Para aquellos estudiantes que no tienen dificultades para ordenar y comparar grandes cantidades se les puede motivar a construir 30 tarjetas de 5 cm por 7 cm y en cada una de ellas escribir un número con hasta 9 cifras. Luego, con un compañero o compañera juegan de la siguiente manera: a la cuenta de tres, cada uno de ellos da vuelta una tarjeta sobre el escritorio mostrando el número escrito. Aquel que muestra la tarjeta con el número mayor gana ambas tarjetas. Gana el que junta mayor cantidad de tarjetas. (Habilidades que desarrollan: clasificar y conectar).

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Cálculo mental, escrito y empleo de la calculadora u otra herramienta tecnológica de adiciones, sustracciones […] de números naturales de más de seis cifras a partir de la generalización de los procedimientos conocidos.

ACTIVIDAD INICIAL A partir de los datos de la tabla que se presenta en la situación inicial puede realizar, además, preguntas como las siguientes: a) ¿Cuál es la diferencia aproximada entre la cantidad de bicicletas y motos en el año 2002? b) ¿Cuántas personas aproximadamente usaron algún tipo de vehículo en el año 2002? A partir de las respuestas dadas se sugiere analizar la importancia de la diferencia producida entre el valor exacto y el aproximado e invitar a sus estudiantes a plantear situaciones que involucren pequeñas y grandes cantidades en las que sea o no factible redondear las cantidades y estimar resultados.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

1y2

Aplicar y calcular.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES 3

Evaluar.

Aplicar y calcular.

Antes de comenzar las actividades presentadas en la sección EN TU CUADERNO, se sugiere explicar que estimar se refiere a hacer un cálculo “a ojo” y que redondear es una forma de aproximar, otra es truncar, que consiste en considerar los dígitos que están hasta la posición que se desea aproximar y transformar los dígitos ubicados a la derecha de esta posición en ceros. Por ejemplo, al aproximar el número 134 546 700 a la decena de millón, obtenemos: • por redondeo: 135 000 000

• por truncamiento: 134 000 000

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Para conseguir que los y las estudiantes redondeen cantidades y estimen resultados según el contexto dado, es fundamental que el o la docente presente variadas situaciones en las cuales los alumnos y alumnas deban decidir a qué nivel de aproximación es más conveniente redondear las cantidades y estimar los resultados, según la situación dada. 56

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Texto para el Estudiante 24 y 25

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • Para reforzar el tema se puede utilizar la siguiente tabla que muestra la cantidad de hombres y mujeres en 1992 y 2002 (pág. 15 del texto).

Censo

Nº de hombres

Nº de mujeres

1992

6 533 254 6 795 147

2002

7 447 695 7 668 740 Fuente: www.ine.cl

A partir de estos datos pídales que redondeen, al nivel de aproximación que consideren conveniente, cada una de las cantidades y que luego respondan: a) ¿Cuál es la diferencia entre la cantidad de hombres y mujeres en 1992? b) ¿Cuántas personas había en el año 1992?, ¿y en el 2002? c) ¿Cuál es la diferencia entre la cantidad de personas en 1992 y 2002? Luego, pídales que comenten el procedimiento que utilizaron para redondear.

EVALUACIÓN FORMATIVA Las actividades que se plantean en la sección MI PROGRESO, permiten evaluar los aprendizajes de los y las estudiantes respecto a ubicación de cantidades en la recta numérica, orden y comparación de cantidades y redondeo. Para solucionar las dificultades que los y las estudiantes tengan para redondear grandes cantidades, se sugiere disminuir el ámbito numérico y reforzar el procedimiento utilizado. Luego, aumentar nuevamente el ámbito numérico sin dejar de utilizar un apoyo gráfico como la recta numérica.

MI PROGRESO Ítem

Habilidades que se evalúan

Analizar.

Calcular.

Representar.

• Para los y las estudiantes que no presentan dificultades para redondear y estimar cantidades se sugiere presentarles como desafío que mencionen situaciones en las que es necesario redondear y estimar resultados y otras en que no. (Habilidades que desarrollan: clasificar y justificar).

Ingresando a Recursos Digitales, en el décimo link podrán reforzar el redondeo, respecto a diferentes cifras decimales, de un mismo número.

Unidad 1

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ACTIVIDAD INICIAL En la situación con que se inicia este tema, se sugiere que converse con sus alumnos y alumnas sobre la estrategia planteada y la posibilidad de ser usada cuando se trabaja con grandes números.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

1, 2, 3 y 4

Calcular.

Aplicar.

Calcular.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En la actividad 1, es importante que promueva la comprobación de la suma y la diferencia, a través del proceso inverso. • En la actividad 2, es probable que los y las estudiantes presenten dificultades porque no se trata de términos desconocidos, sino que de dígitos incógnitos. La dificultad es mayor si se debe reagrupar o hacer canjes. • Si tienen dificultades para encontrar el término que falta en las actividades 4 y 5, ayúdelos disminuyendo el ámbito numérico. Por ejemplo: para saber cómo calcular el término desconocido en 3 497 819 + = 14 079 615, les preguntamos ¿5 más cuánto es 7? Sus estudiantes responderán: “2”. Pregúnteles: ¿cómo lo supieron?, ¿el 2 es el resultado de qué operación? El objetivo es que puedan transferir el procedimiento utilizado en una situación con números con baja cantidad de cifras a otros con más de seis cifras. • En la actividad 6 se debe cuidar que resuelvan primero las operaciones que están entre paréntesis, de lo contrario llegarán a un resultado incorrecto. 58

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Texto para el Estudiante 26 y 27

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • Para solucionar las dificultades que pueden presentar los y las estudiantes al resolver situaciones que impliquen sumar y restar grandes números o descubrir términos desconocidos, se sugiere plantear situaciones similares, pero con un ámbito numérico menor para afianzar los procedimientos adecuados y, luego, plantear situaciones variadas que planteen la necesidad de operar con grandes cantidades, como las siguientes: a) La suma de dos números es 4 670 987, si uno de los sumandos es 511 294, ¿cuánto es el otro sumando? b) La diferencia de dos números es 8 343 999, y el minuendo es 10 250 900, ¿qué valor tiene el sustraendo? c) La familia Moreno recibió por una herencia $ 38 560 000. Con este dinero desean comprarse una casa y guardar el resto para los estudios universitarios de sus hijos. Si la casa tiene un valor de $ 24 580 000, ¿cuánto dinero les quedaría para la universidad? (Habilidades que desarrollan: calcular y aplicar).

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Si los y las estudiantes no logran resolver adiciones y sustracciones reagrupando, o no pueden hallar el término desconocido, es necesario volver a disminuir el ámbito numérico y asegurarse que recuerden que: • para resolver una adición o sustracción en forma vertical, se deben hacer coincidir los dígitos que ocupan la misma posición en cada término; • en la sustracción de números naturales, el primer término llamado minuendo debe ser mayor que el segundo, el sustraendo; • si en una adición se conoce un sumando y la suma, para descubrir el sumando desconocido se puede restar la suma y el sumando conocido; • si en una sustracción se conoce el minuendo y la diferencia, para descubrir el sustraendo se debe restar el minuendo y la diferencia; • si en una sustracción se conoce el sustraendo y la diferencia, para descubrir el minuendo se debe sumar el sustraendo y la diferencia.

• A modo de desafío, se les puede plantear situaciones combinadas, en las cuales se deba resolver más de una operación para encontrar la respuesta. (Habilidad que desarrolla: aplicar).

Ingresando a Recursos Digitales, en el tercer, cuarto, quinto, sexto y séptimo links podrán aplicar la operatoria en diferentes ejercicios y problemas. Se sugiere que luego ingresen a Actividades, en el segundo recurso podrán practicar el cálculo mental que facilitará el cálculo con números más grandes. Unidad 1

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EN EQUIPO Actividad

Habilidad que se desarrolla

1y2

Aplicar.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Para realizar la actividad de la sección EN EQUIPO, los integrantes de cada grupo pueden asignarse roles como los siguientes: - Coordinador(a): lidera el trabajo en grupo y cuida que se cumplan los objetivos. - Controlador(a) del tiempo: cuida que las actividades se cumplan en el tiempo establecido. - Expositor(a): resume los aprendizajes del grupo y los comparte con sus demás compañeros y compañeras. Pida que evalúen su trabajo en relación al aporte que realizó cada uno para el desarrollo de la actividad y sugiérales que cada integrante adquiera un compromiso para mejorar su desempeño en la próxima actividad a realizar en equipo. • En las actividades de la sección ESTRATEGIA MENTAL, se espera que los y las estudiantes comprendan y apliquen una estrategia de cálculo mental aprendida en situaciones diferentes. Es importante que expliquen con sus palabras las 60

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Texto para el Estudiante 28 y 29

ESTRATEGIA MENTAL Actividad

Habilidad que se desarrolla

1, 2, 3, 4 y 5

Calcular.

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA Para reforzar los temas tratados, puede pedir a sus estudiantes que redondeen a la unidad de millón los términos de cada ejercicio que se presenta a continuación, y que luego calculen mentalmente el resultado. a) 5 767 900 + 9 056 900 b) 14 679 200 – 10 766 900 c) 25 783 000 + 16 783 100 d) 97 341 300 – 71 812 800 e) 109 558 012 + 57 815 500 Luego pídales que justifiquen el procedimiento utilizado y que comenten respecto del nivel de aproximación utilizado. (Habilidad que desarrolla: calcular).

estrategias presentadas para que sean conscientes de ellas y puedan aplicarlas en otras situaciones. Junto con las actividades planteadas en el Texto, puede organizar juegos grupales. Por ejemplo, pueden fabricar pizarras de cálculo mental forrando un trozo de cartulina con papel plástico, las que les servirán para escribir con plumón para pizarra sus resultados y utilizarlas para realizar competencias de cálculo mental.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Para solucionar las dificultades para calcular mentalmente los resultados exactos o aproximados de adiciones y sustracciones, se sugiere incentivarlos a hacer uso de estas estrategias continuamente, graduar la dificultad de los cálculos y propiciar actividades diarias en las cuales sus estudiantes tengan la necesidad de aplicar las estrategias de cálculo mental.

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Verificación de expresiones que usan letras o símbolos para representar propiedades de las operaciones (conmutatividad, asociatividad y existencia del elemento neutro en la adición […]), mediante la sustitución de las variables por números.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidad que se desarrolla

1y2

Calcular.

HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Actividad

Habilidad que se desarrolla

a, b, c y d

Usar herramientas.

ACTIVIDAD INICIAL Las preguntas de la sección PARA DISCUTIR tienen como propósito que los alumnos y alumnas descubran las propiedades conmutativa, asociativa y del elemento neutro de la adición, a partir de los datos presentados en la situación inicial. En esta actividad, se pone mayor énfasis en el razonamiento y no en el procedimiento de cálculo. Se sugiere, por esto, que los y las estudiantes utilicen la calculadora o apliquen el redondeo de las cantidades para obtener los resultados, permitiendo centrar su atención en el empleo de la Matemática y en el análisis de la situación presentada.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES En la primera actividad, a partir del cálculo de adiciones y sustracciones, los y las estudiantes deben ser capaces de reconocer la relación existente entre las columnas de igual color y expresar la propiedad que corresponda. La dificultad radica en que se integran expresiones con letras, y deben sustituir cada letra por un valor numérico. Guíelos para que a partir de los resultados obtenidos puedan establecer que:

a+b=b+a a+0=a

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(a + b) + c = a + (b + c) 0+b=b

c+0=c

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Texto para el Estudiante 30 y 31

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA Para reforzar las propiedades trabajadas, pídales que resuelvan los ejercicios que se presentan a continuación considerando que a = 67 235 830, b = 13 569 012 y c = 51 679 012. a) a + b = b + a b) b + c = b + c c) a + c = c + a d) (a + b) + c = a + (b + c) = (a + c ) + b e) a + 0 = a f) 0 + b = b g) c + 0 = c Luego, pídales que identifiquen qué propiedad se verifica con cada ejercicio. (Habilidades que desarrolla: calcular e identificar).

EVALUACIÓN FORMATIVA MI PROGRESO

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Para que los alumnos y alumnas logren comprender las expresiones algebraicas utilizadas para representar las propiedades de las operaciones, es importante que oriente la reflexión de sus estudiantes hacia la posibilidad de utilizar letras para representar los números naturales, mencionando que se suelen usar las letras a, b, c,… aunque se puede tomar cualquier letra del abecedario. Del mismo modo, para lograr que los y las estudiantes comprendan y apliquen las propiedades de la adición, dé oportunidades para que las verifiquen con números en variadas situaciones y pídales que las expliquen con sus palabras. Es recomendable, además, pedir a los alumnos y alumnas que ejemplifiquen a través de situaciones concretas el uso de estas propiedades en los cálculos que se realizan de forma cotidiana, por ejemplo, para la propiedad de la conmutatividad de la adición, por ejemplo: la suma de kilómetros de un viaje en tren con una parada es igual a la suma del viaje tanto de ida como de vuelta.

Ítem

Habilidades que se evalúan

Evaluar.

Identificar.

Aplicar.

Las actividades planteadas en MI PROGRESO permiten comprobar que los y las estudiantes pueden calcular adiciones y sustracciones, aplicando las propiedades aprendidas y comparar los resultados. Incentívelos a justificar sus respuestas, ya que es una excelente manera de conocer el nivel de profundidad de sus aprendizajes.

Unidad 1

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Resolución de problemas referidos a contextos diversos haciendo uso de las operaciones de adición, sustracción […] de números naturales […], enfatizado en habilidades relacionadas con la búsqueda de la información necesaria para su solución, la planificación y puesta en práctica de estrategias de solución y la interpretación y evaluación de los resultados obtenidos en relación al contexto. BUSCANDO ESTRATEGIAS Actividad

Habilidades que se desarrollan

Aplicar y verificar.

2y3

Seleccionar, aplicar y verificar.

La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en toda la unidad; sin embargo, en estas páginas se presenta una estrategia de resolución específica para que los y las estudiantes la aprendan, la practiquen en otros problemas y luego busquen otras estrategias distintas, considerando los siguientes pasos: • Comprender. • Resolver.

INDICADORES DE LOGRO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

• Planificar.

A continuación se presentan diferentes indicadores de logro que puede utilizar para evaluar la resolución de los problemas planteados.

• Revisar.

Logro, aplicación Comprensión del problema o situación

Comprensión de conceptos

Verificación de resultados y/o progreso 64

Guía didáctica Matemática 5

• Puede expresar en sus propias palabras o interpretar coherentemente el problema. • Comprende las condiciones principales. • Identifica la información necesaria. • Tiene una idea acerca de la respuesta. • Aplica correctamente reglas o algoritmos cuando usa símbolos. • Conecta cómo y por qué. • Aplica el concepto a problemas o a situaciones nuevas. • Hace y explica conexiones. • Realiza lo pedido y va más allá. • Chequea racionalidad de los resultados. • Reconoce sin razones.

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Texto para el Estudiante 32 y 33

ORIENTACIONES PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Para evitar o solucionar las dificultades respecto a la resolución de problemas, se sugiere acompañar a sus estudiantes en el proceso. Observe que: • Señalen la información numérica que está presente en la situación. • Identifiquen la información necesaria para resolver la situación. • Indiquen qué se debe averiguar. • Decidan cómo lo averiguarán. • Apliquen la estrategia que decidieron utilizar. • Verifiquen que la respuesta obtenida sea pertinente al contexto del problema. De forma complementaria, puede pedir a los alumnos y alumnas que, una vez que hayan resuelto los problemas y revisado sus procedimientos, comprueben sus resultados utilizando la calculadora, especialmente en aquellos que requieren efectuar cálculos con grandes números.

Fuente: http://www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm

En proceso, logro parcial

No comprende

• Copia el problema. • Identifica palabras clave. • Puede que mal interprete parte del problema. • Puede que tenga alguna idea acerca de la respuesta. • Demuestra un entendimiento parcial o satisfactorio. • Puede demostrar y explicar usando una variedad de modos. • Está listo para hacer conexiones acerca de cómo y por qué. • Relaciona el concepto con conocimientos y experiencias anteriores. • Realiza las tareas cada vez con menos errores.

• No entiende el problema. • Entiende mal el problema. • Como rutina pide explicaciones.

• Revisa cálculos y procedimientos. • Puede investigar razones si existen dudas.

• No revisa cálculos ni procedimientos. • No reconoce si su respuesta es o no razonable.

• No modela los conceptos rutinarios correctamente. • No puede explicar el concepto. • No intenta resolver el problema. • No hace conexiones.

Unidad 1

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CONEXIONES Actividad

Habilidades que se desarrollan

Identificar.

Analizar.

Analizar y clasificar.

Predecir.

Recopilar y evaluar.

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA Una actividad interesante sería que, en grupos, confeccionaran una encuesta para saber entre las personas cercanas quién tiene teléfono celular, qué uso le dan y cuánto gastan mensualmente en él. Se recomienda que la encuesta tenga al menos 6 preguntas cerradas, para que sea más fácil analizar los resultados y que se la apliquen al menos a 30 personas de su entorno cercano. Luego, que presenten su trabajo al curso, indicando las dificultades que tuvieron para realizar la actividad y cómo las superaron. (Habilidad que desarrolla: analizar).

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES Se sugiere que converse con los alumnos y alumnas sobre las fuentes que utilizamos para obtener información sobre un tema determinado, como, por ejemplo: libros, revistas, radio, televisión, Internet, etc., ya que muchas fuentes bibliográficas pueden presentar información poco actualizada o incorrecta. Esta actividad de actualidad puede ser un buen momento para discutir sobre temas importantes que nos afectan como país. En este caso en particular, sería interesante centrar la conversación en lo importante que es en la vida actual el mantenerse comunicado y en el buen uso que se le puede dar a la telefonía celular.

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Texto para el Estudiante 34 y 35

SÍNTESIS Actividad

Habilidades que se desarrollan

1y2

Relacionar y clasificar

Concluir.

SUGERENCIAS RESPECTO DE LA SÍNTESIS DE LA UNIDAD

TÉCNICAS DE ESTUDIO Otra técnica de estudio que permite a los y las estudiantes organizar sus conocimientos es la construcción de mapas conceptuales. Estos tienen como objeto representar relaciones significativas entre conceptos en forma de proposiciones y como herramienta visual; permite a los alumnos y alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los y las estudiantes desarrollan diversas habilidades, consolidan y clarifican sus aprendizajes de la unidad, son ideales para medir el desarrollo del aprendizaje en un estudiante. A medida que los y las estudiantes crean mapas conceptuales, pueden reproducir ideas utilizado sus propias palabras. Los enlaces mal dirigidos o conexiones equivocadas alertan a los y las docentes sobre las áreas que el o la estudiante no ha comprendido aún.

El resumen permite a los y las estudiantes la detección rápida de los contenidos y conceptos más importantes para aprender, a través de las ideas principales y las relaciones entre las mismas; además, facilita que recuerden lo aprendido de manera secuenciada y organizada. En esta página se espera que los alumnos y alumnas hagan un resumen –que es una versión breve del contenido trabajado– que presenta de forma organizada los conceptos fundamentales a través de ideas principales, y que escriban un ejemplo. Para que hagan un buen resumen sugiérales que en la unidad trabajada: • Subrayen las palabras clave, conceptos importantes o ideas principales. • Hagan una lista de las ideas principales que seleccionaron. • Escriban lo subrayado, pero formando frases completas con sentido. • Redacten una versión breve del tema, tratando de que las ideas principales del mismo estén relacionadas. • Revisen el resumen e incluyan las ideas principales y relaciones que no hayan establecido anteriormente.

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EVALUACIÓN SUMATIVA Los ejercicios y problemas presentados en esta sección permiten evaluar los aprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la unidad, para su corrección puede utilizar los indicadores que se presentan a continuación. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8) se considera: Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas. Logrado, si contesta correctamente 6 ó 7 preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente 4 ó 5 preguntas. No logrado, si contesta correctamente menos de 4 preguntas.

¿QUÉ APRENDÍ? Ítem

Habilidades que se evalúan

Reconocer.

2y3

Identificar.

Aplicar.

Clasificar.

Calcular.

Seleccionar.

Calcular.

Representar y calcular.

Calcular.

El Hipertexto presenta una Autoevaluación con preguntas tipo SIMCE, las que aparecerán en forma aleatoria. Los alumnos y alumnas deberán marcar la opción correcta y al finalizar, tendrá un recuadro que le entregará criterios para autoevaluar sus resultados. Se sugiere que la realicen antes de la sección ¿QUÉ APRENDÍ? 68

Guía didáctica Matemática 5

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En los ejercicios 1 a 8, la información que entrega la respuesta del estudiante es limitada, ya que sin desarrollo es difícil saber cuál es el error que comete, que puede ser por falta de conocimiento o equivocación al marcar la alternativa, entre otras. Para mejorar este inconveniente, en los ítemes de selección múltiple, se sugiere pedir a los y las estudiantes que realicen algún tipo de desarrollo en cada pregunta, pues de este modo podemos detectar en qué se están equivocando y podemos ayudarlos. • En los problemas 9, 10 y 11, ocurre algo similar, ya que varios estudiantes podrían contestar algunas preguntas sin realizar un desarrollo escrito, situación que dificulta la detección de errores. Por ello también se sugiere pedirles que resuelvan cada problema, mostrando los pasos que siguieron para llegar a la solución.

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Texto para el Estudiante 36 y 37

El Hipertexto presenta una autoevaluación imprimible que los y las estudiantes pueden utilizar para preparar la evaluación de la unidad, o bien puede utilizarla con los alumnos y alumnas que tuvieron un desempeño inferior al esperado para reforzar sus aprendizajes y clarificar sus dudas. EVALUACIÓN FOTOCOPIABLE En las páginas siguientes se presenta una evaluación fotocopiable que usted puede fotocopiar y utilizar como evaluación sumativa de la unidad. Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas en la unidad de números naturales, y con esta información seguir determinadas líneas de acción; por ejemplo, volver a enseñar un contenido o realizar una actividad adicional, para que adquieran todos los aprendizajes que se pretendían con el desarrollo de esta unidad. El tiempo estimado para la realización de la prueba es 40 minutos. Este tiempo puede ser modificado, según las características de sus estudiantes. Para que la evaluación le permita calificar a sus estudiantes, se sugiere utilizar la pauta que se presenta a continuación. Ítem

Habilidades que se evalúan

Puntaje

Total

Identificar, calcular, recordar y clasificar.

2 puntos cada una.

16 puntos

Calcular.

2 puntos cada una.

4 puntos

III

Calcular y analizar.

2 puntos el redondeo y 2 puntos la explicación.

4 puntos

Conectar y justificar.

2 puntos la respuesta correcta y 2 puntos el procedimiento utilizado.

4 puntos

Aplicar.

2 puntos la respuesta correcta y 2 puntos la explicación.

2 puntos

Interpretar.

3 puntos cada una.

6 puntos

VII

Formular.

2 puntos cada parte.

8 puntos

Puntaje total de la evaluación

44 puntos Unidad 1

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EVALUACIÓN NÚMEROS NATURALES Nombre:

Curso: 5°

Fecha:

Puntaje:

Nota:

I. Marca la alternativa correcta. 1. ¿Cuál es la escritura correcta del número 42 276 805? A. Cuarenta y dos mil millones doscientos setenta y seis mil ochocientos cinco. B. Cuarenta y dos millones doscientos setenta y seis mil ochocientos cinco. C. Cuarenta y dos millones doscientos setenta y seis mil ochocientos cincuenta. D. Cuarenta y dos millones doscientos setenta y seis mil ochocientos cinco mil. 2. ¿Cuál es el mayor número de ocho cifras que se puede formar con los dígitos: 5, 2, 9, 4, 8, 3, 6 y 7, sin repetir ninguno? A. 94 378 652 B. 97 856 243 C. 97 865 243 D. 98 765 432

5. El número 7 043 801 se puede descomponer como: A. 7 UMi,4 DM, 3 UM, 8 C y 1 U. B. 7 UMi, 4 CM, 3 UM, 8 C y 1 U. C. 7 UM, 4 DM, 3 UM, 8 D y 1 U. D. 7 UM, 4 DM, 3 UM, 8 C y 1 D. 6. ¿Cuál de los siguientes números es el mayor? A. 9 999 999 B.10 000 000 C.13 987 765 D.13 789 765 7. ¿Qué número es menor que 21 000 100? A. 21 100 100 B. 21 000 101

3. En el número 2 456 987 000, el dígito 2, ¿a cuántas unidades equivale? A. Dos mil millones de unidad.

C. 21 001 000 D. 21 000 010

B. Dos millones de unidad. C. Dos mil unidades. D. Dos centenas de unidad. 4. El número que corresponde a la descomposición: 4 000 000 + 300 000 + 2 000 + 70, es: A. 4 300 207 B. 43 002 070 C. 4 320 070 D. 4 302 070

Guía didáctica Matemática 5

8. ¿Cuál de los siguientes números está entre 9 999 890 y 10 000 000? A. 9 999 790 B. 9 899 999 C. 9 999 990 D. 9 998 990

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II. Resuelve los siguientes ejercicios. a)12 456 767 + 234 675

b) 21 768 765 – 234 675

III. Explica, paso a paso, cómo redondearías el número 32 657 820 a la decena de millón.

IV. El dígito de la unidad de millón de un número es 5, el de la centena de mil es mayor en uno que el de la unidad de millón. El dígito de la decena de mil es igual al de la decena y es cero. El dígito de la unidad es tres veces 1, el de la centena es menor en 1 que el de la unidad y, por último, el dígito de la unidad de mil es el triple que el de la unidad. ¿Cuál es el número? Explica paso a paso cómo lo descubriste.

V. El diámetro de la Tierra es de aproximadamente 12 756 000 metros y el de Marte, de 6 786 000 metros. ¿Cuántos metros más tiene el diámetro de la Tierra que el de Marte? Explica cómo lo resolviste.

VI. Explica con tus palabras las propiedades de la adición representadas con las siguientes expresiones y da un ejemplo numérico en cada caso. Considera que a, b y c son números naturales. a+b=b+a

(a + b) + c = a + (b + c)

VII. Inventa un problema que pueda ser resuelto con operatoria combinada de números enteros y resuélvelo de acuerdo a los siguientes pasos: a) Escribe el problema. b) Identifica los datos del problema: ¿qué sabes de él?, ¿qué debes encontrar?, ¿cómo lo resolverás? c) Resuelve el problema. d) Responde el problema y verifica la solución encontrada.

Unidad 1

Guía 5º U2

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UNIDAD

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Múltiplos, divisores y operaciones Propósito de la unidad El trabajo de esta unidad está orientado a que las alumnas y los alumnos sean capaces de resolver situaciones que implican el reconocimiento de los múltiplos, divisores y factores primos, y el cálculo de multiplicaciones y divisiones con números naturales. Para lograrlo se proponen variadas situaciones cuyo énfasis radica en el análisis y en el establecimiento de regularidades. A continuación se presenta un cuadro que vincula los Contenidos Mínimos Obligatorios, los aprendizajes esperados de la unidad y los indicadores, que le permitirán evaluar el aprendizaje de sus estudiantes.

Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO)

Aprendizajes esperados

Indicadores

• Determinar múltiplos, divisores y factores primos de números naturales. • Analizar descomposiciones de números naturales en factores primos, formulando y verificando sus propiedades.

• Identifican los múltiplos de un número. • Identifican los factores de un número como sus divisores. • Descomponen números en sus factores primos. • Identifican el mínimo común múltiplo de dos o más números. • Identifican el máximo común divisor entre dos o más números.

Cálculo mental, escrito y empleo de la calculadora u otra herramienta tecnológica de multiplicaciones y divisiones de […] números naturales de más de 6 cifras a partir de la generalización de los procedimientos conocidos.

Utilizar procedimientos de cálculo mental, escrito y empleando herramientas tecnológicas para efectuar multiplicaciones y divisiones con números naturales.

• Calculan por escrito productos, a partir de procedimientos ya conocidos. • Calculan por escrito cocientes y restos, con divisores de una o dos cifras, a partir de procedimientos ya conocidos. • Descomponen números como estrategia mental de cálculo de productos y cocientes.

Verificar expresiones que usan letras o símbolos para representar propiedades de las operaciones mediante la sustitución de las letras o símbolos por números.

• Usan letras o símbolos para representar propiedades de la multiplicación y sustituyen las letras o símbolos por números.

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Resolver situaciones problemáticas en diversos contextos haciendo uso de las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división, y de las propiedades de los números.

• Resuelven situaciones problemáticas que implican usar operaciones combinadas. • Resuelven situaciones que implican aplicar sus conocimientos sobre las propiedades de los números.

Relación entre los aprendizajes de la unidad y los de otros años

3º y 4º Básico

5º Básico

• Comprender que la multiplicación y la división con números naturales constituyen operaciones que permiten representar matemáticamente una amplia gama de situaciones, emplearlas en la resolución de problemas, reconocer y aplicar algunas de sus propiedades, y efectuar cálculos mentales y escritos. • Emplear herramientas tecnológicas para efectuar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con números naturales, y utilizar el redondeo para estimar y evaluar resultados. • Formular afirmaciones y aplicar las habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en contextos familiares que requieren el uso de los contenidos del nivel y que contribuyan a afianzar la confianza en la propia capacidad para resolver problemas. • Utilizar procedimientos de cálculo mental, escrito y emplear herramientas tecnológicas para efectuar multiplicaciones y divisiones de números naturales. • Interpretar expresiones matemáticas en que se emplean letras para representar números o cantidades variables en diversos contextos significativos. • Reconocer múltiplos, divisores y factores primos de números naturales, y formular y verificar conjeturas acerca de propiedades de números naturales a partir del análisis de descomposiciones en factores primos. • Utilizar procedimientos de cálculo mental, escrito o emplear herramientas tecnológicas para efectuar multiplicaciones y divisiones de números naturales de más de 6 cifras a partir de la generalización de los procedimientos conocidos. • Formular y verificar conjeturas simples y aplicar las habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en contextos diversos que requieren el uso de los contenidos del nivel.

6º Básico

• Utilizar procedimientos de cálculo mental, escrito o empleo de herramientas tecnológicas para efectuar multiplicaciones y divisiones de fracciones positivas y de números decimales positivos. • Comprender el significado de potencias de base natural y exponente natural, multiplicar y dividir por potencias de 10, y aplicar la notación de potencias en situaciones diversas. • Emplear propiedades de las operaciones para encontrar el valor desconocido en ecuaciones de primer grado con una incógnita en el ámbito de los números naturales. • Formular conjeturas, verificar proposiciones simples y aplicar habilidades del proceso de resolución de problemas en contextos diversos utilizando los contenidos del nivel.

7º Básico

• Interpretar potencias de exponente natural y cuya base es un número fraccionario o decimal positivo y potencias de 10 con exponente entero, efectuar multiplicaciones con este tipo de potencias y aplicarlas en situaciones diversas. • Resolver problemas referidos a diversos contextos por medio de ecuaciones de primer grado con una incógnita, en el ámbito de los números naturales, fracciones o decimales positivos y en las que es necesario reducir las expresiones involucradas. • Emplear formas simples de modelamiento matemático, aplicar habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en contextos diversos utilizando los contenidos del nivel, y analizar la validez de los procedimientos utilizados y de los resultados obtenidos.

Unidad 2

Guía 5º U2

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Esquema de la unidad Números naturales ALGUNAS

TIENEN

SE PUEDEN DESCOMPONER EN

Operaciones aritméticas

Múltiplos

Divisores

Mínimo común múltiplo

Máximo común divisor

Factores primos SON SON OPERACIONES INVERSAS

Multiplicación

División

SE UTILIZAN EN LA

SUS TÉRMINOS SON

SU RESULTADO SE LLAMA

Factores

Producto

SUS TÉRMINOS SON

Dividendo

Divisor

SU RESULTADO SE LLAMA

Cociente

Resolución de problemas

Errores frecuentes Errores frecuentes

Cómo subsanarlos

Los alumnos y alumnas presentan dificultad para determinar los factores de un número dado.

Se sugiere que los y las estudiantes construyan y utilicen una tabla pitagórica, donde busquen los factores de un número dado, al identificarlo en las columnas y filas de la tabla.

Los alumnos y alumnas presentan dificutad para determinar los divisores de números mayores que 100.

Se recomienda que utilicen la calculadora para efectuar divisiones que les permitan determinar los divisores a partir del ensayo y error. Luego, deben revisar sus resultados a partir de la utilización de los criterios de divisibilidad.

Al determinar números primos suelen considerar que todos los números impares son primos y que ningún número par lo es.

Para evitar este error se les puede pedir que identifiquen los factores de 9 y 15, por ejemplo, enfatizando a través de estos ejemplos concretos que no todos los números impares son primos. Así mismo, se debe destacar que el 2 es el único número par que es primo porque solo tiene como factores el 1 y a sí mismo. Pídales que verifiquen esta situacion a partir de varios ejemplos de números pares, oriéntelos al establecimiento de conclusiones.

Guía didáctica Matemática 5

Guía 5º U2

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BIBLIOGRAFÍA • Riveros, Marta; Zanocco, Pierina; Cunde, Veerle; León, Ivette. Resolver problemas matemáticos: una tarea de profesores y alumnos. Proyecto Fondecyt 1990. Año 2002, Chile. • Cofré, Alicia; Tapia, Lucila. Cómo desarrollar el razonamiento lógico matemático. Editorial Universitaria, 2003. Chile. • Parra, Cecilia; Sáiz, Irma. Didáctica de matemáticas. Aportes y reflexiones. Editorial Paidós Educador. Décima reimpresión, 2005. Buenos Aires, Argentina. • Sitios : http://www.aaamatematicas.com http://www.educarchile.cl/ntg/mistareas/1607/propertyvalue-39555.html http://www.rena.edu.ve/SegundaEtapa/matematica/numeroprimos.html Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.

Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos En esta unidad se inicia el estudio de los números primos, entendidos como un subconjunto de los números naturales que incluye todos los números mayores que 1 que son divisibles exclusivamente por sí mismos y por 1, estableciendo además que cualquier número natural compuesto siempre puede representarse como un producto de números primos, representación que es única. Este subconjunto tiene infinito número de elementos, lo cual ha sido demostrado por diversos métodos. Euclides (330 a. C.–275 a. C.) fue quien descubrió la infinitud de los números primos, alcanzado la teoría de números en Grecia su máximo desarrollo. Puede obtener más información sobre los números primos visitando el sitio: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/16-2-o-primos.html Para el trabajo en esta unidad es importante recordar que: Los múltiplos de un número: • Contienen a dicho número una cantidad exacta de veces. • Se obtienen multiplicando dicho número por los sucesivos números cardinales. Ejemplo Múltiplos de 3: 0, 3, 6, 9, 12,... Propiedades de los múltiplos • Cualquier número es múltiplo de sí mismo. • Cualquier número es múltiplo de 1. • La suma de dos múltiplos de un número es también múltiplo de ese número. • Si al menos uno de los factores en una multiplicación es múltiplo de un número, el producto también lo es. Los divisores de un número son aquellos que lo dividen en forma exacta. Ejemplo Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8,12 y 24 Propiedades de los divisores • Todo número es divisor de sí mismo. • El número 1 es divisor de cualquier número. • Un número natural que es divisor de dos números es también divisor de su suma. • Si un número natural es divisor de al menos uno de los factores de una multiplicación, también lo es del producto.

BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA DE NÚMEROS PRIMOS • Du Sautoy, Marcus. La música de los números primos: el enigma de un problema matemático abierto. Traducción de Joan Miralles de Imperial Llobet. Barcelona: Acantilado, 2007. • Thio de Pol, Santiago. Primos o algunos dislates sobre números. Madrid: Alhambra, 1977.

Unidad 2

Guía 5º U2

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Página 76

En estas páginas se espera motivar a los y las estudiantes, poniéndolos en contacto con una situación multiplicativa de la vida cotidiana, en la que deban realizar cálculos, estimar valores y explicar los procedimientos utilizados. Se debe promover que los alumnos y alumnas reconozcan la Matemática como parte de situaciones reales y concretas, y que valoren los procedimientos de sus compañeros y compañeras.

ACTIVIDAD INICIAL Puede realizar junto a sus alumnos y alumnas una lluvia de ideas con todos los conceptos, ideas y procedimientos que se asocian al título de la unidad. Es recomedable que oriente la actividad hacia la exploración de los conocimientos que los y las estudiantes tienen en torno a los conceptos de multiplicación y división. Además, puede pedir que planteen situaciones en las cuales es necesario utilizar estas operaciones.

INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA PARA DOCENTES En NB2, los y las estudiantes reconocieron la multiplicación y división como modelos matemáticos a través de los cuales es posible obtener información desconocida a partir de información conocida. Estas se presentaron asociadas a diversas situaciones, destacándose la relación inversa entre ellas, se trabajaron estrategias de cálculo mental y escrito de productos y cocientes orientados a desarrollar su capacidad de utilizar estas operaciones para resolver situaciones de la vida diaria. En estas páginas se espera activar los conocimientos y experiencias previas de los y las estudiantes, promoviendo que resuelvan la situación presentada a partir de la utilización de sus propios procedimientos. Es posible que para resolver la situación no utilicen una multiplicación, sino una adición iterada.

Guía didáctica Matemática 5

Guía 5º U2

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Página 77

Texto para el Estudiante 38 y 39

CONVERSEMOS DE… Habilidades que se desarrollan Analizar, calcular y justificar.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS A partir de los datos de la ilustración inicial del texto puede pedirles que: • Formulen nuevas situaciones en las que deban utilizar multiplicaciones para resolverlas. Luego, a partir de ellas, formular situaciones que requieran utilizar divisiones para ser resueltas, enfatizando en su carácter inverso. • Seleccionen entre distintas frases numéricas aquella que permite resolver una situación planteada y realicen los cálculos correspondientes. Es importante que en cada una de estas actividades promueva la reflexión de sus estudiantes en torno al proceso realizado, a través de preguntas como: ¿qué pasos siguieron para formular el problema?, ¿qué dificultades u obstáculos encontraron durante la formulación y resolución de las situaciones?, entre otras. (Habilidades que desarrollan: formular, seleccionar y justificar).

Por ello, es recomedable incentivarlos a que comparen los procedimientos utilizados deteniéndose en las distintas estrategias y pasos empleados y determinando las ventajas de resolverla a través de la multiplicación. Es importante que aproveche esta instancia para promover la valoración de las diferentes respuestas y procedimietos empleados como un aporte en el proceso de aprendizaje individual.

El recurso de Introducción presentado en la unidad 2 del Hipertexto complementa y motiva el inicio de esta unidad. Se sugiere que ingresen a este recurso y que luego trabajen la sección CONVERSEMOS DE…

Unidad 2

Guía 5º U2

7/1/09

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Página 78

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA ¿CUÁNTO SABES? Ítem

Habilidades que se evalúan

Representar.

2, 3 y 4

Calcular.

5y6

Aplicar.

Las actividades evaluativas presentadas en la sección ¿CUÁNTO SABES? consideran los siguientes criterios: Ítem 1: representar como una multiplicación las adiciones iteradas. Ítem 2: calcular metalmente productos y cocientes. Ítem 3: identificar el factor que falta en frases multiplicativas y el cociente y resto en divisiones. Ítem 4: calcular productos y cocientes. Es importante pedir a los y las estudiantes que expliquen los procedimientos y estrategias utilizadas para determinar posibles incomprensiones, errores o procesos incompletos, y reforzarlos. Para la corrección de los ítemes 5 y 6 puede utilizar la siguiente rúbrica con indicadores de logro para evaluar la resolución de problemas.

Ítem Comprensión del problema o situación.

Logro, aplicación • Puede expresar en sus propias palabras o interpretar coherentemente el problema. • Comprende las condiciones principales. • Identifica la información necesaria. • Tiene una idea acerca de la respuesta.

Comprensión de conceptos.

• Aplica correctamente reglas o algoritmos cuando usa símbolos. • Conecta cómo y por qué. • Aplica el concepto a problemas o a situaciones nuevas. • Hace y explica conexiones. • Realiza lo pedido y va más allá.

Verificación de resultados y/o progreso.

• Chequea racionalidad de los resultados. • Reconoce sin razones.

Guía didáctica Matemática 5

Guía 5º U2

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Texto para el Estudiante 40 y 41

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • Si presentan dificultades para multiplicar o dividir por múltiplos de 10, pídales que completen tablas con este tipo de multiplicaciones y divisiones, utilizando la calculadora. Luego, motívelos a establecer conclusiones a partir del análisis de los resultados. • En la actividad 3, la dificultad podría presentarse al buscar el factor desconocido en cada una de las multiplicaciones. Destaque la relación inversa entre multiplicación y división, reforzándola a través de material concreto. Luego, pídales que verifiquen sus resultados con la calculadora.

En proceso, logro parcial

No comprende

• Copia el problema. • Identifica palabras clave. • Puede que mal interprete parte del problema. • Puede que tenga alguna idea acerca de la respuesta.

• No entiende el problema. • Entiende mal el problema. • Como rutina pide explicaciones.

• Demuestra un entendimiento parcial o satisfactorio. • Puede demostrar y explicar usando una variedad de modos. • Está listo para hacer conexiones acerca de cómo y por qué. • Relaciona el concepto con conocimientos y experiencias anteriores. • Realiza las tareas cada vez con menos errores.

• No modela los conceptos rutinarios correctamente. • No puede explicar el concepto. • No intenta resolver el problema. • No hace conexiones.

• Revisa cálculos y procedimientos. • Puede investigar razones si existen dudas.

• No revisa cálculos ni procedimientos. • No reconoce si su respuesta es o no razonable. Fuente: http://www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm Unidad 2

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Reconocimiento de múltiplos, divisores y factores primos de números naturales, y formulación y verificación de conjeturas acerca de propiedades de números naturales a partir del análisis de descomposiciones en factores primos.

ACTIVIDAD INICIAL Antes de realizar las actividades del texto, puede realizar un juego con los y las estudiantes, en el cual deban ponerse de pie de acuerdo a una condición que cumpla su número de lista. Por ejemplo: se ponen de pie quienes tengan un número de lista múltiplo de 2, múltiplo de 3, múltiplo de 4, etc. En la actividad inicial de estas páginas, los alumnos y alumnas deben relacionar los múltiplos con aquellos números que pertenecen a una determinada secuencia. Es importante promover que verifiquen a través del uso del material concreto si un número pertenece o no a determinada secuencia, explicando el procedimiento utilizado.

EN EQUIPO Habilidades que se desarrollan Analizar y formular hipótesis.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE ACTIVIDADES • En el TRABAJO EN EQUIPO, es muy importante cuidar el cumplimiento de los roles para que los y las estudiantes mantengan la atención y motivación hacia la actividad. Al registrar las secuencias y descubrir la regla de formación, promueva que observen las características de los números pertenecientes a cada secuencia, por ejemplo, los números pertenecientes a la secuencia del 5, terminan siempre en 0 y 5. Esto favorecerá el trabajo posterior con los divisores y las reglas de divisibilidad. • En las actividades 1 y 2 de la sección EN TU CUADERNO, es importante dar espacio para que los y las estudiantes expliquen por qué los números presentados son múltiplos de un determinado número y qué procedimiento utilizaron para determinarlos. • En la actividad 4, donde deben calcular los múltiplos de un número que además cumplan con ciertas condiciones, se les puede mediar pidiéndoles que escriban los 10 primeros múltiplos del número y que a continuación tachen aquellos que no cumplen con las condiciones dadas. 80

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Texto para el Estudiante 42 y 43

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

1, 2, 3 y 4

Calcular.

Aplicar y predecir.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • Verificar con los y las estudiantes, algunas propiedades de los múltiplos de los números a través de variados ejemplos numéricos. Por ejemplo: todo número es múltiplo de sí mismo y de la unidad, la suma de varios múltiplos de un número es múltiplo de ese número y la diferencia de dos múltiplos de un número es múltiplo de ese número. • Dado un conjunto de números, pintar de diferentes colores los multiplos de 2, 3, 4,… Luego, realizar preguntas como: ¿hay números pintados de dos colores?, ¿cuáles? y ¿por qué crees que ocurre esto? • Investigar en torno a temas referidos al contenido como: ¿cuál es la cantidad máxima de múltiplos que puede tener un número?, ¿cuál es el múltiplo más pequeño de un número?, ¿qué número tiene todos los números como múltiplo?, y explicar cada situación. • Una vez realizada la actividad 5, se sugiere que los alumnos y alumnas den ejemplos de situaciones de la vida diaria que sean posibles de responder calculando los múltiplos de un número.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Como material de apoyo puede construir con sus estudiantes una tabla pitagórica, como una fuente de consulta durante la realización de las actividades. Esto permitirá reforzar la memorización de combinaciones multiplicativas, disminuyendo paulatinamente su uso.

(Habilidades que desarrollan: verificar, identificar y formular hipótesis).

Ingresando a Recursos Digitales, en el noveno link podrán visualizar los múltiplos de un número cualquiera.

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ACTIVIDAD INICIAL La actividad inicial es un trabajo en equipo donde se promueve el análisis de factores y divisores de un número natural. Con las tarjetas construidas por sus estudiantes puede realizar un juego en el cual deban poner las tarjetas sobre la mesa mostrando la multiplicación de factores y adivinar el número al que corresponden, o bien mostrando el número de la tarjeta, determinar todos los pares de factores que tienen como producto ese número. Es recomendable orientarlos a descubrir las características de los números de cada tarjeta: los números de las tarjetas amarillas son múltiplos de 2, los de las verdes múltiplos de 3 y los de las rojas, múltiplos de 5. En la sección PARA DISCUTIR es importante orientar la reflexión de los alumnos y alumnas hacia la determinación de propiedades de los números: el número 1 es divisor de todos los números y los divisores de un número son limitados, en cambio los múltiplos son infinitos.

EN EQUIPO Habilidades que se desarrollan Calcular, analizar y justificar.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En la actividad 1 se recomienda que los y las estudiantes registren cada uno de sus resultados y luego los comparen de manera que puedan identificar todas las multiplicaciones posibles de dos factores cuyos productos son esos números. • En las actividades 2 y 3, los y las estudiantes deben aplicar su conocimiento sobre factores y divisores y descubrir las distintas posibilidades de organizar las fotos en las páginas de un álbum o postales en sobres. Es importante que en estos casos la pregunta sea abierta para que las respuestas sean diversas y se pueda lograr una discusión interesante entre los alumnos y alumnas, en torno a sus resultados y procedimientos. • Para facilitar el trabajo en la actividad 4, pueden completar una tabla como la siguiente:

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Texto para el Estudiante 44 y 45

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • Escribir números respetando condiciones como: un número de cuatro dígitos que sea divisible por 2 y 3, dos números de tres dígitos que sean divisibles por 3 y 5 y tres números de dos dígitos que sean divisibles por 6 y 5. • Resolver el siguiente problema: Catalina tiene más de 10 y menos de 30 dulces. Si hace grupos de 2 dulces le sobra uno. En cambio, si hace grupos de 3 dulces no le sobra ninguno. Pero, si hace grupos de 4 dulces también le sobra uno. ¿Cuántos dulces tiene Catalina? (Habilidades que desarrollan: identificar y aplicar).

EN TU CUADERNO

100

Actividad

Habilidades que se desarrollan

Calcular.

2y3

Aplicar.

Calcular.

…

122 … Entonces, los divisores de 100 son: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 y 100.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Es importante que los y las estudiantes comprendan las funciones que tienen los números en diferentes situaciones. Por ejemplo, un número como el 6 es múltiplo de 1, 2, 3 y 6 y es factor y divisor de sí mismo. Al realizar las actividades, puede permitir que sus alumnos y alumnas se apoyen con la calculadora para verificar sus respuestas y la utilización de tablas para registrar la información numérica.

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EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Clasificar y calcular.

Analizar y generalizar.

Conectar.

Reconocer.

Formular hipótesis.

Conectar y justificar.

Reconocer.

Calcular.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En la actividad 5, se sugiere pedir a los alumnos y alumnas que verfiquen sus respuestas usando la calculadora. Es importante que completen la tabla de forma correcta para poder desarrollar la actividad 6, en la cual es recomendable que promueva una discusión entre los alumnos y alumnas, donde puedan expresar sus distintas opiniones y llegar a concluir en forma conjunta. • Luego de realizar la actividad 7, puede realizar un juego en equipos. Para ello deberán construir tarjetas con los números obtenidos, ponerlas sobre la mesa y, por turno, dar vuelta una y explicar por cuáles números es posible dividir esa cantidad. Los demás integrantes del equipo tendrán la misión de revisar las respuestas de su compañero o compañera, de manera escrita, mental o utilizando una calculadora. • En la actividad 8, es fundamental que los y las estudiantes comparen y justifiquen sus respuestas a partir de las reglas de divisibilidad que han ido descubriendo, ya que en la mayoría de los casos existe la posibilidad de que más de un dígito sirva para completar el número y cumplir con la divisibilidad. 84

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Texto para el Estudiante 46 y 47

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Puede realizar los siguientes juegos, en grupos de hasta 3 integrantes: • Ponen sobre la mesa tarjetas con números del 1 al 100 sin mostrarlos. Por turno, dan vuelta dos tarjetas, debiendo reconocer alguna relación entre ellos. Por ejemplo, puede decir que el 6 es divisor o factor de 36 o que el 36 es múltiplo de 6. Si la relación que identifica es correcta se queda con ambas tarjetas y el turno es del próximo jugador. • Ponen sobre la mesa tarjetas con números de colores rojo y azul. Las rojas deben tener números entre 1 y 10 y las azules entre 1000 y 10 000. Por turno, dan vuelta una tarjeta roja y una azul y debiendo identificar alguna relación entre ellos, del mismo modo que en el juego anterior. (Habilidad que desarrollan: analizar).

Ingresando a Recursos Digitales, en el cuarto link podrán ejercitar los conceptos de múltiplo y divisor de un número.

• A partir de las actividades 9 y 10 puede solicitarles que escriban números que sean divisibles por 9 y números que sean divisibles por 3, pero no por 9, y que escriban números que sean divisibles por 4 y números que sean divisibles por 2, pero no por 4, para evaluar la comprensión del tema por parte de sus alumnos y alumnas. • Luego de realizar la actividad 11, puede aumentar la dificultad solicitando que escriban números que cumplan con más de una condición. Por ejemplo, que escriban un número de 4 dígitos que sea divisible por 3 y 4. • En la actividad 12, el o la estudiante puede usar una tabla como la siguiente para ordenar la información: :

…

1432 1755 2600 7840 Unidad 2

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ACTIVIDAD INICIAL Durante las actividades anteriores los y las estudiantes han trabajado con números que tienen más de dos factores o divisores. En la actividad inicial de estas páginas se les orienta para que descubran que hay números con solo dos factores o divisores. Una vez realizada la actividad PARA DISCUTIR proponga otras situaciones similares para identificar si lograron diferenciar los números primos y compuestos, como variar la cantidad de alumnos y alumnas (por ejemplo: 23, 25, 27, 28, 29 ó 30) y solicitar que los clasifiquen en primos y compuestos, justificando sus respuestas y explicitando sus procedimientos. Es importante analizar las estrategias que utilizan sus estudiantes para determinar si un número es primo o compuesto, guiándolos a usar las regularidades aprendidas anteriormente.

EN TU CUADERNO

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

Actividad

Habilidades que se desarrollan

Clasificar.

Analizar, conectar y justificar.

Calcular.

Analizar.

Evaluar.

Calcular.

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El objetivo de las actividades de estas páginas es que los alumnos y las alumnas comprendan los conceptos de números primos y compuestos, y descubran que los números compuestos se pueden escribir como una multiplicación de dos o más factores primos. • En la actividad 1, los y las estudiantes deberán aplicar sus conocimientos sobre múltiplos de forma fluida, por lo que puede aprovechar esta instancia para verificar el logro de estos aprendizajes. Dado que la segunda actividad requiere de la primera, es indispensable que se asegure de que todos los alumnos y alumnas la han realizado de forma correcta. • En las actividades 3, 4 y 5 se debe orientar la reflexión de los y las estudiantes hacia el establecimiento de la posibilidad de descomponer un número compuesto en factores primos. Es importante que les permita expresar sus diferentes opiniones, permitiendo que construyan el conocimiento de forma colectiva.

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Texto para el Estudiante 48 y 49

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Puede realizar actividades como las siguientes: • Verificar o contradecir empleando ejemplos numéricos concretos, afirmaciones como: todos los números primos son impares, la suma de dos números primos es siempre un número primo, hay 5 números primos menores que 70 y mayores que 60, entre otras. • Comprobar que entre un número natural mayor que 1 y su doble hay a lo menos un número primo, completando una tabla como la siguiente:

Número natural

Doble

Cantidad de números primos

5y7

7 y 11

Números primos

(Habilidades que desarrollan: verificar y comprobar). • En la actividad 6, se muestran dos estrategias para descomponer números en sus factores primos. Es muy importante que los y las estudiantes comprendan y sepan utilizar al menos una de estas estrategias, ya que la descomposición en factores primos la utilizarán luego para calcular el mínimo común múltiplo (mcm) y el máximo común divisor (mcd) entre grandes números.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Generalmente, en un primer momento, los y las estudiantes relacionan los números primos con los impares. Asegúrese de que no queden con esa idea errónea, dándoles ejemplos de números impares que no son primos, como el 9, 15, 21 y 25, entre otros. Cuando los alumnos y alumnas descompongan números compuestos en factores primos, pídales comparar sus respuestas para que tomen conciencia de que la descomposición en factores primos de un número es única.

Ingresando a Recursos Digitales, en el segundo y quinto links podrán aplicar el concepto de número primo en un ejemplo. En el tercer link podrán visualizar mediante un procedimiento especial, los primeros números primos menores que 50.

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ACTIVIDAD INICIAL Si observa dificultad para calcular la cantidad de cajas o bolsas en la situación inicial, se sugiere ir trabajando con cada una de las cantidades, guiándolos con preguntas como las siguientes: si hay 24 kg de arroz, ¿qué sucede si pongo un kilogramo de arroz por caja?, ¿cuántas cajas ocupo?, ¿y si pongo dos kilogramos de arroz por caja? Realice lo mismo para los kilogramos de fideos y de leche en polvo. Luego, puede plantear las siguientes preguntas: si armo una caja, ¿cuántos kilogramos de arroz, fideos y leche en polvo habría en ella?, ¿y si armo dos, tres y cuatro?, ¿puedo armar cinco?, ¿por qué?, etc. A partir de estas preguntas y el análisis de la situación, los y las estudiantes podrán descubrir la cantidad máxima de cajas que se puede armar, de modo que contengan la misma cantidad de kilogramos de arroz, fideos y leche en polvo.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Analizar y aplicar.

Calcular y justificar.

Calcular.

Guía didáctica Matemática 5

• En la actividad 1, es importante orientar a los alumnos y alumnas con preguntas semejantes a las propuestas en la actividad inicial, de modo que puedan analizar esta situación de forma similar a la resuelta como modelo. • La actividad 2 está orientada a que los y las estudiantes distingan entre el mcm y mcd y expliquen por qué. Como generalmente surgen confusiones en los alumnos y alumnas entre estos términos, es fundamental revisar las justificaciones que entreguen para cada situación y detenerse en los errores o incomprensiones observados. • En la actividad 3, guíe a sus alumnos y alumnas hacia el análisis de los números implicados en cada una de las situaciones y el resultado dado. En la primera columna, los números son primos, por lo tanto los y las estudiantes deben descubrir que el mcm entre números primos es el producto de ellos y que el mcd es siempre 1. En la segunda y tercera columna, el segundo número es múltiplo del primero, por lo que el mcm es siempre el segundo número.

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Texto para el Estudiante 50 y 51

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • Puede pedirles que formen un equipo y se dividan en dos grupos. Un grupo debe tener un trozo de cordel de 36 centímetros y debe investigar todas las formas posibles de dividirlo en partes iguales. El otro grupo tiene un trozo de cordel de 54 centímetros y debe investigar todas las maneras posibles de dividirlo en partes iguales. Luego, comentan sus resultados y se les plantea el desafío de obtener trozos de igual medida a partir de cada uno de los cordeles anteriores e indagan respecto de cuántos centímetros deben cortar ambos cordeles y cuántos trozos de cordel obtienen al cortarlo. (Habilidades que desarrolla: calcular, usar herramientas y aplicar).

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Los alumnos y alumnas suelen presentar dificultades para resolver situaciones problemáticas que implican calcular el mcm y mcd entre dos o más números para hallar la solución. Por ello es importante que presente variadas y significativas situaciones de este tipo y revise el análisis de sus estudiantes en cada una de ellas, promoviendo su comprensión a través de preguntas como las presentadas en la situación inicial.

• Resolver la siguiente situación: Antonia y Benjamín son promotores de una empresa de publicidad y les han encargado un trabajo en un mismo edificio de departamentos. Benjamín hará encuestas en los departamentos 15, 30, 45, 60, 75 y 90 (en ese orden). Mientras que Antonia entregará una revista cada 6 departamentos, a partir del departamento número 6. ¿Qué departamento recibió la revista y contestó la encuesta? (Habilidades que desarrolla: conjeturar y aplicar).

Ingresando a Recursos Digitales, en el primer y octavo links podrán aplicar los conceptos de de mínimo común múltiplo y máximo común divisor en ejercicios y problemas.

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EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Evaluar y verificar.

Calcular.

Aplicar y justificar.

Aplicar.

Aplicar y evaluar.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • La actividad 4 tiene por objetivo que los y las estudiantes comprendan, a través de la realización de diferentes ejercicios, un procedimiento simple para calcular el mcm y mcd de grandes números. • En la actividad 5, los y las estudiantes deben aplicar la técnica aprendida para calcular el mcm y mcd. Es recomendable reflexionar con ellos sobre la utilidad del procedimiento utilizado en los diferentes ejercicios y desafiarlos a calcular alguno de ellos sin utilizarla. • En la actividad 6, deben calcular los múltiplos y divisores comunes entre dos números. Se sugiere motivarlos a compartir sus respuestas, verificar si son correctas o no y reconocer que hay más de una respuesta correcta en cada caso. • Para el desarrollo de la séptima actividad, es recomendable que motive a sus estudiantes a usar la ilustración que acompaña el problema si presentan dificultades.

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Texto para el Estudiante 52 y 53

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • Para aquellos alumnos o alumnas que presenten dificultades para calcular el mcm y mcd entre pequeñas cantidades, se sugiere proporcionar una estructura clara y permanente hasta que sean capaces de realizar el procedimiento. Por ejemplo, para determinar el mcm entre 8 y 12. Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, … Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, … Múltiplos comunes: 24, 48, 72, … Mínimo común múltiplo: 24 • Para aquellos alumnos que no presentan dificultades, se les puede animar a crear situaciones de la vida cotidiana que impliquen calcular el mcm y mcd. Luego, presentarlas al curso, analizarlas y determinar si efectivamente es posible resolverlas a través del mcm y mcd. (Habilidades que desarrollan: calcular, formular y evaluar).

MI PROGRESO Habilidad que se evalúa Aplicar.

• La octava actividad trata de verificar algunas regularidades que se dan al calcular el mcm y mcd entre números primos o cuando uno de los números es múltiplo del otro. Estas propiedades fueron ejemplificadas en la cuarta actividad, por lo tanto, en esta última actividad se da la oportunidad de formalizarlas y crear nuevos ejercicios que cumplan con lo anterior.

EVALUACIÓN FORMATIVA La actividad presentada en la sección MI PROGRESO permite evaluar los aprendizajes en relación con el cálculo de múltiplos, divisores, mcm y mcd a partir de una situación dada. Es importante poner énfasis en los procedimientos que utilizaron los alumnos y alumnas para llegar a las respuestas y determinar las dificultades que aún presentan, potenciado esta evaluación como una forma de observar los procesos que están llevando a cabo sus estudiantes.

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Cálculo mental, escrito y empleo de la calculadora u otra herramienta tecnológica de […] multiplicaciones y divisiones de números naturales de más de 6 cifras a partir de la generalización de los procedimientos conocidos.

ACTIVIDAD INICIAL En la situación inicial de estas páginas se trabaja la multiplicación y división de cantidades a partir de una situación referida a proporcionalidad, en la cual si una cantidad aumenta o disminuye la otra aumenta o disminuye en la misma proporción. Este tipo de situaciones ya fueron trabajadas en Cuarto Básico, por lo tanto se espera que los alumnos y alumnas puedan aplicar sus conocimientos.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Evaluar.

2y3

Calcular y evaluar.

Calcular.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En la primera actividad, los y las estudiantes deben observar y analizar dos procedimientos diferentes para multiplicar dos cantidades. Es importante que el docente guíe la situación para que evalúen las ventajas y desventajas de uno u otro, a partir de criterios como el tiempo que se invierte en cada uno de ellos, el espacio físico que se utiliza en su realización o la probabilidad de cometer errores. • En la actividad 2, se presenta una multiplicación resuelta a través del algoritmo resumido. Preocúpese de que sus alumnos y alumnas comprendan este procedimiento, enfatizando su relación con los procedimientos anteriores. • En la tercera y cuarta actividades, es importante que el alumno o alumna use un procedimiento que le acomode. No obstante, es esperable que luego de un tiempo sea capaz de utilizar comprensivamente el algoritmo resumido, ya que este le permite realizar los cálulos de manera más eficiente.

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Texto para el Estudiante 54 y 55

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De forma complementaria se pueden proponer variadas situaciones donde deban aplicar sus conocimientos sobre mutliplicación y división, como las siguientes: a) Claudia tiene una colección de 2840 estampillas. Si en cada página de su álbum puede pegar solo 12 estampillas, ¿cuántas páginas debería tener como mínimo su álbum? b) Una empresa tiene 8 socios que se reparten las utilidades en partes iguales. Si las utilidades de enero fueron $ 132 000, en febrero $ 105 000, en marzo $ 210 000, en abril $ 270 000 y en mayo $ 315 000, ¿cuánto le toca a cada uno de los socios? c) Una fábrica de calculadoras debe almacenar 525 unidades en cajas iguales. Si en cada caja caben 35, ¿cuántas cajas con calculadoras se utilizarán? d) Un agricultor ha cosechado 5760 kilogramos de peras y 1500 kilogramos de naranjas. Las peras se envasaron en cajas de 12 kg y las naranjas en cajas de 15 kg. ¿Cuántas cajas se necesitan de cada fruta?, ¿cuántas cajas se necesitan en total? (Habilidad que desarrollan: aplicar).

Ingresando a Recursos Digitales, en el séptimo y décimo links podrán ejercitar un procedimiento de multiplicación. Se sugiere que luego ingrese a Actividades, en el primer recurso podrán ejercitar la operatoria de la multiplicación y la división, teniendo presente su relación de operación inversa.

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EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Seleccionar.

Evaluar.

7y8

Calcular.

Aplicar.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En la actividad 5 se presenta una situación de combinaciones y su representación, a través de un diagrama de árbol, cuyo objetivo es que los y las estudiantes perciban y comprueben que este tipo de situaciones es posible resolverlas a partir de la multiplicación. Como se plantean solo dos situaciones, puede solicitar a sus estudiantes que creen otras, las intercambien y resuelvan. Además, se puede aprovechar el modelo presentado para que los alumnos y alumnas formulen cambios, como, por ejemplo: ¿cuántas combinaciones posibles existirían si solo ofrecieran 2 postres? • En la actividad 6, deben observar y analizar dos procedimientos diferentes para dividir dos cantidades. Es importante que guíe la situación para que evalúen las ventajas y desventajas de cada uno, al igual que en el caso de la multiplicación. • En la actividad 7, es aconsejable que el o la docente registre el procedimiento que utiliza cada alumno o alumna para, paulatinamente, potenciar el uso del procedimiento resumido. 94

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Página 95

Texto para el Estudiante 56 y 57

ESTRATEGIA MENTAL Habilidad que se desarrolla Calcular.

HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Habilidades que se desarrollan Uso de herramientas y calcular.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

• En la actividad 8, si observa dificultades en sus estudiantes para hallar el factor desconocido es importante que disminuya el ámbito numérico, presentando situaciones similares, promoviendo la explicitación de los procedimientos utilizados y la formulación de conclusiones con respecto a la relacion inversa entre multiplicación y división. • En la actividad 9, para acompañar a los y las estudiantes en su resolución, se les puede plantear las siguientes preguntas: ¿qué saben del problema?, ¿qué deben encontrar?, ¿cómo pueden resolver el problema?, entre otras. • La sección ESTRATEGIA MENTAL tiene como objetivo que el y la estudiante sean capaces de aplicar técnicas de división para aumentar la rapidez de sus cálculos mentales. Esta sección puede ser trabajada y evaluada durante toda la unidad si el o la docente lo desea.

• Si los y las estudiantes presentan dificultades para resolver situaciones que implican multiplicar o dividir para hallar la respuesta, el o la docente debe volver a trabajar con los campos conceptuales de estas operaciones, asegurándose de que comprendan las diferentes situaciones en las cuales se aplican estas. Para ello, puede pedirles que planteen nuevas situaciones y justifiquen por qué se pueden resolver mediante una u otra operación. • Desafiar a resolver diversas situaciones en que deben calcular productos o cocientes, como: calcular la cantidad de minutos que transcurren en un día, calcular la cantidad de minutos que transcurren en una semana, calcular la cantidad de minutos que transcurren en un mes (30 días) y calcular la cantidad de minutos que transcurren en un año. (Habilidades que desarrollan: formular, justificar y calcular).

Ingresando a Actividades, en segundo recurso podrán aplicar la operatoria de multiplicación, en un contexto de la vida cotidiana.

• Por último, la sección HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS tiene relación con la multiplicación y usa como herramienta la calculadora para que descubran las regularidades que se van dando. Asegúrese que esto funciona en las calculadoras de sus estudiantes. Unidad 2

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Verificación de expresiones que usan letras o símbolos para representar propiedades de las operaciones (conmutatividad, asociatividad y existencia del elementos neutro en la […] multiplicación, y la distributividad de la multiplicación respecto de la adición), mediante la sustitución de las variables por números.

EN EQUIPO Habilidades que se desarrollan Usar herramientas, calcular, analizar y formular hipótesis.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Analizar y formular hipótesis.

2y3

Evaluar y calcular.

ACTIVIDAD INICIAL En la actividad inicial de estas páginas se pretende que el alumno descubra las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación, usando la calculadora, debido a que el énfasis no está puesto en el procedimiento de cálculo. El o la estudiante debe ser capaz de descubrir que al cambiar el orden de los factores o la manera de agruparlos, el producto no cambia, sin importar el valor de cada uno de los factores. Es importante que los alumnos y alumnas verifiquen esto, cambiando el valor de los factores en cada una de las situaciones.

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ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En la primera actividad de la sección EN TU CUADERNO, el niño o niña debe completar las columnas con los productos correspondientes y verificar el cumplimiento de las propiedades enunciadas anteriormente. • En la segunda actividad se presenta otra propiedad, la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición. Esta se presenta como una estrategia de cálculo de productos, a través de la descomposición de uno de los factores. • En la tercera actividad se aplica lo anterior con números de un bajo ámbito numérico. El objetivo es que los alumnos consideren esta propiedad como una estrategia de cálculo mental. Es importante reforzar el uso de esta estrategia durante todos los momentos de esta unidad.

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Texto para el Estudiante 58 y 59

EVALUACIÓN FORMATIVA A partir de la actividad de evaluación MI PROGRESO, el o la docente puede evaluar el nivel de logro de sus alumnos y alumnas en cuanto a la identificación de las estrategias de multiplicación y división en una situación, cálculo de productos y cocientes e identificación de las propiedades de la multiplicación.

MI PROGRESO Habilidades que se evalúan Calcular y recordar.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • Dadas distintas igualdades, identificar la propiedad que corresponde y calcular los resultados. • Jugar a calcular mentalmente productos, a través del cálculo mental. Para ello deberán fabricar dos tipos de tarjetas: una con multiplicaciones de dos factores de dos dígitos cada uno y otras con las respuestas. Un alumno o alumna saca una tarjeta con una multiplicación (12 • 13) y en 20 segundos debe calcular mentalmente y encontrar la respuesta en las tarjetas que están sobre una mesa mostrándose.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Para que el aprendizaje de las propiedades de la multiplicación sean significativos, es importante que explicite a sus alumnos y alumnas la necesidad de utilizarlas en diferentes situaciones y como estrategia de cálculo mental, en el caso de la distributiva.

(Habilidades que desarrollan: identificar y calcular).

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Resolución de problemas referidos a contextos diversos haciendo uso de las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división de números naturales […], enfatizando habilidades relacionadas con la búsqueda de la información necesaria para su solución, la planificación y puesta en práctica de estrategias de solución y la interpretación y evaluación de los resultados obtenidos en relación al contexto.

BUSCANDO ESTRATEGIAS Actividad

Habilidades que se desarrollan

Aplicar y verificar.

2y3

Seleccionar, aplicar y verificar.

La resolución de problemas se trabaja transversalmente en toda la unidad, sin embargo, en esta sección se trabaja de forma específica a través de la presentación de una estrategia de resolución que los y las estudiantes deben aprender y aplicar. Es importante trabajar paso a paso el proceso de resolución, enfatizando la comparación y evaluación de procedimientos propios en contraste con la estrategia sugerida y los empleados por otros compañeros y compañeras.

ORIENTACIONES PARA LA RESOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS • En la actividad 1 es recomendable solicitar a los alumnos y alumnas que comparen y analicen los resultados de sus compañeros y compañeras, determinando la pertinencia de estos en relación con la pregunta planteada y el contexto del problema. • En las actividades 2 y 3 es recomendable que los y las estudiantes, al comparar las estrategias utilizadas para resolver el problema, evalúen la eficacia y pertinencia de ellas, determinando la adecuación de sus propios procedimientos y modificándolos si fuera necesario.

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Texto para el Estudiante 60 y 61

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De forma complementaria, pida a sus estudiantes que resuelvan problemas como los siguientes: a) Por la compra de 3 chocolates y 4 bebidas se pagaron $ 1290. Si los 3 chocolates costaron $ 690, ¿cuánto costó cada chocolate?, ¿y cuánto costó cada bebida? b) Compré 3 cajas de lápices a $ 318 cada una, 5 gomas de borrar a $ 120 cada una y 8 sacapuntas de $ 95 cada uno. Si pagué con $ 5000, ¿cuánto dinero me dieron de vuelto? c) Angélica tenía $ 20 500 y compró 12 paquetes de globos para el cumpleaños de un amigo. Si cada uno de estos paquetes costó $ 890, ¿cuánto dinero le sobró a Angélica? d) Tomás compró una bicicleta de $ 199 900. Primero canceló la mitad y el resto en 7 cuotas iguales, con un interés total de $ 4000. ¿Cuánto dinero es el valor de cada cuota? (Habilidad que desarrollan: aplicar).

Unidad 2

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CONEXIONES Habilidades que se desarrollan Justificar y calcular.

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA Una actividad interesante para el desarrollo del valor de la Matemática es pedir a los alumnos y alumnas que investiguen sobre otros mecanismos que utilizan los números naturales y las operaciones de multiplicación y/o división para solucionar alguna problemática actual de nuestro país. Esta actividad puede ser realizada en equipos. Otra forma de implemetar esta actividad es pidiendo a los y las estudiantes que planteen alguna situación de su realidad comunal o regional que consideren como problemática y que planifiquen una solución, explicitando de qué forma la Matemática les facilitaría implementar esta solución. (Habilidades que desarrolla: analizar, formular y justifcar).

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES Es recomendable que oriente a los alumnos y alumnas hacia la valoración de la Matemática como parte de la realidad y como fuente de soluciones para los problemas tanto cotidianos como de nuestro país. Para ello, es importante permitir que los y las estudiantes comenten acerca de la necesidad de aplicar ciertos cálculos y conceptos para resolver problemas tanto de la vida cotidiana como de la realidad nacional e internacional.

100 Guía didáctica Matemática 5

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Texto para el Estudiante 62 y 63

SÍNTESIS Habilidades que se desarrollan Recordar y analizar.

SUGERENCIAS RESPECTO DE LA SÍNTESIS DE LA UNIDAD La técnica de estudio utilizada en esta unidad es un esquema que permite representar gráficamente el conocimiento, a modo de una red de conceptos, donde los cuadros de texto representan los conceptos y los enlaces son los conectores que nos indican la forma en que se relacionan los conceptos. Este organizador gráfico permite que los alumnos y alumnas vinculen sus conocimientos nuevos con otros que ya conocen, potenciando un aprendizaje significativo y activo, puesto que deben trabajar de forma dinámica con los conceptos, atendiendo a las múltiples relaciones que existen entre ellos.

El Hipertexto presenta un Mapa conceptual interactivo. A partir del concepto central de la unidad los alumnos y alumnas deberán arrastrar los conceptos hacia los recuadros que cumplan con la relación adecuada. TÉCNICA DE ESTUDIO Otra estrategia que puede utilizar para organizar y sintetizar los contenidos trabajados en la unidad, es un tipo de organizador gráfico llamado mapa semántico. Este tipo de organizador se construye a partir de un concepto central al cual se le enlazan todos aquellos conceptos e ideas que se relacionan con él. De esta forma, los y las estudiantes activan sus conocimientos previos al evocar los contenidos que trabajaron durante la unidad. Además, se pueden presentar preguntas que permitan orientar la reflexión hacia el establecimiento de las relaciones entre los contenidos, sus ideas centrales y su aplicación en la vida cotidiana.

Unidad 2 101

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EVALUACIÓN SUMATIVA Los ejercicios y problemas presentados en la sección ¿QUÉ APRENDÍ? permiten evaluar los aprendizajes que han alcanzado los y las estudiantes en la unidad. Además, se presenta la sección ¿QUÉ LOGRÉ? donde los y las estudiantes deberán autoevaluar su desempeño, a través de indicadores que incluyen las habilidades y contenidos trabajados durante la unidad. Es recomendable pedirles que expresen la razón de sus evaluaciones, además de comentar en torno a las preguntas de reflexión que les permitirán tomar conciencia de los aspectos en que presentan dificultades. Asimismo, es importante incentivarlos a proponer acciones para superar sus dificultades, trazando algún plan remedial en conjunto.

¿QUÉ APRENDÍ? Ítem

Habilidades que se evalúan

1, 2 y 3

Calcular.

4y5

Aplicar.

Identificar.

Calcular.

Aplicar.

9 y 10

Calcular.

11 y 12

Aplicar.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales Es posible que algunos alumnos y alumnas aún presenten dificultades para resolver situaciones que impliquen determinar el mínimo común múltiplo. En estos casos es importante reforzar la comprensión de los enunciados a través de preguntas como: ¿qué información me entrega el problema?, ¿qué información debo averiguar?, entre otras. Luego, es conveniente pedirles que busquen libremente un procedimiento que les permita detectar una posible solución y que la pongan a prueba, evaluando su pertinencia con respecto al contexto del problema. Finalmente, se sugiere modelar el procedimiento de cálculo del mcm justificando explicitamente por qué permite hallar la solución. Lo mismo puede aplicarse en situaciones que impliquen determinar el mcd.

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Texto para el Estudiante 64 y 65

EVALUACIÓN FOTOCOPIABLE En las páginas siguientes se presenta una evaluación que puede fotocopiar y utilizar como evaluación sumativa de la unidad. El propósito de ella es permitirle detectar y analizar los conocimientos sobre los múltiplos y divisores, las propiedades de los números y las operaciones de multiplicación, división y sus propiedades. El tiempo estimado es de 50 minutos, pero puede variar en función de las características de sus estudiantes. Para que esta evaluación le permita calificar a los y las estudiantes, se sugiere utilizar la pauta que se presenta a continuación.

Ítem

Habilidades que se evalúan

Identificar y calcular.

1 punto cada una.

8 puntos.

Calcular y justificar.

1 punto por cada producto y 2 puntos por la explicación.

5 puntos.

III

Calcular y justificar.

1 punto por cada producto y 2 puntos por la explicación.

5 puntos.

Aplicar.

Puntaje

Total

Para cada problema: 1 punto por identificar las operaciones, 1 punto por la corrección de los cálculos y 1 punto por la coherencia de la respuesta.

12 puntos.

Puntaje total de la evaluación

30 puntos.

Unidad 2 103

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EVALUACIÓN MÚLTIPLOS, DIVISORES Y OPERACIONES Nombre:

Curso: 5°

Fecha:

Puntaje:

Nota:

I. Marca la alternativa correcta. 1. ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde a la secuencia de los múltiplos de 9?

5. La descomposición prima de 60 es: A. 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2

A. 9, 18, 27, 36, 56,… B. 9, 16, 28, 36, 54,…

B. 2 • 3 • 5

C. 9, 18, 28, 36, 54,…

C. 2 • 2 • 3 • 5

D. 9, 18, 27, 36, 45,…

D. 3 • 4 • 5

2. Los múltiplos de 8 mayores que 40 y menores que 90 son: A. 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88

6. El mcm y mcd entre 36 y 48 son: A. 72 y 12, respectivamente. B. 144 y 12, respectivamente.

B. 48, 56, 60, 64, 72, 80, 88 C. 48, 56, 64, 72, 80, 88 D. 48, 56, 64, 70, 78, 86 3. El número 6 divide exactamente a:

C. 24 y 72, respectivamente. D. 48 y 72, respectivamente. 7. El dígito que falta para que 3.4 por 3 es:

9 sea divisible

A. 3456 B. 1789

A. 1

C. 6782

B. 2

D. 10 000

C. 3

4. El número que no es primo es: A. 61 B. 73 C. 97 D. 87

D. 4 8. El factor desconocido de 56 • A. 19 B. 20 C. 23 D. 25

104 Guía didáctica Matemática 5

= 1.064

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II. Resuelve las siguientes multiplicaciones y explica el procedimiento que utilizaste. a) 12 497 • 31 b) 567 081 • 9 c) 782 002 • 72 III. Resuelve las siguientes divisiones y explica el procedimiento que utilizaste. a) 12 491 : 11 b) 108 621 : 42 c) 4 781 934 : 7 IV. Resuelve los siguientes problemas y explica, paso a paso, la estrategia utilizada: a) En un árbol de Pascua hay tres juegos de luces, uno con luces verdes, otro con luces amarillas y otro con luces rojas. El primero se enciende cada 3 segundos; el segundo, cada 2 segundos y el tercero, cada 4 segundos. ¿Cada cuánto tiempo se encienden todos a la vez?

b) Un automovilista debe recorrer una distancia de 1500 km y viaja a una velocidad promedio de 90 km por hora. Después de 8 horas de viaje, ¿cuántos kilómetros le quedan por recorrer?

c) Para hacer un trabajo de arte, Lucía compró 2 sets de pinceles por $ 3452 cada uno, 3 mezcladores por $ 599 cada uno y 2 sets de témperas por $ 5.670 cada uno. Si tenía 6 billetes de $ 5000, ¿cuánto dinero le sobró?

d) Ricardo ha leído 142 páginas de su libro. Si el libro tiene 565 y desea terminarlo en 9 días leyendo la misma cantidad de páginas cada día, ¿cuántas páginas debe leer diariamente?

e) Para ir de Santiago a Rancagua hay 3 rutas, de Rancagua a Curicó hay 4 rutas y de Curicó a San Fernando, 2 rutas. ¿Cuántas rutas distintas hay para ir de Santiago a San Fernando pasando por Rancagua y Curicó?

Unidad 2 105

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TALLER DE EVALUACIÓN 1 Esta sección le permite evaluar el aprendizaje de sus alumnos y alumnas con respecto a los contenidos, procedimientos y habilidades trabajados en las unidades 1 y 2 del Texto. Así, a través de las actividades propuestas se espera que los y las estudiantes demuestren sus conocimientos acerca de los grandes números y de los múltiplos, divisores y operaciones. Para evaluar el primer ítem de selección múltiple es importante tener en cuenta que se presentan preguntas que apuntan a los contenidos de la primera unidad y otras a los de la segunda. Así, se considera: Unidad 1 (preguntas 1 a 4). Logrado, si contesta correctamente todas las preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente 3 preguntas. Por lograr, si contesta correctamete 2 o menos preguntas. Unidad 2 (preguntas 5 a 10). Logrado, si contesta correctamente todas las preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente 5 ó 4 preguntas. Por lograr, si contesta correctamete 3 o menos preguntas. Para evaluar el ítem de desarrollo, se sugiere utilizar las siguientes rúbricas:

Ítem

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

II, 1a)

Ubica todos los números correctamente en la recta.

Ubica 2 ó 3 números correctamente en la recta.

Ubica 1 o ningún número correctamente en la recta.

II, 1b)

Ordena los números de mayor a menor sin cometer error.

Ordena los números de mayor a menor cometiendo hasta 2 errores.

Ordena los números de mayor a menor cometiendo 3 o más errores.

II, 1c)

Calcula correctamente la diferencia entre los datos pedidos.

Calcula la diferencia entre los datos, cometiendo errores específicos en el algoritmo.

No reconoce la operación a realizar para calcular la diferencia.

II, 1d)

Calcula correctamente la cantidad pedida y explica su procedimiento.

Calcula correctamente la cantidad pedida, pero no explica su procedimiento.

No logra realizar el cálculo correctamente.

106 Guía didáctica Matemática 5

Guía 5º U2

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Texto para el Estudiante 66 y 67

Ítem I

Habilidades que se evalúan

I. 1

Reconocer.

I. 2 y 3

Calcular.

I. 4

Identificar.

I. 5, 6, 7, 8, 9 y 10

Recordar y calcular.

II. 1

Representar, clasificar, calcular y justificar.

II. 2

Aplicar.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales Es posible que algunos estudiantes aún presenten dificultades para calcular el mcm y el mcd entre dos o más números. Pídales que observen los procedimientos para calcular el mcm y el mcd presentados en el Texto y expliquen cada uno de ellos, paso a paso.

Ítem

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

II, 1e)

Realiza el cálculo correctamente y menciona la propiedad conmutativa.

Realiza el cálculo correctamente y se refiere indirectamente a la propiedad conmutativa.

Comete errores en el cálculo o no explica.

II, 2

El procedimiento implementado incorpora los datos necesarios y permite solucionar la situación y realiza los cálculos correctamente y formula una respuesta coherente con el contexto y pregunta de la situación.

El procedimiento implementado incorpora los datos necesarios y permite solucionar la situación y comete errores en los cálculos o su respuesta no es coherente con el contexto y pregunta de la situación.

El procedimiento no incorpora los datos necesarios para solucionar la situación o comete errores en los cálculos y su respuesta no es coherente con el contexto y pregunta de la situación.

Taller de evaluación 1 107

Guía 5º U3Fracciones

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UNIDAD

Fracciones Propósito de la unidad En esta unidad se continúa el estudio de las fracciones y la interpretación de la información presentada con estos números. Se trabaja su representación en la recta numérica, la relación de orden entre dos fracciones o entre una fracción y un número natural. Además, se tratan diversos procedimientos para efectuar adiciones y sustracciones de fracciones de igual y distinto denominador. Se espera que los alumnos y alumnas sean capaces de resolver situaciones que impliquen comprender y entregar información utilizando las fracciones. Para lograrlo se proponen variadas situaciones cuyo énfasis radica en la comprensión de la información entregada con fracciones, el razonamiento y la resolución de problemas. A continuación, se presenta un cuadro que vincula los Contenidos Mínimos Obligatorios, los aprendizajes esperados de la unidad y los indicadores, que permitirán evaluar el aprendizaje de sus alumnos y alumnas.

Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO)

Aprendizajes esperados

Indicadores

Lectura y escritura […] de fracciones positivas, […] interpretación de la información expresada con estos números y comunicación en forma oral y escrita haciendo uso de ellos, en contextos del mundo real, científico y tecnológico.

• Leer y escribir fracciones positivas. • Interpretar información proporcionada empleando fracciones y utilizarlas para comunicar información.

• Leen y escriben fracciones positivas. • Reconocen el numerador y denominador de una fracción y el significado de cada uno. • Interpretan información y la comunican en forma oral y escrita en diferentes contextos.

Representación de números naturales y fracciones […] en la recta numérica y establecimiento de relaciones de orden entre ellos.

Representar fracciones y números naturales en la recta numérica, estableciendo relaciones de orden entre ellos.

• Reconocen entre qué números naturales se ubica una fracción positiva y la ubican en la recta numérica. • Determinan criterios para comparar fracciones positivas y números naturales.

Determinación y aplicación de procedimientos para efectuar adiciones y sustracciones de fracciones a través de la amplificación o simplificación de fracciones.

• Resolver adiciones y sustracciones de fracciones con igual denominador. • Resolver adiciones y sustracciones de fracciones con distinto denominador, a través de la amplificación y simplificación de fracciones.

108 Guía didáctica Matemática 5

• Calculan por escrito adiciones y sustracciones de fracciones con igual denominador. • Aplican la amplificación y simplificación de fracciones para calcular adiciones y sustracciones de fracciones con distinto denominador.

Guía 5º U3Fracciones

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Resolución de problemas referidos a contextos diversos haciendo uso de las operaciones de […] adición y sustracción de fracciones […], enfatizando en habilidades relacionadas con la búsqueda de información necesaria para su solución, la planificación y puesta en práctica de estrategias de solución y la interpretación y evaluación de los resultados obtenidos en relación al contexto.

Formular y verificar conjeturas simples y aplicar las habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en contextos diversos que requieren el uso de los contenidos del nivel.

Resuelven situaciones problemáticas que involucran adiciones o sustracciones de fracciones.

Relación entre los aprendizajes de la unidad y los de otros años

3º y 4º Básico

• Reconocer las fracciones como números que permiten obtener información que no es posible lograr a través de los números naturales. • Leer y escribir fracciones simples (medios, tercios, cuartos, décimos y centésimos). • Cuantificar y comparar partes de un objeto, de una unidad de medida o de una colección de objetos mediante fracciones simples. • Representar medios, tercios, cuartos, octavos y décimos en la recta numérica, y fraccionando objetos o unidades de medida.

5º Básico

• Leer y escribir fracciones positivas. • Interpretar y comunicar información expresada en fracciones positivas. • Representar e identificar números naturales y fracciones en la recta numérica. • Establecer relaciones de orden entre los números naturales y fracciones positivas. • Resolver adiciones y sustracciones de fracciones con igual denominador. • Resolver adiciones y sustracciones de fracciones con distinto denominador, a través de la amplificación y simplificación de fracciones. • Resolver situaciones problemáticas en diversos contextos haciendo uso de las operaciones de adición y sustracción de fracciones.

6º Básico

• Calcular multiplicaciones y divisiones de fracciones positivas, y aplicación de estas a contextos reales. • Reconocer las fracciones como una forma de expresar porcentaje. • Resolver problemas en contextos diversos que involucran el empleo de las cuatro operaciones en el ámbito de las fracciones.

7º Básico

• Operar con potencias que tienen como base fracciones positivas.

Unidad 3 109

Guía 5º U3Fracciones

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Esquema de la unidad Fracción igual a la unidad

Fracción propia: menor que la unidad

Fracción impropia: mayor que la unidad

Clasificación Representaciones gráficas

Lectura y escritura FRACCIONES

Orden y comparación

Cálculos Amplificación y simplificación

Fracciones equivalentes

Adición y sustracción

Con distinto denominador

Con igual denominador

Errores frecuentes En la siguiente tabla presentamos algunos errores frecuentes que cometen los alumnos y alumnas, y sugerencias que le permitirán evitarlos o subsanarlos. Errores frecuentes

Cómo subsanarlos

Al reconocer fracciones, presentan dificultades para diferenciar una fracción propia de una fracción impropia.

Se sugiere que los y las estudiantes representen gráficamente ambos tipos de fracciones, dejando en claro y recordando que primero se fijen en el denominador, el que indica la cantidad de partes iguales en que está dividida la unidad.

Presentan dificultades para establecer la relación directa que existe entre una fracción impropia y un número mixto.

Se sugiere que primero representen gráficamente la fracción impropia y escriban la cantidad de enteros que consiguieron y lo anoten con número grande, para luego anotar la fracción que queda, formándose así el número mixto.

Al comparar fracciones con distinto denominador, para establecer relaciones de orden entre ellas, creen que es mayor la que tiene mayor numerador.

Se sugiere igualar los denominadores, mediante la amplificación o simplificación de fracciones, para así comparar solo los numeradores.

Al resolver adiciones y sustracciones de fracciones con distinto denominador operan directamente con los numeradores.

Se sugiere igualar los denominadores, mediante la amplificación o simplificación de fracciones, o bien, igualar denominadores calculando el mcm entre ellos.

110 Guía didáctica Matemática 5

Guía 5º U3Fracciones

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BIBLIOGRAFÍA • Linares, Salvador. Fracciones, la relación parte-todo. Síntesis, Madrid, 1988. • Sitios: http://www.salonhogar.com/matemat/practica/fracciones.swf http://www.sectormatemática.cl http://www.areamatematica.cl/Recursos/enlaces.htm Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.

Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos La notación fraccionaria tiene variadas interpretaciones, ya que existen diferentes situaciones que se pueden interpretar mediante la misma representación: a . b El siguiente organizador gráfico corresponde a una visualización del concepto de fracción (visualización propuesta por profesora María del Carmen Rencoret). Razón

3 es a 4

División

3:4

Material continuo

RELACIÓN PARTE TODO Material discontinuo

3 4

Operador

3 de 4 Probabilidad

0,75

Porcentaje

75%

Notación decimal Medición

0,75

Longitud

Capacidad

0,75 cm Superficie Masa

Tiempo

750 g

45 min

3 de litro 4

3 del área total 4

Los símbolos que representan una fracción, tales como: 3 , 4 , 9 , .... corresponden a fracciones irreductibles (fracciones que no 4 7 11 se pueden simplificar). Cada una de ellas también representa un conjunto de fracciones equivalentes a ella. Por ejemplo, 3 = 4

6 , 9 , 12 ..., 75 ,... . 8 12 16 100 Clase de equivalencia

3 , corresponde al número racional. Es decir, 4 un número racional es el representante de la clase de equivalencia de todos aquellos números que se pueden representar de En este caso, el representante de la clase de equivalencia, que es

la forma m , donde m ⺪, n ⺪ y n = / 0, y que satisface las condiciones para ser conjunto numérico. n Unidad 3 111

Guía 5º U3Fracciones

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En estas páginas se espera motivar a los alumnos y alumnas y ponerlos en contacto con el uso de las fracciones y su lenguaje en la vida cotidiana. Se debe promover que reconozcan que las fracciones son usadas a diario en situaciones reales y concretas. Se espera activar las experiencias previas de los y las estudiantes, promoviendo el análisis y reconocimiento de la utilización de fracciones en el contexto presentado.

ACTIVIDAD INICIAL Puede pedir a sus alumnos y alumnas que busquen en catálogos, revistas o diarios, información que contenga fracciones y que a partir de ella comenten, a modo de lluvia de ideas, todos los contextos y situaciones en que han escuchado, visto o utilizado las fracciones, y reflexionen sobre la utilidad de ellas para interpretar y comunicar información.

INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA PARA DOCENTES En 3º y 4º básico los alumnos y alumnas reconocieron las fracciones propias. Leían y escribían fracciones simples como medios, tercios, cuartos, octavos, décimos y centésimos, usando como referente un objeto, un conjunto de objetos fraccionables o una unidad de medida, usando representaciones gráficas y material concreto. En esta unidad se comienza a profundizar sobre las fracciones. Los alumnos y alumnas distinguirán los diferentes tipos de fracciones y tendrán que comprender la relación existente entre una fracción impropia y el número mixto, ya que ambas representan lo mismo, de forma diferente, es decir, un número mixto puede ser representado como fracción impropia y una fracción impropia puede ser representada como número mixto. En el tratamiento de los contenidos de esta unidad es preciso considerar que las fracciones no se utilizan demasiado en el lenguaje cotidiano. La importancia real de las fracciones está en su poder de aproximación a

112 Guía didáctica Matemática 5

Guía 5º U3Fracciones

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Texto para el Estudiante 68 y 69

CONVERSEMOS DE… Habilidades que se desarrollan Analizar, comparar y calcular.

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA A partir de los ejemplos presentados en la ilustración, en los que aparecen fracciones, analizar la información que cada una de ellas quiere entregar. Dar otros ejemplos, como 1 metro y 2 preguntar: ¿qué significa medio metro?, ¿es más o menos que un metro? ¿qué representa un metro y medio? (Habilidades que se desarrollan: analizar y comparar).

situaciones simples. Los aspectos conceptuales son los que tienen mayor relevancia para la comprensión de expresiones como las tres cuartas partes del número de piezas y la mitad de la cantidad de objetos. Para que los alumnos y alumnas amplíen y profundicen sus conocimientos sobre fracciones, es necesario realizar variadas actividades a nivel concreto, representacional y simbólico. Otra acción muy importante para lograr la comprensión del concepto de fracción es relacionar la división con las fracciones, destacando que una fracción se puede considerar como el cociente, resultado de dividir el numerador por el denominador. Cabe destacar que en la unidad 4, en la que se trabajan los decimales, se retoma este concepto para transformar una fracción a un número decimal. Es importante considerar, también, que las divisiones a : b, en las que b es cero, no están definidas y no tienen sentido, por lo tanto, en una fracción a el b denominador debe ser distinto de cero.

El recurso de Introducción presentado en la unidad 3 del Hipertexto complementa y motiva el inicio de esta unidad. Se sugiere que ingresen a este recurso y que luego trabajen la sección CONVERSEMOS DE…

Unidad 3 113

Guía 5º U3Fracciones

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EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA ¿CUÁNTO SABES? Ítem

Habilidades que se evalúan

1, 4 y 6

Identificar.

Reconocer.

2y3

Representar.

Las actividades evaluativas presentadas en la sección ¿CUÁNTO SABES? consideran los siguientes criterios: Ítem 1: identificar la fracción representada gráficamente. Ítem 2: escribir con palabras cómo se leen diferentes fracciones. Ítem 3: escribir con números la fracción escrita con palabras. Ítem 4: identificar y asociar fracciones con puntos de la recta numérica. Ítem 5: reconocer fracciones en un entero. Ítem 6: identificar la fracción que representa la parte de un objeto y de una unidad de medida. Para su corrección puede utilizar la siguiente rúbrica:

Ítem

Completamente logrado

Identifica todas las fracciones, a partir de la información dada en la representación gráfica.

Identifica tres de las fracciones, a partir de la información dada en la representación gráfica.

Escribe correctamente todas las fracciones.

Escribe correctamente cuatro de las fracciones.

Escribe correctamente todas las fracciones.

Escribe correctamente tres de las fracciones.

Ubica correctamente todas las fracciones en la recta numérica.

Ubica correctamente tres de las fracciones en la recta numérica.

Responde correctamente todas las preguntas planteadas.

Responde correctamente dos de las preguntas planteadas.

Responde correctamente las dos preguntas planteadas.

Responde las preguntas planteadas de manera imprecisa.

114 Guía didáctica Matemática 5

Logrado

Guía 5º U3Fracciones

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Texto para el Estudiante 70 y 71

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En el ejercicio 4, la dificultad podría presentarse al momento de identificar las fracciones y asociarlas con puntos de la recta numérica. En este caso, recuérdeles que un entero es representado con el número 1 y que lo identifiquen en la recta, luego del 0 al 1 hay un entero. Bajo la recta se dibuja la representación rectangular que es la más familiar para ellos de la siguiente forma:

Y luego se pinta, representando las fracciones que se piden ubicar. De esta forma podrá ubicar las fracciones en la recta más fácilmente.

Por lograr

Identifica dos de las fracciones, a partir de la información dada en la representación gráfica.

Identifica una o ninguna de las fracciones, a partir de la información dada en la representación gráfica.

Escribe correctamente al menos dos de las fracciones.

Escribe correctamente una o ninguna de las fracciones.

Escribe correctamente dos de las fracciones.

Escribe correctamente una o ninguna de las fracciones.

Ubica correctamente dos de las fracciones en la recta numérica.

Ubica correctamente una o ninguna de las fracciones en la recta numérica.

Responde de forma incompleta las preguntas planteadas.

Responde correctamente menos de dos preguntas planteadas.

Responde correctamente una de las preguntas planteadas.

No responde correctamente las preguntas planteadas. Unidad 3 115

Guía 5º U3Fracciones

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Lectura y escritura […] de fracciones positivas, […] interpretación de la información expresada con estos números y comunicación en forma oral y escrita haciendo uso de ellos, en contextos del mundo real, científico y tecnológico.

ACTIVIDAD INICIAL La actividad inicial permite que los y las estudiantes analicen que una misma fracción puede estar representada de diferentes formas y en diferentes contextos. Es bueno hacer la equivalencia con los números naturales y decir que, por ejemplo, el número 10 se puede utilizar para representar diferentes cosas en diferentes contextos y pedir ejemplos. La sección PARA DISCUTIR está orientada a que los y las estudiantes razonen y sean conscientes de cómo leer fracciones.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

1y3

Identificar y representar.

Aplicar.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE ACTIVIDADES • En la actividad número 1 se debe completar una tabla con la representación gráfica, numerador, denominador, fracción y la lectura de esta. Es recomendable dar ejemplos antes de completar y guiar el desarrollo. • En la actividad 2, a partir de ejemplos, los alumnos y alumnas deben hacer la lectura de otras fracciones con igual denominador; es bueno guiar, dar ejemplos y recordar cómo se hace. • En la actividad 3 se debe reconocer la fracción nombrada y escribirla. Recuérdeles al leer fracciones la primera palabra se refiere al numerador.

116 Guía didáctica Matemática 5

Guía 5º U3Fracciones

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Texto para el Estudiante 72 y 73

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA Para reforzar el contenido se propone que los y las estudiantes completen una tabla similar a la de la actividad 1 de EN TU CUADERNO, pero partiendo en sentido contrario, es decir, poner la fracción escrita en palabras, completar la fracción y dibujar un diagrama que la represente.

(Habilidades que desarrolla: identificar y representar).

Unidad 3 117

Guía 5º U3Fracciones

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ACTIVIDAD INICIAL La actividad inicial es la presentación de una situación cotidiana, donde a partir de un contexto cercano a los alumnos y alumnas, se grafican los diferentes tipos de fracciones que deseamos que nuestros alumnos y alumnas conozcan: la fracción igual a la unidad, la propia y la impropia. La idea es que a través de la representación de la cantidad de pan que come cada persona, los y las alumnas descubran los diferentes tipos de fracciones. En la sección PARA DISCUTIR, se pretende orientar a los y las estudiantes para que reconozcan los diferentes tipos de fracciones. En primer lugar, se busca que reconozcan que un entero se puede representar con el número 1; luego, a partir de la situación presentada, los y las estudiantes podrán verificar que hay fracciones menores y otras mayores que el entero. En este último caso el numerador será mayor que el denominador.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Reconocer.

Representar.

Reconocer y representar.

118 Guía didáctica Matemática 5

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • El objetivo de las actividades de esta página es que los y las alumnas sean capaces de reconocer y representar diferentes tipos de fracciones. • También es importante aprovechar esta instancia para mostrarle a los alumnos y alumnas, por medio de la representación, que una fracción impropia puede ser expresada también con un número mixto.

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Texto para el Estudiante 74 y 75

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • Es recomendable pedir a los y las estudiantes que escriban determinadas fracciones impropias como número mixto, a partir de la representación gráfica. Por ejemplo: 13 = 4

3 1

• Escribe la siguientes fracciones como número mixto: 17 , 22 , 9 , 11 , 8 y 23 5 3 4 2 3 4 También se les puede enseñar a escribir el número mixto a partir de una fracción impropia, dividiendo el numerador por el denominador, donde el cociente pasará a ser el número entero, el resto el numerador y el divisor continúa siendo el denominador. 17 5

17 : 5 = 3 2//

3 2 5

(Habilidades que se desarrollan: representar y calcular).

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Los y las estudiantes, cuando conocen las fracciones impropias, es muy difícil que hagan la relación con el número mixto. Es importante que esta relación se haga por medio de la representación gráfica, por ejemplo:

Ingresando a Actividades, en el primer recurso podrán convertir un número mixto en una fracción impropia.

10 es equivalente a decir: 3 1 3 3

1 3

Unidad 3 119

Guía 5º U3Fracciones

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CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS Lectura y escritura […] de fracciones positivas, […] interpretación de la información expresada con estos números y comunicación en forma oral y escrita haciendo uso de ellos, en contextos del mundo real, científico y tecnológico. Representación de números naturales y fracciones […] en la recta numérica y establecimiento de relaciones de orden entre ellos. Establecimiento de fracciones equivalentes.

ACTIVIDAD INICIAL La actividad inicial promueve la manipulación, análisis y descubrimiento del concepto de fracciones equivalentes utilizando material concreto. Es importante que trabajen con hojas del mismo tamaño y que establezcan la relación entre la hoja completa y el entero, el que puede estar dividido en distinta cantidad de partes iguales, y que lleguen a concluir que a pesar de ser fracciones que se escriben diferente, tienen igual valor.

EN EQUIPO Habilidades que se desarrollan Usar herramientas y calcular.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Identificar.

Analizar.

Calcular.

120 Guía didáctica Matemática 5

• La actividad 1 complementa la actividad inicial. Si presentan dificultades para entender por qué son equivalentes, pídales que calquen las figuras en un papel semitransparente, como, el papel mantequilla, que recorten las figuras y las superpongan, así podrán verificar que a pesar de que las fracciones se escriben de diferente manera, representan la misma parte del entero. • En la actividad 2, es importante que comparen los procedimientos presentados y argumenten sus opiniones. Pregunte si alguien utilizaría un procedimiento distinto al presentado y pida que lo compartan en su curso. • La actividad 3 está orientada a que los alumnos y alumnas utilicen los procedimientos presentados en la actividad 2 y que concluyan que cuando el numerador es múltiplo o divisor del denominador se puede simplificar, y en caso contrario, deben amplificar.

Guía 5º U3Fracciones

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Texto para el Estudiante 76 y 77

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA Entregar fracciones y guiar a los alumnos y alumnas, pidiéndoles que amplifiquen o simplifiquen las fracciones por determinados números, para así encontrar fracciones equivalentes.

(Habilidades que desarrolla: identificar, calcular y comparar).

EVALUACION FORMATIVA La actividad presentada en la sección MI PROGRESO permite evaluar los aprendizajes en relación con la lectura y escritura de fracciones, tipos de fracciones y fracciones equivalentes, a partir de una situación dada. Es importante que a través de esta actividad evalúe si sus estudiantes han comprendido los contenidos tratados, y refuerce aquellos que presenten mayor dificultad.

MI PROGRESO Habilidades que se evalúan Representar, comparar e identificar.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Es necesario que los términos amplificar y simplificar se asocien directamente con las operaciones que se realizan, es decir, multiplicar y dividir. Un error frecuente es que solo amplifiquen o simplifiquen el numerador y, en este caso, es bueno representar el error con papel o simplemente con representación gráfica, para que ellos mismos se den cuenta que, al hacer eso, ya no serían fracciones equivalentes.

Ingresando a Recursos Digitales, en el primer y tercer links podrán buscar una fracción equivalente a una fracción dada. En el segundo link trabajarán en la búsqueda de fracciones equivalentes a partir de su representación gráfica. Se sugiere que luego ingrese al cuarto link, donde podrán encontrar la fracción irreductible, entre un grupo de fracciones. Unidad 3 121

Guía 5º U3Fracciones

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Representación de números naturales y fracciones […] en la recta numérica y establecimiento de relaciones de orden entre ellos.

ACTIVIDAD INICIAL En la situación inicial de esta página, se pretende que los alumnos y alumnas observen y analicen los diferentes diagramas, para que mediante el desarrollo de la sección PARA DISCUTIR puedan comparar las diferentes fracciones y establecer relaciones de orden entre ellas a través de la diagramación.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Comparar.

Calcular.

3, 4 y 5

Resolver.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En la actividad 1, los y las estudiantes comparan fracciones, estableciendo si son <, > o =. Para hacerlo aplican los procedimientos explicados en la sección NO OLVIDES QUE… • En la actividad 2, se les presenta un nuevo procedimiento, mucho más mecánico y rápido, para comparar fracciones: la multiplicación cruzada. Un error frecuente que cometen los alumnos y alumnas al aplicar este procedimiento es escribir los productos cruzados al revés y hacer mal la comparación, para esto se les recomienda iniciar siempre con la multiplicación del numerador de la primera fracción, por el denominador de la segunda, pero anotar el resultado bajo la primera fracción, ejemplo: 2 > 3 4 8 16 12

122 Guía didáctica Matemática 5

Guía 5º U3Fracciones

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Página 123

Texto para el Estudiante 78 y 79

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De forma complementaria se pueden promover variadas situaciones donde deban aplicar sus conocimientos sobre orden y comparación de fracciones, como las siguientes: • Presentar grupos de fracciones, no más de siete, donde tengan que ordenarlas de menor a mayor, o viceversa. • Camila fue al supermercado a comprar cosas para tomar once con sus amigas. Compró 1 de kilo de 4 salame, 2 de kilo de queso y 3 de 8 4 kilo de jamón. ¿De cuál de las tres cosas que adquirió, compró más Camila? (Habilidades que están pendientes: resolver problemas y aplicar).

• En las actividades 3, 4 y 5 se promueve la resolución de problemas, donde se aplica la comparación y orden de fracciones.

Ingresando a Recursos Digitales, en el quinto link podrán ordenar fracciones, de manera creciente.

Unidad 3 123

Guía 5º U3Fracciones

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Representación de números naturales y fracciones […] en la recta numérica y establecimiento de relaciones de orden entre ellos.

ACTIVIDAD INICIAL En la actividad inicial de estas páginas se pretende que los alumnos y alumnas analicen fracciones ubicadas y asociadas con puntos de la recta. La sección PARA DISCUTIR permite que los y las estudiantes puedan analizar las rectas presentadas al inicio, llegando a sacar conclusiones sobre la forma en que se debe construir una recta para ubicar un punto en ella. Es importante recalcar la diferencia que existe entre ubicar una fracción propia y una impropia en la recta, ya que ahí se darán cuenta de que las fracciones impropias siempre son mayores que la unidad y las impropias son menores. También se propone utilizar la recta numérica para comparar fracciones.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Generalizar.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES 2

Aplicar.

Habilidades que se evalúan

• En la primera actividad, se le pide a los alumnos y alumnas que identifiquen la fracción asociada al punto de la recta destacado. Se sugiere guiarlos para que reconozcan en cuántas partes iguales está dividida la distancia entre cada par de números consecutivos (ese número sería el denominador) y, partiendo del cero, cuenten los tramos hasta llegar al punto (ese sería el numerador), obteniendo la fracción.

Comparar, representar, identificar y analizar.

• En la segunda actividad, se les entrega la fracción que deben asociar a un punto de la recta numérica; para eso, deben mirar el denominador y, en función de este, dividir la recta numérica del 0 al 1, del 1 al 2, según sea necesario.

MI PROGRESO

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Guía 5º U3Fracciones

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Página 125

Texto para el Estudiante 80 y 81

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA De forma complementaria, se pueden promover situaciones en las que los y las estudiantes tengan que ubicar fracciones en la recta numérica y ordenarlas, por ejemplo: Cuatros cursos de un colegio están haciendo la campaña de los cuadraditos de lana para construir frazadas y así donarlas. La meta es reunir 200 cuadraditos por curso. Observa la fracción de cuadraditos que ha reunido cada curso, ubícalas en la recta numérica y luego responde:

5º A: 2 ; 5º B: 5 ; 5º C: 4 ; 5º D: 8 5 10 5 10 a) ¿Qué curso está más lejos de cumplir la meta? b) Ordena los cursos desde el que ha reunido más cuadraditos hasta el que ha reunido menor cantidad de cuadraditos. Es importante explicarles que para que sea más fácil ubicar las fracciones en la recta numérica, es bueno buscar fracciones equivalentes, de modo que todos tengan el mismo denominador.

(Habilidades que desarrolla: asociar y ordenar).

• A partir de esta actividad, el o la docente puede evaluar el nivel de logro de sus estudiantes en cuanto a la comparación y orden de fracciones y su ubicación en la recta numérica. Esto permite subsanar errores a tiempo.

Unidad 3 125

Guía 5º U3Fracciones

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Página 126

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Determinación y aplicación de procedimientos para efectuar adiciones y sustracciones de fracciones a través de la amplificación o simplificación de fracciones.

ACTIVIDAD INICIAL En la actividad inicial se presenta una situación acompañada de una representación gráfica que permite que los alumnos y alumnas vean con claridad la situación descrita. En la sección PARA DISCUTIR se pretende que los alumnos y alumnas, en primer lugar identifiquen las fracciones que representan los y las estudiantes inscritos en cada taller; luego, mediante la elaboración de las respuestas, se pretende que los alumnos y alumnas realicen intuitivamente adiciones y sustracciones de fracciones con igual denominador.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Identificar y calcular.

2, 3 y 4

Calcular.

Resolver.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En la actividad 1, se desea que los alumnos y alumnas identifiquen la fracción pintada de un entero mediante la adición y la fracción no pintada mediante la sustracción. • En la actividad 2, se debe aplicar la adición y sustracción de fracciones y la simplificación de los resultados. • En la actividad 3, se deben buscar los términos desconocidos de la adición y sustracción, con fracciones. • En la actividad 4, se presentan ejercicios combinados, donde es importante destacar que primero se resuelven los ejercicios que están dentro de los paréntesis. • En la actividad 5, se pretende que los alumnos y alumnas sean capaces de resolver situaciones, aplicando la adición y sustracción de fracciones con igual denominador.

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Guía 5º U3Fracciones

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Página 127

Texto para el Estudiante 82 y 83

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Una buena forma de ejercitar la adición y sustracción de fracciones con igual denominador puede ser reemplazando valores, por ejemplo: Si tenemos que: A= 2 5

B= 3 5

y C= 4 5

Calcula los siguientes ejercicios: a) A + B + C – (B – C) b) (C – A) + (B + C) c) (B + C) + (B – A) (Habilidad que se desarrolla: calcular).

Ingresando a Recursos Digitales, en el sexto link podrán resolver una adición de fracciones con igual denominador y buscar una fracción equivalente a la suma encontrada.

Unidad 3 127

Guía 5º U3Fracciones

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Página 128

CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Determinación y aplicación de procedimientos para efectuar adiciones y sustracciones de fracciones a través de la amplificación o simplificación de fracciones.

ACTIVIDAD INICIAL La actividad inicial muestra una situación que se resuelve mediante la gráfica de la situación y que junto con la sección PARA DISCUTIR, se puede analizar y sacar conclusiones. La idea es aproximar a los alumnos y alumnas lentamente a resolver adiciones y sustracciones con distinto denominador. Es importante que los y las estudiantes lleguen a concluir que para resolver adiciones y sustracciones con distinto denominador es necesario amplificar o simplificar las fracciones, con el fin de igualar los denominadores y así poder operar.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Calcular.

Resolver

HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Habilidad que se desarrolla Calcular.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En la primera actividad se aplica la amplificación y simplificación de fracciones para igualar denominadores y resolver las adiciones y sustracciones. • En la segunda actividad se deben resolver situaciones aplicando la adición y sustracción de fracciones con distinto denominador. • En la sección HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS, se espera que los y las estudiantes puedan utilizar el programa Excel, con el fin de calcular de manera rápida y efectiva adiciones y sustracciones de fracciones. Esta herramienta tecnológica puede ser utilizada para comprobar resultados calculados en otros ejercicios ya desarrollados, por ejemplo en la sección EN TU CUADERNO.

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Guía 5º U3Fracciones

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Texto para el Estudiante 84 y 85

EVALUACIÓN FORMATIVA A partir de la actividad de evaluación MI PROGRESO, puede evaluar los niveles de logros obtenidos por los alumnos y alumnas en cuanto al cálculo de adiciones y sustracciones de fracciones con igual y distinto denominador y a la resolución de problemas, aplicando dicho contenido.

MI PROGRESO Habilidades que se evalúan Calcular y resolver.

Ingresando a Recursos Digitales, en el octavo, noveno y décimo links podrán calcular adiciones y sustracciones de fracciones. En el séptmo link podrán visualizar una representación gráfica de fracciones en contextos reales. Además, pueden observar una presentación de un procedimiento alternativo al estudiado para desarrollar adiciones y sustracciones. Para seguir ejercitando el cálculo de adiciones de fracciones se sugiere que ingresen al segundo recurso de Actividades. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De forma complementaria pida a sus estudiantes que desarrollen los siguientes ejercicios y problemas donde deben buscar términos desconocidos: 1. Busquen y calculen el término desconocido de las siguientes adiciones y sustracciones de fracciones: a) 22 + 22 = 8 3 10 3

b) 7 – 1 = 1 9 4 3

2. Resuelve el siguiente problema: En una adición, la suma es 8 y uno de los sumandos es 2 . ¿Cuál es el valor 10 4 del segundo sumando? (Habilidad que se desarrolla: calcular). Unidad 3 129

Guía 5º U3Fracciones

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Resolución de problemas referidos a contextos diversos haciendo uso de las operaciones de […] adición y sustracción de fracciones […], enfatizando en habilidades relacionadas con la búsqueda de información necesaria para su solución, la planificación y puesta en práctica de estrategias de solución y la interpretación y evaluación de los resultados obtenidos en relación al contexto.

BUSCANDO ESTRATEGIAS Actividad

Habilidades que se desarrollan

Aplicar y verificar.

2y3

Seleccionar, aplicar y verificar.

La resolución de problemas se trabaja transversalmente en toda la unidad; sin embargo, en esta sección se trabaja de forma específica a través de la presentación de una estrategia de resolución que los y las estudiantes deben aprender y aplicar. Es importante trabajar, paso a paso, el proceso de resolución, enfatizando la comparación y evaluación de procedimientos propios en contraste con la estrategia sugerida y los empleados por otros compañeros y compañeras.

ORIENTACIONES PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS • En la actividad 1, es recomendable pedir a los alumnos y alumnas que comparen sus resultados y verifiquen si la estrategia aplicada es la que se enseñó. • En la actividad 2 y 3, se recomienda que los y las estudiantes, una vez resueltos los problemas, analicen la estrategia utilizada y concluyan si fue o no pertinente. También es bueno que entre compañeros y compañeras compartan sus estrategias y resultados obtenidos.

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Guía 5º U3Fracciones

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Texto para el Estudiante 86 y 87

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS De forma complementaria, pida a sus estudiantes que resuelvan problemas como los siguientes: a) En el gimnasio de un colegio hay 10 pelotas del mismo tamaño. Hay pelotas rojas, azules y verdes. Si 3 de ellas son de color rojo y 10 1 son de color azul, ¿qué 5 fracción de las pelotas es de color amarillo? b) Una empresa constructora está a cargo de la construcción de dos edificios. Si en la torre 1 tienen construidos 2 del total y la 6 torre 2, lleva construido 1 del 3 total, ¿cuál de las dos torres se ha construido más rápido? Justifica tu respuesta. c) En una tienda de música, en la que se venden CD, hay una repisa con música romántica, clásica y pop. 4 de los CD son de música 7 romántica y 1 de música pop. 3 ¿Qué fracción de los CD de la repisa es de música clásica?

(Habilidades que desarrollan: aplicar).

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Guía 5º U3Fracciones

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CONEXIONES Habilidades que se desarrollan Registrar, calcular y analizar.

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA En bueno que los alumnos y alumnas expongan al resto de sus compañeros y compañeras los resultados obtenidos, para así generar una instancia de análisis más enriquecedora. Se puede realizar la misma actividad con otros temas relevantes que ellos mismos pueden escoger, como, por ejemplo, el tipo de colación que consumen.

(Habilidades que desarrolla: registrar, calcular y analizar).

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES Es importante que, con el desarrollo de este tipo de actividades, se oriente a los alumnos y alumnas, para que comprendan que la Matemática forma parte importante de nuestra realidad y nos entrega las herramientas para resolver un sinnúmero de situaciones. También se recomienda orientar y fomentar el trabajo en equipo, promoviendo el respeto por los demás. En el desarrollo de la actividad, además de aplicar los contenidos aprendidos en la unidad, es bueno que analicen y lleguen a concluir sobre el tema presentado.

132 Guía didáctica Matemática 5

Guía 5º U3Fracciones

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Texto para el Estudiante 88 y 89

SÍNTESIS Habilidades que se desarrollan Recordar y analizar.

SUGERENCIAS RESPECTO DE LA SÍNTESIS DE LA UNIDAD La técnica de estudio que se aplica en la síntesis de los contenidos tratados en esta unidad es un esquema que permite graficar el conocimiento de cada estudiante. Este esquema permite que las y los estudiantes conecten los conocimientos y no vean cada contenido como entes aislados y no relacionados entre sí. Es importante que este trabajo se realice de forma individual, para que cada estudiante sea capaz de evaluar su aprendizaje, y en seguida hacer una puesta en común de los resultados del esquema y del análisis.

Unidad 3 133

Guía 5º U3Fracciones

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EVALUACIÓN SUMATIVA Los ejercicios y problemas que se presentan en la sección ¿QUÉ APRENDÍ? permiten evaluar los aprendizajes que cada alumno o alumna ha logrado a lo largo de la unidad de fracciones. La sección ¿QUÉ LOGRÉ?, permite que las y los estudiantes se autoevalúen y analicen sus propios niveles de logro, con respecto a su aprendizaje. Es bueno que esta sección sea muy bien guiada, para que se logre el objetivo. Dé tiempo para volver a los aspectos o contenidos que quedaron débiles, y así seguir con la unidad siguiente.

¿QUÉ APRENDÍ? Ítem

Habilidades que se evalúan

1, 2 y 5

Identificar.

Calcular.

Asociar.

6y7

Comparar.

8, 9, 10 y 11

Calcular.

Aplicar.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales El Hipertexto presenta una Autoevaluación con preguntas tipo SIMCE, las que aparecerán en forma aleatoria. Los alumnos y alumnas deberán marcar la opción correcta y al finalizar, tendrá un recuadro que le entregará criterios para autoevaluar sus resultados. Se sugiere que la realicen antes de la sección ¿QUÉ APRENDÍ?

134 Guía didáctica Matemática 5

Es posible que las y los estudiantes aún presenten dificultades para calcular adiciones y sustracciones con distinto denominador. En este caso, es importante volver a explicar paso a paso, el procedimiento y enfatizar que la amplificación o simplificación de fracciones no se realiza porque sí, sino que se hace con el fin de igualar los denominadores. Se recomienda dar ejemplos y resolver ejercicios en el cuaderno.

Guía 5º U3Fracciones

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Texto para el Estudiante 90 y 91

EVALUACIÓN FOTOCOPIABLE En las páginas siguientes se presenta una evaluación que se puede fotocopiar y utilizar como evaluación sumativa de la unidad. El propósito de esta evaluación es medir los niveles de conocimientos adquiridos en la unidad de fracciones. El tiempo estimado es de 50 minutos, pero este puede variar en función de las características de los y las estudiantes. Para poder calificar a los alumnos y alumnas es recomendable utilizar la pauta que se presenta a continuación.

Ítem

Habilidades que se evalúan

Identificar y calcular.

Calcular y representar.

III IV

Puntaje

Total

1 punto cada una.

8 puntos.

1 punto por cada resultado y 1 punto por la representación.

6 puntos.

Calcular.

2 puntos por cada resultado.

6 puntos.

Aplicar.

Para cada problema: 1 punto por identificar las operaciones, 1 punto por la corrección de los cálculos y 1 punto por la coherencia de la respuesta.

6 puntos.

Puntaje total

26 puntos.

Unidad 3 135

Guía 5º U3Fracciones

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EVALUACIÓN FRACCIONES Nombre:

Curso: 5°

Fecha:

Puntaje:

Nota:

I. Marca la alternativa correcta. 1. ¿Qué fracción del recuadro no está pintado?

5. ¿Qué fracción está representada en el punto A?

0 A. A. B. C. D.

3 21 17 21 4 21 21 4

A. B.

1 4

2 4

C. 2 2 5 D. 12 2 5

3. ¿Cuál de las siguientes fracciones es equivalente a 2 ? 5 C. 8 A. 1 5 10 D. 6 B. 4 15 8 4. “Cuatro catorceavos”, corresponde a la lectura de la fracción: 4 10 4 D. 140 C.

136 Guía didáctica Matemática 5

4 10 5 4

C. 1 2 D. 2 15

7. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor que 5 ? 9 A.

A. 14 4 B. 4 14

2 3

6. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor que 4 ? 8

2. ¿Cuál de los siguientes números mixtos equivale a la fracción 12 ? 5

A. 1 2 5 2 B. 5 2

5 10 9 9

1 2 10 D. 18 C.

8. ¿Cuál es el resultado de la siguiente adición? 2 + 1 + 5 3 9 9 A. 12 9 B. 8 9

1 2 D. 9 27 C.

Guía 5º U3Fracciones

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II. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones de fracciones y representa gráficamente los resultados. a) 7 + 5 + 2 12 12 12 b) 4 + 2 15 3 c) 12 – 4 8 16 III. Resuelve los siguientes ejercicios combinados. a) 5 + 2 8 8

( ) – 14 b) ( 5 + 1 ) – ( 5 – 1 ) 10 2 10 2 c) ( 4 – 1 ) + 3 20 4 4 IV. Resuelve los siguientes problemas y explica, paso a paso, la estrategia utilizada: a) Ana, Pablo y Felipe participaron en la corrida que organizó el colegio. Ninguno logró llegar a la meta establecida. Ana recorrió 5 de la distancia total establecida, Pablo 4 y Felipe 2 . ¿cuál de los tres niños logró correr una 8 10 4 mayor distancia? ¿cuál de los tres niños recorrió una menor distancia?

b) En una oficina tienen instalado un bidón con 10 litros de agua. Si el lunes se consumen 2 del bidón de agua, el 10 martes 1 y el miércoles 3 , ¿qué fracción del bidón de agua se ha consumido en total?, ¿qué fracción del bidón 5 10 de agua queda sin consumir?

Unidad 3 137

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UNIDAD

Decimales Propósito de la unidad El trabajo de esta unidad está orientado a que las y los estudiantes sean capaces de resolver situaciones que implican el uso de los números decimales. Para lograr el propósito, se propone promover en los alumnos y alumnas, la comprensión de los números decimales, poniendo mayor énfasis en la información que ellos nos entregan. A continuación se presenta un cuadro que vincula los Contenidos Mínimos Obligatorios, los aprendizajes esperados de la unidad y los indicadores, que le permitirán evaluar el aprendizaje de sus estudiantes.

Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO)

Aprendizajes esperados

• Leer y escribir números decimales positivos. • Interpretar y comunicar información expresada en números decimales. • Relacionar los números decimales con las fracciones, realizando sus transformaciones.

• Leen y escriben números decimales positivos. • Interpretan la información expresada por los números decimales. • Comunican en forma oral y escrita información con números decimales. • Transforman número decimales en fracción y viceversa.

Representación de números naturales, fracciones y números decimales positivos en la recta numérica y establecimiento de relaciones de orden entre ellos.

• Representar e identificar números naturales, fracciones y números decimales positivos en la recta numérica. • Establecer relaciones de orden entre los números naturales, fracciones positivas y los números decimales

• Representan números naturales, fracciones y decimales en la recta numérica. • Establecen relaciones de orden entre los números naturales, las fracciones positivas y los números naturales.

• Resolver adiciones y sustracciones de números decimales.

• Resuelven adiciones y sustracciones de números decimales.

Resolución de problemas referidos a contextos diversos haciendo uso de las operaciones de adición y sustracción de números decimales, enfatizando en habilidades relacionadas con la búsqueda de información necesaria para su solución, la planificación y puesta

• Resolver situaciones problemáticas en diversos contextos haciendo uso de las operaciones de adición y sustracción de números decimales.

• Resuelven situaciones problemáticas que implican calcular adiciones y sustracciones de números decimales.

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Indicadores

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en práctica de estrategias de solución y la interpretación y evaluación de los resultados obtenidos en relación al contexto.

Relación entre los aprendizajes de la unidad y los de otros años 3º y 4º Básico

5º Básico

6º Básico

7º Básico

• Leer, escribir y comprender el significado de fracciones simples y números decimales, representarlos en la recta numérica, interpretar información proporcionada empleando dichos números, utilizarlos para comunicar información, y establecer relaciones entre ambas notaciones. • • • • • •

Leer y escribir números decimales positivos. Interpretar y comunicar información expresada en números decimales. Representar e identificar números naturales, fracciones y números decimales positivos en la recta numérica. Establecer relaciones de orden entre los números naturales, fracciones positivas y los números decimales Resolver adiciones y sustracciones de números decimales. Resolver situaciones problemáticas en diversos contextos haciendo uso de las operaciones de adición y sustracción de números decimales.

• Calcular, mediante el uso de herramientas tecnológicas, multiplicaciones y divisiones de números decimales positivos, y aplicar en contextos reales. • Relacionar el porcentaje con su expresión como número decimal. • Multiplicar y dividir un número decimal positivo por una potencia de 10. • Resolver problemas en contextos diversos que involucren el empleo de las 4 operaciones aritméticas en el ámbito de los números decimales positivos. • Identificar y comprender potencias que tienen como base un número decimal positivo.

Unidad 4 139

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Esquema de la unidad Periódico Infinitos Anteperiódico

PUEDE SER

Finitos TIENEN

Números decimales

Fracción

PUEDEN SER EXPRESADOS COMO

Parte entera Parte decimal PERMITEN EXPRESAR

CON ELLOS SE PODRÁN RESOLVER

EL RESULTADO DE UNA

División no exacta

Adiciones

Sustracciones

PARA

Resolver problemas

Errores frecuentes En la siguiente tabla presentamos algunos de los errores frecuentes que cometen los alumnos y alumnas y sugerencias que le permitirán evitarlos o subsanarlos. Errores frecuentes

Cómo subsanarlos

Los alumnos y las alumnas presentan dificultad para entender lo que expresa la parte decimal de un número decimal y establecer su relación con las fracciones.

Se sugiere que las y los estudiantes representen gráficamente números decimales, para que así entiendan que la parte decimal, representa una parte del entero, por ejemplo: 2, 5 son dos enteros y 5 partes de las diez, es decir 5 décimos. De esta forma también podrán comprender que un número decimal puede ser expresado como fracción y viceversa.

Expresar como fracción un número decimal periódico.

Se sugiere dar al menos tres ejemplos para que sus estudiantes los analicen y copien en sus cuadernos, tanto para un número periódico, como para uno semiperiódico.

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BIBLIOGRAFÍA • Centeno, J. Números decimales. ¿Por qué?, ¿para qué? Editorial Síntesis, Madrid. 1998. • Sitios: http://www.profesorenlinea.cl/swf/links/frame_top.php?dest=http%3A//www.profesorenlinea.cl/matematica/ Decimalafraccion.htm http://endrino.pntic.mec.es/~pmuh0001/numerosdecimales.html Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.

Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos a Un número racional, escrito de la forma , es equivalente a una única expresión b decimal. Para expresar un número racional, de la forma a , como número decimal, se debe b dividir el numerador por el denominador. Para expresar un número decimal como una fracción se deben considerar tres casos: número decimal finito, número decimal infinito periódico y número decimal infinito semiperiódico. Los números decimales infinitos no periódicos no pueden expresarse de la forma a , b por lo tanto, no son números racionales. Expresión fraccionaria de un número decimal finito Se debe amplificar el número decimal por una potencia de 10 que tenga tantos ceros como cifras tenga la parte decimal del número.

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En estas páginas se espera motivar a los y las estudiantes, poniéndolos en contacto con una situación fácil de comprender, en la que se ve el uso cotidiano de los números decimales. Podrán comparar números decimales y darles un sentido real y cercano.

ACTIVIDAD INICIAL Puede pedir a sus alumnas y alumnos que en su cuaderno, peguen o escriban, ejemplos de diferentes contextos donde se usan los números decimales. Pueden usar como fuente los diarios, revistas e Internet, en caso que tengan acceso a éste. La idea es que lleguen a concluir que los números decimales son parte de nuestra vida diaria, con diferentes funciones, entregando diferente tipos de información. Dé el ejemplo de las notas, muy cercano a ellos, haciendo preguntas como: ¿qué significa que te saques un 6,8?

INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA PARA DOCENTES Es en este nivel donde las y los estudiantes comienzan el estudio de los números decimales, por ello es muy importante que su introducción sea mediante la presentación del uso de los números decimales en contextos reales y cercanos para los alumnos y alumnas. En estas páginas se espera activar los conocimientos y experiencias previas de los y las estudiantes, promoviendo el análisis de una situación cotidiana para ellos, como es asistir a un control con el pediatra. Es importante que los y las estudiantes compartan y comparen sus respuestas, siendo capaces de llegar a un acuerdo.

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Texto para el Estudiante 92 y 93

CONVERSEMOS DE… Habilidades que se desarrollan Analizar, comparar, justificar.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • A partir del análisis hecho de la ilustración, puede pedirles a sus estudiantes que se reúnan de a tres, se pesen y midan y luego respondan las siguientes preguntas: - ¿Quién pesa más? - ¿Quién pesa menos? - ¿Quién es el más alto? - ¿Cuál es la diferencia entre el más alto y el más bajo? • Es importante que analicen también otros contextos donde se utilizan los números decimales, como: ¿por 1 qué en el almacén venden 4 de queso y en el supermercado se dice 0,25 kilogramos?, ¿representarán lo mismo? Justifica. (Habilidades que desarrollan: registrar, analizar y comparar).

El recurso de Introducción presentado en la unidad 4 del Hipertexto complementa y motiva el inicio de esta unidad. Se sugiere que ingresen a este recurso y que luego trabajen la sección CONVERSEMOS DE…

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EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA ¿CUÁNTO SABES? Ítem

Habilidades que se evalúan

1, 3 y 4

Reconocer.

Comparar.

5y6

Calcular.

Resolver.

Las actividades evaluativas presentadas en la sección ¿CUÁNTO SABES? consideran los siguientes criterios: Ítem 1: escribir cómo se leen algunas fracciones. Ítem 2: comparar fracciones, usando símbolos <, > o =. Ítem 3: reconocer fracciones representadas en un gran recuadro. Sumar fracciones mediante su gráfica. Ítem 4: reconocer fracciones representadas en la recta numérica. Ítem 5 y 6: encontrar fracciones equivalentes, mediante la amplificación y simplificación. Ítem 7: resolver situaciones, mediante la comparación de cantidades enteras y decimales simples.

Ítem

Completamente logrado

Logrado

Escribe correctamente como se leen las 4 fracciones.

Escribe correctamente como se leen solo 3 fracciones.

Compara correctamente estableciendo si son >, < o = los cuatro pares de fracciones.

Compara correctamente estableciendo si son >, < o = solo tres pares de fracciones.

Identifica la fracción representada en los cuatro casos pedidos.

Identifica la fracción representada en solo tres casos.

Asocia los puntos de la recta a fracciones correctamente en ambos casos.

Asocia los puntos de la recta a fracciones en un solo caso.

Amplifica o simplifica correctamente y encuentra fracciones decimales a las fracciones dadas.

Amplifica o simplifica correctamente y encuentra fracciones decimales en solo tres de las fracciones dadas.

Resuelve correctamente ambos problemas, explicando un procedimiento adecuado.

Resuelve correctamente un problema y explica un procedimiento adecuado.

5y6 7

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Texto para el Estudiante 94 y 95

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • Si las y los alumnos presentan dificultad para desarrollar la actividad 3, pídales que cuenten el total de cuadrados en los que está dividido el recuadro grande, recuérdeles que ese número representa el denominador y el numerador será los cuadraditos del o los colores que le indique cada pregunta. • Para resolver los problemas, es bueno que los haga comparar medida de longitud, para que entiendan con más facilidad, por ejemplo, 1centímetro y 0,5 centímetros.

Por lograr

Escribe correctamente como se leen sólo 2 fracciones.

Escribe como se lee solo una fracción o no escribe ninguna correctamente.

Compara correctamente estableciendo si son >, < o = solo dos pares de fracciones.

Compara correctamente estableciendo si son >, < o = solo un par de fracciones o ninguno.

Identifica la fracción representada en solo dos casos.

Identifica la fracción representada solo en un caso o ninguno.

Al asociar los puntos de la recta a fracciones, comete errores en el numerador o denominador.

No son capaces de asociar los puntos de la recta a ninguna fracción.

Amplifica o simplifica correctamente y encuentra fracciones decimales equivalentes en solo dos de las fracciones dadas.

No amplifica o simplifica correctamente ninguna fracción, por lo que no encuentra fracciones equivalentes.

Da respuesta correcta a ambos problemas, pero no puede explicar el procedimiento utilizado.

No resuelve correctamente ningún problema.

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Lectura y escritura de números decimales positivos. Interpretación de la información expresada con estos números y comunicación en forma oral y escrita haciendo uso de ellos, en contextos del mundo real, científico y tecnológico.

ACTIVIDAD INICIAL Antes de realizar la actividad propuesta por el Texto, puede hacer que escriban una tabla con las notas obtenidas en alguna prueba de al menos 10 niños, luego les hace preguntas, orientando y promoviendo la lectura de los números decimales, como: ¿Quiénes sacaron más de un 5, ¿de qué forma leemos 6,7? ¿Qué se lee primero en un número decimal? ¿Para qué servirá la coma? En la actividad inicial de esta página, las y los estudiantes deben analizar el registro de unos puntajes y mediante el desarrollo de la sección PARA DISCUTIR, llegar a concluir sobre la forma en que se leen los números decimales, distinguiendo en ellos su parte entera y su parte decimal.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Completar.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE ACTIVIDADES 2, 3 y 4

Reconocer y representar.

• En la actividad 1, donde las y los alumnos tienen que completar la tabla, es importante explicar el ejemplo y dar dos más, para que les quede claro el objetivo de la actividad, que es facilitar la compresión de cómo realizar la lectura de números decimales. • En la actividad 2, donde deben escribir la lectura de determinados números decimales, se sugiere dar dos ejemplos y hacer relación con la tabla completada en la actividad anterior. • En la actividad 3, se recomienda, hacer dos ejemplos de escribir el valor de un dígito en un número decimal y si hay dificultad, se sugiere volver hacer referencia a la tabla de actividad 1. • En la actividad 4, se deben escribir con cifras los números decimales que son nombrados.

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Texto para el Estudiante 96 y 97

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA • Se puede construir un memorice, con dos tipos de tarjetas, donde aparece el número decimal con cifras y donde aparece el número decimal escrito con palabras. Los propios alumnos pueden crearlo y hacerlo con por lo menos 15 números decimales diferentes y jugar entre tres compañeros, los que deben poner en sectores diferentes las tarjetas y dar vuelta 1 de cada una, si coinciden gana y se queda con el par de tarjetas. (Habilidades que desarrolla: reconocer, conectar y representar).

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Como material de apoyo, pueden tener una tabla, como la de la actividad 1 e ir completándola cada vez que sea necesario hasta que ya no se requiera utilizarla.

Ingresando a Recursos Digitales, en el primer link podrán consolidar algunos conceptos referidos a números decimales. Se sugiere que luego ingresen al tercer y cuarto links para ejercitar la lectura y escritura de números decimales.

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Lectura y escritura […] de números decimales positivos, interpretación de la información expresada con estos números y comunicación en forma oral y escrita haciendo uso de ellos, en contextos del mundo real, científico y tecnológico.

ACTIVIDAD INICIAL En la actividad inicial de estas páginas, se les presenta a los y las estudiantes, una situación ilustrada en la que deben analizar y comparar cantidades expresadas con fracciones y números decimales. Con el desarrollo de la sección PARA DISCUTIR, se desea llegar a concluir que una misma cantidad que se expresa con fracción, puede ser expresada con números decimales y viceversa.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Completar.

Analizar y descubrir.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE ACTIVIDADES El objetivo de las actividades de estas páginas es que los alumnos y alumnas sean capaces de calcular la fracción que corresponde a un determinado número decimal y viceversa. Para esto se proponen las secciones EN TU CUADERNO y una ESTRATEGIA MENTAL. • En la actividad número 1 de la sección EN TU CUADERNO, los alumnos y alumnas deberán transformar fracciones a número decimal, dividiendo el numerador por el denominador. Es bueno que entre compañeros comparen sus resultados y pongan el común el procedimiento correcto. • En la actividad 2 de la sección EN TU CUADERNO, se espera que los alumnos puedan aplicar sus conocimientos y descubran el número decimal que se está describiendo. La sección ESTRATEGIA MENTAL, es un complemento para el contenido visto en estas páginas, ya que propone un mecanismo rápido de transformar números decimales en fracción y fracciones en números decimales, siempre que sean fracciones decimales. 148 Guía didáctica Matemática 5

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Texto para el Estudiante 98 y 99

ESTRATEGIA MENTAL Habilidades que se desarrolla Calcular.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • Se puede presentar a los alumnos y alumnas diferentes números decimales, con sus respectivas fracciones, y ordenarlos en columnas, para que los alumnos unan el número decimal con su respectiva fracción. • Para reforzar la estrategia mental, se les pueden entregar números decimales y fracciones decimales a los alumnos y que a modo de cálculo mental digan la fracción o número decimal correspondiente en cada caso. (Habilidades que desarrollan: conectar y calcular).

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Las y los alumnos, en un principio, pueden presentar dificultades para realizar las divisiones entre el numerador y denominador, ya que están acostumbrados a realizar divisiones con resultados enteros y no con números decimales. Es importante promover el mecanismo propuesto en el libro y dar más ejemplos.

Ingresando a Recursos Digitales, en el segundo y sexto links podrán relacionar decimales y fracciones.

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ACTIVIDAD INICIAL En la actividad inicial de estas páginas, se sugiere hacer que los estudiantes analicen la situación de Claudia y hacer el ejercicio de dividir con la calculadora el numerador por el denominador. Al desarrollar la sección PARA DISCUTIR, es bueno ir haciendo un análisis conjunto y en voz alta de las respuestas con el curso, al igual que con la explicación de cómo transformar números decimales periódicos y semiperiódicos a fracción, se sugiere ir leyendo en conjunto y desarrollar inmediatamente a la explicación un ejemplo para que no haya problemas.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Clasificar.

Transformar.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE ACTIVIDADES • En la actividad 1, los y las estudiantes deben observar los números decimales y clasificarlos en finitos, infinitos periódicos o infinitos semiperiódicos. Para lograr el desarrollo de esta actividad con orden, se sugiere hacer una tabla e incluso dar más números en el cuaderno para clasificarlos. • En la actividad número 2, se espera que los estudiantes expresen como fracción números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos, aplicando la metodología enseñada. • La sección HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS, tiene como objetivo que el alumno o alumna, utilice una planilla Excel, para transformar los números decimales en fracción de una forma mucha más simple y rápida.

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Texto para el Estudiante 100 y 101

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA Si los alumnos y alumnas presentan dificultad para transformar los números decimales en fracción, se sugiere utilizar la calculadora para comprobar los resultados obtenidos y anotar el procedimiento en forma de fórmula, para que quede aún más claro. (Habilidades que desarrolla: conectar y representar).

HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Habilidades que desarrolla

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Para que el aprendizaje y comprensión de los números decimales finitos e infinitos se logre, es importante partir de la necesidad de expresar una fracción en número decimal, dándose aquí el caso.

Completar y analizar.

Ingresando a Recursos Digitales, en el octavo link podrán ejercitar con números decimales infinitos.

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Representación de números naturales, fracciones y números decimales positivos en la recta numérica y establecimiento de relaciones de orden entre ellos.

ACTIVIDAD INICIAL Antes de desarrollar la actividad inicial de estas páginas, se propone leer el título “Decimales, fracciones y números naturales en la recta numérica” y hacer un análisis de él, para que a modo de lluvia de ideas, las y los estudiantes respondan preguntas como: ¿qué te sugiere el título?, ¿pueden estar en una misma recta números decimales, fracciones y números naturales?, el 0,5, ¿dónde lo ubicarías en una recta numérica?, ¿más cerca del 0 o del 1?, etc. En la actividad inicial de estas páginas, se propone analizar una situación, en la que los valores (distancias) se ubican en una recta numérica y que junto con el desarrollo de la sección PARA DISCUTIR, se pueden llegar a concluir algunos aspectos referidos a los números decimales en la recta numérica.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

1y2

Construir e identificar.

Analizar.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Para el desarrollo de la actividad 1, se sugiere dar un ejemplo, donde se construye una recta y se ubican los números decimales. Si presentan dificultad para ubicar números decimales, se les puede proponer hacer la relación con una regla, donde los milímetros pasan a ser los décimos del número decimal y así podrán ubicarse mejor. • Para el desarrollo de las actividad 2, donde los estudiantes, además de hacer la construcción de la recta numérica y la ubicación de los números decimales en ésta, deben realizar el análisis de la recta numérica, estableciendo algunas relaciones de orden entre los números. Es recomendable que los alumnos expongan y justifiquen sus respuestas.

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Texto para el Estudiante 102 y 103

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • Hacer que alumnos se reúnan de tres personas y hacer que registren diferentes datos en torno a un tema, como por ejemplo la cantidad de grasas en diferentes tipos de galletas. Registrar los datos y ubicarlos en una recta numérica y hacer que ellos mismos elaboren tres preguntas de análisis, siguiendo el ejemplo de la página inicial.

(Habilidades que desarrollan: registrar, identificar y analizar).

• Entregarles los siguientes números: 1 1 ; 0,5; 0,25; ; 2 2 4 y pedirles que los ubiquen en la recta numérica, para luego analizar que estos tres tipos de números representan una cantidad, que puede ser asociada con distintos puntos de la recta numérica.

(Habilidad que desarrollan: analizar).

Ingresando a Recursos Digitales, en el noveno link podrán reconocer números decimales en situaciones concretas y representarlos en la recta numérica.

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Representación de números naturales, fracciones y números decimales positivos en la recta numérica y establecimiento de relaciones de orden entre ellos.

ACTIVIDAD INICIAL La actividad inicial propuesta en estas páginas, presenta una situación, donde los y las estudiantes, a través del desarrollo de la sección PARA DISCUTIR, deben llegar a ordenar los números decimales presentados, de mayor a menor y de menor a mayor. Se recomienda que la actividad sea guiada y que los alumnos y alumnas expongan sus respuestas con justificaciones, de modo, de llegar a un acuerdo con el curso.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

1y2

Clasificar.

Clasificar y evaluar.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En la actividad 1, los alumnos y alumnas deben comparar números decimales y establecer cuál es mayor, menor o igual. Es recomendable recordarles que siempre deben comparar primero la parte entera y en caso que sean iguales, seguir comparando la decimal en orden. • En la actividad 2, los alumnos y alumnas deben ordenar una determinada cantidad de números decimales de menor a mayor. Para comprobar los resultados y hacer más amplia la actividad es recomendable pedirles a sus alumnos que ubiquen dichos números en una recta numérica y comparen sus resultados con otros compañeros, para detectar los errores. • En la actividad 3, se pide que las y los estudiantes identifiquen los números decimales que se encuentran entre otros dos ya presentados. • En la actividad 4, las y los estudiantes deben resolver situaciones y dar respuestas. Es recomendable hacer una puesta en común de las respuestas elaboradas por ellos, que las justifiquen y puedan sacar conclusiones.

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Texto para el Estudiante 104 y 105

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA Se recomienda pedir a los alumnos y alumnas que formen grupos y recopilen datos reales y cercanos para ellos, para que los ordenen de menor a mayor, como por ejemplo su peso en kilogramos, estatura en metros, la medida en centímetros del largo de los dedos o del pie, etc. (Habilidades que desarrolla: medir, comparar y ordenar).

EVALUACIÓN FORMATIVA MI PROGRESO Habilidades que se evalúan Analizar, comparar e identificar

Antes de realizar la actividad evaluativa presentada en MI PROGRESO, es importante explicar el valor del dólar en pesos chilenos que logren comprender adecuadamente la situación planteada.

Ingresando a Recursos Digitales, en el séptimo link podrán comparar números decimales. Se sugiere que luego ingresen a Actividades, en el primer recurso podrán ordenar números decimales y relacionar números escritos de forma decimales y en forma fraccionaria, y en el segundo recurso, ordenar números decimales de manera decreciente, considerando datos reales. Unidad 4 155

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Determinación y aplicación de procedimientos para efectuar adiciones y sustracciones de números decimales positivos en base a la generalización de los procedimientos de cálculo y las propiedades de la adición y sustracción en los números naturales.

ACTIVIDAD INICIAL La actividad inicial de estas páginas, presenta una situación que es recomendable analizarla en conjunto con los y las estudiantes, hacer preguntas de motivación como: ¿por qué razones una mujer embarazada subirá de peso?, ¿todas suben lo mismo? ¿las guagüitas, pesarán, más o menos, lo mismo cuando nacen? Una vez analizada la situación de inicio, es recomendable, que les pidan a los alumnos que desarrollen individualmente la sección PARA DISCUTIR, y que luego comparen y justifiquen sus respuestas con sus compañeros. Se recomienda dar ejemplos en la pizarra de adiciones y sustracciones con números decimales.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En la actividad 1, se espera que las y los alumnos calculen el resultado de diferentes adiciones y sustracciones. Es importante guiarlos en el desarrollo de los ejercicios combinados y recordarles que primero se desarrolla el paréntesis. • En la actividad 2, las y los estudiantes deben completar series numéricas, realizando adiciones y sustracciones según lo indique cada serie. Es bueno que los estudiantes pongan en común sus respuestas y que incluso verifiquen sus resultados con el uso de una calculadora. • En la actividad 3, es importante que las y los alumnos, expliquen el procedimiento que utilizaron para desarrollar sus respuestas en cada problema, de modo que noten algún error en caso de existirlo.

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Texto para el Estudiante 106 y 107

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA • Para ejercitar el cálculo de adiciones y sustracciones con números decimales, se les puede pedir a los alumnos y alumnas que completen tablas reemplazando valores como en el siguiente ejemplo: Completa las siguientes tablas:

2,5

1,5

0,3

3,4

2,8

1,5

0,8

0,4

0,2

9,85

8,73

6,75

a+b

a+c

a+b+c

a–b

a–c

a + (b – c)

(Habilidades que desarrolla: calcular).

EVALUACIÓN FORMATIVA La actividad presentada en la sección MI PROGRESO, tiene por objetivo evaluar los aprendizajes en relación a la comparación de los números decimales y al cálculo de adiciones y sustracciones. Es importante poner énfasis en los procedimientos que utilizaron los y las estudiantes para llegar a sus respuestas y así determinar sus dificultades, para ayudarlos a resolverlas a tiempo.

MI PROGRESO Habilidades que se evalúan Comparar, calcular y resolver.

Ingresando a Recursos Digitales, en el quinto link podrán ejercitar adición y sustracción con números decimales. Luego, en el décimo link podrán observar situaciones de la vida cotidiana donde se utiliza la adición o sustracción con números decimales. Unidad 4 157

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Resolución de problemas referidos a contextos diversos haciendo uso de las operaciones de adición y sustracción de números decimales, enfatizando en habilidades relacionadas con la búsqueda de información necesaria para su solución, la planificación y puesta en práctica de estrategias de solución y la interpretación y evaluación de los resultados obtenidos en relación al contexto.

BUSCANDO ESTRATEGIAS Actividad

Habilidades que se desarrollan

Aplicar y verificar.

2y3

Seleccionar, aplicar y verificar.

La resolución de problemas se trabaja transversalmente en toda la unidad, sin embargo, en esta sección se trabaja de forma específica a través de la presentación de una estrategia de resolución que las y los alumnos deben aprender y aplicar. Es importante trabajar, paso a paso, el proceso de resolución, enfatizando la comparación y evaluación de procedimientos propios en contraste con la estrategia sugerida y los empleados por otros compañeros y compañeras.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En la actividad 1, es recomendable pedir a los alumnos y alumnas que comparen sus resultados y verifiquen si la estrategia aplicada es la que se enseñó. • En la actividad 2 y 3, se recomienda que los alumnos, una vez resuelto los problemas, analicen la estrategia utilizada y concluyan si fue o no pertinente. También es bueno que entre compañeros compartan sus estrategias y resultados obtenidos.

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Texto para el Estudiante 108 y 109

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • De forma complementaria, pidan a sus alumnos y alumnas que resuelvan problemas como los siguientes, escogiendo ellos la estrategia que consideren más adecuada. a) La señora Clemencia ocupa una cinta verde para poner de adorno en sus manualidades. Tenía en total 2 metros de cinta. El primer día ocupó 0,3 metros, el segundo día 0,7 metros y el último día 0,4 metros. ¿Cuántos metros de cinta utilizó la señora Clemencia en sus manualidades?, ¿le sobró cinta o le faltó? Justifica. b) Pedro debió hacer un experimento para el colegio, plantar una semilla de poroto. Luego de una semana el poroto creció 0,7 centímetros, la segunda semana alcanzó una altura de 1,2 centímetros. ¿Cuántos centímetros creció la planta entre la primera y la segunda semana? c) La señora Ema vende pan amasado en su barrio. Si vende de lunes a viernes y cada día aproximadamente vende 5,5 kilogramos, ¿Cuántos kilogramos de pan vende al cabo de cinco días? d) Don Juan vende lentejas en la feria. Si en un día vendió 7 bolsitas de 0,75 kilogramos cada una, ¿Cuántos kilogramos de lenteja vendió en total don Juan? (Habilidades que desarrollan: analizar y calcular).

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CONEXIONES Habilidades que se desarrollan Analizar, resolver, aplicar.

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA Para un buen desarrollo de esta actividad, se recomienda llevar a los estudiantes a buscar información en los computadores del colegio, en caso de tenerlos. Una actividad anexa a la presentada en esta página, es pedir a los alumnos que investiguen en equipos sobre las metas logradas por algunos deportistas, en ramas como la natación y analizar la información obtenida. (Habilidad que desarrolla: conectar y usar herramientas).

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES Es recomendable que promueva en sus alumnos y alumnas la valoración de la Matemática como parte importante de nuestra realidad y como fuente de solución de problemas. Este tipo de actividad permite y apoya este propósito. Es importante, que junto con el desarrollo de las actividades presentadas en esta sección, CONEXIONES, se analice la presencia y utilidad de los números decimales en diferentes contextos reales.

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Texto para el Estudiante 110 y 111

SÍNTESIS Habilidades que se desarrollan Recordar, completar y analizar.

SUGERENCIAS RESPECTO DE LA SÍNTESIS DE LA UNIDAD La técnica de estudio de esta unidad, que consiste en la completación de oraciones, permite tener un resumen de los contenidos y conceptos aprendidos a lo largo de la unidad.

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EVALUACIÓN SUMATIVA Los ejercicios y problemas presentados en la sección ¿QUÉ APRENDÍ? Permite evaluar los aprendizajes que han alcanzado en la unidad. También se presenta la sección ¿QUÉ LOGRÉ? donde las y los estudiantes deberán autoevaluar su desempeño a través de indicadores que incluyen las habilidades y contenidos trabajados durante el desarrollo de la unidad. Es recomendable, que en la sección ¿QUÉ LOGRÉ?, se le pida a los estudiantes que justifiquen su Autoevaluación, para que pueda tomar conciencia real de las dificultades y logros obtenidos, y, en consecuencia, poder subsanar a tiempo las deficiencias.

¿QUÉ APRENDÍ? Ítem

Habilidades que se evalúan

Calcular.

2y3

Identificar.

Ordenar.

5, 6 y 7

Identificar.

Resolver.

Calcular.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales

10 y 11

Resolver.

• Es posible que los y las estudiantes presenten dificultad para completar la tabla de la actividad 9, es recomendable dar un ejemplo antes de ser completada.

• Puede ser que las y los alumnos presenten dificultad para resolver los problemas, se recomienda en este caso orientarlos a realizar un análisis de la información que entrega cada situación para luego resolverla.

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Texto para el Estudiante 112 y 113

EVALUACIÓN FOTOCOPIABLE En las páginas siguientes se presenta una evaluación fotocopiable que se puede utilizar como evaluación sumativa de la unidad. El propósito de esta evaluación es medir los niveles de conocimientos adquiridos en la unidad de números decimales. El tiempo estimado es de 50 minutos, pero éste puede variar en función de las características de los estudiantes. Para poder calificar a los estudiantes es recomendable utilizar la pauta que se presenta a continuación. Ítem

Habilidades que se evalúan

Puntaje

Total

Identificar y calcular.

1 puntos cada una.

8 puntos

Calcular y justificar.

1 punto cada resultado y 2 puntos la explicación.

5 puntos

III

Calcular y justificar.

1 punto cada resultado y 2 puntos la explicación.

5 puntos

Aplicar y resolver.

Para cada problema: 1 punto por identificar las operaciones, 1 punto por la corrección de los cálculos y 1 punto por la coherencia de la respuesta.

9 puntos

Puntaje total de la evaluación

27 puntos

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EVALUACIÓN DECIMALES Nombre:

Curso: 5°

Fecha:

Puntaje:

Nota:

I. Marca la alternativa correcta. 1. 3 enteros, 5 centésimos, corresponde al número decimal:

6. El resultado del ejercicio: 2,5 + (8,3 – 4,2) es igual a:

A. 0,35

A. 6,6

B. 3,50

B. 4,1

C. 3,005

C. 6,7

D. 3,05

D. 6,8

2. La fracción 1 corresponde al número decimal: 3

A. 0,33

7. El número decimal ubicado en la siguiente recta numérica es:

B. 0,3 C. 0,30 D. 3,0

3. ¿Cuál de los siguientes números decimales es semiperiódico? A. 0,50

A. 1,3

B. 0,334

B. 0,3

C. 0,5777

C. 0,4

D. 0,544

D. 0,5

4. ¿Cuál de los siguientes números decimales es mayor que 3,87? A. 3,80 B. 3,86 C. 3,88 D. 3,59 5. Una guagua cuando nació pesó 3,600 kilogramos y al mes pesaba 3,870 kilogramos, ¿Cuántos kilogramos aumentó la guagua al cabo de un mes? A. 3,77 B. 0,27 C. 27 D. 2,7 164 Guía didáctica Matemática 5

8. ¿Cuál de las siguientes frases es falsa? A. Los números decimales pueden ser finitos e infinitos. B. Los números decimales infinitos pueden ser periódicos o semiperiódicos. C. Sólo algunas fracciones pueden ser expresadas como número decimal. D. Los números decimales tienen una parte entera y una decimal.

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II. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones con números decimales y explica el procedimiento que utilizaste. a) 9,4 + 13,8 + 12,34

b) 8,3 + 12,808 + 2,4

c) 14,576 – 9,008

III. Resuelve los siguientes ejercicios combinados y explica el procedimiento que utilizaste: a) (12,4 – 3,4) + (2,5 – 0,73)

b) (24,67 – 12,30) + 3,8

c) (1,7 + (12,73 – 11,09)

IV. Resuelve detenidamente los siguientes problemas y explica, paso a paso, la estrategia utilizada: a) Un grupo de amigos del curso realizó un trabajo en equipo, donde cada uno se autoevaluaba y el profesor calculaba su nota. Juan sacó un 5,8, Pedro un 6,2, Martina un 6,1 y Felipe un 5,7. Ubica las notas de los alumnos en una recta numérica y luego, ordena los alumnos desde el que obtuvo menor nota, al que obtuvo mayor nota.

b) Para una convivencia de curso se compraron 10 litros de bebida. Si se consumieron 7,5 litros, ¿cuántos litros de bebida sobraron?

c) Para la semana del colegio, se premiaba la alianza que tejía la bufanda más larga. La alianza amarilla tejió una que medía 2,75 metros, la bufanda de la alianza azul midió 2,65 metros y la de la alianza roja midió 3,05 metros. ¿Qué alianza tejió la bufanda más larga?, ¿cuál fue la diferencia en metros entre el primer y segundo lugar?

Unidad 4 165

TALLER 2

31/12/08

12:51

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TALLER DE EVALUACIÓN 2 Esta sección le permite evaluar el aprendizaje de sus alumnos y alumnas respecto de los contenidos, procedimientos y habilidades trabajados en las unidades 3 y 4 del Texto. Así, a través de las actividades propuestas se espera que los y las estudiantes demuestren sus conocimientos acerca de las fracciones, los decimales y la resolución de problemas de adición y sustracción con estos números. Para evaluar el primer ítem de selección múltiple es importante tener en cuenta que se presentan preguntas que apuntan a los contenidos de la tercera unidad y otras a los de la cuarta. Así, se considera: Unidad 3 (preguntas 1 a 5). Logrado, si contesta correctamente todas las preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente al menos 3 preguntas. Por lograr, si contesta correctamente 2 o menos preguntas. Unidad 4 (preguntas 6 a 10). Logrado, si contesta correctamente todas las preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente al menos 3 preguntas. Por lograr, si contesta correctamente 2 o menos preguntas. Para evaluar el ítem II de desarrollo, se sugiere utilizar las siguientes rúbricas: Ítem

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

II, 1a)

Ordena los números decimales sin cometer errores.

Ordena los números decimales, cometiendo hasta 2 errores.

Ordena los números decimales, cometiendo 3 o más errores.

II, 1b)

Compara los números decimales, determinado correctamente el mayor y el menor.

Compara los números decimales, determinado correctamente el mayor o el menor.

No logra comparar correctamente números decimales.

II, 1c)

Calcula la sustracción de decimales y determina el nuevo orden correctamente.

Calcula la sustracción de decimales correctamente, pero no logra determinar el nuevo orden.

Comete errores al realizar los cálculos, o bien utiliza un procedimiento inadecuado.

II, 1d)

Calcula correctamente la diferencia entre los números decimales pedidos.

Calcula la diferencia entre los números decimales pedidos, cometiendo errores específicos en el algoritmo.

No utiliza un procedimiento que permita calcular la diferencia entre los números decimales pedidos.

166 Guía didáctica Matemática 5

TALLER 2

31/12/08

12:51

Página 167

Texto para el Estudiante 114 y 115

Ítem I

Habilidades que se evalúan

I. 1, 2, 3 y 4

Reconocer.

I. 5

Clasificar.

I. 6

Calcular.

I. 7

Identificar.

I. 8

Analizar.

I. 9

Calcular.

I. 10

Aplicar.

II. 1

Clasificar, analizar, calcular y aplicar.

II. 2

Aplicar.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales Es posible que los y las estudiantes aún presenten dificultades para resolver adiciones y sustracciones de fracciones con diferente denominador. Recalque que es necesario igualar los denominadores de las fracciones para realizar estos cálculos y solicíteles que expliciten el procedimiento que seguirían para ello.

Ítem

Logrado

II. 2a), b), c), d) y e)

El procedimiento implementado incorpora los datos necesarios y permite solucionar la situación, realiza los cálculos correctamente y formula un respuesta coherente con el contexto y pregunta de la situación.

Medianamente logrado El procedimiento implementado incorpora los datos necesarios y permite solucionar la situación, pero comete errores al realizar los cálculos o su respuesta no es coherente con el contexto y pregunta de la situación.

Por lograr El procedimiento no incorpora los datos necesarios para solucionar la situación o comete errores al realizar los cálculos y su respuesta no es coherente con el contexto y pregunta de la situación.

Taller de evaluación 2 167

Guía 5º U5Perímetros y área

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UNIDAD

Perímetros y áreas Propósito de la unidad El trabajo de esta unidad está orientado a que las alumnas y alumnos sean capaces de resolver situaciones que implican calcular el perímetro de triángulos, cuadrados y rectángulos; y el área de cuadrados, rectángulos y figuras compuestas por ellos, utilizando las unidades de longitud y superficie, respectivamente. Para lograrlo se proponen variadas situaciones cuyo énfasis está puesto en la interpretación y aplicación de fórmulas para el cálculo de perímetros y de áreas. A continuación se presenta un cuadro que vincula los Contenidos Mínimos Obligatorios, los aprendizajes esperados de la unidad y los indicadores, que le permitirán evaluar el aprendizaje de sus estudiantes.

Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO)

Aprendizajes esperados

Indicadores

Interpretación de fórmulas usadas para el cálculo del perímetro de un triángulo, de un cuadrado o de un rectángulo y del área de un cuadrado o de un rectángulo.

• Determinar las fórmulas que permiten calcular el perímetro de triángulos, cuadrados y rectángulos. • Determinar las fórmulas que permiten calcular el área de cuadrados y rectángulos.

• Reconocen las fórmulas para calcular el perímetro de triángulos. • Reconocen las fórmulas para calcular el perímetro de cuadrados y rectángulos. • Reconocen las fórmulas para calcular el área de cuadrados y rectángulos.

Determinación y aplicación de fórmulas para el cálculo de áreas de cuadrados y rectángulos, cálculo de figuras que pueden ser descompuestas en cuadrados y rectángulos, identificación y uso del milímetro cuadrado, centímetro cuadrado y metro cuadrado como unidades de área.

• Aplicar fórmulas para calcular área de cuadrados, rectángulos y figuras compuestas por ellos. • Utilizar el milímetro, centímetro y metro cuadrados para expresar el área de cuadrados, rectángulos y figuras compuestas por ellos.

• Calculan el área de cuadrados, aplicando una fórmula. • Calculan el área de rectángulos, aplicando una fórmula. • Calculan el área de figuras compuestas por cuadrados y rectángulos, aplicando una fórmula. • Conocen el milímetro, centímetro y metro cuadrados y los usan para expresar la medida de áreas.

Resolución de problemas en situaciones variadas que implican el cálculo de áreas […].

• Resolver situaciones que implican aplicar fórmulas para calcular áreas de cuadrados, rectángulos y de figuras compuestas por ellos.

• Resuelven situaciones que implican calcular el área de cuadrados y rectángulos. • Resuelven situaciones que implican calcular el área de figuras geométricas compuestas por cuadrados y rectángulos.

168 Guía didáctica Matemática 5

Guía 5º U5Perímetros y área

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Relación entre los aprendizajes de la unidad y los de otros años

3º y 4º Básico

• Caracterizar y clasificar triángulos considerando la medida de sus ángulos, longitud de sus lados y el número de ejes de simetría. • Identificar unidades de medida de diferentes magnitudes y establecer relaciones entre ellas y el sistema de numeración decimal. • Caracterizar, dibujar y clasificar cuadriláteros considerando la medida de sus ángulos, longitud de sus lados y el número de ejes de simetría.

5º Básico

• Determinar las fórmulas que permiten calcular el perímetro de triángulos, cuadrados y rectángulos. • Determinar las fórmulas que permiten calcular el área de cuadrados y rectángulos. • Aplicar fórmulas para calcular área de cuadrados, rectángulos y figuras compuestas por ellos y usar el milímetro, centímetro y metro cuadrados para expresarlas. • Resolver situaciones que implican determinar y aplicar fórmulas para calcular áreas de cuadrados, rectángulos y de figuras compuestas por ellos.

6º Básico

• Determinar y generalizar fórmulas que permiten calcular el área de un triángulo cualquiera. • Calcular el área de figuras, en contextos concretos, que pueden descomponerse en triángulos, cuadrados o rectángulos, expresando los resultados en las unidades de área correspondientes.

7º Básico

• Determinar y aplicar fórmulas para el cálculo de volúmenes de prismas rectos de base rectangular o triangular, de cuerpos que pueden ser descompuestos en los prismas anteriores. • Reconocer y usar el milímetro cúbico, centímetro cúbico y metro cúbico como unidades de volumen.

Unidad 5 169

Guía 5º U5Perímetros y área

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Esquema de la unidad Polígonos

Medida de su contorno

Perímetros

Triángulos

Equilátero P=3•a

Cuadrados

P = 4 • lado

Medidas de su superficie

Milímetros, centímetros y metros.

Áreas

Rectángulos

Cuadrado

P=2•a+2•b

Milímetros, centímetros y metros cuadrados

Rectángulo

Á=a•a

Figuras compuestas

Á=a•b

Isósceles P=2•a+b Escaleno P=a+b+c

Errores frecuentes En la siguiente tabla presentamos algunos errores frecuentes que cometen los alumnos y alumnas, y sugerencias que le permitirán evitarlos o subsanarlos. Errores frecuentes

Cómo subsanarlos

Equivalencias entre unidades de medida de longitud y superficie.

Al resolver situaciones, generalmente, los y las estudiantes no se fijan en la unidad de medida de longitud o superficie, ponen atención solo en la cantidad. Debe recordar que lo primero que se debe hacer para resolver este tipo de situaciones es buscar las equivalencias y expresarlas en la misma unidad de medida o superficie.

Resolver situaciones en las que se conoce el perímetro y área de un cuadrado y no la medida del lado.

En ambos casos, debe promover que los alumnos y alumnas, en primer lugar, identifiquen la información disponible y la desconocida, y luego planteen una estrategia de resolución. También es favorable que realicen una representación de la situación y expliciten el procedimiento.

Resolver situaciones en las que se conoce el perímetro y el área de un rectángulo y solo la medida de uno de sus lados.

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Guía 5º U5Perímetros y área

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BIBLIOGRAFÍA • Arenas, Fernando. Geometría elemental. Editorial Pontificia Universidad Católica de Chile. Santiago, Chile. • Martínez - Rivaya. Una metodología activa y lúdica para la enseñanza de la geometría elemental. 1° edición: 1998. • Isaacs, David. Geometría Universitaria. Editorial Thomson. Año 2001. • Baldor, Aurelio. Geometría plana y del espacio y trigonometría. Editorial: Cultural Venezolana. Año: 1992. Caracas, Venezuela. • Sitios: http://www.geometriadinamica.cl/presentar_guia.asp?mode=count&c=1&id=56 http://www.geometriadinamica.cl/presentar_guia.asp?mode=count&c=1&id=57 http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/figuras/a1_rectangulo.htm http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/figuras/a2_cuadrado.htm http://www.galeon.com/escuela11melo/equivalenze.htm Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.

Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos El perímetro de un polígono cualquiera es la longitud de su contorno. Para calcularlo se deben sumar las medidas de cada uno de sus lados. Nombre del polígono

Figura

Triángulo equilátero

Perímetro

P = 3a

Área

A = ba •• hh

2 2

Triángulo isósceles

P = 2a + b

A = bb •• h

2 2 b c

a Triángulo escaleno

P=a+b+c

A = bb •• hh

2 2

b a a

Cuadrado

P = 4a

A = a2

P = 2(a + b)

A=a•b

a b Rectángulo

a b

Unidad 5 171

Guía 5º U5Perímetros y área

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En estas páginas se espera motivar a los y las estudiantes con una situación en la que se presenta un plano de un departamento, indicando las dimensiones de sus distintos sectores. Se trata de que los alumnos y alumnas calculen el largo y ancho de la vivienda, la superficie de algunos de sus sectores y la superficie total de la vivienda. Con esta actividad, los y las estudiantes relacionan las actividades de la vida diaria con esta unidad.

ACTIVIDAD INICIAL Puede pedir a los y las estudiantes que, en grupos, calculen el largo y ancho de la sala de clases, del baño del colegio y otra sala y que determinen, en cada caso, la superficie. Pueden calcular también la diferencia entre la superficie de la sala y el baño, por ejemplo.

INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA PARA DOCENTES En NB2, los alumnos y alumnas estudiaron las unidades de medida de longitud y superficie y su relación con el sistema decimal. A partir de la actividad de estas páginas se pretende que activen sus conocimientos previos respecto de este tema. Para determinar la superficie de grandes terrenos de carácter agrícola se utilizan otras unidades de superficie llamadas unidades agrarias. Estas son: el área (a), la hectárea (ha) y la centiárea (ca). 1 ha = 1 hm2 = 10 000 m2 1 a = 1 dam2 = 100 m2 1 ca = 1 m2 Fuente: http://www.sectormatematica.cl (consultado en mayo de 2008).

172 Guía didáctica Matemática 5

Guía 5º U5Perímetros y área

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Texto para el Estudiante 116 y 117

CONVERSEMOS DE… Habilidades que se desarrollan Identificar, calcular y aplicar.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Puede pedir a sus alumnos y alumnas que busquen productos que se vendan por metro cuadrado como alfombras o cubre piso y otros que se vendan por metro como los cables o las telas o géneros. También, puede solicitarles que calculen el largo y ancho de las piezas y baños de sus casas.

(Habilidad que desarrollan: identificar).

El recurso de Introducción presentado en la unidad 5 del Hipertexto complementa y motiva el inicio de esta unidad. Se sugiere que ingresen a este recurso y que luego trabajen la sección CONVERSEMOS DE…

Unidad 5 173

Guía 5º U5Perímetros y área

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EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA ¿CUÁNTO SABES? Ítem

Habilidades que se evalúan

1y4

Identificar.

2y3

Recordar.

Calcular.

Las actividades evaluativas presentadas en la sección ¿CUÁNTO SABES? consideran los siguientes criterios: Ítem 1: identificar la unidad de medida adecuada para expresar la longitud, masa o volumen de cierto objeto y la distancia entre dos ciudades. Ítem 2: recordar las equivalencias entre unidades de una misma magnitud. Ítem 3: recordar las características de cada uno de los triángulos y cuadriláteros existentes. Ítem 4: identificar las características de cada uno de los paralelogramos y reconocer semejanzas y diferencias entre ellos. Ítem 5: calcular productos cuando uno de los factores es un número decimal y el otro una potencia de 10. Los y las estudiantes pueden explicar los procedimientos y estrategias que utilizaron para determinar posibles incomprensiones, errores o procesos incompletos, y reforzarlos. Ítem

Completamente logrado

Identifica la unidad de medida adecuada en los 7 casos dados.

Identifica la unidad de medida adecuada de por lo menos 5 de los casos dados.

Recuerda las equivalencias en los 4 casos.

Recuerda las equivalencias en 3 de los casos.

Recuerda las características de los 7 tipos de triángulos existentes.

Recuerda las características de por lo menos 5 de los tipos de triángulos existentes.

Identifica las características de los 4 paralelogramos y establece diferencias y semejanzas entre ellos.

Identifica las características de 3 de los paralelogramos y establece diferencias y semejanzas entre ellos.

Calcula adecuadamente los 9 productos.

Calcula adecuadamente por lo menos 6 de los productos.

174 Guía didáctica Matemática 5

Logrado

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Texto para el Estudiante 118 y 119

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • Si sus estudiantes presentan dificultades para identificar las unidades de medida en cada uno de los casos del ítem 1, puede recordarles que: - la longitud se mide en milímetros, centímetros, metros, kilómetros, etc. - la masa se mide en gramos, kilogramos, etc. - el volumen se mide en centímetros cúbicos, litros, etc. • Si las y los estudiantes no recuerdan equivalencias entre las unidades de medida de una misma magnitud puede recordársela a partir de las siguientes equivalencias. 1 metro = 100 centímetros. 1 litro = 1000 mililitros. 1 kilogramo = 1000 gramos. 1 kilómetro = 1000 metros.

Por lograr

Identifica la unidad de medida adecuada de por lo menos 3 de los casos dados.

Identifica la unidad de medida adecuada de por lo menos 2 de los casos dados.

Recuerda las equivalencias en 2 de los casos.

Recuerda las equivalencias en uno o ninguno de los casos.

Recuerda las características de por lo menos 3 de los tipos de triángulos existentes.

Recuerda las características de por lo menos 2 de los tipos de triángulos existentes.

Identifica las características de 2 de los paralelogramos y establece diferencias y semejanzas entre ellos.

Identifica las características de 1 o ninguno de los paralelogramos y establece diferencias y semejanzas entre ellos.

Calcula adecuadamente por lo menos 3 de los productos.

Calcula adecuadamente por lo menos 2 de los productos. Unidad 5 175

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO […] identificación y uso de milímetro cuadrado, centímetro cuadrado y metro cuadrado como unidades de área.

ACTIVIDAD INICIAL En la actividad inicial de estas páginas se plantea una situación en la cual los y las estudiantes miden con una cinta métrica el largo de sus brazos y el contorno del pecho. El propósito de esta actividad es que establezcan equivalencias entre las unidades de medida de longitud. Por esto, en la sección PARA DISCUTIR se promueve que los alumnos y alumnas expresen las medidas dadas con una unidad de medida diferente. Por ejemplo, expresar los centímetros en milímetros. Una vez realizada la sección PARA DISCUTIR, proponga a sus estudiantes medir el largo del brazo de su compañero o compañera y responder: ¿cuánto mide el largo del brazo de cada uno?, ¿cuántos milímetros más mide el brazo de uno que el del otro?

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

1y2

Calcular.

Identificar.

Calcular y analizar.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE ACTIVIDADES • En las actividades 1 y 2, los y las estudiantes deben estimar la longitud en cada uno de los casos dados. Si presentan dificultades para estimar las medidas podría solucionarlas pidiéndoles que, en primer lugar, las medidas expresadas en milímetros las expresen en centímetros y, en segundo lugar, que muestren con su regla la medida de 1 centímetro, 5 centímetros, 10 centímetros y con la cinta métrica, la medida de un metro para que tengan consciencia de cada una de ellas. • En la actividad 3, los alumnos y alumnas deben identificar la unidad de medida de superficie más adecuada para medir en diferentes casos. Si presentan dificultades puede solicitar a sus estudiantes que representen gráficamente en su cuaderno un milímetro cuadrado (un cuadrado de un milímetro de lado) y un centímetro cuadrado (un cuadrado de un centímetro de lado) y, en la sala de clases, representen un metro cuadrado (un cuadrado de un metro de lado). Esta última medida la pueden hacer con papel kraft o juntando hojas de diario.

176 Guía didáctica Matemática 5

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Texto para el Estudiante 120 y 121

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • Para reforzar las actividades del Texto pida que midan con regla o cinta métrica las siguientes longitudes en centímetros y metros, y luego solicite que la expresen en una unidad de medida diferente. - El largo de tu dedo índice. - El alto de tu escritorio. - El ancho de tu sala. - El largo de tu libro. - El largo de tu compañero de banco. • Plantee, además, la siguiente situación: La señora Rosa quiere tejerle un chaleco a su hijo. Entonces le midió el contorno del cuello, del tronco y las muñecas, y la longitud del tronco y de los brazos y registró las siguientes medidas: - Contorno del cuello: 19 cm. - Contorno del tronco: 56 cm. - Contorno de las muñecas: 11 cm. - Longitud del tronco: 31 cm. - Longitud de los brazos: 39 cm. Su hijo crece muy rápido, entonces decidió agregar 20 milímetros en cada una de las medidas registradas anteriormente, ¿puedes ayudarla a encontrar las nuevas medidas?

• Por último, la actividad 4 está orientada a que los alumnos y alumnas analicen y determinen las equivalencias entre las diferentes unidades de medidas de longitud. Si les resulta complicado completar las igualdades, debe dar oportunidades para que los alumnos y alumnas que pudieron resolverlo, expliquen al curso los procedimientos utilizados.

(Habilidades que desarrollan: usar herramientas, calcular y aplicar).

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Los alumnos y alumnas deben tener en cuenta que para comparar dos o más medidas deben expresarlas en una misma unidad de medida. Sería interesante plantear situaciones como la siguiente: Dos niños han lanzado una bolita. La de Aníbal quedó a 360 mm de él y la de Pablo a 45 cm de él. ¿Cuál de los niños lanzó la bolita más lejos? A partir de esta situación usted puede observar si el primer instinto de los alumnos y alumnas es contestar que Aníbal la lanzó más lejos porque 360 es mayor que 45. Si esto sucede es porque se están fijando solo en la cantidad y no en la unidad de medida.

Ingresando a Recursos Digitales, en el primer link podrán realizar equivalencias entre unidades de longitud.

Unidad 5 177

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO […] identificación y uso de milímetro cuadrado, centímetro cuadrado y metro cuadrado como unidades de área.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Calcular y analizar.

6y7

Calcular.

Aplicar.

ESTRATEGIA MENTAL Habilidad que se desarrolla Calcular.

Ingresando a Recursos Digitales, en el segundo link podrán realizar equivalencias entre unidades de medida de superficie.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En la actividad 5, los alumnos y alumnas deben ser capaces de analizar y determinar las equivalencias entre las diferentes unidades medidas de superficie. • Es importante que los y las estudiantes tengan la posibilidad de explicar el o los procedimientos que llevaron a cabo para encontrar la solución, para comprobar que comprendieron las relaciones entre las unidades de medida de superficie. • En las actividades 6 y 7, deben calcular las equivalencias entre las unidades de medida de longitud y superficie. Es importante darle mayor relevancia a las equivalencias entre centímetros, metros y kilómetros porque son las unidades de medida de longitud y superficie más utilizadas en la vida diaria. • En la actividad 8, los alumnos y alumnas deben resolver situaciones que implican determinar las equivalencias entre dos unidades de medida de longitud o superficie para hallar la solución. Puede motivar a sus estudiantes para que creen nuevas situaciones y se las planteen a sus compañeros y compañeras.

178 Guía didáctica Matemática 5

Guía 5º U5Perímetros y área

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Página 179

Texto para el Estudiante 122 y 123

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • Plantee la siguiente situación: Un arquitecto diseña una casa con las siguientes características: - Pieza principal: 0,55 hm2. - Pieza 2: 4,8 dam2. - Cocina: 150 dm2. - Baño: 2100 cm2. ¿Cuántos metros cuadrados tiene la casa? Si los planes para el próximo año son ampliar la cocina en 1200 cm2 y construir un segundo piso con una pieza de 2600 mm2, una sala de estar de 780 cm2 y un baño de 0,08 hm2. a) ¿De cuántos metros cuadrados quedará la cocina? b) ¿Cuántos metros cuadrados tendrá el segundo piso? c) ¿Cuántos metros cuadrados tendrá la casa luego de la ampliación? • Pida a sus estudiantes que determinen si las siguientes equivalencias son verdaderas o falsas, y que justifiquen las falsas. a)

35 m2 = 3500 dm2

506 mm2 = 5,6 dam2

1233 cm2 = 12 330 mm2

560 hm2 = 56 km2

19 dm2 = 0,019 hm2

938 dam2 = 9389 dm2

(Habilidades que desarrollan: calcular, aplicar y evaluar).

Unidad 5 179

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Interpretación de fórmulas usadas para el cálculo del perímetro de un triángulo […].

ACTIVIDAD INICIAL En la situación inicial de estas páginas se orienta a los alumnos y alumnas hacia el cálculo del perímetro de triángulos como la suma de la medida de sus lados. En la sección PARA DISCUTIR se plantean preguntas relacionadas con el cálculo del perímetro de triángulos escalenos, isósceles y equiláteros, como una aproximación hacia el objetivo principal, determinar fórmulas que permitan calcular el perímetro de cualquier triángulo.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Calcular.

Generalizar.

Analizar y calcular.

Analizar y justificar.

Ingresando a Recursos Digitales, en el tercer link podrán recordar conceptos relacionados con el triángulo.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En la actividad 1, los y las estudiantes calculan el perímetro de triángulos equiláteros de diferentes medidas. • En la actividad 2, los alumnos y alumnas observan y miden los lados de triángulos rojos, verdes y azules, determinando que los primeros son equiláteros, los segundos isósceles y los terceros escalenos. Primero, expresan el perímetro de estos triángulos como la suma de la medida de sus lados y luego, de otra manera dependiendo el tipo de triángulo. Se espera que si es isósceles los y las estudiantes sean capaces de expresarlo como el producto de la medida de los lados de igual medida por 2 y sumado a la medida del tercer lado y si es equilátero, como el producto de la medida del lado por 3. • En la actividad 3, se plantean diferentes situaciones con información desconocida. En algunas de ellas se conoce la medida de los tres lados de un triángulo y se desea conocer su perímetro y en otras se conoce la medida de dos de los lados de un triángulo y su perímetro y se desea conocer la medida del lado

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Texto para el Estudiante 124 y 125

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • Pida a sus estudiantes que resuelvan las siguientes situaciones: a) Si el perímetro de un triángulo equilátero es 30 cm, ¿cuánto mide cada lado? b) Si la medida de uno de los lados de un triángulo equilátero es 6 cm, ¿cuál es su perímetro? c) Si el perímetro de un triángulo isósceles es 25 cm y sus lados congruentes miden 7 cm cada uno, ¿cuánto mide el tercer lado?, ¿qué tipo de triángulo es? d) Si 4,7 cm; 6,2 cm y 7,9 cm, son las medidas de los lados de un triángulo, ¿cuál es el perímetro de este triángulo?, ¿qué tipo de triángulo es? • Luego, pida que evalúen si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas, justificando las falsas.

desconocido. Es importante verificar que los alumnos y alumnas se hayan dado cuenta que las medidas están expresadas en diferentes unidades de medida antes de comenzar la actividad. • En la actividad 4, se plantea una situación simple pero que implica todos los temas tratados hasta ahora: equivalencia entre unidades de medida de longitud, cálculo del perímetro de un triángulo y clasificación de triángulos según la medida de sus lados. A partir de esta situación usted puede evaluar los aprendizajes de sus estudiantes respecto del tema de estas páginas y las anteriores.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Si los y las estudiantes presentan respuestas erróneas en las actividades, es importante que dé la oportunidad de que puedan representar los diferentes triángulos y que verbalicen las estrategias utilizadas para hallar las soluciones.

Dos de los lados de un triángulo isósceles miden 6,5 cm y su perímetro es 220 mm. Entonces, la medida del tercer lado es 90 mm.

El perímetro de un triángulo equilátero es 360 mm. Entonces, sus lados miden 0,12 dm cada uno.

Las medidas de un triángulo son 6,7 mm; 0,067 dm y 0,0067 m. Entonces, es un triángulo equilátero.

Uno de los lados de igual medida de un triángulo isósceles mide 15 cm y el lado que es diferente mide 267 mm. Entonces, el perímetro del triángulo es 297 mm.

(Habilidades que desarrollan: calcular, evaluar y justificar).

Unidad 5 181

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Interpretación de fórmulas usadas para el cálculo del perímetro de un triángulo, de un cuadrado o de un rectángulo […].

ACTIVIDAD INICIAL La actividad inicial de estas páginas se orienta hacia el cálculo del perímetro de cuadrados y rectángulos como la suma de las medidas de sus lados. En la sección PARA DISCUTIR se pretende que los y las estudiantes sean capaces de expresar el perímetro del cuadrado y el rectángulo de una manera diferente. En el caso del cuadrado, multiplicando la medida del lado por 4 y, en el caso del rectángulo, sumando el doble de la medida del largo y el doble de la medida del ancho.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

1y2

Calcular.

Analizar.

Resolver problemas, analizar y justificar.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En la primera actividad, los y las estudiantes deben interpretar y aplicar las fórmulas para calcular el perímetro de diferentes cuadrados y rectángulos. Los alumnos y alumnas pueden tender a no usar la fórmula y solo sumar sus lados para calcular el perímetro. Incentívelos al estudiante a usar la fórmula en cada caso. • En la segunda actividad, en algunas situaciones deben calcular el perímetro de rectángulos a partir de la medida de su largo y ancho y en las otras situaciones deben calcular la medida de uno de los lados conociendo uno de los lados y el perímetro. Es importante poner atención en los procedimientos que realizan los alumnos y alumnas. En esta actividad algunos estudiantes pueden tener dificultades para encontrar las equivalencias entre las unidades de medida y para calcular la medida de un lado teniendo el otro y la medida del perímetro. Es usual que comentan el siguiente error: que al perímetro del rectángulo dado resten la medida del lado conocido para expresar la medida del lado desconocido, olvidando dividir por dos en ambos casos. 182 Guía didáctica Matemática 5

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Texto para el Estudiante 126 y 127

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • Plantee la siguiente situación: Don Eugenio tiene dos huertos. Uno de ellos de forma cuadrada de 5 m de lado con tomates y otro rectangular de 3 m de ancho y 6 m de largo con lechugas. Desea cercarlos con alambre para que los animales no coman sus verduras. Buscando en su bodega encontró 34 metros de alambre. a) Don Eugenio dice que necesita 25 metros de alambre para cercar el huerto de tomates, ¿es correcto lo que afirma?, ¿por qué? b) Juan, el capataz, afirma que se necesitan 20 metros de alambre para cercar el huerto de tomates y 18 metros para el de lechuga, ¿está en lo cierto?, ¿cómo lo supiste? c) Entonces, ¿cuánto alambre necesita Don Eugenio para cercar ambos huertos? d) ¿Le alcanza con los 34 metros de alambre que encontró en su bodega? e) Si compra 500 centímetros más, ¿podría terminar de cercar? (Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular).

EVALUACIÓN FORMATIVA • En la tercera actividad, los alumnos y alumnas deben ser capaces de recordar que al ser un cuadrado, sus lados son de igual medida y que, por lo tanto, sus lados miden 7 cm. Es fundamental que los y las estudiantes dibujen la figura que realmente representa la situación, que en este caso es un cuadrado. • Por último, en la actividad 4 los y las estudiantes deben resolver variadas situaciones en las que deben calcular el perímetro de cuadrados y rectángulos, la medida de los lados de un cuadrado a partir de la medida del perímetro o la medida de los lados de un rectángulo a partir de la medida de uno de sus lados y el perímetro.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO El cálculo del perímetro de cuadrados y rectángulos a partir de las medidas de sus lados no debiera ser un procedimiento difícil para los y las estudiantes. Tal es el caso cuando se conoce la medida del perímetro del cuadrado o la de uno de los lados. Del mismo modo, cuando se conoce el perímetro del rectángulo y la medida de sus lados. No obstante, si se desconoce la longitud de un lado del rectángulo los estudiantes deben identificar la información desconocida, aplicando los procedimientos inversos.

MI PROGRESO Ítem

Habilidades que se evalúan

1, 2 y 3

Analizar, calcular y justificar.

Al terminar la sección MI PROGRESO es importante que revisen sus resultados y corrijan sus errores. Dé el tiempo para que comparen los procedimientos utilizados y aclaren sus dudas.

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Interpretación de fórmulas usadas para el cálculo del perímetro de un triángulo, de un cuadrado o de un rectángulos y del área de un cuadrado o de un rectángulo.

ACTIVIDAD INICIAL En la actividad inicial de estas páginas se pretende que los y las alumnas sean capaces de explorar diferentes cuadrados y rectángulos, descubriendo a partir de actividades concretas cómo se calcula el área de cuadrados y rectángulos. Puede dar a sus estudiantes cuadrados de 1 cm2 para que formen diferentes cuadrados y rectángulos y calculen el área de cada uno de ellos.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Generalizar.

Aplicar.

Representar y calcular.

Analizar y generalizar.

EN EQUIPO Habilidades que se desarrollan

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES Usar herramientas y calcular.

Ingresando a Recursos Digitales, en el décimo link podrán aplicar el cálculo de área de un rectángulo, en situaciones concretas.

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• En las dos primeras situaciones de la actividad 1, los y las estudiantes deben explicar cómo calcular el perímetro y área del cuadrado y el rectángulo. Sería ideal de que luego que lo expliquen con sus palabras pudieran expresarlo a través de fórmulas. • En la tercera situación, deben calcular las posibles medidas del lado de cuadrados y rectángulos a partir de la medida de su área. Para esta situación, puede facilitar a cada estudiante 36 cuadrados de 1 cm2 para que pueda resolver la situación con apoyo del material. Es importante dar espacio para que sus estudiantes den a conocer y comparen sus respuestas con sus pares. Luego, puede solicitarles que formen cuadrados y rectángulos con 16, 25 y 36 cuadrados de 1 cm2. En cada caso, deben identificar las medidas de los lados de los cuadrados y rectángulos formados. Otra manera de facilitar esta actividad es pedirles que construyan una tabla con los posibles valores para los lados de los cuadrados y rectángulos, considerando que el producto de ambos lados debe ser 36.

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Texto para el Estudiante 128 y 129

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para reforzar lo trabajado en el Texto, pida a sus estudiantes que resuelvan situaciones como las siguientes: a) El área de un cuadrado es 25 cm2, ¿cuál es la medida de su lado? b) El área de un rectángulo es 36 cm2 y su largo es 4 cm, ¿cuál es la medida de su ancho? c) El área de un rectángulo es 24 cm2, ¿cuáles son las medidas de su largo y ancho? Nombra la mayor cantidad de posibles soluciones. d) Una sala de juegos mide 8 m de largo y 8 m de ancho. Se coloca una alfombra que cubre todo el piso, ¿cuál es el área de la alfombra? e) Si un terreno de forma rectangular mide 7 km de largo y 3 km de ancho, ¿cuánto mide la superficie del terreno? f) ¿Cuánto mide el largo de un sobre que mide 5 cm de ancho y tiene un área de 35 cm2? g) El perímetro de un cuadrado es 20 cm. Entonces, ¿cuál es su área? h) El área de una región rectangular es 24 cm2. Si el largo mide 6 cm, ¿cuál es su perímetro? • En la actividad 4, es importante que verbalicen los procedimientos que realizan para encontrar la solución de esta situación y que los compartan con otros compañeros y compañeras.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO

i) Si el área de un rectángulo es de 72 cm2 y su largo es de 9 cm, ¿cuánto mide su ancho?

(Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular).

En las actividades referidas al perímetro y área de cuadrados y rectángulos es importante dar énfasis a la generalización de los procesos. Los alumnos y alumnas deben ser capaces de reconocer y aplicar las fórmulas correspondientes para calcular el perímetro y área de cuadrados y rectángulos.

Ingresando a Recursos Digitales, en el sexto link podrán practicar el cálculo del lado y área de un cuadrado, a partir de su perímetro.

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Determinación y aplicación de fórmulas para el cálculo de áreas de cuadrados y rectángulos, cálculo del área de figuras que pueden ser descompuestas en cuadrados y rectángulos, […].

ACTIVIDAD INICIAL El objetivo de la actividad inicial de estas páginas es que los y las alumnas sean capaces de descomponer figuras en cuadrados y rectángulos cuando sea necesario para calcular el área de ellas. Es importante que los estudiantes compartan los procedimientos que utilizaron para descomponer las figuras y calcular el área, debido a que hay variadas maneras de llegar a la solución.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Calcular.

Calcular y analizar.

HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Habilidades que se desarrollan Usar herramientas, calcular y justificar.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En la actividad 2, los alumnos y alumnas deben descomponer figuras en cuadrados y rectángulos para calcular el área de ellas. Para facilitar la tarea, pida a sus estudiantes que marquen los cuadrados y rectángulos formados a partir de la figura, calculen el área de cada uno de ellos y luego, las sumen. Es recomendable que sus estudiantes compartan la estrategia utilizada con su compañero o compañera de banco. De esta manera se podrán dar cuenta que pueden descomponer una misma figura de maneras distintas y llegar al mismo resultado.

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Texto para el Estudiante 130 y 131

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • Para consolidar los aprendizajes pida que calculen el área de figuras como la siguiente y que dibujen otra con la misma área. 4 cm

3 cm 3 cm

4 cm 5 cm

(Habilidades que desarrollan: representar, calcular y analizar).

EVALUACIÓN FORMATIVA La actividad presentada en la sección MI PROGRESO permite evaluar los aprendizajes en relación con el cálculo de área de cuadrados y rectángulos y figuras compuestas por ellos.

MI PROGRESO Habilidad que se evalúa Calcular, aplicar y evaluar.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO El pentomino es una figura geométrica compuesta por cinco cuadrados unidos por sus lados. Existen doce pentominos diferentes, que se nombran con diferentes letras del abecedario.

Ingresando a Recursos Digitales, en el cuarto, quinto, séptimo y noveno links podrán calcular áreas y perímetros de figuras compuestas. En el octavo link podrán consolidar conceptos relacionados a perímetro y área de figuras planas. Se sugiere que luego ingresen a Actividades, en el primer recurso ejercitarán el cálculo de áreas de figuras compuestas, y en el segundo, construirán figuras compuestas por triángulos, cuadrados y rectángulos.

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Pentamin%C3%B3 Unidad 5 187

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Resolución de problemas en situaciones variadas que implican el cálculo de áreas […].

BUSCANDO ESTRATEGIAS Actividad

Habilidades que se desarrollan

Aplicar y verificar.

2y3

Seleccionar, aplicar y verificar.

ACTIVIDAD INICIAL La resolución de problemas se trabaja transversalmente en toda la unidad, sin embargo, en esta sección se trabaja de forma específica a través de la presentación de una estrategia de resolución que los y las estudiantes deben aprender y aplicar. El objetivo es que los y las alumnas resuelvan problemas enmarcados en contextos de la vida diaria y que se resuelvan a través de los procedimientos y conocimientos aprendidos durante la unidad.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En la primera actividad de la sección BUSCANDO ESTRATEGIAS, los y las estudiantes deben resolver tres situaciones diferentes relacionadas con el cubrimiento de áreas mayores a partir de áreas de cuadrados o rectángulos menores. Los y las alumnas deben ser capaces de calcular y determinar la cantidad de pequeñas áreas necesarias para cubrir áreas mayores. • En la actividad 2, los y las estudiantes deben resolver la situación anterior utilizando un procedimiento diferente al planteado. Es importante fomentar la discusión de los distintos procedimientos utilizados. • Por último, en la actividad 3, la situación debe ser resuelta con el procedimiento que los y las alumnas consideran más simple. Este es un buen momento para que ellos justifiquen su elección y la sociabilicen con sus compañeros y compañeras.

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Texto para el Estudiante 132 y 133

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • Pida a sus estudiantes que resuelvan las siguientes situaciones: Matilde quiere cambiar el piso de su terraza por baldosas de forma cuadrada que miden 20 cm por lado. El piso tiene forma rectangular cuyo ancho mide 2,2 m y el largo mide 3 m. a) ¿Cuál es el área del piso en cm2? b) ¿Cuántas baldosas debe utilizar para cubrir todo el piso? c) Si se utilizan baldosas de forma cuadrada de 30 cm de lado, ¿se cubre todo el piso? Explica. • Se está construyendo un colegio en mi barrio. El piso de las salas de clases tiene azulejos de todos colores. Si la sala mide 6 m de ancho y 9 m de largo. a) ¿Cuál es el área de la sala? b) ¿Cuántos azulejos cuadrados de 15 cm se necesitan para cubrir todo el piso? (Habilidades que desarrollan: resolver problemas, aplicar y calcular).

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CONEXIONES Habilidades que se desarrollan Calcular y analizar.

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA Puede suceder que algunos alumnos o alumnas estén poco familiarizados con el fútbol. A ellos puede pedirles que realicen la actividad con la cancha de otro deporte de su interés como el voleibol, tenis, basquetbol, etc., averiguando previamente las medidas de la cancha. (Habilidades que se desarrolla: calcular y analizar).

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES El objetivo de esta actividad es que los alumnos y alumnas relacionen el cálculo de área con situaciones cotidianas y significativas para ellos. Se sugiere que después de leer el Texto y antes de comenzar a trabajar en las preguntas que están a continuación, motive la actividad a través de las siguientes preguntas: a) ¿Les gusta el fútbol?, ¿lo practican? b) ¿Creen que el fútbol es un deporte que favorece a las personas?, ¿por qué? c) ¿Alguna vez han estado en un estadio?, ¿qué equipos estaban jugando?

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Texto para el Estudiante 134 y 135

SÍNTESIS Habilidades que se desarrollan Recordar, identificar y aplicar.

SUGERENCIAS RESPECTO DE LA SÍNTESIS DE LA UNIDAD La técnica de estudio utilizada en esta unidad es el resumen. El objetivo es que los y las alumnas expliquen con sus palabras cada uno de los conceptos tratados en la unidad y escriban un ejemplo. Si cada estudiante es capaz de realizar esta síntesis podemos pensar que han comprendido profunda y significativamente los contenidos trabajados. A su vez, si el o la estudiante no es capaz de explicar o dar ejemplos, permite conocer los aspectos débiles y actuar adecuadamente frente a ello.

El Hipertexto presenta un Mapa conceptual interactivo. A partir del concepto central de la unidad los alumnos y alumnas deberán arrastrar los conceptos hacia los recuadros que cumplan con la relación adecuada. TÉCNICA DE ESTUDIO Otra estrategia que puede utilizar para organizar y sintetizar los contenidos trabajados es realizar un mapa conceptual que relacione los principales conceptos trabajados en la unidad. • Unidades de medida de longitud. • Unidades de medida de superficie. • Perímetro de triángulos. • Perímetro de cuadrados y rectángulos. • Área de cuadrados y rectángulos. • Área de figuras compuestas por cuadrados y rectángulos.

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EVALUACIÓN SUMATIVA Los ejercicios y problemas presentados en la sección ¿QUÉ APRENDÍ? permiten evaluar los aprendizajes que han alcanzado los y las estudiantes a lo largo de la unidad con respecto a las equivalencias entre las unidades de longitud y superficie, el cálculo del perímetro de triángulos, cuadrados y rectángulos y el cálculo del área de cuadrados, rectángulos y figuras formadas por ellos. En la sección ¿QUÉ LOGRÉ? los y las estudiantes deben autoevaluar el nivel de comprensión de los aspectos trabajados durante la unidad a través de indicadores que incluyen las habilidades y contenidos. Por medio de este ejercicio, ellos mismos toman conciencia de sus propios logros y dificultades. Es importante que con ellos planifique acciones concretas para mejorar su nivel de compresión en aquellos aspectos considerados débiles.

¿QUÉ APRENDÍ? Ítem

Habilidades que se evalúan

Calcular.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9

Aplicar y calcular.

10, 11 y 12

Resolver problemas.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales El Hipertexto presenta una Autoevaluación con preguntas tipo SIMCE, las que aparecerán en forma aleatoria. Los alumnos y alumnas deberán marcar la opción correcta y al finalizar, tendrá un recuadro que les entregará criterios para autoevaluar sus resultados. Se sugiere que la realicen antes de la sección ¿QUÉ APRENDÍ?

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• En la actividad 2, generalmente a la medida del perímetro le restan la medida del lado conocido, olvidando multiplicarla por dos. Se recomienda que los alumnos y alumnas realicen un dibujo de la situación. • En las actividades 4 y 5, es posible que calculen el lado del cuadrado o del rectángulo, pero no su área ni perímetro. Es importante que ponga énfasis en que discriminen la información de la situación y lo que se está preguntando. • En la actividad 7, deben calcular la medida del lado de un cuadrado a partir de su área. Es posible que les sea difícil buscar un número que multiplicado por sí mismo sea igual a 144. Puede ayudarles a estimar para encontrar la solución. Por ejemplo, puede preguntarles: ¿cuánto es 5 • 5, 10 • 10 y así sucesivamente? Es importante que identifiquen, por lo menos, los cuadrados de los números iguales o menores que 20 como una manera de agilizar los cálculos. No olvide que en NB4 (6º Básico) comenzarán a estudiar las potencias.

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Texto para el Estudiante 136 y 137

El Hipertexto presenta una Autoevaluación imprimible que los y las estudiantes pueden utilizar para preparar la evaluación de la unidad, o bien puede utilizarla con los alumnos y alumnas que tuvieron un desempeño inferior al esperado para reforzar sus aprendizajes y clarificar sus dudas. EVALUACIÓN FOTOCOPIABLE En las páginas siguientes se presenta una evaluación que puede fotocopiar y utilizar como evaluación sumativa de la unidad. El propósito de ella es permitirle detectar y analizar los conocimientos sobre equivalencias entre las unidades de longitud y superficie, el cálculo del perímetro de triángulos, cuadrados y rectángulos y el cálculo del área de cuadrados, rectángulos y figuras formadas por ellos. El tiempo estimado es de 50 minutos, pero puede variar en función de las características de sus estudiantes. Para que esta evaluación le permita calificar a los y las estudiantes, se sugiere utilizar la pauta que se presenta a continuación.

Ítem

Habilidades que se evalúan

Identificar, calcular, aplicar.

2 puntos cada una.

16 puntos.

Calcular y analizar.

3 puntos cada una.

12 puntos.

III

Resolver problemas.

Para cada problema: 1 punto por identificar la estrategia, 1 punto por los cálculos y 1 punto por la coherencia de la respuesta.

Puntaje

Puntaje total de la evaluación

Total

9 puntos. 37 puntos.

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EVALUACIÓN PERÍMETROS Y ÁREAS Nombre:

Curso: 5°

Fecha:

Puntaje:

Nota:

I. Marca la alternativa correcta. 1. El alto de un árbol es 3,8 metros, ¿a cuántos centímetros equivalen? A. 38 cm.

5. La superficie de un rectángulo es 36 cm2. Si uno de sus lados es 4 cm, ¿cuál es su perímetro? A. 8 cm

B. 0,38 cm.

B. 9 cm

C. 0,038 cm.

C. 16 cm

D. Ninguna de las anteriores.

D. 26 cm 2

2. La superficie de mi casa es 56,85 m más pequeña que la de mi vecino que mide 29 180 dm2, ¿cuál es la superficie de mi casa? A. 29.123 m2.

6. El área de un rectángulo de 16 cm de largo y 4 cm de ancho es igual a la de un cuadrado. ¿Cuál es la medida del lado del cuadrado?

B. 2861,15 m2.

A. 4 cm

C. 234,95 m2.

B. 8 cm

D. Ninguna de las anteriores.

C. 16 cm

3. Andrés realiza tres veces al día el recorrido que se muestra en la figura, ¿cuántos metros diarios camina? Gimnasio

D. 20 cm 7. ¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular el perímetro de un rectángulo de lados a y b? A. a + b

7.600 cm

285 m

Colegio

Casa 183 m

B. a • b C. 2a + b D. 2a + 2b

A. 8068 metros. B. 24 204 metros. C. 544 metros. D. 1632 metros. 4. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde al perímetro de un cuadrado de lado a?

8. El área de un rectángulo es 24 cm2 y su perímetro es 24 cm. ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponden a la medida del largo y ancho del rectángulo? A. 2 y 12 cm. B. 4 y 6 cm.

A. a + a

C. 3 y 8 cm.

B. 4 + a

D. Ninguna de las anteriores.

C. 4 • a D. a • a

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II. Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras: 8 cm

1 cm 1 cm 1 cm 2 cm

5 cm 11 cm

3 cm

4 cm

13 cm

10 cm

c) 3 cm

17 cm

2 cm

5 cm

3 cm

III. Resuelve las siguientes situaciones. a) Doña Sofía quiere empapelar las paredes de su pieza. Cada una de ellas mide 5 metros de largo y 4 metros de alto. La puerta de su pieza mide 1 metro de ancho y 2 metros de alto. ¿Cuántos metros cuadrados de papel necesitará doña Sofía? b) Mi abuelita está bordando una alfombra de 7 metros de ancho y 4 de largo para mi comedor. Si hasta hoy tiene bordado 4 metros de ancho y 4 metros de largo. ¿Cuántos metros cuadrados faltan para completar la alfombra? c) ¿Cuántos metros recorre una persona que da 5 vueltas a una cancha rectangular de 9,3 metros de largo y 5,7 metros de ancho? Unidad 5 195

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UNIDAD

Ángulos Propósito de la unidad El trabajo de esta unidad está orientado a que los alumnos y alumnas sean capaces de resolver situaciones que implican medir ángulos en grados, identificar los teoremas relativos a la suma de ángulos interiores y exteriores de triángulos y cuadriláteros, establecer la igualdad de la medida de los ángulos que se forman en rectas que se cortan y rectas paralelas cortadas por una transversal. Para lograrlo se proponen variadas situaciones cuyo énfasis radica en la formulación y verificación de conjeturas, utilizando mediciones o los teoremas conocidos. A continuación se presenta un cuadro que vincula los Contenidos Mínimos Obligatorios, los aprendizajes esperados de la unidad y los indicadores, que le permitirán evaluar el aprendizaje de sus estudiantes.

Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO)

Aprendizajes esperados

Indicadores

Medición de ángulos con transportador o herramientas tecnológicas y empleo del grado como unidad de medida.

• Medir ángulos en grados con transportador o herramientas tecnológicas.

• Reconocen la medida de un ángulo, midiéndolo con transportador o una herramienta tecnológica. • Utilizan el grado para expresar la medida de ángulos.

Identificación de ángulos internos y externos de triángulos y cuadriláteros y verificación, en cada caso, de teoremas relativos a la suma de dichos ángulos.

• Determinar los teoremas relativos a la suma de los ángulos internos y externos de triángulos y cuadriláteros.

• Reconocen los ángulos internos y externos de triángulos y cuadriláteros. • Verifican los teoremas referidos a la suma de los ángulos internos y externos de triángulos y cuadriláteros.

• Determinar la igualdad de la medida de los ángulos que se forman en rectas que se cortan y en rectas paralelas cortadas por una transversal.

• Identifican ángulos opuestos por el vértice en rectas que se cortan. • Identifican ángulos que se forman entre rectas paralelas cortadas por una transversal. • Reconocen la igualdad de la medida de los ángulos opuestos por el vértice, correspondientes, alternos internos y alternos externos.

Resolución de problemas en situaciones variadas que implican (…) formulación y verificación de conjeturas relacionadas con la medida de ángulos en figuras geométricas y su verificación utilizando mediciones o los teoremas conocidos.

• Resolver situaciones que implican formular conjeturas relacionadas con la medida de ángulos en figuras geométricas y verificarlas utilizando mediciones o teoremas conocidos.

• Resuelven situaciones que implican formular conjeturas relacionadas con la suma de los ángulos interiores y exteriores de triángulos y cuadriláteros y las verifican a partir de mediciones o teoremas. • Resuelven situaciones que implican formular conjeturas relacionadas con la medida de ángulos en rectas que se cortan y rectas paralelas cortadas por una transversal.

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Relación entre los aprendizajes de la unidad y los de otros años 3º y 4º Básico

• Caracterizar y clasificar triángulos considerando la medida de sus ángulos, longitud de sus lados y el número de ejes de simetría. • Caracterizar, dibujar y clasificar cuadriláteros considerando la medida de sus ángulos, longitud de sus lados y el número de ejes de simetría.

5º Básico

• Medir ángulos en grados con transportador o herramientas tecnológicas. • Determinar los teoremas relativos a la suma de los ángulos internos y externos de triángulos y cuadriláteros. • Determinar la igualdad de la medida de los ángulos que se forman en rectas que se cortan y en rectas paralelas cortadas por una transversal. • Resolver situaciones que implican formular conjeturas relacionadas con la medida de ángulos en figuras geométricas y verificarlas utilizando mediciones o teoremas conocidos.

6º Básico

• Determinar la relación entre el número de lados y diagonales de un polígono. • Verificar el teorema referido a la medida de los ángulos interiores y exteriores de polígonos.

7º Básico

• Realizar rotaciones de figuras geométricas planas a través de la manipulación de material concreto, construcciones y empleando un procesador geométrico. • Determinar las invariantes que se generan al realizar rotaciones y reconocen su aplicación en objetos del mundo real.

Esquema de la unidad

Correspondientes Alternos internos Alternos externos

Suma ángulos interiores: 180°

EN CUADRÍCULAS

Suma ángulos exteriores: 360°

SE MIDEN EN GRADOS CON

SE CLASIFICAN EN

Ángulos EN TRIÁNGULOS

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ENTRE PARALELAS

Rectos (α = 90°) Agudos (0°⬍α⬍90°) Obtusos (90°⬍α⬍180°)

Transportador Herramienta tecnológica

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Errores frecuentes En la siguiente tabla presentamos algunos errores frecuentes que cometen los alumnos y alumnas, y sugerencias que le permitirán evitarlos o subsanarlos. Errores frecuentes

Cómo subsanarlos

Uso incorrecto del transportador para medir y construir ángulos.

Se sugiere incentivar que los alumnos y alumnas verbalicen el proceso que realizan para medir y construir ángulos para detectar posibles errores.

Medición de ángulos mayores que el extendido o llano.

Poner énfasis en la apertura de los ángulos menores que el recto y mayores que el obtuso.

Propiedades de la suma de los ángulos internos y externos de triángulos y cuadriláteros.

Los alumnos y alumnas suelen pensar que la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono es 180° y exteriores, 360°. Es importante realizar experiencias concretas como la actividad de recordar y hacer coincidir los ángulos para evitar la confusión.

BIBLIOGRAFÍA • Arenas, Fernando. Geometría elemental. Editorial Pontificia Universidad Católica de Chile. Santiago, Chile. • Martínez – Rivaya. Una metodología activa y lúdica para la enseñanza de la geometría elemental. FALTA EDITORIAL Y LUGAR 1998. • Isaacs, David. Geometría Universitaria. Editorial Thomson, FALTA LUGAR 2001. • Baldor, Aurelio. Geometría plana y del espacio y trigonometría. Editorial Cultural Venezolana. Caracas, 1992. • Sitios: http://www.educarm.es/alkaragi/content/contents/08/08.htm http://www.sectormatematica.cl/flash/angulos.swf http://www.comenius.usach.cl/webmat2/recursos/simulaciones/Unidad7/Angulos/anulos.htm Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.

Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos Un ángulo es la porción del plano limitada por dos semirrectas que comparten un mismo origen llamado vértice. Cada semirrecta recibe el nombre “lado del ángulo”. Ejemplo A

El ángulo anterior se puede nombrar utilizando la notación ⭿AOB, de medida α, siendo O el vértice del ángulo.

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Clasificación de ángulos según sus medidas Según sus medidas un ángulo se puede clasificar en:

Ángulo

Agudos

Recto

Obtuso

Extendido

Completo

Medida

0° ⬍ α ⬍ 90°

α = 90°

90° ⬍ α ⬍ 180°

α = 180°

α = 360°

Representación gráfica

Clasificación de ángulos según la suma de sus medidas Según la suma de sus medidas dos ángulos pueden ser complementarios o suplementarios. Ángulos

Complementarios

Suplementarios

Características

La suma de sus medidas es igual a 90° α + β = 90°

La suma de sus medidas es igual a 180° α + β = 180°

20°

Ejemplo

70°

60°

120°

Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una transversal Si dos rectas paralelas (L1 y L2) son intersectadas por una transversal (t), se forman 8 ángulos. (Ver figura). t

1 4

5 8

2 3

L1 // L2 t: transversal

En la figura anterior se pueden distinguir los siguientes pares de ángulos: Ángulos correspondientes: ⭿1 y ⭿5, ⭿2 y ⭿6, ⭿3 y ⭿7, ⭿4 y ⭿8. Ángulos alternos internos: ⭿3 y ⭿5, ⭿4 y ⭿6. Ángulos alternos externos: ⭿1 y ⭿7, ⭿2 y ⭿8. Los pares de ángulos anteriores tienen igual medida.

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En estas páginas se espera motivar a los y las estudiantes presentándoles un plano de la organización de las calles de Santiago en sus inicios y otro actual. Se espera que describan la distribución de las calles, identifiquen las figuras geométricas que se forman entre ellas y los ángulos que se forman al intersectarse las calles

ACTIVIDAD INICIAL Puede pedir a sus alumnos y alumnas que dibujen y describan cómo se imaginan el plano de Santiago hace casi medio milenio atrás y que luego comparen lo dibujado con el plano de Santiago en sus inicios (1541) y el actual.

INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA PARA DOCENTES En NB2 los y las estudiantes reconocieron ángulos rectos, ángulos menores que el recto y mayores que el recto en figuras geométricas y dibujaron figuras apoyándose en la escuadra para trazar ángulos. Es importante destacar que el tratamiento de estos aprendizajes se realizó a través de la manipulación de material concreto y dibujos de modelos y representaciones en geoplanos.

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Texto para el Estudiante 138 y 139

CONVERSEMOS DE… Habilidades que se desarrollan Reconocer, analizar y justificar.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • Pida a los y las estudiantes que dibujen un plano del barrio en que viven. Si no es suficiente la información que tienen de su barrio, pueden visitar la página www.mapcity.cl en la cual podrán observar la distribución de las calles de su barrio, solo colocando el nombre de la calle y comuna en la cual viven. • Luego, solicíteles que identifiquen en el plano las calles paralelas y secantes, figuras geométricas como triángulos y cuadriláteros que se forman entre ellas y ángulos que se forman al intersectarse. • También puede proponerles que imaginen el plano de una ciudad con sólo calles paralelas o con sólo calles que se intercepten y que analicen las ventajas y desventajas en cada uno de los casos. (Habilidad que desarrollan: representar, reconocer, analizar).

El recurso de Introducción presentado en la unidad 6 del Hipertexto complementa y motiva el inicio de esta unidad. Se sugiere que ingresen a este recurso y que luego trabajen la sección CONVERSEMOS DE…

Unidad 6 201

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EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA ¿CUÁNTO SABES? Ítem

Habilidades que se evalúan

Identificar.

Clasificar.

Representar.

Identificar y clasificar.

Las actividades evaluativas presentadas en la sección ¿CUÁNTO SABES? consideran los siguientes criterios: Ítem 1: Identificar los lados, vértices y ángulos interiores en diferentes polígonos. Ítem 2: Clasificar los pares de rectas en paralelas o secantes. Ítem 3: Representar un ángulo recto, un ángulo mayor que el recto, un ángulo extendido y un ángulo menor que uno recto. Ítem 4: Identificar y clasificar rectas, cuadriláteros y triángulos presentes en una figura dada. Es importante pedir a los y las estudiantes que expliquen los procedimientos y estrategias utilizadas para determinar posibles incomprensiones, errores o procesos incompletos, y reforzarlos.

Ítem

Completamente logrado

Logrado

Identifica los 3 elementos de los polígonos.

Identifica 2 de los elementos de los polígonos.

Clasifica adecuadamente todos los pares de rectas en paralelas o secantes.

Clasifica adecuadamente 4 de los pares de rectas en paralelas o secantes.

Representa correctamente los 4 ángulos pedidos.

Representa correctamente 3 de los ángulos pedidos.

Identifica los 6 elementos solicitados.

Identifica 4 de los elementos solicitados.

Clasifica correctamente las 4 figuras.

Clasifica correctamente 3 de las figuras.

202 Guía didáctica Matemática 5

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Texto para el Estudiante 140 y 141

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • Si presentan dificultades para identificar los principales elementos de los polígonos, verifique si el error tiene relación con la memorización de los nombres (arista, vértice y ángulo) o con la comprensión de los conceptos. • En la actividad 2, podrían confundir las rectas paralelas con rectas secantes que no presentan un punto de intersección visible. Se sugiere que proponga prolongar las rectas para que evidencien que estas no son paralelas. • Es importante que antes de que sus estudiantes realicen la actividad 4, construyan un organizador gráfico en el cual se presenten las clasificaciones de estas figuras geométricas para recordar los tipos de triángulos y cuadriláteros existentes.

Por lograr

Identifica 1 de los elementos de los polígonos.

No identifica los elementos de los polígonos.

Clasifica 2 ó 3 de los pares de rectas en paralelas o secantes.

Clasifica 1 (o ninguno) de los pares de rectas en paralelas o secantes.

Representa correctamente 2 de los ángulos pedidos.

Representa correctamente 1 (o ninguno) de los ángulos pedidos.

Identifica 2 ó 3 de los elementos solicitados.

Identifica 1 (o ninguno) de los elementos solicitados.

Clasifica correctamente 2 de las figuras.

Clasifica correctamente 1 (o ninguna) de las figuras.

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Medición de ángulos con transportador o herramientas tecnológicas y empleo del grado como unidad de medida.

ACTIVIDAD INICIAL La actividad inicial es un trabajo en equipo en el cual los y las alumnas deben clasificar los ángulos dibujados en menores que el ángulo recto, rectos y mayores que el ángulo recto, utilizando como apoyo la escuadra. Se debe poner atención en el uso adecuado de la escuadra. Su vértice del ángulo recto debe colocarse en el vértice del ángulo que se va a clasificar y uno de los lados de la escuadra debe coincidir con uno de los lados del ángulo. El objetivo de la sección PARA DISCUTIR es orientar la reflexión para que logren determinar entre qué valores están las medidas de los ángulos menores que el recto, el recto y mayores que el recto. Es posible que los alumnos y alumnas no reconozcan los límites superiores e inferiores de cada clasificación. El docente debe hacer que sus alumnos y alumnas lo descubran a partir de la medida del recto.

EN EQUIPO Habilidades que se desarrollan Identificar, clasificar, analizar y justificar.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Clasificar.

Identificar, clasificar y analizar.

204 Guía didáctica Matemática 5

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE ACTIVIDADES • En la actividad 1 los y las alumnas deben clasificar los ángulos según sus medidas en agudos, rectos, obtusos y extendidos o llanos. Es posible que los alumnos y alumnas tengan dificultades para aprenderse los nombres de los ángulos. Debe incentivar a que creen alguna canción o rima para no olvidarlos y aceptar como respuesta correcta expresiones como “mayor que el ángulo recto” en vez de obtuso. • En la actividad 2, los y las estudiantes se encuentran con ángulos con medidas mayores que las de los ángulos conocidos. Es posible que tengan dificultades para identificarlos y que los confundan con agudos u obtusos, al observar los complementos y suplementos de ellos. Es fundamental que pongan atención en la amplitud que tienen los ángulos para superar estos errores.

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Texto para el Estudiante 142 y 143

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • Representar cada uno de los tipos de ángulos en un reloj. Por ejemplo, cuando son las 2 : 15, el puntero y el minutero forman un ángulo agudo. Luego, los alumnos y alumnas intercambian sus relojes con su compañero o compañera y los clasifican según las medidas de sus ángulos. • Reconocen cada uno de los ángulos aprendidos en su sala de clases, los dibujan y clasifican. • Clasifican ángulos, según sus medidas y calculan la diferencia entre un ángulo recto y los agudos dados, y entre un ángulo extendido y los ángulos obtusos dados. Al primero se le denomina complemento y al segundo, suplemento. (Habilidades que desarrollan: representar, clasificar, calcular).

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Es fundamental que indique que la unidad de medida de los ángulos más usada es el grado sexagesimal, que corresponde a dividir un ángulo completo en 360 partes iguales y que a cada una de estas partes se le llama grado (1º).

Ingresando a Recursos Digitales, en el tercer y cuarto links podrán consolidar conceptos relacionados a ángulos.

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Medición de ángulos con transportador o herramientas tecnológicas y empleo del grado como unidad de medida.

ACTIVIDAD INICIAL En las actividades anteriores, los alumnos y alumnas aprendieron a clasificar ángulos según su medida en grados. En la actividad inicial de estas páginas se plantea una situación en la cual dos estudiantes miden un ángulo dado con diferentes transportadores y obtienen distintos resultados. El propósito de la situación es que determinen en qué deben fijarse para medir correctamente un ángulo con un transportador, ya sea circular o semicircular. Una vez realizada la actividad PARA DISCUTIR proponga otras situaciones similares para identificar si lograron o no medir ángulos correctamente con el transportador. Por ejemplo, Felipe e Ismael miden estos dos nuevos ángulos, ¿cuántos grados crees tú que mide cada ángulo?

EN EQUIPO Habilidades que se desarrollan Representar, usar herramientas y verificar.

HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Habilidades que se desarrollan Representar, usar herramientas.

206 Guía didáctica Matemática 5

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE ACTIVIDADES • En el TRABAJO EN EQUIPO los y las alumnas deben construir ángulos según una medida dada utilizando el transportador. Es importante que luego de construir los ángulos comparen las construcciones y busquen explicaciones de sus errores. Promueva que luego de construir los ángulos los clasifiquen. • En HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS se espera que los y las estudiantes sigan instrucciones para construir ángulos utilizando una herramienta tecnológica. Es fundamental que los y las alumnas reflexionen sobre las ventajas y desventajas del uso del transportador y la herramienta tecnológica. También pueden clasificar los ángulos construidos.

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Texto para el Estudiante 144 y 145

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA 1. Mide con el transportador los siguientes ángulos y, luego, clasifícalos según sus medidas.

• Construye en tu cuaderno los siguientes ángulos: 38°, 115°, 86°, 93°, 16°, 59°, 173°, utilizando el transportador y, luego, clasifícalos según sus medidas. (Habilidades que desarrolla: usar herramientas, representar, clasificar).

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Si los y las estudiantes presentan dificultades para medir ángulos, debe proponerles que antes de medirlos los clasifiquen utilizando la escuadra. Luego de definir qué tipo de ángulo es, los y las estudiantes lo pueden medir con el transportador y analizar si la medida en grados obtenida se encuentra entre los valores adecuados, según la clasificación. Si no es así, debe analizar la situación y buscar su error. Y si se presentan conflictos para construir ángulos debe proponerles que antes de construirlos los clasifiquen, según la medida en grados dada y luego de construirlo, verificar si la apertura corresponde a la clasificación realizada anteriormente.

Ingresando a Recursos Digitales, en el primer link podrán averiguar la medida de un ángulo, para cumplir una condición dada. Se sugiere que luego ingresen a Actividades, en el primer recurso podrán definir conceptos geométricos con sus propias palabras. Unidad 6 207

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Identificación de ángulos opuestos por el vértice en rectas que se cortan, y de ángulos correspondientes, alternos internos y alternos externos en rectas paralelas cortadas por una transversal y verificación de las igualdades de medida que se dan en estos casos.

ACTIVIDAD INICIAL En las actividades anteriores, los y las estudiantes aprendieron a medir ángulos utilizando el transportador u otra herramienta. En la actividad inicial de estas páginas se fomentará que los alumnos y alumnas descubran las igualdades de medida existentes entre los ocho ángulos que se forman entre dos paralelas cortadas por una transversal. En la sección PARA DISCUTIR se orienta a los y las alumnas a medir con el transportador cada uno de los ángulos formados y relacionarlos con el ángulo dado, para comprobar las equivalencias entre las medidas.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

1y2

Calcular.

Identificar y calcular.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE ACTIVIDADES • En la actividad 1, los y las alumnas deben identificar en la figura ángulos alternos internos, alternos externos, correspondientes y adyacentes. Se sugiere que luego comprueben con el transportador que las medidas de los ángulos sean iguales en cada caso. • En la actividad 2, los y las estudiantes deben reconocer los ángulos de igual medida en tres diferentes letras. Es importante que antes identifiquen las paralelas y la transversal en cada una de las letras y que luego, puedan verificar sus respuestas midiendo los ángulos con el transportador. Además, proponga que nombren otras letras del abecedario en las que se pueda identificar rectas paralelas cortadas por una transversal. • En la actividad 3, deben calcular el o los ángulos desconocidos. Es importante que los y las alumnas calculen los ángulos en cada caso y que luego, indiquen qué propiedades utilizaron: ángulos opuestos por el vértice, ángulos adyacentes, etc.

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Texto para el Estudiante 146 y 147

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA • Los y las estudiantes pueden crear situaciones como las anteriores y pedir que otro compañero o compañera las resuelva. Por ejemplo, se pueden trazar dos rectas paralelas y cortarlas por una transversal y medir con el transportador uno de los ángulos que se formaron. Luego, otro compañero o compañera puede descubrir la medida de los otros ángulos formados y, luego, verificarlo con el transportador. • Entregue a sus alumnos y alumnas diferentes dibujos de rectas paralelas cortadas por una transversal, como las que se muestran a continuación y solicíteles que midan los ángulos que se forman, y agrupen los pares de ángulos de iguales medidas.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO

Si sus estudiantes tienen dificultades para identificar los pares de ángulos de igual medida, puede construir con sus estudiantes rectas paralelas cortadas por una transversal. En un cartón dibujar tres rectas. Luego, cortar las tres rectas. Usar mariposas para armar la figura de la siguiente manera: • Luego pregunte: ¿se mantendrán las parejas de ángulos iguales si se “mueve” la recta transversal?

Medir los ángulos que se forman entre las paralelas cortadas por una transversal. Luego, modificar la posición de la transversal y medir nuevamente los ocho ángulos con el transportador: ¿qué sucede con las parejas de ángulos que se forman?

(Habilidades que desarrollan: calcular, usar herramientas, verificar y analizar).

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EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

4y5

Calcular y aplicar.

Identificar y justificar.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En las actividades 4 y 5, deben calcular los ángulos desconocidos, aplicando las propiedades descubiertas anteriormente. Es importante promover que los y las estudiantes verbalicen qué pasos realizaron para obtener el ángulo desconocido en cada caso. Puede suceder que algún alumno o alumna realice una relación incorrecta; también existe la posibilidad de que algunos hayan obtenido la medida del ángulo a través de caminos diferentes. • Por último, en la actividad 6, deben identificar si las proposiciones son verdaderas o falsas en cada caso. Se propone que los y las alumnas justifiquen sus respuestas si las proposiciones son incorrectas y que expresen la proposición que sería correcta.

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Texto para el Estudiante 148 y 149

EVALUACIÓN FORMATIVA MI PROGRESO Habilidades que se evalúan Usar herramientas, aplicar y analizar.

La actividad presentada en la sección MI PROGRESO permite evaluar los aprendizajes en relación con la medición de ángulos y la identificación de los pares de ángulos de igual medida que se forman entre paralelas cortadas por una transversal. Es una instancia importante en la cual usted puede evidenciar los logros y dificultades de sus alumnos y alumnas, y planificar remediales para superar los conflictos a través de nuevas actividades.

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA • Pida a sus alumnos y alumnas que observen un plano del sector donde se ubica el colegio, y que identifiquen rectas paralelas, no paralelas, y si hay o no diagonales que la intersecten. También se puede analizar la correspondencia entre los ángulos formados por las principales avenidas y las calles transversales a ellas y medirlos con un transportador. También, puede proponer actividades como la siguiente: ¿en cuál de las siguientes figuras se muestran ángulos alternos externos? b

b a

Ingresando a Recursos Digitales, en el quinto link podrán clasificar ángulos. En el sexto link podrán corroborar las definiciones de ángulos entre paralelas. Se sugiere que luego ingresen al décimo link, donde elaborarán definiciones propias, a partir de representaciones gráficas.

(Habilidad que desarrolla: identificar).

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Identificación de ángulos internos y externos de triángulos y cuadriláteros y verificación, en cada caso, de teoremas relativos a la suma de dichos ángulos.

ACTIVIDAD INICIAL En las actividades anteriores, los alumnos y alumnas aprendieron que entre paralelas cortadas por una transversal existen pares de ángulos que tienen igual medida: alternos internos, alternos externos y correspondientes. En la actividad inicial de estas páginas se pretende que los y las estudiantes apliquen lo anterior y sean capaces de descubrir, entender y concluir que la suma de los ángulos interiores de un triángulo cualquiera es 180° y la de un cuadrilátero cualquiera es 360°.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Representar y verificar.

Calcular y verificar.

Evaluar.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En la primera actividad de la sección EN TU CUADERNO, el niño o niña debe calcar las figuras, recortar por la línea punteada y ubicar los ángulos interiores recortados de manera que coincidan los vértices. El objetivo de esta actividad es que verifiquen concretamente que la suma de los ángulos interiores de un triángulo y cuadrilátero cualquiera es 180° y 360°, ya que al hacer coincidir los ángulos se forma un ángulo extendido y uno completo. El o la alumna podría construir triángulos y cuadriláteros diferentes a los anteriores y repetir la actividad para comprobar que la propiedad se cumple para cualquier triángulo y cuadrilátero. • En la actividad 2, los y las estudiantes deben calcular el ángulo interior desconocido de cada triángulo y cuadrilátero. Es importante que los estudiantes cuando calculen un ángulo interior desconocido de un triángulo y cuadrilátero lo comprueben restando la suma de los ángulos interiores dados a la suma total de los ángulos interiores de ambas figuras que son 180º y 360º, respectivamente. • Por último, en la actividad 3, los alumnos y alumnas deben evaluar si los 212 Guía didáctica Matemática 5

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Texto para el Estudiante 150 y 151

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • Determinar el valor del ángulo X en los siguientes triángulos y cuadriláteros, aplicando las propiedades aprendidas: a) J

123º G

JI // GH y GJ = HI

L x 23,5 N

Triángulo MNL rectángulo en M

48º E

d) x

31º 43º

51º

(Habilidades que desarrollan: calcular y aplicar). triángulos y cuadriláteros dados son posibles de construir a partir de la suma de las medidas de sus ángulos interiores. Debe promover que los alumnos y alumnas discutan con sus compañeros sus resultados.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Los alumnos y alumnas suelen presentar dificultades cuando tienen que relacionar diferentes propiedades para obtener un resultado. Por esto, es importante poner énfasis en los procedimientos que utilizaron para llegar a la respuesta para poder determinar las dificultades.

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Identificación de ángulos internos y externos de triángulos y cuadriláteros y verificación, en cada caso, de teoremas relativos a la suma de dichos ángulos.

ACTIVIDAD INICIAL En la actividad inicial de estas páginas se orienta a los y las estudiantes hacia la exploración de la suma de los ángulos exteriores de triángulos y cuadriláteros. En la sección PARA DISCUTIR se plantean preguntas que orientan la demostración de que la suma de los ángulos exteriores de triángulos y cuadriláteros es 360°. Si los y las alumnas tienen dificultades para comprender la actividad, se les puede motivar a dibujar un triángulo o cuadrilátero cualquiera, medir cada uno de sus ángulos exteriores y luego sumarlos, comprobando así la propiedad.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Representar y verificar.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES 2

Calcular y verificar.

Calcular y aplicar.

• En la primera actividad de la sección EN TU CUADERNO, el alumno o alumna debe calcar las figuras, recortar por la línea punteada y ubicar los ángulos exteriores recortados de manera que coincidan los vértices. El objetivo de esta actividad es que verifiquen concretamente que la suma de los ángulos exteriores de triángulos y cuadriláteros es 360°, ya que al hacer coincidir los ángulos se forma un ángulo completo. El o la alumna podría construir triángulos y cuadriláteros diferentes a los anteriores y repetir la actividad para comprobar que la propiedad se cumple para cualquier triángulo y cuadrilátero. • En la actividad 2, los y las estudiantes deben calcular el ángulo exterior desconocido de cada triángulo y cuadrilátero. Es importante que los estudiantes cuando calculen ángulos exteriores desconocidos de un triángulo y cuadrilátero lo comprueben restando la suma de los ángulos exteriores dados a la suma total de los ángulos exteriores de ambas figuras, la cual es 360º.

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Texto para el Estudiante 152 y 153

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • Para consolidar los aprendizajes de los estudiantes plantea las siguientes preguntas: a) Si la medida de los ángulos basales de un triángulo isósceles es 67°, ¿cuánto mide el ángulo exterior del ángulo no basal? b) Las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo son 56°, 92° y 54°, ¿es posible construir el triángulo? Justifica. c) La suma de los tres ángulos interiores de un cuadrilátero es 277°, ¿cuánto mide el cuarto ángulo interior? d) Los ángulos basales exteriores de un triángulo miden 87° y 49°, ¿cuánto mide el ángulo interior del tercer ángulo? (Habilidades que desarrollan: clasificar y justificar).

EVALUACIÓN FORMATIVA MI PROGRESO Habilidades que se evalúan Calcular y aplicar.

• Por último, en la actividad 3, los alumnos y alumnas deben calcular el valor del ángulo x en cada caso. Para obtener el resultado deben aplicar las propiedades de la suma de los ángulos interiores y exteriores de triángulos y cuadriláteros. Si los y las estudiantes tienen dificultades, debe partir por preguntarles con qué información cuentan en cada caso y qué se desea conocer, y luego pedir que verbalicen el o los procedimientos que realizarán para llegar al resultado, para así descubrir sus posibles errores o dificultades.

La actividad que se plantea en la sección MI PROGRESO, permite evaluar los aprendizajes de los y las estudiantes respecto a la suma de los ángulos interiores y exteriores de triángulos y cuadriláteros. Si presentan dificultades, es importante guiar al alumno a planificar su trabajo a través de las siguientes preguntas: ¿qué sabes de la situación? ¿qué debes encontrar? ¿qué debes hacer para encontrar la información desconocida? ¿cómo puedes comprobar tu respuesta?

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO El docente debe poner énfasis en la comprensión y aplicación de la propiedad de la suma de los ángulos exteriores de triángulos y cuadriláteros. El o la niña debe ser capaz de explicar el porqué de la propiedad, aplicando lo trabajado anteriormente. Para explicar puede usar demostraciones algebraicas, concretas u otras.

Ingresando a Recursos Digitales, en el octavo link podrán consolidar los teoremas respecto a suma de ángulo interiores y exteriores de un triángulo. Unidad 6 215

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Resolución de problemas en situaciones variadas que implican […] formulación y verificación de conjeturas relacionadas con la medida de ángulos en figuras geométricas y su verificación utilizando mediciones o los teoremas conocidos.

BUSCANDO ESTRATEGIAS Actividad

Habilidades que se desarrollan

Aplicar y verificar.

2y3

Seleccionar, aplicar y verificar.

La resolución de problemas se trabaja transversalmente en toda la unidad, sin embargo, en esta sección se trabaja de forma específica a través de la presentación de una estrategia de resolución que los y las estudiantes deben aprender y aplicar. El objetivo es que los y las alumnas resuelvan problemas enmarcados en contextos de la vida diaria y que se resuelvan a través de los procedimientos y conocimientos aprendidos durante la unidad.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En la primera actividad de la sección BUSCANDO ESTRATEGIAS, los y las estudiantes deben resolver dos situaciones diferentes relacionadas con pares de rectas paralelas cortadas por una transversal y los ángulos que se forman entre ellas. Deben ser capaces de explicar en el caso de las líneas del tren o la distribución de las calles, qué condiciones deben cumplir los ángulos que se forman para que sean paralelas. • En la actividad 2, los y las estudiantes deben resolver la situación anterior utilizando un procedimiento diferente al planteado. Es importante fomentar la discusión de los distintos procedimientos utilizados. • Por último, en la actividad 3, la situación debe ser resulta con el procedimiento que el o las alumnas consideran más simple. Este es un buen momento para que ellos justifiquen su elección y la socialicen con sus compañeros y compañeras.

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Texto para el Estudiante 154 y 155

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • Plantee las siguientes situaciones: a) Tres aviones vuelan sobre la costa de la región de Valparaíso en las siguientes direcciones: 102º

58º

¿Es posible que los aviones 1 y 2 estén volando paralelamente? Justifica tu respuesta. b) Un auto transita por una calle del centro de Chillán. Dobla hacia la derecha en la primera esquina en un ángulo de 76°. Luego, dobla a la izquierda en un ángulo de 104°. ¿Las calles por las que transita el auto son paralelas? Justifica tu respuesta.

104º

76º

• Pida que creen una situación que deba ser resuelta aplicando lo aprendido durante la unidad. Luego, solicíteles que se la planteen a un compañero o compañera para que la resuelva. (Habilidades que desarrollan: formular, aplicar y evaluar).

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CONEXIONES Habilidades que se desarrollan Identificar y representar.

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA Una actividad interesante y que relaciona las matemáticas con el arte podría ser que los alumnos y alumnas investigarán en Internet, libros u otras fuentes sobre otro artista plástico que utilice propiedades geométricas. Luego de reunir la información, podrían montar una galería de arte en la sala de clases, exponiendo una obra del artista investigado y su relación con la geometría. (Habilidad que desarrolla: Identificar y conectar).

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES Ingresando a Actividades, en el segundo recurso podrán visualizar la aplicación de conceptos geométricos.

218 Guía didáctica Matemática 5

• Se sugiere orientar la actividad, dando énfasis a la presencia que tienen las matemáticas en la vida diaria, por ejemplo, en el arte. • Es importante siempre permitir a los y las estudiantes comentar acerca de otros temas que tengan alguna relación con la Matemática. De esta manera tiene más sentido y significado para ellos.

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Texto para el Estudiante 156 y 157

SÍNTESIS Habilidades que se trabajan Formular, recordar, aplicar, reconocer, representar, calcular, justificar.

SUGERENCIAS RESPECTO DE LA SÍNTESIS DE LA UNIDAD La técnica de estudio utilizada en esta unidad es la elaboración de preguntas relacionadas con los temas trabajados en la unidad. Los y las alumnas realizan las preguntas para ser contestadas por sus compañeros y compañeras. Esto es desafiante y estimulante para ellos, porque generalmente es el Texto o el docente quien genera las preguntas. La actividad puede ser planteada como juego, incluso se puede incluir un tablero, fichas y dados. El juego permite la participación activa de cada integrante, la interacción entre pares y además, transmite interés y entusiasmo por las matemáticas.

Representación gráfica

Importante recordar

Medición de ángulos. Construcción de ángulos. Ángulos entre paralelas cortadas por una transversal. Ángulos interiores de un triángulo cualquiera. Ángulos exteriores de un triángulo cualquiera. Ángulos interiores de un triángulo cualquiera. Ángulos exteriores de un cuadrilátero cualquiera. Unidad 6 219

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EVALUACIÓN SUMATIVA Los ejercicios y problemas presentados en la sección ¿QUÉ APRENDÍ? permiten evaluar los aprendizajes que han alcanzado en la unidad, con respecto a la medición y construcción de ángulos, ángulos formados entre rectas paralelas cortadas por una transversal y ángulos interiores y exteriores de triángulos y cuadriláteros. En la sección ¿QUÉ LOGRÉ? deben autoevaluar su nivel de comprensión de los aspectos trabajados durante la unidad a través de indicadores que incluyen las habilidades y contenidos. Es importante que planifique en conjunto acciones concretas para mejorar su nivel en aspectos considerados débiles.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales

• En la actividad 2, es posible que no diferencien entre ángulos interiores o exteriores del triángulo y que, por lo tanto, sumen 65° y 100° y lo resten con 180° en vez de 360°. Si así fuera, se les debe recordar las propiedades de la suma de los ángulos interiores y exteriores de los triángulos. • En la actividad 3, puede ocurrir que sumen las medidas de los ángulos dados, pero no lo restan con la suma total de los ángulos. • En las actividades 5 a 8, es fundamental que los y las estudiantes verbalicen los procedimientos que utilizan para poder identificar los errores que cometen y poder remediarlos. • En la actividad 9 y 10, es posible que no recuerden cómo usar el transportador, por lo tanto, antes de comenzar la actividad debe hacer que ellos mismos vayan recordando en qué deben fijarse para medir y construir ángulos correctamente. Pueden escribir los pasos en su cuaderno.

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Texto para el Estudiante 158 y 159

EVALUACIÓN FOTOCOPIABLE En las páginas siguientes se presenta una evaluación que puede fotocopiar y utilizar como evaluación sumativa de la unidad. El propósito es permitirle detectar y analizar los conocimientos sobre medición y construcción de ángulos, identificación de ángulos de igual medida entre paralelas cortadas por una transversal y cálculo de ángulos en triángulos y cuadriláteros, a partir de las propiedades de la suma de sus ángulos interiores y exteriores. El tiempo estimado es de 50 minutos, pero puede variar en función de las características de sus estudiantes. Para que esta evaluación le permita calificar a sus estudiantes, se sugiere utilizar la pauta que se presenta a continuación.

Ítem

Habilidades que se evalúan

Puntaje

Total

Reconocer y calcular.

2 puntos cada una.

16 puntos

Usar herramientas y clasificar.

2 puntos cada una.

10 puntos

III

Usar herramientas.

1 punto cada una.

5 puntos

Aplicar

Para cada problema: 1 punto por identificar la estrategia, 1 punto por los cálculos y 1 punto por la coherencia de la respuesta.

6 puntos

Formular.

1 punto por la situación. 1 punto por la estrategia. 1 punto por la solución.

3 puntos

Puntaje total de la evaluación

40 puntos

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EVALUACIÓN ÁNGULOS Nombre:

Curso: 5°

Fecha:

Puntaje:

Nota:

I. Marca la alternativa correcta. 1. Si la medida de un ángulo es 67,9°, el ángulo se denomina: A. Agudo.

5. Si las medidas de los ángulos interiores de un triángulo son 78°, 91° y 11°, respectivamente, entonces los exteriores miden: A. 78°, 91° y 11°

B. Obtuso.

B. 102°, 89° y 169°

C. Cóncavo.

C. 282°, 269° y 349°

D. Extendido.

D. Ninguna de las anteriores 2. Si un ángulo de 360° disminuye su amplitud en 177°, el ángulo será: A. Agudo.

6. En la figura, el ángulo x mide: A. 20°

B. Obtuso.

B. 24°

C. Cóncavo.

C. 160°

D. Extendido.

92º

D. 200°

Observa la figura y contesta las preguntas 3 y 4.

68º

x 2

1 3

4 5

6 7

3. ¿Qué par de ángulos tiene igual medida?

7. Si la medida de tres de los ángulos interiores de un cuadrilátero son 56°, 94° y 107°, respectivamente, ¿cuánto mide el ángulo exterior restante?

A. ⬍1 y ⬍2

A. 77°

B. ⬍5 y ⬍3

B. 103°

C. ⬍2 y ⬍7

C. 257°

D. ⬍6 y ⬍1

D. Ninguna de las anteriores.

4. ¿Cuál de las proposiciones es falsa?

8. El ángulo desconocido mide:

A. ⬍1 y ⬍5 son correspondientes.

A. 104°

B. ⬍3 y ⬍8 son alternos externos.

B. 118°

C. ⬍6 y ⬍7 son opuestos por el vértice. D. ⬍4 y ⬍5 son alternos internos.

C. 119° D. 133°

104º

15º

83º

L2 L1 // L2

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II. Mide y clasifica los siguientes ángulos. a)

III. Construye los siguientes ángulos: a) 78°

b) 92°

c) 23°

d) 109°

e) 189°

IV. Resuelve las siguientes situaciones: a) Martín vive en una casa de dos pisos. Para subir al segundo piso usan una escalera muy antigua y peligrosa. El papá de Martín cambiará la escalera por una nueva. Observa la imagen y responde: ¿el ángulo de inclinación de la escalera disminuirá o aumentará?, ¿en cuántos grados?

146º

45º Escalera antigua

Escalera nueva

b) Los cables de la luz se intersecan de la siguiente manera: Cable 4

Cable 3

Cable 1 // Cable 2 Cable 3 // Cable 4

d b a Cable 2 Cable 1

¿Cuánto mide cada uno de los ángulos indicados con letras? V. Crea una situación utilizando lo que has aprendido en esta unidad y encuentra su solución. Unidad 6 223

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UNIDAD

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Datos y azar Propósito de la unidad El trabajo de esta unidad está orientado a que las y los alumnos sean capaces de leer e interpretar información entregada por gráficos de barras comparadas y de líneas, así como también la información entregada por las tablas y que sean capaces de analizar las variables de gráficos y tablas. También en esta unidad las y los alumnos comenzarán el estudio de la probabilidad de un evento, esperando que sean capaces de conocer la probabilidad de ocurrencia de un evento en términos simples, pero introductorias a este tema que será abordado en los próximos años con mayor profundidad. A continuación, se presenta un cuadro que vincula los Contenidos Mínimos Obligatorios, los aprendizajes esperados de la unidad y los indicadores, que le permitirán evaluar el aprendizaje de sus estudiantes.

Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO)

Aprendizajes esperados

Indicadores

Obtención de información de gráficos de barras comparadas y de gráficos de líneas relativa a valores de las magnitudes representadas y a características de la relación que existe entre ellas.

• Analizar los elementos de un gráfico de barras comparadas y de líneas. • Comprender la información entregada por gráficos de barras comparadas y de líneas.

• Identificar elemento y partes esenciales de un gráfico de barras comparadas y de líneas. • Comprenden la información entregada por los gráficos de barras comparadas y de líneas.

Empleo de herramientas tecnológicas en la construcción de gráficos de barras comparadas de líneas, a partir de datos obtenidos a través de diversas fuentes o recolectados empíricamente mediante experimentos o encuestas.

• Recolectar información empírica para ser representada en gráficos de barras comparadas y de líneas. • Usar herramientas tecnológicas para construir gráficos de barras y de líneas.

• Recolectan información empírica a partir de encuestas o experimentos. • Ordenan la información obtenida en tablas. • Construyen gráficos de barras comparadas y de líneas utilizando herramientas tecnológicas.

• Reconocer los tipos de variables en datos estadísticos presentados en tablas o en gráficos conocidos..

• Reconocen los tipos de variables (continuas o discretas) en datos estadísticos.

• Utilizar adecuadamente términos de uso corriente relacionados con probabilidad.

• Conocen el significado de los términos de probabilidad: seguro, posible, imposible, probable, improbable. • Usan adecuadamente los términos de probabilidad aprendidos.

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• Resolver situaciones problemáticas haciendo uso de la información entregada en gráficos o tablas.

• Resuelven situaciones problemáticas que implican el uso de la información entregada por los gráficos o tablas y aquellos datos que, aun sin aparecer, se pueden estimar.

Relación entre los aprendizajes de la unidad y los de otros años 3º y 4º Básico

• Interpretan, organizan y comunican información a través de tablas y gráficos de barras simples.

5º Básico

• Analizar los elementos de un gráfico de barras comparadas y de líneas. • Comprender la información entregada por gráficos de barras comparadas y de líneas. • Recolectar información empírica para ser representada en gráficos de barras comparadas y de líneas. • Usar herramientas tecnológicas para construir gráficos de barras y de líneas. • Utilizar adecuadamente términos de uso corriente relacionados con probabilidad. • Resolver situaciones problemáticas haciendo uso de la información entregada en gráficos o tablas.

6º Básico

• Analizar y obtener información de los gráficos circulares. • Usar gráficos circulares para representar distribuciones. • Construir gráficos circulares utilizando herramientas tecnológicas. • Analizar y usar la media aritmética, la mediana y la moda para resumir y caracterizar conjuntos de datos. • Realizar experimentos aleatorios simples, organizar los resultados obtenidos y fundamentar los resultados. • Determinar experimentalmente el valor constante que se da de la razón entre el número de veces que se obtuvo un determinado resultado y el número de veces que se realizó el experimento, al aumentar el número de experimentos. • Reconocer que no se puede predecir el resultado de un experimento aleatorio, pero sí se puede predecir el valor aproximado de la razón entre el número de veces que se producirá un determinado resultado y el número de veces que se realizará el experimento.

7º Básico

• Analizar diferentes tipos de gráficos y tablas, para destacar las ventajas y desventajas en relación a las variables representadas. • Establecer y aplicar criterios para la selección de tablas o gráficos a utilizar. • Determinar la frecuencia relativa con que se da un evento en un experimento aleatorio como la razón entre el número de veces en que se obtuvo dicho evento y el número de veces que se realizó el experimento. • Emplear la frecuencia relativa como medida de probabilidad de ocurrencia de un evento.

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Esquema de la unidad Datos y azar LA INFORMACIÓN PUEDE SER EXPRESADA EN

SE ESTUIDIA LA

Probabilidad de un evento

Gráficos

Tablas

ESTUDIAMOS LOS DE QUE PUEDE SER

Barras comparadas

Líneas

Seguro

SE PUEDEN CONSTRUIR EN

Papel, con regla y lápiz

Posible Computador

Imposible

USANDO EL PROGRAMA

Probable

Excel

Improbable

Errores frecuentes En la siguiente tabla presentamos algunos de los errores frecuentes que cometen los alumnos y alumnas, y sugerencias que le permitirán evitarlos o subsanarlos. Errores frecuentes Los alumnos y alumnas presentan dificultad para interpretar información de gráficos de barras comparadas.

Cómo subsanarlos Se sugiere recordar la lectura de gráficos de barras simples y mostrar un gráfico de barras comparadas en base a la misma situación, por ejemplo: un gráfico de barras simple que muestra las donaciones mensuales de un colegio a un hogar de menores. Luego se habla de la misma situación, pero comparando las donaciones mensuales del año anterior y del último año. Así los alumnos entenderán la diferencia y la lectura de la información que se debe realizar.

Los alumnos y alumnas presentan dificultada para construir gráficos, principalmente al momento de construir el eje que tiene los valores.

Para que no haya errores, se les propone las y los alumnos que recuerden cómo construían rectas numéricas y explicar que es de la misma forma, ven el valor más bajo y el más alto y toman la decisión de la constante que debe ser siempre igual, por ejemplo de 10 en 10 o de 1000 en 1000, siempre dependiendo de los datos con los que se trabajan.

Los alumnos y alumnas presentan dificultad para construir gráficos usando el computador.

Se recomienda primero explicar los pasos a seguir en a sala, ojalá mostrando cada etapa con un dibujo real y lo más parecido a lo que ellos encontrarán en el computador. Si se tienen los recursos, se puede proyectar. Una vez en los computadores se debe asegurar que todos sus alumnos tengan la experiencia de construir al menos un gráfico. Siéntelos de dos, cosa que uno maneje más el computador que otro, para que se apoyen.

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BIBLIOGRAFÍA • Díaz, J. y otros. Azar y probabilidad. Ed. Síntesis, Madrid, 1987. • Guzmán R., Ismenia. Didáctica de la matemática como disciplina experimental. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile, 2002.

• Sitios webs: http://www.vitanet.cl/guias_matematicas/index_1_mat.php http://fisica.usach.cl/~cecilia/ppt/8PROBABILIDADES.ppt#1 http://masmatematicas.com/estadisticas/estadisticas.html#variables http://www.fundibeq.org/metodologias/herramientas/grafico_de_gestion.pdf http://www.ine.cl" www.ine.cl

Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos Para el trabajo de esta unidad es importante que recuerde los conceptos que se presentan a continuación: Experimentos determinísticos En este tipo de experimentos, se conoce de antemano el resultado. Experimentos aleatorios Este tipo de experimentos, repetidos una cierta cantidad de veces, en condiciones similares, pueden presentar resultados diferentes. En los experimentos aleatorios no se conocen los resultados de antemano. Espacio muestral y eventos El conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento se llama espacio muestral y cada uno de estos resultados es conocido como suceso o evento elemental. Un evento puede ser: • evento seguro: está formado por todos los resultados posibles del experimento. Coincide con el espacio muestral y siempre ocurre. • evento imposible: nunca ocurre. No se presenta al realizar un experimento aleatorio. Se denota por el símbolo ø. • eventos mutuamente excluyentes: dos eventos que no pueden suceder simultáneamente. Probabilidad de un suceso Si un experimento se repite n veces bajo las mismas condiciones, la probabilidad de que el evento A ocurra se denota por P(A) y corresponde a un valor comprendido entre 0 y 1. Eventos equiprobables Si en un experimento todos los sucesos tienen la misma probabilidad de ocurrir, se dice que los sucesos son equiprobables.

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En estas páginas se espera motivar a los y las estudiantes, poniéndolos en contacto con una situación cotidiana en la que se muestran gráficos y se habla de la probabilidad de un evento. Se debe promover a que las y los estudiantes reconozcan la Matemática como parte de nuestra vida cotidiana y sus situaciones concretas, y a su vez valoren los procedimientos escogidos y aplicados por sus compañeros y compañeras.

ACTIVIDAD INICIAL Se puede realizar un análisis de la imagen inicial junto con los y las estudiantes, poniendo énfasis en la imagen, que aparece un gráfico y en lo que dice la lectora de noticias. Es recomendable analizar el gráfico y discutir a modo de lluvia de ideas sobre qué tipo de gráfico es y qué información nos pretende entregar. Es bueno preguntarles, a modo de lluvia de ideas ¿para qué se hacen los gráficos?, ¿se puede expresar la información expresada en los gráficos de otra forma?

INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA PARA DOCENTES En NB2, los y las estudiantes ya conocieron los gráficos de barras simples y sus respectivas tablas, lo que hace más fácil la comprensión de los gráficos de barras combinadas. Con respecto a probabilidad, no hay conocimientos previos explícitamente vistos en años anteriores, pero sí se ven términos básicos de probabilidad que forman parte del lenguaje cotidiano de los alumnos y alumnas. Con el desarrollo de las preguntas hechas en función de la imagen presentada, se pretende activar los conocimientos previos de los y las estudiantes. Es recomendable que compartan sus respuestas y las fundamenten, promoviendo siempre la valoración de los pensamientos y procedimientos aplicados por los compañeros y compañeras.

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Texto para el Estudiante 160 y 161

CONVERSEMOS DE… Habilidades que se desarrollan Analizar, fundamentar y ejemplificar.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Mostrar a sus estudiantes otros gráficos de barras simples y hacer un análisis de estos, haciendo preguntas sobre la información que se desea presentar. Es importante preguntarles a los y las estudiantes si conocen otro tipo de gráficos y en qué contextos los han visto. Presentarles la palabra PROBABILIDAD y hacer una lluvia de ideas sobre lo que los y las alumnas creen que aprenderán y para qué situaciones reales se aplicará. (Habilidad que desarrollan: analizar, fundamentar y predecir).

El recurso de Introducción presentado en la unidad 7 del Hipertexto complementa y motiva el inicio de esta unidad. Se sugiere que ingresen a este recurso y que luego trabajen la sección CONVERSEMOS DE…

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EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA ¿CUÁNTO SABES? Ítem

Habilidades que se evalúan

Analizar.

2y3

Construir.

Analizar.

Analizar y completar.

Las actividades evaluativas presentadas en la sección ¿CUÁNTO SABES? consideran los siguientes criterios: Ítem 1: analizar los datos presentados en una tabla. Ítem 2: construir un gráfico de barras simples con la información presentada en la tabla del ítem 1. Ítem 3: construir un gráfico de barras simples a partir de los datos presentados en una tabla. Ítem 4: analizar los datos presentados en un gráfico. Ítem 5: completar una tabla de datos a partir de los datos presentados en un gráfico de barras. Es importante pedir a los y las estudiantes que expliquen y fundamenten sus respuestas dadas a cada ítem, que expongan también sus dificultades y errores, con el fin de subsanarlos y reforzarlos antes de comenzar. Ítem

Completamente logrado

Logrado

Analiza correctamente la tabla de datos, respondiendo correctamente a las cuatro preguntas.

Analiza correctamente la tabla de datos y solo responde correctamente tres preguntas.

Construye correctamente el gráfico de barras.

Construye bien los ejes del gráfico de barras, pero presenta error al construir las barras.

Construye correctamente el gráfico de barras.

Construye bien los ejes del gráfico de barras, pero presenta error al construir las barras.

Analiza correctamente el gráfico de barras, respondiendo de manera correcta a las cuatro preguntas.

Analiza correctamente el gráfico de barras, respondiendo solo tres preguntas de manera correcta.

Completa correctamente ambas columnas de la tabla de datos.

Completa correctamente ambas columnas de la tabla, cometiendo errores solo en una o dos filas de la tabla.

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Texto para el Estudiante 162 y 163

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En la actividad 2, la dificultad podría ser la construcción del eje donde van los números de salas de cines. Para evitar dificultad es bueno recordarles que miren cuál de los números de la tabla es el menor y cuál es el mayor, para luego tomar la decisión sobre cuál será la constante. • En la actividad 5, la dificultad que presentan los y las estudiantes puede ser ver con exactitud el número de niños; para esto se propone que los y las estudiantes utilicen una regla y así verificar con exactitud el número.

Medianamente logrado

Por lograr

Analiza medianamente bien la tabla de datos y responde correctamente solo dos preguntas.

Analiza incorrectamente la tabla de datos y responde solo una pregunta correctamente o no responde ninguna de forma adecuada.

Construye correctamente la base del gráfico en estructura, ejes, barras y título, pero no coloca correctamente los datos en el eje y no construye correctamente las barras.

Construye incorrectamente el gráfico.

Construye correctamente la base del gráfico en estructura, ejes, barras y título, pero no coloca correctamente los datos en el eje y no construye correctamente las barras.

Construye incorrectamente el gráfico.

Analiza correctamente el gráfico de barras, respondiendo solo dos preguntas de manera correcta.

Analiza incorrectamente el gráfico de barras, por lo que no puede dar respuesta correcta a las preguntas.

Completa correctamente solo una columna de la tabla.

Completa de manera incorrecta la tabla. O se equivoca en más de dos filas. Unidad 7 231

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Obtención de información de gráficos de barras comparadas y de gráficos de líneas relativa a valores de las magnitudes representadas y a características de la relación que existe entre ellas.

ACTIVIDAD INICIAL En la actividad inicial de estas páginas, los alumnos y alumnas deben analizar la situación presentada con sus respectivos gráficos, de barras compradas y de líneas. En la sección PARA DISCUTIR…, se debe promover el análisis de cada gráfico, haciendo la diferencia entre el gráfico de barras comparadas y de líneas y que los y las estudiantes expongan y fundamenten sus respuestas, para poder llegar a un acuerdo. Finalmente, se les puede preguntar ¿qué diferencia existe entre el gráfico de barras comparadas y el de líneas?, ¿para qué se utilizarán los gráficos de líneas?, ¿se puede expresar la información de un gráfico de líneas con barras? Fundamenta.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE ACTIVIDADES • En la actividad 1, los y las estudiantes deben analizar, mediante el desarrollo de unas preguntas, un gráfico de barras comparadas. Es recomendable que expongan sus respuestas al curso y que se propicie un ambiente de respeto por las respuestas elaboradas por los demás.

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Texto para el Estudiante 164 y 165

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA Para analizar más a fondo las semejanzas y diferencias entre un gráfico de barras simples y uno de líneas, se recomienda presentar a las y los alumnos un gráfico de barras simples cualquiera (por ejemplo que muestre el número de asistentes a una película en distintos cines) y pedirles que extraigan los datos y construyan un gráfico de líneas, para que vean que aquellas informaciones que no muestran una tendencia es mejor representarla en gráfico de barras simples. (Habilidades que desarrolla: conectar y analizar).

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidad que se desarrolla

Analizar.

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ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE ACTIVIDADES • En la actividad 2 los y las estudiantes deben analizar, mediante el desarrollo de unas preguntas, gráficos de líneas. Es recomendable que expongan sus respuestas al curso y que se propicie un ambiente de respeto por las respuestas elaboradas por los demás. • Es recomendable detenerse en el análisis sobre si se puede expresar un gráfico de líneas como gráfico de barras simple. Se recomienda pedir a los alumnos y alumnas que lo construyan para que vean con claridad la gran diferencia que radica en que el gráfico de línea permite ver una tendencia.

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Texto para el Estudiante 166 y 167

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Analizar.

Analizar y justificar.

4y5

Analizar.

Ingresando a Recursos Digitales, en el segundo link podrán relacionar variables estadísticas con ejemplos concretos. Se sugiere que luego ingresen al tercer y noveno links donde podrán interpretar la información que puede proporcionar un gráfico.

• En la actividad 3 los y las estudiantes deben responder a dos preguntas abiertas, que tienen por objetivo que el y la estudiante analice las semejanzas y diferencias entre los gráficos de barras comparadas y de líneas. Se recomienda que los y las estudiantes pongan en común sus respuestas.

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Empleo de herramientas tecnológicas en la construcción de gráficos de barras comparadas de líneas, a partir de datos obtenidos a través de diversas fuentes o recolectados empíricamente mediante experimentos o encuestas.

ACTIVIDAD INICIAL En la actividad inicial de estas páginas, las y los estudiantes deben escoger y construir el tipo de gráfico que consideren más adecuado para una situación dada con su respectiva tabla de datos. Es recomendable que expongan y fundamenten su elección y principalmente que hagan saber las dificultades con las que se encontraron para poder subsanarlas a tiempo.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE ACTIVIDADES • En las actividades 1 y 2, los y las estudiantes deben analizar dos gráficos que están mal construidos; el primero porque no tiene los datos, por lo tanto, es imposible interpretarlo, y el segundo, porque los datos del gráfico no corresponden a los de la tabla dada. Estas actividades están orientadas a que se den cuenta de las cosas fundamentales que faltan para que un gráfico esté bien construido.

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Texto para el Estudiante 168 y 169

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

1, 2, 3 y 4

Analizar y representar.

• En la actividad 3 lo fundamental es hacer una buena elección del tipo de gráfico y que no le falte nada importante. Luego, deben construir el gráfico que consideren más correcto y completo. Es recomendable que compartan sus gráficos y fundamenten las respuestas y construcción hechas.

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HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Habilidades que se desarrollan Uso de herramientas y representar.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES La sección HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS tiene por objetivo que las y los estudiantes utilicen el computador y el programa Excel como medio para construir gráficos. Es importante que guíe cada paso en el computador, que muestre los pasos previamente y que se asegure que todos hayan participado de la experiencia.

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Texto para el Estudiante 170 y 171

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • En el uso de herramientas tecnológicas, también se les puede presentar la manera de construir gráficos en el programa Word, donde los pasos a seguir son los mismos que en Excel, solo que al principio se va a la opción insertar imagen y se va a la opción gráfico, los pasos siguientes son iguales, el mismo programa pedirá llenar la planilla de datos. Y el gráfico quedará construido. • Puede incentivar a sus alumnos y alumnas que realicen encuestas dentro de la sala de clases sobre sus propios intereses, de modo que contabilicen el número de personas y puedan representar la información reunida en tablas y gráficos. Por ejemplo: ¿qué asignatura es la que más te gusta?, ¿qué deporte prefieres practicar?; de los tres últimos libros que leímos en el colegio, ¿cuál te gustó más?

(Habilidades que desarrollan: aplicar, registrar, construir).

EVALUACIÓN FORMATIVA MI PROGRESO Habilidades que se evalúan Analizar y aplicar.

Ingresando a Recursos Digitales, en el primer y quinto links podrán consolidar el aprendizaje sobre gráficos de barras. En el sexto y séptimo links observarán la aplicación de los gráficos de línea a una situación real y construirán un gráfico de líneas. Se sugiere que luego ingresen a Actividades, en los recursos que ahí se presentan podrán construir gráficos a partir de datos reales.

La actividad presentada en la sección MI PROGRESO permite evaluar los aprendizajes en relación a los tipos de gráficos (barras comparadas y de línea) y su construcción, a partir de una situación dada. Es importante poner énfasis en los procedimientos que utilizaron sus estudiantes para llegar a elaborar sus respuestas y a construir el gráfico, para así poder determinar las dificultades que aún puedan presentar y darles una solución concreta.

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Análisis de ejemplos de tablas y gráficos conocidos, destacando en cada caso las variables representadas y el rango de valores en que se mueven, identificando si se trata de variables continuas o discretas.

ACTIVIDAD INICIAL La actividad inicial de estas páginas, muestra una situación concreta en que se da información numérica y en categoría o atributos. La idea es que las y los estudiantes noten que los datos estadísticos pueden ser de dos tipos: cualitativos (atributos) o cuantitativos (numéricos). Es recomendable que den otros ejemplos de variables cualitativas y cuantitativas, las variables cuantitativas pueden ser de dos tipos, discretas y continuas; también es recomendable dar ejemplos o dar variables para que los alumnos, en voz alta, las vayan clasificando.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Clasificar.

Ejemplificar.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En la actividad 1, las y los estudiantes deben clasificar las variables en cualitativas o cuantitativas; si son cuantitativas, deben diferenciar si son discretas o continuas. Es bueno que las y los estudiantes expongan sus respuestas para comparar resultados y corregir errores. • En la actividad 2, las y los estudiantes deben escribir un ejemplo para cada tipo de variable; es bueno que los compartan y completen sus cuadernos con los ejemplos dados por sus compañeros.

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Texto para el Estudiante 172 y 173

EVALUACIÓN FORMATIVA MI PROGRESO Habilidad que se evalúa Aplicar. La actividad presentada en la sección MI PROGRESO permite evaluar los aprendizajes en relación a la construcción de gráficos y tipos de variables. Es importante poner énfasis en los procedimientos que utilizaron sus estudiantes para llegar a elaborar sus respuestas, y, de este modo, poder determinar las dificultades que aún puedan presentar con el fin de darles una solución concreta.

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA Se recomienda invitar a los y las estudiantes ver los gráficos trabajados durante la unidad en el texto y en cuaderno, y escribir con color al lado de cada uno de ellos las variables presentes.

(Habilidad que desarrolla: identificar).

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Para los alumnos y alumnas es difícil en un comienzo distinguir los tipos de variables, más aún si se trata de las cuantitativas: discretas y continuas; es importante aclararles en un principio la definición de variable, que es comprendida como una característica que es medida. Cuando los alumnos y alumnas analizan, por ejemplo, un gráfico de barras, tienen que hacer la pregunta ¿qué característica se está estudiando?, por ejemplo en un gráfico que muestra las estaturas de los niños de un curso, la variable es la estatura, ya que al preguntar ¿cuál es la característica que se está midiendo?, la respuesta es la estatura. Es bueno dar ejemplos a los alumnos y alumnas de diferentes gráficos que presenten diferente tipo de información, para que se pueda distinguir la variable estudiada.

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Reconocimiento de las diferencias de significado de términos de uso corriente relacionados con probabilidades, tales como: seguro, posible, imposible, probable, improbable, y formulación de argumentaciones en torno a lo adecuado o no de su uso, en situaciones concretas de la vida cotidiana.

ACTIVIDAD INICIAL La actividad inicial de estas páginas muestra una situación en la que una niña participa de la kermés de su colegio, donde juega a lanzar la ruleta (juego de azar). Antes de resolver la sección PARA DISCUTIR, es bueno que, a modo de lluvia de ideas, los y las estudiantes compartan las experiencias que ellos han vivido con juegos de ese tipo en su colegio u otros lugares. En la sección para discutir, es recomendable que las y los estudiantes expongan sus respuestas y las fundamenten, y, además, promover el respeto por las ideas de los demás.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Analizar y responder.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES 2, 3 y 4

Aplicar y construir.

Identificar.

• En la actividad 1, las y los estudiantes deberán aplicar lo aprendido con respecto a los términos: posible, imposible y seguro, analizando una ruleta y respondiendo una serie de preguntas, que es recomendable que compartan sus respuestas. • En la actividad 2, 3 y 4, deberán construir una ruleta que tenga las condiciones pedidas, que sea posible, imposible y seguro que salga el color rojo. Si tienen dificultad para realizar la actividad, es recomendable que la hagan en parejas o tríos.

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Texto para el Estudiante 174 y 175

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS A los alumnos y alumnas, se les puede pedir que construyan un dado en que se cumplan las siguientes condiciones: • Que sea imposible que el resultado sea 7. • Que sea posible que el resultado será un número par. • Que sea seguro que el resultado será 6. También se les puede pedir que construyan una moneda en la que se cumplan las siguientes condiciones al lanzarla: • Que sea posible que el resultado sea cara. • Que sea imposible que el resultado sea sello. • Que sea seguro que el resultado sea sello.

(Habilidad que se desarrolla: aplicar).

• En la actividad 3, se les presenta a los y las estudiantes situaciones y ellos deben completar con los términos seguro, posible o imposible, según ellos crean correcto. Se recomienda corregir la actividad en conjunto.

Unidad 7 243

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Página 244

ACTIVIDAD INICIAL En la actividad de inicio de estas páginas, se propone el análisis de una situación dada, mediante el desarrollo de la sección PARA DISCUTIR. Pida a sus estudiantes que justifiquen sus respuestas para que logren el desarrollo de habilidades comunicativas.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • El objetivo de las actividades en estas páginas, es lograr que los y las alumnas logren aplicar correctamente los términos probable o improbable, frente a diferentes situaciones. • En la actividad 1, las y los alumnos deben determinar si un evento es improbable, poco probable, muy probable o igualmente probable. • En la sección EN EQUIPO, las y los estudiantes deben construir fichas y responder preguntas sobre la probabilidad de que un evento ocurra al sacar una ficha. Es recomendable fomentar las actividades en equipo, la toma de decisiones grupales y el respeto por los demás.

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Texto para el Estudiante 176 y 177

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Evaluar.

EN EQUIPO Habilidades que se desarrolla Representar y analizar.

MI PROGRESO Habilidad que se evalúa Aplicar.

EVALUACIÓN FORMATIVA La actividad presentada en la sección MI PROGRESO permite evaluar los aprendizajes en relación a los términos básicos de probabilidad (seguro, posible, imposible, probable, improbable). Es importante poner énfasis en los procedimientos que utilizaron los alumnos para llegar a elaborar sus respuestas, para así poder determinar las dificultades que aún puedan presentar y así darles una solución concreta.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO Es probable que las y los estudiantes se confundan con los términos posible y probable, imposible e improbable y es bueno aclararles que no existen mayores diferencias entre estos términos; solo tiene que ver con la situación que se presenta y cómo se determina que sea mejor mencionarlo.

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Resolución de problemas referidos a contextos diversos haciendo uso de la interpretación de gráficos de barras comparadas y de línea y del lenguaje básico de probabilidades, enfatizando en habilidades relacionadas con la búsqueda de información necesaria para su solución, la planificación y puesta en práctica de estrategias de solución y la interpretación y evaluación de los resultados obtenidos en relación al contexto.

BUSCANDO ESTRATEGIAS Actividad

Habilidades que se desarrollan

Aplicar y verificar.

2y3

Seleccionar, aplicar y verificar.

La resolución de problemas se trabaja transversalmente en toda la unidad; sin embargo, en esta sección se trabaja de forma específica a través de la presentación de una estrategia de resolución que las y los estudiantes deben aprender y aplicar. Es importante trabajar, paso a paso, el proceso de resolución, enfatizando la comparación y evaluación de procedimientos propios, en contraste con la estrategia sugerida y los empleados por otros compañeros y compañeras.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En la actividad 1, es recomendable pedir a los alumnos y alumnas que comparen sus resultados y verifiquen si la estrategia aplicada es la que se enseñó. • En la actividad 2 y 3, se recomienda que los y las estudiantes, una vez resuelto los problemas, analicen la estrategia utilizada y concluyan si fue o no pertinente. También es bueno que entre compañeros y compañeras compartas sus estrategias y resultados obtenidos.

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Página 247

Texto para el Estudiante 178 y 179

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA De forma complementaria, pidan a sus alumnos y alumnas que resuelvan problemas como los siguientes, escogiendo ellos la estrategia que consideren más adecuada. a) Analiza el siguiente gráfico que muestra la variación en el peso de un bebé desde que nace hasta que cumple un año de vida y luego, determina los kilos que subió en total desde el mes 1 al mes 12. Peso de un niño en su primer año 12 10 8 6 4 2 0

mes 1 mes 2 mes 3 mes 4 mes 5 mes 6 mes 7 mes 8 mes 9 mes 10 mes 11 mes 12

7/1/09

peso en kilos

b) Francisca invitó a sus amigas a jugar con un juego que le regalaron para su cumpleaños. Para jugar deben lanzar un dado que tiene colores, dos caras verdes, dos amarillas, dos azules, dos rojas. Son 4 amigas y cada una debe escoger un color. Francisca dice que ella escogió el rojo porque tiene más probabilidades de ganar. ¿Es correcto lo que dice Francisca? Fundamenta tu respuesta. c) Analiza el siguiente gráfico que muestra el número de asistentes a un circo en tres días, en la función de la mañana y de la tarde. Luego, determina el número total de asistentes a la obra en los tres días.

Asistentes al circo nº de asistentes

Guía U7º

150 100

mañana tarde

50 0

viernes sábado domingo

(Habilidad que desarrolla: aplicar).

Unidad 7 247

Guía U7º

7/1/09

16:27

Página 248

CONEXIONES Habilidades que se desarrollan Analizar, construir, aplicar.

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA Una actividad interesante para el desarrollo del valor de la Matemática, aplicando lo aprendido en la unidad, es pedir a los alumnos que en grupos analicen los gráficos que aparecen en la cuenta del agua, con preguntas como: ¿en qué mes se ha gastado más agua?, ¿en qué mes se gasta menos energía?, ¿por qué crees que hay meses en que se gasta más agua y en otros menos?

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES Es recomendable que con el desarrollo de esta sección oriente a los y las estudiantes a que valoren la Matemática como parte fundamental de nuestra realidad que nos permite resolver problemas. Es importante pedirles que comenten el trabajo realizado y el objetivo que ellos ven en su desarrollo.

248 Guía didáctica Matemática 5

Guía U7º

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16:27

Página 249

Texto para el Estudiante 180 y 181

SÍNTESIS Habilidades que se desarrollan Recordar y analizar.

SUGERENCIAS RESPECTO DE LA SÍNTESIS DE LA UNIDAD La técnica de estudio que se aplica en la síntesis de los contenidos tratados en esta unidad es un esquema que permite graficar el conocimiento de cada alumno. Este esquema permite que las y los estudiantes conecten los conocimientos y no vean cada contenido como entes aislados y no relacionados entre sí. Es importante que este trabajo se realice de forma individual, para que cada alumno sea capaz de evaluar su aprendizaje y en seguida hacer una puesta en común de los resultados del esquema y del análisis.

TÉCNICAS DE ESTUDIO Otra estrategia que puede utilizar para organizar y sintetizar los contenidos trabajados en la unidad es la completación de oraciones, donde usted entrega oraciones que ellos deben completar con los conceptos aprendido, por ejemplo: “las variables cuantitativas pueden ser discretas y ____________ (continuas).” También puede acompañar estas oraciones con preguntas directas sobre los contenidos como: ¿qué diferencias existe entre un gráfico de barras simples y uno de líneas?

Unidad 7 249

Guía U7º

7/1/09

16:27

Página 250

EVALUACIÓN SUMATIVA Los ejercicios y problemas que se presentan en la sección ¿QUÉ APRENDÍ? permiten evaluar los aprendizajes que cada alumno o alumna ha logrado a lo largo de la unidad datos y azar. La sección ¿QUÉ LOGRÉ? permite que las y los estudiantes se autoevalúen y analicen sus propios niveles de logro, con respecto a su aprendizaje. Es bueno que esta sección sea muy bien guiada, para que se logre el objetivo y dar tiempo para volver a los aspectos o contenidos que quedaron débiles y así seguir con la unidad siguiente.

¿QUÉ APRENDÍ? Ítem

Habilidades que se evalúan

1, 2 y 3

Analizar.

Escoger.

5, 6 y 7

Identificar.

Resolver.

Construir y aplicar.

10, 11 y 12

Analizar.

250 Guía didáctica Matemática 5

Es posible que las y los estudiantes presenten dificultad con la construcción del gráfico; en este caso, es importante recordarles que para construir el eje con los datos, se deben fijar en el valor mayor y en el menor y así establecer luego la constante.

Guía U7º

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16:27

Página 251

Texto para el Estudiante 182 y 183

El Hipertexto presenta una Autoevaluación imprimible que los y las estudiantes pueden utilizar para preparar la evaluación de la unidad, o bien puede utilizarla con los alumnos y alumnas que tuvieron un desempeño inferior al esperado para reforzar sus aprendizajes y clarificar sus dudas. EVALUACIÓN FOTOCOPIABLE En las páginas siguientes se presenta una evaluación fotocopiable que se puede utilizar como evaluación sumativa de la unidad. El propósito de esta evaluación es medir los niveles de conocimientos adquiridos en la unidad de datos y azar. El tiempo estimado es de 50 minutos, pero este puede variar en función de las características de sus estudiantes. Para poder calificar a los y las estudiantes es recomendable utilizar la pauta que se presenta a continuación.

Ítem

Habilidades que se evalúan

Identificar y analizar.

Representar.

II a), b) y c)

Analizar.

Puntaje

Total

1 puntos cada una.

8 puntos

1 punto por hacer un gráfico de barras comparadas, 2 puntos por hacer bien el eje del número de alumnos, 2 puntos por rotular el gráfico y 4 puntos por poner las barras correctamente.

9 puntos

2 puntos por cada respuesta correcta.

6 puntos

Puntaje total de la evaluación

23 puntos

Unidad 7 251

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16:27

Página 252

EVALUACIÓN DATOS Y AZAR Nombre:

Curso: 5°

Fecha:

Puntaje:

Nota:

I. Marca la alternativa correcta. Analiza el siguiente gráfico que muestra el número de zapatos de hombre y zapatos de mujer que se venden en una tienda en los meses de octubre, noviembre y diciembre, y luego responde las preguntas 1, 2, 3 y 4.

5. ¿A qué tipo de variable estadística corresponde el peso de un toro? A. Cuantitativa discreta. B. Cuantitativa continua.

100 80 60 40 20 0

zapatos de mujer diciembre

zapatos de hombre noviembre

nº de zapatos

octubre

Guía U7º

1. ¿Qué zapato se vende más? A. Los de hombre.

C. Cualitativa. D. Cualitativa discreta. 6. ¿Cuál de las siguientes variables es cuantitativa discreta? A. El peso de una persona.

B. Los de mujer.

B. El color de pelo de las personas.

C. Ambos se venden por igual.

C. El número de asistentes al cine.

D. A veces más de mujer y a veces más de hombre.

D. El tiempo que está prendido un computador.

2. ¿En qué mes se vendieron más zapatos de hombre? A. En octubre. B. En noviembre. C. En diciembre. D. En ninguno se vendieron zapatos de hombre.

7. Al lanzar un dado es seguro que: A. Sale un número par. B. Sale un número impar. C. Sale un número mayor que 6. D. Sale un número menor que 7.

3. ¿En qué mes se vendieron menos cantidad de zapatos en total? A. Octubre.

8. Si en una bolsa tienes 5 fichas verdes y 5 amarillas es:

B. Noviembre.

A. Seguro que salga amarillo.

C. Diciembre

B. Poco probable que salga verde.

D. No se puede determinar.

C. Imposible que salga rojo.

4. ¿Cuántos zapatos se vendieron aproximadamente en total en los tres meses? A. 440 zapatos. B. 200 zapatos. C.140 zapatos. D. 800 zapatos. 252 Guía didáctica Matemática 5

D. Seguro que salga café.

Guía U7º

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16:27

Página 253

II. A partir de la siguiente tabla de datos, que muestra el número de alumnos que participó por curso en las actividades de un sábado de recreación organizado por el colegio, construye un gráfico. Curso

5ºA

5º B

6º A

6º B

7ºA

7º B

8º A

8º B

Nº alumnos

a) ¿Qué tipo de variable es “el número de alumnos que asistió a las actividades”?

b) ¿En qué nivel participó mayor número de alumnos?

c) En total, ¿cuántos alumnos entre 5º y 8º Básico asistieron a las actividades recreativas?

Unidad 7 253

TALLER 3

31/12/08

12:58

Página 254

TALLER DE EVALUACIÓN 3 A través de las actividades de esta sección se espera que sus estudiantes demuestren sus conocimientos acerca de perímetros y áreas, ángulos y tablas, gráficos y probabilidades. Para evaluar el primer ítem considere que se presentan preguntas que apuntan a los contenidos de la quinta unidad, otras a los de la sexta y otras a los de la séptima unidad. Así, se considera: Unidad 5 (preguntas 1 a 3). Logrado, si contesta correctamente todas las preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente 2 preguntas. Por lograr, si contesta correctamente 1 (o ninguna) pregunta. Unidad 6 (preguntas 4 y 5). Logrado, si contesta correctamente todas las preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente 1 pregunta. Por lograr, si contesta correctamente ninguna pregunta. Unidad 7 (preguntas 6 a 8). Logrado, si contesta correctamente todas las preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente 2 preguntas. Por lograr, si contesta correctamente 1 (o ninguna) pregunta. Para evaluar el ítem II de desarrollo, se sugiere utilizar las siguientes rúbricas: Ítem II, 1

II. 2a)

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

Mide y clasifica los 3 ángulos correctamente.

Mide y clasifica 2 ángulos correctamente.

Mide y clasifica un (o ningún) ángulo correctamente.

Construye correctamente el gráfico de barras comparadas, indicando adecuadamente la escala de las cantidades correspondientes (eje vertical) y los valores de las variables (eje horizontal) y respetando sus elementos (título, nombre de los ejes, colores de las barras).

Construye el gráfico de barras comparada, pero comete errores en la escala de las cantidades o al indicar los valores de las variables o no respeta sus elementos.

Comete errores en dos de los siguientes aspectos: escala utilizada (eje vertical); valores de las variables; elementos.

254 Guía didáctica Matemática 5

TALLER 3

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12:58

Página 255

Texto para el Estudiante 184 y 185

Ítem I

Habilidades que se evalúan

I. 1

Recordar.

I. 2, 3 y 4

Aplicar.

I. 5

Aplicar y clasificar.

I. 6

Seleccionar.

I. 7

Evaluar.

I. 8

Calcular.

II. 1

Usar herramientas y clasificar.

II. 2

Representar, calcular y clasificar.

II. 3

Aplicar.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales Los y las estudiantes podrían tener dificultades para responder las preguntas 2, 3 y 4 de alternativas. Retome los conceptos de área, perímetro y ángulos, pidiéndoles que construyan algún tipo de organizador gráfico. Si observa dificultades para construir el gráfico de barras comparadas, retome los pasos presentados en la página 171 del Texto.

Ítem

Logrado

Medianamente logrado

Por lograr

II. 2b y c

Calcula los totales de venta diarios, identificado correctamente el día de mayor venta y el día de menor venta.

Calcula los totales de venta diarios, identificado correctamente el día de mayor venta o el día de menor venta.

No logra identificar correctamente el día de mayor venta y el día de menor venta.

II. 2d y e

Ordena correctamente los días, de menor a mayor según la cantidad de chalecos vendidos y según la cantidad de mantas vendidas.

Ordena correctamente los días, de menor a mayor según la cantidad de chalecos vendidos o según la cantidad de mantas vendidas.

No logra ordenar correctamente los días, de menor a mayor según la cantidad de chalecos y mantas vendidas.

II. 3

Calcula correctamente el área y el número de baldosas que se deben utilizar para cubrirla y explica adecuadamente la posibilidad de cubrir la superficie usando baldosas con medidas dadas.

Calcula correctamente el área y el número de baldosas que se deben utilizar para cubrirla pero no explica adecuadamente la posibilidad de cubrir la superficie usando baldosas con medidas dadas.

Comete errores al calcular el área pedida y el número de baldosas que se deben utilizar para cubrirla.

Taller de evaluación 3 255

EVALUACION FINAL

7/1/09

14:03

Página 256

EVALUACIÓN FINAL I. Marca la alternativa que consideres correcta en las preguntas 1 a la 20. 1. ¿Qué número se obtiene al redondear 56 934 012 a la unidad de millón? A. 50 000 000 B. 56 000 000 C. 57 000 000 D. 56 934 000 2. Se estrenó una nueva película de cine y el primer mes en cartelera asistieron 509 611 personas. Si se habían vendido 703 155 entradas, ¿cuántas personas que no fueron a ver la película a pesar de haberla comprado? A. 1 212 766 personas B. 293 544 personas

6. La fracción 18 , como número mixto se escribe: 8 A. 1 1 4 B. 2 2 4 C. 2 1 4 D. 9 4 7. ¿Cuál de las siguientes relaciones es o son correctas? I.

8 < 8 5 5

II.

2 < 6 3 9

III.

8 < 3 3 5

C. 193 544 personas D. 194 766 personas 3. ¿Cuál es el mcm y mcd entre 12 y 18?

A. I y III B. I y II

A. mcm: 12 y mcd: 18

C. II y III

B. mcm: 36 y mcd: 4

D. Ninguna.

C. mcm: 36 y mcd: 6 D. mcm: 12 y mcd: 9 4. ¿Cuál de los siguientes números es divisible por 2, 3 y 9? A. 585 B. 1998 C. 3000 D. 6780 5. ¿Cuál de los siguientes números es primo? A. 15 B. 21 C. 27 D. 31

8. ¿Cuál de las siguientes fracciones es equivalente 8 a ? 34 A. 1 4 4 B. 17 1 C. 4 2 D. 12 9. Tres enteros, cinco centésimos corresponde al número decimal: A. 0,350 B. 3,50 C. 3,005 D. 3,05

256 Matemática 5

EVALUACION FINAL

7/1/09

14:03

Página 257

10. Don José vende los tomates de su huerto en una feria del pueblo en Villarrica. El día martes llevó 8 kilogramos de tomate para vender. Primero vendió 1,3 kilogramos, luego 2,7 kilogramos y luego 3,5 kilogramos ¿Cuántos kilogramos le quedaron por vender a don José? A. 5 kilogramos B. 7,5 kilogramos

15. Si un ángulo es obtuso, puede medir: A. 49° B. 81° C. 156° D. 207° 16. ¿Qué tipo de ángulo es el de la figura?

C. 0,5 kilogramos

A. Agudo

D. 1,5 kilogramos

B. Obtuso

11. ¿Cuál de los siguientes números decimales completa la secuencia 0,35 - 0,45 ?

C. Recto D. Cóncavo

A. 0,10 B. 1,45 C. 0,55 D. 0,65

17. En la figura, L1//L2. ¿Cuál es la medida del ángulo x? A. 78° x

B. 90° 12. ¿Cuál de las siguientes equivalencias es correcta? A. 15 km = 1500 m

102º

C. 192° D. 282°

B. 27,5 m = 275 cm

A. 21 cm B. 57 cm C. 129 mm D. 2,1 m 14. Las medidas de un rectángulo son: largo 7 cm y ancho 30 mm menos que el largo. ¿Cuál es su área?

10 8 6 4 2 0

hombres mujeres

escuchar radio

13. ¿Cuál es el perímetro de un triángulo de lados 40 mm, 8 cm y 0,09 m?

ver TV

D. 69 mm = 6,09 cm

Observa el siguiente gráfico, que muestra las preferencias que tienen hombres y mujeres de un curso de 45 alumnos y contesta las preguntas 18 y 19

leerun libro

C. 309,25 cm = 3092,5 mm

18. ¿Cuál actividad es la más preferida en el curso? A. Ver TV.

A. 28 cm2

B. Escuchar radio.

B. 280 mm2

C. Leer un libro

C. 21 cm2

D. Ver TV y escuchar radio son igualmente preferidas.

D. 22 cm2

Evaluación final 257

EVALUACION FINAL

7/1/09

14:03

Página 258

19. ¿Qué tipo de variable es “el número de alumnos que prefiere una actividad”? A. Cuantitativa discreta. B. Cuantitativa continua. C. Cualitativa. D. Cualitativa discreta.

20. Pedro tira una ruleta que tiene 3 partes rojas, 3 partes amarillas, 3 partes blancas y 3 partes azules (agregar imagen), la probabilidad que saque color rojo es: A. Segura. B. Improbable. C. Imposible. D. Igualmente probable a que salgan los otros colores.

I. Desarrolla las siguientes actividades. 1. Los datos presentados en la tabla corresponden al total de conexiones en nuestro país, durante los años 2000 al 2006.

Año 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Total de conexiones 585 489 689 127 757 760 836 007 805 315 906 079 1 005 168 Fuente: www.subtel.cl

a) Redondea los datos a la unidad de mil más cercana. b) Ubica los datos en una recta numérica. c) Responde: ¿Entre qué años se produjo el mayor aumento de conexiones a internet? 2. Marina compró 9 kilogramo de pan, para hacer una completada con sus amigas. Cuando estaban 4 preparando los completos se dio cuenta que faltaría un poco más de pan, y fueron a comprar 3 kilogramos 2 de pan más. Finalmente sobró 1 kilogramo de pan. ¿Qué fracción de kilogramos de pan consumieron en 4 total Marina y sus amigas en la completada? 3. La suma de tres números decimales es 12,453, si uno de los sumandos es 9,053 y otro 0,70, ¿Cuál es el valor del sumando desconocido?

258 Matemática 5

EVALUACION FINAL

7/1/09

14:03

Página 259

4. Calcula el perímetro y área de las siguientes figuras:

11 cm 14 cm 4 cm

2,5 cm 2,5 cm

10 cm

6 cm

7,5 cm

5 cm

3 cm

5. Piensa y responde: a) Si la medida de los ángulos basales de un triángulo isósceles es 67°, ¿cuánto mide el ángulo exterior del tercer ángulo? b) Si las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero fueran: 56°, 98°, 106° y 34°, ¿es posible construirlo? Explica. c) Si una persona quiere cercar su piscina con un cuadrilátero de ángulos: 119°, 91°, 76° y 74°, ¿será posible? Explica. 6. Analiza la siguiente tabla de datos, que muestra el número de clientes que visitan la peluquería “Muriel” en una semana, elige el gráfico que utilizarías para representar los datos y constrúyelo.

Días de la semana

lunes

martes

miércoles

jueves

viernes

sábado

Hombres

Mujeres

Evaluación final 259

GUIA5 260-288

31/12/08

260 Matemรกtica 5

12:55

Pรกgina 260

GUIA5 260-288

31/12/08

12:55

Pรกgina 261

Texto para el Estudiante 186 y 187

Solucionario del texto 261

GUIA5 260-288

31/12/08

262 Matemรกtica 5

12:55

Pรกgina 262

GUIA5 260-288

31/12/08

12:55

Pรกgina 263

Texto para el Estudiante 188 y 189

Solucionario del texto 263

GUIA5 260-288

31/12/08

264 Matemรกtica 5

12:55

Pรกgina 264

GUIA5 260-288

31/12/08

12:55

Pรกgina 265

Texto para el Estudiante 190 y 191

Solucionario del texto 265

GUIA5 260-288

31/12/08

266 Matemรกtica 5

12:55

Pรกgina 266

GUIA5 260-288

31/12/08

12:56

Pรกgina 267

Texto para el Estudiante 192 y 193

Solucionario del texto 267

GUIA5 260-288

31/12/08

268 Matemรกtica 5

12:56

Pรกgina 268

GUIA5 260-288

31/12/08

12:56

Pรกgina 269

Texto para el Estudiante 194 y 195

Solucionario del texto 269

GUIA5 260-288

31/12/08

270 Matemรกtica 5

12:56

Pรกgina 270

GUIA5 260-288

31/12/08

12:56

Pรกgina 271

Texto para el Estudiante 196 y 197

Solucionario del texto 271

GUIA5 260-288

31/12/08

272 Matemรกtica 5

12:56

Pรกgina 272

GUIA5 260-288

31/12/08

12:56

Pรกgina 273

Texto para el Estudiante 198 y 199

Solucionario del texto 273

GUIA5 260-288

31/12/08

274 Matemรกtica 5

12:56

Pรกgina 274

GUIA5 260-288

31/12/08

12:56

Pรกgina 275

Texto para el Estudiante 200 y 201

Solucionario del texto 275

GUIA5 260-288

31/12/08

276 Matemรกtica 5

12:56

Pรกgina 276

GUIA5 260-288

31/12/08

12:56

Pรกgina 277

Texto para el Estudiante 202 y 203

Solucionario del texto 277

GUIA5 260-288

31/12/08

278 Matemรกtica 5

12:56

Pรกgina 278

GUIA5 260-288

31/12/08

12:56

Página 279

Texto para el Estudiante 204 y 205

Bibliografía del texto 279

GUIA5 260-288

31/12/08

280 Matemรกtica 5

12:56

Pรกgina 280

GUIA5 260-288

31/12/08

12:56

Página 281

Texto para el Estudiante 206 y 207

Bibliografía del texto 281

GUIA5 260-288

31/12/08

12:56

Página 282

Solucionario de la Guía didáctica Evaluación Números naturales Página 70 I. 1. B 2. D 3. A 4. D

5. 6. 7. 8.

Página 71 II. a) 12 691 442 III. Pregunta abierta. IV. 5 609 203 V. 5 970 000 metros. VI. Pregunta abierta. VII. Pregunta abierta.

III.a) 5 8

A D D C

Evaluación Decimales

b) 21 543 090

5. 6. 7. 8.

C B B A

Página 165 II. a) 35,54

b) 23,508

c) 5,568

III. a) 10,77

b) 13,17

c) 3,34

Página 194 I. 1. D 2. C 3. D 4. C

5. 6. 7. 8.

D B D D

Página 195 II. La primera figura tiene 38 cm de perímetro y 83 cm2 de área. La segunda figura tiene 40 cm de perímetro y 67 cm2 de área, y la tercera, 68 cm de perímetro y 86 cm2 de área.

C B B A

Evaluación Ángulos

Página 137

282 Matemática 5

B A B C

III. a) 78 m2 b) 12 m2 c) 150 m 5. 6. 7. 8.

b) 14 15

5. 6. 7. 8.

Evaluación Perímetros y áreas

Evaluación Fracciones

II. a) 14 12

Página 164 I. 1. D 2. A 3. C 4. C

IV. a) Recta numérica, Felipe, Juan, Martina, Pedro. b) 2,5 litros. c) La roja, 30 cm

Página 105 II. a) 387 407 b) 5 103 729 c) 56 304 144 III.a) 1135 y resto 6. b) 2586 y resto 9. c) 683 133 y resto 3. IV. a) Cada 12 segundos. b) 780 km c) $ 9959 d) Debe leer 47 páginas cada día. e) Hay 24 rutas distintas.

Página 136 I. 1. C 2. A 3. D 4. B

c) –6 20 b) 7 , 3 10 10

IV. a) Ana, Pablo.

Evaluación Múltiplos, divisores y operaciones Página 104 I. 1. D 2. C 3. A 4. D

b) 2 2

c) 20 16

Página 222 I. 1. A 2. C 3. C 4. B

5. 6. 7. 8.

B B A C

31/12/08

12:56

Página 283

Página 257 10. C 11. C 12. C

Página 223 II. a) 157º, obtuso. b) 53º, agudo. c) 203º, cóncavo. d) 15º, agudo. e) 199º, cóncavo.

13. A 14. A 15. C

16. D 17. A 18. A

Página 258 19. A 20. D

III. Pregunta abierta. IV. a) Aumentará en 11º. b) a = 71º, b = 109º, c = 71º, d = 109º.

II. 1. a)

Año

Total de conexiones

2000

585 000

Evaluación Datos y Azar

2001

689 000

Página 252 I. 1. A 2. C 3. B 4. A

2002

758 000

2003

836 000

2004

805 000

2005

906 000

2006

1 005 000

V. Pregunta abierta.

5. 6. 7. 8.

B C D C

Página 253 II.

b) Pregunta abierta. c) Entre 2000 y 2001.

2. 14 kilogramos de pan.

3. 2,7

6. a) Cuantitativa discreta. b) En Sexto Básico. c) 224 alumnos.

Evaluación Final Página 256 I. 1. C 2. C 3. C

4. B 5. D 6. C

7. C 8. B 9. D

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

sábado

8º B

8º A

7º B

7º A

6º B

6º A

5º B

viernes

jueves

Página 259 4. La primera figura tiene 42 cm de perímetro y 64 cm2 de área y la segunda, 53 cm de perímetro y 65 cm2 de área. 5. a) 134º b) No, porque sus ángulos interiores no suman 360º. c) Sí, porque sus ángulos interiores suman 360º.

miércoles

martes

lunes

5º A

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ecuaciones de primer grado, interpretación gráfica y las matemáticas de finanzas. • Steen, Lynn. La enseñanza agradable de las matemáticas. Editorial Limusa, México, 1998, 1ª ed. Pretende mostrar que es posible desarrollar el pensamiento matemático mediante experiencias informales a muy temprana edad, mucho antes de que los niños lleguen al punto de poder comprender fórmulas algebraicas. • Varios autores. Enseñanza efectiva de las Matemáticas. Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1995, 1ª ed. Guía básica que sugiere técnicas y habilidades para la enseñanza de las matemáticas; incluye aspectos que abarcan desde la preparación y desarrollo de una clase hasta la elaboración y aplicación de pruebas y exámenes. Libros • Artigue, M. “Una introducción a la didáctica de la matemática”, en Enseñanza de la Matemática. Selección bibliográfica, traducción para el PTFD, MCyE, 1994. • Bermeosolo, J. Metacognición y estrategias de aprendizaje e instrucción. Documentos de apoyo a la docencia, proyecto FONDECYT 1940767, Santiago, 1994. • Brousseau, Guy. Fundamentos y Métodos de la Didáctica de la Matemática. Traducción realizada por Dilma Fregona (FaMAF), Universidad de Córdoba, y Facundo Ortega, Centro de Estudios Avanzados, UNC, Argentina, 1993. • Corbalán, Fernando. La matemática aplicada a la vida cotidiana. Graó, Barcelona, 1995. • Chevallard Y. La transposición didáctica. Del saber sabio al saber enseñado. Aique, Buenos Aires, 1991. • Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. Horsori, Barcelona, 1997. • Díaz, J. y otros. Azar y probabilidad. Ed. Síntesis, Madrid, 1987. • Enzensberger, Hans Magnus. El diablo de los números. Ediciones Siruela, España, 1998. • Eves, H. Estudio de las Geometrías. Vol I, II. Unión Tipográfica Editorial Hispano Americana, México, 1969. • Figueroa, Lourdes. “Para qué sirve medir”. Cuadernos de Pedagogía, Nº 302, España, 2001. • Flavell, John. El desarrollo cognitivo y el aprendizaje. Visor, Madrid, 1985. • Gardner, Martin. ¡Ajá! Paradojas. Paradojas que hacen pensar. Labor S.A., Barcelona, 1989.

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de los profesionales previamente acreditados como docentes de excelencia, contribuyendo así al desarrollo profesional del conjunto de los docentes de aula.

• Jouette André. El secreto de los números. Ediciones Robinbook, Barcelona, 2000.

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• Linares, Salvador. Fracciones, la relación parte-todo. Síntesis, Madrid, 1988. • Mateos, Mar. Metacognición y educación. Aique, Buenos Aires, 2001. • Miguel de Guzmán y otros. Matemáticas Bachillerato 3. Editorial Anaya, Madrid, 1991. • Moise, E. Geometría Elemental desde un punto de vista Avanzado. Compañía Editorial Continental, S.A., México, 1980. • National Council of Teachers of Mathematics. Principios y Estándares para la Educación Matemática. Sociedad Andaluza, Sevilla, 2003. • Novak, J. Aprendiendo a aprender. Ediciones Martínez Roca S.A., Barcelona, 1988. • Ontoria A. Mapas conceptuales. Editorial Nancea, 2ª edición, España, 1993. • Perero, Mariano. Historia e historias de matemáticas. Grupo Editorial Iberoamericano, México, 1994.

• Portal de Centro de Perfeccionamiento Experimentación e Investigaciones Pedagógicas. http://www.cpeip.cl • Centro Comenius. Software educativos, en especial de matemáticas, recursos y muchas cosas más. Patrocinado por la USACH. http://www.comenius.usach.cl • El Paraíso de las Matemáticas http://www.matematicas.net • Base de datos de documentos para Educación. http://www.cide.cl/campos/profes/setreduc.htm • REDUC: Red Latinoamericana de información y documentación en educación. Contiene base de datos sobre investigaciones, textos completos, recortes de prensa. http://www.reduc.cl • Sociedad de Matemática de Chile http://www.mat.puc.cl/~socmat

• Pozo, J. L. Teorías cognitivas del aprendizaje. Morata, Madrid, 1990.

• Recursos matemáticos Redemat

• R. David Gustafson . Álgebra Intermedia. International Thomson Editores, México, 1997.

• La Sociedad Europea de Matemáticas (EMS) ofrece en esta web una gran cantidad de información sobre matemáticas, desde congresos a los que te puedes apuntar por correo electrónico hasta monográficos de autores famosos que tratan sobre la materia.

• Rencoret, María del Carmen. Iniciación matemática - Un modelo de jerarquía de enseñanza. Editorial Andrés Bello, Santiago, 2002. • Sternberg, R., Apear-Swerling L. Enseñar a pensar. Aula XXI, Santillana, España, 1996. • Stewart, Ian. Ingeniosos encuentros entre juegos y matemáticas. Gedisa, Barcelona, 1990. • Vygotski, L. El desarrollo de los procesos psicológicos superiores. Libergraf, S.A., Barcelona, 1995. • Winston H. Elphick D. y Equipo. 101 Actividades para implementar los Objetivos Fundamentales Transversales. Lom Ediciones, 2001.

http://www.recursosmatematicos.com/redemat.html

http://www.emis.de • Sitio que incluye unidades didácticas, aplicaciones y experiencias en Matemática respecto de los contenidos que se trabajan enseñanza media. http://www.cnice.mecd.es/Descartes Buscador recomendado • Sitio educativo con diversos recursos, planificaciones e información de todas las áreas. Incluye buscador. http://www.educarchile.cl/home/escritorio_docente

Páginas webs • Ministerio de Educación de Chile http://www.mineduc.cl • La Red Maestros cuyo propósito es fortalecer la profesión docente, mediante el aprovechamiento de las capacidades

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DESARROLLO DE HIPERTEXTO MULTIMEDIA Junto al texto escolar, los estudiantes tendrán a su disposición el apoyo de un Hipertexto. Entendemos por Hipertexto,o Texto Digitalizado Multimedia,al conjunto de recursos multimedia que se estructuran a partir del Texto impreso para el Estudiante y que incorporan elementos que permiten al usuario utilizar el recurso, con una secuencia de lectura dinámica, combinando imágenes fijas y en movimiento, animaciones y sonidos. Nuestra propuesta didáctica de Hipertexto se organiza en función de los momentos pedagógicos expuestos en la estructura didáctica de cada unidad del texto impreso:inicio,desarrollo y cierre.A partir de estos momentos se presentan diversos recursos que incluyen, entre otros: animaciones, diccionarios y enciclopedias electrónicas, actividades y mapas conceptuales interactivos, vinculados al tratamiento de los contenidos abordados en el Texto. Entre las funciones pedagógicas de estos recursos destacan: motivar y consolidar el aprendizaje, evaluar conductas de entrada, enriquecer el Texto, ejercitar y/o profundizar los contenidos y aplicarlos en contextos distintos, evaluar sumativamente y sintetizar. La propuesta didáctica que presentamos se muestra en el siguiente cuadro:

Momento pedagógico

Recurso

Inicio

- Portada de unidad que da a conocer los Contenidos Mínimos Obligatorios que se trabajarán en cada unidad. - Introducción: animación que motiva el aprendizaje de la unidad. - Diagnóstico: evaluación interactiva que permite conocer los conocimientos previos de los estudiantes. - Links de apoyo: vínculos a sitios webs que enriquecen la actividad inicial de la unidad y que activan los conocimientos previos de los estudiantes.

Desarrollo

- Recursos digitales (8 por unidad) vinculados con el contenido de la unidad y que enriquecen las actividades del Texto. - Recursos digitales (2 por unidad) que permiten ejercitar y/o profundizar los contenidos tratados en el Texto. - Recursos digitales (2 por unidad) que permiten consolidar a partir de la aplicación en un contexto distinto, los contenidos tratados en el Texto.

Cierre

- Mapa conceptual: actividad interactiva que permite sintetizar, organizar y jerarquizar los contenidos tratados en el Texto. - Autoevaluación: se presentan dos autoevaluaciones, una interactiva y otra imprimible que permitirá evaluar, en cada unidad, el nivel de logro de sus estudiantes.

Además, nuestro Hipertexto presenta un tour virtual para orientar su uso y una planificación anual digitalizada que muestra cómo vincular el material digital con el Texto para el Estudiante. Esta organización mantiene su coherencia a través de una línea gráfica común a todo el proceso y un lenguaje comprensivo que facilita a los estudiantes la conexión con los contenidos de las unidades y les da la posibilidad de navegar libremente en el Hipertexto. De esta forma, se incorpora en el proceso de enseñanza y aprendizaje, una estrategia pedagógica que cumple con el propósito de mejorar la calidad de la educación, propiciando que los estudiantes desarrollen aprendizajes significativos y en forma autónoma.

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