6to basico santillana parte 3 - profesor by juan albornoz

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UNIDAD

Porcentajes Propósito de la unidad Esta unidad está orientada principalmente a que los alumnos y alumnas puedan comprender, interpretar y valorar la presencia de porcentajes provenientes de diferentes contextos de la vida cotidiana, ya que este contenido matemático es muy utilizado para expresar relaciones entre cantidades. Para comenzar el estudio de los porcentajes es necesario que sus estudiantes comprendan el concepto de razón, como una comparación por cociente entre dos cantidades. Además, se espera que los y las estudiantes comprendan la relación existente entre porcentaje, fracción decimal y número decimal, y de esta forma permitir que logren aprendizajes más significativos y profundos. Por otro lado, es importante que los y las estudiantes descubran y valoren que los porcentajes pueden ser utilizados como una forma de resumir y representar información relevante de diversos ámbitos de la vida diaria. Para lograr que los alumnos y alumnas logren aprendizajes significativos, esta unidad es presentada a través de distintas situaciones problemáticas actuales que permitirán motivar y lograr el interés de sus estudiantes en el estudio de los porcentajes. A continuación, se presenta un cuadro que vincula los Contenidos Mínimos Obligatorios, los Aprendizajes Esperados y los Indicadores de la unidad, que le permitirán evaluar los aprendizajes de sus alumnos y alumnas.

Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO)

Aprendizajes esperados

Indicadores

Interpretación de información proveniente de literatura de divulgación y de medios de comunicación expresada en términos de razones y porcentajes, establecimiento de la relación entre porcentaje y su expresión como fracción o número decimal y empleo del porcentaje como medio para comunicar información relativa a situaciones del mundo cotidiano.

• Leer y escribir porcentajes. • Expresar porcentajes como fracción o

• Leen y escriben porcentajes. • Expresan porcentajes como fracción o

número decimal. • Interpretar información expresada en términos de razones y porcentajes.

número decimal. • Interpretar información expresada como razones y porcentajes.

Cálculo de porcentajes (cuánto es el tanto por ciento de una cantidad dada, aumentos y disminuciones en un porcentaje dado) en variadas situaciones de la vida cotidiana y del ámbito de las ciencias y la tecnología.

• Calcular porcentajes en diversas

• Calculan porcentajes en diversas

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situaciones. • Representar gráficamente porcentajes. • Interpretar información presentada en gráficos circulares. • Construir gráficos circulares usando herramientas tecnológicas.

situaciones. • Representan gráficamente

porcentajes. • Interpretan información presentada en gráficos circulares. • Construyen gráficos circulares usando herramientas tecnológicas.

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Relación entre los aprendizajes de la unidad y los de otros años • Leer y escribir números naturales, fracciones y números decimales positivos, establecer relaciones entre ellos,

5º Básico

reconocer algunas de sus propiedades, interpretar información proporcionada empleando dichos números y utilizarlos para comunicar información. • Utilizar procedimientos de cálculo mental y escrito, empleando herramientas tecnológicas para efectuar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con números naturales, y adiciones y sustracciones con fracciones y números decimales positivos. • Formular y verificar conjeturas simples y aplicar las habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en contextos diversos que requieren el uso de los contenidos del nivel. • Emplear procedimientos de cálculo de multiplicaciones y divisiones de números naturales, fracciones y

números decimales positivos en situaciones diversas. • Comprender la noción de razón y de porcentaje e interpretar información proporcionada a través de ellos,

6º Básico

efectuar cálculos y comunicar información empleando porcentajes, en diversos contextos. • Interpretar y producir información, individual y grupalmente, mediante el uso de gráficos circulares para resolver diversas situaciones en contexto • Formular conjeturas, verificar proposiciones simples y aplicar habilidades del proceso de resolución de problemas en contextos diversos utilizando los contenidos del nivel. • Identificar magnitudes que varían en forma proporcional y emplear proporciones para representar y resolver

situaciones de variación proporcional. 7º Básico

• Seleccionar el tipo de tablas o gráficos más apropiados para organizar, analizar y comunicar información, a

partir de criterios preestablecidos. • Emplear formas simples de modelamiento matemático, aplicar habilidades básicas del proceso de resolución

de problemas en contextos diversos y significativos utilizando los contenidos del nivel, y analizar la validez de los procedimientos utilizados y de los resultados obtenidos. • Modelar situaciones o fenómenos en los que se dan relaciones de proporcionalidad o porcentaje, verificar

8º Básico

proposiciones simples y aplicar habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en contextos diversos y significativos, evaluar la validez de los resultados obtenidos y el empleo de dichos resultados para fundamentar opiniones, tomar decisiones y aumentar la confianza en sí mismo.

Esquema de la unidad

Descuentos Resolución de problemas Aplicación

Gráfico circular

Interpretación

Aumentos

Impuestos

Porcentajes Cálculo

10%

25%

Representación

50%

Número decimal

Fracción decimal

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Errores frecuentes Errores frecuentes

Cómo subsanarlos

Si los conocimientos sobre fracciones y números decimales son insuficientes, se pueden producir complicaciones en el aprendizaje porcentajes.

• A través de la evaluación diagnóstica podrá conocer los

Realización incorrecta de los procedimientos para multiplicar fracciones y números decimales.

• Un aspecto que favorece este tipo de errores, es que los

En la resolución de problemas que involucran razones y porcentajes se pueden presentar los siguientes inconvenientes: • Dificultades en la comprensión lectora, impidiendo una buena interpretación y posterior resolución. • Utilización incorrecta de los datos que entrega un problema. • Entregar solo una respuesta numérica, sin incluir una unidad asociada. • Análisis de las estrategias utilizadas y soluciones encontradas.

• Para evitar este tipo de inconvenientes es fundamental

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conocimientos y experiencias previas de sus estudiantes. Si los conocimientos no son suficientes, es importante clarificar las dudas y errores conceptuales que se presenten, ya que pueden provocar dificultades en el aprendizaje de los contenidos de la unidad. • Para evitar errores en el desarrollo de la unidad es conveniente que después de la evaluación diagnóstica, donde detectó las debilidades de sus estudiantes, realice un repaso de los temas que provocan confusiones o errores en sus estudiantes.

alumnos y alumnas suelen realizar un procedimiento de resolución reducido y mecánico, por ello es importante que exija realizar procedimientos completos y detallados. • Ayude a sus estudiantes mostrando distintos procedimientos para resolver un ejercicio o problema matemático. De este modo cada estudiante podrá optar por el procedimiento que le resulte más simple y claro.

que todos los contenidos de la unidad estén relacionados con una situación problemática apropiada, para que sus estudiantes se familiaricen con la resolución de problemas. • Incentivar la resolución de problemas utilizando los pasos: comprender, planificar, resolver y revisar. Con esto sus estudiantes identificarán los datos disponibles, lo que deben encontrar, la estrategia a utilizar, ejecutar la estrategia de resolución, dar solución al problema y analizar la solución.

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BIBLIOGRAFÍA • Guzmán R., Ismenia. (2002). Didáctica de la Matemática como disciplina experimental. Pontificia Universidad Católica de Chile. • Rencoret B., María del Carmen. (2002). Iniciación matemática. Un modelo de jerarquía de enseñanza. Editorial Andrés Bello, Chile. Sitios webs Relación entre porcentajes y fracciones. http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Fracciones_decimales_porcentajes/Fracciones_4b.htm Aplicación de los porcentajes en el mundo económico. http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/porcentajes_eda05/indice.htm El portal de la educación. www.educarchile.cl El paraíso de las matemáticas. www.matematicas.net Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.

Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos Porcentaje y proporcionalidad El porcentaje es un caso particular de proporcionalidad directa, en el cual uno de los términos de la proporción es 100. Para el cálculo de porcentajes se puede plantear la proporción: a c = b 100

donde, a: es parte del total, b: es el total, c: porcentaje del total al cual equivale a. Porcentaje de una cantidad Para calcular el c% de una cantidad b, se puede utilizar la siguiente expresión: c ⋅b 100

Parte de un total Para calcular a qué porcentaje corresponde una cantidad a de otra cantidad b, se puede utilizar la siguiente expresión: a ⋅ 100 b

Total dada una parte Si se sabe que a corresponde al c% de una cantidad, entonces dicha cantidad se puede calcular con la siguiente expresión: a ⋅ 100 c Unidad 4 141

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La imagen presentada en el Texto refleja una situación muy familiar para los y las estudiantes, la cual permitirá motivar e introducirlos a los contenidos de la unidad, ya que en muchos lugares y medios de comunicación es posible encontrar información relacionada con porcentajes. Por otro lado, la imagen también puede ser útil para conocer y activar los conocimientos y experiencias previas de sus estudiantes.

ACTIVIDAD INICIAL Se sugiere que comente con los y las estudiantes la imagen presentada en el texto. Puede guiar la conversación con preguntas como las siguientes: • ¿Conocen los porcentajes?, ¿cómo se representan?, ¿saben qué significan? • ¿Dónde han escuchado hablar o visto algo relacionado con porcentajes? • ¿Para qué son utilizados los porcentajes? Para complementar las preguntas del Texto puede plantear las siguientes: • ¿Los porcentajes solo se utilizan para calcular descuentos? • ¿A qué operación matemática asocias la palabra descuento? • Si decimos que el sueldo de una persona aumentó un 5%, ¿qué operación está involucrada? Mencione a sus estudiantes la importancia de obtener información en medios de comunicación confiables, pues de esta forma obtendrá datos precisos y actualizados. 142 Guía Didáctica Matemática 6

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Texto para el Estudiante 90 y 91

CONVERSEMOS DE… Actividad 1 2, 3 y 4

Habilidades que se desarrollan Conectar e identificar Conectar y analizar

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS • Pida a sus estudiantes revistas y periódicos. Recorten información donde aparezcan porcentajes y que luego la peguen en su cuaderno. A continuación puede realizar preguntas como las siguientes: – ¿De qué se trata la información que encontraste? – ¿Qué significan los porcentajes encontrados? – ¿En qué situaciones es conveniente utilizar porcentajes?, ¿sabes qué significan cada uno de ellos? (Habilidad que desarrollan: seleccionar, identificar y conectar). • Si una persona quiere comprar un televisor y la tienda A le ofrece un descuento del 20% y la tienda B ofrece un descuento del 15%. ¿Dónde le conviene comprar, si ambas tiendas tienen el televisor al mismo precio?, ¿por qué?

INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA AL DOCENTE

(Habilidades que desarrollan: conectar y analizar).

Los conocimientos adquiridos en años anteriores relacionados con fracciones, decimales positivos y su operatoria son la base para el trabajo de esta unidad. A partir de ellos se persigue que adquieran nuevos aprendizajes relacionados principalmente con la representación, interpretación y cálculo de porcentajes enmarcados en contextos familiares para los alumnos y alumnas, con el objeto de que conozcan la presencia cotidiana de los porcentajes y, además, incrementen y potencien sus habilidades para la resolución de problemas. En la aplicación de porcentajes toma especial importancia la aproximación de números decimales, ya sea de porcentajes o en las unidades presentes en diversas situaciones problemáticas. En cuanto a las fracciones, nuevamente se vuelve necesario en muchos casos la simplificación de fracciones, como una forma de facilitar los cálculos matemáticos, sobre todo en aquellos momentos en que trabajamos sin calculadora. En www.ine.cl (Instituto Nacional de Estadísticas) puede encontrar información completa de diversos temas de interés con los que puede trabajar con sus estudiantes para actividades sobre porcentajes.

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EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA Para conocer los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, se presenta una evaluación diagnóstica con el título ¿CUÁNTO SABES?, que incluye los siguientes criterios:

¿CUÁNTO SABES? Ítem

Habilidades que se evalúan

1y2

Calcular.

3y4

Representar.

Calcular.

Ítem 1: Determinar la fracción irreductible y el número decimal correspondiente a cada fracción dada. Ítem 2: Determinar el número decimal correspondiente a cada fracción dada. Ítem 3: Representar gráficamente, como parte de una región, las fracciones dadas. Ítem 4: Representar como fracción las relaciones entre cantidades dadas. Ítem 5: Resolver multiplicaciones de fracciones y números decimales dadas.

Ítem

Completamente logrado

Logrado

Determina la fracción irreductible y el número decimal de todas las fracciones dadas.

Determina la fracción irreductible y el número decimal de más de tres de las fracciones dadas.

Determina el número decimal de todas las fracciones dadas.

Determina el número decimal de más de cinco de las fracciones dadas.

Representa gráficamente, como parte de una región, todas las fracciones dadas.

Representa gráficamente, como parte de una región, más de tres de las fracciones dadas.

Representa como fracción todas las relaciones entre cantidades dadas.

Representar como fracción más de cuatro de las relaciones entre cantidades dadas.

Resuelve correctamente todas las multiplicaciones de fracciones y números decimales dadas.

Resuelve correctamente más de nueve de las multiplicaciones de fracciones y números decimales dadas.

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Texto para el Estudiante 92 y 93

Posibles dificultades en la evaluación y remediales En el ejercicio 1, se podría presentar en sus estudiantes una dificultad relacionada con los nombres de conceptos matemáticos específicos, como por ejemplo fracción irreductible y simplificar, y no con el proceso matemático a realizar, por lo tanto no podrían responder los ejercicios del ítem. Si se presenta esta situación podría recordar, de modo general y oral, que significa cada uno de estos conceptos. No es aconsejable dar ejemplos de ellos, pues se perdería el sentido y al objetividad de la evaluación. Es importante que al finalizar la evaluación realice una revisión individual de la evaluación para que conozca las realidades de cada estudiante. También sería interesante que realizara una revisión general en el pizarrón, para que sus estudiantes puedan identificar sus errores y corregirlos, de manera de aclarar dudas y evitar errores conceptuales.

Medianamente logrado

Por lograr

Determina la fracción irreductible y el número decimal de tres de las fracciones dadas.

Determina la fracción irreductible y el número decimal de menos de tres de las fracciones dadas.

Determina el número decimal de cinco de las fracciones dadas.

Determina el número decimal de menos de cinco de las fracciones dadas.

Representa gráficamente, como parte de una región, tres de las fracciones dadas.

Representa gráficamente, como parte de una región, menos de tres de las fracciones dadas.

Representar como fracción cuatro de las relaciones entre cantidades dadas.

Representar como fracción menos de cuatro de las relaciones entre cantidades dadas.

Resuelve correctamente nueve de las multiplicaciones de fracciones y números decimales dadas.

Resuelve correctamente menos de nueve de las multiplicaciones de fracciones y números decimales dadas.

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ACTIVIDAD INICIAL Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR son de carácter exploratorio y están orientadas a introducir el concepto de razón como la comparación entre dos cantidades por medio de una división.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

1, 2 y 3

Representar e interpretar.

Calcular.

Representar.

EN EQUIPO Actividad 1y2 3 4, 5 y 6

Habilidades que se desarrollan Usar herramientas. Representar. Analizar.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Es importante que mencione a sus estudiantes que al formar una razón se debe considerar el orden en que aparecen los datos. Por ejemplo, en el ejercicio 1 se pide la razón entre las fichas rojas y azules, por lo tanto el primer número que debe colocar es el correspondiente a las fichas rojas y luego el correspondiente a las fichas azules, ya que 3 : 2 es distinto que 2 : 3. esto lo puede mostrar fácilmente pidiendo a sus estudiantes que dividan 3 : 2 y 2 : 3, donde obtendrán resultados diferentes. El mismo cuidado deben tener en los ejercicios 2 y 3, y EN EQUIPO, donde deben determinar la razón entre la longitud de la cabeza y la estatura. • Permítales que compartan las respuestas obtenidas y los procedimientos utilizados; de esta manera podrán ver distintos procedimientos para obtener las respuestas.

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Texto para el Estudiante 94 y 95

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para complementar las actividades del Texto puede pedir a sus estudiantes que realicen las siguientes actividades: • Determina si los siguientes pares de razones son iguales. 1:4 3:7

2:8 5 : 10

7 4

6 3

2 16

1 8

(Habilidades que desarrollan: calcular y analizar). • Rodrigo y Alicia están pintando la fachada de su casa con color verde. Para esto hicieron una mezcla con color azul (5 litros) y amarillo (2 litros).

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Los alumnos y alumnas suelen pensar que la razón entre dos cantidades a y b es equivalente a la razón entre b y a. Puede eliminar esta concepción de sus estudiantes apoyándose en la definición de razones iguales, es decir, que ambas razones deben tener el mismo valor. Un buen ejercicio para ello sería presentar pares de razones y pedir que determinen si son iguales calculando el cociente entre ellas.

– ¿En qué razón prepararon el color verde? – Si necesitan 21 litros de pintura verde para pintar toda la casa, ¿en qué razón se debe hacer la mezcla? ¿Cómo lo calculaste? – ¿En qué razón se debe hacer la mezcla para obtener 3,5 litros de pintura de color verde? ¿Cómo lo calculaste? – Alicia afirma que para obtener una cierta cantidad de mezcla, la razón entre las cantidades no varía. ¿Está en lo correcto? Explica. (Habilidades que desarrollan: aplicar, calcular y analizar).

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Interpretación de información proveniente de literatura de divulgación y de medios de comunicación expresada en términos de razones y porcentajes, establecimiento de la relación entre porcentaje y su expresión como fracción o número decimal y empleo del porcentaje como medio para comunicar información relativa a situaciones del mundo cotidiano. Cálculo de porcentajes (cuánto es el tanto por ciento de una cantidad dada, aumentos y disminuciones en un porcentaje dado) en variadas situaciones de la vida cotidiana y del ámbito de las ciencias y la tecnología.

ACTIVIDAD INICIAL La actividad inicial propuesta en el Texto tiene por objetivo introducir a los alumnos y alumnas en la relación entre razones y porcentajes.

EN TU CUADERNO Actividad 1, 2 y 3 4y5

Habilidades que se desarrollan Calcular. Aplicar y calcular.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ejercicio 2, es importante mostrar que se puede resolver de distintas formas, por ejemplo como fracción de un número, tal como aprendieron en la unidad 1; o determinando el cociente de la división y luego este resultado multiplicarlo por el número dado. • Para el buen desarrollo de las actividades, es importante que mencione a sus estudiantes la importancia de simplificar las fracciones antes de multiplicar, cuando sea posible, pues de esta forma los cálculos que deberá realizar serán más sencillos. En relación a esto, también es conveniente que mencione a sus estudiantes que la simplificación puede ser cruzada, es decir, no es necesario simplificar el numerador y el denominador de una misma fracción, puede ocurrir la simplificación entre el numerador de una fracción y el denominador de otra. • Es fundamental que analice los razonamientos utilizados por sus alumnos y alumnas para llegar a las respuestas requeridas. De esta forma podrá verificar si están comprendiendo los contenidos y también podrá corregir los errores que cometen. 148 Guía Didáctica Matemática 6

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Texto para el Estudiante 96 y 97

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para complementar y reforzar las actividades del texto puede realizar las siguientes actividades: • Escribe la fracción decimal que representa cada porcentaje en las siguientes afirmaciones: – Día de la fruta, 50% de descuento – El 23% de las mujeres encuestadas no utilizan perfume. – 34% de descuento en todos los productos lácteos. – El 97% de las notas de matemática fueron sobre 5,5. (Habilidad que desarrolla: conectar y representar). • En un colegio de 900 estudiantes, el 25% de ellos posee una beca de estudios. – ¿Qué fracción de los estudiantes posee beca de estudio? – ¿Cuántos estudiantes poseen beca de estudio? – ¿Qué porcentaje de los estudiantes no posee beca de estudio? (Habilidades que desarrollan: aplicar, representar y calcular).

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Es importante que mencione que otra forma de calcular un porcentaje determinado es calculando el valor de la razón y el resultado obtenido multiplicarlo por 100. Por ejemplo:

3 = 0,75 4

0,75 · 100 = 75% entonces

3 = 75% 4

• También comente que si una fracción tiene denominador igual a 100, entonces el porcentaje correspondiente será el número que indica el numerador. Si la fracción tiene denominador distinto de 100 deben encontrar una fracción cuyo denominador sea igual a 100 y luego ver el numerador de esta fracción que indicará el porcentaje buscado. Por ejemplo:

31 27 = 31%, = 27% 100 100 Unidad 4 149

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ACTIVIDAD INICIAL El objetivo de esta actividad es que los alumnos y alumnas comprendan la importancia de los porcentajes en la interpretación de tablas y gráficos, ya que nos permiten resumir información.

EN TU CUADERNO Actividad 1y2 3

Habilidades que se desarrollan Representar. Analizar e interpretar.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ejercicio 1, es importante que aclare a sus estudiantes que solo deben determinar la fracción decimal correspondiente a cada enunciado verbal, es decir, no es necesario obtener las fracciones irreductibles, pues de este modo queda más clara la relación entre porcentaje, fracción decimal y número decimal. • En el ejercicio 3, es importante que comente con su curso las interpretaciones que hicieron sus estudiantes, pues de esta forma saber si todos están interpretando lo mismo y si lo están haciendo de manera correcta.

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Texto para el Estudiante 98 y 99

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para reforzar y complementar las actividades presentadas en el Texto, puede pedir a sus estudiantes que desarrollen la siguiente actividad: • Expresa como fracción decimal y número decimal los siguientes enunciados. Además, explica el significado de cada porcentaje de acuerdo a la afirmación dada. – El 72% de las personas les gustaría ir al cine el fin de semana. – El 13% del sueldo de un trabajador es destinado a la AFP. – El precio de la bencina subirá un 5%. – El 36% de los animales de un zoológico son carnívoros. (Habilidades que desarrollan: representar e interpretar). • Representa gráficamente los siguientes porcentajes, de acuerdo al color indicado. – – – – – –

3% naranjo 5% celeste 10% verde 18% amarillo 22% rojo 42% azul

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Cuando disponemos de cierta información numérica es fundamental que hagamos una interpretación correcta de los datos que tenemos, así como poder resumir la información destacando los aspectos más relevantes. • Recordar a sus estudiantes que la suma de los valores de una variable expresada en forma de porcentaje siempre debe ser 100%. Por ejemplo, en la actividad inicial los porcentajes son 15%, 10%, 25% y 50%, donde 15 + 10 + 25 + 50 = 100. • Es fundamental que sus estudiantes siempre tengan presente el complemento de un porcentaje determinado, considerando que el total es el 100%. Por ejemplo, considerando el censo del 2002, el porcentaje de hombres es aproximadamente 49%, por lo tanto el de mujeres (no hombres) debe ser aproximadamente 51%. • Es importante que los y las alumnas conozcan diferentes formas para calcular un porcentaje, para esto muestre diversos procedimientos para que ellos puedan optar por aquel que les resulte más conveniente.

(Habilidad que desarrolla: representar).

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CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS Interpretación de información proveniente de literatura de divulgación y de medios de comunicación expresada en términos de razones y porcentajes, establecimiento de la relación entre porcentaje y su expresión como fracción o número decimal y empleo del porcentaje como medio para comunicar información relativa a situaciones del mundo cotidiano. Cálculo de porcentajes (cuánto es el tanto por ciento de una cantidad dada, aumentos y disminuciones en un porcentaje dado) en variadas situaciones de la vida cotidiana y del ámbito de las ciencias y la tecnología.

ACTIVIDAD INICIAL El objetivo de esta actividad es que los alumnos y alumnas aprendan a calcular 10%, 25% y 50% de una cantidad determinada. Para ello se presenta una situación inicial sobre los pasatiempos favoritos, como una forma de motivar el aprendizaje de esta nueva parte de la unidad. Para informarse sobre los conocimientos previos de sus estudiantes sería conveniente que les preguntara si saben cuánto representa el 50% de una cantidad, luego el 25% y finalmente el 10%. Para facilitar esto, podría dar algunos ejemplos como los siguientes: ¿cuál es el 50% de 1 000? Si 300 es el 50%, ¿cuál es el 100%?, etc.

EN TU CUADERNO Actividad 1 2y3 4

Habilidades que se desarrollan Calcular Aplicar y calcular. Analizar.

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ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ejercicio 1 sería interesante plantear a sus estudiantes otras preguntas como las propuestas en la actividad inicial, por ejemplo, si 30 es el 10%, ¿cuál es el 100%? • En el ejercicio 3 puede ser necesario volver a mencionar que el total de opciones corresponde al 100% y a partir de esto pueden determinar la cantidad de estudiantes que compra sándwich. • En el ejercicio 4, es importante que los alumnos y alumnas noten que el cálculo de cualquier porcentaje múltiplo de 10 es muy sencillo obtener a partir del 10%. • En la sección ESTRATEGIA MENTAL es importante preguntar a sus estudiantes cómo llegaron a lo resultados obtenidos, de modo de conocer los razonamientos que están realizando para potenciarlos o corregirlos en caso de ser necesario. • Permítales que compartan las respuestas obtenidas y los procedimientos utilizados; de esta manera podrán ver distas estrategias para obtener las soluciones, y además podrá fomentar en sus estudiantes habilidades comunicativas, de respeto y argumentación.

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Texto para el Estudiante 100 y 101

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para potenciar y reforzar los aprendizajes de sus estudiantes, puede plantear problemas adicionales como las siguientes: • De los 46 partidos jugados en los dos últimos años, la selección de básquetbol del colegio ha ganado el 50% de ellos y ha perdido el resto. – ¿Cuántos partidos ha ganado la selección de básquetbol? – ¿Qué porcentaje de lo partidos ha perdido la selección de básquetbol? – ¿Cuántos partidos ha perdido? (Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular). • Alicia quiere comprar un departamento y para ello debe pagar el 25% del precio del departamento al momento de la entrega. Y el resto del dinero deberá pagarlo en cuotas fijas. Si el precio del departamento es $ 14 000 000. – ¿Cuánto dinero debe pagar al momento de la entrega? – ¿Qué porcentaje del precio del departamento le quedará por pagar? – ¿Cuánto dinero le quedará por pagar? (Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular).

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Para calcular un porcentaje que sea múltiplo de 10, se puede calcular primero el 10% de esa cantidad y, luego, el resultado multiplicarlo por el número adecuado para obtener el porcentaje pedido. Por ejemplo, si queremos calcular el 40% de 200, calculamos el 10% que es 20, luego este resultado lo multiplicamos por 4 para obtener el 40% quedando 20 • 4 = 80.

• El precio de la bencina en un año ha tenido un alza del 10% aproximadamente. Si el precio de la bencina hace un año era de $ 680 el litro. ¿Cuál es el precio de la bencina, después del alza del 10%? (Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular).

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ACTIVIDAD INICIAL El propósito de esta actividad es introducir a sus estudiantes en el cálculo de porcentajes, a través de una situación muy familiar para ellos, que son las notas. Es fundamental que los y las estudiantes se acostumbren a trabajar de forma ordenada y completa, realizando los procedimientos correspondientes y razonados, y de esta forma favorecer la comprensión y no la mecanización de procedimientos.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Calcular.

Aplicar y calcular.

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• En el ejercicio 1, es importante que sus estudiantes recuerden cómo simplificar fracciones y la utilidad que tiene esto antes de multiplicar, ya que se obtienen números más pequeños, por lo cual son más fáciles de multiplicar y requieren menos tiempo.

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Texto para el Estudiante 102 y 103

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para apoyar el aprendizaje del contenido de estas páginas y fomentar la resolución de problemas, puede plantear a sus estudiantes las siguientes situaciones: • En un colegio de 1 200 estudiantes, el porcentaje de inscritos en diferentes actividades extraprogramáticas es el siguiente: – – – –

40% está inscrito en deporte. 30% está inscrito en idiomas. 20% está inscrito en computación 10% está inscrito en teatro.

• De acuerdo a esta información, ¿cuántos estudiantes: – – – –

están inscritos en deporte? están inscritos en idiomas? están inscritos en computación? están inscritos en teatro?

(Habilidades que desarrollan: aplicar y calcular).

EVALUACIÓN FORMATIVA MI PROGRESO Ítem

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO

Habilidades que se evalúan

Representar.

Calcular.

Aplicar y calcular.

• Es importante que los y las estudiantes no olviden los procedimientos para multiplicar números decimales. Por ejemplo, 12 • 0,6. • También es fundamental recordar la importancia de simplificar expresiones antes de realizar una multiplicación, pues como sabemos al simplificar se obtienen expresiones más sencillas que son más fáciles de multiplicar y que, por lo tanto, son más rápidas.

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ACTIVIDAD INICIAL Es interesante mostrar como situación motivacional el tema de los impuestos e intereses, ya que es una realidad del mundo económico y financiero de muchos países, incluido el nuestro. A partir de un problema relacionado con este contexto se muestra la aplicabilidad que tienen los porcentajes para la obtención de descuentos y rebajas.

EN TU CUADERNO Actividad 1 2y3 4

Habilidades que se desarrollan Calcular. Aplicar y calcular. Analizar y justificar.

HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ejercicio 1, es importante que aclare a sus estudiantes que el porcentaje de aumento es con respecto al precio inicial y no en relación al nuevo precio. Es fundamental que recalque este punto ya que los alumnos y alumnas suelen confundirse con este tipo de situaciones. • En ejercicio 4, recordar que el año tiene 12 meses, de modo que el porcentaje mensual dado se debe multiplicar por 12 para obtener el porcentaje anual, o bien el porcentaje anual dado se debe dividir por 12 para obtener el porcentaje mensual.

Habilidades que se desarrollan Usar herramientas y calcular.

156 Guía Didáctica Matemática 6

• Mencione a sus estudiantes la utilidad que tiene trabajar con un programa computacional para el tratamiento de variados contenidos matemáticos, ya que es una herramienta que permite utilizar los conocimientos matemáticos aprendidos y potenciarlos a través de diversas actividades que permitirán ejecutar, visualizar y relacionar con mayor facilidad.

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Texto para el Estudiante 104 y 105

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para reforzar y potenciar los aprendizajes de sus estudiantes puede plantear los siguientes problemas: • Una lavadora vale $ 160 000 si se paga al contado. Se puede pagar a crédito en 10 cuotas de $ 23 200. ¿En qué porcentaje aumenta el precio de la lavadora si se compra a crédito? (Habilidades que se desarrollan: aplicar y calcular). • En una fábrica se confecciona la siguiente lista con los precios de los artículos que produce. Artículo

Precio unitario

$ 6 845

$ 3 428

$ 4 215

$ 8 932

$ 4 550

Precio + IVA

– Completa la tabla. – Si un cliente desea comprar una unidad de cada artículo, ¿cuánto debe pagar? – ¿Es lo mismo sumar los precios de los artículos y a esto calcular el IVA, que calcular el IVA de cada producto y luego sumarlos?

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • En muchas ocasiones es necesario calcular un porcentaje que está expresado como número decimal, sería conveniente que pregunte a sus alumnos y alumnas cómo calcularían por ejemplo el 12,5% de 500. Luego de conocer sus opiniones presente distintas formas para calcular este porcentaje, de modo que los alumnos y alumnas puedan optar por aquella que les resulte más cómoda. Por ejemplo, mostrar que una opción es calcular el 25% de 500 y luego el resultado obtenido dividirlo por 2; o transformar el número decimal a fracción decimal y luego multiplicarla por 500.

(Habilidades que se desarrollan: aplicar y calcular).

• Es importante mostrar a los y las estudiantes variados procedimientos para calcular porcentajes, de modo que tengan la opción posterior de elegir cuál o cuáles son los métodos que les resultan más convenientes a determinados ejercicios o situaciones problemáticas.

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ACTIVIDAD INICIAL El objetivo de la actividad inicial que plantea el Texto es mostrar la aplicación que tienen los porcentajes en los descuentos y rebajas. Para motivar a sus estudiantes puede pedir que busquen en diarios y revistas avisos donde anuncien descuentos y rebajas. Pregunte cuáles creen que son las ofertas más y menos convenientes, justificando debidamente sus respuestas.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Aplicar, calcular y analizar.

Aplicar y calcular.

Aplicar, calcular y analizar.

4, 5 y 6 7y8

Calcular. Aplicar, calcular y analizar.

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ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ejercicio 1, es importante que sus estudiantes descubran que es lo mismo calcular el descuento al total de la compra, que calcular el descuento a cada producto y sumar los valores obtenidos. Es fundamental que resuelvan este ejercicio de las dos formas para que puedan visualizar la igualdad planteada. • En el ejercicio 2, plantee a sus estudiantes si es posible en este caso sumar todos los valores y luego aplicar el descuento al total. Es importante que sus estudiantes entreguen una fundamentación de sus argumentos para sabe si el razonamiento que están realizando es correcto. Luego de conocer las opiniones de sus estudiantes, explique por qué no es posible realizar este procedimiento. Además, muestre la forma correcta de resolver este problema, para que puedan enfrentar correctamente situaciones del mismo tipo.

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Texto para el Estudiante 106 y 107

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para complementar las actividades presentes en el Texto, puede presentar los siguientes problemas: • Carlos compra un auto cuyo precio es de $ 6 400 000 y le hacen un descuento del 18%. ¿Cuánto tiene que pagar? • En una tienda se hace una liquidación donde todos los productos son rebajados en un 20%. Después de una semana todos los artículos vuelven a rebajarse en un 5%. Si un pantalón costaba originalmente $ 19 000. – ¿Cuánto cuesta el pantalón después de la primera liquidación? – ¿Cuánto cuesta después de la segunda liquidación? – ¿La oferta sería igual si originalmente todos los productos hubiesen sido rebajados en un 25%? (Habilidades que desarrollan: aplicar, calcular y analizar).

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Explique a sus estudiantes que para obtener el precio final de un producto con descuento es necesario restar al precio original el descuento correspondiente, ya que muchas veces los alumnos y alumnas suelen calcular el descuento y piensan que ese es el precio final. • Enfatice en que si compramos, por ejemplo, varios productos que tienen un 15% de descuesto, es lo mismo calcular el 15% a cada producto y luego sumar los resultados obtenidos, que sumar los valores iniciales y luego a la suma obtenida calcularle el 15%. Recuerde que esto solo es posible hacerlo cuando cada producto tiene el mismo porcentaje de descuento.

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ACTIVIDAD INICIAL El objetivo de la actividad inicial presentada en el Texto es mostrar que los porcentajes son utilizados muchas veces para presentar información resumida proveniente de diferentes contextos. Una de los recursos para resumir información son los gráficos circulares, estos permiten visualizar e interpretar con claridad el comportamiento de ciertos fenómenos. En esta actividad, se plantea la situación de los niveles sociales presentes en Santiago. La información presentada en una tabla puede ser una buena instancia para que converse con sus estudiantes sobre las diferencias de ingresos que existen entre cada nivel social. Sería interesante que uniera este tema con la importancia de estudiar para tener mejores opciones en el futuro.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Es fundamental que los alumnos y alumnas sean metódicos y organizados para la construcción de gráficos, colocando atención en los cálculos que debe realizar para obtener los grados que corresponden a cada nivel social. • Recuerde a sus estudiantes que la suma de todos los ángulos del gráfico debe sumar 360º. Además, si se quiere construir un gráfico circular utilizando los porcentajes equivalentes a cada categoría la suma de todos estos debe ser 100%.

EN TU CUADERNO Actividad 1y2

Habilidades que se desarrollan Aplicar y calcular.

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Texto para el Estudiante 108 y 109

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para reforzar y profundizar este contenido, puede plantear lo siguiente. • Se realizó una encuesta a niños entre 11 y 12 años sobre los usos de Internet. Los resultados obtenidos son los siguientes: Uso de Internet

Frecuencia absoluta

Chatear

Revisar el correo

Jugar en línea

Hacer tareas

Buscar información actual

De acuerdo a la información de la tabla: – Si cada encuestado solo podía indicar una preferencia y todos respondieron, ¿cuál es el total de encuestados? – Calcula los porcentajes correspondientes a cada categoría. – Construye un gráfico circular utilizando los porcentajes obtenidos. (Habilidades que desarrollan: aplicar, usar herramientas y calcular).

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • El gráfico circular es una herramienta visual muy potente que sirve para representar y resumir información de datos cualitativos y cuantitativos que no se encuentran agrupados en intervalos.

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HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Habilidades quese desarrollan Usar herramientas y calcular.

ACTIVIDAD INICIAL HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS es una sección que aparece en las unidades de esta guía y cuyo objetivo es vincular los contenidos de la unidad con el uso de la tecnología. En este caso el propósito es relacionar la construcción de gráficos circulares con el uso de la planilla Excel.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Sería conveniente para sus estudiantes que muestre que existen otros tipos de gráficos que permiten representar información expresada en porcentajes, como lo son por ejemplo los gráficos de barras. • Para dar más atractivo a esta actividad, enseñe a sus estudiates características adicionales del programa, como por ejemplo escribir fórmulas matemáticas, otros tipos de gráficos, cambiar el color de los gráficos, cambiar tipo y tamaño de letra, etc.

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Texto para el Estudiante 110 y 111

EVALUACIÓN FORMATIVA MI PROGRESO Ítem

Habilidades que se desarrollan

Aplicar y calcular.

Aplicar y analizar.

Aplicar, calcular y analizar.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para reforzar y profundizar este contenido, puede plantear lo siguiente. Realizar una encuesta a 50 personas, preguntar por tipo de película favorita (drama, comedia, ficción, romántica). Calcular los porcentajes correspondientes a cada categoría. Con esta información construir en Excel un gráfico circular.

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • La computación es una herramienta indispensable en estos días, por ello es fundamental que los alumnos y alumnas se conecten con ella a través de distintos programas y contenidos matemáticos. Usar un programa computacional es una buena instancia para motivar, ampliar y mejorar los aprendizajes de sus estudiantes. • Excel es una planilla de cálculo muy amplia que permite realizar distintas aplicaciones de diversos contenidos matemáticos, para que los alumnos y alumnas puedan descubrir la utilidad del programa, permítales que inspeccionen las distintas opciones que presenta Excel.

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CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS Cálculo de porcentajes (cuánto es el tanto por ciento de una cantidad dada, aumentos y disminuciones en un porcentaje dado) en variadas situaciones de la vida cotidiana y del ámbito de las ciencias y la tecnología.

BUSCANDO ESTRATEGIAS Actividad 1y2

Habilidades que se desarrollan Aplicar, calcular y verificar.

La resolución de problemas se trabaja en forma transversal en toda la unidad; sin embargo, en estas páginas se presenta una estrategia de resolución específica de problemas con contenidos de la unidad para que los y las estudiantes la aprendan, la practiquen en otros problemas y luego que busquen otras estrategias distintas, pero considerando los siguientes pasos: comprender, planificar, resolver y revisar.

INDICADORES DE LOGRO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS A continuación se presentan diferentes indicadores de logro que puede utilizar para evaluar la resolución de problemas planteados. Logro, aplicación Comprensión del problema o aplicación

• Puede expresar en sus propias palabras e interpretar coherentemente el problema. • Identifica la información necesaria. • Tiene una idea acerca de la respuesta.

Comprensión de conceptos

• • • • •

Verificación de resultados y/o progreso

• Chequea racionalidad de los resultados. • Reconoce sin razones.

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Aplica correctamente reglas o algoritmos cuando usa símbolos. Conecta cómo y por qué. Aplica el concepto a problemas o a situaciones nuevas. Hace y explica conexiones. Realiza lo pedido y va más allá.

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Texto para el Estudiante 112 y 113

INDICACIONES SOBRE EL PROBLEMA RESUELTO Es importante que muestre a sus estudiantes que el descuento del 15% se aplica al precio inicial y que el interés del 6% es aplicado al precio rebajado. Es fundamental aclarar que la estrategia presentada es solo una forma de resolver el problema presentado. Otra forma de resolver este problema es aplicar el interés al precio inicial y luego a este nuevo valor aplicar el 15% de descuento. Es importante que presente a sus estudiantes ambas formas de resolución, pues de esta forma podrán comprender de mejor forma los análisis realizados.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para apoyar las actividades del Texto, puede plantear el siguiente problema: • El dueño de una tienda de ropa decide rebajar los precios de sus productos de invierno, ya que en unos días comienza la primavera. Los pantalones cuestan $ 8 500, las camisas cuestan $ 6 000 y los zapatos cuestan $ 15 000. si decide hacer un descuento de 50% a los pantalones, 25% a las camisas y 35% a los zapatos. ¿Cuánto debería pagar una familia si compra 3 pantalones, 4 camisas y 2 pares de zapatos? (Habilidad que desarrollan: aplicar, calcular, verificar y formular). En proceso, logro parcial

No comprende

• • • •

Copia el problema. Identifica palabras clave. Puede que mal interprete parte del problema. Puede que tenga alguna idea acerca de la respuesta.

• No entiende el problema. • Entiende mal el problema. • Como rutina pide explicaciones.

• • • • •

Demuestra un entendimiento parcial o satisfactorio. Puede demostrar y explicar usando una variedad de modos. Está listo para hacer conexiones acerca de cómo y por qué. Relaciona el concepto con conocimiento y experiencias anteriores. Realiza las tareas cada vez con menos errores.

• • • •

• Revisa cálculos y procedimientos. • Puede investigar razones si existen dudas.

No modela los conceptos rutinarios correctamente. No puede explicar el concepto. No intenta resolver el problema. No hace conexiones.

• No revisa cálculos ni procedimientos. • No reconoce si su respuesta es o no razonable. Fuente: www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/instrumentos.htm

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CONEXIONES Actividad 1y2

Habilidades que se desarrollan Aplicar y analizar.

Esta conexión tiene como propósito vincular los porcentajes con una situación real y muy importante para el desarrollo económico de nuestro país: IPC. El Banco Central es un organismo del Estado que tiene el compromiso de velar por la estabilidad del valor de la moneda y el normal funcionamiento de los pagos internos y externos. Interesante información sobre el IPC y otros temas relacionados con la economía del país puede encontrar en www.bcentral.cl.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para potenciar la actividad propuesta en el texto y los aprendizajes de los alumnos y alumnas, puede plantear lo siguiente: • Averigua que significa obtener un IPC de 0,1%. • Investiga que productos y servicios son incluidos para calcular el IPC. • Representa cada uno de los porcentajes que aparecen en el artículo del texto como fracción decimal y como número decimal. • ¿Es posible construir un gráfico circular con los porcentajes dados del IPC de cada grupo? Explica.

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Texto para el Estudiante 114 y 115

SUGERENCIAS RESPECTO DE LA SÍNTESIS DE LA UNIDAD Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permite a los alumnos y alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los alumnos y alumnas consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes. Además, permite conocer el nivel de aprendizaje que han alcanzado sus estudiantes en la Unidad.

SÍNTESIS Habilidades que se desarrollan Recordar y conectar. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la unidad realice preguntas como las siguientes:

TÉCNICAS DE ESTUDIO Sintetizar un tema por medio de un esquema es una forma efectiva de resumir y estudiar sobre los principales tópicos de una unidad. Esta es solo una forma de estudiar los contenidos vistos en la unidad, existen muchas otras. A continuación presentamos una de ellas: fichas de resumen. La utilización de fichas es una técnica de estudio que consiste en colocar en ellas la información más importante del tema que estamos trabajando. Para la confección de fichas de resumen y su posterior utilización se deben considerar los siguientes puntos:

• ¿Cómo definirías “razón”? • ¿De qué formas se puede representar un porcentaje? • ¿En qué situaciones es posible encontrar porcentajes? • ¿Por qué en las tiendas se hacen descuentos utilizando porcentajes? • Escribe una manera de calcular el 40% de un número dado. ¿Existe solo un método para llegar al resultado? • ¿Cómo interpretas “el 25% de un grupo de 80 mamás”? • ¿Es posible que un producto tenga mayor descuento es pesos que otro, pero menor descuento en porcentaje? Justifica. (Habilidades que se desarrollan: recordar y conectar).

• La creación de las fichas debe ser realizada en forma individual y en clases, para que el profesor pueda observar el proceso de realización y principalmente pueda orientar y guiar el trabajo de los y las estudiantes. • Deben confeccionarse como máximo 2 fichas, para cada uno de los temas incluidos en la unidad, ya que un número superior a este podría alejarlos del objetivo de las fichas, que es resumir un tema determinado con los aspectos más importantes. Unidad 4 167

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EVALUACIÓN SUMATIVA ¿QUÉ APRENDÍ? Ítem 1y2

Habilidades que se evalúan Representar.

Analizar.

4y5

Calcular.

Aplicar y calcular.

Interpretar.

Aplicar y calcular.

Interpretar y representar.

Los ejercicios y problemas presentados en esta sección permiten evaluar los aprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8) considere: Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas. Logrado, si contesta correctamente más de seis preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente seis preguntas. No logrado, si contesta correctamente menos de seis preguntas.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En los ejercicios 1 a 8, la información que entrega la respuesta de los y las estudiantes es limitada, ya que sin desarrollo es difícil saber cuáles son los errores que cometen, que puede ser por falta de conocimiento o equivocación al marcar la alternativa, entre otras. Para evitar este inconveniente en los ítemes de selección múltiple, se sugiere pedirles que realicen algún tipo de desarrollo en cada pregunta, pues de este modo podemos detectar en qué se están equivocando y ayudarlos a alcanzar los aprendizajes que se espera que logren. • En los problemas 9, 10 y 11 podría ocurrir algo similar, ya que los estudiantes podrían contestar algunas preguntas sin realizar algún desarrollo escrito, situación que dificulta la detección de errores. Por ello también se sugiere pedirles que resuelvan cada problema, mostrando los pasos que siguieron para llegar a la solución.

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Texto para el Estudiante 116 y 117

EVALUACIÓN FOTOCOPIABLE En las páginas siguientes se presenta una evaluación fotocopiable que usted puede utilizar como evaluación sumativa de la unidad. Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas en la unidad de ecuaciones lineales, y con esta información seguir determinadas líneas de acción. Por ejemplo, volver a enseñar un contenido o realizar una actividad adicional, para que adquieran todos los aprendizajes que se pretendían con el desarrollo de esta unidad. El tiempo estimado para la realización de la prueba es 40 minutos. Este tiempo puede ser modificado según las características de sus estudiantes. Para que la evaluación le permita calificar a sus estudiantes se sugiere utilizar la siguiente pauta: Ítem

Habilidades que se evalúan

Puntaje

Total

Aplicar, calcular y analizar.

2 puntos cada una.

16 puntos

Aplicar, analizar y calcular.

4 puntos.

4 puntos

III

Aplicar, analizar y calcular.

4 puntos.

4 puntos

Puntaje total de la evaluación

24 puntos

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EVALUACIÓN

Porcentajes Nombre:

Curso: 6°

Fecha:

Puntaje:

Nota:

I. Marca la alternativa correcta. 1. En un curso, el 40% de los estudiantes reprobó el examen de ciencias. Si el curso es de 45 estudiantes, ¿cuántos estudiantes aprobaron? A. 18 B. 20 C. 21 D. 27

2. 30 es el 40% de: A. 300 B. 75 C. 12 D. 6

3. El 30% de 3 es igual a: A. Al 100% de 3 B. Al 3% de 30 C. Al 100% de 90 D. 90

4. ¿Qué número decimal representa el 50%? A. 50,0 B. 20,0 C. 0,5 D. 0,2

5. El 25% de una cantidad es equivalente a: A. La mitad de dicha cantidad. B. La cuarta parte de dicha cantidad. C. La quinta parte de dicha cantidad. D. La décima parte de dicha cantidad.

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6. El precio en vitrina de un hervidor es $ 22 500. Si tiene un descuento del 20%, ¿cuál es el precio final del hervidor? A. $ 2 250 B. $ 4 500 C. $ 18 000 D. $ 27 000

7. Para calcular el total de una cantidad dado el 10% de ella, debes: A. Calcular la décima parte de dicha cantidad. B. Calcular 2 de la cantidad. 5 C. Multiplicar por 2 y dividir por 5. D. Multiplicar por 10 dicha cantidad

8. La expresión 6 de una cantidad corresponde al: 8 A. 25% de la cantidad B. 75% de la cantidad C. 15% de la cantidad D. 40% de la cantidad

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II. Resuelve los siguientes problemas mostrando el desarrollo. 1. Un árbol crece un 27% de su longitud en un año. a) ¿Cuánto crecerá en 2 años?

b) ¿Cuál será la longitud del árbol en 2 años?

2. Claudia rindió una prueba de 125 preguntas y contestó correctamente el 64%. a) ¿Cuántas preguntas contestó correctamente?

b) ¿Cuántas preguntas debió contestar correctamente para tener el 80% de aciertos?

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UNIDAD

Ecuaciones Propósito de la unidad Esta unidad está orientada al estudio y al aprendizaje de las ecuaciones de primer grado, a que comprendan y valoren su presencia y aplicación en distintos contextos del mundo real, matemático y geométrico. El objetivo de esta unidad es que los y las estudiantes utilicen los conocimientos adquiridos en años anteriores para la comprensión y el aprendizaje de ecuaciones lineales, como por ejemplo, operatoria con números naturales, cálculo de medidas de ángulos, etc., ya que en el desarrollo de esta unidad se vincularán las ecuaciones de primer grado con una incógnita con otros contenidos matemáticos y geométricos. Los distintos contenidos de esta unidad son prestados a través de situaciones reales provenientes de diversos contextos cotidianos, para que los alumnos y alumnas logren una mayor motivación para aprender nuevos conocimientos, vean la aplicabilidad de las ecuaciones de primer grado y principalmente logren aprendizajes más significativos. A continuación, se presenta un cuadro que vincula los Contenidos Mínimos Obligatorios, los Aprendizajes Esperados y los Indicadores de la unidad, que le permitirán evaluar los aprendizajes de sus alumnos y alumnas.

Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO)

Aprendizajes esperados

Indicadores

Empleo de las propiedades de las operaciones de los números naturales para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita

• Distinguir entre igualdad y ecuación. • Aplicar las operaciones de adición y

• Distinguen entre igualdad y ecuación. • Aplican las propiedades de las

sustracción, multiplicación y división para reducir las expresiones algebraicas involucradas en una ecuación. • Resolver problemas en contextos variados en los que se utilizan ecuaciones de primer grado con una incógnita para expresar las condiciones del problema.

operaciones de los números naturales para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita. • Resuelven problemas en contextos variados utilizando ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Validación de la solución obtenida en la resolución de una ecuación de primer grado con una incógnita, mediante la sustitución de la incógnita.

• Establecer si el valor obtenido a través

• Determinan si la solución obtenida

172 Guía Didáctica Matemática 6

de la resolución algebraica de la ecuación asociada a un problema es efectivamente una solución, es decir, un valor válido en el contexto del problema.

en la resolución de una ecuación de primer grado con una incógnita es correcta y pertinente al problema, mediante la sustitución de la incógnita y el contexto del problema.

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Relación entre los aprendizajes de la unidad y los de otros años • Leer y escribir números naturales, fracciones y números decimales positivos, establecer relaciones entre ellos,

5º Básico

reconocer algunas de sus propiedades, interpretar información proporcionada empleando dichos números y utilizarlos para comunicar información. • Utilizar procedimientos de cálculo mental y escrito, empleando herramientas tecnológicas para efectuar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con números naturales, y adiciones y sustracciones con fracciones y números decimales positivos. • Interpretar expresiones matemáticas en que se emplean letras para representar números. • Formular y verificar conjeturas simples y aplicar las habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en contextos diversos que requieren el uso de los contenidos del nivel. • Emplear diversas estrategias para encontrar el valor desconocido en ecuaciones de primer grado con una

6º Básico

incógnita en el ámbito de los números naturales. • Formular conjeturas, verificar proposiciones simples y aplicar habilidades del proceso de resolución de problemas en contextos diversos utilizando los contenidos del nivel. • Resolver problemas referidos a diversos contextos por medio del planteo de ecuaciones de primer grado con

7º Básico

una incógnita, en el ámbito de los números naturales, fracciones o decimales positivos y en las que es necesario reducir las expresiones involucradas. • Emplear formas simples de modelamiento matemático, aplicar habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en contextos diversos y significativos utilizando los contenidos del nivel, y analizar la validez de los procedimientos utilizados y de los resultados obtenidos. • Modelar situaciones o fenómenos en los que se dan relaciones de proporcionalidad o porcentaje, verificar

8º Básico

Esquema de la unidad Interpretación de las soluciones Resolución de problemas Análisis de las soluciones Aplicación Ecuaciones Incógnita

Igualdad Tipo de ecuaciones

Operaciones Expresiones algebraicas Evaluación

Resolución de ecuaciones Propiedades de las igualdades Solución Verificación de solución encontrada Unidad 5 173

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Errores frecuentes Errores frecuentes

Cómo subsanarlos

En la resolución de problemas que involucran ecuaciones de primer grado se pueden presentar los siguientes inconvenientes: • Dificultades en la comprensión lectora, impidiendo una buena interpretación y posterior resolución. • Utilización incorrecta de los datos que entrega un problema. • Entregar solo una respuesta numérica, sin incluir una unidad asociada. • Análisis de las estrategias utilizadas y soluciones encontradas.

• Para evitar este tipo de inconvenientes es fundamental

Al resolver una ecuación realizan una operación inadecuada, provocando un error en la solución de la ecuación.

• Para evitar esto es importante aclarar que el método para

La solución encontrada no tiene sentido en el contexto del problema, o la solución encontrada no da respuesta directa al problema o pregunta planteada.

• Para evitar este tipo de errores es fundamental que exija

resolver ecuaciones consiste en ubicar a un lado de la igualdad todos los términos que contengan la incógnita, y al otro lado de la igualdad todos los términos que no tengan incógnita. Todo esto se logra aplicando las propiedades de las igualdades (aditiva y multiplicativa). • Otro aspecto que favorece este tipo de errores, es que los alumnos y alumnas suelen realizar un procedimiento de resolución reducido y mecánico, por ello es importante que les pida realizar procedimientos completos y detallados.

a sus alumnos que verifiquen las respuestas obtenidas y que analicen la coherencia de estas considerando el problema planteado.

BIBLIOGRAFÍA • Guzmán R., Ismenia. (2002). Didáctica de la Matemática como disciplina experimental. Pontificia Universidad Católica de Chile. • Rencoret B., María del Carmen. (2002). Iniciación matemática. Un modelo de jerarquía de enseñanza. Editorial Andrés Bello, Chile. Sitios webs El portal de la educación. www.educarchile.cl El paraíso de las matemáticas. www.matematicas.net Actividades, juegos, artículos, etc. www.sectormatematica.cl Recuerde que el contenido de estos sitios puede cambiar.

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Referencias teóricas y consideraciones sobre algunos contenidos Las ecuaciones de primer grado son introducidas en este nivel para que los alumnos y alumnas conozcan la presencia, aplicación y utilidad que tienen en diversos contextos. Para el buen desarrollo de este contenido matemático es necesario que los y las estudiantes utilicen los conocimientos y habilidades aprendidos anteriormente, como por ejemplo las relacionadas con operatoria con números naturales. El propósito de esta unidad es lograr que los alumnos y alumnas adquieran aprendizajes sólidos y profundos sobre las ecuaciones, viéndolas como una forma de expresar relaciones cuantitativas entre variables, basados en la comprensión y en el razonamiento matemático, evitando usar los procesos como una simple mecanización o secuencia de pasos a seguir. En esta unidad, las ecuaciones son trabajadas como una herramienta que permite resolver problemas. A partir de esto se enseña cómo resolver este tipo de ecuaciones basándonos en las propiedades de las igualdades. La intención es que los alumnos y alumnas puedan plantear, representar una ecuación adecuada a un problema, resolver la ecuación (encontrar el valor de la incógnita) e interpretar ese resultado como una solución adecuada y pertinente al problema. Los alumnos y alumnas suelen pensar que las ecuaciones son complicadas y que es más fácil buscar un número que cumpla con determinada relación dada. Un punto relevante para comentar con ellos sobre las ecuaciones es el hecho de que se podría obtener el valor numérico de una ecuación simplemente practicando procedimientos de ensayo y error hasta encontrar la respuesta correcta, pero esto es factible y conveniente con modelos matemáticos de situaciones sencillas, pero ¿qué pasa con ecuaciones más complicadas? ¿Es eficiente este método? La respuesta es no, al contrario, puede resultar largo y complicado; por ello, es fundamental aprender a resolver ecuaciones de manera correcta y razonada, para que en el futuro puedan enfrentarse de mejor forma a ecuaciones y a problemas que deben ser resueltos mediante ecuaciones. Las ecuaciones es un contenido matemático que estará presente durante los siguientes años de enseñanza, tanto de forma explícita, donde aumentará el nivel de complejidad aprendiendo otros tipos de ecuaciones: agregando más variables, más grados, etc.; como de forma implícita al presentarse transversalmente en otros contenidos como por ejemplo en geometría. Por ello es importante que los y las estudiantes valoren el aprendizaje de este importante contenido.

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La imagen inicial presentada en el Texto trata de una situación muy familiar y cotidiana, que es comprar frutas y verduras. Para acceder a este tipo de alimentos las personas encargadas de ferias, negocios o supermercados compran en grandes cantidades para conseguir un buen precio. Esta situación problemática permitirá conectar una actividad cotidiana con contenidos matemáticos a través de diversas operaciones. Todo esto con la finalidad de preparar e introducir a los alumnos y alumnas con las ecuaciones, ya que podrán observar la presencia de la matemática en una situación común para ellos.

ACTIVIDAD INICIAL Para comenzar el trabajo sobre la imagen presentada puede conversar sobre los beneficios que tiene para la salud de consumir frutas y verduras. Luego conversar sobre los lugares donde pueden comprar este tipo de alimentos para así llegar a las formas de compra y precios de frutas y verduras. Para complementar las preguntas del Texto puede plantear las siguientes: • Si compra 9 sacos de papas, ¿cuánto se ahorra con la promoción dada? • Si en el mismo lugar el kilogramo de tomates cuesta $ 540, ¿cuánto deberá pagar por 8 kilogramos de tomates? ¿Cuántos kilogramos puede comprar con $ 10 000?, ¿cómo lo calculaste?

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Texto para el Estudiante 118 y 119

CONVERSEMOS DE… Actividad

Habilidades que se desarrollan

1, 2 y 3

Conectar y calcular.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para complementar las actividades del texto, puede plantear la siguiente situación: • En una feria realizan muchas ofertas para captar compradores. Si en el puesto A ofrecen 6 kilogramos de naranjas a $ 3 600 y en el puesto B ofrecen 7 kilogramos de naranjas del mismo tipo a $ 3 800. ¿Dónde conviene comprar? (Habilidades que desarrollan: Aplicar y calcular) • Si en la feria compra 5 kilogramos de manzanas a $ 480 cada uno y 4 kilogramos de plátanos a $ 620 cada uno. ¿Cuánto debe pagar si le hacen un descuento de $1 000? (Habilidades que desarrollan: Aplicar y calcular)

INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA AL DOCENTE • El Instituto de Nutrición y Tecnología de los Alimentos (INTA) es parte de la Universidad de Chile y su misión es contribuir al logro de una óptima alimentación y nutrición de la población. Interesante información sobre este organismo puede encontrar en www.inta.cl.

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EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA ¿CUÁNTO SABES? Ítem 1, 2, 3, 4, 5y6

Habilidades que se evalúan Calcular.

La evaluación que presenta el Texto ha sido diseñada para tener información sobre los conocimientos previos de los alumnos y alumnas, y de esta forma saber cuál es la base que tienen para enfrentar esta nueva unidad. La evaluación diagnóstica ¿CUÁNTO SABES?, incluye los siguientes criterios: Ítem 1: Calcular las operatorias combinadas dadas. Ítem 2: Determinar el mínimo común múltiplo de los números dados. Ítem 3: Calcular las divisiones de números naturales dados. Ítem 4: Determinar el número que falta para que se cumpla la igualdad dada. Ítem 5: Determinar si las igualdades dadas son verdaderas. Ítem 6: Calcular las operatorias combinadas dadas.

Ítem

Completamente logrado

Calcula correctamente todas las operatorias combinadas dadas.

Calcula correctamente más de tres de las operatorias combinadas dadas.

Determina correctamente el mínimo común múltiplo de todos los números dados.

Determina correctamente el mínimo común múltiplo de más de cuatro de los números dados.

Calcula correctamente todas las divisiones de números naturales dadas.

Calcula correctamente más de cuatro de las divisiones de números naturales dadas.

Determina correctamente todos los números que faltan para que se cumplan las igualdades dadas.

Determina correctamente más de tres de los números que faltan para que se cumplan las igualdades dadas.

Determina correctamente que todas las igualdades dadas son verdaderas.

Determina correctamente que más de tres de las igualdades dadas son verdaderas.

Calcula correctamente todas las operatorias combinadas dadas.

Calcula correctamente más de tres de las operatorias combinadas dadas.

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Logrado

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Texto para el Estudiante 120 y 121

Posibles dificultades en la evaluación y remediales En los ejercicios 1, 5 y 6, se podría presentar una dificultad en relación con las prioridades de las operaciones, ya que los alumnos y alumnas suelen resolver operatorias combinadas sin considerar el orden de prioridad de las operaciones. Para evitar este tipo de inconvenientes podría recordarles a sus estudiantes que los ejercicios se deben resolver considerando este aspecto. No es apropiado que les diga a sus alumnos y alumnas cuáles son estas prioridades, pues esto es lo que se pretende evaluar en esta evaluación diagnóstica. Es importante que al finalizar la evaluación realice una revisión individual de la evaluación para que conozca las realidades de cada alumno. También sería interesante y conveniente que realizara una revisión general en el pizarrón, para que sus estudiantes conozcan las respuestas correctas y las formas de resolución. Además con esta instancia de revisión los alumnos y alumnas pueden realizar aportes significativos al desarrollo de la corrección de la evaluación y de esta forma se pueden reforzar y potenciar sus conocimientos previos.

Medianamente logrado

Por lograr

Calcula correctamente tres de las operatorias combinadas dadas.

Calcula correctamente menos de tres de las operatorias combinadas dadas.

Determina correctamente el mínimo común múltiplo de cuatro de los números dados.

Determina correctamente el mínimo común múltiplo de menos de cuatro de los números dados.

Calcula correctamente cuatro de las divisiones de números naturales dadas.

Calcula correctamente menos de cuatro de las divisiones de números naturales dadas.

Determina correctamente tres de los números que faltan para que se cumplan las igualdades dadas.

Determina correctamente menos de tres de los números que faltan para que se cumplan las igualdades dadas.

Determina correctamente que tres de las igualdades dadas son verdaderas.

Determina correctamente que menos de tres de las igualdades dadas son verdaderas.

Calcula correctamente tres de las operatorias combinadas dadas.

Calcula correctamente menos de tres de las operatorias combinadas dadas. Unidad 5 179

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Empleo de las propiedades de las operaciones de los números naturales para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.

ACTIVIDAD INICIAL Las preguntas planteadas en la sección PARA DISCUTIR están orientadas a introducir a los y las estudiantes en el lenguaje algebraico, como una forma de generalizar distintas situaciones, en este caso particular generalizar sobre el área y perímetro de un triángulo, un cuadrado y un rectángulo. Previo a la generalización que presenta el libro, si considera apropiado según las características de sus alumnos, podría presentar algunos ejemplos numéricos sobre áreas y perímetros de estas figuras, de modo que ellos puedan deducir las formulas generales.

EN TU CUADERNO Actividad 1, 2 y 4

Habilidades que se desarrollan Representar.

Calcular.

Representar y aplicar.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Habilidades que se desarrollan Usar herramientas y calcular.

• En el ejercicio 3, es importante que recuerde a sus estudiantes que siempre deben respetar las prioridades de las operaciones, ya que de lo contrario los resultados obtenidos serán incorrectos. • Permítales que compartan las respuestas obtenidas y los procedimientos utilizados; de esta manera podrán ver distintos razonamientos y procedimientos para llegar a las respuestas. • Al final de la actividad se recomienda que revise en conjunto con el curso cada uno de los ejercicios planteados, con el objeto de aclarar dudas y asegurarse de que todos están comprendiendo esta parte de la unidad.

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Texto para el Estudiante 122 y 123

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para complementar las actividades del Texto puede realizar las siguientes actividades: • Escribe en lenguaje común las siguientes expresiones. 3y + 1

3 a– 1 4 2

2x – 5

b+ 1 b 4

(Habilidades que desarrollan: conectar). • Si e representa la edad de Rodrigo, expresa en lenguaje algebraico las siguientes afirmaciones: – La edad que tendrá Rodrigo en 10 años. – La edad que tenía Rodrigo hace 4 años. – Los años que le faltan a Rodrigo para cumplir 30 años. (Habilidad que desarrolla: representar). • Si x = 2, y = 5 y z = 0, calcula el valor de las siguientes expresiones: 4y – 3x + 2z =

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • El lenguaje algebraico es la base del Álgebra y además se utiliza en otras áreas de la matemática como la Estadística y la Geometría. Por ello es vital que sus alumnos y alumnas comprendan este contenido y puedan representar algebraicamente distintos enunciados en lenguaje común, y viceversa.

10z + 9y – 8x = 2 · (9x – 3y +7z) = (Habilidad que desarrolla: calcular).

• Además es fundamental enfatizar en las diferencias de enunciados, por: El doble de x disminuido en y se expresa algebraicamente como 2x – y; en cambio x disminuido en el doble de y se expresa algebraicamente como x – 2y. • En Álgebra, un punto relevante es la evaluación de expresiones algebraicas, es decir, reemplazar las letras involucradas en una expresión por los valores numéricos dados. Para que los alumnos y alumnas desarrollen correctamente este contenido es imprescindible que conozcan y manejen perfectamente las prioridades de las operaciones.

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Empleo de las propiedades de las operaciones de los números naturales para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.

ACTIVIDAD INICIAL LLa actividad inicial propuesta en el texto por el estudiante tiene por objetivo introducir a los alumnos y alumnas en la relación entre razones y porcentajes.

EN TU CUADERNO Actividad 1

Habilidades que se desarrollan Calcular.

HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Habilidades que se desarrollan Usar herramientas y calcular.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En la sección EN TU CUADERNO, vuelva a mencionar a sus estudiantes que deben utilizar las prioridades de las operaciones para verificar cuál de las igualdades dadas es verdadera para x = 6, ya que en caso contrario sus respuestas y conclusiones serán incorrectas. • También es importante que converse con sus estudiantes sobre la importancia de realizar procedimientos claros y ordenados, pues de esta forma puede repasar con facilidad sus razonamientos y procedimientos, y con ello disminuir la probabilidad de cometer errores. • Es fundamental que analice los razonamientos utilizados por sus alumnos y alumnas para llegar a las respuestas requeridas. De esta forma podrá verificar si están comprendiendo los contenidos y también podrá corregir los errores que cometen.

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Texto para el Estudiante 124 y 125

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para complementar y reforzar las actividades del texto puede realizar las siguientes actividades: • Une con una línea cada ecuación con el valor de x correcto para que se cumpla la igualdad.

3x – 1 = 5

x=0

14 – 7x = 7

x=6

2x + 5 = 11

x=5

5x – 9 = 21

x=2

18 – 4x = 2

x=7 x=4 x=1 x=3

(Habilidad que desarrolla: calcular).

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Antes de comenzar la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita es importante que sus estudiantes comprendan que una ecuación es una igualdad que contiene un valor desconocido llamado incógnita. Para conocer el valor de esta incógnita es necesario utilizar un método de resolución, los cuales están basados en las cuatro operaciones básicas (adición, sustracción, multiplicación y división) y en las siguientes propiedades de las igualdades: • Propiedad aditiva: Si a los dos lados de una igualdad se suma un mismo número o expresión, la igualdad se mantiene.

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CONTENIDO MÍNIMO OBLIGATORIO Empleo de las propiedades de las operaciones de los números naturales para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita. Validación de la solución obtenida en la resolución de una ecuación de primer grado con una incógnita, mediante la sustitución de la incógnita.

ACTIVIDAD INICIAL El objetivo de esta actividad es que los alumnos y alumnas resuelvan el problema planteado en el Texto planteando una ecuación de primer grado con una incógnita y que encuentren el valor de la incógnita que corresponderá a la solución del problema. Muestre a sus estudiantes que la ecuación 98 000 = x + 47 000 es equivalente a x + 47 000 = 98 000.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Calcular.

Aplicar, representar y calcular.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Es recomendable que exija a sus estudiantes explicitar las operaciones que realizan cuando están resolviendo una ecuación (por ejemplo si quiere sumar 2 colocar /+2, si quiere restar 3 colocar / –3, etc.), también es importante que exija no omitir pasos, pues están comenzando a resolver ecuaciones y es fundamental que tengan conciencia de los procedimientos que realizan y el porqué, de este modo es menos probable cometer errores y además estarán mejor preparados para ecuaciones más difíciles de resolver. • En el ejercicio 2, es fundamental que los alumnos y alumnas realicen los planteos correspondientes a cada problema antes de resolver, ya que es común ver que los y las estudiantes resuelven los problemas sin plantear ecuaciones. Esta parte del procedimiento de resolución es muy importante ya que les permitirá enfrentar de mejor manera problemas de mayor dificultad. Por ello es imprescindible que enfatice en la importancia del planteo de ecuaciones, así como también en el procedimiento completo y detallado. 184 Guía Didáctica Matemática 6

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Texto para el Estudiante 126 y 127

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para reforzar y complementar las actividades presentadas en el texto, puede pedir a sus alumnos que desarrollen la siguiente actividad: • Plantea la ecuación correspondiente y resuelve. – Si a un número le quito 55 se obtiene 89, ¿cuál es el número? – La suma de un número y 37 es igual a la diferencia entre 320 y 160. ¿Cuál es el número? – Si los lados de un triángulo miden 4 cm, 6 cm y x cm y el perímetro es 25 cm, ¿Cuánto mide el lado x? (Habilidades que desarrollan: aplicar, representar y calcular). • Observa los siguientes triángulos. En los lados está la suma de los números de los vértices. Si no conoces los números en los vértices y sí las sumas, ¿cómo se encuentran los vértices? Llama x a uno de los vértices y plantea el problema. 3

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Es importante recalcar a sus estudiantes que para resolver ecuaciones con adiciones y sustracciones, deben realizar una misma operación a ambos lados de la igualdad para que esta se mantenga. Debe recalcar continuamente esto ya que los alumnos y alumnas suelen operar en un solo lado de la igualdad, provocando errores en la resolución y por lo tanto también en la respuesta. • Mencione a sus estudiantes que este tipo de ecuaciones solo tienen una solución posible. Además enfatice en la importancia de verificar los valores encontrados reemplazándolos en la ecuación correspondiente.

3+2

3+4

7–x

Ahora, averigua los vértices de los triángulos. x 13

x 11

Verifica si tus compañeros y compañeras han obtenido los mismos resultados. (Habilidades que desarrollan: aplicar, representar y calcular).

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CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS Empleo de las propiedades de las operaciones de los números naturales para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita. Validación de la solución obtenida en la resolución de una ecuación de primer grado con una incógnita, mediante la sustitución de la incógnita.

ACTIVIDAD INICIAL El objetivo de esta actividad es que los alumnos y alumnas comprendan el planteamiento de una ecuación con multiplicaciones y adiciones. Para ello se presenta como situación motivadora que estudiantes deben responder planteando la ecuación correspondiente y luego encontrando la solución a tal ecuación. Es importante que desarrolle con el curso este problema, ya que el mismo problema puede ser resuelto a través de distintas ecuaciones que son equivalentes. Por ello muestre a sus alumnos que las ecuaciones podrían ser las siguientes, considerando que x representa la cantidad de helados: 4x + 470 = 2 000 – 200 ó 4x + 470 = 1 800 ó 4x + 470 + 200 = 2 000, etc. Es importante que previo a dar solución al problema pregunte a sus estudiantes como plantearían la ecuación y como la resolverían. De esta forma conocerá el grado de comprensión y razonamiento de sus alumnos y alumnas. También es fundamental que realice la verificación de la respuesta encontrada para que los alumnos y alumnas se familiaricen y acostumbren con esta parte de la resolución del problema.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Calcular.

Aplicar, representar y calcular.

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ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Pida a sus alumnos y alumnas que verifiquen cada una de las respuestas encontradas en la actividad propuesta en el Texto, remplazando el valor obtenido en la ecuación correspondiente. • Pregunte a sus estudiantes qué procedimientos y operaciones matemáticas realizaron para plantear y contestar cada una de las preguntas, pues de esta forma podrá conocer cuál fue el análisis que realizaron para encontrar las respuestas y podrá orientarlos y corregirlos en caso de ser necesario. • En la actividad EN EQUIPO es importante que los alumnos y alumnas prueben con distintos números que el resultado que obtienen es el mismo (12). Luego explique lo que sucede a través de ejemplos numéricos, ya que aún no saben como reducir términos semejantes. Por ejemplo su alguien pensó en el número 7, la secuencia es la siguiente: (7 + 2) • 2 + 3 – 7 + 5 – 7 = 12 . La idea es que los alumnos y alumnas noten que siempre se reduce el número pensado y quedan los demás números.

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Texto para el Estudiante 128 y 129

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para potenciar y reforzar los aprendizajes de sus estudiantes, puede realizar actividades adicionales como las siguientes: • Resuelve las siguientes ecuaciones. a. 3x – 9 = 21 b. 5 + 4y = 13 c. 7z – 5 = 42 + 2 d. 8a + 4 – 1 = 60 + 7 (Habilidades que desarrollan: representar y calcular). • Encuentra el valor de n en cada situación. Las rectas rojas son paralelas. 5n – 45º 100º

4n + 30º 110º

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO

(Habilidades que desarrollan: aplicar, representar y calcular).

• Recordar nuevamente a sus estudiantes para resolver ecuaciones, deben realizar una misma operación a ambos lados de la igualdad para que esta se mantenga. Por ejemplo si quiere multiplicar por 3, debe hacerlo a ambos lados de la igualdad. • Exija escribir todas las operaciones que realizan cuando resuelven una ecuación. Por ejemplo si quiere restar 5 colocar /-5, si quiere dividir por 2 colocar /:2, si quiere multiplicar por 5 colocar /·5, etc. Además exija realizar todos los pasos en los procedimientos de resolución, pues de este modo será menos probable que cometa errores y además será más consciente de los procesos que realiza.

EN EQUIPO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Calcular.

Clasificar.

Representar y verificar.

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Unidad 5 Guia 6:Maquetación 1

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ACTIVIDAD INICIAL El propósito de esta actividad es introducir a sus estudiantes en la resolución de ecuaciones de primer grado que tienen incógnita en ambos lados de la igualdad. Para ello se presenta una situación problemática donde se ilustra una situación como esta. Es fundamental que los alumnos y alumnas se acostumbren a trabajar de forma ordenada y completa, realizando los procedimientos correspondientes y razonados, y de esta forma favorecer la comprensión y no la mecanización de procedimientos en la resolución de ecuaciones. En la situación planteada se presenta una ecuación donde uno de sus coeficientes es una fracción. Muestre a sus estudiantes que para trabajar con una fracción equivalente cuyos coeficientes sean enteros, puede amplificar por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

EN TU CUADERNO Actividad

Habilidades que se desarrollan

Calcular.

Aplicar, representar, calcular y verificar.

188 Guía Didáctica Matemática 6

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • En el ejercicio 1 y 2, es importante que enfatice en sus estudiantes en la importancia de realizar un trabajo ordenado y detallado, pues de este modo será más fácil la comprensión de los procedimientos que realiza, evitará cometer errores y si los hubiera será más fácil detectarlos. • Monitoree constantemente la forma de trabajo que están implementando sus alumnos y alumnas, para que pueda obtener información de cómo están razonando y pueda intervenir y corregir cuando sea necesario. Realice una corrección general de la actividad, para mostrar las distintas formas de resolución de una misma ecuación o problema de aplicación. De esta forma los alumnos y alumnas podrán ver que pueden existir distintas formas de resolución y que una puede ser más sencilla que otra, dependiendo del tipo de ecuación.

Unidad 5 Guia 6:Maquetación 1

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Texto para el Estudiante 130 y 131

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para apoyar el aprendizaje del contenido de estas páginas y fomentar la resolución de problemas, puede plantear a sus estudiantes las siguientes situaciones: • En quince años más, la edad de Claudia será un año menos que el doble de su edad actual. ¿Qué edad tiene Claudia? (Habilidades que desarrollan: aplicar, representar, calcular y verificar). • Si el perímetro del siguiente triángulo es (4p + 60) cm. ¿Cuánto mide cada lado?

3p + 1

p+2

2p + 3 (Habilidades que desarrollan: aplicar, representar, calcular y verificar). • Sabiendo que los ángulos son opuestos por el vértice, determina la medida de estos ángulos.

5x – 30º

INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Este tipo de ecuaciones presentan un nivel de dificultad mayor que las vistas anteriormente. Por ello es importante que los alumnos y alumnas conozcan y apliquen correctamente los pasos para la resolución de ecuaciones y de esta forma evitarán cometer errores y estarán mejor preparados para la resolución de ecuaciones que presenten mayor dificultad.

3x + 60º

(Habilidades que desarrollan: aplicar, representar, calcular y verificar).

• Puede ayudar a los alumnos y alumnas que presentan mayor dificultad pidiendo que desarrollen las ecuaciones con todos los pasos necesarios, por ejemplo pedir que expresen en ambos lados de la igualdad lo que están realizando y que en el paso siguiente lo desarrollen. De esta forma los alumnos y alumnas serán conscientes de las propiedades de las operaciones que están aplicando y se enfrentarán de mejor forma a ecuaciones más complejas. • Es importante que sugiera a sus estudiantes revisar las respuestas obtenidas reemplazando el valor numérico en la ecuación correspondiente. Unidad 5 189

Unidad 5 Guia 6:Maquetación 1

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ACTIVIDAD INICIAL El propósito de la actividad propuesta es mostrar a los alumnos y alumnas la importancia de verificar las respuestas obtenidas en un determinado problema. Esto quiere decir analizar si la respuesta y la interpretación de ella son apropiadas y coherentes de acuerdo al contexto del problema. Para aplicar esto el texto presenta un problema inicial en donde luego de ser encontrada la solución se analiza e interpreta el valor según las características específicas del problema.

EN TU CUADERNO Actividad 1

Habilidades que se desarrollan Aplicar, representar, calcular y verificar.

ORIENTACIONES PARA EL DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES • Revise los ejercicios con sus estudiantes y no centre su revisión solo en los planteamientos de ecuaciones y en las respuestas numéricas obtenidas, debe poner especial atención en el análisis y en la interpretación que realizan de ellas, ya que muchas situaciones problemáticas pueden ser correctas matemáticamente pero quizás no tienen sentido en el contexto del problema o requieren de una interpretación más profunda.

190 Guía Didáctica Matemática 6

Unidad 5 Guia 6:Maquetación 1

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Página 191

Texto para el Estudiante 132 y 133

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para reforzar y potenciar los aprendizajes de sus alumnos puede plantear los siguientes problemas: • Alejandra colecciona monedas de $ 5 y su hermana Carolina de $ 10. Si el doble de las monedas de Alejandra menos 7 de ellas es igual a 45 y además Carolina tiene 28 monedas menos que Alejandra. – ¿Cuántas monedas tiene cada una? – ¿Cuál es la interpretación del resultado? (Habilidades que se desarrollan: aplicar, representar, calcular y verificar). • En un hogar para niños de escasos recursos se calcula que con $ 1 500 pueden ofrecer un desayuno por niño. – ¿Cuántos desayunos alcanzarían con $ 100 000? – ¿Cuál es la interpretación del resultado? – ¿Sobra dinero? ¿Cuánto? (Habilidades que se desarrollan: aplicar, representar, calcular y verificar).

EVALUACIÓN FORMATIVA MI PROGRESO INDICACIONES RESPECTO DEL CONTENIDO • Es importante recalcar a los alumnos y alumnas que encontrar la solución a un problema no solo es encontrar el valor número de la incógnita de la ecuación planteada. La solución corresponde a dar respuesta a un problema planteado y para ello luego de obtener el valor numérico es necesario analizar y ver si este resultado nos permite dar solución al problema o es necesario hacer algo más. Luego de esto, es fundamental el análisis e interpretación de la solución del problema, viendo la pertinencia de la solución de acuerdo al contexto del problema. • Mencione a sus alumnos y alumnas que es posible que en determinados problemas se puedan plantear distintas ecuaciones para resolverlo, pero que siempre, independiente de la ecuación planteada, se obtiene solo una solución y respuesta al problema, debido al tipo de ecuaciones que estamos utilizando: ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Ítem

Habilidades que se evalúan

Reconocer y representar.

Calcular.

Aplicar y calcular.

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Unidad 5 Guia 6:Maquetación 1

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BUSCANDO ESTRATEGIAS Actividad 1, 2 y 3

Habilidades que se desarrollan Aplicar, representar, calcular y verificar.

La resolución de problemas ha trabajado durante toda la unidad como una forma de visualizar la presencia y aplicabilidad de las ecuaciones en distintos contextos matemáticos y del mundo real. Sin embargo, en estas páginas se presenta una estrategia de resolución específica de problemas con contenidos de la unidad para que los y las estudiantes la aprendan, la practiquen en otros problemas y luego busquen otras estrategias distintas, pero considerando los siguientes pasos: comprender, planificar, resolver y revisar.

INDICACIONES SOBRE EL PROBLEMA RESUELTO Es importante que muestre a sus estudiantes que la estrategia de resolución presentada en el texto es solo una forma de responder la pregunta planteada. En el texto se trabaja con x y 3x como las representaciones algebraicas del ancho y el largo respectivamente. También es posible utilizar medidas x/3 para el ancho y x para el largo, o cualquier expresión equivalente donde el largo sea el triple del ancho. Sería interesante que mostrara a sus estudiantes la resolución de la ecuación 2x/3 + 2x = 24, para explicarles cómo operar cuando los coeficientes numéricos son fracciones. Además es fundamental que recuerde a sus alumnos y alumnas que el perímetro de una figura se refiere a la medida del contorno de una figura, para ello se deben sumar las medidas de los lados involucrados, en el caso del rectángulo esto se puede resumir como 2 · ancho + 2 · largo. También mencione que el área se refiere a la parte interior de una figura, en el caso del rectángulo se calcula ancho · largo. 192 Guía Didáctica Matemática 6

Unidad 5 Guia 6:Maquetación 1

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Texto para el Estudiante 134 y 135

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para apoyar las actividades del texto, puede pedirles que resuelvan los siguientes problemas planteando una ecuación. Recuérdeles que utilicen los pasos vistos para la resolución de problemas: comprender, planificar, resolver y revisar. comprender, planificar, resolver y revisar. • Si en un polígono se pueden trazar 50 diagonales desde un vértice: – ¿Cuántos lados tiene el polígono? – ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en total? – ¿Cuánto es la suma de todos los ángulos interiores del polígono? – Si el polígono fuera regular, ¿cuánto mediría cada ángulo interior? (Habilidad que desarrollan: aplicar, calcular y verificar). • El sucesor de un número más su antecesor es 170. ¿Cuál es el número? (Habilidad que desarrollan: aplicar, representar, calcular y verificar). • El triple de un número, disminuido en el mismo número es igual al doble de 123. ¿Cuál es el número? (Habilidad que desarrollan: aplicar, representar, calcular y verificar). • En un rectángulo, el largo es el cuádruple del ancho y su perímetro es 140 cm. – ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? – ¿Cuál es el área del rectángulo? (Habilidad que desarrollan: aplicar, representar, calcular y verificar).

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Unidad 5 Guia 6:Maquetación 1

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CONEXIONES Actividad 1, 2 y 3

Habilidades que se desarrollan Aplicar y analizar.

Esta conexión tiene como propósito mostrar que la Matemática es una ciencia en continuo desarrollo, que no está todo dicho, como pudieran pensar los alumnos y alumnas. Para ello se presenta en el Texto la noticia sobre la demostración del último teorema de Fermat, desarrollada por Andrew Wiles y presentada en su versión final a la comunidad matemática en 1994. Este artículo permitirá que usted converse con sus alumnos y alumnas sobre la importancia de la perseverancia en el desarrollo de la ciencia. Andrew Wiles vió por primera vez el último teorema de Fermat a los diez años, en un texto de geometría, y lo demostró finalmente a los 40 años. Hoy, a este teorema se le conoce como teorema de Fermat-Wiles.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para potenciar la actividad propuesta en el texto, puede pedir a sus alumnos y alumnas que busquen regularidades usando sumas y productos de números naturales, como, por ejemplo, a qué corresponde la suma de los primeros n números naturales, la suma de los primeros n números impares, si el cuadrado de un número impar es siempre impar, etc.

194 Guía Didáctica Matemática 6

Unidad 5 Guia 6:Maquetación 1

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Texto para el Estudiante 136 y 137

La actividad SÍNTESIS permite conocer, tanto a los alumnos y alumnas como al profesor, el nivel de aprendizaje que han alcanzado los y las estudiantes en la Unidad. SUGERENCIAS RESPECTO DE LA SÍNTESIS DE LA UNIDAD Los mapas conceptuales, como herramienta visual, permite a los alumnos y alumnas organizar, jerarquizar y establecer relaciones entre los conceptos trabajados. Esta manera de sintetizar es una excelente técnica de estudio, pues los y las estudiantes consolidan, organizan y clarifican sus aprendizajes.

SÍNTESIS Habilidades que se desarrollan Recordar y conectar.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Para clarificar dudas y consolidar los contenidos de la unidad realice preguntas como las siguientes:

TÉCNICAS DE ESTUDIO A continuación proponemos otra forma de estudiar los contenidos trabajados en esta unidad: el esquema vertical jerárquico. En este tipo de esquemas la idea principal se ubica en la parte superior de la hoja, y hacia abajo se ubican las ideas secundarias, las características, los ejemplos, los detalles, etc. Para verificar que el esquema está completo, podría guiar al curso un esquema realizado por usted y revisarlo en conjunto con el curso con preguntas como las siguientes: • • • •

• ¿Qué significa expresar en lenguaje algebraico? • ¿Qué diferencia hay entre una igualdad y una ecuación? • ¿En qué te debes basar para resolver una ecuación? • ¿Es y = 5 una solución de la ecuación 3y – 8 = 2y + 9? • ¿Cómo representarías algebraicamente el perímetro de un triángulo equilátero de lado b? ¿y el perímetro de un cuadrado de lado a? • Si el perímetro del triángulo anterior es 36 cm y el perímetro del cuadrado es 60 cm, ¿cuánto miden los lados de estas figuras? (Habilidades que se desarrollan: recordar, conectar y aplicar).

¿Es correcta la idea principal? ¿Son correctas las ideas secundarias?, ¿falta alguna? ¿Las definiciones son correctas?, ¿están completas?, ¿qué falta? ¿Son correctas las características dadas?, ¿falta alguna?

Unidad 5 195

Unidad 5 Guia 6:Maquetación 1

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EVALUACIÓN SUMATIVA ¿QUÉ APRENDÍ? Ítem 1y2

Habilidades que se evalúan Calcular.

Representar.

Aplicar y calcular.

Representar.

6, 7 y 8 9 10 y 11

Calcular. Aplicar, representar, calcular y verificar. Aplicar y calcular.

Los ejercicios y problemas presentados en esta sección permiten evaluar los aprendizajes alcanzados por sus estudiantes en la unidad. Para los ejercicios de selección múltiple (1 a 8) considere: Completamente logrado, si contesta correctamente todas las preguntas. Logrado, si contesta correctamente más de cuatro preguntas. Medianamente logrado, si contesta correctamente cuatro preguntas. No logrado, si contesta correctamente menos de cuatro preguntas.

Posibles dificultades en la evaluación y remediales • En los ejercicios 1 a 8, la información que entrega la respuesta de los y las estudiantes es limitada, ya que sin desarrollo es difícil saber cuáles son los errores que cometen, que puede ser por falta de conocimiento o equivocación al marcar la alternativa, entre otras. Para evitar este inconveniente en los ítemes de selección múltiple, se sugiere pedirles que realicen algún tipo de desarrollo en cada pregunta, pues de este modo podemos detectar en qué se están equivocando y ayudarlos a alcanzar los aprendizajes que se espera que logren. • En los problemas 9, 10 y 11 podría ocurrir algo similar, ya que los y las estudiantes podrían contestar algunas preguntas sin realizar algún desarrollo escrito, situación que dificulta la detección de errores. Por ello también se sugiere pedirles que resuelvan cada problema, mostrando los pasos que siguieron para llegar a la solución.

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Texto para el Estudiante 138 y 139

EVALUACIÓN FOTOCOPIABLE En las páginas siguientes se presenta una evaluación fotocopiable que usted puede utilizar como evaluación sumativa de la unidad. Su objetivo es analizar cuáles son los conocimientos que han adquirido los alumnos y alumnas en la unidad de ecuaciones de ecuaciones de primer grado con una incógnita, y con esta información seguir determinadas líneas de acción. Por ejemplo, volver a enseñar un contenido o realizar una actividad adicional, para que adquieran todos los aprendizajes que se pretendían con el desarrollo de esta unidad. El tiempo estimado para la realización de la prueba es 40 minutos. Este tiempo puede ser modificado según las características de sus estudiantes. Para que la evaluación le permita calificar a sus estudiantes se sugiere utilizar la siguiente pauta: Ítem

Habilidades que se evalúan

Puntaje

Total

Aplicar, representar y calcular.

2 puntos cada una.

16 puntos

Aplicar, representar, calcular y verificar.

4 puntos.

4 puntos

III

Aplicar, representar, calcular y verificar.

4 puntos.

4 puntos

Puntaje total de la evaluación

24 puntos

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EVALUACIÓN

Ecuaciones Nombre:

Curso: 6°

Fecha:

Puntaje:

Nota:

I. Marca la alternativa correcta. 1. Si n = 7, entonces el doble de 2n – 1 es: A. 13 B. 26 C. 14 D. 28 2. El resultado de la ecuación 2x – 6 = 10 es: A. 8 B. 2 C. 16 D. 14

3. Si 3x – 7 = 5, entonces 2x – 1 es: A. 4 B. 5 C. 7 D. 8

4. Si u es la edad de Alicia, la edad de Alicia en 10 años más será: A. 10u B. u – 10 C. u + 10 u D. 10 5. Un rectángulo tiene uno de sus lados 12 cm más largo que el otro. ¿Cuánto mide su lado menor si su perímetro es igual a 128 cm? A. 26 cm B. 38 cm C. 58 cm D. 70 cm

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6. Rosario duerme x horas al día. Entonces en la semana permanece despierto: A. 7 · (24 + x) horas B. (7 + x)· 24 horas C. (24 – x)· 30 horas D. 7 · (24 – x) horas

7. Hugo tiene 7 años más que su hermana Angélica. Si sus edades suman 31. Entonces: A. Hugo tiene 24 años y Angélica 7 años. B. Hugo tiene 20 años y Angélica 11 años. C. Hugo tiene 19 años y Angélica 12 años. D. Hugo tiene 17 años y Angélica 14 años.

8. Se tiene un número de tres cifras. La suma de sus cifras es 14. La cifra de las unidades es el doble que la de las decenas y la cifra de las decenas es el doble de la cifra de las centenas. ¿Cuál es el número? A. 248 B. 428 C. 482 D. 842

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II. Resuelve los siguientes problemas planteando la ecuación correspondiente. 1. Patricia compró un ramo de flores por $ 5 000 y 3 jarrones. El valor total de la compra fue $ 11 900. ¿cuál fue el costo de cada jarrón?

2. Observa la siguiente figura y responde:

x x

a) ¿Cuál debe ser el valor de x para que el perímetro del triángulo sea 6 unidades mayor que el perímetro del rectángulo?

b) ¿Cuál debe ser el valor de x para que el perímetro del rectángulo sea el doble del perímetro del triángulo?

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