UNIVERISDAD FERMIN TORO DECANATO DE INGENIERIA CABUDARE-EDO. LARA
Sistema de Ecuaciones
Alumno Argimiro Gutiérrez CI: 24.155.463
Gabriel Cramer Nació en Ginebra el 31 de julio 1704 y murió el 4 de enero, 1752, fue un matemático Suizo. Profesor de matemáticas de la Universidad de Ginebra durante el periodo 1724-27. En 1750 ocupó la cátedra de filosofía en dicha universidad. En 1731 presentó ante la Academia de las Ciencias de París, una memoria sobre las múltiples causas de la inclinación de las órbitas de los planetas. Editó las obras de Jean Bernouilli (1742) y Jacques Bernouilli (1744) y el Comercium epistolarum de Leibniz. Su obra fundamental fue la “Introduction à l’analyse des courbes algébriques” (1750), en la que se desarrolla la teoría de las curvas algégricas según los principios newtonianos, demostrando que una curva de grado n viene dada por la expresión: Reintrodujo el determinante, algoritmo que Leibniz ya había utilizado al final del siglo XVII para resolver sistemas de ecuaciones lineales con varias incógnitas. Editó las obras de Jakob Bernoulli y parte de la correspondencia de Leibniz. Regla de Cramer Sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes: 1) El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas. 2) El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.
Mediante el mĂŠtodo de Cramer se resolverĂĄn las siguientes ecuaciones 2x+y-z=3
x-y-z=6
-x+2y+4z=-3
7x+y+z=34
x-2y-3z=4
2x-3y-z=4
Se arma la matriz
Matriz asociada
(2
1 -1 l 3)
(1
-1
-1 l 6)
4 l -3)
A= (7
1
1 l 34)
(1 -2 -3 l 4)
(2
-3
-1 l 4)
(-1 2
Se saca la determinando de la matriz (2 DetA= (-1 (1
1 2
-1)
(1
4) = (-12+4-2)-(-2-16+3)
-2 -3)
-10-(-15)=-10+15=5
Sacamos la determinante de x (3 Det x= (-3 (4
1
-1)
2
4)
-2
-3)
3
1
-3
Det y= (-1 (1
-3
-1)
= -8-(-23)
4 -3
-8+23=15
3
4)
4
-3)
3
-1 -3 1
DetA= (7 (2
= (-18+16-6)-(9-24-8)(6
2
2
-1
-1) 1
-3
1
-1 = (-1-2+21)-(7-3-2)
1) 7
1 = 18-2=16
-1) 2
-3
Sacamos la determinante de x
Sacamos la determinante de y (2
Sacamos la determinante de la matriz
-1
Detx= (34 (4
1 -3
-1)
6
-1 = (-6-4+102)-(34-18-4)
1) 34 -1) 4
1 = 92-12=80 -3
Sacamos la determinante de y = (18+12+4)-(9+32+3) (1
6
= 34-44=-10
34
4
Dety= (7 (2
Sacamos la determinante de z
-1)
4
1
-1 = (-34+12-28)-(-24+4-68)
1) 7 -1)
1 = 56
2
-3
Sacamos la determinante de z
(2
1
3)
2
1
= (16-3+6)-(-4+12+6) (1
Det z= (-1
2
-3)
-1
2
= 19-14=5
(1
-2
4)
1
-2
Detz= (7 (2
-1 1 -3
-6)
1 -1 = (4-68-126)-(-28-102+12)
34) 7
1 = -72
-4) 2
-3
Aplicamos la formula de Cramer para sacar los Formula valores dede Cramer para sacar los valores de las variables las variables X=detx/detA => 80/16=5 X=detx/detA => 15/5=3 Y=dety/detA => 56/16=7/2 Y=dety/detA => -10/5=-2
Z=detz/detA => -72/16=-9/2
Z=detz/detA => 5/5=1
Sistemas compatibles. Compatible determinado. Se dice que un sistema es compatible determinado (SCD), si tiene solución única (x, y). Gráficamente se corresponde con dos rectas que se cortan en un único punto. Condición necesaria y suficiente para que un sistema sea compatible determinado es que los coeficientes que acompañan a las incógnitas no sean proporcionales entre sí, es decir:
Compatible indeterminado. Se dice que un sistema es compatible indeterminado (SCI), si tiene más de una solución (x, y). Gráficamente se corresponde con dos rectas que se superponen, o rectas coincidentes. Condición necesaria y suficiente para que un sistema sea compatible indeterminado es que las dos ecuaciones sean proporcionales, es decir:
Ejemplo de un sistema compatible determinado.
x+3y=6 5x-2y=13 Es un sistema compatible ya que su única solución son los valores: x=3 y=1 No existen otros valores de las incógnitas que den solución al sistema
Ejemplo de un sistema compatible determinado. x+y=9 2x+2y=18 Es indeterminado porque hay infinitos pares de valores de las incógnitas que verifican las ecuaciones del sistema Son algunas de estas infinitas soluciones las siguientes X -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 Y 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
Sistema de ecuación homogéneo. Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los términos independientes igualados a 0 se dice que es un sistema de ecuación homogéneo. Sólo acepta la solución: x1 = x2 =... = xn = 0. La condición necesaria para que un sistema de ecuación homogéneo tenga soluciones distintas es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el nº de incógnitas.
Ejemplo de un sistema de ecuaci贸n homog茅neo.
2x+y+2z=0 3x-y-2z=0 -x+2y+z=0 Matriz asociada (2
1
2) F1<->F2 cambiamos la fila 1 por la fila2
(3
-1
-2)
(2
1
2)
(-1
2
1)
(-1
2
1)
(1
-2
-3) F3->F3+F1 la fila 3 la vamos a cambiar por la suma de la fila3 con la fila 1
(2
1
2)
(-1
2
1)
(1
-2
4) F3-> -1/3F3 la fila 3 la multiplicamos por-1/3
(2
1
2) F1->F1+2F2 la fila 1 va a ser la suma de la fila 1 con la fila 2
(0
0
-3)
(5
0
0) F1-> 1/5f1 la fila 1 la multiplicamos por1/5
(2
1
2) F2->f2-2f3 la fila 2 va a ser fila2 menos fila 3 multiplicada por 2
(0
0
1)
(1
0
0) F2->F2-2F1 cambiamos la fila 2 por la fila 2 menos fila 1 multiplicada por 2
(2
1
0)
(0
0
1)
(1
0
0)
0
x=0
(0
1
0) = 0
y=0
(0
0
1)
z=0
0
(3
-1
-2) F1-F3 a la fina 1 le restamos la fila2