Matematicas by Ariel Fabricio Varela Moncada

Nociones de Lógica Proposicional

Capitulo 1

Introducción El ser humano, a través de su vida diaria, se comunica con sus semejantes a través de un lenguaje determinado (oral, escrito, etc.) por medio de las denominadas frases u oraciones. Estas pueden tener diferentes significados pero siempre van a resumirse a las formas de verdaderas o falsas, siendo éste el precedente fundamental para el desarrollo humano. Lo importante en el presente estudio es el hecho de que, a partir de los enunciados y de acuerdo a su significado es posible establecer una proposición y a partir de un conjunto de éstas podemos llegar a una conclusión o inferencia, siendo la lógica la ciencia encargada del estudio de éstas. Hoy en día, la lógica proposicional que estudiaremos en este capítulo, tiene una importancia singular dada su aplicación en los llamados "circuitos lógicos" de uso en la electrónica y la informática.

Proposición La proposición es el significado de una idea, enunciado, conjunto de palabras o letras a las que se les puede asignar uno y sólo uno de los valores de verdad, que pueden ser: VERDADERO (V) o FALSO (F) En resumen, podemos dar la siguiente definición: Proposición es toda oración declarativa. Por lo general, a las proposiciones se las representa por las letras del alfabeto desde la letra p, es decir, p, q, r, s, t, ... etc. Así, por ejemplo, podemos citar las siguientes proposiciones y su valor de verdad: p : 15 + 5 = 21 (F) q: Santa Fe es una provincia Argentina. (V) r: El número 15 es divisible por 3. (V)

s: El perro es un ave. (F)

Expresiones No Proposicionales Son aquellos enunciados a los que no se les puede asignar un valor de verdad. Entre ellos tenemos a los exclamativos, interrogativos o imperativos. Así tenemos, por ejemplo: – ¿Cómo te llamas? – Prohibido pasar – Borra el pizarrón.

Enunciados Abiertos Si en la proposición: "cinco es mayor que tres" (en símbolos: 5 > 3) reemplazamos al número 5 por la letra x, se obtiene la expresión "x es mayor que tres" (x > 3), y si convenimos que x no represente necesariamente al número 5, sino a un número cualquiera, entonces al enunciado x > 3 se le denomina enunciado abierto.

Clasificación de las Proposiciones Aquellas proposiciones que constan o se les puede representar por una sola variable, se llaman proposiciones simples o atómicas. Por ejemplo, sea la proposición "p: 3 + 6 = 9" es una proposición simple o atómica. Cuando una proposición consta de dos o más enunciados simples, se le llama proposición compuesta o molecular. Así, por ejemplo:

encontramos dos enunciados. El primero (p) nos afirma que Pitágoras era griego y el segundo (q) que Pitágoras era geómetra.

Notación y Conectivos Lógicos A partir de proposiciones simples es posible generar otras, simples o compuestas. Es decir que se puede operar con proposiciones, y para ello se utilizan ciertos símbolos llamados conectivos lógicos. A continuación vemos una concreta definición de cada uno:

Símbolo Operación asociada

Significado no p o no es cierto que p

Negación pyq

∧

Conjunción o producto lógico p o q (en sentido incluyente)

∨

Disyunción o suma lógica p implica q, o si p entonces

⇒

Implicación

⇔

Doble implicación

p si y sólo si q

∨

Diferencia simétrica

(en

sentido

excluyente)

Operaciones Proposicionales Definiremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente: dadas dos o más proposiciones, de las que se conoce los valores veritativos, se trata de caracterizar la proposición resultante a través de su valor de verdad. A tal efecto, estudiaremos a continuación el uso y significado de los diferentes conectivos lógicos mencionados arriba:

Negación Dada una proposición p, se denomina la negación de p a otra proposición denotada por ~ p (se lee "no p") que le asigna el valor veritativo opuesto al de p. Por ejemplo: p: Diego estudia matemática ~ p: Diego no estudia matemática Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad: p

Observamos aquí que al valor V de p, la negación le hace corresponder el valor F, y viceversa. Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra, que es su negación. Ejemplo: La negación de " p: todos los alumnos estudian matemática" es ~ p: no todos los alumnos estudian matemática o bien: ~ p: no es cierto que todos los alumnos estudian matemática ~ p: hay alumnos que no estudian matemática

Conjunción Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición p ∧ q (se lee "p y q"), cuya tabla de verdad es: p q p∧q V V V V F F F V F F F F La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si lo son las dos proposiciones componentes. En todo otro caso, es falsa.

Ejemplo: Sea la declaración: i) Vemos que está compuesta de dos proposiciones a las que llamaremos p y q, que son p: 5 es un número impar q: 6 es un número par Por ser ambas verdaderas, la conjunción de ellas (que no es sino la declaración i) es verdadera. Ahora bien, sea la declaración ii) Hoy es el día 3 de noviembre y mañana es el día de 5 de noviembre Esta conjunción es falsa, ya que no pueden ser simultáneamente verdaderas ambas proposiciones.

Disyunción Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción de las proposiciones p y q es la proposición p ∨ q cuya tabla de valor de verdad es: p q p∨q V V V V F V F V V F F F La disyunción o es utilizada en sentido excluyente, ya que la verdad de la disyunción se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea verdadera. En el lenguaje ordinario la palabra o es utilizada en sentido incluyente o excluyente indistintamente. Para agotar toda posibilidad de ambigüedades, en matemática se utiliza la disyunción definida por la tabla precedente, que nos muestra que la disyunción sólo es falsa cuando ambas proposiciones son falsas. Ejemplo: Sea i) Tiro las cosas viejas o que no me sirven El sentido de la disyunción compuesta por p y q (p: tiro las cosas viejas, q: tiro las cosas que no me sirven) es incluyente, pues si tiro algo viejo, y que además no me sirve, la disyunción es V. Implicación o Condicional Implicación de las proposiciones p y q es la proposición p ⇒ q (si p entonces q) cuya tabla de valores de verdad es:

p q p⇒q V V V V F F F V V F F V La proposición p se llama antecedente, y la proposición q se llama consecuente de la implicación o condicional. La tabla nos muestra que la implicación sólo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

Ejemplo: Supongamos la implicación La implicación está compuesta de las proposiciones p: apruebo q: te presto el libro Nos interesa conocer la verdad o falsedad de la implicación i), en relación a la verdad o falsedad de las proposiciones p y q. El enunciado puede pensarse como un compromiso, condicionado por p, y podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso. Es evidente que si p es F, es decir si no apruebo el examen, quedo liberado del compromiso y preste o no el apunte la implicación es verdadera. Si p es verdadera, es decir si apruebo el examen, y no presto el libro, el compromiso no se cumple y la proposición i) es falsa. Si p y q son verdaderas, entonces la proposición i) es verdadera pues el compromiso se cumple. Ejemplo: 1 = –1 ⇒ 1² = (–1)² (F)

La proposición resulta ser falsa por ser el antecedente (1 = –1) falso. Doble Implicación o Bicondicional Doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p ⇔ q (se lee "p si y sólo si q") cuya tabla de valores de verdad es p q p⇔q V V V V F F F V F F F V La doble implicación o bicondicional sólo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. La doble implicación puede definirse como la conjunción de una implicación y su recíproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de p ⇔ q puede obtenerse mediante la tabla de (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p), como vemos: p q p ⇒ q q ⇒ p (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) V V V

V F F

F V V

F F V

Ejemplo: Sea i) a = b si y sólo si a2 = b2

El enunciado está compuesto por las proposiciones: p: a = b q: a2 = b2 Esta doble implicación es falsa si p es F y q es V. En los demás casos es V. Diferencia Simétrica Diferencias simétrica o disyunción en sentido excluyente de las proposiciones p y q es la proposición p ∨ q (se lee "p o q en sentido excluyente") cuya tabla de valores de verdad es: p q p∨q V V F V F V F V V F F F La verdad de p ∨ q está caracterizada por la verdad de una y sólo una de las proposiciones componentes. Ejemplo: Sea i) o vamos a Córdoba o vamos a Mendoza Queda claro que sólo podremos ir a uno de los dos lugares, y sólo a uno. Es decir que el enunciado i) es verdadero sólo si vamos a una de las dos ciudades. En caso de ir a ambas, o de no ir a ninguna, el enunciado es Falso. Condición Necesaria y Suficiente

Consideremos la tabla de valores de verdad de la implicación p q p⇒q V V V V F F F V V F F V Hay tres casos en los que p ⇒ q es V, y entre ellos hay uno en que p es V, en el cual resulta q verdadera. Es evidente que hacemos referencia al primer renglón de la tabla y tenemos que si p ⇒ q es V y p es V, entonces q es V. Se dice entonces que el antecedente p es condición suficiente para el consecuente q. En cambio, si p es F, nada podemos decir de q puesto que puede ser V o F. Por otra parte, cuando p ⇒ q es V, si q es V, entonces p puede ser V o F; mas para que p sea V se necesita que q lo sea. Se dice entonces que q es condición necesaria para p. Estas condiciones suelen expresarse del siguiente modo: q si p (condición suficiente) p sólo si q (condición necesaria) Ejemplo: La siguiente implicación es V: "Si T es equilátero, entonces T es isósceles" En este caso: p: T es equilátero q: T es isósceles

y p es condición suficiente para q, es decir, que un triángulo sea equilátero es suficiente para asegurar que sea isósceles. Por otra parte, T es equilátero sólo si es isósceles; es decir que un triángulo sea isósceles es necesario para que sea equilátero. Sea ahora la doble implicación p ⇔ q, es decir (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p). Si p ⇔ q es V, entonces p ⇒ q es V y q ⇒ p es V. Se tiene, atendiendo a la primera, que p es condición suficiente para q y, teniendo en cuenta la segunda implicación, ocurre que p es condición necesaria para q. Es decir, si p ⇔ q es V, entonces el antecedente p es condición necesaria y suficiente para el consecuente q. Análogamente, en el caso de la doble implicación verdadera, el consecuente q es también condición necesaria y suficiente para el antecedente p. Proposiciones lógicamente equivalentes Dos proposiciones p y q se llaman equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas. De ser así se denota: p ≡ q Ejemplo: Sea p: p ⇒ q, recordamos su tabla de verdad: p q p⇒q V V V V F F F V V F F V Ahora bien , si analizamos la proposición q: ~ p ∨ q, su tabla de verdad resulta:

p q ~p∨q V V V V F F F V V F F V Como vemos, luego de realizar las tablas de valor veritativo encontramos que ambas proposiciones tienen el mismo resultado final. Con esto, decimos que ambas proposiciones son lógicamente equivalentes, y en este caso particular lo simbolizamos: (p ⇒ q) ≡ (~ p ∨ q)

Tautología, Contradicción y Contingencia Al conjunto de proposiciones, conectivos lógicos y símbolos de agrupación lo denominamos fórmula lógica. Por ejemplo: ~{ (p ⇒ q) ∧ (s ∧ t) } Si al evaluar una fórmula lógica, resulta que todos los valores de verdad resultantes son siempre V para cualquier combinación de sus valores veritativos, decimos que dicha fórmula es una Tautología o Ley lógica. Ejemplo: Si analizamos la proposición t: p ∨ ~ p realizando su tabla de verdad: p ~p p∨~p V F

F V

Vemos que para cualquier combinación de las proposiciones p y su negación ~ p, la proposición t: p ∨ ~ p es siempre verdadera. Entonces, la proposición t es una tautología.

Ejemplo: Analicemos ahora la fórmula lógica { ( p ⇒ q ) ∧ p } ⇒ q p q p⇒q q⇒p {(p⇒q)∧p}⇒q V V V

V F F

F V V

F F V

En este caso comprobamos también que independientemente de la combinación de valores de verdad de las proposiciones p y q, el resultado de la fórmula lógica es siempre V. Decimos, aquí también, que esta fórmula es una tautología o ley lógica. Si al estudiar una fórmula lógica, a diferencia de los ejemplos anteriores resulta que para cualquier valor de verdad de las proposiciones intervinientes el resultado de dicha fórmula es siempre falso, decimos que dicha fórmula es una Contradicción. Ejemplo: Analicemos la fórmula lógica p ∧ ~ p p ~p p∧~p V F

F V

Encontramos que la fórmula es siempre falsa, es entonces una Contradicción. Si una proposición no es una tautología ni una contradicción (es decir que contiene al menos un valor V y otro F) es una contingencia.

Leyes del Algebra Proposicional Como bien mencionamos arriba, aquellas fórmulas lógicas que resultan ser siempre verdaderas no importa la combinación de los valores veritativos de sus componentes, son tautologías o leyes lógicas. En el cálculo proposicional existen algunas tautologías especialmente útiles cuya demostración se reduce a la confección de su correspondiente tabla de verdad, a saber: Involución ~ (~ p) ⇔ p (se lee "no, no p, equivale a p") Idempotencia (p ∧ ~ p) ⇔ p (p ∨ ~ p) ⇔ p Conmutatividad a) de la disyunción: p ∨ q ⇔ q ∨ p b) de la conjunción: p ∧ q ⇔ q ∧ p Asociatividad a) de la disyunción: (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r) b) de la conjunción: (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r) Distributividad: De la conjunción respecto de la disyunción: (p ∨ q) ∧ r ⇔ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r) De la disyunción respecto de la conjunción: (p ∧ q) ∨ r ⇔ (p ∨ r) ∨ (q ∨ r)

Leyes de De Morgan ~(p∨q)⇔~p∧~q "La negación de una disyunción equivale a la conjunción de las negaciones" ~(p∧q)⇔~p∨~q "La negación de una conjunción equivale a la disyunción de las negaciones" Negación de una Implicación Las proposiciones p ⇒ q y ~ (p ∧ ~ q) son equivalentes, como vemos realizando la tabla de valores correspondientes: p q p ⇒ q (p ∧ ~ q) ~(p ∧ ~ q) p ⇒ q ⇔ ~(p ∧ ~ q) V V V

V F F

F V V

F F V

Con esto, comprobamos que la negación de la primera equivale a la negación de la segunda, es decir ~ (p ⇒ q) ⇔ ~{ ~(p ∧ ~ q)}, y podemos concluir entonces que: ~ ( p ⇒ q ) ⇔ ( p ∧ ~ q) Es decir, la negación de una implicación no es una implicación sino la conjunción del antecedente con la negación del consecuente. Ejemplo: Sea la implicación p: hoy es viernes entonces mañana es domingo

Su negación es ~ p: hoy es viernes y mañana no es domingo.

Guía de Trabajo Escriba cada una de las proposiciones dadas en forma simbólica. 1. “Luis es estudiante y Juan zapatero.” 2. “El domingo es un día feriado o José ha sido expulsado”. 3. “Si 2 + 2 = 4 entonces 3 + 3 = 8” 4. “O 3 + 4 = 7 o la tierra es plana” 5. “Antonio es hijo de Luis si y solo si Luis es el padre de Antonio” Suponga que p: 7 < 9, q: El sol es un astro frio y r: La temperatura esta por debajo de cero; escriba las proposiciones dadas 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. Construya la tabla de verdad de cada una de las proposiciones dadas 15. 16. 17. 18.

19. Escriba en forma simbólica el enunciado: “Un numero p es real y no racional siempre que p sea un irracional”, y construya su tabla de verdad. Clasifique cada una de las proposiciones dadas como una contingencia o como una tautología o como una contradicción. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. Indique si el par de proposiciones dadas en cada caso es un par de proposiciones lógicamente equivalentes 27. 28. 29. 30. 31.

Conceptos de Aritmética y Capitulo 2 Geometría

NUMEROS ENTEROS Un poco de historia Desde hacía mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar, en especial, cálculos comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos según que representaran cantidades positivas o negativas,

de acuerdo con una atribución del color que es justamente la opuesta a la empleada en la contabilidad occidental. Los matemáticos hindúes del siglo VI mencionan también el uso de números negativos para tratar este tipo de problema. Los antiguos griegos, por el contrario, rechazaron que pudieran existir tales números. En Europa medieval, los árabes dieron a conocer los números negativos de los hindúes, que en el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las pérdidas en el análisis de cuestiones financieras. Durante el Renacimiento, el manejo práctico de esos números en la contabilidad y otros contextos ayudó a su lenta introducción en las matemáticas. El alemán Michael Stifel (1487-1567), monje agustino convertido al protestantismo y amigo personal de Lutero, fue uno de los primeros en admitir el uso de coeficientes negativos para el estudio de las ecuaciones cuadráticas y divulgó el uso del signo menos “―“ para designar la resta; de hecho, los signos + y ― estaban ya en uso entre los comerciantes alemanes del siglo XV para indicar el exceso o el defecto de mercancías en los almacenes. Con todo, la consideración de las cantidades negativas como correspondientes a números matemáticamente legítimos alcanzó aceptación general hasta el siglo XVIII, cuando los números negativos empezaron a ser entendidos como opuestos de los positivos. En la matemática moderna el conjunto de los números enteros (Z) abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica, por tanto, en rigor no existe un comienzo, salvo que como tal se considere el CERO (el cual agregado al conjunto de los números naturales forma el conjunto de los Cardinales). Introducción Para indicar si un objeto se encuentra a la derecha o a la izquierda de un punto de referencia, podemos indicar con un signo + si está hacia la derecha y con un signo - si se ubica hacia la izquierda. De esta forma obtenemos dos conjuntos:

- Conjunto de números positivos - Conjunto de números negativos El conjunto formado por los números positivos, los números negativos y el cero se llama conjunto de números enteros.

OPERACIONES BASICAS CON NUMEROS ENTEROS Para poder realizar las operaciones en el conjunto de los números enteros (Z) debes memorizar las siguientes reglas (son fáciles; sólo requieren de práctica). Suma en Z (Conjunto de Números Enteros positivos y negativos) Existen únicamente dos casos: números de igual signo y números con signo distinto. Las reglas a memorizar son las siguientes: a) Números de igual signo: Cuando dos números tiene igual signo se debe sumar y conservar el signo. Ejemplos :

–3 + –8 = –11 12 + 25 = 37

( sumo y conservo el signo) ( sumo y conservo el signo)

b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto (recuerda que el valor absoluto son unidades de distancia, lo cual significa que se debe considerar el número sin su signo).

Ejemplo:

–7 + 12 = 5

(tener 12 es lo mismo que tener +12, por lo tanto, los

números son de distinto signo y se deben restar: 12 – 7 = 5 ¿con cuál signo queda? El valor absoluto de –7 es 7 y el valor absoluto de +12 es 12, por lo tanto, el número que tiene mayor valor absoluto es el 12; debido a esto el resultado es un número positivo). 5 + –51 = – 46 (es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto) –14 + 34 = 20 Resta en Z Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo (uno después del otro) porque de esta manera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente. Son dos los cambios de signo que deben hacerse: a)

Cambiar el signo de la resta en suma y

Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de operación por su

signo contrario Ej:

–3 – 10

= –3 + – 10 = –13 (signos iguales se suma y conserva el signo)

19 – –16

19 +

16 =

19 + 16

= 35

Multiplicación y División en Z La regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para dividir. ¿CÓMO SE HACE? Multiplico los números y luego multiplico los signos de acuerdo a la siguiente tabla: + • + = + – • –

= +

+ • –

= –

– • +

= –

Ejemplos:

–5 • –10 = 12 • – 4

50 ( 5 • 10 = 50 ; – • – = + )

= –48

( 12 • 4 =

48; + • – = – )

Siempre se deben multiplicar o dividir los números y luego aplicar las reglas de signos para dichas operaciones (las reglas de signos para la suma son para la suma y no deben ser confundidos con los de estas otras operaciones

NUMEROS RACIONALES O FRACCIONES Un poco de historia Cabe destacar que los números racionales ya se utilizaban en el antiguo Egipto. Los matemáticos de esa época usaban fracciones unitarias, que son aquellas cuyos denominadores son números enteros positivos. En los casos en que necesitaban fracciones con numeradores no unitarios, los egipcios apelaban a la suma de fracciones unitarias distintas conocida como fracción egipcia. OPERACIONES BASICAS CON NUMEROS RACIONALES O FRACCIONES.

Suma de fracciones comunes Agregar o juntar varias fracciones obteniendo como resultado una sola fracción. Se pueden realizar sumas de fracciones comunes que tienen el mismo denominador y también otras con diferente denominador. a. Con igual denominador.

Se suman los numeradores y se anota el mismo denominador.

b. Con diferente denominador.

(los cuartos se anotan en una fracción equivalente en octavos y se realiza la suma)

Muchas veces no es fácil buscar fracciones equivalentes de memoria. Entonces se utiliza el siguiente procedimiento. 1- Se busca un denominador común: puede ser un número divisible entre los otros. Si no es el mayor es el resultado de multiplicar dos o más denominadores. (por ejemplo, para + como el 7 no es divisible entre 3, se multiplica 7X3 y da 21. El 21 se utiliza como denominador). 2. Este denominador se divide entre el denominador de la primera fracción y se multiplica por su numerador. Se anota el resultado como numerador. Con la segunda fracción se realiza el mismo procedimiento y se suman los numeradores. Vea el siguiente ejemplo.

Resta de fracciones comunes Operación mediante la cual se quita una fracción de otra obteniendo como resultado una sola fracción, o bien, se encuentra la diferencia entre dos fracciones. Se pueden realizar restas de fracciones comunes que tienen el mismo denominador y también otras con diferente denominador. a. Con igual denominador.

Se restan los numeradores y se anota el mismo denominador. b. Con diferente denominador.

(los cuartos se anotan en una fracción equivalente en octavos y se realiza la resta)

Muchas veces no es fácil buscar fracciones equivalentes de memoria. Entonces se utiliza el siguiente procedimiento. 1- Se busca un denominador común: puede ser un número divisible entre los otros. Si no es el mayor es el resultado de multiplicar dos o más denominadores. (por ejemplo, para - como el 7 no es divisible entre 3, se multiplica 7X3 y da 21. El 21 se utiliza como denominador). 2. Este denominador se divide entre el denominador de la primera fracción y se multiplica por su numerador. Se anota el resultado como numerador. Con la segunda fracción se realiza el mismo procedimiento y se suman los numeradores. Vea el siguiente ejemplo.

Multiplicación de fracciones comunes Operación mediante la cual se encuentra qué parte es una fracción de otra fracción. Por ejemplo, para saber cuánto es la mitad de

se realiza una multiplicación de fracciones.

quiere decir “un medio, media vez es un cuarto“. Un ejemplo de un problema en el que usamos, sin saberlo, la multiplicación de fracciones es cuando pedimos en una tienda “medio cuarto de queso”. Esto se anotaría como que podemos traducir como que la mitad de un cuarto es un octavo. Es importante aclarar que la multiplicación de fracciones no es una suma abreviada, ni se

espera obtener un resultado mayor que los multiplicadores al realizarla, como con los números enteros. Al multiplicar fracciones propias se obtienen cantidades menores como resultado.

Procedimiento. Para multiplicar dos fracciones el procedimiento es muy sencillo: se multiplica el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda y se anota en el resultado en el lugar correspondiente al numerador. Se multiplican los denominadores y se anotan en el resultado en el lugar del denominador. Ejemplo:

División de fracciones Operación mediante la cual se encuentra cuántas veces cabe una fracción en otra. Esto se representa con una división de fracciones. Por ejemplo:

esta operación quiere decir que en un medio, un cuarto cabe dos veces. Un ejemplo de un problema en el que usamos, sin saberlo, la división de fracciones es si queremos saber cuántos trozos de 1/4 salen de 1/2 kilo de queso. El resultado es 2. Es importante considerar esta interpretación cuando realizamos operaciones con fracciones, ya que aquí no sucede como con los números enteros, que al dividir da un número menor. Al dividir fracciones propias se obtienen cantidades mayores como resultado. Procedimiento. Para dividir dos fracciones el procedimiento es muy sencillo: se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y se anota en el resultado en el lugar correspondiente al numerador. Después se multiplica el denominador de la primera por el numerador de la segunda y se

anotan en el resultado en el lugar del denominador. Ejemplo:

Guía de Trabajo Escriba el signo >, <, o = que corresponde entre los siguientes pares de números enteros:

Obtenga todos los números enteros comprendidos entre los números que a continuación se indican. 1)

-3 y 3

-8 y 4

-7 y 1

-5 y 0

-23 y 18

Ordene en forma ascendente los siguientes conjuntos 6) 7) 8) 9) 10) 11)

Coloque dentro de los paréntesis los símbolos que se emplean para escribir abreviadamente cada una de las siguientes proposiciones: 12) (

) 17 grados centígrados bajo cero.

13) (

) 173 años después de Cristo.

14) (

) 15 metros de altura.

15) (

) 180 lempiras de Ahorro

16) (

) 36 lempiras de crédito.

17) (

) 150 metros sobre el nivel del mar.

18) (

) 19 grados de latitud oeste

19) (

) 12 escalones abajo del primer piso.

20) (

) 39 grados centígrados sobre cero.

21) (

) 46 metros de profundidad.

Evaluar cada una de las siguientes proposiciones: 22) 27)

23) 28)

24)

25)

26)

29)

Efectuar las siguientes operaciones: (No usar calculadora) - 345 + 980 -330 + 687 13,897 -15,870 + 3,456 -12,090 -4,958 -6,456 + 2,957 + 1,234

32,343 -19,089 -1,993 -17,489 + 1,000 257,980 -890,764 + 2,009 -3,030 -2,987 19 + 367 -456 + 190 -40 -800

Hacer un diagrama que represente cada una de las siguientes fracciones

Grafique en la recta numérica las siguientes fracciones

Resuelva los siguientes problemas de aplicación: 1. Un empleado gana L.80.00 diarios y trabaja 175 días. Si en ese tiempo se gasto durante 45 días L.40.00 diarios y en los demás L. 5,237.00 ¿Cuál fue su ahorro durante los 175 días?

2. En un camión se transportan cajas de cartón. Si en el camión se pueden colocar 24 cajas a lo largo, 8 a lo ancho y una sobre otras se pueden colocar 12. ¿Cuántas cajas puede transportar el camión si de halla totalmente lleno?

3. Se construye una torre de 400 metros de altura. El primer mes se construyen el segundo mes

¿A que altura se encuentra el punto mas alto después del segundo mes?

4. Un transportista compra un camión. Paga la entrega paga

de la altura y

de su precio al solicitarlo y, en el momento de

del precio total. Lo que le queda por pagar lo divide en 12 plazos

mensuales. ¿Qué fracción del total representa cada mensualidad?

5. Una finca es atravesada por la carretera panamericana, perdiéndose así

del terreno. El

resto es dividido en tres parcelas iguales. Si la finca mide 400 metros cuadrados ¿Cuánto mide cada parcela?

NUMEROS IRRACIONALES Definición Llamaremos números irracionales, que denotamos con la letra I, a los números decimales infinitos y no periódicos. Estos no se pueden expresar como el cociente de dos números enteros. Por ejemplo: a) 1.4142135623730950…

b) -5.099019513592

Como usted observara, cada numero decimal dado tiene parte decimal infinita y no existe una cifra o varias que se repitan infinitamente, es decir, no tienen periodo. Existen dos números especiales, los cuales son números irracionales: 3.141592653589793828462…

2.718281828459045235…

El primer número se aplica en muchas de las ramas de las Matemáticas, se simboliza con la letra griega π y se nombra pi, el segundo en las Ciencias Naturales y se simboliza con е. La mayoría de los números irracionales tienen su origen en los radicales que no tienen raíz exacta. Por ejemplo: son irracionales ya que sus raíces son inexacta. Es de hacer notar que no se puede obtener un resultado exacto de estos radicales, solamente una aproximación, por ejemplo

aproximado a milésimas es 1.414 lo que se simboliza

como . Además de obtener la aproximación de un radical inexacto, esta se puede reducir a una expresión mas simple, proceso conocido como simplificación de radicales.

Simplificación de Radicales Se dice que un radical esta simplificado si al descomponer el radicando en sus factores primos y expresarlos como potencias sus exponentes son menores que el índice del radical. Para simplificar un radical que no lo esta se realizan los siguientes pasos: • Se descompone el radicando en sus factores primos.

• Se agrupan los factores repetidos y se expresan como potencias cuyo exponente sea igual al índice del radical. • Se aplica la propiedad • Se aplica la propiedad anterior.

a cada uno de los radicales obtenidos en el paso

• Se multiplican los factores que quedaron sin signos radical de igual manera con los que tienen y se deja expresando el producto indicado de ambos resultados. Ejemplos: Simplifique cada uno de los siguientes radicales:

180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1

165,375

55,125 3 18, 375 3 6,125 5 1,225

245 5

49 7 7 7 1

Suma de Radicales Radicales Semejantes Se dice que dos o más radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando. Ejemplos: Son semejantes ya que tienen el mismo radicando y el mismo índice. No son semejantes porque tienen diferente índice.

Dos o más radicales se pueden sumar si son semejantes. Para sumar radicales se realizan los siguientes pasos: • Se simplifican los radicales dados, si es posible. • Se suman los coeficientes de los radicales semejantes según la leyes de los signos. • Se escribe el producto indicado de los resultados obtenidos en el paso anterior con el radical correspondiente. • De haber sumandos con radicales no semejantes se escribe la suma indicada de estos. Ejemplos: Efectúe las siguientes operaciones:

Multiplicación de Radicales En esta sección se mostrara como multiplicar expresiones que contienen radicales con igual índice. Para multiplicarlos se realizan los siguientes pasos: • Se multiplican los coeficientes o cantidades sin signo radical de los factores dados. • Se multiplican los radicales dejando el resultado expresado dentro del signo radical. • Se deja el producto indicado de los dos pasos anteriores • Se simplifica el resultado del paso anterior si es posible. Ejemplos Resuelva los siguientes ejercicios

Racionalización de Radicales Racionalizar significa suprimir los radicales del numerador o denominador de una expresión fraccionaria. Si esta es una fracción dada se tiene un denominador con un solo término radical se realizan los siguientes para racionalizarla: • Se indica el producto de la fracción dada con otra, cuyo numerador y denominador es el radical del denominador si el índice es 2. Si el índice es 3 se eleva el radical a la 2. • Se multiplican los numeradores y se escribe sobre el producto de los denominadores. • Se simplifica la fracción resultante.

Si la fracción dada tiene una suma o una resta en el denominador que contiene al menos un término radical se realiza los siguientes pasos para racionalizarla: • Se indica el producto de la fracción dada con otra, cuyo numerador y denominador es el conjugado del denominador. • Se multiplican los numeradores y se escribe sobre el producto de los denominadores. • Se simplifica la fracción resultante.

El conjugado de una suma de dos tĂŠrminos es la resta de los sumandos y la de la resta, la suma de los tĂŠrminos de esta. Es decir, si tenemos es

Racionalice el denominador de las siguientes fracciones:

, su conjugado es

y el de

GuĂa de Trabajo Simplifique cada uno de los siguientes radicales: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) EfectĂşe cada una de las siguientes operaciones

Racionalice el denominador de cada una de las siguientes expresiones:

NUMEROS DECIMALES Un poco de historia ¿Cómo surgió nuestra manera de escribir los decimales? Nuestra escritura decimal es consecuencia directa de la utilización de fracciones decimales (con denominador 10 o potencia de 10).Durante bastante tiempo se utilizaron fundamentalmente fracciones sexagesimales ( de denominador 60). Un defensor a ultranza de las fracciones decimales fue François Viète (1540-1603). En 1579, en unos de sus trabajos escribe 141421'35624 como 141421.35624. Unas páginas más adelante escribe 314159'26535 como 314159.

y un poco más adelante escribe este mismo número

como 314159.26535, con la parte entera en negrita. En algunas ocasiones usa un guión vertical para separar la parte entera de la fraccionaria, es decir 314159|26535. Sin embargo, no fue Viète, sino el flamenco Simon Stevin, quien en 1585 acometió la tarea de explicarlas con todo detalle y de una manera muy elemental, el verdadero propagador de la utilización de fracciones decimales. En 1616, en la traducción al inglés de una obra del escocés John Napier(1550-1617), las fracciones decimales aparecen tal como las escribimos hoy, con un punto decimal para separar la parte entera de la fraccionaria. Napier propuso un punto o una coma como signo

de separación decimal: el punto decimal se consagró en países anglosajones, pero en muchos otros países europeos como por ejemplo España, se continúa utilizando la coma decimal. Introducción Los números decimales son una forma de expresar número no enteros, esto es, números racionales e irracionales, en el caso de los números racionales podremos establecer una biyección entre una fracción y un número decimal, en el caso de los irracionales los números decimales servirán para acotarlos y dar una aproximación del número.

Dado un número racional , si realizamos la división de a entre b obtendremos un número, ese es el número decimal asociado al número racional

Clasificación de los números atendiendo a su parte decimal 1. Números enteros: Carecen de parte decimal, por ejemplo, 1, 8, -3, 9 2. Números decimales exactos: Tienen un número finito de cifras decimales, ejemplo 2,33 5,6789 3. Números decimales periódicos: Tienen infinitas cifras decimales que siguen una pauta a partir de una dada, a las cifras que se repiten se les llama periodo, como no se pueden expresar las infinitas cifras se coloca un arco sobre las cifras que forma el periodo, esto indica que hay infinitas cifras que se repiten según el periodo fijado.

Los números periódicos se subdividen a su vez en: a)Periódicos puros: Todas la cifras decimales forman parte del periodo

b)Periódico mixto: Hay cifras en la parte decimal que no forman parte del periodo

4. Números decimales no periódicos: Tienen infinitas cifras decimales que no siguen una pauta, es el caso de números como

DIVISIONES DE LA UNIDAD Para expresar cantidades más pequeñas que la unidad utilizamos los números decimales. Si dividimos la unidad en diez partes iguales, cada una de esas partes se llama décima. Si dividimos cada décima en diez partes iguales, cada una de ellas se llama centésima. Si dividimos cada centésima en partes iguales, cada una de esas partes es una milésima. Siguiendo este proceso obtenemos las diezmilésimas, las cienmilésimas, etc. Se llaman fracciones decimales las que tienen por denominador 10, 100, 1000 o cualquier otra potencia de diez. OBSERVA QUE... 1 UNIDAD = 10 DÉCIMAS = 100 CENTÉSIMAS = 1000 MILÉSIMAS..... LECTURA DE NÚMEROS DECIMALES Los números decimales pueden nombrarse de dos formas diferentes, una de ellas nombra por separado la parte entera y la parte decimal y la otra nombra la totalidad de unidades que componen el número. Fíjate en los ejemplos que siguen

1ª FORMA Tres unidades, cuarenta y cinco milésimas Cuarenta unidades, doce centésimas Una unidad, ciento veintitrés milésimas

2ª FORMA 3,045 40,12 1,123

Tres coma cero cuarenta y cinco unidades Cuarenta coma doce unidades Uno coma ciento veintitrés unidades

REPRESENTACIÓN, COMPARACIÓN Y ORDENACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES Para representar números decimales en la recta numérica, dividimos cada unidad en 10 partes iguales para representar décimas

dividimos cada décima en 10 partes iguales para representar centésimas

dividimos cada centésima en 10 partes iguales para representar milésimas .......y así sucesivamente Para comparar dos números decimales,

comparamos la parte entera. Será menor el número que tenga menor la parte entera Si la parte entera es igual, comparamos la cifra de las décimas; es menor el que tiene menor la cifra de las décimas Si es igual la cifra de las décimas, es menor el que tiene menor la cifra de las centésimas, y así sucesivamente.

REDONDEO Y APROXIMACION DE UN NUMERO DECIMAL A veces es necesario simplificar la escritura y eliminar parte de las cifras decimales de un número. Para ello, lo que se hace es "redondear", es decir, escribir un número más "redondo", lo más aproximado posible.

Reglas para Redondear Regla #1 : Si el digito siguiente a la cifra de aproximación pedida, es mayor o igual que 5, se suma 1 al digito que ocupa la posición de la aproximación pedida. Ejemplo: Redondear

a centésimas.

Solución: Regla#2 : Si el digito siguiente a la cifra de aproximación pedida, es mayor que 5, se eliminan todos los dígitos posteriores a la cifra de aproximación pedida. Ejemplo: Redondear Solución:

a milésimas.

Redondear

a decimas.

Solución:

OPERACIONES BASICAS CON NUMEROS DECIMALES Adición de Números Decimales Para sumar números decimales de un racional que tienen el mismo signo, se colocan los sumandos uno debajo de otros de modo que: • En la parte entera las unidades quedan bajo las unidades, decenas bajo decenas, centenas bajo centenas etc. • Los puntos decimales que dan uno bajo el otro formando una columna. • En la parte decimal, las decimas quedan bajo las decimas, centésimas bajo centésimas, etc. • Si el numero de cifras de la parte decimal no es igual en todos los sumandos, se igualan llenándolos con ceros si se desea. • Se comienza a sumar por la primera columna de la derecha, hasta llegar a la última columna de la izquierda, como si se tratara de enteros, de modo que el punto decimal del resultado, quede en columna con los de los sumandos. • Se le coloca al resultado final, el mismo signo que tienen los sumando. Ejemplos: Sumar 13,08 + 17,9 13,08 + 17,90 30,98

Sumar

Sustracción de Números Decimales Para la sustracción se coloca el sustraendo debajo del minuendo, de modo que los puntos decimales queden en columna; añadiendo ceros si es necesario, para que el minuendo y sustraendo tengan igual número de cifras decimales. Hecho lo anterior, se procede a restar de derecha a izquierda cuidando siempre de cambiar el signo del sustraendo.

Restar

restar

Multiplicación de Números Decimales Para multiplicar dos números decimales en las que su periodo es cero, se multiplican como si fueran enteros, separando por un punto decimal, tantas cifras decimales como cifras tengan los factores, agregando ceros a la izquierda cuando sea necesario. El signo del producto final es el producto de los signos de los factores.

Ejemplo #1 4,23 x 0,4 4,23 x 0,4

2 decimales

1 decimal 1,692

3 decimales

Ejemplo #2: 3,58 x 1000 = 3.580 División de Números Decimales Para dividir expresiones decimales se aplica se aplica la ley de los signos para la división, se igualan con ceros el numero de cifras decimales tanto en el dividiendo como en el divisor. Se borra el punto decimal en ambos números y se procede a dividir como enteros. Potenciación de Números Decimales Lo aplicado y estudiado de la potenciación tanto en los naturales como en las fracciones, es aplicable a las expresiones decimales, así:

NOTACION CIENTIFICA

Un poco de historia El primer intento de representar números demasiados grandes fue emprendida por el matemático y filósofo griego Arquímedes, descrita en su obra El contador de Areia en el siglo III a. C. Ideó un sistema de representación numérica para estimar cuántos granos de arena existían en el universo. El número estimado por él era de 1063 granos. Nótese la coincidencia del exponente con el número de casilleros del ajedrez sabiendo que para valores positivos, el exponente es n-1 donde n es el número de dígitos, siendo la última casilla la Nº 64 el exponente sería 63 (hay un antiguo cuento del tablero de ajedrez en que al último casillero le corresponde -2 elevado a la 63- granos). A través de la notación científica fue concebido el modelo de representación de los números reales mediante coma flotante. Esa idea fue propuesta por Leonardo Torres Quevedo (1914), Konrad Zuse (1936) y George Robert Stibitz (1939).

Usos Por ejemplo, la distancia a los confines observables del universo es 4,6×1026 m y la masa de un protón es 1,67×10-27kg. La mayoría de las calculadoras y muchos programas de computadora presentan resultados muy grandes y muy pequeños en notación científica; la base 10 se omite generalmente y se utiliza la letra E (mayúscula o minúscula) para indicar el exponente; por ejemplo: 1,56234E29. Nótese que esto no está relacionado con la base del logaritmo natural también denotado comúnmente con la letra e. La notación científica es altamente útil para anotar cantidades físicas, pues pueden ser medidas solamente dentro de ciertos límites de error y al anotar sólo los dígitos significativos se da toda la información requerida de forma concisa. Para expresar un número en notación científica debe expresarse en forma tal que contenga un dígito (el más significativo) en el lugar de las unidades, todos los demás dígitos irán entonces después del separador decimal multiplicado por la potencia de 10 que indique el exponente. Ejemplos: 238294360000 = 2,3829436E11 y 0,00031416 = 3,1416E-4.

Escritura de la Notación Científica Veamos ahora una tabla donde aparecen expuestos diferentes valores numéricos, sus equivalentes en notación científica y la representación numérica de cada uno:

Valor numérico

Representación en Representación numérica

Notación Científica

Miltrillonésima

10-21

0,000000000000000000001

Trillonésima

10-18

0,000000000000000001

Milbillonésima

10-15

0,000000000000001

Billonésima

10-12

0,000000000001

Milmillonésima

10-9

0,000000001

Millonésima

10-6

0,000001

Milésima

10-3

0,001

Centésima

10-2

0,01

Décima

101

0,1

Uno

Diez

101

Cien

102

100

Mil

103

1 000

Millón

106

1 000 000

Mil millones

109

1 000 000 000

Billón *

1012

1 000 000 000 000

Mil billones

1015

1 000 000 000 000 000

Trillón

1018

1 000 000 000 000 000 000

Mil trillones

1021

1 000 000 000 000 000 000 000

Método para representar un número entero en notación científica Cualquier número entero o decimal, independientemente de la cantidad de cifras que posea, se puede reducir empleando la notación científica. Veamos en la práctica algunos ejemplos:

a) 529 745 386

5,29 x 108

b) 450

4,5 x 102

c) 590 587 348 584

5,9 1011

d) 0,3483

3,5 x 10-1

e) 0,000987

9,87 x 10-4

Operaciones matemáticas con notación científica Suma y resta Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se debe sumar las mantisas, dejando la potencia de 10 con el mismo grado (en caso de que no tengan el mismo exponente, debe

convertirse la mantisa multiplicándola o dividiéndola por 10 tantas veces como sea necesario para obtener el mismo exponente): de base diez. Tomamos como factor común el mayor y movemos la coma flotante, en los menores, tantos espacios como sea necesario, elevando los correspondientes exponentes hasta que todos sean iguales. Ejemplo: 2 × 104 + 3 ×105 - 6 ×103 (tomamos el exponente 5 como referencia) 0,2 × 105 + 3 × 105 - 0,06 ×105 3,14 ×105 Entonces la notación científica es una manera de recoger todos los 0 en una base 10

Multiplicación Para multiplicar cantidades escritas en notación científica se multiplican las mantisas y se suman los exponentes. Ejemplo: (4×1012)×(2×105) =8×1017 División Para dividir cantidades escritas en notación científica se dividen las mantisas y se restan los exponentes (el del numerador menos el del denominador). Ejemplo: (4×1012)/(2×105) =2×107 Potenciación Se eleva la mantisa a la potencia y se multiplican los exponentes.

Ejemplo: (3×106)2 = 9×1012

Radicación Se debe extraer la raíz de la mantisa y se divide el exponente por el índice de la raíz. Ejemplos:

Guía de Trabajo Determine el valor relativo de los dígitos 3 y 5 en: 3.45

-2.536

3.045

0.0405

-31.305

5.0532

-0.00035

1.2503

-3.535

-3.4507

0.00465

-9.000135

37.37175

Escriba en números las siguientes lecturas •

Cinco enteros, cuatro centésimas _________________________

•

Ocho enteros, cuatro milésimas ___________________________

•

Cero enteros, ocho diezmilésimas _________________________

•

Un entero, ciento diez millonésimas ________________________

•

Cinco enteros, ocho milésimas ____________________________

•

Ciento quince diezmilésimas _______________________________

•

Once cien milésimas ______________________________________

Redondear a decimas, centésimas y milésimas las siguientes expresiones: 0.0938

-1.04507

-3.56734

1.9803

-4.0896

1.0891

-5.66667

-43.43083

16.16781

14.00282

16.17182

-5.902345

Graficar en una misma recta numérica cada uno de los siguientes conjuntos:

Efectuar las siguientes operaciones:

Determinar el resultado de las siguientes potencias aproximadas a decimas

Escriba en Notación Científica: 0.00025

0.016

110,000

0.000256

78,000

0.00000498

0.00086 0.000987

Efectuar las siguientes operaciones en notación científica y escribir el resultado en la misma forma: •

•

RAZONES Y PROPORCIONES Raz贸n Dadas dos cantidades a y b diferentes de cero, llamaremos raz贸n entre esas dos cantidades dadas en un cierto orden, al cociente

o a:b entre ellas.

Las cantidades que formaran una raz贸n deben estar expresadas en la misma unidad de medida, para que tengan validez. Ejemplo:

9 La razón entre 15 y 3 es:

o 15:3 = 5

9 La razón entre 14cm y 8cm es:

o 14: 8 = 1.75 como decimal

Razón Inversa Dada la razón a : b llamaremos razón inversa a la que se obtiene de invertir sus términos b : a. Ejemplos: 9 La razón inversa de 5 : 3 es: 3 : 5 9 La razón inversa de 4 : 7 es: 4 : 7

Proporción Llamaremos proporción a la igualdad que existe entre dos razones así:

a : b :: c : d En toda proporción podemos encontrar los siguientes componentes

a : b :: c : d a, b, c, d = son los Términos de la proporción

a, c = Son los Antecedentes de la proporción b, d = Son los Consecuentes de la proporción a, d = Son los Extremos de la proporción b, c = Son los Medios de la proporción Propiedad de las Proporciones 1. En toda proporción geométrica, el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

2. En toda proporción geométrica, un extremo es igual al producto de los medios dividido por el otro extremo conocido.

3. En toda proporción geométrica, un medio es igual al producto de los extremos dividido por el medio conocido.

Ejemplo 1 Calcular el valor de x en la proporción

Ejemplo 2: Calcule el valor de x en la proporción

Magnitudes Directamente Proporciones Son directamente proporcionales cuando la razón o cociente entre ellas es constante. Algunas magnitudes directamente proporcionales son: ¾ El trabajo realizado por una persona y el tiempo trabajado. ¾ El precio de un artículo y el número de artículos comprados. ¾ El tiempo trabajado y el salario de un obrero.

Ejemplo: Si una vara de 2.15m de longitud da una sombra de 6.45 m ¿Cuál será la altura de una torre cuya sombra, a la misma hora, es de 51m? Solucion: Altura 2.15m X

Sombra 6.45m 51m

R/ La altura de la torre será de 17m.

Magnitudes Directamente Proporciones Dos cantidades son inversamente proporcionales cuando el producto de sus medidas es constante. Algunas magnitudes inversamente proporcionales son: ¾ La velocidad de un automóvil con el tiempo empleado para recorrer una misma distancia. ¾ El diámetro de una manguera para llenar una pila y el tiempo de llenado.

Ejemplo: Viajando de Tegucigalpa a San Pedro Sula a razón de 80km/h, se tardan 3 horas, ¿Cuánto se tardaran si se aumenta a 120km/h la velocidad?

Solución: Velocidad

Tiempo

80km/h

120km/h

R/ Se tardaran 2 horas.

Regla de tres Es una operación en la que intervienen dos magnitudes y tiene por objetivo calcular el cuarto término de una proporción cuando se conocen tres de ellos. En la regla de tres Simple-Directa, cuando una magnitud aumenta, la otra también aumenta o viceversa; es decir “ De mas a mas o de Menos a menos” (magnitudes directamente proporcionales) En la regla de tres Simple-Inversa, cuando una magnitud aumenta la otra disminuye o viceversa es decir “ De mas a menos” (magnitudes inversamente proporcionales)

Porcentaje El porcentaje tiene muchas aplicaciones. Para mencionar algunas de ellas, diremos que se emplea en problemas de descuento, de interés, de perdidas y ganancias, de comisiones, de pago de impuestos, etc. La palabra Porcentaje se deriva de la expresión latina PER CENTUM que literalmente significa POR CADA CIENTO. Hablar de porcentaje es pues, equivalente a hablar de cierto número de centésimas de una cantidad. El tanto por ciento es el número específico de unidades que se toman por cada ciento y se expresa en el símbolo “%”. Ejemplo:

Regla: Para expresar una fracción decimal en tanto por ciento, basta con leer el numero de centésimas que contiene, o que es los mismo, multiplicar la expresión decimal, por una fracción cuyo numerador y denominador sea 100.

Ejemplos Exprese 0.935 en tanto por ciento:

Calculo del % de un Numero Dado Ejemplos: Hallar el 15% de L. 40.00

Hallar el

de L. 1,050.00

Guía de Trabajo Escriba y encuentre la razón entre las siguientes cantidades:

2y5

7y8

0.5 y 2

0.6 y

0.10 y 0.010

Calcule el valor de x en cada una de las siguientes proporciones:

Resolver los siguientes problemas: Una cuadrilla de obreros ha hecho una obra en 20 días trabajando 6 horas diarias. ¿En cuántos días habrían hecho dicha obra, si hubiera trabajado 8 horas diarias?

Tres maquinas hacen 500m de carretera. ¿Cuántas maquinas trabajando al mismo tiempo se necesitarían para hacer 4km durante el día?

Una guarnición de 1,300 hombres tiene víveres para 4 meses. Si se quiere que los víveres duren 10 días más. ¿Cuántos hombres habrá que darles de baja en la guarnición?

Con cierta cantidad de dinero se pueden comprar 15 libretas de L.50.00 cada una. Si aumentan el precio a L.75.00 ¿Cuántas podre comprar con el mismo dinero?

Para pintar una pared de 12m2 se necesitan 4 galones de pintura. ¿Cuántos galones se necesitan para pintar otra pared de 18.5m2?

Tres de cada cinco alumnos en una clase son niñas. Hay 30 niñas en la clase ¿Cuántos niños hay?

En un mapa 2cm equivalen a 500km en el terreno. ¿A que distancia equivalen 7cm?

Las ventas anuales de un almacén sumaron L.345, 800.00. Los gastos durante ese mismo periodo fueron de: L. 125, 000.00 costo de venta; L. 85, 550.00 en sueldos; L. 55, 600.00 comisión; L. 14, 200.00 en alquiler, agua, luz, teléfono y otros. A) ¿Qué porcentaje del total de ventas represento cada cosa? B) ¿Qué porcentaje del total se gano?

Un hombre obtiene el 34% de ganancia de una inversión de L. 332, 456.00 a) Hallar la ganancia b) si los gastos relacionados con la inversión ascendieron al 54% de la ganancia, ¿Cuál fue la ganancia neta?

Una persona tiene que pagar L. 900.00 Si se le rebaja el 5% de su deuda. ¿Cuánto pago? ¿Cuánto se le rebajo?

Un metro de tela cuesta L. 150.00 ¿A cómo debe venderse para ganar el 25% del costo?

GEOMETRIA Un poco de historia La palabra geometría se deriva de los vocablos griegos geos (tierra) y metron (medida). Los antiguos egipcios, chinos, babilónicos, romanos y griegos utilizaron la geometría en la agrimensura, navegación, astronomía y otras labores practicas. Los griegos trataron de sistematizar los datos geométricos que conocían estableciendo razones lógicas y relaciones entre ellos. El trabajo para sistematizar los hechos y principios geométricos por hombres como Tales de Mileto (600 a. de J), Pitágoras (540 a. de J), Platón (390 a. de J) y Aristóteles (350 a. de J) culmino con el texto sobre geometría intitulado: Elementos, escrito por Euclides alrededor de 325 a. de J. Este texto tan extraordinario se ha utilizado por más de 2000 años.

Términos Geométricos no Definidos Al igual que en algunas ramas de la ciencia, en geometría se aceptan algunas palabras como no definidas para explicar otras en términos de ellas. Dado que no es posible definir estos términos básicos en forma precisa, puede darse su significado por medio de descripciones. Sin embargo, estas descripciones no pueden considerarse como definiciones formales, por lo que algunas veces se les llama definiciones connotativas o primitiva. Estos términos son El Punta, La Recta y El plano.

Punto

En geometría un punto no tiene longitud, extensión ni espesor, ni area, únicamente tiene posición. Cuando hacemos una marca en una hoja de papel con la punta de un lápiz, se obtendrá una representación bastante fiel de un punto y será mejor, cuando más afilado sea el lápiz.

Recta Es un conjunto de puntos que se extiende indefinidamente en ambos sentidos. Una recta se denota por letras mayúsculas para dos puntos cualesquiera o por una sola letra.

Plano Es un conjunto de puntos en una superficie llana que se extiende en todas direcciones. En una superficie perfectamente lisa que se extiende indefinidamente en todas las direcciones. Las paredes en un salón de clases, un pizarrón, la superficie de la portada de un cuaderno, nos ejemplifican la noción de plano, o para ser precisos el trozo de un plano.

Recordemos que un plano no tiene lĂmites, pero ante la imposibilidad de dibujar un plano en forma indefinida dibujamos un trozo del mismo y le nombremos por una letra mayĂşscula.

Segmentos de

Recta

Un segmento de

recta, es la parte comprendida

entre dos de sus puntos, los cuales son llamados los extremos del segmento. Es un trozo de recta y a diferencia de una recta tiene principio y fin. Un segmento se simboliza usando las letras que denotan a sus puntos extremos.

Longitud de un Segmento La longitud de un segmento es la distancia que hay entre sus puntos extremos y esta se puede obtener midiendo el segmento con una regla graduada.

Punto medio de un segmento El punto medio de un segmento es el punto que divide a un segmento en dos segmentos con igual medida. Todo segmento tiene exactamente un punto medio y decimos que el punto medio biseca al segmento.

Rayo

Es la parte de la recta que comienza en un punto A y pasa por otro punto B, en línea recta, y sigue indefinidamente en el mismo sentido. El rayo a diferencia de los segmentos, solo tiene un extremo.

Áreas y Perímetros de Figuras Planas PERÍMETRO Y ÁREA DEL CUADRADO PERÍMETRO El perímetro de un cuadrado es cuatro veces el valor del lado P=4·a

ÁREA El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud del lado. A= a2

PERÍMETRO Y ÁREA DEL RECTÁNGULO PERÍMETRO El rectángulo tiene los lados iguales dos a dos, por tanto: P = 2· a + 2· b ÁREA El área de un rectángulo es el producto de la longitud de los lados. A= a · b

PERÍMETRO Y ÁREA DE UN PARALELOGRAMO.

PERÍMETRO P = 2· b + 2· c = = 2 (b + c) ÁREA El área de un paralelogramo es igual al producto de la base por la altura. A= b · a

PERÍMETRO Y ÁREA DE UN ROMBO ÁREA El área del rombo es igual al producto de diagonales dividido entre dos.

D·d 2

PERÍMETRO El perímetro del rombo es cuatro veces el valor del lado. P = 4· L

ÁREA Y PERÍMETRO DE UN TRAPECIO ÁREA El área del trapecio es igual a la semisuma de las bases por la altura.

B+b ·a 2

PERÍMETRO Para calcular el perímetro de un trapecio cualquiera se suma el valor de los cuatro lados.

ÁREA Y PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO PERÍMETRO Suma de sus lados P= b + c + d

ÁREA El área de un triángulo es el producto de uno de sus lados por la altura sobre él dividido entre dos.

b·a 2

El Espacio Geométrico y las Figuras Tridimensionales El espacio geométrico puede considerarse como el conjunto de todos los puntos del universo físico. Así, todo punto, recta y plano está en el espacio. La definición de sólidos geométricos es un tema complicado. Una definición posible es la siguiente: Un sólido geométrico es una región cerrada del espacio limitada por ciertas superficies que pueden ser

planas o curvas. Recurriremos a algunos casos bien conocidos para introducir el concepto así como estudiar los conceptos de superficie y volumen de un sólido. Superficie y Volumen de Solidos Paralepípedo rectangular o caja rectangular. Es aquel sólido que tiene base rectangular y sus aristas laterales son perpendiculares a la base. Si tiene todas las aristas iguales se llama cubo. Su superficie y volumen están dadas de la siguiente manera:

Cilindro. Es el sólido conformado por caras paralelas circulares y el conjunto de todos los segmentos de línea recta perpendiculares a sus caras y comprendidos entre ellas. El área de su superficie y su volumen, están dadas de la siguiente manera:

Prisma Recto Un prisma es un poliedro con dos caras que son regiones poligonales congruentes en planos paralelos y las caras laterales son rectรกngulos. La altura es la distancia entre las caras paralelas. El volumen de un prisma es el producto de el รกrea de la base por la altura y el รกrea de la superficie es la suma de las รกreas de las caras que lo limitan.

Prisma Oblicuo Un prisma oblicuo es un prisma cuyas aristas laterales son oblicuas a las bases

Cono circular recto. Es el sólido cuya base es un círculo y su superficie lateral está formada por los segmentos de línea recta que unen un punto , sobre la línea perpendicular al círculo y por el centro de este, con los puntos del círculo. Cualquiera de estos segmentos de línea recta se denomina una generatriz y su longitud se denota con g. La distancia entre ese punto

y el centro del círculo se llama

altura. Aquí denotamos con con

a la altura y

al radio de la base circular. El área de

su superficie y volumen están dadas de la siguiente manera:

Esfera. Está determinada por todos los puntos del espacio que se encuentran a una distancia menor o igual a de un punto fijo llamado centro (superficie esférica junto con su interior). Su superficie y volumen están dadas de la siguiente manera:

Teorema de Pitágoras En primer lugar recordaremos un par de ideas: • Un Triangulo Rectángulo es un triangulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º. • En un triangulo rectángulo el lado más grande recibe el nombre de Hipotenusa y los otros dos se llaman catetos.

Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo A continuación se definen las razones trigonométricas seno, coseno y tangente de un ángulo

Las razones inversas del seno, coseno y tangente se denominan cosecante, secante y cotangente respectivamente. Por lo tanto:

Guía de Trabajo 1.Calcule en un triángulo el ángulo x teniendo en cuenta que los otros miden 43º y 105º. Seleccione una respuesta: a)60º b)32º c)42º 2.¿Cuál es el tipo de triángulo que tiene tres ángulos agudos? Seleccione una respuesta: a)Rectángulo b)Acutángulo c)Obtusángulo 3.¿Qué es un paralelogramo? Seleccione una respuesta: a)Polígono de cuatro lados iguales dos a dos b)Polígono de cuatro lados paralelos dos a dos

c)Polígono que tiene dos pares de lados consecutivos 4. ¿Qué es el diámetro? Seleccione una respuesta: a)Trazo que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro b)Segmento que une dos puntos de la circunferencia c)Segmento que une el punto centro con cualquier punto de la circunferencia 5.Calcula el perímetro de una circunferencia tomando como referencia que la medida del radio es 22,6 cm. Seleccione una respuesta: a)141,928 cm b)140,753 cm c)137,053 cm 6.Un triángulo rectángulo tiene catetos de 3 y 4 unidades de longitud. Halla la longitud de la hipotenusa. Seleccione una respuesta: a)7 b)6 c)5 7.Halla la circunferencia de un círculo de 8,74 cm de radio. Seleccione una respuesta: a)60,3 b)54,9 c)44,8

8.Halla el área del círculo del ejercicio anterior tomando como referencia la medida de su radio. Seleccione una respuesta: A)300 cm cuadrados b)205 cm cuadrados c)240 cm cuadrados 9.Halla el área de un rectángulo de 3 y 7 cm. Seleccione una respuesta: a)32 b)21 c)18 10.Halla el área de un cuadrado de 2 cm por 2 cm. Seleccione una respuesta: a)3 b)6 c)4 Resuelva los siguientes ejercicios de forma clara y ordenada 11) La diagonal mayor de un rombo mide 5cm y la menor es la mitad. Calcula el área y el perímetro. Debe utilizar el teorema de Pitágoras.

12) Calcule el área de un cuadrado de 4m de diagonal •

Utilice el teorema de Pitágoras para encontrar el valor del lado

13) La base de un paralelogramo es de 5cm, y su altura es de 2.8cm ¿Cuál es el área del paralelogramo?

14) Calcula el área y el perímetro de un cuadrado de lado 4cm.

15) La base de un rectángulo es de 5m y la altura la mitad de la base. Calcule el área y el perímetro.

16) Una palma proyecta una sombra de 18m de largo. Si el ángulo que se forma desde la punta de la sombra hasta el punto mas alto de la palma es de

, ¿Cuál es la altura

de la palma?

17) Un observador situado en una torre mide un ángulo de depresión de

entre la

línea horizontal y la base de la otra torre que está a 120 pies de la primera. El ángulo de elevación desde el mismo punto hasta otro observador que se encuentra en la segunda torre es de

¿A que altura se encuentra el otro observador de la

segunda torre?

18) Para soportar un poste a 35 pies de altura se fija en un punto en la tierra cierto tipo de alambre. ¿Qué cantidad de alambre será necesaria si se desea que este forme un ángulo de

con la horizontalidad de la tierra?

Sistema de Numeración

Capitulo 3

usados en Programación

SISTEMA BINARIO El antiguo matemático indio Pingala presentó la primera descripción que se conoce de un sistema de numeración binario en el siglo tercero antes de nuestra era. Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas (análogos a 3 bit) y números binarios de 6 bit, eran conocidos en la antigua china en el texto clásico del I Ching. Series similares de combinaciones binarias también han sido utilizados en sistemas de adivinación tradicionales africanos, como el Ifá, así como en la geomancia medieval occidental. Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching, representando la secuencia decimal de 0 a 63, y un método para generar el mismo, fue desarrollado por el erudito y filósofo Chino Shao Yong en el siglo XI. Sin embargo, no hay ninguna prueba de que Shao entendiera el cómputo binario. En 1605 Francis Bacon habló de un sistema por el cual las letras del alfabeto podrían reducirse a secuencias de dígitos binarios, las cuales podrían ser codificadas como variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto arbitrario. El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por Leibniz, en el siglo diecisiete, en su artículo "Explication de l'Arithmétique Binaire". En él se mencionan los símbolos binarios usados por matemáticos chinos. Leibniz usó el 0 y el 1, al igual que el sistema de numeración binario actual. En 1854, el matemático británico George Boole publicó un artículo que marcó un antes y un después, detallando un sistema de lógica que terminaría denominándose Álgebra de

Boole. Dicho sistema desempeñaría un papel fundamental en el desarrollo del sistema binario actual, particularmente en el desarrollo de circuitos electrónicos.

Aplicaciones En 1937, Claude Shannon realizó su tesis doctoral en el MIT, en la cual implementaba el Álgebra de Boole y aritmética binaria utilizando relés y conmutadores por primera vez en la historia. Titulada Un Análisis Simbólico de Circuitos Conmutadores y Relés, la tesis de Shannon básicamente fundó el diseño práctico de circuitos digitales. En noviembre de 1937, George Stibitz, trabajando por aquel entonces en los Laboratorios Bell, construyó una computadora basada en relés —a la cual apodó "Modelo K" (porque la construyó en una cocina, en inglés "kitchen")— que utilizaba la suma binaria para realizar los cálculos. Los Laboratorios Bell autorizaron un completo programa de investigación a finales de 1938, con Stibitz al mando. El 8 de enero de 1940 terminaron el diseño de una Calculadora de Números Complejos, la cual era capaz de realizar cálculos con números complejos. En una demostración en la conferencia de la Sociedad Americana de Matemáticas, el 11 de septiembre de 1940, Stibitz logró enviar comandos de manera remota a la Calculadora de Números Complejos a través de la línea telefónica mediante un teletipo. Fue la primera máquina computadora utilizada de manera remota a través de la línea de teléfono. Algunos participantes de la conferencia que presenciaron la demostración fueron John Von Neumann, John Mauchly y Norbert Wiener, quien escribió acerca de dicho suceso en sus diferentes tipos de memorias en la cual alcanzó diferentes logros.

Representación Un número binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (dígitos binarios), que suelen representar cualquier mecanismo capaz de estar en dos estados mutuamente excluyentes. Las siguientes secuencias de símbolos podrían ser interpretadas como el mismo valor numérico binario: 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 | - | - - | | - | -

x o x o o x x o x o y n y n n y y n y n

El valor numérico representado en cada caso depende del valor asignado a cada símbolo. En una computadora, los valores numéricos pueden representar dos voltajes diferentes; también pueden indicar polaridades magnéticas sobre un disco magnético. Un "positivo", "sí", o "sobre el estado" no es necesariamente el equivalente al valor numérico de uno; esto depende de la nomenclatura usada. De acuerdo con la representación más habitual, que es usando números árabes, los números binarios comúnmente son escritos usando los símbolos 0 y 1. Los números binarios se escriben a menudo con subíndices, prefijos o sufijos para indicar su base. Las notaciones siguientes son equivalentes: •

100101 binario (declaración explícita de formato)

•

100101b (un sufijo que indica formato binario)

•

100101B (un sufijo que indica formato binario)

•

bin 100101 (un prefijo que indica formato binario)

•

1001012 (un subíndice que indica base 2 (binaria) notación)

•

%100101 (un prefijo que indica formato binario)

•

0b100101 (un prefijo que indica formato binario, común en lenguajes de programación)

Conversión entre binario y decimal Decimal a binario Se divide el número del sistema decimal entre 2, cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2, y así sucesivamente. Ordenados los restos, del último al primero, éste será el número binario que buscamos.

Ejemplo Transformar el número decimal 131 en binario. El método es muy simple: 131 dividido entre 2 da 65 y el resto es igual a 1 65 dividido entre 2 da 32 y el resto es igual a 1 32 dividido entre 2 da 16 y el resto es igual a 0 16 dividido entre 2 da 8

y el resto es igual a 0

8 dividido entre 2 da 4

y el resto es igual a 0

4 dividido entre 2 da 2

y el resto es igual a 0

2 dividido entre 2 da 1

y el resto es igual a 0

1 dividido entre 2 da 0

y el resto es igual a 1

-> Ordenamos los restos, del último al primero: 10000011

en sistema binario, 131 se escribe 10000011 Ejemplo Transformar el número decimal 100 en binario.

Otra forma de conversión consiste en un método parecido a la factorización en números primos. Es relativamente fácil dividir cualquier número entre 2. Este método consiste también en divisiones sucesivas. Dependiendo de si el número es par o impar, colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha. Si es impar, le restaremos uno y seguiremos dividiendo entre dos, hasta llegar a 1. Después sólo nos queda tomar el último resultado de

la columna izquierda (que siempre será 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los dígitos de abajo a arriba. Ejemplo 100|0 50|0 25|1

--> 1, 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2

12|0 6|0 3|1 1|1

-->

(100)10 = (1100100)2

Existe un último método denominado de distribución. Consiste en distribuir los unos necesarios entre las potencias sucesivas de 2 de modo que su suma resulte ser el número decimal a convertir. Sea por ejemplo el número 151, para el que se necesitarán las 8 primeras potencias de 2, ya que la siguiente, 28=256, es superior al número a convertir. Se comienza poniendo un 1 en 128, por lo que aún faltarán 23, 151 - 128 = 23, para llegar al 151. Este valor se conseguirá distribuyendo unos entre las potencias cuya suma dé el resultado buscado y poniendo ceros en el resto. En el ejemplo resultan ser las potencias 4, 2, 1 y 0, esto es, 16, 4, 2 y 1, respectivamente. Ejemplo 20=

1|1

2|1

22=

4|1

8|0

16|1

32|0

64|0

2= 7

2 = 128|1

128 + 16 + 4 + 2 + 1 = (151)10 = (10010111)2

Decimal (con decimales) a binario Para transformar un número del sistema decimal al sistema binario:

1. Se inicia por el lado izquierdo, multiplicando cada número por 2 (si la parte entera es mayor que 1 en binario será 1, y en caso contrario es 0). 2. En caso de ser 1, en la siguiente multiplicación se utilizan sólo los decimales. 3. Después de realizar cada multiplicación, se colocan los números obtenidos en el orden de su obtención. 4. Algunos números se transforman en dígitos periódicos, por ejemplo: el 0,1. Ejemplo 0,3125 (decimal)

=> 0,0101 (binario).

Proceso: 0,3125 x 2 = 0,625 => 0 0,625

x 2 = 1,25

=> 1

0,25

x 2 = 0,5

=> 0

0,5

x 2 = 1

=> 1

En orden: 0101

-> 0,0101 (binario)

0,1 x 2 = 0,2 ==> 0 0,2 x 2 = 0,4 ==> 0 0,4 x 2 = 0,8 ==> 0 0,8 x 2 = 1,6 ==> 1 0,6 x 2 = 1,2 ==> 1 0,2 x 2 = 0,4 ==> 0

<--se repiten las cuatro cifras, periódicamente

0,4 x 2 = 0,8 ==> 0

0,8 x 2 = 1,6 ==> 1

0,6 x 2 = 1,2 ==> 1

<- ...

En orden: 0 0011 0011 ...

Binario a decimal (con decimal binario) 1. Inicie por el lado izquierdo, cada número multiplíquelo por 2 y elévelo a la potencia consecutiva a la inversa (comenzando por la potencia -1). 2.Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.

Ejemplos •

0,101001 (binario) = 0,640625(decimal). Proceso:

1*(2) elevado a (-1)=0,5 0*(2) elevado a (-2)=0 1*(2) elevado a (-3)=0,125 0*(2) elevado a (-4)=0 0*(2) elevado a (-5)=0 1*(2) elevado a (-6)=0,015625 La suma es: 0,640625 •

0.110111 (binario) = 0,859375(decimal). Proceso:

1*(2) elevado a (-1)=0,5 1*(2) elevado a (-2)=0,25 0*(2) elevado a (-3)=0 1*(2) elevado a (-4)=0,0625 1*(2) elevado a (-5)=0,03125 1*(2) elevado a (-6)=0,015625 La suma es: 0,859375

Tabla de conversión entre decimal, binario, hexadecimal, octal, BCD, Exceso 3 y Código Gray o Reflejado Decimal Binario Hexadecimal Octal

BCD

[[]] Gray o Reflejado

0000

0011 0000

0001

0100 0001

0010

0101 0011

0011

0110 0010

0100

0111 0110

0101

1000 0111

0110

1001 0101

0111

1010 0100

1000

1011 1100

1001

1100 1101

1010

0001 0000

1111

1011

0001 0001

1110

1100

0001 0010

1010

1101

0001 0011

1011

1110

0001 0100

1001

1111

0001 0101

1000

SISTEMA OCTAL El sistema numérico en base 8 se llama octal y utiliza los dígitos 0 a 7. Por ejemplo, el número binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo agruparíamos como 1 / 001 / 010, de tal forma que obtengamos una serie de números en binario de 3 dígitos cada uno (para fragmentar el número se comienza desde el primero por la derecha y se parte de 3 en 3), después obtenemos el número en decimal de cada uno de los números en binario obtenidos: 1=1, 001=1 y 010=2. De modo que el número decimal 74 en octal es 112. Hay que hacer notar que antes de poder pasar un número a octal es necesario pasar por el binario. Para llegar al resultado de 74 en octal se sigue esta serie: decimal -> binario -> octal. En informática, a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal. Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de los dígitos. Sin embargo, para trabajar con bytes o conjuntos de ellos, asumiendo que un byte es una palabra de 8 bits, suele ser más cómodo el sistema hexadecimal, por cuanto todo byte así definido es completamente representable por dos dígitos hexadecimales. Es posible que la numeración octal se usara en el pasado en lugar del decimal, por ejemplo, para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares.

Fracciones La numeración octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones, puesto que el único factor primo para sus bases es 2. Todas las fracciones que tengan un denominador distinto de una potencia de dos tendrán un desarrollo octal periódico.

Fracción

Octal

Resultado en octal

1/2

0,4

1/3

0,25252525 periódico

1/4

0,2

1/5

0,14631463 periódico

1/6

0,125252525 periódico

1/7

0,111111 periódico

1/8

1/10

0,1

1/9

1/11

0,07070707 periódico

1/10

Tabla de conversión entre decimal, binario, hexadecimal y octal Decimal

Binario

Hexadecimal

octal

00000

00001

00010

00011

00100

00101

00110

00111

01000

01001

01010

01011

01100

01101

01110

01111

10000

10001

10010

...

11110

11111

100000

100001

SISTEMA DECIMAL El sistema decimal es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base el número diez, por lo que se compone de diez cifras diferentes: cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9). Este conjunto de símbolos se denomina números árabes, y es de origen indú. Es el sistema de numeración usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las áreas que requieren de un sistema de numeración. Sin embargo hay ciertas técnicas, como por ejemplo en la informática, donde se utilizan sistemas de numeración adaptados al método de trabajo como el binario o el hexadecimal. También pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeración, como el quinario, el duodecimal y el vigesimal. Por ejemplo, cuando se cuentan artículos por docenas, o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos números (en francés, por ejemplo, el número 80 se expresa como "cuatro veintenas"). Según los antropólogos, el origen del sistema decimal está en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos, los cuales siempre nos han servido de base para contar. El sistema decimal es un sistema de numeración posicional, por lo que el valor del dígito depende de su posición dentro del número. Así:

Los números decimales se pueden representar en la recta real.

Sistema decimal en el idioma español Lo usual en español es usar un punto o un espacio como separador de miles (cada tres cifras contando desde la coma, o desde la última cifra si no hay coma) y una coma, alta o baja (, ') como separador decimal.

Fracciones Algunas fracciones muy simples, como 1/3, tienen infinitas cifras decimales. Por eso, algunos han propuesto la adopción del sistema duodecimal, en el que 1/3 tiene una representación más sencilla. 1/2 = 0,5 1/3 = 0,3333... 1/4 = 0,25 1/5 = 0,2 1/6 = 0,1666... 1/7 = 0,142857142857... 1/8 = 0,125 1/9 = 0,1111...

Búsqueda de números primos En base 10, un número primo sólo puede acabar en 1, 3, 7 o 9. Las 6 posibilidades restantes generan siempre números compuestos: • •

Los acabados en 2, 4, 6, 8 y 0 son múltiplos de 2 Los acabados en 5 y 0 son múltiplos de 5

(Las únicas excepciones son los números primos 2 y 5) ya que son números después del un punto

SISTEMA HEXADECIMAL El sistema hexadecimal (no confundir con sistema sexagesimal), a veces abreviado como hex, es el sistema de numeración posicional de base 16 —empleando por tanto 16 símbolos—. Su uso actual está muy vinculado a la informática y ciencias de la

computación, pues los computadores suelen utilizar el byte u octeto como unidad básica de memoria; y, debido a que un byte representa 28 valores posibles, y esto puede representarse ,

como

que,

según

teorema general de la numeración posicional, equivale al número en base 16 10016, dos dígitos hexadecimales corresponden exactamente —permiten representar la misma línea de enteros— a un byte. En principio dado que el sistema usual de numeración es de base decimal y, por ello, sólo se dispone de diez dígitos, se adoptó la convención de usar las seis primeras letras del alfabeto latino para suplir los dígitos que nos faltan. El conjunto de símbolos sería, por tanto, el siguiente: S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}

Se debe notar que A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15. En ocasiones se emplean letras minúsculas en lugar de mayúsculas. Como en cualquier sistema de numeración posicional, el valor numérico de cada dígito es alterado dependiendo de su posición en la cadena de dígitos, quedando multiplicado por una cierta potencia de la base del sistema, que en este caso es 16. Por ejemplo: 3E0A16 = 3×163 + E×162 + 0×161 + A×160 = 3×4096 + 14×256 + 0×16 + 10×1 = 15882. El sistema hexadecimal actual fue introducido en el ámbito de la computación por primera vez por IBM en 1963. Una representación anterior, con 0–9 y u–z, fue usada en 1956 por la computadora Bendix G-15.

Tabla de conversión entre decimal, binario, octal y hexadecimal

0hex

0dec

0oct

1hex

1dec

1oct

2hex

2dec

2oct

3hex

3dec

3oct

4hex

4dec

4oct

7hex

7dec

7oct

8hex

8dec

10oct

9hex

9dec

11oct

Ahex

10dec

12oct

Bhex

11dec

13oct

Chex

12dec

14oct

Dhex

13dec

15oct

Ehex

14dec

16oct

Fhex

15dec

17oct

Fracciones Como el único factor primo de 16 es 2, todas las fracciones que no tengan una potencia de 2 en el denominador, tendrán un desarrollo hexadecimal periódico.

Fracción

Hexadecimal

Resultado en hexadecimal

1/2

0,8

1/3

0,5 periódico

1/4

0,4

1/5

0,3 periódico

1/6

0,2A periódico

1/7

0,249 periódico

1/8

0,2

1/9

0,1C7 periódico

1/10

1/A

0,19 periódico

1/11

1/B

0,1745D periódico

1/12

1/C

0,15 periódico

1/13

1/D

0,13B periódico

1/14

1/E

0,1249 periódico

1/15

1/F

0,1 periódico

1/16

1/10

0,1

Existe un sistema para convertir números fraccionarios a hexadecimal de una forma más mecánica. Se trata de convertir la parte entera con el procedimiento habitual y convertir la parte decimal aplicando sucesivas multiplicaciones por 16 hasta convertir el resultado en un número entero. Por ejemplo: 0,06640625 en base decimal. Multiplicado por 16: 1,0625, el primer decimal será 1. Volvemos a multiplicar por 16 la parte decimal del anterior resultado: 1. Por lo tanto el siguiente decimal será un 1.Resultado: 0,11 en base hexadecimal. Como el último resultado se trata de un entero, hemos acabado la conversión.

Hay ocasiones en las que no llegamos nunca a obtener un número entero, en ese caso tendremos un desarrollo hexadecimal periódico. Operaciones en Sistema Hexadecimal En el sistema hexadecimal, al igual que en el sistema decimal, binario y octal, se pueden hacer diversas operaciones matemáticas. Entre ellas se encuentra la resta entre dos números en sistema hexadecimal, la que se puede hacer con el método de complemento a 15 o también utilizando el complemento a 16. Además de éstas, deberemos manejar adecuadamente la suma en sistema hexadecimal, explicada a continuación:

Hexadecimal

Decimal

Suma •

9 + 7 = 16 (16 – 16 = 0 y nos llevamos 1)

En este caso la respuesta obtenida, 16, no está entre el 0 y el 15, por lo que tenemos que restarle 16. Por lo tanto, la respuesta obtenida será 10 (sistema hexadecimal). Hay que tener cuidado de utilizar correctamente las letras, ya que operar a la vez con letras y números puede crear confusiones.

•

A + 6 = 16 (16 ‐ 16 = 0 y nos llevamos 1)

Ocurre lo mismo que en el ejemplo anterior.

•

A + A = 20 ( 20 – 16 = 4 y nos llevamos 1)

La respuesta es 20 y no está entre el 0 y el 15, por lo que tenemos que restarle 16. Por lo tanto, la respuesta obtenida será 14 (sistema hexadecimal). Hay que tener cuidado de utilizar correctamente las letras, ya que operar a la vez con letras y números puede crear confusiones.

•

F + E = 29 ( 29 – 16 = D y nos llevamos 1)

La respuesta es 29 y no está entre el 0 y el 15, por lo que tenemos que restarle 16. Por lo tanto, la respuesta obtenida será 1D (sistema hexadecimal). Hay que tener cuidado de utilizar correctamente las letras, ya que operar a la vez con letras y números puede crear confusiones.

•

Ahora haremos una operación más complicada:

A83F * A + 2 = 12 (12 corresponde a C) Ten en cuenta que puedes comprobar los resultados utilizando una calculadora científica. Resta hexadecimal Complemento C15 Podemos hacer la resta de dos números hexadecimales utilizando el complemento a 15. Para ello tendremos que sumar al minuendo el complemento a quince del sustraendo, y finalmente sumarle el bit de overflow (bit que se desborda). Para entender la resta en complemento a 15 lo analizaremos con un ejemplo. Ésta es la resta que tenemos que resolver: Aunque no estoy muy seguro que digamos, pero algo es algo. A4FC9 -

DE8

————————— ¿?¿?¿?¿? Primero tenemos que hacer que el minuendo y el sustraendo tengan la misma cantidad de números. Para ello, añadiremos ceros al sustraendo hasta que sean suficientes. A4FC9 - 00DE8 ————————— ¿?¿?¿?¿? Después, crearemos un nuevo número con la misma cantidad de números que el nuevo sustraendo. Como en el sistema hexadecimal el mayor número que tenemos es el 15, que corresponde a la letra F, tendremos que escribir la F tantas veces como números tiene el sustraendo. FFFFF

- 00DE8 ————————— FF217 La resta se hace siguiendo las normas generales de la resta común. La diferencia obtenida se denomina el complemento a 15. Recuerda el valor correspondiente a cada letra al operar. Ahora tendremos que sumar el minuendo y el complemento a 15 utilizando la suma en sistema hexadecimal, mencionada anteriormente. A4FC9 + FF217 ————————— 1A41E0 Con la suma obtenemos el resultado 1A41E0, pero no es la respuesta final. Te habrás dado cuenta que este nuevo número tiene más cifras que los números iniciales que teníamos que restar. Tenemos que quitar el número de la izquierda (en este caso, el 1) y sumarlo. A41E0 +

————————— A41E1 La respuesta es A41E1. Ten en cuenta que puedes comprobar los resultados utilizando una calculadora científica. Complemento C16 También podemos hacer la resta de dos números hexadecimales utilizando el complemento a 16, siguiendo un proceso similar que en el caso del complemento a 15. Para resolver la resta, tendremos que sumar al minuendo el complemento a dieciséis del sustraendo.

Para entender la resta en complemento a 16 lo analizaremos con el ejemplo anterior. Ésta es la resta que tenemos que resolver: A4FC9 -

DE8

————————— ¿?¿?¿?¿? Primero tenemos que hacer que el minuendo y el sustraendo tengan la misma cantidad de números, al igual que ocurre en el proceso del complemento a 15. Para ello, añadiremos ceros al sustraendo hasta que sean suficientes. A4FC9 - 00DE8 ————————— ¿?¿?¿?¿? Después, crearemos un nuevo número con la misma cantidad de números que el nuevo sustraendo. Como en el sistema hexadecimal el mayor número que tenemos es el 15, que corresponde a la letra F, tendremos que escribir la F tantas veces como números tiene el sustraendo.

FFFFF - 00DE8 ————————— FF217 La resta se hace siguiendo las normas generales de la resta común. Ahora tenemos que sumarle 1 a la diferencia obtenida. Este paso es muy importante, ya que es la diferencia entre hacer la resta en complemento a 15 ó 16, y se suele olvidar

fácilmente. Además, recuerda que estás sumando en sistema hexadecimal, siguiendo el mismo proceso explicado anteriormente. FF217 +

————————— FF218

A la diferencia obtenida y sumarle uno le denominaremos el complemento a 16. Ahora tendremos que sumar el minuendo y el complemento a 16 A4FC9 + FF218 ————————— 1A41E1 Con la suma obtenemos el resultado 1A41E1. Te habrás dado cuenta que este nuevo numero tiene más cifras que los números iniciales que teníamos que restas, cosa imposible en una resta (que la diferencia sea mayor que el minuendo y el sustraendo). Por eso, y estando en complemento a 16, tendremos que despreciar (eliminar) el número de la izquierda. En este caso es el 1. La respuesta, por lo tanto, es A41E1. En ambos casos la respuesta obtenida deberá ser la misma, ya que hemos resuelto la misma resta en sistema hexadecimal. Por lo tanto, podremos comprobar que hemos operado bien comparando las respuestas obtenidas en complemento a 15 y en complemento a 16 para una misma resta. Además, ten en cuenta que puedes comprobar los resultados utilizando una calculadora científica.

Conceptos de Capitulo 4 Algebra

Elementos básicos de Algebra Un poco de Historia El Álgebra es la rama de la Matemática que proporciona reglas generales para operar con números. Hace uso de letras que representan valores numéricos cualesquiera. Los creadores del Álgebra fueron los Indues, aproximadamente en el año 800, y los que se encargaron de difundirla en Europa fueron los Árabes. La palabra Álgebra es una derivación del título de un libro escrito por el matemático árabe Al Joarismi, el cual trataba acerca de la reglas para la reducción y transposición de términos. El Griego Diofanto de Alejandría, trabajo en problemas de Álgebra hace más de 2000 años; pero no llegó a crearla. Conceptos fundamentales utilizados en álgebra. Expresión algebraica es la forma de las matemáticas que escribimos con letras, números, potencias y signos.

Coeficiente

3a2

Grado

Parte literal Al número le llamamos coeficiente, a la letra o letras les llamamos parte literal y al exponente le llamamos grado.

Valor númerico de una expresión algebraica. Para hallar el valor numérico de una expresión algebraica sustituimos las letras por el valor dado y hacemos las operaciones que se nos indiquen.

Clases de expresiones algebraicas: 1ª- Si una expresión algebraica está formada por un solo término se llama monomio. Ej: 3x2 2ª- Toda expresión algebraica que esté formada por dos términos se llama binomio. Ej: 2x2 + 3xy 3ª- Toda expresión algebraica formada por tres términos se llama trinomio. Ej: 5x2 + 4y5 – 6x2y 4ª- Si la expresión algebraica tiene varios términos se llama polinomio.

Polinomio es un conjunto de monomios. Tendremos en cuenta lo siguiente: 1º- Si está ordenado. Para ordenar un polinomio, colocamos los monomios de mayor a menor, según su grado. 2º- Si está completo. Completar un polinomio es añadir los términos que falten poniendo de coeficiente 0. Ejemplo: Solución: 3º- Cuál es su grado. El grado de un polinomio es el mayor exponente de sus términos. Expresiones algebraicas equivalentes: Dos o más expresiones algebraicas son equivalentes cuando tienen el mismo valor numérico.

Términos semejantes. Dos términos son semejantes, si constan de la misma variable elevada al mismo exponente. Por ejemplo, son términos semejantes:

1 2 X , – X2 ; 7 X2; etc. 2

Es importante destacar que en álgebra solo se pueden sumar o restar términos si son semejantes. Monomio. Es un polinomio que consta de un solo término. Por ejemplo, la expresión: 2 X, es un monomio. Binomio. Es un polinomio que consta de dos términos. Por ejemplo, la expresión: 4 X5 + X2, es un binomio. Trinomio. Es un polinomio que consta de tres términos. Por ejemplo, la expresión: X2 + 3 X + 5 , es un trinomio. Polinomio. Es una expresión algebraica en la que los exponentes de las letras, son números naturales o cero. Son ejemplos de polinomios:

5 X4 + 3 X – 1 ;

2 + X + X3 ;

X – 5

Igualdad. Es la expresión en la que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor. Ejemplos: a = b + c ; 3 X2 = 4 X + 15

Exponentes. Potencia de un número. Es el resultado de tomarlo como factor, el número de veces que lo indica el exponente. Sea an una cantidad exponencial, donde; a = base y n = exponente. Ejemplos:

a1 = a

a2 = a x a

a3 = a x a x a

32 = 3 x 3 = 9

23 = 2 x 2 x 2 = 8

44 = 4 x 4 x4 x 4 = 256

Leyes de los exponentes. a) Toda potencia par de una cantidad negativa; es positiva. Ejemplos: ( – b )2 = ( – b ) x ( – b ) = b2 ;

( – 5 )2 = ( – 5 ) x ( – 5 ) = 25

b) Toda potencia impar de una cantidad negativa; es negativa. Ejemplos: ( – c )3 = ( – c ) x ( – c ) x ( – c ) = – c3 ( – 2 )5 = ( – 2 ) x (– 2 ) x (– 2 ) x (– 2 ) x (– 2 ) = – 32 c) Para elevar un monomio a una potencia, se eleva su coeficiente a esa potencia, como también su parte literal. 3

Ejemplos:

3 3 8a 3 ⎛ 2a ⎞ 2 a = = ⎜ ⎟ 3 3 125b 3 ⎝ 5b ⎠ 5 b

( 3 b )2 = 32 b2 = 9b2 ;

d) Para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la misma base y se suman los exponentes. Ejemplos:

( a2 ) x ( a2 ) = a2+2 = a4 ;

( b3 ) x ( b5 ) = b3+5 = b8

( c6 ) x ( c–2 ) = c6 + (– 2) = c6 – 2 = c4 e) Para dividir potencias de la misma base, se escribe la misma base y al exponente del numerador, se le resta el exponente del denominador. Ejemplos:

a5 = a 5− 2 = a 3 a2

;

a2 = a 2 −6 = a − 4 a6

;

a −3 = a −3−( −5) = a −3+5 = a 2 a −5 f) Para elevar una cantidad exponencial a un exponente, se escribe la misma base y se multiplican los exponentes. Ejemplos: ( b2 )3 = b2 x 3 = b6

( b3 )3 = b3 x 3 = b9

( b–2 )5 = b(–2 ) x 5 = b–10

g) Para convertir una potencia negativa a potencia positiva de una cantidad, ésta se cambia de posición cambiándole el signo al exponente.

Ejemplos: convertir en potencia positiva: a–3 ⇒ a–3 =

Convertir en potencia positiva:

Convertir en potencias positivas:

2 b −2

⇒

3a −5 ⇒ 2b −3

1 a3

2 = 2 b2 b −2

3a −5 3b 3 = 2b −3 2a 5

Con la segunda fracción se realiza el mismo procedimiento y se suman los nume Vea el siguiente ejemplo. Ejercicios operatorios con los monomios y polinomios Suma o resta de monomios: Para sumar o restar monomios es necesario que sean semejantes. Monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal y el mismo grado. Ej: 2x3 + 5x3 – 6x3.

Para hacer la operación sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte literal. Ej: 2x3 + 5x3 – 6x3 = x3. Multiplicación de monomios: Para multiplicar monomios no es necesario que sean

semejantes. Para ello se multiplican los coeficientes, se deja la misma parte literal y se suman los grados. Ej: 3xy.4x2y3= 12x3y4 División de monomios: Para dividir dos monomios, se dividen los coeficientes, se deja la

misma parte literal y se restan los grados. Ej: 4x5y3:2x2y= 2x3y2 Suma de polinomios: Para sumar polinomios colocaremos cada monomio debajo de los

que son semejantes y sumaremos sus coeficientes. Ej:

7x5+0x4+3x3+4x2-2x 5x5+0x4+0x3 -x2 -x 12x5+0x4+3x3+3x2-3x

Multiplicación de polinomios: Para multiplicar polinomios haremos lo mismo que para

multiplicar monomios, multiplicamos los coeficientes y sumamos los grados de las letras que son iguales. Si son varios los polinomios que tenemos que multiplicar haremos lo mismo pero pondremos los que son semejantes debajo unos de otros y los sumaremos al final. Ej:

P(x)= 2x5+3x4-2x3-x2+2x 2x3

Q(x)=

P(x).Q(x)= 4x8+6x7-4x6-2x5+4x4 División de polinomios: Para dividir un polinomio y un monomio, ordenamos y

completamos los polinomios, dividimos el primer monomio del dividendo por los monomios del divisor, multiplicamos el cociente por el divisor y se lo restamos del dividendo. Así sucesivamente. Para dividir dos polinomios haremos lo mismo que para dividir monomios y polinomios, teniendo en cuenta que en el divisor nos encontraremos con 2 términos.

Ej:

4x4 - 2x3 +6x2 - 8x - 4 -4x4

2x3-x2+3x-4

0-2x3 +2x3

0+6x

P(x):Q(x)= 2x ‐x +3x‐4

-6x2 0-8x +8x 0-4

EXPRESIONES ALGEGRAICAS RACIONALES

Cuando un polinomio se divide por otro, el resultado no es necesariamente un polinomio. El cociente de dos polinomios se llama expresión racional. Por ejemplo:

Son expresiones racionales. El domino de la variable en una expresión racional costa de todos los números reales para los cuales el valor del denominador es diferente de cero. Por ejemplo, en

el dominio de la variable es

Para resolver problemas, con frecuencia debemos combinar expresiones racionales y luego simplificar los resultados. Ya que una expresión racional representa a un numero real, podemos aplicar las propiedades del sistema de números reales para combinar y simplificar las expresiones racionales. Las propiedades de las fracciones son particularmente útiles.

Ejemplo: Simplifique:

Solución:

Mínimo Común Múltiplo de los Denominadores

Para sumar o restar expresiones racionales, procedemos exactamente como cuando sumamos o restamos fraccione. Primero hallamos un común denominador y luego procedemos a realizar la suma o la resta. Aunque cualquier común denominador servirá, el trabajo será menor si utilizamos el minimo común múltiplo de los denominadores(MCM) el cual se encuentra mediante la factorización completa de cada uno de los denominadores y la formación de un producto de los diferentes factores, usando cada factor con el exponente mas alto con el cual ocurra en cualquier denominador individual.

Ejemplo: Encuentre el MCM de los denominadores de:

Solución: Al factorizar los denominadores en las expresiones racionales, obtenemos

Los diferentes factores de los denominadores son

. Usamos cada

factor con el exponente mas alto con el cual ocurre en cualquier denominador individual. De esta manera, el MCM de los denominadores es:

Ejemplo#2 Sume las siguientes fracciones algebraicas

SOLUCION: En la forma factorizada los denominadores son

. De

esta manera el MCM de los denominadores es

Procediendo a realizar la suma:

MULTIPLICACION Y DIVISION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES Para multiplicar o Dividir expresiones racionales seguimos las mismas reglas que para fracciones comunes considerando las reglas de operaci贸n de los polinomios como lo explican los ejemplos que a continuaci贸n se describen.

Ejemplo#3 Multiplique las siguientes Expresiones Algebraicas

Soluci贸n:

Ejemplo #4 Realice la siguiente divisi贸n:

Soluci贸n:

ECUACIONES LINEALES

Los métodos para resolver ecuaciones datan de los tiempos de los babilonios (2000 a.C.). La forma que tenemos de enunciar que dos cantidades o expresiones son iguales es mediante una ecuación (o igualdad). p.ej. 2x - 3 = x + 5 •

que se denomina ecuación en x

Observamos que este enunciado tiene dos partes o expresiones separadas por el signo =, una en el lado izquierdo (LI), y otra en el lado derecho (LD).

•

Es una expresión de igualdad con una variable, la x.

•

La solución, o raíz, de la ecuación es un número a que produce una expresión cierta al sustituirlo por la x, es decir a satisface la ecuación.

•

Llamamos ecuaciones equivalentes a un conjunto de ecuaciones que tienen exáctamente las mismas soluciones.

•

Resolver una ecuación consiste en hallar todas las soluciones de dicha ecuación.

•

Una ecuación algegraica en x contiene sólo expresiones algebraicas como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras.

•

Si todo número de los dominios de las expresiones de una ecuación algebraica es una solución, la ecuación se denomina identidad, p.ej. x2+2x+1 = (x+1)2. Si hay números que no sean solución, la expresión se llama simplemente ecuación, p.ej. 5x-10 = 2x+8.

•

La ecuación más básica en álgebra es la ecuación lineal, Generalmente, para resolver ecuaciones, elaboramos una lista de ecuaciones equivalentes (cada una más sencilla que la precedente), terminando con una ecuación cuya solución podemos hallar con facilidad.

- Podemos sumar o restar la misma expresión en ambos lados de la ecuación. - Podemos multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por una

expresión que representa un número real distinto de cero. MÉTODO :

- Eliminamos paréntesis - Eliminamos denominadores - Agrupamos términos semejantes - Despejamos la variable - Comprobamos la solución o

Si hay, eliminamos todos los niveles de paréntesis que aparezcan, comenzando por el más interno, resolviendo las operaciones indicadas.

Si hay, eliminamos todos los denominadores, multiplicando por el m.c.m.(de los denominadores) ambos lados de la ecuación.

Agrupamos las expresiones con la variable en un lado (generalmente el izquierdo) y las expresiones numéricas en el otro lado.

Despejamos la variable, obteniendo así la solución.

Comprobamos si la solución satisface la ecuación propuesta, es decir si aparece una identidad verdadera.

Si una ecuación contiene expresiones racionales, a menudo eliminamos denominadores multiplicando ambos lados por el m.c.m. de estas expresiones. Si multiplicamos ambos lados por una expresión que es igual a cero para algún valor de x, quizá la ecuación resultante no equivalga a la original.

No se permite la división por cero,

El m.c.m. es (2x-4)(x+3), luego los

x=2 no es una solución, por tanto la números 2 y -3 si aparecen en la solución ecuación dada no tiene soluciones.

no serían válidos, pero no es el caso

ECUACIONES DE LA RECTA Definición de la pendiente La pendiente de una recta en un sistema de representación triangular (cartesiano), suele ser representado por la letra m, y es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta. En la siguiente ecuación se describe:

(El símbolo delta "Δ", es comúnmente usado en cálculo para representar un cambio o diferencia). Dados dos puntos (x1,y1) y (x2,y2), la diferencia en X es x2 − x1, mientras que el cambio en Y se calcula como y2 − y1. Sustituyendo ambas cantidades en la ecuación descrita anteriormente obtenemos:

Donde m representa la pendiente entre el punto 1 y el punto 2. La cual representa la razón de cambio de y respecto a x, es decir si (x) se incrementa en 1 unidad, (y) se incrementa en (m) unidades.

La pendiente en las ecuaciones de la recta Si y es una función lineal de x, entonces el coeficiente de x es la pendiente de la recta. Por lo tanto, si la ecuación está dada de la siguiente manera:

entonces m es la pendiente. En esta ecuación, el valor de b puede ser interpretado como el punto donde la recta interseca al eje Y, es decir, el valor de y cuando x = 0. Este valor también es llamado ordenada al origen. Si la pendiente m de una recta y el punto (x0,y0) de la recta son conocidos, entonces la ecuación de la recta puede ser encontrada usando:

Por ejemplo, considere una recta que pasa por los puntos (2, 8) y (3, 20). Esta recta tiene

pendiente

. Luego de esto, uno puede definir la ecuación para esta

recta usando la fórmula antes mencionada:

La pendiente de la recta en la fórmula general:

está dada por: Ecuación de la Recta Punto- Pendiente

Ecuación de la Recta Pendiente-intersecto

Ecuación de una Recta Horizontal

Ecuación de una Recta Vertical

ECUACIONES CUADRATICAS Definición: Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a, b, y , c son números reales y a es un número diferente de cero.

Ejemplos: x2 - 9 = 0; x2 - x - 12 = 0; 2x2 - 3x - 4 = 0 La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista el término x2 en la ecuación. Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas. El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende del tipo de ecuación cuadrática que se va a resolver.

En este curso estudiaremos los siguientes métodos:

factorización, raíz cuadrada, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática.

Factorización:

Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Luego expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores. Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable. Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por factorización: 1) x2 - 4x = 0 2) x2 - 4x = 12 3) 12x2 - 17x + 6 = 0

Nota: No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porque este

método está limitado a coeficientes enteros. Por eso tenemos que conocer otros métodos.

Raíz cuadrada:

Este método requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuación. Propiedad de la raíz cuadrada: Para cualquier número real k, la ecuación x2 = k es equivalente a :

x = ± k. Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de raíz cuadrada: 1) x2 - 9 = 0 2) 2x2 - 1 = 0 3) (x - 3)2 = -8 Completando el cuadrado:

Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma: x2 + bx + ?

Regla para hallar el último término de x2 + bx + ?: El último término de un trinomio cuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término del medio. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros términos son x2 + bx es :

⎛ b⎞ x 2 + bx + ⎜ ⎟ . ⎝ 2⎠ Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuación equivalente el número que completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación. Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de completar el cuadrado: 1) x2 + 6x + 7 = 0 2) x2 – 10x + 5 = 0 3) 2x2 - 3x - 4 = 0 Fórmula cuadrática:

La solución de una ecuación ax2 + bx + c con a diferente de cero está dada por la fórmula cuadrática: −b ± b 2 − 4ac x= . 2a La expresión: b 2 − 4 ac

conocida como el discriminante determina el número y el tipo de soluciones. La tabla a continuación muestra la información del número de soluciones y el tipo de solución de acuerdo con el valor del discriminante.

Valor de: b 2 − 4ac

positivo

Tipo de solución dos soluciones reales

cero

una solución real

negativo

dos soluciones imaginarias

Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática: 1) x2 + 8x + 6 = 0 2) 9x2 + 6x + 1 = 0 3) 5x2 - 4x + 1 = 0

Nota: Cualquier ecuación cuadrática puede resolverse utilizando la fórmula cuadrática. Práctica: Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones: 1) x2 - x - 20 = 0 2

2) x - 8 = 0

(por factorización) (por raíz cuadrada)

3) x - 4x + 5 = 0 (completando el cuadrado) 4) 9x2 + 6x = 1

(fórmula cuadrática)

Guía de Trabajo Halle una ecuación de la recta indicada •

Pasa por el punto (3,5) con pendiente 3

•

Pasa por el punto (4,0) con pendiente 4

•

Pasa por el punto (-3, 1) con pendiente ¼

•

Pasa por los puntos (8,1) y (-3,1)

•

Pasa por los puntos (3,-6) y (-6,3)

•

Pasa por el punto (-3,1) con pendiente -2/3

Halle la pendiente y el intersecto en “y” de la recta dada • • • Haga la grafica de la recta dada • • • • Resuelva las siguientes ecuaciones por factorización • • • • • • •

• Resuelva las siguientes ecuaciones utilizando el método de la raíz cuadrada • • • Resuelva las siguientes ecuaciones completando cuadrados • • • • • Simplifique las siguientes fracciones

•

Encuentre el mínimo común múltiplo (MCM) de las siguientes expresiones

•