DERIVACIร N Secciรณn 3.1-3.2 Stewart Cuarta Ediciรณn Tomado de Miriam Benhayรณn (UNIMED) Para el curso de Cรกlculo diferencial UNIANDES Marcos Alejo Sandoval
RECTA TANGENTE A UNA CURVA f(x)
y
f(a+h)
Donde h tiende a cero...
f(a) a
a+h
msec
x
f(a + h) − f(a) = h
PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO X CUALQUIERA
f ’(x)
m tang
f(x + h) − f(x) = lim h →0 h
Este límite representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) en un punto x cualquiera perteneciente al dominio de f(x)
ECUACIÓN DE UNA RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO X=a
y − f(a) = f '(a)(x − a)
ejercicio
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábloa y=x2 en el punto (-2,4)
TANGENTE VERTICAL
Si una curva f(x) posee una tangente vertical en x=a de su dominio, entonces se cumple:
lim = f '(x) = ∞ x →a
REGLAS DE DERIVACIÓN SE UTILIZAN PARA HALLAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN SIN NECESIDAD DE HALLAR EL LÍMITE CUANDO h TIENDE A 0….
Permiten encontrar f ’(x) de forma rápida.
NOTACIÓN
df(x) f '(x) = = Dx f(x) dx
REGLAS DE DERIVACIÓN Derivada de una función de la forma f(x)=xn n
Si f(x) = x , entonces : f' (x) = nx
n −1
NOTA : Si f(x) =x, entonces : f' (x) =1 Si f(x) =N, entonces : f' (x) =0
REGLAS DE DERIVACIÓN Regla del múltiplo constante K ,de la forma: g(x) = K . f(x)
g(x) =Kf(x) df(x) g' (x) =Kf´(x) =K dx
REGLAS DE DERIVACIÓN Regla de la suma algebraica de funciones:
Sean f(x) y g(x) : (f(x) ± g(x))' = f ' (x) ± g' (x)
PROBLEMA 1 Encuentre la derivada de las siguientes funciones:
a. f(x) = x 2 + 4x + 1 5
3
b. f(x) = 3 x − 2x + 3 5 6 c. f(x) = x + 5 x
2 x2
PROBLEMA 2 ¿En qué puntos la siguiente función tiene una recta tangente con pendiente horizontal ?
f(x) = x − 3x 3
PROBLEMA 3 Halle el punto en el cual la recta tangente a la curva dada es paralela al eje x
f(x) = x − 2x + 3 2
CONSIDERACIÓN Si la derivada es nula en un punto de un intervalo (mtan=0), f(x) presentará una tangente horizontal en ese punto. Si f´(c) = 0, f(x) tendrá una tangente horizontal en x=c
TEOREMA Si f(x) es DERIVABLE en x=a, entonces necesariamente es CONTINUA en ese punto
El recĂproco no necesariamente es cierto
PROBLEMA 4 ¿En qué puntos del dominio la función representada puede ser?: • a. ¿Derivable? F(x) • b. ¿Continua pero no derivable? • c. ¿Ni continua ni derivable?
x -3
1
3
DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL
Si f(x) = ex, entonces f ´ (x) = ex
REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
f(x) = cosx
f' (x) = − senx
g(x) = senx
g' (x) = cosx
h(x) = tanx z(x) = secx
h' (x) = sec x z' (x) = secx.tanx 2
G(x) = cotanx G' (x) = − csc 2 x F(x) = cscx F' (x) = −cscx.cotanx
PROBLEMA 5 Encuentre la derivada de las siguientes funciones:
2 3 2 a. f(x) = secx- 2 + tanx + 1 − sen x x 5 3 b. f(x) = 6 − 2senx + x9 2 + cosx 1 x c. f(x) = + e senx 3
REGLAS DE DERIVACIÓN Regla del producto de funciones:
Sean f(x) y g(x) : (f(x) ×g(x))' = f' (x) ×g(x) + f(x) ×g' (x) Ejemplo: f(x)=x 3 cos(x) F(x)=e x .tanx
REGLAS DE DERIVACIÓN Regla del cociente de funciones:
Sean f(x) y g(x) : '
f(x) f' (x) ×g(x) − f(x) ×g' (x) 2 g(x) = ( g(x)) Ejemplos: f(x)=x3 / cos(x) F(x)=3ex/(tanx-2)
PROBLEMA 6 Aplique las reglas de derivación para hallar f ´ :
a. f(x) = 2xsenx (3x 3 − 4) b. f(x) = senx x c. f(x) = 3 2− x
PROBLEMA 6 -RESPUESTAS a. f´(x) = 2(senx + xcosx) 9x senx − (3x − 4)cosx b. f´(x) = 2 sen x 1 -1/2 −1 1/2 −2 x (2 − 3x ) − x (3x ) c. f´(x) = 2 −1 2 (2 − 3x ) 2
3
PROBLEMA 7 Aplique las reglas de derivación para hallar f ´ :
(x − 1)(x + 3) a. f(x) = (xsecx) 3tanx 5 2 b. g(x) = − x senx- -x x e 2 cscx x c. F(x) = + 6e 3 4x
PROBLEMA 8 aplique las reglas de derivaci贸n para hallar la derivada de las funciones dadas :
5xcosx a. g(x) = 2 x 6xtanx b. F(x) = x + 3senx
PROBLEMA 9 Un problema interesante… Dada f(x) y las condiciones que se indican, encuentre f’(4) f(x) = f´(4)=?
x .g(x),
g(4) =2 , g´(4) =3,
REFLEXIONES El mรกs preciado derecho en el mundo es el derecho a estar equivocado. (Harry Weinberger, 1917)
Caer estรก permitido, levantarse es obligatorio... (Anรณnimo)