Maths by A .....

MatemĂ tiques 2 ESO

Grup Promotor Santillana

tema 1 Nombres enters

Grup Promotor Santillana

830863 _ 0019-0040.qxd

14/12/07

16:06

Página 34

NOMBRES ENTERS 1. ● a) b) c) d) 2. ●

OPERACIONS AMB NOMBRES ENTERS

Expressa amb un nombre enter: En Lluís va guanyar 6000 € a la loteria. El termòmetre va marcar 7 °C sota zero. La Marta viu al quart pis. La botiga és al segon soterrani. Completa la recta numèrica següent:

15. ● a) b) c) d)

Calcula les sumes i les restes següents: (+12) + (+25) (−9) + (+13) (−3) + (−11) (+17) + (−8)

e) f) g) h)

(+19) − (+5) (−21) − (+33) (−7) − (−11) (+22) − (−15)

16. ● Completa la taula següent:

−3

3. ● Representa aquests nombres enters en una recta numèrica: −5, 7, −9, 0, −3, 2. 4. ●

Quants nombres enters hi ha entre –4 i 4?

5. ● Completa amb el signe < o >: a) −9 −12 b) 3 −2 6. ● a) b)

c) −1 −4 d) −7 −5

Escriu el nombre anterior i el posterior:

<4< < 12 <

c) d)

< −4 < < −8 <

7. ● Troba un nombre enter que estigui comprès entre els nombres següents: a) −3 < < 0 b) −8 < < −5 8. ● a) b) c) d)

c) 7 < < 10 d) −4 < < −2

−7

−12

−5

+11

−18

+23

+17

a −b

b −a

a+b

b+a

Fixa’t en les dues últimes columnes. Què hi observes? 17. ●

Efectua les sumes següents:

a) b) c) d)

(+10) + (−5) + (+7) + (−9) (−29) + (−12) + (−9) + (+17) (−20) + (+33) + (+21) + (−23) (−23) + (−41) + (−16) + (+50)

18. ●

Calcula aquestes restes:

19. ●

Fes aquestes sumes i restes combinades:

Escriu dos nombres enters: Més petits que +3 i més grans que −1. Més petits que −3. Més grans que −6. Més grans que −2 i més petits que +1.

9. ● Ordena, de més petit a més gran, els nombres següents −4, 6, −7, 11, −9, −6, 0, 2, −1. 10. ●● L’oposat d’un nombre és –5. Quin és el nombre? 11. ●● L’oposat de l’oposat d’un nombre és +3. Quin nombre és? 12. ●●

Quins valors pot prendre a en cada cas?

a) ⏐a⏐ = 6

b) ⏐a⏐ = 17

13. ●● Com és el valor absolut d’un nombre qualsevol i del seu oposat? 14. ●●

Pot ser |x| = −1? Raona-ho.

a) b) c) d) 20. ● a) b) c) d) e) f)

(−21) + (−12) − (+9) (+17) − (+23) + (+34) (−32) + (−19) − (−11) (−54) − (+22) + (−10) Calcula: 8−7+4−3−2 −7 − 5 + 3 − 9 − 1 + 11 −4 − 2 + 5 − 1 − 4 + 1 6 − 3 + 3 − 10 − 4 + 13 −9 − 14 + 4 − 56 − 16 + 1 9 + 14 − 6 − 93 + 19

830863 _ 0019-0040.qxd

26/12/07

16:10

Página 35

26. ●

FES-HO AIXÍ COM RESOLEM OPERACIONS DE SUMES I RESTES

Calcula els productes següents:

a) (+21) ⋅ (+3) ⋅ (+4) b) (+19) ⋅ (−2) ⋅ (+3)

c) (+13) ⋅ (−5) ⋅ (−6) d) (−20) ⋅ (−9) ⋅ (−3)

COMBINADES AMB PARÈNTESIS?

27. ●●

21. Calcula: −3 + (−8 + 9) − (3 − 6). PRIMER. Eliminem els parèntesis.

– Si porten davant el signe +, les operacions de dins les deixem tal com estan. – Si porten davant el signe −, transformem tots els signes de l’interior en els seus oposats. F

+ (−8 + 9) = −8 + 9

−3 + (−8 + 9) − (3 − 6) = −3 − 8 + 9 − 3 + 6 F

− (3 − 6) = −3 + 6 SEGON. Agrupem els sumands positius a una banda, i els negatius, a l’altra.

−3 − 8 + 9 − 3 + 6 = (9 + 6) − (3 + 8 + 3) = = 15 − 14 = 1

Completa aquests productes:

a) (−5) ⋅ = −30 b) ⋅ (+3) = 45

c) (−9) ⋅ = 27 d) ⋅ (−8) = −48

FES-HO AIXÍ COM TRAIEM FACTOR COMÚ EN OPERACIONS AMB NOMBRES ENTERS?

28. Calcula: −12 ⋅ (−27) + (−12) ⋅ (+17). Treure factor comú consisteix a aplicar la propietat distributiva en sentit invers: a ⋅ b + a ⋅ c = a ⋅ (b + c) PRIMER. Determinem si hi ha cap factor que es repeteixi en tots els sumands. −12 ⋅ (−27) + (−12) ⋅ (+17) F

−12 es repeteix en els dos sumands

El factor que es repeteix multiplica la suma o la resta dels sumands. −12 ⋅ (−27) + (−12) ⋅ (+17) = = −12 ⋅ [(−27) + (+17)] = −12 ⋅ (−10) = 120

SEGON.

22. ●● a) b) c) d)

Efectua aquestes operacions:

6 + (−4 + 2) − (−3 − 1) 7 − (4 − 3) + (−1 − 2) 3 + (2 − 3) − (1 − 5 − 7) −8 + (1 + 4) + (−7 − 9)

29. ●●

23. ●● Completa els forats perquè les igualtats siguin certes: a) (−11) + = +4 b) (+13) + = +12 c) + (−20) = −12 24. ●

c) (+5) ⋅ (−35) d) (−14) ⋅ (+5)

−4

−6

−8

−9

a⋅b

30. ●●

b⋅a

Què observes a les dues últimes columnes?

Completa extraient factor comú:

a) 5 ⋅ (−4) + 5 ⋅ (−7) = 5 ⋅ [ + (−7)] b) (−9) ⋅ 2 + (−9) ⋅ (−4) = ⋅ [2 + (−4)] Efectua aquestes divisions:

a) (+35) : (−7) : (−5) b) (−21) : (−7) : (−1) 32. ●●

Completa aquesta taula: a

a) (−3) ⋅ (−4) + (−3) ⋅ (−9) b) 7 ⋅ (−12) + 7 ⋅ (+6) c) (−5) ⋅ (+11) + (−5) ⋅ (−10)

31. ●●

Calcula els productes següents:

a) (+12) ⋅ (+4) b) (−42) ⋅ (−3) 25. ●

d) (+3) − = −7 e) (−15) − = +9 f) − (+8) = +7

Resol extraient factor comú:

Opera:

a) (+21) ⋅ (+2) : (−14) b) (+5) : (−5) ⋅ (−4) c) (+2) ⋅ (+9) : (−3) 33. ●●

c) (+32) : (−8) : (−2) d) (−4) : (+4) : (−1)

d) [(−2) ⋅ (+7)] : (−14) ⋅ (+3) e) (+36) : [(−9) : (+3)] ⋅ (+5) f) (+36) : (−9) : (+2) ⋅ (+5)

Completa les divisions següents:

a) (−36) : = −4 b) (−54) : = +9 c) (+ ) : (−6) = (−42)

d) (+48) : = −6 e) (−63) : = −7 f) (+ ) : (+8) = (+2)

830863 _ 0019-0040.qxd

14/12/07

16:06

Página 36

POTÈNCIES DE NOMBRES ENTERS

45. ●●

Completa:

a) (3 ) = 318 b) (85) = 820

c) [(−2) ]4 = (−2)8 d) [(−7)3] = (−7)9

34. ● Escriu-ho en forma de potència, i indica’n la base i l’exponent:

46. ●●

a) 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 b) (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) c) (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) 35. ● Escriu-ho en forma de potència i en forma de producte:

a) 4 b) (−2)6 37. ●●

c) 142 d) (−4)4

38. ●

FES-HO AIXÍ c) (−2) = −8 d) (−3) = −27

a) 5 39. ●

b) 23

c) (−3)

48. Simplifica aquests productes de potències. 1

d) (−57)

Expressa com una sola potència:

a) 53 ⋅ 54 b) 116 ⋅ 114 40. ●

c) (−3)5 ⋅ (−3)3 d) (−8)4 ⋅ (−8)7

Expressa com una sola potència:

a) 4 ⋅ 43 ⋅ 4 b) 95 ⋅ 92 ⋅ 94 3

41. ●●

Completa:

5 ⋅ 5 ⋅ 52 = 59 13 ⋅ 133 ⋅ 13 = 135 (−11) ⋅ (−11)4 ⋅ (−11) = (−11)7 (−21)8 ⋅ (−21)3 ⋅ (−21) = (−21)11

a) 7 : 7 b) 128 : 125 43. ●●

c) (−9) : (−9) d) (−6)7 : (−6)3

Expressa com una sola potència:

(2 : 23) ⋅ 23 35 : (37 : 34) [(−4)6: (−4)] : (−4)2 (−5)3 : [(−5)4 : (−5)] 8

4 3

a) (5 ) b) (75)2

a) b) c) d)

Simplifica aquests productes de potències:

5 ⋅ 253 84 ⋅ 162 63 ⋅ 125 47 ⋅ 32 4

(−12)3 ⋅ 185 (−63)5 ⋅ 212 322 ⋅ (−24)3 −723 ⋅ (−4)7

c) (−12)6 d) (−8)12

a) 7 b) 68

c) [(−3) ] d) [(−9)3]3

e) f) g) h)

Escriu com a potència d’una potència:

4 3

c) (−3)4 ⋅ 182

Substituïm les bases per la seva descomposició en factors i operem: a) 84 ⋅ 162 = (23)4 ⋅ (24)2 = 212 ⋅ 28 = 220 b) 34 ⋅ 92 = 34 ⋅ (32)2 = 34 ⋅ 34 = 38 c) (−3)4 ⋅ 182 = (−1 ⋅ 3)4 ⋅ (2 ⋅ 32)2 = = (−1)4 ⋅ 34 ⋅ 22 ⋅ 34 = = 1 ⋅ 22 ⋅ 38 = 22 ⋅ 38

50. ●●●

Expressa com una sola potència:

b) 34 ⋅ 92

PRIMER. Descomponem les bases de les potències en producte de factors primers: b) 3 = 3 c) −3 = −1 ⋅ 3 a) 8 = 23 16 = 24 9 = 32 18 = 2 ⋅ 32

49. ●●●

Expressa com una sola potència: 5

a) 84 ⋅ 162

SEGON.

c) (−2)6 ⋅ (−2)4 ⋅ (−2) d) (−7)3 ⋅ (−7) ⋅ (−7)6

42. ●

COM RESOLEM PRODUCTES DE POTÈNCIES QUAN LES BASES TENEN FACTORS PRIMERS COMUNS?

Calcula les potències següents: 0

44. ●

g) 54 h) (−6)4

(6 ) : (63)3 (237)2 : (233)4 [(−149)]2 : [(−143)]5 [(−28)]3 : [(−24)]

a) (−2) = 4 b) (−3) = 9

a) b) c) d)

e) 73 f) (−9)2

Expressa com una sola potència: 2 5

Completa:

a) b) c) d)

Calcula les potències següents: 5

(2 ) ⋅ (22)4 (103)3 ⋅ (102)4 [(−35)]3 ⋅ [(−34)]3 [(−102)]2 ⋅ [(−103)]3

47. ●●

a) Base 11 i exponent 4. b) Base −2 i exponent 3. 36. ●●

a) b) c) d)

Expressa com una sola potència: 5 2

51. ●●●

Completa:

a) ( ) = 256 b) ( )5 = 243 4

c) ( )3 = −27 d) ( )7 = −128

830863 _ 0019-0040.qxd

14/12/07

16:06

Página 37

ARREL QUADRADA DE NOMBRES ENTERS

JERARQUIA DE LES OPERACIONS 61. ●●

052. ●

Calcula l’arrel quadrada d’aquests nombres:

a) 64 153. ●●

b) 121

c) 144

d) 196

Completa.

Sense operar, calcula l’arrel quadrada i el 54. ●● residu d’aquests nombres: a) 93 55. ●

b) 59

c) 130

d) 111

Troba el residu en cada cas:

a) Arrel = 12 Radicand = 160

c) Arrel = 30 Radicand = 901

b) Arrel = 23 Radicand = 532

d) Arrel = 32 Radicand = 1.030

56. ●● Sense fer càlculs, senyala les afirmacions que són falses:

Resol les operacions següents:

a) b) c) d) e) f)

(−13) ⋅ (+3) − (−12) ⋅ (+7) (−3) ⋅ (−12) − (−15) ⋅ (−4) (−35) : (−7) + (−54) : (+9) [(−25) + 5 − (−4)] : (−8) [(−16) + (−9) + 5] : (−4) [(−4) + (−3) ⋅ (−6)] : 7

62. ●●

Resol les operacions:

a) b) c) d)

(−11) ⋅ [10 + (−7)] + 36 : [(−1) − (−10)] (−8) ⋅ [5 − (−2)] − 48 : [6 + (−14)] 42 : [(−6) − (−3)] + 28 : [−6 − (−8)] 32 : [(−19) + 3] − 24 : [(−11) − (−5)]

63. ●● a) b) c) d)

Efectua aquestes operacions combinades: (−5)2 ⋅ [3 + 28 : (−4)] (+2)2 ⋅ [−5 ⋅ 2 − 32 : (−8)] (+3)3 : [−5 + (−7) ⋅ (−2)] (−4)3 : [(−15) : 5 − (−45) : (−9)]

64. ●●● Resol les operacions, i considera només el resultat positiu de l’arrel: a)

9 + (−3) ⋅ [12 + (−7)]

81 : 3 + 4 ⋅ [−12 − 2 ⋅ (−3)]

23 = 4 i residu 7

c) 7 ⋅ (5 + 3) − 36 : (−3)

30 = 5 i residu 10

d) −3 − (−4) ⋅ [ 64 − 5 ⋅ (−2)]

45 = 7 i residu 4

60 = 7 i residu 11

80 = 9 i residu 1

85 = 9 i residu 5

b) 12 − 18 : 2 + (−4) ⋅ 121

96 = 9 i residu 15

c) (−5) ⋅ 32 − 49 : [(−5) ⋅ (−2) − 31]

204 = 14 i residu 2

d) (−8)5 : (−8)3 − (−4)2 ⋅ ( 16 − 20)

Escriu tots els nombres enters de dues 57. ●● xifres amb arrel quadrada entera que tingui 2 de residu. Escriu tots els nombres de tres xifres més 58. ●● petits de 500 l’arrel dels quals tingui 10 de residu. L’arrel quadrada entera d’un nombre és 5, 59. ●● i el residu és el màxim possible. Quin és el residu? I quin és el nombre? Troba el nombre més petit que sumat a 265 60. ●●● dóna un quadrat perfecte.

65. ●●● Calcula, i fes servir només el resultat positiu de l’arrel:

e) 66. ●●●

100 : 5 + 33 : (−3)

144 : [7 + (−5)]2 + (−2)3 Troba els errors en aquestes igualtats:

a) (−3) + (−5) − (−8) = −3 − 5 − 8 = = −8 − 8 = −(8 − 8) = 0 b) −9 − (−8) − (−7 − 2) = −9 + 8 + 7 − 2 = = −1 + 7 − 2 = = −6 − 2 = −8 c) 5 − [−6 + 7 − (−2)] = 5 + 6 − 7 + 2 = = 11 − 5 = 6 d) 4 ⋅ (−3) + (−5) ⋅ (−2) = −12 − 10 = −22 e) 4 − 5 ⋅ (−2) = (−1) ⋅ (−2) = 2

830863 _ 0019-0040.qxd

14/12/07

16:06

Página 38

DIVISIBILITAT

PROBLEMES AMB NOMBRES ENTERS

67. ●

83. ●● A les 7 del matí el termòmetre marcava 4 ºC sota zero, i cinc hores més tard marcava 3 ºC sobre zero. Quina és la diferència entre les dues temperatures?

Completa amb múltiples de 12: 12 = {…, −24, , 0, 12, , 36, , 60, …} •

68. ● Troba els múltiples de 7 compresos entre −40 i +40. 69. ● Troba els múltiples de –4 compresos entre −30 i +30. 70. ●

Calcula tots els divisors de:

a) 28 71. ●

b) 54

c) 63

d) 90

Completa els divisors de 42. Div (42) = {±1, ±2, , , , ±14, , }

72. ● Donats els nombres 12, −15, 18, 24, −4, −423, 10, 267, −23, −2, digues quins són múltiples de: b) −2

a) 2

c) 3

d) −3

e) 6

73. ● Escriu els múltiples de –5 compresos entre –30 i 15.

La Maria viu al 3r pis. Baixa 5 plantes 84. ●● per anar al traster i després en puja 7 per visitar el seu amic Enric. A quin pis viu l’Enric? La Sara deixa el cotxe al tercer soterrani 85. ●● i puja 4 plantes fins a casa. A quin pis viu?

a) Quins són múltiples de 7? b) I quins tenen un valor absolut més petit que 15? Digues quins dels nombres següents són 74. ● primers. Raona la resposta. a) 21

b) 19

c) 43

d) 39

75. ● Esbrina si aquests nombres són primers o compostos: 72, −147, −282, 331, −407. 76. ●

Efectua la descomposició factorial de:

a) 3.850

b) −432

c) −561

77. ● Calcula el màxim comú divisor de cada parell de nombres: a) 45 i −27 78. ●●

80. ●

c) −18 i 12

Troba el màxim comú divisor:

a) 6, −8, 12 79. ●●

b) −28 i 21 b) 16, 20, −28

c) 40, −10, 25

Si m.c.d. (x, 12) = 6, troba el valor de x. Calcula el mínim comú múltiple:

a) −12 i 18

b) 15 i −45

c) 27 i −18

81. ●● Troba el mínim comú múltiple dels nombres següents: a) 12, −9, 10

b) −4, 18, 27

FES-HO AIXÍ COM PODEM FORMAR UN QUADRAT AMB UN NOMBRE D’ELEMENTS DETERMINAT?

133. Quin és el quadrat més gran que podem formar amb els 23 alumnes d’una classe? PRIMER. Avaluem si és un quadrat perfecte.

23 no és un quadrat perfecte. SEGON.

En calculem l’arrel entera.

23 = 4 → Residu = 23 − 42 = 7 Podem formar un quadrat amb 4 alumnes a cada costat i sobrarien 7 alumnes.

c) −8, 30, 24

Troba dos nombres que tinguin 6 de m.c.d. 82. ●●● i 36 de m.c.m.

L’Antoni té 123 €. Al final de mes rep 900 € 86. ●● de sou i paga la hipoteca de 546 €. Quants diners li queden finalment?

Quin és el quadrat més gran que podem 87. ●● formar amb 52 segells? Quants en sobren?

830863 _ 0019-0040.qxd

14/12/07

16:06

Página 39

FES-HO AIXÍ COM RESOLEM PROBLEMES MITJANÇANT EL m.c.d. I EL m.c.m.?

88. Resol aquests problemes.

Per una via ferroviària passa un tren amb 91. ●●● direcció a Tarragona cada 30 minuts i un altre amb direcció a Perpinyà cada 18 minuts. Si s’han trobat els dos trens a les 10.00 del matí, calcula a quina hora es tornaran a trobar.

a) Volem tallar en trossos iguals tres cordes de 4, 6 i 9 m, respectivament. Quina longitud tindran els trossos més llargs que podem fer? b) Podem col·locar els llibres d’una prestatgeria en piles de 4, 6 i 9 llibres i no en sobra cap. Com a mínim, quants llibres hi pot haver? PRIMER. Analitzem el problema.

La longitud de cada tros ha de ser un divisor de les longituds de les cordes. I, a més, ha de ser el màxim → PROBLEMA DE m.c.d. b) El nombre total de llibres ha de ser múltiple de 4, 6 i 9. I, a més, ha de ser el mínim → → PROBLEMA DE m.c.m. Efectuem els càlculs. 4 = 22 6=2⋅3 9 = 32 m.c.d. (4, 6, 9) = 1 m.c.m. (4, 6, 9) = 22 ⋅ 32 = 36

SEGON.

a) Els trossos més llargs són d’1 m. b) Com a mínim hi ha 36 llibres. El passadís d’una casa fa 432 cm de llargada 89. ●● i 128 cm d’amplada. Volem posar-hi rajoles quadrades de la mida més gran possible, de manera que no n’haguem de tallar cap. Calcula les dimensions i el nombre de rajoles.

En Josep viatja a Barcelona cada 15 dies 92. ●●● i la seva germana Anna ho fa cada 20 dies. Quan tornaran a coincidir a Barcelona si l’última vegada que ho van fer va ser el 2 d’octubre? En una carretera han posat fanals a tots 93. ●●● dos costats. A un costat els han posat cada 12 metres, i a l’altre, cada 18 metres. Si sabem que el primer fanal de cada costat està situat a la mateixa altura, quina distància hem de recórrer per trobar dos fanals col·locats l’un davant de l’altre?

INVESTIGA 94. ●●● Calcula tots els nombres enters a i b que verifiquen aquestes condicions. Quan no hi hagi cap solució, explica per què passa això, i, si hi ha infinites possibilitats, descriu com són. a) b) c) d) e) f)

⏐a⏐ + ⏐b⏐ = 4 ⏐a + b⏐ = 4 ⏐a⏐ − ⏐b⏐ = 4 ⏐a − b⏐ = 4 ⏐a⏐ ⋅ ⏐b⏐ = 12 ⏐a ⋅ b⏐ = 12

g) h) i) j) k) l)

⏐a⏐ : ⏐b⏐ = 12 ⏐a⏐ : ⏐b⏐ = 1/2

a2 = 64 a2 = −64 a3 = 64 a3 = −64

Si 12 + 22 + 32 + … + 252 = 5.525, digues 95. ●●● quin és el valor de 22 + 42 + 62 + … + 502. Ordena, de més gran a més petit, aquests 96. ●●● nombres: 22.006 − 2 L’Alexandre té unes 150 fotografies. Pot 90. ●● enganxar-les en un àlbum en grups de 8, 9 o 12 fotografies i no n’hi sobra cap. Quantes fotografies té l’Alexandre?

22.008

22.005 + 2.007

22.006 + 2

Expressa com una potència de base 2 la suma dels dos nombres centrals. Si m i n són nombres enters positius, quin 97. ●●● és el valor més petit de m perquè 2.940 ⋅ m = n 2 ?

830863 _ 0019-0040.qxd

14/12/07

16:06

Página 40

En un pou miner hi ha hagut un 98. ●●● esfondrament. De seguida s’han executat les mesures d’emergència i s’ha format un equip de salvament.

99. ●●● La lesió de turmell d’en Miquel no li impedeix anar a fer la compra setmanal. En Miquel visita periòdicament les pàgines d’Internet de dos supermercats, i després en compara els preus. Ha confeccionat una taula amb la diferència de preus dels productes que necessita dels dos supermercats, Super1 i Super2. Article

Dels 32 miners que quedaven a l’interior de la mina quan es va produir l’esfondrament, tan sols dos continuen atrapats. L’esfondrament s’ha produït a la galeria 14. Pensem que és on han quedat els dos miners.

L’estructura d’aquesta mina subterrània de carbó està formada per galeries horitzontals. A més, la distància vertical entre dues galeries és de 10 m, i l’altura és de 2 m. Els equips de salvament són a les galeries 18 i 11.

Al Super1 és…

Pot de tomàquet fregit Ampolla d’oli Ampolla de refresc Ampolla de suc Paquet de galetes Enciam Quilo de tomàquets Barra de pa Quilo d’arròs

6 ct. més barat 72 ct. més cara 9 ct. més barata 23 ct. més barata 8 ct. més car 2 ct. més car 12 ct. més barat 3 ct. més cara 16 ct. més barat

A quin supermercat és més barat comprar? Quants diners s’estalviarà? 100. ●●● L’any passat van ingressar membres nous en una banda de cornetes i tambors. A l’hora de desfilar, els membres de la banda sempre han marxat en fileres de quatre.

El problema és que aquest any no poden marxar en fileres de quatre, perquè l’última filera no queda completa. Tampoc no poden fer-ho amb tres d’amplada, perquè en aquest cas hi ha tres fileres més.

Per arribar fins a la galeria on són els miners atrapats, cal perforar. Segons els tècnics, tan sols es pot perforar 1 m cada 12 minuts quan es baixa i 1 m cada 9 minuts quan es puja. Quin grup arribarà el primer? Quant temps trigarà?

I si marxen amb amplada de dos, l’última filera tampoc no queda completa, tot i que hi hauria vuit fileres més que si marxessin en fileres de quatre. Quants membres componen la banda?

tema 2 Fraccions

Grup Promotor Santillana

830863 _ 0041-0058.qxd

14/12/07

16:11

Página 52

FRACCIONS

FRACCIONS EQUIVALENTS FES-HO AIXÍ

COM PODEM EXPRESSAR UNA SITUACIÓ MITJANÇANT UNA FRACCIÓ? 0. Expressa-ho mitjançant una fracció: a) Només queda una tercera part del combustible al dipòsit de l’automòbil. b) He recorregut 400 km i falten 250 km per arribar a la meva destinació. PRIMER. Si la fracció està expressada a l’enunciat

(la meitat, la tercera part, un quart...), cal traduir-ho al llenguatge numèric. 1 a) Una tercera part → 3 Si no hi està expressada, el numerador de la fracció serà la part (consum, despesa...), i el denominador, el total. b) He recorregut 400 km. Falten 250 km ⎫⎪→ 400 = 8 ⎬ Total del viatge: 400 + 250 = 650 km ⎭⎪⎪ 650 13

SEGON.

1. ●● Expressa aquestes situacions mitjançant fraccions. Troba les que siguin equivalents. a) En Lluís s’ha menjat 3 bombons d’una capsa que contenia 12 bombons. b) La Maria ha esperat un quart d’hora. c) Tres de cada nou nens tenen una mascota. d) El llibre d’en Joan té 15 capítols, de 10 pàgines cadascun, i ell n’ha llegit 100 pàgines. e) En Ricard dorm sis hores diàries. f) El vaixell ha efectuat dues terceres parts del trajecte. g) He begut mitja llauna de refresc. h) He pagat dues de les cinc lletres del cotxe. i) Estalvio la meitat de la meva paga setmanal. 2. ●● Quina fracció del dia representen 22 minuts? És una fracció irreductible? Raona la teva resposta. 3. ●● Quina fracció de la setmana representen 2 dies? I quina fracció del mes representen 9 dies? Són fraccions irreductibles? Raona la teva resposta. 4. ●● Quina fracció de l’any representen 3 mesos? I quina fracció de l’any representen 2.160 hores? Són equivalents? Raona la teva resposta.

5. ● Digues si els parells de fraccions següents són equivalents: 6 36 i 8 48 15 60 b) i 12 48

5 15 i 4 8 8 24 d) i 5 10

9 72 i 13 104 72 123 f) i 25 115

6. ● Calcula quatre fraccions equivalents a cadascuna d’aquestes: a)

2 7

1 5

11 6

13 2

7. ● Comprova si són fraccions equivalents: 6 , 5 1 b) , 5

24 20 3 15 9 i c) 3, 3 a)

−12 10 2 i 10 24 8

4 7 28 7 , , i 7 4 4 28 −1 2 3 −4 , , e) i 2 −4 −6 8 −6 −42 −9 , f) −3, i 3 2 −14

8. ●● Calcula el nombre que falta perquè les fraccions siguin equivalents: a) b)

8 2 = 12 8 = d) 9 18

9 3

4 = 5 10

9. ● Calcula’n la fracció irreductible: a)

75 30

182 48

121 11

10. ●● Completa les fraccions perquè siguin irreductibles: a)

4 3

c) d)

−6

11. ●● Contesta raonadament aquestes qüestions: 2 a) Hi ha cap fracció equivalent a que sigui 5 irreductible? 2 b) Hi ha cap fracció equivalent a que tingui 5 com a denominador 12? 2 c) Hi ha cap fracció equivalent a que tingui 5 com a numerador −10?

830863 _ 0041-0058.qxd

14/12/07

16:11

Página 53

COMPARACIÓ DE FRACCIONS 12. ● Ordena aquestes fraccions de més gran a més petita: 7 4 9 a) , , 3 3 3 5 4 7 , , b) 12 12 12

7 11 c) 1, , 6 6 4 4 ,1 d) , 3 11

13. ● Completa la taula:

⎛7 4⎞ ⎛6 2⎞ b) ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ + ⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟ ⎝3 5⎠ ⎝5 7⎠ ⎡4 ⎛1 2⎞ 1⎤ c) 2 − ⎢⎢ − ⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟ − ⎥⎥ 5⎠ 3⎦ ⎣3 ⎝2 ⎛5 1 ⎞ ⎛ −1 2 1⎞ + − ⎟⎟⎟ d) ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ + ⎜⎜⎜ ⎝4 5⎠ ⎝ 3 5 4⎠

de Ordenades r jo ma a r no me

Reduïdes a comú denominador

Fraccions

18. ●● Fes les operacions següents: ⎛1 3⎞ ⎛4 7⎞ a) ⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟ − ⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟ ⎝2 6⎠ ⎝5 3⎠

FES-HO AIXÍ COM EFECTUEM LES OPERACIONS DE SUMA I RESTA AMB FRACCIONS NEGATIVES? 19. Calcula:

9 ⎛⎜ 5 ⎞⎟ ⎛⎜ 4 ⎞⎟ + ⎜− ⎟ − ⎜− ⎟. 2 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 ⎟⎠

PRIMER. Eliminem els parèntesis. −⋅−=+ F

9 ⎛⎜ 5 ⎞⎟ ⎛⎜ 4 ⎞⎟ 9 5 4 + ⎜− ⎟⎟ − ⎜− ⎟⎟ = − + ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 2 ⎝ 4⎠ ⎝ 5⎠ 2 4 5 +⋅−=−

14. ● Ordena de més petita a més gran: 1 , 3 2 b) , 5 a)

4 , 6 1 , 6

7 18 3 2

9 , 2 7 d) , 6

3 , 4 2 , 3

7 12 1 7 , 18 2

Operem amb les fraccions resultants. m.c.m. (2, 4, 5) = 22 ⋅ 5 = 20 9 5 4 90 25 16 − + = − + = 2 4 5 20 20 20 90 − 25 + 16 81 = = 20 20

SEGON.

15. ● Ordena de més gran a més petita: a)

2 −1 4 −1 5 , , , , 5 3 9 4 2

3 1 −3 −9 , , , 5 3 8 4

OPERACIONS AMB FRACCIONS 16. ● Calcula: 3 1 5 + + 2 4 8 5 1 3 1 b) − + − 3 6 2 8 a)

4 1 7 + + 6 4 3 5 1 7 d) + − 2 3 6 c)

17. ● Efectua aquestes operacions: a) 1 +

3 4

11 −2 3 15 −7 c) 2 b)

4 3 4 e) 9 − 7 2 f) 3 − 5 d) 7 +

20. ●● Fes aquestes operacions: 4 9 ⎛ 2 ⎞⎟ b) 8 − ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎝ 5⎠

a) −3 +

21. ●● Opera: ⎛ 4⎞ 1 a) − 2 − ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎝ 9 ⎟⎠ 3 b)

1 1 − 3 6 1 1 h) + 5 − 4 3 1 5 i) 7 − + 4 2 g) 9 +

5 ⎛⎜ 3⎞ − ⎜−2 + ⎟⎟⎟ ⎜ 2 ⎝ 5 ⎟⎠

−3 + (−8) 7 5 d) − (−7) 4

−4 + (−6) 3 ⎛ −3 ⎞⎟ ⎟− 2 f) −⎜⎜⎜ ⎝ 4 ⎟⎠

⎛2 1⎞ c) 4 − ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ⎝3 4 ⎟⎠ ⎛ 3 1⎞ d) −7 + ⎜⎜⎜− + ⎟⎟⎟ ⎝ 2 7 ⎟⎠

22. ● Efectua les multiplicacions següents: 9 1 2 a) ⋅ c) 3 ⋅ 6 2 3 3 10 7 7 12 b) ⋅ d) ⋅ ⋅ 5 2 2 4 21

830863 _ 0041-0058.qxd

14/12/07

16:11

Página 54

23. ● Calcula aquestes divisions:

28. ● Calcula:

12 4 : 7 14 6 d) 3 : 4

2 4 : 3 5 9 4 b) : 2 6

3 de 60 4 2 b) de 23 3 7 c) de 27 3

3 de 90 8 1 e) de 78 3 4 f) de 29 7

FES-HO AIXÍ

2 de 10 5 1 h) de 70 5 8 i) de 9 2

COM EFECTUEM LES OPERACIONS DE MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ AMB FRACCIONS

OPERACIONS COMBINADES

NEGATIVES?

29. ●●

24. Calcula: ⎛ 2⎞ 1 a) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ ⎝ 3⎠ 4

b) −

3 5

⎛ 6⎞ : ⎜⎜− ⎟⎟ ⎜⎝ 7 ⎟⎠

PRIMER. Efectuem l’operació prescindint del signe,

5 1 ⋅ −2 6 3

c) 4 −

7 4 −3⋅ 2 5

i simplifiquem el resultat, si podem. 2 1 2⋅1 2 1 ⋅ = = = 3 4 3⋅4 12 6 3 6 3 7 3⋅7 21 7 = = b) : = ⋅ = 5 7 5 6 5⋅6 30 10 SEGON. Apliquem la regla dels signes.

⎛ 2⎞ 1 1 a) ⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ = − ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 4 6 3 5

25. ● ●

1 2 −3 ⎛⎜ 5 ⎞⎟ ⋅ ⎜− ⎟⎟ c) 5 ⎜⎝ 9 ⎠

b) −5 :

⎛ 2⎞ : ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎝ 4⎠

−6 3 ⋅ 5 10

1 2

5 ⋅ (−2) 2

−1 : (−6) 4

−3 8

⎛ 3 ⎞⎟ ⎟ : ⎜⎜⎜ ⎝ −4 ⎟⎠

i) −

9 4

26. ● ● Completa les expressions perquè es compleixin aquestes operacions: a)

⋅

4 4 = 9 3

⋅

4 20 = 9 9

3 3

27. ● Fes les operacions: ⎛2 7⎞ 1 a) ⎜⎜⎜ : ⎟⎟⎟ ⋅ ⎝3 4⎠ 5 ⎛ 10 5 ⎞⎟ : ⎟⋅ 4 b) ⎜⎜⎜ ⎝ 3 6 ⎟⎠

5 1 −3⋅ 2 4

⎛5 1⎞ ⎛ 1 1⎞ c) ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ⎜ ⎜⎝ 2 ⎟ 7⎠ ⎝3 6 ⎟⎠ ⎛4 3⎞ ⎛ 1 1⎞ + ⎟⎟⎟ d) ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎜ ⎜⎝ 5 ⎟ 4 ⎠ ⎝ 10 4 ⎟⎠

31. ●● Fes aquestes operacions, i indica els passos que has anat seguint: 3 ⎛⎜ 1 2⎞ 5 2 ⎛7 1⎞ ⋅ ⎜ − ⎟⎟⎟ − 1 a) c) − ⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ 8 ⎝⎜ 2 5 ⎠⎟ 3 5 ⎝⎜ 2 3 ⎠⎟

⎛ 6⎞ 7 : ⎜⎜− ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ 7 ⎟⎠ 10

Calcula: 4 ⎛⎜ −3 ⎞⎟ ⎟⎟ :⎜ a) 7 ⎜⎝ 14 ⎠

4 10 ⎛⎜ −3 ⎞⎟ ⎟ ⋅ +⎜ ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ 5 8 7 ⎛⎜ −12 ⎞⎟ ⎛⎜ −3 ⎞⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ + ⎜ ⋅⎜ f) 9 ⎝⎜ 5 ⎠⎟ ⎜⎝ 4 ⎟⎠

3 7 ⋅ 2 9

30. ●● Calcula: ⎛3 1⎞ ⎛ 1 6⎞ a) ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ⎜ ⎜⎝ 4 ⎟ 6⎠ ⎝4 8 ⎟⎠ ⎛1 2 ⎞⎟ ⎛⎜ 1 1⎞ ⎟⎟ ⋅ ⎜ − ⎟⎟⎟ b) ⎜⎜ + ⎜ ⎜⎝ 5 ⎟ 15 ⎠ ⎝ 3 10 ⎟⎠

b) −

Efectua les operacions:

81 6

5 10 = 9 9

8 27 = 9 16

⎛ 2 −3 ⎞⎟ ⎟ : ⎜⎜⎜ ⋅ ⎝ 4 5 ⎟⎠ ⎛8 4⎞ d) 9 : ⎜⎜⎜ : ⎟⎟⎟ ⎝3 9⎠ c)

1 7

⎛ 21 ⎞ : ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎝ 2⎠

3 1 2 ⋅ − −1 8 2 5

⎛5 2⎞ 7 1 d) ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ⋅ − ⎜⎝ 3 ⎟ 5⎠ 2 3

32. ●● Efectua les operacions següents: ⎡⎛ 7 ⎞ 4 ⎤ 5 5 ⎛2 7⎞ 1 a) − ⎜⎜ ⋅ ⎟⎟⎟ − c) ⎢⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⋅ − 2⎥ ⋅ ⎢⎜⎝ 3 ⎟⎠ 5 ⎥ 3 3 ⎜⎝ 5 2 ⎟⎠ 3 ⎣ ⎦ ⎞ ⎞ ⎛2 ⎛ 4 ⎜7 3 7 − ⎜ ⋅ 5 − 9⎟⎟⎟ b) ⎜⎜ ⋅ 5 − ⎟⎟⎟ ⋅ d) −3 ⋅ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 15 ⎜⎝ 8 4 ⎟⎠ 2 33. ●● Calcula: ⎛3 1 1 ⎞⎟ 3 6 ⎟⎟ ⋅ 5 − ⋅ a) ⎜⎜ − + ⎜⎝ 2 5 10 ⎟⎠ 4 5 ⎡⎛ 3 1⎞ 1 ⎤⎥ 3 6 ⋅ − b) ⎢⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ⋅ 5 − ⎢⎝⎜ 2 ⎥ 4 ⎟ ⎠ 5 10 5 ⎣ ⎦ 3 1 ⎛1 1⎞ c) 1 − ⋅ 4 − ⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ 2 3 ⎜⎝ 5 10 ⎟⎠ ⎡3 1 ⎛2 1 ⎞⎤ d) 1 − ⎢ ⋅ 5 − ⋅ ⎜⎜ + ⎟⎟⎟⎥ ⎜ ⎢2 2 ⎝3 9 ⎟⎠⎥⎦ ⎣ ⎞ 5⎤ 8 ⎡⎢ ⎛⎜ 1 − 2 : ⎜ − 1⎟⎟⎟ − ⎥ e) ⎜ ⎢ ⎟⎠ 2 ⎥ 3 ⎣ ⎝3 ⎦

830863 _ 0041-0058.qxd

14/12/07

16:11

Página 55

FES-HO AIXÍ COM OPEREM AMB UNA FRACCIÓ QUE TÉ UNA ALTRA FRACCIÓ AL DENOMINADOR? 34. Calcula: 3

b) 2 −

2 1+ 5

7 3− 4

Dividim el numerador entre la fracció que en resulta.

b) 2 −

2 5

7 15 3 =3: = 7 5 7 5

1 1−

b) 4 −

2+ 7

3 2+ 5

⎛ 1 ⎞7 c) ⎜⎜− ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠

d) −3 +

16 25

81 49

49 144

25 36

121 441

64 16

⎛ 5 ⎞a 125 a) ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 64 a ⎛ 5⎞ 125 b) ⎜⎜− ⎟⎟⎟ = − ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 64

1 5 2

8 3

POTÈNCIA I ARREL QUADRADA D’UNA FRACCIÓ 36. ● Escriu en forma de potència aquests productes i calcula’n el resultat:

⎛ 3 ⎞a 9 c) ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 16 a ⎛ 3⎞ 9 d) ⎜⎜− ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 16

41. ●●● Indica si són certes les igualtats següents: ⎛ 5⎞ 25 a) ⎜⎜− ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 3 4 ⎛ −3 ⎞⎟ ⎟ = 81 b) ⎜⎜ ⎜⎝ −3 ⎟⎟⎠

c) 1−

3 4

⎛ 2 ⎞4 b) ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎠

40. ●● Determina el valor de a en aquestes igualtats:

⎛ 5⎞ 3 = 2− = 2 − ⎜⎜3 : ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 5 7 3− 4 4 12 10 12 2 = 2− = − =− 5 5 5 5 3

35. ●●● Efectua les operacions següents: a)

4 3 2 ⋅ ⋅ 7 7 7

⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ 2 e) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⎝ 7⎠ ⎝ 7⎠ 7 ⎛ 2⎞ 2 2 f) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ ⎝ 7⎠ 7 7

39. ●● Calcula:

SEGON.

⎛ 10 ⎞2 a) ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎠

2 5 2 7 a) 1 + = + = 5 5 5 5 7 12 7 5 − = b) 3 − = 4 4 4 4

4 4 4 4 ⋅ ⋅ ⋅ 9 8 7 6

38. ● Expressa en forma de producte i troba el resultat de les potències següents:

al denominador.

b) 3

PRIMER. Resolem l’operació que hi ha

37. ●● Escriu en forma de potència, si és possible: ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ 8 8 8 8 8 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a) d) ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟ ⎝ 7⎠ ⎝ 7⎠ ⎝ 7⎠ 11 11 11 11 11

⎛ 7 ⎞3 −343 c) −⎜⎜− ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 8

⎛ 2⎞ (−2)5 = ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ 5 ⎝ 7⎠ 7 4 ⎛ 2 ⎞⎟ (−2)4 ⎜ e) = ⎜⎜− ⎟⎟ ⎝ 7⎠ 74 5

⎛2⎞ (−2)4 = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ 4 ⎝7⎠ 7

PROBLEMES AMB FRACCIONS 4 El Cesc ha regat de la gespa, i la Raquel, 5 4 els restants. Qui dels dos ha regat 12 una zona més gran de gespa?

42. ●●

43. ●● Un llibre es fa amb la col·laboració de 1 18 persones, de les quals correspon a autors, 3 1 1 2 a secretàries, a maquetistes, a dibuixants 9 6 6 i la resta a personal d’impremta. Calcula el nombre de col·laboradors de cada classe.

830863 _ 0041-0058.qxd

14/12/07

16:11

Página 56

44. ●● En una escola hi ha 1.095 alumnes que fan 1 2 activitats extraescolars: fan judo, estudien 3 5 italià i la resta fan ballet. Quants alumnes fan cada activitat? 45. ●● Un camió transporta 15 tones de fruita; 1 són taronges, 5 2 són pomes 3 i la resta són peres. Quantes tones de cada fruita transporta el camió?

3 49. ●● D’una classe de 24 alumnes, els han passat 8 la grip. Quina fracció d’alumnes no han estat malalts? Quants alumnes són?

FES-HO AIXÍ COM CALCULEM EL TOTAL SI CONEIXEM UNA DE LES PARTS? 3 50. He recorregut 900 metres, que suposen els 7 de l’itinerari. Quina és la longitud total? PRIMER. Calculem quants metres representa una part.

FES-HO AIXÍ COM ES CALCULA UNA PART D’UN TOTAL? 46. En un festa es van posar 16 bombetes de colors. Quan es va acabar només en funcionaven un quart. Quantes bombetes es van fondre? PRIMER. Calculem la fracció de bombetes foses.

1−

1 1 1 4 1 3 = − = − = 4 1 4 4 4 4

3 de les bombetes van acabar foses. 4 SEGON. Determinem el nombre que representa la fracció.

Els

3 3 ⋅ 16 48 = = 12 bombetes de 16 = 4 4 4 Es van fondre 12 bombetes.

3 1 són 900 m → són 900 : 3 = 300 m 7 7

Determinem el total de l’itinerari. Si una de les 7 parts és 300 m, les 7 parts són: 300 ⋅ 7 = 2.100 m

SEGON.

51. ●● Si tres quarts de quilo de pernil costen 15 €, quant val un quilo i mig? 52. ●● Segons una enquesta, les famílies catalanes 1 dediquen de la seva renda a l’adquisició d’un 3 habitatge, o sigui, destinen una mitjana d’11.000 € anuals a aquest concepte. Quina és la renda mitjana mensual d’una família catalana?

FES-HO AIXÍ 3 47. ●● Dels 30 alumnes d’una classe, són noies. 5 Quants nois hi ha?

COM CALCULEM UNA FRACCIÓ D’UNA ALTRA FRACCIÓ?

4 48. ●● D’una taronja s’aprofiten les parts 9 per fer suc i la resta és pell.

53. Els tres cinquens dels animals d’un parc natural són mamífers, i d’aquests mamífers, els cinc sisens són carnívors. Quina fracció del total d’animals representen els mamífers carnívors? PRIMER. Representem gràficament la situació.

Si fem servir 27 kg de taronges, quina quantitat de suc obtindrem? I de pell?

830863 _ 0041-0058.qxd

2/1/08

17:55

Página 57

La figura queda dividida en 30 parts, de les quals n’agafem 15. Calculem la fracció del total. 3 5 15 1 ⋅ = = 5 6 30 2 Els mamífers carnívors representen la meitat dels animals del parc natural.

SEGON.

54. ●● Un forner aparta cada setmana, per 1 al consum de la seva família, de les barres 100 de pa que fabrica. Si ven 3.415 barres i regala 1 el que li sobra, del total de barres, quantes 70 barres de pa elabora?

Quan el denominador no cabia tot sencer sota el signe de la «boca», escrivien l’excedent al costat. 1 Així, l’última fracció correspon a . 267 Per a les fraccions més grans que la unitat, primer es converteix en nombre mixt i així queda una fracció més petita que la unitat. No hi ha una única manera de convertir una fracció en fraccions egípcies. Un dels mètodes és el següent: p Conversió de la fracció (p < q) en fraccions q egípcies. 1. Es fa la divisió entera entre q i p: q = d ⋅ p + r a) Si r = 0 → el numerador ja era la unitat o el denominador és múltiple del numerador i, per tant, ja és una fracció unitària. El denominador de la fracció egípcia és el quocient d i s’acaba el procés. b) Si r > 0 → el denominador de la fracció egípcia és el quocient d + 1 2. Es calcula la resta entre la primera fracció i l’obtinguda d’aquesta manera:

55. ●●● En Lluís, en Pere i l’Antoni van reunir les quantitats de diners que les seves famílies els van 6 regalar per Nadal. En Lluís va rebre de 100 €, 8 7 3 en Pere va rebre de 100 €, i l’Antoni va rebre 8 8 de 100 €. Quants diners van aconseguir tots tres junts?

INVESTIGA 2 56. ●●● Escriu una fracció que sigui més gran que 5 3 i més petita que . Podries escriure dues 5 fraccions? I tres? Raona quantes fraccions pots escriure entre elles. 57. ●●● Els egipcis, per expressar les fraccions de número, se servien del jeroglífic de la boca. Així, les tres primeres fraccions:

corresponen a les següents:

1 1 1 , , . 9 23 200

p' p 1 = − q' q d +1 i es torna a repetir el procés 1 fins que s’acaba el procés (1.a). PER EXEMPLE Converteix la fracció

47 en fraccions egípcies. 60

1. Fem la divisió: 60 = 47 ⋅ 1 + 13 → d = 1 → 47 1 = → 1r denominador: 2 → + r' 60 2 47 1 17 − = 2. Fem la resta: r' = 60 2 60 3. (1') Tornem a dividir: 60 = 17 ⋅ 3 + 6 → d = 3 → 17 1 = → 2n denominador 4 → + r" 60 4 4. (2') Fem la resta: r" =

17 1 2 − = 60 4 60

5. (1") Tornem a dividir: 60 = 2 ⋅ 30 + 0 (r = 0) 47 1 1 1 = + + i, per tant, 60 2 40 30 7 3 Descompon les fraccions següents: i . 43 25

830863 _ 0041-0058.qxd

14/12/07

16:11

Página 58

58. ●●● En Sergi treballa en un supermercat i és qui s’encarrega de preparar les comandes que es lliuren a domicili. Totes les comandes figuren en un panell, i en Sergi és l’encarregat de fer un paquet amb els productes de cada comanda.

COMANDA 1 5 pots de tomàquet de 1/2 kg. 2 kg de filets de vedella. 1 kg i mig de costelles de be. Tres quarts de carn picada. Un quart de pernil serrà.

COMANDA 3 1 kg de filets de pollastre. 1 kg i 1/2 de lluç. Tres quarts de bolets. 1 kg i quart de carn adobada.

COMANDA 5 1 kg de filets de vedella. 1 kg i mig de salsitxes. 375 g de gambes. Tres quarts de carn per cuinar.

COMANDA 2 Mig quilo de formatge. Tres quarts de sardines. 1 kg i quart de cloïsses. 3 kg i 1/2 de llom de porc. 375 g de fetget. Tres quarts de cansalada. 2 capses de galetes de 1/2 kg.

COMANDA 4 2 kg i quart de tripes. 5 kg de patates. 1 kg i 1/2 de taronges.

COMANDA 6 1 kg i 3/4 de llom de porc. 3 kg i mig de peres. 1/2 kg de cireres.

59. ●●● Els ordinadors ens permeten escriure textos fent servir el tipus i la mida de lletra que ens interessi en cada moment. La mida de les lletres es mesura en punts. 3 Un punt equival a 8 de mil·límetre. Segons les regles d’edició, l’interlineat (distància entre dues línies de text) ha de ser 2 punts més gran que la mida de les lletres, tret que correspongui a un punt i a part; en aquest cas ha de ser mig cícero més gran (un cícero equival a 12 punts). Un full A4 fa 297 mil·límetres, i s’acostuma a deixar un marge superior de 3 centímetres i de 2,5 cm a la part inferior.

Després de fer els paquets, un per a cada comanda, els posa en contenidors, de manera que el pes dels paquets que introdueix a cada contenidor no superi els 12 kg. Per fer l’entrega a domicili disposen d’una moto, que només pot transportar un contenidor, i d’un cotxe, que per limitacions d’espai, pot portar fins a 4 contenidors. Organitza els contenidors de tal manera que es trigui com menys millor en el repartiment. Recorda que la moto, per qüestió d’aparcament, triga la meitat de temps que el cotxe en el repartiment...

Com ho hauria de fer en Sergi?

Si tenim un text de 6 paràgrafs (té cinc punts i a part) i 56 línies, quin seria el cos de lletra més gran que hi podríem aplicar per utilitzar només una plana? 60. ●●● Aquestes són les vidrieres que s’han dissenyat per al nou Palau de Congressos. Tenen forma de triangle equilàter, que, alhora, es divideix en altres triangles equilàters. Si la superfície de cada vidriera és d’1 m2, calcula la superfície de vidre blau, vermell verd, groc, marró i taronja que hem de menester per a les 22 vidrieres.

tema 3 Nombres decimals

Grup Promotor Santillana

830863 _ 0059-0076.qxd

17/12/07

16:07

Página 70

NOMBRES DECIMALS

CLASSES DE NOMBRES DECIMALS

1. ● Expressa numèricament les quantitats següents:

6. ● Assenyala el període i l’anteperíode d’aquests nombres periòdics:

a) b) c) d) e) f)

Quatre centèsims. Sis dècims. Tretze mil·lèsims. Cent vuit unitats quatre mil·lèsims. Mil una unitats set deumil·lèsims. Catorze unitats dos centèsims.

2. ● Escriu com es llegeixen aquests nombres: a) b) c) d)

3,24 49,3 0,001 1,03

e) f) g) h)

102,04 1.800,556 2,00005 25,5759

7. ● Sense fer la divisió, indica quines fraccions corresponen a decimals exactes i quines no:

3. ● Completa aquesta taula de descomposició de nombres en els seus components: Nombre

12,59

385,075 0

0,0023

3 8 7 b) 9

105,426 2,359

Completa: Dues unitats són mil·lèsims. Un dècim són centèsims. Tres unitats i dos dècims són mil·lèsims Vint mil·lèsims són centèsims.

5. ●● Indica si les expressions següents són verdaderes o falses: a) 1,05 unitats equivalen a cent cinc centèsims. b) Quatre unitats i tres dècims són quatre unitats i trenta centèsims. c) Entre 2,452 i 2,453 no hi ha cap nombre. d) 3,005 és més gran que 3,05. e) Tres unitats amb dos dècims equivalen a trenta-dos mil mil·lèsims

8 21 17 f) 40

12 13 23 h) 18

8. ● Digues a quina classe de nombres decimals correspon l’expressió decimal d’aquestes fraccions: 39 70 78 b) 39 9. ●

a) b) c) d)

39 8 39 d) 40

a) 0

4. ●

11 6 2 d) 25

39 125 39 f) 180

39 60 117 h) 39

Indica quins nombres són enters i quins no:

a) 15,02 b) 25,00 95 c) 2

d) 50,003 e) 0,005 15 f) 5

g) 0,5 h) 42,02 100 i) 4

10. ● Efectua la divisió i identifica el resultat com a nombres periòdics purs o periòdics mixtos, i indica’n la part entera i el període: 2 9 8 b) 11

11. ●●

26 180 29 d) 900

1 198 100 f) 36

Escriu tres fraccions que donin lloc a:

a) Nombres enters. b) Nombres decimals exactes. c) Nombres decimals periòdics.

830863 _ 0059-0076.qxd

17/12/07

16:07

Página 71

12. ●● Indica quins dels nombres decimals següents són no exactes i no periòdics: a) b) c) d)

2,3333… 2,353355333555… 2,35555… 2,333

e) f) g) h)

2,355355355… 2,535535535… 2,353553555… 2,353553555

13. ●● Escriu els nombres decimals amb aquestes característiques i digues a quina classe corresponen: a) b) c) d)

Part entera 26 i període 5. Part entera 8 i període 96. Part entera 5 i part decimal 209. Part entera 0, part decimal no periòdica 4 i període 387. e) Part entera 1, part decimal no periòdica 0 i període 3.

COMPARACIÓ DE NOMBRES DECIMALS 17. ● Ordena els següents nombres decimals exactes de més petit a més gran: a) 0,75; 0,57; 0,507; 0,705 b) 0,102; 0,05; 0,105; 0,501; 0,251 18. ●

Completa amb un nombre decimal exacte:

a) 14,065 > > 13,95 b) 14,065 > > 14,06 19. ●

Escriu tres decimals entre cada parell:

a) 2,3 i 3,6 b) 2,3 i 2,4

; 0,025 ; 0,25 ; 0,205; 0,205 0,25

COM EXPRESSEM UN NOMBRE DECIMAL EXACTE EN FORMA DE FRACCIÓ? 14. Expressa en forma de fracció. a) 3,87 b) 0,0556 b) 0,0556 → 4 decimals

SEGON. Expressem el nombre com una

fracció en què: • El numerador és el nombre sense la coma decimal. • El denominador és la unitat seguida de tants zeros com xifres decimals tingui. 387 556 139 = a) 3,87 = b) 0,0556 = 10.000 2.500 100 15. ●● Escriu en forma de fracció aquests nombres decimals exactes. Si és possible, simplifica el resultat. 25,78 0,257 27,73 1.520,3 25,793

f) g) h) i) j)

39,75 3,697 375,8 97,95 150,2

16. ●●● En cadascun d’aquests nombres decimals, quina xifra ocupa el lloc 13 de la part decimal? a) 4,2345 b) 3,653

FES-HO AIXÍ COM DETERMINEN UN NOMBRE DECIMAL PERIÒDIC COMPRÈS ENTRE UNS ALTRES DOS?

PRIMER. Determinem el nombre de decimals.

a) b) c) d) e)

c) 2,31 i 2,32 d) 2,31 i 2,311

20. ●● Ordena de més petit a més gran aquests nombres:

FES-HO AIXÍ

a) 3,87 → 2 decimals

c) 14,065 > > 14,061 d) 14,065 > > 14,0651

c) 5,25 d) 93,2456

21. Determina un nombre decimal periòdic comprès entre: a) 5,7 i 5,8

b) 3,45 i 3,46

PRIMER. Escrivim els nombres amb la mateixa quantitat de decimals.

→ 5,777 a) 5,7 ⎯ 5,8 ⎯ → 5,888

b) 3,45 → 3,455 3,46 → 3,466

Afegim al nombre més petit més xifres decimals que siguin més grans que l’últim decimal. Aquestes xifres i el període formen el període nou.

SEGON.

< 5,780 < 5,781 < 5,782 < 5,783 < … < 5,8 a) 5,7 b) 3,45 < 3,456 < 3,457 < 3,458 < … < 3,46

22. ●●

Completa amb un nombre decimal periòdic pur:

< < 4,376 a) 4,375 b) 1,25 < < 1,26

c) 5,6 < < 5,7 d) 0,06 < < 0,07

23. ●● Completa amb un nombre decimal periòdic mixt: < < 2,376 a) 2,375 b) 0,12 < < 1,13

c) 6,3283 < < 6,3283 d) 0,061 < < 0,062

24. ●●● Hi ha un nombre decimal exacte, un altre de i 7,4596 ? periòdic pur i un altre de mixt entre7,4595

830863 _ 0059-0076.qxd

17/12/07

16:07

Página 72

29. ●

OPERACIONS AMB NOMBRES DECIMALS

a) b) c) d)

25. ● Completa la taula següent: +

1,7

0,5

4,25

3,15

0,7

0,65

2,4

30. ●

3,5

a) b) c) d)

4,9 0,75 5,25 3,84

Calcula: (21,5 + 7,96) − (14,3 + 2,857) (52,89 − 26,14) − (3,25 − 1,0002) (62,36 + 39,485) + (15,942 − 6,7) (100,9 − 9,99) − (70,7 + 5,006) Calcula:

a) 49,5 : 8 b) 148,725 : 3 c) 4.536,65 : 4

7,44 6,5

Efectua aquestes operacions:

a) b) c) d) e) f) g) h)

COM RESOLEM OPERACIONS COMBINADES AMB NOMBRES DECIMALS? 32. Calcula: 4,56 : 2 + 3 ⋅ (7,92 − 5,65). PRIMER. Efectuem les operacions entre parèntesis.

4,56 : 2 + 3 ⋅ (7,92 − 5,65) = 4,56 : 2 + 3 ⋅ 2,27 Resolem les multiplicacions i les divisions d’esquerra a dreta i, al final, les sumes i les restes en el mateix ordre. 4,56 : 2 + 3 ⋅ 2,27 = 2,28 + 6,81 = 9,09

SEGON.

Completa la taula següent: ×

0,2

2,5

0,3

1,4

100

Donats els nombres decimals: a = 35,49 b = 67,50 c = 15,75 calcula.

0,2 2,2

a) b) c) d)

3,6 4,25 0,3 0,25

1,1

Efectua aquestes operacions: 3,75 ⋅ 3 −15,02 ⋅ 5 (−3) ⋅ 0,02 7 ⋅ (−6,46) 4,2 ⋅ 3,6

b−a a+c a−c b−c

34. ●●

0,75

a) b) c) d) e)

0,1

33. ●●

100

28. ●

d) 57,3 : 7,2 e) 158 : 6,3 f) 9.437,02 : 3,125

FES-HO AIXÍ

4,5 + 6,7 7,05 + 8,19 9,06 + 1,7 152,3 + 4,938 27,92 − 8,03 359,157 − 148,049 0,03 − 0,003 10,45 − 7,6923

27. ●

(4,2 + 7,98) − 5,32 (11,95 − 6,792) − 0,04 (263,45 − 193,3) + 10,7629 7,005 − (96,82 + 13,99)

31. ●

8,23

26. ●

Fes aquestes operacions:

f) g) h) i) j)

7,25 ⋅ (−3,9) 82,9 ⋅ (−2,7) −18,9 ⋅ 6,5 −110,14 ⋅ 1,03 −5,39 ⋅ (−31,5)

e) f) g) h)

2⋅b+3⋅c 4⋅a−2⋅c a+b b+c

i) j) k) l)

b − 2c b:2 c:3 a:7

Fes les operacions:

a) 2,4 ⋅ (3,02 + 0,456) − (9,231 + 0,4) b) 12,84 : 3,21 − (16,001 + 0,225) ⋅ 1,2 c) 102,48 : 4,27 ⋅ 1,2 − 445,98 35. ●● Calcula respectant la jerarquia de les operacions: a) 33,7 ⋅ 4,5 + 7,2 ⋅ 0,05 b) (33,7 ⋅ 4,5 + 7,2) ⋅ 0,05 c) 33,7 ⋅ (4,5 + 7,2 ⋅ 0,05)

830863 _ 0059-0076.qxd

26/12/07

15:17

Página 73

ARREL QUADRADA

FES-HO AIXÍ COM MULTIPLIQUEM I DIVIDIM UN NOMBRE DECIMAL PER LA UNITAT SEGUIDA DE ZEROS?

36. Calcula: a) 84,26 ⋅ 10 b) 5,2 ⋅ 1.000

c) 84,26 : 10 d) 5,2 : 1.000

PRIMER. Per multiplicar movem la coma cap a la

dreta tants llocs com zeros acompanyen la unitat. En cas que no hi hagi prou xifres, completem el resultat amb zeros. a) 84,26 ⋅ 10 = 842,6 b) 5,2 ⋅ 1.000 = 5.200 SEGON. Per dividir movem la coma cap a l’esquerra

tants llocs com zeros acompanyen la unitat. En cas que no hi hagi prou xifres, completem el resultat amb zeros. c) 84,26 : 10 = 8,426 d) 5,2 : 1.000 = 0,0052

37. ●

111

131

42. ●

d) 0,02 : 10 e) 1,05 : 100 f) 0,145 : 100

38. ●● Resol aquestes operacions respectant la jerarquia de les operacions: a) 54,2 − 7,2 ⋅ 10 b) (513,02 − 79,7) ⋅ 1.000 c) (148,35 − 9,6 ⋅ 100) − 10,467

121

24.964

625

71.289

441

92.416

196

351.649

43. ● Sense fer càlculs escrits, senyala quines afirmacions són falses: a)

23 = 4 i residu 7

30 = 5 i residu 10

45 = 7 i residu 4

60 = 7 i residu 11

85 = 9 i residu 5

80 = 9 i residu 1

96 = 9 i residu 15

204 = 14 i residu 2

44. ●● Calcula l’arrel quadrada i comprova’n el resultat: a) 835 b) 5.793

39. ●● Resol aquestes operacions respectant la jerarquia de les operacions: 17,94 ⋅ 100 − 8,05 : 0,6 9,8 ⋅ 10 + 41,96 : 1.000 100,15 : 100 − 3,995 ⋅ 0,05 (8,72 − 7,85) ⋅ 0,1 − 0,2 18,9654 : (1,35 + 1,05) 9,025 − 2,46 : (1,3 + 0,01)

40. ●●

Resol les arrels quadrades següents:

Efectua aquestes multiplicacions i divisions:

a) 0,02 ⋅ 10 b) 1,05 ⋅ 100 c) 0,145 ⋅ 100

a) b) c) d) e) f)

41. ● Calcula mitjançant tempteig el valor aproximat, amb dos decimals, d’aquestes arrels quadrades:

c) 1.482 d) 4.877

45. ●● Troba l’arrel quadrada, amb un decimal, i fes-ne la comprovació: a) 657 b) 8.271

c) 1.778 d) 3.489

46. ●● Calcula l’arrel quadrada dels nombres següents:

Completa les sèries: + 0,25

a) 15 ⎯⎯⎯→ − 0,75

b) 50 ⎯⎯⎯→ ⋅ 2,1

c) 1,5 ⎯⎯→

: 1,8

+ 0,25

− 0,75

⋅ 2,1

⎯⎯→ … ⎯⎯→ 20 ⎯⎯→ … ⎯⎯→ 35 ⎯⎯→ … ⎯⎯→ 29,17215

d) 76,527504 ⎯⎯→

: 1,8

⎯⎯→ … ⎯⎯→ 4,05

830863 _ 0059-0076.qxd

26/12/07

15:17

Página 74

47. ●● Troba l’arrel quadrada, amb dos decimals, d’aquests nombres enters: a)

549

1.082

243

870

3.401

PROBLEMES AMB NOMBRES DECIMALS 57. ●● He comprat a la fruiteria 2,4 kg de taronges, 1,56 kg de pomes, 0,758 kg de raïm, 545 g de maduixes i 255 g de cireres.

FES-HO AIXÍ COM PODEM CALCULAR L’ARREL QUADRADA D’ALGUNS NOMBRES DECIMALS? 48. Calcula 0, 09 . PRIMER. Escrivim el nombre racional en forma de

fracció. 0,09 =

9 100

SEGON. Trobem l’arrel quadrada de la fracció que

a) Quant pesa la compra? b) Quant m’hi he gastat?

en resulta. 9 = 100 49. ●●

9 100

3 = 0,3 10

Calcula aquestes arrels:

0,64

0,81

0,25

0,49

0,36

0,0121

APROXIMACIÓ I ESTIMACIÓ 50. ●

Trunca i arrodoneix 72,289 als dècims.

51. ●

Trunca i arrodoneix 0,397 als centèsims.

52. ●

Trunca i arrodoneix 125,3925 als mil·lèsims.

53. ● Completa la taula amb les aproximacions dels valors següents: i 5 1,25667; 2,5 ; 22,45 ; 0,547

Als dècims

Als centèsims

59. ●● Un pare vol repartir 15,70 € entre els seus quatre fills a parts iguals. Quants diners rebrà cada un?

60. ●●

Arrodoniment

54. ● Calcula el quocient 40 : 17 i arrodoneix el resultat als centèsims. 55. ●● Quin error hem comès en aproximar 2,506 + 13,007 per 15,5? I per 15,52? 56. ●● Quin error hem comès en aproximar 0,8235 · 1,5 per 1,2353? I per 1,235?

He de pagar 192,75 € en tres terminis: • En el primer termini pago la meitat. • En el segon termini, la tercera part. • I en el tercer, la resta.

Als mil·lèsims

Truncament

58. ●● L’alumne més alt de la classe fa 172 cm, i el més baix 148 cm. Calcula la diferència entre tots dos i expressa-la en metres .

Calcula quant pagaré en cada termini. 61. ●●

Si una polzada equival a 2,54 cm:

a) Quina longitud té un televisor de 27 polzades? I un de 24 polzades? b) Quantes polzades són 45,725 cm? 62. ●●

Una unça equival a 33,33 g.

a) Quantes unces té 1 kg? I 560 g? b) Quants grams són 5,7 unces?

830863 _ 0059-0076.qxd

63. ●●

17/12/07

16:07

Página 75

Un barril americà conté 158,98 ¬.

a) Quants barrils podem omplir amb 317.960 ¬ de petroli? I amb 1.000.000 ¬? b) Quants litres són 250 barrils? 64. ●● Una tira de paper fa 29 cm de llarg. Quantes tires necessitarem per obtenir una tira de 2,4 m de llarg?

INVESTIGA 172. ●●● Troba un nombre decimal comprès entre els següents: a) 1,9 i 2 b) 2,99 i 3 c) 2,999 i 3

d) 2,9999 i 3 e) 2,999999 i 3 f) 2,9999999999 i 3

Pots trobar un nombre comprès entre = 2,9999… i 3? A quina conclusió arribes? 65. ●● Si sabem que una milla terrestre són 1,6093 km, 2,9 quants metres i quilòmetres són 2,35 milles? 73. ●●● Investiga per què són vàlids aquests I 0,6 milles? mètodes per resoldre algunes operacions: 66. ●● Un nus és una milla marina/h i una milla marina a) Multiplicar per 0,25 és igual que dividir són 1,852 km. La velocitat d’un vaixell és de 60 nusos. entre 4. Quants quilòmetres recorre en tres hores? b) Multiplicar per 0,75 és el mateix que multiplicar per 3 i després dividir entre 4. 67. ●● Una glacera retrocedeix 2,8 cm l’any pel desglaç. Quant trigarà a retrocedir 5 m? c) Multiplicar un nombre per 1,5 és igual que sumar al nombre la seva meitat. d) Dividir un nombre entre 0,5 equival a calcular el doble del nombre. e) Dividir un nombre entre 0,75 és el mateix que multiplicar-lo per 4 i dividir-lo entre 3. Fent servir la calculadora, explica com 74. ●●● pots efectuar aquests càlculs sense utilitzar la tecla de la coma decimal. a) 1,23 ⋅ 34,567 b) 98,765 : 432 68. ●● Calcula el pes total, en grams, de 241 llibres si cadascun pesa 2 hg i 653 mg. 69. ●●● El perímetre d’un rectangle és de 5,85 m. Si un costat és el doble que l’altre, quant fa cada costat? 70. ●●● Hem gastat 0,75 m de paper per embolicar paquets petits i 1,8 m per als paquets grans. Tenim 25 m de paper. Quants paquets de cada mena podem embolicar?

c) 12 : 345,67 d) 9,87 : 65,432

Indica quin dels dos personatges té raó 75. ●●● i explica per què.

L’arrel quadrada d’un nombre positiu sempre és més petita que el nombre.

Això no sempre és cert…

71. ●●● En un jardí hi ha un pou i un arbre a 27,5 m de distància. Entremig hi hem col·locat 10 testos a intervals iguals.

76. ●●● a) A quina distància de cada test està el pou? b) Quina distància recorrem per regar-los, si cada dos testos cal tornar al pou?

Investiga per què l’arrel quadrada de: 200.720.072.007.200.720.072 no és un nombre enter. Quina ha de ser l’última xifra d’un nombre perquè no tingui arrel quadrada exacta?

tema 4 Sistema sexagesimal

Grup Promotor Santillana

830863 _ 0077-0092.qxd

1. ●●

14/12/07

Página 89

6. ●

Completa l’angle que falta: + 25° = 50° 20' 47" + 27° 32" = 80° 5' 38" + 1° 40" = 5° 3' 20" = 20° 5' 40" + 25' 35" = 1° 30' 16" + 17° = 20° 12" + 6° 42' = 10° 58' 35" + 9° 18' = 17° 43"

a) b) c) d) 15° 10' 30" + e) f) g) h) 2. ●●

16:02

Calcula l’angle que falta: − 2° 36' 45" = 13° 15' 10" − 15' 35" = 6° 25' 46" − 1° 50" = 3° 48' − 47' 58" = 2° 35' 40" − 6° 18' 40" = 15° 27' 38" − 10° 45' = 37° 53' 44" − 17° 25' 46" = 38' 43" − 65" = 1° 48' 35"

a) b) c) d) e) f) g) h)

FES-HO AIXÍ

3. Efectua aquesta operació: (39° + 45° 30') − (6° 38' − 2° 20') PRIMER. Resolem els parèntesis.

6° 38' − 2° 20'

84° 30'

4° 18'

SEGON. Efectuem les sumes i les

restes, d’esquerra a dreta.

84° 30' − 4° 18' 80° 12'

4. ●● Efectua les operacions següents: a) b) c) d) 5. ●● a) b) c) d)

(4° 35' 46") ⋅ 2 (1° 10' 15") ⋅ 7 (12° 25' 37") ⋅ 6 (35° 4' 20") ⋅ 4

(10° 20" + 15° 30') − 13° 14' 35" (50° 35' − 37° 45') + 6° 18" (5' 38" + 4° 36') + (5° 10' − 3° 2") (25° 35' + 2° 10') − (3° + 17° 43') Calcula. (124° 34' 12" − 78° 47' 24") + 43° 25° 30' 6" + (7° 6" − 1° 25') (4° 3' 5" + 7° 6' 3") − 3° 10' 15" (10° 8' 2" − 4° 2') + (6° 4' 23" − 2° 5")

e) f) g) h)

(6° 78") ⋅ 3 (36' 40") ⋅ 5 (2° 17' 3") ⋅ 9 (27° 15' 26") ⋅ 8

FES-HO AIXÍ COM RESOLEM LES OPERACIONS COMBINADES EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL? 7. Calcula: (75° 26' 16" − 58° 15' 10") ⋅ 3. PRIMER. Resolem els parèntesis.

75° 26' 16" − 58° 15' 10" 17° 11' 6"

SEGON. Fem les multiplicacions

i les divisions, d’esquerra a dreta.

8. ●●

COM RESOLEM OPERACIONS DE SUMA I RESTA AMB PARÈNTESIS?

39° + 45° 30'

a) b) c) d)

Efectua els productes següents:

a) b) c) d) e) f) g) h) i) 9. ● a) b) c) d) e)

17° 11' 6" × 3 51° 33' 18"

Calcula: (3° 4' 6" + 5° 7' 10") ⋅ 2 (10° 6' 10" − 4° 3' 7") ⋅ 3 (5° 30' + 15' 65") ⋅ 6 (6° + 15° 10' − 3° 7') ⋅ 7 (15° 35' 45" − 40' 58") ⋅ 4 (22° 5' 16" + 73° 16' 45") ⋅ 3 Quàdruple de A$ = 3° 36' 27" Doble de (1° 35' 5" + 38' 55") (7° + 1° 30" − 5° 56' 10") ⋅ 7 Fes les divisions: (40° 18' 36") : 2 (39° 57' 15") : 3 (120° 35' 80") : 5 (126° 48' 15") : 3 (111° 54' 45") : 3

f) g) h) i) j)

(236° 17') : 5 288° : 7 152' : 3 (85' 4") : 4 (86° 5") : 6

10. ●● Un angle que fa 179°36'15" el dividim en tres parts iguals. Quant mesura cada part? 11. ●●

Donada la mesura dels angles: $ $ = 36° 10' 20" A = 15° 25' 6" B $, si: C $ = 2 ⋅ (A $ + B$). troba la mesura de C

830863 _ 0077-0092.qxd

18/2/08

17:08

Página 90

FES-HO AIXÍ COM CALCULEM LA FRACCIÓ D’UNA MESURA EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL? 12. Calcula:

5 (1° 45" 2

+ 3' 27").

1°

45" 3' 27" 72" = 1' + 12"

1° 3' 72" ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 1° 4' 12" SEGON.

Multipliquem el resultat pel numerador.

1° 4' 12" ×5

16. ●● En Sergi fa una feina en 1 hora, 35 minuts i 50 segons. Si pensava trigar 2 hores, quant de temps li ha sobrat? 17. ●● El tren de les 10.05 h ha sortit amb 16 minuts de retard. A quina hora ha sortit?

PRIMER. Resolem els parèntesis.

PROBLEMES DE TEMPS I ANGLES

18. ●● Un ventall obert forma un angle de 180°. He obert un altre ventall, al qual falten algunes barnilles, i he comprovat que tan sols té una obertura de 105° 38' 45". Quin angle formaven les barnilles que s’han trencat?

60" = 1'

5° 20' 60" ⎯⎯⎯⎯→ 5° 21' TERCER. Dividim entre el denominador.

5° 21' 1° = 60' 1° ⎯⎯⎯→ 60' 81' 1' = 60" 1' ⎯⎯⎯→ 60" 60" 0

13. ●●

2 (3° 25' 15") 3 2 b) (44° 16' 40") 3

14. ●●

b) c) d) 15. ●●

FES-HO AIXÍ 1 (36° 29' 18") 4 7 d) (27° 64' 30") 6 c)

Fes les operacions següents: 4 5 4 3 1 5 1 6

COM RESOLEM ELS PROBLEMES DE RETARDS HORARIS?? 20. Un rellotge s’endarrereix 1 min 20 s cada dia. Quant temps s’endarrereix en una setmana? PRIMER. Determinem les operacions.

(1 min 20 s) ⭈ 7

(7° 52' 13" + 29° 57")

SEGON.

(37" + 5° 36' − 2° 15' 10")

El rellotge s’endarrereix 9 min 20 s en una setmana.

(46° 27" − 2° 25')

Donada la mesura dels angles. $ = 57° 27' 37" C $ = 29° 56' 45" A$ = 36° 45' 58" B d) e) f)

Efectuem les operacions. (1 min 20 s) ⭈ 7 ⫽ 7 min 140 s ⫽ 9 min 20 s

21. ●● La Cèlia va treballar dilluns 8 h 40 min 25 s, i de dimarts a dijous, mitja hora menys cada dia. Quant temps va treballar en total aquesta setmana?

(125° 43' 58" − 1° 7' 4")

calcula: $) ⋅ 2 a) (A$ − C $+C $) : 4 b) (A$ + B $ $ c) (C + A ) − (B$ − A$)

19. ●● Un autocar surt de l’estació a les 9 h 26 min i arriba a l’estació de destí a les 13 h 14 min. Quant dura el trajecte?

Calcula:

2 2° 40' 30"

$ − (7° 15' 6") + A$ ⋅ 2 C $ ⋅ 3 − (B $ − A$) C $ $ 2⋅A −B

830863 _ 0077-0092.qxd

14/12/07

16:02

Página 91

22. ●● Des de casa meva fins a la feina hi ha dues estacions; per arribar a la primera acostumo a trigar 32 min 54 s, i a la segona 44 min 27 s. Avui el tren s’ha endarrerit, i per arribar a la primera estació he trigat 19 min 40 s més de l’habitual, i a la segona s’ha endarrerit 26 min 32 s.

27. ●●● Els raigs del sol entren al matí en una habitació i es reflecteixen a la paret amb una inclinació determinada. A les 7 del matí d’un dia d’estiu, aquest angle era de 22° 14'. Cada hora que passa, l’angle d’inclinació augmenta de 2° 10' 20". a) Quin angle tindrà a les 8 del matí? b) I a les 9 del matí? c) Quin serà l’angle a la 1 del migdia?

INVESTIGA 28. ●●● El temps que ha transcorregut entre dos equinoccis de primavera consecutius és el que coneixem com a any tròpic, i dura 365 dies, 5 hores, 48 minuts i 45,51 segons. a) Quant temps he trigat a arribar? b) Si a la tornada no he tingut endarreriments, quant temps he esmerçat en els dos trajectes? 23. ●● Una màquina treballa de manera ininterrompuda durant 4 h 50 min 30 s, i després s’atura 1 h 50 min. Quant temps trigarà la màquina per fer tres torns de treball i descans? 24. ●● Un pintor ha trigat a pintar una sala 3 hores i quart al matí i 2 hores i mitja a la tarda. a) Quant temps ha trigat en total? b) Quant temps ha treballat més al matí? c) Si cobra l’hora a 19,20 €, quant ha guanyat? 25. ●● En Damià cobra el dissabte 8 € per cada hora de feina, i el diumenge, 9,50 €. Aquest mes ha treballat tres dissabtes i quatre diumenges. Els dissabtes va treballar 5 hores i mitja, i els diumenges, 3 hores i tres quarts. Quant cobrarà al final del mes? 26. ●● En Marc, en Robert i en Ricard s’estan menjant un pastís: – En Marc n’ha menjat un tros equivalent a 35° 10'. – En Robert n’ha menjat un tros de 40° 30'. – En Ricard n’ha menjat un tros de 50° 40'. a) Quant fa el tros de pastís que s’han menjat entre tots tres? b) Quant fa el tros que queda?

En el nostre calendari utilitzem l’any civil, que consta de 365 o 366 dies. D’aquesta manera, podem comptar l’any en dies complets. a) Quants minuts hi ha de diferència entre un any tròpic i un any civil de 365 dies? b) Quina és la diferència, en hores, minuts i segons, al cap de 4 anys? 29. ●●● El calendari julià (antecessor del calendari actual) inseria un dia addicional cada 4 anys, que anomenaven de traspàs. a) Quina diferència hi ha entre 4 anys tròpics i 4 anys civils, un dels quals és de traspàs? b) Quants anys han de passar perquè el desfasament sigui de 10 dies? 30. ●●● A causa del desfasament del calendari julià, el papa Gregori XIII va manar reformar el calendari. En el calendari gregorià, que és el vigent als nostres dies, els anys de traspàs són aquells que són divisibles per 4, excepte els divisibles per 100, però no per 400 (o sigui, l’any 2100 no serà de traspàs). Quants anys han de passar perquè hi hagi un desfasament d’un dia?

tema 5 Expressions algebraiques

Grup Promotor Santillana

830863 _ 0093-0112.qxd

14/12/07

16:08

Página 108

6. ● Calcula el valor numèric de l’expressió 2x − 3 per a aquests valors de x.

EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES 1. ● Expressa aquests enunciats en llenguatge algebraic: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

El doble d’un nombre més 5. El triple d’un nombre menys 6. El doble de la suma d’un nombre més 4. La meitat de la diferència d’un nombre menys 8. El quadrat de la suma d’un nombre més 7. El cub de la meitat d’un nombre. La meitat del quadrat d’un nombre. Un nombre més el seu quadrat. El quàdruple del quadrat d’un nombre. La meitat d’un nombre menys 3.

2. ●● Expressa aquestes expressions algebraiques mitjançant enunciats: x+3 x a) 4x − 2 d) g) 3 x − 4 2 h) (2x − 1)2 b) 5 − 2x e) (x + 2)2 c) 2x3 f) x2 − 4 i) (2x)2 − 1

b) x = 0

a) x a 1

a) x = 1, y = −2 1 b) x = −2, y = 2

MONOMIS 10. ●

Completa la taula següent: Coeficient

Part literal

Grau

x3y2

3a 2 b 4

COM EXPRESSEM ALGEBRAICAMENT ALGUNES RELACIONS GEOMÈTRIQUES? 3. Escriu, mitjançant una expressió algebraica, la superfície d’un triangle isòsceles amb una altura de 5 cm.

−9

PRIMER. Anomenem tots

a bc 6

2 3

bc 2

4 6 3

11. ● Indica si les afirmacions són verdaderes o falses. Raona la teva resposta.

5 cm

a) 12ab i −2ab són semblants. b) 7xyz i −7xy són oposats. c) 7xy2z i −7x2yz són semblants i oposats. −1 ab són semblants i oposats. d) 12ab i 12

SEGON. Escrivim la fórmula corresponent.

x⋅5 5x = 2 2

4. ●● Si la base d’un triangle és 4 cm, escriu l’expressió algebraica que representa la seva superfície.

12. ●●

Expressa de forma 5. ●● algebraica la superfície x d’aquesta figura:

c) x = −1, y = −3 1 1 d) x = , y = − 4 4

9. ●● Calcula el valor de a en l’expressió −2x2 − 3x − a si el seu valor numèric per a x = 3 és −5.

−8xyz

1 2

8. ●● Troba el valor de a en l’expressió 4x3 + 3x2 − ax − 5, si el seu valor numèric per a x = −1 és 0.

Monomi

d) x =

7. ● Determina el valor numèric de l’expressió 3x2 − 2y + 4 per als valors de x i y:

FES-HO AIXÍ

els elements que intervenen en el càlcul de la superfície. Els elements desconeguts els designem amb una lletra.

c) x = −2

Escriu, si és possible:

a) Dos monomis de grau 5 que siguin semblants i no oposats. b) Dos monomis de grau 5 que siguin oposats i no semblants. c) Dos monomis de grau 5 que siguin semblants i oposats.

830863 _ 0093-0112.qxd

14/12/07

16:08

Página 109

OPERACIONS AMB MONOMIS

POLINOMIS

13. ●

18. ● Indica si són verdaderes o falses aquestes afirmacions referides a 2x + 3.

Efectua aquestes operacions de monomis:

−x + x + x + x + x 2x3 − (x3 − 3x3) 8x2 − x + 9x + x2 8xy2 − 5x2y + x2y − xy2 −3x + 7y − (8y + y − 6x) 4 5 7 xy − xy + xy − xy f) 3 2 4 2

a) b) c) d) e)

g) 2x2 ⋅ 4x3 ⋅ 5x6 h) −3x ⋅ (−2x) ⋅

7 x 4

7x3 ⋅ 5x ⋅ 9x4 15x3 : 5x2 −8x3y2 : 2x2y 10x4yz2 : 5xyz

i) j) k) l)

14. ●● Raona si les igualtats són verdaderes o falses, i corregeix els errors que hi ha: a) b) c) d)

a + a = 2a 2a + a = 2a2 2a − a = 2 2a − 2 = a

15. ●●

e) f) g) h)

2a − b = 2 ⋅ (a − b) 2a + 3a = 5a 2a + 3b = 5ab 2a2 = 4a

Escriu 12x2y com a:

a) Suma i/o resta de tres monomis. b) Producte de tres monomis. c) Quocient de dos monomis.

FES-HO AIXÍ COM RESOLEM OPERACIONS COMBINADES DE MONOMIS? 16. Resol: 8x − (5x + x ) : 2x + 15x : (3x ⋅ x). 2

PRIMER. Resolem les operacions que hi ha entre parèntesis. 8x2 − (5x4 + x4) : 2x2 + 15x4 : (3x ⋅ x) = = 8x2 − 6x4 : 2x2 + 15x4 : 3x2

Resolem les multiplicacions i les divisions, d’esquerra a dreta. 8x2 − 6x4 : 2x2 + 15x4 : 3x2 = 8x2 − 3x2 + 5x2

SEGON.

TERCER. Resolem les sumes i les restes

en el mateix ordre. 8x2 − 3x2 + 5x2 = 5x2 + 5x2 = 10x2 17. ●● a) b) c) d) e) f)

Opera i redueix:

12x ⋅ 3x2 : x + 14x ⋅ x3 : 7x2 16x ⋅ x3 : (−4) + 9x5 : x4 ⋅ (−3x3) 3x2 ⋅ (10 ⋅ 5x3) − 10x4 ⋅ 6x2 : 2x (5x2 − 2x2 + 7x2) ⋅ (4x3 − x3 + 6x3) (−4xy2 + 9xy2) : (3xy + 2xy) (x3 − 8x3 + 4x3) ⋅ (y − 3y + 5y)

a) b) c) d)

3 és el coeficient de x. 3 és el terme independent. Hi ha tres termes. La x és la incògnita.

19. ● Assenyala els termes, els coeficients, les variables i els graus d’aquests polinomis: a) 2x + 3y − 2 b) 5 − 2x + 8y − 3x 2

c) 2a + 2b + 3c d) 7 + 5t − 2z 2 − 3y

20. ● Identifica aquests elements dels polinomis: a) Nombre de termes de x3 − x2 + 4x + 5x4 − 6. b) Terme independent de y + 3y4 − 3y3. c) Grau de R(x, y) = 5x3y2 + 6y4 − 3x4y3 + 8x2. 7 − 2 x + 10 x3 d) Coeficients de . 3 21. ● Escriu un polinomi d’una variable, amb grau 7, que tingui 6 termes i el terme independent sigui −2. 22. ●

Indica el grau dels polinomis:

a) 5x 2 − 2xy 2 b) 8a 3b 2 + 5a 2b 3c

c) 4x 2 + 5x 2y 2 − 10xy d) a 2bc − 2abc + 6a 2b3

23. ● Calcula el valor numèric d’aquestes expressions per als valors n = 1 i n = −2. a) 3n 2 + 4n b) n(n + 3) 24. ●

c) n 2 − 1 d) n 2(n + 2)

Si P(x) = 3x4 − 2x3 + x2 − 5, calcula:

a) P(1) + P(0) − P(−2) b) 2 ⋅ P(2) + 3 ⋅ (−P(−1))

⎛ 1⎞ c) P⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎠⎟

25. ●● Troba el valor de a perquè el polinomi sigui de grau 2: P(x) = (2a + 4)x3 − 3x + 4x2 − 7 26. ●● Troba el valor de a i b perquè el polinomi tingui grau 3 i el terme independent sigui 15: P(x) = 3x2 − (5 + a)x + x3 − 3b 27. ●● Calcula el valor de a perquè P(1) = 2 si P(x) = ax3 − 3x2 + 4x − 7.

830863 _ 0093-0112.qxd

14/12/07

16:08

Página 110

38. ●

OPERACIONS AMB POLINOMIS 28. ●

a) b) c) d)

Amb aquests polinomis, calcula: A(x) = 2x 3 − 3x 2 + x − 7 B(x) = x 3 + 7x 2 − 4x C(x) = −2x 2 + x − 5

a) A(x) + B(x) + C(x) b) B(x) + C(x)

c) A(x) − B(x) d) A(x) − B(x) − C(x)

29. ●● Troba dos polinomis la suma dels quals sigui 4x3 − 6x2 + 7x − 2. 30. ●●

Extreu factor comú en cada cas: 3x + 6x − 9x 4x − 12y 10a − 10b + 10c 3ab + 5ab

39. ●●

e) f) g) h)

10xy − 5xy + 15xy 14x 4 − 35x 3 − 7x 2 + 42 25m 2n + 20m 3n 2 − 30m 4 x 2y − xy 3 + xy

Extreu factor comú:

a) 4x + 3x4 − 5x2 b) −6y4 + 8y3 + 4y 5

c) 10x2y − 15xy + 20xy2 d) 3z4 + 9z2 − 6z3

IGUALTATS NOTABLES

Completa:

a) 6x − 4x + 7 + = 3x + 2 b) 5x3 + 3x2 − 10 − = x − x2 + 7 c) 9x3 + x2 − 6x + 4 + = 2x2 − x3 + x 2

31. ●

40. ●

a) (x − 5)2 b) (2x + 3y)2

Efectua les operacions següents:

a) (3x + 4) ⋅ 2 b) (x − 2) ⋅ 4x 32. ●

c) (4x2 + x − 2) ⋅ (−5) d) (x2 + 3x − 6) ⋅ (−3x3)

Opera i redueix termes semblants:

a) (x + 3) ⋅ (x − 2) b) (2x − 6) ⋅ (3x + 5) c) (4 − 6x + 3x2) ⋅ (−2 − x + x2) 33. ●

Desenvolupa les igualtats notables:

41. ●●

a) (x + y 2)2 b) (3x 2 − 5y 3)2

a) b) c) d)

Opera i redueix termes semblants:

Calcula: 2

42. ●

c) (4 + a)2 d) (3a − 6b)2

c) (x 2 − y 2)2 d) (1 + a 4)2

Expressa com a diferència de quadrats: (x + 1)(x − 1) (5 + ab)(5 − ab) (3a − 2b)(3a + 2b) (2 + 7x 2y)(2 − 7x 2y)

43. ●●

Corregeix els errors que hi ha:

a) (x + 2)2 = x2 + 4 b) (x − 3)2 = x2 + 6x − 9 c) 5 + 2 ⋅ (x + 1)2 = 10 ⋅ (x + 1)2 = (10x + 10)2 44. ●● 34. ●

Efectua les divisions següents:

a) (25a − 15) : 5 b) (12a2 − 18a + 69) : 6 35. ●

c) (10a − 20a − 4a ) : 2a d) [(16a4 : 4a 2)] : 2a 4

Fes aquestes operacions:

c) (9x3y3 + 3x2y + 15xy2) : 3xy a) (x3 + 3x3) : x2 b) (7x3 − 4x2 + 5x) : x d) (12xy − x2y) : xy 36. ● a) b) c)

Completa:

: 4xy = 3y2z3 + 5xy2 − 2xyz : x3y2 = 9y + 6x − 4x2y : (−5yz3) = 2x − 5x2z + 7y2z3

37. ●●

Completa:

a) (10x5 + 8x3 − 6x2 + 12x) : = 5x4 + 4x2 − 3x + 6 b) (12x4z3 − 18x3z4 + 24x2z2) : = 4x2z − 6xz2 + 8 c) (4x5yz − 7x4yz2 + 6x3y3z2) : = 4x2 − 7xz + 6y2z

a) b) c) d)

Completa amb els termes que hi falten:

(2x + 4)2 = + 16x + (3x2 − 2)2 = 9 + − 12x2 ( + 5)2 = x4 + 10 + (3 − )2 = + 16x2 − 24x

45. ●● Completa els termes que falten perquè els polinomis siguin el quadrat d’una suma o d’una diferència: a) x6 + 8x3 + b) x2 + 16 +

c) 64 − + x2 d) 49 − + 4x2

46. ●● Expressa aquests polinomis com el quadrat d’una suma o d’una diferència: a) x2 + 4x + 4 b) 4x2 − 12x + 9 1 c) xx2 − x + 1 4

d) x4 + 2x2 + 1 e) 9x4 + 6x3 + x2 f) 9x4 + 6x2y + y2

830863 _ 0093-0112.qxd

14/12/07

16:08

Página 111

FES-HO AIXÍ COM EXPRESSEM UN POLINOMI DE LA FORMA a2 − b2 COM UNA SUMA PER DIFERÈNCIA? 47. Expressa P(x) = 16 − x2 com una suma per diferència. PRIMER. Identifiquem

a i b. a = 16 → a = 4 b2 = x2 → b = x 2

51. ●● Un botiguer comptabilitza 10 capses de bosses de gominoles, 7 de crispetes i 8 de blat de moro torrat. El repartidor porta 2 capses de cada producte. Durant la setmana s’han venut 2 capses de bosses de blat de moro, 4 de gominoles i 3 de crispetes. Expressa en llenguatge algebraic les operacions que ha de fer el botiguer per saber quina mercaderia tindrà la setmana que torni el repartidor.

Apliquem la igualtat. a2 − b2 = (a + b)(a − b) 16 − x2 = 42 − x2 = (4 + x)(4 − x)

SEGON.

48. ●● Expressa els polinomis com a producte d’una suma per diferència: a) 100 − 64x2 b) 49x4 − 36x2 c) 1 − x2

d) 9x6 − x8 e) 16x2 − 25 f) x4 − 4

PROBLEMES AMB EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES 49. ●● El preu del quilo de taronges és x i el de raïm és y. Expressa en llenguatge algebraic: a) El preu de 2 kg de taronges i 3 kg de raïm. b) El raïm costa el doble que les taronges. c) El preu d’1,5 kg de taronges i 2,5 kg de raïm. 50. ●● Si x és l’edat actual d’en Jordi i en Pere té 8 anys més que ell, contesta aquestes preguntes fent servir expressions algebraiques: a) Quina serà l’edat d’en Jordi d’aquí a 20 anys? b) Quina edat tenia en Jordi fa 7 anys? c) Quan tindrà en Jordi el doble de l’edat que té ara? d) Quina és l’edat actual d’en Pere? e) Quina edat tindrà en Pere d’aquí a 15 anys? f) Fa quants anys en Pere tenia la meitat de l’edat actual d’en Jordi? g) D’aquí a quants anys en Jordi tindrà el doble de l’edat actual d’en Pere?

INVESTIGA 52. ●●● Tria dos nombres entre 1, 2, 3, 4, 5, 6, i col·loca’ls als triangles perquè l’expressió: prengui el valor 0 quan x = 1. 53. ●●● Troba el valor de x, y i z perquè aquest quadrat sigui un quadrat màgic format per nombres de l’1 al 9. (Recorda-ho: en un quadrat màgic, la suma dels elements de cada columna, fila i diagonal és la mateixa.) Tot i que hi ha diverses solucions, si y > z, només hi ha una solució. Quina és?

54. ●●●

Observa aquesta taula:

x+y+z

x+y−z

x + 2y + z

a) Quant ha de valer z perquè doni el mateix si ho sumes o si ho restes? b) Pots trobar el valor de y? I el de x?

tema 6 Equacions i sistemes

Grup Promotor Santillana

830863 _ 0113-0134.qxd

17/12/07

16:43

Página 128

IDENTITATS I EQUACIONS

ELEMENTS D’UNA EQUACIÓ

1. ● Indica si aquestes igualtats algebraiques són certes per a x = 2.

8. ● Identifica els elements de les equacions:

a) 5x2 − 3x + 7 = 21 b) (x + 1)(x − 2) = 0 4x − 3 1 = c) 2 2

d) 3x(2x − 4) − 1 = −1 e) (7x − 3)(−2) + x = 0 x+1 x+ 4 − = −2 f) 3 2

2. ● Quin dels valors següents fa certa x+3 x = − 1? la igualtat 2 4 a) x = −1 b) x = 2 c) x = −10

c) 7x = 6x + x

d) x = 12

d) 2x = 10 2x − 4 = x−2 e) 2 f) 5(x − 2) = 5 − 2x

4. ●● Escriu dues igualtats algebraiques que siguin identitats i dues més que siguin equacions. 5. ●● Troba tres igualtats algebraiques que siguin certes per a aquests valors: 3 −4 a) x = 5 b) x = c) x = −4 d) x = 2 3 Podries escriure una igualtat algebraica que es verifiqui únicament per als quatre valors alhora? Quin nom rep? 6. ●● Troba l’error i corregeix-lo: a) L’equació 4x = 3 es compleix per a x = −1 perquè 4 − 1 = 3. b) L’equació 4 − x = 3 es compleix per a x = −1 perquè 4 − 1 = 3. x 1 c) L’equació + 1 = 2 és certa per a x = 4 4 perquè 1/ 4 + 1 = 1 + 1 = 2. 4 7. ●● Indica si la igualtat x2 = −4 es verifica per als valors de x següents: a) x = 2 c) x = 1 e) x = 3 b) x = −2 d) x = −1 f) x = −3 Hi pot haver cap valor de x que compleixi l’equació?

1r terme

2n terme

Incògnita Grau

4x − 3 = 5 4(x − 3) = 5x y+2 3 a 3a − b = 5 8y − y =

3. ● Digues quines d’aquestes igualtats algebraiques són identitats o equacions: a) −3(2 − 5x) = 15x − 6 ⎛ 8 2⎞ b) x − x = ⎜⎜1 + ⎟⎟⎟ x ⎜ ⎝ 3 3 ⎟⎠

Equació

z2 − 4z + 3 = 0 x(x + 1) = x2 + 9 x(3 − x) = x − 1

9. ●● Escriu una equació per a aquests enunciats: a) b) c) d) e) f) g) h) i)

El doble d’un nombre és 8. El triple d’un nombre és 12. La meitat d’un nombre és 10. La tercera part d’un nombre és 2. El doble d’un nombre més 3 és 8. La meitat d’un nombre menys 5 és 120. La quarta part d’un nombre menys 6 és 7. El doble d’un nombre més 7 és 18. La diferència entre el quàdruple d’un nombre menys 10 és 24.

10. ●● Assigna una equació a cada enunciat: a) El quadrat d’un nombre és 100. b) El cub d’un nombre és 125. c) La suma del quadrat d’un nombre més 2 és 82. d) La diferència del cub d’un nombre menys 3 és 124. e) La meitat del quadrat d’un nombre és 8. f) La cinquena part del cub d’un nombre és 310. 11. ●● Escriu els enunciats corresponents a aquestes equacions: a) 2x + 5 = 3 b) 7 − x = 2 c) 2(x + 1) = 10 d)

x2 =3 2

e) x2 − 1 = 8 f) 3(x − 2) = 9 x−4 =1 g) 2 x+6 =2 h) 3

830863 _ 0113-0134.qxd

17/12/07

16:43

Página 129

EQUACIONS DE PRIMER GRAU 12. ● Simplifica aquestes equacions reduint termes semblants, tal com queda indicat a l’exemple:

16. ● Resol aquestes equacions: 2x =5 20 9x = 27 b) 6 a)

4x = 82 2 3x =9 d) 6 c)

17. ● Troba la solució de les equacions següents: −5x = 45 6x = −36 3x = 2 8x = 48 −12x = −72 x =8 f) −3 x 1 = g) 4 4 a) b) c) d) e)

a) 5(x − 6) + 2(−3x −7) = 2(3x + 5) b) 4x + 5 − x = 10x + 7 − x c) 7 − 10x + 3(x2 − 9x) = x − 8 7 5 d) 8 + (x − 3) − x2 + x = 3 4 e) − 2(2x + 4) − x(x + 3) = 5 − 3x 13. ●● Corregeix els errors comesos en reduir termes semblants d’aquestes equacions: a)

7x − (2 − x) = 3x + 1 7x − 2 − x = 3x + 1 7x − x − 3x − 2 + 1 = 0 3x − 1 = 0

8(2 − x) − x = x 16 − 8x − x = x 8x − x − x + 16 = 0 6x + 16 = 0

5 − (x − 3) = x − (−7) 5+7−x−3−x=0 −2x + 9 = 0

c) 4x = 12 d) −x = −4

x+2=7 x − 3 = 15 x + 13 = 21 x−7=2 x + 11 = 3 x − 17 = 17 6 g) x + = 11 2 h) x − 9 = −16

2x − 10 = 0 5x + 4 = x − 8 x + 2(x − 1) = 4 2(3x − 5) − x − (2x − 3) = 1 − (2x − 5) 7(x + 2) + 4(x + 3) = 3x + 1 3(x − 3) − 4(2 − 3x) = 2(1 − 2x)

19. ●● Troba la solució d’aquestes equacions de primer grau:

e) −2x = 8 f) −3x = −12

15. ● Resol aquestes equacions: a) b) c) d) e) f)

18. ● Resol les equacions de primer grau següents: a) b) c) d) e) f)

14. ● Esbrina quines d’aquestes equacions són equivalents a l’equació x = 4. a) 2x = 8 b) 3x = 9

x =1 15 x 1 = i) 4 2 j) x + 4 + x = 18 + 3 k) x + 3x + 4x = 8 l) 5x − 2 + 2x = 6x + 8 m) 4x + 3x − 2x = 45 n) −x + 4x − 3 = 5 − 2x h)

i) 4x = 20 j) 13x = 91 x =5 k) 4 l) −x = 3 m) −7x = 21 n) −12x = 60 o) 6x = 18 p) −3x = 21

a) b) c) d) e) f)

4x + 1 + 3x − 5 = 2(x − 2) + 30 3(x + 8) = 6(x − 2) + 24 3(x + 8) − (x − 4) = 12 2(4 − x) + 3(4x + 16) = 3 6(x + 8) − 2(x − 4) = 24 6(x − 2) = 3(x + 8) − 24

20. ●● Resol les equacions de primer grau següents: 5−x =1 7 x−8 =3 b) 6 x+5 =4 c) 6 4x − 8 =2 d) −2 a)

3x + 8 =x 4 3x − 25 = x − 20 f) 2 x+4 x −1= − x g) 5 2 3x 2x −9 = −7 h) 5 6 e)

830863 _ 0113-0134.qxd

26/12/07

16:08

Página 130

21. ●● Troba la solució d’aquestes equacions: 2x x x + = + 13 5 10 15 x x+4 −1 b) − x = 2 5 a)

3x − 4 = x−3 4 x 3x −9 d) − 7 = 3 5 c)

22. ●● Resol aquestes equacions: x+8 x−4 = +2 2 6 x−5 8−x 2 x − 10 + = 3− b) 5 2 2 x − 10 x − 20 x − 30 −5 = + c) 2 4 3 3 x − 12 2 x − 10 = −1− d) − 4 3 a)

23. ●● Calcula la solució de les equacions següents: 4x + 3 x−2 x+3 − = 2− 5 4 6 13 − 2 x 5x − 2 x+1 + = 1− b) 6 4 12 2−x 3 x+1 = − c) x − 3 2 3 x−2 x−3 4 − 2x − = d) 3 2 5 a)

24. ●● Resol aquestes equacions: a) y + 2 = 3y − 4 z 4z + 1= −2 b) 2 3 c) 3u = u + 4

d) 6 + 5t = (7 − t)(−2) v+3 v − =4 e) 2 3 f) 1 − (4w − 7) = (1 − w)(−1)

25. ●●● Corregeix els errors comesos en la resolució de l’equació:

EQUACIONS LINEALS. SISTEMES 26. ● Identifica quines de les equacions següents són equacions lineals amb dues incògnites: a) x + 2y = 4 b) x + y = 0 c) 2(x − y) = 3x x−y =3 d) 5

e) x2 = y f) x + y = y g) x ⋅ y = 8 x =8 h) y

27. ● Donada l’equació 2x − 3y = 7, digues quina és la solució. a) x = 1, y = 5

b) x = 5, y = 1

28. ● Quines d’aquestes equacions tenen com a solució x = −1, y = 3? y a) 3x + y = 3 c) 3 x − = 0 3 x y b) 3x − y = 0 d) − = 1 3 9 29. ●● Escriu tres equacions lineals amb dues incògnites que tinguin com a solució x = 2, y = −1. 30. ●● Escriu una equació que sigui equivalent ⎛1 ⎞ 2 a x − ⎜⎜ x − 4⎟⎟ = 3 i que no tingui cap fracció. ⎜ ⎟⎠ ⎝5 3 Un cop resolta, comprova’n les solucions. 31. ●● Comprova que si x = 2, y = −3 és la solució d’una equació, també ho serà de l’equació que en resulta si: a) Sumem 8 als dos termes. b) Multipliquem els dos membres per 3. c) Dividim els dos membres entre 5. 32. ●● Comprova que x = 2, y = 1 és la solució de les equacions: a) 3x + 2y = 8 3 b) x + y = 4 2

d) 15x + 10y = 40 3 1 e) x + y = 2 4 2 2 8 c) 9x + 6y = 24 f) x + y = 3 3 Hi ha alguna relació entre elles? 33. ● Són els valors x = −2, y = −1 la solució d’aquests sistemes d’equacions? a) x + y = 3 ⎫⎪ c) x + 2 y = −3⎫⎪ ⎬ ⎬ x − 2 y = −4⎪⎪⎭ 2 x − y = −1⎪⎪⎭ b) 3 x − 2 y = −5⎪⎫ d) x + 2 y = −3⎪⎫ ⎬ ⎬ x − 2 y = 0 ⎪⎪⎭ −x − 2 y = 4 ⎪⎪⎭

830863 _ 0113-0134.qxd

26/12/07

16:08

Página 131

34. ●● Escriu un sistema d’equacions lineals que tingui aquestes solucions:

b) x = −2, y = 5

1 d) x = , y = 8 2 e) x = −4, y = 0,5

c) x = 8, y = 10

f) x = 0, y = 0

a) x = 3, y = 4

39. ●● Resol pel mètode de reducció: a) x + 3 y = 4 ⎫⎪ ⎬ 2 x − 3 y = −1⎭⎪⎪

c) 2 x + 3 y = 7⎫⎪ ⎬ x − 3 y = 0⎪⎭⎪

b) x − 2 y = 1 ⎫⎪ ⎬ 2 x + 2 y = 8⎪⎭⎪

d) 5 x + 3 y = 16⎫⎪ ⎬ 3 x − 3 y = 0 ⎭⎪⎪

40. ● Resol aquests sistemes per reducció:

RESOLUCIÓ DE SISTEMES D’EQUACIONS

a) x + y = 0 ⎫⎪ ⎬ x − y = −10⎪⎭⎪

c) 3 x + 4 y = −2⎫⎪ ⎬ 2 x + 3 y = 0 ⎭⎪⎪

35. ● Resol pel mètode de substitució els sistemes d’equacions:

b) 2 x − 5 y = 1 ⎫⎪ ⎬ −x + 4 y = 4⎪⎭⎪

d) 4 x − 2 y = −2⎫⎪ ⎬ 5 x + 3 y = 6 ⎭⎪⎪

a) x + 3 y = 4 ⎪⎫ ⎬ 2 x − 3 y = −1⎪⎭⎪ b) x − 2 y = 1 ⎫⎪ ⎬ 2 x + 2 y = 8⎪⎭⎪

e) x − y = 5⎪⎫ ⎬ 2 x + y = 1 ⎪⎪⎭ f) x + 4 y = 9⎫⎪ ⎬ 3 x − 6 y = 9⎪⎭⎪

c) 2 x + 3 y = 7⎪⎫ ⎬ x − 3 y = 0⎪⎪⎭ d) 5 x + 3 y = 16⎪⎫ ⎬ 3 x − 3 y = 0 ⎪⎪⎭

g) 5 x − 3 y = 1 ⎪⎫ ⎬ 4 x + 3 y = 11⎪⎪⎭ h) 3 x − 2 y = 5 ⎪⎫ ⎬ 4 x + 2 y = 14⎪⎪⎭

36. ● Resol aquests sistemes per substitució: a)

x = 3 y + 2⎫⎪ ⎬ ⎪⎪⎭ 2x − 5 y = 5

x = 1 − y ⎪⎫ ⎬ 3 x + 2 y = −1 ⎪⎪⎭

c) 2 x + 5 y = 11 ⎫⎪ ⎬ 5 x − 3 y = −19⎪⎪⎭ d) 4 x + y = 6⎪⎫ ⎬ −x − y = 0 ⎪⎪⎭

37. ● Resol pel mètode d’igualació els sistemes d’equacions:

41. ●● Resol pel mètode més adequat: a) x + y = 2⎫⎪ ⎬ x − y = 6⎭⎪⎪

c) x + 2 y = 5 ⎫⎪ ⎬ 2 x + 5 y = 11⎪⎭⎪

b) 2 x + 3 y = 4⎪⎫ ⎬ 2 x − 3 y = 4⎪⎪⎭

d) 2 x + 3 y = 8⎪⎫ ⎬ x + 2 y = 3⎪⎪⎭

42. ●● Resol pel mètode més adequat: a) x − 3 y = 4⎫⎪ ⎬ 2 x − 5 y = 8⎪⎭⎪

c) 4 x − 5 y = 10 ⎫⎪ ⎬ 2 x + 7 y = −4⎭⎪⎪

b) 3 x + y = 3⎪⎫ ⎬ 6 x − y = 0⎪⎪⎭

d) x − 3 y = 13⎪⎫ ⎬ 5 x − 2 y = 26⎪⎪⎭

FES-HO AIXÍ COM RESOLEM UN SISTEMA AMB PARÈNTESIS I FRACCIONS?

2(x − 2) − 3( y + 1) + 6 = 17 ⎫⎪⎪ ⎪⎬ x y 43. Resol: 4(x − y) − + = 25⎪⎪ 3 2 ⎪⎭ PRIMER. Eliminem a) parèntesis i b) denominadors i c) reduïm els termes semblants a les dues equacions:

2(x − 2) − 3(y + 1) + 6 = 17 ⎫⎪⎪ a) b) c) ⎪⎬ ⎯⎯→ x y 4(x − y) − + = 25⎪⎪ ⎪⎭ 3 2 38. ● Resol aquests sistemes per igualació: a) 3 x + 2 y = 7 ⎪⎫ ⎬ 4 x − 3 y = 15⎪⎪⎭ b) 2 x − 3 y = 13⎫⎪ ⎬ 3 x − 6 y = 12⎪⎪⎭

d) x + 5 y = 13 ⎪⎫ ⎬ 2 x − 5 y = −23⎪⎭⎪ e) 2 y − 7 x = 3 ⎫⎪ ⎬ 3 x + 7y = 43⎪⎪⎭

c) 2 x + 4 y = 6⎪⎫ ⎬ 3 x + 7 y = 5 ⎪⎪⎭

f) 3 x + 5 y = 11 ⎪⎫ ⎬ 2 x + 5 y = 29⎪⎪⎭

→

2 x − 23y = 18 ⎫⎪ ⎬ 22 x − 21y = 150⎪⎪⎭

Resolem per un dels tres mètodes, per exemple, per reducció:

SEGON.

2x − 23y = 180 ⎫⎪ 1a eq < (−11) i (+) x = −4 ⎫⎪ ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎬ 22x − 21y = 150 ⎭⎪⎪ y = +3 ⎭⎪⎪

830863 _ 0113-0134.qxd

17/12/07

16:43

Página 132

44. ●●● Resol aquests sistemes: a)

2 x + 3 y = 5 + x + 2 y ⎫⎪ ⎬ x − 2y − 3 = 3 − 4 y ⎭⎪⎪ x y 11 ⎪⎫ − = ⎪⎪ 2 5 5 ⎪⎬ ⎪ 4x − 5y = 2 ⎪⎪ ⎪⎪⎭ 2

x + 4y x−y 2 ⎪⎫ + = ⎪⎪ 3 5 3 ⎬⎪ −x + 5 y = 13⎪⎪⎭

PROBLEMES AMB EQUACIONS 45. ● El doble més el triple d’un nombre sumen 35. Troba el nombre. 46. ●● Escriu en llenguatge algebraic els enunciats i troba’n la solució: a) La suma de dos nombres consecutius és 63. b) La suma de dos nombres parells consecutius és 126. c) El doble d’un nombre i la seva meitat sumen 10. d) El doble de la suma d’un nombre més 7 és 18. e) El triple d’un nombre menys 8 és 40. f) Un nombre menys la seva cinquena part és 80. 47. ●● La suma de tres nombres és 330. El primer és el doble del segon i el segon és el triple del tercer. Calcula aquests nombres. 48. ●● Un trajecte en taxi costa 2,50 € de baixada de bandera i 1,50 € per cada quilòmetre. Si paguem 13 €, quina distància hem recorregut? 49. ●● Al zoològic hi ha el doble de tigres que de panteres, i sabem que en total són 171 animals. Determina quants n’hi ha de cada espècie.

53. ●● Un nounat guanya durant el seu primer mes de vida la cinquena part del seu pes, i el segon mes augmenta les quatre cinquenes parts del pes que va augmentar el mes anterior. Si quan acaba el segon mes pesa 5.450 g, quant pesava quan va néixer? 54. ●●● Esbrina la meva edat si tinc el triple de l’edat que tenia fa 8 anys. 55. ●●● Una mare té 36 anys i les edats dels seus tres fills sumen 18 anys. a) Quants anys han de passar perquè sumin l’edat de la mare? b) I perquè sumin el doble de la seva edat?

PROBLEMES AMB SISTEMES FES-HO AIXÍ COM EXPRESSEM CERTS ENUNCIATS MITJANÇANT EQUACIONS AMB DUES INCÒGNITES?

56. Expressa mitjançant equacions amb dues incògnites aquests enunciats: a) La suma de dos nombres és 33. b) Quatre cadires i una taula costen 260 €. c) En Jaume pesa 22 kg més que el seu gos. d) L’amplada d’un rectangle és el doble que l’altura. PRIMER. Assignem una incògnita a cada dada desconeguda.

Dades desconegudes

Incògnites

Dos nombres

x, un nombre y, l’altre nombre

3 parts de nois, i les 7 noies són 16. Quants nois hi ha a l’aula?

Preu d’una cadira i una taula

x, preu d’una cadira y, preu d’una taula

Pes d’en Jaume i el seu gos

x, pes d’en Jaume y, pes del gos

51. ●● En Joan efectua la quarta part d’un viatge en autobús, la sisena part en moto, tres vuitenes parts en bicicleta, i els últims 40 km caminant.

Amplada i altura d’un rectangle

x, amplada y, altura

50. ●● En una aula hi ha

a) Quina distància ha recorregut en total? b) Quina distància ha recorregut en cada mitjà de transport? 52. ●● La Maria s’entrena de manera que augmenta el recorregut del dia anterior en 1 km. Al cap de set dies, el recorregut total que ha fet és de 42 km. Quant ha entrenat l’últim dia?

Relacionem les dades conegudes i desconegudes mitjançant una igualtat.

SEGON.

a) La suma de dos nombres és 33 ⎯→ x + y = 33 b) Quatre cadires i una taula costen 260 € → 4x + y = 260 c) En Jaume pesa 22 kg més que el seu gos. → x + 22 = y d) L’amplada d’un rectangle és el doble que l’altura. → → x = 2y

830863 _ 0113-0134.qxd

17/12/07

16:43

Página 133

57. ●● Expressa mitjançant una equació lineal amb dues incògnites aquests enunciats i indica què representen les incògnites: a) La suma de dos nombres és 15. b) La meitat d’un nombre més el doble d’un altre és igual a 52. c) La diferència entre les edats d’un pare i un fill és de 28 anys. d) He recorregut 20 km més que tu. e) Tinc 16,50 € en monedes d’1 € i 50 cèntims. f) El preu de 2 kg de taronges i 3 kg de pomes és de 5,80 €. g) Dos entrepans i tres refrescos costen 14 €. h) El perímetre d’un rectangle és de 32 m. Quantes solucions té cada equació? Dóna una solució per a cadascuna. 58. ●● L’Anna té 5 cromos més que en Joan, i entre tots dos sumen 59 cromos. Quants cromos té cadascun? 59. ●● En Robert té un total de 13 bolígrafs i retoladors, i hi ha 3 retoladors més que bolígrafs. Quants bolígrafs i retoladors té? 60. ●● En un taller, el nombre de cotxes és igual al doble del nombre de motos més 2. Calcula el nombre de cotxes i motos si en total i ha 48 rodes.

62. ●● En Pau té 8 anys, i la seva germana, 2 anys. D’aquí a quants anys l’edat d’en Pau serà el doble que la de la seva germana? 63. ●● Canviem el valor de diverses monedes d’1 cèntim d’euro per monedes de 5 cèntims, i obtenim 60 monedes menys. Quantes monedes són de cada classe?

INVESTIGA 64. ●●● La solució d’aquesta equació és x = 9.

Investiga a quin nombre equival el triangle. 65. ●●● Calcula el temps que necessites per resoldre aquest problema si utilitzes: 1 parts del temps total a llegir-lo 25 1 parts del temps total a plantejar-lo 4 41 parts del temps total a resoldre’l 100 i un minut i mig a comprovar-lo 66. ●●● Un mes el podem expressar amb una única xifra, com juny, que seria el mes 6, o amb dues xifres, com octubre, novembre o desembre. Però, en tot cas, ho podem escriure 10 ⋅ a + b. Així, per exemple, març es pot escriure 10 ⋅ a + b, on a = 0 i b = 3 i desembre, 10 ⋅ a + b, on a = 1 i b = 2. Segueix aquestes indicacions i explica per què podem endevinar l’edat i el mes de naixement de qualsevol persona aplicant aquests passos:

61. ●● Per un desert avança una caravana formada per camells i dromedaris, amb un total de 440 potes i 160 geps. Quants camells i dromedaris hi ha a la caravana?

1r 2n 3r 4t 5è

Multiplica per 2 el teu mes de naixement. Suma-hi 5. Multiplica-ho per 50. Suma-hi la teva edat. Resta 250 al resultat i obtindràs el teu mes de naixement i l’edat.

67. ●●● Troba un nombre de tres xifres que compleixi les condicions següents: • Que sigui múltiple de 9. • La seva xifra de desenes sigui 5. • Que intercanviant la xifra d’unitats i centenes, disminueixi de 198.

tema 7 Proporcionalitat numĂ¨rica

Grup Promotor Santillana

830863 _ 0135-0154.qxd

17/12/07

09:18

Página 148

RAÓ I PROPORCIÓ

TERME DESCONEGUT D’UNA PROPORCIÓ

1. ● A una bóta amb 4 ¬ de vi hi afegim 0,4 ¬ d’aigua. Esbrina la raó entre vi i aigua. 2. ● Per terme mitjà dormim 8 hores al dia. Quina és la raó entre el temps que dormim i el temps total? Quant de temps has dormit, de mitjana, fins a l’actualitat?

9. ●

Calcula x en aquestes proporcions:

x 3 = 4 1

4 5 = x 3

2,4 8 = 1,5 x

10. ●●

Calcula el valor de a, b i c en aquestes 3 18 b c = = proporcions: = . 5 a 25 12

11. ● Troba el terme que falta perquè els nombres següents formin una proporció: a) 24, 51 i 104

b) 5, 6 i 40

c) 3, 5 i 12

FES-HO AIXÍ COM CALCULEM ELS MITJANS 3. ● Expressa la raó anterior per a aquests casos: a) Temps despert i temps total. b) Temps dormit i temps despert. c) Temps total i temps dormit. 4. ● Dels 500 habitants d’un poble, 300 són dones. Troba la raó entre homes i dones. 5. ●

16 x = . x 4 PRIMER. Apliquem la propietat fonamental. 16 x = → 16 ⋅ 4 = x ⋅ x → x2 = 64 4 x 12. Calcula x en la proporció:

SEGON.

Resolem l’equació que en resulta.

Esbrina si són correctes aquestes proporcions:

10 16 = a) 4 6,4 6. ●

O ELS EXTREMS D’UNA PROPORCIÓ QUAN SÓN IGUALS?

5 8 = b) 2 3,2

x2 = 64 → x =

64 = 8

16 8 = . Així doncs, la proporció és: 8 4

Forma proporcions a partir de les igualtats:

a) 5 ⋅ 8 = 20 ⋅ 2 b) 7 ⋅ 4 = 14 ⋅ 2

c) 5 ⋅ 8 = 10 ⋅ 4 d) 6 ⋅ 5 = 15 ⋅ 2

7. ●● Comprova que 422 = 12 ⋅ 147 i dedueix-ne una proporció. 8. ●●●

La raó entre les probabilitats de guanyar 5 de dos equips A i B és . Què significa aquesta 3 raó? Podries calcular, en tant per cent, les possibilitats de victòria de A? I les de B?

13. ●● Troba dos nombres iguals que formin proporció amb els nombres següents: a) 4 i 49

b) 1 i 0,64

3 27 i 5 20

14. ●● Calcula quant val x en la proporció 3+x 15 = . 5 + 20 70 a 16 Calcula a i b si saps que = 45 b 8 i que és la constant de proporcionalitat. 9

15. ●●

Calcula a i b si saps que a + b = 15 7 28 i que = . a b

16. ●●

17. ●●● Troba dos nombres que tinguin 2,25 de raó i que sumin 65.

830863 _ 0135-0154.qxd

17/12/07

09:18

Página 149

MAGNITUDS DIRECTAMENT PROPORCIONALS

MAGNITUDS INVERSAMENT PROPORCIONALS

18. ●● Assenyala si les parelles de magnituds següents són directament proporcionals o no:

22. ●● Estudia si la relació que hi ha entre aquestes parelles de magnituds és de proporcionalitat, i en el cas que ho sigui, si és directa o inversa:

a) Temps en què s’omple una ampolla i quantitat de líquid a l’interior. b) Nombre de persones que participen en una excursió i diners que paguen. c) Nombre d’hores treballades i diners cobrats. d) Edat i pes d’una persona. e) Costat d’un quadrat i àrea. f) Costat d’un quadrat i perímetre. g) Nombre d’obrers i durada d’una obra. h) Velocitat i temps en un moviment amb velocitat constant. 19. ● Comprova si aquestes taules corresponen a magnituds directament proporcionals: a)

20. ● Completa la taula i troba la constant de proporcionalitat directa en cada cas: a) Temps de lectura

5 min

Pàgines llegides

b) Temps

10 min 15 min 20 min

Nre. d’objectes fabricats

B 7

30 54

4 75

24. ●● Crea una taula de valors que relacioni dues magnituds inversament proporcionals que tinguin les constants de proporcionalitat següents:

21. ●● Completa les taules següents si saps que A i B representen magnituds directament proporcionals. Troba la constant de proporcionalitat directa en cada cas. A

23. ● Completa les taules següents si saps que A i B representen magnituds inversament proporcionals. Troba la constant de proporcionalitat en cada cas.

18 min 36 min 54 min 72 min

de fabricació

a) Velocitat i temps en un moviment amb velocitat constant. b) Espai i temps en un moviment amb velocitat constant. c) Nombre de persones que es reparteixen un pastís i tros que els toca a cadascú. d) Nombre d’hores que un alumne mira la televisió i nombre d’hores d’estudi. e) Quantitat de diners que estalvia una família i quantitat de diners que dedica a despeses. f) Quantitat d’aprovats i quantitat de suspensos en una assignatura. g) Nombre de paletes i temps que triguen per construir una paret. h) Nombre de persones que mengen i quantitat d’aliment. i) Nombre de persones que participen en la compra d’un regal i diners que hi aporten. j) Nombre de jornalers i temps que triguen en la recollida de l’oliva.

9 4

A B

a) 36

4 9

c) 60

d) 140

25. ●● Corregeix aquestes taules si A i B són magnituds inversament proporcionals: 11

5 3

b) 48

1,5

6,4

2,5

1,5

1,3

830863 _ 0135-0154.qxd

17/12/07

09:18

Página 150

PROBLEMES DE PROPORCIONALITAT 26. ● En una fàbrica de cotxes es fan 300 unitats cada 5 hores. Quants cotxes es fabricaran en 12 hores si es manté el mateix ritme?

35. ●● Per fer una paella necessitem 2 gots d’aigua per cada got d’arròs. Si hi tirem 4 gots i mig d’aigua, quants gots d’arròs hi haurem d’afegir?

27. ● Un pintor cobra 425 € per 5 dies de feina. Quant cobrarà per 7 dies? 28. ● Quatre tractors llauren un camp en 6 hores. Calcula el temps que trigarien 6 tractors per llaurar-lo. 29. ● Vuit persones recullen les taronges d’un camp en 9 hores. Quant trigarien a fer-ho 6 persones?

receptes

RRÒS

36. ●● Els meus cabells creixen 1 cm cada 3 setmanes. Expressa-ho com una raó. Escriu la proporció del creixement dels meus cabells al cap de 7 setmanes. 37. ●● L’Alícia i l’Antoni reparteixen propaganda. Els 5 paquets de l’Alícia pesen 6 quilos. Quant pesen els 7 paquets de l’Antoni? 38. ●● La propietària d’una pensió té menjar per alimentar els seus 18 hostes durant 12 dies. Si vénen 6 hostes nous, per a quants dies tindran menjar? 39. ●●

30. ● D’una deu hem recollit 200 litres d’aigua en 4 minuts. Quants litres obtindrem en 7 minuts? 31. ● Tres cavalls consumeixen una càrrega de farratge en 10 dies. Quant els durarà la mateixa quantitat de farratge a 5 cavalls? 32. ● Quatre excavadores han obert les voreres d’un carrer en 14 dies. Per fer-ho en 7 dies, quantes excavadores caldrien? 33. ●● Per fer dues camises calen 4,5 m de roba. a) Quanta roba cal per fer 3 camises? b) I per fer 7 camises? c) Quantes camises es poden fer amb 15 m de roba?

La Maria escriu dues pàgines en mitja hora.

a) Quantes pàgines escriurà en 3 hores? b) Quant de temps trigarà per escriure 84 pàgines?

FES-HO AIXÍ COM RESOLEM ELS PROBLEMES D’ENGRANATGES?

40. En un rellotge antic, un engranatge té dues rodes, de 18 i 12 dents, respectivament. Si la roda gran fa 6 voltes, calcula quantes voltes fa la petita. PRIMER. Comprovem el tipus de proporcionalitat que tenen les magnituds. fa

Amb 18 dents ⎯⎯⎯→ 6 voltes farà Amb 36 dents ⎯⎯⎯→ 3 voltes La relació de proporcionalitat és inversa. SEGON.

Es planteja una regla de tres.

Dents

34. ●● Amb una velocitat de 20 nusos, un vaixell fa una travessia en 8 hores. Troba la velocitat d’un altre vaixell que fa la mateixa travessia en 6 hores i mitja.

Voltes

18 ⋅ 6 18 ⎯⎯⎯ → 6 ⎪⎫ raó inversa =9 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ x = 12 ⎯⎯⎯ → x ⎪⎪⎭ 12 La roda de 12 dents farà 9 voltes.

830863 _ 0135-0154.qxd

2/1/08

12:08

Página 151

41. ●● Dues rodes dentades engranen mútuament. La primera té 20 dents, i la segona, 50. Si la primera ha fet 5.000 voltes, quantes voltes ha fet la segona? 42. ●● Les rodes del darrere i del davant d’un cotxe tenen 1,3 m i 1 m de diàmetre, respectivament. Si les rodes del darrere han fet 260 voltes, quantes n’han fet les del davant?

FES-HO AIXÍ COM RESOLEM ELS PROBLEMES DE MÒBILS? 47. Un caminant i un ciclista van per la mateixa carretera. El caminant va a una velocitat de 4 km/h, i el ciclista, de 20 km/h. a) Si surten alhora, des de punts oposats que disten entre si 12 km, quant trigaran a trobar-se?

43. ●● He pagat 60 € per l’abonament de la piscina d’aquest estiu, però només hi puc anar 45 dies. Si l’entrada normal costa 1,25 € al dia, estalviaré diners havent comprat l’abonament?

4 km/h

44. ●● A la taula següent veiem l’oferta d’uns grans magatzems si comprem un nombre determinat de litres de llet. Són directament proporcionals l’obsequi i la compra? 40

100

Litres obsequiats

45. ●● A la taula següent veiem l’oferta d’una fruiteria si comprem un nombre determinat de quilos de patates. Són directament proporcionals l’obsequi i la compra? Quilos comprats

Quilos obsequiats

1,5

4,5

Quina quantitat de patates hem de comprar perquè ens en regalin 10,5 kg?

V=9V

46. ●● La relació entre la diferència de potencial (volts) entre els dos extrems d’un determinat cable conductor i la intensitat de corrent (càrrega que passa pel cable) és igual a la resistència del cable conductor. Aquesta llei va ser establerta per George Ohm l’any 1827 i s’escriu així: V = I ⋅ R; és a dir, la diferència de potencial i la resistència són inversament proporcionals.

I →

20 km/h

b) Si surten del mateix punt i el caminant té un avantatge de 4 km, quant de temps trigarà el ciclista per agafar-lo? 20 km/h

Litres comprats

12 km

4 km/h

4 km PRIMER. Sumem o restem les quantitats, segons que la direcció sigui diferent o la mateixa.

a) b)

VELOCITAT PER TROBAR-SE VELOCITAT PER AGAFAR-LO

= 20 + 4 = 24 km/h = 20 − 4 = 16 km/h

La raó entre la distància que els separa i la velocitat a la qual s’aproximen és el temps, t.

SEGON.

distància 12 = = 0,5 h per trobar-se. velocitat 24 distància 4 = = 0,25 h per agafar-lo. b) t = velocitat 16 a) t =

48. ●● L’autobús de Cap Amunt surt a les 12 del migdia en direcció a Cap Avall. Una hora i deu minuts més tard surt de Cap Amunt un automòbil amb la mateixa direcció. Si l’autobús circula a 80 km/h i l’automòbil va a 95 km/h:

R = 2,5 Ω

Esbrina la intensitat de corrent I que circula pel circuit de la figura. I si la resistència hagués estat de 7,5 Ω?

a) Quant trigarà el cotxe a agafar l’autobús? b) Si la distància entre les dues poblacions és de 146 km, el cotxe agafarà l’autobús abans d’arribar a Cap Avall?

830863 _ 0135-0154.qxd

17/12/07

09:18

Página 152

49. ●● Una aixeta aboca un cabal de 25 ¬/min i omple un dipòsit d’aigua en 1 hora i 20 minuts. Quant trigarà a omplir el mateix dipòsit una altra aixeta amb un cabal de 20 ¬/min? 50. ●● En una banyera, l’aigua arriba a 12 cm d’altura amb una aixeta que treu 180 ml/s d’aigua en 12 minuts. Si l’aixeta tragués 90 ml/s, a quina altura arribaria en el mateix temps?

FES-HO AIXÍ COM RESOLEM ELS PROBLEMES D’OMPLIR I BUIDAR?

53. ●●● Dos desguassos iguals buiden una bassa d’aigua en 4 hores i quart. En quant de temps es buidaria si obríssim tres desguassos? 54. ●●● Una aixeta omple un estany en 8 hores. Com a conseqüència d’una avaria, l’aixeta aboca tan sols 2/3 parts del seu cabal. Per omplir l’estany encara falten les 3/4 parts. Quants de temps trigarà ara l’aixeta per omplir-lo? 55. ●●● Un arquitecte calcula acabar un edifici en un any i mig, amb l’ajut de 36 obrers. Si li concedeixen un pròrroga de mig any, de quants obrers pot prescindir?

51. Una aixeta A triga 36 hores a omplir una piscina, i una altra aixeta B triga 24 hores. Si obrim totes dues aixetes alhora, quant trigarà a omplir-se la piscina? PRIMER. Reduïm a la unitat en cada aixeta.

⎫⎪ 1 parts de piiscina⎪⎪ ⎪⎪ 36 ⎬ ⎪ 1 Aixeta B, en 1 hora, omple: partts de piscina ⎪⎪ ⎪⎪⎭ 24

Aixeta A, en 1 hora, omple:

Aixeta A i aixeta B, en 1 hora, omplen: 1 1 5 + = parts de piscina 36 24 72 Reduïm a la unitat en totes dues aixetes. 5 1 parts de piscina en 1 h → parts 72 72 1 72 de piscina en h → parts de la piscina 5 72 1 en 72 ⋅ = 14 h 24 min 5

PROBLEMES AMB PERCENTATGES 56. ● En un poble hi ha 2.350 habitants. Si el 68 % són nens, esbrina el nombre de nens del poble.

SEGON.

57. ● En una classe de 30 alumnes, n’han faltat 6. Quin ha estat el percentatge d’absències? 58. ● De 475 persones, a 76 els agrada el futbol. A quin percentatge de persones no els agrada el futbol?

Totes dues aixetes trigaran a omplir-la 14 h 24 min.

52. ●●● Una piscina té dos desguassos. El primer triga 8 hores per buidar la piscina. I quan s’obre el segon desguàs, la piscina triga 6 hores per buidar-se. Quant de temps trigarà a buidar-se si obrim tots dos desguassos alhora? 59. ● El 18 % d’una collita d’enciams són 10.800 kg. Quants quilos té la collita? 60. ● Un vestit costa 280 €. Si n’apugen el preu el 12 %, quant costarà? 61. ● Les reserves d’aigua d’una comarca eren de 350 hm3. Si han augmentat el 12 %, quines són les reserves actuals?

830863 _ 0135-0154.qxd

17/12/07

09:18

Página 153

62. ●● Dels 1.200 alumnes d’un institut, el 25 % practiquen atletisme; el 15 %, bàsquet, i el 40 %, futbol. Calcula el nombre d’alumnes que practiquen cada esport i el percentatge dels que no el practiquen.

Calcula el capital final que retirarem 67. ●●● després de 6 anys si s’inverteixen:

63. ●● Tres excursionistes s’enduen aliment per a la seva estada a la muntanya. Quan arriben al refugi descobreixen que tenen el 15 % més de provisions. Si disposen de 402,5 kg de menjar, esbrina quant en tenien al principi.

68. ●●● A quin tant per cent s’han invertit 12.000 € durant 3 anys si s’han obtingut 900 € de benefici?

a) 10.000 €, al 3,5% anual. b) 5.000 €, al 4% anual.

Durant quants anys hem invertit 15.000 € 69. ●●● al 2,8 % si després tenim 17.100 €?

INVESTIGA 70. ●●● Aquesta és la situació que es va plantejar quan l’Alfred va anar a comprar un televisor.

64. ●● Un establiment venia el cafè a 5 €/kg. Si ara el ven a 4,75 €/kg, calcula el percentatge de descompte que hi ha aplicat.

A aquest preu cal afegir-hi el 12 % d’IVA.

Doncs llavors li pago 1.600 € més el 22 %. OFERTA

Volem fer la fotocòpia d’una làmina, 65. ●● de la qual reduirem l’altura de 12,5 cm a 6 cm. Quin percentatge de reducció hi aplicarem? 12,5 cm

1.600 € més el 10 % d’IMPOSTOS

Penses que l’Alfred i la dependenta parlen del mateix preu?

FES-HO AIXÍ

COM CALCULEM LA QUANTITAT FINAL D’UNA INVERSIÓ? 66. Invertim 3.000 € al banc a un rèdit del 5 % anual. Quina quantitat de diners tindrem després de 10 anys? PRIMER. Calculem el benefici anual.

5 = 150 € Benefici anual = 3.000 ⋅ 100 SEGON. Multipliquem el benefici anual pel nombre d’anys que mantenim la inversió. Benefici = 150 ⋅ 10 = 1.500 € TERCER. Sumem els beneficis a la quantitat

inicial. Quantitat final = 3.000 + 1.500 = 4.500 € Després de 10 anys tindrem 4.500 €.

71. ●●● Una fotocopiadora triga una hora per fer m fotocòpies. I una altra, per fer el mateix nombre de fotocòpies, triga una hora i mitja. Quants minuts trigaran totes dues fotocopiadores per fer alhora aquest nombre m de fotocòpies? Al segle VIII, un monjo 72. ●●● benedictí anglès conegut amb el nom de Beda el Venerable va plantejar aquest curiós problema. Un testador a punt de morir deixa dit en la seva herència: «Com que la meva dona aviat donarà a llum, atorgaré la meva herència en funció del sexe de la meva prole: si és nen li deixaré 2/3 de l’herència, i a la seva mare, 1/3; i si és nena, li deixaré 1/3 de l’herència, i a la meva dona, 2/3.» El testador es mor, i al cap d’uns quants dies la vídua dóna a llum una parella de bessons de diferent sexe. Com s’han de repartir l’herència?

tema 8 Proporcionalitat geomĂ¨trica

Grup Promotor Santillana

830863 _ 0155-0174.qxd

17/12/07

09:56

Página 168

SEGMENTS PROPORCIONALS 1. ●

Calcula la raó d’aquests segments:

a) b) c) d)

AB = 6 cm AB = 64 cm AB = 15 dm AB = 20 m

CD = 8 cm CD = 1 m CD = 9 m CD = 4 m

AB 1 = Si la raó , calcula: CD 4

2. ●

4. ●● Són proporcionals els segments AB, CD, EF i GH en les sèries següents? EF = 6 cm EF = 5 cm EF = 4 m EF = 12 dm

EF = 9 cm

b) AB = 2 m

CD = 7 m

EF = 8,2 m

c) AB = 3 dm

CD = 5 dm

EF = 21 dm

d) AB = 10 cm

CD = 15 cm

EF = 25 cm

8. ●● La raó de dos segments és 4 i la diferència de les seves longituds és de 7 cm. Calcula la longitud de cada segment.

AB = 1,6 ; calcula: CD a) AB, si CD = 9 dm b) CD, si AB = 13,6 cm

CD = 5 cm CD = 1 m CD = 8 cm CD = 4 m

CD = 6 cm

3 La raó de dos segments és i la suma 5 de les seves longituds és de 8 cm. Troba la longitud de cada segment.

3. ● Si la raó

AB = 2 cm AB = 2 dm AB = 6 cm AB = 3 m

a) AB = 3 cm

7. ●●

a) AB, si CD = 76 cm b) CD, si AB = 3 cm

a) b) c) d)

6. ● Calcula la longitud que ha de tenir el quart segment proporcional als segments AB, CD i EF.

GH = 16 cm GH = 25 cm GH = 3 m GH = 16 dm

TEOREMA DE TALES 9. ●●

Calcula les longituds desconegudes:

e) 2,5 cm

2 cm

3 cm

10 cm

5c m 8c m

FES-HO AIXÍ b)

5. Donats tres segments: AB = 4 cm, CD = 3 cm i EF = 2 cm, calcula la longitud d’un quart segment, GH, que sigui hi proporcional. El segment que volem trobar l’anomenem segment quart proporcional.

3 cm

m 2c x

3 cm

g) m 7c

8c m

proporcionals.

AB EF 4 2 = → = CD GH 3 GH

4c m x

m 2c

6 cm

3 cm

5 cm

Resolem l’equació. z 4 cm

5 cm y

1,5 cm

AB EF 4 2 = → = → 4 ⋅ 1,5 = 3 ⋅ 2 → 6 = 6 CD GH 3 1,5

0,8 cm

1 cm 5,2 cm 8 cm

m 6c

cm 8,1

TERCER. Comprovem la solució.

4 2 6 = → 4 ⋅ GH = 3 ⋅ 2 → GH = = 1,5 cm 3 GH 4

cm 4,8

m 4c

PRIMER. Hi apliquem la definició de segments

SEGON.

2 cm F

COM CALCULEM UN SEGMENT PROPORCIONAL A TRES SEGMENTS MÉS?

2 cm

830863 _ 0155-0174.qxd

10. ●

17/12/07

09:56

Página 169

15. ●● Observa la figura següent, en la qual el segment AB, de 12 cm de longitud, es divideix en parts proporcionals als segments a, b i c. Calcula AP, PQ i QB, amb aquestes dades:

Considera aquesta figura: C' B' A'

C b

a) Si OA = 2 cm

OB = 5 cm

OA' = 2,6 cm OC' = 11,7 cm

calcula: A'B', B'C', OB' i BC. b) Si OA' = 4 cm

OB = 9 cm

OB' = 12 cm

calcula: OA, AB, A'B', B'C', OC i BC. OC = 22,5 cm

OC' = 36 cm

12 cm

a) b) c) d)

OC' = 18 cm

c) Si OA = 5 cm

OB' = 24 cm

a = 6 cm, b = 8 cm i c = 4 cm a = 5 cm, b = 10 cm i c = 3 cm a = 8 cm, b = 10 cm i c = 4 cm a = 2 cm, b = 5 cm i c = 1 cm

16. ●● Divideix un segment de 14 cm en tres parts, cadascuna el triple de l’anterior.

calcula: OA', OB, AB, BC, A'B' i B'C'. OB = 0, 8 11. ●● A la figura següent, la raó OB' Calcula OA', AB i BC.

17. ●● Divideix un segment de 20 cm en tres parts, cadascuna la meitat de l’anterior.

C' B'

m 4,5 c

A' 2,8 cm

O 2,3 cm

12. ●●

SEMBLANÇA DE TRIANGLES 18. ● Calcula la longitud dels costats desconeguts en els parells de triangles semblants següents:

Determina les longituds desconegudes:

5 cm

3 cm

4 cm

t 2 cm

4 cm

3 cm

12 cm

b) 5 cm 8 cm

10 cm

6 cm

8 cm

7 cm

13. ● Divideix gràficament un segment AB, amb AB = 10 cm, en: a) 4 parts iguals.

6 cm

3 cm

b) 6 parts iguals.

14. ●● Divideix gràficament un segment AB, amb AB = 18 cm, en parts proporcionals a tres segments d’aquestes mides: a) 3 cm, 5 cm i 6 cm b) 2 cm, 4 cm i 6 cm

c) 3 cm, 4 cm i 5 cm d) 2 cm, 6 cm i 9 cm

Calcula les longituds dels segments i compara el resultat amb la solució gràfica.

5 cm 4 cm

d) 5 cm

5 cm

3,2 cm

2 cm

830863 _ 0155-0174.qxd

18. ●

17/12/07

09:56

Página 170

Dos triangles, ABC i A'B'C', són semblants.

21. ●● Identifica en les figures següents tots els triangles que estiguin en posició de Tales:

Els costats de ABC són: AB = 4 cm

BC = 5 cm

CA = 6 cm

Calcula els costats de A'B'C' i la raó de semblança, si A'B' = 7,2 cm. A

E H

E D

22. ● Els costats d’un triangle ABC fan AB = 12 mm, BC = 15 mm i CA = 21 mm,

FES-HO AIXÍ COM RECONEIXEM ELS TRIANGLES EN POSICIÓ DE TALES? 20. Indica quins triangles de la figura següent estan en posició de Tales: B

i els del triangle A'B'C' fan A'B' = 35 mm, B'C' = 25 mm i C'A' = 20 mm. Són semblants els dos triangles? 23. ●● Determina si aquests parells de triangles són semblants i explica quin criteri apliques en cada cas: a)

4 5

80°

E A

5 G

b) 11

possibles.

9 65°

65°

ABC

ABE

ABG

ADE

EBF

GBC

DBE

DBF

AEG c)

tenen l’angle B$ en comú. tenen l’angle B$ en comú.

12,8

8 7 3

11,2 13

TERCER. De cada grup de triangles amb un angle

en comú, considerem els que tenen paral·lels els costats oposats a aquest angle. ABC i DBF tenen AC i DF paral·lels.

9,1

Prenem els que tenen un angle comú.

ABE, ABG i DBE tenen l’angle B$ en comú.

80° 6

PRIMER. Identifiquem tots els triangles

e) 50°

ABG i DBE tenen AG i DE paral·lels. 40°

EBF i GBC tenen EF i GC paral·lels. Per tant, aquests parells de triangles estan en posició de Tales.

f) 50° 70°

c) AB = 4 cm, BC = 5 cm i C'A' = 16 cm

EBF i GBC

b) A'B' = 20 cm, B'C' = 24 cm i C'A' = 26 cm

ABC i DBF

a) AB = 5 cm, BC = 8 cm i CA = 10 cm

SEGON.

F L

19. ●

La raó de semblança de dos triangles, ABC 1 i A'B'C', és r = . 4 Calcula els costats desconeguts dels dos triangles, si saps que:

50° 60°

830863 _ 0155-0174.qxd

26/12/07

12:04

Página 171

24. ●● Els costats d’un triangle ABC fan AB = 4 cm, BC = 5 cm i CA = 6 cm. Troba la longitud dels costats d’un triangle

31. ●●● Troba el perímetre d’un rectangle que és semblant a un altre rectangle de costats 8 cm i 5 cm, amb aquestes raons de semblança: 3 5 d) r = 4 2 Quina relació hi ha entre els perímetres del rectangle original i els dels triangles semblants? a) r = 2

semblant A'B'C', si saps que: a) La raó de semblança és r = 2,5. b) El perímetre de A'B'C' és de 30 cm.

b) r = 0,5

c) r =

POLÍGONS SEMBLANTS 25. ● Dibuixa dos quadrats semblants que tinguin les raons de semblança següents: 1 1 a) r = 2 b) r = c) r = 2,5 d) r = 2 3 26. ● Dibuixa triangles semblants que tinguin aquestes raons de semblança respecte del que està dibuixat: 6 cm

8 cm 12 cm

1 2 1 b) r = 4 a) r =

QUINA RELACIÓ HI HA ENTRE EL PERÍMETRE I L’ÀREA DE DUES FIGURES SEMBLANTS? 32. Calcula el perímetre i l’àrea d’aquests dos trapezis semblants: 4 cm 2 cm

c) r = 3

6 cm

5 d) r = 4

27. ● Dibuixa figures semblants a les següents que tinguin com a raó de semblança r = 2 i r = 0,5: a)

FES-HO AIXÍ

3 cm

3,6 cm 4 cm

8 cm

Si dos polígons són semblants, es compleix que: • Els perímetres són proporcionals amb raó r. • Les àrees són proporcionals amb raó r 2. PRIMER. Calculem la raó de semblança del

primer polígon respecte del segon. 6 8 4 = = = 2 ← Raó de semblança 3 4 2 28. ●●

Dos triangles ABC i A'B'C' són semblants 1 i la seva raó de semblança és . Les mides 4 dels costats del triangle ABC són AB = 8 cm, BC = 10 cm i AC = 14 cm. Troba les longituds dels costats de l’altre triangle.

Obtenim el perímetre i l’àrea del segon polígon. P = 3 + 4 + 2 + 3,6 = 12,6 cm

SEGON.

(B + b) ⋅ h (4 + 2) ⋅ 3 = = 9 cm2 2 2

TERCER. Multipliquem aquests resultats per

29. ●● Dos triangles ABC i A'B'C' són semblants i la seva raó de semblança és 3. Les mides dels costats del triangle ABC són AB = 6 cm, BC = 7 cm i AC = 3,5 cm. Troba les longituds dels costats de l’altre triangle. 30. ●● Raona si les afirmacions següents són certes: a) b) c) d)

Tots els quadrats són semblants. Tots els rectangles són semblants. Tots els pentàgons són semblants. Tots els pentàgons regulars són semblants. e) Tots els triangles rectangles són semblants.

la raó i pel quadrat de la raó, i obtenim el perímetre i l’àrea del primer polígon, respectivament. P = 12,6 ⋅ r = 12,6 ⋅ 2 = 25,2 cm A = 9 ⋅ r 2 = 9 ⋅ 22 = 36 cm2

33. ●● Troba el perímetre i l’àrea d’aquests polígons semblants: a) Un triangle semblant a un triangle rectangle de costats 3 cm, 4 cm i 5 cm, i raó 3. b) Un quadrat semblant a un quadrat de costat 3 cm i raó 4. c) Un rectangle semblant a un rectangle de costats 4 cm i 6 cm, i raó 2.

830863 _ 0155-0174.qxd

17/12/07

09:56

Página 172

ESCALES

PROBLEMES DE SEMBLANÇA

34. ●

41. ●● Un arbre fa 5 m d’alçada i, a una determinada hora del dia, projecta una ombra de 6 m. Quina alçada tindrà l’edifici de la figura si a la mateixa hora projecta una ombra de 10 m?

Expressa mitjançant una escala numèrica:

a) 25 cm d’un plànol representen 25 km reals. b) 0,8 dm d’un plànol representen 160 km reals. 35. ● Expressa mitjançant una escala numèrica i una escala gràfica:

36. ●

a) 1 cm al plànol equival a 2 km a la realitat. b) 1 cm al plànol equival a 50 km a la realitat. Calcula l’alçada real dels objectes:

Objecte

Escala

1 : 20

10 m

42. ●● Si un pal fa 1 m, i l’ombra que projecta a una determinada hora del dia és d’1,5 m, quant fa un edifici que projecta una ombra de 6 m a la mateixa hora?

1 : 10

1m 1,5 m G

1 : 25

43. ●● Un jugador de bàsquet d’1,9 m llança una pilota a la cistella, que està situada a 6,25 m. Calcula l’alçada a què està la pilota quan va per la meitat del recorregut.

37. ● Troba la distància real entre dos pobles separats 4 cm en un mapa amb aquesta escala: 40

120 3,05 m

quilòmetres

38. ● La distància real entre dues ciutats és de 450 km. Troba la distància que les separa en un mapa dibuixat a escala 1: 1.500.000. 39. ●● La carretera que uneix dos pobles està representada en un mapa a escala 1: 500.000 i fa 6 cm de longitud. Quina seria la longitud de la carretera si la representem en un mapa a escala 1: 60.000? 40. ●● El plànol d’una casa està dibuixat a escala 1: 60. a) Quines dimensions reals té la cuina si al plànol fa 4 cm d’amplada i 7 cm de llargada? b) El passadís fa 7,5 m a la realitat. Quant fa de llargada al plànol?

1,9 m

6,25 m

44. ●● L’ombra que projecta un pare que fa 1,8 m d’alçada, a les 3 de la tarda, és de 2,1 m. Quina alçada té el fill si l’ombra que projecta és d’1,5 m? 45. ●● L’ombra que projecta la Júlia, que fa 1,34 m, a la 1 de la tarda és d’1,2 m. Quant fa la seva mare si en el mateix moment projecta una ombra d’1,4 m? 46. ●● Al costat d’un semàfor, l’ombra d’en Joan fa 1,5 m i l’ombra del semàfor és 60 cm més llarga que la d’en Joan. Quina és la longitud del semàfor si en Joan fa 1,75 m d’alçada?

830863 _ 0155-0174.qxd

17/12/07

09:56

Página 173

INVESTIGA

FES-HO AIXÍ

51. ●●●

COM CALCULEM L’ALÇADA MITJANÇANT EL REFLEX EN UN MIRALL? 47. Per determinar l’alçada d’un objecte inaccessible, col·loquem un mirall al terra i ens allunyem la distància necessària per observar el punt més alt de l’objecte. Quina alçada té l’edifici? B'

Raona les qüestions següents:

a) Dos polígons amb tots els seus angles iguals, són semblants? En quina mena de polígons és verdadera aquesta afirmació? b) Dos polígons amb tots els seus costats proporcionals, són semblants? En quina mena de polígons és verdadera aquesta afirmació? 52. ●●● Troba l’àrea de la zona acolorida, si saps que:

B A

C' 8m

1,75 m C 2m

PRIMER. Comprovem que els triangles ABC

i AB'C' són semblants. En aquest cas, són semblants perquè són triangles rectangles i perquè els angles de refracció són iguals. SEGON. Apliquem la proporcionalitat

entre els seus costats. B'C' AC' B'C' 8 = → = → B'C' = 1,75 ⋅ 4 = 7 m BC AC 1,75 2 L’alçada de l’edifici és de 7 m.

48. ●●● L’Anna està situada a 5 m de la riba d’un riu i veu reflectida una muntanya a l’aigua. Si l’Anna fa 1,70 m i el riu està a 3 km de la muntanya, quina alçada té la muntanya? 49. ●●● Mesurem l’ombra d’un edifici en dos moments del dia.

60°

30°

53. ●●● El triangle ABC és isòsceles, d’àrea 8 cm2. Si D i E són els punts mitjans dels costats iguals, calcula l’àrea del trapezi ABDE.

B C D

54. ●●● El primer mesurament raonable de l’extensió de la Terra és degut a Eratòstenes, que vivia a la ciutat de Siena (ara s’anomena Assuan). Suposava que la Terra era esfèrica i que els raigs solars queien paral·lels al planeta. Alexandria Hi havia un dia α α a l’any que els raigs Siena solars queien perpendiculars sobre la seva ciutat, però això no passava a Alexandria, ciutat que es trobava a 5.000 estadis, i això significava que la Terra no era plana. Llavors va fer un mesurament el mateix dia d’aquest angle α, i era proximadament de 7º 12’. Si la mida d’un estadi era d’uns 150 metres, esbrina, mitjançant una regla de tres, quina era la mida d’un meridià terrestre segons Eratòstenes.

6,67 m 20 m

Calcula l’alçada de l’edifici.

55. ●●● Demostra que l’altura sobre la hipotenusa d’un triangle rectangle en genera dos més de semblants.

450 m

50. ●●● L’Enric està 1,6 m a 2 m d’un penya-segat i veu alineat un poble amb el caire del penya-segat. A quina distància està el poble del penya-segat?

• El quadrat fa 2 cm de costat. • El punt E és el punt mitjà del costat DC. • L’angle F$ és recte.

830863 _ 0155-0174.qxd

17/12/07

09:56

Página 174

A la vida quotidiana 92. ●●● En Ramon se’n va a viure a un pis nou. Segons el plànol, aquesta serà la seva habitació:

93. ●●● Aquesta és la peça que s’ha de fabricar per a l’enganxall de vagons de tren. 2 cm m 13 c

5 cm

6,25 cm

Per programar la màquina que la fabricarà cal construir la mateixa peça a una escala més petita. Quan es col·loqui aquesta peça sobre un escàner i s’hi indiqui l’escala, la màquina fabricarà totes les peces que s’encarreguin.

El plànol està dibuixat a escala i l’únic que en Ramon sap de la seva nova habitació és que a la realitat fa 4,56 m de llargada. En aquesta habitació haurà de distribuir els mobles que té. Per fer-se una idea de com els col·locarà, n’ha pres les mides.

m 0,8

0,9 m

1,5 m

Després, els dibuixarà a escala i els retallarà. Aquests retalls els col·locarà sobre el plànol de l’habitació, i farà proves per decidir quina serà la ubicació dels mobles. Copia el plànol a la teva llibreta i determina com es poden distribuir els mobles. Podrà muntar a la nova habitació la maqueta completa del seu tren elèctric, que fa 2,5×1,5 m?

110 cm

90 cm

174

1,5 m

0,3 m

94. ●●● A la cantonada de la casa d’en Ricard han posat un fanal molt alt. En Ricard pensa que l’altura del fanal incompleix la normativa sobre contaminació lumínica i vol esbrinar quina alçada té exactament. Al principi va pensar fer-ho mesurant-ne l’ombra, però com que el fanal està envoltat de plantes no el pot mesurar amb exactitud. Així doncs, ha decidit utilitzar les mides de dos senyals de trànsit que hi ha al costat dels fanals. Per fer-ho, ha pres les mides de les ombres dels dos senyals, que estan alineats amb el fanal, l’alçada i la separació entre tots dos. Quina és l’alçada del fanal?

1,5 m

m 0,6

Si disposem d’una barreta de 6,5 cm de llargada i volem fer la peça tan gran com puguem, quina escala farem servir?

120 cm

tema 9 Figures planes. Ă&#x20AC;rees

Grup Promotor Santillana

830863 _ 0175-0194.qxd

17/12/07

16:53

Página 188

TEOREMA DE PITÀGORES

APLICACIONS DEL TEOREMA DE PITÀGORES

1. ● Calcula la hipotenusa dels triangles rectangles amb aquests catets: 7. ● Determina si els triangles següents són rectangles. En cas afirmatiu, indica’ la mida a) 10 cm i 8 cm c) 4 cm i 9 cm de la hipotenusa i dels catets. b) 7,2 cm i 11,6 cm d) 5 cm i 8 cm a) Triangle de costats 5 cm, 12 cm i 13 cm. 2. ● Troba la longitud de BC, BD i BE. b) Triangle de costats 6 cm, 8 cm i 12 cm. 1 cm

c) Triangle de costats 5 cm, 6 cm i 61 cm. d) Triangle de costats 7 cm, 24 cm i 25 cm.

D 1 cm

8. ● Classifica en acutangles o obtusangles els triangles de costats:

1 cm 2 cm

3. ●● Contesta aquestes qüestions i, en cas que siguin certes, posa’n un exemple:

a) Hi pot haver un triangle rectangle equilàter? b) I un triangle rectangle isòsceles? 9. ●

FES-HO AIXÍ

Calcula la longitud de x en aquestes figures:

COM CALCULEM LA MIDA DELS

4 cm

CATETS D’UN TRIANGLE RECTANGLE ISÒSCELES?

8 cm

Els costats del triangle rectangle ABC 6. ●● són AB = 8 cm i AC = 13 cm. Calcula BC si: a) L’angle recte és al vèrtex A. b) L’angle recte és al vèrtex B. c) L’angle recte és al vèrtex C.

a) x

d) c)

m 12 c

5. ● Troba la mida dels catets en un triangle rectangle isòsceles de 9 cm d’hipotenusa.

cm 10

de Pitàgores, ja que la mida dels catets és la mateixa, x. 82 = x2 + x2 → 82 = 2x2 SEGON. Trobem el valor de x. 82 8 2 = 2 x2 → x2 = = 32 → x = 32 = 5,66 cm 2 Els catets fan 5,66 cm.

10. ●● Determina la longitud de x en aquests triangles:

12 c m

PRIMER. Hi apliquem el teorema

48 cm

cm 117 9 cm

d) cm

10 cm

4. Calcula la mida dels catets d’un triangle rectangle isòsceles de 8 cm d’hipotenusa.

5 cm

8 cm

72 cm

6 cm

7 cm

10 cm

11. ●● Troba l’altura d’un triangle equilàter de 48 cm de perímetre. 12. ●● a)

Calcula el perímetre de les figures següents: 25 cm

12 cm

b) 14 cm

28 cm

18 cm

28 cm 7 cm 16 cm

5 cm

830863 _ 0175-0194.qxd

17/12/07

16:53

Página 189

13. ● Troba l’apotema d’un hexàgon regular de costat: a) 10 cm

b) 16 cm

ÀREA DE POLÍGONS 17. ●

c) 7 cm

Calcula l’àrea d’un rectangle de 10 cm base

i de 116 cm de diagonal.

FES-HO AIXÍ 18. ● Determina l’àrea d’un rectangle de 7 cm de base i de 24 cm de perímetre.

COM CALCULEM L’ALTURA D’UN TRIANGLE QUALSEVOL SI EN CONEIXEM ELS COSTATS?

19. ● Troba l’àrea d’un quadrat que fa 22,4 cm de perímetre.

14. Calcula l’altura d’un triangle de costats 5 cm, 8 cm i 10 cm. PRIMER. Dibuixem el triangle i n’anomenem tots els

20. ●●

Calcula l’àrea de la zona acolorida:

elements.

4 cm

C 5 cm

8 cm

10 − x

x A

8 cm

L’altura divideix la base del triangle en dues parts: AH, de longitud x. HB, de longitud 10 − x.

11 cm 6 cm

21. ●● Troba el costat d’un quadrat si saps que l’àrea és de 84,64 cm2.

10 cm SEGON. Apliquem el teorema de Pitàgores als dos

triangles rectangles que en resulten.

22. ●● Determina l’àrea d’un quadrat inscrit en una circumferència de 3 cm de radi.

A AHC: 52 = x2 + h2 ⎯⎯⎯→ h2 = 52 − x2 A HBC: 82 = (10 − x)2 + h2 → h2 = 82 − (10 − x)2 TERCER. Igualem totes dues expressions.

⎪⎫⎪ h2 = 52 − x2 → 52 − x2 = 8 2 − (10 − x)2 2 2 2⎬ h = 8 − (10 − x) ⎪⎪⎭ 25 − x2 = 64 − (100 + x2 − 20x) 25 − x2 = 64 − 100 − x2 + 20x 20x = 61 → x = 3,05 cm QUART. Calculem el valor de h.

h2 = 52 − x2 → h = 15. ●●

52 − (3,05)2 = 3,96 cm

Calcula l’altura d’un triangle de costats:

7 cm

La diagonal fa 2 a2. El perímetre és 4a2. L’àrea és a4. El quadrat de la diagonal és 2a2.

a) 4 cm i 12 cm

b) 3 cm i 9 cm

2 cm A

3 cm

D 3 cm

4 cm A

a) b) c) d)

26. ● Calcula l’àrea d’un rombe que té aquestes diagonals:

b) D P

23. ●● Si a és el costat d’un quadrat, indica si les afirmacions següents són verdaderes o falses, i raona les respostes.

25. ●●● Troba un rectangle que tingui la mateixa àrea que un quadrat de 4 cm de costat. Raona quants rectangles compleixen aquesta condició.

16. ●●● Troba la distància del punt P al punt A, perquè es verifiqui que: CP = DP. C

3 cm

24. ●● Determina la mida de la diagonal d’un quadrat de 12,25 cm2.

a) AB = 4 cm, BC = 7 cm i CA = 9 cm b) AB = 6 cm, BC = 10 cm i CA = 14 cm c) AB = 5 cm, BC = 11 cm i CA = 15 cm

4 cm 9 cm

C P 6 cm

27. ●● Calcula la mida d’una de les diagonals d’un rombe de 30,1 cm2 d’àrea, si saps que l’altra diagonal fa 7 cm.

16:53

Página 190

Troba el perímetre i l’àrea d’aquests rombes: b)

cm 5,6

8 cm

36. Calcula l’àrea d’aquest trapezi isòsceles:

8 cm

Calcula l’àrea i el perímetre d’aquestes figures:

PRIMER. Calculem la base del triangle rectangle que determina l’altura. Com que és un trapezi isòsceles, les altures configuren dos triangles rectangles iguals, les bases dels quals fan la meitat de la diferència de les bases del trapezi.

6 cm

b) 5c m

7 cm

3 cm 12 cm

Troba l’àrea dels triangles següents:

4 cm

3,6 cm

AE = FB =

4,2 cm

6 cm

1,5

AB − CD 8−5 = = 1,5 cm 2 2

Apliquem el teorema de Pitàgores al triangle rectangle que determina l’altura. D (1,5)2 + h2 = (2,5)2 h2 = (2,5)2 − (1,5)2 = 6,25 − 2,25 = 4 h

b) 6 dm

c) 0,153 m

32. ● Troba l’àrea d’un triangle isòsceles de 7 cm els costats iguals i 9 cm el costat desigual.

1,5

34. ●● Calcula l’altura i la base d’un triangle rectangle isòsceles si l’àrea fa:

(B + b) ⋅ h (8 + 5) ⋅ 2 = = 13 cm2 2 2

38. ●●

17 m

14 m

Calcula l’àrea de les figures següents:

a) 8m

20 m

8m 5 cm 7 cm 12 cm

14 m

6 cm

202 m 18 cm 10 m

c) 9m

25 m

16 m

4m 9m

15 m

10 cm

7 cm

12 m

20 m

10 m

Troba l’àrea dels trapezis següents: d)

37. ●● Troba l’àrea d’aquests trapezis isòsceles:

c) 450 dm2 d) 317,52 mm2

12 m

4 = 2 cm

a) 200 cm2 b) 120,125 m2

TERCER. Calculem l’àrea del trapezi.

33. ●● Calcula l’àrea d’un triangle isòsceles que té els costats iguals de 10 cm i el costat desigual fa quatre unitats més que els costats iguals.

2,5 cm

a) 36 cm

SEGON.

31. ● Determina l’àrea d’un triangle equilàter amb aquest perímetre:

35. ●●

1,5

b) 6c m

5 cm

cm 2,5

2,5 cm

4 cm

30. ●

5 cm cm 2,5

6 cm

29. ●●

FES-HO AIXÍ COM CALCULEM L’ÀREA D’UN TRAPEZI ISÒSCELES SI EN DESCONEIXEM L’ALTURA?

5 cm

13 ,61 m

28. ●●

17/12/07

2,5 cm

830863 _ 0175-0194.qxd

12 ,93 m

12 m

14 m 4m

14 m

830863 _ 0175-0194.qxd

17/12/07

16:53

Página 191

LONGITUD DE LA CIRCUMFERÈNCIA

ÀREA DE FIGURES CIRCULARS

39. ● Completa la taula següent amb les dades que hi falten:

46. ●

Radi

Longitud de la circumferència

Diàmetre

Calcula l’àrea d’un cercle de:

a) 6 cm de radi. b) 6 cm de diàmetre. c) 7,2 cm de radi.

2 cm 7 cm 29,516 cm

47. ● Troba l’àrea d’un cercle delimitat per una circumferència de 321,4 cm. 48. ●● Calcula l’àrea dels cercles amb aquestes longituds d’arc:

10 cm 6,3 cm 48,984 cm

3,6 cm A

40. ●

45°

150°

Calcula la longitud de l’arc marcat en vermell:

39,25 cm

100° 130° 3,8 m

3 cm

42,39 cm

86,52 cm

135° A

d) 4,5 m

5,6 m

49. ● Troba l’àrea d’aquests sectors circulars:

75°

41. ●● Quin és el diàmetre d’una circumferència de 50,24 cm de longitud? 42. ●● Troba el diàmetre d’una circumferència si saps que la longitud d’un arc de 50o és de 5,23 cm. 43. ●● Quina és la longitud d’una circumferència amb un arc de 110o que té 57,57 cm de longitud? 44. ●●

85°

120°

13 cm

50. ●●

m 6,8

Determina l’àrea dels sectors acolorits: 6,28 m A

a) B

45° 115°

Completa la taula:

Longitud d’arc de 60o

Longitud d’arc de 85o

Longitud d’arc de 190o

Longitud de la circumferència

9,42 cm

13,26 cm

Determina el perímetre d’aquestes figures:

b) 2m

51. ●●

Troba l’àrea de la zona ombrejada si:

R = 10 m i r = 6 m R = 12,6 cm i r = 5 cm R = 3r i r = 2,4 cm R + r = 31 m i R − r = 5 m

52. ●●

R r

Calcula l’àrea acolorida d’aquestes figures:

4m 8m

a) b) c) d)

17,79 cm

45. ●●

50°

225°

b) 15 m

78°

20 m

F F

90°

16 m

830863 _ 0175-0194.qxd

53. ●●●

17/12/07

16:53

Página 192

= 15° 20', 57. ●● Si l’arc AB calcula el valor , CD , dels arcs BC AD i BE.

Determina l’àrea de la zona acolorida:

B A

C D

58. ●●

10 m

$. Calcula el valor l’angle X X$

18°

120°

ANGLES EN POLÍGONS I CIRCUMFERÈNCIES

PROBLEMES D’ÀREES

54. ● Considera que els polígons són regulars i completa la taula: 3

Suma d’angles

360°

Angle interior

360° = 90° 4

…

a) Quin és el polígon amb l’angle més petit? b) I el que té l’angle més gran?

60. ●●

55. ●● Calcula la suma dels angles d’un polígon de 3, 4, 5 i 6 costats. a) Quina diferència hi ha entre la suma de cada polígon i la del polígon amb un costat menys? b) Si la suma dels angles d’un polígon de 15 costats és de 2.340°, quina serà la suma d’un de 16 costats? 56. ●

Calcula el valor dels angles marcats:

B B

O B

Calcula la longitud del cable de l’estel.

24 m

Sobre una paret 62. ●● vertical de 16 m d’altura col·loquen inclinada una escala de 20 m de longitud. A quina distància de la paret es troba la base de l’escala?

61. ●● Quina és la longitud màxima que en Joan pot nedar en una piscina que fa 17 m de llargada i 10 m d’amplada si tan sols ho pot fer en línia recta?

59. ●● L’ombra que produeix una barreta vertical en un instant determinat és igual a la seva longitud. Quin triangle determinen la barreta i la seva ombra? Quina és la inclinació dels raigs solars?

20 m

Nre. de costats

40°

82°

Una escala fa 2,5 m de longitud i, 63. ●● si la recolzem a la paret, la base queda a 0,7 m de l’escala. A quina altura de la paret arriba l’escala?

16 m

830863 _ 0175-0194.qxd

17/12/07

16:53

Página 193

Una antena està agafada al terra per dos 64. ●● cables de 2,7 m i 3,6 m que formen un angle recte. Quina és la distància que separa els dos punts d’unió dels cables amb el terra?

INVESTIGA 70. ●●● Si dos polígons tenen la mateixa àrea, poden tenir perímetres diferents? 71. ●●●

La fórmula per calcular l’àrea d’un Perímetre ⋅ Apotema polígon regular és: A = . 2

3,6 m

7m 2,

Comprova que, aplicant aquesta fórmula al triangle equilàter i al quadrat, obtenim les fórmules de l’àrea d’un triangle: A = i d’un quadrat: A = c2. L’Anna té un jardí rectangular, de 500 m 65. ●● de llargada i 300 m d’amplada, i hi vol fer una piscina de forma circular de 100 m de radi. Quant terreny li queda per plantar-hi gespa?

Dos cotxes surten d’una ciutat alhora 66. ●●● i en direccions perpendiculars. El primer va a 60 km/h, i el segon a 89 km/h. Quina distància els separa després d’1 hora i quart?

60 km/h

89 km/h

Dos avions s’enlairen d’un aeroport 67. ●●● al mateix temps i amb direccions perpendiculars. El primer va a una velocitat de 600 km/h, i el segon, de 800 km/h. a) Quina distància els separa al cap de 2 hores? b) Si l’abast de la seva ràdio és de 500 km, es podran posar en contacte després de mitja hora? Un dels guarniments 68. ●●● de metall d’una reixa té aquesta forma. Calcula la longitud del guarniment si saps que l’àrea del quadrat és de 256 cm2. Si saps que s’han fet 69. ●●● servir 400 cm2 de cristall verd, calcula quants cm2 de cristall blau calen per construir aquest vitrall.

256 cm2

b⋅h 2

PITÀGORES I ELS BABILONIS. Pitàgores va 72. ●●● viatjar probablement a Egipte i a Babilònia, i se suposa que allí ja coneixien la relació entre els costats dels triangles rectangles. L’any 1920, a la ciutat de Larsa, es va trobar una tauleta que va anar a parar a les mans de l’editor americà George Arthur Plimpton. Quan va morir, es va donar a la Universitat de Columbia, on se li va atorgar el número 322 del catàleg, per això rep el nom de Plimpton 322. En aquesta tauleta i en nombres en base 60 (no decimal) apareixen diferents columnes amb els nombres p i q que generen les ternes pitagòriques. Donats dos nombres enters qualssevol p i q, la terna formada pels nombres a = p2 − q2, b = 2pq i c = p2 + q2 ens donen una terna pitagòrica. Per exemple, si p = 1 i q = 2, llavors obtenim la terna a = 3, b = 4 i c = 5, que és la primera terna pitagòrica: 32 +42 = 52.

Esbrina els valors de les ternes formades per altres nombres trobats a la tauleta: a) p = 12 i q = 5 b) p = 9 i q = 5 c) p = 15 i q = 8 Comprova que són ternes pitagòriques. En un quadrilàter 73. ●●● qualsevol, assenyala els punts mitjans dels costats i uneix-los de dos en dos. Quina figura es forma? Investiga si es compleix sempre. 74. ●●●

C D

B A

La recta DE és paral·lela al costat BC. C

a) Troba les mides dels segments BE i DE en funció de b i x. b) Determina b i x perquè DE = BE + CD CD 5 = . i AC 11

x 12 cm

b D E A

10 cm

tema 10 Cossos geomĂ¨trics

Grup Promotor Santillana

830863 _ 0195-0212.qxd

17/12/07

10:00

Página 208

POLIEDRES

POLIEDRES REGULARS FES-HO AIXÍ

COM CALCULEM LES DIAGONALS D’UN ORTOEDRE SI EN CONEIXEM LES ARESTES? 1. Calcula la longitud de les diagonals d’aquest ortoedre:

5. ● Completa la taula si saps que les dades pertanyen a poliedres en els quals es compleix la fórmula d’Euler: Nre. de cares

2 cm

m 2c

ha al poliedre. En un ortoedre hi ha tres tipus de diagonals: les de les cares laterals, les de les bases i les situades entre vèrtexs de cares oposades.

SEGON. Determinem les diagonals de les cares,

que són la hipotenusa del triangle rectangle que té com a catets els costats de la cara. Hi apliquem el teorema de Pitàgores.

12 27

20 16

6. ●● Classifica els poliedres següents en còncaus i convexos. Avalua si compleixen la fórmula d’Euler: a)

d 2 = 22 + 42

4 cm

2 cm

Nre. d’arestes 21

8 4 cm

PRIMER. Identifiquem els tipus de diagonals que hi

2 cm

Nre. de vèrtexs

22 + 4 2 = 4,47 cm

d 2 = 22 + 22

2 cm

22 + 22 = 2,83 cm

TERCER. Determinem les diagonals que hi ha

situades entre vèrtexs de cares oposades. Aquestes diagonals són la hipotenusa del triangle rectangle que té com a catets les diagonals de les cares laterals i les arestes de la base. Hi apliquem el teorema de Pitàgores.

2 cm

4,47 c m

d 2 = 22 + (4,47)2 d=

7. ●

Comprova si es compleix la fórmula d’Euler:

2 + (4,47) = 4,9 cm 2

Poliedre

Nre. de Nre. de Nre. C+V A+2 cares vèrtexs d’arestes

Tetraedre

2. ●● Un cub té una aresta de 5 cm. Calcula la longitud de la diagonal de la cara i de la diagonal del cub. 3. ●● Un ortoedre té arestes de 5 cm, 7 cm i 9 cm. Troba la longitud de les diagonals de les cares i de la diagonal de l’ortoedre. 4. ●● Un cub té una diagonal de cara de 4 cm. Determina la longitud de l’aresta i de la diagonal del cub.

Cub Octaedre Dodecaedre Icosaedre

8. ●● Quin poliedres o poliedres regulars podem obtenir si fem servir com a cares triangles equilàters? I amb pentàgons regulars? I amb hexàgons regulars?

830863 _ 0195-0212.qxd

17/12/07

10:00

Página 209

PRISMES

FES-HO AIXÍ

9. ● Dibuixa aquests prismes i indica’n tots els elements. Dibuixa’n també els desenvolupaments plans: a) b) c) d)

Prisma triangular Prisma quadrangular Prisma pentagonal Prisma hexagonal

10. ●

COM CALCULEM L’ARESTA D’UN CUB SI EN CONEIXEM L’ÀREA? 15. Calcula l’aresta d’un cub si saps que la seva àrea és 54 cm2.

c c

PRIMER. Hi apliquem la fórmula de l’àrea total.

AT = 6 ⋅ AQuadrat = 6 ⋅ c ⋅ c = 6c2

Dibuixa un prisma regular i un altre d’irregular.

11. ● Dibuixa un prisma recte i un altre d’oblic que tinguin la mateixa base.

SEGON.

Ho igualem amb l’àrea coneguda.

6c 2 = 54 → c 2 =

13. ●● Digues quines afirmacions són verdaderes i corregeix les falses. Justifica la teva decisió. a) Un cub és un ortoedre. b) L’altura d’un prisma oblic és l’aresta lateral. c) Els prismes oblics es classifiquen en regulars i irregulars. 14. ●● Calcula l’àrea total d’aquests prismes:

12 cm

5c m

5,2 cm

11 cm

8 cm

12 cm

m 8c

10 cm

m 6c

4,25 cm G

6 cm

PIRÀMIDES

5 cm 15 cm

i) 12 cm

8 cm

7,24 cm

5c m

6 cm

8c m

3 cm

19. ● Dibuixa aquestes piràmides i el seu desenvolupament pla, i indica’n tots els elements: a) Piràmide triangular c) Piràmide pentagonal b) Piràmide quadrangular d) Piràmide hexagonal

6 cm

3,44 cm

5 cm

5c m

8 cm

Calcula l’àrea dels triangles acolorits:

7 cm

9 cm

18. ●●●

4 cm

2 cm

7 cm

17. ●● Troba la diagonal d’un cub de 150 m2 d’àrea total.

14 cm

9 = 3 cm

16. ●● L’àrea total d’un cub fa 24 cm2. Calcula l’aresta del cub, la diagonal de la cara i la diagonal del cub.

20 cm

4 cm

54 =9→c= 6

5 cm

12. ● Dibuixa un prisma pentagonal regular i el seu desenvolupament. Acoloreix de blau l’àrea lateral i, de vermell, l’àrea de les bases. Com es calcula l’àrea total?

20. ●

Dibuixa una piràmide regular i una altra d’irregular.

21. ● Dibuixa una piràmide recta i una altra d’obliqua que tinguin la mateixa base.

830863 _ 0195-0212.qxd

17/12/07

10:00

Página 210

22. ● Dibuixa el desenvolupament pla d’una piràmide triangular regular amb arestes laterals de 6 cm i de base un triangle equilàter de 4 cm de costat.

26. ●● Calcula l’àrea total d’aquestes piràmides: 34 m

23. ●● Identifica similituds i diferències entre una piràmide triangular regular i un tetraedre. 27. ●●

25. Calcula l’àrea total d’aquesta piràmide:

25 cm a 10 cm

PRIMER. Calculem l’apotema de la piràmide.

Apliquem el teorema de Pitàgores al triangle rectangle que formen l’apotema de la piràmide, la meitat del costat de la base i l’aresta lateral.

5 cm

252 = a2 + 52 → a =

252 − 52 = 24,49 cm

SEGON. Calculem l’apotema de la base.

d) 6,2 cm

29. ●● Determina l’àrea total d’una piràmide hexagonal regular que té una àrea de la base de 100 cm2 i una altura de 20 cm. 30. ●●● L’àrea total d’una piràmide quadrangular regular és de 4 cm2 i l’altura és de 6 cm. Calcula l’aresta d’un cub que té com a àrea total la mateixa que la de la piràmide. 31. ●●● Troba la longitud de l’aresta d’un tetraedre perquè la seva àrea sigui igual que la d’una piràmide hexagonal regular, amb aresta bàsica de 3 cm i apotema de les cares laterals de 10 cm.

COSSOS DE REVOLUCIÓ 32. ● L’altura d’un cilindre és de 9 cm i el diàmetre de la base fa 6 cm. Dibuixa’n el desenvolupament. 33. ●

Calcula l’àrea total d’aquests cilindres:

r 10 cm

r = 10 cm 5 cm

TERCER. Determinem l’àrea.

PB ⋅ a P ⋅ a' + B = 2 2 (6 ⋅ 10) ⋅ 24,49 (6 ⋅ 10) ⋅ 8,66 = + = 994,5 cm2 2 2

12 m

102 = (a')2 + 52 → a' = 102 − 52 = 8,66 cm

AT =

10 m

Apliquem el teorema de Pitàgores al triangle rectangle que formen l’apotema de la base, la meitat del costat de la base i el radi de la base.

c) 9 cm

Calcula l’àrea total d’aquestes piràmides:

COM CALCULEM L’ÀREA D’UNA PIRÀMIDE SI EN CONEIXEM LES ARESTES?

25 cm

b) 5 cm

FES-HO AIXÍ

Troba l’àrea total d’un tetraedre d’aresta:

a) 3 cm 28. ●●

a) En una piràmide regular, les cares laterals són triangles equilàters. b) Una piràmide és un prisma triangular. c) L’altura d’una piràmide és qualsevol de les arestes laterals. d) Una piràmide regular és un tetraedre.

25 m

10 m

24. ●● Digues quines afirmacions són verdaderes i corregeix les falses. Justifica la teva decisió.

m 5,1

34. ●● Troba l’altura d’un cilindre d’àrea lateral 756,6 cm2 i radi de la base 10 cm. 35 ●●L’àrea total d’un cilindre és de 471 cm2 i l’altura és el doble del radi. Calcula’n l’altura i el radi. 36. ● Dibuixa el desenvolupament d’un con i calcula el valor de la longitud de l’arc del sector corresponent, si el radi de la base del con és de 4 cm, i la generatriu, de 15 cm.

17/12/07

10:00

Página 211

37. ● Un con té 12 cm de generatriu i 8 cm de diàmetre de la base. Calcula’n l’àrea total. 38. ●● Troba l’altura d’un con de generatriu 13 cm i radi de la base 5 cm. 39. ●● Calcula el radi d’una esfera si saps que l’àrea de la seva superfície és de 803,84 cm2. 40. ●●

Troba l’àrea total d’aquestes figures:

47. ●● Una bobina de paper de forma cilíndrica té una altura d’1,75 m i un diàmetre de la base circular de 80 cm. Calcula’n l’àrea total. 48. ● Determina la superfície esfèrica d’una pilota que té 30 cm de diàmetre.

Calcula l’àrea total d’aquestes figures:

5 cm

10 cm

49. ●● 10 cm

10 cm

46. ●● Una tenda de campanya de forma cònica té una altura de 2 m i un diàmetre d’1 m. Quants metres quadrats calen per folrar-la, inclosa la base?

10 cm

5 cm

3c m cm

830863 _ 0195-0212.qxd

41. ●●● Esbrina quina ha de ser la generatriu del con perquè tots dos tinguin:

10 cm

a) La mateixa àrea lateral.

10 m

b) La mateixa àrea lateral.

10 cm

3,5 m

2,5 m 3m

PROBLEMES AMB COSSOS GEOMÈTRICS

INVESTIGA

42. ●● Les parets i el sostre d’una habitació tenen una àrea de 94 m2. Si el terra és un rectangle de 7 m de llargada i 4 m d’amplada, quina altura té l’habitació?

50. ●●● Si considerem C = 11, V = 11 i A = 20, es compleix la fórmula d’Euler. Hi ha cap poliedre les cares del qual coincideixin amb aquestes quantitats? En cas afirmatiu, dibuixa’l.

43. ●● Un edifici té forma de prisma recte de 30 m d’altura i la base és un triangle equilàter de 5 m de costat. Quines àrees lateral i total té l’edifici? 44. ●● Calcula l’àrea lateral i la total d’un monòlit en forma de piràmide hexagonal que té el costat de l’hexàgon de 10 cm i el costat dels triangles laterals de 25 cm.

10 m F

45. ●● Determina quant costarà construir aquest edifici si saps que el metre quadrat de totxos costa 4,35 €, i el de teules, 9,65 €.

51. ●●● Amb 1.000 cubs petits construïm un cub gran que té 10 cubs per aresta. Tot seguit, pintem les 6 cares del cub. Quants cubs petits tenen 3 cares pintades? Quants cubs petits tenen 2 cares pintades? I quants en tenen 1? Quants cubs petits no tenen cap cara pintada? 52. ●●● L’Enric té 36 cubs de fusta per fer construccions. Quants prismes diferents pot formar si utilitza tots els cubs? 53. ●●● Una formiga es desplaça des del punt X fins al punt Y sobre la superfície d’un cilindre.

30 m

15 m

30 m

15 m

10 m

Quina és la distància mínima que ha recorregut la formiga?

tema 11 Volum de cossos geomĂ¨trics

Grup Promotor Santillana

830863 _ 0213-0228.qxd

26/12/07

12:17

Página 224

UNITATS DE VOLUM

VOLUM DE PRISMES I CILINDRES

1. ●

14. ● Calcula el volum d’un cub que té 8 cm d’aresta. Expressa el resultat en m3.

Transforma en decímetres cúbics:

a) 8,56 m3 b) 124.090 cm3

15. ● El perímetre de la base d’un cub és de 84 cm. Troba’n el volum.

Expressa en decàmetres cúbics:

a) 93,42 m3 b) 64.090 cm3

16. ● Si el volum d’un cub és de 98 cm3, calcula’n la longitud de l’aresta.

c) 0,86 hm3 d) 0,0059 dm3

17. ●● El volum d’un cub és de 125 cm3. Troba’n la diagonal.

3. ● Expressa en metres cúbics: a) 1,4 km3 23 hm3 18 dam3 b) 0,625 dm3 850 cm3 589 mm3 4. ●

Transforma en hectòmetres cúbics:

a) 30 dam3 41 m3 b) 4.450 m3 500 cm3 5. ●

18. ●● Mitjançant el principi de Cavalieri, identifica quines d’aquestes figures tenen el mateix volum:

c) 760 m3 480 dm3 d) 98 m3 4.800 dm3

c) 4 cm

a) 57.784.325 dam3 b) 782.760,432 cm3

4 cm

c) 85.245,9847 m3 d) 6.667.229.503 dm3

m 4c

4 cm

a) 53,41 ¬ b) 5.246 cl 7. ●

8. ●

c) 7.590,41 dl d) 80 dl 4.750 ml

Calcula el pes d’aquesta aigua destil·lada:

a) 3 dal

b) 12 dl

c) 65 cm

4 cm

6 cm

d) 423 m

10. ●● Un lingot d’argent de 2 dm3 pesa 20,94 kg. Quina és la densitat de l’argent? 11. ●● La densitat de l’or és 19,258 g/cm3. Digues què significa això. 12. ●● Un bloc d’alumini pesa 75 kg i té una densitat de 2,7 g/cm3. Quin volum té?

4 cm

9. ●● Una barra de ferro pesa 40 kg. Si la densitat del ferro és 7,8 kg/dm3, quin volum tindrà?

13. ●● Un tros de metall pesa 3.149,6 g i té una densitat de 12,4 kg/dm3. Quin és el seu volum en cm3?

m 4c

20. ● Calcula el volum d’aquest prisma de base hexagonal regular.

Transforma en decalitres:

8 cm

19. ● Determina el volum d’un prisma que té com a base un quadrat de 8 cm de costat i l’altura és de 15 cm.

c) 9,08 dal d) 0,0019 hl

a) 8.050 dl 900 cl b) 850 ml 50 cl

m 2c

3 cm

Expressa en mil·lilitres:

8 cm

VOLUM, CAPACITAT I MASSA 6. ●

4 cm

Expressa de forma complexa:

5,2 cm

2. ●

c) 0,085 m3 d) 0,006 dam3

21. ●● Determina el volum d’un prisma hexagonal que té 10 cm d’aresta bàsica i 16 cm d’altura. 22. ●● Un prisma de base quadrada de 12 cm d’altura té un volum de 146 cm3. Calcula la longitud del costat de la base. 23. ● Troba el volum d’un cilindre de 15 cm d’altura i de 16 cm de diàmetre de la base. 24. ● Calcula el radi d’un cilindre que té 8 cm d’altura i un volum de 122 cm3. 25. ●● Troba el volum d’un cilindre de 12 cm de radi de la base i, d’altura, el triple del radi.

830863 _ 0213-0228.qxd

14/12/07

16:22

Página 226

VOLUM DE L’ESFERA

PROBLEMES DE VOLUM

26. ● Troba el volum d’una esfera de 15 cm de radi.

32. ●● El consum anual d’aigua en un habitatge ha estat de 140 m3 256 dm3. Quant han de pagar si el metre cúbic costa 0,90 €?

27. ●● El diàmetre de la base i l’altura d’un cilindre fan 16 cm. Troba el volum contingut entre el cilindre i l’esfera que hi està inscrita. 28. ●●

Calcula i contesta.

a) Quin és el volum d’una esfera que té 14 cm de diàmetre? b) Quants centilitres d’aigua caben en aquesta esfera? c) Quants centigrams pesa l’aigua que cap a l’esfera?

33. ●● Un recipient ple d’aigua destil·lada pesa 380 g i buit pesa 20 g. Digues quina capacitat té en decilitres i en centilitres. 34. ●● Una aixeta aboca 80 litres per hora i triga 1 hora i 36 minuts a omplir una bóta. Quin volum té la bóta? 35. ●● Una bomba d’aigua que extreu 30 dm3/min triga 2 hores i mitja a buidar un dipòsit. Quants litres caben al dipòsit?

FES-HO AIXÍ COM CALCULEM EL VOLUM D’UN SECTOR ESFÈRIC?

FES-HO AIXÍ

29. La part d’una esfera limitada per dos semicercles que té com a diàmetre el de l’esfera l’anomenem sector esfèric.

COM RESOLEM PROBLEMES D’OMPLIR I BUIDAR AMB UNITATS DIFERENTS? 36. Una aixeta aboca 140 ¬ /mm. Quant triga a omplir un dipòsit de 9 m3 800 dm3?

18 cm

40°

Quin és el volum d’aquest sector esfèric?

PRIMER. Calculem el volum de l’esfera.

4 3 4 πr = π ⋅ 18 3 = 24.416,64 cm3 3 3

SEGON.

Plantegem una regla de tres en funció dels graus que tingui el sector esfèric.

SEGON.

hi correspondran

→ a 40° ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

cm3

40 ⋅ 24.416,64 = 2.712,96 cm3 360

30. ●● Calcula el volum d’aquests sectors esfèrics:

α r

a) b) c) d)

r = 8 cm r=5m r = 10 dam r = 12 cm

α = 36o α = 120o α = 90o α = 150o

31. ●●● Una taronja de 10 cm de diàmetre té 8 grills iguals. Calcula el volum de cada grill.

Resolem la regla de tres. s’omplen en

⎯⎯⎯ → 1 min Si 140 dm3 ⎯⎯⎯⎯⎯ s’ompliran en

hi corresponen

→ 24.416,64 cm3 Si a 360° ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

PRIMERO. Transformem totes les quantitats a les mateixes unitats. Transformem en dm3: Aixeta ⎯ → 140 ¬/min = 140 dm3/min Dipòsit → 9 m3 + 800 dm3 = = (9 ⋅ 1.000) dm3 + 800 dm3 = 9.800 dm3

→ x min 9.800 dm3 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ x=

1 ⋅ 9.800 = 70 min 140

37. ●● Una aixeta aboca 24,1 ¬/min. Quant triga a omplir un dipòsit de 24,75 m3 160 dm3? 38. ●● El desguàs d’un estany de 180 dm3 evacua 35 ¬/min. Quant trigarà a buidar-se?

830863 _ 0213-0228.qxd

14/12/07

16:22

Página 227

39. ●● Un pantà conté 3.542 milions de m3 d’aigua. A l’estiu perd 875.000 ¬ per dia.

48. ●●● Una empresa que fabrica boles de vidre les envasa com veus a la figura:

25 cm

a) Troba el volum contingut entre el cilindre de l’envàs i la bola que hi ha inscrita. b) Si omplen l’espai que queda entre la bola i l’envàs amb un material que costa 4,50 €/m3, quant costarà el farciment de 200 envasos? a) Quants m3 perdrà en 60 dies? b) Quants m3 hi quedaran després de 20 dies? 40. ●● En un dipòsit caben 2.700 ¬ d’aigua. Si una aixeta triga 45 minuts a omplir-lo, quants metres cúbics aboca per minut? 41. ●● Una piscina té 25 m de llargada, 12 m d’amplada i 1,6 m de profunditat. Quant temps triga a omplir-la una aixeta que aboca 100 ¬/min? 42. ●● Quantes caixes d’1 m de llargada, 8 dm d’amplada i 6 dm d’altura podem amuntegar en una sala de 4 × 3,2 m de planta i 2,4 m d’altura? 43. ●● En un dia, les precipitacions de pluja van ser de 60 ¬/m2. A quina altura va arribar l’aigua en un recipient cúbic de 2 dm d’aresta? 44. ●● Troba el volum de la cucurulla d’un confrare de setmana santa si saps que té 9 cm de radi i 60 cm d’altura.

c) Contesta les preguntes anteriors en el supòsit que l’envàs fos un cilindre de 13 cm de radi i de 25 cm d’altura. d) Quina de les dues opcions és més econòmica?

INVESTIGA 49. ●●● Un con de 3 m d’altura i una esfera de 3 m de radi tenen el mateix volum. Quin és el radi de la base del con? 50. ●●● Si un con i un cilindre tenen la base i el volum iguals, quina relació hi ha entre les altures? 51. ●●● Un con i un cilindre tenen la mateixa altura i el mateix volum. Quina relació hi ha entre els diàmetres de les bases? 52. ●●● El radi del con de la figura és igual a l’altura, i tots dos segments són idèntics al radi de l’esfera. Quants cons d’aigua necessitem per omplir l’esfera? 2r

45. ●● Per inflar 200 pilotes de radi 12 cm, quin volum d’aire necessitem? 46. ●● Calcula el volum de material que ens cal per fabricar una pilota de 15 cm de radi i 1 cm de gruixària. 47. ●●● El radi de la Terra és de 6.370 km i el de Mart fa 3.400 km. a) Quantes vegades és més gran el radi de la Terra que el de Mart? b) Quantes vegades més gran és el volum de la Terra que el de Mart?

53. ●●● Quantes vegades augmenta el volum d’un prisma hexagonal si en dupliquem l’altura? I si en dupliquem les dimensions de la base? I si en dupliquem les tres dimensions? 54. ●●● Dins d’una esfera hi ha inscrit un cub, dins del qual hi ha inscrita una esfera. Quina relació hi ha entre el volum de l’esfera interior i l’exterior?

tema 12 Funcions

Grup Promotor Santillana

830863 _ 0229-0248.qxd

26/12/07

12:18

Página 242

COORDENADES CARTESIANES

FUNCIONS

1. ● Dibuixa uns eixos cartesians en un paper quadriculat i representa aquests punts.

6. ● Indica si aquestes relacions són funcions.

A(5, 2) ⎞⎟ ⎛ 5 B ⎜⎜⎜− , − 4⎟⎟⎟ ⎠ ⎝ 2

a) A cada nombre natural li associem els seus divisors. b) A cada nombre natural li fem correspondre el seu doble més 3.

E(0, −5) ⎛ 3⎞ F ⎜⎜−3, ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠

C(2, 5) D(4, −7)

2. ● Representa en els eixos de coordenades cartesianes els punts següents: A(2, 2)

C(1, 2) ⎛3 ⎞ D ⎜⎜ , 5⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠

B(−5, −2)

7. ● El preu del quilogram de cireres és 2,75 € .

G(8, −6) ⎛2 ⎞ H ⎜⎜ , 0⎟⎟⎟ ⎜⎝ 5 ⎟⎠

E(−3, 6) ⎛3 5⎞ F ⎜⎜ , ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 4 2 ⎟⎠

3. ● La gràfica relaciona el temps d’una trucada telefònica amb el seu preu. Digues el preu i el temps de les trucades A, B i C.

8. ●● La gràfica representa la quantitat de gasolina que hi ha en un dipòsit durant un viatge.

0,80 0,60

0,40 Litres

Preu (€)

a) Fes una taula de valors en què constin el pes i el preu. b) Defineix la variable independent i la variable dependent. c) Troba’n l’expressió algebraica. d) Avalua si és una funció o no.

0,20 2

Temps (min)

a) Quina unitat agafem en cada eix? b) Troba la taula de valors que relaciona les dues magnituds. 4. ● A partir de la gràfica, digues si les afirmacions següents són certes: Y

Pes (kg)

30 20

100

200

300

400

Quilòmetres

a) Quants litres hi ha al dipòsit en el moment de sortir? I a l’arribada? b) En quins quilòmetres es va posar gasolina? c) Quants litres de gasolina es van posar durant el viatge? d) Identifica la variable dependent i la independent. 9. ● Indica quines d’aquestes gràfiques pertanyen a una funció.

Altura (cm)

a) B pesa més que C. b) C és el més alt i el que pesa més. c) B és el més baix i el que pesa menys. 5. ● Representa en uns eixos cartesians els punts A(2, 3), B(0, 1) i C (2, −1). Troba les coordenades d’un altre punt que, amb aquests punts, formi els vèrtexs d’un quadrat.

10. ●● Si en una cafeteria hem pagat 15 € per 6 cafès: a) Fes una taula de valors on constin el nombre de cafès i el preu. b) Digues quina és cada variable.

830863 _ 0229-0248.qxd

26/12/07

12:18

Página 243

16. ●● Cada apartat descriu una relació entre dues magnituds. Expressa-la mitjançant una expressió algebraica i defineix, prèviament, les variables x i y.

REPRESENTACIÓ GRÀFICA D’UNA FUNCIÓ 11. ● Expressa aquestes relacions mitjançant una taula de 5 valors com a mínim. a) b) c) d)

a) El preu del quilo de cafè és de 12,40 €. b) El preu dels articles d’una botiga està rebaixat el 30 %. c) El valor d’un cotxe es deprecia el 10 % cada any. d) La distància recorreguda per un ciclista que circula a 20 km/h.

Un nombre i la seva meitat. El costat d’un quadrat i la seva àrea. Un nombre i el seu invers. Un nombre i el seu triple.

FES-HO AIXÍ

ESTUDI D’UNA FUNCIÓ

COM EXPRESSEM ALGEBRAICAMENT ALGUNES RELACIONS NUMÈRIQUES?

17. ●● La gràfica següent expressa la relació entre el temps (en minuts) i l’espai (en quilòmetres) recorregut per una persona durant una hora.

12. Quina és l’expressió algebraica que relaciona un nombre enter amb el seu quadrat? PRIMER. Estudiem la taula de valors.

…

Quadrat

…

9 Distància (km)

Nombre

SEGON. Escrivim el resultat en forma

algebraica. x → y = x2

Si donem un valor a la variable independent, x, obtenim el quadrat d’aquest valor, que és la variable dependent, y. 13. ●● Donada la funció que associa a cada nombre a seva meitat més 2 unitats: a) Elabora una taula de valors. b) Troba’n l’expressió algebraica. c) Troba f(−5) i f (4). 14. ●● Donada la funció que associa a cada nombre el seu oposat més 5:

a) A cada nombre li assignem la seva cinquena part. b) A cada nombre li fem correspondre el cub del seu doble. c) A cada nombre li associem el quadrat de la seva tercera part.

60 X

Temps (min)

a) b) c) d)

Expressa-la en una taula de valors. Quants quilòmetres ha recorregut? Quant temps ha estat aturada? Quant temps ha caminat?

18. ●● Estudia el creixement i el decreixement de les gràfiques de les funcions següents: a)

3 5 1

a) Troba’n l’expressió algebraica. b) Calcula f (2) i f (−2). c) Representa la funció. 15. ●● Escriu l’expressió algebraica.

−2 −2

1 1

d) Y

1 1

38 37 10 12 14 16

830863 _ 0229-0248.qxd

26/12/07

12:18

Página 244

22. ●● La gràfica mostra la temperatura d’una ciutat durant 24 hores seguides.

19. ● Indica’n els màxims i els mínims. Y

3 2 1

Temperatura (°C)

Y 25 20 15 10 5

20. ●● La gràfica mostra el preu d’una trucada telefònica amb un contracte determinat:

Preu (€)

0,80 0,60 0,40

Hores

°C

a) Identifica les variables.

−9

b) Representa la gràfica.

−6

c) Troba’n els màxims relatius.

−3

d) Troba’n els mínims relatius.

e) És una funció contínua?

f) Durant quantes hores la temperatura ha superat els 0 ºC?

−3

−5

Temps (min)

a) Identifica les variables. És una funció? b) Esbrina si és una funció creixent o decreixent? c) Té màxims i mínims? d) Quant costarà una trucada de 8 minuts? I una de 7 minuts? I una de 2 minuts? e) Si només vull gastar 1 €, quant temps podré parlar? f) És una funció contínua?

g) A quina hora es va mesurar la temperatura mínima? I la màxima? h) A quines hores la temperatura va ser de 0 ºC?

24. ●● La gràfica registra el nombre de visitants d’un museu durant 9 dies. Digues quines de les afirmacions són verdaderes.

21. ●● La velocitat d’un motorista varia segons indica la gràfica. Digues els trams on la funció creix. Digues els trams on la funció decreix. Troba els màxims absoluts i relatius. Quins són els mínims absoluts o relatius? És una funció contínua?

Visitants

400

Y Velocitat (km/h)

23. ●● Aquesta taula recull les temperatures d’una localitat al llarg d’un dia.

0,20

300 200 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9

9 12 15 18 Temps (min)

Analitza’n el creixement, el decreixement, els màxims i els mínims.

a) b) c) d) e)

10 15 Temps (min)

X Dies

a) Hi ha un màxim a x = 4, perquè el quart dia es va registrar el nombre de visitants més gran. b) El nombre de visitants va ser diferent cada dia. c) En dos dies hi van anar 250 persones. d) Els últims cinc dies hi va haver en total més visitants que durant els quatre primers dies.

830863 _ 0229-0248.qxd

26/12/07

12:18

Página 245

30. ●● Representa aquestes funcions en els mateixos eixos de coordenades. Explica les diferències que trobis entre elles.

FUNCIÓ DE PROPORCIONALITAT DIRECTA 25. ●● L’Elena surt del quilòmetre 0 d’una cursa amb una velocitat de 3 km/h.

b) y = −

a) Completa la taula i dibuixa’n la gràfica. Temps (h)

Distància al km 0

a) y = −x

b) Troba l’expressió algebraica d’aquesta funció. c) En el moment en què passa pel quilòmetre 11, quant temps fa que ha sortit?

c) y = −3x

1 x 2

d) y = −

1 x 3

31. ●● Representa aquestes funcions en els mateixos eixos de coordenades. Explica les diferències que trobis entre elles. 1 a) y = x b) y = x c) y = 2x d) y = 5x 2

26. ●● Les dades de la taula són mesures d’espais i temps que es triguen a recórrer-los.

FES-HO AIXÍ COM DETERMINEM L’EQUACIÓ D’UNA FUNCIÓ

Espai (m)

120

Temps (s)

60 6

a) Completa les dades de la taula. b) Representa les dades gràficament. c) Troba l’expressió algebraica d’aquesta funció.

DE PROPORCIONALITAT DIRECTA SI EN CONEIXEM LA GRÀFICA?

32. Determina l’equació d’aquesta funció:

2 1

FES-HO AIXÍ COM DETERMINEM L’EQUACIÓ D’UNA FUNCIÓ DE PROPORCIONALITAT DIRECTA SI CONEIXEM UN PUNT QUE HI PERTANY?

27. Determina l’equació de la funció de proporcionalitat directa que passa pel punt (2, −2). = mx, substituïm x per la primera coordenada i y per la segona.

PRIMER. En l’equació y

x = 2, y = −2

y = mx ⎯⎯⎯⎯⎯→ −2 = m ⋅ 2 SEGON. Calculem m.

−2 = −1 2 Per tant, l’equació de la funció és y = −x. −2 = 2m → m =

PRIMER. Si la funció és una recta i passa per l’origen de coordenades, és una funció de proporcionalitat directa i, per tant, la seva equació és del tipus y = mx.

Determinem un punt pel qual passa. La gràfica passa per (1, 2).

SEGON.

TERCER. Calculem m. x = 1, y = 2

y = mx ⎯⎯⎯⎯⎯→ 2 = m ⋅ 1 → m = 2 Per tant, l’equació de la funció és y = 2x.

33. ●● Determina les equacions d’aquestes funcions: Y b)

28. ●● Determina l’equació i representa la funció que verifica aquestes dues condicions.

c) 4

a) És una funció de proporcionalitat directa. b) f (3) = 1 29. ●● Determina l’equació de la funció de proporcionalitat directa que passa per: a) (1, −1)

b) (3, −4)

d) 2

c) (−2, −1)

Alguna d’aquestes funcions passa pel punt (7, 2)? I pel punt (0, −2)?

830863 _ 0229-0248.qxd

26/12/07

12:18

Página 246

FUNCIÓ DE PROPORCIONALITAT INVERSA 34. ●● La taula següent correspon a una funció de proporcionalitat inversa. x

PROBLEMES AMB FUNCIONS 39. ●● La taula següent, publicada per una ONG dedicada a la conservació de les espècies, representa la població de tigres de Bengala a l’Índia des de 1999 fins a 2007.

…

1/4

Any

Tigres

900 870 800 810 805 750 700 720 750

a) Completa la taula. b) Escriu l’expressió algebraica de la funció. c) Representa la funció. 35. ●● La relació entre dos nombres positius ve donada per la taula següent: 0,02

0,1

0,2

0,5

…

300

…

a) Quina és l’expressió algebraica d’aquesta relació? b) Representa-la gràficament. c) Dóna valors a x molt propers a zero. Què passa amb els valors de y?

6 cm

3 cm

4 cm

6 cm

36. ●● L’àrea d’un triangle és de 18 cm2. Construeix una taula amb diferents valors de la base i l’altura i representa la funció que ens dóna l’altura en funció de la base.

9 cm

6 6 iy = − . x x

a) Representa-les gràficament. b) Escriu les característiques que les diferencien. 5 : x a) Per a quins valors la funció és decreixent? b) Té màxims o mínims? c) Fes una taula de valors donant valors a x de −1 a 0 i de 1 a 0, i prenent valors cada vegada més propers a 0. A quins valors s’acosta la funció?

38. ●● Donada la funció y = −

b) Interpreta els resultats obtinguts. 40. ●● Fem una excursió en bicicleta fins a un parc situat a 60 km. Per arribar-hi s’ha de recórrer un camí amb pujades i baixades. Després, descansem i tornem a casa. Y 60

Parc

50 40 30 20 10

12 cm

Determina l’expressió algebraica que relaciona aquests valors i representa-la gràficament. 37. ●● Donades les funcions y =

a) Representa gràficament els parells de valors.

Distància (km)

Temps (h)

a) Quin significat tenen els nombres situats en l’eix d’abscisses? I els de l’eix d’ordenades? b) A quina hora hem sortit? c) Quants quilòmetres hi ha des de l’inici de la primera pujada fins al cim? d) Quant temps triguem a pujar-la? I a baixar-la? e) Quant temps estem al parc? f) Com és el camí de tornada? g) En quin tram la funció creix? On decreix? h) És una funció contínua?

18 X

830863 _ 0229-0248.qxd

26/12/07

12:18

Página 247

41. ●● S’ha fet un estudi en una ciutat sobre el nombre de famílies que es connecten a Internet cada any. Anys

Nre. de connexions

100

500

INVESTIGA

1.500 3.000 7.000

a) Representa gràficament els parells de valors. b) Interpreta els resultats.

44. ●●● La pressió atmosfèrica mesura la pressió que excerceix l’atmosfera, és a dir, el pes de la columna d’aire que tenim damunt. Aquest pes és més petit a mesura que augmenta l’altitud. Així, la pressió baixa des del valor de 101.325 pascals (Pa) a nivell del mar fins a uns 2.350 Pa als 10.700 m (l’altitud de vol d’un reactor). Si suposem que aquesta variació és proporcional a l’altitud:

Velocitat (m/s)

42. ●● La gràfica següent mostra la variació de la velocitat d’un atleta durant una cursa de 1.500 m. Y 8 7 6 5 4 3 2 1

X 100

500 1.000 Distància (m)

1.500

a) Quina és la variable independent? Per què? b) Quina és la variable dependent? Per què? c) En quins moments de la cursa la velocitat és de 6 m/s? d) Quant creix la velocitat? e) I quant decreix? f) En quins moments manté la velocitat constant? g) És una funció contínua? h) Quina és la velocitat màxima? i) Aquesta funció té algun mínim relatiu? j) Quina velocitat porta als 300 m? 43. ●●● Volem construir un dipòsit prismàtic amb aquestes mesures.

a) Fes una taula on apareguin les pressions des dels 0 m fins als 10.700 m, de 1.000 m en 1.000 m. b) Representa gràficament aquests valors. És una funció lineal? Indica les característiques d’aquesta funció. 45. ●●● Els vèrtexs d’un triangle equilàter són els punts A(0, 0), B(8, 2) i C(−1, 2). Calcula l’àrea d’aquest triangle. 46. ●●● Els vèrtexs d’un trapezi, de costats paral·lels AB i CD, són els punts A(0, 0), B(6, 0), C(6, 2) i D. Calcula l’equació de la funció que determina el costat AD perquè l’àrea del trapezi sigui 8 u2. 47. ●●● Una funció és parella si f(x) = f(−x) per a qualsevol valor de x, i és imparella si −f(x) = f(−x) per a qualsevol valor de x. Determina si aquestes funcions són parelles, imparelles o no són parelles ni imparelles. a)

a) Fes una taula amb els diferents valors de les dimensions que pot tenir. b) Escriu la funció corresponent i representa-la.

b) V = 500 ¬

Y 2

1 X

tema 13 EstadĂstica

Grup Promotor Santillana

830863 _ 0249-0268.qxd

14/12/07

16:31

Página 264

VARIABLES ESTADÍSTIQUES 1. ● Es vol fer un estudi estadístic de l’alçada dels alumnes de 2n d’ESO d’un institut i, per poder-lo elaborar, s’ha mesurat l’alumnat de 2n A. Determina: a) b) c) d)

La població. La mostra. Els individus. La variable estadística.

Com és el tipus de variable que s’estudia?

6. ● Les notes que s’obtenen en un examen, del 0 al 5, són les següents: 0, 1, 0, 5, 4 5, 4, 2, 5, 3 a) Fes-ne el recompte. b) Calcula totes les freqüències que puguis. c) Organitza les dades en una taula de freqüències. 7. ● Les temperatures màximes (en °C) que s’han enregistrat durant els darrers quinze dies del mes d’agost han estat: 40 39 41 39 40 38 37 40 40 41 42 39 40 39 39 a) Fes el recompte d’aquestes temperatures. b) Calcula totes les freqüències. c) Organitza les dades en una taula de freqüències.

2. ● Digues com farias un estudi sobre el color dels ulls dels teus veïns. Especifica la població, la mostra, la grandària de la mostra i alguns dels valors que pot tenir la variable estudiada.

8. ● Llencem 10 vegades un dau, amb quatre cares numerades de l’1 al 4, i anotem els resultats: 1, 4, 3, 1, 2 4, 1, 3, 2, 4 a) Quantes vegades s’han repetit els resultats? b) Calcula les freqüències acumulades. c) Organitza les dades en una taula de freqüències.

3. ● Indica el tipus de variable: qualitativa o quantitativa. a) b) c) d) e)

Nombre de germans. Sexe. Nacionalitat. Nombre de calçat. Edat.

4. ● Classifica les variables següents en discretes o contínues. a) b) c) d) e)

Nombre de germans. Nombre de calçat. Edat. Ingressos diaris en una fruiteria. Pes d’un grup d’alumnes.

TAULA DE FREQÜÈNCIES 5. ● a) b) c) d)

Una variable estadística pren aquests valors: 3, 5, 4, 2, 6, 1, 2, 3 Fes-ne el recompte. Calcula les freqüències absolutes. Troba les freqüències relatives. Organitza les dades en una taula de freqüències.

9 ●

El nombre de germans de 20 alumnes és: 2 1 2 1 1 0 2 1 3 1 2 1 1 2 1 0 3 1 0 4. Fes el recompte i troba totes les freqüències que puguis. Organitza els resultats en una taula.

10. ● El nombre d’hores diàries que els 30 jugadors d’un equip de futbol veuen la televisió és: 0 1 2 2 3 1 1 0 2 1

1 2 3 4 2 1 3 0 1 4

3 1 1 0 2 2 1 3 0 0

Fes el recompte de dades i troba les freqüències absolutes i relatives. Anota, també, les freqüències acumulades. 11. ● Les dades següents corresponen al nombre de treballadors d’una cadena de botigues: 4 7 5 2 4 3 4 3 2 4 3 8 2 3 2

5 6 4 7 3 4 1 1 2 5 2 5 4 1 5

7 4 3 4 4 3 2 2 5 3 8 6 6 1 3

a) Digues quina és la variable i de quin tipus és. b) Fes el recompte de dades i elabora una taula de freqüències.

830863 _ 0249-0268.qxd

14/12/07

16:31

Página 265

12 ● Llancem un dau 48 vegades i obtenim aquests resultats: 3 4 1 4 6 3

4 2 4 4 2 2

5 6 5 3 3 4

1 5 3 2 1 6

6 1 2 1 5 6

2 4 1 6 4 2

2 2 4 2 1 1

16. ●● Per estudiar la influència que té sortir a la nit en el rendiment acadèmic, hem preguntat a l’alumnat d’un centre universitari quants dies surten de festa a la setmana i hem obtingut el resultats següents:

3 3 6 5 6 2

0 2 3 2 1 1 2 2 1 3

1 1 4 0 1 1 3 0 1 2

Fes el recompte de dades i elabora una taula amb totes les freqüències. 13. ●● Hem preguntat a 50 alumnes quin esport preferien: 16 han escollit el futbol, 12 el bàsquet, 6 l’handbol, 10 l’equitació i 6 el ciclisme. Amb aquestes dades: a) b) c) d)

Calcula’n les freqüències absolutes. Quina freqüència absoluta representa el 20 %? Troba les freqüències relatives. Quina freqüència relativa representa el 32 %?

Fes el recompte de dades i elabora la taula de freqüències.

GRÀFICS ESTADÍSTICS 17. ● En una classe de 2n d’ESO, preguntem a l’alumnat quin refresc prefereixen. Refrescos Cola

14. ●● Completa les dades d’aquesta taula de freqüències: Dades

Freqüència absoluta

Freqüència relativa

0,2

Taronjada

Llimonada

Pinya

Representa aquestes dades en un diagrama de barres. 18. ● Segons una enquesta, la música que prefereixen els alumnes de 2n d’ESO és:

0,15

Nre. d’alumnes

Música

0,1

8 6

15. ●● Completa la taula sabent que hi ha el doble de suspensos que de notables. Notes

Freqüència absoluta

Freqüència relativa

Rock

Pop

Bacalao

Clàssica

Dance

Representa aquestes dades en un diagrama de barres.

Suspens 0,3

Aprovat Notable Excel·lent

Nre. d’alumnes

0,1

19. ● Els resultats que hem obtingut en llençar una moneda 25 vegades són 11 cares i 14 creus. Representa’ls en un gràfic de sectors.

830863 _ 0249-0268.qxd

14/12/07

16:31

Página 266

20. En una botiga d’ordinadors han fet un estudi sobre els portàtils venuts durant l’últim mig any i han obtingut aquests resultats:

25. ●●

Observa el diagrama de barres. fi 200

Mes

Jul.

Ag.

Set.

Oct.

Nov.

Des.

150

Unitats

100

Representa aquestes dades mitjançant un pictograma i un diagrama de línies.

21. ● En un edifici de 24 pisos, el nombre de persones que viuen en cada un és: 3 4 2 5 6 8 4 3

6 4 2 0 5 4 6 2

Descriu una situació segons les dades que s’hi representen. Posa un nom a l’eix horitzontal i un al vertical.

1 2 3 4 8 4 1 3

PROBLEMES D’ESTADÍSTICA 26. ●● Un fruiter té sacs de cebes de 2 kg, 5 kg i 10 kg. Durant un dia ha venut 10 sacs de 2 kg, 5 sacs de 5 kg i 2 sacs de 10 kg.

a) Elabora una taula de freqüències absolutes i relatives. b) Representa les dades amb un diagrama de barres i un diagrama de sectors. c) Fes un pictograma amb aquestes dades. 22. ●● Una família gasta 1.800 € al mes. Al gràfic següent es veu què destina a cada concepte.

10 % 30 %

Despeses generals 60 %

Hipoteca Altres

Quants diners gasta en cada concepte? 23. ●● Hem preguntat als alumnes d’una classe quin és l’esport que prefereixen. El resultat ha estat: Futbol: 32 Tenis: 9

Atletisme: 5 Bàsquet: 16

Altres: 17 Cap: 3

Representa aquests resultats en un gràfic de sectors i indica el percentatge de cada sector. 24. El consum energètic a Catalunya, que es mesura en milers de GWh (gigawats-hora), durant els últims anys ha estat el següent: Any

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Consum

39,8

41,4

42,5

43,8

45,3

47,3

48,2

Representa aquestes dades en un diagrama de línies i analitza el consum d’energia a Catalunya comparant el gràfic amb la línia tendència.

a) Organitza aquestes dades en una taula de freqüències. b) Representa, en un diagrama de barres, les freqüències absolutes. c) Dibuixa un diagrama de barres que representi les freqüències relatives. d) Quin nombre mitjà de quilograms de cebes ha venut? e) Quin sac de cebes s’ha venut més? f) Com s’anomenen aquests dos últims nombres en estadística? 27. ●● Les edats (en anys) dels 10 primers visitants del parc d’atraccions són: 12 10 14 12 14 10 11 12 12 12 a) Dibuixa un diagrama de barres amb les freqüències absolutes i un altre amb les freqüències relatives. b) Calcula la mitjana de les edats dels 10 primers visitants. c) Quina edat es repeteix amb una freqüència més gran?

830863 _ 0249-0268.qxd

14/12/07

16:31

Página 267

31. ●●● Aquesta taula resumeix un estudi sobre el nombre de fills de les famílies d’una ciutat.

FES-HO AIXÍ COM CALCULEM I INTERPRETEM LA MODA?

Nre. de fills

Percentatge

12,5 %

30 %

15 %

12,5 %

28. Calcula la moda de les notes obtingudes a Llengua per nou estudiants. 7 8 4 3 4 5 7 9 6 Notes

PRIMER. Organitzem les dades

en una taula de freqüències.

SEGON. Estudiem la columna

de les freqüències obtingudes i n’escollim el nombre o els nombres més grans. En aquest cas, és el 2. Hi ha dues modes, que són les notes 4 i 7.

TERCER. Intepretem els resultats.

En aquest grup, és més freqüent trobar alumnes que han tret un 4 o un 7.

Si sabem que van preguntar a un nombre de famílies comprès entre 620 i 650, pots deduir quantes famílies van entrevistar?

INVESTIGA 32. ●●● El pes mitjà de 6 amigues és de 62 kg. Si el pes de 5 d’aquestes amigues són 58, 65, 59, 65 i 72 kg, quant pesa la sisena amiga? Calcula la desviació mitjana d’aquest conjunt de dades.

29. ●● Al servei d’urgències d’un hospital han ingressat 26 malalts d’aquestes edats: 87 14 52 65 74 43 28 9 12 17 25 93 42 31 18 10 21 28 49 53 64 75 34 41 18 3

SEICNÉGRU 33. ●●● Si sabem les freqüències relatives d’una taula, podem calcular les freqüències absolutes? a) Quina és l’edat mitjana dels malalts? b) Quina és la mediana? I la moda? c) Quin és el rang i la desviació mitjana d’aquest conjunt de dades? 30. En una botiga de butaques de massatge han enregistrat les vendes anuals ordenades segons el preu.

34. ●●● Pot existir una sèrie de dades que no tingui mitjana? I que no tingui mediana? I moda? Raona la resposta. 35. ●●● Si a totes les dades obtingudes en un estudi estadístic: a) Els sumem una determinada quantitat. b) Els multipliquem per un mateix nombre. Què passa amb la mitjana de la sèrie nova?

Preu € (xi)

500

600

700

800

900

Nre. (fi)

a) Representa aquestes dades en un diagrama de línies. b) Calcula el preu mitjà de cada butaca de massatge. c) Calcula la desviació mitjana d’aquest conjunt de dades.

Suggeriment: tria un exemple amb poques dades i calcula’n la mitjana. Fes les operacions que hem indicat i torna’n a calcular la mitjana. Després, compara les dues mesures obtingudes i generalitza el resultat. 36. ●●● Inventa una situació amb sis dades que compleixin que: x=6

Me = 4

Mo = 5

tema 14 Probabilitat

Grup Promotor Santillana

830863 _ 0269-0282.qxd

17/12/07

10:04

Página 278

ESDEVENIMENTS 1. ● Esbrina, dels experiments següents, quins són deterministes i quins són aleatoris: a) Llançar una pilota i verificar si cau a terra o no. b) Extreure dues cartes d’una baralla espanyola. c) Triar a l’atzar una fitxa de dòmino. d) Esbrinar el resultat d’un partit de tenis abans que es jugui. e) Pitjar l’interruptor d’un llum i esperar a veure si s’encén. f) Calcular l’espai que recorreran diferents cotxes a 120 km/h durant 15 minuts. g) D’una bossa de 1.000 boles totes negres llevat d’una de blanca, extreure’n una bola i anotar-ne el color. 2. ● Escriu dos experiments aleatoris i dos que no ho siguin.

IDEA DE PROBABILITAT. REGLA DE LAPLACE 5. ● En una bossa tenim dues boles blanques, quatre de verdes i sis de negres. En traiem una bola a l’atzar. a) Què és més probable, que sigui blanca o verda? b) Què és més probable, que sigui verda o negra? c) Quina és la probabilitat que surti blava? 6. ● D’un joc de dòmino de 28 fitxes, en traiem una. Classifica els esdeveniments següents de més a menys probabilitat: a) b) c) d)

La suma dels punts és 6. La suma dels punts és 10. És una fitxa doble. La diferència entre els punts és més gran que 6. e) La suma dels punts és més petita que 12.

3. ● Escriu l’espai mostral associat a cadascun dels experiment aleatoris següents: a) Extreure una bola d’una bossa amb boles de color blanc, negre i vermell. b) Llançar dos daus i sumar els punts de les cares superiors. c) Extreure una carta de una baralla i anotar-ne el pal. d) Extreure una carta de una baralla i anotar-ne el nombre. e) Llançar un dau octaèdric que té anotats els nombres de l’1 al 8 i anotar si el que surt és múltiple de 3 o no. f) Una urna conté sis boles blanques i cinc boles negres. Traiem una bola de l’urna i n’anotem el color. g) Una urna conté cinc boles blanques, set de grogues i vuit de negres. Traiem una bola de l’urna i n’anotem el color 4. ●● Considerem l’experiment de llançar dues monedes. a) Escriu l’espai mostral que hi està associat. b) Esbrina si l’esdeveniment «sortir dues cares» té més o menys probabilitat que l’esdeveniment «sortir una cara i una creu».

7. ● Tirem un dau de 4 cares. Ordena de més a menys probabilitat els esdeveniments següents: a) b) c) d)

Treure un nombre imparell. Treure un múltiple de 5. Treure un 1. Treure un nombre més petit que 4.

8. ● Calcula la probabilitat que surti una bola blanca d’una bossa en la qual hi ha dues boles blanques i una de negra. Calcula també la probabilitat que surti blava. 9. ● Podem construir una ruleta dividida en quatre sectors de manera que les seves probabilitats siguin 1/2, 1/3, 1/4 i 1/5? 10. ● Quina és la probabilitat que, si tirem un dau, surti un nombre més gran que 3? I que surti un nombre més petit que 8?

830863 _ 0269-0282.qxd

17/12/07

10:04

Página 279

11. ●● Hem trucat un dau de quatre cares de manera que les seves probabilitats són directament proporcionals al seu nombre. Calcula la probabilitat d’obtenir cada nombre.

4 1

3 4

12. ● A les cares d’un dau escrivim tres 1, dues X i un 2. Llancem aquest dau. Quina és la probabilitat de treure un 1? I una X? I un 2? 13. ●● En una moneda trucada, la probabilitat d’obtenir cara és la meitat que la d’obtenir creu. Quina és la probabilitat de cada resultat? 14. ● D’una urna que conté 8 boles blanques, 7 de vermelles i 5 de negres, n’extraiem una bola. Quina és la probabilitat que sigui negra? I que no sigui negra? 15. ● Troba la probabilitat que quan llancem un dau obtinguem: a) b) c) d) e)

Un nombre parell. Un nombre primer. Un múltiple de 5. Un nombre més gran que 4. Un nombre més petit o igual que 3.

17. ●● En una urna tenim 100 boles numerades de l’1 al 100. Traiem una bola. Calcula la probabilitat que: a) b) c) d) e)

Surti un nombre parell. Surti un nombre més gran que 85. Surti un múltiple d’11. Surti un nombre imparell més gran que 80. La xifra de les desenes sigui doble que la xifra de les unitats. f) Surti un nombre primer.

18. ● De la paraula INTEMPESTIVITAT escollim una de les lletres a l’atzar: a) Quina és la probabilitat que sigui una vocal? b) I una consonant? c) I que sigui la lletra T?

V N T

A T

19. ●● Llancem dos daus i multipliquem els punts de cada dau.

16. ● Troba la probabilitat que, si traiem una carta d’una baralla espanyola, obtinguem: a) Un set. b) Una figura. c) El rei de bastos.

d) Un nombre parell. e) Una copa.

a) Quants esdeveniments elementals té aquest experiment? b) Quin és l’esdeveniment que té més probabilitat?

PROBLEMES AMB PROBABILITATS 20. ● Llancem enlaire dos daus. Fes un diagrama d’arbre per obtenir la probabilitat que siguin dos nombres imparells. 21. ● Un joc amb la baralla consisteix a treure dues cartes sense devolució, i guanya el que treu dues copes. Quina probabilitat hi ha de guanyar?

830863 _ 0269-0282.qxd

26/12/07

12:22

Página 280

25. ●● Mitjançant un resort es deixa anar una bola pel tauler de joc simulat:

FES-HO AIXÍ COM CALCULEM LES PROBABILITATS EN EXPERIMENTS COMPOSTOS? 22. ●● Quants resultats són possibles en el llançament de tres daus? Fes un diagrama d’arbre i calcula la probabilitat d’obtenir almenys un sis. PRIMER. Com que en el llançament d’un dau hi ha 6 resultats possibles, en aquest experiment compost tindrem: 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 216. SEGON. Fem un diagrama amb els possibles

resultats. 6

6 no 6

no 6

6 no 6

no 6

6 no 6

6 1/6

5/6

no 6

TERCER. Si anomenem A =

{no treure cap 6},

la probabilitat de A serà: 5 5 5 125 P(A) = ⋅ ⋅ = 6 6 6 216 QUART. La probabilitat de l’esdeveniment contrari a A, A = {treure almenys un 6}, serà 125 89 P(A) = 1 − = = 0,412 216 216

23. ●● En una bossa tenim 5 boles vermelles i 3 de blanques. Quina probabilitat hi ha d’extreure dues boles blanques seguides? a) I si, una vegada extreta la primera bola, la tornem a introduir a la bossa (amb devolució)? b) I si no la tornem (sense devolució)? c) Calcula, ara, la probabilitat que siguin les dues boles negres, tant si tornem la primera bola a la bossa com si no ho fem. d) I la probabilitat d’extreure una bola de cada color? 24. ●● Tenim en una urna 4 boles blanques i 7 de negres, i les traiem totes menys una. Quina és la probabilitat que sigui blanca?

➀

➁

➂

➃

Calcula la probabilitat que la bola surti per cada una de les sortides: 1, 2, 3 i 4. 26. ●● En una urna tenim 5 boles blanques i 4 de verdes. Traiem 2 boles. Descriu l’espai mostral i calcula les diferents probabilitats. 27. ●● En una urna tenim 7 boles blanques i 4 de negres i en traiem 3 boles. Calcula la probabilitat que totes tres siguin blanques si cada vegada es torna la bola que es treu a la urna. 28. ●●● En l’exercici anterior, calcula la probabilitat que siguin del mateix color en els dos casos: que la bola que es treu es torni a l’urna i que no es torni. 29. ●● D’una baralla extraiem tres cartes per observar si són figures o no. Descriu l’espai mostral de l’experiment i calcula’n les diverses probabilitats. 30. ●● Traiem 2 cartes seguides d’una baralla de 40 cartes: a) Quina probabilitat hi ha que totes dues siguin oros? b) I que siguin dos asos? 31. ●●● En una urna tenim deu boles amb les xifres 0 a 9. Traiem una bola i, sense tornar-la a la urna, traiem una segona bola. Si considerem el nombre que surt (1a bola: xifra de les desenes): a) Quina probabilitat hi ha que sigui múltiple de 5? I de 3? b) Quina és la probabilitat que la segona bola tingui un nombre més petit que la primera? 32. ●● Si agafem quatre fitxes de dòmino, quina és la probabilitat que cap sigui una fitxa doble?

830863 _ 0269-0282.qxd

17/12/07

10:04

Página 281

33. ●●● Una màquina d’una fabrica té dos motors. La probabilitat que, en un torn de l’empresa de 8 hores, falli un dels motors és del 3,5 %, encara que la màquina pugui funcionar amb un sol dels motors. Quina probabilitat hi ha que la màquina no acabi el torn? 34. ●● En una empresa hi ha 215 treballadors, repartits de la manera següent: Homes

Dones

Amb ulleres

Sense ulleres

38. ●● Considera l’experiment aleatori que consisteix a escollir a l’atzar un nombre de l’1 al 30. Siguin els esdeveniments: A = {Obtenir nombre parell més petit o igual que 14}. B = {Obtenir un múltiple de 3 més petit o igual que 10}. C = {Obtenir un múltiple de 10}. Calcula les probabilitats de cada esdeveniment, i també les dels seus contraris. 39. ●●● Un joc consisteix a llançar un dau diverses vegades fins que surti un 6, aquí el joc s’acaba. Calcula:

Si escollim una persona a l’atzar: a) Quina probabilitat hi ha que sigui una dona? b) I que sigui una dona sense ulleres?

INVESTIGA 35. ●● El segon problema que el cavaller De Meré va plantejar a Pascal era el següent: Què és més avantatjós, apostar a treure almenys un 6 en quatre tirades seguides d’un dau o no treure cap 6? Calcula les probabilitats de cada un dels esdeveniments anteriors. 36. ●● Sobre una taula posem quatre cartes (un rei i tres cartes diferents) cap per avall. Les aixequem una a una fins que traiem el rei.

a) La probabilitat que el joc s’acabi en la primera jugada. b) La probabilitat que s’acabi abans de la quarta jugada. c) La probabilitat que s’acabi exactament a la quarta jugada. 40. ●● En una urna hi ha 10 boles vermelles i un determinat nombre de boles negres. Calcula quantes boles negres hi ha d’haver per tal que: a) Hi hagi la mateixa probabilitat de treure els dos colors. b) La probabilitat de treure una bola vermella sigui de 0,265. c) La probabilitat de treure una bola negra sigui de 0,75. 41. ●●● En una urna hi ha boles de diversos colors. Calcula quantes boles hem d’agafar com a mínim per estar segurs de treure’n dues del mateix color si: a) Hi ha boles de 3 colors diferents. b) Hi ha boles de 4 colors diferents.

Escriu l’espai mostral i calcula la probabilitat que el joc acabi en dues jugades. 37. ●● En un grup de 30 alumnes de 2n d’ESO hi ha 17 nois, dels quals 8 són rossos, i de les alumnes, 7 no són rosses. Si escollim un alumne a l’atzar: a) Quina és la probabilitat que sigui una noia? b) I que no sigui rossa?

c) Hi ha boles de 5 colors diferents. c) Hi ha boles de n colors diferents. 42. ●●● Tres persones, A, B i C, llancen un dard sobre una diana. Les seves probabilitats d’encertar, són, respectivament, de 0,7, 05 i 0,2. Troba la probabilitat d’encertar entre els tres si cada un llança quan l’anterior no encerta.