Acerca de los autores Julio Ayala: Actualmente estudia Ingeniería en Ciencias de la Computación y Tecnologías de la información en la Universidad del Valle de Guatemala. En su tiempo libre juega videojuegos en computadora y tiene un gusto por la astrofísica.
Pablo Estrada: Estudiante de Ingeniería en Ciencias de la Computación y Tecnologías de la Información así como Licenciatura en Música en la Universidad del Valle de Guatemala. Sus pasatiempos son tocar guitarra y jugar videojuegos.
Ricardo Zepeda: Actualmente es un estudiante de Ingeniería en Ciencias de la Computación y Tecnologías de la Información en la Universidad del Valle de Guatemala. Le gusta jugar baloncesto y videojuegos.
José P. Rodríguez: Estudiante de Ingeniería en Ciencias de la Computación y Tecnologías de la Información en la Universidad del Valle de Guatemala. Le gusta jugar Ping-pong y hacer chistes.
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Índice 1. Vectores...................................................................................... 3
2. Operaciones con vectores............................................................4
3. Representación de vectores........................ …………………………..6
4. Planos.......................................................................................... 9
5.Tiempo de Pensar ……………………………………………..……………….12
6. Aritmética modular ………………………………………………............. 13
7. Sistema de ecuaciones y espacios generados………………………..18
7. Referencias Bibliográficas.......................................................... 19
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Vectores En muchos campos de la matemática y la física, con frecuencia se hace referencia a los vectores. Este concepto hace referencia a una cantidad que consta tanto de magnitud y dirección, a veces es necesario utilizar más de una componente para enunciar la dirección como es el caso de los planos en 3 dimensiones. Los vectores se caracterizan por tener un punto inicial (origen) y un punto terminal (extremo) que muestran el desplazamiento que se ha llevado a cabo (Fig.1)
Aprendiendo a expresar un vector: Aunque muchos pueden pensar que escribir vectores es algo complicado, en realidad es bastante simple. Existen dos maneras básicas de expresar vectores, la primera es el vector columna que básicamente muestra cada componente del vector en una línea vertical, encerrada entre corchetes. La otra manera de expresar vectores usando vectores renglón, estos vectores también se escriben entre corchetes, pero esta vez cada componente se escribe en una línea horizontal. (Ver Fig.2)
(Figura.2) Más curiosidades sobre vectores: Aunque básicamente todos los vectores poseen las mismas características, existen algunos términos que se utilizan para definir vectores especiales. ¿Qué sucede si un vector no posee valores todas sus componentes? Podría pensarse que el vector no existe, pero esto es falso. Este vector es conocido como el vector cero, y se caracteriza precisamente tener valor 0 en todas sus componentes. Otros vectores especiales con los 3
conocidos vectores en posición estándar, estos vectores son todos aquellos que tienen su punto inicial en el origen, es decir la coordenada (0,0).
Operaciones con vectores: Sumando Vectores: Es muy común realizar operaciones algebraicas con vectores. Esto es muy útil cuando se desea continuar un vector en el punto donde otro finalizó. Este proceso se facilita con la suma de vectores. El proceso consiste en descomponer los vectores en sus componentes y luego de esto se suman algebraicamente las componentes respectivas de cada vector, dándonos como resultado un nuevo vector que representa el punto inicial del primer vector sumado y el extremo del último vector sumado. Para visualizar mejor este proceso recomiendo estudiar el siguiente video: http://www.youtube.com/watch?v=GrHu2tuBP6Y Al igual que los valores escalares también conocidos como números reales o constantes, los vectores poseen las siguientes propiedades: Conmutatividad:
Asociatividad: (
)+w =
+w)
Distributividad: c ( u + v ) = cu + cv Reglas Importantes para sumar vectores: Existen reglas que pueden ayudarnos mucho al momento de sumar vectores, una de estas es la regla punta a origen. Esta regla nos dice que al momento de sumar dos vectoresA, B, se traslada el vector B de modo que su origen quede en el mismo lugar que el punto final del vector A. Con esto hecho se traza un nuevo vector A+B que va desde el origen de A hasta el punto final de B. (Figura.3)
(Figura.3) 4
Regla del Paralelogramo: Esta regla surge también de la suma de vectores, sin embargo se debe recordar que solo se puede utilizar cuando se suman 2 vectores exclusivamente. La regla dice que las suma dos vectores en posición estándar representa la diagonal que formarían estos dos vectores al ser reflejados y formar un paralelogramo. (Figura.4)
(Figura.4)
Multiplicación escalar de Vectores: Otra operación muy utilizada con vectores es la multiplicación escalar. Al tener un vector a es posible multiplicarlo con un escalar c llamado el múltiplo escalar. Esto se realiza multiplicando cada componente del vector por el múltiplo escalar. Una manera de recordar fácilmente este proceso es tomar como base la propiedad distributiva mencionada anteriormente.
Algunas características que se deben recordar
La multiplicación de un número k por un vector es otro vector: El vector resultante posee igual dirección que el vector. El vector resultante posee el mismo sentido que el vector si el escalar es positivo. El vector resultante posee sentido contrario del vector si el escalar es negativo.
Otra operación de gran importancia entre vectores es el producto escalar, que consiste en la suma de la multiplicación de cada una de las componentes de los vectores dados.
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Propiedades producto escalar:
Cuando se utiliza el múltiplo escalar (-1) v, este se escribe como –v y se puede utilizar para la resta vectorial, esto nos dice lo siguiente:
Utilizando la multiplicación escalar para el análisis de dos vectores, se puede llegar a definir los conceptos de vector paralelo y vector ortogonal. Cuando dos vectores son paralelos entre sí se dice que ambos son múltiplos escalares, es decir, que podemos hacer que ambos vectores sean iguales únicamente multiplicándolos por una constante. Los vectores son ortogonales cuando el ángulo formado entre ellos dos es recto. La forma adecuada de calcular el ángulo entre dos vectores es con la siguiente expresión que se fundamenta en la ley de cosenos:
Representación de vectores: Combinaciones Lineales: Cuando se posee un vector que es una suma de múltiplos escalares de otros vectores, se le llama combinación lineal. Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares. Para comprender mejor el concepto es recomendable ver el siguiente video, donde se muestra la creación de una combinación lineal sencilla en tan solo 5 minutos: http://www.youtube.com/watch?v=3oy-iMPq_jA
Vectores Binarios: Los vectores binarios son vectores que se utilizan muchísimo en computación. Estos vectores poseen componentes con un 0 o un 1. Estos vectores son la base de muchos códigos de programación. En este caso se modifican un poco las reglas de aritmética y se toman como base las reglas de paridad para la realización de operaciones con este tipo de vectores. 6
Norma de un vector La norma de un vector hace referencia al largo o la magnitud que un vector posee en el espacio. Este concepto surge del teorema de Pitágoras y trabajando en esta expresión podemos relacionarla con el producto escalar para llegar a la siguiente definición:
Proyecciones de vectores: La proyección de vectores surge en respuesta al problema de encontrar la distancia desde un punto hasta una recta en el contexto de los vectores. Esta proyección se obtiene trazando una perpendicular desde el punto final del vector que se proyectará hasta la parte del vector donde se dará la proyección. (Ver figura.5) Con esto en mente, se llega a la deducción de la siguiente expresión para la proyección de un vector:
Figura.5 Normalizar Vector: La normalización de un vector hace referencia al proceso de encontrar un vector unitario en la misma dirección que el vector que se ha dado. Para hacer esto es necesario dividir el vector dentro de su magnitud para convertirla en uno y finalmente multiplicarlo por su dirección. El vector resultante siempre será de magnitud 1, la siguiente expresión puede ayudar a normalizar un vector:
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Vector Normal y Director Para lograr el análisis de rectas de manera analítica, se han definido vectores con características especiales que cumplan con ciertas condiciones. Uno de estos es el vector normal, este vector posee la característica de ser ortogonal a una recta, esto implica que el producto punto con un vector alineado a la recta debe de ser 0.(Figura.6)
Otro concepto que es importante al momento de analizar rectas y planos es el vector director. Este vector se caracteriza por indicar la dirección que posee la recta en análisis. Rectas El análisis de rectas en el plano cartesiano es uno de los temas más comunes en geometría, pero esta vez analizaremos un recta en R2 y R3 desde un punto de vista vectorial. La forma en que una recta se expresa analíticamente es a través de de ecuaciones. Estas varían dependiendo de la forma como sean expresadas y son útiles en distintas circunstancias. Forma General de la Ecuación en R2 La forma general surge de la relación de puntos en un plano x,y, y se expresa de la siguiente manera:
Note que la expresión (A/B) nos indicará la pendiente de la recta, un dato muy importante para la construcción de ecuaciones. Forma Normal de la Ecuación en R2 Esta ecuación se apoya en los conceptos de vector normal y vector director, y surge de la obtención de un vector ortogonal y direccional a la recta bajo análisis. Por las propiedades del producto punto se sabe que el producto punto entre vectores ortogonales es creo. Por lo tanto la ecuación normal de la recta está dada por la expresión:
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Forma Vectorial de la EcuaciĂłn de la Recta: Esta forma de la ecuaciĂłn utiliza los vectores x, p y v siendo estos los vectores de posiciĂłn el vector de un punto conocido y el vector director.
ParamĂŠtrica Esta ecuaciĂłn surge de las componentes de la ecuaciĂłn vectorial de la recta, dependiendo de si la recta esta en R2 o R3 surgirĂĄn dos o tres ecuaciones respectivamente
Planos: La ecuaciĂłn de un plano surge al tratar de generalizar la ecuaciĂłn de una recta en R2 a R3, al intentar encontrar vectores x que sean ortogonales al vector n notamos que existe un nĂşmero infinito de vectores que cumplen con esta condiciĂłn, lo cual nos proporciona una familia de planos paralelos y ortogonales a n.
Las diferentes ecuaciones para planos son las siguientes: EcuaciĂłn General
đ?’‚đ?’™
đ?’ƒđ?’š
đ?’„đ?’›
đ?’…
EcuaciĂłn Normal
→→→ → �
EcuaciĂłn Vectorial
→ →→ → �
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Distancia de un punto a un Plano: La distancia de un punto, P, a un plano, π, es la distancia menor desde el punto a los puntos infinitos del plano.
Intersección entre una recta y un plano Para saber la intersección entre una recta
y el plano
, hay despejar y, x y z en la ecuación de la recta y después sustituimos x, y y z en la ecuación del plano. Resolvemos para t, si la solución es única, con este valor de t obtenemos el punto de intersección sustituyendo en la ecuación de la recta.
Tome en cuenta que la ecuación en t puede tener soluciones infinitas (cuando la recta está en el plano) o también puede no tener solución (cuando no hay intersección). (ver figura.1)
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Angulo entre una recta y un plano El รกngulo entre una recta y un plano se puede obtener con la ayuda del vector normal del plano y el vector director de la recta, es importante tomar en cuenta que este รกngulo es agudo, por lo que siempre debe darse de manera que sea >90 grados. (Ver figura 2.)
Figura.2
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Tiempo de Pensar
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Aritmética Modular La aritmética modular o aritmética de reloj es un sistema en el cual se hacen equivalencias para números enteros. En la aritmética modular se crean ciclos de tamaño n que son llamados módulos, y dependiendo del módulo así será la cantidad de enteros desde “0” hasta “n-1”, al llegar al número n se empieza en cero nuevamente. Para ilustrarlo mejor, puede observar un reloj: Este utiliza aritmética de módulo 12 ya que va de 0 a 11 y al llegar al 12, se empieza otro ciclo. En la aritmética modular solo existen dos operaciones: suma y multiplicación.
El reloj representa aritmética en el módulo 12
Para calcular el valor de un número en el módulo n, simplemente se divide el número entero entre n y el residuo es el valor en ese módulo. Ejemplo:
Encontrar el valor de 34 en el módulo Z5. Al dividir 34/5 , sin importar el cociente, se tiene que el residuo es 4, por lo que el valor de 34 en el módulo Z5 es 4.
Adición y multiplicación en aritmética modular Para sumar en aritmética modular simplemente se suman los dos números y el resultado se convierte al módulo Zn. Lo mismo ocurre con la multiplicación, luego de obtener el resultado se convierte a Zn y se debe recordar que el valor del resultado debe estar entre 0 y (n-1).
Ejemplos de módulos: Z2 El módulo 2 o Z2 en aritmética modular implica que n=2, por lo que está formado de esta manera: Z2 = { 0 , 1 } La tabla de la suma para el módulo 2 está dada de la siguiente manera: +
0
1
0
0
1
1
1
0
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De forma parecida, la tabla de multiplicación: *
0
1
0
0
0
1
0
1
Z3 El módulo 3 o Z3 en aritmética modular se da por n=3, los números que lo conforman son: Z3 = { 0 , 1 , 2 }
Tabla de suma: +
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
0
1
Tabla de multiplicación: *
0
1
2
0
0
0
0
1
0
1
2
2
0
2
1
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Z4
El m贸dulo 4 o Z4 se construye cuando n=4, los n煤meros que lo conforman son: Z4 = { 0 , 1 , 2 , 3 }
Tabla de suma: +
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1
3
3
0
1
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Tabla de multiplicaci贸n: *
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
2
0
2
0
2
3
0
3
2
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Resolución de ecuaciones en Zn Para resolver ecuaciones en un módulo Zn se siguen pasos similares a los utilizados regularmente. Primero se debe recordar que en aritmética modular solo existen dos operaciones: suma y multiplicación. Luego de cada lado de la ecuación se suma lo necesario para convertir en cero el número que se suma a la variable. Finalmente, se busca un número dentro del módulo que al multiplicar la constante que multiplica la variable dé como resultado uno, multiplicando de los dos lados de la ecuación. Ejemplo: Resolver para x en Z5: 3x + 1 = 2 Se suma 4 de cada lado ya que 4 + 1 en Z5 = 0 3x + 1 + 4 = 2 + 4 3x = 1 Al multiplicar 3 * 2 en Z5 se obtiene 1 2*3x = 1*2 x=2
Código Universal del producto (UPC) Este código es el utilizado en casi todos los productos para identificarlos, es un código de barras y se divide en varias partes:
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El código UPC puede tener n dígitos y para verificar que el código es válido, se debe tomar en cuenta que:
en Z10 Donde V= vector del código UPC separado por dígitos C = vector verificador (nótese que siempre termina en 1) = [… 3 , 1 , 3 , … , 3 , 1 ]
Número internacional de libro (ISBN) Es un código que, al igual que el UPC sirve para identificar productos, pero en este caso solo se limita a libros. El ISBN, a contrario del UPC solo puede tener 10 ó 13 dígitos y el método de verificación es similar: En Z14 si V tiene 13 dígitos o en Z11 si V tiene 10 dígitos Donde V = vector del código ISBN C = [ 13 , 12 , 11 , 10 , 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 ] Para Z14 ó C = [ 10 , 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 ] Para Z11
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Resolución de Sistemas de Ecuaciones: Método de Gauss La resolución de sistemas de ecuaciones para 3 variables se basa en el método desarrollado por Gauss. En este método se crea una matriz asociada al sistema, en la cual únicamente se colocan los coeficientes de cada una de las variables en el sistema de ecuaciones lineales. Una vez hecho esto se busca llevar el sistema a la forma escalonada, este sistema será equivalente al sistema original. El siguiente ejemplo mostrará los procesos más a detalle, nótese que únicamente es posible utilizar la multiplicación y la suma al trabajar con las filas de la matriz.
*En este link puede ver el proceso de resolución de un sistema de ecuaciones lineales: http://www.youtube.com/watch?v=61cHZrnSwLM
Vectores linealmente dependientes y linealmente independientes Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si hay una combinación lineal de los vectores que es igual al vector cero sin que este sea el coeficiente de la combinación lineal. Un conjunto de vectores linealmente independientes es el que un vector no se puede escribir como una combinación lineal del resto de vectores en el conjunto.
Espacio generado y conjunto generador El espacio generado por un conjunto de vectores es el conjunto de combinaciones lineales de ese grupo de vectores. El conjunto generador es el conjunto que genera todos los elementos de un vector al operar a todos sus elementos.
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Referencias Bibliográficas:
Bartolí Jaume. Actividades sobre Vectores en Plano.En: http://www.xtec.cat/~jbartrol/vectores/index.html .Consultado el 1/8/2012 Vitutor. Vectores. En: http://www.vitutor.com/geo/vec/a_6.html .Consultado el 1/8/2012 Casanova, Juan. Vectores. En: http://cbasefis2bt.wikispaces.com/Vectores+(Por+Juan+Casanova) . Consultado el 9-1-2013 http://www.vitutor.com/geo/rec/d_1.html
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