ANEXOS

DENSIDAD Y NÚMERO DE ELECTRONES POR UNIDAD DE VOLUMEN EN UNA ENANA BLANCA

La estrella puede morir como enana blanca aunque su composición puede variar, pudiendo tener carbono, nitrógeno, hierro, etc., como elemento mayoritario, dependiendo de si la degeneración se produjo antes de que se quemara alguno de estos compuestos, siendo el hierro el metal terminal. Lo que sí podremos decir es que se agotó el hidrógeno y el helio. ¿Cómo encontrar la masa equivalente de una mezcla de elementos? Se determina con esta fórmula evidente:

donde m es la masa equivalente que queremos encontrar. En la suma de los n elementos predominarán los electrones, pues con elevada ionización cada elemento aporta una gran cantidad de electrones:

En cambio, como la masa del electrón es tan pequeña, los electrones aportarán muy poco al segundo sumatorio. Si x sirve para denotar el elemento dominante, será:

157

158

Pero m x ""2Zxms, siendo los Z los números atómicos. Y por otra parte, n e = Z x n x , si la ionización es total. Se tiene finalmente:

p=2m8 n e.

Es decir, la masa equivalente es el doble de la masa del hldrógeno, a pesar de que la estrella ya no tenga hldrógeno. Obsérvese que el resultado no depende de x ; luego es independiente de cuál sea el elemento dominante e, incluso, puede ser la mezcla de varios elementos existentes en la estrella.

POLÍTROPOS

En la controversia Eddington-Chandrasekhar estos dos púgiles del pensamiento creían que las estrellas podían tratarse como polítropos. Pero el polítropo que proponía Chandrasekhar para las enanas blancas relativistas era diferente al polítropo que suponía Eddington para las enanas blancas. De hecho, Eddington pensaba que las enanas blancas relativistas no existían. En cualquier caso, el concepto de polítropo aparece con frecuencia al narrar aquellas desavenencias hlstóricas y también actualmente, al considerar los interiores estelares y aun en otro tipo de objetos, como pueden ser los halos de materia oscura, según se ha estudiado recientemente.

Pero ¿qué es un polítropo? ¿Y por qué se usa tanto este concepto matemático al considerar los interiores estelares? La respuesta es que proporciona una descripción en numerosos casos con hipótesis simplificatorias admisibles. Hoy se prefieren soluciones numéricas confiadas a la rapidez de los ordenadores.

En un polítropo se supone que la presión y la densidad están relacionadas con una relación del tipo

p = K p(n+l)ln,

siendo K una constante; a n se le llama «índice politrópico». Si la estrella admite una expresión de este tipo se dice que la estrella es un polítropo. Lo interesante es que puede hacerse un tratamien-

ANEXOS

to algebraico común para estrellas con diferente mdice politrópico. La suposición de que se cumple la relación de definición supone una idealización y, en la práctica, hay al menos tres situaciones extremas que la admiten. Estas son:

l. Estrella en equilibrio convectivo adiabático. En ella la energía generada en el interior debido a las reacciones nucleares se transporta hacia la superficie mediante células de convección. Un buen ejemplo sería el de las capas externas de una estrella de masa similar a la del Sol, pues en el Sol se aprecian las células convectivas muy llamativas por su notable regularidad geométrica La ecuación de las adiabáticas es de tipo politrópico y si la estrella es un gas monoatómico perfecto, el índice politrópico es n = 1,5, como se puede comprobar rápidamente.

2. Estrella en la que la presión de radiación es importante. Este es el caso de las estrellas muy masivas, que damos sin demostración, aunque esta es muy sencilla, ya que en este caso el mdice poli trópico es n = 3.

3. Estrella completamente degenerada de electrones, es decir, el caso de las enanas blancas no relativistas. Con las fórmulas que hemos visto, el índice politrópico resulta ser n = 1,5, como en las estrellas con transporte convectivo de energía.

Una atmósfera isoterma tendría un índice politrópico O, por lo que este tratamiento no es utilizable.

La novedad introducida por Chandrasekhar es que las estrellas completamente degeneradas y en el límite relativista también admiten una idealización politrópica y, con las fórmulas vistas, fácilmente encontramos que n = 3, como en el caso segundo de la presión de radiación no despreciable.

La ecuación que sirve para todos los polítropos es la ecuación de Lane-Emden. Chandra podía beneficiarse de esta ecuación al poder atribuir la situación física de sus estrellas a un polítropo. No

ANEXOS 159

lo hizo así en su primer cálculo, pero las discusiones con Eddington y su propia tesis empleaban este lenguaje. Lo extraordinario es que los polítropos de índice 3 tenían propiedades muy singulares desde el punto de vista físico, como se ha visto, que repugnaban a la intuición de Eddington.

Lecturas recomendadas

BATIANER, E., Introducción a la astrofísica, Madrid, Alianza Editorial, 1999. -: Física de las noches estrelladas, Madrid, Alianza Edito-

rial, 2011. -: ¿Qué es el Universo? ¿Qué es el hombre?, Madrid, Alianza

Editorial, 2011. FERRIS, T., La aventura del universo, Barcelona, Crítica, 2007. GALADf, D., Cuestiones curiosas de astronomía resueltas por el perito en lunas, Madrid, Alianza Editorial, 2014. -: A ras de cielo, Barcelona, Ediciones B, 1998. GAMow, G., Biografía de la física, Madrid, Alianza Editorial, 2007. GRIBBIN, J., Historia de la ciencia, 1543-2001, Barcelona, Crítica,

2003. KRAGH, H., Historia de la cosmología, Barcelona, Crítica, 2008. LARA, L., Introducción a la física del cosmos, Granada, Editorial

Universidad de Granada, 2007. MrTioN, S. Y ÜSTRIKER, J., El corazón de las tinieblas. Materia y energía oscuras, Barcelona, Editorial Pasado y Presente, 2014. PENROSE, R., Ciclos del tiempo: Una extraordinaria nueva visión del universo, Barcelona, Debate, 2010. TuoRNE, K.S., Agujeros negros y tiempo curvo, Barcelona, Crítica,

2000.

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Indice

Aberdeen 111 · agt.tjero negro 11, 12, 37, 72, 73, 91, 96,102,129,133,139,140,144, 147,148,150,155 Alhambra 136, 153 Ambartsumian, Viktor 15, 63, 65, 89,98, 134,135,141 Astrophysical Journal, The (ApJ) 13, 15,64, 116-124, 132-134, 145 ateísmo 155 atmósfera estelar 10, 11, 33, 37, 54, 96, 108, 114, 159

Beethoven, Ludwig van 12, 54, 152 Bethe, Hans 31, 67, 109, 111 Big Bang 42, 143 Bohr, Niels 15, 26, 56, 58, 68, 100 bomba atómica 100, 111 Born, Max 15, 56, 100 Bose, Satyendra Nath 23, 24, 28, 29,99 Base-Einstein, estadística 23, 28, 99 bosón de Higgs 28 bosones 23, 28 Cambridge 8, 15, 20, 22, 27, 29-31, 49, 51-62, 67-69, 75, 85, 87, 88, 90,98, 110,150,155 campo magnético 27, 115, 123, 128, 141-144 Candlestickmaker 123 Catalán, Miguel 26 Chandra Vilas 22, 86, 87 Chicago 8, 13, 15, 20, 24, 88, 107, 111-115, 117-120, 122, 129, 132134, 144, 149-151, 155 clasificación estelar (espectral) 31, 33-35 Comás y Solá, José 108 Copenhague 15, 56, 58, 59, 90, 100 cuásar 67, 122 cuerpo negro, 35-37, 39, 81, 96, 141

De Broglie, longitud de onda de 77, 78 degeneración 65, 66, 74, 76-78, 81, 103,157 dinámica estelar 10, 11, 114, 128, 135 Dirac, Paul 24-30, 53-56, 58, 65, 68, 69, 82, 99, 115

163

164 ecuación de estado 46, 66, 77, 79, 81,82,92,94,95,97 edad (vida) del universo 41, 42, 47, 126,127 Eddington, Arthur Stanley 8, 9, ll, 15, 28-31, 47, 49, 54, 55, 57, 5961, 64-70, 72, 74, 75,82,88,90, 95,99, 103,113,114,116,133, 147,152,158,160 energía oscura-31 espectro 24, 26, 32-37 estrella 8, 11, 17, 3049, 59-62, 65, 67, 70-76, 81-83, 91-95, 97, 101103, 105, 124-128, 141,144,148, 150, 157-159 de la secuencia principal 31, 35, 37-39, 43, 44, 47, 48, 65, 67, 71, 74,92,94, 97,102 de neutrones 62, 72, 73, 101-103 degenerada 76, 94, 101, 159 enana blanca 8-10, 27, 30, 31, 35, 38, 48, 49, 61, 62, 65, 70-79, 81-83, 89, 92-95, 97-103, 147, 157-159 enana blanca relativista 63, 65, 75,83,94,95,97,98, 158 enana marrón 103 enana negra 70, 75, 79, 102 gigante roja 35, 38, 74, 93, 94 tiempo de vida de una 41, 42, 47

Wolf-Rayet 71, 101 estructura estelar 10, 31, 60, 64, 81, 91, 92, 140 galáctica 114 evolución estelar 17, 41, 67, 70, 71, 75, 76,83, 101,102

Femü, Enrico 25-27, 30, 58, 65, 72, 75, 76,82,99, 101-103, 111, 115, 133,155 Fermi-Dirac, estadística 26-28, 30, 58,65,82,99, ll5 fermiones 28, 58, 72, 75, 79-81, 100, 101 fluido magnetizado 12, 144 Fowler, Ralph Howa.rd 27, 30, 31, 51-55, 59-61, 65, 68, 70, 75, 82

galaxia 11, 73, 96, 105, ll5, 124-128, Gandhi, Mahatma 27, 30, 53 Gauss, Car! Fried.rich 56 Gotinga 15, 26, 56, 58, 59, 100, 110 Granada 135-137

Harvard 15, 88 Heisenberg, Wemer 17, 25, 26, 56, 81, 100 Herzsp.rung-Russell (H-R), diagrama 35, 37, ll3 hidrodinámica 10, 101, 105, 111, 144 Hubble, Edwin 88, 109, 111, 133 Hutchins, Robert 107, 114

índice politrópico 158, 159 inestabilidades 12, 71, 73, 101, 140, 145,148 Instituto de Astrofísica de

Andalucía 135 interior estelar 31, 33, 46, 54, 67, 114, 158

Jeans, James Hopwood 62, 133, 141,147

Kelvin mecanismo de 39, 41, 43, 74 tiempo de 41 Keple.r, Johannes 36, 38, 141 Kerr, agujero negro de 12, 144, 148 Krishnan, Kariamanickam Srinivasa 24,25,27 Kuiper, Gerard 66, 90, 107, 108, 114

ÍNDICE

Lahore 15, 19, 21, 88 Lalithambika (Lalitha) 15, 22, 29, 45, 56, 85-87, 89-91, 107, 108, 111,114,123,124,131, 133-135, 153-156 Lemaítre, Georges 58, 67 Lifshitz, Y evgeni 135

límite de Chandrasekhar 8, 15, 28, 30, 31,45,52,55,63,65,67, 70, 71, 74,83,89,95,97,98, 123, 138,140,147 de Eddington 67, 103 de Landau-OppenheimerVolkoff63, 72, 73, 101, 103

Madrás 15, 17, 19, 21, 22, 25, 26, 29, 30,52,55,56,85,88,90 magnetohidrodinámica 111, 133, 144,156 Maxwell-Boltzmann, estadística de 28,99, 125,126 Milne, Edward Arthur 29, 52, 54, 55, 60-62, 65-67, 88, 90, 152 Morán San1aniego, Francisco 146 Morgan, William 108, 118, 119 movimiento browniano 10, 128

nebulosa planetaria 71, 101, 102 Nehru, Jawaharlal 23, 30, 136, 137 Neumann, John von 103, 109-111 Nobel, premio 8, 9, 11, 15, 25, 27, 28, 30,31,57,64,95, 112,138,139

OBAFGKMRNS 33 ondas gravitacionales 148

Parker, Eugene 120, 121, 145, 156 Pauli, Wolfgang 23, 25, 26, 28, 58, 66,68,69, 75,99, 100 Penrose, Roger 10, 147-151, 156 plasmas 115, 144 polítropos 15, 28, 59, 65, 68, 158-160 presión de Fermi 72, 75, 76, 101-103 de radiación 67, 103, 159 principio de exclusión de Pauli 23, 28, 66, 75,99, 100 de incertidumbre de Heisenberg 81, 100 procesos estocásticos 110 Proyecto Manhattan 56, 110, 11

racismo 30, 111 Radiación Cósmica de Microondas 37 Ran1an, Chandrasekhara

Venkataran1an alias 19, 21, 2325, 27, 29, 45, 86-88 Raman, efecto de 19, 25 Raman, espectro de 24 Ramanajan, Srinivasa 25, 29 Rebolo, Rafael 103 relación masa-luminosidad 47, 67 relatividad 11, 26, 39, 60, 64, 66, 67, 72,100,116,133,135, 147-150, 152 resto de supemova 72, 73 Russell, Henry Norris 35, 62, 66, 113, 114 Rutherford, Emest 29, 61

Saha, Meghnad 23, 24, 28, 29, 88 Schmidt, Maarten 122 Schwarzschild, Martin 109, 117, 119,126,148 elipsoide de 126 Shakespeare, William 12, 21, 120, 152,155,156 Shapley, Harlow 15, 62, 88, 133 solitón 63 Sommerfeld, Amold 17, 24-28, 30, 61,100

ÍNDICE 165

Spitzer, Lyman 119 Stebbins, Joel 144 Stefan-Boltzmann, constante de 36,38 Stokes, George Gabriel 142, 143 Stromgren, Bengt 90 Struve, Otto 88, 90, 107, 108, 116-

118 supemova 43, 71-73, 96, 102, 103, 148

Tagore, Rabindranath 21, 23, 140 Teller, Edward 56, 109-11, 133 tiempo de relajación 126, 127 transporte radiativo 10, 63, 111, 134, 141-143

Wien, ley del desplazamiento 36, 96,141 Wigner, Eugene Paul 110 Williams Bay 88, 90, 107, 129, 132,

134

Yerkes 8, 9, 15, 87-89, 105, 107, 109, 111-114, 116-119, 129, 132

Zapatero, María Rosa 103 Zeldóvich, Yakov 135

166

ÍNDICE