CODAGE DE l’INFORMATION Système de numération Le système décimal revêt de l’importance en raison de son acceptation universelle pour représenter les grandeurs du monde courant . On a vu que le système de numération binaire est utilisé dans les circuits numériques. L’avènement des systèmes microprogrammé a donc conduit à développer l’utilisation de systèmes de numération différents. De ce fait, il faut parfois que les grandeurs décimales soient converties en valeurs binaires (ex :calculatrice) et vice et versa (ex : affichage). Comme certains nombres sont ‘longs’ à représenter en binaire, on utilise aussi l’hexadécimal. la base 2 ==> binaire la base 10 ==> décimal la base 16 ==> hexadécimal
Représentation des entiers relatifs 2.1 Le code décimal : Le nombre 128 est constitué de trois chiffres qui sont 1, 2 et 8. A chaque chiffre est associé un poids : le chiffre 8 est affecté d'un poids de 1 (unité 10°) + 8 1 le chiffre 2 est affecté d'un poids de 10 (dizaine 10 ) 2 le chiffre 1 est affecté d'un poids de 100 (centaine 10 )
2
1
0
1x10 + 2x10 + 8x10 100 + 20
Caractéristiques du code décimal : Base : 10 Les nombres sont constitués par des chiffres pouvant prendre 10 valeurs qui sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Les poids affectés à chaque chiffre du nombre sont des puissances de 10.
2.2 Le code binaire : Les nombres sont exprimés par des chiffres pouvant prendre deux valeurs 0 ou 1. A chaque chiffre est affecté un poids exprimé en puissance de 2. Caractéristiques du code binaire : Base : 2 Les nombres sont constitués par des chiffres pouvant prendre 2 valeurs qui sont : 0 ou 1. Les poids affectés à chaque chiffre du nombre sont des puissances de 2.
2.2.1 Passage du code binaire au code décimal : Pour obtenir le nombre décimal correspondant, il faut faire la somme des produits de chaque chiffre binaire par son poids correspondant exprimé en décimal. 1
0
Ex : ( 101 )2 <> 1x 2² + 0x2 + 1x2 = ( 5 )10
2.2.2 Passage du code décimal au code binaire : Nous utiliserons la méthode par divisions successives, {|2} puis nous écrirons le nombre binaire en prenant toutes les retenues en commençant par la dernière valeur (la plus basse). 1
Exemples :
325(10)
325 2 1 162 2 0 81 1
2 40 0
2 20 0
sens
2 10 0
de
2 5 1
2 2 0
lecture
2 1 1
2 0
325(10) = 101000101(2) 963(10) = 1111000011(2) Vocabulaire : un ensemble de 8 positions binaire ou Bit s’appelle un octet. C'est le format de base : 10 c'est un mot. 1K octet = 2 = 1024 mots ex : 640 Kilo octet = 640 * 1024 = 655360 mots de 8 bits. Comptage en binaire : Valeur décimale du poids
8421
décimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Binaire 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
Hexadécimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
2.3 Code hexadécimal : Les nombres sont exprimés par des chiffres et des lettres pouvant prendre 16 valeurs A chaque chiffre est affecté un poids exprimé en puissance de 16. Caractéristique du code hexadécimal : Base : 16 Valeurs utilisées : 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E et F. Les poids affectés à chaque chiffre du nombre sont des puissances de 16.
2.3.1 Passage du code hexadécimal au code décimal : Pour obtenir le nombre décimal correspondant, il faut faire la somme des produits de chaque chiffre hexadécimal par son poids correspondant exprimé en décimal. Exemple : 9A(16)
1
= 9x16 + Ax16 = 154(10)
0
2
2.3.2 Passage du code décimal au code hexadécimal : Nous utiliserons la méthode par divisions successives,{|16} puis nous écrirons le nombre héxadécimal en prenant toutes les retenues en commençant par la dernière valeur (la plus basse). exemple :
670 16 14 41 9
16 2 2
16 0
670 (10) = 29E (16)
2.3.3 Passage du code binaire au code hexadécimal : En effet 4 chiffres binaires correspondent à 16 combinaisons et un chiffre hexadécimal correspond à 16 combinaisons. Donc en regroupant les chiffres binaires par 4 (en commençant par la droite) et en transformant ces combinaisons de 4 chiffres binaire en combinaisons de 1 chiffre hexadécimal, on obtient la transformation du nombre en hexadécimal. Exemple :
1011 0101 1001 (2) B
5
9
(16)
2.3.4 Passage du code hexadécimal en code binaire : Opération inverse : chaque chiffre hexadécimal est transformé en combinaison de 4 chiffres binaires. exemple :
A
3
F
(16)
1010 0011 1111 (2)
2.4 Le code DCB : (Décimal codé Binaire) Ce code consiste à séparer chaque chiffre du nombre décimal et à l'écrire sous la forme binaire. Combien de chiffres binaires sont nécessaires pour coder les 10 chiffres du système décimal? 3 Il faut 4 chiffres : car 2 chiffres = 8 combinaisons donc on ne peut compter avec 3 chiffre que de 0 à 7 et avec 4 chiffres de 0 à 15. Mais seulement les dix premières combinaisons seront utilisées pour ce codage. Tableau : Nb décimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | 20 | 50 | 100
DCB 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1 0000 1 0001 | 10 0000 | 101 0000 | 1 0000 0000
3
2.5 Code Gray ou code binaire réfléchi (CBR) : Le passage d'une ligne à une autre contiguë n'engendre le changement d'état que d'un seul chiffre binaire. Le code Gray est principalement utilisé dans le mesure de position de vitesse ou de position (codeur ). Le Code Binaire Réfléchi s’établit comme suit : Pour 1 variable d'entrée le tableau se résume à : a 0 1 Considérons 2 variables d'entrées : le tableau se trouve réfléchi par rapport à l'axe de symétrie b|a 0|0 0|1 ---|--- réflexion 1|1 1|0 Considérons 3 variables d'entrées : le tableau se trouve réfléchi par rapport à l'axe de symétrie c|b|a 0|0|0 0|0|1 ---|--- réflexion 0|1|1 0|1|0 ---|---|--- réflexion 1|1|0 1|1|1 1|0|1 1|0|0 Remarque : Il faut noter qu'entre la dernière ligne et la première une seule variable change d'état.
Représentation des caractères alphanumériques 3.1 Code ASCII : Utilisé par les ordinateurs. Le minimum de caractères d'un code alphanumérique est de 92 :
26 caractères pour les lettres minuscules 26 caractères pour les lettres majuscules 10 pour les chiffres décimaux 30 pour les caractères spéciaux (><%§+_-...
Le code le plus connu est le code ASCII (Américan Standard Code for Information Interchange). C'est un code quasi universel pour la transmission des informations. 92 caractères ==>en binaire : combien de chiffres nécessaires pour 92 combinaisons 6 chiffres 6 7 donnent 2 = 64 combinaisons, 7 chiffres donnent 2 = 128 combinaisons Le plus souvent ce code est défini avec 8 chiffres (ou Bits) le huitième étant généralement un bit de parité permettant de détecter des erreurs de transmission.
4
Code ASCII (American Standard Code for Information Interchange)
26 25 24
Binaire 23
22
21
20
0
0
0
0
Hexa 0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
2
0
0
1
1
3
0
1
0
0
4
0
1
0
1
5
0
1
1
0
6
0
1
1
1
7
1
0
0
0
8
1
0
0
1
9
1
0
1
0
A
1
0
1
1
B
1
1
0
0
C
1
1
0
1
D
1
1
1
0
E
1
1
1
1
F
0 0 0 0
NUL TC1 TC2 TC3 TC4 TC5 TC6 BEL FE0 FE1 FE2 FE3 FE4 FE5 SO SI
0 0 1 1
TC7 DC1 DC2 DC3 DC4 TC8 TC9 TC10 CAN EM SUB ESC IS4 IS3 IS2 IS1
0 1 0 2
0 1 1 3
1 0 0 4
1 0 1 5
1 1 0 6
1 1 1 7
SP ! " # 造 % & ' ( ) * + , . /
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 : ; < = > ?
@ A B C D E F G H I J K L M N O
P Q R S T U V W X Y Z [ \ ] ^
` a b c d e f g h i j k l m n o
p q r s t u v w x y z { } DEL
Exercices I 1. Supposez un ordinateur qui utilise des mots de 16 bits. Calculer la taille maximale de sa mémoire. 2. Pour enregistrer la musique en stéréo sur un CD, le son est échantillonné 44'100 fois par seconde. La valeur de chaque échantillon est stockée en binaire, à l’aide de 16 bits. Si le temps maximal d’enregistrement sur un CD est de 80 minutes, calculer le nombre maximal de Kbytes (KB) stockés dans ce CD. 3. Un DVD peut enregistrer 4.7 Gbytes (GB) de données. Combien de bits peut-il enregistrer? 4-21. Réalisez les conversions de base suivantes: 4. X10 = 96, Y2 = ? 5. X10 = 511, Y2 = ? 6. X10 = 543, Y8 = ? 7. X10 = 128, Y8 = ? 8. X10 = 45, Y8 = ? 9. X10 = 12, Y16 = ? 10. X2 = 101010, Y10 = ? 11. X2 = 100100, Y16 = ? 12. X2 = 11111010, Y8 = ? 13. X16 = 8F7A93, Y2 = ? 14. X2 = 011011110011100, Y16 = ? 15. X16 = 4CB2C Y10 = ? 16. X2 = 101.010, Y10 = ? 17. X2 = 1.00101, Y16 = ? 18. X2 = 11111.111, Y8 = ? 19. X8 = 12.34 Y2 = ? 20. X8 = 77.44 Y16 = ? 21. X8 = 27.34 Y16 = ? 22. Quelle est la représentation en complément à deux de –12 (utiliser un format à 8 bits)? 23. Trouver la représentation de la valeur –11010 en complément à deux (utiliser un format à 16 bits). 24. En utilisant des entiers 16 bits en complément à deux, réalisez le calcul -22 – 7
Exercice : conception d’un mini circuit logique Un générateur de parité paire est une fonction qui retourne 1 si le nombre de bits à 1 est pair. On se limitera dans un premier temps à une fonction ayant un mot de 4 bits comme entrée. (Attention 0 est un nombre pair) Ecrivez la table de vérité de cette fonction. Construisez le diagramme de Karnaugh et déterminer une expression logique pour cette fonction Donnez le circuit logique qui implémente cette fonction (on se limitera à des portes AND et OR à deux entrées et aux portes NOT).
TD 2 : systèmes de numération
Architecture des Ordinateurs, TD 1
Num´ eration ´ el´ ementaire Exercice 1. Calculer 28 , 29 , 210 , 215 , 216 , 232 . Exercice 2. Convertir en binaire, puis en octal, et enfin en h´exad´ecimal les nombres suivants : 100, 127, 128, 256, 1000, 1023, 1024, 10000.
Exercice 3. Convertir en binaire, puis en octal, et enfin en d´ecimal les nombres suivants : 5A16 , CF BA16 , E10D16 , F F16 , B0016 , F 00016 , F F F F16 . Exercice 4. Soit x une base quelconque, • montrer que 10101x est un multiple de 111x ; • exprimer le quotient dans les bases 2, 8, 10, 16.
Nombres sign´ es Exercice 5. Quel est l’´equivalent d´ecimal des nombres sign´es suivants 1012 (sur trois bits), 10112 (sur quatre bits), 001110012 (sur huit bits), 101110012 (sur huit bits). Exercice 6. Ecrire les compl´ements `a 1 puis `a 2 des nombres binaires suivants : 10101012 , 01110002 , 00000012 , 100002 , 00002 . Commenter. . .
Arithm´ etique des nombres sign´ es Exercice 7. Effectuer les op´erations arithm´etiques suivantes sur 6 bits, les nombres repr´esent´es ´etant sign´es, puis donner les r´esultats en d´ecimal : • 0011102 + 1100102 , 1010112 + 1110002 , 1110012 + 0010102 ; • 0101012 − 0001112 , 1110012 − 0010102 , 1010112 − 1001102 .
Exercice 8. Effectuer les op´erations arithm´etiques suivantes directement en h´exad´ecimal, puis v´erifier le r´esultat en binaire : • B7AD16 + 51E016 ; • 8BA216 + 6A716 ; • 8BA216 − 6A716 . 1
Exercice 9. Convertir en binaire en passant par l’h´exad´ecimal : • −5 sur 16 bits, puis sur 32 bits ; • −23 sur 32 bits.
Nombres fractionnaires Exercice 10. Convertir en binaire, en virgule fixe : • 0, 48 avec la partie fractionnaire exprim´ee sur 6 bits ; • 0, 83 avec la partie fractionnaire exprim´ee sur 4 bits ; • 37, 62 avec la partie fractionnaire exprim´ee sur 8 bits ;
Exercice 11. Donner la repr´esentation flottante de 3, 14159 en simple pr´ecision dans la norme IEEE 754.
2
1BTS GI
Architectures des ordinateurs TD
1/2
1BTS GI
2/2