Calculo Diferencial en Varias Variables by Ayuda Estudiantil UES

en varias variables

Rubén Becerril Fonseca Daniel R Jardón Arcos J. Guadalupe Reyes Victoria

A!l\ UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA·IZTAPALAPA c.a abierta lll tilmpo

División de

Biológicas y de la Salud

Rector General Dr. Luis Mier y Terán Casanueva Secretario General Dr. Ricardo Solis Rosales UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA-Iztapalapa

Rector Dr. José Lema Labadie Secretario Dr. Javier Rodríguez Lagunas División de Ciencias Biológicas y de la Salud Director Dr. Gerardo Saucedo Castañeda Secretario Académico Mtro. Arturo Preciado López División de Ciencias Básicas e Ingeniería Director Dr. Tomás Viveros Garcia Secretario Dr. José Antonio de los Reyes Heredia

ISBN 970-31-0096-1 Primera Edición: 2002 Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Iztapalapa Av. San Rafael Atlixco 186, Col. Vicentina México, D.F. 09340 Impreso y hecho en México

OERECI-I)S RESERVADOS O 2004, Uniwrsdad AtiÓnoma Metropolitana (México). Prohibida la reproctuoaón de esta obra así OOfi'CI &a distriluc:ión y venta fuera del.itnbilo de la UAM!D. E-libro Bibliomedia BibliomediaOfnail.oom

CALCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES Rubén Becerril Fonseca Daniel Jardón Arcos J. Guadalupe Reyes Victoria Departamento de Matemáticas UAM-IZTAPALAPA 2002 © UAM-I

OERECI-I)S RESERVADOS O 2004, Uniwrsdad AtiÓnoma Metropolitana (México). Prohibida la reproctuoaón de esta obra así OOfi'CI &a distriluc:ión ywnta fuera del.int:lilo de la UAM!D. E-libro Bibliomedia BibliomediaOfnail.oom

Prefacio Uno de los priuc:ipalcs prohle111as que t,icn<: 1111 l<:('tor <·st.udioso d(' las ('i<·Hcias básicas (física, química, mat<:lwÍ.ticas) o d<: la illf!;<:lliNía, <'S d d<· <'11contrar aislados en la alJIIndaute literatura llliH:hos tc1w1s d<' su iutt·n~s. Por un lado, los textos clásicos oricutados hacia las part.cs apli('<Hkls d<· la ciencia que tienen rtlevaucia, no smt dd wdo accesibles a l joV('ll l<·ctor. _,. para su lectnra impoueu uua cantidad cousiderabh~ de prnrcquisit os. Por otra parte, la literatura teórica <~n llllldms o<:asioucs causa tHlio ('11 los aspirantes al ejercido práctico de la · c:ieucia. La presente obra trata de equililmtr la.'i dos ('\l<:stioues: la pnrt<' t.<·<'>ri('a de una forma simple, y :-;u 11so en las partes aplicada.'i de la cieucia, JH'llS<llHio en la formación del futuro científico, inp;euicro, t(:cuico, ct<:Ú<'nl. Pma su lectura se prc:-;uponen conocimieutos el<:utenta.ks d<: c;íkulo difcrcn('ial el<· una variable. Los demús COIH:<:ptos el lector no mat<:tmí.ti('o JHH'd<· irlos aprendiendo durante el camino. En el primer capítulo hacemos 1111 bosquejo de los dc111Cntos w:<"<'sarios para leer el t rabajo, como son los si:-;tl!111as de ecuaciones. las tuat ri('es -'. determinantes. De esta nmnera se hace lllta. res<:iia de los dcmcutos J¡¡ísicos del Álgebra Lineal. El capítulo 2 trata de los aspectos béí.sic:os de los objetos geolll(:triws elementales en el espacio Euclidiauo: las rectas, los planos. Para su construcción necesitarnos los conceptos de vector, ángulo y distancia. Aquí se estudia también el problema de vectores y valores propios de nwt matriz cuadrada real. En el capítulo 3 se estudian los elemeutos húsicos de las curvas plmws y espaciales, sus propiedades diferenciables: s11 v<'iocidacl !' nceleraci(nt .

El capítulo 4 muestra el estudio de los uunpos escalares difcreuciabl('s !R" --> !R , y los elementos para realizarlo: las derivadas parciales. d gradiente. el polinomio de Taylor, etcétera.

!::11 <'1 <"apítulo 5 se hace mm muestra somera de la teoría básica de los !'alllpos W('torialcs difercuciablcs del tipo IR" -> JR'~~~· (n, m :S 3) y los <"<>IH'<'ptos aso('iados m;ís iHlportantcs se enuncian y ejemplifican: la divergencia, e l rotor y el gradiente. En los ap(·nd k cs se iucluycn tópicos clásicos de los cursos de cálculo en vmi;1s variables como: elementos básicos de superficies en iR 3 , orientación ~· longitud <k una curva en IR:.I, límites y continuidad de campos es<'abm·:;, planos tangentes, valores extremos de un campo escalar y las funciones implícitas. Est e libro es producto de varios cursos de Matemáticas IV para los est.udiant<'s de Ciencia.-; Biológicas y de la Salud (CBS) en la Universidad Aur.<)nonm ;\fetropolitana. Iztapa.lapa, durante los años 1992 - 1999. La presentación es diferente de la. d<:> los cursos clásico::; debido a que las necesidndcs de lm; propias licenciaturas (ingenieros bioquímicos, biotecnólogos y en alimentos) así lo requieren. D<>scmnos manifestar nuestro agradecimiento al Dr. Gerardo Saucedo, Director <le la División de CBS, a.! M. en C. Arturo Preciado, Secretario AC'adémico de la DiviliiÓH de CBS, a la Dm. María José Arroyo, exDin•ctora de l<t División de CBI y al Dr. Emesto Pérez , Jefe del DepartaIIH'nto <le i\ latcmáticas por todo el apoyo y ent usiasmo que nos brindaron. Tawhién queremos resaltar la contribución de los profesores y alumnos que usaron versiones preliminnre:s y cuyos valiosos comentarios nos ayudaron a m<•jorar el texto. La presentación final se logró gracias a la colaboración de Daniel Espinosa (Flash). Por último, quisieramos agradecer a nuestras respectivas familias por todn. la paciencia infatigable a lo largo ele este proyecto. R.B.F. , D.R.J.A., J .G.R.V. IZTAPALAPA 2002

Contenido Capítulo l. Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes 7 1.1 Sistemas de ecuaciones . . . . . . 7 11 1.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Operaciones básicas de matrices . 12 1.4 Determinantes de orden tres . 20 1.5 Inversa de una matriz . . . . 1.6 La regla de Cramer . . . . . . l. 7 Sistemas lineales homogéneos 1.8 El método de Gauss-Jordan Capítulo 2. Vectores en JR 2 y IR:1 2.1 Sistemas de coordenadas en JR 2 y JR3 2.2 El producto escalar y la norma en JR 3 . 2.3 El producto vectorial . . . . . . . . . . 2.4 El triple producto escalar y bases de JR:1 2.5 Vectores y valores propios de una matriz 2.6 Rectas y Planos en JR3 . . . . . . . . . .

65 {)5

82 86 96 110

Capítulo 3. Curvas en JR 2 y en JR3 3.1 Curvas suaves . . . . . . . . . 3.2 La segunda derivada. Aceleración .

127

Capítulo 4. Campos escalares en JR 3 4.1 Regiones en IR 2 y IR 3 . . . . 4.2 Campos escalares en JR 3 . . . . . 4.3 Superficies y curvas de nivel . . . 4.4 Derivadas parciales y el gradiente . 4.5 La regla de la cadena . 4.6 Derivada direccional . . . . . . . . 4. 7 El Teorema de Taylor . . . . . . . 4.8 Diferencial total de un campo escalar .

149 149 155 158 165

127

146

..·

170 176 179 195

CONTENIDO

Capítulo 5. Campos vectoriales en R:1 f>.l Fuucioncs ele! tipo R" _, IR"' G.2 La matriz jaC'ohia.na . . s.:3 La regla <le In cadena. . . . . . S. l Cambios de ('Oonlcna.<la!> . . . fi.G Campos vectoriales <'11 IR 2 y R 3 G.G Div<~rgeHcia, gradie11tC y rotor .

205 205 219 223 228 248 259

Capítulo 6. Elementos Básicos de Superficies en R 3 G.l Su¡wrfici<'s <k rcvolució11 G.2 Superficies C'ilíndriC<l.s . . . . .. . . . . . (i.J Superficies cúnicns . . . . . . . . . . . . (i.-1 Elipsoides, Hiperholoi<i<'s y Paraboloides

277 278 282 283 287

Capítulo 7. Orientación de curvas y 7.1 OricHtaci{m .. . . . . . . . . . . 7.2 Longitud <le arco y ángulo entre 7.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . .

301 301 305 310

poligonales . curvas . . . .

Capítulo 8. Límites y puntos singulares tU Punt.os <le acumuln<'ión ~' límites 8. 2 Puntos singulares 8.3 Continuidad . . . . . . . . . . . . Capítulo 9. Valores extremos de funciones R 2 9.1 Plano tangente . . . . . .. 9.2 Puntos regulares y críticos . . . 9.3 Forma..-.; cuadráticas básíc<l.s .. 9.1 Puntos críticos no degenerados 9.5 i\Iultíplícadores de Lagrange . Capítulo 10. Funciones implícitas

311 311

314 317 _,

321 321 324 327

333 347 361

Capítulo 1

Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes 1.1

Sistemas de ecuaciones

Iniciam os con el problema de resolver un sistema de ecuaciones líneales de 2 x 2 con coeficientes reales de la forma

donde a 1 1 , a 12 .

a2 1 ,

an, b 1 y b2 son constantes reales y x . y son incógnitas.

<1 Despejamos a la variable x de la primera ecuación y la sustituimos en la segunda.

De la relación se obtiene que lo que implica que, si a 11

f: O, entonces b¡

-Q ¡2JJ

X= - - - " Q¡¡

Al sustit.uir en la segunda ecuación del sistema se tiene

Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes

que nos permite resolver para la variable y de la siguiente forma. De la ecuación b = a21(b1- a12Y) 2

+ ana22Y

se obtiene de donde, De esta manera, si a11a22 -a21a12

entonces podemos despejar a y, quedando aub2- a21b1

Es decir,

aub2- a21b1 aua22- a21a12

Al sustituir esta igualdad en la ecuación ( *) se obtiene la indeterminada x de la siguiente cadena de igualdades b _

o12(oub12 - 021b¡) ouon 021 012

~11

--------~0~1~10~2~2_-~0~21~0~1~2________

au(b1a22 - a12~)

a¡¡(a11a22- a21a21)

De donde, X=

Concluimos la discusión con el siguiente lema.

LEMA 1.1 Para el sistema lineal de dos ecuaciones con dos inc6gnitas x ,y

aux + a12Y = b1 { a21x + a22Y =by con a 11 , a12. a21. a22. b¡, b2 números reales, se tiene la soluci6n dada por la pareja X=

b1a22- a12b2 aua22- a21a12

1.1 Sistemas de ecuaciones

sabiendo que

a¡¡a22 a2 1a12 f; O

a¡¡az2 -

a21a12

NOTACIÓN. Para una expresión real ad - be definimos el arreglo

mediante la igualdad 1

EJEMPLO. Para a11, nemes

a12, a12,

aub2 -

: 1

= ad -

,a22 , b1, b2 números reales arbitrarios te-

a2 1b1

= 1

a¡¡ a2 1

b¡

En esta notación, las soluciones del sistema dado en el Lema 1.1 se escriben

Para tal sistema de ecuaciones se introduce el siguiente arreglo formado por los coeficientes que intervienen en el sistema ·

le llamamos la matriz principal del sistema. Se obtienen de esta las submatrices cuadradas (2 x 2), au (

a:n

y a cada arreglo se le asocia un número distinguido propio D

a¡¡ a21

Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes

llamados sus d eterminantes correspondientes. Con esta última notación se t iene el sig uiente resultado.

COROLARIO 1.1 Las soluciones x. y del sistema inicial se calculan por Dr D

x = -

sabiendo que D

=1=

EJEMPLO. Resoh·er el sistema 2x - 3y { 3x + 2y <l

=1 =2

La matriz principal del sistema es

-3 2

La-; submatrices asociadas son

v lo;; deter minantes correspondientes se calculan

= 1(

Dy =

3 )

~ l(

-;3 ) = 1

;

) 1

3 -;

1 ;

= 4

3 -;

1 ;

=1 ~

+9=

13 =1=

=2+6=8

21 = 4 -·3 = 1

Esto nos lleva a que la..-; soluciones del sistema de ecuaciones son DJ.

= 75 = 13 D 11

75 =

En la discusión mostrada al resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas nos encontramos con los conceptos auxiliares de solución que son. las matrices y los determinantes. Estudiamos estos objetos matemáticos y sus propiedades en la<; próximas secciones . 1\'Iás adelante voh'erPmos al problenu1 de resolver sistemas de ecuaciones lineales.

1.2 Matrices

l. 2

Matrices

Un arreglo de la forma a13 · · · a 1n a23 · · · a2n

am3 ... a,.n

donde cada a ; j es un número real, se llamará una matriz real de dimens iones m x n . Esto es, el arreglo consta de m - renglones y n - columnas El i-ésimo renglón de la matriz sería

y se llamaría el i-ésimo vector renglón.

Al arreglo

se le denomina el j-ésimo vector columna. Una entrada a;J de la matriz estaría en el i-ésimo renglón y la j -ésima columna (i define los renglones y j define las columnas) .

EJEMPLO. La matriz real 3 4 6 3 2 -1

es de (3 x 5). <J :.Iencionamos algunos elementos de la matriz a34

= 7,

au; = 8,

a23

= 1,

a32

El segundo vector renglón es

(2 3 1

- 1 O)

mientras que el tercer vector columna es

Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes

Una matriz con dimensiones m= n tal se llamará matriz cuadrada.

EJEMPLO. La.g matrices

-2 1

son cuadradas. A una matriz con entradas idénticamente nulas se llamará matriz nula y se denota por

0 =

1.3

(

~ ~ ::: ~ ) O O .. ·O

mxn

Operaciones básicas de matrices

En adelante identificaremos a las matrices reales por letras mayúsculas: A,B,C,· · ·M,··· y sus entradas reales por minúsculas

Dos matrices se pueden sumar si tienen las mismas dimensiones, es decir, si entonces A + B tiene sentido. De hecho, si las matrices tienen entrada.<;

entonces su suma se define por la suma de entradas correspondientes, esto es,

EJEMPLO. Sean las matrices reales A= (

~ -1

o 1 4

-3) ~

JxJ

1.3 Operaciones básicas de matrices

3 4

- 1

4 ) 2

2x3

+ B por ser de diferentes

EJEMPLO. Sean las matrices reales

A=( -1- 2

B=( o

- 1

4 1 1 4

;

) 2X4

-1

) 2x4

Su suma tiene sentido y se calcula -1

2 )

A+B = ( - 2 1 8 2

(

-1 4

1 ) = ( -1 5 3 3 ) 2 -3 5 7 4

-1

Una cantidad escalar es un número real arbitrario y lo identificamos por las letras griegas ..\, j.l, T, . . .

Dada la matriz A = (a¡J),,~x n. , se define la nueva matriz ..\A de m x n obtenida al multiplicar por el escalar ..\, como aquella que se obtiene de multiplicar por ..\ cada una de sus entradas, esto es,

EJEMPLOS. i. Si tomamos

= 3,

entonces

A= (

~ - 1

3 ) 1 2

-3) ( ~ = o 3

-3

ii. Al considerar J.l

= -1,

B=(

-1

o) 2

se obtiene la matriz

3 o 4 2

-3 -4

o )

-2

Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes

OBSERVACIONES. l. La matriz O = (O) (nula) es el elemento matricial que al sumarse a cualquier matriz no la altera:

A+O=A 2. Dada A una matriz arbitraria y A= -1, se define - A = ( - 1)A como la matriz inversa aditiva de A, tal que

A+ ( -1 )A =O EJEMPLO. Sean las matrices

Calcular: A+ B , 3A, A+ 28, A- B. <1

Mediante calculos directos, obtenemos,

A +B= (~ 3A

- 1 2

=3(

A + 28

) +( ;

= (;

-3

) =(

~ ~3

-1 2

) +2(

-1

o )

-1

)

~3)

( ; -;1 ) + ( -2o -26 ) = ( -21 ~4) A-8=(; -;1 ) - ( ~1 -3l ) = ( 22 -52 ) ==

Sea .4 = (a 'J) una matriz arbitraria de m x n, se define la matriz transpuesta de A como la matriz de n x m que se obt iene de aij intercambiando reuglones por columnas. ldentifitada por A t, sus entradas la definen por

EJEMPLOS. i. D<tda la mat riz (2 x 3)

1.3 Operaciones básicas de matrices

se tiene que su transpuesta es la matriz (3 x 2) 1

(

- 1 )

~ ~

3x2

ii. Para la matriz renglón

A= (1

- 1 4)

se obtiene la matriz transpuesta dada por el vector columna,

iii. Para la matriz cuadrada de 2 x 2 -1 ) 1

su transpuesta es 1 -1

Sean Amxn, Bnxs dos matrices reales. Se define su producto como la matriz Cmxs obtenida de la siguiente forma:

~~: ) = Cm2

(c,1 )

= Cmx s

Cms

donde la entrada Cij de C se obtiene de multiplicar los elementos del iéisimo renglón de A con los de la j-ésima columna de B, y realizar la suma de estos productos.

Sistemas d e ecuaciones, matrices y determinantes Esto es, blj b2j

)

(

i-ésimo renglón

an1

j-ésima columna n

= a;1b1j

+ a;2b2j + a;3b3j + · · · a ¡. nbnj

L a;kbkj k=l

siendo que el producto del i-ésimo renglón de A con la j-ésima columna de B se define por la suma anterior. Si tenemos A¡

() A2

donde

A; = ( a 0

a;2

a;n )

ss )

siendo el vector columna

sJ =

e·; ) b2J

bnj

entonces los elementos del producto se calculan, mediante n

C;j

= A.,BJ = L

a;kbkJ

k= !

con el producto estipulado por la suma anterior. En otras palabras, para poder multiplicar dos matrices A = Amxn y B = Bnxs es necesario que el número n de columnas de A coincida con el número n de renglones de B, y el resultado (producto) es una matriz e= Cmxs de dimensiones m X S

1.3 Operaciones básicas de matrices

EJEMPLO. Sean las matrices

~1 ~ t x2

A= (

)

~1 ~ ~ =~ ~ 2x3

Calcular BA y AB. <J

a. BA =

b. AB = A3x2

B2x5 AJx2 , B2x5,

como 5

i= 3 no tiene sentido el producto.

en este caso tiene sentido el producto y se realiza

~1 o 4

-- 11 4o ) - (

2 3

-1

9 -1

-5 1 -1

12 )

-4

A continuación mostramos el cálculo de algunos elementos e;; del producto de las matrices dadas C¡¡ ::= (3 C12

2)(1

= (3

2)(0 2) =

C¡3 = (3 C¡4 =(3 C¡;,

- 1) = 3 - 2=1

2)(1

- 1) =- 3 - 2 =- 5

O) = 12 + o= 12

2)(4

C23 = ( -1

0)(0

CJ:;=(O

4= 4

3) = 3 + 6 = 9

2)(-1

= (3

Ü+

2) = 0 + 2 = 2

1)(4

La matriz obtenida es ele (3 x 5)

0) =0

EJEMPLO. Sean las matrices

A=(i

1 3

5 ) 2

2x3

Calcular: AB y BA . <J

a. AB

= A2xJB3x2 = C2x2 es una matriz cuadrada de (2 x 2) AB = ( 2 1 5 ) ( 1 3 2

~12 ~1 )

= (

15 4

15 ) 12

Sistemas d e ecuaciones, matrices y determinantes

los cálculos se muefótran a continuación:

en [ b. BA ==

C¡ 2

= 6 - 1 + 10 = 15 =8 + 2 + 5 :::: 15

B3x2A2x 3

=3- 3+4 =

=4 + 6 + 2 =

4 ] 12

= e3 x 3 es una matriz cuadrada de (3 x 3).

~ ~l ~ (

C2 l c22

) (

i ~ ; )~ (

'i y ~~ )

Dejamos al lector la verificación de los cálculos.

El ejemplo precedente muestra que en general el producto de matrices no es conmutativo, es decir, en general AB i= BA

TEOREMA 1.1 Sean las matrices A = A,,tx n, B = Brnxn, e = ee xm. a. Se tiene la siguiente regla de distr·ibución del producto con la suma de matrices e(A+B)=eA+eB b. Si >. es un número real (escalar) entonces

e(>.B) = (>.e)B <J

Damos a la matriz (A + B) = (Ai

+ Bi ) en forma de columnas.

Por otro lado, si escribimos a la matriz e = (e;) en renglones entonces

TEOREMA 1.2 Si A = Amxn . B = Bnx s, e reales, entonces el pmducto es asociativo, esto es, e(A B) <J

= eexm

son matrices

= (eA)B

Es un cálculo directo y se omite

EJEMPLO. Sean las matrices. B == (

) (2 x 2)

a. Verificamos que se cumple la relación

e(A+B)=(eA+eB)

1.3 Operaciones básicas de matrices <1 Primenuueute realizmuos la bmtos C(A + D )

C(A

OD[(

+ D) =

llllltr ic('S

2 - 1 (1) )

: 1 + ll y lnq!,"

-1 (

eD( (' ': ) ; ) (_2 :,)+ (: n( e -2

CA+ CB

<h·

('il l nt-

(~ ) 1

P<>r ot.ro htdo,

Sll l ll<l

;

;1 :3 ) ( - 2 :3 ) :3 2 + -1 2 ( 2 1 () 1

( 2 2

()

- 1

()

)

(1¡ )

lo que pruebn la valid<'z d<• ht n·h('i<Ju. C>

b. Ahora <.:Olllprolnlll tC>:-, la asociatividad C(All) <1

Por

tl! t

= (CA)D

lado,

C:(AIJ)

~ ~ ) [( : , ~ ) (

_", :, )

Por otro lado.

1e A )IJ = [ (

~ ~ ) ( : , ,~ ) ] (

1 ., )

~ ~

(

( -01 (l))=

20 lo

Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes pnu·lm la. i¡.?;ualdad. C>

q11('

La umt.riz cuadrada

1 () 0- . . ()

o 1 o ()

O·· ·O 1· .. o

o o o.. ·1 nm 1'.-; ( 'S llllil

tr.XH

\'11 la <liagoual y los otros elementos nulos, es tal que si A matriz arbitraria, entonces

= A,x

Al == A 1 se llamará matriz identidad de n x m.

EJEMPLO. Sea la matriz

y sea

I = 12 x 2 la 111atriz identidad , se t iene que

~ 1.4

Al= Al,,, = (

~ ~

) (

~ ~

) = ( :

) = A

Determinantes de orden tres

En esta parte definimos para las matrices cuadradas de dimensiones 2 x 2 y 3 x 3, un número característico: su d eterminante. Este concepto, así

como sus propiedades, pueden ser generalizadas para matrices cuadradas de dimem;ioncs mayores. Para una matriz cuadrada de 2 x 2 real

A=( se define el número característico igualdad

!Al =

IAI llamado

su determinante, por la

a¡¡ a21

1.4 Determinantes de orden tres

Cambiando un poco la notacióu, lo a.ntcrior uos di<:<! <¡11<' para la

lu<~t.riz

su detenniuante se cakula por la igualdad

Esto no.s dice que los detenninantcs rle mw rnat1'iz A de onlt!n 2 x 2 y la de .su transpv.esta AL son igwtles.

EJEMPLO. El dctcrminaute de la matriz

A = (~~) se calcula <l

IA I = 1

= 2- 1 = 1

Para una matriz real de 3 x 3 A

~~ ~~ ~:.: ) a:1

b:1 r::1

definimos de igual forma su determinante

IAI =

IAI

como

a 1 b1 c 1 a2 b2 c2 a.3

donde los determinantes 2 x 2 en el desarrollo se calcuhm ordiuariamcutc.

EJEMPLO. Calcularnos el det erminante de la matriz

~!: = 1 1~!1 - 2 1~~ 1 + 3 1 ~~1

= 1(15- 16)- 2(10 -

12)

+ 3(8- 9) = -1 + 4 -

Sistemas de ecuaciones, matrices y d e terminantes

1 1

¡.,,

lt Ú iill' f~>;-

u , . !1, . e,.

( i ·-

111

!J I

¡·,

(1 .2

/¡.2

(' •1.

(/ :l

h:t

1';¡

l.~ .

:.1)

llaJttHtt los elementos d el determi-

S ('

nante .

cotlsickr;l 11 11 c·lc•nu'llto dc·l d<'t<'rJIIÍll;lltlc'. st' dice qne el determidt• h lt J;l triz '2 '\. '2 qtH' S<' ohtiem· <ti q n it<l r l'l rt'llglún \' l<1 cOllllllllH d11111 lt· s<· ltw<diz<~ tnl dt·lttl'ttlo t ' s Sil rnentn· COIT<'spou dit' llte . ,.;¡•

u ;tl tl c·

EJEMPLO.

E11

d <ktcnninalltt·

2 3 ;\ .¡ 1 5

2 J par;o

JIÚt ut•ro

e11

\'l \'l'lltro.

llll'llor correspoudicntl' es

s 11

v.,

E.JEiviPLO. En el d<'tt'l'lltillalltc

p <ll'a íi

/ '.? . S il

()

(¡

.¡

- 11

¡.¡

rr / 2

IIH'llt)l' l'S

1 - 11

ti 1·1

Ddi ui Juos In paridad de \111 dellJL'ntu d<· 1111 d<•tenuinant<' como 1<1 suma di'! IIÚHH'ro. ('1 n'ti¡_!;I<Íll Y del IIIÍllll'rO dt' ]¡¡ cohH Hllil do11de se eHcncntra.

EJEMPLO. Eu d dctcnni,wntc

1 2

2 3

o .j

el demen to indicado.! t.iene paridad= 3 Es el wisHto dctenniltnnt.c.

J 1 5

+ 2 = 5.

o2 3

.¡

-1

OERECI-I)S RESERVADOS O 2004, Uniwrsdad AtiÓnoma Metropolitana (México). Prohibida la reproctuoaón de esta obra así OOfi'CI &a distriluc:ión y venta fuera del .itnbilo de la UAM!D. E-libro Bibliomedia BibliomediaOfnail.oom

1.4 D eterminantes de orden tres

d C'lement.o 2 tiene paridad= 1 + 2 = 3. igualmente. en

1 2 o3 2

3 -1

el elemento 3 tiene la paridad= 1 + 3 = 4 Definimos para un elemento a.ij de un determinante de 3 x 3 su cofactor A,; como el número (que lleva signos) A 'J. -- (- l ) i+j •1\f·l j

donde i es el número de renglón, j el número de columna y correspondienw .

i\l;J

es su menor

EJEMPLO. Consideremos nuevarnente el determinante del ejemplo ante-

rior. entonces, i. El elemento 4 indicado, l 2 3 2 3 4 3 o4 5

t.iene cofactor ( - l ) H

3 4

1= -1 ~

3 4

(4 - 6) = 2

ii. Análogamente, el elemento 1 indicado, ol 2

tiene cofactor ( - 1) L+ L 1

-1 1 = J

2 3 3 4

13-l.

5 4

= 15-16=-1

iii. De igual manera. en el mismo determinante,

2tienecofactor.4 = (- 1)2+ 1 \

1 o2

~ ~

1 =- l

~ ~

1= - (10 - 12) = 2

Observemos que inicialmente un determinante se desarrolló bl b2

02 a ;¡

O¡

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Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes

Si se definen A 1 = cofactor (a 1 ) = ( - 1) 1 + 1 1 b2 b3

B 1 = cofactor (b¡) = (-1)1+2 1 a2

C 1 = cofactor

(e¡) = (-1)1+31 a2

c2 1 = - 1 a2 c3 a3

C2 C3

b2 1 1 a2 b3 a3

b2 1 b3

en esta notación , el determinante se puede desarrollar mediante a1 a2 a3

b1 b2 b3

c2 c3

= a 1A 1 +b1B 1 +c¡C ¡

Un resulado más general sobre el desarrollo de un determinante viene dado por el siguiente t~orema, cuya prueba omitimos. TEOREMA 1.3 (del d esarrollo) Cualquier determinan te 3 x 3 se calcula corno la suma de los términos de un renglón (o una columna) por sus cofactores. <J

En particular, al desarrollar por la tercer columna, (L ¡

b¡

C¡

b2 b3

= C¡ C¡ + c2C2 + c:.¡C:.¡

donde el cofactor de c 1 es

el cofactor de

es cofactor de c3.

EJEMPLO. Calcular el determinante 1 4

o o 2

-1 -1 4

1.4 D et erminantes de o rden t res

desarrollando por la segunda columna. <l

Utilizando las paridades y el teorema del desarrollo 1.3 se tiene que

= - 2( - 1 + 4) = - 6.

EJEMPLO. Calculamos el conocido determinante 1 2 3 2 3 4 3 4 5 desarrollando por el segundo renglón. 1

2 3 4

3 4

= -2(10- 12) + 3(5 -

9) - 4(4 - 6)

=4 -

12 + 8

=o.

LEMA 1.2 Si un determinante cambia los renglones por columnas, no se altero tal. Esto es, el determinante de una matriz y el determinante de su tmnspuesta coinciden. <J Por el teorema del desarrollo tenemos

a¡

b¡

C¡

= a 1A 1 +

b1B 1 +

c 1C1 =

a¡ a2 b¡ b2

C¡

LEMA 1.3 Sl en un determinante se intercambian dos renglones (o dos columnas) el signo del determinante se cambia. <J Por el teorema del desarrollo se tiene

=a ¡ A 1 + b ¡ B¡ +c 1 C1

Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes

Por otro lado, al calcular el determinante después de intercambiar los dos primeros renglones, obtenemos 02

Q.¡

C2 C¡

aa b3

= a2(b¡C3 -

= - a¡ (b2c3 -

C2b3)

C¡b3) - b2(G¡C3- OJC¡)

+ b¡(a.2C3 -

C20.3) -

0. ¡

b¡

C¡

0.2

0.3

+ C2(a¡ b3 -

C¡ (a2b3

a3b¡)

0.3b2)

EJEMPLO. Ya hemos calculado el determinante

- 1

= - 6

<J Si intercambiamos las columnas primera y segunda, obtenernos, al desarrollar por la nueva primer columna

o o 2

- 1

- 1 =2 1 !

1=2(-1+ 4) =6

Del Lema 1.3, para el determinante con dos renglones iguales, al intercambiarlos, obtenemos b¡

C¡

a 1 b1 a3 b3

e¡

a¡

0.¡

b1 b1 b3

c1 e¡ c3

lo que implica que tal determinante es nulo debido a que O es el único número real que es igual a su negativo. Esto es,

COROLARIO 1.2 Si en tm determinante se repiten dos renglones o dos columnas el deter·minante vale cem. EJEMPLO. Por un cálculo directo, se tiene que el determinante siguiente con dos renglones iguales

cuando se desarrolla por la segunda columna. Tenernos además el siguiente importante resultado sobre desarrollos.

1.4 Determinantes d e orden tres

COROLARIO 1.3 La S1t.ma de los prodnctos pares de los elementos de una fila o ·renglón por los complementos algebráicos correspondientes es cero. Es deci1·, para

cualq~áer

determinante se cumplen las igualdades

a1A2

+ b1B2 + c1C2 = O

b1A1 + bzAz

+ b3A3 = O

c1 A1 + c2A2 + c3A3 = O <1

Consideremos un determinante arbitrario

a1 a2

b1 e¡ b2 c2

ento11ces

Por el colorario 1.2 el siguiente determinante se anula

b1 c 1 a 1 b1 c 1 a3 b3 c3 a1

al desarrollar tal determinante por el segundo reglón se tiene

C¡ c3

b1 1 a ¡ a3

= a1A2 + b1B2 + c1C2 lo que prueba la p rimer igualdad. Las otras se prueban de forma análoga. 1>

OBSERVACIÓN. Para cualquier escalar .A E IR se tiene que <1

.Aa 1 .Ab 1 .A e¡ a2 b2 c2 a3 b3 c3

= ,\a¡ A¡+ .Ab¡ B¡ + .Ac¡

= .A(a¡A¡ + b¡B¡ + C¡C¡)

Esto se resume en el siguiente resultado.

Sistemas de ecuaciones, matrices y d eterminantes

LEMA 1.4 Se puede sacar fuera del determinante un factor común de los elementos de ·un renglón (o una columna). OBSERVACIÓN. Utilizando el Lema 1.4 con A = O, obtenernos,

o o o az b2

b;¡

Ob 1

Oa 1

OC¡ C;¡ C;¡

bz b;¡

(L¡

b¡

C¡

a;¡ a;¡

b;¡

C;¡

lo que nos conduce a l siguiente corolario.

COROLARIO 1.4 Si en tm determinante ·t.m renglón (o una columna) ttene todos stts elementos cero, entonces stt valor es cero. OBSERVACIÓN. Sea A un número real tal que a 1

= Aa2 , b1 = Ab2 ,c1 =

>.c 2 , entonces de acuerdo al Lema 1.4 y al corolario 1.4,

a¡ a2 a3

b¡ b2 b;¡

Aaz a2

C¡

cz CJ

>.cz C2 C;¡

>-bz b2 b3

a2 Ct2

bz C2

a;¡

b2 b3

Esto implica el siguiente corolario.

COROLARIO 1.5 Si en tm determinante un renglón (o una columna) es proporcional a otro renglón (o a otra columna) entonces tal vale cero. EJEMPLO. Al calcular el determinante 1 1 4

1 4 16

3 12

4(1) 4(3) 4(4)

1 o 1 1 3 4 1 3 4

= 4(0) = o

en virtud que el último determinante tiene dos renglones repetidos y se anula.

OBSERVACIÓN. Sean ..\ 1 , ,13 1 , ¡

a 1 +A¡ a2 a3

b¡ + ¡3¡ b2 b3

c¡ + 11 c2

números reales arbitrarios, entonces

:::: (a 1 + A1 )A 1 + (b 1 +.B¡)B 1+(c 1 +¡1 )C1

C;¡

= (a 1 .4 1 +b 1 B 1 +c 1 C¡)+(A 1 .4 1 +/31 B 1 +¡1 C¡) a1 a2

>. 1 a2

/31

b2 c2 a3 C3 a3 b3 C3 Resumimos la discusión previa en el siguiente: b2 b3

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1.4 D et ermina nt es d e orden tres

COROLARIO 1.6 Si en un determinante un renglón (o una columna) los elementos son sttmas, entonces tal determinante puede ser descomvuesto como la suma de los determinantes de los sumandos correspondientes (respetando fac tores).

EJE MPLO. Calcular el determinante

4 1 1

1 - 1

o 1

6 1

Claramente se puede descomponer en la siguiente cadena. 5 6

o 1

2 + 2 2 + 3 3+3

1 - 1

2 1 - 1

= (2( - 1) + 3 - 2) + (3 - (2 - 3))

o 1

2 3 3

3 l

= ( - 1) + 4

1 1

o 1

donde los determinantes en la última suma se han calculado, el primero desarrollando por la primer columna, y el segundo por su segunda columna . [>

COROLARIO l. 7 El valor del determinante no cambia cuando a un renglón (o ttna columna) se le agregan proporcionales de otro r-englón (columna) pamlelo. <1 Sea .\ E IR un escalar arbitrario, entonces, ya que un determinante con un renglón repetido es cero, tenemos que

a¡

b¡

C¡

a¡

b¡

C¡

C2 CJ

a2 a3

b2 b3

C2 C3

a¡

b¡

C¡

a2 a3

C2 C3

a1 ±

.\a2

a2 a3

± ,\

a2 a2 1 a3

b2 b2 b3

±.\a2

±>.b2

±>-c2

a2 a3

C2 C3

b¡ ± .\b2

C¡ ± AC2

b2 b3

c2 C3

C2 C2 CJ

Sistemas d e ecuaciones, matrices y determinantes

Todas los resultados enunciados se lla man transformaciones elementales de los determinantes.

EJEMPLO. Calcular el determinante 1 2

2 1 2 3

<J Con arreglo al Colorario l. 7 esto se puede calcular por la cadena de igualdades

1 2 3 2 1 2 3 2 1 2

o o

1 2 - 2(1) 3- 3(1)

2 1 - 2(2) 2 - 3(2)

3 2 - 2(3) 1 - 3(3)

= 1¡

-3 -4 - 4 -8

- 3 - 4

-- 84 ¡ = 24 - 16 ::::: 8

Estos resultados sobre transformaciones elementales de los det.erminantes se pueden generalizar para órdenes (dimensiones) más grandes. Aquí hemos detallado la teoría apenas para órdenes 2 y 3. Tenemos el siguiente resultado para el cálculo del del determinante de un producto de matrices cuadradas.

TEOREMA 1.4 (determinante de un producto) Sean A B = B3x3 dos matrices cuadradas de 3 x 3, entonces

A ~IX3 ;

IABI = IAIIBI Esto es, el determinante de un producto es el producto de los determinantes <J Es un cálculo directo y omitimos su demostración 1>

EJEMPLO. Sean las matrices

un 2 3 l

B=(

o o

1 2

)

verificar la igualdad IABI = IAIIBJ . <J En el anterior ejemplo se calcularon los determinantes

1 2 3

IAI ==

2 3

3 1 1 2

= -18,

IBI = o

2 3

3 1

1 2

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1.5 Inversa d e una matr·iz d("' donde lA IIBI = (- 18)(5) - - 9U Por ot.ro lado,

11 )

11 14 cuvo determinante se calcula

jABJ=

o o

-8 -22

1 2 3 11 - 11 -19

11 14 11

11 11 14

-8 -22

11 14 - 2( 11) 11 - 3(11)

1 2 - 2( 1) J- 3(1)

=~~

11 - 2(11 ) 14- 3(11)

= 8(19) -11(22) = 152- 2·12 = -90

q ue prueba la igualdad mencionada. !>

1.5

Inversa de una matriz

Damos una forma de calcular la inversa rlc una matriz cuadrada de 2 x 2, así como una condición necesaria y su fic iente de su exist encia. Una matriz cuadrada

es inve rtible si existe una matriz

= B 2x '2 =

( .r

y )

tal que l = AB = BA. donde

r:>s ln matriz identidn.cl de 2 x 2.

Se iue11t.ifica B

= A- l

TEOREMA 1.5 Si A

;.: se llama matriz inversa de .4 .

= A~x:! e$ tal Q'llC IAI =f. O, entonces .4 es invertible.

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S istemas de ecuaciones, matrices y determinantes

32 <J

Buscamos una matriz de 2 x 2

tal que I

= BA,

es decir, buscamos números reales x, y, z, w tales que bx + dy ) bz+dw

lo que nos lleva al sistema de ecuaciones lineales ax + cy

+ dy = O az + cw =O bz + dw = 1 bx

{

Primeramente resolvemos , mediante el Lema 1.1, el sistema de 2 x 2 ax + cy= 1 { bx + dy = O

donde tenernos por hipótesis que P = ad - be =1= O. Al calcular los otros determinantes se obtiene Dl, Dy

= 16

1= d

= 1 ~ 61 = -b

lo que implica que Dx

-b

x --y- - - D - ad - be' - D - ad - be En forma análoga, se obtienen las otras variables

e -e z = be- ad = ad - be'

-a w

= be - ad = -ad-=---""'b-e

De esta manera, A- ! la matriz inversa de A tiene coeficientes,

A- 1

el ttcJ_-cbc (

ad-bc

-b ad - bc

" ) ad-bc

ad- be

(

-e

-b )

EJEMPLO. Sea la matriz

A=(i

1.6 La regla d e Cramer

Calcularnos el detenniuante de A , olJteui<'IlClo

IAI = 1

~ ~

= 2- 1 = 1 # o

y por el teorema 1.5, A es invcrtible, y su iuwrsa A - 1se calcula

A-t = ~( 1

-;1 ) = (

1 -1

- 1 ) - 1

Verificamos esta afirrna.ción realiza.udo d producto -1 2

- 1

1.6

)

d<~

las Hiatrir<'S

( o

La regla de Cramer

En esta parte ge11cmlizmnos e l resultado sobn• la soluci<Íil ele 1111 sist<•ma el<' ecuaciones lineales obtenido en el Lema 1.1 , para sisU'IIJas liu cah ~s d<· t.r<'s ecuaciones con tres incóguitas. Consideremos ahoré\. el sistema. de tres ecuaciou<'s liueah·s cou codicientes reales con tres iucóguitas :r, y , z a. 1 x+b 1y {

+ c 1z = d 1

+ b'21} + C'2Z = r/:2 a:¡X + b:¡Jj + t.:¡Z = d :¡

0.2X

<l Introducimos, de igua l form a que para los s isteuws liuealcs <k 2 x 2 los determinantes

a, D=

(12 a :¡

d¡

D J.

dz d:¡

b, b2 b:s

C¡ C2

= a.tAt + b, D, + r: ,C,

C;¡

b, C¡ bz cz b;j C;¡

== d 1 A 1 + d:¡A 2 C¡

a.2

d¡ dz

a::~

d:¡

C:¡

b, d ¡ bz dz b;j d"J

Dy =

D. =

a.;¡

+ d:1A:1

(;2

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Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes

Si Htllltiplinuuos d prilllcr r<'nglón del sistema. por A 1 , el segundo l'<'lll!;lúu cld siste111a por A:!, d tl'r<'<'r renglón del sistema por A 3 , ohteIH'Illos qu<'

!\sí. al stu1n1r los mil'tllhros derechos e izquierdos respectivos se obtiene

El ('olorario 1.3 illlplica que la anterior igualdad se escribe como D. ~:

D<· do1uk. si D

+ Oy + 0: = D.,

:1 O, eutonres,

al despejar :r , se consigue el valor

D<· igual funua. podemos obtener y,: Inedia.ute un procedimiento similar (suponiendo que D :1 O).

D,,

= D'

~- D

R<•suminws la ant.erior discusión en el siguiente resultado.

TEOREMA 1.6 (Regla de Cramer) Pam el sistema lineal de tres t~ctw cioncs con tTes mcógnitllS dado. se t·iene mw tri7Jleta de sol·uciones dadas por las igualdades

DJ. .t. -- --¡¡· v= --¡¡·

Dz D

z= -

suponiendo que D # O.

EJEMPLO. Resolver, utilizando La regla de Cnuner, el sistema de ecua-

cioues x {

+ 2y + 3z = l + 3y + z =O

3x +y+ 2y =O

1.6 La regla de Cramer <J

Calculamos los determinantes respectivos.

1 2 3

D= 2 3

2 1 3 2 - 2(1) 3 - 2{2) 1 - 2(3) 3 - 3(1) 1 - 3{2) 2- 3(3)

3 1 2

= 1- 1 -5

1 = 7 - 25 = - 18 #

1 2 3 3 1

o o

Dx =

1 l

Dy =

Dz =

2 3

= 11

o o

1 2

2 3 3 1

~ ~

3 1 2

= - 11

l O =

o o

3 -5 -5 - 7 - 1

1=6 -1= 5

~ ~

11 ~ ~

-1

1 = -7

Por La regla de Cramer se obtiene finalmente que

x= -

5 = -- 18

y = Dy D

= _2 = 2_ - 18

Dz -7 7 z = -=--= D - 18 18

A continuación, iniciamos el estudio de aquellos sistemas de ecuacione~ de 3 x 3 (tres ecuaciones por tres incógnitas ) donde el determinante del sistema se anula, pero se obtienen soluciones imponiendo una condición adicional. Consideremos el mismo sistema inicial a 1 x+b1 y + c1 z = d 1 azx + bzy + czz = dz { a3X + b3y + C3Z = d3

pero, supóngase que en este caso el determinante principal se anula, esto es,

a¡

b¡

bz Cz =0

C¡

Supóngase, además, que el determinante tiene el menor de 2 x 2

Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes

Consideremos entonces el sistema de 2 x 3 dado por las dos ecuaciones primeras del sistema

Tomarnos a la variable z como un parámetro t, es decir, hacemos z

y resolvemos el sistema de 2 x 2

a 1 x+b 1y ::: d 1 - c 1 t { a2x + b2y = d2 - c2t

mediante El método de Crarner, en virtud que el determinante principal del sistema D = a 1 b2 - a2b 1 no se anula, por hipótesis. Calculemos los otros determinantes,

D =

b¡ b2

C¡ 1 C2 t

+ 1""dd¡'2

a¡ a2

d¡- C¡ t d2- c2t

a1 a2

b¡ b2

a¡ 1

~~ dl d2

t + 1 a2

A3t + 1 d¡

d¡ d2 1

a¡ a2

B3t + 1

b¡ b2 1 - C¡ - C2 1 td¡ d2

de donde , por El método de Crarner, las soluciones de tal sistema (R) vienen dadas por

D y = if =

--~-r.---~

z= t Afirmarnos que estas soluciones resuelven la tercera ecuación también cuando el determinante

a1 a2 a3

b1 b2 b3

d¡ d2

= O.

1.6 La regla de Cramer

En efecto, al sustituir los valores de :r: , y y z , se tiene,

a¡ d¡ a3 d¡ l + b3l a2 d2 a3A3t + b3B3t + c3C3t d2 = + C3 C3 a¡ b¡ a¡ d¡ a¡ b¡ d¡ [ + b3 1 a2 d2 d3 1 a2 b2 1 d3 1 a2 b2 Dt a 3 1 d2 =- + + c3 c3 c.J a¡ b¡ d¡ a2 b2 d2 a¡ b¡ d¡ a3 b3 d3 d3C3 1 + - - =- - a2 b2 d2 + d3 ;;:;; dJ. c3 C3 C3 a3 b3 d3

El hecho de que ambos determinantes

a ¡ b¡

C¡

D = a2 b2

C2 CJ

a3 b3

a¡ a2 a3

b¡ d¡ b2 d2 b3 d3

se anulan , se entiende, según el cálculo anterior, de que el sistema inicial de 3 x 3 es compatib le. Para este caso, las soluciones de tal sistema vienen dadas por la tripleta mencionada.

EJEMPLO. Resolver el sistema de ecuaciones x+y+z = l x-y + 3z = - 2 { 2x+4z=- l <J

Calculamos primeramente el determinante principal

luego verificamos que tiene el menor D=

~ ~ 1 1 = - l. - l = - 2 ;i O.

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Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes

Posteriormente, para verificar la compatibilidad del sistema calculamos (si se va a utilizar z = t como parámetro) el determinante 1

1 2

- 1

- 2 - 1

= 2 1 -11

Según el método sugerido, consideramos el primer par de ecuaciones (donde D f= O) y hacemos z = t , obteniendo el sistema

{

x + y=l - t y = -2- 3t

X -

que resolvemos por El método de Cramer. Dx=

Dy =

1- t -2 - 3t

1 -1

!11=1-(- t - 3t)=l+4t

~ -~-=:_ t3t = -2 -

3t- (1 - t)

= -2- 3t - 1 + t = -3 - 2t

De donde, las soluciones al sistema inicial son Q.. -

X --

1 +4t - - .!. -2 2 - 3- 2t - ~ - 2 - t

- !!.J¡_ -

{

donde t E

- 2t

z=t

es un número real arbitrario.

Lo anterior se puede resumir en el siguiente resultado. LEMA 1.5 Para el sistema de ecuaciones lineales a 1 x+b 1 y+c 1 z=d 1 a2x + bzy + czz = dz { . a3x + b3y + C3Z = d3

que satisjd.ce las condiciones,

a. El determinante principal se anula: a1 D =

b1 bz

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l. 7 Sistemas lineales homogéneos

b. El menor· (2 x 2) de

-1

e';¡ -

(1.¡

(/'2

c. 1::-'l dct.er-rru.r1.rmtl! de 1:ompatibilulwl se anula,

a, (/,2

(/.;¡

b¡ d , b2 d'2

d ;¡

11;¡

se tien e un s istema parametrizado de solnc-wrws

= A:1t + ¡__---,,-----'-

y = B:.¡t + 'l _o_.2....,.,--....l.

donde t E IR es tm mímcr·o r-cu.l oxbitm·rio. Observamos que el método para resolver este tipo de e<:lmciones ele 3 x 3 consiste en ignorar la tercer ecuación y resolver paramétrica!lwlltc d sistema inicial de 2 x 3. La tercer ecuación se resuelve autom<íticamentc con las soluciones del sistmna de 2 x 3, sahieudo que el dctenniuant.c de compatibilidad se anula.

l. 7

Sistemas lineales homogéneos

En esta sección iniciamos el est udio de los sistemas de ccHncioHcs lineales que no tienen t<~nn in o:; independiente:;. A tale:; sistema:; les llamaremo:-> homogéneos. El procedimiento de solución de estos :;istemas sigue el patrón de solución de los sistemas lineales en el Lema 1.5. Considérese el problema por resolver ele! sistema homogéneo de 2 x 2 3x {

+ 2y =O

12x + 8¡¡ =O

Es claro que cuando x O. y llamada la solución triviaL

= O se

t iene una solución del sist.ema.

OERECI-I)S RESERVADOS O 2004, Uniwrsdad AtiÓnoma Metropolitana (México). Prohibida la reproctuoaón de esta obra así OOfi'CI &a distriluc:ión y venta fuera del .itnbilo de la UAM!D. E-libro Bibliomedia BibliomediaOfnail.oom

Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes

Al trntar de ut.ili;,m La regla de Crnmcr (Lema l.l) rq!,la. pll!'s

110

tiene sentido tal

3 12

Pron•deiHos PJlt.oHces a ignorar una de las ecuaciones y nos quedamos, <·on la prinH'ra. por <'.i<' mplo, :.l:r

+ 2y = O

Al despl'jar !1· oht.(•n('IIIOS

Sea t E IR <lrhitrnrio ~· pongamos

:1:

= t, entonces

-:_/t.

AfinHaiuos que estos valorC's de :r y y (en términos de t ) también l'('SUl'IVC'll la ot.ra t'('IIHCiÚn. <J J:::n ef!'cto, por una simple sustitución se tiene

12.r

+ 8y = l2t + 8 (

t) =

l2t - l2t = O

El mC:·toclu ut.ilizado en este ejemplo se puede generalizm para cualquier sist('llla (2 x 2) a:r +by= O { C.l: + dy = 0 donde ad - he

= O.

Considt·rcmos ahora el sistema. homogéneo de dos ecuaciones lineales ron tres incóg11itas a 1.1: + b 1 y+r. 1 z = O { 02X + b2y + C2Z 0

Una simple sustitución prueba que x = y= z = O es una solución de tal sistema (solución trivial). Nos interesa encontrar soluciones no triviales del sistema. Para ello, supongamos sin pérdida de generalidad que z del sistema O.¡X -t- b¡y + C¡ Z 0

f. O.

Entonces,

{

0.2X

+ hy + C2Z = 0

se obtiene

1.7 Sistemas lineales homogé neos

o equ ivalentcmeJttc,

o hien.

a 1 (7)+b 1 (?) = - c1 ( ~) + b2 (?) = -C2

{ Poniendo v

= ; . tc = lf se obtiene (l. ! {

ti+ b¡ W = - C¡ + b2 11• = - c2

a2v

que se resuelve por determinantes si D :::: a 1b2 <J Primera mente encontramos

a2b 1 'f O.

( ~~ In anatriz principal dt>l sü;tema. asorindos D,. ~

- C¡ 1

- ('2

Dw = 1 Ya que v

~·, w

Después, calculamos los determinantes

~)" tenernos entonces que X

15' ; = --¡¡

Por lo tanto , para que x, y, z sean soluciones del s istema, se deberá cumplir la cadena de igualdades x· z y t=- = -= -

pa ra t E R l> Se obtiene el siguieme resultado.

LEMA 1.6 Todas las soluc'iones del

s~s t ema

lineal homogéneo se obtienen

por

donde t E IR, y

Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes

EJEMPLO. Resolver el sistema lineal homogéneo X { 4x <l

-2y +5y

+3z =O -6z =O

Formamos la matriz del sistema

(! - 2 5

y calculamos a que los determinantes asociados,

-2¡ -2 ¡= 5

-3 1 6

= 5

- 15 + 12

-3 ¡=

+ 8 = 13

= -3

6 + 12 = 18

De esta manera, la solución se escribe

-3t y= 18t ' z = 13t

X= {

tE IR

Para ilustrar, si t = 1, entonces x = -3, y = 18, z = 13 es solución del sistema de ecuaciones. Si t = v'2, se tendría en este caso que la tripleta x = -3v'2, y = 18v'2. z = 13v'2 resuelve tal sistema. C> Consideremos ahora el sistema homogéneo de 3 x 3 a 1 x+b 1 y+c 1 z=0 {

a2x a3X

+ b2y + c2z =O + b3y + c3 z = 0

donde claramente x = y = z = O es una solución trivial del sistema. Nos interesa el caso cuando tal sistema tiene soluciones no triviales. Procedemos a buscar tales soluciones no triviales mediante el método utilizado para resolver, sistemas lineales en el Lema 1.5. <l Habíamos obtenido las ecuaciones

Dx = D~.

Dy = Dy

Dz = D,

en la discusión del \l(5t.ntk> de Cramer (Teorema 1.6).

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l. 7 Sistemas lineales homogé n eos

Para este caso

Dx =

o o o

b¡

C¡

Dy = O,

=O ,

Dz = O

lo que implica que

Dx = 0,

Dy = O,

Dz =O

De aquí que, si al menos una de las variables x, y ó z es diferente de cero tendríamos necesariamente que D = O. Recíprocamente si D = O entonces alguna de las variables x, y ó z pueden ser diferentes de cero. C> Se obtiene entonces el siguiente resultado.

TEOREMA 1.7 Para que un sistema lineal homogéneo de 3 x 3 tenga soluciones no triviales es necesario y suficiente que D = O. Ahora supongamos que D = O y que hay un menor 2 x 2 de D diferente de cero. Esto es, podemos suponer que

0= D=

a¡

b1 c 1

sin pérdida de generalidad. Por el Lema 1.5 el sistema homogéneo tiene solución debido a que el determinante de compatibilidad se anula, pues d¡ = d2 = d3 =O Por otro lado, del Lema 1.6, se tiene que el sistema homogéneo dado por el par de ecuaciones Q¡X {

+ b1y + C¡Z = 0

a2x + b2y + c2z = O

t iene solución X= 1

b¡ b2

a¡

- 1a2

a¡ z = 1 a2

C¡ C2 1

t = A3t,

C¡

1t = B3t

b¡ ~

= C3t

Afirmamos que x , y , z soluciones de este sistema resuelven la tercera ecuación .

Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes

En efecto, al sustituir los valores ele x , y , z se cumple a3:r + b3y + c:-¡z = a3 (A3t) + b3(B3t) + c3(C3t) = = (a3A3 + b3B3 + c3C3)t = Dt rlebiclo a que D =O por hipótesis. Por lo tanto. X = A3t y = B3t z = C3t

para t E IR arbitrar io resuelven el sistema lineal homogéneo de 3 x 3. 1>

EJEMPLO. Consideremos el sistema

x + 2y- 3z =O 2x- y + z =O { 3x +y - 2z =O <l Ya que el tercer renglón de la matriz asociada es la suma ele los dos primeros tenernos que

-3

2 3

- 1

1 -2

2 - 1 2

-3

1 2 l

1 2 2 - 1 1+2 2 -1

-3

1 2 2

2 - 1 -1

-3 l

-3 + 1

-3

1 1

pues en cada determinante se repiten renglones. Por otro lado, el menor 1

!1 1 = -1-4 =-51

lo que nos dice que para encontrar la solución, podernos considerar el par de ecuaciones x + 2y- 3z = O { 2x - y+ z = O Utilizando el Lema 1.4 se tiene que

= A3t = 1 !1 -1

= B3t = - 1~ z = C3t ==

t = (2 - 3)t = -t

~3 1t = -(1 + 6) = - 7t 1

~ ~l

1t =

-5t

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1.8 El método de Gauss-Jordan

es decir, la solución del sistema viene dado por la tripleta X = {

= -5t

donde t E IR es un número arbitrario.

1.8

-t

y = - 7t C>

El método de Gauss-Jordan

En esta parte damos , otra metodología para resolver sistemas de ecuaciones lineales, utilizando propiedades aritméticas de las matrices con entradas reales. Como se observará, este método no apela en ningún momento a los determinantes menores del sistema, ni al orden mismo del sistema, es decir, el número de ecuaciones puede ser arbitrario, así como el número de incógnitas que intervienen en el sistema.

EJEMPLO. Resolver el sistema de ecuaciones 3x

+ 2y + z = 5

x+y-z=O { 4x - y + 5z = 3 <l Primeramente cambiamos el orden del s istema intercambiando las primeras ecuaciones

x+y - z=O 3x

+ 2y + z = 5

{ 4x - y+ 5z = 3 Multiplicamos por tres la primera y la restamos de la segunda

3x + 2y + z = 5 3x + 3y - 3z = O -y + 4y = 5 obteniendo el par de ecuaciones

x+y-z =O { -y+ 4z = 5 Después, multiplicamos por la cuatro la primera del sistema inicial y la restamos de la tercera del mismo

4x - y+ 5z 4x

+ 4y -

- 5y

4z = O

+ 9z = 3

Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes

obteniendo así el sistema

x+y-z=O { -5y + 9z = 3 De esta manera, hemos obtenido el sistema nuevo 3 x 3

x+y - z = O - y+ 4z = 5 { -5y + 9z = 3 en la cual la variable x no aparece en las ecuaciones segunda y tercera. De éste, omitimos la primera y resolvemos el sistema 2 x 2

- y+ 4z = 5 { -5y + 9z = 3 que t iene sólo a las variables x, y . Si multiplicamos por cinco la primer ecuación de este sistema y la restamos de la segunda obtenemos

- 5y + 9z = 3 - 5y + 20z = 25 O - ll z = - 22 De esta forma, nos queda entonces el s istema escalonado

x+y-z = O - y+ 4z = 5 { - llz = -22 cuyo número de variables va disminuyendo en cada ecuación. Resolviendo la tercera ecuación final para z, - llz

= - 22

se obtiene que

- 22 z= --=2 - 11 Al sustituir en la segunda ecuación escalonada el valor de z, se t iene que

5 = -y+ 4z = - y

+ 4(2) = y+ 8

de donde,

y = 8-5=3

1.8 E l método de Gauss-Jordan

FinaJmente, se sustituyen los valore!:i y del si!:itema escalonado y se obtiene,

= 3, z == 2 en la ecuación primera

0=x+y-z=x+3 - 2 = x+l lo que nO!:i lleva a que x == - 1 Es decir, x = - 1, y = 3,

z = 2 resuelven el sistema inicial. C>

OBSERVACIÓ N . Si del sistema inicial se crea la matriz principal 2 1 - 1

donde la última columna está formada por los elementos independiente!:i del sistema, tal proceso se logra también escalonando tal matriz mediante operaciones elem en tales (como en los determinantes)

(

3 2 4 -1

1 4

1 - 1

-1 1

o o

R1 _, R2, R 2 -> R¡

~) 1 1

l - 1

(3R, - R,) - R, , (4R, - R,)- R,

~5 )

- 1

-4 -9

-U

(SR, - R,) - R,

-3 l l

- 1

-4

-5 - 22

- 11

)

Donde la!:i expre!Siones R 1 -> R2, R2 --> R 1 definen la operación elemental de intercambiar los renglones primero y segundo en la primera equivalencia de matrices. La operación de multiplicar por tre!:i el primer renglón y restarle el segundo para a!Signarlo al segundo rengón en la segunda equivalencia de matrices. se define por (3R 1 - R2) --> R2. Análogamente, la expresión (4R 1 - R3 ) --> R 3 para la segunda equivalencia de matrices define la operación de multiplicar por cuatro el reglón primero, restarle el tercero, y a!Signar el resultado a la nueva matriz equivalente como un tercer renglón. Las otras expresiones designan operaciones semejantes. De la matriz escalonada se tiene el nuevo sistema

x+y-z=O y- 4z = -5 { - llz == - 22

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Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes

qn<' ::;c resuelve hacia atrá::; como en el ejemplo anterior. 1>

EJEMPLO. Resolv<'r d sistema lineal (5 x 3),

x + 2y + 3z = 111 3:¡;

+ 2y + ;; = 10

x+y+z=6 2.r + Jy +· :: = 5 :J: + y = 3

<1 Vamos a u tilizar el mismo método q ue en el ejemplo anterior, y para. ello formamo::; la matriz del ::;istema..

3 1

2 1

1 1

( 2 1

3 1

(

1 1 2

14) R:l _. R2, R& __, R:l R2 _. R;:, 10 ~

l l

2 3 1 14 1 o 3 1 5

(R2 - R1 )

3 2

fl2.

( R:I - R1) _, R:¡.

(2R¡ - R4) __, R4 (3R¡ - R;_,) __, Rr:,

-(~

2 - 1

-1 1 4

-2 -8 - 3 -11 14 23 5 :32 8

(R2- R:¡) ~ R:¡ . (R2 + R4) __, R4, (4R2 + R;_,) __, fl.;_,

l [l 2 -1

-2 1

-8 3

(3R, - R.,)

o o o

-(~

2 -1

3 -2 1

o o o o

-148 3 1

Como se obtiene la ecuación (inconsistente) del cuarto renglón fina l

O = Ox

+ Oy + Oz = 1

1.8 El método de Gauss-Jordan

el sistema no es compatible y, por lo tauto, d sist\'llla i11icial d\' !i x :$ 110 tiene solución. C>

EJEMPLO. Resolver el sistcllla de ecuaciom:s liucaks (!i x :3)

+ 2y + :3z = 11 3x + 2y + ;; = 10 :r. + y + z = (j 2:1: + 3y - z = [) x+y = 3

:1:

que se obt iene del sisteum del ejemplo a.utcrior al c;uuhinr ap('uas d sÍJ.!;llO d e z en la. cuarta. ecuación. <J Formamos la matriz del sistema y utilizamos d lll(:t.odo a11t1:rior para escalonar la matriz, corno se muestra

11)

3 2 1 1 6° 1 1 1 2 3 - 1 [) 1 1 o 3

(

-(¡ 2

2 1 1

(2R 1

o o o o

1 3 14 11 1 2 8 1 7 23 4 8 32

3 6 5 10

1 -1 1

3 2

~ R,

(R ¡ - R2) _, R"2 , (R ¡ - R:s) .-.. R:s.

R4 , (3R 1

Rr> )

(R2- R:¡) _, R;,, (R2- R4)

-(~ 1

R4 )

2 1

3 3

o o o

-4 4

-12 12

o 1 3 o o 1 o o -4 o o o

11 11 3

3 -12

R.;

-+ R~ ,

('1R"2- R5) _, R:-,

l l

(R, + Re,) -Ro

(4R, + R,)- R,

Sistemas d e ecuaciones, matrices y deter·minantes

(~ ~ ~l ~'3:

(

() o

)

o o o o o o o o

<(lit' nos llt'va nl sist<·ma <•scalonad o d e .r {

x 3,

+ 2y + 3;:; = J.1 y+ 3: = l l ::; :::: 3

\' <'l cua l el<· ininl'd iato nos d a t•l va lor di' ;:; . Al s 11stit.u ir el valor ele:; en la segunda. <'cuaciún , :;e tiene

y+ 3(3)

= 11

cil' do11d<•. y = 2. F inalnt<•nt.<•, si se s nst.ituycn estos V<l.lores en la p rimer ecuación de éste sistl'lll<l últilllo SI' t.ÍCH<'

l l :::: .r. + 2(2) + 3( 3) = :r <·on lo q U<'

.1·

+ 13

= l.

Por lo tHnt.o, la so lución c!Pl sistema inicia.! de 5 x 3 viene dado por ;!:

= l.

y = 2,

;:; = 3

Al mé to do most rad o e n los ejemplos precede ntes se le llama El método d e Gauss-Jordan para la solución de un si:>tema de ecuaciones de (rn x n) . Tal mét odo cons ist e en Pscalonar med iante operaciones elementales a tlll <.t mat.riz para ob tener una matriz equivnlent.e que (Jefina un sistema de <'l'll<H'iOIH's lo 111<Í.s simple p osible .

EJEMPLO. R0solvl'r lllediante El método de Gauss-Jorda n e l sü,tema de ('CUHCÍOliCS

:r + 5y + .J z + 3w == l 2.r - y + 2 z - w = O { 5:r + 3y + 8z + ·u· = l

<1 La matriz del sist cllla se escalona mediante el s iguiente proceso:

- 1 2 3 8

3 - 1 1

1.8 E l m é todo de Gauss-J ordan

-u

5 11 22

4 6

~¡ )

(2R2

R3 )

~ R,

5 4 3 1) -11 6 7 2

o o o o

Esta última matriz define al nuevo sistema de 2 x 4 x {

+ 5y + 1z + 3w = 1 + 6z + 7w == 2

- 11y

Resolvemos tal sistema por El método de Cramer, al efectuar el despeje de términos en las variables x , y. x {

+ 5y = 1 - (4z + 3w) lly = 2 - (6z + 7w)

Primeramente, calculamos los determinantes D

D. = r

-- 11o 5 112 -- ((6z+7w) 4z + 3w) 11

= 11

5 11

= 11[1- (4z + 3w)]- 5[2- (6z + 7w)] = 1 - 14z + 2w 1 1- (4z + 3w) 1 == 2- 6z- 7w O 2-(6z + 7w)

Por lo tanto, Dr l - H z + 2w 1 11 2 - - - - - - = - - - z+ - w D 11 1111 11

x- -

= 75 =

2 - 6z - 7w 11

=::

6 7 u2 - uzuw

Para dar una solución p a ramét r ica al sistema, utilizamos dos variables auxiliares poniendo: w = u, z = v, lo que nos lleva a que la solución bipar a m étrica se escriba

Sistemas de ecuaciones, matrices y d eterminantes

El método de Gauss-Jordan involucra el concepto de matrices semejantes. DEFINICIÓN. Sea A = (aij) una matriz real de (n x m), por una operación e lemental en A entendemos la suma en alguno de sus renglones (columnas) de un múltiplo de un renglón paralelo (o columna paralela), un intercambio de renglones (o de columnas), o suponiendo que ningún renglón (o columna) se multiplicó por un escalar el producto de un renglón (o columna por un escalar). EJEMPLO. En la matriz 5 -1 3

4 2

3 -1 1

se multiplica el primer renglón por dos y se resta al segundo renglón asignando el resultado al segundo renglón definido por (2R 1 - R2 )-+ R2 , para obtener la matriz 4

9 6 3 8

5 1

como en el ejemplo precedente. Los ejemplos anteriores que muestran El método de Gauss-Jordan ilustran un buen número de operaciones elementales en las matrices. DEFINICIÓN. Dos matrices del mismo orden (m x n) se dicen ser semejantes si una se obtiene de la otra por un número finito de operaciones elementales. Cuando una matriz cuadrada A

= Anxn

es semejante a otra matriz

B = Bn.xn, suponiendo que ningún renglón (o columna) se multiplicó por un escalar, el corolario 1.7 implica el siguiente resultado. LEMA 1.7 Si A es semejante (como se mencionó) a B, entonces sus determinantes difieren apenas por un signo. <J

Esto se sigue de que pudo haber intercambio de renglones.

De aquí se obtiene el siguiente resultado. COROLARIO 1.8 Si A es semejante (corno se mencionó} a B y en las operaciones elementales no hay inten:arnbio de renglones, entonces, sus determinantes coinciden, esto es,

IAI=IBI

1.8 El método de Gauss-Jordan

EJEMPLO. Consideremos la matriz

A = ( 3~~; ) 2 1 <l

Después de las operaciones elementales siguientes, se tiene

A~o

2 1 2

(2R¡ - R2) -

R2 ,

)

1 2 3 3 4 4 8

o o

(3R¡ _. R3) _. R3

Con lo que 1 2 3 2 1 2 3 2

1 2 3 3 4 4 8

o o

~ ~

= 24 - 16

Esto ya se ha calculado en ejemplo posterior al corolario 1.7 mediante la cadena de igualdades 1 2- 2(1) 3 - 3(1)

1 2 3 2 1 2 3 2 1

-3 -4

- 4¡ -8

3 2 - 2(3) 1 - 3(3)

1 - 2(2)

2 - 3(2)

= 134

= o o

= 24- 16 =

2 -3 -4

3 -4 -8

Estas igualdades involucran (salvo signos) a las matrices semejantes, donde no se ha alterado por factor alguno a los renglones, ni se han permutado. C> Utilizando El método de Gauss-Jordan para escalonar una matriz, procedemos a encontrar un método del cálculo de inversa multiplicativa de una matriz cuadrada, cuando es posible. Consideremos un sistema ele ecuaciones de (3 x 3)

a 1x + b1 y + c¡z = dl a2x + b2y + c2z = d2 { a3X + b3y + C3Z = d3

Sis temas d e ecua ciones , matrices y determinantes

Debido a la regla de multiplicación de matrices, tal sistema se puede escribir matr icialmente como

Esto es, si definimos por

lo anterior se escribiría simplemente por la ecuación matricial

AX =d Así, el sistema de ecuaciones inicial se transforma en la ecuación matricial mencionada. EJEMPLO. Considere el sistema de ecuaciones lineales

+ 3y - z = - 1 6x - 7z + 2z = O { 4x + y- llz = -2 2x

Este sistema se puede escribir como la ecuación matricial 3

-7 1

Consideremos entonces un sistema matricial

AX = d asociado a un sistema de ecuaciones, donde A es una matriz cuadrada de 3 X 3. Si existiera una matriz inversa B de A , esto es, una matriz B tal que

= AB = B A

entonces del sistema matricial se obtiene, al multiplicar por B la izquierda de cada miembro, la relación

BAX

= Bd

1.8 E l m étodo de G a uss-Jor dan

Esto !!Os lleva, en virtud <pw 13A

= 1, a que st• <·u m pln. '"

i~u;~ldad

= 13il.

Por otro lado, In. lllatriz idcutidad 1 satisfa('c que

lo que nos lleva finallilcnte a la

<~<:lm('iún

matricial

X = Bd que ind ica los valores de x, ·u, z que resudv<:n d s istetua liucill dado. Esto pues, si la matriz 13 se es<:ribc por

entouces la ecun<:ióu nwtritial X como

IJd q11e

resudv<~

d sistetua se !'S<Tih<·

o equivnlcuteuwutc,

Esta metodología de solución de un sistema de (:3 x :3) nos cowluc:c al problema de calcular la m atriz inversa B de la 1rmt.riz priucipal del sistema .4, en caso de que tal matriz inversa exista. Una cond ición de existencia de la matriz B se obtiene a través de la generalización natural del teorema 1.6 para el caso de matrices 3 x :3 .

= A 3 x:1 e.s tal que .~u determinante no se annla: entonces A es invertible. Esto es, exi.ste 1t1ti.L matr-iz B = B 3 x:1 tal

TEOREM A 1.8 Si A

lA! i= O, r¡ue A B

= l = B A , donde 1 e.s la matriz identidad <le 3 x

5(i

Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes

EJEMPLO. C'ousidPn· la uw.triz 1 2 A= ( 1

2 J 5 J o 8

)

Uu dkulo clir('<to uos unwst.ra que

2 1

IAI = 2 G 3 = 12 5

() 8

lo qnP

llllS

1+ 8 11 2

dic·c· que A es uua matriz invertible

=-9+8(1)=-1 C>

EJEMPLO. Consickre In, umtriz 1

1 ) -1 5

2 ~1 ( - 1 2

Al <"nkular su dcterlllinautc mediante operaciones elementales se tiene 1

.¡

- 1 2

.¡ - 1

o o

.¡

8 8

9 9

lo c¡uc hace que A no sca una llllltriz iuvcrtihle. Aualircuws por (.'('IIH('iOlll'S

1111

=0 C>

momento el sistema matricial asociado al sistema de AX =d

:v la c<:Hación matricial de soluciones X =Bd

Estas podrían escribirse por la pareja AX = Id { IX = Bd

donde I es la matriz identidad de 3 x 3. Un procedimiento general del Método de Gauss-Jordan para resolver el sistema nos llevaría a considerar la matriz siguiente de 3 x 6

1.8 E l método de Gauss-Jordan

mediante operaciones elementales llevarla (segú n la segunda ecuación matricial) a la matriz de 3 x 6:

o o l o o l

N~u

0:¡

/3¡

')¡

0:2

!32

0:3

/33

'Y2 'Y3

)

que resolvería el sistema de ecuaciones dado. En otras palabras, dada una matriz A3 x 3 que se pueda invertir, el proceso de llevar a la matriz ]\/ en la matriz N mediante operaciones elementales nos permite calcular la matriz inversa B de A, cuando se considera la submatriz 3 x 3 de N que se conforma desde la cuarta columna:

Este método nos permite entonces calcular la inversa de una matriz cuadrada si es invertible. En el caso de que no sea invertible la matriz inicial, el método mismo nos lleva a un absurdo durante los cálculos de las operaciones elementales. Esto se ilustra en los siguientes ejemplos.

EJEMPLO. Calcular la inversa de la matriz

<!Ya hemos calculado

JAI

== - 1, lo que indica que A es invertible.

Construimos la matriz de Gauss-Jordan y procedemos a realizar operaciones elementales.

(¡

2 3 l o 5 3 o 1 o 8 o o 2

(

o o

1 2 1

o o

(2R¡ - R2) _, R2, (R¡ - R3) _, R3

- 1

3 3

-5

l 3 - 3 -2

2 -5

2 -1

o 1

) (- R,) - R,

-1

) (2R 2

R,)- R,

- 1

S istem as de ecuaciones, matrices y determinantes

u -u u -( u 2

3 -3

2 l

3 -3 1

-2 5

o -1 o o l o -2

o 2

( - R,)

-5 -2

-3

- 16

-5 -2

{2R2

+ R 1)

- 1

o o 1 o

~ R,

~ n,, (3R, - n,) -

-3)

- 6

o o

o o o

) (3R, + n,)

14 13 1 5

- 1

o o

-2

- 1

-2 -5

- 40

13 5

-9) -3 -1

16 - 5

( - R 1 ) -> R 1

~3 )

-2 -1

Esto implica que la matriz inversa A - l de matriz dada A es

Dejamos al lector verificar que a- 1 A= 1

Este procedimiento sirve también para calcular inversas de matrices de 2 x 2, corno lo ilustra el siguiente ejemplo. EJEMPLO. Sea A la matriz de 2 x 2 dada por

A= (~ ~) <J Ya hemos calculado su determinante, obteniendo hace una matriz invertible.

IAI ==

l , lo que le

Construirnos la mat riz de Gauss-Jordan y le aplicamos operaciones elementales para calcular A-l:

o) 1

1 ) {2Rt - R2) ,...., ( l l o O 2 1 1

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1.8 El método de Gauss-J ordan

(

-1

~( -1o o1 ( 1

) (R2 - R1)

-1 -1

~ )(-R

-4

1 ) -4

-;1 )

1 -1

Esto nos dice que la matriz inversa de A es

EJEMPLO. Consideremos la matriz

A= (

6 4

- 1

IAI

<J Ya hemos calculado invertible.

=O, lo que nos dice que A no es una matriz

Usemos El método de Gauss-Jordan para tratar de conseguir una inversa de A .

u n ue ) 6 4 2

4 -1

1 o o 1 o o

(2R¡ - R2)

6 4 1 o 9 2 - 1

8 8

o 86 •9 o o o

o o

-4

R2, (R¡

+ R3) - 4 R3

(R2- R3) ~ R3

o o

- 1

~¡ )

Ya que el renglón tercero de esta última matriz t iene ceros en sus tres primeros lugares, no es posible conseguir en adelante una matriz de forma 1

(

Q¡

o 1 o o

que nos permita continuar el proceso. De aquí que el mismo Método de Gauss-Jordan pone obstrucciones por sí mismo para calcular una inversa de A, si es que A no es invert ible. C>

Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes

Ejercicios. 1. Dadas las matrices

=o; ~

A= (

o -1

3 ) -1 2

i -2

B= ( 3 x4

5 3 3 4 0 3

o 1

1 ) - 1 0

3X 4

Realizar las operaciones matriciales A- B, B- A, 2A, -6B, 2A - 3B, (A + B) 1 , At - 2Bt, Bt- 2At , At + ~Bt. 2. Dadas las matrices

(

-2

-1

o 1

3x3

1 (

~1 1

) 3x2

a. Calcular C 2 ,C3 ,DC,CDt,DE,ED,(DE) 2 ,(ED)2. b. Si A y B son como el ejercicio 1, calcular CA,A 1 C,DCA,DCB. 3. Calcular, usando el teorema 1.5, la inversa de la matriz indicada. 3

A= ( 1

-1 ) O '

1 o o) O 2 1 ,

(

- 1

4. Calcular los siguientes determinantes

a . lviediante la segunda columna,

b . Mediante el tercer renglón.

d. tviediante la primera columna.

o o

1 1 1

- 1

2 4

- 1

o o

c.lVIediante la primera columna.

- 1

4 1

3 6

1 2

cos cp sin cp

- sin cp cos cp

1.8 El método de Gauss-J ordan

donde <p es un ángulo arbitrario. 2

a+3 b+4

2 2

c+ 3

d+4

5. Un número real >. se llamará un valor propio de la matriz cuadrada A:5x3(ó A2x2) si satisface la ecuación característica det(A - >.!) == O donde 1 es la matriz identidad. Calcular los valores propios de las siguientes matrices a.

on n( n o

( 1 2

-1 ) 1

6. Calcular los determinantes de las matrices dadas. -1 a ( 2 3

2 -1

1 - t2

d (

)

b (

l (l

t 1

2+t

- 1

o 1

1 14

) ('' e.

-3

2t 2

4t 4

t' )

3t2 6t

7. Resolver mediante El método de Cramer los sistemas,

a. 5x- y - z =O x + 2y + 3z == 14 4x + 3y + 2z = 16

{ b.

x + 3y- 6z == 12 3x + 2y + 5z == - 10 { 2x + 5y + 2z = 6

{

- 5x + y + z = O x - 6y+z=O x+ y - 7z == O

Sistemas d e ecuaciones, m atrices y dete rminantes

d. x+y + z=O 3x + 6y + 5z = O { x + 4y + 3z = O 8. Resolver mediante El método Gauss-Jordan los sistemas

+ 2xz = 4 4xz = -1 7x 1 + 10x2 = 12 5x 1 + 6xz = 8 3x 1

X¡ -

3xt - 16xz

=-5

b. x 1 + Sx2 + 4x3 = 1 2x¡ + lOxz + 8x3 = 3 { 3x 1 + 15xz + 12x3 = 5 c.

d. 2x 1 + X2 - X3 2x2 + 3x3

Xt -

{

7x 1

+ X2

=5 =-3 = lQ

+ 3x3 + 2xs = 1 - X3 + X4 = 4 X ¡ - X3 + 2X4 = 6 3X ¡ - Xz + X3- X4 = Ü

2x¡ - x2 X1

{ f.

+ X2

3x¡ - Xz + X3 + 2xs = 18 2xt - 5xz + X4 + Xs = - 7 x 1 - X4 + 2xs = 6 2xz + x 3 + X4 - x 5 = 10 X¡

+ X2

3X3

+ X4 = 1

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1.8 El método de Gauss-Jordan

9. :.Iediaute El método de Gauss-.Jordan, calcular las matrices inversas (si las lwy) de a. (

~ ~

)

b. (

-;3 )

(: -3 ) (~

1 o oo

(

~1)

un o n 1

1 1

1 2 1 2

1 4 - 2

nu n o o 2 o o 3 o o

10. Uua matriz .4 se llamará ortogonal si satisface que .4 t .4 = I. ¿Cuáles de las siguientes matrices son onogonales? a. (

~ ~1

)

e. (

b. (

~1 ~

) (i

~ -1 ~2 -2~ )

-;1 )

f. (

~1 ~1o ~

-1

)

Capítulo 2

Vectores en JR 2 y IR3 2.1

Sistemas de coordenadas en JR 2 y JR3

Comenzamos ahora el estud io de la geometría de los espacios ~ 2 y ~ 3 proviéndolos de un sistema de coordenadas car tesiano. A cada punto, p en un espacio real se le asocia una n -ada de números de una manera binívoca

El número entero n se llamará la dimensión del espacio. La asociación se llamará un sistema de coordenadas cartesiano del n-espacio, denominado~~~. El número n de coordenRdas dependerá. ele la situación de los puntos de un espacio determinado. Esto es, para asignarle una colección de números a un punto p , debernos identificar priweramente la situación del punto y e l espacio donde está contenido. Tal asociación debe ser dada de manera que a. cada punto en un espacio determinado le corresponde una única colección de números x 1 , · · · , Xn, y viceversa. Esto e:;, dada una n-nada de números, existe un punto único p en tal espacio co11 el cual está asociado .

EJEMPLO. Para un espacio unidimensional n = 1, se necesita apenas una coordenada,

Para un espacio bidimensional n

= 2, se necesitan dos coordenadas,

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Vectores en R 2 y R3

Para un espacio tridimensional n = 3, son necesarias tres coordenadas,

Para el espacio cuatridimensional n = 4, se necesitan cuatro coordenadas. 4

JR. :

<--> (X¡,X2 ,XJ , X_¡)

La figura 2.1 ilustra este ejemplo paran = l , 2, 3.

X¡

lfl

2 x2 ( -1 ,2)

IR2

.. (1,- 1,2)

. ... ··- 1

X¡

-1

X¡

.!;;..,.

Figura 2.1: Coordenadas en !Rtn para un entero positivo n pequeño. La localización de un punto p con sus coordenadas asociadas x 1 , · · · , X n en un espacio real IR" se hace mediante un sistema rectangular de ejes que tienen coincidencia en el punto común O, y que están graduados por unidades escogidas previamente.

EJ EMPLO. a. El punto ( -1, 2) describe de manera única a un punto en el plano R 2 . La manera de localizarlo se muestra en la figura 2.1. b. El punto (1, -1, 2) describe una posición en el espacio IR 3 . La figura 2.1

muestra la fo rma de localizarlo en el espacio. c. El punto (0, - 1, 1, 4, - 3) describe de forma única una posición en el espacio real de dimensión 5 (R 5 ) .

EJEMPLO. Al estudiar un gas ideal se toman las variables principales P = Presión, V = Volumen, T = Temperatura. <J De esta manera, cada estado del gas se representa por una tripleta

(P,V,T)

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2.1 S istem as de coorde n adas e n IR 2 y IR:1 que corre1;pondc a

1111

punto en IR:1.

EJ EMPLO. Para estudiar un sistema de t:IH'rpos puut.H;d\'s qiH' st· tlllll'H'll en el espado IR:1, es necesario determinar la posicic'm dl' los nll'rpos llll'diant t' un sistema de coordenada.-;. Así, si tenemos los cuerpos 111 1 , 111 2 • · · · . 111,.. a cada uno le corresponde una posicióu e11 IR:1 eh11 In. por

respectivamente, en t<tda instante del movimil'nt.o. La figura 2. 2 ilustra esta situa.cióu. m¡

Figura. 2.2: Cuerpos moviéndose

e11

el espacio tridillt<'llSi()llitl.

A continución, le damos una estructura a lgebr áica a IR" dl'fillit•Hdo dos operaciones: la suma. de puntos, y el prod11cto dt! 1111 uúuH'rc> n·nl (escalar) por un punto de IR". Dados dos puntos p = (x 1,x2 , ··· ,:e,.), r¡ = (y 1,y'J.,· ··.y,.), l'll el <·spacio IR", se define el punto p + q como aqué!l J>HHto <:011 coordcuadas

p+q= (X¡ +y¡, X2+!J2,··· ,:r,. +y,.)

EJEMPLO. En el plano IR 2 , si p p

= (- 1, 2). e¡ = (:3, 7)

<'ntou<·L's ('1 puuto

:::: ( - 1 + :3, 2

(2. !.J)

+ q E IR 2 es aquél que se obtiene mediautc 1J + q

= (-

1, 2)

+ (:3, 7)

+ 7) =

EJEMPLO. En el espacio IRa, si p == (- 1, -1, 2) ~· q == (n . que p

+q=

(r -

1, <l

+ J2,

.Ji.&). se t i<•m:

Dados, el punto p = (x 1 , :1: 2 , · · · , x,) en IR". y rl escalar nuevo punto >.p como aquél en IR" con las coonleuadHs

>.. se define el

>.p = (>.:r ¡ , . ... >..r,.)

Vectores en IR 2 y ¡¡fl

EJEMPLO. a. S<·<lll JI

= (-

l. 2. ~o ·1) <'11 IR4 y .A

= ;J, e11to11ccs

/\ji = 3( - 1,20 3 ,·1)

h. St'<l11 ¡1 = ( 1, - l. <i.

= (-

3, 6, 1, 12)

k. 8) <'11 IR~ .v .A = - 5 cutoncc::;, .Ap

= (-

50 G, -30 , - 1, -'10)

Las o¡H'nl!'ÍOJJ<'S ddi11idas d(' esta IHa.nera tie11cn propicdade:; heredad;,u; d\' bs propitodadl's d<· los nÍIIII<'ros rl'al('::;. Est.o ::;e observa cu el siguiente,

LEMA 2 .1 Si p 1 • 1''2· r¡ 1 , ru E IR" y .A, Jr. E IR se c·umplen las igualdades a.

(p 1 + /12) + r¡ 1 = P 1 + (p'l + lf 1)

b. Pt

+ lf t = (}1 + Pt

c. .A(p1 + r¡¡}

= A)J¡

+ .Aq¡

(.A +

fL)f! ¡ :::

A)J¡ +

JL)J ¡

= (O.··· , O) es el punto en IRn con coordenadas nulas. entonces, todo punto p E IR" se cumple q·ue

e. Si O ]}(LHl

p + O=p f. Si se toma .A

= -1.

entonces al d(!jinir por ( - 1)p

= - p.

se cumple

p + (- p) = O <J Son cMetilos directos realizado::; mediante la.s coordenadas.

Por ejemplo, para demostrar la propiedad b., si p 1 Y C/t (y¡ , Y2· · · · oY u). entonces

= (y¡ + rt . Y2 + x2,· · · , y,. +x,)

= (x 1, x 2, · · ·

= (y,,y2··· ,y,)+ (x , ,x2 , ···

,x,),

.xn)

= q¡ + Pt OERECI-I)S RESERVADOS O 2004, Uniwrsdad AtiÓnoma Metropolitana (México). Prohibida la reproctuoaón de esta obra así OOfi'CI &a distriluc:ión y venta fuera del.itnbilo de la UAM!D. E-libro Bibliomedia BibliomediaOfnail.oom

2.1 Sistemas de coordenadas en JR 2 y JR:1

La propiedad c. se demuestnt nwdia.ntP la cad<!Illt. <h· iguald;ult·s:

>.(p¡ +q¡) = >.[(:¡:¡, :e:¿,· · · ,:r,.) + (Yt·Y'2··· · , y,)]

= >.(:r, + 1/t, :1:2 + ?1'2· · · · , .r, + y,) = (>.(:r¡

+ 1/1), A(.l>¿ + ,IJ'J.), · · · , >.(:r" + !J" )) = (>.:c 1 + >.y 1 , >.:r:'2 + >.y'l., · · · , >..r" + >.y, ) = (>.:1: 1, >.x'l., · · · , >.:r:,) + (>.y 1 , A'!J'2 · · · , >.y,) = >.(:.1:¡' :J:¿, ... , :1:,) + >.(y¡ , :tf'J., .. ' 'y,) ::: AJI¡

L;L<;

+ /\1¡¡

otras prueha.'i so11 an1í.logas y se muitcu. 1>

Vamos ahora a dar una interpretaci6u gcout~tri<:a <'11 JR 2 <1<' las op<·mciones menciona<liL'>. Dados los puntos p = (x 1 , y 1 ), q = (:1:'2, :t/'1.) estos s<: ptwd<'ll lo<"<dizar el plauo IR'2 de la forma que se mcuciouó ;mt.erionncutc.

<'ll

La suma p + q se comporta como h stllll<\ de vecton•s ordi11arios (Ley del paralelogramo). Un vector es un objeto que tiene uua IHilgHitud , dir<'<:<:i<'lll y sc11t.ido. S\' les suele describir gráficamente por fledtas que ti<:lleH cxtr<:HJos cu puutos situMos en un espacio determinado. Para sumar dos vectores según la regla dd paralelogramo. se: fija11 <·u 1111 extremo común y :;e de:; liza paralelamente uno a través del otro lmst a el otro extremo, creando a.l realizar el de:;lizarnicnto del otro v(:ttor pamldanwut<'. UII paralelogramo. La suma de los me11cionados vectores es el vector diaguwtl del pawlelogramo que nace en el extremo común inicial (véase ht figura 2.:~). p+q

¡·

Figura 2.3: Geometría de las operaciones en JR" .

A cada punto p y q se les asocia un vector de posición (nace en el origen de coordenada.<; (0, O)) y a la suma p + r¡ se le asocia el vector

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V ectores en IR 2 y IR

n·suh mtt <' d<' sum;l d<• V<'<:torcs lltcdiante la rq!;la del paralelogra.mo (véase tigmn 2.:3).

D<• igual foruw. 1111 wctor <'11 IR 2 puede ser deformado sobre su dirección runndo S<' mHlt.iplira por 1111 escalar. Esto hace que varíen , su sentido o su HtngHit.ud. JH'W <'OIIS<·rv;wdo su <lirccció11. La g<'<>IIH't.ría <l<· In OJH'l'il(·iolles tllell<'iOJHI.das se puede generalizar a. IR". Est<, <'s. si JI = (.r 1 • ·~''2· · · · , .r, ) q = (y 1 , Y'2· · · · , Yn) entonces el punto JI t IJ

= (.r •. ·~''2· · · · ..r,) + (Yt · Y'2 · · · · . y,) =

(:1: 1

+ Y t . :1:2 + Y2· · · · , :Z:n +y,,)

JHH'd<· s<·r vist.o routo Pi vector resultante de la suma por la regla del 1><1 rni<·logmuto.

Por otro Indo. si S<' co11sidem d V<'ct.or de posición en el p11nto

JI= (.r . , ·~''2· . . . , :z:~~.) ('llt.Oll('('S AfJ

= A(.r •. :r2,· ··

.. r,)

= (A1' t ,A:I'2,· ·· ,A:r,)

t i<'lll' 1111 wct.or de posición que Pst;Í. C'll la mi::mm dirección que p, satisfa<·i('lldo

i. si O < A S<'lltido.

< l . <'tltonccs Ap <'s un encogimiento de p. pero tiene el mismo

< A. <'Ht.onccs AJI es un rstimmie11to de p en d mismo sentido. iii. si A < O. <'s A]) un vector en se11tido inverso de p. ii. si l

Por lo ;mt.crior. a los puntos nsociados con vectores de posición les llalll<llllOS también vectores . Así, al conjunto

provisto de la suma de puntos p + q y el producto de un punto por un escalar Ap le ll<unaremos el espacio vectorial real de dimensión n. Consecuentemente, a los puntos de IR" les llamaremos también v ectores.

NOTACIÓN. En adelante se definen a los puntos de un espacio real específico por las letras p.q, ... poniendo subíndices en sus coordenadas. Para ejemplos P (Pt·P2· · · · ,pn)

2.1 Sistem as d e coordenadas en R 2 y R 3

q = (q1 ' Q2 ' · · · , Qn)

Por otro lado, cuando se trate de especificar un punto como un vector adoptaremos la notacion por letras del tipo é,,(, ,r¡, .. .

poniendo superíndices en sus coordenadas. Para ejemplos ~=

(e.e,.. ..e)

(, = ((1 , (2 , . ..

,(")

La ventaja de reconocer a un punto de un vector mediante la notación se observa en lru:; aplicaciones. Por ejemplo, al momento de estudiar a un vector que actúa en un punto se hace tal distinción. Esto se concreta a continuación. Dado un punto p E R 2 arbitrario y otro q (móvil), se define un vector localizado é, o ele posición, como el vector que nace en el punto p y tie11e extremo final en el punto q. q

o Figura 2.4: Vector localizado en un punto. <1

Por la regla del paralelogramo se tiene de la figura 2.4, que

é,+p = q de donde

é,=q - p que nos indica que, el vector localizado f. está definido por la diferencia q- p

Este concepto de vector localizado se puede generalizar para p, q, ( E R", sin ninguna dificultad.

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Vectores e n !R2 y JR3

E J EMPL O. Dados p = (1 , 2, -1) y q = ( -3 . .5 . O) en el espacio tridimensionaL el vector localizado E que comienza en p y tiene extremo en q se calcula por <J

E=q - p=( - 3.5.0)-( 1,2.- l )=(-4,3, 1)

Por otro lado. dados un punto p E IR" y ~ un vector localizado, con un extremo inicial en p, se puede conseguir siempre un punto q tal que E= e¡ - p. Obs~r vamos que dos vec:Lores de posición ~· r¡, E Rn son p a r alelos si son proporcionales (est án <' 11 la misma dirección), es decir, si son múltiplos por un escalar ,\, es decir, E = -\r¡. Por lo tanto, se tiene que dos vectores localizados son paralelos si son proporcionales entre sí.

2. 2

E l producto escalar y la no rm a en IR3

Ahora damos un repaso a los elementos necesarios para poder definir a los ohjeLos geométricos o físicos que pueden ser descritos por subconj untos del plano o del espacio. Estos elementos son ya conocidos seguramente por el lector en los cursos básicos de geometría analít ica, pero se repasan para no olvidarlos. De lo:; cursos básicos de geomet ría analítica, se sabe de la posibilidad de hacer mediciones de distancias entre dos puntos que están contenidos en R3 . provisto de un sistema coordenado cartesiano. Dados los pu ntos p = (X¡,y¡.Z¡) y q = (x2.Y2,Z2), si definimos por distancia entre ellos, ésta se calcula por la fórmula

ela

Al espacio IR 3 con la longitud entre dos puntos defi nida de esta forma, le llamaremos el espacio E u clidiano !R3 . Observamos que en el caso q = (0, O, O) se tiene que

que es la distancia al cuadrado de p al origen. De esta manera, si p == (xo , yo , zo) es un punto arbitrario de !R3 , entonces :-; t¡ distancia del origen, tambien llamada su n orm a, se calcula por la expresión

IIPII =

+ Yti + Z(i

2.2 El producto escalar y la nor ma e n IR 3

Una manera de inducir una long itud (norma) en IR 3 es a t ravés de la clelinicióu de un producto escalar. Esto está motivado d e la relación p ara p = (x, y, z),

IIPII 2 = (x )2 + (y)2 +

(z)2

= (x)(x) + (y)(y) + (z)(z)

que pued e defini rse por (x)(:r)

+ (y)(y) + (z)(z) = < (:r , y,z) , (x,y,z) >= < p,p >

donde < p, p > se define por la primer expresión en la cadena de iguald ades. Aquí hacemos la p rimer d istinción entre los p unt os y los vectores. 1\ilás q ue defi nir la operación <. > pa ra puntos, es más conveniente d efinirla para vectores, con motivo de las a p licrtciones.

e,e).

DEFINICIÓN . Dad o::> los vectorc::> ~ = (~ 1 , r¡ = ( ry 1 , 172 , r¡3 ) en el espacio car tesiano R 3 , se d efi ne el producto escalar de ellos, definido por < ( r¡ >,como el número real (escalar) n

< ~ . .,

>=¿e7/ =~~ "] + e1)2 + er¡3. i=l

Observemos que el producto escalar es una operación ejercida sobre una pa reja d e vectores y su va lor es un número real. EJEMPLO. Si ~ 1 == (- 1,0. 3) y ~2 == (~ . /2,4) en IR3 , se tiene que su p roducto escalar es

< ~~.~2 >= < (- 1,0, 3),

(~ · /2,4) -1 =2

>= (- 1) (~) + 0(/2) + (3)(4) 23 2

+ 12 = -

EJEMPLO . Dados los vectores ~ 1 = (4, - 1) y ~2 producto escalar en el plano, está dado por

= ( 1,4) se tiene que su

< ~ 1 . ~2 >=< (4, - 1). (1. 4) >= (4)(1) + (- 1)(4) = 4 -

El producto escalar defin irá una norma en virtud del siguiente Lema. 1 E n algunoo texto~ clásicos la notación util izada para el product.o escalar 1'-S mediante un pu nto • . co mo se inciten

<e '1 >= ( .

q ue huce que t amhié n se le llame producto punto. Nosotros ut ilizaremos en est e trabaj o la notació n <, > para efect uar las operaciones q ue lo req uieran.

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Vectores en ~ 2 y ~ 3

LEMA 2.2 Dados los vectores é, r¡, ~ 1 , ~2 en el espacio Cartesiano iR3 , y los números reales A1 • Az son fustas las fórm'ulas a. <

~ . r¡

>=<

1], ~

b. <A¡~¡+Az~2,7J> = A¡ <~¡,7J>+Az<~z , TJ>

c. <

~. ~

> ~ O para todo

E, . De hecho, <E,, ~ >== O st y sólo si, ~=O.

a. Ya que~ = (~ 1 , ~ 2 , ~ 3 ) , r¡ = (r¡ 1 , r¡ 2 . r¡ 3 ), entonces

<E, r¡ >=<

ce' e, t,3). (r¡

TJ ' r¡

e e e =< (TJ 2

= TJ 1

+r1

+r¡

r¡,~

)

1 2 > = er¡ + er¡ + er/

,'7 , TJ

), (e,e.e) >

6 = (~f,~~~~1),E.z = (~~~E.i.~1), entonces

b . Si

< A¡E,¡ + A26.r¡ >=< A ¡ (f.},E,~,a) +Az(E.i.~~,E,~),(r/,r1 2 ,r¡3 ) > =<

3123

(A ¡ ~ 1 ,A¡~ 1 ,A¡~ 1 )+{AzE, 2 ,AzE, 2 ,A2~2 ).(r¡ ,r¡

, r¡) >

=<(A¡~~ +A2~i , At~?+Azd,A t d+A2d),(r¡ 1 .r¡ 2 ,r/) > = (A ¡f. i + Az~~)TJ 1 + (A t ~i + Az~~)17 2 + (A¡~i + A2d)r¡3

= At (~~ '7 1 + t.?r¡2 + f.?r¡J) + A2 (E.i'71 + dr¡2 + E,~r¡3) ==A¡ < (~ i .E.?,E.i),(·r¡I,r¡2, .r¡3) > +Az < (~i~~~.~g),(r¡ t ,r¡2 , r¡3) > =

A¡ < ~~, r¡ > +Az < 6, r¡ >

c. Por un cálculo directo,

< ~~~ >=< c~~ . e.t.3),(t.I.e,e) >= ce)2 + ce)2 + ((1)2 ~o De hecho, (~ 1 ) 2 + (t,2) 2 + (~ 3 ) 2 == O<====? E, 1

=e =~

==O.

Sea ~ E ~ , y considérese el conjunto de vectores en iR 3

= (1.0,0)

= (O, l, O) e3 = (0, O, l )

,e,e)

Si ~ = (~ 1 e:s un vector arbitrario, al calcular el producto escalar de ~ con cada uno de estos vectores se tiene que <J

2.2 El producto escalar y la norma en R 3 < ~·e2 > = <(e .e . ~ 3 ) , (0, 1, 0)

>= e

< ~ ¡ ,e3 >=e t>!;

decir. obtenemos las coordenadas de En general. si ~

~. C>

= (~ 1 • e. ···~n) es un vector en Rn, y e; = (0, O, .. · , l. O, O) ...._.,_..,

lo definirnos por

al vector con 1 en la i-ésima coordenada y con las demás coordenadas nulas, se ol>tiene que <~. e¡> =

lo que nos da la i-ésima coordenada de

De esta forma~ en R se puede escribir como 3

es decir.

= e e¡ + ee2 + e e3

donde los vectores e.; son como se definieron.

EJ EMPLOS. a. El vector ~ 1

= (-l...!. - 2)

se puede escribir en términos de los vectores

e ¡. e2 , e3 como.

f¡

= (-

1,4, - 2)

= (-1. 0, 0) + (0,4,0) + (0,0, - 2)

= -1(1. O. O)+ 4(0, l. O) - 2(0, O, l ) =- l e¡ + 4e2 - 2e 3 b. El vector fz == (2, O. 3) se escribe corno

Los vectores e 1 . e 2 • e3 definidos de esta forma son llamados vectores canónicos y satisfacen: a. En producto escalar de un vector canónico consigo mismo es la, unidad,

b. El producto escalar entre dos de ellos diferentes es cero,

< e 1.e2 >=< (1.0. 0).(0. LO)> = O.< e¡ . e3 >=

O. <

e2 , e3 >=O

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Vectores en IR2 y IR:.I

El conjunto de vecwres {e¡, e2 . e3} se dice ser la base canónica de IR3 . Dos vectores ~. r¡ tales que < C r¡ >== O se llamarán ortogonales. Más adelante explicaremos el por qué de esta definición.

E J EMPLO. a. Los vectores

= (-1, 1, 2) y r¡ = (2, 2, O)

<~, r¡ > == < ( - 1, 1,2), (2,2, 0)

b . Los vectores q ue

= (l , - 1, 3) y

son ortogonales debido a que

>= -2 +2+0 == 0.

r¡ == (1, -1, 1) no son ortogonales debido a

< ~. r¡ > = < (1, - L 3). ( 1, - 1, 1) > = 1 + 1 + 3 = 5 :/= O

c. Si ~ = (~ 1 . es un vector plano (en IR2 ), es fácil construir un vector ortogonal a ~ , si se cambia el orden ele las coordenadas y el signo de una ele el\ as: IJ <l

= (- e, e)· < ~.1] >=< (e.( 2 ) ,

Para muestra.

s i~

<-e,e) >= -e e +e~~= o.

= (1, 2), entonces 17 =

( - 2, 1) es ortogonal a~· 1>

En virtud del Lema 2.3 se pueden definir los conceptos de distancia entre dos puntos, norma del vector, y ángulo entre dos vectores.

DEFINICIÓN. Definimos la norma del vector ( por

1 1~ 11 .

= (( 1.e,e), conocida

como

EJEMPLO . Dados los vectores ~ 1 culan sus normas por

= (-1. 0, 3) y

= (~ , J2,4) , se cal-

No es difícil comprobar que se cumplen las siguientes propiedades de la norma .

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2.2 El producto escala r y la norma e n IR 3

LEMA 2.3 Para los vectores~. r¡

!R3 y los escalares fJ. , .X E IR se cumple

qtLC

a . 1 1 -X~ / 1

= 1-XIII{II

Si<~, r¡ > = O entonces 11~ + r¡ ll = 11~ - rJII . En tal caso, los vectores~ y '1 se llamarán ortogonales o p erpe ndicula res. c. St { y 1J son perpendiculares, entonces es justo El t eore ma d e Pitágoras (véase la figura 2.5 a.)

d. Se cumple la igualdad de Schwar·z

1< { , TJ > 1S II{IIIIIJII e. Se c1Lmple la d esigua lda d t r iangu lar 1 1~

+ r¡ ll $ 11{11 + llrJ JI

y la tgualdad es válida si { y r¡ son múltiplos por· escalares (véase la figura 2.5 b.}.

11~+'1 11

11~11

Figura 2.5: a. Teorema de Pitágoras b. Desigualdad del Triángulo. <J

Demostramos algunos incisos de este Lema.

11{ + TJI! 2 = < { + 1).~ + r¡ >=< {.~ > +2 < {,IJ > + <

r¡ , T) >

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Vectores e n IR 2 y JR:5

78 =< ~.~ >

17.1]

>=< {.~ > - 2 <~,r¡ >

=< ( -

17, ( - 17

1]. '17

>== 11( - 7711

c. Ya !>e comprobó en b. con las primeras tres igualdades, bajo el supnesto que< ~ , 17 > =O. d. Se deja como ejercicio. e. Por el inci!>O d. , aplicado en la segunda desigualdad siguiente

1 1~ + r¡ll2 = < ~ ~ ~ >

+2 <e r¡ > + <

1], ., ,

>= 1 1~11

+ 2 < ~. 17 > +11,7112

::; 11( 112 + 21< ~ . 17 > 1+ 11'711 2 S 1 1~11 2 + 21 1~ 111 1·'711 + ll11ll2 = (11~1 1 + llr¡ll) 2 se cumple que lo que implica nuestra afirmación.

EJEMPLO. Sean los vectore!> ~ = (- l , l ,O), ·q = (2,2,1). Entonce!> son perpendiculares pues < ~. r¡ > = O y se verifica que 1 1 ~ - r¡ll

1 1~

= 11(-3 , -1, - 1)112 = 9 + l + l =

+ '7112 = 11(1, 3, 1)112 == 1+ 9 + 1 =

es decir, se cumple el inciso a. del Lema 2.4,

1 1~ + 7711 = 11~ Por ot ro lado, ! 1 ~11 2 teorema de Pitágoras,

= 2, 11'7112

EJEMPLO. Sean los vectore!> <J

11~1 1

= 9, lo que verifica que se cumple El

= (-

1 1~ + 1JII =

r¡ll = /li

1, l. 1) y

(2. - 2, 1). entonces

II(L - 1, 2)11= J6

= Ji 11'711= J9

lo que indica que se cumple la desigualdad del triángulo para estos vectores,

1!( + r1ll = J6:::: J9:::: J9 + J3 = IIIJII + 11(11

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2.2 El producto escalar y la norma en IR 3

Un vector ~ E !R:l tal que 11~ 1 1 = 1 se llamará vector unitario. Así pues, dado el vector '7 E !R:J que no sea nulo, se garantiza la const.rucción del vector unitario 1]

( = iGIT lo cual se verifica directamente,

EJEMPLO. Par<.'l el vect.or r¡ = (1 , 4, -3) ::;e tiene que que se construye el vector UIJitario

E.=

(1, 4, - 3)

J26

( =

ll17ll = -/26, con

- 3)

J26 ' J26' J26 .

Ahora pasamos a definir la distancia entre los puntos arbitrarios del espacio, como la norma del vector localizado ent re ellos. Sean dados dos puntos p = (x ¡, y 1 , z 1 ), q = (x2,y2 , z2) en el espacio cartesiano , se define la distancia entre los puntos mencionados, como la norma del vector E. = p- q , es decir,

P2 = IIE.I I2 = < P- q, P - q >

= < (x¡ -

Xz. Y1 - yz, z, - zz), (x , - x2 , Yl - yz ,

= (x¡

- .rz) +(y¡- Yz) + (z¡- zz)

Z¡ -

zz) >

EJ EMPL O. Sean los puntos p = (1 , 2,3) y q = (- 2,-1,0) entonces la clist.ancia entre los puntos p y q se calcula por la norma del vector E. = p-

= (3. 3, 3).

de donde,

Sean ahora dos vectores. E. vector unitario y r¡ un vector arbitrario. Buscamos un vector ( en la dirección de~ tal que sea la proyección ortogonal de 17 en E., es decir. el vector 17- ( sea on.ogonal al vector E. como lo muestra la figura 2.6. <J

1¡-

Ya que rJ - ( se busca ortogonal a (, se deberá satisfacer que

( . E.>=

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Vectores en .IR 2 y .IRa

Por otro lado, ~¡ ( está en la d irección de é,, entonces es suficiente con e ncontra.r un escala r ).. tal que ( == )..~.

Al s ust ituir e n la ecuación de ortogonalidad se tiene que o =< r¡- (,~ > = < r¡ -

.>..f., f.

> == < r¡,f, >

= < TJ.é, > -.>..II~W

- .>. < Cé, >

==<ry.f. > - .>.

en virt ud de que é, es unitario y por lo tanto

11 ~1

= l.

Esto implica que )..- < r¡.f. >=<E,, ., ,>, y que entonces

> f.

( == < é,' T)

Así, dado::; los vectores f. unitario y r¡ arbitrario, podemos definir la proyección ortogonal d el vector ·r¡ en el vector unitario f. como el vector

que es un vector que está en la m isma dirección que~ (véa.-;e la figura 2.6) . \

\ fl-~ \ \

....

..,"".,..

o Figura 2.6: Proyección de un vector.

EJEMPLO. Realizamos la proyección d el vector ·r¡ = ( -1 ,1, 1) en el vector (==(2,- 1, 5). <3 Ya que

f. no es unitario, lo normalizamos mediante la división por su

norma

é,

Tiill =

(2, - 1,5)

J30

( 2 ==

-1

5 )

J30. J30 , J30

De e::;ta manera. el vector busca do es

( :: ( 11¿11'·r¡)

= 301

(

11 ~ 1 = 11~~1 2 < é,, 2 (

< (2. -1.5), (- 1, 1, 1) > (2, - 1,5) :::: 30(2 , - 1,5)

( 2 -1 1) 15'15 '3

El cálculo en este ejemplo prueba el siguiente corolario.

2.2 E l producto escalar y la norma en IR3

COROLARIO 2.1 La proyección del vecto·rry arbitrario en el vector no nulo (, llamado (, se calcula por la fórmula

En mucha~ ocasione~. cuando no haya confusión, vector ( obtenido, sino al escalar (factor de O

entenderemo~

no al

como la proyección mencionada. De la figura 2.6 se tiene que si ~. r¡ son vectores arbitrarios y ( es la proyección de ·r¡ en ~ entonces al considerar el ángulo () entre lo~ vectores ~ y 17 se tiene que

11<11 \osO = 111711 Si se sustituye el valor de ( =

\Mf? ~ se tiene entonces que

l <~, ·ry>l

11'171111~11 2 l l~ ll

cose=

<(1}>

II?JI I II~I I

cuando consideremos a() E [0, 1r]. Esto demuestra el siguiente Lema. LEMA 2.4 Si ~ = (~ 1 ,

e,e), r¡ =

(?J 1 , ·ry 2 , r¡ 3 ) son dos vectores en lR 3 ,

formando un ángulo () entre ellos, se define éste angulo por la igualdad

cos () =

< (' ·r¡ >

J< donde O :S fJ S

e 7] >< 7], 1} >

- < ~, 1} > - l l~llllr¡ll '

1T.

En otras palabras el producto escalar de los vectores ~ y r¡ se puede escr·ibir· corno

e r¡ >= l l ~l lllr¡ll cos B.

EJEMPLO. Si los vectores~ y r¡ cumplen que < (, r¡ > = O, sabiendo que ambos son no nulos, entonces l l ~lll l r¡l\ cose==

lo que implica que cos () == O, y consecuentemente () == 1r /2. Esto justifica su nombre de vectores ortogonales.

Vectores en ~2 y ~ 3

82 EJEMPLO. Sean los

vec tores~ =

(2, - 1, l ) y 17

= (3 , - 4, - 4), entonces

< e '7 >= 6 + 4 - 1 = 6 y las normas son 1 1~1 1 = J6 y llrJII = J4l <J Por lo tanto, el ángulo formado por

e= arccosx, ( <ll~~,l l \l1]r¡ll>) =

~ y

r¡ es

arc cosJ6J4T = arc cosy 41 .

Como última observación de esta sección tenemos que de las relaciones

< ~' T) >

cosO = l l~l ll l ll ,

l cosBI :S 1

podemos decir que

1<1 11~11 111711 I<C17> lo q ue nos lleva a. verificar la desigualdad de Schwarz 1

< ~. 17 > 1 :S

ll~l l ll ·r¡ ll

enunciada en el inciso d. del Lema 2.3.

2.3

El producto vectorial

Definimos ahora el producto ve ctorial en el espa.cio IR 3 .

DEFINICIÓN. Sean~ =

(e.e.e),17 = (r¡

Se define el producto vectorial de vector en IR 3 con coordenadas

dos vectores en IR 3 . con rJ defini do por [~, r¡J, como el 1 , r¡ 2 ,r¡3 )

en la base canónica ordenada {e 1,ez,e3} .2 Una forma de recordar las coordenadas del vector [~ . r¡] es a través de la siguiente cadena convencional de igualdades

2 En algunos textos uti li zan ot ra notación para aseg urar la operación del producto vectorial, por ejemplo: x y /\. Para ejemplificar

[C r¡J = ~ Nosotros uti lizaremos la notac ión d neto vectorial.

X ·r¡ = ~ 1\.,., 1, ] dond e se requ iera efectuar la operación del pro·

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2.3 El producto vectorial

( ' ;¡

C:!

e., .,,:¡e

::::

,,t w

donde el determinante último ~e calcula wediaut.c la cxpn·silín JH'Hú ltill HI.

EJEMPLO.

[~,,,]

Dndo~

e1 1

e2 -1

-2

los vectores ~ e:¡ 1

= (1, -

1, 1) .V '1

= (- 2. :~ . 1) Sl! t.il'lll' <¡Hl'

- 1 =

- 1

obtctH'IIto.-;

f!. ¡

=e¡ ( -4)- e2(3)

+ C:¡(l) = ( -

EJEMPLO. Para los vectores

(1, 1, :3), '/

1, - :3, 1)

= (2, 2, ())

vector

[C r¡J =

e¡ 1 2

e:J

3 21 (j

:::: (!¡

1 - (~'!.

= e 1 (0) -

e2(0)

+ (::1(0)

112 {¡:31 +

(:;¡

= (0, 0,0)

En este últ imo ejemplo no es cxtraito tener el res ultado vector (0. O. 0). debido a que los vectore~ ~ y '1 dados son p a ralelos, es decir, ~ es 1111 múltiplo e~calar de r¡, de hecho, ~ =

1'7·

De manera general, dado!; dos vectores paralelos E. y '1· su producto vectorial es nulo. <1

[~ . '7]

= .>.:r¡ para algún >. E IR, entouccs,

::: [>.r¡, r¡]

= >.[·r¡, r¡] =

e¡

r¡l

r¡2

'71

,,2

e:1 r,:"

== >.(O, O, O) == (0, O, 0).

., .'$

La recíproca de e~ta afirmación, que toda pareja de vectore!:i cu~'O producto vectorial se anula es una pareja d e vectores paralelos, es tmubiéu cierta y e~ con~ecuencia del inciso f. d el Lema 2.!). Observamo~ que el producto vectorial [, J está defiuido en parejas de vectores en IR:.¡ y su valor es otro vector en JR:1 .

\Iostrarnos ahora las propiedades del producto vectorial [, ] de dos vectores espaciales.

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Vectores e n !R2 y IR:1

LEMA 2.5 t it'l/1'

;¡

é,. 1¡ , ( 1:11 IR y lo8 cscalaTe,<; >. , ¡t E IR .se

DILdos los ·tu:cto·r cs

~~·'1]

t·s orfoyonala~yl¡:

< [~ , IJ] . ~ > == O

< [( , r¡] ,r¡> = O

h. ~~·'1 ] =

-[11.<].

(anticonmltlatividad)

c. [/\~.11]

= [~ . A1¡] = A [~·'l]

d. [~. A11

+ Jt(]

(comn:u.l.at.ivúlad 1'espt!cto a escalar).

= A[(. 11] + ¡t[~. ( ]

(dist1·ibnt'ividad)

ll[t:.!J] If = 11~11 11 '11 1- (< CIJ > )2 f.

ll[(.t¡]l l =

l l ~ l lll'lll sl'nfl.

dondt! fJ r.~ d cíngulo ent1·e (y '1

g. [(. [1¡. (]] + [(. [~. 'IJl + [1¡. [(. ~]] = O {J!Jualdad de .Jacobi) Hii<TJHos lils pru<'lnl.s a¡wwts de a lgunos incisos de este Lema. a . S i ~ = (e,(-1.(1). IJ = (1¡ 1.1¡'2.1/1) entOJH' ('S <J

Si l'sl·ogL'lllos. por ejemplo a

[~.!/].(

= ~~~

>= ~ ~(e ,,:l ,,=,-

t:. oht.en<'mos

(3,¡2) - e(e,,J -

+ (l(er¡2 - er¡l)

(ll¡l)

ee,/ - ee,,J +ee,'+ ee,, ee,,' =o 2

b . Por la propiedad de cambiar el signo a un determinante, si se permut.an dos renglones se t iene e,

¡c,,J =

('·2

e;¡

er¡l er¡'2 er¡:l

e;¡

,,2 ,,J

e e

d . El corolario 1.7 prueba la dbtribución mediante la cadena. de igualdades: e2

~~, ..\1]

e;¡

+ ¡.t(] = >.r¡2

+ J.l(2

(J >.r¡3

+ J.l(3

2.3 El producto vectorial C1

=>-

e.2

e.,

85 (' 1 (1 (1

f.:¡

,,1 'r r/l

+JI.

(~ '2

( ~:!

e(2 " e e :!

= A[( , I/] + ¡1.[(.(]

Los demás incisos se comprnc\mu de umucra silllilar. C> De la propiedad f. del Lcnm 2.5, s<~ t i<!llP que si dos wC'I.or!'s 110 uulos ( r¡ satisfacen que su producto vcct,orial < ~S el V<~<:tor ('!'1'0, <'llt.olw<'S

o::: 11(0,0 , 0) 11 =

lilE.,,¡¡¡ = IIEIIIIIJII S!'llH.

lo que implicaría que el IÍ.ngulo H formado por ellos satisface qu< ~ S<'ll O =-= O o hién O = 1r. Esto es, los vectores son paralelos. Por <~sto <'s <pw pod<' IHos definir a un ¡mr de vectores como paralelos, si sil product.o vt·ct.o rial s<· anula.

EJEMPLO. Sean los vectores ( = (1, -1 , 2) y 1/ = (0 , 1, :3). cntotu:<'s. por el inciso a . del Lema 2.5 el vector !E, r¡J es ortogoual tauto a f. c·ou 1o a r¡. Esto es,

(

= !f., r¡J =

e¡

e:3

- 1

2 3

=(-3-2)r: 1 -(:3)r::¿+ (l)c:1 ::;;(-G. - :3.1)

es ortogonal a f. y a ·q. C> Si se cow;ideran dos vectores arbitrarios f., .,, e u !R:1 , <·stos ~CH<'rnn paralelogramo R corno lo muestra la figura 2.7

1111

Figura 2.7: Área de un paralelognuno. Tal paralclol,rramo R tiene una base llf.ll y a ltura. 11,711sen fJ, donde fJ es e l ángulo entre f. y rJ. De esta manera, el área del paralelogramo es calculado por Área (R) = (base x altura) = llf. ll ll 'ill senO con lo qnc tal área se calcula según el inciso f. del Lema 2.5 mediante las igualdades Área (R) = llf.l ll lrJIIsenY = IHC'7] 11

Vectores en IR 2 y IR;_¡

EJEMPLO. Cakular l'l ;ín·a dd para.lclogmmo generado por lo::; = (7. 1:\. !)} ~· ,, = ( - 3. 5, 2}. <1 PriHH'nl llH'llt<• <·akulautos <'1 vector [f, ,,¡,

vcctore~

[E..,,¡ =

("¡ 7

1':! 1:\

( ';¡

-3

= 1' ¡ ( -2!))- 1':!(11)

\' d<'spu(·s d

<ÍITH

+ 1':¡(59)

= ( -29, - '11 , 59).

dd pmaklognnno

An·a = ll[c..,,JII =

J( -29}".! + (-llF + {59) 2 = J6oo:3

Figura 2.8: :\!omento de acción de

en 17

Por ot.ro lado. d product.o vectorial puede ::;er con:siclerado mccánicamcutc como el momc11to de acció11 dt•l vector f. en el p1111to p que t ie11e asocimlo l'l V<'Ctor de posició11 1¡ (véase la figura 2.8) .

2.4

El triple producto escalar y bases de JR 3

Ahora. defiuimos el producto mixto o triple producto escalar de tres V<'Ctores orde11ados.

DEFINICIÓN. Dados Jos vectores f.. '1· ( en IR;_¡ se define el producto mixto o triple produc to escalar de ellos al número re()! definido por (~ . r¡,() y en ese orden, como (~ . IJ, () Obtenemo~

=< [f.. r¡J, ( >

el siguiente resultado, tít il para problemas prácticos.

2.4 El triple producto escalar y bases de JR 3 LEMA 2.6 Dados los vectores espaciales ~ = y ( = (( 1 , ( 2 , ( 3 ) se tiene a. El producto mixto de

~, 1J

(e, e,e), 1J

= ( ry 1 , r¡ 2 , ry 3 )

y ( en coordenadas se calcula por

b. El producto mixto no cambia si se hacen las permutaciones circulares, es decir, ((,ry, () = (( , ~,1]) = (1J,(,0

c. El producto mixto es anticonmutativo al transponer dos vectores, por ejemplo, (~,1],() == - (ry,~,(). d. (~, 1], () == O si y sólo sí, los tr-es vectores están contenidos en 1tn mismo plano.

e. El volumen V del paralelepípedo tendido sobre { , 1J y ( se calcula por V = l (~,ry,()l. <J

Ya que ((,ry,() ==< !{,ryJ, ( >,entonces,

e e e 1]3 1+ e3l 1]1 ~~ 1· ((1,(2,(3)) e e 2 e 3 e1]! e1]2 = <11 1]2 1]3 1- < 1 1]1 1]3

= ( e1 1 ~~

1- e2l 1]1

1+ < 1

e e e 1]1 1]2 1]3

e 1]2e e 1]3

1]1 (1

lo que demuestra el punto a. Los puntos b. y c. tienen pruebas análogas utilizando las propiedades de los determinantes.

Vectores en JR 2 y aa

[~,11]

/Ir-------~;;'

r // ~/

.. - -

1 1

- - ¡- - - - - - - ,/ 1 1

1 1

- - -- --,---) //

1 / 1 / /

o Figura 2.9: Volumen del paralelepípedo. Para demostrar el punto d. , ele la figura 2.9 se tiene que el paralelepípedo tiene una base con área 1 1 [~. ryJII y alt ura igual a la proyección de ( en [~ , ryJ cuya longitud es el valor absoluto

< [~. ryj, ( > 1 1

111~ . r¡JII

Por lo tanto, el volumen del paralelepípedo será Volumen=área de la base x altura=

11[<.

ryjll

f~2~Jil > 1

= 1< [(,ryj,( > 1= l((,r¡,()l que prueba la afirmación. El inciso e. se sigue inmediatamente del inciso d.

EJEMPLO . Sean los vectores ( (1, 1, 0). 1} = (0, -2, 3), ( Entonces. f'l t riple producto escalar de ellos se calcula 1

((,r¡,() =

o -2 3 1

1 = ( -5) - ( - 3)

+o =

-2

= (1, l. 1).

2.4 E l triple p roducto escalar y bases de JR 3

lo que era de esperarse pues~ ' 7J y ( son coplanares. De hecho se observa di rectamente que ( = 4~ + 217. EJEI\1PLO. El volumen del paralelepípedo generado por los vectores ( = (2, - 1.1), r¡ = (1, 2, 3) y ( = (1.1 , - 2) es V= I (~.7J, O I =

2 1

- 1 2

3 -2

= l- 301 =30

Consideremos ahora los vectores ~ 1 , .;2 . (l en JR 3 satisfaciendo que su triple producto escalar no se anula

Entonces. por el Lema 2.6 se tiene que no son coplanares, es decir, ninguno de ellos depende de los otros. Esto se observa del hecho de que si alguno de ellos fuera combin ación lin ea l de los ot ros, por ejemplo

entonces su triple producto escalar sería, mediante determinantes ~\ (.; ¡,6,~3)

= 6 ~:3

.;\ = .;2

~¡

.\(¡

.;2

= ,.\

J.l~2

.;1

.;¡

+ J..L .;2

lo que no puede ser. D E F INICIÓN. El conjunto de vectores {.; 1 , .;2 , .;3 } e JR 3 se dice ser linealmente inde p endie nt e si su t riple producto escl\lar no se anula, es decir, EJEMP LO. Sean los vectores canónicos {e 1,e2,e3} e JR 3. <J

t:s claro que e¡ (e¡ ,e2,e3)

e2 e3

o o

o l o =1 oo 1

lo que los hace linealmente independientes.

Vectores en JR 2 y R3

EJEMPLO. Sea el conjunto de vectores

{ <l

~ 1 : (1, 1, 0), ~2- (0, 1, 1), ~:J = (1, l ' l )

Su triple producto escalar se calcula por (~ ¡ ,6,6)

(2 (3

o 1

l 1 1

o 1 1

=11 i 1-1 1

1 1

lo que nos dice que son linealmente independientes. C>

EJEMPLO. Sea ahora el conjunto de vectores

{ <l

(¡

= (1, 1, 0),

= (0, 1, 1) ,

= (2, 5, 3)

El triple producto escalar entre ellos es

lo que hace de ellos un conjunto linealmente dependiente. Esto es, existen escalares ¡;,,A tal que, por ejemplo, ~3 = A~ ¡ + ¡;,~2

= _A.(L 1, 0) + ¡;,(0, 1, 1)

es decir,

(2, 5, 3) = (_A., A, O)+ (0, ¡;,, ¡;,) = (_A., ,X. +¡;,,¡;,) o bien ,

lo que implica que A = 2, ¡;, = 3. Por lo tanto, una depende ncia lineal entre ellos se da mediante la igualdad

2.4 El triple producto escala r y b ases d e IR 3 EJEMPLO. Sea el conjunto { ~ 1 (l. 2), 6 = (1/2, 1)} 1 1/ 2

IR 2 , entonces

1=1-1 = 0

lo que hace de estos vectores u n conjunto linealmente dependiente en el plano IR 2 . De hecho~ ~ = 2(2.

EJEM PLO. El conjunto de vectores { ~ 1 mente independiente en IR 2 pues 1

- 2 2l

= (1, 2), 6 = (-2 , 1)} es lineal-

= l + 4 = 5 f:. o.

En general, un conjunto de n-vectores en IR" {~¡. 6

, . .. ~"}

sc llaman) linealmente indep endiente si el determinante de la matriz formada por tales vectores no se anula, es decir, ~~

S€'a tlll conj unto {~ 1 . ~ 2 • 6} de vectores linealmente independientes en !R:1. Ya que no todos pertenecen a un mismo plano, al considerar cualquier \·cctor c:spacial IJ. la.s proyecciones paralelas de r¡ en cua lquiera ele los vectores nos provee de escalares )q, Az . ..\:3 E IR tales que el vector TJ es una combinación lineal de ~ 1 . ~2· 6 mediante la igua ldad

como lo muestra la figura 2.10.

Esto es. el conjunto de vectores {~ 1 .~2 , ~3} genera al espac·io IR 3 mediante combina.cwnes lineales. D EFIN ICIÓN. El conjunto de vectores {~ 1 ,6 . ~ 3 } e IR 3 se llamará una b ase para lR:1, si todos los vectores son linealmente independientes y generan al espacio !R 3 mediante combinaciones lineales. Resumimos la discusión anterior en el siguiente resultado.

Vectores en [R'2 y

[R3

Figura 2.10: Proyección paralela de '1·

TEOREMA 2.1 Un conjunto de vectoTes {( 1 , 6 , · ·· ( k} e IR" es una bnse IR'~ .

de vectores pam

sí y sólo sí, k = n y el detenninante

¡: o EJEMPLO. Los vectores canónicos espaciales

{e¡ = (1,0. 0), e2 = (0, 1,0), e3 = (0 , 0. 1) } son una base de R 3 , llamada la base canónica. Cualquier vector r¡ = (r¡ 1,T]2·1JJ) E 1R3 se escribe

EJEMPLO. El conj unto de vectores {~¡

:::; (1, l. O).

= (0 .1 , 1) .

= (1 , 1. 1) }

es una base de vectores pa ra IR 3 <J

De hecho, si r¡ E R 3 • se t iene que exis ten escala res ,\ 1 . ..\2 , ..\:¡ tales que

(r¡ , r( .TJ ) = ..\ 1 (1.1.0)

+ ..\2(0, 1.1) + ..\3(1.1. 1)

OERECI-I)S RESERVADOS O 2004, Uniwrsdad AtiÓnoma Metropolitana (México). Prohibida la reproctuoaón de esta obra así OOfi'CI &a distriluc:ión y venta fuera del .itnbilo de la UAM!D. E-libro Bibliomedia BibliomediaOfnail.oom

2.4 El t riple producto escalar y bases de IR:3

o eqnimh>ntellWilt.e. los escalares A¡. A2. A3 resuelven el sistema de ecuacioIH'S

Tal siste111a de ecuaciones tiene determinante

1 1

o 1

1 1 1

= (

~~ )

lo quf' implica que ese sistema tiene solución para las incógnitas A 1 , A2 , A3 . De hecho. por El método de Cramer 111 1¡1¡3 •)

A¡ =

A2 =

o 1 1

1]1

1]2

1]3

1 1

D l 1

111 1]2

1/3

1 1 1

D A3

1/ 1

1]2

r¡3

= (é.t ' ~2. 17)

(~1.6.6)

(1].6,~3) (~ ¡ . .;2,6)

(6) '1], ~3)

= (.;¡,6 ,6)

Est o se puede generalizar en el siguiente Lema, enunciado apenas para PI raso tridirnensionnl.

LEMA 2.7 Si el conjunto {.; 1 .6.(.3 } e IR 3 es una base de vectores para ·¡ 3 R' y 17 E R es tal que 1/ = A 1 ~ 1 + Az6 + A36 , entonces los coeficientes A¡. >. 2 . >. 3 e.:;tán dados por las 1gualdades

EJEMPLO . Sea 11 = ( - l. 3. -1) E IR 3 y sea la base de IR 3 dada por {~r

=(l. LO). é.z

= (0. L 1). (.3 = (1, 1.1)}

Vectores en JR 2 y !R3

< Al calcular los determinantes, t enemos, ~1

((¡,~2·6)

~2 ~3

(~¡,FJ,(¡)

-1

1 1

(¡

1 -1 1

~3 ~1 (~ 1 , ~2, 1))

6 6

(TJ,~2.~3)=

= 6

-1

1 3 1 1 1 3

o -1 1

1 1 1

= 1

=-1~ ~ 1+1 ~ = 1~

1- 1 ~

- 1 1 =1 1

- 11 1

o 1 -1

de donde, por el Lema 2.7 se t iene que A¡ = (IJ¡,~¡,~z)

=~=

(~¡,6,6)

A2 = (~¡, FJ.(¡)

(~1.~2.6)

= 4

AJ = (6,~2,1J) = - 5 = _ 5 (~¡ .(2,(1) 1

hacen que A¡~¡+ ..\2(2

= (4, 4, O) +

..\3~3

= 4(1, 1,0) +4(0, 1,1)- 5( 1, 1, 1)

(0, 4, 4) + ( - 5, - 5, -5)

= (4, 8, 4) +

=( - 1.3, - 1) = 1¡.

( -5, -5, -5)

EJEMPLO. Sean los vectores básicos {~ 1 = (1, 2), 6

(-2, 1) } de IR 2 .

Entonces dado FJ = ( -1 , 3) se t iene que

para los valores de ..\ 1 y

..\2

dados por

2.4 El triple produ cto escalar y bases d e JR 3

Esto se comprueba directamente de la igualdad A ¡ ~, + A2~2

= 1(1,2) +

1{-2 , -1)

= {1 ,2) +

(-2, 1) = {- 1, 3)

Consideremos ahora una base {~1 , ~ 2 , 6} de IR:.l y la ordenamos según el signo del determinante dado por el triple producto escalar ~1

(~1.~2- ~3 ) ~

6 DEFINICIÓN . Decimos que la base dada {~ 1 ,6,6} de JR 3 t iene una orientación pos itiva a la derecha (regla de la mano derecha) si al considerar en el orden ~ 1 , 6, 6, el triple producto escalar

es positivo. EJEMPLO. Los vectores básicos {e 1 = (1,0, 0) , e2

= (0,0,0),

e;¡=

(O, O, 1)}

dados en ese orden le dan una orientación a la derecha al espacio IR 3 , en virtud de que (e , ,e2, e3) =

e, e2

o o

o o 1 o 1 o

= 1

EJEMPLO. En cambio, si se toma el orden de los vectores básicos canónicos dado por

{e 1 = (1, 0, 0) , e 3 = (0,0, 1), e2 = (0, 1, 0)} entonces tal orden le da unil. orientación negativa a la derecha a IR 3 en virtud de que

e, (e¡ ,e3,e2)

o o

= o o

= -1

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Vectores en !R2 y !R3

96 EJEMPLO. El conjunto de vectores básicos {(¡

= (1.1.0), 6

= (0,1,1), (¡ = (1 , 1,1) }

ordenados así, le clan una orientación a lR3 positiva a la derecha en virtud de la igualdad (~¡,{3,(2) =

(¡

1 1 1

o =1 1

EJEM PLO. Los vectores básicos {~ 1 = (1,2), ~ = (- 2, 1)} de lR 2 le dan una orientación positiva a la derecha al plano en virtud de que el siguiente determinante es positivo

~1~2

-2

= 5

Se observa que al tomar dos vectores no nulos arb itrar ios~. r¡, sí [~, r¡] ::f. O, entonces los vectores unitarios {

r¡

1 1 ~11'

11'7 11'

[~' r¡] } 1 1 [~, 77111

conforman una base que está orientada positiva a la derecha (regla de la m a no d ere cha) por la elección del producto [~ , ·17] . Todos los conceptos mencionados forman parte de los conocimientos básicos de los cursos de Geometría analítica del plano y del espacio.

2.5

Vectores y valores propios de una matriz

En algunos problemas de aparición cotidiana en las ciencias naturales y la ingeniería es necesario resolver una igualdad matricial del tipo

donde A es una mat riz cuadrada (n x n), ~es un vector columna (n x 1) y .A. es un escalar. En otras palabras, dada un matriz cuadrada A, el problema es encontrar un vector ~ y un escalar ..\ que hagan válida la mencionada ecuación. Discutiremos el caso de dimensión 3 y mencionaremos los resultados que se pueden extender para dimensiones arbitrarias.

2.5 Vectores y valor es p ropios d e una matriz

Sea A una matriz de 3 x 3,

A= ( y definimos el vector incógnita ( por el vector columna,

Entonces la ecuación matricial se escribe

o bien,

(""

a21 a31

("" [("" =

a12

a ¡J

a21

0.22

a23

a3 1

a32

0.33

)( ~: ) ( ) o o )u: )- o )( ~: ) 0.¡2

a13

0.22

a23

0.32

a aa

- >.

e (3

o l ( o o o o

0.¡2

0.¡3

0.2 1

0.22

0.23

a3 1

0.32

0.33

o l o o o 1

) - A(

)lu:)

que matricialmente se escr ibe

(A - >..!)~

y que induce el sistema de ecuaciones lineales

e (e) ~3

es decir' el sistem a homogéneo en

e' ~ ' e' 2

Vector es en JR 2 y JR 3

Tal ~i~tema lineal homogéneo t iene asoc iada a la matriz (A - >.!), y por el teorema 1.7, el sistema lineal homogéneo obtenido tiene soluc ione~ no tri viale~ (~ =/= (O, O, 0)), si y ~ólo sí, det (A - >.!) = O, donde det define la operación determinante de una matriz. Caracterizamo~ a lo~ e~cal are~ ).. y a los vectores ~ que cumplen la condición matricial dada inicialmente. para la matriz A.

DEF INICIÓN. Si A es una matriz cuadrada real, entonces el escalar).. dirá un valor propio de A si ~atisface la ecuación

det (>.J - A) = O llamada la ecuación característica de la matriz A . Observamos que, de la relación O = det(U - A) = det(A - >.!) para calcular los valore~ propio~ de una matriz, ocuparemos cualquiera de estas ecuaciones.

E J EMPLO. Calcule

lo~ valore~ propio~

de la matriz real de 2 x 2

<J Al realizar las operacione~ matr ic iale~

>. - 3 1 ~e

obtiene, ).. - 3 1

det(>.J - A) = det ( lo que implica que la ecuación )..

caracterí~ti ca 2

3)..

de A

+ 2 =o

Las raíces de esta ecuación son ).. = l y ).. = 2, y de A . !>

E JEMPLO. Calcule

lo~

~on

los

valore~

propios

valores propios de la matriz A= (

~2 ~1

)

<J P rocediendo como en el ejemplo anterior se obtiene

det()..] - A)

= det

(

>. _+2 5

).. _1

) 2

= >. 2 + 1

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2.5 Vectores y valores propios d e una matriz

!)!)

Con lo cual, lo:; valores propios de A ddH~ll satísfa<"<'l' la t•<·u;H'i<')ll <'11<1drática >. 2 + l = O. Dado que la.'i úniCIL'i !-iolueioucs de C!-ita ccuaciúu son los números imaginarios >. =i y >. = - i, se sigue A 110 ticue valores propios n·;dt·s . 1>

EJEMPLO. Encuentre los valores propios de 2

A = ( ~ o2

IJ ,¡

Como en los ejemplos anteriores, se oht ieuc

dct(>.J - A) = dct

(

>. - 2

- 1

- 3

>. - 2

()

oO ) = >.:1 -

~>.:!

+ 17>. -

>. - 1

Por lo tanto, los valores propios de A deb<!ll satisfacer la ct:IHH'ÍÚtt dt• tercer grado >.:¡ - 8>. 2 + 17>. - IJ = o Por inspección >.

= 1 es

uua raíz, C!-i c!N:ir ,

(>. -1)(>.2

4>. + 1) = o

consiguientemente, las raíces restantes de tal cúbica satis fa cen la t'<"IIH<"iÚtt

>.'l -

ti).

+ 1 =o

la cual se puede resolver mediante la fórmu la CIUiciníticH. Por tanto, los valores propios de A son

>.=4 >.=2-VJ y >. = 2-VJ

DEFINICIÓN. Sean, A unn mat riz cuadnHla, ~' >. un valor propio < h~ A. El vector ( :;e dirá un vector propio de A a.'iociado a >. si satisface la ecuación matricial (A - >.!)~=

EJEMPLO. Sea la matriz cuadrada de 3 x 3 dncln por

Vectores en JR 2 y JR;1

100

<l ('akula111os sus valor!'s propios resolvi!'ndo In ecun.cióu

O = det( A - )..!) !'S

d!'('ÍJ'.

() ::=

('11\'i\S raÍ('('S S!lll

2-}.. -1

2 - }..

o o

()

·1-),.

-1

= (·1-

)..)()..2 - .¡),. + J)

A = l. :3. ·l.

Par;1 c;d('ulnr los vt•<·t.on•s propios a.-;ociados a cada valor propio, considcrmuos h1 t'CilaCÍÚ!l lll<lt.ricial

(A - )..l)é, == O J>il ra nH la Yalor de ,\.

Para A

('S

decir. d sistt'lltn.

holllo~éll('O,

= 1 st' t.it•ue ('1 sist.<'llla

Not.alltos <¡11<' In primer <'C:Hnción es In misma C}lll' la :-;eg11ndn. y que lH'('!'Sar illlll<'llt.t• o. Si ponemos .r = t. cnt.onces la :-;olución general de t•st.!' sist.t'lllll es 1 ., ·¡ (é. . é.- . é.' ) = (t , t. O) = t (1, L O)

e :::

lo q11e indica que un vrctor propio asociado a )..

= 1 es

,, U) Para )..

= 3 se obtiene el sistema homogéneo

cu.va solución general es del tipo

<e .e.t. > = (t, - t,o) = t(l. - 1,o) 3

2.5 Vectores y valores propios de una matriz lo cual implica que uu vector propio nsociado n. A

101

=:.1 <·s

An<ílogamente, para A = 1 se t ieuc el sist.<·um litwal

-e= o

-2~ 1

-e - 2e = o

{

o(' =o

La tercer c<:uaciúu nos dice que (les arbitraria, llli<'llt ras <¡111' <'l sist<'llla de 2 x 2 forwado por las dos prillleras c:cu aci<HI<'S ti< •t H~ s<'Jlo In soh l<'i<'>lt trivial ¡mm ~ 1 , ~ 2 , de bido a. que -1 1 = :,1 ::¡:.

-2

- 1

-2

Por lo tanto, la solución general de este últitno sistema ho mo)!;<~ll<'<J <·s (~ 1 ,(! ,(')

= (O,O,t) = t(O,O, l)

lo que in1plica que un vedor propio asociado a A :::: ;¡ es

De esta manera, el conjunto {~. ==

(1, 1,0), ('l.== (1, 1,0), (¡

= (0,0.1 )}

es un wnjunto de vectores propios de A . Observamos que este coujunto es una base de IR:¡ dchido a que 1 (~1.~2.(¡) ::::

- 1

o o

= - 2 ::¡:.o

EJEMPLO. Sea la matriz

A~( -24 1

2 -2 -2

-4 -2 1

)

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Vectores en IR 2 y IR 3

102

('nlcnlamo,.; """ vedon•:-; y valores propio,.;. <J C<~knhtuo,.; printcntuwut.c d

detenniuantc

1- ,\

- 2 - ,\

- ·1 -2

- 1

-2

1 - ,\

La <'<"WH"ÍÚ1t cú hicn. ohtcuida tiene -- :~. do u de una d<• !'llas <'S d oble.

= ,\:1 -27,\-54

raíces enteras ,\ 1 = 6.

,\2

= -3, A:¡ =

El ,.;ist<'lll<l li n<•al homogé11eo pa.m u n valor propio ,\ es

+ 2(2 - 1(1 = 2~ 1 + ( - 2 - ,\)~:! - 2(1 - - 1~ 1 - 2(! + (1 - ,\)(~=O. (l - ,\ )~ 1

{

( ' ll

P;1rn !'l ndor propio dobk ,\ Ins ili<"Ó~nitas ~ 1 •

e. e.

- 3 s<' t.i<'IW

= (~ ~ .(.(1).

d sistellla lineal homogéneo

=o = o

-1~ 1 + 2(2 - -1.(1 2~ 1 + 2(1 3 { - -1~ 1 - 2e + -te=

e- -

J\l n·solwr por El mc.'•todo d e Gnuss-.Jordan. se t.ienc, 1 2 2 1 ( - 1 -2

- -1

-2 -1 -1 2

(

o o o o

que induce la {l!lica enmción con trc:; incógnit-as

-~~ 1 + 2e - 4(1 = o ~ 2e

~ J\1 poner ~ 1

e - 2~

e =e +~e 2

= f' e = s, la ~olución general

t iene la forma,

(~ 1 , (!,(3) = (t. s,t + ~s) = (t.O.t) + (o,s.~s) = t(l,O, 1) + S (O,1, ~)

2.5 Vectores y valores propios de una matriz E~to

es, los vectores obtenidos al tomar t

103

= 1, s = O y t = O , s = 2,

son vectores propios ru;ociados a A = - 3. Para el valor propio A = 6 se tiene el

que ~e

re~uelve

( -;5 -4

mediante El método de

2 -8 -2

-4 -2 -5

-4

-36

-18

-5

o o

-4

2 -36

-18

c oo5 o2

decir, se tiene el sistema,

e~ta.

de la siguiente forma.

(R,

+ 2Ra)

n n

~ n,

(~;) ~n,

-4 1

e ::: t ~e tiene una ~oluci ón general,

3 (~ 1 .~ 2 . ~)

Gau~~-Jordan

en el cual, s i ~e pone

homogéneo

(2R 1 + 5R2) __, R2, (4Rl - SR3)---. R3

( ~5

si~tema

forma, tomando t

) (6 )

= 5t,t,2t = t

5,1,2

= 5, ~e t iene el vector

V ectores en IR2 y IR3

104

que es un vector propio asociado a A = 6. Notamos que el sistema de vectores propios {(¡ = (1,0, 1),

= (0,2,1). (3 = {5,6, 10)}

es una base de vectores para IR3 , debido a que 1

((1 .6.(3) =

6 10

= -24 :¡6 0

EJEMPLO. Consideremos la matriz

o2 oo ) 1 2 y procedamos a calcular sus vectores y valores propios. <J

Un cálculo directo nos muestra que

1- A 1

O 2- A

o o

2-A

= (1 - A)(2 - Af

lo que nos indica inmediatamente que los valores propios son A 1 = 1, A2 = 2 y A3

= 2.

El sistema de ecuaciones lineales homogéneas que nos ayuda a calcular los vectores propios es

De esta forma, para el valor propio A = 1 se tiene el sistema lineal,

lo que nos indica que es arbitrario y que palabras, la solución general es

e = -~ , e = ~ 1

En otras

ce .e.e) = <t. - t,t) = t( l , - l. 1) OERECI-I)S RESERVADOS O 2004, Uniwrsdad AtiÓnoma Metropolitana (México). Prohibida la reproctuoaón de esta obra así OOfi'CI &a distriluc:ión y venta fuera del.itnbilo de la UAM!D. E-libro Bibliomedia BibliomediaOfnail.oom

2 .5 Vectores y valor es propios de u na m atriz

10 5

y por lo tanto,

es un vector propio asociado a A = l. Para el caso A = 2 se tiene el sistema lineal ~)

-e =o + 0~ =o 2

{ e +OC= o lo que nos indica, de la primera ecuaCJon que ~ 1 = O, de la tercera que y que es arbitrario, es decir, la solución del sist ema es del tipo general = (O,O,t) = t(O,O,l)

e =o

(e,e.e)

De esta manera, el vector

es el único vector propio asociado a A = 2.

De la discusión inicial se tiene el siguiente resultado.

TEOREI\!IA 2. 2 Las sigttientes proposicwnes son equivalentes para una matriz cuadrada ( n x n) dada. a. A tiene 'un valor- pr-opio A.

b. det(A - )..1) = O. c. Existe un vector propio

para A asociado al valor- propw ).. .

Una matriz cuadrada se dice diagonal si sus entradas que no están sobre su diagonal son todas idénticamente nulas.

EJ EMPLO. La matriz cuadrada

o3 o o) o 4 es una matriz diagonal.

DEFINI CIÓN. Una matriz cuadrada real (n x n) A se dice d iagonalizable si existe una matriz invertible B tal que el producto B - 1 ABes una matriz diagonal. En este caso se dice que B diagonaliza a la matriz A. Tenemos el siguiente resultado para el proceso de diagonalización de una matriz cuadrada.

Vectores en JR2 y JR3

106

TEOREMA 2.3 Para una matriz cu.adrada A de (nxn) son equivalentes las sig'u ientes proposiciones.

a . A es díagonalizable b. Los vectores propios A conforman una base de lRn y la matriz B formada por· los vectoTes pr·opios de A (como vectores columna) diagonaliza A. <1 Daremos la prueba apenas para las matrices de 3 x 3, indicando que para dimensiones mayores la prueba es análoga.

Suponemos que A

tal que

s-t

===

A3 x 3 es diagonalizable. Entonces existe una matriz

ABes una matriz diagonal D

===

= B - 1 AB que t iene forma ,

o o A2 o o AJ

C' ~

Esto implica necesariamente que BD

===

)

AB.

Por un lado, se tiene

b¡2

b¡J

b21

b22

b23

b3l

b32

b33

)(

A¡

o o A2

o o

===

(A 1 b1

A2b2

)(

A1 b11

A¡b21 A¡b31

A2b 12 A2b22 ,A.2b32

A:~b¡;¡

A3b23 A3b33

)

A3b3)

donde hemos escrito a la última matriz mediante su!:> columnas. Por otro lado, si escribimos a la matriz B mediante sus columnas, de la multiplicación de matrices se tiene

De esta manera, al igualar columnas en la igualdad AB == BD se obtienen las igualdades

es decir, {b1 , b2, b3} es un conjunto de vectores propios de A asociados a lo:.; valores propios correspondiente!:> A1 , A2 , A3.

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2.5 Vectores y valores propios de una matriz

107

Por otro lado, debido a que B es invertible, se cumple la relación

(b¡ . b2 , b3)

b¡ ¡ b2 t b31

bt2 b22 b32

bt3 b23

i= o

b33

que hace de {b 1 . b2 , b3 } una. base de vectores propios para JR 3 . Esto demuestra que a. implica b. Para probar la recíproca, sean {[. 1 , 6 ,(3} los vectores propios de A asociados a los valores propios ,\ 1 . .-\ 2 y .-\3 respectivamente, y sea

B = (f.t Entonces B es invert ible pues los vectore:; son linealmente independientes. Por las consideraciones anteriores se t iene que AB

= A(f. t 6 6) = (Af. t

Af.2

A[.3)

o ,\2

o donde D es la matriz diagonal, cuya:; entradas diagonales son los valores propios de A , es decir.

o ,\2

De esta manera. 8 diagona liza a A pues se cumple la igualdad matricial AB = BD. o eq uivalentemente, B - 1 AB = D . Esto termina la prueba del teorema. t> Otro resultado út il para. el proceso se diagonalización es el siguiente, cuya prueba omit.imos por ser más técnica.

LEMA 2.8 S i lo s valores propios de una matriz cuadrada A son todos diferentes enf1·e sí, entonces los vectores pr-o]nos de A conforman una base dr 1'cctores pro¡nos .

Este resultado, junto con el teorema 2.3, implica el siguiente que es de gran utilidad.

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Vectores e n ~ 2 y !R:¡

108

TEOREMA 2.4 S·i la matriz wadrada A de n x n ti.ene dije1·entes entre sí a todos sus valo1·es ¡¡ro¡nos. entonces es dzayonalt;;a!JlP..

Esto implica necesariamente que BD = AB. <J Por el Lema 2.8. si los valores propios de A son diferentes entre ::;í, entonces Jos vectores propios de A conforman una base de ~~~ . Por el teorema 2.3. A es necesar iamente diagonalizable C>

EJ EMPLO. Para la matriz cuadrada -1

o se obtuvieron los vectores propios {~ t = (L 1.0),

= (1. - l. O),

asociados a los valores propios A que con forman una base de !R 3 .

1, .A3

= (0.0, 1)}

3y A

respectivamente. y

Sea B la matriz 1 - 1

o que cambia la base canónica {e 1 ,ez,eJ} por la base de vcct.orcs propios {~ , .6 .

(¡ }.

Por el teorema 1.5 se t iene que

1/2 1/ 2

o) o

1/ 2 -1/2

y un cálculo directo prueba que

('/2 o )( o ('/o2 o oo )( o o 1/ 2

1 ~2

s - 1 AB =

-1/2

o o

- 1

3/2

- 1

1/2 -3/ 2

1 -l

es una mfl.triz diagonal. con los valores propios como element os diagonales. Consecuentemente A es diagonalizable por la matriz B.

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2.5 Vectores y valores propios d e una matriz

109

El siguieute ejemplo nos muestra que una mat.riz A puede ser d iagonaliz;tblc. aún siu teucr todos sus valores propios disti ntos.

EJEMPLO. Para la matriz cuaclmda

~ -4

A= (

-4)

- 2 -2 -2 1

se obtuYo una base de vectores propios {~1 <tsoci<~uos

= (L 0.1). ~2 = (0 . 2, 1), 6 = (5, 6, 10) . }

a los vectores propios .A 1

= >. 2 = -3 y >.3 = 6

respectivamente.

Sea la matriz B dada por

1 o O 2 ( 1 1

que cambia In base cauónica {e 1 • e2 , e3 } por la base de vectores propios ohteuida . .\IediHnte El método de Gauss-Jordan de la sección 1.8 :se puede obtener que

B- 1

(

7/ 2

3/ 2 -1 / 2

5/ 4 5/ 4

-5/ 2 )

- 1/ 4

-3/ 2 1/ 2

y un cálculo directo demuestra que

B- 1 AB

(

7/ 2

3/ 2 - 1/ 2

5/ -1 5/-l - 1/ 4

-5/ 2 ) ( 1

-3

-3/ 2 1/ 2

(

o o

2 -2

- 4 -2

-4 -2 1

)( ) 1

o 2

5 6

o o o)

-3

En otras palabras. la matriz B diagonaliza a la. matriz A.

EJEMPLO. Al con:siderar la matriz

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Vectores en IR 2 y IR 3

110

se obtuvieron los valores propios A1 = 1 y A2 = 2, y apenas dos vectores propios correspondientes a tales valores propios {~¡

= (1 , - 1, -

1), 6

= (0.0, 1)}

Sobre métodos más generales de uiagonalización el lector interesado puede referirse al t rabajo de Anton (1981) , donde encontrará más datos.

2.6

Rectas y Planos en JR 3

En esta parte introducimos los conceptos de recta y plano como objetos contenidos en un espacio tridimensional, caracterizándolos mediante los elementos que les definen. R ec tas en el espacio

Dados, un punto pE IR'' y un vector~. los puntos q de la. recta L e IR" que pasa por p y es paralela a ~ satbfacen la ecuación q

= p + t~

para algún número real t E IR (véase la figura 2.11).

o s Figura 2.11: La recta en IR".

DEFINICIÓN. Decimos que la ecuación q

= p + t~, t E

es la ecuación de la recta contenida JRrl por el punto p con el vector director~· Se llama también ecuación paramétrica deL pues depende del parámetro t .

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2.6 R ectas y Planos e n !R3

111

EJEMPLO. Hallar la ecuación paramét rica de la rectaL en el plano que pasa por los puntos p 1

= (3, 2) y

<J La recta pasa por p

= (4, 1) .

= (4, 1) y la dirige el vector de posición

~ = p2 - PI

= (4,1)-(3 , 2)=(1,-1)

De esta manera, si q = (x, y) está sobre la recta, entonces satisface la relación (x , y) = (4 , 1) + t(1 , -1 ) = (4, 1) + (t, -t)

=(4 + t,1 - t) En

otra~

palabras, el par de ecuaciones

definen a la recta L. Si en las relaciones anteriores despejamos t , t al igualar tales ecuaciones se obtiene

= x - 4, t = 1- y , entonces,

x -4 = 1 - y que implica la igualdad

y= - :e+ 5 que también define a la rectaL, pero sin parámetro (véase la figura 2.12) t>

EJEMPLO. Hallar la ecuación de la rectaL en R'1 que pasa por los puntos p¡

= (2, 3, 4, 2) ,

<J Tal recta pasa por ~

= p¡ -

P2 = (6, 4, - 5, 1)

= (2, 1 , 3, 2) y

tiene vector director

P2 = (2, 4, 3. 2) - (6, 4, - .5, l )

=(- 4, 0, 8, l)

Por lo tanto, en las coordenadas (x, y , z, to) se tiene que todo punto q = (x , y , z , w) E L, cumple las igualdades (x,y,z ,w)

= (2 , 4, 3, 2) + t(-4,0,8, l) = (2,1,3,2) + (-

4t , 0,8t, t)

= (2- 4t. 4, 3 + 8t, 2 + t) Esto es, la recta L se define por el sistema paramétrico

~ : ~ - 4t { z w

=3 + 8t

tE IR

= 2 +t

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2.6 R ectas y Planos e n IR 3

113

n n

L Figura 2.13: El plano en JR 3 .

EJEMPLO. Sea el punto p = ( -3, 1, 2) en !R3 y sea n = (- 4, 5, 3) un vector en JR 3 . La ecuación del plano por el punto p y normal n es, en coordenadas q = (x, y, z), viene dado por la igualdad <J

< (-4,5 , 3), (x ,y,z) >=< (- 4,5, 3), (- 3, 1, - 2) >

o equivalentemente,

- 4x + 5y + 3z

= 12 + 5 -

= 11

lo cual implica que la ecuación buscada del plano en !R 3 es - 4x + 5y

+ 3z = 11

En general, para la ecuación

< n,q > = < n,p > del plano P pasando por p = (p 1 , p 2, p 3) con vector normal n = (a, b, e) se tiene que en las coordenadas (x , y, z) los puntos q = (x, y, z) de P satisfacen la ecuación

< (a ,b,c), (x,y,z) > = < (a ,b,c), (p¡ , p2,p3) > o equivalentemente, satisfacen la ecuación ax

+ by + cz =

a.p¡

+ bp2 + cp3 =

De esta forma, una ecuación del tipo ax +by + cz = d representa la ecuación de un plano en IR 3 conteniendo un vector normal n=(a,b.c).

Vectores e n IR 2 y JR3

114

EJEMPLO. La ecuación 2:r

+ 3y + 6z

= 1

·¡

repr<'senta a un plano en JR· con un vector normal n

= (2, 3, 6)

<l Si hnccmos y = O, z = O sobre el plano JR~. z entonces, de la ecuación dada S<' tiene 2J· = 1, lo que implica. que .1: = ~.

Por otro lado, si hacemo:; y = O, x = O :;obre el plano !R 2. Y entonces se ohteudría c¡ue Cll e:; te ca:;o z =

FinahrH' nte, s i tmnamo:; 1: = O, z = O sobre el plano IR~ .z , entonces, a partir <k' la ecuación del plano se t iene que y = Lo anterior nos da los corte:; del plano sobre h; eje:;, y la extensión del tri;\.ugulo mostrado en la figura 2.14 nos realiza totalmente el plano. C>

1·

6 l

Figura 2.1-1: Parte del pla no 2.r

+ 3y + 6z = 1 en

el primer octante.

OBSERVACIÓN . Dos plano:; P 1 , P2 en el e:;pacio sou paralelos si sus respectivos vcctore:; normales son paralelos. EJEMPLO. Sean los planos en JR 3 , dados por las ecuaciones -:e+ 2y - 4z <J

= 2.

3x - 6y

+ 12z = 7

Sus normales respectivos sou

= (-

1, 2, - 4),

= (3, -6, 12)

Al calcula r el producto vectorial de estos normales,

[n1 ,n2]=

e¡ - 1

= e 1 (24 -

24) - e 2 ( - 12 + 12)

e2 2 -6

e;¡

-4

+ e;1(6 - 6) = (0, O, O)

2.6 Rectas y Planos en JR 3 ~e

n2 ~on

concluye que n 1 y

115

paralelos, lo que implica que los

pl ano~

son

paralelo~ . C>

Generalizamo~

la idea de ángulo formado entre dos planos.

DEFINICIÓN. Sean dos planos P 1 , P2 contenidos en IR 3 y sean n 1 , n 2 su~ normale~ respectivos. Se define el ángulo e formado por lo~ plano~ P 1 y P2 como el ángulo e formado por sus normales n 1 y n2 . La figura 2.15 ilustra esta definición. EJEMPLO. Dado~ lo~ planos en JR 3 X

verificar ~i ~on entre ellos.

+ 2y + 3z :::: 1,

paralelo~.

X -

2y +

De no serlo, calcular su intersección y el ángulo

Figura 2.15: Ángulo formado por dos planos en JR 3 .

Los vectores normales

re~pectivos

n 1 = (1, 2,3)

son

= (1 , - 2,1)

con lo que tenemos,

e2 2

e3 3

-2

= (2 + 6,-(1-3),-2-2)

= (8, 2, - 4) ::/: (0, O, O) Por lo tanto, los normales n 1 y n2 no son paralelos y consecuentemente los planos se intersectan. Los puntos (x, y , z) contenido~ en la intersección deberán satisfacer ambas ecuaciones.

Vectores en R2 y R 3

116

Tales puntos se determinan al resolver el sistema lineal 2 x 3, :t + {

d cunl, al hacer ;;

X -

2y + 3z == l 2y + Z = 3

induce el sistema,

X+ 2y = l - 3t X - 2y = 3 - t

{

Utilizamos La regla de Cramer para resolver este sistema. Calculando los determinantes, obtenemos,

D D,

1 - 3t t

=1 2

= 1 3-

-2

1 -_ 3t t

= 1

1= - 4

-2

= -2(1 - 3t) - 2(3t) = 8t- 8

= (3 -

t) - (1- 3t)

= 2t + 2

.v de esta manera, X=

8t- 8

D = --=4 = -2t +2 +2

D = --=4 = -2t- 2

Por lo tanto, la solución del sistema (intersección de los planos) es la recta parametrizada X = - 2t + 2 {

y = -~t-~

donde t E R es un parámetro temporal. En particular, si t = O se tiene la solución particular x = 2, y = - ~, z = O, es decir, el punto (2, ~.O) está en ambos planos, lo que se verifica directamente al sustituir en las ecuaciones de los planos,

{

2+2(-~) + 3(0) 1 2 - 2( - ~)+0 = 3

Para calcular el ángulo entre los planos se calcula el ángulo B entre sus vectores normales

< n 1 , nz

>) == arccos (lv'l4J6 -4+ 3)

B = arccos ( lln¡ llllnzll

2.6 Rectas y Planos en IR 3

117

es d ecir, (J

= arccos(O) = -1f2

lo que nos dice que los plano:; son ortogonales. C>

E:s fácil proba r el siguiente Lema utilizando las ideru; del ejemplo anter ior.

LEMA 2.9 Si la par·eja de planos a. 1x + b1 y + c 1z = d 1 { a2X + b2y + C2Z = d2

no es paralela, entonces se inter·sectan en una recta parametr·izada. Má8 aún , forman el ángulo B dado por,

EJEMPLO. Calcular la intersección de los planos en IR:J ,

x -y+ 3z = 9 3x- 5y + z = -4 { 4x - 7y + z = 5 <l Resolvemos el sistema de ecuaciones d e 3 x 3 usando La regla d e Cramer.

- 1 3 5 1 3 4 -7 1

D. =

9 -1 3 -4 -5 1 5 -7 1 1

Dy= 3 4

= 3

-4 1 5

-5 -7 1

1-45

3 1 4 1

1+3 14

- 5 1- 1 9 - 1 -7 5 -7

3 -4 5

= 31 4

1- 14

-5 -7

9 + 1 -4 1

1+ 13

1= - 2 -; 1 = -;_¡

-4

168

= 93

Vectores en IR 2 y

118

D. =

1 - 1 9 3 - 5 -4 4 - 7 5

= 1 -7 -5

-4

51 1+ 1 3 4

-5 -7

JR3

=- 7

Por lo tanto, las soluciones al sistema son

Dx 168 X= - · = =-84 D

-2

-7

-2

z = -= -=-

De esta manera, el punto donde se intersect.an los planos tiene coordenadas

~) P = (-84 ' - 93 2 ,2

De igual forma, para dimensiones mayores (n ?: 3) podemos definir la ecuación de un plano en !Rn (hiperplano) mediante los mismos elementos, n vector normal, p punto por donde pasa y q el vector variable, utilizando la ecuación

< n,p >=< n,q > Por ejemplo, la ecuación 6x - 3y + z - 2w

+ 3v =

define un plano de dimensión 4 en el espacio JR 5 en el sistema de coordenadas (x, y, z, v, w) con un vector normal n = (6, - 3, 1, - 3, - 2) .

EJEMPLO . Calcular la intersección en !R4 de los hiperplanos de dimensión 3, definidos por, 2x + 7y + 3z + t = 5 x + 3y + 5z - 2t = 3 z + 5y - 9z + 8z = 1 { 5x + 18y + 4z + 5t = 12 <J Para calcular la intersección es necesario resolver el sistema, y lo realizamos mediante El método de Gauss-Jordan.

1 1 5

3 5 18

(

-U

3 5 -9

-2 8 5

-2

3 -9

1 8 5

5 18

1) 3 5 1 12

)

(R 1

(2R 1

R2)

R2 ,

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2.6 R ectas y Planos e n IRJ

119

(Rt - R:¡) _, R;¡ , (5R, - R4)

~u ~u

3 -1 1 1

- 1 - 2

-2 3 -5 -10 2

- 3 21

- 15

-2

7 -7 -7

-5 5 5

3 1 - 1 - 1

) )

(2 R;¡ )

R:¡, ( -R4 3 ) _, R.,.

(R:¡ + R2 ) -> R;¡, (R4 + R2)

u n 3

- 1

- 2

7 -5

o o o o o o

De esta manera, nos queda el sistema lineal de 2 x 4 dado por

{

2t = 3 , -y+7z-5t= 1

+ 3y + 5z -

Ta l sistema lo resolvemos por La regla de Cramer en virtud de que -31

- 1

lo que nos asegura que el sistema :e +

3y = 3 - 5z + 2t - y = 1 - 7z + 5t

{

tiene solución en dos var iables libres z, t. La segunda ecuación indica la solución para la var iable y, y es suficieute con calcular sólo el siguiente determinante,

3 - 5z + 2t l - 7z + 5t

~~ 1 = - 6 + 26z -

17t

De esta manera,

- 6 + 26z - 17t Dx x = -= - 1 D y por lo tanto, las soluciones se escriben

{

X = 6 - 26 1 17t y= -1 + 7z- 5t z=z t =t

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Vectores en IR 2 y IR 3

120

para argumentos reales arbitrarios de z y t . Este último sistema define a un plano de dimensión 2 contenido en JR 4 , esto es, la intersección de los hiperplanos dados de dimensión 3 es un plano de dimensión 2. !> Distancia d e un punto a un plano Dados, un plano P y un punto p E IR 3 , la distancia de p al plano P es la distancia ortogonal de p a los puntos q del plano P.

.....

---- r .

Figura 2.16: Distancia de un punto a un plano. Para calcular la distancia mencionada, se procede de la siguiente matera. <J

Si el plano P se define por la ecuación

ax +by+ cz = d entonces u = (a, b, e) es un vector normal p. Por otro lado, cuando el punto q E P nos da la distancia ortogonal buscada, entonces el vector p - q es múltiplo de n, es decir, p - q = tn

para algún escalar t (ya que son paralelos), lo que implica que

IIP- qll = ltl llnJI. Por otro lado, al buscar q E P, este punto está en la recta con un vector n que se une a p con q, escrita de la forma

x = ta + p 1 y=tb + p2 { z = te+ P3

2.6 Rectas y Planos en R3

121

donde p = (p 1,p2,p3) y n = (a,b,c) es el vector director de la recta. Buscamos entonces un escalar t tal que la recta contenga un punto q E P q satisfaciendo el sitema que define a la recta, pero además q esté también contenido en P. Para esto, q = (x, y, z) E L debe también satisfacer la ecuación del plano, es decir,

d :::: a (fa + p¡) + b(tb + P2) + c(tc + P3)

= t(a 2 + 1>2 + c2 ) + ap¡ + bp2 + cp3

= (ap¡ + bp2 + cp3) + t(a 2 + b2 + c2 ) lo que indica, al despeja r t,

Por ot.ro lado, el punto q E P debe satbfacer además la relación

iiq- Pll = it!l!nll siendo llq -

Pli

la distancia buscada de q a p.

Si entendemos por

lo que implica

ea tal distancia, se tiene

e= Id -

(ap¡

+ bp2 + CPJ)l IJnll

Se resume la anterior discusión en el siguiente lema. LEMA 2.10 La distancia por la ecuación

e del punto p = (p ¡ , P2. p3)

al plano P definido

ax + by +cz = d se calcula por la fóTmula

é = id- (ap¡

+ bpz + cp3) ! llnl\

donde n = (a.b.c) es el normal a P Si p = (p 1 ,p2 , p 3 ) está en el plano, entonces satisface la ecuación del plano. es dectr, y. poT lo tanto, su distancia al plano P es cero.

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Vectores e n JR 2 y IR 3

122

EJEMPLO. Sea el plano P dado por la ecuación

3x + 2y - z y tomemos el punto p

=- 1

= (2, 5, 6).

<l La distancia edel punto p al plano P es calculada mediante la cadena de igualdades,

e= 1-

[3(2) + 2(5)- 6]1=

J9 + 4 + 1

1- 1 - 101 = ~

Vl4

Ejercicios 1. Calcular a.~=

< C ·ry > para cada pareja de vectores dada.

( - 1,2),

= (3, 1)

b. ~ = (-1,0,1),

7} = (1,2,3) c. ( = (- 1,2,3), 7] = (1, 2, - 4) d. e = (1, 1,0, -1 ), 7]=( -1 ,0,1,2) e. ( = (4,-2,3, - l), ·r¡=( - 1, - 2,3 , - 4) ¿Cuáles de las parejas de vectores dados son ortogonales?

2. Calcular

11 ~ 1 1 y

llr¡ll en cada uno de los

incisos del ejercicio l.

3. Calcular el coseno del ángulo formado por cada pareja de vectores fJ del ejercicio l.

4. Calcular los ángulos del triángulo formado por los puntos a. (- 1,1,1), (1,-2, 3) , (3, - l,l) b. (1,0,0}, (0, 1,0). (0,0, 1)

5. a . Calcular la proyección de ( y 'fJ de todos los vectores del ejercicio l. ~ de todos los vectores del ejercicio l.

b. Calcular la proyección de 17 en

6. Demost.rar que para dos vectores(, 1J con ángulo f:J entre ellos se cumple la fórmula 7. Calcular el producto vectorial [~. rJ] de los vectores a.~ = (2,3, - 1) 7J b. ~ - 6, O, 5) ·r¡ c. ~= (1,0, - 1) 1} d. ~ (1 , 2, 3) r¡

= (6,2, 3) = (3, O, 3) = ( - 1,0,2) = = (2, 4, 6) ¿Cuáles de las pareja::; de vectores dados son paralelos?

8. Calcular el área del paralelogramo formado por los vectores cada inciso del ejercicio 7.

~ y

r¡ en

2.6 Rectas y Planos en !R3

123

9. Calcule el volumen del paralelepípedo formado por las siguientes ternas

de vectores. Calcule primero su triple producto escalar. a.~=(2,0 ,1), r¡ =(1,3,2), (=(4, - 1,1) b. ~ = ( - 2,1, 1 ), r¡ = (- 4,3,2), ( = (0,0,1) c.~= (0, - 1, - 1), r¡ = (0 ,0, - 1), ( = (- 1,2,3) d . ¿Cuáles son una base de vectores en !R3 ? e. Escriba el vector ( - 3. - 4, 1) como combinación lineal de cada base encontrada. 10. ¿Cuáles de las siguientes matrices son diagonalizables?

a. A = (

b. A = (

=~ ~

~ ~1

)

hu ~ n u~ n

c. A

=;~ ~; )

d. A = (

)

f A=

g. A = (

i. A

1) 2

i ~33 y)

=~- 3

h. A = (

j. A

)

~ ~ ~

)

~ ~1 3~ )

Para el caso afirmativo, calcule la matriz B, que cambia la base canónica por la base de vectores propios, tal que B - 1 AB sea diagonal. Compruebe, realizando el cálculo, que B - 1 AB es diagonal, y que los vectores propios que conforman B son una base. 11. Encontrar la ecuación para.métrica de la recta que pasa por los puntos indicados

a. (1,1,-1) y (4,3,2) b. (0, 1, - 6) y ( - 4, O, 2) c. (1, -2) y (2, l ) d. (1, 1, - 1,1) y (4,4, - 4,4) 12. Calcular la ecuación paramétrica de la recta por p con cada pareja dada.

a. p=( l ,l,-1), b. p = (-2, 1), c. p = (2,3,0),

dirección~

para

~ = (-2,3, - 1 ) ~

= (4,2)

= (-

1,2,3)

OERECI-I)S RESERVADOS O 2004, Uniwrsdad AtiÓnoma Metropolitana (México). Prohibida la reproctuoaón de esta obra así OOfi'CI &a distriluc:ión y venta fuera del .itnbilo de la UAM!D. E-libro Bibliomedia BibliomediaOfnail.oom

Vectores en JR 2 y JR 3

124 d. p = (0,1,1,2),

(=( -1 ,3,4,2)

13. Dar la ecuación de la recta que tiene un vector director { que es ortogonal a los vectores ( = (1, 1, 1) y r¡ = (- 1,0, 1) , y que pasa por el punto ( -3, 1, 2). 14. Calcular la ecuación del plano que pasa por el punto dado p y tiene vector normal n para cada pareja dada. a. n=(-1,1,2), p=(2,3, - 1) b.n =(4, -2,3) , p=(-1,4,1) c.n =(-1,5 , 3) , p=(4,1,6) 15. Calcular la ecuación del plano que pasa por los tres puntos dados

a. (1, 1, 1), (2, 1, - 1), (3, O, 1) b. (3, -2, -1), (1,2,3) , (2 , - 3,1) c. (4,0,2) , (2 , -1 , 0), (0,2,3) 16. Calcular el ángulo con el que se intersectan los planos a. definidos por a. y b. en el ejercicio 14. b. definidos por a. y b. en el ejercicio 15. c. definidos por c. del ejercicio 14 y c. del ejercicio 15. x+y + x=1 d. { -X+ y- Z = o 2x - y- z = 3 e. { 3x + y - 2z = 1 17. Calcular la intersección de las parejas ele planos dadas en todos los incisos del ejercicio 16. 18. Calcular la ecuación ele la recta que pasa por el punto p y cuyo vector director ~ es el normal al plano P cuando: a. p == (1, 1, 1) y P pasa por los puntos (1, 1, -1 ), (- 2, 3, 1), (6, 2, O) b. p = (1, O, 3) y P es ortogonal a los planos

{

x-y+z=2 y- Z = 1

-X +

c. p = (2, 3, 1) y P es paralelo al plano qua pasa por los puntos (4,2, - 1), (0, 1, -3),( 1, 0,2) 19. Calcular la intersección de la rectaL con el plano P , si

a. L y P son la recta y el plano ele a. en el ejercicio 18. b. L y P son la recta y el plano de c. en el ejercicio 18. c. Les la recta por p = (1 , 3,4) con vector director { = (2, 1,0) , y Pes el plano con ecuación 2x - y + z = 4

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2.6 Rectas y Planos en IR 3

125

20. Calcular la distancia del punto p al plano P si a.p = (l,0.3). P:6x - 8y +z== 6. b. p = (-2, 1, 3), P:x+y+ z:=; 2. c. p = (4. 3,2), Ppasaporlospuntos. (1,1,1),(0,0, 0),(-1,1,-1)

Capítulo 3

Curvas en ~ 2 y en ~3 3.1

Curvas suaves

En este capítulo c~tudiamos aquellos objetos geométricos en IR 3 conocidos como curvM. Lo hacemos de dos manerM, como la imagen de una función vectorial de variable real, y como objetos para los cuales localmente se ven como una imagen de cierta función vectorial de variable real (curvas parametrizadas) . Iniciamos la discusión con un ejemplo.

EJEMPLO. Una recta en IR 3 es un objeto que se describe por un punto donde pasa p = (p 1,p2,p3) y un vector director~ = (e, ,e). <J Su ecuación se describe como una relación de tipo

donde a cada punto t E IR se asocia un vector formado por coordenadas que son funciones reales de variable real

¡(t)

= (x(t), y(t), z(t)),

siendo las funciones coordenadas definidas por el argumento escal ar mencionado. X = x(t) = et + p¡

y=y(t) = et + p2

z = z(t ) = ~ 3 t + P3

DEFINICIÓN. Una función vectorial de argumento escalar es una relación

128

( a

) b

Figura 3.1: Función vectorial de variable real. tal que a cada tE (a, b) se le asocia un vector ¡(t) en JR 3 . En coordenadas x, y, z de !R3 , tal asociación se escribe ¡(t)

= (x(t), y(t),

z(t))

donde x, y, z : (a, b) -+ IR son funciones reales (definidas sobre IR) de variable real t. Esto es, las funciones coordenadas se escriben x = x(t) y= y(t) ' { z = z(t)

tE (a.,b)

En otra notación , utilizando la base canónica {e 1 , e2 , e3 } de IR 3 , podemos escribir tal asociación mediante la igualdad ¡(t)

= x(t)e¡ + y(t)e2 + z(t)e3

A Jo largo de este trabajo, utilizaremos preferentemente la notación 1(t1 = (x(t), y(t), z(t)) que no involucra a los vectores canónicos.

EJEMPLO. Sea la función /' : lR-> JR 2 dada por la relación -y( t)

= (cos t, sen t)

Es una función vect.orial (a JR 2 ) con argumento escalar dado por la variable t E R <1

Hacemos una asignación de argumentos y calculamos sus valores, como lo n1uestra la siguiente tabla.

3.1 Curvas s uaves

129

¡(t) (1, O)

o Tr/4

(..22 ' .12) 2

Tr/2

(0, 1)

(-.122 ' .12) 2

31f

( -1 ,0)

(5/4)7r (3/ 2)7r (7/4)7r 27r

( _fl

2 '

_..2) 2

(0, - 1)

(..22 ' _.12) 2

(9/4)7r

(1, O)

(..2..2) 2 ' 2

A continuación mostramos cómo se consiguieron algunos elementos de la tabla. ¡(O)= (cosO, senO)= (1,0) 1(7r/4)

= (cos7r/4,sen7r/4) = (

1(1r /2)

v;, V:)

= (cos 1r/ 2, sen 1r /2) = (0, 1)

, C:) = ( - v;.V:) ¡( 1r) = ( -1' o) ¡((5/4)7r) = ( ¡ ((3/ 2)7r)

v;'- V:)

= (0, -

Observamos que todos los valores de 1 obtenidos de esta manera están contenidos en el círculo unitario del plano lR;,y como se muestra en la figura 3.2. Afirmamos que la imagen de lR bajo 1 es completamente el círculo unitario

Para demostrar esto, sea ¡ (t) un punto en la imagen , entonces,

lb (t)UZ = IJ (cost, sent) JJ2 = cos2 t + sen2 t = 1

Curvas en JR2 y en JR3

130

y(O)=y(27t)

t,sen t)

Figum 3.2: Círculo unitario de 5 1 por lo tanto, ya que

lh(t)ll = 1 entonces, para cualquier

JR, -y(t) E S 1

Ahora sea (:r, y) E S 1 y sea t el ángulo que forma el vector (x, y) con el eje x . Si sobre el círculo se localizan las coordenadas (x , y) de un punto. En virtud de que el radio de S 1 es 1, se tienen las igualdades trigonométricas

x = cost { y = sent de donde (x, y) E S 1 está en la imagen ~f. De esta manera, la imagen de -y es un círculo unitario. Como las funciones sen t , cos t son 27T- periódicas, entonces -y enrrolla al círculo S 1 en contra de las manecillas del reloj un número infi nito (numerable) de veces. C>

EJEMPLO. Consideremos la función vectorial ¡ : ( -oo, oo) ___, JR 2 dada por la regla de correspondencia ¡(t)

= (Rcost, R

sent)

donde R es un número real positivo. <J Tendremo::; en este caso que , al escribir tal relación como -y(t)

= (Rcost,

R sent)

= R(cost,

sent)

ésta es una deformación del círculo unitario a un círculo de radio R con centro en el origen de coordenadas (véase la figura 3.3). C>

EJEMPLO. Sea ahora la función -y : ( -oo, oo)

IR 2 dada por la relación

-y(t) == (4cost, 4sent, 2t)

3.1 Curvas suaves <J

131

¡ es la función que a cada t le asocia un punto en IR 3 , mediante las

relacione~

x(t) = 4 cos t y(t) = 4sent { z(t) = 2t

Al olvidar momentáneamente la variable z, se tiene que los puntos con coordenadas (x, y) en la imagen de¡ se mueven en un círculo de radio 4, según el ejemplo anterior. La variable z sólo se mueve con su dirección, dirigiéndose positivamente. Esto nos dice que la imagen ¡(t) está contenida en la superficie dada por x 2 + y 2 = 16 que es un cilindro circular de radio 4 con directriz del eje z. Al evaluar¡ en los extremos del intervalo [0, 21r] se obtienen los puntos

(Reos t,Rsen

Figura 3.3: Círculo de radio R.

¡(O) = ( 4, O, O) ¡(27r) = (4,0,411") que quedan verticalmente situados en dirección del eje z, y a una distancia (vertical) igual al 47r, lo que nos dice que la imagen de ¡ es una hélice de radio 4 y con paso de altura 47r (que se repite a intervalos de t iguale~ a 21r) como lo muestra la figura 3.4. C> Iniciamos ahora la discusión de la diferenciabilidad de una curva espacial, utilizando para ello lo~ concepto~ y re~ultados clásicos del cálculo diferencial en una variable (véase R eyes, 1996).

C urvas e n !R2 y e n JR 3

132

y(t ) y y( O) X

Figura 3.·1: Hélice de radio 4 con

pa~o

de altura 47r.

Se<\ ; : (a. b) ~ IR 3 una función vectorial de variable real definida en el intNvalo (a. b) e R. Sean t0 • t E (n. b) con el m·gumento temporal variable t próximo del tieu1po prefijado t 0 . Cnkulalllo~ la diferencia entre sus vectores imágene~ 1(t) - !'( t 0 ) y luego la c-ompanunos vía un cociente con la diferencia de argumento~ (lo cual es posible pues poll<'mos dividir vectores entre escalares).

¡(t) - )(to)

1 - 10

difereucia de imágenes) diferencia temporal

Si pensamos en h\S imflgenes como posicioues de un cuerpo puntual que

se· mueve en el espacio, tal cociente representaría un ve c t or velo c id a d promedio en el intervalo [t 0 , t], y el proceso de límite nos daría un vector velocidad instantánea (en ca~o de existir) al tiempo to. Definimos tal proceso de límite en el espacio, mediante los límites de las funciones coordenadas que son ya de conocimiento del cálculo diferencial de funciones reale~ de variable real. DEFI N I C IÓN. Se dice que la función/' : (n . b) en el punto t 0 E (a, b), si existe el límite vectorial ¡¡

111 t-tn

/' ( t)

- 1 ( to )

t - t0

t - to

IR 3 es d ife r e nciable

_,_(x~(t) ....:..--". y....:.. ( t....:.. . ) '-' z..( .:.t-'-'))'---____,_(x~·(t....:.o.:..;.)' ..::..Y_,_(t .o:.:.)_.

z--'-(

o.:....:... ))

....:. t

t - to

. (x(t)- :r(to) , y(t) - y(to) , _.:_...:....__...:......:...:.. z(t)- z(to)) hm t - f.o t - to t - f.o

t - to

3.1 Curvas s uaves En tal

ut~o.

l:i3

t;d vector se definirá por di ( t u) -- ¡un ·1 _:__(t .:..._:.._ ) -__...:...¡.:..._( t (~ )) dt t-to t - to

y :;e llamará la derivarla de 1 en el punto t 0 .

Si en cada punw del intervalo la función 1 es difcrcnciahlc. se diní. simplemente que es una función diferenciable. Ya que el límite que defi ne a Tt- (t 0 ) depende de la existencia de cada uno de los límites por coordenada!-> (según la última igualdad en la dcfiuición). entonces tenemos,

LEMA 3.1 La función 1 es diferenciable en t 0 , si y sólo s-í, mda fnnóón coordenada e.s diferencwble en t 0 . Esto es, si cada lírmte dx(

dy( dt

)

. :r (t ) - :r(t 0 ) = t1-1m , to t- to .

- t o = 1nn

t -to

y(t)-y(to)

f.o

dz ( ) . . z(t) - z(t 0 ) tu = 1un , dt t-to t - tu

existe. De aquí que¡ e.s diferenciable, si y sólo coordenadas es diferenciable.

.~í.

wda u.nrt de .ms fnncioncs

De esta manera, el problema de d iferenciabilidad de una curva se ha reducido a la difercnciabilidad de las fu nciones coordenadas. Por eso podcn1os iniciar una discución de una propiedad más fuerte de las funciones vectoriales de variable real, es decir, de las curvas diferenciables. 1 Por una función vectorial suave de clase e•· entenderemos a una función vectorial cuyas fun cio nes coordenadas son diferenciables de clase con r ~ l.

De esta manera, 1 es una fu nción s uave, si cada una de sus funcioues coordenadas es una función real de variable real suave en el intervalo J = (o . b). Por El teorema de Whitney (Teorema 4.9 de R eyes, 1996), cada una de las funciones coordenadas de una función vectorial de variable real cuando es continua, puede aproximarse por una función de clase e··. Así. en las aplicaciones, cuando se piem;a en una función vectorial de variable 1 El lec tor no familiarizado con la clase de diferenciabilidad de una fu nc ión real puede cons ultar e l capí tu lo 3 de Reyes. 1996.

OERECI-I)S RESERVADOS O 2004, Uniwrsdad AtiÓnoma Metropolitana (México). Prohibida la reproctuoaón de esta obra así OOfi'CI &a distriluc:ión y venta fuera del .itnbilo de la UAM!D. E-libro Bibliomedia BibliomediaOfnail.oom

Curvas en JR 2 y en JR 3

134

real, ésta se supone de una clase de diferenciabilidad lo suficientemente alta, de acuerdo a las necesidades del problema que se esté solucionando. Esto es, en las aplicaciones, las curvas espaciales genéricamente se piensan suaves. Si la curva 1 es suave, definimos a su derivada en el punto arbitrario

t E J = (a, b) usando una notación clásica:

= ..Y(t) = (x(t), iJ(t), i(t))

donde el punto sobre la variable define a la derivada respecto al tiempo t. El vector derivada ..Y(t) es un vector que además de ser tangente a la curva -y en el punto -y(t), es un vector localizado posicionado en el punto -y(t).

DEFINICIÓN. Una función vectorial 1 : (a,b) --> JR 3 se llamará una curva regular, si para todo t E (a, b) su derivada ..Y(t) no se anula. EJEMPLO. Sea la función vectorial -y(t) = (cost, sent,t), entonces la curva de imagen -y en el intervalo (a, b) = ( - oo, oo) es una hélice de paso de altura 27f, contenida en el cilindro x 2 + y 2 = 1 del espacio IR 3 . Claramente )'(t) = (-sent, cost, 1) es un vector que nunca se anula y, por ello, es que la curva es regular. (véase la figura 3.5 a.).

Figura 3.5: Curvas imágenes de funciones vectoriales

3.1 Curvas s uaves

135

EJEMPLO. Sea la función vectorial 'Y: ( - oo, oo) ____, !R 2 dada por "f(t)

= (Rcost,Rsen t).

Entonces su imagen es un círculo de radio R > O con centro en el origen del plano !R2 . Su derivada ..Y(t) = (- Rsen t, R cos t) es un vector que no se anula y, por lo tanto, se entenderá también como una curva regular (véa.-;e la figura 3.5 h.).

EJEMPLO. Considérese la curva 'Y : J ____, !R3 dada por 'Y(t) = (t 3 <J

t, t 2

Es claro que el dominio de la curva 'Y es todo el eje real .J

= (- oo, oo ).

Inicialmente, para hacer el dibujo de la imagen de esta curva, a.-;ignamos algunos argumentos a la función y calculamos sus valores

Teniendo estos valores vectoriales en el plano, utilizamos ahora un método analítico para dibujar más precisamente la imagen de 'Y· Procedemos a analizar los vectores imágenes de la curva plana según los argumentos en el dominio, utilizando para ello las funciones coordenadas. A fin de resolver la desigualdad t 3 t ~ O para la primer función coordenada, calculamos las raíces de t 3 - t = O que son t = O, 1, -l. Estos números nos dividen el intervalo ( - oo, oo) en tres partes que nos permiten resolver tal desigualdad, sabiendo que t3 -t ~ O~tE [ -1 , 0]

tE[l,oo].

Consecuentemente, para la primer función coordenada se t iene

t 3 - t ~O ~ tE [-1,0] u [1,oo)

<O~ tE ( - oo , - l ) U (0, 1)

Análogamente para la segunda función coordenada, la ecuación t 2 - l O. tiene las raíces t = ± l , lo que implica, t2

1 ~O~ (-oo, - 1] U [l,oo)

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C urvas e n JR 2 y en JR3

136 t2

1 <o -=> (- 1, 1)

Evaluamos a 1 en los puntos importantes t = O, - 1,1 obtenidos al resolver las desigualdades anteriores:

¡(- 1)

= ((- 1) 3 -

-y(O) = ((0) 3

= (-

-y(l)

(- 1),(1) 2 (0),0 2

1) = (0,0)

= (0, -1)

1 - 1, 1- -1) = (0 ,0)

y al dividir al dominio J en los subintervalos

(- oo, - 1), (- 1,0), (O,l),( l ,oo) se obtiene la tabla ( - 00,

x(t) y(t)

- 1)

(- 1,0)

(0, - 1)

(1 , - oo)

+ +

que indica la posición de la imagen de un argumento sobre la curva -y en los cuadrant es del plano (véase figura 3.6), según las signaturas de sus coordenadas.

y(t)

y( O) Figura 3.6: Posición de la imagen de la curva ¡(t) = (t 3

t, t 2

Ahora realizamos un análisis cualitativo de ¡, usando su derivada

"Y(t) = (3t 2

1, 2t)

3.1 Curvas suaves

137

mediante un método similar al usado para la signatura de -y en el plano. Para la primer coordenada ::i:{t) de )'(t) se tiene

= 3t2 -

:i:(t)

1 >o{::::::::}

3t2

1 >o{::::::::} 3t2

de donde

x(t) >O{::::::::} tE o

(

-oo,

3v'3 )

,oo ) (v'3 3

v'3 v'3 ) 3 ,3

Por lo tanto, ? x(t) = 3t·1 <O{::::::::} tE

(

Análogamente, para la segunda coordenada de i'(t),

= 2t > 0 {::::::::}X E (0, oo)

y(t) y(t)

= 2t <O{::::::::} x E (- oo,O)

De las dos desigualdades anteriores se consiguen los puntos importantes

- .ñ .ñ t -o ' 3 ' 3

Ahora calculamos la imágenes bajo -y y

'Y de estos puntos importantes:

-y(O) = (O, - 1)

(-~) = e~. -~)

"Y (

¿) = (-29v'3' - ~) i'(O) = ( - 1, O)

¿) = (o,- ¿) -r (¿)=(o.2¿)

'Y (-

La figura 3.6 ilustra a tales puntos y a sus vectores velocidad (tangentes) correspondientes.

C u rvas e n !R2 y en !R3

138

Con los intervalos

obtenidos mediante este segundo análisis se forma la siguiente tabla que describe la signatura de las coordenadas de '"Y(t) = (x ), y(t)).

(-oo,- 1) (- 1,o) (o, 1) (4,oo) x(t) y(t) i'( t)

+ -

+ +

/ "" ""' correspondiente a '"Y(t) en cada subintervalo desLa flecha del renglón

cribe cualitativamente la posición del vector velocidad tangente a -y(t) (véase la figura 3.6). Además, observamos que la imagen de -y tiene una autointersección en -y( 1) = -y( -1) lo que le hace ser una función que no es inyectiva. En el punto -y(l) = ~¡( - 1) = (0, O) se tienen dos vectores derivadas 1'(1)

= (3t2 -

'Y( - 1) = (3t 2

1,2t) h

= (2, 2)

1, 2t)i - l

= (2 , -

De esta forma un t razo de la curva en una región acotada alrededor de (0, O) estaría dado por la figura 3.6. Hacemos el análisis a los extremos del dominio J Si t -> entonces,

-oo,

= (-oo, oo).

por El teorema de alto orden (véase Teorema 2.23 de Reyes, 1996). Análogamente, si t orden, se tiene

--+

+oo,

entonces, por el mismo teorema de alto

lo que se puede observar en la figura 3.6. C> A los vectores derivadas )'(t) se les entenderá también como vectores velocid ad ele -y en el punto -y(t). A la longitud de 1-(t), es decir a lli'(t)il se le llamará la rapidez de -y en el punto -y(t).

3.1 Curvas suaves

139

EJEMPLO. (La cúspide) Sea la función vectorial dada por

<J Es claro que el dominio de la curva 'Y es J

= (-oo, oo).

Asignamos primeramente algunos argumentos a la función 'Y calculando sus valores, y obteniendo la siguiente tabla.

Procedemos de forma análoga al ejemplo anterior, estudiando la signaturas de la función y su derivada. Para la primer función coordenada, resolvemos la desigualdad x(t) t ~ O. Por lo tanto, x(t) = t 3 ~ O<:::==} tE [0, oo]

t 3 ~ O que simplemente es equivalente a

y consecuentemente,

x(t) = t 3 <O <:::==} tE [- oo, O) Análogamente para la segunda coordenada, obtenemos,

y(t)

= tz

~O<:::==} tE (- oo,oo)

Evaluamos los puntos importantes encontrados, que es apenas t

= O,

1'(0) = (0, O) y con los subintervalos obtenidos se tiene la tabla de signatura de

x(t) y(t)

l'(t),

(0, oo)

( - oo, O) -

+ +

Analizamos la signatura de la derivada de la curva,

resolviendo primeramente la desigualdad,

x(t)

= 3t2 > 0 <:::==}tE

(- oo,O) U (O,oo)

Curvas en JR 2 y en R3

140

Por otro lado,

y= 2t >O{:=::::} tE (O,:x>) y(t) = 2t <O{:=::::} tE (-oo.O) y ~e tiene en e~;te caso. nuevamente el punto importante

Calculemos las imágenes bajo 'Y y

= O.

de este punto importante

'Y (O) = (0, O) 1(0) = (O, O)

que hace de 'Y (t) una curva irregular. Ahora con lo~ intervalos ( -oo, O) , (0 , X>) ~e forma la siguiente tabla de signat uras de las componentes de los vect ores velocidad, ( - oo, O)

(0 , 00)

:i:( t)

y(t) .:Y(t)

+ +

"'-..

Finalmente, hacemos el análisis a los tiempos J

extremo~

del dominio

= (- oo, oo) , calculamos los límites, lim 'Y(t)

t - -::x::

= t -lim (t 3 , t 2 ) = ( lim t 3 , lim t 2 ) - ::x:; t - - :x:: t - - ?C

(- oo,oo)

lim 'Y(t)

t-:x::

lim (t 3 ,t 2 )

t ~x

= ( lim

t ~ :x::

t 3 , lim t ) -+ (:x>, oo) t-x

La figura 3.7 ilustra el trazo de la curva imagen de esta función llama da cúspide. C> Damos ahora unas propiedades aritméticas de la derivada de funciones vectoriales con argumento escalar.

LEMA 3.2 Sean

"¡¡,";2 :

(a; b)-+ JR 3 dos f unciones vectoriales suaves de

variable real.

a. Para los escalares .A , tL E IR, se ver·ifica fácilmente que d -d (.A";¡+ .U'Y2)(t) t

d"¡¡

d";2

= .A-d (t) + ,u-d t t

(t)

= .A..Y¡(t) + .u"dt)

b . Para una función real de variable real suave .A interualo (a , b) C R es justa la relación

= .A (t )

definida en el

~ (.A (t)¡(t)) = dd.A (t)'Y(t) + .A(t) dd¡ (t) = -\(t)¡(t) + .A (th(t)

OERECI-I)S RESERVADOS O 2004, Uniwrsdad AtiÓnoma Metropolitana (México). Prohibida la reproctuoaón de esta obra así OOfi'CI &a distriluc:ión y venta fuera del .itnbilo de la UAM!D. E-libro Bibliomedia BibliomediaOfnail.oom

3 .1 C u rvas su aves

141 .

(0,0)

Figura 3.7: Curva imagen de la <1

cú~pide.

Son cálculos directos y omitimos su prueba 1>.

Seau ahora do~ funcione~ vector iales s uaves 1'!, 1 2 : (a, b) -+ JR3 en todo Pl intervalo. y consideremos para cada t E (a, b) los vectores velocida.d ~n (1). '} 2 (t). Se tiene el ~iguiente resultado acerca del cálculo de la derivada ('11 productos escalar y vectoriaL

LEMA 3 .3 St 1 1 , 1 2

(a, b) ---. IR3 son funciones suaves, son justas las

jr) rm nlas de Lei bn·iz: a.

+ (~n(t).~r2(t).

~J/(t)) =

ht.12.1'3)

+ (1'¡,)'2,1'3) + bJ,"Y2.'YJ)

donde ( , , ) es el t1'iple p1·oducto escalar. <l

Son igualmente cálculos

direct.o~ y

se omiten. 1>

EJ EMPLO. Sear; la:; curva:; espa.ciales suaves 1 1 (t)

= (cost.~ent,21r(t))

12(t)

= (4t2 ,2t,-t)

Curvas en JR 2 y en R3

142

Ya que 1'1 (t) = ( -sent, cos t, 1r) y 1'2(t)

d dt

= (8t, 2, - 1) se tiene que

< Jlt'Y2 >= < ll.'Y2 > + < /1,/2 >

=< (-sent,cost,27r),(4t2 ,2t, - t) > + < (cost,sent,27rt),(8t, 2, - l) > = -4t 2 sen t + 2t cos t - 27rt + 8t cos t + 2sent - 21rt = (2 - 4t 2 )sen t + lOt cos t - 4?rt b. De igual forma,

€2

- sent

cost 2t

4t 2

€2

+ cost sen t Bt

= ( -t cos t - 47rt, - tsen t - 81rt

, -

2tsen t - 4t 2 cos t)

+(-sen t - 47r, cos t + 81rt2 , 2 cos t - 8tsen t)

= (- t cos t - sen t- 81rt, cos t

- tsen t,

- 4t 2 cos t - l Otsen t + 2 cos t)

Introducimos ahora el concepto de curva regular parametrizada, que es de gran utilidad en las aplicaciones a la mecánica, física e ingeniería. Este concepto, aunque en apariencia tiene definición abstracta, en realidad es establecida acorde a la experiencia cotidiana. 2 D E FINICIÓN. Una curva regular parametrizada r es un subconjunto de JR 3 (ó de R2 ) tal que para cualquier punto p E r existe una función vectorial de variable real suave 'Y: J-->

satisfaciendo que, si J = ( - { ,

[R3

para un número

> O , entonces

a. La imagen de O bajo 'Y es el punto p, es decir, ¡(O)= P

b . La velocidad de ¡ no se anula en todo el intervalo, esto es,

)'(t)-:/= O para todo

tE J

2 Por

ej emplo, cuando se estudia una t rayectoria espacial de un cuerpo, es difícil estudiarla en su totalidad, así que se procede a est udiarla por fragmento, es decir, por partes que se puede n parametrizar co n una variable tempora l adecuada, en un intervalo temporal adecuado.

3.1 Curvas s u aves

143

c. La imagen de J bajo 'Y está contenida en r , en otras palabras, "t(t) E f

para todo

tE J

Si la imagen de J bajo 'Y cubre a r, diremos que la pareja("!, J ) es una parametrización der. En caso contrario, diremos que la pareja("!, J) es sólo una parametrización de f alrededor del punto p E r.

-e

F igura 3.8: Curva regular parametrizada. En coordenadas (x, y, z) del espacio cartesiano, la curva 'Y(t) está definida por el vector

'Y(t)

= (x(t), y(t), z(t))

t E J,

donde !rus coordenadas x(t), y(t), z(t) son funcio nes reales suaves definidas en el intervalo .! = ( - t:, t:) que contiene a t = O (véase la figura 3.8). En adelante, cada vez que hagamos referencia al dominio de parametrización de una curva r alrededor de un punto p Jo definiremos por la, b] en lugar de ( - e, E), tomando en este cruso, el dominio más amplio para parametrizar tal curva r. Esto es, cada vez que demos una c urvar, la entenderemos, sin pérdida de generalidad, como la imagen de una función 'Y :

la, b]

--+

la, b] e IR, siendo 'Y una función suave con coordenadas suaves. Para 'Y : la, b] -> r curva regular parametrizada, en cada punto -y(t) E f

donde

se define un vector tangente a r en tal punto, como el vector derivada de 'Y en t, esto es,

V ( t)

(dxdt ' dydt ' dz) dt

La notación 1 = "y(t) es muy conveniente, como ya hemos mencionado, a la hora de hacer cálculos, sobre todo en problemas de aplicación.

Curvas en IR 2 y en 1R3

144

A continuación damos ejemplos de para metr izaciones de curvas

1R3

(o IR2). EJEMPLO. Considere la elipse en el plano con semieje mayor a > O y semieje menor b, definida por la ecuació n

x2 a2

+ b2 = 1

<J Una deformación del círculo unitario

parametrizado por t --+ (cost, sent), por un escalar a en la primera coordenada, y por el escalar b en la segunda coordenada, nos da la para metrización requerida. Esto es,

r :{

X = a cos t y = bsent,

t E IR

parametriza suavemente a la elipse r . Si escribimos ¡(t) = (acos t, bsen t), entonces el vector tangente a¡ en el punto ¡(t) E r se calcula por

v(t) Como v(t)

= 'Y(t) =

(- asen t, bcost)

=f. O, entonces r resulta ser una curva regular.

EJEMPLO. Sea r e IR 3 una hélice contenida en un cilindro de radio 4 y con paso de altura h = 47T.

<J Para poder parametrizar a r, partirnos de que una hélice contenida en un cilind ro de radio R y paso de a ltura h = 2k7T tiene la parametrización general

'Y = v(t)

t --+ (Rcost, Rsent, kt),

Si R = 4 y h = 47T = 2(27r), entonces k pararnetrización de r está bien definida por

tE lR

2, lo q ue lleva a que la

x = 4cost y= 4sent { z = 2t

Si se define por ¡(t) = (4cost, 4sent, 2t) , tE IR, a tal curva, entonces el vector tangente en el pu nto ¡(t) E f está descrito por

v(t) = )'(t) = (-4sent, 4cost,2) , vector que no se anula. Esto hace que la hélice

r sea una curva regular.

3.1 Curvas suaves

145

EJEMPLO. Sea r el círculo de radio R coordenadas dado por

> O con centro en el origen de

Al considerar la función vectorial 'Y : ( - oo, oo)

IR 2 dada por

'Y(t) = (Rcost,Rsent) entonces su imagen

es el círculo dado. Su derivada )'(t) = (- Rsent,Rcost)

es un vector que no se anula y, por lo tanto, se entenderá también como uua curva regular. Anotamos que la fu nción vectorial ::Y(t) = (R cos 2t, R sin 2t) t iene como imagen también al mismo círculo, pero su vector derivada es más grande de norma que la de 'Y(t) . De hecho, ~ (t) = ( - 2Rsen2t,2Rcos2t) .

lo que implica que

l l~(t)ll

= II ( -

2Rsen2t, 2Rcos2t) il = 2R

== 2[1( - Rsent, Rcost) ll

= 2[[i-(t ) ll

lo que nos dice que la norma de ~(t) es el doble de la norma de )'(t) . (La figura 3.9 ilustra esta situación) . Decimos simplemente que la parametrización ::Y(t) "va má.s rápida" que la de 'Y(t). !>

Figura 3.9: Parametrizaciones del círculo de radio R > O.

Curvas en R 2 y en JR 3

146

3 .2

La segunda derivada. Aceleración

Ya se ha mencionado sobre la clase de diferenciabilidad de una función vectorial de variable real {curva suave)

relegando las definiciones a las propiedades de las funciones coordenadas

{

x = x(t) y = y(t)

= z(t)

tE J

Par ticula.rrnente, una curva de clase C 2 es una función vectorial de variable real cuyas componentes son funciones de clase C 2 . Entendernos por i(t) la segunda derivada de la curva 'Y en el punto 'Y(t), y en coordenadas le escribirnos i(t) == (x(t), y(t), i(t)) = x(t)e¡

+ y(t)e2 + i(t)e3

donde los puntos indican derivación respecto a la variable temporal tE J .

DEFINICIÓN. Al vector espacial i(t) se le llamará el vector aceleración de la curva 'Y en el punto "Y(t) . EJEMPLO. Sea el círculo de radio R, con centro en el origen, parametrizado por,

"Y(t) <l

= (Rcost,

Rsent), tE IR

Un cálculo simple nos muestra que '}'(t)

= (-Rsent,

R cost)

i(t) = (- Rcost , - Rsent) = - R(cost, sen t) lo que nos dice que 'Y(t) = - i(t). Esto es, el vector de posición "Y(t) y su aceleración i( t) son paralelos con sentidos opuestos. C>

EJEMPLO. Dada la curva suave

"Y(t)

= (e2 t,sen4t,cost)

calcular 'Y(t) y i( t). <l Directamente, obtenemos los vectores velocidad y aceleración,

"f(t) = (2e 2 t, 4cos4t, - sent)

3.2 La segunda derivada. Aceleración

EJEMPLO. Da.(l<t la curva.

~ua.ve

= (t 2 + 1,t;¡ -

¡(t)

147

.¡ 2,t + 1)

calcular< 'Y( t.) , i(t.) >y b(t), i(t.)]. <J Al calcular directamente los vectores velo<"idad y a<"<·h·ra<"iÚn d(• -1 ¡(t), obtenemos 'Y( t) = (2t, :31.2 ' ,¡(l )

("JI

= (2, Gt, 12{2 )

i(t) de donde

< ..;r(t), i(t) > = j-y(t),,:Y(t)]=

e1 2t 2

e:1

3t2 6t

1{3

+e:s(12t 2

tlt

+ 18(1 + ·1 8{'

= c:1 (:3Gt..¡ - 2.1f 4 ) - c·A2·1(1 - 8(1)

12t2 -

6t 2 )

= (12t\ -

1U{1 ,M2 )

Com;ideremo~

ahora. cualquier curva¡= ¡(t.) tal que tenga 1111a 11onna (por ejemplo ¡( t) = ( R cos t, Rseu t.) el dr<:ulo d(• radio R) , (•st.o es, para todo t E .} , tenemos que con~ tan te

ll¡(t)l l = k donde k es una. constante no negativa.. <J

Ya que k= lh(t) ll, entonces 2

k = lh(t)l l =< "'f(t), '}(t) >

de donde, al derivar cada miembro respecto al tielllpo t obteuelllos d o = dt < ¡(t),¡(t) > = < ')- ,¡(t) >

"J(f),')-(t) >

= 2 < 'Y(t),"'((t) > e~

decir,

< 1(t), "'t(t) Jo que nos dice que ¡(t) y"¡ son

>=o

ortogonale~ .

Así, utilizando e~te razonamiento para aquellas curvas con vectores velocidad con norma. constante lh (t)ll = k ~e tiene.

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Curvas en JR 2 y en JR 3

148

Ln8 r·u:ro(}..~ .~·tutvt·s rrw· tú:nrn ntpúiez r.onst.nnft: son tales que .sus vect.or·e.s t•drwidtul y 1/.l'dn·¡u·itín son o'l'f.ot¡onalts.

EJEMPLO. S1•a la. cmva. circular espacial ¡(t)

= (1 cost, rlscu t, G)

<J El \'l'l't.or wlocidad se <·akula

')-(!) 1' 11\'H IJOI'lllit ('S

lh{f)ll

Por lo t a11t.o.

= ( - ·1scut. , 1cost,O)

=·l.

1·! W<"t.or

Vl'locida.d ) ( f) l'S ortogonal n.l vector acelcmción

i(t)

= (-

1<"os r , - · ls~·nt. O)

d1 ·hielo n In dis<"us iúu nnt.l·rior, !' ro111o se ¡Hwde apreri¡n mediante el cálculo din •1·t.o .

< 1 (t). i (t) > ==

1ü ('OS t S<'llf - lG cos t sen t. = O

Ejercicios l. Dibujar la ¡.?;nífica l' ll IR'.! o IR;1 s<'gún corresponda, de las funciones a. ¡ 1 (t) == (:3t. ·lsl'llf) b. ~l'..!( t ) = (cos/. t + 2s<'nf) / :¡(/)

= (t'2

- '21. t'2

d. -¡.¡{t )

= (('

ros t. (' 1Sl'nf)

e. ¡;,{t)

= (+ros/. +sm t)

+ 21)

f. -,n(t) = (lflc·ost.l:):lscn t) . g. ; 7 {t) =(ros t. sl' ll t. f) h. ~,x (t) = ( 1l'OS t . ls<'ll t. e 1 )

t ~ 1

2. a. Calcule la derivada de las funcione:-; del ejercicio l. b.

Calcular el vect.or tangeute a cada curva en los punt.os

7r/ 2. t

=1r.

1, t

3. Calcular, para las curvas del ejercicio 1,

;/¡ < l't (t) , /':z(t) >

b. ;/¡h:¡(/) , ¡ .¡ (t) ]

c. ~("!¡ {t), ')':;(t). )t;(t)). 4. Calcular i(t) para cada curva en l. y el vect.or aceleración en los puntos

t = 1. t =

I;.: t =

1r.

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Capítulo 4

Campos escalares en JR 3 En este capítulo hacemos el análisis cnalitati vo d(! 111111 función d(· \'ari;,.-; ,·nriables reales, generalizando a lgunos conceptos conocidos ya paw hu wio1ws rea les de una variable real.

4.1

Regiones en JR 2 y JR:3

Iniciamos esta sección describiendo los objetos p;cou•{•tricos ('11 IR" <pw \'nu a ser utilizado::; a lo largo del capítulo. Estos objetos p;ozm1 d e nmwterísticas que son usadas para estudiar lm; propi(!dades de fnnrimws qw· están definidas en subconjuntos del espacio euclidia no IR" . En general, en la teoría diferenciahlc de fnncioucs rea les de vari<~ l Jk n·al. los dominios se presumen de la forma

= (o. . b)

es decir, intervalos abiertos. Al intervalo (a, b) se le llama abierto p1ws 110 ('(mtienc las orillns Generalizamos este concepto de conjunto abierto cu IR:1 . f

11 .

Si p E IR" y f > O es un número real positi\'o. se define la bola de radio y centro en p , como el conj unto sólido

B,(p)

= {q E IR" I IIq -

Pll < f.}

D EFIN ICIÓN. Dado un conjunto n e IR". se dicr que es un conjunto abierto en IR'" , si para cada pE n existe un uúmcro e > O tal que la hola de radio f y centro en p está contenida totalmente en n. est o <'S. B ,(p)

Campos escalares en IR3

150

-----/

f 1 1

1 f

1 \

' '

____

....

' '

Fip;urn -1.1: Conjuuto abierto en IR''.

EJEMPLO. Todo iutcn·alo abierto (a, b)

IR es un intervalo abierto.

<J Esto .''<1 :->L' demostró mtt.erionnentc. notando que en el cru;o unidimensional una hola. <'otTespondc a un int.C'rvnlo.

B, (p) = {<¡ E IRIII<J-

Pll < d = {q E 1RI Iq- PI <e}

= { 11 1 - e < r¡ - P < e} = { lfl 1> - (

=(p-c.p+c)

< q < P + e}

Los sip;ui<"ntcs ejemplo::; omiten las demostraciones de las afirmacíone:s mostrando ap(•nas una ilustr;tción de los subconjuntos que intervienen. En p;l'llernl h;H'<'lllOs hincapié qu0 un conjunto abierto n de IR" es un conjunto ..p;ordito.. que no tiene orilla (frontera).

EJEMPLO. Una hola de rndio e con centro en cualquier p E IR" es un conjumo abierto. <J

En C!-itC caso

n es una bola 8, (p)

EJEMPLO. Sean e IR2 la parte del plano definido por

n = {(x, y)l.r >y} <J

El conjunto

n es abierto en IR2

(véase la figura 4.2). 1>

EJEMPLO. Sean e IR2 el subconjunto dado por

4.1 Regiones en IR 2 y IR 3

151

y=x

Figura 4.2: Semiplano inferior x > y. <J

Claramente Q es un subconjunto abierto en JR 2 •

EJEMPLO. Sea el conjunto

n = {(x,y,z)lx2

+y2 < z2 }

e JR 3

que define el interior de un cono. Se afirma que es un conjunto abierto en

JR 3 . <J

Al considerar la igualdad x2

+ y2

= z2

tal ecuación de:scribe a un cono y Q defi ne el interior del cono como lo muestra la figura 4.3. 1>

EJEMPLO. Sea el conjunto Q = {(x,y,z) lx 2 +y2 > 1} e JR 3 . Entonces n es un conjunto abierto en lR 3 y es el exterior del cilindro unitario (véase la figura 4.4) . 1> <J

DEF INICIÓN. Definimos al conjunto e e JR" como un conjunto cerrado en lRn, :si :su complemento en IR"" es abierto. Para ejemplos de conjuntos cerrados tenemos a los complementos de los conj untos abiert os dados en los ejemplos anteriores.

EJEMPLO. a. El conjunto

(- oo,a] u [b,oo)

Campos escalares en IR 3

152

eS .

·.

~ .... ......

/ X

Figura 4.3: Interior del cono z 2

= x 2 + y2 .

•

• •

1 1 1 1 1 1

~ X

. .. . ......

1 1

Figura 4.4: Exterior del cilindro unitario. es cerrado en la recta real IR. b. El conj unto Ps

e = {(x, y) lx :S y}

cerrado en el plano IR 2 .

c. El conjunto es cerrado en IR 2 . d. El exterior del cono, incluyéndolo

DERECHOS RESERVAOOS02DCM. Un~/iy.Aónom;a ~(México). Prd1ibd.J la~ dt . . . obra :.si como tacis:trb.Jclónywnta~ del ~~k! dt11 UNI!e. E-lbo Bil*lmecia Bibliorrw:-ciaOrnail.oom

4.1 Regiones en IR 2 y IR:_¡

153

es un conjunto cerrado en IR;¡ . e. El interior del cilindro unitario, incluyendo al cilindro

e :::: { (x,y,z) lx2 + y 2 :S

es un conjunto cerrado de 1R3 . Es claro que existen subconjuntos de IR'1 que no son ni abiertos ni cerrados. Por ejemplo D = ( - 1, 2] es un intervalo que no es abierto ni cerrado en IR. Sea S1 e JR.3 un subconjunto. Se dice que el punto q E IR 3 es punto frontera de n si toda bola con centro en p intersecta a n y al complemento den.

Al conjunto contenido en IR" definido por

on == {p E IR' 1p 1

es frontera de

se llamará frontera de n en !Rn . Damos algunos ejemplos de fron teras de conjuntos.

EJEMPLO. a. La frontera den= (a, b) es el conjunto formado por la pareja de puntos, a(a, b)

= {a, b}

b. La frontera del conjunto cerrado e= {(x, y)l X :S y} es la misma que la de su complemento, el abierto n = {(x , y) 1 x > y} y es la rect a

oC :::: oD = {(X , y)

X = y}

Tal conjunto está contenido en el cerrado C y no pertenece al subconjunto abierto n. c. La frontera del abierto n = {(x , y) 1 x 2 + y 2 < 4} es la misma que la del cerrado C = {(x , y) l x 2 + y 2 :S 4} y la constituye el conjunto cilíndrico

que está contenido en el cerrado C. Dados los conjuntos n == (x, y, z) 1 x 2 {(x . y,z) l x 2 +y2 ::=: z 2 } cerrado, t enemos

+ y 2 < z 2 } abierto, y C

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154

Campos escalares e n IRa

es la frontera tanto de

e como de n.

Entre las características geométricas de un s ubconjunto de R" está aquella que nos asegura que tal subconjunto no está dividido en pedazos ajenos entre sí. DEFINICIÓN. Decimos que el conjunto n e IR" es conexo si dados dos puntos p, q, E n. existe una curva r que los une, totalmente contenida en

n no es

un conjunto conexo se llamará disconexo, (véase la figura

-1.5).

EJEMPLO. Sea el conjunto del plano

n = {(.r,y) l r 2 T-Y 2 ~ 1 ó :r 2 + y2 ~ 4} Se afi rma que

n es disconexo.

Figura 4.5: Conjuntos conexo y disconexo. <J Dados p y q con IIPII :S 1 con los une se sale del conjunto n. [>

llqll > 2 se

t iene cualquier curva que

EJEMPLO . El conjunto anular

A = {(x,y) E R2 l 1 ~ x 2 + y2 :S 4} encerrado entre los círculos de radios 1 y 2 respectivamente, con centros en el origen, es un conjunto conexo. En general un conjunto conexo es aquél que está. form ado por una sola pieza. Esto es, un conjunto conexo en IR'1 se ent iende intuit ivamente como un conjunto que no se divida en varias piezas. DEFIN I C IÓN. Por una región en R" entenderemos un conjunto n C IR'1 que es abierto y conexo.

4 .2 Campos escalares e n R 3

4.2

155

Campos escalares en JR 3

Pasa mos ahora a definir a una función real con argumento vectorial, utilizando los conceptos dados de abierto y conexo. Por un campo es calar definido en la región

emendemos a la función real de variable vectorial, es decir, una asociación t al que cada punto p E n se le asocia el número real j (p) .

• p

Figura 4.6: Función vectorial

~~(p)

f : f2 e R'1

En coordenadas x , y, z del espacio R 3 esta asociación se escribe, para el punto p = (:r. y. z). f(p) = f (x , y , z) Esto es. si (x . y . z) E

n, bajo la función f

se le asociaría el número real

(x , y , z)-> f(x , y,z)

En adelante. usaremos indistintamente los nombres de función real ele variable vectorial y campo escalar. DEFIN ICIÓN. La gráfica de una fu nción f:

n-> Res un subconjunto

Graf(f) de R'1 definido por Graf (J)

= {(p,

f (p) ) 1p E D, j (p) E R }

== {( (:r, y . z), j (X, y, z)) 1 (X, y, z) E f2. j (p) E R} Análogamente, para una func ión defi nida en la región plana j : n _, R se t iene su gráfica como el subconjunto Graf(j)

= {(:r.y. z)

!Pl 2 ,

(x.y) E D. z = j (x.y) }

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156

Campos escalares en IR;¡

Figura 4.7: Gráfica de f(x , y) = x 2

+ y2

contenido en IR;¡ , constituyendo una superficie en tal espacio tridimensional. Damos algunos ejemplos donde la regla de correspondencia es dada de antemano.

EJEMPLO. Sea el campo escalar cuya regla está dada por

<J Claramente, el dominio de

J es n = IR2

y su gráfica es la superficie

definida por el conj unto contenido en IR3

Graf (!)

= {((x , y),

+ y 2 )1 (x , y) E IR2 }

= {(x,y,z) l z == x 2 + y 2 } que resulta ser un paraboloide circular (véase la figura 4. 7).

EJEMPLO . Sea la func ión cia

f : n ---+ IR dada por la regla de corresponden-

<J Para calcular el dominio

n imponemos la condición 4 -

y2 2:: O

o equivalentemente,

Esto es, para (x, y) E n se debe cumplir que !l(x, y)I J:S 2 lo que no1.> dice que el dominio n deberá ser un disco cerrado ele radio 2 con centro en el or igen de coordenadas.

4.2 Campos escalares e n JR 3

1 57

z (0,0,2)

Figura 4.8: Gráfica de f(x,y)

= y'4- x2- yz.

La gráfica de f es el conjunto cerrado Graf (f) = {(x, y, y'4 - x2 - y2) Si ponemos z

= y'4 -

x 2 + y 2 ::; 4}

y 2 entonces, al elevar cuadrados obtenemos

zz = 4- xz - yz

de donde, xz

+ Yz + zz =

que es una esfera de radio 2 con centro (0, O, O). De esta manera, la gráfica de f es la parte superior de tal esfera como lo muestra la figura 4.8. C>

z 1

y 1 X

Figura -1.9: Parte del plano x +y + z

= 1 en el primer octante.

EJEMPLO. Sea la función f : f2 --. IR dada por la regla f(x, y, z) = ln(l - x - y- z)

Campos escalares en Ift3

158

<J La función e~tá definida en una región de Ift3 determinarla por la relación

1 -x -y-z >O es decir,

1 >x + y + z :r

En la igualdad x + y + z 1 y z = l.

= 1 tenemo~

un plano con

corte~

con los eje:;

= 1, y=

Al tomar el punto p

= (0, O, O) se t iene que ~u~ coordenada~

~atis facen

0+0 + 0 = 0<1 decir, p satisface la relación x + y+ z < 1 y está por abajo del plano mencionado. Es natural pensar que todos lo~ puntos (x , y , z) :;atisfaciendo la relación x + y + z < 1 están situado~ por debajo de tal plano.

De e~ta manera el dominio de f es la región n de JR 3 formada por los punto:; debajo del plano x +y+ z = 1 (véase la figura 4.9).

4.3

Superficies y curvas de nivel

En esta parte estudiaremos un método para t razar aproximadamente la gráfica de una función de do~ variable:; mediante lo~ conju nto~ de nivel de tal func ión (imágenes inversas) contenidos en el dominio. DEFINICIÓN. Para un campo escalar J: n e Ift3 __, lR y un valor e E lR dados, se define el conjunto de nivel de f al valor e, definido por ¡- 1 (c) , como la imagen inversa de e bajo f, esto es,

¡- 1 (c) = {(x,y ,z)l f(x,y , z) =e} En otras palabras, es el conj unto de puntos (x, y , z) E el mismo valor f( x,y,z) = c.

n que bajo f

alcanzan

EJEMPLO. Sea la función

Calcular lo:; conjunto:; ele nivel para los valores e = 1,0, l. <J

E~to

:r2

Para el caso e = - 1, se t iene que por definición

es, los puntos (x , y, z) en tal conjunto deberán satisfacer la relación 1, lo cual es imposible.

+ y2 + 2 2 = -

159

4.3 S uperficies y curvas d e nive l Consecuentemente, el conjunto de nivel obtenido conjunto vacío.

¡ - 1(-

0 es el

Consideremos ahora el valor e = O. Entonces en este caso,

es decir, los puntos contenidos en tal conjunto deberán satisfacer la relación :.~; 2 + y 2 + z 2 = O, y tal relación es apenas resuelta. cuando x = y = z = O. Por lo tanto, el conjunto de nivel para e= O es apenas el punto

¡- 1 (0) = {(0,0 , 0)} Finalmente, consideramos el valor e = 1, y entonces en este caso,

Es decir, los puntos en tal conjunto deberán satisfacer la relación x 2 + y + z 2 = l, la cual corresponde a la ecuación de la esfera S 2 e IR3 , esto es, 2

De esta última discusión, se observa que para un valor e arbitrario los puntos (x ,y , z) en el conjunto de nivel ¡ - 1 (e) deberán de satisfacer la ecuación x2 + y2 + z2 = e la cual tiene sentido apenas (puede ser resuelta) para e 2: O, es decir, f - 1 (e) es vacío si e < O. Si e = O hemos ya notado que ¡ - 1 (O) se reduce al punto (0,0,0). Por otro lado, si e> O entonces ¡ - 1 (e) es una esfera con centro en el origen y de radio R = Jc como lo muestra la figura. 4.10. eje z

PLano (x, y)

Figura 4.10: Conjuntos de nivel de x 2 + y 2 + z 2 =e

OERECI-I)S RESERVADOS O 2004, Uniwrsdad AtiÓnoma Metropolitana (México). Prohibida la reproctuoaón de esta obra así OOfi'CI &a distriluc:ión y venta fuera del .itnbilo de la UAM!D. E-libro Bibliomedia BibliomediaOfnail.oom

Campos escala r es e n 1R3

160

Notamos además que para c1 f: c2 se tienen dos esferas diferentes en virtud de que los radios de cada una es diferente.

¡ - 1 ( c 1) f: ¡- 1 ( c2 )

Por lo tanto, los conjuntos de nivel folían (dividen) al dominio de la función f(x , y , z) = x 2 + y 2 + z2 mediante esferas (hojas) que no se intersectan entre sí. 1> La afirmación última es válida en general para cualquier campo escalar _. IR. Esto es ,

f : n e IR3

LEM A 4.1 Los conj1tntos de nivel de un campo escalar f folían (dividen) al dominio mediante conj?J.ntos {hojas) ¡- 1 (e) que no se intersectan entre sí. <J

Si para los valores e1 f: e2 E IR, los conj untos de nivel respectivos

¡ - 1(e¡) y ¡- 1(e2) se intersectan, ¡- 1(e¡) n ¡- 1(e2) f: cjJ , entonces sea p E ¡- 1(eJ) n ¡- 1(e2). Ya que p E ¡ - 1(e¡) y p E ¡- 1(e2), entonces

f (p) = e 1 y f(p) = c2 , lo que no puede ser pues fes una función y a cada punto del dominio le asocia un valor y sólo uno. 1>

La discusión que hemos realizado se puede llevar a cualquier función de varias variables, particularmente para funciones del tipo f(x ,y) , donde los conjuntos de nivel ¡- 1 (e) son curvas planas que folían el dominio de f (véase la figura 4.11). c> O

-----

Figura 4.11: Curvas de nivel y gráfica de la función f(x ,y)

= x2

y2.

EJ EMPLO. Dada la función en dos variables,

describir a los conjuntos de nivel para e <l

= -1, O, l.

Para el valor e = - 1, se tiene la relación

4.3 S u perficies y curvas de nivel

161

que corresponde a una hip~rbol a cou sus !'OIIIJlOIH'Ilt<'S v<·rti('nl<·s ,\' pnsn udo por los vért.ices (0, 1) y (O. - 1) respc!'tivaJHCllt<'. Para. el valor r· .1:

=O se deberá de cumplir la n·lac:ión y

= O {:::::;::> (x, + y)( :r - y) = O~ Y =

±.1

que corresponde a un par de rectas por el origen de coord<•J¡;ulas. Tales rectas son las asíntotas de la hipérbola cucout.mda cwuHlo estudio el 11ivcl e = - l.

S!'

f iualmeutc pa.ra el caso e = 1, se cuinpliní la reln('iÚH

que corresponde a una hipérbola cou sus coiuponcut('s hori;,ou t<~i<-s <(11<' pa..•-mu por los vértices (1, O) y ( - 1, O) r<:speC'tivamcnt<·. teniendo <·m11o rel't<ts a~íntotas a y = ±:r. Ull

Un análisis semejante al realizado nos permite coHcluir que si (' E IR <'S va.lor arlJitrario se cumple que

a . Para e < O. el conjunto ¡-I (e) es wm hipérbola verti('al con v(·r ti('es <'n los puntos (0, y7), (0, - JC), y con rectas asíntotas y= ±.r. b . Para e= O, ¡-I (e) es la pareja de rectas por el origen y =

±.r.

c. Para e> O, el conjunto ¡ - (e) es una hipérbola horiwHtnl cou \'{:rtic<·s en los puntos ( JC, O), (- JC, O) , y con rectas asíutotns y = ±.r. 1

La. figma 4.1 1 ilw;tra la.s curvas de nivel en este cjcrnplo.

(.>

Observemos detenidamente el proceso de foliar el domiuio H de ];, función f mediante conjuntos de nivel. Damos inicialml'nte un valor de fa la '·al tura'' e E IR y buscamos el conjunto ¡ - 1 ((·) que ('S la irnagcn inven;a de e bajo f. En otras palahra..<.; , ¡ - 1 (r:) es la forma del conj unto que t iene la. gráfica de la función f cuando se observa sólo a la alt ura r· de los posihles valores. :\Iás correctamente, cada subconjunto de nivel ¡- 1{e) es la partA! de la gráfica ele la función f s uspend ida. dentro de la gnífica a un nivel del valor igual a e, lo que nos dice que se puede constnrir la gráfica de la fuuci611 f : n -> IR!. con el simple hecho de foliar n con los conjuntos de nivel , ~· después colocar cada conjunto de nive l a su altma correspondiente. Esw proceso nos recuerda a la descripción de las zonas geográficas lllediante mapas topográficos que detallan la configuración de clla.o; uti lizando cmvas de uivel. Cada curva de nivel corresponde a uua alturn Jet.erruinada. y el conjunto total de curvas nos ayuda a describir la topografía. de la zo11a estudiada (véase figura rl.l2).

Campos escalar es en JR 3

162

..... . .. .. ___1 e

t ' c,----t-t e, ---~---

Figura 1.12: Curvas de nivel en topografía.

EJEMPLO. Consideremos nuevamente el campo escalar,

<J Ya hemos estudiado cuáles son las curvas de nivel de esta función , por lo que ;;e tienen los siguientes resultados.

a . Para un valor e < O ,·el corte de la gráfica Graf(J) = {(x,y,z) ! z

= x 2 -l}

con el plano horizontal (a la altura) z == e corresponde a una hipérbola en el plano JR; .y en dirección del eje y, con vértices en (O, JC), (0, - JC) y asíntotas y = ±x. b. Para el valor e= O, el corte de la gráfica Graf(J) con el plano horizontal z = O corresponde al par de rectas y = ±x en el plano lR; ,y. c. Para el valor e > O, el corte de la gráfica Graf(f) con el plano horizontal z :::: O corresponde a una hipérbola en el plano JR;, ,y en dirección del eje x, con vértices en ( JC,0), (- JC,O) , y con asíntotas y = ±x. La figura 4.11 describe la gráfica de esta función que es un paraboloide hiperbólico (silla de montar). C> Los siguientes ejemplos nos indican que en general, hacer el trazo de la gráfica de una fu nción de dos variables no es simple cuando se usa la metodología ele las curvas de nivel, y que hay que encontrar argumentos rmís sotisficados para el trazo, debido a que la estructura ele las curvas de nivel e::; complicado, o demasiado ::;imple para la elaboración de tal trazo.

EJEMPLO. Considérese la función definida en O = lR 2 regla de correspondencia

f(x,y) ==

{(O, O)} por la

xy X

+ y-

4.3 Superficies y curvas de nivel

163

<J Ca.lcullltllOS sus <"mvns de uivd para 1111 valor arhit.mrio r· E IR!.. Los puntos (:e, y) E ¡- 1(c) dcbcn\n ::;nt isfn('n la. rdación

.ry -.--".___,..,. = (' ,¡;2 + !)'.!. o equiva.leHtemeHtC ( omitie11do el ori¡!;<'ll el<' coord('uadas). xy

= (:(:e

•)

·)

+ y-) <=:=>

('.J:- -

:ry

+ r·y- = O

Si se resuelve la última ccuariúu ¡mm y Cll t{·nHiuos d<' .r , s<· t.i<·nc <jll<' 1J

x ± J:r'l :=::

2r:

1Jr·2 :1: 2

l ± JI - Jr:'.!. =- -- - - :r 2('

que corresponde a ecuaciones de rec:t;L-.; por d origt'll <"IIYH ¡wHdi<·llt<' <11-pcudc del valor de r:. Tales valores de e est<Í.u coud iciouados n qH<' 1 - ·'k2 ?: O , <•s <i<·rir. n qtw - ~ ~ e :S ~. La.'i cnrv<L'i de 11ivcl. q11c rc•almeutc no pasa u por (O. O). <:st;íu t ra.zada.o; en la figura 4.1:) pam ciertos valores de r:. Claramc:ntc <'S difí<"il realizar el dibujo de la gráfica co11 estos ei<•tn<·Htos <'1 1 virt11d de <¡H<' d lmz de líneas obtenidas al ser levantados a sus valores ws¡wctivos difi<"ultmt su pegado continuo, además de la ap<triri<'m del punto singular 1' (0. 0). La traza de la grMica de f realizada por el prog;raum de Mathematica se nmcstra en la figura ·1.13 que describe s 11 cotupkjidad r·<·rC'a d<:l ¡HtJJt.o singular. C>

c< O

c> O

---

------ c< O

y c>O

Figura 4.13: Curv<u; de 11ivcl y gráficas de f(.r,y)

= J/!12 .

EJEMPLO. Consideremos el campo escalar cmhtico

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164

Campos escalares en JR 3

------------------------------------~--------------

Para el valor e E IR, los puntos (x,y) E ¡ - 1 (c) deberán satisfacer la ecuación 4 x + y.t - 4xy := r:. <J

Tal ecuación no es a primera vista reconocida y, de hecho, lo. f0rma de las curvas de nivel varían según el valor c. En el capítulo 9 {de los ápendices) buscaremos tales curvas de nivel utilizando un análisis cualitativo de la función alrededor de los llamados puntos críticos, que determinan localmente (alrededor de ellos) la estructura de las curvas de nivel. De hecho mostraremos las siguientes propiedades de la función f . a. Si e < - 2 entonces f - J (e) es vacío, es decir, sólo cuando e ;:::: - 2 el conjunto de nivel ¡- 1 (c) es no vacío. b. Cuando e == - 2 la curva de nivel es la pareja de puntos críticos aislados ¡- 1 (-2) = {(- 1, - 1),(1 , 1)} c. Cuando - 2 < e < O. la curva de nivel f -J (e) está compuesta por una pareja de curvas cerradas que encierran a los puntos críticos mencionados en b. d. Cuando e = O la curva de nivel ¡ - 1 (O) es una curva que se autointersecta en (0, O) en forma de "ocho" y que en cada uno de sus pétalos encierra las parejas de curvas mencionados en c. e. Cuando e > O la curva de nivel ¡ - 1 (e) es un circuito cerrado que encierra a la figura de "ocho" dada por ¡- 1 (O) . Cabe resaltar que una prueba contundente de todos los resultados mencionados en este ejemplo serían provistos por la teoría básica de la rama de las matemáticas conocida como Geometría Algebraica. La figura 4.14 ilustra las curvas de nivel de la función y su gráfica t razada por el programa de Mathematica. 1> La moraleja de los últimos ejemplos es que, en general, no es simple ni siquiera construir las curvas de nivel de una fu nción . ?viás aún , ya teniendo las curvas de nivel de una func ión (vértebras de la gráfica), en muchas ocasiones no es fácil construir su gráfi ca (columna vertebral) . Lo recomendable, entonces, durante el análisis de un campo escalar de dos variables, es el uso de un programa de graficación ejecutado por un ordenador. Para el caso de una función de tres variables, la construcción de su gráfica es imposible debido a que está sumergida en un espacio real de dimensión cuatro, objeto que no es simple dibujar.

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4.4 Derivadas parciales y el gradiente

165

Figura 4.14: Curvas de nivel y gráfica de f(x, y) = x 4

4.4

+ y4

4xy.

D erivadas parciales y e l gradiente

A continuación iniciamos el estudio de la propiedad de diferenciabilidad de un campo escalar definido en una región del espacio JR3 (ó JR2 ) . Sean, f : n ~ IR una función real de variable vectorial definida en la región n e IR 3 , y p = (xo, Yo, zo) E n un punto arbitrario. Si dejamos fijas las coordenadas yo, zo y variamos la variable xo en el intervalo [xo , Xo + h] podemo::; formar el cociente (parcial)

f(xo + h, Yo, zo) - f(xo, Yo, zo) h y tomar el límite cuando h ~O (véase la figura 4.15).

DEFINICIÓN. Si tal límite existe, se llamará la d erivada parcial de respecto a x en el punto p = (xo, yo, zo) y se entenderá por

) _ . f(xo + h, Yo, zo) - f(xo, Yo, zo) x , y , z - 1tm h ux 0 0 0 h- 0 Tal cantidad define la variación de la función f en el punto p (:ro, yo, zo ) en la dirección del eje x. 8f (

-¡:;--

Análogamente, se construyen la derivada parcial de como

f rc::;pecto a y en

= (xo, Yo, zo)

af (

)_ .

-¡:;-- xo, yo, zo - 1tm

y la derivada parcial de

k- O

f(xo, Yo+ k, zo) - f(xo, Yo , zo) k

•

f respecto a z en el punto (xo , yo, zo) mediante

la igualdad

f( . ) _ . f(xo, Yo, zo +e) - f(xo, Yo, zo) - Xo, yo, Zo - 1un t -0 0z

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Campos escalares en IRJ

1(36

si t.;des lílllit(•s exist.('ll.

Figma ·1.10: Derivada pardal de una función respecto a :r. Co!llo (.r 0 , y 0 . .:0 ) es arbitrario, el ní.lculo de ta.lcs parciales se obtiene derivando ordiuarinuwute la fu ncióu dad<\ respecto a la variable ind icada <h·jando hjas las ot.ras variables.

EJEMPLO. S<·a d campo escalar f(J:. y.;:;)=

J'2

+ y2 + ;:;'2

<l Cnkulamos sus derivadas parciales derivando ordinariamente resJH'('to a In variable indicada, hjando las otras variables, obteniendo en <·nalqnicr punto arbitrmio (.r. y . .:;) del plano,

- (.r.y, .:) 0 .1'

= 21·.

iJf -iJ (.r, y, :; ) y

EJEMPLO. Sea la función

('Jl

tres vnrinbles

f(:r , y.::) <l

= 2y,

= e'Y=

Por un cálculo directo se t iene, en cualquier punto (x. y, z) del do-

minio,

Düf (:L'.y,z) J.'

= yz e"Y=

~~ (.r, y, z ) =:rz e"'Y= ~~ (:r , y,z) = :ry e•·y:

EJEMPLO. Dado el campo escalar f(x. y)= sen (xy)

4.4 D e rivadas parciales y el gradiente calcular las derivadas parciales de

167

f en el punto p

<J Calculamos directamente en cada punto

= (1, 1r).

(x, y) del dominio,

ax (x, y) = ycos(xy)

ay (x, y) =X COS(Xy)

y al evaluar en p

= (1, 1r) se t iene, a¡

Dx ( 1 , rr)

a¡

= 1T e os 1r = - 1T

= 1 eos rr = - 1

ay ( 1, rr)

En oca.<;iones, para fines de cálculo, es conveniente omit ir el argumento donde se toman las derivadas parciales, esto es,

Dj Dz(x ,y , z)

Dj y

se sobreent iende que identifican a la misma cantidad. Para el campo escalar f : n e IR3 ---+ IR se defi ne en el punto p E n el vector formado por las derivadas parciales en tal punto, llamado el gradiente del campo f en el punto p , y defi nido por

EJEMPLO. Si f (:t , y) de

= sen(xy) y p = (1, 1r) entonces el vector gradiente

f en p es el vector , \7 f (l .n) =

a¡ af ) ( ax (1' 1T), ay ( 1, 1T) = (-

EJEMPLO. Sean j (x , y) = x 2 y 3 y p <J Para cualquier punto P se t iene VJ P .Y.

a¡ ) = ( af ax, ay

por lo tanto, el gradiente de \7 ! (3. 2)

= (2xy

rr' - 1)

= (3, 2) . 3

= (2xy , 3xy )1,

f en el punto p = (3, 2) es el vector 3

, 3xy )(3. 2 )

= (48, 108)

Tenemos el siguiente resultado acerca de las propiedades arit méticas del gradiente de un campo escalar.

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168

Campos escalares e n IR;_¡

n e IR;_¡ - IR dos campos escalares tales que c:cistan en cada punto, entonces

TEOREMA 4.1 Smn j, y : sns rll'rivwlas

¡urn:iall:.~

a. J:.:l ymdi("'tte

1Ü~

la s·nma de

f~tnciones

satisface la regla,

b. J:.:l qmrlicnt.e es lineal 1·cspr.cto a escalm·es, es deciT,

rlo'/l(lc A E IR 1:s ·un esm.lm·.

c. SP cnmplc La fórmula de Leibniz

"V(fg) <J

= g"V f + f"Vg

Da.lllos apena..'i la dclllostra.ción de a.

"V(f' + gl' )

= (D(fÜ+ q)(·) p, D(f+g)() n p, D(f+g)(· n P)) uy

Dg (p), D f Dg Df ag ) = ( -üD.rf (p) + -.ü:r -. (p) + -(p), -(p) + -(p) iJy ay az az

üI

= ( iJ.r (p),

ay (p), DazJ (p) )

( Dg ag ag ) + Dx (p) , ay (p) , Dz (p)

="V JI'+ "Vgl'

EJEMPLO. Sea la función continua en tres variables dada por, f( :r, y, z) = sen xy + e"·yz <J

Entonces, para cada punto p

= (x , y, z)

en el espacio,

= (ycosxy , xcos.ry,O)p + (yzel'Y=,xze"·yz, :rye'J.·yz)p =

(ycos :ry

+ yze·'"Y•, xcosxy + xze:ryz , xye"·yz)P

Particularmente, en el punto p

= (1, 1r, O) se tiene

"V!( l.n .o) = (y cos xy + yze"·y:, x cos xy = (1r cos 1r)

+ xze•·yz , xye"·yz)(I.n .o)

+ 7r(O)e(Jl(n)(O), l cos(1r) + (l)(O)e 0 , 1re0 ) = (- 7r, - l,7r).

4.4 D e rivadas parciales y e l g radie nte

169

Damos ahora la definición de diferencia.bil idad de un campo escalar. DEFINICIÓN. Sean, una función f: n e IR 3 --+ IR y pE D un punto con coordcnn.da~ (:r. y. z) . Se dice que f e~ diferenciable en p, ::;i exi~te una. función real de variable vectorial g(h) tal que f(p { ~uponiendo

+ h) -

f(p) = lhll g(h) + < h, \1 fp limlt- (0.0.0) g(h) = Ü

que el vector gradiente del campo

existe en el punto p. Si la función f mE>ute diremos que

: n -+ IR es d iferenciable en f es diferenciable en n.

cada punto de D, simple-

A continua.ción damos una condición necesaria para que un campo e~ calar tenga la propiedad de difere_nciabilidacL 3u prueba se omite, pero e l lector puede referirse a Lima (1992). TEOREMA 4.2 (de diferenciabilidad). Sea J : D e IR 3 --+ IR y s·u.póngase qtte en el punto p E O las funcwnes deter·minadas por las de1'ivadas par-ciales af, af. af : n __.IR

c1:1st~n y son continuas (véase el capítulo 8 en los apéndices) en el punto p. entonces f es diferencio.ble en p.

Un corolario inmediato a este teorema es el siguiente. COROLARIO 4.1 Toda función f: n--+ IR que involucre a las ftmciones clásicas en las vanables independientes x , y, z . es tma función d-iferenciable. EJEMPLOS. Las siguientes funciones ~on d iferenciables en su dominio natural.

a. Cualquier polinomio P(x , y, z) en las variables x, y, z, por ejemplo,

c. f (:r. y. z) = sen JI - e•Y - z

Campos escalares en !R3

170

d. f(x,y) =In (1- x 11a + !7) e. f(x,y,;¿)

= arctan(y/x + z)

f. j(X, y, z) =

xY2+1n(z+x)

Un resultado inmediato cuya prueba tampoco realizaremos es el siguiente, referente, a la aritmética de las funciones diferenciables.

LEMA 4.2 La suma (y diferencia}, el producto y el coctente de funcwnes reales de variable vectorial Q1Le son diferenciables, es 1.ma función diferencíable EJEMPLO. Las siguientes funciones son diferenciables en todo su dominio natural. a. f( x, y, z )

:t: - ·~+z

= 6xyz2 + x2+y2+ 3z

b. f (x, y, z) = sen )1 c. f( x, y, z)

4.5

= arctan

+ e"'Y - z + In ( 1 - ,yXy + ¡?) (~) + xYz + In(z + x)

La regla de la cadena

En muchas ocasiones algunos problemas que involucran func iones de variable vectorial pueden reducirse a problemas de funciones reales de variable real que son más simples de estudiar, mediante la composición con curvas contenidas en las regiones donde están definidas tales funciones. A continuación damos el procedimiento.

Sean , f : f2 __. R una función diferenciable en todo punto de la región R 3 , y 'Y: (a, b) __. f2 una curva diferenciable. Entonces la composición

f o"f:(a,b)-->R es una función real de variable real definida por,

(Jo 'Y)( t)

= f('Y(t))

EJEMPLO. Sean, el campo escalar, f(x, y, z)

= xeyz + yezx

y la curva diferenciable

'Y( t) = ( 4 cos t. 4 sen t, 2t.).

4 .5 La r egla d e la cadena

171

-1 (e)

Figura 4.16 : Gradiente de una func ión. Entonces

(! o:)(t ) = f(r(t))

= 4coste(-lseut.)(2t) '

= f(4cost,

4sente(2t)(4cost)

4sent, 2t)

= 4e8tsentcost + 1e8tcostsent

es decir,

(f oí) (t)

= 4ét<eut. cos t ,

4e81 cos 1sent

re:;ulta :;cr una función real de variable real, diferenciable.

EJ EMPLO. Sean la función f(x. y) ::: ln(xy) :·la curva diferenciable 1(t ) <:;

= (t. f¡)

con t >O.

Calculamos el dominio de f,

x>O .ry

> O.

si ~- sólo sL

y_· y>O 0

{ .r<O y

y<O

lo q ue nos dice que la unión de cuadran tes positivo (estricto) y negat ivo (estriC'tO) n = {e.r. y) 1 ( .r > o. y > o) , ex < o, y < o)} es e l J omi nio de

y que la cmva

'Y(t) = (t. 1/ t 2 ) . e~uí

contenida

l'll

Cam pos escalares en JR 3

172

---- ...

L:/~~~;-----) ...

-,,

~ 1-----tf--1-

f(y(t))

,' '

---l)

\' - ~ ~ //

Figura 11.17: Regla de la cadena. Entonces, la compo~i ción (! o1)(t) , que ciable, se calcula por (!o l)(t)

re~ul t.a

= f(T (t)) = f(t, l /t 2 ) = ln(t l/t2 )

ser una función diferen-

= ln( l /t) = - In t

Darnos una fórmula para calcular la derivada de una composición de funciones corno la que se ha mencionado (véase la figura 4.17).

TEOREMA 4.3 (Regla de la cadena) Par-a una curva S1tave -y(t) y tma función diferenciable f(:r, y, z) se cumple la fórmula

que es la derivada de la composición f

-y en el tiempo t.

Esto es, en cooTdenadas :r, y , z del espacio se tiene d(jo')')() dt t

(({}f( '(t )) ' oj ( (t )) ' oj[) z ( (t)) ) ' (d:dtr ' dydt ' dz)) dt ox 1

[)y ')'

oj dx

[) j dy

{)j dz

=- +ay-dt - +ox- dt [)x dt <J

Sea tE (a , b) un punto arbitrario y cons idérese el incremento vectorial

Es claro que h

-->

(0, O, O) s i s

= 1(t + s) - -y(t) -->

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4.5 La r egla d e la cadena

173

En virtud de que f es diferenciable, particularmente en el punto vectoria.l')'(t), se cumple que

J(J'( t) + h) - J('y(t )) =< \! f-r(t)> h > donde

lim,.~ (o.o.o)

g(h) = O.

Si ~e toma h == r (t

~iendo

+ s) -

+Jihllg(h)

h cualquier incremento vectorial.

1(t), entonce~ se tiene

f b(t + s))- f(J'(t)) =< \! f-r(t)• J'(t

+ s)- 1(t) > +lb (t + s) - r(t) ilg(h)

que al dividir entre el incremento s nos da

Si tomamos el límite cuando s

O se tiene que

d(Jo/)(t)-1' J(J'(t+s)) - J(r(t)) _ (n¡ 1' r(t +s) - r(t) ) v -y( t)• un - nn s-O S s-O S dt

+ ll!~ r(t + s~ -')'(t) ll~!~) g(h) = (Vf-r(t)•'Y(t)) + lh(t)II,J.i_:~g(h) = < \! f-r(t)."f(t) > debido a que limh-(o.o.u) g(h) =O.

EJEMPLO. Sea la fu nción diferenciable f(x ,y) == x 2 y sean x

= r cos <p, y = r

sen <p con <p E

+ 2xy

¡o, 21r].

<J Al formar la función g (r, <p) == f(rcos<p,rsen¡p) se tiene, al derivar la función g respecto a su variable verdadera r·,

og or

= ox

= 2r cos 2 <p

a¡ + é)y

dy dr = (2x

+ 2y)(cos<p) + (2y)(sen<p)

+ 2rsen<p cos .p + 2.,. cos <p sen<p =

2r cos 2 <p

+ 4 sen<p cos <p

Si <p es variable también, entonces, al derivar la función g respecto a su variable explícita <p, se tiene que

() f

d:r

() f dy

=ox - d<p - + -é)y -d<p 0<¡? = (2.r + 2y)(- rsen <p) + (2x)(r· cos .p)

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174

Campos escalares en IR 3

= (2r cos <p + 2r sen <p) ( -rsen <.p) + 2r co~ <.p r co~ <.p 2 = -2·r sen <.p cos <p - 2r 2 sen 2 <.p + 2T 2 cos 2 <.p 1> EJEMPLO. Considere el campo escalar de tres variables w = f(x, y, z)

= e"'Y cosz

y las funciones

x =tu y = sen(.tu) { 2 z

Al calcular la variación de w respecto a t se tielle,

a f ax

a f ay

a f az

=ax -+ay - -at + dt at az at

= (ye"'Y cos z)u + (xexy cos z)u cos(tu) = uexy cos z[y + x cos(tu)J =

(e"'Ysen z)(O)

uetusen (tu) co~ u [~en tu+ tu cos(tu) J 1> 2

EJEMPLO. Dada la función u =

calcular las derivadas

f(x 2

y, xy)

parciale~ ,

au ax, <J Con~truimos

éJu ay

variables explícitas para la función f, r {

= x2 q

por

= xy

Tenemos entonces que al derivar la función u explícita x,

éJu Dx

dada~

re~pecto

a su variable

= ~f

ar + ar aq = af (2x) + éJf (y)= 2x éJj + y aj OT Dx [)q [) x Dr [)q Dr Dq

Por otro lado, cuando se deriva u respecto a su variable explícita y se obtiene [)u

= Dj

Dr éJr Dy

+ [)J aq = Dj ( - 1) + [)J Dq Dy

(x) =X [)j - Dj

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4.5 La regla d e la cadena

175

EJEMPLO. Sea la función

g(t, x , y) = f(t 2 x, ty) Calcular las derivadas parciales

og og og at' ox ' oy <J Entendemos por

= t.2 x, v = ty a. las coordenadas explícitas de f.

Entonces,

= ,2tx -a! + y af Bu av Por otro lado,

og = oj ox au

d tt

+ oj av = of (t2 ) + of (O)

fJu

ov OX

Un cálculo a nálogo prueba que,

éJg af au of ov oj = - - + - - = téJy &u oy éJv &y éJv

EJEM PLO. Supóngase que en una habitación D e IR3 está definida una fu nción j : n _, IR tal que en cada punto p de n nos da una temperatura . <J Si un insecto recorre una t rayectoria en n tal que en cada punto de la trayectoria la temperatura f es constante e, al conocer t a l trayectoria por ¡ (t) con t E [a. b], se t iene que

f (-r(t)) =e Al derivar ambos lados e!:>ta ecuación se t iene,

d d/(¡(t))

p ero, p or la regla de la cadena esto implica que

Lo ant erior nos dice que Jos vecturC's gradi~~nte V j -y (l) .v velocidad 1(t) son ortogonales para todo pu11to -,(t ) de IH t ri'ycctoria (véa..'>e la figura ·1.18). Se dice en este caso. que el insecto rea lizó una t rayectoria co11 la misma t ('lllpNaturn (isoH•rntal). C>

Campos escala r es en 1R3

176

Figura 4.18: Trayectoria isoterma!.

4.6

Derivada direccional

Int roducimos ahora un concepto fundamental a la hora de hacer el análisis de un campo esca lar (función real de variable vectorial) definido en una región n e R 3 . Sea f : n e R3 -> R una función diferenciable y, sean , el punto p E n y ~ un vector unitario. La línea recta que pasa por p y con dirección ~ tiene una ecuación paramétrica dada por ~r(t)

= p + t~

con 1"(0) == p, "¡(O)

Para los puntos sobre el segmento de recta, contenido en valor real bajo la función f dado por Jb(t))

f(p

n, se tiene

+ tO

Si calculamos la varia ción de f a lo largo de tal línea obtenemos, por la regla de la cadena,

d(f o '"Y) ( . d (t) = V f -r(t) • '"Y(t)) t Particularmente, en t = O se t iene df(p + t{)

lt=O = (V f 1 (0)• 1"(0))

= ('17 fp ,~)

D EFI N I C IÓN. Tal variación de f se llamará la derivada d ireccion a l de f en el punto p E n en la dirección de ~.

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4.6 Derivada direccional

177

En coorrleuadas x, y, z se tiene la

igualda~l

/ ( Df üf üf ) ) 1 ., üx(p), üy(p), üz(11) '(~.~- . O

dt(p+tO it=o = \

Uf 1 fh: (p)~

üf 2 Dy (p)~

üf

+ üz (p)~

Observamos que para cuaudo se toma uu vector localizado arhit.rario r¡ =/= O con extremo inicial en p, t<tmhión se puede hablar dP la d<·rivada direccional de la fuución f en dirección '1 con el simple lw('lto d<· <'akular la derivada de f en la dirección del normalizado ~ = ¡f,¡¡, <~11 virtud d<· <¡HP ~y '1 tienen la misma dirección y seutido (véase la fig;ma ·l.l!J).

1 1

Figura 4.19: Derivada direccional de

e u p e u la dir<'c<:ión

Una notación apropiada para couoccr a la derivada dir<'n:ioual de la función f en el punto p, en la dirección del vector ~ es.

D!)1,

= -(p + t0 lt =o dt

EJEMPLO. Sea el campo escalar f(x, y) Calcular la derivada direccional de 1} = (1,2)

= ;¡;2 + y2

f en el punto p

<l Como el vector ·r¡ no es unitario pues unitario mediante la cadena de igualdades,

= (-1, 3) en la direc<:ióu

ll rJII = 15,

hemos de hacerlo

De esta manera,

Campos escalares en IR.3

178

. ( J5 1 '

= \ (-2,6) ,

2 ) )

v'5

-2

12 J5 + J5

lO J5 = 2J5

OBSERVACIÓN. Si en particular ~e toman el vector canónico~= e 1 = (1 , 0,0) se tiene que

que

la derivada parcial ordinaria respecto a la primer coordenada.

Análogamente,

OBSERVACIÓN. De la cadena de igualdade~

donde B es el ángulo formado por \1 f P y el vector unitario función en la variable B definida por, h(B) =

Sabiendo que la relación de voca, tenemos que

~, ~e

tiene una

ll\1!11cosB

con B está determinada de manera biuní-

a. h tiene un valor máximo en B =O, es decir, cuando~ está en el mismo dirección que \1 fv· b. h tiene un valor mínimo en B = 1r , y se obtiene es decir, cuando~ está en direcciÓn de \1 fv pero con ~entido contrario.

~entido y

De esta manera, la función f crece más rápidamente alrededor del punto p en dirección del vector gradiente \1 fp, y decrece más rápidamente en dirección del vector - \1 f P.

EJEMPLO. Sea el campo escalar f(x,y)

= x 2 + xy + y2

<J De la anterior discusión, en el punto p = ( -1, 1) la función crece más rápidamente en dirección del vector

·r¡

= \1 JP = (2x +y , 2y + x)(- I,t)

= ( - 1, 1)

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4. 7 E l T eore m a d e T aylor

179

Al normalizar ·r¡ obtenemos el v<·ctor uuitnrio 1]

( = ,,,,,, =

1, 1)

( - 1

1 )

../2 = ..;2' ../2

que nos permite calcular la derivada direccioual <'ll din·<Tiúu de r¡. uwdiaul<'

Por otro lado, la función f decrece Illits rcípida.Ja('llt<! <:11 1' cu h1 din·<Tiúu del vector - r¡ = - \7 j¡; = (1, - 1). La derivada direccional de la fuu('iúu f en el punto p, en tal dirección es, en este caso, C>

4. 7

El Teore m a d e Taylor

En esta parte generalizamos E l t e ore m a de T a ylor, para funciones n·ah·s con variable vectorial que están definidas en regioues d<·l espacio (•uclidiaiHJ. Lo hacemos apenas para funciones suaves de dos variahl<:s, suponiendo una extensión natural para el caso de más variables. La idea béÍ.':iica del teorema consiste en aproximar uua fum:iúu de ci<•rta clase de diferenciabilidad por un polinomio en d nú mero de var iables iud<:pendientes, de la misma forma que para el caso de mm solrt variable (véase R eyes, 1996). Comenzamos la sección con el concepto de derivada p a r c ia l de orden sup e rior. EJEMPLO . Sea el campo escalar diferenciahle

Al calcular sus derivadas parciales se ohtieuen las nuevas

fu11cio11<~s

n-(x, :IJ) = 2xe"' + y = g 1 (x,y) ux

n(x,y)

= 2yea..2 +y2

:::: g2(x ,y)

Campos escalares en JR 3

180

Claramente g¡ y g: también son funciones diferenciables y se puede calcular sus derivadru; parcialto:s

Dy 1 2+ 2 2 2 -(x, y) = 2ex Y + 2:c 2xe• + y

""-'

DJ·

Dg1 - (x,y) 0y

= 2y2xex

092 (

x, y ) = 2x2ye• Dx

Dg2

(x, y)

= 2ex

(2 + 4x- )e"'

• ,

+ y = 4xye' + y

2+ 2

.2+ 2

tlxye"'

+ 2y 2ye• 2 +y2

= (2

+ 4y -? )ex2 +y2

que resultan ser nuevamente funciones difercnciables. Al omitir (por notación) las funciones g¡, 92 de las ecuaciones anteriores, éstas se pueden escribi r,

a (a¡) 8y =-

tlxye

De ahora y en adelante, adopta remos la siguiente notación pa ra lru; llall\adas segundas derivadas parciales de la fu nción f,

_2_ ( 8 J ) _ D2 J _ éP J Dx

- fJxéJx - Dx2

~(DI) _ §l ()y

éJx

- fJyDx

DERECHOS RESERVAOOS02DCM. Un~/iy.Aónom;a ~(México). Prd1ibd.J la~ dt . . . obra :.si como tacis:trb.Jclónywnta~ del ~~k! dt11 UNI!e. E-lbo Bil*lmecia Bibliorrw:-ciaOrnail.oom

4. 7 El Teorema de Taylor

181

Con esta notación , las segundas derivadas parciales de la función dada

f se escriben,

Observamos que para e::;te caso se cumple la igualdad de las relaciones obtenidas para las segundas derivadas parciales mixtas: ()2 f

ayox

()2 f

axay

DEFIN ICIÓN. Si la función parciales existen

= 4x

f :n e

af {)x af ay

e"2+y2

IR.2

---+

IR es tal que sus derivadas

f2--+IR. n ---- IR

y como funciones definidas en n son continuas, se dice que la función es de clase C 1 . Si además las funciones ?].1 li son diferenciables y su::; derivadas üx ' Dy parciales (segundas derivadas parciales de la función f)

()2j fJx2 :

n ---+ IR

()2j

ayax : n

___. IR.

éPJ :f2 --+IR

axay

()2j {) 2 :D--+IR. y son continuas, entonces f se dirá una función de clase C 2 . Las derivadas parciales segundas

()2j

ayax ' axay

Campos escalares en

182

]RJ

s<' llinllnll las sep;mula.s derivadas p a rciales mixtas. En d <'.i<'lltplo anterior se iudicó una propiedad de igualdad de tales parcin!Ps 111ixta.s. Una c:ondirión ::;uficieute para la igualdad en general se ti<'ll<' el t.<·on·ma sip;uit·nte, cuya. prueba es muy técnica y la omitimos (véase

Lima. l!J!J2). TEOREMA 4.4 (Conmutatividad de las segundas parciales mixt as) . S m j : H __. lR campo cscala1· de clase C 2 , esto es. las funciones oblc·nidas pmn las sc,trundas der·ivadct8 ¡m1'Ciales son continuas (véase el c·ovít ulo 8j. c·llf<mccs se cmnple la ig·u aldad de conm?t.tatividad.

EJEMPLO. Dada la funeión

tuost.ralllos la validez del teorema ·1.4 para este campo escalar. <J Al enlcular la derivada parcial de la fun ción respecto a

Üj

;¡:

se tiene

-,- = 2.ry3 + 3y Ü.r

v ('Onsecu(•nt.('lllente. al derivar esta última función respecto a y obtenemos

Por otro lado.

é)j

-Dy = 3x

2 ')

1¡-

+ 3.r

lo que implica

Inductivamente, podemos definir a una función f(x, y) de clase C' (con r 2 l), si para cualquier partición del entero r en los enteros s y m, la derivada parcial r - ésima de f dada por

8"!

f)ym {):es

: n _, R

existe y es una función continua. Aquí, O :S s

r, O :S m

:S r y

= m + s.

4. 7 El Teorem a d e Taylor

183

En la expresión

ér¡ oy"'f}xs

se entiende que se calcula m-derivadas parciales de f respecto a la variable y y s-derivadas parciales respecto a x, realizando en total un cálculo de m + s = r derivadas parciales. La extensión de la definición de clase de diferenciabilidad para un campo escalar de más variables es una analogía a la dada para apenas dos variables. El Teorema 4.4 se puede extender para una func ión que depende de más variables. Esto es, si j (x, y , z) es una función que satisface las condiciones dadas de diferenciabilidad, el teorema de conmutatividad se cumple también. De hecho, por ejemplo, ()2 f

f}xf}z

fj2 f

= f}zf}x

fj2 f

f}xf}y

()2 f

= f}yf}x

[)2 f

f}zf}y

()2 f

= fJyfJz

Si la misma función f(x , y, z) es de clase C 3 , entonces la conmutatividad se extiende de manera natural.

EJEMPLO. Consideremos a f (x, y, z) un campo escalar función de clase C 3 definido en alguna región del espacio. <1 Se tiene la siguiente cadena de igualdades,

También se cumplen las igualdades,

fj3j f}zf}yf}x

fJ3j

= f}zf}xf}y

fJ3j 8xf}yf}z

fj3j f}xfJzf}y

así como la igualdad,

fj3j f}yf}z2

fj3j f}z2f}y

Campos escalares e n JR 3

184

Si f(.r . y . .::) ps 1111a fun ciún de dase C 4 , también se cumple el t eorema d(' n>llllllltat.ividnd de las d<' rivadas parciales. Por ejemplo , son justas las igualda<ks u~¡

u~J

-..,.......:.--. := ---,~...,--

üyD:z: 2 Dz

U:r 2 Uzüy

U::UyU:r2

D4 f U:rü:: 3 == Uz~Ü:r

[)4¡

u~¡

= ü zDxDz 2

o.¡¡

u~¡

D4 f üyüxoyüx

C<·neral il.ando lo anterior, si f'(;t: , y , z) es una fuu ción de clase C,. con (r

2: l) . <'1 t.t'<>rt'lll<\ de t<mllnltatividad t<\inbién se extiende. Por ejemplo, fJ''j

do11<lc ( + 111 + 11 = r. Aquí se ent iende que la fun ción f se va a derivar pa rcia hucnt.(' r veces e11 total: veces rei:ipecto a la variable z, m veces res¡><'<·to a la variable y .v m vcc<"s respecto a la variable :r.

EJEMPLO. Caknlar las derivadas parciales Ü3 f

f)~ f

Ü:rüyfJz ' fJzfJyfJ:r

para. la funci ón

j(:r.y.z) = e•Y• <J

En la notacióu dada, tenemos que f) j

= :rye.J·y·-

8J = :re•y-- + J..·-yze '> a·yz fJyoz

== ( x

'> ) J·y· + x-yz e -

de donde,

Por otro lado,

~· y • = yz e -

4 . 7 El Teorema de Taylor [)2 f n--

uy0 .r

= ze

; ·y•

•

185 ? ·•·y• + yz-xe· -

(

·· y· + y:rz '>) - e

()3

•

f = ( 1 + 2xyz)el'Y'- + (z + y:rz azayo.t ,

•

2 )xyexyz

= (1 + 3x yz + x 2 y 2 z 2 )e:ry: lo que verifica las igualdades de las p ar ciales mixtas.

Ahora construimos el polinomio de Taylor de una fu nción suave con dos \·ariables. Recordamos que para fu nciones reales de variable real se tenía que si la función f : (a . b) -> !R es de clase C'', entonces, por El teorema de Taylor, alrededor del punto pE (a., b) la función f se escribe localment e

! (.1:)

= f (p) +

f' (p) (x - p) 1!

f" (p) (x- p) 2 2!

f"'(p) (x - p) 3 3!

+ · · · + J(•l (p) (x- p)'' + o((x- p)''+ 1 )

donde o((x - p)•·+I) significa un error en el monomio x- p de orden r (véase R eyes , 1996) .

Aquí. la expresión polinomial de grado r en el monomio x - p ·

J' (p) 1

f (p) + - !- (X - p) +

f" (p)

J'" (p)

~ (X - p) + ~ (X - p) + .. · +

J(")(p)

-,.-!-

(X- p)

se llama El p olinomio de Taylor de grado r de la función f en el punto p. Generalizamos la idea de a proximar una fu nción en do!> variable!> f(x , y) mediante un polinomio de grado r en dos variables x, y , para cuando la función dada e!> de clase C'' . Un polin omio

lin (~al

en las variables x, y es del t ipo

P1(x . y) = coo donde. los coeficientes

Cij

+ C¡o (x- a) + co¡ (y -

son constantes reales, al igual que a y b.

Un polino mio c uadr á tico en las variables x, y es del tipo:

P2(x. y)

= coo + CJO (X- a)+ co1(y -

+c2o(.r - a) 2 + C¡¡(x - a)(y - b) + C02(Y - b) 2

donde. nuevamente. los coeficientes

e¿,~

son constantes reales.

Cam pos escalares en

186

[l( 3

Un polinomio cúbico t iene la forma P:.¡(x,y)

= eoo + c10(x -

a) + co¡ (y - b)

parte lineal

parte cuadrática

parte cúbica Observamos que. en general, un polinomio ele grado r en las variables .r. y se escribe,

P,(x, y)=

t (L

k=l

C¡j(:r - a)i (y -

k=i + j

+ Cuo

Iniciamos un proceso de aproximació n de cualquier función de dos variables q ue sea suave, por un polinomio e n dos var iables. Sea f (x, y) una funció n arbitraria de clase C' definida en una región 0., en el punto p = (a. b) E 0. y sea (x , y) E n cualquier punto cercano a p. Primeramente intentamos aproximar a del punto p, rnecli:1.nte el poli nomio

f (x, y)= f(p)

+ C¡uCr - a )+ cu1(:.r -

f linealmente en una cercanía b) +o((x - a

f. (y -

b) 2 )

parte lineal donde la expresión o((.z:- u) 2 , (.r- b) 2 ) define un error en los monmnios x - a y :y - b de orden dos. <l

Calcula mos lo:; coeficientes

c¡1

Dj ux

«propiados, calculando primera mente

n = c,o + o((x- a), (ylo que nos dice que, al caleular en p

n (a, b)

b)- ),

= (a. b), esto es. en x =a. y= b,

= cw + o((x- a.), (y- b)) b-=(1

.v=b

= cw

lo que nos da el primer coeficiente.

4.7 El Teorema de Taylor

187

Igualmente, de la relación

a¡

{)y = co1

+ o((x- a) 2 , (y -

b))

se obtiene, al evaluar en p = (a ,b), of

{)y (a,

b) = co1

Por lo tanto, la aproximación lineal de f alrededor de p sería mediante la expresión

f(x,y)

{}f

= f(a , b)+ ox(a, b)(x - a)+ {)y(a.,b)(y - b) + o((x-a) 2 ,(y - b) 2 )

Aproximamos ahora a la función f(x, y) hasta el orden dos, mediante el polinomio cuadrático

f(x ,y)

= f(a.,b) + 81 (a., b)(x - a)+ 0 1 (a,b)(y- b) 8X

+c2o(x - a) 2 + C¡ ¡ (x- a)(y - b) + co2(y- b) 2 +o((x - a) 3, (y - b) 3) parte cuadrática donde la expresión o((x- a)\ (y - b) 3 ) define un error de orden cúbico en los monomios indicados. <l Procedemos a calcular las constantes c2o, c 11 , co2 apropiadas del polinomio.

a¡ ax

= a¡ ox (a , b) + 2c2o(x -

a) + c 11(y - b) + o((x - a) , (y - b) )

donde la expresión o((:1: - a) 2 , (y - bY3) define un error de orden dos en el monomio x - a junto con un error de orden tres en el monomio y - b. Por lo tanto,

lo que al evaluar en el punto (a, b) nos dice que

es decir,

OERECI-I)S RESERVADOS O 2004, Uniwrsdad AtiÓnoma Metropolitana (México). Prohibida la reproctuoaón de esta obra así OOfi'CI &a distriluc:ión y venta fuera del .itnbilo de la UAM!D. E-libro Bibliomedia BibliomediaOfnail.oom

Campos escalares e n JRa

188 Además, se t iene

fP J

ayDx

= Cll + o((x- a) 2 , (y -

b) )

lo que nos indica, al elvaluar en el punto (a., b),

fJ2j

(a,b) 0 y0 X

= c 11

Por otro lado, al derivar parcialmente respecto a y la función inicial se tiene

f)J uy

f)J

= -ay (a., b) + Ct t (x-a)+ 2co2(Y -

b) + o((x - a)· , (y- b)-) .

con lo que,

fJ2J ,:¡

u y2

Al evaluar en el punto p

= 2co2 + o((x- a) 3 , (y- b)) = (a, b)

esta expresión se obtiene,

y por lo tanto,

De esta forma, hasta el orden dos la aproximación de la función

f (x, y) = f (p) + 1 82 f +- - 2 (p)(x - a) 2 2 fJx

a¡

~(p)(x -

a2 f

fJyfJx

+o((x-

a) +

a¡

~(p)(y -

(p)(x- a)(y- b)

a) 3 , (y-

b) 3 )

1 82 f 2 + 2"ox2 (a ,b) (x-a)

l 82 f

+ --(p)(y - b) 2 2 2 ay

sería dada por el poli-

+~!(a, b) (x - a)+~! (a, b) (y ux oy · 82 f

es,

Un intento de aproximación a orden tres para nomio,

f(x, y)= f(a, b)

a2 f

+ f)yf)x(a,b)(x - a.)(y - b) + 2 f)y 2 (a,b)(y - b)

4 . 7 El T eor e ma d e Taylor

189

+ c3o(.z:- a) 3 + c21 (x- a) 2(y - b) + C¡2(x - a)(y- b) 2 + co3(Y- b) 3

+o((x- a)\ (y - b) 4 ) donde o((x - a) 4 , (y - b) 4 ) es un error de orden cuatro en los monomios dados. Calculamos los coeficientes el mismo procedimiento. <J

c30 , c2 1 ,

c12, c0 ;,¡ de tal expresión utilizando

Derivando parcialmente la igualdad respecto a la variable x, tenemos

[) f

Dx = Dx (a,b)

fJ 2 f a2 f + Dx 2 (a,b)(x - eL)+ {)yfJx

(a,b)(y - b)

+3c3o(x - a) 2 + 2c21 (x- a)(y- b) + c12(Y - b) 2 + o((x- a) 3, (y- b) 4 ) de donde,

y entonces, ():.1

Dx;

= 3!c3o + o((:r -

a), (y - b)

)

lo que nos indica, al evaluar el punto (a, b)

Así, podemos calcular C;¡o por

c3o

~(a,b)

~--:'-:-----'-

Por otro lado, 3

{)yfJx 2

= 2c21 + o((x -

a) , (y - b)

de donde,

lo que implica .Jf:.J._

C2 1 =

üyü.r2(a,b) 2

Campos escalares en

190

IR;~

Además. de Q1 ~"· podemos obtener

&¡ i) yD.t

= - y D.r (a . b) + 0

2c2¡(.r - a) + 2c 12 (y - b)+ o((:r - a) 3 , (y - b) 3 )

y de esto, »3

u f_ . J 2 -2C¡2 + o((:¡ - a) ,(y - b)) uy-u.r n ·>,>

Por lo tanto. f):.lj "2»

uy ux

(a,b)=2c:t2

con lo que se obtiene el coeficiente ü~ f

('¡ ?

~(a.b) ..:..2..,_-=-=,-._ _

Otro cálculo a nálogo pr ueba que , fJ3j Dy 3 (a, b) = 3!eo3 es decir. ifl_ u ~( a.b) 31

Co:J = ..::....::.... Y --.,-,---

Por lo tanto, el desarrollo a orden tres nos quedaría , al sustituir tales coeficientes ,

/ (.r. y)

= f(a. b) + u.r ~! (a, b)(x -

a) +

~~ (a, b)(y- b)

1 D2 f IJ2 f 1 D2 f + 2 Dx2 (a , b)(.r-a) 2 + DyDx(a. b)(x-a )(y - b) + '2Dy 2 (a,b)(y-b) 2

u3 r + ·' ,

-¡;-:J (a,b )

tP r u3 r ., ~y i)J- (a.b) ¿pm::!i ur(a,b) ? 2 (.r - a)" + (.1: - a) (y - b) + · (x - a)(y - b)2

v3 ' (a,b) ~

(y-b )3 +o((.r - a)..¡ , (y-b..¡ ))

Observamos que la relación a nterior se puede escribir. al tomar p (a. lJ). también como } ' ( .e' . y ) --

/ ( p)

Ql( )

ih p (_¡' - a ) + (j'ij"! üy p (·y + J:!OI

- b) .

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4 . 7 E l T eorema de Taylor

.!!..L.

fi!.J.

iJx2(p)( )2 + 2!()"! x - a ()3¡

+ i)X3(P) ( _ )3 + 3!0!

191

8y8x (P)(

lll !

8 f

a:¡¡'I(P)

)(

x - a y-b) + ~(y - b)

~() ~ P ( _ )2( _ b) + Dy ax(P)(' _ )( _ b)2 2! 1! x a y 1! 2! x a y

Dyéh

aJ ¡

'FiJ (p)

+ ()!3! (Y - b) + o((x - a) , (y - b) ). Procediendo inductivamente, es fácil ver que la parte cuártica del polinomio buscado es, <l

!t..L D:r• (p) ( . _ )4 <i!O!

-dSb 8yüx (p) ( 3!1!

i[4(p) (x 1!3!

_ )3( _ b) a y

)( - b) 3 a y

~ ü y üx (p) ( _ )2( _ b)2 2!2!

~(p) ( 0!4! Y

b) 4

Podernos escribir la generalización de toda la discusión anterior en el siguiente resultado. TEOREMA 4.5 (de Taylor) Si f(x, y) es un campo escalar de clase

= (a , b) E r2 se tiene que la función se escr•ibe como el polinomio de grado r en dos variables

Cr, entonces alrededor del ptmto p

f (x, y)= f (p)

+ Lr

(

k= J

..Já_ oyJ~x.', (p) (x - a)i(y - b)j )

L 'Í+J = k

t.].

+o((x - ar+l ' (y - br+ l) donde la cantidad o((x - a)r+ 1 , (y - b}'"+ 1 ) es un error de orden r los monomios x - a y y - b.

+ 1 en

DEFINICIÓN. A la expresión (sin error ) del lado derecho de la ecuación en El teorema de Taylor se le llamará El polinomio de Taylor de grado r de la función f en el punto p, en las variables independientes. EJEMPLO. Sea la función

j( x,y)

= sen(xy)

Desarrollar El polinomio de Taylor alrededor de p = (0, O) hasta orden dos. <1

t iene

Aquí, a = O, b = O, y al calcular las parciales (hasta las segundas) se

Dx = ycos(xy),

()2j

n--a = cos(xy) vy X

xysen(xy)

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Campos esca lares en

192

IR~

[)J -;:;---- = 1: cos(xy), uy

Por lo tanto, los coeficientes

calcu la n evaluando en el punto (a, b)

(0, 0),

M = l , !1(0,0) = uy

M ~! ~~ -D {O, O) = O, D 2 (0,0) = O, -D n (0,0) .r :r yux

~~ n ·) {0,0) = O uy-

y por la fórmula de Taylor del teorema 5.2 se tiene que,

· ) = f(OO) j ·(· X. y •

~(0,0)( 1!0! X

Y~/ {O, O)

i!l!

Dyih'

(x - O)(y - O) +

~(0,0)( 0!1 ! y

~(0,0)(· - 0)2 2!0! X

!f1. iJyl (0, O) • ~ ~ ()! ! (y- O) 2 + o((x - O) , (y - O) ) 2

=xy + o(x~,y~) Esto

e~, ha~ta

orden

do~

la func ión dada ~e escri be

O tra for ma de realizar el desarrollo anterior, e~ observando q ue para una variable z real el desarrollo de In fu nción seno alrededor de zo = O es senz Ahora, defínase z

=z -

z3 -1 3

z''

+ -5 1 - -71 -'-• o(8)

xy, ~'considérese p = (0,0) . Entonces, z(O,O)

O = z0 , y sustituyendo la variable z, hasta el orden dos, se obtiene seu(xy)

= {:ry)-

(x;)

que es la misma expresión obtenida.

+ o(7) = xy + o(3)

La forma de de~arrollar las funciones en varias variables utilizando los desarrollos conocidos de Taylor para una variable, ayudan e n general para omit ir una buena cant idad de c<i.lculo~. No oGstante hay que tener práctica para reconocer las s ustituciones apropiadas y los puntos alrededor de los cuales se está desarrolla ndo. Esto se ha mostrado e n el ejemplo anter ior y se muestra nuevamente en el siguiente.

EJ EMPLO. Desarrollar la función / (.r. y)

= lu(l + xy)

4. 7 El Teorema de Taylor

193

en polinomio de Taylor hast a orden t res alrededor del punto p <J

= (0, 0) .

Calculamos las derivadas parciales ha:sta orden tres,

a¡

8.:c

1 + xy

oy = 1

82 f

+ xy

(1+xy ) -yx (1 + :;ry)2

oyox

é)2 f

+ xy)2 - x2

= (1 + xy)2

8y2 EY~ J

2y3

ox 3

(1 + xy) 3

é)3 f

!'l uy 2 u X

83 f oyox 2

= (1 + xy) 3

- 2(1

+ xy) x - ( 1 + xy)3

a¡

-;:) (0, O) ux

ux2

82! !'l

u X3

(O, O)

= O,

a¡

-;:) (0, O) uy

82¡

é)2J uy 2

~~ n (0, O) = 1,

- 2y (1 + xy) 3

!;}

(0, O) =O

83! ()3J ()3j (0, O) = O, ~(0, O) = O, ~( 0 , O) = O, ~ 3 (0, O) = O uyux uyux uy

ln( 1 + xy) 2

- 2x

-3. -

uyux

Por lo tanto, alrededor de p ln(l + xy) se escribe

2x3

8y 3

- 2y(l + xy) 2 + y 2 2(1 + yx)x (1 + xy) 4

De esta manera,

()2J

+ xy)2

-y2

é)2 f

!'l

r( ) 2!0!

= ln( l

7Jx"r O, O ( . _ 0)2 X

(0, O) se t iene que la función f (x, y)

a¡

+O)+ -;:)(0, O)(x - O) + -;:)(0, O) (y - O) v1: uy

.E:_¡_ (O , O) ( _ O) ( _ O) + !f..t. (O O) oy 2 , (

oyox

1!1!

0!2 !

0)2

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Campos escalares en JR3

194 ~

i)3f

+ Ux"J (0, O) ( - 0)3 + 3!0!

¡p(O, O) Y 0!

(0, O) ( - O) ( -O)+

2!1!

X {)3

ayax

üy ax (0, O)

1!2!

. (y- 0) 3 + o((x- 0) 4 , (y- 0) 4 )

Por otro lado, el desarrollo alrededor de z0 está dado por la igualdad

( - O)( - 0)2 y

= xy + o(x4 ,y4 )

= O de la función

In( l

+ z)

ln(1

+ z) = z - 2 + o(3)

Por eso, si ponemos z = xy entonces el punto (a, b) al punto z 0 = O y entonces

ln(l + xy)

= xy -

(xy)2 - - + o(3) 2

= (0, O) corresponde

x2y2

= xy- - z- + o(5)

= xy + o(3) igualdad que se ha obtenido ya, utilizando el teorema 4.5.

Damos ahora un ejemplo del desarrollo de un polinomio alrededor de un punto.

EJEMPLO. Dar el polinomio de Taylor alrededor del punto p = (1, 2) de la función polinominal f(x,y) = x 3 <J

2l + 3xy

Calculamos todas las posibles derivadas parciales, obteniendo,

a¡ , a¡ 2 2 Dx = 3x - 3y, -ay = -6y + 3x a2 ¡ a2 J , fP f ax 2 = 6x, ayax = - 3, ay 2 = -12y a3¡ a3¡ ()3¡ a3¡ !'>

= 6, ~=0, !'> 2!0> =0, >1 3 =-12 uyux u y uX uy

De esta forma, al evalua r cada derivada obtenida en el punto p se tiene

a¡ ax (1, 2)

= -3,

a¡

ay(l,2)

- 21

az¡ n

u y2

( 1,

2) = - 24

4 .8 Diferencia l tot a l d e un campo escalar

fJij

. (1,2)

ÜJ:'1

¡JI f

= G,

:--) ') ., (l. 2) (y( r

¿J'f

= O,

195

iJif

-. -~ ( l. 2) ~.

- .,.) (1, 2) = O, 0W( .r

(}y

Por lo tanto, por el t('orellla.1.S, a lrededor d<' (1, 2) h ftuwi<ÍH

j ·(:r

)

= j'(l

' .IJ

G(x- 1) 2 + 2!0!

J(:¡; - l)(y- 2)

debido a que toda!>. 1>

4.8

la~

2J(y - 2f 0!2!

l!l!

9 - :J(:z: - 1)- 21(y - 2)

S<' (•sniiH'

2 ) _ - :J(:r - 1) _ 21(y - 2) 110! O!!!

6(:r:- 1):1 + O(J:- l)~(y- 2) + 3!0! 2!1!

1:2

0(.1:- l)(y - 2) 2

+ :J(:I: -

1!2 1

l2(y - 2):1 o!:¡!

1):! - :J(.J: - 1)(y - 2) - l:l( y - 2f

derivadas parciales d1! orde11 nwtro <'11 ad!·l;r Ht<· S!' an ula11

Difere ncial total de un campo e scalar

Parad campo escalar f: D e IR2 --+IR y el prlllt.o arbit.mrio JI = (.r. y) e D. se tic11e el inc r e m e n to total de f c11 71 dado por 6.f

donde h

= f(..c + h, y+ k)-

f(.I:. y)

= 6.x y k = 6.y son ÍILCI'Clllt:lltos arbitrarios c11 las \'arial!ll's 1l;rdas.

De la definición de dif('re uciahilidad de f crr p . dada ctr In s!'<TÍ!.,Il .J. l. S<' tiene que f es difercuciahle eu psi el iHcrcuwuto total 6.f p rwd<· I'S<Tihirsl' en la forma

6.f

cuando ll(6..r , 6.y) ll convencional

üf

f) (p)6.x

v.J:

~O.

fj (p)6.y vy

+ o( ll (6..r.

., 6.y) li- )

Podemos e!>crihir lo autcrior tncdiaut<' la nota<·icíll

Of OJ:

Dj Oy

= -dJ' + -.-dy

en virt ud de que o(il(6.x. 6.y)l l2 ) --+ O.

D EFINIC IÓN . P ara la función d ifcrenciahlc J : D la d iferencial total de

IR.2 ~ IR se define

por la igualdad

üf

-0 d:c :l'

+ -i)y dy

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Campos escalares en IR 3

196

EJEMPLO. Dada la fnll<"iúu f(.r, y) = ln(:r 2 + y 2 ) clefiuicla en la. región phua D -= IR:! - {(O. O)}. t·a.lcnlt• sn d ifercuC'ial total. <J

En \'irt nd dl' qm•

Uf -U (.r . y) = .r

., .r-

Uf 2y ., . -U (:r. y ) = , ., + y- y .r'- + y-

2.r

SI' t il'll('

')f

- d.r iJ.r

_1.

Uf dt¡ Uy ·

2.r

2:y

= .r'-, + y-.,rl.r + .r-., + y-.,dy =

2:nl.!: + 2ydy x - + y-

D<· <'st.a lll<llH'l'<l. pnm <·n.knlnr nproximada!ll('lltc lu(0.091 2 + 0.99 2 ) to= O y y = 1 oht<'lli<'IH lo <¡lll' t..r = 0.091. t.y = - 0.01, lo que nos iudil'<t ((11<' d'f = 2(0)(0.091) + 2(1)( -0.01) = - 0.02 lll<llllos .r

()'2

+ ¡:.!

_\' ( 'IJIISI'(' Ill'llfl'lll('llf.(' .

lu(O.ll91 2

+ 0.992 )::::::

f(O,l)

+ df =

lu(0 2

+ 12 )

0.02

De ll~<llH'rH nwí lo~n. pn.rn tilla fun<"ióu d ifercll(' iahle de tres variable~. se t iene mm d ifl'renl'in l to t.nl.

= -U.r d.r + ~dy + ~dz vy vz

EJEMPLO. Dad¡¡ In fnución T

= c•·"11 :, calcular su diferencial total.

<J Priml'ro <·;•knhuuos las dl'rivada!i parciales

iJT

iJ.r

,.,1 •

= y:;('· ...

i)T

üy

··y· {)T

= ; :,;;e·

-, {):;

= J.'YF..•· y:

luq¡;o ('OIIstruimos la difPrencial total

i)T üT + -üTd z = y::.e' 'Y'·(.r 1 + x::e·I'!J'd d dT=-;:¡-d.r+-.-dy - y+J.·y e''Y'-:; v.r i)y 0 ::.

= (''Y: (yzd.r + :1.:::dy + .rydz )

Pma una fuucióu de clase ~e define la diferencial total de segundo orden por d2 f y se calcula mediante

4.8 Diferen cial total d e un campo escala r Si

('~cr i lJi!llos

la expr('sión an terior

tL- f

iY· J

<'11

1!.)7

notaciúu o¡wnH'iowd

t i<·rr<· .

S('

iJ'l f iP J ., + 2 -;--i) rlnly + -. -., rly -

i) ., 11.!:-

i)y :1:

:r·

1Jy-

iJ'2 ., iJ'2 f iP ··) . -. -, rly - (}) ( i):r-., d:r- + 2 i)· yi).1: rl:nly + <hr

ü )'2 = ( -i);¡; .iJ rl.r + -;-ri!J (J) <)y UOlldC la ap}icaCÍÓll del operador

EJEMPLO. Sea 1t <l

= (;()sx

reaJi;t,a liH'd ÍHllt·<' l11

co:-;y. Cal<:ular

( '<JI I\ 'I'IH' i <'Hr

1Pu..

Cakulalllos las derivadas parciaks, ohtmriPIIclo. üu {h:

~'IL

--., = ü:.é·

iJu iJ:y

:>CJIXCOS1J, -

(:()S;¡; (;()S 'lf,

~'IL -, - , -

üyü:.r

= -(:()S :I'S('ll'l/.

= SCII.t: S(.! ll :tf.

~'11

()y:!.

( 'OS . 1' <:OS

!J .

lo que indica que du 2

= - co:-; ;r eos yd:r 2 + 2 seu .r: seu ytl..rtiy -

<·os .r cos ydy'l

De manera ind ue ti va, se ticiiC para 1111 Ci\111]>0 ( ~S( '("/1!' tercera difercucial total ¡{1f = d(d'2 f}, .v viene dada por ·¡

Ulf

u~¡

·¡

iJIJ

d<~ clasl' e :¡

iJ~f

f = ü:e·.1 d~c· + 3()YD;e.,d:c-dy + :3 - y-ü:~: ., . d.Hiy- + ü , dy < y·• 0

·¡

que en notación convcnciorml operacional poclcwos esnihir

11'

( ü ü -;;-dx + -ü . dy ux y

):l

(J)

En forma general, en notación couvcncioual, se tiene la k - ésim a d iferencial total del campo escalar de da.-;e G'k dada por dkf

= ( -D dx + -ü 0X

)k (J )

Campos escalares en IR 3

198

qn<· S<' (h-sarrolla d<· anl<'nlo a la fórlllula del hinotuio de Newton.

EJEMPLO. Pam d <'Hlltpo <'S<:alar u = y In :r c:a.lcular d~'lt. <J De ;l('IH'rdo al Tri;í.ngulo de Pasea), los coeficientes del binomio de Ncwt o u d<• grado -1 so u l. -1, (i. -l. l, lo cunl nos i11dica que

d 4 11

(}.¡

.¡

-. -, d.r

( ().1'"

¿).¡

¡) ( :¡u.r

¡)

d.r

¿).¡

•)

(H)

•)

1- -d.r dy + GU ., .,d: r-d_~;-+ U¡¡U.r 3 y - 0 .r-1,1

i)~ .,

u_!}'' 0 :1:

(/:J;dy

i)-l.

)

+ n .¡ dy 4 (u) uy

D<· <'sta tn;llH'rn. ni eakular lns derivadas parciales

üu

= !!. , D·u = ln.r

ü.r iJ'lll

Üy

iJ2 H

,l)

iJ 2 ·n

- 2 = - --;-2 , -. - .- = Ü.r .r üyü.r :1·

u:¡u

éY'?L

-. -.2

i:Jy

i) 3 'U

() 3 1/,

-. -. = --:-. - .- ., = - .r--;;. -.,.- = o.-.. =o U.r·1 .r3 DyiJ.rDy-iJJ: Dy·1 4 () 11

Ü.r-l y

sustituirla~ :;e

D4 u

D.J.tt

Dyü.r'J

;¡;'J '

iJy 2 D:t: 2

Gy J ' .J.'

= ifla = éJ-Ia = 0 Dy 3 Dx [)y-l. -

obtiene

6y .J. d.¡ u= ----::¡d.t .1

2 ) d.L· 3 dy + -1 ( --:::¡.t.

6y .J. = - ---¡d.r

8 3 dy + ~dx

Si consideramos el e lemento vect orial difer e ncial en IR 3 , en la base canónica {e 1 , e2 , e;¡} dado por el vector simbólico di;-= (dx. dy , dz ) entonces la diferencial total de un campo escalar

a¡

Dx dx + Dy dy

a¡

e:;tá dada por

¡(a¡ a¡ a¡)

+ 0z = \

=< grad

Dx , Dy , Dz

, (dx , dy , dz)

)

r di;">

4.8 Difer encial total d e u n camp o escala r

199

Ejercicios l. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos son abiertos? ¿Cuáles son cerrados? ¿Cuáles son conexos? Haga un dibujo para cada conjunto dado.

n = {(x,y) l lxl

n = {(x, y) J isenxl >

1} b . H={(x,y)lx+y<1} c. n = {(x,y) l lxl + IYI ~ 1}

e . n = {(x, y, z) l X+ y + 2z < 2} f. n = {(x,y,z)i x 2 - y2 - z2 ::; 1} g.

{(x , y , z) l ll(x, y, z)ll < 1 ó

4::; ll(x, y, z)l l}

J4 - x2 -

h. n = {(x,y , z)i x +y < z < 2

y2}

2. Calcular los dominios de los siguientes campos escalares y dar su carac-

terística topológica (abierto, cerrado, conexo). a. J¡(x,y)

= Jx 2 + y2 -

b . h(x , y)

= J4~x2y2

c. h(x, y) == arccos(2x- y)

= ln(y2 - x) Jr,(x, y) =y+ JX

d . j4(x, y)

f. g¡( x, y, z)

g. 92(x, y, z)

= arcsen (

2 -- - z--,J~ 16 --x""" · 2,-y"" 2

Jy:~: ..

)

h. 93(X, y, z) = Iu(9-x2~yLz2)

i. 94(x,y,z)

= Jx + 2y- 3z

3. Dibujar las curvas de nivel de las siguientes funciones definidas en dominios del plano. Hallar tales dominios. a. ft(x,y)

= 4x -

b . h(x, y)

c. h(x, y).= In d.

f 4(x, y)

C:::~)

= é+Y

4. Hallar las superficies ele nivel ele las siguientes funciones definidas en dominios de IR3 .

a. J¡(x ,y, z)

= 6x- 3y + 2z

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Campos escalares e n IR 3

200

b. h(x,y,z)

= 3x 2 + 3y2 + z

)x2 + y2 + z2 d. f~(x, y, z) = x 2 - y 2 - z2

c . h(x.y. z )

JY, Jz

5 . Calcular las derivadas parciales é~·, indicadas.

a. f¡ (x , y , z) b . h(x, y, z)

de cada una de las funciones

+ xyz 2 - 3z3y3 = sen(xyz) + xsen y + ysen z 3

c . h(x,y, z ) = xsen(y - z) + zarctan(xy)

d. f~(x . y,:;) = )x2

e . f :; (.r.y. z )

+ y 2 eYz + Jx 2 + z 2 ln(xy)

~· - y_+..<. .

6 . a . Mostrar que la función z ?

= yYf,·sen (?)

satisface la ecuación

éJz éJz + xy- = yz Dx ay

:~:: - -

b. Probar que la función z = ~:

+ ~ + ~ - -b satisface la ecuación

éJz

2 x - + y2 - = Dx ay y

7. Para los incisos del ejercicio 5. correspondientes, calcular el gradiente

de la función correspondiente en el punto dado.

a . 'Vf¡(x ,y,z)

p = (1, 1, 1) p = (1,~,¡)

b. 'Vh(x ,y, z ) en

P = (o,~.¡) d . 'V f4(x, y, z) en p = (-1 , 0,1) e. 'V j;,(x,y, z ) en p=(l , 2,3)

c . 'Vh(x,y, z ) en

8 . a . Sean { y la función u

x = t + 2s y= s2 - t

= t2

= x 2 + 2xy + y 2 + z2 .

+ s2 Calcular ~~ y '~'; mediante la regla

de la cadena. b. Dados

x y la función

= sen(t + s) ,

y= cos(t

+ s)

= ;.t.;~Y, calcular ~~ , ~~ mediante la regla de la cadena.

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4.8 D iferencial total d e un campo escalar c. Dado u

2 01

= (x 2 + y 2 + z2 ) 3 12 , calcular

ou ou ou ax ·ay· az

d. Sea la fu nción u = f(r - s, s-t. t - r), demostrar que

e . Sea u

= f ( ~:; ~;~) , demostrar que :r

ou + you == 0

f. Dada la función g(x, y)

[)y

= f (x +y, x-y), demostrar

la igualdad

aax aoy = (EJf) (a¡ )au - av 2

9 9

donde u =

1.·

+y, v = ;r- y.

g. Dado el ángulo constante cp y las relaciones

x { y

= u cos <.p - v sen cp = u sen cp + v cos cp

demostrar que la fu nción compuesta f(x , y)

09 ) ( ou

+ ( 89 ) 2 ov

= (

= g(u, v)

8 8 .r

satisface la relación

+ ( 81 ) 2

h. Calcular el gradieute V JP para las siguientes fu nciones, si

J.:r2

+ y2 + z2 y f(x, y, z) = h(r)

donde, i) h(r) = r 2 ii) h(r) = In r 2 iii) h(r) = e- '· 9. Calcuhu la derivada direccional D<fp para las funciones, puntos y vectores dados.

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Campos escalares en IR 3

202

a. f(x,y ) == xy 2 ,

= (1 , 1),

b. f(x, y) = arctan (xy) , c. J(x , y) ==

e - (x

+Y\

{ == (- 1, 3)

= (-1, 1),

p = (0 , O),

(

{ == (1, - 2)

= (1 , 1)

d. f(x , y, z) =y arctan(xz) ,

p == (1, 1, 1) ,

e . f(x,y,z)=xy+yz+zx,

p==( - 1,1, - 1),

(

= (-

1, O, 2)

{=(1 , - 1,2)

10. a. Dada la función f(x , y , z) = x 2 + xy + z 2 dar la dirección { en la que crece más rápidamente f en el punto p = (-1, 1, 1). Calcular D~ JP para estos elementos.

b. Sea la función

f (X , Y) En qué

Jx2 + y2

crece más rápidamente f en el punto p

dir~cción

11. a. Calcular

X =: -¡::=;;:::::==::;:

l i /:Jyüx

D t y DxDy para f(x, y) == In tan(y

::Jx ! JY para f (x , y) 2

b. Calcular

() 2

()2

f l üyüx para f (x , y)

c. Calcular -¡¡:;:r , ""ffYi y d.

ea 1cu1ar

ü 3 ,,

él3 u

iJyiJ:c2, &y2ox

e. Dada la función

f. Sea la función u

12. Sea f (x,y)

1.L

= m· e tan (

u ax21Jy

= x 3 y2

para

= (1, O)?

+ x)

t:;y)

= y sen xy

+ x cos xy

= sen (2 x. + y2)

demostrar la validez de la igualdad EJ5 u

{/>u

oy2fJx3

ox3fJy2

~e- 4i'1.

Probar que satisface la ecuación

= g(r,<p) donde x {

= rcos<p

y = rscn<p

demostrar que se cumple la igualdad

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4 .8 Difer encia l total de un campo escalar

203

13. Sea f( ~c, y) una función tal que para cualquier número real t se cumple que en todo el dominio de fes justa la igualdad f (tx,ty) = tnj(x, y), donde n es un número entero. a. Demostrar que se cumple la igualdad

a¡

x -a

a¡

+y -a

= nf(x,y)

b. Mostrar además que también se cumple que

14 . Demostrar que la función u diferencia l d e Laplace,

=e'+ 3

cos(5z) satisface La ecu ación

15. Desarrollar hasta orden tres en fórmula de Taylor las funciones indicadas en los puntos indicados. a. b. c. d. e.

f(x,y) == f(x , y) = f(x . y) = f(x, y) = f(x , y) =

e 2"sen 2y en el punto p = (1. 71"/2) . cos(:r 2 - y) en el punto p = (0, - 11"). ln(1 + x + y) en el punto p = (1, 1). x 2 + xy + y 3 en el punto p = (0, O) x 2 +xy+y2 enel punto p=( - 1,1)

16. Dado el polinomio

¿Cuál es el término de orden cuatro de su expresión de Taylor en el punto p = (0, O)? 17. Calcular df , dj2 y d 3 f para las funciones a.-e. del ejercicio 15.

Capítulo 5

Campos vectoriales en JR 3 5.1

Funciones del tipo

JR_n ~

lR. m

Eu e::;tc capítulo hacemo~ un e~tudio de lo~ a~pecto~ básico~ de las funciones YCCtoriales cou argumento vectorial del tipo IR" -> !R171 , llamada~ también campos vectoriales definidos en IR." con valore~ vectoriales en IR"' . De hecho. los dominios de tales funciones en general serán regione::; contenida~ t'll el t'spacio de dimen::;ión 11. Dada la rE'gión (conjunto abierto conexo)

n _, IR."' punto p E n le asocia el punto q = f (p)

IR.n, una función de t ipo

<'a da

= (y 1 • · · ·

en IR. m .

En los correr:;pondientes ~istema.s de coordenadas , si p = (x 1 , · • !) 111 ) entouces t al función se escribirá

·· ,

Xn),

(y¡,m ..... y,,) = f (.r¡, .. . ,l'n) Como las coordenadas y¡ ·s dependen de p, entonces cada una de ellas t'S uua fuución real dependiente de p.

Y1 = f¡(p) Y2

{ ¡¡,,

= h(l'¡, .. · ..r,)

= h (p) = h (.r 1 ,

· · ..r, )

= J,,(p) = f,, (.J'¡. · · · ,.rn)

sirndo cada una de las f i. funciones reales de Yaría.ble vectorial definidas ('11 n. para i = l. 2, .... 111.

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Campos vectoriales en IR 3

206

''' '

• J(p )

---

' ''

'' .. _....

Figura 5.1: Función de IRn

-->

IR"' .

y :son llamada:; las funciones coordenadas de la función 5.1). E:sto e:s, la función

f (x¡, · ·· ,x .... )

f (véa-;e la figura.

e:scribe en coordenad as, como

= (ft(x¡,· · · ,Xn) , h(x¡ , ···

,Xn), · · · ,f,n(X¡, · · · ,Xn))

EJEMPLO. Sea la función f cuya regla de correspondencia e:st á dada por j (x, y)

E ntonces

y- ) = ( xy, In xy2 , l +x 2

f está definida en una región

n de IR 2 y torna valores en IR3 .

<J Procedamos a calcular el dominio de la función , a nalizando cada función coordenada. Ciertamente la coordenada primera xy y la tercera l+u,. 2 no ofrecen a lguna re:stricción. La :segunda fu nción coordenada impone la condición de que el argumento xy 2 deberá ser positivo.

Como xy 2 entonces

> O, necesariamente cuando

> O, y

n = {(x,y) l:r >O, y =1= O} bien definida en n. Las funciones

y la fu nción f está criben explícit amente,

ft (x, y) = :ty.

h(.c, y)

= In ..ry2 . h(x. y)

=1=

O, el dominio es

coordenada':> se es-

= _Y_, 1 + x1

La figura 5.2 ilust,ra el dominio de la funcióu . E>

EJEMPLO. Sea la función vectoria l de argu mento real -r(t)

= (t 2 +

vT=t'. sen t )

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5 .1 Funciones d e l t ipo IR"

~IR."'

207

Y•

Figura 5.2 : Dominio de (:r. y) .__, ( xy, In xy 2 ,

1 ~',. 2 ).

Claran tente. es una func ión real con valores en JR.3 , es to es, tiene la fon ll H ! ~ C JR. __. ![(:; . <J

SC' cotH.liciona la Ya riaule t a q ue l - t > O. lo que nos d ice que 1 2: t ,

dt· donde el domiuio de

-r

t~s

e utonces,

{t E IR.I t S l } = (- x . l]

( 1 11 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 ] 1

Fig ura 5.3: Cun·a espacial. Las hmcioucs CO(Jrdenac!Hs de 1 Yienen dadas por

[ .. , i;!.:tll il

'í.:: du ,.;lra la iutag,<.•u dv -.

t'll

f (.r. y . ::) = (.r"

c·l t•s pactu d<' d iltl(' ll;. ÍÓil tres.

+ !/ . ln .r.: .._y)

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Campos vectoriales en IR 3

208

E!:ita función e!:>tá definida en una región espacial y toma valore!:> en JR 2 , e!:ito es. f e!:> de la forma

<J P ara calcular su dominio imponemos la cond ición xz equivale a X> 0 y z

O, lo que

{ X< 0

lo que implica que el dominio es la región espacial

n = {(x, y, z)

z > O,

z < O,

y E IR}

La figura 5.4 ilustra el dominio de la funció n , que es la u nión ele cuatro octantes en IR 3 .

z r',; - --1 1'("" "'-. -

1 1

......

1 - \....

'-....._

'-...

'' ''

'',

-----' ~ ,

... ...........,

'\...

',, ''

' X

Figura 5.4: Do minio del campo (x 2

+ y2 ,

Las fu ncione!:> coordenadas del campo vectoria l

EJEMPLO . El campo e!:>calar f : !R3

In xz +y) .

son, en este caso

IR d ado p or la regla de corre!:>pon-

dc ncia

f (x , y,z) = está defi nido en IRa (n

) x2 + y2+z2

=3, m= 1) , y t iene sólo u na función coordenada.

Le damos una estructura ar itmética al conj u nto de funciones del ti p o IR" -> IR'" mediante las propiedades vectoria les del cod ominio lRm .

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5. 1 Funcio nes de l t ipo IR"

IR'"

209

Si f , y : n _, IR"' son dos funcioues definidas !R", :;e puede definir la sul!la de clla.'i

J+y

('11

llliSillU

dOlniniu

: H _, IR"'

como la funciúu que eu coordenadas d<·l domiuio .Y ('odollliniu por U + g)( :1: 1 , • • • , :1:, ) = f (:r 1, · · · .1:, ) + q ( .r 1 , • • • , .r, )

= (j1(x 1, .. . ,x,), .. . ,f,(:¡·l, ...

S!'

,A,

e:;

llll

!'al!'u la

, :~: ,))

(,q l (:r 1, · · · , :r,), · · · ,q,,(.r 1 • • • ·

= (JI (xl , · · · , :r., ) + []1 (:¡; 1, · · ·

('Jl

. . r,) )

, .e,) , · · · , fm (.r 1. · · · .t:,) + y,, (.r 1. · · · . .r, ))

escalar, se dcfi nc la fuuci(m HUeva

como aquella que en coordenadas se escribe

(,X,f)(:t¡ , · · · ,x,1 )

= ,X,j(:r: 1, ·· · , :r:,.) = >.(j 1(J·1,· · ·:r,).·· · . f,,( .r 1 • · ··

= (>.f¡(:c,, ...

..r, ) )

,x,.) , .. · ,>.f,,(:rl .... ,.r,,))

También tlcfinirno:; una catc~oría de las fun('iou('s V<'ctoriaks llt<·diallt<' la composición ordinaria de funcio nes. Sean las fuucioucs f : H e !R" _, !R"', y : U e !R'" ~ !Rk· de t<d fonn<~ que la imagen de !2 bajo f esté contenida <'ll U, <'s d<·C'ir, f(O) e U. S<· define la composición de la función f con y

yof: ~2--. !Rk a través de la igualdatl ,

(g o f)(p)

= g{J(p))

véase la figura 5.5. A cmtt.inuación damos ejemplos de la composición de fuu('iou<·s rialcs <.le argumento vectorial.

\'('do-

EJEM P LO. Sean l<'l.!:i funciones vectoriales dadas por

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Campos vectoriales en IR;¡

210

g(J(p))

gof l·'i).!;ma !1.5: Cmnposi('i(m de funciones.

!J(u, 1·) == (lu(n <l a. (';d<"Hkulos t'SI ;¡

+ 1•). 1'

11 '·.

//1')

!'ll 11n p11nto arhitrnrio (.r. !J . .::)

dd domiuio de

("OI11pmÜcÍÚII.

(y o f)( .r. !J . .::)= _q(f(.r. !J • .::)) = !JCr'l,

l + :2)

clt• donclt•. la co111posiciú u es dd t-ipo

h. Cakuli\lnos

o y !'ll uu puuto arhit.mrio (u , 11') del dominio correspon-

dil'llt<'.

cmnposidún q11(' t.ie11c el tipo

EJEMPLO. Dadas las

funciones vectoriales

·>)

y .,, .ry +y· f(.r, y)= ( - 1 + ;¡·g(H. v . w) Calcular g o

f,f

= (uv- 1.c. n + v + w)

o g.

5.1 F\mciones del tipo R"

--+

R'"

211

<l a. Ciertamente g o f no tiene sentido pues la imagen de f es un subconjunto del plano R 2 , mientras que el dominio de g es la región espacial

R:l_

b. Para el punto (u, v, w) se cumple que

(f o g)(u, v. w) lt (

= f(g(u , v , w)) = f(uv

+V+ W ( )2 , (UV 1tV -

- W) ( 1t

- w, 1t

+ (U +

+ v + w) +

W)-

Para optimizar la discusión sobre la continuidad de las funciones vectoriales de argumento vectorial, apelamos a la siguiente definición que garantiza la continuidad de los campos vectoriales en los subsecuentes ejemplos. DEFINICIÓN. Una función f : n --+ Rn --+ R"' es continua en n, si y sólo sí, cada una de sus funciones coordenadas J.¡ : n _, R es continua. Transformaciones Lineales

De entre todas las funciones R"' --+ Rm se destacan las llamadas tranformaciones lineales. Estas ayudarán a definir la diferenciabilidad de una fu nción vectorial de variable vectorial. Iniciamos el tratado básico con las transformaciones lineales más simples R 3 -+ R 3 , obteniendo la mayor información para este tipo de t ransformaciones y argumentamos induct ivamente la generalización de estos resultados para t ransformaciones lineales más generales del tipo lR" _, R"' . Sea la función L : lR 3

donde cada

aij

--+

R 3 dada por

es un número real.

<J Es claro que si u, v, w son las coordenadas, en el codominio de L , entonces cada función se escribirá,

-u= a 11 x

+ a¡zy + a 13z

v = a21x + a22y+a23Z

w = a31x +aJzY + a33Z que matricialmentc se escribe,

(

~ ) =(

a¡¡

az1 a31

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Campos vectoria les e n R3

212

En otras palabras, si definimos a los vectores variable dependiente e inrlepenctiente como los vectores columna. p=

( x~· )

, A= (a;j), q

(:~ ) 'W

la relación anterior se escribe mediante la igualdad q = Ap

= L(p)

En adelante, abusando de la notación, cada vez que en una transformación lineal apliquemos a un vector, para el cálculo tomaremos a tal vector como un vector columna, escribiendo finalmente el resultado del cálculo como un vector renglón elemento del codominio. Con esta asociación y con la conversón de notación se tiene. a . Si

p 1 ,p2

E IR 3 (considerados como vectores), entonces

L(p¡

+ P2) = A(P t + P2) = Ap ¡ + Ap2 = L(p¡) + L(p2)

es decir, se cumple que L(p¡

b. Si >. E p entonces L(>.p) la igualdad,

+ P2) ==

L(p¡)

+ L(p2)

= A(>.p) = >.(Ap) = >.L(p), es decir, se satisface L(>.p) = >.L(p)

DEFINIC IÓN . La función L se dice que es una transfo r m ación lineal por satisfacer las propiedades a. y b . Hemos observado que una matriz A = A:.sx:.J tiene asociada una transformación iineal L : JR 3 -+ IR 3 que satisface las propiedades a. y b . de la definición. Recíprocamente, sea dada la transformación L : IR 3 -+ IR~l tal que satisface a. y b. (es decir, es lineal), y sean los vectores {e 1, e2. e3} biÍ~icos en JR 3 tal que todo punto (x, y, z) se escriba (x , y, z) = xe1 + ye2 + ze3

Definamos a los vectores columna (escritos convencionalmente de esta manera) ,

= L(e3 )

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5.1 FUnciones d el tipo IR"

-->

!Rm

213

Afirmamos que la matriz construida por los vectores columna así obtenidos

('St<í I'ISociada a la tr11.nformación lineal pHntO!'i

L y la define cuando se cvaluan los

del clominio

<J En efecto. al t.omM un punto

(x, y , z) se t iene

L(.r. y . ::: )= L(xe 1 + ye2 + ze3) = L(xe¡) + L(ye2) + L(ze:3)

= xL(e¡) + yL(e2) + zL(e3)

Podemos ge neralizar esto para d imensiones arbi trarias m, n haciendo recoustrur.ción similar a 111. utilizada para este caso especia l. Una tranformación lineal L : IR" --> IR"' es aq uel campo vectorial que satisface las condiciones a . y b. de la definición dada. De esta manera se tendrá el :;igniente teorema generaL 1111a

TEOREMA 5.1 Sea L : IR 11

IR"' una tr·ansfo rmación lineal, entonces x n, A = (a¡j) asociada a L tal que

1-n~te una -úm ca matr·iz 1·eal de m

para todo .e

(.t 1 ,

· · · • x")

se tien e qtte (utilizando la convención para el

f'álculo) .

L (x)

= A1· =

a _1: 1

a ,:,. ) (

X¡

am i

Drnn

)

(

La ITilLfTi z A es tal que si {e 1 , e2, .. · e,. } es la base en IR", entonces, L npl1cndo al vector ej es el vector col7Lrnna,

r·sto e8. el j - is'irno vector columna de la matriz asociada A.

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Campos vectoriales en JR:.1

214

La unicidad del teorema

deja como un ejercicio para el lector.

Hasta aquí. el lector ya habrá ob~ervado que una transformación lineal en general. tendrá. sólo en sus func iones coordenadas a expresiones lineales eu las Yariabl e~ . sin términos independientes. En los siguientes ejemplos el lector deberá aprender a reconocer por simple inspección una t ransformación lineal, y a calcular su matriz asociada. EJEMPLO. Sea la transformación L: IR;¡ _, JR3 dada por,

L(x,y, z) = (y + z, x + z, x + y) <1

Al com;iderar la matriz A dada por

a (x.y,z) un vector en JR:3 , se tiene,

v, por lo tanto, A está asociada a L, lo que dice que L es una transformación lineal. \Iá.s aún, si se toma la base canónica {e 1 == (1,0,0), e2 = (0, 1,0), e3 = (0,0,0)} entonces, al aplicar A en cada uno de ellos se obt iene A(e 1 ) =

A(e2) =

u )0) (:) (: Hn 0) u DU) 0) 1

1 1

o 1

A(e3) =

lo que nos da los vectores columnas de la matriz A.

5.1 F\.mciones d e l tipo IR" _, IR'"

215

EJEMPLO. Sea la tra.nsfonua.ciúu L : IR:! ~ IR:1 ddinida por L(.1:, y) = (2:r- y, :J.r

ly , 2.r)

<J Al cousi!h~rar la lllatriz d!~ :J x 2 dada por

2 :3

- 1) ,¡

( 2

se t iene que

2.r - y ) :J.r + ly 2.r

A ( :r ) y lo que indica que A

!~s tú

aso<:iada a L.

Si se toman los vectores l>;ísicos 1· 1 = (1,0). (':! = (0.1 ) . <·ut.oiH'<•s tendremos los vectores columna d< ~ la lllat riz A nwd ia nt.<' los c;íl('ulos .

LhJ ~o ~n(:~)

Lhl =o :~· ) c:) EJEMPLO. Sea la t,ransformación

en ~

liiH~al

L(x, y, z) =· ( - .e - y + z . ·1z -

2 .t: + 2y)

<J Al cons iderar la matriz rc<tl

A= (

- 1

es fácil ver que A es In. matriz asociada a L

EJEMPLO. Sea la t ransformaciúu lineal L : IR:1 ~ IR dada por L(x, y , z)

= (j:.r

:3y + 2;;

<J Si se considera el vector rcuglón,

- 3 2 ) 1 X:¡

Campos vectoriales en IR3

216 pa ra l'l nTtor (.r. y . .:), S(' oht.i(•m•. .1

.·\

,1/ (

)

= (ü

2 ),x :l

.r) (

('S );t

Iuat.riz a:o;o('iada

= 6.r -

Y ;;

lo q11c' di('l' qw' A

- 3

11.

3y + 2z

.lx 1

la trans formación lineal L. 1>

Dantu:-; <l lto ra una iutc·rprctaciún gcou,(-t.rica de una trn.nstornmción Ji., '1 ¡u•al pa ra d ('ast> L : JR- ---> IR' .

L 1 (,

\ Le,"'..,,

._s2Le2 \ '

1 1

L((,)

Fig ma 5.6: Ceonwtría de una transforlllación line<\1. S i consicknllnos un vector en el plano IR 2 , este se puede escribir como Hli<t combinación lineal de los vectores b ásicos .

Dl' esta mam•rn. ::;u imagen bajo L se escribiría com o

lo que nos dice que la imagen de ( E'S una coll!binación lineal de los vectores im<ígeues de los IH\sicos. en IR3 (véase la figma 5.6). De esta llléHICra , la. imagen d el cuadrado e n el plano IR 2 generado por los \l'c;tores e 1 , e 2 bnjo la trn nsfonnnción L es el paralelogramo en IR 3 tendido sobre los vectores L(e¡) y L(ez), com o lo muestra la figura 5.6. En general , si L : IR" ---> IR'" es una transfonnación linea.! y ( E IR" es un vector po::;icionado e n el origen, entonces L(O es también un vector en IR"' posicionado en el origen. Obtenemo~:> ahora una. matriz asociada a la composición de t ransformaciones lineales, en términos de las m at rices asociadas a cada una. de las

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5. 1 Funciones del t ipo IR"-> R"'

217

transformaciones que intervienen en la composición. Lo hacemos apenas para el caso especial de las transformaciones lineales del tipo IR 2 _, JR 2 , generalizando el resultado de manera natural. Consideremos dos transformaciones lineales del plano en el plano, dadas por

L 1 (x, y)

= (ax + by, ex + dy)

L2(u, v)

= (a:u + /3v,

-yu

+ Jv)

Jonde a, b, e, d, o. /3 . -y, J son números reales. <J

Al realizar ::;u composición tenemo~> para un vector (x, y) E IR 2 , (L'2oL 1 )(x,y) == L2(L 1(:1:,y)) == L2(ax+by,cx+dy)

== (o(ax +by) + [3(c:1; + dy) , -y(ax +by)+ J(c:c + dy)) == (oa:r == ((oa

+ oby + {jcx + (3d y, -yax + ¡by + Jcx + Jdy)

+ {jc)x + (ob + /3d)y, (¡a + óc)x + (¡b + Jd)y)

Como se cumple la. igualdad matricial

oa + /3c nb + {3d ) ( x ) ( 1a + óc -yb + ód y

( (üa + /3c)x + (ob + /3d)y ) ((ra + Jc)x + ('-¡b + Jd)y

entonces la matriz asociada a la composición L 2 o L 1 es

e == (

~ra

+ /Jc nb + /3d + óc -yb + ód

)

Por otro lado, las matrices asociadas a L 1 y L2 son

A=(ac d b)' B=(o

/3 )

"(Ó

respcctivameme, y un cálculo prueba que el producto

lo que nos dice que la composición L2 o L ¡ tiene asociada al producto de las matrices correspondientes en el mismo orden. t> Generalizamos la anterior discusión en el siguiente resultado.

Campos vectoriales en llf1

218

TEOREMA 5.2 Para una pareja de transfonnaciones lineales

cuyas matrices asociadas son respectivamente

La composición L 2 o L 1 tiene asociada a la matnz producto

EJEMPLO. Sean dadas las transformaciones lineales L 1(x,y) L2 (J.', y, z) <J

= (2x -

y. y+ x , 4y)

= (- x - ·y -

z, z

+ 3x)

Las matrices asociadas respectivas son

A -- (

B=(

-!1 )

- 1

(para L¡)

y por el teorema 5.3, la matriz de la composición L2 o L 1 es entonces,

= BA =

(

- 1

-1

Por lo tanto, al aplicar convencionalmente en un vector se tiene.

-3x- 4y ) 6x +y lo cual ::;e puede escribir en forma transpuesta como (L 2 o L¡)(x. y)

= (-

3x - 4y. 6x +y)

5.2 La matriz j a co bia na

5.2

219

La m a triz jacobia na

Comenzamos en esta sección, a discut ir la propiedad de diferenciabilidad de una función vectorial de variable vectorial, generalizando lo que se obtuvo para caso de funciones reales de variable vectorial, donde intervenía fuertemente la continuidad de las derivadas parciales que conforman el gradiente . El objeto matemático necesario para generalizar el gradiente viene dado por una matriz cuyas entradas en cada punto son las derivadas parciales de las funciones coordenadas, respecto a todas las variables independientes. Esta matriz lleva el nombre de M atriz J acobian a. Sea f : n e IR" __, IRm una función tal que en coordenadas del codominio se escriba f(p) = (ft(p) , · · · , fm(P) ), para pEn e IR". Cada función coordenada es real de variable vectorial

J¡:n --- R h:r2-.IR

{

Si cada función

J; : n _. IR

:~ _, IR

f,.

tiene un gradiente en el punto p para toda

l = l. 2, · · · , m

\l(f¡)p ::: (

aj; a¡ a¡. - ' (p) ) axl (p) , ax2.' (p), · · · ,ox,.

entonces podemos formar la siguient e matriz m x n ,

!!h.(p) !?li- (p) ÜT¡

Dfp

üx,_

(

lh2 P) .. . !!h. u,·,. (P) !2.h.( ftJ.i (JJ) ... !Jh(n) Ü.L"2 i.J:r y ll

~(p) ~(p) ~(p).:. U:r2 Ü3. ,.

llamada La m atriz J acobia n a de la func ión

nt X n.

f en el punto p.

Damos ahora algunos ejemplos en d imensiones bajas, esto es, para cuando n, m $ 3. EJEMPLO. Sea la función dcncia.

f : !R2

-->

f(:r , y) == (x <J

IR2 dada por la regla de correspon-

+ y , x 2 y)

Debido a que las funciones coordenadas son

J¡ (x, y) = :z: + y,

h(x. y) = x 2 y

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Campos vectoriales en JR 3

220 La matriz Jacobiana en cualquier pE JR 2 es D JP

31 iJa·

ft.· •: ) iJy

l 2xy

:2 )

De esta manera, en el pu nto particular del dominio p la matriz Jacobiana de 2 x 2,

Dj( 1,2 ) -_ ( 2xy 1

1 )

(1 ,2)

EJEMPLO. Sea la función f : JR 2

___.

(! ~ )

= (1, 2),

se t iene

JR 3 dada por la regla,

g(x,y) = (xy , senx , x 2 + y 2 ) <J

Ya que las fun ciones coordenadas son g¡ (x , y)

= xy,

gz(x, y)

= senx,

93(x , y) = x 2

+ y2

entonces en cualquier punto p del codominio se tiene u na :Vlatriz Jacobiana de 3 x 2,

(~ i ) ( QJl2

QZ!.

Üx

iJy

cosx 2x

Por ejemplo, si p = ( 7l', 7l' /2) entonces, al evaluar se obtiene la matriz

Dg<"·"/'2) = ( c!x 2x

) (n ,n / 2)

En este momento damos pauta para iniciar el estudio de la propiedad de cliferenciabilidad de una función vectorial de argu mento vectorial extendiendo la definición de diferenciabiliclad de un campo escalar .

DEFINICIÓN. Sean f : n

e lRn ---> lRm, una función vectorial de argumento vectorial y un punto p E n. Se dice que f es diferenciable en psi existen, una función g : lRn ---> lRm y una transformación lineal Lp : IR" ---> lRm tales que j(p + h) - f(p) : Lr(h) + llhllg(h) {

hm¡¡~¡ ¡ ¡ -o g(h)

A cont inuación se propone una condición suficiente y necesaria. para. la diferenciabilidad de un campo vectorial.

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5.2 La matriz jacobiana

221

TEOREMA 5.3 (de diferenciabilidad) Una función f : D -> IR"' es diferenciable en el punto p, si y sólo sí, La matriz Jacobiana de f en p ex·iste y !as entradas

Dj1,=(~!i) u XJ

,i == l , 2,···,m

j=l,2·· · ,n

son contirmas, Esto es, cada función ~ es continua en p. En este caso, la transforJ mación lineal Lv : IR11 -> IR'"' tiene como asociada a La matriz Jacobiana.

DEFINICIÓN. A la transformación lineal

se le llama la diferencial de la función f en el punto p. A su matriz a.,;ociada en la base canónica (J acobia n a)

Df=(~J¿) OX · p

se le llamará la d e rivada de la función

f en e l punto p.

Figura 5.7: Aplicación de un vector {bajo la diferencial df11 • Observemos en realidad que la diferencial L 11

se aplica en los vectores de posición { con extremo en p,

bajo La matriz .Jacobiana Dj11 •

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Campos vectoriales en IR3

222 Entenderemo~

por Lv = dfp a la transformación lineal asociada a D fr,

que define una transformación lineal entre los espacio~ IR." y !R.m . Esto es, ~i ~es un vector de IRn entonces dfp(O es un vector de (véase la figura

5.7) .

A una función que es diferenciable en cada punto de su dominio se le llamará diferen ciable.

EJ EMPLO. Sean, la función diferenciable f (x, y) = ( x co~ x,

~en

el punto p = (Í , n) , y el vector~ = ( -1, 2). Calcular dfr(O. <J

Calculamos La matriz Jacobiana de la función en el punto p , D

_ ( cosy fv xcosz

y la evaluarnos en el punto p =

- ( f ( rr / 2.-rr) -

Por lo tanto, para que

dfp( - 1,2) = (

(%, 1r), obteniendo,

C0~7f

7f COS 7r

-x ~en y ) sen x

- n / 2 sen 1r ) ( - 1 sen 1r/ 2 O

= ( - 1, 2) se tiene, al aplicar convencionalmente,

~1 ~)

1 ( -; ) = (

= (1 , 2)

EJEMPLO. Sean, la función difcrenciable, f(x , y)

= (Jnxy,x 2 +y2 ,JXy),

el punto p = (4 , 3), y el vector~= (2, 1). Calcular dfp(~). <J Calcu l amo~

La matriz Jacobiana de la función en el punto arbitrario

Dfr = (

h/~

l 2y

L/f

) p

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223

5.3 La r egla de la cadena

de donde, al evaluar en

= (4. 3) se tiene que 1

¡ D!(.Yo.'J)

= (

3 1

~ 3

.!. {j

2y¡

)

Por lo t.ant.o. al aplicar en el vector f. = (2, l ) de manera convencional, obtiene. ===

5.3

(!!.6' 22 ' w) 6

La regla de la cadena

En el capítulo 4 hemos dado una versión más general del teorema de difereneiclbilidad, para la composición de funciones, para cuando eran del tipo ~ -> ~J -> R En esta sección darnos un resultado más general acerca de la difl:'renciabilidad de la composición de funciones diferenciables del tipo ~~~ -> ~"' -> !Rk- (k. n. m enteros arbitrarios), llamarla también Regla d e la cadena (véase la figura 5.8).

Figura 5.8: Regla de la cadena. EJEMPLO. Sea la pareja de funciones vectoriales

f(;r , y) g(u, v, w) <J

===

C:x2'xy+y2)

=== {ttV-

u+ v + w)

Las matrices Jacobianas respectivas están dada.s por, l+.c2 1

X+ 2y

)

Campos vectoriales en IR3

224

Dg" =

(

Observamos que sólo tiene sentido la composición dada por

la cual ya ha sido calculada y está definida por la regla

u+v+w

(f Og) (U, V, W) = ( ( ) , 1 + uv- w 2

+ V + W) (UV + U + V) )

y cuya matriz J acobiana se calcula en un punto pE IR:J por

D(J og)p

1+(tw - w)( uv+w+2v 2 +2vw)

1+(uv - w)( u·u +w+2u +2uv)

(J+(uv -·w)2)2

(l+(uv - w)2f1

+ 2u + 2v + 2uv + w + w u 2 + 2uv + 2u + 2v + uw + w l +(uv-w)(u+uv+ 2w +2v) ) (1+(uv -·w2)2

uv +u + v cuyo cálculo result.a ser muy complicado. Por ejemplo, si se toma el punto p

D(f o 9) ( 1.1 ,1) Por otro lado, sabiendo que g(p)

Dgp

= (1, 1, 1) entonces,

1 )

9 9 3

= g( 1, 1, 1) = (0,3) = q se tendrá

= Dg(J. l , l ) = (

1 1

Pero al realizar el producto de matrices se tiene que 1 1

lo que nos indica que

5.3 La regla de la cadena

22!:)

Ya que el¡muto q = ,r¡(p), <·ut.olln's lo <t11t.1·rior SI' 1·snilw <h· lll<llll'l'<t Jli<Ís explícita y en tér minos de p como

La fónuuln. que se 1m ohteuiclo al titml d('l <'.klllplo Sl'r<Í proptwst a c<>IIH> La regla de la cadena. El euuuc:iaclo sl·ní dado <'lt t.<'•nuiuo:; d<· dif('n'lleiaks, lo <:unl 110 uos <:ausa. prohh~llla al~uuo, \·a <¡11<' la pnwhil Íll\'<>lnn;tr<Í sus matrices .Jacohiana.s asociadas.

TEOREMA 5.4 (Regla de la cadena). Sm:n dos fmwiou¡•s ble8 f : n e IR" ~ IR"'

difl.,.l'lll'tlt ·

y: U e IR'" ~ IR¡,. de tal fonrw que la ima,r¡r:n dr.

IIILjo Ln jmii:ÍIÍ11

I'Sfl: nmfl'nÚ[a (' // (j ("

IR"'. Si. p E

es un

punto nr·bitnL7iO. t:ntmu:I:S ln jll11.f'ÚÍ11 t:0'/1/fri/.(:S/tL

r1 o J : n --+ es difer·enóabk en

cl¡nmto p

u ~ IRk

y la dijr:nm.r:illl dt: trtlmw¡¡os·i riún t:n t:l¡ntlll o

1' curnplc la iqnnldatl

tl(.q o J)p

= dt}j(¡¡ ) o df,,

<1 Como la.s lmt.trices a)-;ociadas a las dif1'l'I:JH:ial1·s so11 las .la<"ohiauas. será suficieute con demostrar la igualdad

Ya que fes difcrcuciablc

Cll ]>E

n, cxistl~

Ull<t huH·iúu o: IR" ~ IR"' tal

que

f(p

+ h)

{

- f(p) = D J,,(h) + lint¡¡itJ J-o ó(h) = O

llhl lo{h)

Análogamente, corno 9 es diferencial> le en el pu11to 1¡ E U . <•xistl: uwt fun ción t~ : IR" ....., !Rt tal que

{ Sea ahora, q elltOliCCS

g(p +k)- y(q) Dg,,(k) + llkll;,;(k) lim¡JitiJ-o .p(k) = O

= f (p)

y cow;idérese d iucn.;lllCllto k

1.: == f (p

+ h) -

f(p)

= f (p + h)

f (p).

= DJ,,(h) + llhllo{h)

226

Campos vectoriales en JR:.I

y(f(JI ·l h)) = y(f(p)

+k) :::

y(f(7¡))

+ D.IJJ(¡•) ((DJ,,(h) + llhlla>(h))

+I IDJ,,(h) + ll hl l ~)(h) l l~· (Df11 (h) + llhlk>( h)) Por lo t anto. d1• In lin1•alidad d<' D.IJJ(p) se tiene que

= D.IJJ(p)D j~,(h) + .p(h)

y(f(p + h )) - y(f(p))

CottH> lint 111, 11 _ 11 ó(h)

= O ~-

-->

O {=:::::> h -->O. se t.it' llt' que

lint .;(lt) 111•11 - 0

D1• !'Sta Hmnt•rn. se ('Uiupl<' la pareja de igualdades

{

r¡(f(p + h))- g(f(p))

Dy¡<,,>Df"(h)

lilll¡l', ll -0 .p(h)

+ .;(h)

o t•quintlt·ut-I'IIl!'lltt•.

(y o f)(p {

+ h)

- (g o J)(p) = Dg¡(11lDJ"(h) hlllll/dl-0 .p(h) = o

lo que dcwut•stm el t-eorcwa.

+ .,:;(h)

EJEMPLO. Dada la ¡wreja de fuucioucs.

y( u, ¡•)

= {ln(u + v). r'"', ltt')

calcular D(J o g) 1,. do11dc p = (1, 1). <J

Las matrices J acobiauns están dadas por

Dg1, =

(

_ 1 u+t•

u+t: _ 1

L'e'"'

u e"''

)

Dj _ ( 1 O O ) 1 ' O 2y 2z '1

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5.3 La regla de la cadena Ya que g(p)

227

= g(l, 1) = (In 2, e , 1) = q se tiene que Dg(l.l. ll

:-~ 2~1

)

(

Por La regla de la cadena, tenemos finalmente,

1/2

= ( 2e2 + 2

1/2

2e2

) 1>

EJEMPLO. Sean 1(t) = (x(t), y(t), z(t)) una curva difercnciable y w f(:c, y, z) una función arbitraria real de variable vectorial. Si 1(t)

e n, siendo n el dominio de f en JR 3 entonces, w("t(t)) = f(x(t) , y(t) , z(t))

es una función real de variable real difcrenciablc, w o 1 : IR - IR. <J

Si p

= 1(t)

es un punto sobre la curva, por La regla de la cadena se

tiene

= (af of af) ax ay az

( -y(t)

~ a; dt

) = af dx + af dy + af dz ox dt

ay dy

oz dt

= < 'Vf,(t)>,:..f(t) > Notamos que esta igualdad es la que se obtiene en el capítulo 4 como un caso especial del teorema de La regla de la cadena establecido en este capítulo. 1>

Campos vectoriales en JR 3

228

5.4

Cambios de coordenadas

En esta sección mostramos uno de los resultados más importantes del análisis matemático moderno, el teorema de la Función Inversa. Aunque se omite su demostración, se ilustra su alcance con ejemplos y se dan referencias para los lectores interesados en la parte teórica. EJEMPLO. Consideremos el siguiente sistema lineal de ecuaciones de 3 X 3, x + 2y + 3z = 1 2x + 5y + 3z = 2 { x + 8z = 3 <J

Si se consiera la matriz del sistema,

A= ( ~~~ ) 1 o 8 se t iene que detA

= -1, de donde A es invertible con inversa, 16

-5 -2 que puede ser calculada mediante El método de Gauss-,Jordan. Ya que el sistema dado se puede escribir matricialmente

entonces el vector columna con las incógnitas puede despejarse mediante la multiplicación de A - J , esto es,

lo que nos indica que

- 40 13

U) (

-16 -5 -2

y, por lo tanto, que el punto con coordenadas (x, y, z) solución a tal sistema.

= (3, - 6 -

2) es la

5.4 Cambios de coordenadas

229

Veamos el problema inicial desde otro ángulo. Si consideremos a LA : R 2 ---+ R 3 la transformación lineal asociada a la matriz A, entonces el sistema de ecuaciones inicial puede ser visto mediante la ecuación funcional (con notación convencional),

LA(x,y,z) =A

( X~' ) (~1) =

(1,2,3)

es decir, el problema consiste en encontrar un punto (x, y, z) del dominio de LA tal que bajo la aplicación de la transformación tenga imagen en el punto dado (1, 2, 3), LA(X, y, z) = (1 , 2, 3) Por el proceso mostrado, se t iene que si detA =1= O, y LA - , es la transformación lineal asociada a la matriz A - !, entonces el punto buscado es

(x,y , z)

= LA-'(1,2,3) = (3,-3,-2).

Si se analiza un sistema de ecuaciones más general,

+ 0.¡2Y + O. ¡JZ = U + 0.22Y + 0.2JZ = V O.J¡X + 0.32Y + a33Z = W O.¡¡X

0.2¡X

{

con la matriz asociada al sistema dada. por

entonces, una condición para que el sistema tenga solución para las incógnitas (x , y, z) en términos de los números (u, v, w) es que detA =1= O. Si éste es el caso y se define por

entonces la solución al sistema de ecuaciones viene dado por la ecuación matricial

Campos vectoriales e n 1R3

230

En términos funcionales, si LA : IR 3 ---. IR 3 es la transformación lineal asociad a a la matriz A y LA - • : R3 ---. IR 3 es la transformación linea l asociad<'~. a la matriz A -J, el sistem<l de ecuaciones en las incógnitas (x, y, z) v su solución en términos de (u, v, w) vienen dados por la equivalencia funcional

LA(J·. y, z) = (u, v, w)

(x , y, z) = LA-• (u, v, w)

Est.a equivalencia señala explícitamente las propiedades de invert ibiliclad de cada t-ransformación lineal mencionada.

De hecho, de la igualdad AA -J

A- 1A

I , donde I es la matriz

identidad se tiene que

LA - 1 o LA= LA- lA = L¡ = 1 lo que nos dice que LA y LA - 1 son mutuamente inversas y que

Este problema de invertibi lidad se puede formular en términos más generales, cuando se tiene una función vectorial de variable vectorial. Como se entiende del ejemplo anterior, las funciones inversas sirven como operaciones de cancelamiento o despeje (véase Capítulo I de Reyes, 1996). DEFINICIÓN. Sea f : !1 e IR 11 ---. IR" una función vectorial de variable vectorial. La función g : j(D) e R" ---. n se dice ser una función inversa de la func ión si se cumple que

f o g : j(n) ---. n---. f(D), g o f :n

f(D)

es tal que es tal que

f og=l go f

siendo I la función iden tidad (véase la figura 5.9). EJEMPLO. Sea la función dencia

f : IR 2

---.

IR 2 dada por la regla de correspon-

f(x , y) = (e'" cos y, exsen y) <1

Si se escriben las coordenadas de la imagen,

5 .4 Cambios de coorden a d as

231

f ~

Figma G.!J:

luvertibili<l;~d

IIWt

fHuc ic'm.

cntouc;es. al dividir la s<~guuda <~<: Ilación por J;~ pri JJ I(~I'i' S<' oltt i•·tw

-V = t.an y

(1')

=> y = arrt.all -

'IL

Si se elevan al <:11a.drado lm; ig 11aldad<~s e u los lados wsp<~c;t.ivos se tendría que

a111 hos

Jlli<'Jill 1ros \. s<· Slllllilll

lo que implica que :1:

= lu )u.'2 + .,.:2

De esta llliliJCra, c;ou hase c11 u11 <;;í.lc;ulo n~al izado lll('d iilllt<· dt·s¡wjt·s. s<· ohticue uua fuución (x , y) la c;ual t iene

1111

= g(u , v) =(tu )u'2 + v 2 , arct;~n (~))

dol!1inio de dcfi ui('ióu

D 1 = !R 2

{(u,v) i u

i= O}= IR 2

f<'.je

t'}

En ot ras palabras, hajo este\ regla g obtcu icla . no tod o ¡muto ( u.'') E !R2 acepta solución para la equivalencia f(x, y) = (u, v) {::==}{:e, y) = g(u. v).

Por eso es que llamamos a g una fuuciÓ11 inversa. pon¡u<• estiÍ ddi uida

no en toda la imageu rle

Otro cálculo simple nos muestra que la funcióu.

Camp os vector iales en R 3

232

t•s 1111a fuu!'i<',u obt.<·nida uwdiaut.t· t•l Ill<;t.odo s i!llilar , y que es i11versa para f ddi11id;~ ('11 c-1 <'ollj uut.o

Lo juntu

qlll'

<·s

las furl('iorws

d;~ro.

/¡ -'.

<'S

qtH' Ull

y ('Oinddeu

ní.kulo d ir<'eto nos mostraría c¡ue

{' ll

Pll

el CO!l-

sus valores. 1>

EJ EMPLO. S<'<l f: D C IR __. IR llllil funcióu dikn•rH·iable real de vm·iable n ·nl .\' s<·a ¡1 E D un p unto r egular d<• f. {'S d<'<·ir la derivada f'(p) no se illlllb.

Por l'l t.<·or<·uw d<• la funl'iúu iuwn;a (Capít u lo 3 Reyes, 1996) se tiene exístcu inti'!'V;tlos ./1, a lrededor de JI~· .1,1 nlrcdedor de q = f(p) d e tal fonun que la n•st.ril'dúu d<• la full<'ÍÓII f a esos intPrvnlos <1

qtH'

inYert.il>k -'' s11 iuwrsa es dikrencinblc. :\l;is aún. s i g : ),1 -+ Jp es la furll'it'm im·<·rsn lu('al d<· f alrededor de q = f(p). entonces la ecuación

l'S

(y o f)(.r)

= .r

iHrplil'a. pm La n•).?;ln de la ('adena l

= (g o f)'(:r) = r/(f(:r))J'(.r)

Al <'\'a luar en .r p se tirlic que la (lt-rivada de la función iuversa g en el p u m.o lf = f (p) s(• calcula.

s/(q)

= (J'(p))-r

f'(p)

D<•cilllos e11 este caso que la función f es una invertible local pues tiene uua inversa local g que también es diferenciahle. 1>

81siguiente resultado generaliza el ejemplo anterior y nos provee de una gra11 cantidad de funciones localmente invertí bies de clase e•·. La prueba se omite, pero el lector interesado puede referirse a l trabajo de Lima (1992). Para una función de clase CT, f : IR" --> IR 111 entenderemos a una función cuyas funciones coordenadns J¡ : IR11 -+ IR'm son de clase C'.

5.4 Cambios de coordenadas

233

TEOREMA 5.5 (d e la función inversa local) Sean, f : n e IR" __, IR" una fu.nctón de clase C,.(r 2 1) y p E n un punto tal qu.e La matriz .}ar:obuma A

= Df P = ( ~j ; ) OXj

tenga un determinante no nulo: detA :j; O. Entonces f es una función localmente mvertible en p. Esto es, en una vecindad de p y en otra vecindad de q = f (p) . la j1mC'ión tzene una mver·sa local 9 que es de clase cr. !l!ás aún. si q

= f (p ) es la imagen se tiene que La matriz Jacobiana de

!J en q se calc1tla inv irtiendo la matriz D f P, es decir,

EJEMPLO. Considerar nuevamente la función f : IR2

IR2

f (.t. y) = (e"· cosy, eJ'seny)

de la cual no se puede obtener una función inversa global explícita. Sea p = (.r:, y) E IR2 un punto arbitrario del dominio. Su matriz Jacobiana viene dada por <J

(

cosy eJ'sen y

-e'rseny ) e-" cos y

lo que nos dice que det(Dj.. )

cosy = e·" é 'seny 1

-eseny 1 = ex =1 e-" cos y

Por lo tanto. la función f es invertible localmente en cada punto y dependieuclo ele éste. tendrá una función inversa local como alguna de las dos diferentes halladas anteriormente, según la forma de despejar las variables. ~

DEFINICIÓN. Dada La matriz Jacobiana en un punto p de una función __, Rn de clase cr, definida. por DfP, a su determinante det(Djp) se le llama el Jacobiano ele la función f en el punto p y lo calcularnos por J fp· es decir

f: IR'1

Así. repasamos el teorema de la función inversa diciendo que una función !R'1 __, IR" de clase C,. cuyos Jacobianos no se anulan en todo el dominio es localmente invertible de clase cr.

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Campos vector ial es en IR3

234

Para optimizar cálculos utilizaremos la notación clásica que utiliza subíndices variables para definir la derivación parcial. Por ejemplo,

fu = UU'

definirá la derivación parcial respecto a la variable indicada. Por otro lado, si una función IR,.

---+

IR" es definida por

(y¡··· ,y,.) = f(xt · · · , :rn)

el jacobiano de f en el punto p se definirá por

EJEMPLO. En la función suave IR2

IR2 dada por

(u,v) = f(x,y) = (excosy,exseny) se tiene <J

V:.:

Jfp

= D(u,v)

ux == ex cosy, uy = -[)y = - e"'seny UV =e cosy ux = e seny, vy = -UV [)y

Ux == -

== 1 Ux

D(x, y)

V:.:

Uy 1 Vy

Particularmente, en el punto p

= 1 e:cosy e seny

-é'seny e"· cosy

= (1, 1) se tiene que

Jf(l. i) =el= e

de donde fes invertible alrededor del punto (1 , 1) con una inversa local g(u, v)

= (In )u2 + v 2 , arctan (;))

definida alrededor del punto f(1, 1) = (ecos 1, e sen 1).

EJEMPLO. Dada la función

f(x,y,z) = (xz,xy ,yz) verificar su invertíbilidad alrededor del punto p = ( - 1, l . - 1).

5.4 Cambios d e coordenadas <J

235

Si ca.lculamos por (u,v,w) = f(x,y,z) = (xz , xy , yz), es decir, = xz v = xy w = yz 1L

{

entonces J !P

D(tt, v. w) D(x,y,z)

u,.

Vl·

O = 2xyz

W:r

tl>z

De esta manera, el Jacobiano se anula sólo en los planos coordenados X = y = ;; = 0.

Por lo tanto, J ! ( u.l ) = 2 ::j= O, lo que nos dice que f es invertible en una localidad del punto (1, 1, 1), y procedemos a calcular en este caso una función inversa local de f. De las ecuaciones u = xz, v = xy se obtiene que uv = x 2 zy. Al utilizar ahora w = yz en uv = x 2 zy se tiene que uv = x 2 w lo que nos dice que •)

x- =

füV

<:::==:>

±y W

Análogamente, se obtienen,

Ya que q = (1, -1 , - 1) = f( -1, 1, -1) está en el dominio para cualquier elección de signos, se tiene, al elegir los apropiados, que la inversa local g tiene la forma , g(u,v,w) =

füV ( - v-:;;;·

en virtud de los signos del punto p

füW - y-;; füW) v-;;·

= (-1 , 1, - 1).

En muchas ocasiones, el sistema cartesiano de coordenadas no es bueno para describir objetos geométricos o mecánicos que están incluidos en el espacio vectorial R3 . Por eso, es preciso utilizar otro tipo de coordenadas que describen con fórmulas más simples tales objetos. De esta forma, si se conocen las coordenadas que se van a utilizar en lugar de las cartesianas,

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Campos vectoria les en JR 3

236

1/'

C---- -7----~ 1

~\'----- --- ----""'7 \

Figura 5.10: Regiones en JR 3 y JR 2 . justo es que se establezca una relación biunívoca entre las colecciones correspondientes a tales sistemas de coordenadas. Cabe mencionar que en muchas ocasiones, tal relación biunívoca entre tale::; si::;temas puede establecer::;e entre regiones.

EJEMPLO. Sea el campo escalar F(x,y, z)

= x 2 +y2 +z 2

Ya que F es una función ::;uave (por lo tanto, continua) se tiene que

ni = F- 1 (-oo, 1) = {(x,y,z)i

;¡·

+y2 + z2 < 1}

es una región abierta de JR 3 Esto, es la bola de radio 1 con centro en (0, O, O) de JR 3 es una región abierta (véase figura 5.10 a).

EJEMPLO. Considere el semiplano superior

Este conjunto es una región abierta en JR 2 , pues la función F(x, y )= y es continua y H+ = p-i (0, oo) (véase figura 5.10 b). Claramente la cerradura del semiplano superior

FJ+ = {(:z.·, y) E lR 2 1 y 2: O} es una región con frontera en el plano JR 2 . En algunas ocasiones, una región e::;tá definida por varias desigualdades. Esto es, cada punto de la región satisface un número fin ito de de::;igualdades del tipo F 1 (x,y,z) :S a 1 F2(x , y, z) :S 02

{

Fn (x, y,: z) :S

5.4 Cambios de coordenadas donde las funciones F 1, · son números reales.

·· ,

237

F,. son continuas en el espacio IR 3 , y

a 1, · · · , an

EJEMPLO. Con::;idercmos la región en el plano IR 2 acotada por la elipse

<l De la figura 5.1 1 se puede observar que la variable x está necesariamente en el intervalo [- 2, 2] y que la variable y está encerrada desde la curva y= J4 - x 2 hasta la curva y = -jzJ4- x 2 . La definición de y se obtiene al despejar a y de la ecuación inicial ,

y -2

Figura 5.11: Región elíptica en R 2 . De esta forma, la región gualdades

- 2 :Sx:S 2

n se puede describir

totalmente por la::; desi-

Estas desigualdades son equivalentes al sistema de desigualdades

F 1 (.r, y) = - x :S 2 F2 (x . y ) = x :S 2 {

F3(.r, y)

=- (v + ..;\!.()

F.¡(x, y) =y - ..;/.{

:S O

que provienen del par de desigualdades obtenido.

Campos veCtoriales en JR 3

238

En general, entender un sistema de desigualdades como el que :;e obtuvo en la parte final del ejemplo anterior es díficil, y es más cómodo describir a una región por desigualdades como la:; que se obtuvieron directamente en el ejemplo anterior, la:; cuales señalan los conjuntos donde era permisible tomar cada una de las variables.

EJEMPLO . Considérese la región n en el plano definida por desigualdades y 2 x2 ,

y ::; 4 - x 2

<1 La figura 5.12 nos muestra que la primer desigualdad se refiere a la región por encima de la parábola y = x2 , mientras que la segunda desigualdad se refiere a la región por debajo de la parábola y == 4 - x 2 . Por lo tanto, la región n es aquella acotada inferiormente por y = x 2 y acotada superiormente por y = 4 - x2 .

y =4-x

-Y2

Figura 5.12: Región O del plano JR 2 . Los puntos de intersección entre las parábolas satisfacen las ecuaciones

y= x2 { y = 4 - x2 que al igualar: x 2 = 4 - x 2 , nos da los puntos x = ± J2. Esto hace que x esté en el intervalo 1- J2, J2], mi entra:; que la variable y e:; permisible entre las curvas y = x 2 hasta y = 4 - x 2 . Por lo tanto, la región D está completamente descrita por las desigualdades -J2 ::; x ::; J2, x2 ::; y ::; 4 - x 2 . 1>

EJEMPLO. Sea V

e JR3

X = o,

la región espacial acotada por los planos

= O,

=O,

X + y+ z

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239.

5.4 Cambios de coordenadas

<J Una im;pección a la ecuación del plano x +y+ z = 1, nos muestra que los puntos cie i nter~ección con lo~ eje~ coordenados son (1, O. 0), (O. 1, O) y (0, 0.1). como se muestra en la figura 5.13, quedando tal porción del plano <~n el primer octante: x ~ O. y ~ O, z ~ O

Si en la ecuación x + y+ z == 1, ponemos y = O y z = O, entonces x = 1, lo que determina para x el intcrv::tlo [0. 1] .

z=1-x-y y=1-x 1

z=O X Figura 5.13: Región espacial acot ada por planos. Para determinar el dominio de y, hacemos z = O en la ecuación x + y+ x, !o que según se muestra en la misma figura. e ind ica que

- = l. obteniendo .r +y = 1 o y = 1 -

O~y ~ 1 - x

Fi nallllente. al despejar z de la ecuación x +y+z = l. se obtiene z lo que dice que la variable z debe satisfacer la de::;igualdad

= 1-

x - y,

O~z~1 - x - y

Por lo t anto. la región e::;pacial V se descri be por el conjunto

V= {(x.y.z )I O ~ x ~ 1, O~ y~ 1- x, O~ z ~ 1 - x - y}.

E JEMPLO. Consideremos la región espacial acotada por la parte ::;uperior de la C!-ifera

<J Al proceder por analogía al ejemplo anterior haciendo y = O, z = O en la ecuación dada, se obtiene que x 2 = 4 o x = ±2. Al obser var la figura 5.1--l. tenemos que el inter valo numérico para x e::; [- 2, 2J.

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240

Campos vecto ria les en IRJ

Por otra parte, si se anula z en la ecuación, se t iene que x 2 + y 2 = 11 lo que al despejar a y en términos de x nos da y = ± J 4 - :r·2 • que según la figura 5.17, nos indica el dominio para la variable y,

Finalmente, si en la ecuación inicial se despeja a z , se obtiene que z = ± J 4 - x 2 - y 2 , lo que según la misma figu ra 5.17, la variable z deberá. satisfacer la desigualdad

os z S

J4 -

pues se considera la parte superior de la esfera.

y y=

-2

-v;;I 2

Figura 5.14: Semiesfera superior IR 3 . De esta manera, la región V e IR 3 acotada de esta forma, está totalmente descrita por las desigualdades

Como se mencionó antes, situaremos un cambio de sistemas coordenados en regiones contenidas en !R3 ( ó en !R2). 3

D EFIN ICIÓN. Sean x , y, z y u, t:, u· dos sistemas de coordemtda.s en IR . Por un ca mbio d e s is t em as d e coorde n adas en uiHt región n se entiende una función diferenciablc e invertible n ~ n. que en coordenadas se escribe .r = :r(tt. v.tc) y = y(11. v.1r) { z = z(u. t:.u·)

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5.4 Cambios de coordenadas

241

con una funciém inversa. difi:renciahl<: ddiuida t·u H por

n = a(;t:,y.z) v = v(:r,y,::.) { w = u{r,y,z) Para Cfo = (uu, 'U(¡, Wo) e n llll Jlllllt.O ddillido 1!11 las ('OOI'dt•JHI.das. l/, l'. 1/ ' , considérese el correspondiente en S2 <'ll las coordt·Hndas .r, y.::., ddiuido por

= (xo, ]Jo, zo).

DEFINICIÓN. El pu11to Po E ~¿ se llauw. 1111 valor regular paw <'1 cmnhio de coordenadas, sí la 111a.triz

es no singular, es decir, dct A

:f: O. El¡Hluto r¡0 se lla11mn\ punto regular.

En otras palabras, p0 es Ull valor r<'gnlar ¡mw <'1 s ist<'lll<l de t·oordt•uadas (u, v, w) si la parte Jiucal A es uua matriz iuvertihle. El siguiente resultado nos habla de la invertihítidad lo('al alredt•dor dt· 11n p1111to regular <.le 11n cm11hio de coordena.da.'i. f:stt: se s ip;tw dd Tt·or<'IH<I de la función inversa. TEOREMA 5.6 Si p 0 es un p·u.nf.o T'f!t¡?tla1' ¡mm d w.mbio de wonl<m1J.das. entonCe8 en 1J.nfl vec·ind!Lii IÜ! ]Jo (!rt !l .~~ puede dejiu:i7· 'l/.'1/IL f.mnsjormru:ú)u invenw.

En ot.ras palabras, la parte lineal del cambio d<: coordt:11adas c11 r¡0 dt·fine su invertibilidad localmente. Esto es, define loca.h11eute m1 cambio de coordenadas.

A continuación damos ejemplos de cambios de: coordenadas cu el plauo IR2 y en e l espacio IR:1. Se hará uso del Teorema 5.6 c11 c<uht HilO de ellos. Coordenadas polares Considérese en el plano IR2 el sistema de coordenadas cn.rtesiauns (.e, y). Introducimos ahora en el mismo plano otro sistema de coorde11adas ( r, ..p ). donde r ?: O y <pE (0. 27l'). La relación entre los sistemas de coordenadas

x = r coscp { y= rseu;::>

Campos vectoriales en IR;¡

242

<J [);u lo 1111 p1111t.o (ro. -;0 ) = q0 . proc('d('nlos a vniticar la condición de i11n ·rt i 1,¡ lidnd loen l. .\· pn n t <·!lo n<·<·<·sit.mnos <·a.kular la mat.riz .1 acobimm en 1/11

il.r

..l =

7}; (

!.!..u iJr

;~~ ) = (

!.!..u ;¡ • ..,....

'lo

- ro S<'n <,'o ) . ro cos <,'o

cos. ,Po S<'ll <Po

(),· <·sta fonua. d <kt<'nllÍil<lllt(' <k la parte litl<·al A S<' calcula S<'n.p 0 ro <·os -Po

- r0

!J(r. y) -· (1ti ;• -- 1 cos .;o ...,.----"-:/) ( r . ..,_-) -· st·n .;o

t'<lll lo <t'H'. dt f .-\ =/- O <'11 IR+ X {0. 27r). l lnn fuuciúu qtH' d;t 1111 <·;nHhio Íli\Trso <\(' coordenmlas está dado por

{

r = J .r-•) + y-•) .;; = mct;m (yj.r)

qtH' no <'st;í d\'finido <"liando .r = O. D(' t'st.n nwm·ra. ya qu<' la. imagen IIT<·spond<' al <'.i<' .11 ( dond<· .;; = 4. 1r), s<' t-Í<' llt' una corrcspomlcuria de coonlt·II<Hlas (.r. y) :• (r . .;;) <'11 HJl<'n~s los cundrautcs (sin los ejes) del plauo. Lt hg m;l !J. l S il11stra <·st.o. Al sist<'Jila d<• c-oordenadas (r, .p) se le lla111a de coordenadas polares. t>

(r, :.p)

Figura 0.10: Coonknndas Polares en IR:!.

EJEMPLO. Considen•mos la curva en el plano definida por la ecuación <'ll coor<l<'nadas <·art.csiauas

<J Al realizar el cambio de coordenadas cartesianas por polares, tenemos q11e la ecuación aut.erior se transforma en

O= 25:r:!

+ lO.ry + y2

1 = 25(r cos.pf

+ lOrcos¡prsen.;;

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243

5 .4 Cambios d e coorde nadas

+(r:senc,o) 2 - 1 = 25r 2 co:s 2 y>+ 10r 2 co:;cp:;en tp+r 2sen 2 cp- l 2 2 = r [25cos <p + lO cos'¡/ + sen\::>] - 1 2

= r \5coscp + senc,o]

o hien, en la relación bivalente

±1

r = - - - ---

5 cos cp + sen<p

E J E MPLO. Consideremos la relación en coordenadas polares dada por T

= 1-

COS<p

<1 Para pasar tal relación a coordenadas cartesianas, procedemos como sigue, r = 1 - coscp ~ 1- r = coscp Al mult iplicar por r de cada miembro, se t iene

r - r2

= r cos <p = x

o bien. Jx2 + y2 = x+x2 + y2

Consecuentemente (al elevar al cuadrado a cada lado), obtenemos la relación en coordenadas cartesianas

EJEMPLO. Consideremos la función real defi nida por F (x, y )

en la región

J x 2 +y2 - 1

n = {(x , y )i:r: 2 + y 2 2: 1}.

<1 Al realizar la t ransformación de coordenadas car tesianas a polares (r, .p) se tiene una nueva función

i¡.(r, cp) = F (rcoscp, rsen cp) = J(r cos<p)2 + (r sen<p)2 - 1 =

2 -

defi nida en la misma región, en coordenadas polares,

E J EMPLO . Sea n la región con frontera en el plano, definida por las coordenadas cartesianas

Campos ve cto r iales en IR 3

244

E~te conjunto corrc~pondc a una región anular con centro en (0, O) de radio interior l y radio exterior 2. <l

Al de::;cribir a

n con coordenadas

polares, tenemos

{(r, <p) ll ~ r ~ 2, <pE [0, 2rr]}

pues la relación dada por

es equivalente en polares a l ~

1·

~ 4, ó bien a 1 ~ r ~ 2.

Coordenadas cilíndricas Considérese en IR 3 el sistema de coordenadas car tesianas (x, y, z) e introdúzcase el ::;i::;t ema nuevo dado por la t ripleta (1' , <p, z) donde r, <p son las coordenadas del ejeróplo anterior , y z e~ la tercera coordenada carte::;iana, esto es, x = r cos<p, y= r-sen;p, { z= z Al buscar una condición de invertibilidad para. este cambio, se t iene que para cualquier (-r, <p, z) E IR3 la matriz .Jacobiana del cambio de coordenadas es cos <p - r sen r.p O ) A = se~<p .,. cos 'P o ( o l

De igu¡¡.l forma que en el ejemplo anterior, el determinante de A se calcula D (x , y ,z) = det A D (T,<p,z)

cos r.p sen <p

sen r.p r cos r.p

- 1·

o 1

cos <p sen r.p

sen <p rcos <p

- r

= T

y este es diferente de cero, ::;i r > O. Este conjunto corresponde a t odo el espacio con excepción ele! eje z . Una función inversa es calculada por

definida cuando x =j.: O. Como <p E (0, 2rr) , entonces se tiene un cambio de coordenadas (x, y, z) por (r, <p, z), y viceversa, sólo cuando el punto es tomado fuera de los planos x = O, y = O en IR 3 .

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5.4 Cambios d e coordenadas

245

z - -o (T , '? , z) 1

~---,-------+

l(r,<p)

Figura 5.16: Coordenadas cilíndricas. Este :;i~tema se conoce como coord e nadas cilíndricas. La figura 5.16 ilustra este

EJEMPLO. Considére:;e la relación dada en coordenadas cartesia na..<-; por x2

+ y2

<J En coordenadas cilíndricas

O = (x2

es decir, r 2

2z 2

(r, <p, z) esta relación se escribe

+ y2) -

= 2z 2 o bien, r = ±J2z

2z2

= r2

- 2z2 ,

EJEMPLO. Consideremos la función definida por

F(x,y,z) eula región

= Jz -

n = {(x,y,z)l z ~ x 2 + y 2 }

x2 - y2

e IR:l .

<J En coordenadas cilíndricas la fu nción se escribe de forma más simple

F(r,.p,z)

= F (rcos <p,rsen<p,z) =

Jz- (rcos<p) 2

(rsen<p) 2

n que en coordenadas cilíndricas es escrita como n = {(r,<p,z) 1 z ~ r 2 , <pE [0, 211']}. 1>

definida en la región

EJEMPLO. La región espacial anular-cilíndrica dada por

n = {(x,y,z) l 1 ~ x 2 +y2

~ 4, o ~ z ~ 1}

en coordenadas cilíndricas se escri be

= {(r,<p,z)l1

~ 2, 0 ~

~ l,

<pE [0,211']}.

Campos vectoriales en R 3

246 Coordenadas esféricas

Colllo último ejemplo, sean las coordenadas cartesianas (x, y, z) en JR 3 y con:;idere nuevas coordenadas (r, <p, e) en R 3 dadas por las ecuaciones

x = r cos cpsene, y= rsenr.psene { z = r cose donde r >O, Os; B s; 1r, Os; <p < 21r (véase la figura 5. 17.) La matriz Jac0biana para cada punto (r, <p. 8) e JR 3 es calculada por

cos <p sen SC!l <p sen cose

e e

r cos rp cos r sen cp cos - r senB

e e

- r sen rp sen T COS

¿sen

y ::;u .Jacobiano e::;

D(x, y, z) D(r, <p, B)

= detA = r 2 sen e.

De esta manera, detA = O, :si y sólo sí , r = O ó B = O, 1r, lo cual define otra vez una transformacion del espacio excepto el eje z en e::;tas coordenadas. Un cálculo directo nos demuestra. que una transformación inversa en la región de invertibilidad, está dada por

Este sistema se conoce corno coordenadas ca-geográficas esféricas, !' se ilustra en la figura 5.17.

EJEMPLO. Consideremos la ecuación espacial en coordenadas cartesiarJas dada por <1

En coordenadas esféricas (r,<p,B), tal ecuación se escribe O = (rcos<p sen e) 2

= r2

+ (r sen<p sene) 2 + (-rcos8)2

= r 2 cos2 <p sen2 B + r 2 sen2 rp sen2 B + r 2 cosB - 4 sen 2 B(cos2 <p + sen 2 <p) + r 2 cos 2 e- 4 == T 2 sen 2 e + r 2 cos 2 B -

= r 2 ( sen2 B+

cos 2 B) - 4 == r· 2

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247

5.4 Cambios de coordenadas

(r,o.p ,fJ) 1 1 1

1 1

lo que clice que la rdacic'Ht inicial se: llc•va, h<tj11 la tntnsfllrtlliH'ic'Jit de· C'ollrclcuadas en la rdacic'm siutpl<:

/' = 2

EJEMPLO. Consid(:resc la funci(m F(J:,y.z)

= 111 ( 1 -

definida e u la r<:!!;iÚII ~ 1 = {(.r, y, z )1 O < <J

., l ., ., .r- - y- - .::-) .1:'2

+ y'2 + .::'2 < l}

En coonleuadas c:sf{:ricas, c:sta tmnsfoi'IJiiWÍÚII se• rl'dtH'<' a

F(r, :p. f.J)

= l11(l -

= F(r <.:os .,;s<:ll f.J. rs<·n.,;s<:uf.J. r <·os H)

------------------------------~--------~

(rcos:.;:scnf.J)'2 - (rseu<;s<•llf.Jj'2 - (r(<·osHf)

------~

ln(l- r'2)

definida en la wisluH regicín que e n <·oord<·wulas c·sfc'·riC'as S<' c·snih<•

n = {(r. .p.H) IO < r <l. O~:.;:~ 2rr. O~ H ~ <.}.

EJEMPLO. Cousidcrcmos la rcgi<ín ~~

= {(:r. ¡¡ • .::)1O~ .1.'2 + 11'2 + .::'2 ~ R'2}

corrcspoHdicntc a \lila hola sc'¡Jida ck radio

(:11

d PS]>H<'iO IR:1 .

<J En coordenadas csf{·ritas ( r . .,;. fJ) tal n:gión sP ¡me<!e <•snihir ~l={(r,..;.H)IO~r~R. 0~..;~2rr. O~fJ~rr}

Campos vectoriales e n IR3

248

Campos vectoriales en IR. 2 y

5.5

IR_3

C'onsich~n'S(' 1111<1. rq~i<Íil e IR\ de tal forma que a cada puuto p E se 1(' H!'O('Í<I 1111 \'('('t,or espa('inl X (1¡) E IR:¡. Eutonces diremos que en n está ch•finido 1n1 ('HlllpO dt• Vt'('tOI'!'S

() <¡ l l!' ('11

n H('t.ún ('1 campo vectorial X .

EJ EMPLO. Sea H e IR:1 t ·st

1111a

rq~ión que ocupa el fiujo el<' u n líquido

;wion;t rio.

<J Es daro que n cada punto p E n le podamos asociar su vector de \·do('idad X (JI). De esta fon11a.. S(' <·ow;truye el {'all\¡>0 de vectores velocidad dd tlu.iu (campo de velocidades). como una fuución X : n _, IR3 que a (';tdn JI En le ;\socia el Ve('tor w locidnd X(p). La figura 5.18 a. ilustra el !'Hlllpo vect.orial de <•st.e ejemplo. r>

Figura 5.18: a. Campo de velocidades b. Campo gravitacional.

EJEMPLO. Consideremos la fuerza de atracción en IR:1 ejercida por un cuerpo puntual de masa m que está sit.uaclo en el origen de coordeuadas. Si n e IR:3 es una región del espacio no conteniendo el origen, entonces para cada objeto situado en el punto P E n, se le asocia el vector (fuerza gravitacional) ejercido por su atracción hacia el cuerpo puntual de masa m. Si se detiuc el vector por X (p), entonces se está construyendo un campo vectorial (fuerzas gravitacionales) en n, definido por la función X : n --+ IR3 tal que a cada punto pE !2 le asocia el vector gravitacional X(p) (véase la figura 5.18 b. t> <J

5.5 Cam pos vectoriales en JR 2 y JR 3

249

Si la asociación p - t X (p) en "los ejemplos anteriores es suave, como una función vectorial de argumento vectorial, diremos que los campos vectoriales son suaves.

DEFINICIÓN. Sean una región del espacio !R3 . Por un campo vectorial suave X actuando en D entenderemos una función

que asocia a cada punto p E Del vector espacial X(p), de tal forma que la asociación es suave como una función vectorial de argumento vectorial. El la práctica, para visualizar un campo de vectores definido en una región n, se dibujan los vectores asociados X(p) a los puntos p E D, teniendo a p como punto donde nace el vector X(p). La figura 5.18 ilustra esta forma de visualizar los campos vectoriales de velocidades y gravitacional.

EJ EMP LO. Sea un campo escalar suave arbitrario definido en una región espacial n, <l Podemos asociar a cada punto p E n el vector gradiente grad F(p), construyendo así un campo vectorial X definido por

= grad F

-t

JR3

donde X(p) = grad F(p). Se puede comprobar fáci lmente que si grad F(p) "1 (0, O, O), entonces es un vector ortogonal al conjunto de nivel p-l (h) conteniendo a p. El campo X = grad F se llama el campo gradiente obtenido del campo escalar F. C> Si se considera el sistema de coordenadas x, y, z para D, entonces un campo de vectores X tiene la forma

X(x ,y ,z)

= (P(x ,y,z), Q(x,y,z) , R(x,y ,z)),

donde P, Q y R son campos escalares, P, Q, R : D

-t

Por ejemplo, el campo gradiente del escalar F se escribe en las coordenadas cartesianas x, y, z, X(p)

= ( 8x (p), 8y (p), -¡¡;(P)

)

Campos vectoriales en JR 3

250 !Siendo en este ca!So

DF Q = DF R Dx' . Dy.

= DF Dz

EJEMPLO. Sea el campo escalar F en el plano definido por F(x. y)

= .r? + y2

<J Entonces el campo gradiente a:;ociado al campo escalar F e:;

X(p)

DF ) = ( DF Dx (p) , Dy (p) = (2:c, 2y)ip

Para ilustrar cómo actúa este campo vectorial en el plano, calculamos en algunos puntos sus vectores correspondientes.

X(O,O) = (0,0) X(l ,O)

= (2.0)

X(l, 1)

= (2, 2)

X(O. 1)

= (O, 2)

Sabemos que para h E IR un valor es posit ivo, los conjuntos de nivel del campo escalar F tienen una ecuación.

xz + Y2 = h y corresponden a círculos concéntricos en el origen. Los vectores gradientes son ortogonales a ellos. La figura 5.19 ilustra este ejemplo. !>

EJEMPLO. Determinemos el campo vectorial definido por la fuerza de atracción gravitacional de un cuerpo A de masa m sobre un cuerpo B ele masa l. <J Supongamos que el cuerpo de masa m está localizado en IR:1 . De La

ley de gravitación universal se sigue que la fuerza X con la cual atrae el cuerpo A al cuerpo B es X (p) = TJir# donde p = (x, y. z) es la posición del cuerpo A. Recordemos que !PI = x 2 - y2 - z 2 , y por lo tanto

X( X, y. Z ) o

_ km(xe¡ -r- yt2 + ze:¡) ( ? x- +y2 + z2):3 / 2

equivalentemem~

X(x. Y· z)

kmxe 1

= (X 2 -r-. y 2 + Z 2)''" / ?-

kmye 2

krn::e:3

+ (x-? + y ?- + Z 2)''" / ?- + (X 2 + y ?-

.J..

z ')-)··¡¡ ?-

5.5 Campos vectoriales en JR 2 y JR3 En

e~te

caso las

funcione~ e~calare~

251 que definen al campo vectorial son kmx

P(x ,y,z) = ( 2 2 2)3/ 2 x +y +x

Q(x , y, z)

km y

(x2

+ y2 + x2)3/ 2 kmz

R(x, y, z) = ( 2

x +y +x

2)3/"

Figura 5.19: Campo gradiente de F ~Iostramos

región

= x 2 + y2 .

que un campo vectorial crea una "dinámica" dentro de la

n contenida en JR3 donde actúa.

EJEMPLO. Consideremos nuevamente el campo de velocidades X del líquido e~tacionario dentro de la región fl e IR 3 . Bajo la influencia de tal campo, cualquier punto se " moverá" por la acción de la velocidad X (p) del líquido, creando una trayectoria. En Jo~ puntos de t.al trayectoria también se ejercen tangenciallli 'nte velocidades que son vectores del campo que actúa en n. Si se conoce por rp(t) la trayectoria (curva) que se realiza desde el punto p (tomado corno tiempo incial t = O) , para tiempos t > O, se tiene que la velocidad "tp(t) de la curva en el punto rp(t), pertenece al campo X . Esto es, el punto rp(t) de la trayectoria tiene asociado al vector velocidad X ('rp(t )) que también es la velocidad )'p(t) , es decir,

Diremos en este caso que la curva t __... rp(t), es una curva integral del campo vectorial X , condicionada a pasar por rp(O) = p .

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Campos vectoriales en RJ

252

En otras palabras, una curva integral del campo X de velocidades es una curva cuyos vectores tangentes pertenecen además al campo X (véase figura 5.20).

DEFINICIÓN. Sea X un campo vectorial suave en 1 : (-e, é) ~

R 3 , y sea

una curva suave definida en el intervalo (- e, t:) a n. Decimos que 1 es una curva integral del campo X, s i para todo tE (-e, e) se satisface la igualdad ')-(t) = X(¡(t)) Esto es, -y es una curva integr~tl de X si s us vectores tangentes ')-(t) forman parte del campo (véase la figura 5.20).

Figura 5.20: Curvas integrales de un campo vectorial Sean x, y, z las coordenadas de X (x, y, z)

n donde el campo

X se escribe

= ( P (x , y, z) , Q (x, y , z), R(x, y, z))

entonces la curva 1 (t) = (x(t), y(t), z(t)) será un ~t curva integral del campo X si para t E ( - e, e) se cumple la cadena de igualdades (x (t ), y(t), z(t))

= ')-(t) = X(--y(t.)) = X(x(t), y(t), z(t.))

= (P(x(t) , y(t), z(t)), Q(x(t), y(t), z(t)), R(x(i-), y(t), z(t))) Esto es equiv<llente a que, suprimiendo la variable t (sabiendo que las coordenadas dependen de tal varia.ble), se cumpla el s iguiente sistema de ecuaciones d iferenciales

5.5 Campos vectoriales en JR2 y IR 3

:r == P(x.y,z) { i;i === Q(x.y,z) R(x,y,z)

253

(.c , y,z)

En.

Con:secuenternente. para. que una curva "Y(t) sea una curva integral del calllpo vectorial X = (P, Q, R), sus coordenadas x(t), y(t), z(t) deben satisfacer el si:sterna de ecuacione:s diferenciales mencionado. Surge el problema de la existencia de curvas integrales de un campo Yectorial :suave X definido en una región n e IR:.!. El conjunto de tale::; curvas integrales conformarían el flujo asociado al campo de vectores en el cual un objeto se podría mover libremente bajo la acción de tal campo. El siguiente teorema, el cual no demostraremos, nos garantiza la exi:stencia de una curva integral del campo, la cual pasa por un punto condicionado y que está determinada de manera única.

TEOREMA 5.7 Sean una región de JR3 y sea X un campo de vectores suave defimdo en

Entonces. para el punto p E

a . Existe una curva integml suave 'Y=(a,b)~n

del campo mtegral X, definida en un interualo máximo (a, b) contiene a O y tal que 1'(0) = p.

lR que

b. La cur-va 1 es única en el sentido de que cualquier otra cttrva integral slwt•e del campo

:Y: (a',b') _, n pasando por p, comczde con 'Y en (a, b) n (a', b'), suponiendo de inicio que

O E (a'. b').

La prueba de este teorema es objeto de La Teoría de las Ecuaciones Diferenciales y :sale del alcance de este libro. Otra forma ele determinar las curvas del flujo del campo vectorial X = P(x.y,z)e 1 + Q(x,y,z)e2

+ R(x , y,z)e3

es resolver las ecuaciones diferenciales equivalentes, d:t dy ------- = ~~--P(:r,y.z) Q(:r.y,z)

dz R(:r, y, z)

Campos vectoria les en !R3

254

pero en este caso, las soluciones están determinadas sin el parámetro temporal t. A continuación, damos ejemplos de curvas integrales para campos vectoriales en el plano. La búsqueda de tales curvas integrales obedece en general a la solución del sistema de ecuaciones diferenciales mencionado. Se hace mención al lector que en general no es simple resolver un sistema de este tipo para encontrar las curvas integrales del campo que actúa e n la región n, además de que los métodos de solución que se conocen merecen un trabajo aparte.

EJ El\1PLO. Consideremos en

IR 2 el campo de vectores constante

X(x,y) = (1,0)

esto es, P(x,y) = 1 y Q(x ,y) = O. <1 Entonces sus curvas integrales deberán de satisfacer el sistema de ecuaciones diferenciales x=P=I { iJ=Q=O cuyas soluciones para cualquier punto (x 0 , y 0 ) E D tienen la forma ¡(t) : { x(t) = t + xo y(t) = Yo Esta curva integral t-> ¡(t)

= (x(t), y(t)) = (t + xo, Yo)

corresponde a una recta paralela al eje x, que en el t iempo t = O pasa por el punto (xo, yo) E D. La figura 5.21 ilustra el campo vecto¡ial de este ejemplo, junto con sus curvas integrales (flujo del campo) . 1>

EJEMPLO. Sea en

IR 2 el campo vectorial dado por X(x,y) = (-y,x)

es decir, P(x, y) = -y , Q(x, y)= x . <1 El sistema de ecuaciones diferenciales asociado al campo es

{

x = P(x,y) = -y iJ = Q(x ,y) = x

1v1ediante métodos del Álgebra lineal se puede comprobar que la curva integral al tiempo t = 0 pasando por el punto (xo, Yo) E D , tiene la forma :r( t) = xo cos t - Yo sen t ¡(t) : { y(t)=x 0 sent+yocost'

tE IR

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5.5 Cam pos vectoriales en JR 2 y JR 3

255

X=(1, O)

(xo+t,Yo)

Cx o,Yo) e

)

Figura 5.21: Campo

)

con~tante

)

X = (LO).

Por t>jt>mplo. para el punt o (x 0 • y0 ) = (1. 1) se tiene que la curva integral pmmndo por él está definida por ¡(t)

lh(t)ll 2

= (cost- sent. sent + cost)

= (cosf- sent )2 + (sent + cost) 2

st' t iem' que tal curva iutegral por (1.1) es una circunferencia de radio .J2 con cC'ntro en d origen. De manera análoga, la curva integral de X que pastl por el puuto arbit.rario (.r0 • y0 ) satisface que

lh (l)ll .,- = (.r 0 co'::if-

y 0 sent) + (:rosent + vocost)

= x02 + Yo2

lo q ue uos indica que también es una circunferencia con centro en el origen de radio + La fig ma 5.22 nos ilustra este campo vect orial junto con sus c urvas iutC'gral<'s. que confor111a u una familia de círculos concéntricos, sobre los cuales se m uC'\'C' el campo en dirección contraria a las manecillas del reloj.

J.r6 va.

Figura 5.22: Curvas in tegrale~ del campo X(x.y) = (-y,x) .

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Campos vectoriales e n IR:1

256

Una forma más simple de obtener las curvas integrales sin la expresión explícita del parámetro t para el campo del ejemplo anterior, se muestran continuación

EJEMPLO. Determine las líneas de flujo del campo vectorial plano del ejemplo anterior.

Para encontrar las líneas de flujo del campo vectorial plano X= P(:r:. y)e 1

+ Q(:r, y)e2

debemos resolver la ecuación diferencial

dx dy ..,.,...,--...,= -:::-:--=--P(.t, y)

Q(x , y)

es decir, dy d:r

Q(x, y) P(x.y)

En nuestro ejemplo P(x. y)= -y, Q(x, y)= x, y, por lo tanto, obtenem os dy

~r:

-y

o equivalentemente

(-y )dy

-y2

xdz ~ - - + c 1 = 2

2 + c2

Reacomodando los términos , concluirnos que las líneas de flujo son de la forma es decir, son circunferencias con centro en el origen .

EJEMPLO. Encuentre las líneas de flujo del campo vectorial

La<:> línea<:> de flujo se obtienen resolviendo la ecuación diferencial

es decir xd:c

x(y - 1)

= ..É..JL . y- 1

5.5 Campos vectoriales en JR. 2 y JR. 3

257

Integrando en ambos lados obtenemos

xdx =

j ___!!]¡_, y- 1

es decir, siendo e una constante de integración, la solución se escribe implícitamente, xz

= In

IY -

1] + e

EJEMPLO. (Campo gradiente). Considere un campo escalar F, y el campo gradiente asociado en la región O de JR. 3 en las coordenadas x, y, z. aF aF aF) X(x , y , z)=gradF(x, y , z) = ( ax' ay' a z

l (x ,y,z )

<J Entonces las ecuaciones diferenciales para este campo gradiente vienen dadas por

Y=a

{ i - ai? é)z Como es sabido, el vector tangente de una curva integral -y(t) = (x(t), y(t), z(t)) es el vector

"Y(t)

= gradF(x(t), y(t) , z(t))

y éste es ortogonal al conjunto de nivel donde se encuentra el punto -y(t) .

Ya que el campo gradiente es ortogonal a los conjuntos de nivel de F, entonces el flujo (conjunto de curvas integrales) de X = gradF es ortogonal a los conjuntos de nivel de F. Particularmente si F = T es el campo de temperaturas, entonces un objeto situado sobre un conjunto de nivel r- 1 (T0 ) tenderá a moverse de manera natural hacia la dirección del gradiente X = gradT para ganar calor, llevado por la acción misma del campo gradiente. 1> DEFINICIÓN. El campo vectorial X es conservativo si existe una función escalar F tal que X = V F. En tal caso, llamamos a F una función potencial para X. EJEMPLO. Muestre que el campo vectorial gravitacional es conservativo. <J

El campo vectorial está dado por,

) _ km(xe 1 + ye2 + ze 3 ) (x2 + y2 + z2)3/ 2

x,y,z -

Campos vectoriales e n ~ 3

258

l'S

dl'C'il'. f..:myr~ :!

kmn· 1

X (.r. !J . .::)

kn~Z(':.s

= (.r-., + y-., + .::-'') ·'!/ ''- + (r ., + y-., + ..::-'')'!/· ''"' + (:r-., + y-, + z-'')''/'> oJ

Ddiuil'udo n In fuu\'it'n•

F (.r. y. z) ,. l'ail'ulaudo PI

¡~;rn diPutl !

km = --;::=;==.== ·> .¡;¡;-+y-') + ;;-')

oht.eHCIIIOS,

Ofr· + Of v 1· . = - 1·., + -Of e:.s O:r 1 Oy - üz klny1~ '!.

km.rr· 1

\ F

kmze 3

= (.r-., + y-., + .::-.,)·¡¡·' · - + (.r-., +y-., + ;;-.,) ..,.'! ''- + (:t-., + y-., + .::-'')Jf'>- = COH~ervati vo C>

<·ou lo <·twl l'oucluimos que <'1 campo X e::;

EJEMPLO.

Dl'tl'l'llti •w

<'1 campo gradiente definido por el campo R(.J:.y . z)

)(

e~calar

= zH~'.2 Y

<J Yn qm· l'l n nu po gradiente e!:i de la forma

vR(.r. :v . .::)

OR OR OR = -:)t · 1 + - (~ 2 + -:¡-e:.s 0 !J

u.l'

caknkHtos prinwro las deri vada:;

u::.

parci ak~

üR -

'!"~ -e.J' Oy -- .. -.

DR Dz

= J:eJ

De esta manera. el cnm po gradiente de R(:r. y. z) es

EJEMPLO. Si el campo escalnr ]

'( X, y, Z ) =

(1 + x-

+ y~'> + 4z-,

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5.6 Divergencia, gradiente y rotor

259

da la temperatura en el punto (x, y, z), determine el campo gradiente \lT y la dirección en la cual aumenta más rápido la temperatura en el punto (1,1,0). <J

Calculemos primero las derivadas parciales de T(x, y , z)

- 46x

f)T

fJx

- 46y

fJT

ay = (1 + x2 + y2 + 4z2 )2

aT Dz

- 184z

= (1 + x2 + y2 + 4z2)2

El campo gradiente de Tes

\lT = -e¡

+ -e2 ay + -f)z e3

es decir,

Calculemos ahora el campo gradiente en el punto (1, 1,0) -16e 1

\lT(l, 1, O)= -

46 46 =- -e¡ - -e2

-46e2

+ Oe3

De este último se sigue que la temperatura aumenta más rápido en la dirección ~ = (- ~6 , - ~6 , O) 1> El teorema 5.7 muestra que cuando en una región n actúa un campo de vectores, la acción de éste en cualquier punto conlleva a movimientos naturales vía las curvas integrales del campo. Cualquier otra trayectoria que no sea dentro de una curva integral deberá requerir de un "trabajo".

5.6

Divergencia, gradiente y rotor

En esta sección damos algunas fórmulas que son importantes para la teoría del análisis vectorial, y se hace con el espíritu de desarrollar un cálculo operacional en los campos escalares y vectoriales mediante el vector simbólico d e Hamilton.

Campos vectoriales en JR3

260

El vector de Hamilton definido por V=

D ( ox'

o o)

Dy' oz

actúa en los campos vectoriales X por las ecuaciones convencionales sig;u ieu tes. Para un campo vectorial X = (P, Q, R) se define su divergencia, definida por div X , como el campo escalar definido por divX =< V,X > donde el producto escalar se calcula convencionalmente,

Este campo escalar div X mide, cuando se evalúa en el punto p, los posibles desagües o m¡mm1tiales del campo X en tal punto, como se muestra en la figura 5.23. Un análisis nu1s profundo de este concepto se realiza lll('diante los métodos del análisis vectorial.

Figura 5.23: Divergencia de un campo vectorial. Para el campo vectorial X= (P, Q, R) se define su campo de rotación o rotor, definido por rot X, como el campo vectorial rotX

= [V , X]

donde el producto vectorial indicado se calcula convencionalmente e¡

rotX =[V , X] =

8/8x p

5.6 Divergencia, gradie nte y rotor

= (DR- iJQ) e¡ Dy

261

(~R- ~p) ux

( !2

+ ( ~Q - ~p) üx

üy

r·:1

El campo vectorial rot X mi<lc, cuamlo se evalúa en el punto JI , las posibles rotaciones que tiene el campo durante su acción en tal punto. La figura 5.24 ilustra esta idea, c¡ue puede ser est udiada rwís profunclanH!IIte con la teoría del análisis vectoria l.

Figura 5.24: Rotor de un campo vectorial. Si F es un campo escalar suave, podemos efectuar la opcracióu de \l en F definiendo el campo vectorial g r a die nte gradF

= \JF

donde el vector simbólico de Harnilton \l actúa en F mcdiant.c la igualdad grad F = \l F =

D Dy' D DzD) F = (DF DF DF) ( Dx' Dx' uy 'Dz

EJEMPLO. Calcular la divergencia y el rotor del campo X <J

= (x2 , :r y, z2 y) = x 2 e 1 + xye2 + z 2ye:3

Por cálculos directos se obtiene

. Dx 2 d1v X(x, y, z) = < \l, X >= -

fJ(xy)

fJ(z 2 y)

+ -,+ -D uy z

Campos vectoriales en 1R3

262

= 2x + x + 2zy = 3x + 2zy rotX

= (x,y,z) =

= (z

e¡

ojf:Jx x2

ojoy xy

e¡ -

e3 o j oz z2 y

(8(~ y) - ~x ) e2 + (o(xy) 2

= (o(z y)- o(xy ) )

[\7 , X]

O)e¡- (O- O)e2 + (y- O)e3 = (z 2 ,0,y)

- ox

)

EJEMPLO. Calcular grad (div X ) y div(rot X) para el campo X (x ,y,z) <J

= (z 2 x,x 2

-y2 , y 2

+ z2 )

Mediante cálculos directos se tiene

rotX

z2 - 2y + 2z

= (x,y,z) = [\7,X] =

Consecuentemente, grad (div X) = \7(z2

= (a(z2 -

2y + 2z)

2y + 2z)o(z -2y+ 2z) 8(z -2y + 2z)) = (O _ 2 2 2) ax ay ' az • , z+

div(rotX)

= < \7, (2y,2zx , 2x ) > =

8(2y) - n-

o(2zx) o(2x) + - n=O uz 2y

+- -

Del ejemplo anterior, para el campo dado X se obtuvo la igualdad div (rot X ) = O. La siguiente proposición nos indica que esta igualdad se cumple en general para cualquier campo vectorial. Se obtienen más relaciones entre los operadores grad, div y rot.

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5.6 Dive rgencia, gradie nt e y rotor

263

LEMA 5.1 Pmn Los r:mnpos ·¡u:ctrwi.rdt•s X y Y. y los m .w¡){)s ¡·sndtJn·s 81W.Vf'.$ F :V nct'll.nndo (:1/. 'llWL n :qit)n V e IR;¡ SI' ( "/l'llllJll"/1 lns ·i rlt"llfitlor!l·s

básir:as del cálculo openu:únw.l ver;tori.nl

a . rot (grn.d F)

b . div (rotX) = O

c. d iv(FX) = < "VF,X > + F < \?, X > d . grad (Fe) = Fgrad e+ e grarl F e. rot (FX) = F rot X+ [VF, X j f. div [X,Y j = < Y, rotX >- < X,rotY >

g. rliv (gmrl F)

= D. F

donde se define el o¡H:1·rulm· Lrq¡{ur:úmo

ü2

= ü x .,- + ü y-'> + -ü z-•)

u.ctv.u.ndo en el campo e.w;nlaT F m.edimdr: lrL ignalrlwl

, D. f

ü'l. F ü'2 F ¡p F = - +ü y< .. +ü z., . <');¡; 2

<l Damos la dcmostra<.:ióu de algmiCIS rlc las afimw<"io1ws. dejando d resto pa.ra el lector. Corno ya. se mcuciouó. d espír itu dt~ la pnH·lm <·s pummcnte operacional .

a . La siguiente relacióu es vúlida, rot (gm d F) = [V, \1 F] =O pues los vectores \1 y \1 F son paralelos. b. Por un cálculo directo, d iv (rot X) = < \1, [V , X ] > = (V . \1, X) == O doude (, , ) es el triple producto escalar , y c11 la exprcsi(Jil darla st• repit e el vector V. c . De la relación de divergencia, se t iene, d iv (F X) =< \1, F X >=

0 0 ~(FP) + , (FQ) + , (FR) üx Üy Üz

= ¡.JJP + FDQ + FüR + PDF + QDF + RüF üx

üy

üz

D:r

Campos vectoriales en IR3

264

F < \1 , X > + <X, \1 F >

f. De la definición del triple producto escalar, se tiene,

afax afay af az div [X , Y] = ("V , X,Y)=

Q Q'

donde X = (P, Q,R), Y = (P',Q',R') . Pero un cálculo directo en los determinantes (Identidad de Jacobi) muestra que

afax afoy ofoz p P'

Q Q'

R R' P'

[)j ax afay aj az p

a¡ax a¡ay Ojoz P'

o bien (\1, X, Y) = (X, \1 , Y)- (Y, \1, X)

lo que prueba la afirmación f. Los incisos d. , e. y g. se dejan al lector como ejercicio. r> Consideremos un cambio de coordenadas en la región el sistema

x = x(u,v,w) y = y(u,v,w) { z = z(u,v, w), entonces, en cada punto pE n, la base canónica {et. e2 , e3 }

IR 3 , dado por

se transforma,

bajo La matriz J acobiana éJx

(

~ ot•

en el conjunto de vectores básicos {Ae¡,Ae2,Ae3}, es decir, en la base {fu, fv, fw} dada por

ax ay az) fu= ( au' au' au f

ax ay az) ( av ' av ) av

Ae¡

= Ae2

5.6 Diverge ncia, gradiente y rotor

fw =

265

ox éJy oz ) ( ow ' ow' OW = Ae3

Al normalizar cada uno de esos vectores se tiene una base de vectores {e," eu, ew}' donde,

D:r ( &u '

Qu Ü 'u ,

8z ) 8tt

= --¡= ==='===::::::===== ~) 2 + ( Vu ~h)2 (?:r)2 Du + ( i),, (

e.u =

Du '

!!Ji.

= -

llfull

iJz)

a,• Vv

--;===='========= 2

~) + (Dz)2 ( ?,.)2 av + ( i)u 8v IJ:r !2J¡_ !k ) ( Ütv ' Ütv ~ Btu

F.u,

= --;===='===~===== 2 ih )2 , (Dz)2 ( iJw + (!!J¡_) Ow Dw T

Calculemos las normas de los vectores imágenes iniciales, por

hu =

(~:r + (~~r + (~:r = llfull h,, = llfvll hw =

llfw ll

esto es, Supongamos que el conjunto de vectores {e,., ev, ew} es ortogonal, es decir, ortogonal entre sí por pares. El elemento de desplazamiento infi nitesimal vectorial dr, en las coordenadas (x. y, z) está. dado por

dr=

(dx,dy, dz ) = dxe 1 + dye2 + dze 3

Al cambiar el sistema coordenado, el desplazamie nto infinitesimal vectorial di en las coordenadas (tt ,v ,w) está dado en la base {f,"fv ,fw} por d·r = j,.dtt + fvdv + f wdw esto es, en la base unitaria {e u , e,, ew} las coordenadas de dr son ,

Campos vectoria les en R3

266

= (h~.~.d11, hvdv, hwdw) En otras palabras, bajo el cambio ue coordenadas, los elementos infinitesimales son, h.,.du para la primer coordenada, hvdv para la segunda, y hwdw para la tercera. Sea F un campo escalar tal que su gradient e en coordenadas (x, y, z) se escribe grad F

= -ax e 1 + -ay e?+ -e - Dz 3

entonces, para las coordenadas (u, v, ·w) se tiene la relación

= -¡¡-d-u + - V dv + -;_:;dw v tL vw

C~u ~~') h,.du ~ C~v ~: )

hvdv

(L ~~)

hwrlw

lo que indica que la.s coordenadas del gradiente en la base {e,., ev, ew } son necesariamente, errad F 0

(2_ aF

2_ DF _l aF ) hu U1.L' h.v Dv ' hu: fJw

Cálculos más complicados nos demuestran que para un campo vectorial lleva la divergencia de X en las coordenadas x, y, z,

= (P, Q, R), el cambio de coordenadas nos .

d1vX =

aP aQ aR - + - +Dx ay Dz

en la expresión div X= h lt

~ hw u

en las coordenadas (u, v , w). Por otro lado, el rotor del campo X en las coordenadas x. y . z dado por rot. X

= ( aR _ aQ) e, + ( ~p Dy

_DRax )

e 2 + ( DQ _ DP) e;¡

se t ransforma en

1 ( D(Rhw) D(Qhv)) rot X - - hvh'" Dv Dw

hwhu

e~.~.

( D(Phu) _ fJ(Rhw) ) ev + _ 1_ ( D(Q hv) _ a( P ht,) ) ew aw fJu h,.hv Dx Dz

5.6 Dive rge ncia, gradie nte y rotor

267

en las coordenadas (u, v. w).

EJEMPLO. Sean las coordenadas esféricas co-geográficas

{ <J

x y

= r cos <p sen fJ = r sen <p sen fJ, z

cos fJ

Ya se ha demostrado que A =

cos tp sen fJ sen <p sen fJ ( cos 8

- r sen <p sen fJ r cos <p sen fJ

lo cual implica. haciendo u= r, v

f,.

T COS

<p COS 8

)

r- sen <p cos fJ - r senfJ

= <p, w = fJ,

= (cos <p sen 8, sen <p sen fJ,

cos fJ)

!"' = (-1·sen opsenfJ, r cos <psenfJ, O) Jo

= (r

cos

cos fJ, r sen cp cos fJ,

-1' sen 8)

Al calcular las normas se tiene h,.

= IIJ,- 11 =

11!.,11 = rsen8 ho = llfoll = r

h'~' =

De esta manera, los vectores básicos en las coordenadas ( r, cp, 8) son

e,.= f,.

h,.

= (cos cpsenfJ, sencpsenfJ,cos8)

e'~' = ~: = (-sen <p, cos <p, O) eo

= (cos 8, sen <p cos 8, - sen fJ)

y un cálculo directo prueba que {e,., e.,.,, e0 } es ortogonal.

De esta forma, para un campo escalar F, en las coordenadas (r, <p, 8) se t iene que

Campos vectoriales en

268

IR~1

t\lientras que para un campo vectorial X = (P, Q, R) se cumplen las fórmulas . X d1V

h,.h"'ho

[8(Ph"'ho) or

o(Rh,.h"')] + o(Qh,ho) + --'---:-.,.....-!~ oc.p

+ 8(rQ) + 8(rsenBR)]

1_ [O(r senBP) r2sen (} 8r

_ -

1 ?

[·

r-sen

sen 8

(}

o(r P) -!)--

Oc.p

()(}

.. DQ

o(senBR) ] ne

+1~ +r u<p

1 8(r P) 1 oQ 1 8(senBR) = ---+ - - - + - - --'----.,-.,---'1'2 8r rsen (} Oc.p r sen(} {)(} I

+hoh,

(

. X = _1_ (8(Rh 0 ) ot h,ho oc.p

fJ(Phr) _ fJ(Rh 0 )) e [)(} or <p

r 2 sen (}

h, h'P

8 (Qh.,) ) [)(} e, (éJ(Qh"') _ o(Ph, ) ) eo OT [)<p

(o(rR) _ O(rsenBQ)) e,. Oc.p fJ(}

+~ (fJP _ fJ(rR)) e. + _ 1_ (O(rsenBQ) _ DP) eo r

[)(}

fJr

=_ T2

r sen (}

Oc.p

1_ (.,. fJR _ .,. éJ(senBR)) e,. sen (} oc.p fJ(}

+ ~ (fJP _ 8(rR)) e + _ 1_ ( senBfJ('rQ) _ 8P) eo r·

()(}

r sen(}

fJT

fJc.p

Dejamos como ejercicio al lector verificar que en las coordenadas (v., v, w) se cumple la siguiente igualdad para el Laplaciano de un campo escalar F. tlF

= divgradF

[!_

1 (hvhw OF) + !_ (huhw OF) + _Q_ (huhu OF)] huhvhw fJu hu Ou Ov hv fJv fJw hw OW Consecuentemente, para las coordenadas esféricas se tiene, para un campo escalar F ,

5.6 Divergencia, gradiente y rotor

269

La ecuación del calor Consideremos un cuerpo físico D e !R 3 , y designemos su temperatura en el punto (x . y , z) en el instante t por el campo escalar

u = u(x, y,z , t) Afirmamos que el campo ·u satisface la ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden

donde (:r,y . .::) En y o. E R Al utilizar el operador de Laplace,

lo anterior equivale a que la función u debe satisfacer la ecuación

llamada la ecuación de conducción de calor. <1 Al tomar un cubo infinitesimal !7 del cuerpo D (véase la figura 5.25), la cantidad de calor que atraviesa la cara izquierda de !7 de derecha a izquierda durante el tiempo (t, t + ~t) es, hasta, un infinitésimo

donde n es el coeficiente de conductibilidad térmica del cuerpo que se considera constante en cualquiera de sus puntos.

Figurn 5.25: Cnlor atravesando el cubo infinitesimal en D.

Camp os vectoriales en R3

270

Lo anterior se debe a que la cantidad indicada de calor es proporcional al número a, al área 6.y 6.z de la cara que se examina, al incremento de tiempo 6.t y a la velocidad de variación de la temperatura en la dirección del eje X que es igual a la derivada parcial z~ . La derivada parcial varía dentro de los límites de la cara, pero, despreciando infinitésimos de orden superior, se puede suponer que en toda la cara es igual a ~~ en el punto (x,y , z). La cantidad de calor que pasa por la cara derecha de a de derecha a izquierda es, análogamente, igual a

u a ~(x vX

+ 6.x , y , z, t)6.y 6. z 6.t

De esta forma, la cantidad de calor que entra en el cubo a por sus caras izquierda y derecha durante el lapso de indicado es igual a

OtL

~(x

+ 6. x, y, z, t)6.y 6.z 6.t- o.~(x, y, z) 6.y 6.z 6.t vx

pero, por el teorema del valor medio para u en la variable x, se tiene que

o. ox (x + 6.x , y , z, t)6.y 6.z 6.t- o. ax (x, y, z)6.y 6.z 6.t

()2u f)x'L (x, y, z, t)6.x 6.y 6.z 6.t .

En virtud de que en las otras caras del cubo ocurre igual, entonces la cantidad total de calor que entra en a en el lapso (t, t + 6.t) es, la suma de las cantidades de calor que entra durante este tiempo por todas las caras de a.

u u u) 6.x 6.y 6.z 6.t.

82 82 82 a ( 8x2 + oy2 + éJz2

Por las mismas consideraciones, hasta un infitésimo del volumen 6.x 6.y 6.z de a, este número (cantidad de calor ) es igual también a éJu (J éJt 6.x 6.y 6.z 6.t

donde (3 es el calor específico del cuerpo que suponemos constante en todos sus puntos. Igualando, obtenemos, después de las simplificaciones, la ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden mencionada, donde .,

a·= [j·

5.6 Divergencia, gradiente y rotor

271

Se ha mostrado que la temperatura del cuerpo n es la función u = u(x, y, z, t) que satisface la ecuación de conducción del calor, donde a 2 es una constante positiva. Nos hemos limitado al caso cuando el cuerpo tiene en todos sus puntos un calor específico constante y un coeficiente de conductibilidad que no varía. La ecuación diferencial obtenida tiene un conjunto infinito de soluciones, y para encontrar entre ellas una solución determinada es necesario imponer sobre la función u condiciones adicionales, llamadas condiciones iniciales y de frontera. Este problema !:iale del alcance de este trabajo. La distribución del calor en un cuerpo se llama estacionar ia si la temperatura u del cuerpo depende de la posición del punto (x, y, z) y no depende del tiempo t . Es decir, si u = u( x , y, z), entonces

ou = o Ot

lo que implica que el campo escalar u satisface la ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden ~u = O. DEFINICIÓ N. La función u(x, y, z) se llama a r mónica sobre la región n si tiene derivadas parciales continuas de segundo orden sobre n y satisface sobre n la ecuación ~t¿

= o.

llamada la ecu ación d e Laplace. LEMA 5.2 Suponga que la región acotada n tiene como frontera suave a la superficie S sobre la cual se dá la función continua f(x, y , z). Entonces en la ce11·adura ñ existe una única función continua u(x, y , z), armónica sobre la región n: tal que

uis

= f(x,y,z)

Este resultado tiene una interpretación física sencilla. Si sobre la frontera superficial S del cuerpo n se mantiene una temperatura u, tal que uis = j(x, y, z) es la función continua dada sobre S, entonces dentro del cuerpo se establece una única temperatura bien determinada, armónica u(.r. y . .-:). Desde el punto de vista físico, esta afirmación es obvia, aunque puede ser demostrada matemáticamente. Este problema, llamado el p roble m a d e Dir ichlet, está parcialmente investigado y se conocen diferentes métodos numéricos de solución .

Campos vectoriales en IR 3

272

Ejercicios. l. Sean

transformaciones lineales

L 1 (x,y,z)

= (x+2y + 3z, 4x+5y + 6z)

L2(u, v, w) = (u+ 3v + 5w, 6tt + 7v + 9w) Calcular L 1oL 2 y L2oL 1 , usando sus matrices ~ociadas en la base canónica. 2. Hacer lo mismo que el ejercicio 1. para las transformaciones lineales

L3(x, y, z) = (x +y, y+ z , z + x) L4(tt, v , w)

= (v+w,u + w , u+v)

es decir, calcula r L3 o L 4 y L 4 o L3. 3. Sean las transformaciones lineales,

L;;(x, y) L6(x, y,z)

= (2x- y, x + 3y, x)

= (x + y + z,x -

y - z)

y considérense las transformaciones L 1 , L 2 , L 3 y L 4 en los ejercicios l. y

2. . Calcular las t ransformaciones lineales

a. L 4 o L 5 b. L 5 o L 6

c. L2 o L5

Calcular la aplicación de cada transformación lineal dada en el vector indicado. d. Ls(O, e. Ls(~), f.

L3(~),

si ~=( -1 ,1) si ~ = (1,0,1) si ~=(-1,2,3)

g. L 4 o L5 (f.),

~ :::

h. Ls o Ls(f.),

~=(3, - 2,1)

(1, 2)

4. Dar los dominios de definición (regiones) de los siguientes campos vec-

toriales.

a. f¡ (x,y)

= (x 2

+ y 2 , xy - x 2 )

b. h(x, y)= ( Jx 2 c. h(x,y,z)

y 2 , xy 3 ln(xy))

= (xyz 2 , :z)

5.6 Divergencia, gradiente y r 1tor

273

---------------------------

d. J.¡(x, y, z) = (arcsen (x + y + z), xy, x 2

+ y 2 + z2 )

Utilizando las funciones del ejercicio 4 . calcular las composiciones indicadas.

hofz b. J¡ oh c. hof.¡ d. !4 oh e . f.¡ ofz

6 . Calcular la matriz Jacobiana de cada uno de los incisos del ejercicio 4. 7. Calcular la matriz Jacobiana de la fu nción dada en el punto p indicado.

a. f(x.y , z)=(x 2 + y 2 ,xcosyz) en p=(1,0,rr/2) b. f(x,y) = (elsenx , eYcosx) en p = (0,0) c. f(x,y, z)C~y'3x + z 2 , y 2 z) en p = (1 , 1,1) d.f(x,y)=(lnxy,sen :r:y,x 2 + y) en p = (2,1) 8 . a . Hallar los puntos del dominio de la fu nción 7. b . donde el Jacobiano

se anula. b. Hallar los puntos del dominio de la función 8. c. donde el Jacobiano se anula.

9. Calcular, utilizando La regla de la cadena, las matrices Jacobianas de las composiciones de todos los incisos del ejercicio 5. 10. ¿Cuáles de las siguientes funciones se pueden considerar un cambio de coordenadas local, en el punto que se indica?

a. f(x,y) = (x 2 y + 1,x2 + y 2 ) en p = (1, 1) b. f(x , y)=(x 2 + y 2 ,JY + .JX) en p=(4,16) c. f(x,y) = (eY,Inx) en p = (1, ln2) d . f(x,y,z) = (xz,xy,yz) en p = (1,4) f. J(x,y,z) = (ycosx,ysenx,z) en p = (rr/4,4,3) 1 1. Dibuje e integre, sin usar el parámetro temporal, los siguientes campos vectoriales.

a. X(x,y) = (x,y)

b. X(x,y)

= (- x,y)

c. X(x, y)= (x , - y) d. X(x,y)

= (-x,-y)

e. X(x, y) = (x 2 , y)

OERECI-I)S RESERVADOS O 2004, Uniwrsdad AtiÓnoma Metropolitana (México). Prohibida la reproctuoaón de esta obra así OOfi'CI &a distriluc:ión y venta fuera del .itnbilo de la UAM!D. E-libro Bibliomedia BibliomediaOfnail.oom

Campos vectoriales en IR3

274

f. X(.r.y) (.r 2 . - u) g . .Y =-= grnd F. donde F(.r. y)

= .r2 -

12. a. Cilknh· la diwrgl'ncia y <·1 rot.or de todos los calllpos vectoriale::; del l'.il'l'<"iciu 11.

h. ( 'nkuh- li1 diwrg\'IICia y el rotor de los ca111pos vectoriales :siguiente::;. i. X 1 ( .r. u. .::) == (u - .r, .r + U, Y::) ii . .\':!(.r.y . .::) (:r:.!r,-yo. !?<·-·• =, .::·2c-'.!!) iii. .\:1(.r.!J . .::) = (.:: 2 y- .r. .r 2.:: +y, .t/'.1:- .::) iv . .\'.¡(.r. y . .::)= (.r .. st•u.::y, t·Ycos.r.::. t~ =se n y:r)

13. VnifiqnP las igunld¡¡dcs s iguientes para los Calllpos vectoriales del vjnciciu 12. a. di,· (rot.\) =O,

X = X 1 .X:.!,X:¡.X.¡

>- < Xt,rotX2 > > - < X;¡ , rotX.¡ >

h. div[.\' , .X2 J = < X2.r<>t X1 c. ,¡i,·[X:1.X.¡J = < X.¡ , rotX:¡

14. Si F(.r . y . .::) = .r + y 2 + : : 2 , verifique las igua.ldade::; siguientes, mmndo los c<Hllpos ,.~ ~ctor ia.IPs dPl ejercicio 12.

a. rot (FX)

= Frot.X + [vF,X] , X= X 1 , X 2 =O

b. rot (grad F) c. di,· (grad F)

= I:::!.F

15. Demostrar q i H' en la.-; coordenada::; (u, v, u·) se cumple la igualdad sigHit·ntc ¡mm (') Laplaciano de un campo escalar F arbitrario.

6 ¡:

1 h ,.h ,.h,..

[.!}__

(h,.hu: DF) + .!}__ (h,.h,.. DF) + ~ (h,.Jtv oF)] hu

Ün

h,.

hw OU'

16. Calcule la divergencia y el rotor de cualquier campo vectorial X, y el gwdit'nt.e d e un campo escalar , en los siguientes sistema::; de coordenadas. a. I::n coonlcnndas cilíndricru:;. h. En las coordenada~ (1t, v, w) donde

= ue•·w

y= ve"w { z = we'w

c. En las coordenadas pseudoesféricas (r, X· ¡p) donde

{

donde r

> O,

x = r cosh X = r senh X cos cp z = r· senh X sen cp,

x > O, O S cp S 211'.

Apéndices

Capítulo 6

Elementos Básicos de Superficies en JR3 En e:-;te capítulo introdudmos el c:ouc:epto h{L<.;i<:o de s u¡ wrfiC'ie ~~~~ <'1 <·spacio euclidia no IR:~. Damos ejemplos de las su¡H'rfic-i<·s lll<ts ('IJllliÍll llH'llll~ conocidas y un tratamiento g<mern.l de s11 estudio. Utilizamos una notación pitnt definir a los plauos coordnt<Hlos d<• In manera.

~iguiente

R~.!J definirá al plauo (:1:, y) couten ido e u !R:1, IR;..:, d<"fi u iní. al plnuo

(x, z) contenido en IR\ m ientras q ue IR~.z ddin ir(t al plano (y. ::: ) <·out<·n ido en [R:$.

D E FINIC IÓN. A los puntos (:r , y, z) E IR:1 q tt<· satisfap;an m m rd<lC'iiÍil real del tipo R(x,y. z) = O 1

se les dirá que conforman una s uperficie ordinaria <'11 IR: •

EJEMPLO. (El plano ). Un conjunto d<! ¡nmt.iJs

('11 (']

<·spa<·io

<¡ll('

s ;Jt is-

facen una ecuación del t ipo

a:c

+ hy + r:z = d

se d ice que forman un plano coa vector normal n <l

Tales puntos talllhién

satisfnn~ n

R(:c, y . :; ) = r1.c + by + lo que asegura que un p lauo

<'S

:=:

(o . /1. f').

la rdaci<'Jll t :;-

d= U

una superfi!'i<· ( plaua)

<'ll

lll!:$.

OERECI-I)S RESERVADOS O 2004, Uniwrsdad AtiÓnoma Metropolitana (México). Prohibida la reproctuoaón de esta obra así OOfi'CI &a distriluc:ión y venta fuera del .itnbilo de la UAM!D. E-libro Bibliomedia BibliomediaOfnail.oom

Ele m e ntos Básicos de Superficies e n IR 3

278

Figura 6.1: Superficie esférica en IR 3 . EJEMPLO. (La esfera de radio t) Sea r

< Los puntos (:r, y, z)

> O un número real dado.

E IR 3 tales que distan t del origen conforman una

superficie esférica. satisfaciendo la ecuación

o equivalentemente,

En otras palabras, los puntos sobre tal esfera, deberán satisfacer la relación: R(x, y, z) = x 2 -'- y 2 + z 2 - r 2 = O lo que hace que la esfera con radio r y centro en el origen sea una superficie en IR 3 . Esto se ilustra en la figura 6.1. Para muestra, la ecuación

describe a una superficie esférica de radio 4 con centro en (0, O, 0) . 1>

6.1

Superficies de revolución

Consideremos en el plano x, z una curva 'Y que es la gr áfica de una func ión z = f(x), tal que no corta al eje z . Al hacer girar ¡ en torno al eje z se obtiene una superficie de revolución S contenida en IR 3 . Afirmamos que S es una superficie ordinaria según nuestra definición.

< Sea el punto (xo, y0 , z0 ) E S. Afirmarnos que satisface una relación del t ipo R(xo, Yo, zo) = O

6.1 S upe rficies d e revolución

27!J

Cierto es que (:~: 0 , ¡¡1¡, z0 ) est;t !'ll el círculo oht<·uido ,.¡ h<H·<·r 1-!;irar d puuto (:z: 0 , z0 ) de la curva f. P<'ro entouc<'s,

= f(:ru)

y todos los puutos del círculo de radio :1:0 cst.;Íu a la lltis111a alt nra .::11 \. contenidos eu el plano y eu un círculo de rndio .r0 . Es d<'cir, t i<'lH'll ttlla .r~ eolitO s<· ll ttH·st ra <·ll la ecua.cióu en el plano z = ;;0 dada por :r1 + y 1 fig ura 6.2.

R7.

y Fignra 6.2: Superficie de rcvoln<:i<'Jn. Esto implica que sobre t;tl círculo se cnmple la i!!,unldad

Ya que (:c0 , y 0 , z0 ) es arbitrario, entonces cada. pu11to (.r. !J. z) E S debe satisfacer la ecuación es decir, los puntos ( x, y , z) E S satisfacen además la rclacicín

R(:c, y, z) = z- f( J.c 2 +¡;"-!)=O lo que hace de S una supcrfieic.

De igual forllla., si z = f (y) y se hace girar ~~ alrededor del eje z, se obtiene la misma relación. Esto es, si z = f(:c) ó z :::: f(y ) pam obtener la ecuación ele la superficie S obtenida al gintr la grMic·n 1 de f alrededor del eje z es necesario reemplazar, en un caso,

x ___,

J x-') + y-')

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Elem e nt os Básicos d e Superfic ies e n JR 3

280 o bien , en el otro caso,

EJEMPLO. Consideremos la curva •)

= x"

que es la ecuación de la parftbola en el plano x , z con x

~O.

y X

Figura 6.3: Paraboloide circular

= x2 + y 2 •

La ecuación de la superficie de la revolución S (parabo loide circ ular) obtenida al hacer girar tal parábola alrededor del eje z es

o equivalentemente, la relación

Véase la figura 6.3 que describe a esta superficie.

E.JEMPLO. Sea

z= y

la hipérbola canónica en el plano y, z con y > O. La ecuación de la superficie de revolución S obtenida al hacer girar alrededor del eje z es 1

que se logra al sustit uir y -

Jx 2 + y"2.

6.1 Superficies de r evolución

281 z

Figura 6.4: Hiperboloide circular. Tal superficie se llama un hiperboloide circular y se ilustra en la figura 6.5. EJEMPLO. Sea el semicírculo en el plano IR; ,y dado por la ecuación X =

JR2- y2

donde la variable :1: ~ O. Al hacer girar en torno al eje y (intercambiando) reemplazando en este caso la variable se obtiene la superficie de revolución

J z2 + x2 = J R2 _ y2 o bien.

x2 + y2

+ z2 = R2

que es la ya conocida esfera de radio R con centro en (0, O, O).

Figura 6.5: Superfic ie cilíndrica.

282

6.2

Elementos Básicos de Superficies en JR 3

Superficies cilíndricas

Sea "! una curva contenida en un plano coordenado y sea el eje perpendicular a tal plano. Si por cada punto (xo, y0 , z0 ) E ¡ pasamos una recta paralela a eobtenemos una supe rficie cilíndrica S. La curva "! se llama generatriz de S y e se llama la directriz. Se afirma que S es superficie en nuestro contexto. Sin pérdida de genera lidad, supóngase que "f está en el plano IR;,y. Por ser curva en IR;,y las coordenadas x, y satisfacen una ecuación R(x, y) == O <1

Sea (x,y,z) E S entonces (x,y) E "{ lo que implica que R(x,y) ==O. Claramente el punto (x, y, z), omitiendo a la variable z, también la satisface, es decir, si se define (abusando de la notación) a la relación

R(x, y, z) = R(x, y)= O entonces S es una superficie (véase la figura 6.5) .

EJEMPLO. Sea la curva plana x2

+ y2 = 16

un círculo de radio 4 con centro en el origen. Esta genera en el espacio la superficie cilíndrica S definida por la misma ecuación, quedando libre la variable z .

y 2 X

+y =16

Fig ura 6.6: Cilindro circular recto. Se llama cilindro circular recto de radio 2 con centro en el origen y con directriz al eje z (véase figura 6.6).

6.3 Superficies cónicas

EJEMPLO. Sea la curva

283 sin u~oidal

y= senx,

[- 1r,11]. Tal curva genera la s uperficie cilíndrica en la misma ecuación, sienrlo z libre. Se llama cilindro sinusoidal con directriz al eje z . La figura 6.7 ilustra a esta superficie.

.rE

y Figura 6. 7: Cilindro sinusoidal.

EJEMPLO. Sea ¡ la gráfica de la función z curva genera la superficie cilíndrica

= eY

en el plano R;.y. Esta

z - eY = O con la variable .r libre. Se llama cilindro exponencial con directriz el eje x (véase la figura 6.8) .

6.3

Superficies cónicas

Dada una curva 1 en el espacio IR 3 y un punto v, se define una superficie S a.l tomar el haz de rectas por v que intersectan también a f. Se llama una superficie cónica con vértice v y base 1· La figura 6.9 ilustra a este tipo de ~upcrficics.

Elementos Básicos d e Superficies en IR~1

284

Figura 6.8: Cilindro exponencial.

Figura 6.9: Superficie cónica. Una relación R(x,y,z) en las variables x,y. z , se dice homogénea de grado s. si para cualquier t E IR y cualquier punto (x . y. z) se cumple la igualdad R(t:t, ty, tz ) = t• R (x, y, z ) Para muestra, la relación

es homogénea de grado 2. En efecto,

R(t:r,ty,tz ) = (tx/ + (ty) 2

= t2(.r2 + y2 -

(tz) 2 = t 2 .r 2 + t2 y2

z2) :::; t2 R(:t. y, z)

2 2

t z

6.3 S upe rficies cónicas

285

Otro ejemplo, es la relación

In cual es una relación homogénea de grado 3, como se muestra en el siguiente cálculo. <J

R(tJ:. ty. tz) = t:J(xy2

'} = t.r(ty)-'} + (tx)-(ty) + (ty) 3 -

+ :c2y + y3 - y2y)

= t3 R(x, y , z)

(tz)-(t.y) C>

Una relación R(:I.·, y , z) homogénea, define u na superficie corno se muestra en el siguiente Lema.

LEM A 6. 1 La relación R(.c,y,z) =O. donde R(x,y,z) es homogénea de grado s define v.na sttperjicie cónica. <J Sea R(:r , y, z) = O tal que Res homogénea de grados, y supóngase que u = (0. O, O). Sea Po = (:ro . Yo, zo) tal que R(yo, xo, zo) =O.

Se nfirma que toda la recta por Po y v satisface la relación. Tal recta tiene, en las variables x , y, la ecuación

x = txo y= tyo { z = tzo De esta manera. si el punto (:e . y, z) está sobre la recta, entonces

R(.r.y , ::;)

= R(t:co,tyo,t:::o) = t·' R(xo,yo,zo) = t"(O) = O

lo que demuestra que (x. y, z) E S.

EJEMPLO. La relación

es homogénea de grado 2 y por lo tanto, la relación x2

+ y2 -

= O

define una superficie cónica. Claramente R(O , O. O) = 02 + 02 - 02 = O, lo que nos dice que el punto (0 , O. O) este\ en la superficie y es su vértice. <J

De la relación .r2

+ y2

= O, si despejamos a z 2 , obtenemos

Elementos Bás icos d e Superficies en JR. 3

286

y X

Figura 6.10: Cono circular. Si tomamos z = l, entonces x 2 + y 2 = 1 es un círculo de radio l, lo que nos dice que la curva "f, base de la superficie es un círculo. La superficie cónica S es un cono circular con vértice en (0, O, 0). La figura 6.10 muestra esta superficie. C>

EJEMPLO. Sea la relación R(x , y, z)

2 a

+ b2

- 2 e

homogénea de grado 2, entonces por el Lema 6.1, define una superficie cónica. ~

Al hacer R( x , y, z )

= O se obtiene la ecuación

o bien , despejando los términos en z se tiene la relación equivalente

Si se hace z

= e obtenemos una curva. 'Y base de la superficie, dada. por

que es la ecuación de una elipse con parámetro!:> a, b, a una altura z = c. Le llamaremos a tal superficie un cono elíptico con vértice en el punto v = (0. O. O). y se ilustra en la figura 6.11. C>

6.4 Elipsoides, Hiperboloides y Paraboloides

287

Figura 6.11: Cono elíptico.

6.4

Elipsoides, Hiperboloides y Paraboloides

En esta parte definimos nuevas superficies a partir de las ya conocidas, utilizando cambios afines de coordenadas, como la deformación de los ejes cordenados y las traslaciones. <J

Dada la esfera unitaria en JR 3 ,

en las coordenadas cartesianas x, y, z, la podemos deformar en un elipsoide en IR 3 , v2

1 2a + b2+2= e

en las nuevas coordenadas u, v, w, mediante la deformación de los ejes coordenados X =~ (l

{

Y --

z =

:!L b

)

:!Q

donde los parámetros a, b, e > O, o bien, mediante las relaciones inversas,

u = ax V = by { w = cz lo cual se comprueba con la simple sustitución

La figúra 6.1 2 ilustra al elipsoide. C>

Ele m e ntos B ásicos d e S upe rficies e n JR 3

288

~Iedi ante procesos análogos de deformación de los ejes y usando otras cordeuadas 1 , es posible obtener superficies nuevas a partir de superficies ya conocidas. A continuación damos ejemplos.

EJEMPLO. (Elipsoide circula r ). Sea 1 la elipse centrada en (0, O) del plano IR~_,, definida por la ecuación x2

2 a

+ 2 = 1,

a, e> O

alrededor del eje z, al reemplazar x --. Jx 2 se obtiene la superficie de revolución elipsoidal dada por la ecuación

< Si se hace girar

+ y2

llamada elip soide circula r (véase la figura 6.12).

Figura 6.12: Elipsoide circular. Al hacer una deformación del eje y mediante el reemplazo de la variable y por

y-. -

v al sustituir en la últ ima ecuación se tiene

es decir,

6.4 Elipsoides, Hiperboloides y Paraboloides

289

Figura 6.13: Elipsoide. que es la ecuación de un elipsoide con parámetros a, b. e (véase la figura 6.13). [> EJEMPLO. (Hiperboloide d e una hoja). Consideremos la hipérbola en el plano~~ z dada por la ecuación,

-- a2

= 1

donde los parámetros a, b > O. Al hacerla girar tal curva alrededor del eje z, reemplazando x --+ se obtiene una superficie denominada hiperboloide circular de una hoja dado por la relación, <J

Jx2 +y 2

(Jx2+y2)2 1=

z2 -

x2+y2

z2 -

es decir,

Como cada punto de la hipérbola genera un círculo al girarla. Esto se ilustra en la figura 6.14. Si se deforma el eje y con el reemplazo ay b

y-+ ~e

obtiene la nueva relación

1 En la sección 5.4 da mos un tratamiento más completo a éste proceso de cambiar coordenadas en el espacio IR? .

Elementos Básicos de Superficies e n IR 3

290

Fip;um 6.11: Hiperboloide circular de una hoja.

•)

:r-

•)

.::-

--:;+ -~ -) - -:;- = 1 (/¡e-

que rorr\'spoudc a una hiperboloide elíptico de una hoja (véase la fip;ma ().15). Para mu<·stm. la rdación .,

2.rdcfint•

1111

l •)

+ 2v- -

3.::-

hiperboloide elíptico de mm hoja C>

EJEMPLO. (Hiperboloide d e dos hojas). Si la misma hipérbola del ejemplo preccdeute eu el plauo IR:..z con la ecuación

se hace girar alrededor del eje :r, al reemplazar ::-+ superficie ue revolución con ecuación

Jy 2 + z2 se obtiene la

a.-

6.4 Elipso ides, Hipe rboloides y Paraboloides

291

Figura 6. 15: Hiperboloide elíptico de una hoja. es decir, x2

1= - - - - a2 c2 c2 y tal superficie se llamará hiperboloide circula r de dos ho jas.

Al hacer la deformación del eje y mediante el cambio coordenado cy

y-->-

se obtiene la nueva ecuación

que corresponde a un hiperboloide elíptico de dos hojas (véase la fig ura 6.16) . Para muestra, la ecuación - x 2 -y2

1 2

+- z- =

es un hiperboloide elíptico de dos hojas.

EJEMPLO. (Paraboloide elíptico). Sea la parábola cuadrática en el plano IR.;.z dada por la ecuación

Elementos Básicos de Superficies en IR 3

292

F igura (i.lG: Hipcrboluid(• díptico de do:-; hojas.

Sl'

h<~n'

+ .t /

J.r

girar alr<'dl•dor d d l'je .:: hacirndo rl rermplazo canónico ('11 In últ.ima n·laC'ión. se olltíl'nt' un paraboloide con u.::

O l'l¡IIÍ\'<llt'lll!'ll l('llt (',

= ( v. 1.r-., + y '-)'.! = .r-•) + y-·> _,.2 + y2

•)

a o

bil'll.

.r-

+(/ (/

1¡-

z = - + :._ (/

ll.

llalllado paraboloide circular.

:iJf se obti<•JH~

Sí se deforma el <'je !J por el cambio coordenado y 11\lCV(l [a CCIIHCÍÓil

.:: =

., (A ):! ,¡¡;

o u'2

·>

.-,

.r?r -.r- + __..__ 1>_ = - + --

+ ~--~a

es decir, ;1.' 2

z= -+--

6.4 Elipsoides, Hiperboloides y Paraboloides

293

y X

Figura 6.17: Paraboloide elíptico. con los parámetros a, b, con el mismo siguo, que representa un paraboloide elíptico (véase la figura 6.17). 1> NOTA. Si en la ecuación obtenida en el ejemplo anterior

se tienen signos diferentes para a y b, la superficie se llaman\. paraboloide hiperbólico, y su gráfica se muestra en la figura 6.18. A esta superfic:i<' se le conoce tarnhién como silla de montar.

---

. y

Figura 6.18: Paraboloide hiperbólico.

Observamos que ha.o;ta este punto todas nuestras superficies obtenidas mediante la deformación de los ejes han estado centradas en el origen de

Elementos Básicos de Superficies en JR 3

294

coordenadas y todas tienen una descripción dada por una fórmula cuadrática. En realidad, si se tiene una expresión cuadrática del tipo Ax 2 + By2

+ Cz 2 + Dx + Ey + Fz + G =O

donde no ha.y términos cruzados en las variables, 2 siempre es posible identificarla como una de las superficies de la lista que hemo!:> mencionado. El proce!:>o para la identificación involucra una translación de ejes coordena dos del origen en IR 3 a otro punto del espacio. Si p = (h, k, l) es un punto del espacio IR 3 , entonces al utilizar las coordenadas (u, v . w) en IR 3 ligada!:> a las coordendas cartesianas mediante las fórmulas

{~=~:z }

<==} {

z =w+l

~=~=z } w=z- l

conseguimos una t ranslación del punto origen (0, O, O) al punto p = (h, k , l) como lo muestra un cálculo simple (de hecho una sustitución). Si x = h, y = k, z = l, entonces u= O, v = O, U! = O, y recíprocamente si u= O. v = O, w = O, entonces x = h, y = k, z = l, y como lo muestra la figura 6.19.

________ , (x,y)

y V

u kf---L--- - - t - - - - 7 - - - u

Figura 6.19: Translación de ejes coordenados. ·1 Si hay término~ c ruzados e l proceso de identificación se complica y para e llo es necesario utilizar método~ de l Algebra Lineal.

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6.4 Elipsoides, Hiperboloides y Paraboloides

295

EJEMPLO. Haü'r mm transhrciún d <· <•jcs dd orig<·n d<· roord<' lliHhs ,,¡ )>llll\.0 - 1, :~. - 2).

"= (

<1 i\1 utilizar fórnmlas s<· t.ieue q1w las llll!'vas vnri;rhl<·s u. s ist<'ma Hl i<!VO son dadas por,

u {

= J: 1J

11'

( -1)

= '!J -

= ;; - (-

<'11 <·s t <·

= .1' + 1

=y 2)

t'. 11'

= ;; + 2

.1''2 + ·¡ / + ::'2 -

+ !1

<1 Ha<:CIHOS 1111 c·oJupld.muicn to de t <''rlllÍHos pnra t<'H<'r t rÍIJOIHÍos drados perfectos, m;oc:iand o los seuH!jant.<·s.

() = .r:2 + y 2 + z'!. -

+ 1/ = (.r:! - .r) +

Clla -

(!1'2 -t n) -f ~ ·~

de donde,

(~:'2 _ 2 (~)

:1.'

(~r) + (~/ + 2 (~) !1 + (~r) + :;-., -· -11 +-l1

()

(r - ~r + Al h;H·<·r );r tra nslaci<in d e ejes cou IJ\lcvas coord<'lliHlns u. t.' . u· dadns por 11

= .1' -

= ./' -

1/2 l /2) :: = z - 0 = :: - 0

{

l /2

+ l /2

V= !J

=y- ( -

terH'tllos d Huevo origen en el pHuto (1/2. - 1/2. O) .\· )¡¡ <'<·wwi<iu <·n <•stns nuevas coordenadas dada por '2 'll

+ l'- + z-

= -

que es ruJa esfera. d e ra.d io De esta llliiiJCra. la e('rra<:ión ÍllÍC'ial desC"rihe a lllla Psfem rle nrdio {) <:O JJ

<·<•ntro

<'11

f'l pu11t0 r

= (j-.

-:!.

.0).

EJEMPLO. l deHtifi('ar a la superfic-ie en IRJ dada por la <'<'WICÍÓII

·l.r:l + 4z2

8.r + 8z +

1,1}

+ ,¡ = O

Elementos Básicos de Superficies en IR 3

296

Al agrupar términos obtenemos que O = (4x 2

8x) - (y 2

4y)

+ (4z 2 + 8z) + 4

= 4(x 2 - 2x)- (y 2 - 4y) + 4(z2 + 2z) + 4 4(x 2 - 2x + 1)- (y 2 - 4y + 4) + 4(z 2 + 2z + 1) + 4 -

o bien, 4(x - 1) 2

(y + 2) 2

+ 4(z + 1) 2

= O

Al hacer la translación de ejes al punto (1, - 2, - 1) mediante las ecuaciones u=x - 1 { x=u+1 v=y+2 <==:> y=v-2 { w=z +1 z = w -1 obtenemos la nueva ecuación en el sistema de coordenadas u, v, w dado por

Ya que la relación es homogénea de grado 2, se tiene una superficie cónica, y al despejar la variable con signo negativo, se tiene

De esta forma, si v de la base del cono

= e es una constante arbitraria se obtiene la ecuación 2

c = 4u

+ 4w2

<==:> (

u2 + w 2

que es un círculo de radio R = c/2. De esta manera, la ecuación <1

4x 2 + 4z 2

- y

+ 8x + 8z + 4y + 4 = O

define a un cono circular en dirección del eje y con vértice en el punto (1, - 2, -1). 1>

EJEMPLO. Identificar la superficie dada por la ecuación

x2 <1

4x + 8z - 2y

Al completar cuadrados obtenemos

O= (x 2

4x) - (z 2

8z) - 2y

= (x2 -

+ 4) -

(z 2

8z + 16)- 2y

+ 12

6.4 Elipsoides, Hiperboloides y Paraboloides

= (x - 2) 2 - (z + 4) 2 -

297

2(y - 6)

de donde, 2(y- 6)

= (x -

2) 2

(z + 4) 2

o bien,

(y - 6)

= (X -

2) 2

2 ( Z + 4) + ..:.__----,--:____

- 2

Al realizar la translación de ejes al punto (2, 6, - 4) usando las ecuaciones u=x - 2 v=y-6 { w = z+4

<===:}

x = u+2 y=v+6

{ z=w-4

se obtiene la ecuación

que corresponde a un paraboloide hiperbólico. De esta manera, la ecuación inicial describe a un paraboloide hiperbólico centrado en el punto (2, 6, - 4). !> EJEMPLO. Analizar la ecuación cuadrática 9x 2

+ 4y 2

36z 2

18x - 8y - 72z + 13

e identificar a la superficie que define. <J

De la completación de cuadrados en tal ecuación se obtiene

O= (9x 2

= 9(x2 -

18x) + (4y 2 +By) - (36z 2 + 72z) + 13 2x) + 4(y 2 + 2y) - 36(z 2 + 2z) + 13

= 9(x 2 - 2x + 1) + 4(y 2 + 2y + 1) - 36(z2 + 2z

+ 1) + 13 - 9- 4 + 36

es decir, -36

= 9(x-

1) 2

+ 4(y + 1) 2 -

36(z + 1)2

o bien, - 9 2 4 2 . 2 1 = -(x- 1) - -(y+ 1) + (z + 1)

lo que equivale a 1 = (z

+ 1)2 - .:....(x_-_1):_2 4

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298

Eleme ntos Bás icos d e S upe rficie s e n IR;¡

a l efectuar la translación de ejes a l punto ( 1, - 1 - 1) mediante a l camhio de coordenadas X =tL+l

y =v- 1 z = w-1 obtenernos una nueva ecuación •)

? u~ v1=ur - - - 4 9

que corresponde a un hiperboloide elíptico de dos hojas. De esta manera, la ecuación inicial define a un hiperboloide elíptico de dos hojas concentrado en el punto (J. - 1, - 1) . 1>

Eje rcicios. l. Dar las coordcnd&; del centro y da r e l radio de la esfera definida por la ecuació n a. x 2 + y 2 + z 2 - y + 2z + 1 = O

:r2

+ y2 + z2 = 4z - 3 + 2y 2 + 2z2 = 3z -

c. 2x 2

4y - 2

2. Dado el punto p = (O, - 1, 2) decir ;;i está dentro, fuera o sobre cada una de las esferas dadas en los incisos del ejercicio l. 3. Decir q né superficies espaciale::; definen las siguientes ecuaciones a . y 2 = 2:r b. z 2 = xz c. y3

d. x

= 4x2 + y2 = 4

e. xz - y2 = 1 f. x2 - ::.2 = O

4. Da r la ecuación del cono cuyo vért ice e;; el punto (0. O, - 1) y cuya base es la curva 2

a . elíptica J.¡ + =1 b . circular '1x 2 + 4y2 = l 5. Calcular la ecuación de la superficie S obtenida al hacer girar

IR;.y

a. La rect a x + y = 1 en el plano alrededor del eje x . b. La parábola y = z2 en el plano lR.~.: alrededor del eje y. c. La hipérbola :rz = 1 e n el plano z a.lrededor del eje z .

IR;..

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6.4 Elipsoides, Hiperboloid es y P araboloides

299

6. a . Dar las ecuaciones de las líneas de intersección de la superficie dada por z = y 2 - x 2 con los planos z = 1, x = 1, y = 1, respectivamente. b. Dar la ecuación de la línea de intersección de las superficies

7. Identificar a las siguientes superficies mediante una t ranslación de ejes. x 2 + z2 - 4x - 4z + 4 = O x 2 + y 2 - z 2 - 2y + 2z = O x 2 + 2y 2 + 2z 2 - 4y + 4z + 4 = O 4x 2 + y 2 - z 2 - 24x - 4y + 2z + 35 = O x 2 + y 2 - z 2 - 2x - 2y + 2z + 2 = O f. x 2 + y 2 - 6x + 6y - 4z + 18 = O g. 9x - z2 - 18x - 18y - 6z = O

a. b. c. d. e.

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Capítulo 7

Orientación de curvas y poligonales 7 .1

Orie ntación.

En e~te capítulo introducimo~ lo~ concepto~ de orientación de una curva suave y el de curva p oligonal (curva ~uave por pedazos), que resulta de gran utilidad para las aplicaciones en las ciencias naturales. Dada una curva

IR 3 parametrizada por la función "! :

[a, b] --+ IR 3

de tal forma que 1h (t) 11 # O, di remo~ que la orientación de

r e~ del punto

¡(a) E f al punto )(b) E f, y que está inducida por la orientación del

intervalo orientado [a,bJ+ (véase la figura 7.1). Di~tinguimo~

esto hace que

a la curva orientada de e~ta forma por r+. Naturalmente, esté orientada por el vector tangente i'(t).

Supongamos que el parámetro t es una función de un nuevo parámetro = t(r), y que es una biyección diferenciable

rE [c.d], esto es t

t: [c,dJ--+ [a,bJ Entone('~ diremos que r se puede reparametrizar por el parámetro iutervalo [c. d] por la composición

::Y(T)

en el

= 1(t(r))

Dicho de otra forma, r e~tá parametrizada por la función ::Y : [e, d] --+ JR 3. La función 1 se dice ser una reparametrización de r.

302

Orientación d e curvas y poligonales

Figura 7.1: Hélice unitaria de paso 21f E JEMPLO. Sea r la primera espira de la hélice unitaria de paso 21r, con la parametrización ¡(t) == (cos t, sen t, t) en el intervalo [0,21f] . (1,0 , 21f).

Esto orienta a

del punto (1,0,0) al punto

inducida por el cambio de

<1 Sea ahora la reparamctrización de parámetro t =21f- T

definida para

E [0, 21r], ::Y(T) = (cost( 21f - T), sen (21f-T), 21r- T)

En este caso ::Y invierte la orientación de ::Y(21f) = (1,0,0) .

pues ::Y(O)

(1,0, 21r) y

Notamos que la función biyectiva que cambia los parámetros t: [0, 21fj

es tal que ~!

= -1 <O.

--->

[0, 21fj ,

t = 21f - T

La figura 7.1 ilustra esta situación.

La última observación en el ejemplo anterior no es extraña. De hecho, el siguiente resultado nos impone condiciones sobre la derivada de una función que cambia los parámetros, para que en la reparametrización se conserve la orientación. LE MA 7.1 Sea ¡ : [a, b] ---> IR 3 una parametrización de la curva r que indttce una orientación r +. Si t E [a. b] es el parámetro de ~r y existe un

7.1 Or ie ntación.

303

cambio de parámetro t = t(r) definido en el intervalo [c,dJ, entonces la Teparametrización dada por ,:Y(r)

= ¡(t(r))

es tal que, a. conserva la orientación de

b. cambia la orientación <J

r, si ~~~ > O en todo el inteTvalo [e, d]. de r , si ;f~ < O en todo el intervalo [e, d].

P . > r la regla de la cadena, se tiene que i:...:y(r) =

"y(t)~ dr

lo que nos indica que los vectores :f~ ::Y y 1 son paralelos. La cantidad ~~ indica el sentido de cada uno y, por lo tanto, la orientación . C> A una curva f que es la unión ( +) de las curvas suaves f 1 , f 2, · · · , f k se le llamará una curva poligonal orientada, o curva suave por pedazos orientada (véase la figura 7.2 a.) La definimos por simplicidad por r+

= rt

+ rt + · · · + rt

imponiendo la condición de que la curvar; inicia donde termina r j _¡• EJEMPLO. Sea f la unión ( +) de los segmentos de las parábolas y 1 = 2 - x 2 comprendidos entre sus intersecciones en los puntos (1, 1) y ( - 1, 1).

.t2 , yz =

Si r 1 es el segmento de la parábola y = x 2 en el intervalo [-1 , 1J y f 2 es el segmento de la parábola y = 2 - x 2 en el intervalo [-1, 1J, entonces r+ = r t + r t es tal que la orientación inicia en el punto ( - 1, 1), recorre por r{ hasta (1, 1) y luego recorre por rt hasta ( - 1, 1) siguiendo la orientación invertida del intervalo [- 1, 1J que definimos por [- 1, 1]- . La curva r+ es en total una curva cerrada iniciándose en el punto ( -1 , 1) y cerrando su circuito en el mismo punto (véase la figura 7.2 b.) Damos una pararnetrización de r + = r { + r~ como sigue. f 1 es la curva definida por y= x 2 si x E [-1, 1]+, de donde, poniendo :r = t ~,y= t 2 se obtiene la curva ¡ 1 (t) = (t,t 2 ) con tE [- 1, 1]+ que da orientación a r t. Para parametrizar a f 2 con la orientación que define a la poligonal r+ , siendo el segmento inmediato de rt ' considerarnos su definición. r 2 es la curva y = 2 - x 2 con x E [- 1, 1], lo que indica que r t está orientada por el intervalo [- L 1]-. Usemos el cambio lineal de int.ervalos <J

[1 ,2]+ ~ [- 1.1r = [1 , - 1] +

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Orie ntación d e curvas y poligonales

304

que lleva 1 --+ 1, 2--+ - 1 definido por, x

= x(t) = -2(t- 1) + 1 = 3- 2t.

Ya que los puntos sobre la curva r 2 son de la forma (x, 2 - x 2 ), entonces 12(t) = (3 - 2t, 2- (3- 2t) 2) con tE 11, 2] parametriza a rt. Por lo tanto, la curva 1 = r(t) que parametriza a todo el circuito con la orientación seguida de r+ = r-:- + r t es

(t,t2)

')'(t)

-l~t~l

= { (3 - 2t, 2- (3 - 2t) 2 )

~t~2

donde 1' : [- 1, 2] --+ JR 2 es regular por pedazos C> y

p -1

.b.

Figura 7.2: a. Poligonal b. Curva f cerrada orientada. El ejemplo anterior nos da una manera de orientar a una región plana r2 que tiene como frontera a una curva cerrada poligonal f. Para orientar a tal región, parametrizamos a r de tal forma que recorra el circuito en sentido contrario a las manecillas del reloj (regla de la mano derecha) Esto es equivalente a considerar el marco dado por la pareja ordenada de vectores {n(t),)'(t)}, donde n(t) es un vector normal a 1'(t) y )'(t) es el vector tangente, satisfaciendo la relación de orientación n(t) ) ( i'(t) ) O< det ( i'(t) = -det n(t)

No es difícil ver que esto se logra al orientar la curva cerrada r + en cont ra de las manecillas del reloj y tomar sus vectores normales n(t) apuntando hacia afuera de n (véase la figura 7.3). Esta es una manera de orientar a una región n provista con una frontera conformada por una poligonal cerrada. La definiremos por n+.

7.2 Longitud de arco y ángulo entr e curvas

305

Figura 7.3: Orientación de una región plana n+.

7.2

Longitud de arco y ángulo entre curvas

Ahora se exponen los conceptos de longitud de arco de curva suave y el de ángulo entre dos curvas regulares. Dada una curva regular r e IR 3 , parametrizada por 1: [a,b] -+

si se toma pE r, hasta un infinitésimo de longitud lld1ll en tal punto de la curva, éste se descompone infinitesimalmente como

11 <tr11

lld'fll

=dx +dy +dz

Figura 7.4: Longitud de arco de una curva.

lld1ll2 ::= dx 2 + dy 2 + dz 2 , donde dx, dy, dz son las componentes infinitesimales del infinitésimo del arco (vectorial) d"f (véase la figura 7.4).

Orientación de curvas y poligonales

306

DI' ('St.a fonna. si t(r ) ddüw la longitud de r cntonrc~. esta ~e calcula por f(l')

f IJd-rll = j

. 1'

l'or lo tanto. si

<'11

jd.1:2 + dy 2 + dz"2

nmlenadns r:artcsi<\lms -y

= -y(t)

parametriza aren el

ÍIII<'IT <l lo [a. b],

1(t) ( ' llt\)(l('('S

\' <k c st.a

dJ' = .i'(t)dt dy = :~j(t) dt. { dz = ::(t) dt , lll( l.ll<'l'lt.

la lougitud de

c¡ue la

t E [a. b]

se cakula por

¡,

):i:(t)"!. + y(t.) 2

+ z(t) 2 dt.

La igualdnd hnct~

= (:r(t), y(t) , z(t)),

s igui<~ut.e

definición sea natural.

DEFINICIÓN. La longitud de la curva regular parmnetrizada se define por f(r)

J < v (t) , v(t)

> dt

donde v(t.) ')(t).

= ")-"(t)

~iguiente

JR 3

= 1.1> llv(t)lldt. (1

es e l vector velocidad tangente a la curva I' en el p unto

ejemplo ilustra esta definición que se ha heredado directa-

mente de los resultados brusicos del cálculo.

EJEMPLO. Sea el subconjunto del plano

identificado como el círculo de radio R y centro en (0, O).

307

7.2 Longitud de arco y ángulo e ntre curvas

<J Una parametrización que hace de Sh una curva regular , está dada por el sistema x=Rcost ¡(t): { y= Rsent ' tE [0, 2rr]

De la definición, la longitud de

Sh se calcula por

{2" 121r Rdt = =Jo /R 2 (sen 2 t + cos 2 t)dt =

2rr R.

EJEMPLO. Sea I' e lR 3 la hélice contenida en el cilindro de radio 4 y paso de altura h = 47r. <J Ya se vió en el Capítulo 3, que las ecuaciones que definen paramétricamente a r son x = 4cost y = 4sen t { z = 2t lo que implica q ue, llv(t)l l2 = debidoaquev(t)

i? + i/ + i 2

= (-4sent,

= 16sen 2 t

+ 16 cos2 t + 4 = 20,

4cost,2) .

Por lo tanto, en el intervalo [O, 2rr], la longitud de esta hélice, hasta el primer paso es

El siguiente resultado nos asegura la independencia de la longitud de una curva re:;pecto a una parametrización . Esto es, la definición de longitud está bien definida, pues no depende de la parametrización escogida de la curva.

LEMA 7.2 Sea f tma curva regular parametrizada por -y: [a.b] ~ R

donde -y = ¡(t), t E [a, b]. Si .:Y : [e, d] ~ r, con ..:y == ..:Y(-r) es otra parametrización tal que el parámetro temporal t = t(-r) es una fun ción del parámetro T E [e, d], t:

[c,d]-. [a,b],

Orientación de curvas y poligonales

308

t·on ;J~ > O. t:11.f.mw1:s la8 lonyitudes del m·co en las pammetrizaciones res¡wl'lmas son las w :ismas. esto es,

¡,

r. = . (/ <J

lh(t)lldt = . " l l~(r) lldr ;:::

Dcfíunsc

y sea d V!'C'tor vdoddad

1 =w(r)

dy dy dy;!) ( liT' dT' dT '

e :s; r :s; d.

Ent.on<Ts, por ddiuicióu, ¡/

llw(r)lldr.

Por ot.ro lado, por La. regla. de la cadena,

IIH•(r)ll

t (dyi) dr

i =l

= 1 dt. l dr

i=l

t (dx;)2 .

dt.

r =l

(dJ.'i dt ) dt dT

== 1 dt lllv(t.)l l,

De esta forma, como dtjdr > O, por el teorema de cambio de variable se tiene que

" 1

l = '-

llw(r) lldr =

¡,¡ e

llv(t(r)) ll d; dT

lo que concluye la demostración.

rbllv(t) ll dt =e

= J,

Finalizamos con el concepto de ángulo entre dos curvas. Consideremos ahora dos curvas regulares suaves parametrizadas por 3 "')'¡ : [a, b] -+ IR "Y2 : [a, b]

r , y r2

tal que están

IR3

7.2 Longitud de arco y ángulo entre curvas respectivamente. Supóngase además que intersectan las curvas r 1 y r 2, esto es,

c11

la.._ iHt<Íg<:Iws d<·l ¡muto t 0 s<·

Si tales curvas están definidas en c:oordcuadas

lt(t) { 12 ( t)

= (x¡(t) , Y2(t.), = (x2 ( t ), Y'2(t.),

309

:1' , y ,

z por

z1(t.)) z'.l(t))

y son tales que sus vectores tangentes en el punto cmuúu ')' 1 (t 0 ) son

_ (dx1 dy1 dz 1) dt. ' ' (.. lt ' ( lt...

é, -

= -1:l ( t 0 )

= tu'

entonces es natural definir el ángulo formado por esas curv;L<.; eu ¡ 1 (t 0 ) ::::: 1 2 ( t 0 ) como el ángulo formado por sus vectores t augcutcs. Esto <:s. si tal ángulo es (j , entonces

<é,, ·r¡>

CO!; (j

= llé.IIII7JII .

La figura 7.S ilustra esta discusión.

r¡

Figura 7.5: Ángulo entre dos curva..-;.

EJEMPLO. Sean las curvas f f

y f

:1 1{t)=(t,t 2 )

definidas por con

tE[0, 4]

Orientación de cu rvas y poligonales

310 <1

Es claro que -y1 (1) = 1'2(1) = ( 1, 1) es el punto de intersección de las

curv&; f

1 y

Si nombramos a los vectores tangentes respectivos por ~ :::

·'y¡ (l)

= (1,2)

= 'Y2( l ) = (1, 3)

entonces el ángulo formado en (1, 1) por las curvas f

1 y

(< (1,v'sv'W 2) , (1 , 3) >) e =arceas <l l~l~.l lnl nl> l =arceas =arceas (

7. 3

~) =arceas ( 7~) ~

Ejercicios

l. Dé una orientación a ~as curvas definidas en los incisos a, b, e y g en el ejercicio l. del capítulo 4.

2. a. Calcule la longitud de arco de O a ejercicio l.

en las curvas de los incisos del

b. Calcular el ángulo entre las curvas dadas en los puntos donde se ínterscctan. 2 1 1 (t) = (2 cos t , 2 sen t) , -y2 (t) = (t, t ) 1

1 1 ( t) = (et cos t, e sen t), 1'2 (t) = ( t, t) ')'¡ ( t)

= (t 2 ' t 3 ) ' 'Y2 ( t) = (t 3 , t 2 ).

Indicación: calcule primero los puntos de intersección.

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Capítulo 8

Límites y puntos singulares En este capítulo discutimos someramente d <:OilC'< ~pto de líruit(~ d(' uua función real ele variable vectorial en un punto de acumulación d(~J dominio. Los ternas son tratltdos de igual forma que en <:1 capítulo 2 de R eyes (1996).

8.1

Punt os de acumula ción y límites

Sea n e IR" una región del espacio eudid imto, de diuwusi<Íil considerarnos apenas n = 2, 3.

doudc

DEFINICIÓN. El punto p E IR:1 se dirá que es 1111 punto de acumulación para la región O, sí toda hola Bt (11) intersecta no vac:ía.ruente a O. Esto es, para cada bola de radio ( > O con centro en p se encuentra 1111 punto q E H contenido en tal bola. Si p no es de acumulación para n, se dirá 1111 pun to a is lado ( v(!i\.S(' la figura 8.1). En términos menos precisos, un punto de a<:uHmlac:ión p de la región n como se cleséc. El punto p no necesariamente está contenido en n, pero se puede aproximar a él por puntos contentdos en H.

O es aquél que está tan próximo de

E JEMPLO. Sea n : : : (a, b) e IR 1 , es daro que p ::::: a es un punto de acumulación den. Todo punto q E (a,b) es de acumulación. EJEMPLO. Sea mulación de

n = IR2 -

{{0, O)}, entonces p{O, O) es un punto de acuTambién todo punto q :/= (0, O) contenido en n es ele

Límites y puntos singulares

312

acumulación para n.

EJEMPLO. Sea la región espacial S1 = {(x,y,z)ix+y+z < 1} <J Es claro que el punto frontera p = (0, O, 1) es un punto de acumulación de n. Por otro lado, el punto q = (1, 1, 1) no pertenece a S1 y además es un punto aislado ele n . !>

acumuLación

•

aisL ado

Figura 8.1: Puntos de acumulación y aislados. Definamos ahora el concepto de límite de una función real de variable vectorial en un punto de acumulación de su dominio, en términos de Jos límites de funciones reales de variable real. Sea f : n -> IR una función real de variable vectorial, y sea p E JR3 un punto de acumulación den. Entendamos por q = (.r:, y, z) el vector variable y entendemos que el punto q E S1 se aproxima al punto p por la notación limq~p·

Además, si p = (p 1,p2,p3) son las coordenadas, el número real llq- Pl l se entiende como llq - Pl l

= J(x- p¡)2 +(y -

P2) 2

+ (z -

P3) 2 .

DEFINICIÓ N. Se dice que la función f(x , y, z) tiene límite Len el punto p de n, definido por

de acumulación

lim f(x, y, z) = L

q-p

si y sólo sí, se cumple que existe el límite real, de variable real lim (f(x,y,z) - L) =O llq- pll - 0

Ya que conocemos del cálculo diferencial básico, el cálculo de Jos límites de variable real, así como su existencia, se t iene la siguiente lista de resultados para los límites en variables vectoriales.

8.1 Puntos de acumulación y límites

313

LEMA 8.1 El límite de la func·ión real de variable vectorial, lim f(x , y, z) q->p

cuando existe es único.

TEOREMA 8.1 (Aritmética de límites) Sean j , g : n --+ IR dos funciones reales de variable vectorial y p E IR 3 un punto de acumulación de la región í2 tales que, lim j(x, y,z)

q- p

= L¡,

lim g(x,y,z)

q- p

= L2

entonces

a. limq- p(J ± g)(x , y , z)

= limq-

p f(x, y, z)

± limq- pg(x, y, z) = L 1 ± L 2

b. !imq~p(Jg)(x,y,z) = !imq ~ pf(x,y,z) limq -pg(x,y,z) = L 1 L 2 c. Cuando L2

f.= O se tiene además que lim q- p

(L) (x, y,

z) = lim j(x, y , z) =

!img(x,y,z)

~ L2

Estos resultados nos garantizan el cálculo de límites de funciones en puntos de acumulación que están contenidos en el dominio. A continuación damos un par de ejemplos, donde se aplica apenas una simple sustitución.

EJEMPLO. Sea la función f(x, y, z) = ln(l - x - y - z) + x 2 + y 2 + z 2 + 1 <J Es claro que el punto p = (0, O, O) está contenido en el dominio n de j y es un punto de acumulación de n. Por el teorema anterior se tiene que

lim

(:r. , y,z)- (0.0 ,0)

f(x,y , z)

lim

(x ,y,z) - (0,0.0)

¡ln(l-x-y-z)+x 2 + y 2 z 2 +1]

que se obtiene de una sustitución simple. r>

EJEMPLO. Calcular el límite, lim

ex+y

(x .y) - ( 1.1)

Una sustitución directa nos lleva a que lim (x.y)~( l , l )

ex+v

=e1+ 1 = e2

El problema del cálculo de límites de variable vectorial se complica cuando el punto de acumulación p no está en el dominio natural de la función.

314

8.2

Límites y pun tos s ing ula r es

Puntos s ingulares

Un caso interesante de un punto de acumulación es aquél cuando no está contenido en el dominio de una función por generar una indeterminación al momento de tratar de evaJuarlo. Si en el intento de evaluación genera un cociente por cero se dice que t al punto es una s ingularidad algebr á ica de la función (véase el capítulo 2 de Reyes, 1996).

EJEMPLO. Cons ideremos nuevamente nuestra vieja conocida función f(:r:,y)

2 X

xy 2 +y

analizada en el capítulo 4 y mostrada en la figura 1.13. Su dominio es la región de acumulación de n. <J

n == IR2 -

{(0,0)}, siendo el punto p =(O, O)

a. Tomemos una aproximación en n a p a través el eje :r. es decir mediante los puntos de la forma (x, 0) , y en este caso se t iene lim

(~.y)- 11

f(x ,y) =

X1j

lim

(2·.0)-(0,0 )

x 2 + y2

0 x-

= lim? = lim0=0 2·-o

x-o

b . Consideremos ahora una aproximación en n a. p a t ravés del eje y, es decir, mediante los puntos de la forma (0, y), y en este caso se t iene lim

f( x ,y) =

(2.y)-(O.O)

. xy

lim

(O.y)-(0.0) x 2

+ y2

= lim _Q_ =limO = O y-0

y-0

c. Si hacemos la aproximación en n al punto p por la. recta identidad y = se obtiene

lim

(~·.y) - (O.o)

f (x, y) =

lim

(~ .~l-(0.0 ) .r2

xy , = lim

2· -o x 2

+ x2

De esta manera, hemos encontrado que exist en trayectorias que se aproximan al punto p = (0 , O) y sus límites correspondientes no son iguales. Ya que el límite tiene que ser único por cualquier forma de aproximación, se concluye que el límite .

l1m (.r.y) -(0.0)

:cy ? x - + y2

no existe. r> Una forma más general de estudiar un límite como el del ejemplo anterior es usar un camb io de co ord e n adas . Esto es, utilizar otras variables

8.2 Puntos singulares

315

que identifiquen una posible dependencia del límite en una dirección o de una curva.

EJEMPLO. Sea nuevamente el límite . l 1m

xy ?

(2·.y)-(O.O)

x- +y2

Usemos el siguiente cambio de coord en ad as polares

x = TcosB { y = ·r senB Entonces el cociente dado se expresa xy

2 cos

Bsen B

----:::--- = cos Bsen r2

De donde, en virt ud de que (x, y) Ji m

(2· ,y)-(O,O) X

2 xy

+ y-

(0, O) <====>

T ---+

O, se t iene que

= ,·-O Ji m cose sen e = cos ()sen e

que depende del ángulo B con el cual se aproximen las variables (x, y) al origen. Por ejemplo, sobre la recta y = O (eje x) el ángulo es () = O lo que implica que sen = O y, por lo tanto, el límite buscado sobre esa recta es cero. Análogamente, sobre la recta x = O (eje y) el ángulo es B = %, lo que implica que cos B = O y, por lo tanto, el límite buscado sobre tal recta es igualmente cero.

En el caso de calcular sobre la recta y = x, el ángulo es B = rr /4 y, por lo tanto, cos 1r /4 sen 1r/4 = J.¡. J.¡ = ~ = 1/2 que es el límite calculado anteriormente. C>

EJEMPLO. Calcular el límite Ji m

x2 + y2

(x,y) - (0.0)

Jx2 + y2 + 1 - 1

Al usar el cambio de coordenadas (polares)

x = TcosB { y = T sen B

Límites y punt os singulares

316 se tiene que x 2 + y2 = r 2 , de donde

x2 + y2

#+1-1

Jx2 + y2 + 1 - 1 Ya que (x, y) ~ (O, O) lim (x ,y)-(0.0 )

O se tiene que,

x2 + y2 r2 = lim --===:---Jx2 + y2 + 1 - 1 r - 0 JrZ+l - 1

JT2+T + 1) . ,.z ( JT2+T + 1) = hm -..,:......,,.------.:... O ( v0+l- 1) ( v0+l + 1) , _ o (r·2 + 1) - 1

. = hm

•-

{:::::::?

1'2 (

2 .

= hm

(VT2 + 1 + l)

•·-o

= lim

•·-o

( J;T+l' + 1)

= 2

Por lo tanto,

x2 + y2

lim

( x .y)- (0.0)

jx2

+ y2 + 1 -

EJEMPLO. Calcular el límite . l Jrn (x .y) - (0.0)

(x+y)2 x2

+ y2

<J Nuevamente, usando el cambio de coordenadas anterior ,

= r cos B,

y == sen ()

se tiene que

que depende de la variable O. Si se toma por ejemplo()= O (eje x) se tiene que,

2 lim

(x+y)

(:r.y) - ( 0,0) x 2

=lim(cos0 + sen0) 2 = (cos 0 + scn0) 2 = 1 r-0

Por otro lado, si se toma lim

(~· .y) -(0.0)

x+ ( 2 Y~ X +y

e = 1f14

(la recta

y = X)

se tiene que,

J2 + = lim(cos11'/ 4 + sen1f/4) = ( -J2 2 2 ) r-O

lo que nos dice que tal límite no existe.

2 ?

:::: (!2)- == 2,

317

8.3 Continuidad

Continuidad

8.3

Ahora extendemos el concepto de continuidad que conocemos para funciones reales de variable real, para funciones reales de variable vectorial. DEFINICIÓN. Sea f : n e IR 3 -+ IR una función y sea pE n un punto arbitrario del dominio. Decimos que la función f es continua en e l punto psi a. p es un punto aislado de n. b. cuando p es punto de acumulación de lim

(x;y.z )- p

n, entonces

f(x , y , z) =f(p)

Si la función f es continua en cada uno de Jos puntos de su dominio se dirá simplemente que f es continua. Del teorema sobre la aritmética de limites se tiene que la suma (y diferencia), el producto y el coci ente de funci ones continuas es una función continua. Más aún, en todas las funciones vectoriales donde intervengan las funciones clásicas: polinomios, exponenciales, trigonométricos, etc, con varias variables independientes, se tendrán funciones continuas.

EJEMPLO. A continuación todas las funciones que se mencionan son continuas (redundante decir que en sus dominios naturales). a. f(:r, y) =

:r;y,

b. f(x , y) = arcsen (x 2 c. f( x,y,z )

+ y2)

x+y-z ,.2+y2- z 2

= e+y2 sen(~) 8 .2 2 2 = v'lu Y + z + ecos (:ryz) z+ln , .

d. f(x,y,z) e.

f(x y) '

Como es de dominio general, un problema interesante es aquél cuando una función con una singularidad p precisa de ser extendida continuamente en tal punto. Un resultado sobre la extensión continua es el siguiente.

IR 3 y p es una singularidad de f , para que f tenga una extensión continua F en el dominio D = n u {p} es necesario y suficiente que

TEOREMA 8.2 Si f es una función continua en la región

lim

(x,y ,z )-+p

f(x, y, z)

e:rista.

Límites y puntos singulares

318 <J

En este caso, la extensión continua de f en p está dada por la función

F(x 1 z) = { f(x ,y,z). si (x, y,z)ED ,y, L s1 (x,y, z)=p

A continuación ilustramos el teorema 8.2 con un ejemplo.

EJEMPLO. Considérese la función

¿Se puede extender cont inuamente la función en el punto singular p (0, 0)?

Ciertamente el dominio de la función J es D = R. 2 - {(O, O)}, siendo p = (0, O) un punto singular de J. De manera análoga al caso de una sola variable, calculamos el límite <!

lim

(:r,y) - (0,0}

f (x, y ) =

lim

(~·, y) ~(O .O)

x3y2 ·) + y2.

Usando el cambio de variables mencionado anteriormente, x = reos(} { y = rsen8

se tiene que

De esta manera, lim

(:r ,y } -(0.0)

f (x, y)

x3y2

= {:t.y)-(0 lim ,0) X 2 + y?

= lim r cos 3 8 sen2 8 =O r·-0

Por lo tanto , la extensión continua de la función f en el punto está dada por la nueva función, (x, y) =/: (0, O) (x, y) = (0, O)

Un resultado importante de la continuidad de una función que es de interés en las aplicaciones en el siguiente

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8.3 Continuidad

319

TEOREMA 8.3 (del valor intermedio). Si f: n-+ IR es una función continua definida en una región (conexa} y para los puntos p, q E n e IR 3 se tiene que f(p ) < f(q ), entonces para todo valor e E [f(p) , f(q)] existe un punto rE !2, tal que f(r) =c.

-+ n

<J Sea 'Y : [0, 1] una curva continua tal que una a los puntos q En, es decir, tal que "f(O) = p y "!(1) = q.

Consideremos ahora la composición real de variable real, 9

= ¡o "~ :

¡o, 11-+ n -+ IR

dada por

g(t) =(!o "t)(t)

= f("t(t))

Entonces, es fácil ver que g es una función real de variable real continua, tal que g(O) = f(p),g(1) = f(q). Por el teorema del valor intermedio para funciones continuas reales de variable real, para e E [f(p) , f(q)] existe un argumento t 0 E [0, 1] tal que g(to) = c. Defínase r = "t(to), entonces se tiene que f(r) = fh(to)) = g(to) =e, lo que termina la prueba. C>

Ejercicios l. Calcular los siguientes límites.

+ 6y 2 )

limc"·.y)-(1. 2 )(4x

lim(J.y)-(- 1, 1) v:~:c

. l llll(:r.y)-

(1.0)

d. lim(,·.y) - (2.2)

(yfx) = arcsen 1+xy

yl.;,.'l :rv

e. limcx.u) - (o,o) 4:,.Y 2. Analizar las siguientes funciones en el punto singular situado en el origen. ¿En cuáles singularidades se puede extender continuamente la función? ~

...

a. !1 (x, y) = ;.2~~2 _·b~2y

= ~

h ( x,y )

f 3 (X, Y) =

d•

J4 (x,y ) = se~ (:r~) :.r +y

3o·2 y 1 +~·~+2y2

• ) - y2+>·y-2o·2 y- l· f 5 (x, y er - eY f • f 6X,y ( ) =e- r - e-u

OERECI-I)S RESERVADOS O 2004, Uniwrsdad AtiÓnoma Metropolitana (México). Prohibida la reproctuoaón de esta obra así OOfi'CI &a distriluc:ión y venta fuera del .itnbilo de la UAM!D. E-libro Bibliomedia BibliomediaOfnail.oom

Límites y puntos singulares

320

g. h(x, y) = (x h. fs(x, y)

+ y)sen ~

= (x +y) sen x!u

Capítulo 9

Valores extremos de funciones ffi. 2 -----+ ffi. En este capítulo hacemos el análisis local de una función de clase cr alrededor de un punto p, para el caso en que la función está definida en una región n del plano IR2 . Los resultados aquí obtenido:; :;e generalizan para más variables y damos ejemplos de estas generalizaciones.

9 .1

Plano tangente

Eu esta sección introducimos el concepto de espacio tangen te en un punto de un conjunto de nivel de una función real de variable vectorial, mediante el u~o del vector gradiente . Consideremos el caso IR" = IR 3 , y sean, J : n e IR 3 ~ IR una función suave, e un valor arbitrario en IR y la s uperficie d e nivel e de J,

S tE

¡- 1 (c) = {(x,y,z)

Dlf(x,y,z) =e}

Si 1 : (a, b) ~ n es una curva tal que ¡(t) E S, entonces para todo (a,b) se cumple f(¡(t)) = c. <J

Al derivar cada lado de la igualdad respecto a t se tiene d dt

1) ( t) =

y por La regla de la cadena, en todo el intervalo (a, b), se cumple la igualdad

(V kr(t)• i(t)) =O

Valores extremos de funciones ~:! ~ ~

322

Tont<'t!los 1111 punt.o mhitrario q E S y llll il c urva. 'Y tal que ¡ (O) ')(0) I'S 1111 V('Ct.Ol' ta.llg(;Ut,c (\ ') l!ll 1[.

= q.

~:llt<H I\'!'S

D<• <'Sto. S<' ti('llt' qtu•

O =('\!! -y(tl• i-(t)) ( 'ouduit11os

<' lii.O li('\'S

l1=o : : : ('\! f ,l' i'(O))

que d v<•ttor gradiente \1 fr¡ es ortogonal al vector

1;J 11 ).!;1'lit(' ~~ ( ()) .

H<'stnu i<'tu lo. dado 1111 ¡mnt.o 11 E S y una C'lll'va ')' (t) E S tal que ')'(0) = q "'' ti<'IH' qu<· <·l gnHli<'uk d<' f <'11 11 es ortogona l al vector ta ngente )(O) :::::: v . ( '011111 la c·11n·a -¡ (t) pnsnndo por el punto 1¡ es arbitraria, entonces se pnede n ·ali·m r la s igui<'lltl' ddi11iciún.

Figmn !).1: Plauo taug<' ute a uua superficie ele nivel.

DEFINICIÓN. Ddiuimos el plano tangente T., S a la superficie de nivel S en d ptmto 1¡. como d pla no pasando por q o rtogonal al vector \1 f ,1 , y lo d efi11i111os por

T.,S

(véase ht figm a 0.1 ).

Hewos supuest-o . en la definición darla. que necesariamente \1 f ,1

(0.

o. 0).

EJEMPLO. Calcular d plano taugente a la. esfera .r 2 + y 2 + .:: 2 )HilitO(/= (1.1. 1). <l

::::::

3 eu el

La rdac·ión

illlplica que

Sea

f : ~:¡

•) J.'-

__,

+ y-') + zJ - 3 =

IR la función d efinida por

f(;r, y, z)

=x 2 + y-.., + z-., -

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9 .1 Plano tangente

323

entonces la esfera dada se escribe como la superficie de nivel

¡- 1(0) = {(x ,y,z)if(x,y,z) =O}= {(x,y,z) l x 2 + y2 + z 2

El punto (L 1, 1) pertenece al conjunto de nivel f- 1 (O), pues 12 3= 0 Después, calculamos el vector gradiente \l f ( 1• 1 , 1) ,

of of of)

\l !(1 ,1,1) = ( ox, [)y , o z

!(1 ,1,1)

3 = O}

+ 12 + 12 -

= (2x, 2y, 2z) lp. 1, 1) = (2, 2, 2)

Por lo tanto, la ecuación del plano tangente a S= ¡- 1 (0) en (1, 1, 1) se calcula < (2, 2,2) , (x,y,z) >=< (2,2,2),(1, 1,1) > es decir, la. ecuación buscada es, 2x + 2y + 2z = 6

Mencionamos que la metodología utilizada para calcular planos tangentes a superficies se aplica también para calcular en general, los espacios tangentes de conjuntos de nivel de funciones suaves. Particularmente, el método se usa para calcular rectas tangentes de curvas planas, como lo muestra el siguiente ejemplo.

EJEMPLO . Calcular la recta tangente a la curva

e : x2y+ y3 =

en el punto (1, 2).

Consideremos la función f(x , y) = x 2 y + y3 . Entonces, la curva dada está definida como la curva de nivel, <1

¡- 1 (10) = {(x ,y)lf(x,y) = 10} = {(x , y) l x 2 y+y3 = 10} =C. Verificamos primeramente que el punto (1,2) E ¡- 1 (10), pues 12 (2)

+ (2) 3 - 2 + 8 = 10

y después calculamos el gradiente

\l !(1.2)

= (2xy, x 2 + 3y2 )( t ,2) = (4, 13)

Por lo tanto, la ecuación del tangente (que es una recta) T( 2 ,2 )C es,

< (4, 13), (x, y)>=< (4, 13)(1, 2) > o equivalentemente, 4x

+ 13y =

Valores extremos de funciones IR 2

324

9.2

----+

Puntos regulares y críticos

S<·a11. J : H e IR 2 __, IR u11a hmcióu de da~e e·· y p == (a, b) un punto en ~t Ent.o11n•s, <'1 d<•sarrollo de Taylor d0 f alrededor de 7J hasta orden 2 esta dado por

f(.r . y)

Üj üf = f(p) + ~(p)(.rn) + ~(p)(y- b) vy

v.r 2

1 iJ f •) D2 f + :)L. i) .r-., (p)(.z;- a)- + i) yD:z: (p)(x

+ si (')

¡>UiltO

,¡·>¡

l v-

i)y"2

- a.)(y- b)

(p)(y - b) 2

+ o((.t. - a.) :3 , (y- b) :3 )

variabh• (:r. JJ) <'St;i prÓximo dcJ punto p en S}.

DEFINICIÓN. Si el punto pes tnl que \7 JP f:. (0, 0) , entonces se dirá un punto regular de J, y f(p) se dirá un valor regular. ' <J E11

este <"cL'iO, podemos suponer que Q1_ ~•. (p) f:. O, y por El teorema de Taylor . la funC'ión se escribe localmente como la aproximación

uf DJ : = f(p) + -i) (71)(:1:- a)+ -¡:¡-(JJ)(y .r vy es decir. si A = f(p) , B

= ~(p). e=

: = A+ B(:r -

U<p), entonces

a) + C(y - b)

<'s la ecuación del plano t<tngente de la gráfica de la función (p, f(p)) =(a. b, f(a, b)).

f en el punto

Eu otras palabras, alrededor de un punto regular la función f está aproximada por la ecuación del plano tangente en una vecindad del punto p. La figura 9.2 ilustra esta aproximación. 1> Esta discusión generaliza el concepto de la recta tangente a la gráfica de una función real de variable real de los cursos de cálculo básico, al del plano tangente a la gráfica (superficie) de una. función de dos variables con valores reales. Dicho en otras palabras, la ecuación del plano tangente aproxima a la función alrededor del punto en cuestión.

EJEMPLO. Calcular aproximadamente f(Ll , 1.1) si

= ln(xy) Aproximamos f alrededor del punto p = (1, 1), calculando f(x , y)

a¡

==-

ay = -y

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325

9.2 Puntos regulares y críticos lo que nos d ice Üf B = éh:( l ,l) = l ,

C. = -.Üf( 1,1 ) = 1 üy

Por lo tanto, la ccua<:ióu del plauo taugc11te de la gní.lira d(• punto (1 , 1, O) es

f ('11

z = f( 1, 1) + D(:c - 1) + C:(y - 1) = (:1: - 1) + (y - l). que aproximn a f(x, y)= l11 (:¡;y) a lrcclcdor del puut.o ( 1, 1). De esto, In aproximacióu buscada se calcula por

z(l.l, 1.1)

= (1.1 -

+ (1.1- l) = 0.1 + 0.1

= 0.2

Esto es, lu(l.l )(l.l) :::::. 0.2 ::: =

i l{ f{p) 1

,·¡·,,. (J>H.r

u) 1

~(¡>)(!/ ¡}!/

· /,)

-: = f(:r . !J)

(!)P Figura 0.2: Aproximaci6u liueal de

f eu

71.

Cuando el punto p no es regular , el prC>bl<:ma de aproximacióu de mm función f se complica. Hacemos 1111 análisis ¡mm el ('aso nuís si111ple d<' cuando no se t iene un punto regular.

DEFINICIÓN. Si V JP fun ción

= (0, 0), es decir, las derivada.-; parciales de In se anulan en el punto p , üf -r

(p)

= O = üf (p) Dy

eutouccs p se dirá un punto crítico d e valor crítico.

-r

f. Al valor f (p) se le llama.ní u u

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Va lores extre m os d e funcio n es JR 2

326

Por El teorema de Taylor, alrededor del punto p la función xirnada por el polinomio cuadrático

---->

f está apro-

léJ 2 f EP f 1 é'P f +-(p)(xa) 2 + -(p)(x- a)(y - b) + --(p)(y - b) 2 2 2

z = f(p)

2 8x

fJyax

2 8y

lo cual puede escribirse matricialmente como

z = f (p)

[)2¡

+ 2(x - a

y - b)

~(p)

(

oxDy(p)

n) üypx (p) ~(p)

(

X -

a )

y- b

<J Comprobamos que la multiplicación de las matrices señaladas en la últirna igualdad conducen a la expresión de la par te cuadrática de la aproximación. Al realiza.r el producto de las dos matrices finales, se obtiene la expresión

a y

- b) (

fJ2j

[)2j

fJyfJx

()2 f D?(P)(xa)+ .!:!21_ üyOx(p)(y- b) ) .!:!21_ . D2f uyu:r (p)(x - a.)+ "Di7(p)(y- b)

= -(p)(xa) 2 + -(p)(y- b)(x 2

[)2j

a)+ -(p)(x - a)(y - b) ayax

~! n ,

ux~

(p)(x - a) 2

~! + 2~(p)(x - a)(y uyux

lo que sigue debido a la conmutatividad de de f en p. C>

la~

[)2¡

[)y2 (p)(y- b)

+ ~! n (p)(y uy 2

derivadas parciales mixtas

La matriz cuadrada obtenida de esta manera t iene un nombre y características especiales.

DEFIN I CIÓN . La matriz de 2 x 2 dada por

~(p) Hf p-- ( .!:!21_ Dyüx (p) se llamará m atriz Hessia n a de la función

f en el punto crítico p.

9.3 Formas cuadráticas básicas

327

E:; claro que La matriz Hessiana. H f 1, es de' ht fonna.

A=(~~) y, por lo ta11to, e:; una matriz simétrica, es clc·tir, e·oii1C'idP e·o11 s11 trans-

puesta,

Tales ma.triecs simútriC'a.s est1í.n estrechallJCilte rdaC'io11adas c·ou Jlladas formas cuadráticas que definen supcrficic ~s ruaclnítil'as.

1;¡¡.;

lla-

Repasamos , eutonccs, un a.spc<.:to há-;ico de· las forrnas cuadniticas más simples c11 dos variables, que ya helllos estncliaclo <'11 d e·apít u lo (i. Antes de inicim la discnsió11 de las fomms cuaclní.ticas. cldini1110S los coaccptos de valores máximo y mínimo local ele u11a f1111C'i<Ín ck ar).!;tllll<'lllo vectorial. DEFINICIÓN. Sean , punto en el dominio de

f : n e IR:l ~ IR 1ma fn11citm arbitraria .v pe O 1111 f. Dedmos que h fuuci{,u f tic~•w c ~ n }'(¡1) 1111

a. Valor mínimo local, si existe 1111 número e > O t.al que~ para cualquier puntO (X, JI) COntenido en la bola de radio ( > 0 ,Y Ce lit ro Cll JI ( fl, (p)). SI' tiene que f(p) ::; f(x , y) b. Valor máximo local , si existe un 11Ú11wro e > O tal que paw Ce , y) E B,(¡)) se cumple que f(x, y) ::; f(p)

C: l~<tlqni<'r

La figura !).:3 ilustra la definición. Si para cualquier (x, y) E O se cumple que f(:~:.y) 2: f (p) <'uton<·e·s f(p) se dirá un mínimo global de la función f ell n. Awílo~lllll('lltc se clc·fiue un máximo global ele la función f en n.

9.3

Formas cuadráticas básicas

DEFINICIÓN. Por una forma cuadrática de 2 x 2 cute~Jl<le•lllos a una matriz simétrica, real , de la forma

tal que a una pareja de vectores é. = (é.' . e), 1/ número real q(é, 17) mediante la regla matricial

q(é, '1)

= ('1 1 , '12 ) (

= (,,, . 1¡2 ) los 11 plica en

JI/ L

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Va lores extremos de funciones JR 2

328

-->

que definimos simplemente por r/ A~, siendo ~ un vector columna y rJt un vector renglón. Así. una forma cuadrática aplicará en un sólo vector f. = (~ 1 , diante la fórmula

q(O

= q(f., o = E.t Af, = ce

e) ( J i

t )(~~ )

=Mee ) + 2L~ ~e + N(e) 2

generando una fu nción q : JR 2 dada A.

-->

e) me-

IR que está caracterizada por la matriz

EJ E MPLO. Sea la función cuadrática en las variables u, v dada por la expresión <1 Entonces, escribiendo al vector cialmente tal expresión ~omo

= ('u, v), podemos escribir matri-

de donde q1 tiene asociada la matriz simétrica (forma cuadrática)

Por otro lado, en p = (0, O) la función tiene un valor m ínimo local en =O

q¡ (0 . O)

Esto se puede apreciar observando que la cuadrática z = u 2 + v2 corresponde a un paraboloide circular que se abre verticalmente en dirección positiva dei eje z. Si consideramos valores e E lR próximos de O, entonces las imágenes inversas bajo f (curvas de nivel) ¡ - ' (e) corresponden a curvas cerradas que de hecho son círculos con ecuaciones tt 2 + v 2 = c. La figura 9.4 a. ilustra a la gráfica de esta forma cuadrática en una proximidad del origen de coordendas. 1>

EJEMPLO. Ahora, consideremos la forma cuadrática dada por, r¡2(u, v)

= ~u

<1 Esta tiene un valor máximo local en f(O, O) = O y tiene asociada la matriz simétrica - 1 A2 = ( O

9.3 Formas cuadráticas básicas

329

máximo local

mínimo local

Figura 9.3: Valores má:'<imos y mínimos locales . De igual forma que para el caso anterior, se observa q ue la gráfica de q2 ( tt. v) es u n paraboloide circular que se abre verticalmente en dirección negativa del eje z . También , si consideramos valores negativos e E R próximos del valor máximo f(O) = O, las curvas de nivel correspondientes n 2 + v 2 = - e son curvas cerradas, que además son círculos. La figura 9.4 b. ilustra la grá fica de q2 (tt, v) es una proximidad del origen. 1>

u Figura 9.4: Formas cuadráticas ±(u2

+ v2) .

EJEMPLO. Consideremos la función cuadrática en las variables u, v dada por . ( U, V ) =U 2 (}3

Valores extremos de funciones ~ 2

330

que tiene asociada la matriz simétrica

debido a que, si ponemos el vector matricialmente podríamos escribir q3 ('u. v)

= 'tC ?

v ?-

= (u v)

(

= (u. v)

como un vector columna,

Por otro lado, la cuadrática q2 ( u, v) = u 2 - v 2 corresponde a la gr áfica de l11. superficie p a raboloide hipe rbólico. Por esto. al tomar cualquier valor e E lR próximo del valor f (O, O) = O, la curva de nivel asociada u 2 - v 2 = e corresponde a una hipérbola. mientras que la curva de nivel ¡-t (O) esta formarlo por la pareja de rectas y = ±x que se intersecan en el origen de coordenadas. Por lo t anto, en p = (O, O) se tiene un punto silla f (O, O) función q3 (ni valor máximo, ni valor mínimo). La figura 9.5 ilustra esta forma cuadrática. C>

= O para

EJEMPLO. Análogamente, la forma cuadrática

tiem~

asociada la matriz simétrica -l

y en el punto silla p = (0, O) t iene asociado un valor f(O. O) = O llamado

también silla. Zoológico de formas cuadráticas básicas Extendemos ahora el tmtado general de una forma cuadrática, bosquejando a todas las formas cuadráticas básicas. Dada la forma cuadrática

con a, b constantes d iferentes de cero, esta función t iene asociada la matriz simétrica

A =( ~~)

9.3 Formas cuadráticas básicas

331

Figura 9.5: Forma cuadrática u 2

v2 .

cuya gráfica tiene un comportamiento alrededor del punto (p, f(p)) (0. O, O) tiene alguna de las formas mostradas en la figu ra 9.6.

Observamos que las formas cuadráticas básicas no tienen términos cruzados en xy. Para cuando hay tales términos, estos se pueden omitir mediante el uso del siguiente resultado del Algebra Lineal y cuya prueba puede verse en Anton (1981). LEMA 9.1 (de Sylvester de diagonalización) Sea la matriz simétrica

B-(AI L) L N Entonces, bajo un cambio lineal de coordenadas en el plano puede ser llevada a una matriz diagonal de la forma

donde .A 1 .A2 son los valores propios de A , que satisfacen el polinomio característico,

Más mín se tiene q1te,

Valores extremos de funciones IR 2 -. IR

332

a, b > O

a, b <O

-- -- ----

--- -----a, b d iferentes signos Figura 9.6: Zoológico de formas cuadráticas básicas. Para ilustrar el alcance del Lema de Sylvestcr damos el siguiente ejemplo.

EJEMPLO. Sea la matriz simétrica

con determinante det(B) = - 3. <J Procedemos a diagonalizar a la matriz B, calculando sus valores propios al re!:>olver el polinomio cuadrático,

O= det [ (

i ) -A ( ~

) ] = det (

= >-2 -

; A

~A)

= (1- >-f- 4

2>-- 3.

cuyas raíces son A¡ = l , A2 = - 3. De esta manera, la matriz diagonalizada es

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9.4 Puntos críticos no d egen e rados <"ll~·o

dctrrmina.nt c es det(A)

333

= - 3.

Por otro lado. la matriz A tiene asociada la forma cuadrática

que corresponde a un paraboloide hiperbólico (silla de montar) con un p11nt0 silla en el origen (0. O, O). Por lo tanto , la forma c11adní.tic<l. Mociada a la matriz B está dada en los vcr.tores ~ = (.r , y) y matr ici<1.lmente por, 1 y) ( 2

corresponde cualitat ivamente a un paraboloide hiperbólico con un punto silla en el origen (0, O. O) . C> El ejemplo ant.erior nos muestra que para analizar y caracterizar a un p11nto crítico p de una función f (:c, y) es suficiente con calcular su matriz Hcssiana B = H JI' r¡11e es 11na matriz simétrica, y después diagonalizarla utilizando el Lema de Sylvestcr. Al obtener sus valores propios, conforlli<Hnos la mat riz diagonal

que caracteriza a una forma c11adrática básica de 1M mcncionadM, para el caso en q11c los v<1.lorcs propios sean ambos diferentes de cero.

9.4

Puntos críticos no degenerados

DEFINICIÓN. Sea f : O ~ IR uua función de clMe C 2 tal que en el puut.o crítico p E í1 se tenga que el determinante de La matriz Hessiana rl ct (H f J> ) = e1et

~(p)

Jf:..1_ ( Dyih (p)

.!f_j_) (p) o if:..1_ i)yi):r i), 2

(p)

_J.

Pntonces llalllamos al p11nto p un punto c rítico no d egene rado. Obscrvatuos que si la matriz diagonalizacla de H ! , es la matriz

Valores extremos de funciones IR 2

334

entonces será suficient e que a mbos valores propios -\ 1 y ,\ 2 sean diferentes de cero para que p sea un punto crítico no degenerado, en virtud de que por el Lema de Sylvester , det( A) == det(H !7>) =-\ 1 -\2 .

EJ EMPLO. Sea la fu nción cuadrát ica en dos variables f(x, y) = 3::r 2

4xy

+ y2

Analizar el comportamiento en sus puntos críticos media nte las matrices Hessianas correspondientes. El conjunto f2 = Dom(f) = IR 2 es un dominio abierto y conexo. Realizaremos el análisis de los puntos críticos. Hallamos primeramente el gradiente, calculando las primeras derivadas parciales. <J

ox = 6x- 4y

a¡

-oy = -4x + 12y Es claro que

6x - 4y = O \l JP = (O, O)

si y sólo si,

{

- 4x :2y = O

es decir, los puntos críticos se obtienen al resolver el sist ema lineal

6x - 4y = O { -4x + 2y = O Como el determinante principal del sistema

D =

~4 ~4

= 12 - 16 = -4

entonces, x = O, y = Oes la única solución de tal s istema. Esto es, p es el único punto crít ico, con valor cítico

!(0, O)

= 3(0) 2

4(0)(0) + 02

= (0, O)

Ahor a calculamos las derivadas parcia les segundas,

()2j oyox

- - =-4

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9.4 Puntos cr íticos no d ege ne rados

335

y obtenemos en el punto crítico p(O, 0),

()2 f

éJ2 j vyvx

~( 0 ,0)

éJx 2 (0, O) = 6,

éJ2 j éJy 2 (0, O) = 2

= -4,

f en el punto crítico p(O, O) se calcula

Por lo tanto la matriz Hessiana de

~4 ~4

H f(o.o) = (

)

Despues, encontramos los valores propios A1 , A2 para diagonalizar la matriz:

-- 16-

-_4A _ A 4 2

= (6 - A)(2 - A) - 16 = A2 - 8A - 4 = O

con lo que,

= 8 ± J80

A = 8 ± .j64 + 16 2

de donde, A1 -- 8

- 2J80 < O,

A?= 8

+ J80 >o 2

lo que implica que en el punto (0, O, j (O, O)) sobre la gráfica de f se tiene un punto silla, y además que el punto crítico p = (0 , O) es no degenerado. Analizamos algunas curvas d e n ivel de f utilizando los resultados de la descripción de una forma cuadrática alrededor del origen de cordenada.s. a . Si se toma el valor

= 1 entonces

es la ecuación de una hipérbola en el plano !R2 b . Al tomar el valor -1

= z entonces se tiene, -1 = 3x 2

4xy + y 2

que es la ecuación de otra hipérbola en !R2 . c. Si se considera z

= O entonces se tiene la ecuación

Valores extre mos de funcio nes IR2 --> IR

336

y para rc~ol vcr en término~ de la variable x no~ da, X :::::

·1 y ± yil6y2 - 12y2

= ·1 y ± 2y = {

6 e~

y 1

;¡Y

decir, la pareja de rectas y= X { y = 3x

que son lru:;

a.síntota~

de las hipérbolru:; dadru:; por la familia de ecuaciones

donde e E Res valor arbitrario de la función f. La figura 9.7 de~cribe la complej idad de la gráfica de la función f , así corno sus curvru:; de nivel. C> Utilizamo~ <J

el ejemplo anterior para hacer la siguiente observación.

La función cuadrática inicial tenía la ecuación

f(x , y)

= 3x 2 -

4xy

+ y2

que matricialrnente se puede escribir

3J.·2

~icndo

4xy + 1/ == 3x2 + 2( - 2) :ry + 1/ la matriz

~imétr ica

= (:.~;

ru:;ociada (forma cuadrática)

Por otro lado, encontramo~ que la matriz era la forma cuadrática Hf(O.O)

= ( -4

H e~~iana

en el punto crítico

4 - 2 ) -- 2A

Esto ocurre debido a que en la construcción de la matriz Hessiana durante la di~cusión general se factorizó el escalar ~ dando paso a la Hessiana como ~e definió. C> Ut il izamo~ ahora toda la herramienta que se ha de~arrollado, para analizar puntos críticos de funciones suaves de dos variables.

9.4 Puntos críticos no d egenerados

337

/ / / /

curvas de nivel

gráfica

Figura 9.7: Curvas de nivel y gráfi ca de f(x,y) = 3x· 2

4x·y + y2 .

EJEMPLO. Sea la función polinomial de grado tl en dos var iables dada por la igualdad,

/ (:r, y) = x 4 + y 4 y cuyo dominio es

4xy

n = ne.

<J Calculamos sus puntos críticos, igualando las coordenadas del gradiente a cero,

= 4x3 ~ = 4y3 -

!!-!: {

4y = O 4x = O

o equivalentemente, resolviendo el sistema de ecuaciones

Al despejar la var iable y d e la primera ecuación se tendrá

y si se sustit uye x 3 en la segunda ecuación se tendría (x 3 ) 3 - x ==O, lo que implicaría que x 9 - x O. Por lo tanto, es necesario resolver la ecuación

d e grado 9 , 8

x (x - 1) = O

Al fac tor izar el lado izquierdo de esta ecuación se t iene que

x(x 4

1) (x 4 + 1) =O~ x(x 2 + l)(x 2

1) =O

lo que nos da las raíces x = O, 1, - l.

Va lores extremos de fun cion es !R.Z

338 /\1 sus! it.nir t.alcs nlH'< 's

= :y7

la CCIIIl.ciÜII y

<'11

HOs daría que y

O. 1. - L.

Por lo tauto. los puntos críticos son p 1 = (0, O), P'2 ( - 1. - 1) ~· s tts valores nítieos corrcspoudicutcs scn\n,

/(0.0) = 0.

= (1, 1),

/\1 <"alntlm la.-.; derivadas pan.:ialcs sq;undns de la funciÓH ¿)2 f

iYf ., = 12.r-, -.-.= -·1, ÜyÜ.r

~) <.r-

J( - 1, - 1) = - 2

!(1.1) = -2,

iYJ

') i):IJ-

se tiene

= 12y2

lt) qtH' da h1 u1at.riz lkssia.na en cada punto crítico p,

H !,

·) l 2:r-

- /1 ) 2 12n ,"J

-- 1

PnH·Pd<·•uos a m111lizar cada 11110 de los p•mtos críticos obtenidos, mediaat.<' In diap;ona lizn('iúu de su corrcspondicute matriz Hcssinna a . Parn <·1 ¡mato nít.ico (0. 0) . su matriz Hcssiaua es, H fto.o)

~. 1

-;·t )

Pma calcular los valores propios de esta matriz resolvemos la ecuación ('UII<ln\t it'a caractcrísticn.

0=1

- t.J

-A

= A2 -

lo que implica c¡uc A = ±·1. De ('sta forma. ht matriz diagoual es la forma cuadrática

o )

4 ( O - 4

lo que nos dice e¡ ue eu el punto (0, O, f (O, O)) = (0, O, O) hay un punto s illa. Además en una localidad del punto cr ítico (0, O) las curvas de nivel sou hipérbolas cuyas sep a ratrices son dos curvas que se intersectan en el punto (0, O), e¡ ue es no degenerado.

b. En el punto crítico (1, 1), se tiene la matriz Hessiana 12 H !(1.1) = ( _ 4

-4) 12

9.4 P untos críticos no degen erados

339

Para calcular los valores propios resolvemos la ecuación cuadrática

esto es, >.. 1 = 16, >.. 2 = 8. Lo anterior implica que f(l, 1) diagonalizada es, en este caso,

= - 2 es un

mínimo local pues la matriz

En virtud de que f(l , 1) = -2 es un mínimo local, se tiene que las curvas de nivel de valores e próximos de - 2 (de hecho mayores) son curvas cerradas que encierran al punto crítico no degenerado (1 , 1) c. Análogamente al inciso anterior, en vir tud de que en el punto crítico (- l. 1) la matriz Hes:;iana es, 12

H ft- t , q = ( _4

-4) 12

la función tiene un mínimo local en f( - 1, - 1) = - 2. Una inspeccción simple de la gráfica de la función mediante los puntos críticos y sus valores críticos nos asegura la forma de las curvas ele nivel de la función, las cuales vienen dadas por la familia de ecuaciones

s iendo e E R un valor que está cond icionado a ser 2 - 2 que es el valor mínimo de la función. Cuando e críticos

- 2 las curvas de nivel se reducen a la pareja de puntos Pt = (1, 1)

P2 = ( - 1, 1).

Si -2 < e < O entonces la ecuación x 4 + y 4 - 4xy = e describe una pareja de curvas d isconexa.s que son cerradas y encierran a los puntos críticos p 1 Y P2·

Si e = O, la ecuación x 4 + y 4 - 4xy = O describe una curva que e:; la unión de otras dos que se intersectan en el punto (0, O) y conforman una figura e n forma de "ocho". Cuando e > O la curva de nivel asociada se vuelve un circuito que encierra a la figura de ,. ocho"

340

Valores extremos de funciones ll~?

-->

Ya mtt<·rionH<'llt.c ha hi<llllos mostrado <·st<~ Pjemplo, y ahora con eluso de la T<'ol'Ía dif<'r<'lt\'iahl(' s<· ha p odido ha\'cr llll awílisis llHÍ..'i prc\'iso, pero que nt'l11 110 <·st.;Í totahll<'lJt.<! <'Olltpl<·t.;H lo. La. fignra 9.8 il11stra Cllalitativamentc d utapa t.opognífi\'o <1<• las <·mvm; d<' uiv<'l de la gnifica d<' la f11nción. C>

lllÍllilllO local Figma 9X ~lapa topográfico<~<' f(.l' , y)

= :r.¡ +y.¡ -

4:ry.

0<' hec·ho. aún para f11nciom•s polinomiales de dos variables, el análisis d<· 1111<\ cmva <h~ nivel es <·onrplicado y requiere de metodología matemática IIHHh•ma provista por án·a..., como la Geometría Algebraica. Hablando ('011 la \'<'rdnd. <'stns hcrrami<•nt.as cstún 111\1,\' fuera de 1111estro alcance y apdnmos a In.-; co11st.n¡<·doucs de las gráficas de f11nciones de dos variables m<'dinut<• las cmup11tadoras. Est.c auúlisis, auuq11c es cua11titativo y poco nrwlít.ico. es d e gran <I,\' Uda ('ll los probl<>uw.s prácticos. Est.os <>.i<•mplos JJt\lestrau cuán complejos puedeu ser la..-; curvas de nivel asociadas n lllHl función de dos variables. Es claro que c:l problema se ('Omplica para dimeusiones mayores. Así que eu los sul>s<'<:llt'lltcs ejemplos aualizareu1os apenas la forma de los puntos crít.icos, teniendo en cuenta la forma local de la gráfica en 1111a vecindad de cnda uno de ellos. cuando estos sou no degenerados.

EJEMPLO. Analizar los puntos críticos de la función J(x,y) == :r 2 + x 2 y + l + -1 <J Como es sabido, los puntos críticos se calculan al resolver la ecuación

OERECI-I)S RESERVADOS O 2004, Uniwrsdad AtiÓnoma Metropolitana (México). Prohibida la reproctuoaón de esta obra así OOfi'CI &a distriluc:ión y venta fuera del .itnbilo de la UAM!D. E-libro Bibliomedia BibliomediaOfnail.oom

9.4 P u ntos críticos no d egener ados e:-; decir, al resolver <'1 sist.c·ma ck

34 1

c·c·naC'iOIIC~s

iJ.1 = 2.r + '2.n¡ = () { ·~~~ = 21¡. + .r-.; = O ¡}y (

lo qnc equivale a. que

{

2(:r 2y

+ :ry} = O + ;¡:'2 = ()

{

./'

.r(l - y} = O y =

<==>

- .r'"/ 2

·-

()

-" '

()

·l

. ' ~

de dcmde

{

r - ()

y = - 1

+- • .

1' 2

y = --:¡--

- ,,:J ~

<==?

{

./'

y = - 1,

IJ ./'

()

= .1.

lo que implica que los p1111t.os nític:os buscados so11

p ¡ =(O,O),

JI:J = (h. - 1)

fJ'!. =( - .JJ.,- 1) ,

Calculamos sus val()rcs nít iC'os c:orrc:spollclic·utc:s,

f(0, 0)=1, La matriz Hessialla de

f ( - h, -- l} =G,

J (h . -- 1) = G

<:11 <: nalqnicr p1111to crít.i('o fJ e·:-;

H f<o.o¡

+ 2y 2.r

2:r )

y pasamos ahora a mtalizar <.:acht pnHto níti<:o ohtc·Hicio.

a. En e l punto crítiw p 1

= (0, 0) , ter wmos

_ ( 2 + 2y 2J.

f ¡o.o) -

2.c ) 2

la matriz HC'ssiilltil = ( 2

( 0.0)

()

O) '2

que ele hc<.: ho ya es uHa lllat.riz diago ual. No obstante, para afirmar que s u diagoHalizaciún c·s la Inis ui<t . proC'cdc·mos a realizar tal diagonalizacióu. Para <.:akular los valores propios de la umtriz H f !CJ.IJ J ~<: ti<:llc que n ·solver la ecuación

2-.>.

0=1

O 1 = (2 - .>.)'2 2-.>.

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Valores extre mos de funciones R 2

342

lo que implica que A 1 mínimo locaL

= 2 = A2 > O, y por lo tanto, j(O, O) =

b. Para el punto crítico p2

= (- ..J2, -

---+

4 es un valor

1). la matriz Hessiana es, en este

('(ISO,

2( - ..J2)) ( o 2 = - 2..J2 Calculamos los valores propios,

o - A - 2..J2 1 A - 2..J2 = A2 - 2A - 8 o= -2..J2 2- A = - 2..J2 2- A 1

de donde. A1

= 4 A2 = - 2.

Esto es, la diagonal asociada es

lo que nos dice que f ( ~ ..J2, - 1) c . El punto crítico PJ

= (..J2, -

= 5 corresponde a

un valor crít ico silla.

1) t iene como matriz Hessiana a

Para calcular sus valore:; propios, es preciso resolver la ecuación

0-A 1

2..J21=1 A 2..J21 = A2- 2A - 8 2..J2 22..J2 2- A A

:-·obtenernos nuevamente, A1 = 4, A2 = -2. Por lo tanto, j ( ..J2, - 1) = 5 corre:;ponde también a un valor silla.. Observamos que todos los puntos críticos de esta fu nción son no degenerados, ya que todos los valores propios obtenidos no se anulan. C>

EJEMPLO . Dada la fu nción f (x,y)

= x y(l- x-y)= xy - x 2 y - xy2

analiz¡u· sus puntos crít icos mediante el método mostrado. <J

El gra.cliente de la función es

y se Mula, si y sólo si, se satisface el sistema y - 2xy - y 2 = O { x - x 2 - 2xy = O

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9.4 Puntos críticos no degenerados

343

o equivalentcmeut<!,

y( 1 - 2:r - y) == O { ;¡:( 1 - :1: - 2y) = o esto

e~ ,

1 - 2:r - y = O

y == O ó

{

;¡; =

;¡ ; -

lo que implica que,

y= O y

== () y y == o .Y

{

l - 2:1: - y

y == O

1 - 2:1: - 1J == 0 1 - :J: - 2y = o O y l - .r - 2y

de donde se obtienen los puntos críticos, 1'1 = (O, 0) ,

JJ:1 == (l, O),

P2 = (o, 1) ,

Ji4

= ( ~ · ~)

con los valores críticos correspondientes

!(0,0) =O,

f(O, l) =O,

/(l , O) = O,

/(lj:3, lj:J)

Procedemos a a.na.liza.r los puntos críticos sabiendo silma en cada uno de ellos viene d ada por

H J,, -

a. Para el ¡muto crítico p 1

l - 2x - 2y

= (0 , 0), H/(o.o)

la uwt.riz H('s-

1 - 2.r - 2y )

- 27'} (

CJIH!

= 1/ 27

2,¡;

la matriz Hcssiaua. ('st¡Í. dada por

(

()

1 )

()

.r sus valores propios se calculan resolviendo la <·<·uaci<ín

de donde .A

= ±l.

b. En el punto p2

Esto dice que /(0, O) = O ('Orresponde a 1111 vah,r silla.

= (0, 1) , la matriz Hcssia11a correspondicute <'s. Hf(o.J)

-2

= ( _1

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Valores extremos de funciones R 2

344

__.

\" sus n1lores propios se calculan al resolver la ecuación, O=

~ -2- A --1A 1 =-A(-2 - A)-1 = A-+2A - 1 -1 ?

Eucoutramos los valores propios A1 , Az donde,

.\ - -2 + 1-

J8 > o'

Az =

- 22

y por lo tanto f(O.l) =O es un valor crítico silla.

c. El punto crítico p3

= (l , O)

t iene asociada la matriz Hessiana

H ! (!.o) = (

- 1 )

-2

y s us valores propios se calculan mediante la ecuación

-A

Ü= l -1

1 1 =.\2 +2.\-1 _ - _A 2

que tiene soluciones .\ - - 2 + 1 2

J8 > o.

lo qua hace también de j (l, O) =O un valor cr ítico silla. d. Finalmente, el punto crítico p.¡ = (1/3, 1/ 3) tiene la matriz Hessiana

- 2/3

- 1/ 3 ) -2/ 3

H!(t/3.1/3) = ( -1/ 3

y los valores propios se calculan al resolver la ecuación

- ~ -2/3 - A-1/3

-1/3

cuyas solucione:; :;on

A¡ que hace ele

f ( j, j)

= -1 / 3,

- 1

= 1/27 un valor cr ítico mínimo.

Nuevamente, en este ejemplo nos hemos encontrado con puros puntos críticos no degenerados, pues todos los val01es propio:; calculados son distintos de cero. [>

9.4 P untos críticos no degenerados

345

EJEMPLO. Analizar los puntos críticos de la función f( x,y) <3

= y.jX - y2 -

+ 6y

Calculamos sus puntos críticos resolviendo el sistema,

{

= hx- l/2 - 1 = O ~ = x 112 - 2y + 6 = O

que equivale a (si x =/: 0), _]J__l 2.J; -

{

v'x -

2y - 6

Al igualar las ecuaciones obtenemos y = 4.

2y - 6, y resolviendo nos da

Por lo tanto, obtenemos para x, tl

- = .jX 2

lo que nos dice que x

= 4.

De esta forma. el único punto crítico de la función es p valor crítico es ! (4. 4) = 12.

= (4, 4),

y su

La matriz Hcssiana viene dada por, 1

2..fo

-2

y de esta manera, la matriz Hessiana en el único punto crítico es

cuyos valores propios se calculan mediante la solución de la ecuación

- 2- A

= A2 +

127 A-~ 64 32

que al resolver nos da los valores de A, A¡ =

- 127 + v'U665 128

> '

A _ - 127 - v'U665 O 2 128 <

Valores extremos d e funcion es IR 2

346

__,

lo que hace ele /('1, 4) = 12 un valor ~illa. Aclemá.s, .se tiene que el punto crítico e:; no degenerado. C> Hacemos hincapié de que el a.núlisi~ d e la. grMica de una función sunve alrededor de un punto crítico no degenerado es simple y e~tá tota luwutc de~cri to por la zoología de la~ formas c1wdráticas básicas y el Lema de Sy l ve~ter. No obstante. ruando la matriz Hessiana en el punto crít ico tiene un valor propio .A = O, el análisis se complica y su estudio sale de nuestras posibi li dacle~. La Teoría d e sing ularidades y Catástrofes establecida por R . Thom, provee de la hermmient-<'1. moderna nece~aria para analizar el Citso mencionado. A los punto~ crít icos tales que su mat riz Hessiana t iene un valor propio nulo, se les llama puntos críticos degenerados . Cabe mencionar que la Teoría expuest-a aquí se extiende a varias var iables como lo muestra el siguiente ejelllplo.

EJEMPLO. Analizar los puntos críticos de la funcióu

f .(x. y, z ) = ::¡·-') + xy +y-? + yz + ::-? <J C laramente el dominio de la función 0 = IR:¡_

Por otro lado. el gradiente de

v fP de donde V JP

es toda la. región espacial

está dado por

= (2x + y . 2y + x + z. 2.::- y )

= (0. O. 0). si y

sólo sí. se cum ple

2:r + y == O .r - 2y - z = O

{

y + 2z =O

El determinante de tal sistema lineal es 2 1 ()

1 2 1

o 1 2

= -l #- o

lo q ue 110s dice que tal sistema sólo tiene la solución trivial p que es entonce~ el único punto crít ico. La matriz Hessia.na es. para est e ca.so, la matriz

( f~t

Jf.L

;P ¡

Üyih

()J·ü y

~ V

ü : ü··

i),·i):

i)yiJ :

¿¡2¡

i)~j

oz¡

i):Ü y

4v:··

)( ==

~ i111 étrica

2 1 1 2 o 1

= (0. O. O) .

de 3 x 3

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9. 5 Multip licadores d e Lagra nge

347

P rocedamos a calcular los valores propios de la matriz resolviendo la ecuación cúbica

O~ det

= (2- A)

12 -1 A

~ )- A ( o~

1 2 l

2- A

o 1

2- A l 2-A 1

2-A

1- 11O

1 1= (2 - A)[(2 - A)2- 1] - (2 - A) 2- A = (2 - A)(A2 - 4A + 2)

Las raíces de tal ecuación cúbica son los números positivos

A¡= 2.

= 2- h,

A;¡= 2 +

como se puede comprobar facilmente. De esta manera, la matriz diagonalizarla obtenida es 2

(

O 2 - /2

con la diagonal en números positivos. Esto haría que el valor crítico f(O . O, O)

= O sea un

valor mínimo local

y que el punto crítico p = (0. O, O) sea no degenerado. !>

9.5

Multiplicadores de Lagrange

Damos inicio ahora al estudio de los valores extremos de una función que están sujetos a un dominio restringido dentro de su dominio natural. Para ello iniciaremos la discusión pensando que el dominio restringido mencionado tiene una característica adecuada en su forma: es un subconjunto del espacio, que es cerrado, y que está acotado (limitado) en el sentido que la norma de cada uno de sus puntos está superada por un número fijo apropiado. D E F I N ICIÓN. Un conjunto K e Rn que es cerrado y acotado se llamará compacto. Hacemos una extensión del Teorema de Weierstrass (Reyes (1996)) para el caso de una función en varias variables, con un dominio compacto. T E OREMA 9.1 (Weierstrass) Toda función f: K-> IR continua {con K compacto) alcanza s·us valor-es má:c·tmo y su mínimo dentro de K .

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Valores extre mos d e fun ciones !R 2 ~ JR

348

~--------

:'!\~· :' ' ',

1 1

•

_ _ _ J ___ _

L------r--- -------•

l 1

1 1

fmu"

f .

. rttt n,

1 1

~ K c~2 Figura 9.9: El Teorema de Weicrstrass. <J Consideremos el caso en que la función además es suave de clase e'· (r ~ 1).

f no sólo es continua, s ino

Si los puntos p¡, P2 , · · · , Pk son críticos para la fun ción de K , calcula mos sus valores crít icos

f en el interior

f (P t ), f(P2 ), · · · f(p,J Después, r;e buscan los extremos <le f en los pllntos q 1 , · • • , q1 en la frontera, y en tales puntos obtenemos los valores

f(q¡), f (q2 ), .... f (q¡) De entre el conjunto de todos los valores obtenidos

{f(p¡) . . .. . f(p¡.) , f(q ¡), ... , J (q¡) } se escogen el máximo y el mínimo (véase la figura 9.9). C> Por el Teorema de \ Veierstras:,;. pa ra calcula r los valores extremo:,; de una función real de argumento vectorial definida en un conj unto compacto J<, es necesario buscar en su interior los puntos críticos y evalua rlos, adem<ls de buscar en la frontera a aquellos puntos que pudieran dar valores extremos (véase la figura 9.9). Procedamos a dar un método para localizar a t ales puntos distinguidos en la frontera de K , suponiendo que tal frontera está defi nida como una superfic ie de nivel. A este método se le conoce corno el de mult iplicadores de Lagrange. Sea S una s uperficie definida por una ecuación

g{:c y. z) = O

9.5 Multiplicadores d e Lagrange

349

dondr g es una fu nción suave en una región

Y.CJ("· y. z)

n que contiene a S

y tal que

i= (0, O. O)

Dada j : n - IR domle n e:; la región conteniendo a S, se dice que f t it'nc un extremo restringido a S en el punto pE S. sí en una vecindad d0 p E S se <·utnple que <•n una vecindad de p E S se cumple que

f(p) 2: f(.t , y, z) ('n ru~:o caso sr diní que f(p) es un máximo local de f en S. Pero si en tal wrindad ocurre que f (p) ~ f(:x:, y. z) en est.e caso se diní que f(p) es un mínimo local ele f en S. El siguiente resultado debido a Lagrange J.L. , nos indica la forma de localizar a los punt.os de S donde se encuentran los posibles extremos. TEOREMA 9.2 (Lagrange) Si f es un extremo en el punto p E S (•ntunces e.rtste wn l!scalar A (llamado el multiplicador de Lagrange) tal IJlle en el punto JI s e satisface la ec1wctón,

Sea ) : J ~ S una curva d iferenciable pasando por )'(0) la composición

p y

totncnto~

dada por (f o 1 )(1)

= fh (t) ).

Entonces. por In. rt>gla de la cadena, la composición es diferenciable y

~~ (f o ))(t) =<y1-r(t )• 1(t) > Al evaluar en el t iempo t

= O. se obtiene que

~lt (f o--, )(O) = <

Y jp, 1(0) >

Ya que f(p) es extremo en S (es decir, un má."imo o mínimo local sobre S) se tiene d . 0 ::::; df (j 0)')(0) =<y ji" /(0) >

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Valor es extremos de funciones JR 2

350

---+

debido a que pan\ una función real de variable real, cuando alcanza un extremo (local o global) ~e tiene un punto crít ico en t =O. Como 1'(0) es un vector tangente en p y la cu rva~¡ es arbit raria, entonces esto no~ dice que el vector V JP es ortogonal al plano tangente TpS· Ya que también Vgr l.T rS , tendremos entonces que el vector V fp es paralelo a V9p· Por lo tant.o , existe un número real ,\ diferente de cero tal que V JP

,\V[Jp ( vé~e la figura 9.10) . 1>

Figura 9.10: Multiplicador ele Lagrange.

E.JEMPLO. Hallar el máximo y el mínimo de la función f(x ,y) = x+y sujeto~ a la restricción x 2 + y 2 = l. En o t.ras palabras, encontrar los valores máximo y mínimo de f sobre el círculo unitario S. <J

Por el Teorema de Lagrange, es necesario resolver la ecuación V fc~;,y)

con g(x, y)

= x 2 + y2 -

= -\Vg(x,y)

1 definiendo a S como el conjunto de nivel

Al calcular los gradientes se tiene V f(x:y)

= (l, l ),

y entonces, buscamos los valores de

V g(x.y)

= (2x, 2y)

x, y y ,\ tal que satisfagan la ec uación

(1, 1) = .A(2x, 2y)

9.5 M ult ip licad o r es d e L agrange

!;abiendo además que x 2

+ y2 -

3 51

1 = O.

Al re!;olver el !;i!;tema

l 2Ax { 1 = 2Ay

u!;ando que A =f; O, !;e tiene que

Por lo tanto,

de donde

2 4A2

e!; decir,

De e!;ta forma , obtenernos las soluciones de x , y en el círculo dadas por,

y=± -

que implica que hay 4 puntos candidatos sobre el círculo x 2 + y 2 = l , y que e!;tos !;ean,

(J2 J2) (J2 -J2) (-J2 J2) (-J2 -J2) 2 , 2

2 ,

2 ' 2

2 '

Si evaluamos cada uno de ellos se tiene que,

Valores extremos d e funciones IR 2 ~ IR

352

Figura 9.11: Por lo tanto,

Extremo~

lo~ valore~

de x +y en el círculo unitario.

máximo y minimo de f

~obre

el círculo unitario

son

}~'•<•· ' •· = h. j,,;,. ==

- v'2,

La figura 9.11

alcanzado con el punto

iiu~tra e~te

p ,.'!

p,, = (

J2, J2) 2

-~, - ~)

ejemplo. r>

EJEMPLO. Sea la función en

do~ variable~,

f (X, Y)

= X

+ y2

Calcular sus máximos y minimo~ ~ujeto~ a la re~tricción 2x 2 <l

+ y 2 = l.

El gradiente de la fun ción f se calcula, \1 fp

= ( 1, 2y)

y definimos la función auxiliar g(x, y) == 2x 2 + y 2 - 1 para la restricción. Entonce~, la curva plana 2x 2 +y2 = 1 que es una elipse, se puede escribir como la imagen inversa de O bajo g, es decir g - 1 (O) y además, sobre cada

punto (x, y) de tal curva, \lg(x, y) = (4x, 2y)

Ahora buscamos A ::/: O tal que \1 JP == A\1gp para alg uno~ puntos (x, y) sobre la curva, esto es, tal que (1, 2y) == A(4x , 2y)

9.5 Multiplicadores de Lagrange

353

o equivalentemente,

1 = 4-A:r { 2y = 2-Ay sujetas a la condición de rest ricción 2x 2

+ y 2 = l.

De la. segunda ecuación. si y=/:- O entonces .A= l, y de la primer ecuación se tendría necesariamente que 1 = 4x, lo que implicaría que x =

Al usar la condición con x

= l/4. obtenemos, (

41 )

+y = 1

que a l resolver para y nos da.

y=±fs Por esto, los puntos candidatos obtenidos mediante este anúlisi:::i son,

(~,- fs) , (~' fs) Consideremos ahora el caso cuando y ecuación (.A i- O ) se tiene que

Entonces , de la primer

-4,\ -- :r.

Como que al sustituir en la ecuación de condición nos da (con y = 0) ,

Tal ecuación r:os provee de la solución para .A,

y por lo tanto, 1 X : : = ----=,....-

4(±fi,)

= ±-

Valores extremos de funciones IR 2 ~ IR

354

Ü\' nc¡uí. qm• los punt.os <·andidatos s<'HII <:u \'S t<~ caso,

-v0 ) ' (v0 2' 0) ( -2-,0 lJsando nhora el T\'01'<'111<1 dP \Veicrstntss, Pvahmmos todoH ..htl'llidos <'ll mnhos \'<lSOS,

l o~

puntos

= -.¡ + -8 = 8-

o) J. (- v0 2 .

= - J2 + o:? = - 2J2 2

~· mudui111os c¡Hl'. so!m~ la elipse 2.r:!

+ y:! =

l. la función

f tiene los

('Xli'<'IIIOS

J,,lll

- J2 = -2-

OaJHos altorn 1111 l'j<'IJJ¡>)o en tres var iables do11d<> se C'O njugau el Teorema de \\"<•in·strn.ss .'· d IJJét.odo de loo multiplicadores de Lagmnge.

EJEMPLO. Sl'a In función

f( .r. y • .::) =

•)

:~· -

+ J:y +y- + ')

y;;+¡;-

Hallar sus valü r<'s Jwí.ximo y mínimo d ent.ro de la bola de radio 1 con centro en d origen de coordenadas. <l Ya que la hola de radio 1 con cent.ro en el origen es un cerrado y awtado. (compacto) utilizamos el Teorema de Weircst rass.

Est.c nos iud ica que hay que buscar los extremos e n el int.erior .r 2 + y 2 + ::::! < 1 a través de los puntos críticos . y en la frontera J'2 + y'1 + .:: 2 = 1 uu•diantc el método de multiplicadores de LagTange. l. Los puntos críticos de la función

9.5 Multiplicadores de Lagrange

355

se han localizado ya en un ejemplo previo (de hecho en todo JR 3 ), obteniendo apenru:; el punto crítico no degenerado q = (0 , O, O) con valor crít ico f(O , O, O) = O. Esto termina la búsqueda en el inter ior de la bola. 2. Procedamos entonces a buscar los extremos en la frontera x 2 + y2 + z 2 1, es decir, los extremos de f sujetos a esta última restricción.

La frontera de la bola, que es una esfera de radio 1, está definida por la ecuación .r:2 + y2 + z2 = 1 Al calcular el vector gradiente de

\7 fr

se t iene entonces,

= (2x +y, x + 2y + z, y + 2z)

Ahora sea la función auxiliar g(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 - 1, entonces la esfera está definida como el conjunto g- 1 (0) , y en cada punto,

\lgp

= (2x, 2y , 2z)

Buscamos entonces un escalar >. tal que \7 fr = >. \7gp, es decir tal que

(2x

+ y,x + 2y + z,y + 2z) = >.(2x, 2y, 2z)

o equivalentemente que satisfaga lru:; ecuaciones del sistema, 2x +y = 2,\x

{

). + 2y + z = 2>.y y + 2z

= 2).z

En otras palabras, buscamos una condición para ). tal que el sistema 2(1 - .A)x +y = O x + 2(1->.)y+z = O { y+ 2(1 - >.)z =O tenga soluciones no triviales. Pero, el determinante de este sistema homogéneo se anula cuando

2(1 - .A) 1

1 2(1- >.) 1

= o ~ (1 -

1 2(1 - >.)

>.)¡4(1 - ..\) 2

2J = o

lo que nos dice que hay soluciones no triviales para el sistema sólo para valores del multiplicador .A dados por

). = 1,

>.2

,J2

·¡

•'

= 1 ±-

Valores extremos de funciones R:! ~ lR

356

BwwaJuos. c·ollscTIIC'IItc·uu•u t.e. las soludollc•s 110 t.rivin.lc::; COilsi(lerando c·l sisfi•IIJil lilwill dado por la pan•ja.

{ .r

2{1 - ,.\):t + ¡¡=O - /\)y + :; = O

+ 2{1

\' p;tra \';dores cpll' cst.e sistema tc11ga soltJcioiJl's 110 tr iviales se IICccsita que

1 2( l - ,.\) l'c·m ta l clc·tNlllÍililllt.(' se

<11111ltt. sí~·

súlo sí.

1( l - ,.\)'2 - l ::: •·s dc('ÍJ'. /\

= }. '2/:3.

Por lo tauto si,.\=/:

j . 1· Cllt.ou c·<•s

= 12(11-

,.\)

2( 1 - /\)

I ..J.

-rO

\' l'l sist.l'lllil li iJ PHI i11icinl tic•11e soltlcioiH'S 110 t rivi¡tles. que a coutinución HIS('p;11ÍlliOS.

{ 'C

ha\'('JIH)s :;

= t.

t'Ht.oHc\'s para. el sistCIIll\ ('Oll panímet.ro t .

{ Sl'

2{1 - ,.\):r + y = O + '2( 1 - ,.\)y == - t

.1'

t icllc'll los clct.enuinantes

D -- ::::: l -ot

Dy = 1 2(1; ,.\)

2(1 1- ,.\) 1 = f.

~· por lo tn11t:o In solucióu en

== - 2t(l - /\)

gcucml es la r ecta. • -

- '21 ( 1- >.) .l( l - >.)-- 1

. l - .<( i ->.)C-1

{

:; = t

que depende de los valores encontrados ele ,.\. Ya que tenemos las soluciones del sist.erna, utilizamo::; l<lS condicione::; de los multiplicadores obtenidos,.\= L ,.\2· ,.\3 . a. l\Iultiplicador /\ = l.

9.5 Multiplicadores d e Lagrange

:357

--~--~---------------------------------

SP ohticJH~

la ctlllH'iÚu de la l'!'('l.a

l'll I'St.l! C<lSO

y <1deuuí.s .e:! + l/

+ ;;'2

= 1, d e doJl(IP t:! + t:! = l. lo qw• irnpli('a I(IH'. t = ± fT_ -=± h

Por lo tuuto sustituyendo d valor d1• t 1'11 la I'I'!Htciúll d1· la 1'1'1'1a s1· 1i1·rwu los pu11tos,

b . .\lultiplicador A

=1-

'(}.

Se ol,t ii!IIC <:11 est.e cw.;o la I'I:Wtc:ióu 1k la n ·cta dada por. :t: = t

y =

{ condic:iolla<hl a x 'l.

+ y 1 + z2 = 2

1, de dond1•.

t. + 21 + t lo que implica que t

- V2i

= -1

= ± ~.

De c•st.a n muera . se ticueu ent<Jill'<'s los JHIHtos

c . .\lultiplic:ador A = 1 + '(} Se tiene. en este caso, el s istema solución

{ y ad<:más .c2

+ .t./ + ;; 2

YJ~=ht z

= 1, d e doJHle t 2 + 2t.2 + t = 1, lo que implic·a que

t -- ± l2'

Valores extremos de funciones JR 2

358

-t

Los puntos obtenidos son, en este caso, P" == V

(- ~2

- 2J2

- ~) 2

Se han obtenido mediante todo el proceso los puntos candidatos del Teorema de 'vVeierstrass,

(-v;,o, v;), (v;,o,- v;) (~,- v;. ~), (-~, v;. - ~)' (~· v;.~)' (-~,- v;. -~) Al evaluar tales puntos obtenemos sus valores correspondientes

( ~ - J2 ~) == J2 - J2 = J2 -~) = J2J2 = J2 f ( -~2 ' J2 2 ' 2 4 4 2 f ( ~ J2 ~) = + J2 + J2 = + J2 f ( - ~ - J2 - ~) = 1 + J2 + J2 = 1 + J2 f

2 '2

2' 2 ' 2

2 '

De esta manera, sobre la frontera (esfera) se t ienen los valores máximo mínimo dados por frnin

= 1-

Consecuentemente, ya que el interior se tenía que ! (0 , O, O) == O, entonces los valores máximo y mínimo de f en toda la bola cerrada son, f min

=O Y

f mux

= 1 + 2'

9 .5 M ultiplicadores d e Lagrange

359

Eje rcicios l. Calcular los valores ext.relllos locales de ('a da fllll('iúu dada. ut i1iza u el o para ello el Lcllla de Sylvestcr. Clasificarlos <:0111o lwíxiiHos. tníuitnos o sillas.

a. f(x ,y) = xy 2 (1-x-y) b. f(x, y) = x 2 + 4y 2 - 1l:r; c. f(x , y)= (:z: 2 + 1/)(l - t/_ ,:J+Y"l ) d. J(x , y)

e. f(x, y)

= e · si u y = x:1 + :t/ -

15:q¡

2. a. Dar los valores extremos de la fuucicíu de dos variablc·s f( .r. y) = _,:.! + 1i- xy - 4y Cll la región limitada por las re<:tas ;¡; = 0, y = 0, .1' + .1J -- 1 = () b . Dar los valows m<iximo y lltÍuimo de~ ht fuuei{m f( .t:, y) = .r·2 + :~.1/ + .r - y en el triángulo limitado por las rectas :z; = 1, y = 1, .t + y = 1 3. Dar los valores extremos de la fllllc ióu dada, c-ou la rc:stric-c·ic'Jn indica.

= 2x2 + 2y 2 - z 2 , f(x, y, z) = ze"'Y, x 2 + y 2

a. J(x , y, z )

((11<'

x - y + ;; = () = ;;

4. a. Calcular l()s valores 1mí.ximo y mínimo de la full(:iúu f( :r, y) = .r + y 2 en el círculo unitario. b. Calcular el valor mítxiino y el valor mínimo ele la fnucióu f(.r. y) x + y + z sobre la esfera :1: 2 + y 2 + z 2 = 1. 5. a. Calcular los valores extremos de la f1tnciúu f(:r:.y,z) en la bola unitaria x 2 + y 2 + z2 :::; l.

= .r + 2y -

b. Calcular el valor máximo y el valor llllllll llO de ht fuiH:ic'Ju f( .r . .::) x - y - z dentro de la bola x 2 + y 2 + z 2 ::=; l.

2;;

6. Sea un círculo de radio R. Dar las dimensioucs del tri<íugulo que se puede im;cribir dentro del círculo, y que tenga ¡\rca Iwí.:xium. 7. Hallar las dimensiones de un paralclcpípecl() de volumen IIHÍxilllo que tenga fija una área dada A. 8. De entre los rectángulos con área dada A , hallar las dimensiones ele aquél que tiene perímetro con valor míuimo. 2

9. Dar la distancia más corta de la elipse "~

X+ y -

= Ü.

+ y2

1 hasta la recta

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Capítulo 10

Funciones implícitas Sean e R" una región con frontera y sea J : n ~ j(D) un difeomorfismo global . esto es, una fun ción diferenciable, invertible con una inversa diferenciable y : j(D) ~ D. El siguiente resultado cuya prueba se omite (pues requiere de las herramientas de la teoría de la Topología Algebraica) nos indica que los puntos interiores den bajo la aplicación de f son llevados al interior de j(D), y los punt.os de la frontera den son llevados en la frontera de f(D). (Véase la figura 10.1). TEOREMA 10.1 (de la invarianza del dominio) Sean n e !Rn una región con frontera sea f : n ~ J(f1) e !Rn un difeomorfismo global. Entonces j(n) es ~ma reyzón con frontera en IR". Los puntos interiores de n son llevados bajo j en puntos interiores de j (D) y los puntos fronte·ra en son llevados bajo f en la frontera Dj(D).

un y

EJEMPLO. Sea la función IR 2 ~ IR 2 dada por

f(x. y) = (a.x. by) = (u, u).

con

a. b >O.

<l Si se considera la región circular con frontera conformada por el disco unitario de radio l,

se tienen que bajo la función con frontera

f la región Des mapeado en la región elipsoidal

De las ecuaciones,

a.;r ¡;=by

tt = {

Funciones implícitas

362

se obtienen la.'i coordenadas inversas, .1: =!.!. (1

que dan una función inversa JR 2 g(u, v)

{

- b Y -.!:

--.

IR 2 dada por,

IL V) = ( ;;' ¡; = (x, y)

Claramente la función f : n --. !({2) es difeomorfismo que lleva el interior del disco n en el interior del elipsoidal j(n), llevando la frontera del disco x 2 + y 2 = 1 en la elipse + ~ = l , cumpliéndose el Teorema ele la invarianza del dominio. (véase la figu ra 10.1).

.¡;;

an f

-....____./'

Figura 10.1: Teorema de invarianza del dominio.

EJEMPLO. Consideremos la transformación IR 2 f(r. ~.p) =

IR 2 dada por

(rcos<p , rsen<p)

donde un punto p = (r, <p) toma unidades en números positivos para la primer coordenada y en radianes para la segunda. <J

Sea n la región con frontera en el plano IR 2 dada por el cuadrado D={(r, <;>) l

O:S r :S l.

ent.onces, de la definición el de la función del codominio, las relaciones se escriben

0 :S ..p:S7r/4}

f es claro que en coordenadas :r, y

= r cos <p. y = r sen ;p

que es el cambio de coordenadas cartesiano por coordenadas polares. Una simple inspección nos muestra que la región J(H) es la cuarta parte del círculo unitario en el primer cuadrante. con la frontera incluida. Aquí nuevamente los puntos interiores del cuadrado n son llevados en los interiores de J(H) bajo la función J, y la frontera de n en la frontera de

363 f(H), cumpliéndose totalmente el Teorema d e invarianza d e dominio. [>

Ahora damos paso a la demostración de un resultado que es equivalente al Teorema de la función inversa., y que en virtud de que ya se conoce éste, se presenta como una de sus consecuencias: El Teorema de la función implícita. Iniciamos la discusión con un ejemplo. EJEMPLO. Sea la función en dos variables

Si e E IR+ U {O} es un valor arbitrario, se tiene que la curva de nivel E ¡ - 1 (e), entonces 2 al despejar la variable y se tiene que y = ± J e ..:.. x . <J

¡- 1 (e) está dada por la ecuación x 2 + y 2 = c. Sea (x, y)

Si y es una coordenada positiva, entonces necesariamente y = J e- x 2 . De esta manera la variable y se puede escribir localmente como una función y= h(x) en los puntos (x,y) E ¡- 1 {c), es decir para tales puntos,

e = f(x, y) = f(x, h(x)) la función y= h(x) se llama una función implícita para la función f. Observamos que la derivada implícita y' se calcula mediante la derivaciém de la igualclad x2 + y 2 = e, es decir, 2x

+ 2yy' =

o equivalentemente,

-2x

-x

y = - = -= = 2y y h(x) Jc-xz

la cual tiene sentido para -

JC <

JC.

Por ejemplo si x = O, entonces y = .jé de donde en el punto (0, .jé) se tendría una pendiente y'(O) =O. C> Enunciamos y demostramos el Teorema de la función implícita para dos variables. La generalización se muestra apenas en los ejemplos subsecuentes. TEOREMA 10.2 (de la Función Implícita). Sea f : D e IR 2 __, IR una función de clase C,. y sea p = (a, b) E 0 tal q11e j (a, b) = e y tal que ~(a,b) f: O. Entonces existe una función y= h(x) de clase definida y en una vecindad del punto x = a en IR, tal que h(a) = b y todos los pm1.tos

364

Funciones implícitas

de la g1·áji.ca de h están contenidos en el conjunto de nivel f - 1 (e), es dedT. sf el punto (x, y) :;;:; (:r, h(.r)) está en la gr·áji.ca de h en el pla11o. entoncc8.

e = f(.r, y) = f(x. h(x)) <J

Sea la func ión definida por o(:r. y) :;;:; (.1:. J( .r. y)) . Se t iene Dq>p

j~ .

j? ) !1

do nde fJ es la derivada parcial de f en la variable .r, y fu la derivada parcial de f re::;pc•cto <\ la variable y. De esto. el .Jacobiano es

,. por el Teorema de la función inversa. exist en, una vecindad de p en ~! y una vecindad de q = f(p ) donde está definida para la fun ción dn.da. o , una función inversa local 'ljJ de clase C'". Sean las coordenadas (x . z) en el codom inio de ~( r.z)

Si acle más se denotan z =

y pcínga.se

= (x,g(r.z))

f (x. y)

y y

= g( .r, z), entonces

(.L', y) =V o <;>(:r. y) = 'l¡)(<i>(x. y)) = t.{r, f(x, y)) (.r, z) = o o t'(x. z)

= o(ü(.r. z)) -

o(.r. g(x . z))

Definamos entonces para e = f (a.b), la función s uave de clnse C'". c·n la variable x en una vecindad de .1: = o . dada por

h(.r)

= g(x. e)

se tiene entonces ó(x, h (J.·)) = o( J.· . g(x . e)) = o(v(.r. e))= (.r. e)

y por otro lado. para x en la vecindad de x

= o,

o(J·. h(:r)) = (J.·. f(J.·. h(1·)))

de donde Hcc:esariamente j(1·. h(.r)) = c. Ya q ue e = f(a. b) y f(a, h(a)) =e, se tiene que h(a) =bloque termina la prueba del Teorema (véase el la figura 10.2) . 1>

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365

a Figura 10.2: Teorema de la función implícita. Ob~ervemos que para este caso, sí sobre la curva de nivel j( x, y) = e la \·nriable y :-;e puede e:-;cribir illlplícitamente por la función y = h(x) en la vecindad del punto (x = a , y = b), entonces al derivar parcialmente la e(·uación ele la emva de nivel j( x . y) = e re:-;pecto a la variable x se obtiene la derivada implícita ordinaria y' = h'(:r) respecto a x .

<J Si f(.c, y)

= r . entonces,

por la regla de la cadena,

o equivalentemente. sabiendo que y

quP se puede e:-;cribir

= h(x)

f.r + f yy' = O.

De est a manera. 1

j,.

y = --

. sablCndo que fv

= Y.1 üy #O.

EJEMPLO. Sea la función en dos variables dada por, j (.r. y)= xcosxy <J Al talcular la derivada parcial respecto a la variable

y se tiene

Funciones implícitas

366

y particularmente en el punto p

= (1, 1r/2), obtenemos

De aquí, por el Teorema de la función implícita, exü;te una función y= h(x) en la cercanía de x = 1, tal que h(1) = 1rj2 y tal que la derivada de tal función en x = 1 se calcula

Y (1)

-Ir = ¡ ;1{1.1f/2) =

cos xy - xy sen xy - x2 sen xy 1{1.1f /2)

= -2

Procedamos a calcular en este caso la función implícita resolviendo el caso general para las curvas de nivel. Si e E IR, entonces,

f(x, y) = x cosxy =e implica que, para x =j: O, se tiene e cosxy = X

o equivalentemente, al despejar la variable y obtenemos 1

y = - arccos (~) X

Así, en x = 1, y = 1r / 2 se cumple e = f(1 , 1r /2) constante e = O y la fun ción particular buscada es

O, ele donde, la

1 1r/2 y = h(x) = - arccos (O)= X

cuya derivada es,

'( ) = -rr/2 y, = hx x2 De esta manera, y = h( 1) = 1r / 2 y y' = h' ( 1) = nuestros cálculos obtenidos. 1>

- 1r /

2 lo que comprueba

El Teorema de la función implícita para el caso de funciones ele tres variables se establece de la siguiente manera, y omit imos su prueba que procede de igual forma que para el caso de dos variables. TEOREMA 10.3 (Función implícita). Sea J : n e IR 3 ---+ IR una j1mción de clase C'. y sea p = (a, b, e) un punto arbitrario de n tal que f(a,b,c) = d y ~(a,b,c) =1 O. Entonces en una vecindad del punto (a,b) en el plano, existe tma función z = h(x, y) de clase C' tal que la gráfica

367

est1í cuntcnula en la S1J.pcrjicie de m vel f (:r , y , z) (.1:. y ) ce1wnos del p1L11to (a, b) se t1ene que !((x.y). h(:r,y ))

=d y

= d,

esto es, para p1mtos

h(a, b) = c.

Más n1ín .se cumplen las ·igwlldades pam las J)ar·ciales,

Dh /). .e. (a . b)

!1· (a, b. e) 1z

ah - (a.. b) = -- ¡y (a, b.c) 0y

El ::;iguieute ejemplo mue~tra que en general 110 ~e puede calcular explícitamente la función h , sino que apenas se demuestra su existencia.

EJEMPLO. Sea la función

f (J:, y , :: ) = z:.l -

z - .cy sen ::

:- lo~;trar que en una vecindad del punto (0, O. O) la variable z se puede pouer en función de las otras dos variable~ sobre la superficie de nivel

f (:r,y.z ) <J

= !(0 .0,0) = O

C'nkulnmos la dE-rivada parcial de

f respecto a z en el punto (O , O, O) ,

obt eu it•udo

Dz (0, 0. 0) = 3z -1- .rycoszl(o.o.o) = -1 =/:O

v por el Teorema de la funció:1 implícita 10.3, existe en una vecindad del punto (0. O) en el pla110. y una función z = h (;r , y) de clnse C' tal que,

h(O.O) = O y

f(x . y , h(.t·, y)) = f(O , O, O) = O

Por otro lado. las derivadas parciales de h en el punto (0, O) se calculan

?D.r11 (0, O) = -!:JJ. (0. O. O) == 3::. ~h(O.O) = - fv (O,O , O) Üy !:

- y sen z (O. O, O) .t·ycosz

- 1-

= ,

3z 2

- x sen z (0,0, 0) =0 1- xycosz

Al trat ar de proceder a buscnr la función z = h (:t. y) a partir de la s upt' rficie de nivel :: 3 -:: -1:y sen:: = O. podemos observar que no es simple d<'sp<'jar a z en términos de la.s otra:; variables (x, y) , Jo que nos dice que, en general. la función h mencionada en el Teorema 10.3 no es fáci l de eu<·outrar. (>

368

Funciones implícit a s

Ejercicios. l. :\lo:-;trar que f(x , y) =e define u na fu nción implícita y= h(,r) alrededor del p unto dado p = (a, b). Calcula r y' = h'(n ).

a . f (.r,y) = yco:;xy en p = (1rj 2, 1) b. J(.r . y ) = .reY - y + 4 en p = (- 2.1) c. f (:r, y) = xy + y.¡ + :r4 en p = (1, - 1) d. f(.r . y) = x 2 +2xy+y2 en p = (l.1) 2. :\lo:;trar que la funció n J(:x . y,z) =e d efi ne una función implícita z = "JI h(.r. y) en u na vecindad del punto dado p = (a.l>.c) . Calcular ~.;. (a.,b) y i)/¡ i.Jy(a..b).

a . f(x,y ,z)= z-z 3 +xysenz en p=(O. O.r./ 2) b. f (x. y, z) = :r 2 + y2 + z 2 + 2xyz en p == (1,1.1) c. f( :r. y,z) = :t - y + 2z - e'Yz en p = (0. 1,1)

OERECI-I)S RESERVADOS O 2004, Uniwrsdad AtiÓnoma Metropolitana (México). Prohibida la reproctuoaón de esta obra así OOfi'CI &a distriluc:ión y venta fuera del .itnbilo de la UAM!D. E-libro Bibliomedia BibliomediaOfnail.oom

Indice Álgebra Lineal, 3, 331 ángulo, 3 Anton, 110 bola, 149 campo

(~)

con~ervativo,

257 de rotación, 260 e~calar, 155, 176 gradiente, 249 vectorial, 205, 208, 219 vectorial gradiente, 261 cilindro circular recto, 282 exponencial, 283 ~inu~oidal ,

283

círculo, 306 unitario, 130 combinación lineal, 2Ü) compacto, 347 conexo, 154 conjunto abierto, 149 cono circular, 286 elíptico, 286 coordenadas polares, 315, 362 pseudoe~férica~, 274

curva (s), 3 ángulo entre, 305, 308, 309 de nivel, 335 diferenciable, 133

int<!gral, 20 1 longitud dP. :3()G longitud de arco <k. :mG oricutacióu de, :301 panunetrizac:ión de, 1 n poligonal, :3lll poligonal orieutélda, :3tn regular , LH, 1:35. UG regular panuuct.rizad¡t. 112 rcparamctrizacióu dP, :301 ~uavc por pedazos, :30:3 cúspide. 1·10 deriv<Hla, 221 cociente parcial. 16G COIIIIIHtativiclad ele la.-; S<'p;llll da.s parciales 111ixtas. 1t\2 dirccioual, 17ü parcial. 165 parcial de orden superior. 179 parciales m ixta~ . 181, 182, 1t\0 segundas derivadas parciales. 180 de~igualdad del tri;í.ugulo, 77 desplazamiento i11finitesimal. 2GG determinante (s) , 10. 20 cofactor de un. 23 elementos del, 22 menor de un, 22 ordenes, 30 paridad de, 22 Teorema del desarrollo de, 2-l difeomorfi~mo

ÍNDICE

370

global, 361 diferencial, 221 total, 195 total de segundo orden, 196 dimensión, 65 disconexo, 154 distancia, 3, 76, 79, 121 divergencia, 260 ecuación de Laplace, 271 del calor, 269 del plano, 112 diferencial de Laplace, 203 paramétrica, 110 elipsoide, 287, 289 circular, 288 error, 186, 187 escalar, 13, 18, 67 esfera. 278 espacio Euclidiano, 72 tangente, 321 vectorial real, 70 estacionaria, 271 estructura algebráica, 67 flujo, 253 form~ cuadráticas, 327, 328, 331 frontera, 153 función clase de una, 181 continua, 317 continua en el punto. 317 coordenada, 206 diferenciable, 132, 133, 169, 221. 222 implícita, 363 inversa, 228, 230 inversa local, 233 pot.encial, 257 vectoriaL 127 vectorial suave. 133

Geometría Algebraica, 164, 340 gradiente, 167 gráfica, 155 hélice, 131 hiperboloide circular, 281 circular de dos hojas, 291 circular de una hoja, 289, 290 de dos hojas, 290 de una hoja, 289 elíptico, 291 hiperplano, 118 intervalo abierto, 149 k - ésima diferencial total, 197 Lagrange ,l. L., 349 Lema de Sylvester de diagonalización, 331 ley de gravitación universal, 250 ley del paralelogramo, 69 límite (s), 312 aritmética de, 313 cambio de coordenadas en, 314 marco, 304 l'vlathematica, 163, 164 matriz (es), 10 cuadrada, 12 diagonal , 105, 331 diagonalizable, 105 dimensiones de una, 11 ecuación característica de una, 61 entrada de una. 11 Hessiana, 326 ident idad. 20 inversa, 31, 5-l, 55 invertible, 31 , 56 Jacobiana. 2Ül. 221 Jacobiano de una. 233

ÍNDICE nula, 12, 14 operaciones elementales de, 47 , 50, 52 ortogonal, 63 principal, 9 real, 11 semejante, 52 simétrica, 327 submatrices, 9 transpuesta, 14 valor propio de una, 61, 98 vector propio de una, 99 método de Gauss-Jordan, 50 multiplicadores de Lagrange, 348, 349 números imaginarios, 99 paraboloide, 292 circular, 280, 292, 329 elíptico, 293 hiperbólico, 293 , 330 plano (s), 3, 277 tangente, 322 polinomio cuadrático, 185 cúbico, 186 de Taylor, 185, 191 lineal, 185 problema de Dirichlet , 271 punto aislado, 311 crítico, 164, 325 crítico degenerado , 346 crítico no degenerado, 333 de acumulación, 311 frontera, 153 regular, 324 silla, 330, 338 singular, 163 recta (s), 3 región. 154

3 71

regla de la cadena, 172, 223, 225 regla de la mano derecha, 304 Reyes J.G, 311 separatrices, 338 silla de montar, 162, 293 singularidad algebráica, 314 sistema compatible, 37, 49 de coordenadas cartesiano, 65 escalonado, 46 homogéneo, 39, 42 inconsistente, 48 parametrizado, 39 solución biparamétrica, 51 paramétrica, 51 trivial, 39, 40, 42 superficie base de una, 283 cilíndrica, 282 cónica, 283 de revolución, 278 directriz de una, 282 generatriz de una, 282 ordinaria, 277 Teorema de diferenciabilidad, 169, 221 Teorema de invarianza de dominio, 361 , 363 Teorema de la función implícita, 363, 366 Teorema de La regla de Cramer, 34 Teorema de Lagrange, 349 Teorema de Pitágoras, 77 Teorema de Taylor, 191, 324 Teorema de \Veierstrass, 347 Teorema del determinante de un producto, 30 Teoría de singularidades y Catástrofes, 346

ÍNDICE

372

Topología i\ lgehmica, 361 tranfon11aC'iún (es) lim•al, 212 t ransfon11a('i<Ín (es) t•lt~nwnt.aks.

liw•al, 211, 213 t rasla('i<Ín dt' (•jes coordenados, 2!H valor (es) nítiro. 32::> t·xt.n•mo n•stringido, 3-19 múximo global, 327 IIHÍXimo lO('HJ. 327. 328, 3-19 mínimo glohal, 327 ntíninto local. 327. 328, 3·19 propio. 331 regul~~r, 32·1 v;niarión. 165. 176 vector (es). 3. 70 aC'e!Nación. 1-16 úngulo <>ntre, 76, 115 base canónica de, 76, 92 base de, 91, 96 canónico, 75 columna, 11 combinación lineal de, 89 de Hamilton, 260 ele posición, 69, 71 dependencia lineal de, 90 director, 110 linealmente independientes, 91 norma del, 72, 73, 76 normal, 112, 304 orientación negativa, 95 orientación positiva a la derecha, 95 ortogonales, 77, 81 paralelos, 72, 83, 85 producto escalar de, 73, 86 producto mixto de, 86 producto punto de, 73 producto vectorial de, 82 proyección de un, 81

proyección ortogonal de un, 79, 80 rapidez, 138 regla de la mano derecha, 95,

96 renglón, 11 resultante, 70 tangente, 143 unitario, 79 velocidad, 132, 138 velocidad promedio, 132 vértice, 283

Bibliografía

Anton, H., Introducción al Álgebra Lineal, ed. Limusa, México, 1981. Lima, E.L., Curso de Análise, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, Brasil, 1992. Reyes, J. G., Cálculo Diferencial para las Ciencias Naturales, Trillas, 1996.

CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES, se terminó de imprimir en el mes de diciembre de 2002 en la Sección de Talleres Gráficos del Departamento de Publicaciones de Rectoría General de la Universidad Autónoma Metropolitana. Se tiraron 1000 ejemplares sobre papel gráfico bond de 44.5 kgs. en tipos Times de 1Oy 11 pts. y Times bold de 14 pts. Diseño de portada a cargo de D. C. G. Ma. de Lourdes Pérez Granados de la Sección de Textos y Formación del mismo Departamento ..

ISBN: 970-31-0096-1

9 789703 100965