Examen feb 2007 1ÂŞ semana
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Soluciones Tipo A. 1b, 2a, 3d, 4d, 5a, 6d, 7c, 8c, 9a, 10c, 11a, 12c, 13a, 14c, 15d, 16a.
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1.- Para cada x ∈ Z, sea: f(x) =
x2 .
Se verifica: a) f no es una aplicación de Z en N; es una correspondencia; b) f es una aplicación suprayectiva de Z en N; c) f es una aplicación inyectiva de Z en N; d) ninguna de las anteriores.
Esta pregunta está en el resumen del tema 4 que el equipo docente dejó en el apartado de contenidos, y es la pregunta P14 de autoevaluación. Observación: f(x) =
x2 = x .
Es lo mismo que el valor absoluto, siempre es positivo. f(-3) =
(− 3)2 = − 3 =3.
Es una aplicación, por que a cada número le corresponde un único resultado. Es suprayectiva porque cada número natural tiene al menos una imagen inversa. Pero no es inyectiva, ya que existen números naturales que tienen más de una imagen inversa, por ejemplo, f −1 (2) = {2,−2} ya que f (−2) = 2 y f (2) = 2. Es la respuesta b). Está resuelta en el mensaje 496, podéis ver también el 492.
2.- sean los conjuntos A={1,2,3}, B={4,5,2,6} y C={2,7}. x ≠ y , entonces el valor de y es: Si (x, x, y ) ∈ AxBxC , a) 7.
b) 2.
c) (2,7)
d) Ninguna de las anteriores.
⎡ x ∈ A⎫ ⇒ x ∈ (A ∩ B) ⇒ x = 2 Al ser la terna (x, x, y ) ∈ AxBxC ⇒ ⎢ x ∈ B ⎬⎭ ⎢ ⎢⎣ y ∈ C x debe ser un elemento de A y de B, por lo que x=2; al decir que x ≠ y , y es un elemento de C que no puede ser 2, Æ y=7. Es la respuesta a). También está contestado en mensajes 1177 y anteriores.
3.- Sea la relación R en Z siguiente: R(a, b) :
a =1 b
. Indique cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera.
a) una relación de equivalencia; b) una relación de orden (no total); c) una relación de orden total; d) ninguna de las anteriores.
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a a = = 1 ⇒ a = ±b . Es decir, si a y b están relacionados, o son b b iguales o son opuestos.
Podemos pensar que
R no cumple la propiedad reflexiva porque
a = 1 para cualquier a, excepto para a=0Æ a
No se cumple R(a,a) para cualquier a ∈ Z a b 1 = 1Æ = = 1 . Es decir que si a es a b a b igual u opuesto a b, entonces b es igual u opuesto a a. R cumple la propiedad simétrica, ya que si
a
R también es transitiva ya que si
b
b c
= 1⎫ a a b ⎬ ⇒ = ⋅ = 1⋅1 = 1 = 1⎭ c b c
R no cumple la antisimétrica ya que R(3,-3) y R(-3,3) pero no se cumple que 3=-3. Teniendo en cuenta estas propiedades, se deduce que R no es una relación de equivalencia, ni preorden, ni orden, ni de orden total. Es la respuesta d) Ver libro de teoría de pág 92 a 95.
4.- Sea la relación R en Z siguiente: R(a, b) : 1. 2. 3. 4.
a−b < 3
. Se pide decir que dos opciones de las siguientes son falsas.
R es reflexia. R es simétrica. R es antisimétrica. R es transitiva.
a) 1 y 2.
b) 2 y 3.
c) 1 y 4
d) 3 y 4.
La condición a − b < 3 nos dice que la distancia (diferencia en valor absoluto) entre a y b es menor que 3. Como estamos con números enteros Z, la distancia tendrá que ser 2 o menos. Por ejemplo el número 4 sólo está relacionado con 2, 3, 4, 5 y 6. Estudiemos las propiedades. ¿Reflexiva? Sí porque a − a = 0 < 3 ⇒ R (a, a ) se cumple para cualquier a. ¿Simétrica? Sí porque a − b = b − a . Entonces R(a,b) Æ R(b,a). Si no queremos peder más tiempo podemos marcar ya la respuesta d). Comprobemos que R no es antisimétrica ni transitiva.
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Para comprobar que no lo cumple lo mejor es encontrar contraejemplos, (ejemplos que nos sirven para demostrar que un enunciado es falso). ¿ antisimétrica? No, porque se cumple R(2,3) y R(3,2) pero no 2=3. ¿ transitiva? No, porque se cumple R(2,4) y R(4,6) pero no R(2,6). Las opciones falsas son 3 y 4. es la respuesta d). Otra vez podemos encontrar ayuda en el libro de teoría pag. 92 a 95.
5.- Sean dos matrices cuadradas de orden 2 A y B y una transformación elemental T, si: ⎛ 1 1⎞ ⎛ − 12 12 ⎞ ⎟⎟ y T [ A] = ⎜⎜ ⎟ . Entonces se verifica: T [ AB] = ⎜⎜ 1 ⎟⎠ ⎝ −1 2⎠ ⎝ 2 Se verifica: ⎛ −1 0⎞ ⎛ 12 0 ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ b) B = ⎜⎜ a) B = ⎜⎜ ⎝ 1 2⎠ ⎝ 1 2⎠ ⎛1 0 ⎞ ⎛ − 2 − 2⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ c) B = ⎜⎜ d) B = ⎜⎜ ⎝1 2 ⎠ ⎝ −1 2 ⎠
Sólo necesitamos saber la propiedad T [ AB] = T [ A] ⋅ B que está en la pág 176 del libro de teoría. Lo más sencillo es sustituir en esa igualdad. ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ − 12 12 ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⋅B T [ AB] = T [ A] ⋅ B Æ ⎜⎜ 1 ⎟⎠ ⎝ −1 2⎠ ⎝ 2 Probamos cual de las posibles soluciones cumple esa igualdad. Es la respuesta a).
6.- ¿ Cuál de los siguientes subconjuntos de R3 es un subespacio vectorial de R3? a)
{(x , x , x ) ∈ R
{
1
2
3
3
}
/ x1 + x 2 = 2
}
b) ( x1 , x 2 , x3 ) ∈ R 3 / x1 − 4 = 0 2
{(x , x , x ) ∈ R d) {( x , x , x ) ∈ R
c)
1
2
3
1
2
3
}
3
/ x1 + x 2 = 8
3
/ 2 + 5 x1 + 2 x 2 + x3 = 2
}
Sabemos que una ecuación de un subespacio vectorial debe ser de la forma Ax1 + Bx 2 + Cx3 = 0 . En principio parece que las opciones a) b) y d) no pueden ser por tener término independiente distinto de 0, y la opción b) tampoco puede ser por llevar una variable al cuadrado, pero observando más tranquilamente (si los nervios del examen nos lo permiten) veremos que la ecuación d) se puede simplificar pasando un 2 al 2º miembro de la igualdad quedando su ecuación 5 x1 + 2 x2 + x3 =0. Es la respuesta d).
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7.- Cuál de las siguientes matrices NO es escalonada. ⎛0 ⎜ ⎜0 a) ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝ ⎛1 ⎜ ⎜1 c) ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝
0 0 0 0 2 1 3 0
0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 0 ⎟⎠ 3⎞ ⎟ 4⎟ 0⎟ ⎟ 0 ⎟⎠
⎛1 ⎜ ⎜0 b) ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝
2 3 0 0
3⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 0 ⎟⎠
⎛ 0 2 3⎞ ⎜ ⎟ d) ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎜0 0 0⎟ ⎝ ⎠
Debemos conocer la definición de matriz escalonada, en la pág 183 del libro de teoría. No es escalonada la matriz c) porque la 1ª y 2ª filas son no nulas y la 2ª no tiene más ceros iniciales que la 1ª. 1 1 ⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ Sea la matriz real A = ⎜ − 1 1 − 2 ⎟ , donde a es un parámetro real. Se ⎜ a a +1 2 ⎟ ⎝ ⎠
8.verifica: a) b) c) d)
El rango de A es 2 si a = 0. El rango de A es 1 si a = 3/2. El rango de A es 3 si a = 3 . El rango de A es 2 si a = 1.
Este ejercicio es sencillo usando determinantes y sus aplicaciones, quien lo haya estudiado en bachillerato y lo recuerde, puede usarlo. Supongo que la mayoría no lo ha estudiado o ya lo olvidó. Resolvemos aquí aplicando transformaciones a la matriz. 1 1 ⎞ F2 = F2 + F1 ⎛ 1 1 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛1 ⎛1 1 ⎜ ⎟ F3 = F3 − a⋅F1 ⎜ ⎟ F3 = 2 F3 − F2 ⎜ ⎟ − 2 ⎟ ⎯⎯ ⎯⎯→⎜ 0 2 − 1 ⎟ ⎯⎯ ⎯⎯→⎜ 0 2 −1 ⎟ ⎜−1 1 ⎜ a a +1 2 ⎟ ⎜0 1 2 − a⎟ ⎜ 0 0 5 − 2a ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Si es necesario, podemos realizar algunos pequeños calcular aparte, 2·(2-a) - (-1) = 4 - 2a + 1 = 5 - 2a La 3ª fila es nula si 5-2a=0 Æ a= 5/2. En ese caso el rango es 2 y en cualquier otro caso el rango es 3. De las opciones que tenemos la única verdadera es la c).
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0⎞ ⎛0 1 ⎜ ⎟ 9.- La inversa de la matriz real A = ⎜ 1 1 − 1⎟ es: ⎜−1 −1 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛−1 2 ⎜ a) ⎜ 1 0 ⎜0 1 ⎝ ⎛0 1 ⎜ c) ⎜ 1 1 ⎜0 −1 ⎝
1⎞ ⎟ 0⎟ 1 ⎟⎠
⎛ − 12 ⎜ b) ⎜ 1 ⎜ 0 ⎝
− 1⎞ ⎟ − 1⎟ 2 ⎟⎠
d) A no es invertible.
1 1⎞ ⎟ 0 0⎟ 1 1 ⎟⎠
Podemos calcular la inversa de la matriz A siguiendo los pasos que se explican en el mensaje 607 de los foros, o también podemos comprobar cuál de las opciones cumple que A·B=I3 Calculemos la inversa: ⎛ 0 1 0 1 0 0⎞ ⎛ 1 1 − 1 0 1 0⎞ ⎛ 1 1 − 1 0 1 0⎞ ⎜ ⎟ F1 ↔F2 ⎜ ⎟ F3 =F3 +F1 ⎜ ⎟ ⎯→⎜ 0 1 0 1 0 0⎟ ⎜ 1 1 −1 0 1 0⎟ ⎯⎯⎯→⎜ 0 1 0 1 0 0⎟ ⎯⎯⎯ ⎜ −1 −1 2 0 0 1⎟ ⎜ −1 −1 2 0 0 1⎟ ⎜ 0 0 1 0 1 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ya tenemos una matriz escalonada. Ahora debemos transformarla en escalonada reducida para obtener la matriz identidad en la parte izquierda y la inversa de A en la parte derecha.
⎛ 1 0 0 −1 2 1 ⎞ ⎛ 1 1 0 0 2 1⎞ ⎛ 1 1 −1 0 1 0⎞ ⎟ ⎟ F1=F1−F2 ⎜ ⎟ F1=F1+F3 ⎜ ⎜ ⎯→⎜ 0 1 0 1 0 0⎟ ⎯→⎜ 0 1 0 1 0 0⎟ ⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 0 1 0 0⎟ ⎯⎯⎯ ⎜ 0 0 1 0 1 1⎟ ⎜ 0 0 1 0 1 1⎟ ⎜ 0 0 1 0 1 1⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Es la respuesta a). 0 ⎞ ⎛−1 ⎛0 1 ⎜ ⎟ ⎜ Es fácil comprobar que ⎜ 1 1 − 1⎟ ⋅ ⎜ 1 ⎜−1 −1 2 ⎟ ⎜ 0 ⎝ ⎠ ⎝ 0 ⎞ ⎛1 0 ⎛ −1 2 1⎞ ⎛ 0 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ el otro orden ⎜ 1 0 0 ⎟ ⋅ ⎜ 1 1 − 1⎟ = ⎜ 0 1 ⎜ 0 1 1⎟ ⎜ −1 −1 2 ⎟ ⎜0 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
2 1⎞ ⎛1 0 0⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 ⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟ , y también en 1 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠ 0⎞ ⎟ 0⎟ 1 ⎟⎠
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10.- Consideramos el siguiente sistema de ecuaciones: ⎧ x+ y− z+t = 2 ⎨ ⎩ 2y + z + t = 0 Se verifica: a) El rango de la matriz asociada al sistema es igual al rango de la matriz ampliada del sistema y, por tanto, el sistema tiene solución única; b) El sistema no admite solución; c) Todas las cuaternas de la forma (2 + λ , λ , 0, −2λ ) , para λ ∈ R , son solución del sistema. d) Toda solución del sistema es de la forma: (2 + 3λ , −λ , 2λ , 0) , para algún λ ∈ R ⎛1 1 −1 1 2⎞ ⎟⎟ . Ya es una matriz Expresamos el sistema de la forma ⎜⎜ ⎝0 2 1 1 0⎠ escalonada. Se cumple que Rango(A)=2=Rango(Â). Nº de variables=4. Al final de la pág 231 tenemos la discusión del sistemas usando los rangos. En este el sistema tiene infinitas soluciones, y además, para expresar todas las soluciones necesitamos 2 parámetros (nº variables – rango = 4 - 2 = 2) hay un plano de soluciones, el conjunto de soluciones tiene dimensión 2; necesitamos 2 parámetros pero en las opciones sólo aparece uno, aparece sólo una recta de soluciones. Según este razonamiento descartamos las opciones a) y b). Si comprobamos las soluciones que nos dan las opciones c) y d), en los dos casos se cumplen las 2 ecuaciones, es decir, ⎧(2 + λ ) + λ − 0 − 2λ = 2 x = 2 + λ , y = λ , z = 0, t = −2λ ⇒ ⎨ 2λ + 0 − 2λ = 0 ⎩ Lo hemos comprobado con c) pero también se cumple con d). La forma de diferenciar entre las opciones c) y d) está en la redacción de la respuesta. En la opción c) nos dice que todos los vectores de esa recta, que se expresan de la forma (2 + λ , λ , 0, −2λ ) son soluciones, pero no dice que sean las únicas soluciones, sabemos que hay más, porque hay un plano de soluciones. En la opción d) nos dice que todas las soluciones son de la forma (2 + 3λ , −λ , 2λ , 0) , y esto es falso porque hay más. La respuesta correcta es la c).
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0 4 ⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ 11.- Dada la matriz ⎜ − 1 − 1 − 6 ⎟ su forma escalonada reducida es: ⎜0 1 2 ⎟⎠ ⎝ 4 ⎞ ⎛1 0 4⎞ ⎛1 0 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ b) ⎜ 0 − 1 − 10 ⎟ a) ⎜ 0 1 2 ⎟ ⎜0 0 0⎟ ⎜0 0 − 8 ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎛1 0 0⎞ ⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ d) ⎜ 0 1 0 ⎟ c) ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜0 0 0⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠
La definición de matriz escalonada reducida está en la pag. 216. Para obtener una matriz escalonada reducida, el proceso es obtener una matriz escalonada y después se multiplican las filas por los números adecuados para que los pivotes se transformen en 1, después debemos hacer 0 en las casillas situada por encima (en la misma columna) de ellos. Si esto se aplica a una matriz cuadrada de rango máximo se obtiene la matriz identidad. Siguiendo los pasos que nos indican en la pag 216, empezamos transformando la matriz en escalonada. 0 4 ⎞ 4 ⎞ 4 ⎞ ⎛1 ⎛1 0 ⎛1 0 ⎜ ⎟ F2 = F2 + F1 ⎜ ⎟ F3 = F3 + F2 ⎜ ⎟ ⎜ − 1 − 1 − 6 ⎟ ⎯⎯ ⎯⎯→⎜ 0 − 1 − 2 ⎟ ⎯⎯ ⎯⎯→⎜ 0 − 1 − 2 ⎟ ⎜0 1 ⎜0 1 ⎜0 0 2 ⎟⎠ 2 ⎟⎠ 0 ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎝ Ya es escalonada, hemos obtenido rango=2, siendo los pivotes los primeros elementos no nulos de cada fila 1 y -1. Para que sean 1, debemos cambiar de signo la 2ª fila. 4 ⎞ ⎛1 0 ⎛1 0 4⎞ ⎜ ⎟ F2 = − F2 ⎜ ⎟ ⎜ 0 − 1 − 2 ⎟ ⎯⎯ ⎯→⎜ 0 1 2 ⎟ ⎜0 0 ⎜0 0 0⎟ 0 ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎠ Ahora tendríamos que conseguir ceros por encima de los pivotes que ya son 1, pero en este caso sería solo en la posición a1,2, que ya es un 0, por lo que hemos terminado, la matriz escalonada reducida que se obtiene es la opción a).
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12.- Sean v1, v2 y v3 tres vectores de R2 que verifican: 2v1-3v2-4v3=0 Sabiendo que:
ε1 ε2
v1
v2
v3
1
2
a
−1
1
b
Es una tabla vectorial. Se verifica: a) b) c) d)
a=5/4 y b=1. a=1 y b=5/4. a=-1 y b=-5/4. a=-5/4 y b=-1.
Teniendo en cuenta que ε 1 y ε 2 forman una base, y si no nos dan datos, podemos considerar que son la base canónica, así tenemos que B={ ε 1 , ε 2 }={(1,0),(0,1)} v1 v 2 v3 ε1 1 2 a ε 2 −1 1 b Observamos la información correspondiente a v1, esto nos dice que las coordenadas de v1 en esta base B={ ε 1 , ε 2 }son 1 y -1. Es decir, v1 = 1· ε 1 + (-1)· ε 2 = 1·(1,0) + (-1)·(0,1) = (1,-1). Al ser la base canónica se obtiene que coinciden las coordenadas de B con las componentes del vector. Obtenemos así: v1=(1,-1), v2=(2,1) y v3=(a,b). Podemos escribir la ecuación 2v1-3v2-4v3=0 de la forma 2·(1,-1)-3·(2,1)-4·(a,b)=(0,0). Esto nos da un sistema de ecuaciones: Observando las primeras componentes de esa igualdad 2-6-4a = 0 Æ a = -1. Observando las segundas componentes de esa igualdad -2-3-4b = 0 Æ b = -5/4. Es la respuesta c).
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13.- Considere los siguientes vectores de R2:
v1=(0,-2), v2=(1,1), ε 1 =(1,-1) y ε 2 =(2,0),
Cuál de las siguientes es una tabla vectorial:
a) ε 1
ε2 c) ε 1
ε2
v1
v2
2
−1
−1 1 v1 v 2 −1 2 1
1
b) ε 1
ε2 d) ε 1
ε2
v1
v2
−1
2
−1 1 v1 v 2 −1 1 −1
2
En este caso tenemos la base B={(1,-1),(2,0)}, para que una de las tablas, por ejemplo la 1ª, sea vectorial debe cumplirse que las coordenadas de v1 en esa base sean 2 y -1 y las coordenadas de v2 sean -1 y 1. Una forma de resolverlo es comprobar con las distintas opciones para ver que a y b cumplen que v1 = a· ε 1 + b· ε 2 . Ahora lo haremos resolviendo el sistema y comparando después con las opciones.
a=2 ⎧0 = a + 2b v1 = a· ε 1 + b· ε 2 Æ (0,-2)=a·(1,-1)+b·(2,0) Æ ⎨ → b = −1 ⎩ − 2 = 2b Las coordenadas de v1 en B son 2 y -1, la única respuesta que cumple esto es a), si nos falta tiempo en el examen, marcamos a) y pasamos a otra pregunta, pero si nos sobran 2 minutillos podemos comprobar que también se cumple que las coordenadas de v2 son -1 y 1. v2 = (-1)· ε 1 + 1· ε 2 = (-1)·(1,-1) + 1·(2,0) = (-1+2,1) = (1,1).
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⎛0 a 1⎞ ⎜ ⎟ 14.- Sea la matriz real A = ⎜ 1 2 a ⎟ , donde a es un parámetro real. Se verifica: ⎜0 3 1⎟ ⎝ ⎠ a) A es estrictamente positiva si y sólo si a >0 b) A es estrictamente positiva si y sólo si a ≥ 0 c) A es positiva si y sólo si a ≥ 0 d) A es positiva si y sólo si a >0
La definición de matriz positiva está en la pag. 327 del libro de teoría y la de estrictamente positiva en la 329. Vemos que en la matriz A ya hay algunos ceros, por lo que no podrá ser estrictamente positiva, sea cual sea el valor de a, nos centramos en las opciones c) y d). Para ser positiva (no estrictamente) los coeficientes de la matriz deben ser mayores o iguales a 0, pueden ser 0 también, por lo que la respuesta correcta es la c).
15.- Los vectores (1,1,3), (-2,-2,-6) y (0,a,1) de R3 donde a es un parámetro real, verifican: a) Son linealmente independientes si a=2. b) Son linealmente independientes si a=0. c) Son linealmente independientes si a=-1. d) Son linealmente dependientes para cualquier valor de a. Para estudiar la dependencia o independencia de un conjunto o sistema de vectores, el criterio más sencillo es: “Un conjunto de n vectores es l.i. si el rango de la matriz que forman es n”. 1 3 ⎞ ⎛ 1 ⎛ 1 1 3⎞ ⎛ 1 1 3⎞ ⎜ ⎟ F2 = F2 + 2 F1 ⎜ ⎟ F2 ↔ F3 ⎜ ⎟ ⎜ − 2 − 2 − 6 ⎟ ⎯⎯ ⎯⎯→⎜ 0 0 0 ⎟ ⎯⎯⎯→⎜ 0 a 1 ⎟ ⎜ 0 ⎜0 a 1⎟ ⎜0 0 0⎟ 1 ⎟⎠ a ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Partiendo de 3 vectores obtenemos una matriz escalonada de rango = 2 para cualquier valor de a, son l.d. para cualquier valor de a. Respuesta d). Si desde el principio nos damos cuenta que el vector 2º el el 1º multiplicado por -3, podríamos marcar directamente la d). También se puede comprobar viendo que el determinante 3x3 que forman los vectores es 0 para cualquier valor de a.
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⎛ 1 12 1 12 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜0 1 0 0 ⎟ 16.- Se considera la matriz de coeficientes técnicos A = ⎜ , 0 0 12 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 0 0 1 ⎟ 2⎠ ⎝ y sea M(3) el menor conjunto autónomo al cuál pertenece el bien 3. Se verifica: a) M(3)={1,3,4} c) M(3)={3}
b) M(3)={1,3} d) M(3)={1,2,3,4}
Este tipo de ejercicios son fáciles y rápidos cuando se comprende el proceso de cálculo de los M(i). Una ayuda para estudiar el tema tenéis en los mensajes 768 y más detallado para los M(i) en 1219. Podéis practicar con los ejercicios de autoevaluación y con los que el equipo docente dejó en el apartado de contenidos, las soluciones (sin desarrollo) están en el mensaje 1039. Tenemos que calcular M(3), observamos la 3ª columna, vemos que no son 0 los términos de la fila 1ª y 3ª, por esto debemos mirar también la columna 1ª, y vemos que no son 0 las posiciones 1ª y 4ª. Por o que M(3)={1,3,4}, para comprobar vemos que en la 1ª, 3ª y 4ª columna el término 2º es 0, lo que nos dice que ni el bien 1, ni 3 ni 4 necesitan al 2 para su producción. Si nos falta tiempo, esta es la forma más rápida de hacerlo, es el mismo proceso pero ganamos tiempo al no escribir los conjuntos D(i); para ver el proceso más detallado, seguir las indicaciones anteriores.
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