RMCS Nr. 12 by OVIDIU BADESCU

Colectivul de redacţie:

A ELEVILOR ŞI PROFESORILOR

tri n

REVISTA DE MATEMATICĂ

o. ro

Societatea de Ştiinţe matematice din România Filiala Caraş-Severin

DIN JUDEŢUL CARAŞ-SEVERIN

w .n

Nr.12, An I-2005

Comitetul Filialei S.S.M.R. a judeţului nostru mulţumeşte domnului primar al oraşului Oţelu-Roşu, Iancu Simion-Simi, pentru sprijinul acordat la apariţia acestui număr al revistei.

Editura „Neutrino” Reşiţa, 2005

Dragomir Lucian Bădescu Ovidiu Stăniloiu Nicolae Şandru Marius Moatăr Lavinia Pistrilă Ion Dumitru Bălan Gheorghe Gâdea Vasilica Didraga Iacob Golopenţa Marius

Un decalog al elevului

1 ) Cea mai costisitoare dintre risipe este pierderea de timp .

tri n

2 ) Cel care nu vrea când poate , nu va mai putea când va voi . 3 ) Să căutăm să gândim mult , nu neapărat să ştim mult . 4 ) Nu eşti bun de nimic , dacă nu eşti bun decât pentru tine . 5 ) Când ai de făcut 10 paşi , al 9 – lea este la jumătatea drumului . 6 ) Înţeleptul începe cu sfârşitul , nebunul sfârşeşte cu începutul . 7 ) Un om nu este mai mult decât altul , dacă nu munceşte mai mult decât el . 8 ) Nu este deajuns să citeşti tot , trebuie să digeri ceea ce citeşti . 9 ) Toată lumea se plânge de memorie şi nimeni nu se plânge de judecata pe care o are . 10 ) Întrebările la care trebuie să răspunzi cel mai sincer sunt cele pe care ţi le pui singur .

w .n

● Un decalog al elevului (şi nu numai ) ………………...pag.4 ● Note , articole ■ Introducerea noţiunii de vector ( Ion Dumitru Pistrilă , Oraviţa ) ……….…. pag.5 ■ Un opţional la nivelul disciplinei ( Adriana Dragomir , Oţelu-Roşu ) ……... pag.14 ■ Asupra unei probleme de concurs ( Nicolae Stăniloiu , Bocşa ) ……………. pag.16 ■ Asupra unor caracterizări ale triunghiului isoscel (Ana Cristina Muntean, Mihai Neamţu, Timişoara)…. pag.17 ■ Aventuri cu o problemă ( Lucian Dragomir , Oţelu-Roşu ) ……..…pag.21 ● Din activitatea S.S.M.R (informaţii , membrii filialei Caraş-Severin ) ……………………………………...….pag.27 ● Olimpiada Naţională de Matematică 2005 ■ Subiecte etapa pe şcoală , Reşiţa…………….. pag.34 ■ Subiecte etapa locală 29.01. Caraş-Severin….pag.36 ■ Premianţii etapei judeţene : 5.03.2005………..pag.43 ■ O nouă primăvară , o nouă olimpiadă naţională ……………………………………………………..pag.46 ■ De ultimă oră ……………………………..pag.49 ● Concursul revistei ( regulament ) ……………………pag.50 ● Probleme propuse …………………………………....pag.51

o. ro

CUPRINS

PROBLEME DE DIDACTICA MATEMATICII

w .n

tri n

INTRODUCEREA NOŢIUNII DE VECTOR 1. PROBLEME DE PRINCIPIU În cadrul activităţilor organizate de învăţare, motivaţia noilor cunoştinţe constituie o necesitate. În funcţie de consistenţa acestei etape atenţia cursanţilor este atrasă de necunoscutul care tocmai se prezintă sau, din contră, este abătută spre alte direcţii, aparent mult mai adecvate confortului interior imediat. Odată captată atenţia, managerul actului didactic este obligat, profesional şi moral, să creeze canale de comunicare prin care mesajele didactice să fie preluate, întâi cu mare precizie şi pe urmă cu un minim de efort. Posibilitatea instalării unui asemenea climat este exprimabilă prin 3 coordonate: a) Preocuparea profesorului pentru pregătirea ştiinţifică şi didactică a lecţiilor în mod cotidian; b) Interesul profesorului pentru perfecţionarea propriului limbaj şi metalimbaj; c) Nivelul de pregătire al receptorului (în speţă al elevilor). Să observăm că, deşi am presupus elevul şi profesorul ca participanţi activi ai actului didactic, profesorul deţine două treimi, adică pachetul majoritar al acţiunilor (putem considera că fiecare lecţie constituie o investiţie). Aşadar, mai devreme sau mai târziu, privirile admirative sau afirmative vor fi aţintite asupra profesorului, alimentate de succesele sau insuccesele partenerilor lui de „afaceri didactice”. Cu aceasta, tocmai am terminat de enumerat premisele care au condus la dezvoltarea prezentei teme. Atunci când concepem proiectul sau schiţa unei lecţii, consider că este util să avem în vedere următoarele: 1) Noţiunile noi să fie introduse cu ajutorul cunoştinţelor prevăzute în programa şcolară;

2) Respectarea rigorii matematice induce elevilor atât gustul pentru adevăr cât şi preocuparea pentru motivarea propriilor gesturi, decizii, activităţi, etc.; 3) Să nu uităm că ne aflăm în faţa elevilor pentru a convinge, nu pentru a ne etala propriile cunoştinţe; 4) Printre obiectivele specifice ale lecţiei să se afle şi acela ca lecţia să fie însuşită şi de elevii care nu sunt superior dotaţi. 2. MOTIVAREA TEMEI Pentru a fi utilizate, mărimile din viaţa practică trebuie măsurate. Din acest punct de vedere există 2 tipuri de mărimi: a) Mărimi scalare sau scalari Sunt mărimile caracterizate prin numărul ce reprezintă măsura lor: aria, lungimea, masa, temperatura, rezistenţa unui conductor etc. b) Mărimi vectoriale Sunt mărimile care pentru a fi caracterizate, pe lângă măsura lor, mai sunt necesare şi alte elemente şi anume: direcţia, sensul şi uneori punctul de aplicaţie. Exemple în acest sens sunt: viteza şi acceleraţia, translaţia, forţele aplicate asupra unui punct etc. Elementul cu ajutorul căruia se exprimă mărimile vectoriale se numeşte vector. Rezultatele obţinute în domeniul operaţiilor cu vectori se aplică cu succes în fizică, mecanică, matematică, descrierea fenomenelor sociale etc. Înţelegem atunci că este necesar să cunoaştem în detaliu noţiunea de vector şi rezultatele aferente. 3. NOŢIUNILE DE DIRECŢIE ŞI SENS 1. Direcţie Din punct de vedere didactic, trebuie spus că putem privi termenul „direcţie” atât ca noţiune cât şi ca element descriptiv al unor termeni: dreaptă, segment, forţă, etc. [Def. 1] Se numeşte direcţie o familie de drepte paralele. Fiecare dreaptă din această familie se numeşte reprezentant al familiei din care face parte. [Def. 2] Se numeşte direcţia unei drepte, mulţimea formată din dreapta dată şi toate dreptele paralele cu ea.

o. ro

NOTE. ARTICOLE

lungimea este egală cu zero iar mijlocul este identic cu capetele segmentului. 2. Relaţii între segmente a) Egalitatea

o. ro

[Def. 3] Spunem că dreptele d1 şi d2 au aceeaşi direcţie dacă d1 = d2 sau d1 ║ d2. 2. Sens Obs.1. Pe fiecare dreaptă d există doar două sensuri de parcurgere şi anume: dacă A,B∈d, un sens este de la A la B iar celălalt sens este de la B la A. Cele 2 sensuri se numesc opuse.

[AB] = [CD] ⇔ ((A = C şi B = D) sau (A = D şi B = C)) Consecinţe 1) [AB] = [BA] 2) [AB] = [CD] ⇒ AB = CD. Reciproca nu este adevărată. b) Congruenţa

Sensul de la A la B

Sensul de la B la A d

Obs. 2. Sensurile unei direcţii ⇔ sensurile unei drepte a direcţiei respective. d

[Def. 4] Dreaptă orientată ⇔ o dreaptă d împreună cu o alegere a unui sens de parcurs. d

w .n

[Def. 5] Direcţie orientată ⇔ direcţia pe care s-a fixat acelaşi sens de parcurs pe toate dreptele pe care le conţine 4. SEGMENTE 1. Chestiuni de definiţie Perechea (A, B) de puncte distincte din plan, determină o dreaptă unică d notată AB şi un segment unic notat [AB] sau (AB). [Def. 6] Mulţimea {A, B, M ∈ d / M situat între A şi

[AB] ≡ [CD] ⇔ AB = CD Notă: Relaţia de congruenţă are proprietăţile: 1. [AB] ≡ [AB] (REFLEXIVITATE) 2. [AB] ≡ [CD] ⇒ [CD] ≡ [AB] (SIMETRIE) 3. ([AB] ≡ [CD] şi [CD] ≡ [EF]) ⇒[AB] ≡[EF] (TRANZITIVITATE) 5. SEGMENTE ORIENTATE 1. Chestiuni de definiţie [Def 7] 1. Prin sensurile segmentului [AB] înţelegem sensurile dreptei suport AB; 2.Spunem că [AB] este segment orientat (sau pe segmentul [AB] s-a determinat o orientare) dacă s-a precizat un sens de parcurs al segmentului:de la A la B sau de la B la A 3. Segmentul [AB] cu sensul de parcurs de la A la B se numeşte segment orientat cu originea A şi extremitatea B şi se

tri n

B} = segmentul închis AB = [AB]. Obs. 3. În legătură cu segmentul [AB] distingem următoarele: a) Capetele segmentului, care sunt punctele A şi B b) Dreapta suport a segmentului, care este dreapta AB c) Direcţia segmentului, care este direcţia dreptei AB d) Lungimea sau norma segmentului, care este distanţa dintre punctele A şi B şi se notează AB sau AB . d

→

notează AB Obs. 4. 1) Segmentului [AB] îi corespund 2 segmente →

→

orientate: AB şi BA ; 2. Segmentului [AA] îi corespunde un singur segment orientat →

AA numit segmentul orientat nul. Sensul segmentului orientat nul este nedeterminat. [Def. 8] Dreapta suport, direcţia, lungimea şi mijlocul →

Notă: Dacă A=B, [AA] = segment nul; în acest caz capetele coincid, dreapta suport şi direcţia sunt nedeterminate,

segmentului orientat AB , prin definiţie, sunt identice cu ale segmentului [AB].

→

Demonstraţia este imediată având în vedere definiţiile precedente

o. ro

[Def. 9] Două segmente orientate au aceeaşi direcţie dacă dreptele lor suport sunt identice sau paralele Obs. 5. Exprimarea „segmente orientate cu acelaşi sens" se referă numai la segmente orientate care au aceeaşi direcţie. Există cazurile:

6. VECTORI LIBERI

[Def. 11] Se numeşte vector liber, mulţimea tuturor segmentelor orientate echipolente cu un segment orientat dat. Fiecare segment orientat al mulţimii se numeşte reprezentant al vectorului. tuturor A[Def. 12] Mulţimea B C segmentelor D orientate

→

I) AB şi CD au aceeaşi dreaptă suport d. Spunem că AB şi →

→

II) AB ⊂ d1, CD ⊂ d2 şi d1 ║ d2. Spunem că AB şi CD nenule au acelaşi sens dacă extremităţile lor se află în acelaşi semiplan determinat de dreapta care uneşte originile segmentelor.

tri n

CD nenule au acelaşi sens dacă sensurile de parcurs determinate pe dreapta suport comună coincid.

echipolente cu segmentul

→

AB se numeşte vector liber →

→

determinat de segmentul orientat AB şi se notează V = AB . →

Spunem că segmentul orientat AB este un reprezentant al →

vectorului V [Def. 13] Direcţia, sensul şi lungimea segmentelor orientate ce formează vectorul reprezintă, prin definiţie, direcţia, sensul şi lungimea (modulul) acestuia. Remarcă

2. Relaţii între segmentele orientate a) Egalitatea →

→

AB = CD ⇔ (A = C şi B = D) →

→

w .n →

→

[Def. 10] 1) Segmentele orientate nenule AB şi CD se numesc echipolente dacă au aceeaşi direcţie, acelaşi sens şi →

aceeaşi lungime. Scriem AB ∼ CD . 2) Oricare 2 segmente orientate nule sunt echipolente [Propoziţie] Relaţia de echipolenţă are proprietăţile: →

→

1) AB ∼ AB (REFLEXIVITATE) →

→

2) AB ∼ CD ⇒ CD ∼ AB (SIMETRIE) →

→

∼ CD 3) ( AB (TRANZITIVITATE).

→

şi

→

∼ EF )

→

reprezentant al vectorului V .

Consecinţă: AB = BA ⇔ AB este segmentul nul b) Echipolenţa

→

1) Orice segment orientat CD , cu CD ∼ AB , este un

→

⇒ AB ∼ EF

→

Deci putem scrie V = CD (egalitatea trebuie înţeleasă, doar ca notaţie, în sensul că notăm vectorul cu ajutorul unui reprezentant al acestuia); →

2) Orice segment orientat AB defineşte un singur →

→

vector liber V . Acelaşi vector liber V poate fi însă definit de →

orice segment orientat echipolent cu AB . 3) Intuitiv, vectorul liber poate fi gândit ca un segment orientat care migrează în plan păstrându-şi direcţia şi sensul. 4) Atunci când lucrăm cu vectori, lucrăm de fapt cu segmentele orientate care sunt reprezentanţii vectorilor respectivi. 10

Notă: Vectorul nul este coliniar cu orice alt vector

→

vector unitate sau unitate.

[Propoziţie fundamentală] Fie planul P şi V mulţimea →

→

notează – V . [Argument 2] Pe mulţimea segmentelor orientate există doar noţiunea de segmente orientate de sens opus (nu de segmente orientate opuse). În continuare vom vedea că nici nu este posibil să discutăm, în sensul structurilor algebrice, despre opusul unui segment orientat. [Def. 17] vectorul liber de lungime zero, iar direcţia şi sensul sunt nedeterminate se numeşte vector nul sau zero. →

Acesta se notează cu 0 şi are reprezentant orice JJJG segment orientat AA unde A∈ P. 11

→

∈ P a. î. MN = V , adică în fiecare punct al planului există exact un reprezentant al unui vector liber fixat.

w .n →

au sensuri opuse se numesc vectori opuşi. Opusul lui V se

→

(∀) M ∈ P şi (∀) V ∈ V, (∃!) N

vectorilor liberi din P.

→

Demonstraţie: Fie AB un reprezentant al vectorului

→

V . Existenţa şi unicitatea segmentului orientat MN , cu →

→

MN ∼ AB , este asigurată de Axioma paralelelor şi Axioma de →

→

construcţie a unui segment. Deci MN = V . →

[Argument 3] Fie P mulţimea segmentelor orientate din planul P. Aşa cum scăderea numerelor naturale este parţial

aceeaşi direcţie, acelaşi sens şi acelaşi modul. Scriem V1 = V2 . [Argument 1] 1) Doi vectori sunt egali dacă reprezintă unul şi acelaşi vector. 2) Egalitatea vectorilor este posibilă chiar dacă sunt reprezentaţi prin segmente orientate care nu sunt egale (vezi SEGMENTE ORIENTATE 2). [Def. 15] Vectorii liberi care au aceeaşi direcţie se numesc coliniari Notă: Vectorii coliniari pot fi reprezentaţi pe aceeaşi dreaptă. [Def. 16] Doi vectori coliniari cu aceeaşi lungime care

[Def. 18] un vector de lungime 1 se numeşte versor sau

tri n

→

[Def. 14] vectorii V1 ,V2 se numesc egali dacă au

o. ro

Analizând remarca precedentă se observă că vectorul se reprezintă de fapt printr-un segment orientat. Deci s-ar părea că este suficientă percepţia vectorului doar ca segment orientat şi nu neapărat ca mulţime în sensul lui [Def. 11]. În cele ce urmează voi arăta că vectorul împrumută doar „garderoba” segmentului orientat. În rest posibilităţile de expresie (de redare a realităţii) ale vectorului sunt mult mai dezvoltate decât ale segmentului orientat. Sublinierile ce vin să susţină în continuare afirmaţiile precedente sunt marcate cu termenul „Argument i”.

→

definită pe mulţimea N, la fel pe mulţimea P considerăm adunarea segmentelor orientate parţial definită, în 2 moduri astfel: →

→

1) (∀) ( AB, BC )∈ P X P , AB + BC = AC ∈ P , numită regula triunghiului; →

→

2) (∀) ( AB, AC )∈ P X P , AB + AC = AM ∈ P , unde M este simetricul lui A faţă de mijlocul lui [BC], numită regula paralelogramului. Se observă că 1) este definită numai pentru perechile la C

care extremităţile primului segment orientat coincide cu originea celui de al doilea iar 2) este definită numai pentru segmentele orientate cu aceeaşi origine. 12

De asemenea, operaţia 1) nu este comutativă şi nici nu are element neutru (efectul lui 0 pe adunarea numerelor reale) →

→

o. ro

→

Curs opţional , disciplina : Matematică , an şcolar 2004 / 2005

→

căci: AA + AB = AB şi AB + BB = AB . Adunarea vectorilor se poate defini însă pe mulţimea V a vectorilor liberi, după ambele reguli, având aceleaşi proprietăţi cu adunarea numerelor reale: comutativitate,

Denumirea opţionalului : Aspecte aplicative ale teoriei numerelor Tipul : Opţional la nivelul disciplinei , Clasa a V a Durata : 1 an , număr de ore : 1 / săptămână Autorul : Dragomir Adriana , profesor , Grup Şcolar Industrial Oţelu – Roşu

→

asociativitate, vectorul 0 este element neutru şi fiecare vector →

→

– V ∈ V cu proprietatea V + (–

→

* Argumente pentru alegerea opţionalului : ~ Elevii prezintă receptivitate pentru ceea ce este practic , nou , stârneşte curiozitate ~ Părinţii doresc aprofundarea noţiunilor matematice , înţelegerea de către elevi a aplicabilităţii lor ~ Nevoia obiectivă de a oferi elevilor apropierea de viaţa cotidiană mai uşor , folosind modele matematice ~ Modul captivant de desfăşurare a unor lecţii cu o astfel de tematică • Obiective de referinţă :

w .n

V ) = (– V ) + V = 0 . [Argument 4] Vectorul constituie o veritabilă posibilitate de descriere complexă a fenomenelor din viaţa practică (inclusiv acţiunea forţelor din mecanică, fizică, etc.) 7. REFLECŢII FINALE 1) Densitatea de informaţie din cadrul temei este foarte mare; 2) Consider că asimilarea temei este posibilă pe parcursul a 2-3 ore; 3) Noţiunile de relaţie de echivalenţă, clase de echivalenţă şi mulţime cât sunt prevăzute abia în programa clasei a XII-a. Înţelegerea ideii de vector ca o clasă de echivalenţă constituie o problemă de maturitate a gândirii. Categoric este concis şi elegant să privim mulţimea vectorilor liberi ca mulţime cât relativă la relaţia de echipolenţă. Numai că, din punctul de vedere didactic, este necesar ca şi din bănci să se vadă acelaşi lucru. Prof. Ion Pistrilă

tri n

→

V ∈ V admite un opus notat

Liceul „General Dragalina”, Oraviţa

La sfârşitul clasei a V a elevii vor fi capabili să :

1 )Să cunoască şi să înţeleagă conceptele şi terminologia privind calculul numeric; 2 ) Să aplice proprietăţile operaţiilor cu numere naturale şi întregi în situaţii non – standard ; 3 ) Să rezolve probleme practice utilizând reguli de divizibilitate ; 4 ) Să determine media la un obiect de studiu ; 5 ) Să analizeze logica unor metode de rezolvare ; 6 ) Să compare şi să ordoneze fracţii 7 ) Să cunoască principiul lui Dirichlet şi să îl aplice în rezolvarea unor probleme 8 ) Să cunoască şi să aplice principiul includerii şi al excluderii; 9 ) Să cunoască elemente de geometrie plană şi spaţială pentru estimări de arii , volume , capacităţi ; 7 ) Cultivarea perseverenţei , răbdării , efortului susţinut în “lupta” cu o problemă .

* Activităţi de învăţare :

o. ro

Asupra unei probleme de concurs.

1 ) Exerciţii de formare şi aprofundare a noţiunilor expuse , exerciţii de calcul ; 2 ) Abordări de situaţii problemă şi modelarea lor matematică ; 3 ) Observarea unor situaţii practice şi descrierea lor , încercând prezentarea în limbaj mathematic ; 4 ) Jocuri didactice , problematizare .

1 ) Calcul numeric ( estimări , aproximări , înmulţiri rapide) 2 ) Divizibilitate . Clasificări ale numerelor ( pare – impare, prime – compuse ) , relaţia de divizibilitate 3 ) Criterii de divizibilitate 3 ) Numere prime , numere prime gemene , numere compuse 4 ) Divizori , multipli

4 ore 4 ore 2 ore 2 ore 2 ore 2 ore

w .n

5 ) Divizibilitate în ℤ 6 ) Mulţimi ( principii de abordare şi rezolvare ) 4 ore 7 ) Fracţii ( comparări , fracţii echivalente ) 4 ore 8 ) Elemente de geometrie plană şi în spaţiu 2 ore 9 ) Probleme diverse 4 ore 10 ) Evaluări , discutarea testelor 5 ore * Modalităţi de evaluare - Teste de evaluare - Lucrări în grup , urmate de autoevaluare - Discuţii permanente , chestionări orale continue * Bibliografie : 1. Dăncilă , Ioan - Divizibilitatea numerelor , Ed. Sigma , Bucureşti , 2001 2. Năstăsescu , Constantin , etc . – Manual pentru clasa a X a , EDP , Bucureşti , 1978 3. Sierpinski , W – Ce ştim şce nu ştim despre numerele prime ? – Ed ştiinţifică , 1966 4. Andreescu Titu , Andrica Dorin – O introducere în studiul ecuaţiilor diofantiene , Ed.Gil 2002 5. Colecţia Gazetei Matematice 1980 – 2004 6. Colecţia Revistei de Matematică din Timişoara 1996 – 2004

tri n

* Conţinuturi :

La concursul interjudeţean „Gheorghe Lazar” Sibiu din 2004 apare la cls. VII-a sub semnatura Doamnei profesoare Manuela Prajea următoarea problemă: „Să se determine patrulaterele de perimetru minim înscrise într-un pătrat dat. (Un patrulater P este înscris întrun alt patrulater Q, dacă fiecare vârf al patrulaterului P se află pe câte o latură a patrulaterului Q, fiecare latură a patrulaterului Q conţine câte un vârf al patrulaterului P)” Soluţia prezentată probabil de autor sau să-i zicem „soluţia din a+b concurs” se bazează pe inegalitatea a 2 + b 2 ≥ . Vom 2 prezenta în continuare o soluţie strict geometrică a acestei probleme bazată pe construirea unei linii frânte de aceeaşi lungime cu perimetrul patrulaterului P şi care are ca extremităţi două puncte fixe. Figura 1

M P

C X

Cu notaţiile din figura 1, am considerat patrulaterul MNPQ înscris în pătratul ABCD, am prelungit latura [CD] cu un segment [DX]≡[CD], latura [CB] cu un segment [BY]≡[CB] şi apoi prin Y am construit YZ ⊥ BY , [YZ]≡[BY]. Am considerat E ∈ [ DX ] astfel ca [DE]≡[DN], F ∈ [ BY ] astfel ca [BF]≡[BP] şi G ∈ [YZ ] astfel ca [YG]≡[NC]. Se constată cu uşurinţă că [EM]≡[MN], [QF]≡[QP], [FG]≡[NP] şi deci linia frântă EMQFG are aceeaşi lungime cu perimetrul 16

Stăniloiu Nicolae, profesor Bocşa

Asupra unor caracterizări ale triunghiului isoscel

o. ro

Metoda 2 . Folosim teorema medianei şi avem rapid : BD = CE ⇔ 2(BC2 + AB2 ) − AC2 2(BC2 + AC2 ) − AB2 BD2 = = = CE2 4 4 ⇔ AB=AC . ● Problema 2 . Un triunghi este isoscel dacă şi numai dacă are două înălţimi congruente . Metoda 1 . Dacă ABC este isoscel , atunci ΔBCD ≡ ΔCBE , de unde BD = CE . Reciproc , din BD = CE , avem :

DC = BC 2 − BD 2 = BC 2 − CE 2 = BE , adică ΔBDC ≡ ΔCEB şi astfel ∠BCD ≡ ∠CBE , adică ABC este isoscel . ● Metoda 2 . Aria triunghiului ABC se poate scrie : AB ⋅ CE AC ⋅ BD = , de unde : CE = BD ⇔ AB = AC . ● 2 2 Problema 3 . ( Steiner – Lehmus ) Un triunghi este isoscel dacă şi numai dacă are două bisectoare interioare egale Metoda 1 . Necesitatea e din nou imediată ; ne ocupăm de suficienţă : construim paralelogramul BDFE şi presupunem , prin reducere la absurd , că a > b ( urmăriţi notaţiile din figură , e vorba de măsuri de unghiuri ) . Cum a + s = b + t , deducem s<t Totodată , din triunghiurile BDC şi CEB avem : a > b ⇔ DC > BE , iar în Δ DCF : s < t ⇔ DC < DF = BE , contradicţie , aşadar presupunerea făcută e falsă , deci a = b (mai trebuie considerat cazul a < b ? ) ● Metoda 2 . Folosim acum notaţiile uzuale : AC = b , BC = a , 18

Prof. Ana Cristina Muntean Prof. Mihai Neamţu

AB=AC

tri n

patrulaterului MNPQ. Deoarece [GZ]≡[ED] înseamnă că o translaţie a liniei frânte EMQFG care face ca punctul E să ajungă în D, va face ca punctul G să ajungă în Z, puncte care sunt fixe. Deducem că linia frântă are lungime minimă dacă punctele : E, M, Q, F, G sunt coliniare. Întrucât segmentul [EG] face un unghi de 450 cu dreapta CD iar FG || NP deducem ca MQ şi NP sunt paralele cu diagonala BD şi dearece [ DM ] ≡ [ DE ] ≡ [ DN ] şi [QB] ≡ [ BF ] ≡ [ BP] va rezulta că laturile QP şi MN sunt paralele cu diagonala AC. Observaţie: Se poate considera un dreptunghi în loc de pătrat urmând un raţionament asemănător.

w .n

Ne vom ocupa în cele ce urmează de proprietăţi cunoscute , dar care credem că pot fi utile elevilor ( şi poate nu numai lor ) în forma prezentată aici . Problema 1 . Un triunghi este isoscel dacă şi numai dacă are două mediane congruente. Metoda 1 . Dacă ABC este triunghi isoscel cu AB = AC avem : ( 1 ) Bˆ ≡ Cˆ , ( 2 ) BE AB , ( 3 ) BC = CB , deci = CD = 2 ΔEBC ≡ ΔDCB , de unde:BD = CE

2 2 BD= CE = CG , 3 3 adică BGC este un triunghi isoscel în care GF este mediană ,

Reciproc , dacă BD = CE , avem : BG =

înălţime,etc. deci AF este la fel în triunghiul ABC⇒ 17

Avem astfel ecuaţiile dreptelor BD: y = ( x – u ) tg α , BA : y = ( x – u ) tg 2 α , CE : y = ( x – v ) ( - tg β ) , CA : y = ( x – v ) ( - tg 2 β )

]

w .n

]

[

o. ro

Deoarece 0 < α + β < 0< β <α +β <

, 0<α <α +β < din

(

)

deducem

cos α = cos β ⇔ α = β .● Metoda 5 . Dacă BD = CE , construim ΔECH astfel încât ΔBDA ≡ ΔECH , aşadar ∠EHC ≡ ∠EAC şi astfel ECHA este patrulater inscriptibil cu ∠ECA ≡ ∠EHA şi ∠CEH ≡ ∠CAH . Fie [ AF bisectoarea lui ∠BAC şi [ GH bisectoarea lui ∠EHC ; avem astfel : ΔGCH ≡ ΔFDA , de unde AF = HG . Avem acum că : ∠EFA = ∠FAC + ∠FCA şi ∠CHE ∠FHA = ∠GHE + ∠EHA = + ∠ECA = ∠BAC + ∠BCA 2 Din ∠EFA + ∠GHA deducem că FGHA este patrulater inscriptibil ; cum AF = HG obţinem FG // AH şi în final ∠ECA ≡ ∠CAH , de unde ∠ABC ≡ ∠ACB . ● Metoda 6 ( pusă la dispoziţie de prof. Lucian Dragomir , Oţelu-Roşu , sursa iniţială fiind , se pare , o soluţie dintr-o veche Gazetă Matematică şi bazată pe idei de mecanică ) Evident BD + CE = BC + CD + CB + BE = CD + BE şi astfel rezultanta ( ! ) vectorilor BD şi CD (care trece prin punctul comun I ) coincide cu rezultanta vectorilor CD şi BE ; la aceasta din urmă se ajunge “ mutând “ vectorii în cauză cu originea în A şi ajungem că este , ca dreaptă , bisectoarea unghiului A ( trece prin A şi prin I ) . Deducem că paralelogramul ( să-i zicem AB ' A ' D ' ) construit prin “mutarea “anterioară are diagonala AA ' bisectoare , adică este romb.

Se obţine apoi BD ∩ CA = { D } , CE ∩ BA = { E } şi se calculează BD , respectiv CE . Relaţia BD 2 = CE 2 va conduce la : 4(cosα − cosβ) cos2 (α + β) + cosα cosβ (cosα + cosβ) ⋅ (1) cosα cosβ − cos2 (α + β) = 0 Cum 1 > cos α > cos(α + β ) > 0 şi 1 > cosβ > cos(α + β ) > 0 , deducem : cos α ⋅ cos β > cos 2 (α + β ) (2) Din ( 1 ) şi ( 2 ) ajungem la : cos α − cos β = 0 şi deci α =β.● Metoda 4 .Folosind notaţiile anterioare , avem : 2ac 2ab BD = cos α = cos β = CE ⇒ a+c a+b 1 1 cos α = cos β . ( 3 ) a a 1+ 1+ c b Aplicând teorema sinusurilor în ΔABC ajungem la : a b c = = ;(4) .Din ( 3 ) şi (4) sin(2α + 2β ) sin 2α sin 2β

obţinem : (cos α − cos β )[cos 2 (α + β ) + cos α cos β ] = 0 ( 5 ) .

tri n

2 acp( p − b) a+b+c CA = b , p = şi şi BD = a+c 2 2 abp ( p − c) . Calcule imediate conduc la : CE = a+b BD = CE ⇔ (c − b)[a 2 (a + b + c) + 3abc + bc(b + c)] = 0 ⇔ b = c Metoda 3 . Soluţia analitică este în acest caz una laborioasă . Notăm cu α , β măsurile unghiurilor DBC , respectiv ECB .

Aventuri cu o problemă

o. ro

concluzionăm că O ∈ EF sau O , E , F sunt coliniare. ■ Începând cu ziua a doua ( adică ajungând în clasa a VII a) , se poate pune în evidenţă următoarea : P 2 : Într-un trapez , mijloacele laturilor paralele , intersecţia diagonalelor şi punctul de intersecţie a laturilor neparalele sunt patru puncte coliniare. Soluţie : Se poate demonstra , pentru început , o proprietate la fel de importantă prin ea însăşi ( vom păstra notaţiile apropiate de cele iniţiale ) şi pe care o vom numi Lemă ( o mică teoremă adică ) : Dacă în triunghiul ABG avem D∈(AG), C ∈ ( BG ) astfel încât DC // AB , iar F este mijlocul lui ( CD ), atunci GF conţine mijlocul lui (AB) . Soluţie:

Într-adevăr , notăm GF∩AB ={E} şi, cu teorema fundamentală a asemănării în triunghiul AEG , respective în BEG , avem :

w .n

În cele ce urmează veţi afla ce se poate întâmpla când pleci la drum , chiar şi cu o problemă . Emoţii mari , soare şi ploaie, dar priveliştile ce îţi sunt oferite sunt pline de culoare , simţurile îţi sunt invadate de arome tari şi toate aduc satisfacţii călătorului . La plecare , o prima încercare ,de încălzire ( cu destulă uşurinţă , chiar şi elevii de clasa a VI a îi pot da de capăt ) ; aşadar , o problemă de început ( o proprietate de altfel binecunoscută , busola noastră în cele ce urmează ) P 1 : Într-un trapez , mijloacele laturilor paralele şi intersecţia diagonalelor sunt trei puncte coliniare. Soluţie : Urmărind “ harta “ de mai jos observăm : Eˆ1 ≡ Fˆ1 ( alterne interne) şi Aˆ ≡ Cˆ ( la fel ) .

Deoarece A şi D sunt de aceeaşi parte a dreptei EF ,

tri n

Aşadar : CD = BE , de unde ΔBCD ≡ ΔCBE , concluzia fiind acum imediată . ● Bibliografie : ( 1 ) Benditto John Harmonic Analsis and Applications , CRC Press , Boca Raton , 1997 ( 2 ) Froda Alexandru – Eroare şi paradox în matematică , Ed. Enciclopedică Română , Bucureşti , 1971 ( 3 ) Huschitt Maria şi colectiv – Culegere de probleme de , geometrie sintetică şi proiectivă ,Ed. Didactică şi pedagogică , Bucureşti , 1971 . Şcoala Generală nr. 11 , Timişoara Colegiul Naţional C.D.Loga , Timişoara

Deducem imediat : ∠EOA ≡ ∠FOC şi ∠EOB ≡ ∠DOF ;

cum însă ∠AOD ≡ ∠BOC ( opuse la vârf ) , în jurul punctului O avem : 2m(∠EOA) + 2m(∠AOD) + 2m(∠DOF ) = 360 0 , de unde : m(∠EOA) + m(∠AOD) + m(∠DOF ) = 180 0 . 21

GD DF GC FC = şi (2) = . Teorema lui Thales în GA AE GB EB triunghiul GAB conduce la : GD GC (3) = . Din ( 1 ) , ( 2 ) şi ( 3 ) ajungem imediat la DA GB AE = EB , adică E este mijlocul lui ( AB ) . ■ Să vedem acum ce este cu problema P 2 . Conform lemei anterioare avem că G , F , E sunt coliniare ( urmăreşte desenul de mai jos ) : (1)

Notăm { O } = AC ∩ BD şi construim paralela prin O la AB ; aceasta intersectează ( AD ) şi ( BC ) în M , respectiv N . Din asemănarea triunghiurilor DMO şi DAB avem :

tri n

o. ro

Păstrând notaţiile celor de clasa a VII-a , avem imediat : k k GA şi GC = GB , de unde GD= k +1 k +1 1 k k GF = ⋅ (GA + GB) = GE , adică G , F şi E sunt 2 k +1 k +1 coliniare DO DC CO k Pe de altă parte , = = = , de unde : OB AB AO k + 1 k GD + GB (k + 1)GD + k GB k k k + 1 GO = = = GA + GB k 2k + 1 2k + 1 2k + 1 1+ k +1 2k + 1 ⇒ GE = GO , adică şi G , E , O sunt coliniare . ■ 2k Prezentând problema , cu toate “ aventurile “ întâmpinate , elevilor de clasa a IX a ajunşi într-a X a , mă întreabă ( deci au reţinut-o ! ) dacă nu comportă o soluţie cu numere complexe . Bineânţeles că le-am lăsat bucuria ( evident , nu pentru toţi ) de a căuta şi a încerca singuri ; iată ce-am primit : Notăm cu litere mici afixele punctelor care intervin , adică A ( a ) , B ( b ) , … , G ( g ) . Cum d + k ⋅a g + k ⋅b GD GC = k, = k , ajungem la : d = şi c = ; DA CB 1+ k 1+ k d +c a+b ,e = de asemenea : f = . 2 2 Un calcul efectiv simplu conduce acum la : f −g o−g ∈ ℝ şi ∈ ℝ , de unde:F ∈ GE şi O ∈ GE . ■ e−g e−g O soluţie mai elaborată ( în ceea ce priveşte calculele ) este una analitică , încercată de câţiva elevi de clasa a XI a :

w .n

MO DM ON CN = , iar ΔCON ~ ΔCAB ⇒ = ; cum însă AB DA AB CB DM CN ajungem la MO = ON. Prietenul la nevoie se = DA CB cunoaşte şi astfel lema noastră ne ajută în ΔGMN : G , F , O sunt coliniare ; ne amintim că G , F , E sunt coliniare şi astfel obţinem coliniaritatea celor patru puncte. ■ Din dorinţa de a descoperi noi tărâmuri , câţiva elevi de clasa a VII a au explorat şi iată unde au ajuns : GD GC GD GC k Notăm = =k⇒ = = ; avem DA CB GA GB k + 1 EA GB OC k +1 k acum : ⋅ ⋅ = 1⋅ ⋅ = 1 ( ! ) , de unde , cu EB GC OA k k +1 reciproca teoremei lui Menelaus pentru ΔABC şi transversala E – G – O avem că E , G şi O sunt coliniare. Totodată : GD OA FC k k +1 ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅1 = 1 conduce la ( vezi GA OC FD k + 1 k triunghiul DAC ) coliniaritatea punctelor G , F şi O . ■ Aceeaşi grupă de elevi ( când erau în clasa a VII a ) au propus şi următoarea soluţie : Notăm cu E , respectiv F intersecţiile dreptei GO cu ( AB ) , respectiv ( DC ) . Folosind teorema lui Ceva avem : CB DG EA 1 EA ⋅ ⋅ = 1 ⇒ ⋅k ⋅ = 1 ⇒ EA = EB .Cum însă, din k EB CG DA EB FC FO DF = = ΔFOC ~ ΔEOA şi ΔFOD ~ ΔEOB , avem AE OE EB , vom obţine şi FC = FD . În concluzie , E şi F sunt mijloacele laturilor ( DC ) , respectiv ( AB ) .■

Călătoria ne căleşte , ne incită în continuare , ne maturizează : am ajuns în clasa a IX a - noi începuturi , noi provocări . Vectori ? 1 1 Evident , GF = (GD + GC ) şi GE = (GA + GB) . 2 2 23

Drum bun !

Lucian Dragomir, Ioana Ghergulescu Grup Şcolar Industrial Oţelu – Roşu ,

w .n

coliniare . Analog se ajunge la coliniaritatea punctelor G , F , E . ( încercaţi ! ) ■ Trebuie să mai adaug aici şi soluţia oferită ( asta nu înseamnă neapărat descoperită , ca nici una din celelalte anterioare de fapt ) de Cristina Kadar , fostă elevă olimpică , rămasă mereu aproape de sufletul nostru : AB Notăm = r . Omotetia h ( G , r ) transformă (DF) DC în (AE) , iar omotetia h ( O , r ) transformă ( DF ) în ( EB ) , aşadarAE = EB . Pe o cale asemănătoare ajungem ( … ) la DF = FC . Detaliile şi concluzia vă aparţin . ■ Ce ziceţi acum de o nouă încercare , care stă de fapt la originea căutărilor noastre de azi ?

tri n

AB , iar originea este mijlocul E al lui ( AB ) ⇒ A ( - a , 0 ) , c+d B ( a , 0 ) , cu a > 0 , C ( c , e ) , D ( d , e ) ⇒ F ( ,0) . 2 x y 1 Ecuaţia dreptei AC este , de exemplu , − a 0 1 = 0 , c e 1 adică ( c + a ) y – ex – ae = 0 , apoi BD : ( d – a ) y – ex + ae = 0 . Rezolvăm imediat sistemul format din aceste două ecuaţii 2ae ⎞ ⎛ ac + ad şi obţinem AC ∩ BD ={O} , adică O ⎜ , ⎟. ⎝ c − d + 2a c − d + 2a ⎠ 0 0 1 Se verifică rapid că xO y O 1 = 0 , adică E , O , F sunt xF yF 1

Mica noastră călătorie se încheie aici , nu fără a arunca peste bord o sticlă cu un scurt mesaj : 1 ) cred că la orice clasă e bine să fie prezentate soluţii ce ţin de nivelul claselor precedente , chiar dacă ni se pare că nu avem timp suficient pentru a face alte lucruri mai savante ; e de preferat ca elevul să aibă la dispoziţie variante , să-şi reâmprospăteze modalităţile de abordare , să-şi aleagă în final ce-i place mai mult , ce simte mai bine , ce e mai apropiat de sufletul său ; 2 ) dacă avem elevi pasionaţi de căutare , să-i lăsăm să încerce , să descopere singuri frumuseţile matematicii – satisfacţiile vor fi duble ; dacă avem elevi ambiţioşi sau măcar interesaţi de labirintul matematicii , să- i călăuzim spre pasiune … 3 ) faceţi la fel cu alte probleme , găsiţi mai multe soluţii , daţi-ne de veste , veniţi pe insula asta plină de privelişti nebănuit de frumoase …

o. ro

Alegem reperul xOy astfel încât axa Ox este dreapta

P 3: Se consideră triunghiul ABC şi punctele D∈(AC),

E ∈ ( BC ) , F ∈ ( DC ) , { M } = AE ∩ BD , { N } = AE ∩

BF , { P } = MF ∩ DE , { Q } = BF ∩ DE şi { R } = MF ∩ BC , presupunând că dreptele MF şi BC nu sunt paralele . Dacă EF // BD , arătaţi că dreptele AP , CQ şi RN sunt concurente . ( prof. Adrian Ghioca ) 25

tri n

w .n

În data de 5 februarie 2005 a avut loc Conferinţa Naţională extraordinară a Societăţii care a aprobat organizarea filialelor S.S.M.R în conformitate cu O.G. 26 / 2000 , modificată şi completată prin O.G. 37 / 2003 , precum şi aprobarea înscrierii acestora în Registrul persoanelor juridice de pe lângă judecătoriile de care aparţin . De asemenea , au fost discutate şi aprobate unele modificări ale statutului societăţii ; îndată ce le vom primi în varianta tipărită le veţi cunoaşte cu toţii . Subliniem acum câteva din acţiunile reuşite în 2004 precum şi activităţi propuse pentru 2005 : 1 ) Din anul 2004 , SSMR este oficial membră a Societăţii Europene de matematică , fiind astfel asociată cu alte asociaţii de profil din Europa ; 2 ) În anul 2004 , România a avut în premieră o Prezentare Naţională la ICME-10 ( cea mai prestigioasă şi mai de anvergură serie de conferinţe în domeniul didacticii matematice ) , Copenhaga , 4 – 11 iulie 2004; pentru a vă face o idee despre amploarea unui astfel de eveniment , putem aminti doar că au fost înscrişi în program peste 2100 de participanţi din 102 ţări ( S.U.A. – 349 participanţi , Marea Britanie – 130 , Rusia – 97 , Germania – 80 , … , România – 10 participanţi ) . Delegaţia României a făcut o amplă prezentare a evoluţiei învăţământului matematic românesc în secolul XX ( programe , concursuri şi olimpiade , învăţămant superior , etc. ) 3 ) În anul 2005 se vor publica numerele 1 – 4 ale revistei Bulletin Mathematique , ale revistei Gazeta Matematică , seria A , numerele 1 – 12 ale Gazetei Matematice , seria B , volumul Romanian Mathematical Competitions 2005 şi două volume în colecţia “ Biblioteca S.S.M.R “ , unul dintre ele fiind “ Combinatorică şi teoria grafurilor “ ( Dragoş Popescu ) 4 ) În colaborare cu Filiala Argeş a S.S.M.R se va organiza în luna august 2005 Concursul Anual al rezolvitorilor Gazetei

Matematice ( pentru participare , vezi G.M. ) ; 5 ) Se vor face demersuri mult mai serioase pe lângă Ministerul Educaţiei şi Cercetării pentru ca propunerile noastre ( ale S.S.M.R ) să fie incluse în Regulamentul Olimpiadei Naţionale de Matematică ( număr de elevi participanţi la etapa finală , modalitatea de premiere a câştigătorilor – din nou după modelul O.I.M , adică premiul I pentru aproximativ 1/6 din participanţi , II până la limita de 1/3 , premiul III pentru ceilalţi până la limita de ½ din numărul participanţilor , astfel încât jumătate deci să fie medaliaţi , aşa cum e şi normal ) 6 ) Se vor organiza din nou , în perioada iulie – august 2005 cursurile de vară pentru perfecţionare metodică a profesorilor ( probabil la Buşteni ) , accesul fiind permis doar membrilor SSMR ; 7 ) Se va redacta până in mai 2005 un regulament de acordare a unor diplome de excelenţă pentru munca depusă de profesori cu elevii dotaţi ; în urma rezultatelor obţinute , filialele vor face propuneri de premiere ; 8 ) În luna septembrie 2005 , la Constanţa , se vor desfăşura activităţile Şcolii de Algebră ; 9 ) În perioada 16 – 18 septembrie 2005 se va organiza simpozionul aniversar “ 110 ani de apariţie neântreruptă a Gazetei Matematice “ ; 10 ) Se vor actualiza informaţiile prezentate pe site-ul Societăţii ; 11 ) Chiar dacă se referă la anul 2006 , trebuie să amintim de şcoala de vară din Cipru ( 27 mai – 4 iunie ) : Şcoala de vară pentru profesorii de matematică interesaţi de pregătirea elevilor talentaţi ; toate cheltuielile de participare sunt suportate de Oficiul Naţional SOCRATES . Pentru a fi admişi la aceste cursuri , cei interesaţi trebuie să fie buni cunoscători ai limbii engleze şi să parcurgă câteva etape ; pentru detalii : www.matheu.org. În ceea ce priveşte strict filiala noastră, vă invităm încă o dată să participaţi cât mai active măcar la reeditarea prezentei Revistede Matematică a elevilor şi

o. ro

Din activitatea Societăţii de ştiinţe matematice din România

o. ro

(prof. Ionel Tudor , Giurgiu ) , “ Demonstraţie şi algoritmi “ (prof. dr. Constantin Niculescu , Craiova ) , “ Numărul automorfismelor cu un număr dat de puncte fixe în grupuri finite ciclice sau diedrale “ ( lect.drd.Mihai Chiş , Timişoara ) . Lucian Dragomir Preşedinte Filiala Caraş – Severin a SSMR

Membrii Filialei Caraş – Severin a S.S.M.R.

tri n

care au plătit cotizaţia până în 5 februarie 2005 şi au fost înscrişi astfel la sediul central al Societăţii cu ocazia Conferinţei naţionale din 5.02.2005

Zona Anina 1. Cleşiu Marian 2. Ichim Dumitru 3. Lungulescu Petre 4. Neagoe Nicoleta

w .n

profesorilor din Caraş – Severin cu probleme propuse originale , note , articole , observaţii , proiecte , teme predate la centrele de excelenţă ( sinteze , probleme ) etc. . Ca proaspăt eveniment aflat pe agenda de manifestări trebuie să amintim de Conferinţa anuală naţională a S.S.M.R , organizată de curând la Lugoj ( 6 – 7 mai 2005 ) , la Colegiul “ Coriolan Brediceanu “ , gazdă deosebit de ospitalieră din nou ( să ne amintim că aici s-au desfăşurat şi două ediţii ale concursului “ Traian Lalescu “ ) ; excelenta coordonare a comitetului de coordonare de către directorul acestui liceu , prof.dr.ing. Francisc Boldea , a făcut ca această conferinţă să fie o deplină reuşită . Lucrările s-au desfăşurat sub formă de conferinţe în plen , conferinţe şi comunicări pe secţiuni ( Analiză Matematică , Algebră , Geometrie, Matematici Aplicate şi Didactică Matematică ) ; în paralel , gazdele au dat startul unui concurs judeţean ( deocamdată ) dedicat memoriei unui strălucit profesor al şcolii : Gheorghe Popescu . Împreună cu prof. Iacob Didraga de la Liceul Traian Doda din Caransebeş am participat astfel la această reuniune ştiinţifică cu mare plăcere şi folos ; pentru a avea o idee despre ce s-a discutat o să facem o mică selecţie : “ De la geometriile neeuclidiene la Picasso , Stravinski , Ionescu sau despre drumul spre libertate al gândirii creatoare din ştiinţele şi artele europene ale sec.XIX şi XX “ ( o excepţională conferinţă susţinută de prof.dr. Dan Papuc ) , “ O olimpiadă internaţională din Europa centrală , martie 2005 “ ( prof. Ioan Crişan , Arad ) , “ Congruenţe modulo n în gimnaziu şi liceu “ ( prof.Cătălin Giugiuc , Drobeta Tr. Severin ) , “ O demonstraţie a teoremei lui Ptolemeu “ ( prof. Maria Miheţ , Timişoara ) , “ Premii de 1 milion de dolari pentru probleme de matematică “ ( prof. dr. Adrian Albu , Timişoara ) , “ O surprinzătoare teoremă cu o şi mai surprinzătoare demonstraţie “ ( lect.drd. Gheorghe Eckstein , Timişoara ) , “ Asupra tringhiurilor isoscele “ ( Prof. Ana Cristina Muntean , prof. Mihai Neamţu , Timişoara ) , “ O clasă de ecuaţiide grad superior rezolvabile prin radicali cu formule de tip Cardan “ 29

5. 6. 7. 8.

Neagoe Petrişor Pruteanu Silvia Ruva Gheorghe Seracin Dumitru

Zona Bocşa

19. Mustaţă Maria 20. Miloş Maria 21. Peter Eva Maria 22. Staicu Lenuţa 23. Seracin Ioan 24. Stăniloiu Manuela 25. Stăniloiu Nicolae 26. Todor Veronica 27. Todor Ioan 28. Zsibriczki Ecaterina

9. Almăjan Cătălin 10. Boriuc Veturia 11. Cioloş Aurelia 12. Cocorăl Radu 13. Costa Veronica 14. Iatan Rodica 15. Lucaci Marinela 16. Lupulescu Daniela 17. Lungu Aurel 18. Miholcea Dan

Zona Moldova-Nouă

33. Filip Camelia 34. Gîdea Vasilica 35. Iovanovici Cristina 36. Huza Vasile

29. Albeanu Vasile 30. Cristescu Fănică 31. Damian Lăcrimioara 32. Dărac Cornelia 30

37. Mateescu Milena 38. Ocanovici Zoran 39. Popa Ionică Cristinel 40. Radosavlevici Marioara 41. Schiha Emilia

42. Stoicovici Mirela 43. Teodosiu Elena 44. Truichici Emilia 45. Mihart Nicolae 46. Vladu Sânefta

87. Buzescu Antoanela 88. Dragotă Ana 89. Isac Simion 90. Franţ Dana 91. Corîci Carina 92. Corîci Sebastian 93. Stăvăroiu Eugen 94. Ciocan Florin 95. Tămaş Maria 96. Muntean Maria 97. Popescu Constanţa

Zona Oţelu – Roşu

74. Kotorman Livia 75. Popa Amalia 76. Cecon Iulia 77. Florea Viorel – Rusca Montană

o. ro

w .n

70. Dragomir ParaschivaAdriana 71. Dragomir Lucian 72. Boldea Felicia 73. Feil Heidi Zona Caransebeş

Zona Reşiţa

59. Ogrin Ovidiu 60. Paul Sorin 61. Pîrvu Camelia 62. Pistrilă Ion 63. Pop Alexandru 64. Pricoiu Carmen 65. Simion Gheorghe 66. Stancu Miu 67. Ţicu Maria 68. Stancu Florin 69. Vornicu Eleonora

tri n

Zona Oraviţa

47. Bădoi Marian 48. Bobic Florin 49. Curea Nicolae 50. Drăghicescu Tomiţă 51. Iacob Ionel 52. Imbri Mirela 53. Lazarov Mihai 54. Lazarov Aurica 55. Manole Mariane 56. Miloş Laura 57. Mîşcoi Geta 58. Iancu Mariana

82. Hogea Gheorghe 83. Grindeanu Dan Nicolae 84. Guran Nela Cosmina 85. Moatăr Lavinia 86. Bogdea Florin

78. Suşoi Paul 79. Didraga Iacob 80. Dragomir DeliaMaria 81. Dragomir IoanAdrian

98. Miuţă-Bocicariu Janet 99. Didraga Elena 100. Mirulescu Mariţa 101. Humiţa Dorina 102. Hurduzeu Diana 103. Semenescu Mihaela 104. Ciucă Sorin 105. Semenescu Emil Adrian

106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116. 117. 118. 119. 120. 121. 122. 123. 124. 125. 126.

127. 128. 129. 130. 131. 132. 133. 134. 135. 136. 137. 138. 139. 140. 141. 142. 143. 144. 145. 146.

Deaconu Tudor Bălan Gheorghe Iucu Mircea Coandă Camelia Şandru Marius Avramescu Irina Chiş Vasile Buzilă Claudia Birciu Simona Mara Adriana Dicu Lenuţa Goşa Anca Socol Maria Drăghici Mariana Ciulu Daniela Panduru Lia Iocşa Lucia Beţa Maria Marişescu Mihai Răduca Rodica Puia Elisaveta

Bihoi Geta Manzur Maria Belci Ion Macovei Daniela Roşu Lia Stanciu Maria Ghimboaşă Pavel Buzilă Mircea Bădescu Ovidiu Andraş Nicolae Unţanu Genoveva Simulescu Susana Gherghe Elena Bejan Otilia Călin Ciprian Dobriţan Alina Avram Matei Surugiu Gabriela Ţunea Ana Mateia Monica .

Rîncu Pavel ( Dalboşeţ ) Găină Nicolae ( Şopotu – Vechi ) Berbentea Dănilă ( Bozovici ) Pascariu Ion ( Bozovici ) Borchescu Marius ( Prigor ) Bololoi Maria ( Bozovici ) Găină Iosif ( Bozovici ) Pascariu George ( Bozovici )

Clasa a V-a

1. Fie numerele:

[

4 1 - ⎛⎜13 + 22 ⎞⎟ şi ⎝ ⎠ 2005 4 4 . b=81 • 11 − 33 + 1 . Calculaţi (a − b )

Zona Băile Herculane

Preşedinte , Prof. Dragomir Lucian

RUGAM PE ORICINE DORESTE SA INTRE IN POSESIA ACESTEI REVISTE DE ACUM INCOLO SA FACA O PRECOMANDA FERMA LA RESPONSABILUL DE ZONA SAU DIRECT LA PROF. DRAGOMIR ( NUMAR EXACT DE EXEMPLARE ; ACOLO UNDE FACETI COMANDA DE ACOLO VETI PRIMI REVISTA ) ACEEASI PROCEDURA SI CU RMT ( REVISTA DE LA TIMISOARA ) ; PENTRU NR. 13 COMENZILE SE FAC ( INTR-UN SINGUR LOC DECI) PANA IN DATA DE 18 OCTOMBRIE 2005

1 2005

2005

2. Fie mulţimile: A= {x ∈ N : x = 3n − 1, n ∈ N , n < 4 } B= {y ∈ N ∗ : y = 3m − 1, m ∈ N ∗ , m ≤ 3

}

Calculaţi: A ∪ B; A ∩ B; A ∪ φ. 3. Calculaţi restul împărţirii numărului 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅10 +39 prin 35. 4. Arătaţi că numărul a= 2 76 +277 + 278 + ... + 2102 nu poate fi pătrat perfect. Subiecte selectate de prof.Bihoi Georgeta

Golopenţa Marius ( Băile Herculane ) Bolbotină Constantin ( Băile – Herculane ) Haracicu Maria ( Băile – Herculane ) Vasile Mihaiela ( Mehadia ) Ienea Maria ( Mehadia ) Lalescu Tiberiu ( Mehadia ) Popescu Adrian ( Mehadia ) Boşcotă Călina ( Domaşnea ) Tătucu Anton ( Iablaniţa ) Horescu Ion ( Topleţ ) Roman Simion ( Topleţ )

w .n

155. 156. 157. 158. 159. 160. 161. 162. 163. 164. 165.

]

a= (23 ) − 20050 : 3 2

tri n

147. 148. 149. 150. 151. 152. 153. 154.

OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA PE ŞCOALĂ – 22.01.2005 ŞCOALA CU CLASELE I -VIII NR.2 REŞIŢA

o. ro

Zona Bozovici

Clasa a VI-a 1. Aflaţi cel mai mic număr natural nenul care, împărţit la 4,5 şi 7, dă acelaşi rest nenul şi este multiplu al lui 13. 2. Determinaţi numărul natural n care verifică egalitatea: 1 1 1 1 44 + + + ... + = 1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 n ⋅ ( n + 1) 45 3. Fie A,B,C puncte coliniare astfel încât AB=3cm,AC=7cm,iar M şi N mijloacele segmentelor [AB] , respectiv [AC ] . Determinaţi lungimea segmentului [MN ] . 4.Fie unghiul ascuţit AOB. În semiplanul determinat de OA care nu conţine pe [OB se duc semidreptele

3. Se dau punctele necoplanare A,B,C,D. Fie M,N,P,Q puncte în planul ( ABC ) astfel încât M mijlocul lui ( AC ), N mijlocul lui (MB ) , P mijlocul lui (NC ) , Q mijlocul lui (BP ). Să se demonstreze că A,N,Q,D sunt coplanare şi că MP este paralelă cu planul lor. 4. Fie trapezul ABCD cu AD BC şi m(∠A) = 900 , iar

bisectoarea unghiului

o. ro

[OX ⊥ [OA , [OY ⊥ [OB şi [OE XOB.

13 m(∠AOB ) să se calculeze 8 m(∠AOB ) şi m(∠XOB ) . b) Arătaţi că dacă [OY este bisectoarea ∠XOE , atunci [OA este bisectoarea ∠BOE . Subiecte selectate de prof. Drăghici Mariana Clasa a VII-a 1. Determinaţi numerele naturale n astfel încât să avem: 3 1 ⎛ 1⎞ n n +1 -2 4 +(− 1) + ⎜ − ⎟ • (− 1) = −17 8 ⎝ 2⎠ 2. Arătaţi că: 1 1 2003 1 1 1 + 2 + 2 + ... + + < . 2 2 2 2002 2004 2004 2 4 6 3. Să se demonstreze că simetricele centrului O al paralelogramului ABCD faţă de vârfurile acestuia, sunt vârfurile unui paralelogram care are perimetrul de două ori mai mare decât perimetrul lui ABCD. 4. În exteriorul rombului ABCD cu m(∠A) = 600 se construiesc pătratul BCEF şi dreptunghiul ABNM având AM=2 AB. Să se arate că punctele N,F şi E sunt coliniare. Subiecte selectate de prof.Şandru Marius a) Dacă m (∠XOE ) =

tri n

SA ⊥ ( ABC ) cu AB=5cm şi SA=5 3 cm. a) Calculaţi distanţa de la S la dreapta BC. b) Arătaţi că dreapta (SBC ) ∩ (SAD ) este paralelă cu planul ( ABC ) . Subiecte selectate de prof. Ciulu Loreta

w .n

Notă: Toate subiectele au fost obligatorii. Timp de lucru 2 ore.

Clasa a VIII-a x( x + 7 ) 5 8 x + 24 − − 1. Fie E (x ) = 2 x + 4 x − 5 x + 5 ( x + 5) x 2 + 2 x − 3 a) Aduceţi E ( x ) la forma cea mai simplă. b) Determinaţi valorile întregi pe care le poate lua x, astfel încât E ( x ) să fie număr întreg.

(

)

1 1 1 1 2. Arătaţi că 1 + 2 + = 1+ − , ∀n ∈ N ∗ . 2 n n n + 1 (n + 1)

coordonator prof. Marius Şandru Tehnoredactare prof. Drăghici Mariana

MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEŢULUI CARAŞ-SEVERIN OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ 2004 – 2005 29.01.2005 Notă: - toate subiectele sunt obligatorii; - timp de lucru: trei ore; - fiecare problemă se notează cu puncte întregi de la 1 la 10. Clasa a V – a 1. Calculaţi ( x − y ) 2005 pentru: 40

x = (33 ⋅ 20 + 49 ⋅ 2 2 − 7) : (3 2 ) 3 + (12 + 4 3 ) şi y = 2 5 + 7 5 − 14 5 + 5 36

3. Dacă numărul abc este scris în baza 10, să se arate că

o. ro

(abc ) numărul

În câte moduri se poate plăti suma de 200500lei, având la dispoziţie monede de 500 lei, 1000lei şi 5000lei. Prof. Pleşa Romulus, Prof. Pleşa Viorica, Oradea

2005

3. Să se arate că numărul A = aa ...a 6 este divizibil cu 6,

2004 ori

4. Mihai are acum de 6 ori vîrsta pe care o avea el cînd era George de vârsta pe care o are Mihai acum. Ce vârste au cei doi acum dacă atunci când Mihai va avea vârsta de acum a lui George, suma vârstelor lor va fi 81 ani ?

Clasa a VI – a

w .n

1. Să se scrie numarul 5 2005 ca o sumă de 5 numere naturale consecutive. *** 2. Dându-se unghiul ascuţit AOB, se duce [OC ⊥ [OA, de aceeaşi parte cu [OB faţa de [OA şi [OD ⊥ [OB de aceeaşi parte cu [OA fata de [OB. Fie [OM bisectoarea unghiului AOB şi [OQ o semidreapta interioara unghiului AOB, mai apropiată de semidreapta [OB. a) Să se arate ca unghiurile AOB şi COD sunt suplementare. b) Dacă raportul măsurilor unghiurilor QOB şi QOA 0, (142857) este egal cu , iar m(AOB)=52o, să se 0,1(6) determine m(QOM) Prof. Pleşa Romulus, Pleşa Viorica

Clasa a VII – a

1. Să

se determine 7 − 51 ∈Ζ (3a + 2) ⋅ 7 − 51

a∈Ζ

astfel

încât

Prof. Nicoară Florin, Oradea

tri n

numărul fiind scris în baza 10. Prof. Ghenghiu Radu, Oradea

este număr natural, dacă şi numai dacă 343 numărul 2a + 3b + c este divizibil cu 7. Prof. Ghenghiu Radu – Oradea ° ˆ 4. Se dă ΔABC cu A = 90 şi ΔABC ≡ ΔDBC , ∠ABC ≡ ∠ABM , ∠NBD ≡ ∠DBC , AM ⊥ MN , MN ⊥ BC cu AD ∩ BC = {O} . Să se demonstreze că O este mijlocul lui BC . Prof. Cuc Ioan, Oradea

*** 2. În patrulaterul ABCD se ia un punct M ∈ ( AB) astfel AM 1 = . Diagonalele patrulaterului sunt AC = 27cm şi încât MB 2 BD = 18cm . Fie MN || AC , N ∈ ( BC ) , MQ || BD , Q ∈ ( AD) şi NP || BD , P ∈ (CD ) . Să se arate că MNPQ este paralelogram şi să se calculeze perimetrul său. ***

x x + k x + 2k x + nk + 2 + 2 + ... + 2 = n +1, 2 y y + k y + 2k y + nk 2

3. Dacă

cu ∀ x, y ∈ Z şi k ∈ N , z ≠ 0 atunci xy − pătrat perfect.

Prof. Cuc Ioan, Oradea 4. Fie ABCD un paralelogram. Pe AB se ia un punct E , între A şi B , iar pe BC se ia alt punct F , intre B şi C . Ştiind că AC ∩ BD = {O}, OE ∩ CD = {G} OF ∩ AD = {H }, 38

AD ∩ FG = {M }, BC ∩ HE = {N } , să se arate că: a) patrulaterul HEFG este paralelogram b) punctele M , O, N sunt coliniare

o. ro

Clasa a IX – a 1. Să se arate că: 1⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎛ a) Dacă ⎜ x + ⎟ ∈ Z atunci ⎜ x n + n ⎟ ∈ Z x⎠ x ⎠ ⎝ ⎝

Clasa a VIII – a

(

)

2005

(

⎤ 14 − 8 3 + ⎥⋅ 2005 2 2006 ⎥⎦ 7−4 3

(

)

2005

***

w .n

3. Se consideră pătratul ABCD şi punctul S exterior planului său aşa încât SA=SB=SC=SD. Dacă AB=12 cm, AP ⊥ CS, P ∈ (SC) şi AP=SO, unde O este centrul pătratului, se cere: a) Măsura unghiului format de dreptele SC şi BD; b) Distanţa de la punctul A la planul (BPD); c) Distanţa de la punctul B la dreapta de intersecţie a planelor (BPD) şi (ADS). Prof. Florin Nicoară, Oradea

ab bc cd da , unde + + + a+b b+c c+d d +a a,b,c,d ∈ N*. Să se demonstreze că E ≤ 4, ştiind că numărul 200524 xy , scris în baza zece, este un pătrat perfect, iar x=a+b+c+d. Prof. Pleşa Romulus, Prof. Pleşa VIorica, Oradea

4. Fie expresia: E=

***

2. Se dă Δ ABC oarecare. Se duc: mediana AL corespunzătoare laturii BC; bisectoarea LE a unghiului ALC; bisectoarea LF a unghiului ALB; EF ∩ AL = {M}. Să se demonstreze că oricare ar fi punctul O din plan avem: 2 OM = OE + OF Prof. Cuc Ioan, Oradea * 3. Să se arate că oricare ar fi n ∈ N are loc inegalitatea:

2. Se dă trapezul ABCD cu AABCD =384u , AB>CD. În punctul A se ridică AL ⊥ ABCD şi AL=16 3 u. Să se afle ∠ (LMD, ABCD) unde M este mijlocul laturii BC şi DM=24u. Prof. Cuc Ioan, Oradea

(2 + 3 ) + (2 − 3 ) ∈ N

tri n

⎡ A= ⎢7+4 3 1. Fie ⎢⎣ Calculaţi A n .

23 2

33 3

+ ... +

n3 n

≥

3 3n 2 + 5n ⋅ 2 (n + 1)(n + 2 ) Prof. Cuc Ioan, Oradea

4. Calculaţi sumele: 1 1 1 a) S = (a + ) 2 + (a 2 + 2 ) 2 + ... + (a n + n ) 2 , a ∈ R * a a a 2 3 n b) S = q + 2q + 3q + ... + nq *** Clasa a X – a 1. Să se rezolve ecuaţia: 3 lg 2 ( x 2 ) − lg x − 1 = 0 ***

2. Să se rezolve ecuaţia: 8 x −1 + 8 x

−1

+ 8x

−1

+ ... + 8 x −1 = 8 x ⋅ x Prof. Augustin Drăgan, Oradea

4. Se consideră punctele A(−1,2,5) şi B (11,−16,10) din spaţiu şi B1 simetricul lui B faţă de planul xOy . a) Determinaţi coordonatele lui B1 . b) Scrieţi ecuaţiile dreptei AB1 . c) Determinaţi coordonatele punctului P ∈ xOy astfel încât suma distanţelor de la acest punct la punctele A şi B să fie minimă. *** Clasa a XII – a

o. ro

3. Fie x1 , x 2 ,..., x n un şirde numere reale nenule.

Im(1 +

2K ⋅ Z k ) = 0 atunci 1 − K ⋅ Z k + Z k2 z1 + z 2 + .. + z n ≤ n

Prof. Cuc Ioan, Oradea

Clasa a XI – a

1. Determinaţi: lim(1 + sin x + sin 2 x + ... + sin nx)

2. Dacă

x1 , x 2 , x3

1 x

sunt

rădăcinile

*** ecuaţiei

w .n

x 3 − 5 x 2 + 3x − 1 = 0 , calculaţi determinantul: x12 x 2 x3 Δ = x 2 x32 x1 x3 x1 x 22

***

2 3. Se dă şirul: a n = arctg 2 8n − 4 n − 1 n 2 a) Să se afle S n = ∑ arctg 2 8K − 4 K − 1 K =1 b) lim S n n →0

Prof. Cuc Ioan, Oradea

I n = ∫ x n eα x dx

a) Deduceţi o relaţie de recurenţă pentru calculul lui In b) Calculaţi integrala I n ***

2. Fie G mulţimea matricelor din M 3 (ℜ ) de forma:

x→0

tri n

Să se arate că acest şir este progresie aritmetică dacă şi numai dacă pentru orice n ∈ N * are loc relaţia: 1 1 1 n −1 + + ... + = x1 x 2 x 2 x3 x n −1 x n x1 x n *** 4. Fie Z k ∈ C \ R şi K ∈ {1,2,..., n} ,

⎛a b b⎞ ⎜ ⎟ M a ,b = ⎜ b a b ⎟ cu det M a ,b = 1. ⎜b b a⎟ ⎝ ⎠ a) Demonstraţi că G este parte stabilă a lui M 3 (ℜ ) în raport cu înmulţirea matricelor. b) Demonstraţi că G împreună cu operaţia de înmulţire a matricelor este grup comutativ. *** cos x −1 cos x + 3. Să se afle I = ∫ sin − sin ⋅ ln(e ⋅ sin x) dx x ∈ (0,π )

[

]

Prof. Cuc Ioan, Oradea

4. Fie (G,⋅) un grup şi a, b ∈ G care verifică relaţiile: a ⋅ b = b ⋅ a 2 , b ⋅ a = a ⋅ b 2 . Să se arate că a ⋅ b 3 = b ⋅ a 3 = e . *** 42

Mancoci Raul Mazilu Raluca Azap Bianca Zglimbea Diana Dimcea Cristian Prunar Victor

5 5 5 6 6

6 6 6

Cherloabă Edith Zanfir Cristian

Şcoala nr. 2 Reşiţa GrupŞcolar MoldovaNouă Grup Şcolar MoldovaNouă Şcoala nr.1 Bocşa Şcoala nr. 2 Reşiţa Şcoala nr. 2 Reşiţa Liceul Hercules Băile Herculane Liceul Pedagogic Caransebeş Liceul de Artă Reşiţa Liceul Traian Doda Caransebeş Liceul Pedagogic Caransebeş 43

Vlad Adina

Şandru Marius Gâdea Vasilica Gâdea Vasilica Costa Veronica Şandru Marius Şandru Marius Bolbotină Constantin

Premi u obţinu t I II III M1

Stăniloiu Ovidiu

Lupu Vlad

Megan Ligia

Hurduzeu Diana

M2 I

Mara Adriana Dragomir Delia Moatăr Lavinia

III

M1 M2 I

Şcoala nr. 8 Caransebeş

Munteanu Maria

Şcoala nr. 2 Bocşa

Todor Veronica

II III

Şcoala nr. 3 Boldea Oţelu-Roşu Felicia M1 Moatăr Liceul Lavinia M2 Pedagogic Caransebeş Şcoala nr. 1 Istudor Maria I Modova Nouă Grup Şcolar Dragomir Adriana II Oţelu Roşu Şcoala nr. 2 Şandru Reşiţa Marius III Şcoala nr. 2 Ogrin Oraviţa Ovidiu M1 Şcoala nr. 7 Buzilă Reşiţa Claudia M2 Liceu Liceul Traian Bădescu Lalescu Reşiţa Ovidiu Grup Şcolar Oţelu - Dragomir Roşu Lucian Grup Şcolar Murg Stana Moldova-Nouă Grup Şcolar Murg Stana Moldova-Nouă Liceul Traian Doda Dragomir Caransebeş Delia Liceul Traian Bădescu Lalescu Reşiţa Ovidiu

tri n

Uţă Robert

Pîrvu Cătălin

Unguraş Dragoş

Sandu Andrei Cătălin Ţepeneu Alexandru Cîrlugea Bogdan

Nemeş Adina

Profesor

w .n

Nume,prenu me

Gimnaziu Clasa Şcoala

Olariu Sebastian

o. ro

Premianţii etapei judeţene a Olimpiadei de Matematică – 2005

8 8

Popovici Doru

Istodor Cosmin

Sava Bogdan

Zserai Flavia Laura Iacob Alexandra Cucu Silviu

9 9 10

I II III M 1

M 2

Buna Elena

Paraschiv Andreea Chiş Andrei

10 11

Ştefancu Anca

Grup Şcolar Moldova-Nouă Liceul Traian Doda Caransebeş Liceul Traian Lalescu Reşiţa Liceul Traian Vuia Reşiţa Liceul Traian Lalescu Reşiţa Liceul Eftimie Murgu Bozovici Liceul Traian Lalescu Reşiţa

Mihart Nicolae Moatăr Lavinia Bădescu Ovidiu Buzilă Mircea Bădescu Ovidiu Găină Iosif

•

III

•

M 1

•

I II

• •

w .n

– – -

Credem că toţi aceşti copii deosebiţi merită felicitări ( şi nu numai) , profesorii lor ( sau cine i–a îndrumat ) merită şi ei măcar toată stima şi consideraţia noastră ( şi ,din păcate , mai mult noi nu putem , iar cine ar putea preferă să o facă în alte domenii …. ) . Rezultatele acestea nu sunt deloc întâmplătoare , ele sunt rodul unei munci susţinute de ani de zile , cu creioane tocite , cu zeci de caiete umplute , cu zeci de cărţi răsfoite , cu sudoare , cu nervi , cu bucurii , atunci când ceilalţi colegi ( elevi şi profesori ) fac şi altceva …. Citiţi toată revista !

11 Ghimboaşă Fărcăşescu Pavel III Roxana Marcela Radu Mihai 11 Grup Şcolar Oţelu - Dragomir M Ionuţ Roşu Lucian 1 Cristea 11 Liceul Eftimie Găină Iosif M Manuela Murgu Bozovici 2 Ghergulescu 12 Grup Şcolar Oţelu - Dragomir I Ioana Roşu Lucian Oprean 12 Grup Şcolar Oţelu - Dragomir II Cristina Roşu Lucian Basarabă 12 Liceul Traian Vuia Buzilă III Lavinia Reşiţa Mircea Popoviciu 12 Liceul Traian Vuia Buzilă M Mariana Reşiţa Mircea 1 Vonica 12 Liceul Traian Doda Hogea M Alexandra Caransebeş Gheorghe 2 Datorită rezultatelor excepţionale obţinute în anii precedenţi la etapa finală a concursului interjudeţean “ Traian Lalescu “ , eleva Milcu Roxana ( clasa a VII a , Caransebeş ) a completat lotul judeţului nostru la ediţia din acest an a prestigiosului concurs . Rezultatele obţinute de ai noştri , în acest an , la Arad : • Nemeş Adina ( clasa a V a , Reşiţa ) – menţiune 45

Milcu Roxana ( clasa a VII a , Caransebeş ) premiul III Olariu Sebastian ( clasa a VII a , Caransebeş ) menţiune Vlad Adina ( clasa a VII a , Caransebeş ) menţiune Popovici Doru ( clasa a IX a , Reşiţa ) premiul II Sava Bogdan ( clasa a IX a , Moldova Nouă ) menţiune Ghergulescu Ioana ( cl. a XIIa ,Oţelu – Roşu ) menţiune

o. ro

tri n

Măran Andrada Sferle Bogdan

O nouă primăvară , o nouă olimpiadă naţională

Simţim nevoia de a începe cu câteva gânduri despre ceea ce credem că ar trebui să însemne olimpiada de matematică . În primul – o mobilizare pe multiple planuri , efort , muncă susţinută , toate puţin cunoscute şi , mai mult , greu de crezut pentru mulţi alţi profesori ( din păcate şi de matematică ! ) . Am mai spus-o şi o repetăm , cu riscul de a ofensa pe foarte mulţi , nu oricine poate face asta ( vorbim aici şi despre elevi şi despre dascăli deopotrivă ; pentru cei din urmă poate fi vorba despre comoditate , de insuficiente motivaţii financiare sau sociale chiar , de multe altele … ) A 46

tri n

o. ro

judeţul nostru cazarea este la Grupul Şcolar “ Sfânta Maria “ – gazed foarte bune , ospitaliere , îndatoritoare , condiţii foarte bune , mâncare bună , atmosferă chiar plăcută . Luni – festivitatea de deschidere ,recunoaşterea sălilor de concurs , expoziţie de carte cu vânzare , intrăm încet în atmosfera de concurs . Linişte , odihnă , noapte scurtă . Marţi – ziua cea mare . Între orele 9 – 13 elevii se concentrează şi încearcă să dea tot ce e mai bun ; afară e un frig groaznic , bate vântul şi noi aşteptăm şi copii nu mai ies şi nu mai ies ; în sfârşit , primii elevi , vedem subiecte , bineânţeles că nu sunt uşoare , ba la unele clase sunt chiar dificile . Rând pe rând ies şi ai noştri , mici discuţii , unii înflăcăraţi , alţii nu prea au chef de destăinuiri în detaliu . Mergem la masă , apoi discuţii pe îndelete . Dacă e aşa cum spun ei , sper la vreo 4 – 5 premii , adică la anul lotul nostru ar fi format din 10-11 elevi ! Nu se poate , ar fi prea frumos ! Îi mai temperăm şi îi mai chestionăm o dată – se pare că lucrurile nu stau chiar aşa ; om trăi şi om vedea ( oricum , sperăm ) . Plimbări , discotecă , o binemeritată descătuşare deci ( după câte luni de privaţiuni ? ) … Miercuri – excursie , locuri încântătoare , istorie , poezie … gândurile noastre se îndreaptă însă , încet , încet , spre rezultate … nu mai avem răbdare … În sfărşit , se afişează : avem doar 2 premii ( Adina Vlad şi Doru Popovici , cei de care eram aproape siguri că vor fi printre învingători ) şi încă 3 elevi foarte aproape de linia care desparte agonia de extaz ( Ovidiu , Sebastian , Cătălin ) . Urmează nebunia contestaţiilor , în urma cărora nu prea credem să facem ceva , dar dacă elevul doreşte , hai să încercăm – discutăm din nou ce se poate cere , ce se poate spune , nu-i uşor nici asta . Se înserează , emoţii , nervi … rezultate : nimic . Aşteptăm afişarea rezultatelor finale , poate au mai “sărit “ alţii în faţă … Seara târziu aflăm : avem întradevăr 2 premii doar , foarte bune şi acelea , foarte bune şi rezultatele celorlaţi , ne felicităm tacit că în cadrul Comisiei judeţene am insistat să luăm 3 copii de a VII a ( toţi 3 au fost foarte aproape de podium ! se călesc în concursuri şi sunt în creştere , par a fi de perspectivă; ce era dacă ar fi fost şi

w .n

nu se înţelege din aceste rânduri că semnatarii lor sunt cei mai potriviţi din zonă să îndrume un elev pe complicatul drum al cărărilor spre performanţă … Oricum , doar faptul că în tot judeţul nostru există doar 33 de abonamente la Gazeta Matematică ( din care peste jumătate sunt ale elevilor ! ) spune ceva … Elevii ? Ce le oferă elevilor aceste concursuri ? – Antrenamente pentru examene şi concursuri de forţă , inducerea unui stil superior de abordare a acestora şi de fapt a oricăror situaţii problematice , câştiguri intelectuale pentru viitor – pe care nu le prea simt acum … vor mulţumi ( poate! ) profesorilor lor măcar odată , măcar în gând , pentru că i-au învăţat cum să înveţe , cum să gândească . ( Putem spune aici că poate nu cantitatea , ci calitatea informaţiilor este esenţială ) Revenim – ce le oferă elevilor aceste concursuri ? Pe lângă ce spuneam , dacă ar fi după noi , premianţilor noştri le-am oferi măcar cât sportivilor noştri de frunte ; de ce ? pentru că noi credem că , deşi efortul e poate comparabil (spunem asta ca să nu supărăm iar pe cineva ) , progresul umanităţii e efectul muncii intelectuale în primul rând . Cum însă nu e după noi , putem spune că din acest punct de vedere , câştigul va veni mai apoi , peste ani ( fiţi siguri de asta !); deocamdată , partea asta revine fiecărei şcoli , fiecărei comunităţi locale … Aşadar , fără multă muncă , dăruire , pasiune, sacrificii, credem că nu se poate răzbi în nici o viitoare profesie , iar cu toate acestea , nu spunem că veţi fi învingători mereu , dragii noştri elevi , dar sigur vă veţi găsi un loc sub soare , nu neapărat călduţ , destul de încins probabil , dar care vă va oferi plaja , nisipul , căutările fără de care viaţa nu-si are , poate , rostul …. Ajunge pentru azi aşa că să spunem puţin despre finala din acest an : Bistriţa , martie 2005 . Micul nostru lot a plecat la drum duminică , 27 martie , cu două autoturisme ; şoferi : profesorii care stau acum de vorbă cu voi toţi . Drum lung , obositor , ba plin de gropi , bal in şi dulce , apropiindu-ne de Coşbuc ,de Rebreanu , de matematica de nivel înalt . Pentru 47

o. ro

Concursul revistei

tri n

Filiala Caraş – Severin a Societăţii de ştiinţe matematice din România , în colaborare cu Inspectoratul Şcolar Judeţean , propune tuturor elevilor din clasele V – XII să resolve cat mai multe probleme din revista noastră şi să participle astfel la un nou concurs , sperăm atractiv , incitant , motivant . Prima ediţie a concursului nostru se va baza pe problemele propuse în următoarele trei numere ale revistei : nr. 12 (acest număr) , nr. 13 ( octombrie 2005 ) , nr. 14 (decembrie 2005) . Etapa 1 : a ) Rezolvaţi ( singuri ! ) cât mai multe probleme din revistă, de la clasa voastră, de la clasa precedentă, eventual de la orice clasă superioară(dacă sunteţi elev în clasa a IX-a, nu trimiteţi probleme de clasa a VI-a, nu vi se corectează) ; b ) Redactaţi îngrijit fiecare problemă pe cate o foaie separată ( enunţ + soluţie ) , completaţi talonul de concurs de pe ultima pagină(sau, doar pentru acest număr se acceptă şi o copie xerox a acestuia) şi trimiteţi totul întrun plic pe adresa redacţiei: Redacţia Revistei RMCS (prof. Bădescu Ovidiu) , str. Alexandru Ioan Cuza nr. 7 , Reşiţa , cu menţiunea : probleme rezolvate ; (remarcă : orice alt material propus revistei va fi trimis la aceeaşi adresă) . Pentru numerele următoare se acceptă doar talonul în original. Data limită (a poştei ) : pentru problemele din nr. 12 : 20 octombrie 2005, pentru nr. 13 : 1 decembrie 2005 , pentru nr. 14 : 15 ianuarie 2006 . După data limită de trimitere a soluţiilor , comitetul de redacţie ( care constituie şi nucleul comisiei de concurs ) se întruneşte şi corectează soluţiile primite ; în fiecare număr al revistei vor fi publicaţi rezolvatorii , cu punctajele obţinute . În jurul datei de 1 februarie 2006 se va întocmi clasamentul general ( prin însumarea punctelor obţinute ) , în urma căruia primii clasaţi vor fi convocaţi , împreună , pentru a participa la

w .n

Roxana Milcu oare ?) … Urmează zile de baraj pentru loturile olimpice ale ţării (la care noi încă nu avem acces – din cauza rezultatelor – dar poate vine şi vremea noastră … ) , relaxare , alţi bani pe cărţi , festivitatea de premiere , vrem acasă , am ajuns sâmbătă , luni începe şcoala , alţii s-au odihnit în timpul ăsta , asta e ! Ne vom reveni şi noi , vom începe , mai devreme sau mai târziu o nouă luptă. Succes tuturor , munciţi cu convingerea că puteţi ajunge şi voi , acolo , sus ! ( La anul probabil la Iaşi – şi nu numai ! … ) Nu putem încheia fără a aminti lotul judeţului nostru , format în întregime din copii excepţionali ( ca pregătire , ca şi comportament , etc . ) : • Vlad Adina - Caransebeş , clasa a VII a menţiune S.S.M • Olariu Sebastian – Caransebeş , clasa a VII a • Stăniloiu Ovidiu – Bocşa , clasa a VII a • Pîrvu Cătălin – Moldova Nouă , clasa a VIII a • Unguraş Dragoş – Oţelu-Roşu , clasa a VIII a • Popovici Doru – Reşiţa , clasa a IX a menţiune S.S.M. Premiul III • Cucu Silviu Gabriel – Reşiţa , clasa a X a • Chiş Andrei – Reşiţa , clasa a XI a Prof. Dragomir Lucian , Oţelu-Roşu Prof. Stăniloiu Nicolae , Bocşa

De ultimă oră Confirmând rezultatele foarte bune obţinute în ultima perioadă , elevii cei mai buni ai liceului C.D.Loga Caransebeş au participat , însoţiţi şi îndrumaţi de prof. Lavinia Moatăr , la concursul interjudeţean de matematică PITAGORA ( Rîmnicu - Vâlcea, 6 – 7 mai 2005 ) . Într-o companie selectă ( 15 judeţene reprezentate , deci aproape o semifinală naţională ) , elevele Milcu Roxana şi Vlad Adina au confirmat din nou , obţinând , la clasa a VII a , premiul II , respectiv o menţiune . Felicitări încă o dată ! 49

PROBLEME PROPUSE Clasa a V-a

o. ro

V 006 Comparaţi numerele : a = 353 şi b = 2 81 − 2 80 − 2 78 . Felicia Boldea , Oţelu – Roşu Clasa a VI-a

∧

VI 001 Se consideră triunghiul ABC cu m( A) > 90 o şi triunghiurile dreptunghice isoscele ABD şi ACE cu m ( BAD) = m(CAE ) = 90 0 . Arătaţi că dacă punctele D şi E nu aparţin interiorului unghiului ∠BAC , atunci BE ⊥ DC . Este adevărată proprietatea în cazul în care punctele D şi E aparţin interiorului unghiului ∠BAC ? American Mathemathical Monthly VI 002 Găsiţi toate numerele naturale x de două cifre astfel încât ultimele două cifre ale numărului x 2 să formeze tot numărul x . Kvant

V 001 Făcând observaţii meteorologice mai multe zile consecutive , s-a constatat că în nici una din zile nu a plouat şi dimineaţa şi după-amiaza. A plouat în total 9 zile şi n-a plouat în 7 dimineţi şi 6 după-amieze. Câte zile au durat observaţiile? În câte zile a plouat dimineaţa şi în câte zile după-amiaza ? American Mathematical Monthly

V 005 Determinaţi numerele naturale x , y pentru care avem : 6 y + 2 x + y ⋅ 3 y + 2 x = 17 ⋅ 37 − 1 . Manuela Prajea , Drobeta Turnu-Severin

tri n

Etapa 2 : un concurs live ( adică pe viu ) . În cadrul acestei etape finale , concurenţii vor primi spre rezolvare , pe loc deci , pentru descurajarea celor care nu ţin cont de sublinierea de la ( 1 a ) , 4 probleme : una din colecţia revistei RMCS şi poate una din colecţia Gazetei Matematice , anii 2000 – 2005 , restul : probleme “ proaspete “ . În afara diplomelor pe care le vor primi , învingătorii vor fi recompensaţi şi financiar din fondurile proprii ale filialei SSMR ( în plus , pregătim surprise ! ) . Spor la treabă şi succes ! ( Informaţii suplimentare se pot obţine la : prof. Bădescu Ovidiu , tel : 225544 sau prof. Dragomir Lucian , tel. : 530303 )

w .n

V 002 Într-o găleată avem 12 litri de lapte . Cum se poate împărţi această cantitate de lapte în două părţi egale folosind două vase de 5 şi 7 litri ? Kvant

V 003 Determinaţi numerele prime a , b , c , d care satisfac : 2 a + 3b + 2c + 6d = 56 Viorel Cornea , Hunedoara

Ştiind că a , b , n ∈ ℕ * , stabiliţi care număr este b + 5n a + 5 2507 sau B = . mai mare : A = b + 7n a + 7 2000 Gheorghe Molea , Curtea de Argeş

V 004

VI 003 . Toţi locuitorii unui oraş din Canada vorbesc fie franceza , fie engleza. Dacă 65% vorbesc franceza şi 56% engleza , câţi vorbesc ambele limbi ? Geo Ilian , Brad VI 004 Aflaţi măsurile unghiurilor ascuţite ∠AOB, ∠BOC, ∠COD , ştiind că sunt proporţionale cu 2 ,3, 4, iar suplementele complementelor lor sunt proporţionale cu 13, 15 , 17 . Gheorghe Crişan , Haţeg VI 005 În triunghiul ascuţitunghic ABC , D este piciorul înălţimii din A , iar [DE este bisectoarea unghiului ∠ADB , 52

A ={x , y , z } sunt numere întregi , atunci A ⊂ ℤ . Adriana Dragomir , Oţelu – Roşu

o. ro

VII 006 Să se demonstreze că : ( 1 − 0)( 2 − 1) ( 2 − 1)( 3 − 2) ( 3 − 2)( 4 − 3) + + + ... 2 3 −1 4− 2 +

Clasa a VII-a VII 001

a ) Mijlocul segmentului [ MN ] se află pe linia mijlocie a trapezului ; AB + CD b ) MN ≥ . 2 Dan Ştefan Marinescu , Hunedoara VII 005 Determinaţi numerele naturale a şi b care satisfac : a −1 b −1 + =1 . b a Lucian Dragomir , Oţelu-Roşu

tri n

E∈AB. Perpendiculara în D pe DE intersectează AB în F şi AC în G . a ) Aflaţi măsurile unghiurilor ∠BDF şi ∠CDF ; b ) Arătaţi că [DG este bisectoarea unghiului ∠ADC Maranda şi Dorin Linţ , Deva VI 006 Se consideră numerele întregi a , b , c şi se a + 2b + 3c 3a + b + 2c 2a + 3b + c . notează x = ,y= ,z = 2 2 2 a ) Determinaţi a , b , c în cazul în care sunt numere prime şi x = 9 ; b ) Arătaţi că dacă două dintre elementele mulţimii

Fie ABCD un trapez isoscel cu baza mică [AB] .

Arătaţi că dacă M ∈ AB , atunci : MA + MB < MD + MC . Dan Ştefan Marinescu , Hunedoara

w .n

VII 002 Aflaţi numărul maxim de puncte M din interiorul pătratului ABCD pentru care triunghiurile MAB , MBC , MCD şi MDA sunt isoscele. ( Triunghiul echilateral este isoscel ! ) Ioan Şerdean , Orăştie VII 003 a ) Dacă a , b ∈ ℕ sunt numere impare distincte şi *

VII 004

a este divizor al lui b , arătaţi că b ≥ 3a . b) Dacă a 1 , a 2 , … , a 8 sunt numere naturale impare mai mici decât 2187 astfel încât a 1 / a 2 , a 2 / a 3 , …, a 7 / a 8 , arătaţi că cel puţin două dintre cele opt numere sunt egale . Dan Ştefan Marinescu , Hunedoara Fie ABCD un trapez isoscel cu AB // CD şi

M∈(AD) , N ∈ (BC) astfel încât [ AM ] ≡ [ CN ].Arătaţi că : 53

( 2024 − 2023)( 2025 − 2024) 506 ≤ 11 + 2 2025 − 2023 prof . Zsibriczki Ecaterina , Bocşa.

Clasa a VIII-a

VIII 001 Dacă a , b , c sunt numere reale pozitive , arătaţi că : (a + b + c) 2 ≥ a bc + b ca + c ab . 3 Geo Ilian , Brad

VIII 002 Determinaţi funcţiile f , g : ℝ → ℝ care satisfac : a ) f ( x + 1 ) = 2x + 2f ( 2 ) – g ( 1 ) b ) g ( x – 2 ) = x + 3 g ( 1 ) – 9 f ( 2 ) , ∀x∈ℝ . Calculaţi suma S = f ( 1 ) + f ( 2 ) + … + f ( 2005 ) . Viorel Cornea , Hunedoara

VIII. 003 . Arătaţi că pentru orice număr natural a , numărul x = (a − 1) 2 ⋅ (a 2 + 1) + a 2 este pătratul unui număr natural impar. Maranda şi Dorin Linţ , Deva 54

IX 003 Fie M o mulţime de numere reale care satisface proprietăţile :

o. ro

VIII. 004 Rezolvaţi în numere naturale ecuaţia : x 2 + y 2 + z 2 = xy + yz + zx . Dragoş Constantinescu , Râmnicu-Vâlcea

1) 0∈M;

2 ) x ∈ M ⇒ ( sin 3x + cos 2x ) ∈ M ;

VIII. 005 Rezolvaţi în ℝ ecuaţia : ( x 2 + x + 1)( x 2 + 3 x + 3) = 2 x + 3 . Lucian Dragomir , Oţelu-Roşu

tri n

w .n

CLASA A IX-A

IX 001 Determinaţi numerele naturale n pentru care inegalitatea ( x + y + z) n ≤ 3 ⋅ ( x n + y n + z n ) este adevărată pentru orice x , y , z ∈ ℝ .

***

IX 002 Fie mulţimile A = { x ∈ ℝ / x 2 – 4x + a = 0 } ,

IX 004 Determinaţi numerele prime p pentru care ecuaţia x 2 − (2 p − 4) ⋅ x + p = 0 are rădăcinile întregi . ***

IX 005 Determinaţi numerele întregi a , b pentru care : 3 ⋅ (a 2 + b 2 ) = 2 ⋅ (a + ab + b) . Lucian Dragomir , Oţelu – Roşu

VIII. 006 Fie ABCDA’B’C’D’un cub iar P un punct interior. Dreptele AP,BP,CP,DP intersecteaza planul (A’B’C’) respectiv in A1 , B1 , C1 , D1 .Dreptele A’P,B’P,C’P,D’P DP intersecteaza planul (ABC) respectiv in A2 , B2 , C2 , D2 ..Aratati ca patrulaterele A1 B1C1 D1 si A2 B2C2 D2 .Daca notam cu l1 , l2 , s1 , s2 respectiv laturile si ariile lor ,cu v1 , v2 volumele piramidelor cu varful in P ce au ca baze aceste patrate , aratati s +s ca : S ≤ 1 2 unde S este aria bazei cubului 2 V v1 ⋅ v2 ≤ unde V este volumul cubului . 6 prof . Zsibriczki Ecaterina , Bocşa.

3 ) ( sin 2x + cos x ) ∈ M ⇒ x ∈ M . Arătaţi că : a ) M conţine cel puţin trei numere întregi ; b ) M conţine o infinitate de numere iraţionale . Lucian Dragomir , Oţelu – Roşu

B = { x ∈ ℝ / x – ax + b = 0 } . 2

Determinaţi perechile (a ,b) ∈ ℝ 2 ştiind că A∪B ={1,2,3} . Lucian Dragomir , Oţelu – Roşu 55

IX 006 Fie şirul (a n )n≥0 definit recursiv astfel: a 0 ∈ ℜ astfel încât dacă a 0 ∈ ℜ − Q , atunci a 02 ∉ Q − Z şi a n = a n2−1 + 1, (∀)n ≥ 1 . Arătaţi că:

1) Şirul conţine o infinitate de termeni iraţionali. 2) Există o infinitate de numere reale a0 astfel încât a 0 ∈ ℜ − Q şi a 02 ∈ Q − Z , iar şirul dat conţine o infinitate de termeni iraţionali. Ion Dumitru Pistrilă, Oraviţa

CLASA A X-A X 001 Rezolvaţi ecuaţia : 2 x + log 2 x = x 2 + log 2 ( x 2 + 1) . Lucian Dragomir , Oţelu – Roşu 56

X 002 Fie M un punct interior triunghiului ABC şi d a , d b , d c distanţele de la M la laturile triunghiului , iar t a , t b , t c distanţele de la M la varfurile triunghiului . Arătaţi că : A ∑ d a ≤ ∑ t a ⋅ sin 2 Nicolae Stăniloiu , Bocşa

o. ro

XI 003 Pentru o matrice A ∈ M 2 ( ℂ ) notăm X ( A ) = det ( A 2 + I 2 ) + det ( A 2 – I 2 ) . . Arătaţi că : a ) Dacă det A ≠ 0 , atunci X ( A ) > 2 ; b)Există o infinitate de matrice A pentru care X(A)=2. Lucian Dragomir , Oţelu – Roşu XI 004 Fie ABCD un pătrat circumscris unui cerc de rază 1 şi a , b , c , d distanţele de la un punct oarecare P la vârfurile pătratului ( PA = a , PB = b , PC = c , PD = d ) . Arătaţi că P se află pe cercul dat dacă şi numai dacă a 2 c 2 + b 2 d 2 = 10. Nicolae Soare , Bucureşti

X 004 Două cercuri se intersectează în punctele A şi B , iar o secantă care trece prin A intersectează cercurile în C şi D . Dacă M şi N sunt mijloacele arcelor BC şi BD care nu conţin punctul A , iar K este mijlocul lui ( CD ) , determinaţi măsura unghiului MKN . Concurs Iran

Arătaţi că dacă det (A + B ) = det A + det B, ∀ B ∈ H (A), atunci A 2 = O2 . Dorel Miheţ , Timişoara

tri n

X 003 Determinaţi a ∈ ℤ pentru care soluţiile ecuaţiei 3 x 3 − 3 x 2 + a = 0 sunt raţionale . Concurs Austria

XI 002 Fie A∈M 2 (ℂ) şi H(A) = {B ∈ M 2 (ℂ) / AB = BA}

w .n

X 005 Să se arate că într-un triunghi oarecare avem relaţia: a2 + b2 R≥ 4mc Stăniloiu Nicolae, Bocşa X 006 Rezolvaţi ecuaţia : 2 2 5x + 5x = 4x + 6x .

Nicolae Dragomir , Reşiţa

XI 005 Dacă f : [ 0 , 1 ] → ℝ este o funcţie derivabilă ,

strict crescătoare , cu f ( 0 ) = 0 , arătaţi că există c ∈ (0,1) f '(c) 2c = . aşa încât : f (c ) 1 − c 2 Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu

XI 006 Fie f , g : ` → ` cu g injectiva si sirul x f ( xn ) = g ( n ) . Calculati lim xn n

***

CLASA A XI-A

XI 001 Determinaţi funcţiile continue şi impare cu proprietatea că : f D f = 1 ℝ . *** 57

Noutăţi editoriale apărute în judeţul nostru:

LIMBA ŞI LITERATURA ROMÂNĂ, MATEMATICĂ + GEOGRAFIE, ISTORIE

Editura „Neutrino” Reşiţa, 2005

Lucian Dragomir

ÎN CURS DE APARIŢIE

Ce oferă această culegere? Suficiente exerciţii pentru a înţelege aşa cum trebuie capitolul de geometrie analitică şi vectorială în spaţiu şi este ceea ce ne-am fi dorit noi să folosim ca profesori la clasă. Nu este deci o culegere pentru centrele de excelenţă şi ne cerem scuze celor care aşteptau mai mult de la noi, însă de data asta ne adresăm majorităţii elevilor.

Ovidiu Bădescu

w .n

Geometrie analitică,

vectorială,…în spaţiu pentru clasa a XI-a ( şi nu numai )

Editura Neutrino, Reşiţa, 2005

Format A5, 150 pag. Preţ 80 000

Comenzi se pot face la: EDITURA NEUTRINO Reşiţa, cod 320093, Str. D. Bojincă, Nr.6, Ap.1 Tel/fax: 0255 224411 Mobil: 0724 224400 www.neutrino.ro E-mail: editura@neutrino.ro

Format A5, 44 pag Preţ 40 000 lei

Dosarele XOY nr. 1

o. ro

CÂTE ZECE TESTE PENTRU…NOTA 10

Lucian Dragomir M. Constantinescu Rodica Iatan

tri n

TESTARE NAŢIONALĂ 2006

Ce conţine această culegere? 10 teste de limba şi literatura română,10 teste de matematică,10 teste de geografie şi 10 teste de istorie alcătuite de profesori apreciaţi la nivelul judeţului nostru şi, cine ştie, poate unele dintre ele se vor regăsi printre SUBIECTELE de examen. Deoarece la corectarea lucrărilor examenului de testare naţională se fac echipe din câte un profesor de gimnaziu şi un profesor de liceu, am considerat oportun ca autorii acestei culegeri să fie aleşi în acelaşi mod

Chiar dacă nu veţi lua chiar nota 10 la examenul de bac, parcurgerea cu seriozitate a acestei noi şi calde culegeri credem că vă va asigura o Spre nota 10 pregătire eficientă pentru prin 4 X 10 examen.Puteţi recapitula Teste de MATEMATICĂ foarte multe noţiuni pentru (culegerea e sigur utilă nu numai celor de a XII a), puteţi să vă încercaţi forţele cu exerciţii şi probleme de BACALAUREAT diverse niveluri de ( şi nu numai ) dificultate; primele teste sunt ceva mai uşoare (testele 1 – Editura Neutrino, 18 ), pot fi parcurse în Reşiţa, 2005 general fără probleme şi de cei cu mai puţine ore de matematică pe săptămână (M2 şi M1 – 3 ore); urmează teste puţin mai dificile (nu vă speriaţi, nu sunt chiar aşa de grele) şi încheiem cu subiectele de la simulare, cele de la sesiunea specială şi cele propuse în 2005 celor care au absolvit clasele de matematică-informatică. Ovidiu Bădescu Marius Golopenţa Aurel Bârsan