RMCS nr 14 by OVIDIU BADESCU

o. ro

Colectivul de redacţie:

REVISTA DE MATEMATICĂ

tri n

Societatea de Ştiinţe matematice din România Filiala Caraş-Severin

A ELEVILOR ŞI PROFESORILOR

w .n

DIN JUDEŢUL CARAŞ-SEVERIN

Dragomir Lucian Bădescu Ovidiu Stăniloiu Nicolae Şandru Marius Moatăr Lavinia Pistrilă Ion Dumitru Şuşoi Paul Gâdea Vasilica Didraga Iacob Golopenţa Marius

Nr.14, An V-2006

Editura „Neutrino” Reşiţa, 2006

o. ro Sfaturi…nu neapărat matematice

1) Discută ca şi cum ai încerca să te asiguri pe tine încă o dată că ai dreptate .

tri n

CUPRINS

2) Şcoala cea bună e aceea în care şi şcolarul îl învaţă pe profesor.

Sfaturi…nu neapărat matematice..........................................pag.4 Note, articole 1) Metode de evaluare. Portofoliul……………………….pag. 5

4) Pentru întărirea sufletului tău să fii mai recunoscător celui ce te va nedreptăţi o dată decât celui ce-ţi va da dreptate de o mie de ori.

2) Principiul lui Dirichlet……...………………..…...…...pag. 8

3) Să înveţi pentru tine, dar să ştii pentru toţi.

Probleme rezolvate din numărul 12 şi 13 al revistei ……..pag.13 Probleme propuse…………………………….………...…..pag.40

Rubrica rezolvitorilor………………………………….…...pag.51

5) Temniţa cea mai de temut e aceea în care te simţi bine.

w .n

6) Talentul neântrebuinţat e un furt.

7) Un om bun nu e acela care face bine, ci acela care se bucură că face bine. (Nicolae Iorga)

o. ro

Metode de Evaluare PORTOFOLIUL

Disciplina: MATEMATICĂ

w .n

ARGUMENT Reforma evaluării cuprinde numeroase aspecte, pe care cadrele didactice le cunosc, unul dintre acestea fiind cel al metodelor folosite. Pe lângă metodele tradiţionale de evaluare (probe orale, scrise şi practice) s-a propus şi folosirea unor metode complementare, care , aşa cum indică şi denumirea lor, nu exclud utilizarea în paralel a metodelor cunoscute şi utilizate până acum de cadrele didactice. Metodele complementare de evaluare cel mai des invocate sunt: observarea sistemică a activităţii elevilor, investigaţia, proiectul, portofoliul, autoevaluarea. Bineînţeles că pot fi folosite şi alte metode complementare de evaluare pe care fiecare cadru didactic le consideră utile pentru verificarea optimă a rezultatelor elevilor. Dar, cel puţin trei dintre metodele amintite mai sus – investigaţia, proiectul, portofoliul – oferă elevilor posibilitatea, într-o măsură mai mare decât metodele tradiţionale, să-şi pună în valoare diferitele achiziţii şcolare cu caracter acţional, cum ar fi: deprinderile, priceperile, capacităţile şi abilităţile practice. Aceste metode pot fi, în acelaşi timp, oportunităţi pentru formarea unor deprinderi şi capacităţi de investigare independentă sau în grup a diferitelor probleme ale realităţii, pot conduce la formarea unor trăsături psihomorale, cum ar fi: independenţa, responsabilitatea şi perseverenţa. De asemenea, spre deosebire de metodele tradiţionale, elevul este pus în situaţia de a-şi folosi imaginaţia, originalitatea, astfel încât o clasă de elevi poate oferi tot atâtea soluţii câţi elevi se află în clasa respectivă dacă au de realizat o investigaţie sau un portofoliu.

Elevii din ciclul gimnazial se află în perioada asimilării celor mai multe noţiuni matematice necesare pe parcursul evoluţiei lor în carieră: calculul algebric şi majoritatea noţiunilor de geometrie elementară. Aceasta este perioada când elevului i se formează deprinderile de calcul, deprinderea de a-şi pune probleme şi a găsi metode ingenioase de rezolvare, perioada când se pun bazele gândirii matematice. Şi tot acum, cei mai mulţi se întreabă sau încearcă să răspundă la o întrebare considerată esenţială: „Cui prodest”! O întrebare, evident artificială, pentru că matematica este ceea ce numim: „un chin dulce” sau „un rău necesar”. Pentru a urmări efortul pe care un elev îl depune în studiul matematicii pe o perioadă mai mare de timp, o metodă de evaluare cu caracter integrator, complex şi flexibil se dovedeşte a fi portofoliul. Este o formă simplă de atragere a elevilor în actul de învăţare, prin caracterul electiv al probelor care îl compun.

tri n

Motto: „Rostul metodelor complementare este acela de a oferi elevilor suficiente şi variate posibilităţi de a demonstra ceea ce ştiu ca ansamblu de cunoştinţe, dar, mai ales, ceea ce pot să facă(priceperi, deprinderi abilităţi)”. Adrian Stoica – Evaluarea curentă şi examenele.

Scopul: - imediat: furnizarea de date profesorului şi elevului despre capacităţile formate prin operaţionalizarea obiectivelor unui capitol; - de perspectivă: oferă informaţii utile părinţilor şi altor potenţiali evaluatori ai activităţii elevului (instituţii, comunitate). Contextul: - problematica promovată, cât şi soluţiile prezentate angajează gândirea elevilor pe direcţii noi şi contribuie la lărgirea cunoaşterii lor în domeniul matematicii în general, şi al geometriei, în special. Conţinutul: - este înscris într-o arie de cerinţe standard; - este reprezentat de rezultate la probele tradiţionale: teme pentru acasă, notiţe, investigaţii, sarcini de învăţare, chestionar privind interesul elevului pentru matematică; 6

este selectat de profesor (eventual împreună cu elevul) dintre cele mai bune produse şi cele mai bine realizate activităţi ale acestuia.

Formele de realizare: -

Realizarea unei mape a portofoliului, care ar putea conţine rezultatele a 10 elevi care se oferă voluntar. Mapa poate rămâne în păstrarea profesorului sau la colţul metodic. - Evaluarea portofoliului se face pentru fiecare element al acestuia, la momentul realizării lui şi se prezintă periodic părinţilor. În unele sisteme de învăţământ rolul portofoliului este de 50% din cuprinsul unei examinări finale. Acesta evită tensiunile pe care unele din metodele tradiţionale de evaluare le-ar putea genera şi evaluează acele abilităţi pe care un examen administrat la nivel naţional nu le poate asigura.

Contextul:

Problematica promovată, cât şi soluţiile prezentate angajează gândirea elevilor pe direcţii noi şi contribuie la lărgirea cunoaşterii lor în domeniul matematicii în general şi al geometriei, în special. Conţinutul: adaptat temelor, după cum urmează: 1. coliniaritate şi concurenţă; 2. construcţii geometrice; 3. locuri geometrice; 4. probleme extreme; 5. transformări geometrice.

tri n

Exemplu: GEOMETRIE CLASA A VII-A Scopul: - captarea interesului elevilor pentru studiul geometriei; - pregătirea tehnică a rezolvitorilor de probleme; - dezvoltarea imaginaţiei şi a capacităţii lor de analizăsinteză şi de creativitate.

w .n

Materiale componente: - date obţinute din evaluarea probelor tradiţionale, rezultatul şi interpretarea lor; - notiţe, calitatea notiţelor; - teme obligatorii, la alegere, suplimentare; - temele enumerate mai sus (probleme deosebite prezentate de profesor) şi teme de efectuat acasă (selecţii de probleme pe teme date); - activităţi de cerc, concursuri şi rezultate obţinute; - chestionar privind interesul elevului pentru matematică.

o. ro

prof. Tudor Deaconu – director Casa Corpului Didactic Caraş-Severin

Principiul lui Dirichlet

Adriana Dragomir , ( Grup Şcolar Industrial Oţelu – Roşu ) Marioara Radosavlevici ( Şcoala Generală nr. 1 Moldova – Nouă ) Dorim să ilustrăm prin aceste rânduri cum se poate ajunge la rezultate matematice interesante şi valoroase cu foarte puţine cunoştinţe de specialitate . Nu ascundem originea căutărilor noastre : dorinţa unor colegi de a avea probleme la dispoziţie pentru a aborda această temă . Nu ascundem , de asemenea , că există , pentru cei interesaţi şi mai puţin comozi , o vastă bibliografie ce poate fi de ajutor în acest domeniu . Despre ce este vorba ? : Dacă n + 1 obiecte trebuie aşezate în n cutii , atunci există cel puţin o cutie care conţine cel puţin două obiecte . ( Nu ne putem abţine în a remarca frumuseţea sau eleganţa acestui enunţ ; 8

o. ro

prin împărţirea la 10 : a = 10q + r şi b = 10 p + r ⇒ a − b = 10(q − r ) , de unde concluzia este imediată . ●

4 ) Arătaţi că printre n + 1 numere naturale distincte mai mici decât 2n există trei numere astfel încât unul dintre ele este egal cu suma celorlate două.

Soluţie : Considerăm numerele a1 < a 2 < ... < a n +1 mai mici

tri n

decât 2n ⇒ numerele an+1 − a1 , an+1 − a2 ,…, a n +1 − a n sunt deasemenea mai mici decât 2n ; împreună cu cele iniţiale , avem astfel 2n + 1 numere mai mici decât 2n , aşadar cel puţin două sunt egale : unul din cele iniţiale şi unul dintre cele obţinute ca diferenţă , deci : a k = a n +1 − ai sau a k + ai = a n +1 . ●

5 ) O grupă de 13 elevi trebuie să reprezinte şcoala lor în competiţii de fotbal , volei , baschet şi atletism . La competiţia de fotbal ar trebui să participe 12 elevi , la cea de volei ar trebui să se prezinte 11 elevi , la cea de baschet 10 elevi , iar la cea de atletism 7 elevi . Dacă se ştie că un elev poate participa la cel mult trei competiţii , este posibil să se formeze echipe pentru toate cele 4 concursuri ?

să nu mai vorbim despre aplicaţii ! – mai ales cele care nu dezvăluie iniţial ce ar fi bine de folosit din cunoştinţele noastre matematice . Urmăriţi-ne cu puţină încredere . ) 1 ) În clasa a V a B a şcolii noastre sunt 27 de elevi . Arătaţi că există cel puţin 3 elevi născuţi în aceeaşi lună . Soluţie : Un an are 12 luni ( sau altfel spus , avem 12 cutii ) ; dacă aşezăm câte 2 “obiecte “ ( scuze elevilor ) în fiecare cutie , avem 2 ⋅ 12 = 24 elevi “repartizaţi” – cei trei rămaşi în ce cutie ( adică lună ) îi punem ? Evident , avem o lună în care sunt aşadar născuţi cel puţin trei . Remarcă : Principiul lui Dirichlet se mai numeşte aşadar şi Principiul cutiei sau chiar Principiul porumbelului ( obiectele sunt porumbei şi cutiile – colivii ) ; să revenim : putem gândi problema şi astfel : punem câte un elev în câte o cutie ( lună ) , deci rămân 27 – 12 = 15 elevi ; punem din nou câte unul în fiecare cutie şi tot mai rămân 3 care se vor aşeza în cutiile în care există deja câte doi … porumbei . Există deci cel puţin o lună în care sunt născuţi 3 colegi de clasă . ● 2 ) Arătaţi că oricum am alege o submulţime A de 51 de elemente din mulţimea M ={ 1 , 2 , 3 , … , 100 } , există două numere în A care sunt prime între ele.

w .n

Soluţie : De la bun început problema pare dificilă ( uşoară nu este ) . Grupăm elementele lui M două câte două : { 1 , 2 } , { 3 , 4 } , … , { 99 , 100 } şi avem astfel 50 de grupe . Oricum am alege atunci 51 de elemente , cel puţin două vor fi în una din grupele anterioare , adică sunt numere consecutive , deci prime între ele . ● 3 ) Arătaţi că oricare ar fi 11 numere naturale distincte , există două printre ele cu diferenţa divizibilă prin 10 .

Soluţie : Resturile posibile obţinute prin împărţirea la 10 a unui număr natural sunt : 0 , 1 , 2 , … , 9 , adică sunt în număr de 10 ( avem 10 cutii ) ; având 11 numere , cel puţin două dintre ele, fie ele a şi b vor avea loc în aceeaşi cutie , adică dau acelaşi rest 9

Soluţie : Răspunsul este negativ . Numărul total de elevi pentru fotbal şi volei este 12 + 11 = 23 , deci cel puţin 10 elevi vor participa la cele 2 competiţii ; numărul total de elevi pentru baschet şi atletism este 10 + 7 = 17 , deci cel puţin 4 elevi vor participa la aceste două competiţii . Avem însă 10 + 4 = 14 > 13 , aşadar cel puţin un elev ar trebui să participe la toate cele 4 concursuri , ceea ce nu este admis . ●

6) Demonstraţi că există n ∈ ℕ * astfel încât 9 n − 1 să se dividă cu 13 . 10

o. ro

Soluţie : Numerele 9 0 − 1,91 − 1,...,913 − 1 dau , prin împărţirea la 13 , un număr de 14 resturi . Conform principiului nostru ( Dirichlet ) avem astfel că cel puţin două dintre

Bibliografie :

7 ) 7 elevi participă la un concurs de perspicacitate cu răspunsuri rapide ; la fiecare răspuns corect se dau 5 puncte , la fiecare răspuns greşit se ia un punct din total ; dacă însă un concurent ajunge la 0 puncte şi răspunde greşit , rămâne cu 0 puncte ( nu i se scad puncte ) . În primul tur , fiecare participant răspunde la câte 6 întrebări . Este adevărat că după primul tur avem doi participanţi cu punctaje egale ?

tri n

numerele iniţiale sunt egale , fie ele 9 k − 1 şi 9 i − 1 , k , I ∈ { 1,2, … , 13 } ; considerând k > i ,avem că numărul 9 k − 9 i = (9 k − 1) − (9 i − 1) e divizibil cu 13 ⇒ 9 i (9 k −i − 1) e divizibil cu 13 . Cum (9,13) = 1 deducem că există n = k – i pentru care 9 n − 1 e multiplu de 13 . ●

1 ; centrele 2 1 cuburilor unitate se află la o distanţă cel puţin egală cu faţă de 2 feţele cubului iniţial , prin urmare ele nu se pot găsi în interioarele 1 cubuleţelor de latură aflate la “ margine “ ( deci care au o faţă 2 pe una dintre feţele cubului mare ) . În “interior” se află 1 10 3 = 1000 cubuleţe de latură şi , dintre cele 1001 centre ale 2 cuburilor unitate , cel puţin două se află în interiorul sau pe feţele unuia . Evident că pentru această pereche de cuburi unitate centrul unuia se află în interiorul sau pe feţele celuilalt . ●

Soluţie : Împărţim cubul în 123 cubuleţe de latură

w .n

Soluţie : După primul tur , oricare dintre participanţi poate avea unul dintre punctajele următoare : 30 ( dacă a răspuns corect la toate întrebările ) , 24 ( 5 răspunsuri corecte şi unul greşit ) , 18 ( 4 corecte , 2 greşite ) , 12 ( 3 corecte , 3 greşite ) 6 ( 2 corecte , 4 greşite ) , 0 ( 1 corect şi 5 greşite sau toate

greşite ) . Avem aşadar 6 punctaje posibile şi 7 elevi ⇒( conform principiului cutiei ) cel puţin doi au acelaşi punctaj . ●

1 ) D.Brânzei, ş.a. - Pregătirea permanentă a olimpicilor pentru matematică , Editura Paralela 45 , 2005 2 ) A.Ghioca , N.Teodorescu – Matematica în gimnaziu şi liceu , vol.III , SSMR , 1987 3 ) L.Panaitopol , D.Şerbănescu – Probleme de teoria numerelor şi combinatorică ,Editura Gil , 2003 4 ) D.Rakovska , ş.a. – Probleme selectate , Editura Reprograph , 2004

8) În interiorul unui cub de latură 6 se consideră 1001 cuburi unitate cu feţele paralele cu feţele cubului dat . Să se demonstreze că există două cuburi unitate cu proprietatea că centrul unuia se află în interiorul sau pe feţele celuilalt .

o. ro

Probleme rezolvate din RMCS nr.12 şi 13

3)A∖B={4};

4 ) x 2 ∈ A dacă şi numai dacă x ∈ B . Adriana Dragomir , Oţelu-Roşu

V. 007. Scrieţi numărul 2005 ca sumă de numere naturale al căror produs este 2005 . *** Soluţie: 2005 = 1 + 1 + ... + 1 + 401 + 5 . ■

Soluţie: Din (3) şi (4) avem că 4 ∈ A şi 2 ∈ B ; Din (1) şi (2) ,

ţinând cont şi de (4) , avem imediat : 1 ∈ A ∩ B .Aşadar : A = { 1 , 4},B={1,2}. ■

V. 008. Determinaţi cel mai mic număr natural care are suma cifrelor egală cu 2005 . *** Soluţie: Numărul căutat are toate cifrele egale cu 9 , eventual cu excepţia primei sale cifre. Împărţim 2005 la 9 şi avem câtul 222, restul 7. Numărul este astfel 799 ...

9 222.cifre. de.9

V. 009. Produsul vârstelor a trei fraţi exprimate prin numere naturale este 96. Doi fraţi sunt gemeni , cel mare are ochii albaştri , iar tatăl are 29 de ani. Ce vârste au cei trei copii? *** 5 Soluţie: 96 = 3 ⋅ 2 , deci gemenii au vârstele exprimate prin numere pare . Vârstele pot fi ( 2 , 2, 24 ) - imposibil ( tata are 29 de ani ! ) sau ( 4, 4, 6 ) . ■

V. 012. Se poate obţine numărul 2005 utilizând 10 cifre de 3 , paranteze şi operaţii aritmetice ? *** Soluţie: Da , de exemplu : 2005 = 333 ⋅ (3 + 3) + 3 ⋅ 3 − (3 + 3) : 3 . ■ V. 013. Găsiţi trei numere naturale consecutive a căror sumă să fie un număr care se termină în 2005 . Care este cel mai mic triplet care satisface această condiţie ? *** Soluţie: S = ( n – 1 ) + n + ( n + 1 ) = 3n se divide prin 3n , aşadar pentru S = a1 a 2 ...a k 2005 avem : a1 + a 2 + ... + a k dă restul 2 la

tri n

1599.termeni

w .n

V. 010. Suma a 45 de numere naturale impare este 2005 . Arătaţi că cel puţin două dintre aceste numere sunt egale . *** Soluţie: Dacă numerele ar fi distincte , suma lor ar fi cel puţin egală cu S = 1 + 3 + 5 + ... + 89 sau S = 89 + 87 + ... + 1 , de unde

2S = 90 + 90 + ... + 90 = 45 ⋅ 90 ⇒ S = 45 ⋅ 45 = 2025 > 2005 . ■

V. 011. Găsiţi mulţimile A şi B de numere naturale care satisfac proprietăţile :

1 ) A ∪ B are 3 elemente ; 2 ) A ∩ B are un element ; 13

împărţirea cu 3 ⇒ S min = 22005 ; numerele căutate sunt : 7334 , 7335 , 7336 . ■

V. 014. Pentru o mulţime M cu trei elemente ( numere naturale nenule ) notăm cu S ( M ) suma elementelor sale . Determinaţi mulţimile A şi B care satisfac proprietăţile : 1 ) Dacă a ∈ A , atunci ( 1 + a ) ∈ B ; 2 ) 4 ⋅ S ( A) = 3 ⋅ S ( B) . Adriana Dragomir , Oţelu-Roşu

Soluţie : Din condiţia ( 1 ) avem că dacă A = { x , y , z } , atunci B = { 1+ x , 1 + y , 1 + z } şi apoi , din ( 2 ) , avem 4( x + y + z ) = 3(3 + x + y + z ) ; ajungem imediat la x + y + z = 9 şi apoi la trei posibilităţi pentru A 14

o. ro

VI. 007. Găsiţi câte numere divizibile cu 2 sau cu 3 , dar nu divizibile cu 6 sunt în mulţimea { 1 , 2 , 3 , … , 2005 } . *** Soluţie : Numerele divizibile cu 2 : 2 ⋅ 1,2 ⋅ 2,2 ⋅ 3,...,2 ⋅ 1002 ; numere divizibile cu 3 : 3 ⋅ 1,3 ⋅ 2,3 ⋅ 3,...,3 ⋅ 668 ; numere divizibile cu 6 : 6 ⋅ 1,6 ⋅ 2,6 ⋅ 3,...,6 ⋅ 334 . Avem astfel 1002 + 668 − 2 ⋅ 334 = 1002 numere care satisfac condiţia din enunţ . ■ VI. 008. Determinaţi numerele ab scrise în baza 10 pentru care numărul ab + ba + a + b este pătrat perfect . Adriana Dragomir , Oţelu-Roşu

VI. 012. Dacă { a , b , c } = { - 1 , 0 , 1 } , determinaţi toate numerele naturale n pentru care 2( a n + b n + c n ) = n ( a 2 + b 2 + c 2 ) . *** n n n Soluţie : Evident obţinem (a + b + c ) = n , de unde (−1) n + 1n = n ⇒ n = 2 . ■

Soluţie : ab + ba + a + b = 12(a + b) = 4 ⋅ 3(a + b) este pătrat perfect

VI. 011. Notăm cu S ( n ) suma cifrelor numărului natural n . Găsiţi toate numerele n pentru care n + S ( n ) = 2006 . *** Soluţie : Numărul n trebuie să aibă 4 cifre , deci n = abcd ; Din 1000a + 100b + 10c + d + a + b + c + d = 2006 deducem 1001a + 101b + 11c + 2d = 2006 . Dacă a = 2 , avem imediat d = 2 . Dacă a = 1 , deducem imediat b = 9 , d = 4 , c = 8. Există deci două numere care satisfac enunţul : 2002 şi 1984 . ■

tri n

( corespunzător şi B ) : A = {1,2,6}, A = {1,3,5} sau A = {2,3,4} . ( Scrieţi în fiecare caz şi B ) . ■

w .n

⇒ a + b = 3k 2 , k ∈ ℕ . Deoarece a , b ≤ 9 , avem a + b ≤ 18 şi obţinem doar posibilităţile : a + b = 3 ⋅ 1 şi a + b = 3 ⋅ 4 . Analizând cazurile ce apar ajungem la 9 numere care satisfac enunţul : 12 , 21 , 39 , 93 , 48 , 84 , 57 , 75 , 66 . ■

VI. 009. În câte feluri poate fi scris numărul 2005 ca diferenţă a două numere de câte patru cifre ? *** Soluţie : 2005 = 3005 − 1000 = 3006 − 1001 = ... = = 9999 − 7994 ; avem astfel 7994 − 1000 + 1 = 6995 modalităţi . ■ VI. 010. Suma a cinci numere naturale este egală cu 200 . Arătaţi că produsul lor nu poate fi un număr care se termină în 2005. *** Soluţie: Produsul numerelor ar trebui să fie impar , dar atunci toate numerele ar fi impare şi deci suma lor nu poate fi 200 ( număr par ) . ■ 15

VI. 013. Arătaţi că numărul A =

1 1 1 1 nu este număr + + + ... + 2 3 4 98

întreg .

*** Soluţie : E suficient să aducem la acelaşi numitor toate fracţiile şi astfel să le adunăm ; considerând cel mai mare număr prim dintre cele de la numitor , adică 97 , avem că noul numărător e o sumă de 97 de factori , toţi divizibili cu 97 , cu excepţia penultimului , deci fracţia nu poate fi număr întreg . ■ VI. 014. Determinaţi toate perechile ( x , y ) de numere naturale care satisfac : x 2 + x + y = 24 . *** Soluţie : x( x + 1) + y = 24 ⇒ y este par ( de ce ? ) ; totodată 5 ⋅ 6 > 24 impune x ≤ 4 . Se obţin imediat perechile : (0,24), (1,22), (2,18), (3,12), (4,4) . ■ 16

o. ro

VII. 007. Fie mulţimea A = {abba / ab < ba, ab şi ba numere prime }.Calculaţi suma câturilor împărţirilor tuturor elementelor mulţimii A la cel mai mare număr natural n pentru care obţinem de fiecare dată acelaşi rest r . Delia Marinca , Timişoara

Soluţie: De exemplu putem observa că ∀ k ∈ ℕ , dacă mn + 1 m = 2k – 1 şi n = 2k + 1 , avem : = k , aşadar orice număr m+n natural poate fi reprezentat sub forma dată . ■ VII. 012. Găsiţi toate tripletele ( a , b , c ) de numere prime pentru care numerele a − b , b − c , c − a sunt de asemenea prime . concurs Rusia Soluţie: Conform ipotezei avem că a , b , c sunt toate distincte ; putem presupune a > b > c . Dacă toate numerele sunt impare , diferenţele lor sunt pare , deci toate egale cu 2 , absurd. Avem

w .n

c k ∈ ℕ , k = 1,4 . Scădem două câte două relaţiile anterioare şi astfel vom concluziona că n = ( 440 ; 2002 ; 4224 ) ; cum însă 440 = 2 3 ⋅ 5 ⋅ 11 , 2002 = 2 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 şi 4224 = 2 7 ⋅ 3 ⋅ 11 , deducem n = 22 şi r = 11 , apoi obţinem imediat c1 + c 2 + c3 + c 4 = 674. ■ VII. 008. Un poligon convex are de 2005 ori mai multe diagonale decât laturi. Câte laturi are poligonul ? *** Soluţie: Din fiecare vârf pleacă n – 3 diagonale , deci din cele n vârfuri avem n(n – 3 ) diagonale ; cum fiecare diagonală a fost n(n − 3) numărată de două ori , numărul total de diagonale este ⇒ 2 n(n − 3) 2005n = ⇒ n = 4013 . ■ 2

VII. 011. Găsiţi toate numerele naturale care pot fi scrise sub mn + 1 forma , cu m şi n numere naturale . m+n concurs Rusia

tri n

Soluţie : Obţinem imediat A = {1331,1771,3773,7997} ; Notăm cu n împărţitorul şi cu r restul împărţirilor , r < n şi avem : 1331 = nc1 + r , 1771 = nc 2 + r , 3773 = nc3 + r , 7997 = nc 4 + r ,

Soluţie: a ) elementele sunt de forma 7n – 4 , n ∈ ℕ * ; din 7n – 4 = 2005 avem n = 287 ; b ) de exemplu 3 , 45 , 52 . ■

VII. 009. Demonstraţi că nu există x , y , z ∈ ℤ astfel încât : x 4 + y 4 + z 4 = x 3 + y 3 + z 3 + 2005 . *** Soluţie: Egalitatea se poate scrie : ( x − 1) x ⋅ x 2 + ( y − 1) y ⋅ y 2 + ( z − 1) z ⋅ z 2 = 2005 şi remarcăm că ( x − 1) x, ( y − 1) y, ( z − 1) z sunt numere pare . ■ VII. 010. Determinaţi câte elemente are mulţimea A = {3,10,17,...,2005} ? Există x , y , z ∈ A astfel încât x + y + z să fie pătrat perfect ? *** 17

aşadar c = 2 , b , a impare şi deci a- b = 2 ⇒ unul dintre numerele ( a – c ) şi ( b – c ) trebuie să fie multiplu de 3 ( b > 3 ) , adică a – 2 = 3 , imposibil sau b – 2 = 3 , de unde avem : a = 7 , b = 5 , c = 2 sau permutările mulţimii {2,5,7} ; avem deci 6 triplete ordonate care satisfac enunţul . ■

VII. 013. Să se arate că patrulaterul ABCD este trapez dacă şi numai dacă are loc relaţia AC 2 + BD 2 − 2 AB ⋅ CD = BC 2 + AD 2 Nicolae Stăniloiu, Bocşa Soluţie: D C E

AB-CD=2EF ⇒ AB + CD − 4 EF = 2 AB ⋅ CD , relaţie care combinată cu (1) ne dă relaţia din ipoteză. 2

o. ro

2a 2a sau ( x − 1) 2 = + 1 ; deoarece 2 1+ a 1+ a2

[

]

2a ≤ 1 , ∀ a ∈ ℝ ⇒ ( x − 1) 2 ≤ 2 ⇒ x ∈ 1 − 2 ,1 + 2 ; cum 1+ a2

x ∈ ℤ ⇒ x ∈ { 0 , 1 , 2 } şi corespunzător a ∈ { - 1 , 0 } . ■

VIII. 008. Determinaţi numerele naturale x , y care verifică 3 x + 16 = y 2 . Irina Haivas , Iaşi x Soluţie : 3 = ( y − 4)( y + 4) ⇒ ∃ a , b ∈ ℕ , 0 ≤ a < b cu

y − 4 = 3 a , y + 4 = 3b ⇒ 3 a − 3b = 8 . Dacă a ≥ 1 ⇒b ≥ 2 şi astfel

8 = 3 a (3b − a − 1) ⇒ 3 / 8 , fals ⇒ a = 0 , deci x = 2 , y = 5 . ■

VIII. 009. Demonstraţi că în orice triunghi avem : a + b + c < 2 3 p , notaţiile fiind cele uzuale . Gheorghe Molea , Curtea de Argeş Soluţie : a < b + c ⇒ a < b + c şi analoagele ; folosim acum inegalitatea între media aritmetică şi cea pătratică :

VII. 014. Un elefant are o şosetă şi un pantof pentru fiecare din cele 4 picioare . În câte feluri îşi poate pune elefantul şosetele şi pantofii, dacă pe fiecare picior întâi se pune şoseta şi apoi pantoful? ( Se poate folosi următorul rezultat : n obiecte se pot ordona în

Soluţie: x 2 − 2 x =

tri n

Considerăm E – mijlocul diagonalei AC, F – mijlocul diagonalei BD şi G – mijlocul laturii BC. Cu notaţiile din figură vom demonstra că dacă are loc relaţia din ipoteză atunci patrulaterul este trapez. Se ştie că într-un patrulater oarecare are loc relaţia: AC 2 + BD 2 + 4 EF 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 ( 1 ) Combinată cu relaţia din ipoteză va rezulta: AB 2 + CD 2 − 4 EF 2 = 2 AB ⋅ CD . De aici rezultă: AB-CD=2EF, ceea ce ne arată că triunghiul EFG este denaturat. Punctele E, F şi G sunt coliniare şi deci EF // AB // CD. ( QED ) Reciproc, dacă ABCD este trapez atunci

not

1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n = n! moduri )

w .n

*** Soluţie : Notăm cu s1 , s 2 , s3 , s 4 şosetele şi cu p1 , p 2 , p3 , p 4 pantofii corespunzători picioarelor 1,2,3,4 .Există 4! moduri de permutare ale obiectelor s1, ... , p4 , şi în exact jumătate 8! 8! s1 este înaintea lui p1 . Dintre acestea , tot în exact jumătate 2 , 2 2 s2 e înaintea lui p2 ; continuând raţionamentul ajungem la 8! posibilităţi .■ 24

VIII. 007. Determinaţi toate numerele reale a pentru care există x ∈ ℤ astfel încât (1 + a 2 ) x 2 − 2(1 + a 2 ) x − 2a = 0 . Dan Negulescu , Brăila 19

x+ y+z x2 + y2 + z2 ⇒ ≤ 3 3 a + b + c < b+c + c+a + a+b <

b+c+c+a+a+b = 12 p = 2 3 p . ■ 3

VIII. 010. Găsiţi cel mai mic număr natural care poate fi scris ca sumă a 9 numere naturale consecutive , dar şi ca sumă a 10 şi ca sumă a 11 numere naturale consecutive . Concurs Moldova Soluţie : n = ( x − 4) + ... + ( x + 4) = 9 x , n = ( y − 4) + ... + ( y + 5) = 5(2 y + 1) , n = ( z − 5) + ... + ( z + 5) = 11z ⇒ 9 x = 11z,9 x = 5(2 y + 1) ; 20

o. ro

acest sistem , pentru x , y ≥ 5 şi z ≥ 6 are soluţie minimă x = 55 ,

VIII. 013. Găsiţi toate numerele naturale n pentru care n 3 + 1 este o putere a lui 3 . Concurs Rusia Soluţie : Evident n = 0 e o soluţie a problemei : 0 + 1 = 30 ; pentru

y = 49 , z = 45 ⇒n = 495 . ■ VIII. 011. Fie a , b , c > 0 astfel încât a + b + c ≥ abc . Demonstraţi a 2 + b 2 + c 2 ≥ abc 3 . că : Cristinel Mortici , Târgovişte Soluţia 1 : Presupunem prin absurd că a 2 + b 2 + c 2 < abc 3 ; aplicând inegalitatea mediilor avem :

n = 3k – 1 , k ∈ ℕ ⇒

n3 +1 = 27k 3 − 27k 2 + 9k = 9k(3k 2 − 3k +1) ; evident , expresia din

tri n

forma x + y + z ≥ 3 xyz . Notăm s = x + y + z ≥ 1 şi avem 2

s2 s s s3 ≥ = 3⋅ ≥ 3 ⋅ xyz ■ 3 3 27

w .n

într-adevăr : x 2 + y 2 + z 2 ≥

VIII. 012. Demonstraţi că dacă a , b , c > 0 avem : a b c 1< + + <2 . a+b b+c c+a *** S=

a b c a b c + + > + + =1 a+b b+c c+a a+b+c a+b+c a+b+c

b c a + + >1 ⇒ a+b b+c c+a

Pe de altă parte avem T =

paranteză nu se divide prin 3 , deci ea poate fi numai puterea cu exponent 0 a lui 3 , de unde k = 1 , deci n = 2 . ■ VIII. 014. Găsiţi cel mai mic număr întreg a pentru care

x 4 + 2x3 + a ≥ 4x , ∀ x ∈ ℝ . Concurs Rusia

Soluţie: Inegalitatea se poate scrie (x2 + x −1)2 + (x −1)2 + a − 2 ≥ 0. Numărul căutat este evident a = 2 . ■

abc 3 > a 2 + b 2 + c 2 ≥ 33 a 2 b 2 c 2 ⇒ abc > 3 3 ; pe de altă parte a 2 b 2 c 2 (a + b + c) 2 avem : ≤ ≤ a 2 + b 2 + c 2 < 3abc 3 3 de unde abc < 3 3 , contradicţie . 1 1 1 + + ≥ 1 ; notăm Soluţia 2 : Ipoteza se mai scrie : ab bc ca 1 1 1 = z , = x, = y ; x, y, z > 0, x + y + z ≥ 1 ab bc ca x y z Deoarece a 2 = , b 2 = , c 2 = , concluzia se rescrie sub yz zx xy

n ≠ 0 avem : n3 + 1 se divide prin 3 ⇒

a+b b+c c+a + + −T = 3−T < 2 . ■ a+b b+c c+a 21

IX. 007. Să se demonstreze inegalitatea: ⎛ a4 b4 c4 ⎞ ⎟⎟ ≥ (a + b + c )3 ∀ a, b, c reale si pozitive 18⎜⎜ + + ⎝b+c a+c a+b⎠ Nicolae Stăniloiu, Bocşa Soluţie : Folosind inegalitatea CBS vom avea: ⎛ a4 2 b4 c4 ⎞ ⎟[(b + c ) + (a + c ) + (a + b )] ≥ (a 2 + b 2 + c 2 ) , adică: ⎜ + + ⎜b+c a+c a+b⎟ ⎠ ⎝ 4 4 4 ⎛ a b c ⎞ ⎟⎟(a + b + c ) ≥ a 2 + b 2 + c 2 2⎜⎜ + + b c a c a b + + + ⎠ ⎝

(

) ≥ (a + b9+ c ) 2

. De aici

rezultă inegalitatea cerută. ■ IX. 008. Arătaţi că pentru orice n ∈ ℕ * are loc inegalitatea : n k ⋅ (n − k + 1) n + 1 . ≤ ∑ 4 n2 + k 2 k =1 Delia Marinca , Timişoara 22

o. ro

Soluţie : Folosim n 2 + k 2 ≥ 2kn , ∀ k = 1, n şi avem : n k ⋅ (n − k + 1) k (n − k + 1) 1 n(n + 1) .■ ≤∑ = ⋅ 2 2 2kn 2n 2 n +k k =1 k =1 n

IX. 009. Considerăm următorul tabel , în care linia n conţine n numere : 1 3 5 7 9 11 ……………………. Stabiliţi câte linii ale tabelului au primul element un număr raţional . *** Soluţie : Notăm primul element din linia n cu a n , deci

a − b = 3..sau..b − a = 3, e + f = 11 ⇒ (a, b) ∈ {(9,6), (8,5),...(3,0), (0,3), (1,4),..., (6,9)} , adică 13 perechi ; (e, f ) ∈ {(2,9), (3,8),..., (9,2)} , adică 8 perechi . Fiecare dintre cifrele c şi d poate fi ocupată în 10 feluri şi astfel , folosind principiul produsului , avem 13 ⋅ 10 2 ⋅ 8 = 10400 de numere . ■

w .n

a1 = 1, a 2 = 3 , a3 = 7 ; notăm şi b1 = 1, b2 = 3, b3 = 7, b4 = 13 , etc. ; observăm : b2 = b1 + 2 ⎧ ⎪ b = b + 2⋅2 2 ⎪⎪ 3 ⎨ b4 = b3 + 2 ⋅ 3 ⎪ ..................... ⎪ ⎪⎩bn = bn −1 + 2(n − 1) Deducem imediat, prin însumarea egalităţilor

tri n

∑

Soluţie : [x ] ≠ 0 ⇒ x ∈ (−∞,0) ∪ [1, ∞) . {x} ≥ 1 şi , cum [x] ≥ 1 , avem [x] ≤ {x} < 1 , Dacă x ∈ [1, ∞ ), avem [x] {x} < −1 şi , deoarece absurd . Dacă x ∈ ( - ∞ , - 1 ) , avem [x] [x] ≤ −2 , deducem că − [x] < {x} < 1 ⇒ [x] > −1 , absurd. 1 Să vedem dacă x ∈ [ - 1 , 0 ). Aici da, obţinem imediat x = − . ■ 2 IX. 011. Câte numere naturale de câte 6 cifre au suma ultimelor două cifre egală cu 11 şi diferenţa primelor două cifre egală cu 3 ? *** Soluţie : Numerele căutate sunt de forma abcdef cu

bn = b1 + n( n − 1) = n 2 − n + 1 ⇒ a n = n 2 − n + 1 .

Deoarece n ∈ ℕ * , n(n-1) este pătrat perfect doar dacă n = 1 ( de

ce ? ) ⇒ doar prima linie a tabelului are primul element raţional . ■

{x} . [x ]

IX. 010. Rezolvaţi ecuaţia : x =

Titu Andreescu , SUA 23

IX. 012. Determinaţi cinci numere naturale ştiind că sumele de câte patru dintre ele formează mulţimea { 21 , 25 , 28 , 30 } . Gazeta Matematică Soluţie: Notăm cu a , b , c , d , e numerele căutate ; se pot forma 5 sume de câte 4 numere , avem însă 4 sume , aşadar cel puţin două sume au aceeaşi valoare . Putem deci scrie : a + b + c + d = 21 ⎧ ⎪ a + b + d + e = 25 ⎪⎪ Adunând a + b + c + e = 28 ⎨ ⎪ a + c + d + e = 30 ⎪ ⎩⎪b + c + d + e = x ∈ {21,25,28,30}

aceste egalităţi avem

4(a + b + c + d + e) = 104 + x ⇒ x este divizibil cu 4 ⇒ x = 28 , apoi a + b + c + d + e = 33 . Acum , ţinând cont de primele patru egalităţi ajungem imediat la e = 12 , c = 8 , d = 5 , b = 3 , a = 5 . ■ 24

o. ro

Soluţie : Dacă B1 şi C1 sunt proiecţiile lui M pe CA , respective AB, avem : d c = t a ⋅ sin ∠MAC1 şi d b = t a ⋅ sin ∠MAB1 , de unde d b + d c = t a (sin ∠MAC1 + sin ∠MAB1 ) .Aplicăm acum inegalitatea

IX. 013 Dacă x , y ≥ 0 satisfac x + y = 2 , arătaţi că : x 2 ⋅ y 2 ⋅ (x 2 + y 2 ) ≤ 2 . Concurs Irlanda Soluţie : Putem nota x = 1 – t , y = 1 + t , t ∈ [ 0 , 1 ] şi astfel avem : x2 y 2 (x2 + y 2 ) = (1 − t 2 ) 2 ((1 − t)2 + (1 + t)2 ) = 2(1 − t 2 )(1 − t 4 ) ≤ 2 ■

⎡ π⎤ f : ⎢0, ⎥ → [0,1] ⎣ 2⎦

sin ∠MAC1 + sin ∠MAB1 ≤ 2 sin

∠MAC1 + ∠MAB1 A = 2 sin . Aceasta , 2 2

tri n

w .n

2 şi g ( x) = log 2 x + 1 = log 2 ( x + 1 ) ≥ log 2 2 = 1 ⇒ ecuaţia are soluţia a

pentru care f (a ) = g (a ) = 1 ⇒a = 1 . ■ X.002. Fie M un punct în interiorul triunghiului ABC şi d a , db , dc distanţele de la M la laturile triunghiului , iar t a , t b , t c distanţele de A la M la vârfurile triunghiului. Arătaţi că : ∑da ≤ ∑ta ⋅ sin . 2 Nicolae Stăniloiu , Bocşa , juriu ON 2003 25

, f(x)= sin x şi avem :

împreună cu relaţia anterioară , conduce la : d a + d b ≤ 2t a ⋅ sin

A ; 2

scriem şi analoagele , inegalitatea cerută fiind apoi imediată. ■ X.003. Determinaţi a ∈ ℤ pentru care soluţiile ecuaţiei 3x 3 − 3x 2 + a = 0 sunt raţionale. Concurs Austria

q , unde 3 q ∈ ℤ , aşadar ecuaţia conduce la : q 3 − 3q 2 + 9a = 0 ( ecuaţie care

Soluţie : Orice rădăcină raţională a ecuaţiei este de forma

IX. 014. Fie a , b , c > 0 astfel încât abc = 1 . Arătaţi că : 1 ⎞⎛ 1 ⎞⎛ 1⎞ ⎛ ⎜ a − 1 + ⎟⎜ b − 1 + ⎟⎜ c − 1 + ⎟ ≤ 1 . b ⎠⎝ c ⎠⎝ a⎠ ⎝ Concurs Coreea r q p Soluţie : Notăm a = , b = , c = , unde p , q , r > 0 p r q .Inegalitatea propusă conduce la ( p − q + r )(q − r + p)(r − p + q) ≤ prq . Deoarece suma oricăror două dintre numerele u = p − q + r , v = q − r + p şi w = r − p + q este un număr pozitiv , rezultă că dintre ele cel mult unul poate fi negative şi în acel caz inegalitatea este adevărată ; u+v dacă u , v , w ≥ 0 , atunci folosim uv ≤ şi analoagele , 2 de unde se ajunge la uvw ≤ pqr . ■ X. 001. Rezolvaţi ecuaţia: 2 x + log 2 x = x 2 + log 2 ( x 2 + 1) . Lucian Dragomir Soluţie : Evident , se impune x > 0 . Ecuaţia se poate scrie f ( x) = g ( x) , unde f ( x) = 2 x − x 2 are valoarea maximă yV = 1

lui Jensen funcţiei concave

are soluţii întregi ) ; notăm cu x1 , x 2 , x3 ∈ ℤ soluţiile acestei ecuaţii. Folosind relaţiile lui Viete avem : x1 + x2 + x3 = 3 ,

x1x2 + x2 x3 + x3 x1 = 0 , de unde imediat x1 + x2 + x3 = 9; în ℤ avem posibilităţile ( x1 , x 2 , x3 ) = (0,0,3) şi permutările sau ( x1 , x 2 , x3 ) = (1,1,2) ,etc. Se ajunge imediat la a = 0 ca unică posibilitate convenabilă. ■ 2

X.004. Două cercuri se intersectează în punctele A şi B , iar o secantă care trece prin A intersectează cercurile în C şi D . Dacă M şi N sunt mijloacele arcelor BC şi BD care nu conţin punctul A , iar K este mijlocul lui ( CD ) , determinaţi m(∠MKN ) . Concurs Iran

o. ro

Soluţie : Problema ni se pare deosebit de frumoasă şi nu foarte uşoară : Considerăm rotaţia R1 de centru N şi unghi ∠DNB , apoi rotaţia R2 de centru M şi unghi ∠BMC . Deoarece

X. 007. Fie A o mulţime de numere reale care satisface proprietăţile : a) 1∈A; b) 3 x ∈A ⇒(1+x)∈A;

)DNB + )BMC = 180D , rezultă că R = R2 D R1 este o rotaţie de

unghi 180o , prin care D ajunge în C , deci al cărei centru este K. Rezultă că T = R( N ) este simetricul lui N faţă de K. Pe de altă parte , R1 ( N ) = N , deci MT= MN ; analog KN = KT , deci MK ⊥ KN . Măsura cerută este deci 90o. ■ 2

Soluţie : Observăm soluţiile x = 0, x =1 şi arătăm că sunt singurele. Pentru x < 0 nu avem soluţii (de ce ?) , deci presupunem x > 0 . Fie f ( x) = 6 x − 5 x ; dacă x > 1 , atunci f ( x 2 ) > f ( x) , deoarece f este

Demonstraţi că : 3 ∈ A şi 1 + 2 2 ∈ A .

şi , din 6 x − 5 x < 5 x − 4 x , ∀ x < 1 , avem că x = 1 şi x = 0 sunt singurele soluţii.

Rămâne de justificat 6 − 5 > 5 − 4 , ∀ x > 1 şi 6 x − 5 x < 5 x − 4 x , ∀ x < 1 . Funcţia g : (0, ∞) → ℝ , g (t ) = t x este convexă pentru x > 1 şi concavă pentru x

w .n

x < 1 , aşadar pentru a,b > 0 avem : x

ax + bx ⎛ a + b ⎞ ≥⎜ ⎟ ,∀ x > 1 şi 2 ⎝ 2 ⎠

ax + bx ⎛ a + b ⎞ ≤⎜ ⎟ , ∀ x < 1 , cu egalitate doar pentru a = b sau 2 ⎝ 2 ⎠ x = 1 sau x = 0 . Luăm acum a = 6 şi b = 4 . ■

Lucian Dragomir , Oţelu – Roşu ( 2)

Soluţie : 3 1 = 1 ∈ A ⇒ 2 ∈ A , deci ( 3)

( 3)

⇒ 3 ∈ A ; 2 ∈ A ⇒ 2 = 3 8 ∈ A sau

( 2)

8 ∈ A⇒ 9 ∈ A 3

8∈A

( 2)

⇒1 + 8 ∈ A . ■

X. 008.

Arătaţi că mulţimea ℝ ∖ ℚ este infinită . ***

Soluţie: De exemplu , pentru orice n ∈ ℕ * , numărul iraţional ( n 2 < n 2 + 1 < (n + 1) 2 ) . ■

strict crescătoare pe ( 0 , ∞ ) ; dar 6 x − 5 x > 5 x − 4 x , ∀x > 1, aşadar ecuaţia nu are soluţii x > 1 . Dacă x < 1, avem f ( x 2 ) < f ( x)

x ∈A.

tri n

X. 006. Rezolvaţi ecuaţia : 5 x + 5 x = 4 x + 6 x . Nicolae Dragomir , Reşiţa , juriu ON 2003

c ) x∈ A ⇒

n 2 + 1 este

Într-un triunghi ABC avem m(∠A) ≥ 60 0 . ⎛ a ⎞⎛ a ⎞ Arătaţi că : ⎜1 + ⎟⎜1 + ⎟ ≥ 4 . ⎝ b ⎠⎝ c ⎠ Titu Andreescu , SUA a a şi Soluţie : Folosim inegalitatea mediilor : 1 + ≥ 2 b b

X. 009.

a a ≥2 ; înmulţim aceste inegalităţi şi folosim teorema c c cosinusului : a 2 ≥ b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos 60 0 ≥ bc ■ 1+

X. 010.

Dacă x ∈ ℝ şi ( sin x + cos x ) ∈ ℚ , arătaţi că ( sin n x + cos n x ) ∈ ℚ , ∀ n ∈ ℕ * . Alexandru Blaga , Ovidiu Pop , Satu – Mare 28

o. ro

Soluţie : Notăm S n = sin n x + cos n x , n ∈ ℕ , n ≥ 3 şi avem : S n = S n −1 (sin x + cos x) − S n − 2 ⋅ sin x ⋅ cos x . ( * )

X. 013. Dacă în triunghiul ABC avem A = 2B , arătaţi că între laturile sale există relaţia : a 2 = b(b + c) . E.Constantinescu , Bucureşti

t 2 −1 ∈ ℚ Folosim 2 acum principiul inducţiei matematice presupunem că S k ∈ℚ , ∀

Notăm t = sin x + cos x ∈ ℚ ⇒ sin x ⋅ cos x =

X. 011. Fie f , g : ℝ → ℝ funcţii pentru care există a , b ∈ ℝ * astfel încât: ( g D g )( x) = a ⋅ g ( x) + b ⋅ f ( x 3 ) , ∀ x ∈ ℝ . Arătaţi că dacă f este injectivă , atunci şi g este injectivă . D.M.Bătineţu-Giurgiu , Bucureşti

X. 014. Se pot numerota muchiile unui cub de la 1 la 12 astfel încât suma numerelor corespunzătoare celor 3 muchii care pleacă dintr-un acelaşi vârf să fie constantă ? *** Soluţie : Răspuns negativ . Presupunând că e posibil , notăm cu S suma comună celor 8 vârfuri ⇒ 8S = 2(1 + 2 + 3 + ... + 12) ( deoarece fiecare muchie apare de două ori , câte o dată pentru 12 ⋅ 13 2⋅ 2 = 39 ∉ ℕ . ■ fiecare capăt ) ⇒ S = 8 2

1− t2 1 + t 2 = y ⇒ t 2 (a + b) − 2ty + a − b = 0 ; condiţiile 2t 1+ t2

a −b⋅

a − b cos x = sin x

w .n

Soluţie : Fie u , v ∈ ℝ astfel încât g ( u ) = g ( v ) ⇒ ag (u ) = ag (v) şi g(g(u)) = g(g(v)) , de unde bf (u 3 ) = bf (v 3 ) ; b ≠ 0 şi f injectivă conduc la : u 3 = v 3 , de unde u = v şi deci g este injectivă . ■ a − b ⋅ cos x X. 012. Fie a > b > 0 . Determinaţi min . x∈(0 ,π ) sin x Nicolae Bişboacă , Alba-Iulia Soluţie : x ∈ (0, π ) ⇒ cos x ∈ (−1,1) ⇒ −b cos x ∈ (−b, b) ⇒ a − b cos x ∈ (a − b, a + b) ⇒ a − b cos x > a − b > 0 şi a − b cos x = y > 0 . În plus , din x ∈ (0, π ) rezultă sin x x x π ∈ (0, ) ⇒ tg = t ∈ ℝ + . Din 2 2 2

tri n

k = 1, n − 1 , de unde Sn ∈ ℚ ■

Soluţie : Fie (AD bisectoarea lui ∠A . Din ΔADC ~ ΔBAC avem : AC DC b2 = ⇒ DC = . Teorema bisectoarei AD în ΔABC BC AC a ab conduce imediat la DC = . Finalizarea vă aparţine ! ■ b+c

XI. 001. Determinaţi funcţiile continue şi impare care satisfac: f D f = 1ℝ . Soluţie: Din ipoteză avem că f este injectivă şi surjectivă , deci bijectivă şi , fiind continuă , f este strict monotonă . ( i ) dacă f este strict crescătoare vom arăta că f = 1ℝ ; presupunem prin reducere la absurd că există a ∈ ℝ cu f (a ) ≠ a , de exemplu f(a)<a . Cum f este strict crescătoare ajungem la f(f(a)) < f(a ) şi , folosind ipoteza , avem : a < f(a) , contradicţie . ( ii) dacă f e strict descrescătoare , atunci considerăm g = - f şi obţinem g = 1ℝ . În final avem f = 1ℝ sau f = - 1ℝ . ■

Δ ≥ 0 şi y > 0 conduc la y min = a 2 − b 2 ■ 29

o. ro

XI. 002. Fie A ∈ M2(ℝ) şi H(A) = {B∈M2(ℝ)/AB = BA }

XI. 007. Fie f : ℕ → ℕ o funcţie injectivă . Demonstraţi că lim f (n) = ∞ . Rămâne adevărată afirmaţia dacă se înlocuieşte n →∞

condiţia de injectivitate cu cea de surjectivitate? Soluţie : Presupunem prin absurd că lim f (n) ≠ ∞ ⇒ şirul

w .n

XI.004. Fie ABCD un pătrat circumscris unui cerc de rază 1 şi a , b , c , d distanţele de la un punct oarecare P la vârfurile pătratului ( PA = a , PB = b , PC = c , PD = d ) . Arătaţi că P se află pe cercul dat dacă şi numai dacă a 2 c 2 + b 2 d 2 = 10. Nicolae Soare , Bucureşti

Soluţie : Se poate alege un sistem de coordonate cu originea în centrul cercului şi astfel avem A ( 1 , 1 ) , B ( 1 , - 1 ) ,C(-1 , -1 ) , D ( -1,1 ) , P (x , y ) . Calcule imediate conduc la a 2 c 2 + b 2 d 2 = 10. ⇔ x 2 + y 2 = 1 .■

n →∞

( f (n)) n≥0 are un subşir mărginit. Orice şir mărginit de numere naturale are însă un număr finit de valori distincte , contradicţie cu injectivitatea lui f . Dacă f este surjectivă şi neinjectivă nu rezultă ⎧⎪ n ,...n.. par ■ lim f (n) = ∞ . E suficient contraexemplul f (n) = ⎨ 2 n →∞ ⎪⎩1,..n..impar

XI.003. Pentru o matrice A ∈ M2( ℂ ) notăm X ( A) = det( A 2 + I 2 ) + det( A 2 − I 2 ) . Arătaţi că : a) Dacă detA ≠ 0 , atunci X(A) > 2 ; b) Există o infinitate de matrice A pentru care X(A)=2 . Lucian Dragomir , juriu ON 2003 Soluţie : Notăm cu f ( x) = det( A − xI 2 ) = x 2 − tr ( A) x + det A = x 2 − ax + b polinomul caracteristic al matricei A . Avem astfel X ( A) = f (i ) f (−i ) + f (1) f (−1) = ... = 2b 2 + 2 . Dacă b ≠ 0 , evident X ( A ) > 2 , iar pentru b ) avem cu necesitate b = 0 ; toate matricele nesingulare ( care sunt o infinitate ) satisfac relaţia . ■

Soluţie : Considerăm funcţia g : [0 , 1] → ℝ , g ( x) = (1 − x 2 ) f ( x) care este funcţie Rolle ; aplicăm teorema lui Rolle pe [0,1] , având şi g(0) = g(1) . Este nevoie de stricta monotonie a funcţiei f ? ■

tri n

Arătaţi că dacă det( A + B ) = detA + detB , ∀B∈ H( A ) , atunci A2 = O2 . Dorel Miheţ , Timişoara Soluţie : Notăm cu u , v rădăcinile polinomului P = det( A − X ⋅ I 2 ) ∈ℝ[X];se ştie că ( A − uI 2 )( A − vI 2 ) = O2 (*) .Deoarece –uI2 , -vI2 sunt în H(A), avem : 0 = det( A − uI 2 ) det( A − vI 2 ) = (det A + u 2 )(det A + v 2 ) ; se deduce u = v = 0 , de unde A2 = O2 . ■

XI. 005 Dacă f : [ 0 , 1 ] → ℝ este derivabilă , strict crescătoare , cu f ' (c ) 2c f(0) = 0 , arătaţi că există c ∈ ( 0 , 1) astfel încât : = . f (c ) 1 − c 2 Lucian Dragomir

XI. 008. Calculaţi S =

3 n −1

∑ (−1)

k =0

⋅ C 62nk +1 ⋅ 3 k . ***

Soluţie : S =

3 n −1

∑C k =0

1 i 3

2 k +1 6n

(−3 k ) =

3 n −1

∑C k =0

2 k +1 6n

(i 3 ) 2 k =

Im(1 + i 3 ) 6 n = 0 . ■

XI. 009. Demonstraţi că :

x−3 x x −1 ≥ ,∀x≥0. 4 3 Gheorghe Stoica , Bucureşti 32

o. ro

Soluţie : Notăm t = 6 x ≥ 0 şi inegalitatea propusă devine : 3(t 6 − t 2 ) ≥ 4(t 3 − 1) ⇔ P (t ) = 3t 6 − 4t 3 − 3t 2 + 4 ≥ 0 ;observăm că P ( 1 ) = 0 şi deci : P( t ) = ( t – 1 ) Q ( t ) , unde Q ( t ) se determină imediat şi se observă Q ( 1 ) = 0 . Avem astfel : P (t ) = (t − 1) 2 (3t 4 + 6t 3 + 9t 2 + 8t + 4) ≥ 0 , ∀ t > 0 . ■

b ) ∃ q ∈ ℚ * astfel încât a = cos qπ , b = sin qπ . Marcel Ţena , Bucureşti Soluţie : a ) Trecem la determinanţi în A n = I 2 şi avem (det A) n = 1 ; cum detA = a2 + b 2 ≥ 0 , deducem a 2 + b 2 = 1 , deci ⎛ cos t sin t ⎞ ⎛ cos kt sin kt ⎞ ,∀k∈ ℕ*şi astfel ⎟⎟ ⇒ A k = ⎜⎜ ⎟⎟ A = ⎜⎜ ⎝ − sin t cos t ⎠ ⎝ − sin kt cos kt ⎠

w .n

A n = I 2 ⇔ cosnt = 1 , sinnt = 0 , adică nt = 2 pπ ,p∈ℤ ⇒ 2p t= π = qπ , q ∈ ℚ ; n u b ) Dacă a = cos qπ , b = sin qπ , q ∈ ℚ ⇒ q = , u ∈ ℤ , v ⎛

2uπ

⎝

2u ⎜ cos 2v v ∈ ℕ* sau chiar q = ⇒ A=⎜ 2v ⎜ − sin 2uπ ⎜ imediat A

2uπ 2v 2uπ cos 2v sin

⎞ ⎟ ⎟ ;se obţine ⎟ ⎟ ⎠

= I 2 ; notăm n = 2v . ■

XI. 011. Care este numărul maxim de elemente ce pot fi alese din mulţimea { 1 , 2 , 3 , … , 2005 } astfel încât oricare două dintre cele alese să aibă suma multiplu de 8 ? *** 33

XI. 012. Un pătrat de latură 1 se împarte în 9 pătrate egale de latură 1 şi se haşurează pătratul din mijloc . Se repetă procedeul , 3 împărţind cele 8 pătrate rămase în 9 pătrate fiecare , haşurându-se pătratele din mijloc. Arătaţi că după 1000 de astfel de paşi aria haşurată nu depăşeşte 0,999. Cristinel Mortici , Târgovişte 2

1 ⎛1⎞ Soluţie : După primul pas , suprafaţa haşurată are aria ⎜ ⎟ = , 9 ⎝3⎠ 1 după al doilea pas se obţin 8 noi pătrate de latură , suprafaţa 9 8 haşurată crescând astfel cu 2 . După al treilea pas se adaugă 82 = 9 1 , iar aria suprafeţei haşurate este 64 noi pătrate de latură 27 1 8 82 + + ; continuând procedeul , după 1000 de paşi aria este : 9 9 2 93

∃ t ∈ ℝ aşa încât a = cost , b = sint ⇒

avem x + y = 8p ∈ A . ■

tri n

⎛ a b⎞ ⎟⎟ ∈ M2( ℝ ) . XI. 010. Se consideră matricea A = ⎜⎜ ⎝− b a⎠ Arătaţi că următoarele afirmaţii sunt echivalente : a ) ∃ n ∈ ℕ * astfel încât A n = I 2 ;

Soluţie : Mulţimea A = { 8k / k = 1,250 } satisface proprietatea din enunţ şi are 250 de elemente ; se pot găsi mai multe ? B = { 8k + 4 / k = 0,250 } are 251 de elemente şi dacă x = 8k + 4 , y = 8m + 4 ,

1000

⎛8⎞ 1− ⎜ ⎟ 1 9 = ⋅ ⎝ ⎠ 8 9 1− 9

1 8 82 8999 + 2 + 3 + ... + 1000 9 9 9 9 ⎛8⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝9⎠

1000

⎛9⎞ > 0,999 , adică ⎜ ⎟ ⎝8⎠

1000

⎛8⎞ = 1− ⎜ ⎟ ⎝9⎠

1000

; mai arătăm acum că

> 1000 ;

într-adevăr , avem : 1000

⎛9⎞ ⎜ ⎟ ⎝8⎠

⎛ 81 ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 64 ⎠

500

⎛5⎞ >⎜ ⎟ ⎝ 4⎠

500

⎛ 25 ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 16 ⎠

250

⎛ 3⎞ >⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

250

125

⎛9⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 4⎠

> 210

.■

o. ro

Soluţie : f injectivă şi continuă ⇒ f strict monotonă ⇒ derivata f ‘ x ( x 3 + 3 x − 2a ) are semn constant pe ℝ ; f ' ( x) = şi ecuaţia ( x 2 + 1) 2

Soluţie: Considerăm f ( X ) = ∑ a k X k şi înlocuind în relaţia din k =0

w .n

ipoteză ajungem la n = 3 . Dăm valori convenabile lui x şi obţinem f( 27 ) = 0 , f ( 9 ) = 0 , apoi f ( 3 ) = 0 . Se verifică acum că f ( X ) = c( X − 3)( X − 9)( X − 27) satisface egalitatea din enunţ . ■ XII. 007. Fie H o parte stabilă a lui ℕ în raport cu adunarea .

Arătaţi că dacă 6 ∈ H , 7 ∈ H , atunci ∀ n ∈ ℕ , n ≥ 30 ⇒ n ∈ H . Gazeta Matematică Soluţie : 6 + 6 = 12 ∈ H ,6 + 7 = 13 ∈ H ,7 + 7 = 14 ∈ H Avem acum : 12 + 12 = 24 ∈ H şi 6 + 24 = 30 ∈ H , 18 + 13 = 31 ∈ H , 13 + 13 + 6 = 32 ∈ H , 26 + 7 = 33 ∈ H ,

7 ⋅ 4 + 6 = 34 ∈ H , 7 ⋅ 5 = 35 ∈ H ; folosim acum :n ∈ H ⇒

n + 6 ∈ H (adică altfel formulată, problema e de clasa a IX a ! ) ■ 35

x 3 + 3 x − 2a = 0 are o singură rădăcină reală α ( şirul lui Rolle ) ⇒

f ‘ are două zerouri reale : 0 şi α . Acum , f ‘ are semn constant ⇒

α = 0 ⇒ a = 0 . Se verifică ( obligatoriu ) că această condiţie este şi suficientă . Aşadar a = 0 . ■ ⎡ π⎤ XII. 009. Se consideră o funcţie f : ⎢0, ⎥ → ℝ având o primitivă ⎣ 2⎦ π F cu proprietatea că : F (0) = F ( ) . Demonstraţi că există t ∈ 2 ⎛ π⎞ ⎜ 0, ⎟ astfel încât (sin t + cos t ) f (t ) = (sin t − cos t ) F (t ). ⎝ 2⎠ Lucian Dragomir , Oţelu-Roşu π Soluţie : Considerăm g : [0, ] → ℝ , g ( x) = (sin x + cos x) F ( x) 2 π care este derivabilă şi , folosind ipoteza ,avem g (0) = g ( ) . 2 π Aplicăm acum teorema lui Rolle pe [0, ] . ■ 2 XII. 010. Determinaţi toate funcţiile f : (0, ∞) → (0, ∞) care satisfac : 2 xf ( y ) ≤ xf ( x) + yf ( y ) , ∀ x , y > 0 . Marcel Chiriţă , Bucureşti Soluţie : Problemă dificilă , dar frumoasă , sau cel puţin incitantă .Din ipoteză : x( f ( x) − f ( y )) ≥ f ( y )( x − y ) ;

XI. 014. Determinaţi polinoamele f ∈ ℝ[X] care satisfac : ( X − 27) f (3 X ) = 27( X − 1) f ( X ) . Concurs Austria

XII. 008 Determinaţi a ∈ ℝ astfel încât funcţia f : ℝ → ℝ , x3 + a să fie injectivă . f ( x) = 2 x +1 Laurenţiu Panaitopol , Bucureşti

tri n

XI. 013. În interiorul unui cub de latură 9 se află 1981 de puncte . Să se arate că există 2 puncte la o distanţă mai mică decât 1 . Titu Andreescu , SUA Soluţie : Presupunem contrariul şi avem că sferele centrate în 1 au interioare disjuncte şi sunt aceste puncte şi având razele 2 plasate în interiorul cubului de latură 10 determinat de 6 plane paralele la feţele cubului dat şi situate în exteriorul acestora la 1 distanţa . Calculând volumele sferelor rezultă că 2 2 4π ⎛ 1 ⎞ π 1981 ⋅ ⋅ ⎜ ⎟ = 1981 ⋅ este mai mare decât 10 3 = 1000 , ceea 3 ⎝2⎠ 6 ce este fals. ■

Pentru x > y avem : f ( x) − f ( y ) ≥ f ( y ) ≥ 0 , deci f este crescătoare x− y

o. ro

⇒ f are limite laterale finite în orice x > 0 De asemenea , avem (2 x − y ) f ( y ) ≤ xf ( x) şi , comutând x cu y ,ajungem la:

(2 y − x) f ( x) ≤ yf ( y ) ⇒ 2 y − x f ( x) ≤ f ( y ) ≤ y

x f ( x) . Fixăm pe 2x − y

x şi facem y → x ⇒ f ( x) ≤ lim f ( y ) ≤ f ( x) , adică f este y→ x

continuă pe (0, ∞ ) . Ajungem acum la : f ( y ) ≤ f ( y ) − f ( x) ≤ f ( x) ; y

trecem la limită pentru y → x şi avem : lim f ( y ) − f ( x) = f ( x) ⇒ y→x y−x x '

f ( x) ⎛ f ( x) ⎞ . Deoarece ⎜ ⎟ =0 x ⎝ x ⎠ rezultă f ( x) = ax , ∀ x > 0 ( a > 0 ) . ■

f este derivabilă pe (0, ∞ )şi f ' ( x) =

deci există lim F ( x) = L . Pentru n ∈ ℕ aplicăm teorema lui x →∞

Lagrange pe [ n , n + 1 ] funcţiei F ⇒ ∃ c n ∈ (n, n + 1) cu n −1

w .n

F (n + 1) − F (n) = e c ≥ e n ⇒ F (n) ≥ ∑ e k ⇒ 2

k =1

lim F (n) = ∞ ⇒ lim F ( x) = ∞ . Aplicând teorema lui L’Hospital ∞

x →∞

xF ( x) 1 = . ■ x →∞ f ( x ) 2

succesiv de două ori obţinem lim

XII. 012. Tangenta la graficul funcţiei f : ℝ → ℝ , f ( x) = x 2 intersectează axele Ox şi Oy în punctele A , respectiv B astfel încât OA = OB . Determinaţi lungimea segmentului [AB]. Concurs Rusia 37

XII. 013. Găsiţi toate numerele întregi n pentru care mulţimea A = { 1 , 2 , 3 , … , n } se poate scrie ca o reuniune de trei submulţimi disjuncte astfel încât suma elementelor fiecăreia să fie aceeaşi . Concurs Iran Soluţie : Notăm cu X , Y , Z cele trei submulţimi şi deci : X ∩ Y ∩ Z = ∅ , X ∪ Y ∪ Z = {1,2,..., n} şi n(n + 1) . Deducem acum : 3 / n(n + 1) , adică a = ∑a = ∑a = ∑ 6 a∈ X a∈Y a∈Z n este congruent cu 0 , 2 , 3 sau 5 modulo 6 şi n ≥ 5 . Pentru n = 5 avem , de exemplu , X = {1,4}, Y = {2,3}, Z = {5}. Pentru n = 6 avem : X = {1,6}, Y = {2,5}, Z = {3,4} , pentru n = 7 găsim X = {1,2,3,6}, Y = {5,7}, Z = {4,8} . Presupunem că există o partiţie X,Y,Z cu proprietatea din enunţ pentru un n care satisface cindiţiile găsite ,atunci pentru n + 6 găsim X 1 = X ∪ {n + 1, n + 6}, Y1 = Y ∪ {n + 2, n + 5}, Z 1 = Z ∪ {n + 3, n + 4} care ( se verifică ! ) satisface de asemenea condiţiile cerute. Folosim acum principiul inducţiei matematice şi problema se încheie . ■

XII. 011. Dacă F : ℝ → ℝ e o primitivă a funcţiei f : ℝ → ℝ , 2 xF ( x) . f ( x) = e x , calculaţi : lim x →∞ f ( x ) Mihai Bălună , Bucureşti ' Soluţie : F ( x) = f ( x) > 0 , ∀ x ∈ℝ ⇒ F este strict crescătoare ,

tri n

y−x

Soluţie: Dacă punctul de tangenţă este T (u , v) , iar A(a,0), B(0, b) ⇒ y+v ecuaţia tangentei în T la parabolă este = x ⋅ u Cum A şi B sunt 2 pe tangentă , avem : ⎧0 = 2ua − v ; totodată v = u 2 şi OA = OB ⇒ a = −b ⎨ = − b v ⎩ 1 Din aceste patru egalităţi obţinem imediat că a = şi astfel 4 1 1 2 AB = a 2 + b 2 = + = . ■ 16 16 4

o. ro

XII. 014 Se consideră o funcţie f : ( 0 , ∞ ) → ( 0 , ∞ ) cu f ( x) , ∀ x , y > 0 . Dacă proprietatea că f ( xy ) = y f ( 500 ) = 3 , determinaţi f ( 600 ) . Concurs SUA

Probleme propuse Clasa a V-a

V. 015. Dacă n = abc şi m = cba , a > c > 0 , poate fi numărul n – m pătrat perfect ? Gazeta Matematică

6 f (500) 5 . Desigur , putem determina chiar f (600) = f (500 ⋅ ) = = 6 5 2 5

1 f (500) = 1500 şi apoi )= 500 1 / 500 f (1) 1500 f ( x) = f (1 ⋅ x) = = ,x > 0. ■ x x

w .n

funcţia dată : f (1) = f (500 ⋅

V. 016. Pe tablă sunt scrise patru numere . Se stabileşte să se aleagă oricare două dintre ele , să li se adauge o unitate şi să se scrie numerele obţinute în locul celor alese iniţial . E posibil ca prin mai multe astfel de operaţii să se ajungă de la numerele 2 , 0 , 0 , 5 la patru numere egale ? *** V. 017. Acasă la Dragoş au venit în vizită câţiva colegi de clasă ; mama sa l-a întrebat câţi musafiri are, iar Dragoş a răspuns : “ Mai mulţi decât şase “ , dar Roxana , sora lui , îi spune mamei : “ Mai mulţi decât cinci “. Ştiind că un singur răspuns este corect , câţi musafiri are Dragoş ? *** V. 018. O familie e formată din trei persoane : tata , mama şi copilul . Acum suma vârstelor lor este de 74 de ani , iar cu 10 ani în urmă această sumă era de 47 de ani . Câţi ani are acum tatăl dacă este cu 28 de ani mai mare decât copilul ? Concurs Rusia

tri n

Soluţie:

V. 019. Găsiţi toate numerele de trei cifre care se micşorează de 5 ori după ştergerea primei cifre . *** V. 020. La numerotarea paginilor unui manual s-au folosit 495 cifre . Câte pagini are manualul ? *** V. 021. Arătaţi că nu există n ∈ ℕ pentru care numărul A = 9 5 n + 7 + 4 3n +5 este pătrat perfect .

*** 40

o. ro

V. 022 . În fiecare dintre pătrăţelele unui tabel dreptunghiular cu 4 linii şi 5 coloane scriem câte un număr natural astfel încât suma numerelor de pe fiecare linie să fie aceeaşi , iar suma numerelor de pe fiecare coloană să fie , de asemenea , aceeaşi ( nu neapărat egală cu cea de pe linii ). Notăm cu S suma numerelor din tabel . a ) Putem avea S = 30 ? ; b ) Câte tabele există cu S < 20 ? Dorel Miheţ , Timişoara

VI. 019. Într-un triunghi lungimile laturilor sunt numere naturale pare şi o latură este egală cu 2 . Arătaţi că triunghiul este isoscel . ***

V. 023. Peste deal , printre mioare , Zboară nişte vrăbioare . Câte păsări sunt , câte mioare , Dacă-s 8 capete şi 20 picioare ? ***

există M ∈ (AB) astfel încât MB=BC . a ) Dacă B1 este simetricul lui B faţă de AC , arătaţi că MC = BB1 ; b ) Aflaţi măsurile unghiurilor triunghiului ABC dacă AB = MC . Dorel Miheţ , Timişoara VI. 022 . O bucată triunghiulară de carton este tăiată în bucăţi ( folosind tăieturi drepte ) . Bucăţile obţinute sunt grupate după numărul de laturi.Arătaţi că dacă numărul grupurilor este cel puţin patru , atunci acest număr nu depăşeşte numărul triunghiurilor obţinute . *** VI. 023. Care dintre următoarele numere este pătrat perfect : 44 ... ...

4 sau 55

5 ?

w .n

VI. 015. Vârsta medie a celor unsprezece jucători ai unei echipe de fotbal este de 22 ani.În timpul unui meci unul dintre jucători este eliminat ( a primit cartonaşul roşu ). Ce vârstă are jucătorul eliminat dacă vârsta medie a jucătorilor rămaşi pe teren a coborât la 21 de ani ? *** VI. 016 . Pe un drum de munte sunt doi turişti . Unul dintre ei face paşii cu 10% mai mici , dar în acelaşi timp şi cu 10% mai deşi decât celălalt. Care dintre turişti parcurge mai repede un kilometru? Concurs Rusia VI. 017. Pe o tablă sunt scrise numerele 1,2,3,...,10 Care este cel mai mic număr de numere care trebuie şterse de pe tablă astfel încât numerele rămase să poată fi împărţite în două grupe aşa încât produsele numerelor din cele două grupe să fie egale ? Concurs Rusia VI. 018. Numărul natural n este produsul a două numere prime , iar suma tuturor divizorilor săi , inclusive 1 dar exclusiv n , este egală cu 1000 . Găsiţi toate valorile posibile ale lui n . Concurs Rusia

tri n

Clasa a VI-a

VI. 020. Găsiţi numerele a , b , c ∈ ℕ dacă : a a+c 2b . = = a +1 b + 2 c + 3 Dorel Miheţ , Timişoara VI. 021. Considerăm triunghiul ABC în care m(∠B) = 2 ⋅ m(∠C ) şi

444.cifre

555.cifre

***

Clasa a VII-a VII. 015. Se poate construi doar cu rigla negradată şi compasul un unghi cu măsura de 37 0 30 ' ? Gazeta Matematică VII. 016 . Se consideră o mulţime A de numere naturale cu cel

puţin trei elemente şi care are proprietatea : ∀ a , b ∈ A , a ≠ b ≠ 0 , restul împărţirii lui a la b este element al mulţimii A. 42

o. ro

VII. 022. Pe fiecare din laturile (AB) , (BC) , (CA ) ale unui triunghi se consideră câte trei puncte distincte . Câte triunghiuri se pot forma având vârfurile în cele nouă puncte considerate ? ***

Arătaţi că : a ) 0 ∈ A ; b ) dacă 23 este cel mai mare element al mulţimii A , atunci 1 ∈ A .

Arătaţi că : 5 ∈ A ⇒ 0 ∈ A .

Clasa a VIII-a

VIII. 015. Demonstraţi că numerele de forma 9n + 6 , n ∈ ℕ , nu se pot scrie ca sumă a două pătrate de numere întregi . Gazeta Matematică

w .n

VII. 018. Un bătrân are o capră , o vacă , o iapă şi o claie de fân . Nepotul ţăranului a calculat că această claie ar ajunge pentru hrana caprei şi a iepei timp de o lună sau pentru capră şi vacă timp de 3/4 de lună sau pentru vacă şi iapă timp de 1/3 de lună . Bunicul a gândit puţin şi i-a spus nepotului : “ Sau vă învaţă aiurea la şcoală sau tu nu eşti atent şi dormi ! “ De ce s-a adresat astfel bunicul nepotului său ? Concurs Rusia VII. 019 . Într-o cutie se găsesc creioane de trei culori : roşii , galbene şi albastre , şi de trei dimensiuni : scurte , medii şi lungi , astfel încât există creioane de toate cele trei culori şi de toate cele trei dimensiuni . Se poate afirma că în cutie se găsesc cel puţin trei creioane , două câte două deosebindu-se şi prin culoare şi prin dimensiuni ? Concurs Rusia

VII. 023. În interiorul unui triunghi echilateral de latură 1 se află 5 puncte . Arătaţi că există cel puţin două puncte care au distanţa 1 *** dintre ele mai mică de . 2

tri n

*** VII. 017 . O mulţime nevidă finită A de numere naturale are proprietatea : x ∀ x ∈ A ⇒ ( x – 1 ) ∈ A sau ∈ A . 2

VII. 020 . Rezolvaţi ecuaţia : x19 + x 95 = 2 x19+95 . Concurs Rusia

VII. 021 . În cele 64 de pătrate ale unei table de şah se scriu numerele - 1 , 0 sau 1 . Este posibilă o numerotare astfel încât sumele numerelor de pe linii , coloane şi diagonale să fie distincte ? *** 43

VIII. 016. Determinaţi perechile ( x , y ) de numere naturale pentru care (3x + 2x ) y − (3y − 2y )x = 1. Manuela Prajea , Drobeta Tr.Severin VIII. 017. Determinaţi tripletele ( x , y , z ) de numere reale care ⎧1 1 ⎪z + y = x ⎪ ⎪1 1 G.M. satisfac : ⎨ + = y . ⎪x z ⎪1 + 1 = z ⎪⎩ y x VIII. 018 . Să se determine cel mai mic număr de forma 11k − 5 m , unde k , m ∈ N* .

*** 44

o. ro

IX. 016 Notăm cu O punctul de intersecţie al diagonalelor paralelogramului ABCD şi cu G1 , G2 centrele de greutate ale triunghiurilor AOD , respectiv BOC. Demonstraţi , prin două metode , că punctele O , G1 , G2 sunt coliniare. G.M.

2a b + =2 . a+b a −b 3a − b Găsiţi valorile posibile ale expresiei E = . a + 5b Concurs Rusia VIII. 020. Câte numere de 4 cifre există care nu se divid prin 1000 şi la care prima şi ultima cifră sunt pare ? Concurs Rusia

VIII. 019 . Numerele a şi b satisfac egalitatea

2 −1 ∈ A ; 2 + 3∉A ; ⎛ 1⎞ c ) Demonstraţi că : A ∩ ⎜ 0; ⎟ ≠ ∅ . ⎝ 10 ⎠

***

Clasa a IX-a

IX. 015 . Determinaţi m ∈ ℝ pentru care există cel puţin un n ∈ ℤ astfel încât 3n 2 − 2mn = 2 − m − m 2 . G.M.

*** IX. 019. Numărul 2 n are 30 de cifre . Arătaţi că una din cifre se repetă de cel puţin 4 ori . *** IX. 020. Determinaţi primele 2005 zecimale ale numărului 0,11 ...1 . N *** IX. 021. Determinaţi numerele strict pozitive a k , k = 1, n ştiind că

*** VIII . 023 . Se consideră numerele distincte a1 , a 2 ,..., a 20 dintre numerele 1 , 2 , 3 , … , 100 . Arătaţi că cel puţin trei dintre diferenţele ai − a j , i ≠ j ∈ {1,2,...,20} sunt egale .

f(b)–f(a)=a–b,∀a,b∈A.

2005

w .n

a ) Să se arate că b ) Să se arate că

tri n

VIII. 022. Se consideră mulţimea A = { k + n /k ∈ ℤ , n ∈ ℕ } .

IX. 018 Fie A = { 1 , 2 , 3 , … , 2005 } . Determinaţi funcţiile f : A → A cu proprietatea că

VIII. 021. Se spune că o mulţime nevidă şi finită de numere naturale nenule şi distincte este interesantă dacă orice submulţime nevidă a sa are media aritmetică a elementelor un număr natural . a) Determinaţi o mulţime interesantă care are 4 elemente ; b) Arătaţi că nu există o mulţime interesantă cu 4 elemente care să conţină mulţimea { 2 , 4 , 6 } . ***

IX. 017 Demonstraţi că pentru orice n ∈ ℕ , numărul 1 + 3 n ⋅ (2n − 1) este divizibil cu 4 . Iacob Didraga , Caransebeş

a 3 = 4 şi

n −1

⎛

k =1

⎝

1 ⎞⎟ n ⋅ a n , ∀ n ∈ ℕ , n ≥ 2 . = 2 ⎟ 2 2a n −1 k ⎠

∏ ⎜⎜1 − a

Marian Ursărescu , Roman IX. 022. Demonstraţi că între lungimile laturilor unui triunghi ABC are loc inegalitatea : a + b + c ≥ b+c −a + c + a −b + a +b−c

Concurs Assian Pacific IX. 023. Determinmaţi m ∈ ℤ pentru care ecuaţia mx 2 − (3m + 1) x + 2m + 1 = 0 are rădăcinile întregi . Lucian Dragomir , Oţelu-Roşu

o. ro

X. 023. Se consideră sistemul de ecuaţii : ⎧log x y + log y x = 2 . ⎨ x n + y = 12 ⎩

Clasa a X-a X. 015. Rezolvaţi ecuaţia :

(sin x) cos x = (cos x) sin x , x ∈ (0, ) . 2

Determinaţi n ∈ ℕ * pentru care sistemul are soluţii în ℤ2 şi găsiţi aceste soluţii .

***

Clasa a XI-a

= 16 , x ∈ ℝ+* . Concurs Cluj

X. 017. Se consideră a > b > 1, A = log a (a − b) , B = log b (a − b) . Demonstraţi că dacă a 2 + b 2 = 3ab , atunci A + B = 2 AB .Reciproca este adevărată ? Dorel Miheţ , Timişoara

X. 018 . Fie z ∈ ℂ cu z = 1 ,Re(z)∈ℚ şi Im(z)∈ℚ. Arătaţi că ***

x 3

X. 019. Rezolvaţi ecuaţia : 3 + 5 = 2

*** X. 020 . Fie x , y numere complexe astfel încât x ≠ y şi x = y . 1 x+ y < x . 2

w .n

Arătaţi că :

***

X. 021. Rezolvaţi ecuaţia : log 3 x = 1 − x . Lucian Dragomir , Oţelu-Roşu 3

X. 022. Notăm cu F mulţimea funcţiilor f : ℝ → ℝ care satisfac proprietatea f ( f ( x) + y ) = f ( x) + f ( y ) , ∀ x , y ∈ ℝ . a ) Determinaţi funcţiile injective din F ; b ) Arătaţi că F conţine funcţii neconstante care nu sunt nici injective , nici surjective . Dorel Miheţ , Timişoara 47

XI. 015. Fie şirul (a n ) n≥1 definit prin a1 = 2 şi a n +1 = 2 + a n , ⎛a ∀n≥1. Calculaţi lim ⎜⎜ n n→∞ 2 ⎝

⎞ ⎟⎟ . ⎠

Dinu Şerbănescu , Bucureşti XI. 016. Fie A ∈ Μ4( ℚ ) aşa încât det( 2 ⋅ A + (1 + i ) ⋅ I 4 ) = 0 . Demonstraţi că det( A 2 − I 4 ) ∈ ℕ .

z 2 n − 1 ∈ℚ.

tri n

X.016. Rezolvaţi ecuaţia : (2 x)

x2 2

XI. 017. Dacă x 1 = 1 şi x n +1

G.M. = 1 + (n + 1) x n , ∀n∈ℕ* , calculaţi

⎛x ⎞ limita şirului ⎜ n ⎟ . ⎝ n ⎠ n≥1 Laurenţiu Panaitopol,Bucureşti

XI. 018. Fie (a n ) n≥1 un şir cu proprietăţile : an = 0; n →∞ n 2

( i ) şirul dat este strict crescător şi lim ( ii ) există lim n →∞

a n +1 − a n = L. n

Arătaţi că L = 0 . Dorin Andrica , Cluj-Napoca XI. 019. Arătaţi că şirul având termenul general 1 2 n x n = 1 + + 2 + .. + n , n ≥ 1 , este convergent . 2 2 2 *** 48

o. ro

XII.018. Fie ( G , . ) un grup şi H ⊂ G , ∅ ≠H≠G o submulţime cu

XI. 020. Se consideră matricele A , B ∈ Μ3 ( ℂ ) care satisfac A + B = I 3 şi A 2 = A 3 . Demonstraţi că det( I 3 + AB ) ≠ 0 . *** 3 XI. 021. Fie a o rădăcină a ecuaţiei x − x − 1 = 0 şi b = 2a 2 − a . Găsiţi un polinom nenul cu coeficienţi întregi care admite pe b ca rădăcină . Concurs admitere Universitate

1 > ε ,∀n ≥m . k =1 k ***

Clasa a XII-a

XII.015. Dacă (G,⋅) e un grup şi f : G → G o funcţie injectivă

astfel încât f ( x ⋅ f ( y)) = x ⋅ f ( xy) ,∀x,y ∈ G , arătaţi că G este abelian . D.M.Bătineţu-Giurgiu , Bucureşti −1

w .n

XII.016. Demonstraţi că mulţimea funcţiilor de gradul întâi are o structură algebrică de grup necomutativ în raport cu operaţia de compunere a funcţiilor . Găsiţi subgrupurile finite ale acestui grup. Iacob Didraga , Caransebeş

XII.017. Există funcţii f : ℝ → ℝ* care admit o primitivă F pentru care F(1− x(F(x)F(1+ x) = F(xn ) ,∀x∈ℝ,n∈ℕ,n≥2. ? G.M. 49

∫1+ x + e

dx , x > 0 .

***

XII.020. Pe mulţimea M = ( 0 , ∞ ) se consideră o lege de compoziţie “ ☺” care satisface condiţiile : a)(x+1)☺x=1 ,∀x∈M;

b ) ( xy ) ☺ z = x( y ☺ z ) , ∀ x , y , z ∈ M 2 ☺ 1+ 2 . Calculaţi

(

XI. 023. Arătaţi că ∀ε > 0, ∃m ∈ ℕ astfel încât : ∑

XII.019. Calculaţi :

tri n

XI. 022. Fie A ∈ M2 ( ℝ ) . Notăm cu tr ( A ) suma elementelor de pe diagonala principală a matricei A . Arătaţi că dacă tr (A 2004)=1 şi det( A 2003 + A 2002 + ... + A + I 2 ) = 0 , atunci det A = 0 . ***

proprietatea : ∀x∈H ,∀y∈G∖H ⇒ xy ∈ G∖ H . Demonstraţi că H este un subgrup al lui G . Marcel Ţena , Bucureşti

)

***

XII.021 . Calculaţi lim n ⋅ ∫ x n ⋅ ln(1 + x)dx . n →∞

***

XII.022 . Determinaţi numerele naturale n pentru care există un n

polinom P ( X ) = ∑ a k X k cu coeficienţi reali care satisface : k =0

P(t ) > −3 , ∀ t ∈ ℝ şi P ( - 2 ) = P ( 0 ) = P ( 2 ) = 0. Concurs Rusia XII.023. Fie k ∈ ℝ şi f :ℝ → ℝ o funcţie continuă cu proprietatea că f ( x) + f (− x) = k , ∀ x ∈ ℝ . π 4

Calculaţi : I =

f ( x) dx . 2 x

∫π cos

−

Vasile Gorgotă , Râmnicu-Vâlcea 50

o. ro

Rubrica rezolvitorilor (concursul revistei ) ( Punctaje obţinute pentru soluţii ale problemelor din numărul 13 al revistei )

w .n

○ Blaj Marinela Alisa (Rusca Teregova, prof. Ciucă Sorin) - 18 p ○ Codoşpan Florinela (Rusca Teregova, prof. Ciucă Sorin) -35 p ○ Milu Ionela (Rusca Teregova, prof. Ciucă Sorin) - 17 p ○ Berzescu Nicolae (Rusca Teregova,prof. Ciucă Sorin) - 18 p. ○ Humiţa Maria (Rusca Teregova,prof. Ciucă Sorin) - 17 p. ○ Mirulescu Nina Roxana (Lic.Hercules Băile Herculane , prof. Golopenţa Marius) - 34 p. ○ Tabugan Cătălina Dana (Lic.Hercules Băile Herculane , prof. Golopenţa Marius) - 54 p. ○ Bogdan Esther Maria (Lic.Hercules Băile Herculane , prof. Golopenţa Marius) - 40 p. ○ Basarabă Drăgan George (Lic.Hercules Băile Herculane , prof. Golopenţa Marius) - 28 p. ○ Lolea Sandra Adriana (Lic.Hercules Băile Herculane , prof. Golopenţa Marius) - 46 p. ○ Rotariu Ana Izabela (Lic.Hercules Băile Herculane , prof. Golopenţa Marius) - 48 p ○ Anton Alexandru (Lic.Hercules Băile Herculane , prof. Golopenţa Marius) - 38 p. ○ Blidariu Andreea Mihaela (Lic.Hercules Băile Herculane, prof. Golopenţa Marius) - 44 p. ○ Martin Patricia (Lic.Hercules Băile Herculane , prof. Golopenţa Marius) - 26 p. ○ Măncescu Manuela (Lic.Hercules Băile Herculane, prof. Golopenţa Marius) - 30 p. ○ Popeangă Raluca- Ştefania (Lic.Hercules Băile Herculane , prof. Golopenţa Marius) - 31 p. ○ Domilescu Adrian (Lic.Hercules Băile Herculane , prof. Golopenţa Marius) - 55 p.

tri n

Clasa a V-a

○ Manţa Florin Claudiu (Lic.Hercules Băile Herculane , prof. Golopenţa Marius ) - 50 p. ○ Tătar Octavian (Lic.Pedagogic Caransebeş, prof. Mirulescu Mariţa) - 49 p . ○ Dumitresc Cecilia Graţiela (Grup Şcolar Oţelu-Roşu, prof. Dragomir Adriana) - 40 p ○ Albai Cosmin(Grup Şcolar Oţelu-Roşu, prof. Dragomir Adriana) - 40 p ○ Dragomir Claudiu(Grup Şcolar Oţelu-Roşu, prof. Dragomir Adriana) - 40 p ○ Constantinescu Lavinia (Grup Şcolar Oţelu-Roşu, prof. Dragomir Adriana) - 45 p ○ Nasta Laura Cristina (Grup Şcolar Oţelu-Roşu, prof. Dragomir Adriana) - 40 p ○ Ghidineci Maria Nicoleta (Şcoala nr.1 Oţelu-Roşu, prof.Popa Amalia) - 46 p ○ Kuhn Anne-Marie (Şcoala nr.1 Oţelu-Roşu, prof. Popa Amalia ) - 46 p

Clasa a VI-a

○ Szabo Cristian(Lic.Traian Doda , Caransebeş,prof. Dragomir Delia ) - 57 p . ○ Mocanu Ioana Dora (Lic.Traian Doda , Caransebeş prof. Dragomir Delia ) -100 p . ○ Munteanu Cosmin (Liceul de Artă Reşiţa, prof. Mara Adriana) - 30 p ○ Goicovici Denisa (Liceul de Artă Reşiţa, prof. Mara Adriana ) - 78 p ○ Ivu Nicoleta(Şcoala nr. 1 Oţelu-Roşu, prof. Cecon Iulia) - 9 p ○ Bistrian Florina(Şcoala nr. 1 Oţelu-Roşu, prof. Cecon Iulia ) - 18 p ○ Bugariu – Kozilek Timeea (Şcoala nr. 1 Oţelu- Roşu, prof. Feil Heidi) - 89 p ○ Duma Andrei(Şcoala nr. 1 Oţelu-Roşu, prof. Feil Heidi) - 88 p 52

o. ro

w .n

Clasa a VIII-a

○ Prunar Victor(Lic. Pedagogic Caransebeş, prof. Hurduzeu Diana)- 182 p ○ Stepanescu Ana-Patricia ( Rusca Teregova, prof. Ciucă Sorin) - 23 p ○ Gherga Ionela (Rusca Teregova, prof. Ciucă Sorin)- 9 p ○ Ciucă Cristian Sorin (Teregova, prof. Damian Ilie) - 98 p ○ Humiţa Toma (Rusca Teregova, prof. Ciucă Sorin) - 48 p ○ Iciu Gheorghe (Rusca Teregova, prof. Ciucă Sorin) - 44 p ○ Stepanescu Mihai (Rusca Teregova, prof. Ciucă Sorin) - 51 p ○ Raduia Ştefan (Rusca Teregova prof. Ciucă Sorin) - 20 p ○ Gherga Ionuţ-Barbu (Rusca Teregova, prof. Ciucă Sorin) - 55 p ○ Banda Anca (Rusca Teregova, prof. Ciucă Sorin) - 18 p ○ Stepanescu Ianăş (Rusca Teregova, prof. Ciucă Sorin) - 50 p ○ Novăcescu Dorin (Lic.Traian Doda, Caransebeş, prof. Dragomir Delia) -110 p . ○ Ştefănigă Sebastian (Şcoala nr.3 Oţelu-Roşu, prof.Boldea Felicia) - 60 p ○ Condruz Florina-Andreea (Şcoala nr.3 Oţelu-Roşu, prof.Boldea Felicia) - 41 p ○ Cherloabă Edith (Liceul de Artă Reşiţa, prof. Mara Adriana) - 69 p

○ Codoşpan George (Rusca Teregova, prof. Ciucă Sorin)- 18 p ○ Humiţa Maria – Mirabela (Rusca Teregova, prof. Ciucă Sorin) - 21 p ○ Gherga Patricia (Rusca Teregova, prof. Ciucă Sorin)- 23 p ○ Stepanescu Anca – Liliana(Rusca Teregova, prof. Ciucă Sorin) - 17 p ○ Banda Maria (Rusca Teregova, prof. Ciucă Sorin) - 18 p ○ Gherga Petru (Rusca Teregova, enunţuri fără soluţii) - 0 p . ○ Stepanescu Adamescu Ioan (Rusca Teregova,prof. Ciucă Sorin) -17 p. 53

○ Humiţa Elisabeta (Rusca Teregova, prof. Ciucă Sorin) - 16 p. ○ Banda Ioan (Rusca Teregova, prof. Ciucă Sorin) - 19 p. ○ Dumitrescu Otilia ( Lic.Pedagogic, prof. Moatăr Lavinia) - 49 p . ○ Jdioreanţu Doriana (Lic.Pedagogic, prof. Moatăr Lavinia)-50 p . ○ Ploştinaru Diana (Lic.Pedagogic,prof. Moatăr Lavinia) - 70 p . ○ Cristescu – Loga Cella(Lic.Pedagogic,prof. Moatăr Lavinia)-50 p ○ Moatăr Alexandra ( Lic.Pedagogic,prof. Moatăr Lavinia) - 93 p . ○ Vlad Adina (Lic.Pedagogic, prof. Moatăr Lavinia) - 158 p . ○ Milcu Roxana ( Lic.Pedagogic,prof. Moatăr Lavinia) - 170 p . ○ Stăniloiu Ovidiu(Şcoala nr.2 Bocşa, prof. Todor Veronica)-139 p ○ Lupu Vlad (Şcoala nr.3 Oţelu-Roşu, prof.Boldea Felicia) - 44 p ○ Condruz Claudiu Viorel (Şcoala nr.3 Oţelu-Roşu, prof.Boldea Felicia) - 16 p ○ Mureşan Alexandru Ioan (Lic.Pedagogic Caransebeş , prof. Humiţa Dorina) - 68 p ○ Mureşan Ana- Maria(Lic.Pedagogic Caransebeş , prof. Humiţa Dorina) - 68 p

tri n

Clasa a VII-a

Clasa a IX-a

○ Iliescu Marcel(Lic.Pedagogic,prof. Moatăr Lavinia) - 39 p . ○ Kremer Emanuela (Lic.Pedagogic,prof. Moatăr Lavinia) -114 p . ○ Gurgu Caius (Lic.Pedagogic,prof. Moatăr Lavinia) - 51 p . ○ Unguraş Dragoş (Grup Şcolar Oţelu-Roşu, prof.Dragomir Lucian) - 83 p ○ Dragomir Maria-Lucia (Grup Şcolar Oţelu-Roşu,prof.Dragomir Lucian) - 65 p ○ Buzuriu Alina (Grup Şcolar Oţelu-Roşu, prof.Dragomir Lucian) - 40 p

Clasa a X-a ○ Labo Laurenţiu (Lic.Pedagogic Caransebeş, prof.Mirulescu Mariţa) - 61 p . ○ Roată Ramona (Lic.Pedagogic Caransebeş, prof.Mirulescu Mariţa) - 41 p . 54

Clasa a XI-a

o. ro

tri n

○ Sandu Ionela – Alexandra (Grup Şcolar Oţelu-Roşu, prof.Dragomir Lucian) -31 p ○ Stancu Alexandra (Grup Şcolar Oţelu-Roşu, prof.Dragomir Lucian) -20 p ○ Chiriac Anca (Grup Şcolar Oţelu-Roşu, prof. Dragomir Lucian) -15 p ○ Enache Alexandra (Grup Şcolar Oţelu-Roşu,prof.Dragomir Lucian) -18 p ○ Ionescu Maria(Grup Şcolar Oţelu-Roşu, prof. Dragomir Lucian) -21 p ○ Vişescu Daniela (Grup Şcolar Oţelu-Roşu, prof.Dragomir Lucian) -33 p ○ Chiş Vasile Andrei(Lic. Traian Lalescu Reşiţa, prof. Bădescu Ovidiu) - 67 p

○ Ambruş Alin (Lic.Pedagogic Caransebeş, prof.Mirulescu Mariţa) - 41 p . ○ Ionescu Alin (Lic.Pedagogic Caransebeş , prof.Mirulescu Mariţa) - 41 p . ○ Bănescu Monica (Lic.Pedagogic Caransebeş, prof.Mirulescu Mariţa) - 42 p . ○ Cornean Cristian (Lic.Pedagogic Caransebeş, prof.Mirulescu Mariţa) - 40 p . ○ Dincă Alexandru (Lic.Pedagogic Caransebeş, prof.Mirulescu Mariţa) - 33 p ○ Ghidan Alexandru ( Lic.Pedagogic Caransebeş, prof.Mirulescu Mariţa) - 33 p ○ Ştefănuţ Paula(Lic.Traian Doda, prof. Moatăr Lavinia) - 51p . ○ Dochin Luminiţa (Lic.Traian Doda, prof. Moatăr Lavinia) - 64p . ○ Popovici Doru (Lic. Traian Lalescu Reşiţa, prof. Bădescu Ovidiu) - 80 p ○ Istodor Cosmin (Grup Şcolar Oţelu-Roşu, prof.Dragomir Lucian) – 129 p ○ Iacob Alexandra (Lic.Traian Doda Caransebeş, prof. Dragomir Delia) – 38 p

w .n

○ Loga Petru Florin (Lic.Traian Doda Caransebeş, prof.Didraga Iacob) - 38 p ○ Ceauşu Ioana (Lic.Traian Doda Caransebeş, prof.Didraga Iacob) - 70 p ○ Iacubovschi Sergiu (Lic.Traian Doda Caransebeş, prof.Didraga Iacob) - 30 p

VĂ DORIM UN AN NOU PLIN DE SATISFACŢII, MULTĂ SĂNĂTATE ŞI UN PIC DE NOROC.

Clasa a XII-a

○ Andrei Corina Ionela (Lic.Traian Doda Caransebeş, prof.Didraga Iacob) - 47 p ○ Teişanu Iuliana (Grup Şcolar Oţelu-Roşu, prof.Dragomir Lucian) -31 p 55