Libro de Matemáticas tercera unidad.
Valeria Félix villa 2-14 preparatoria central diurna
La circunferencia como lugar geométrico. Definición y elementos.
Definición La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
Características geométricas y ecuaciones. Centro, es el punto interior que equidista de todos los puntos de la circunferencia. Radio, la medida del segmento que une el centro, con cada punto de la circunferencia.
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Ecuación de la circunferencia con centro en el origen.
Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación:
Si desarrollamos:
Y realizamos estos cambios:
Obtenemos otra forma de escribir la ecuación.
Donde el centro es
Y el radio cumple la reacción
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Ecuación de la circunferencia con centro en el origen.
Ecuación reducida de la circunferencia Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuación queda reducida a:
Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.
Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el radio.
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,0), B(2,3), C(1, 3). Si sustituimos x e y en la ecuación por las coordenadas de los puntos se obtiene el sistema:
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Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen. Ejemplo (Circunferencia con centro fuera del origen):
Ejemplo (Circunferencia con centro en el origen):
Lo cual nos conlleva a pensar en la representación como el dictado de una (Ecuación ordinaria de la circunferencia): Donde (h,k) son los elementos referentes a el centro de la (Circunferencia) en algún punto, y “r” al radio de la misma… Esta situación es más común de lo que parece, ya que existen un número elevado de casos en los que nos es posible establecer la circunferencia dentro del marco (Origen) de un sistema de coordenadas, pero si es posible establecerse en alguno de los otros cuadrantes del mismo
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Determinación de la ecuación de la circunferencia a partir de algunos de sus elementos o condiciones dadas.
Determinación de una circunferencia Una circunferencia queda determinada cuando conocemos: Tres puntos de la misma, equidistantes del centro. El centro y el radio. El centro y un punto en ella. El centro y una recta tangente a la circunferencia. También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los puntos que están a la misma distancia de otro punto, llamado centro. Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia (la ecuación de la circunferencia). Entonces, entrando en el terreno de la Geometría Analítica, (dentro del Plano Cartesiano) diremos que ─para cualquier punto, P (x, y), de una circunferencia cuyo centro es el punto C (a, b) y con radio r─, la ecuación ordinaria es (x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2 ¿Qué significa esto? En el contexto de la Geometría Analítica significa que una circunferencia graficada con un centro definido (coordenadas) en el plano Cartesiano y con radio conocido la podemos “ver” como gráfico y también la podemos “transformar” o expresar como una ecuación matemática.
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Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen.
Por tal motivo, dicho escenario junto con su representación analítica es asociado con el hecho de encontrar una especie de localidad en la cual fijar la construcción de la ecuación que denote la circunferencia con nuestras características… Todo ello a base de la noción de la (Distancia entre dos puntos), para poder realizar la construcción, ya que en sí mismo el modelo es una prueba de ello: Distancia entre dos puntos (O y A)
Razón por la cual podemos relacionar que el (Radio) de la circunferencia se encuentra conectado con el proceso de contrucción de ecuación, como se muestra en la anterior imagen.
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Dada la ecuación general de una circunferencia, obtener su centro y el radio
Para entrar en materia, tenemos la siguiente ecuación general de una circunferencia: x2 + y2 − 3x + 4y − 1 = 0 a partir de ella podemos encontrar el centro y el radio de esa circunferencia. Para hacerlo, existen dos métodos: Primer método La ecuación general dada la vamos a convertir en dos binomios al cuadrado igual a r2, que es la forma de la ecuación ordinaria, De nuevo conviene recordar que un binomio al cuadrado se escribe como (a + b)2, que desarrollado queda como (a + b) + (a + b) a2 + ab +ab + b2 a2 + 2ab + b2 Primer término al cuadrado (x)2, más el doble del producto del primero por el segundo término 2(x)(0,5), más el cuadrado del segundo término (0,5)2 Aquí debemos fijar nuestra atención en el término 2ab, que está precedido por el 2 y tiene ab (sin elevar al cuadrado), siendo a el primer término y b el segundo del binomio. Este término (b) será clave para poder completar los 3 términos que genera el binomio al cuadrado (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Volviendo a nuestra ecuación general, debemos saber que en ella la x corresponde al primer término −la a de (a + b)2− y la ycorresponde al segundo −la b de (a + b)2− Reiteramos nuestra ecuación general: x2 + y2 − 3x + 4y − 1 = 0 y vamos a separar sus términos para darle forma de dos binomios al cuadrado desarrollados: Deberíamos obtener algo como:
, entendido como la suma de dos binomios al cuadrado, donde en cada binomio encontramos: el cuadrado del primer término (del binomio) (x2 en uno e y2 en el otro) el doble producto del primer término por el segundo (−3x en uno y +4y en el otro) el cuadrado del segundo término (del binomio) (+/− ¿?) en ambos cuadrados y que es ese tercer término que debemos deducir para cada cuadrado del binomio.
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Dada la ecuación general de una circunferencia, obtener su centro y el radio Este tercer término, lo obtendremos del −3x para un binomio y del +4y para el otro. Respecto a −3x, sabemos que corresponde al segundo término del binomio desarrollado, generalizado como 2ab.
Ahora, si tenemos
vemos que la x (a) está al cuadrado en x2 (a2) y lineal
en x (a), entonces el −3 corresponde a 2b (el segundo término lineal en 2ab). Y hacemos:
Ya conocemos b, entonces lo ponemos en nuestra fórmula
Hacemos lo mismo para el segundo binomio:
Si tenemos vemos que la y (a) está al cuadrado en y2 (a2) y lineal en y (a), entonces el +4 corresponde a 2b (el segundo término lineal en 2ab). Y hacemos
Ahora completamos la fórmula
(x2 − 3x + 2,25) + (y2 + 4y + 4) = 1 Ahora, como en el lado izquierdo de la ecuación agregamos +2,25 y +4, para mantenerla equilibrada debemos agregar lo mismo en el lado derecho: (x2 − 3x + 2,25) + (y2 + 4y + 4) = 1 + 2,25 + 4 (x2 − 3x + 2,25) + (y2 + 4y + 4) = 7,25 Y ahora tenemos dos trinomios, los cuales nos generarán dos binomios al cuadrado, de la forma: (x − 1,5)2 + (y + 2)2 = 7,25
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Dada la ecuación general de una circunferencia, obtener su centro y el radio
Y ahora tenemos dos trinomios, los cuales nos generarán dos binomios al cuadrado, de la forma: (x − 1,5)2 + (y + 2)2 = 7,25 Que es la ecuación ordinaria de la circunferencia, y de donde obtendremos las coordenadas del centro y el valor del radio. Recordemos la estructura de la ecuación ordinaria: (x − h)2 + (y − k)2 = rsup>2 Reemplazamos y queda (x − − 1,5)2 + (y − + 2)2 = r2 (x + 1,5)2 + (y − 2)2 = 7,25 Ecuación que nos dice lo siguiente: La x y la y representan a las coordenadas de cualquier punto sobre la circunferencia equidistante del centro. Los valores 1,5 y −2 representan las coordenadas del centro de la circunferencia anterior
El valor 7,25 representa a r2, por lo tanto Entonces, la ecuación general x2 + y2 − 3x + 4y − 1 = 0 corresponde a una circunferencia con centro C(1,5 , −2) cuyo radio es ≈ 2,69 como la que vemos en la figura. Ecuación general de la circunferencia de la izquierda: x2 + y2 − 3x + 4y − 1 = 0 Segundo método Lo llamaremos método de fórmulas conocidas. Para este método utilizaremos solo estas fórmulas (que debemos recordar o conocer): Primero, recordemos la estructura de la ecuación ordinaria: (x − h)2 + (y − k)2 = r2 Recordemos que en esta ecuación la x y la y representan las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia que equidiste un radio desde el centro, y que h y k representan las coordenadas del punto central de la circunferencia (también se utiliza a y b para identificarlas)
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Ecuación general de la circunferencia.
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radiosr consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
. Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al . La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniometría circunferencia unidad o circunferencia unitaria. De la ecuación general de una circunferencia,
se deduce:
resultando:
Ecuación vectorial de la circunferencia La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial: Donde
.
es el parámetro de la curva, además cabe des-
tacar que . Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que la componente X y la componente Y, al cuadrado y sumadas deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro Z libre.
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Ecuación general de la circunferencia. Ecuación en coordenadas polares Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como
Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto ción se transforma en:
y el radio es
, la ecua-
Ecuación en coordenadas paramétricas La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:
y con como
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Intersecciones de una recta con una circunferencia
Conocidas las ecuaciones de una recta y una circunferencia, calcular sus puntos de intersección consiste en plantear y resolver un sistema de ecuaciones. El problema se resuelve de forma análoga si se pretende conocer la intersección de dos circunferencias.
Ejercicio: Hallar los puntos de intersección de la recta x + 2y + 1 = 0 y la circunferencia x2 + y2 + 2x - 4y - 4 = 0 Resolución:
( -2y - 1)2 + y2 + 2(-2y - 1) - 4y - 4 = 0 Þ 5y2 - 4y - 5 = 0
Hay, pues, dos soluciones:
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Intersecciones de una recta con una circunferencia
‚ Hallar los puntos de intersección de dos circunferencias cuyas ecuaciones son x2 + y2 - 2x + 4y - 11 = 0 y x2 + y2 + x + y - 8 = 0 Resolución:
· Se restan las ecuaciones y se obtiene: -3x + 3y - 3 = 0 Þ x = y - 1 Ésta es la ecuación de una recta, el eje radical. · (y - 1)2 + y2 - 2(y - 1) + 4y - 11 = 0 Þ
Se obtienen, pues, dos puntos, (1, 2) y (-3, -2).
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Tangente a una circunferencia.
Circunferencias de radio dado, tangentes a dos rectas que se cortan. Dadas las rectas s y t y el radio r, trazamos paralelas a s y t a distancia igual al radio dado, donde estas paralelas se cortan, tenemos los centros O1, O2, O3 y O4 de las cuatro posibles soluciones, para determinar los puntos de tangencia bastará trazar perpendiculares a las rectas s y t desde dichos centros (ej.: T4 en O4). FIG. 9
Circunferencias de radio dado, tangentes a una circunferencia y recta dadas. Dada la circunferencia de centro O y radio R, y la recta s, trazamos una circunferencia de centro O y radio R+r dado, y una recta paralela a s, a distancia r, el corte de estos elementos auxiliares determina los centros O1 y O2 de las circunferencias buscadas. Los puntos de tangencia en las circunferencias están en línea con el segmento unión de centros O1-O y en la recta s, en los pies de las normales a ella trazada desde O1 y O2. FIG. 10 8. Circunferencias de radio dado, tangentes a dos circunferencias secantes entre sí. Dadas O, O’ y el radio r, trazamos circunferencias concéntricas a las dadas con radios R+r, R -r, R’+r y R’-r, las intersecciones de estas circunferencias auxiliares determinan los centros de las circunferencia tangentes a ambas buscadas. Los puntos de tangencia están sobre los segmentos que unen dos centros. Son ocho las soluciones posibles, sucede cuando r<(R+R’OO’). FIG. 11
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Tangente a una circunferencia.
Circunferencias tangentes a tres rectas dadas que se cortan dos a dos. Dadas las rectas r, s y t que forman un triángulo, la circunferencia interior tangente a las tres rectas tiene su centro O1 donde se cortan las bisectrices de los ángulos interiores del triángulo, incentro. Los puntos de tangencia (ej.: T1) se calculan trazando normales desde O1 a las rectas dadas siendo O1 T1 el radio de la circunferencia buscada. Los centros O2, O3 y O4, radios y puntos de tangencia de las circunferencias tangentes a las tres rectas, exteriores al triángulo se calculan del mismo modo. FIG. 12 10. Circunferencias tangentes a dos rectas dadas dos de ellas paralelas y la tercera secante a ambas. Dadas r, s y t trazamos la paralela media PM a r y s que debe contener a los centros O1 y O2 de las circunferencias buscadas, trazamos las bisectrices de los ángulos que t forma con r o s para determinar el lugar exacto, los centros equidistan de las tres rectas dadas. FIG. 13
Circunferencias tangentes interiores y de igual radio, a los lados de un triángulo equilátero y entre sí. Dado el triángulo equilátero ABC, las circunferencias buscadas deben tener sus centros en las bisectrices de sus ángulos interiores. Desde “a”, pié de la normal de A a su lado opuesto (las alturas, bisectrices y demás rectas notables coinciden en un triángulo equilátero) trazamos la bisectriz del ángulo de 90º formado por este lado y su normal trazada, que corta a la bisectriz del vértice B, contiguo, en O3. Determinamos la ubicación de O2 y O1 sobre sus bisectrices transportando, la distancia desde O3 al incentro del triángulo, sobre ellas. FIG. 14 12. Circunferencias tangentes a dos rectas convergentes y entre sí. Dadas r y s trazamos la bisectriz del ángulo que forman entre sí. Con centro en un punto cualquiera O1 de esta bisectriz, trazamos una circunferencia tangente a ambas rectas (radio O1T1; T1 punto de tangencia en s, pié de la normal de O1 a T1), esta circunferencia corta en B a la bisectriz por donde trazamos una perpendicular a la misma, obteniendo C en su corte con una de las rectas. Trazamos por C la bisectriz del ángulo BCr que corta en O2 a la bisectriz de r y s, centro de otra circunferencia (de radio O2-B), tangente a r, s y a la circunferencia anteriormente trazada. FIG. 15
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Tangente a una circunferencia.
Circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas de igual radio. Por tratarse de tres circunferencias (O1, O2 y O3) de igual radio, los puntos de tangencia equidistarán de sus centros respectivos por lo que las circunferencias solución tendrán su centro coincidente con el centro de una circunferencia que pase por los tres centros dados, calculamos este centro mediante mediatrices de los segmentos unión de centros. Los puntos de tangencia están alineados con los segmentos que unen las circunferencias tangentes entre sí, por ejemplo O-O2, y en su intersección con estas, determinan además los radios R y R’ de las circunferencias solución. FIG. 16
Trazar un número -n- de circunferencias iguales, tangentes entre sí y a otra dada. Dada la circunferencia de centro O, se divide en el mismo número de partes que circunferencias tangentes queramos trazar, en el ejemplo 7. Dichas divisiones se unen con el centro O, trazamos la bisectriz de una de ellas (en la figura la del ángulo O7-O-O6), que corta en B a la tangente trazada por uno de los lados del ángulo a la circunferencia de centro O (en el ej. En A), trazamos la bisectriz del ángulo ABO que corta en O7, centro de una de las circunferencias solución, al segmento OA. Con centro en O y radio O7 trazamos una circunferencia auxiliar que determinará en su intersección sobre el resto de las divisiones, los centros de las circunferencias buscadas. Los puntos de tangencia están en línea con los segmentos unión de centros de circunferencias tangentes entre sí, los de la circunferencia dada y soluciones coinciden con las divisiones efectuadas, para calcular los de las soluciones entre sí unimos dos centros, O1 y O2, y determinamos T entre ellas, con radio OT trazamos otra circunferencia auxiliar y obtenemos el resto en su intersección con las divisiones efectuadas. FIG. 17
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Funciones irracionales
Una función es irracional si la variable independiente está bajo el signo del radical. Las características generales de estas funciones son: a) Si el índice del radical es par, el dominio son los valores para los que el radicando es mayor o igual que cero. b) Si el índice del radical es impar, el dominio es
.
c) El recorrido es d) Es continua en su dominio y no tiene asíntotas.
Para representarla, hay que estudiar su dominio y dar valores.
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UNIDAD V LA PARABOLA
La parábola como lugar geométrico. Definición y elementos. Consideramos a la (Parábola como lugar geométrico) una manera más abstracta de declarar lo que (significa) una parábola en general como un (Objeto-matemático). Cuya definición contempla que la (Parabóla) es el lugar geométrico de un conjunto de puntos equidistantes a una recta trazada, llamada (Directriz) y a un punto fijo llamado (Foco). Para lo cual, estos dos elementos (Directriz y foco) se inducen como elementos de la (parábola) junto con otros para el proceso de determinación del lugar en general, como se muestra en la imagen siguiente: Por ejemplo: Supongamos que tenemos un punto P(x,y) y se mueve en un plano de manera que su distancia queda definida al punto F(h,k+p) sea siempre la misma en comparación con la distancia a una recta (y-k+p=0). Y deseamos determinar la ecuación o mejor dicho aquella parábola que contemple el lugar geometríco: En términos de una representación meramente (Analítica) tenemos contempladas las siguientes distancias de acuerdo al (Modelo- distancia entre 2 puntos):
Obteniendo de esta manera la (ecuación ordinaria) del lugar geometríco (Parábola).. La representación grafíca involucra el conocimiento de lo que es un (Foco y una directriz). Por lo cual no se colocara sino hasta definir que es cada uno de los (Elementos de la parabóla), que en la imagen superior se observan más adelante.
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Ecuaciones de la parábola con vértice en el origen
La ecuación de una parábola con vértices en el origen y con foco en (A,0) es Y2= 4ax La parábola abre hacia la derecha si a >0 y abre hacia la izquierda si a <0. Las figuras A y B muestran las ecuaciones que se pueden aplicar para encontrar las ecuaciones de las satisfacen condiciones específicas.
2.2.1 EJEMPLOS EJEMPLO 1.- Escribir la ecuación de la parábola con vértice en el origen y con el foco en (0,4). Solución. La distancia del vértice al foco es 4, y por eso a=4. Poniendo este valor en lugar de a, obtenemos X2 = 16y Figura C EJEMPLO 2.- Una parábola tiene su vértice en el origen, su eje propio está a lo largo del eje x, y pasa por el punto (-3,6) Hallar su ecuación. Solución. La ecuación de la parábola es de la forma y2 = 4 ax. Para determinar el valor de 4a, ponemos las coordenadas del punto dado en esta ecuación. Así, obtenemos
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Dados los elementos de una parábola con vértice en el origen, determinar su ecuación y gráfica.
Hallar las Coordenadas del Vértice, del Foco, Longitud del Ancho Focal, la Ecuación de la Directriz y trazar la gráfica de las siguientes parábolas: 1.- y2 = 12x SOLUCIÓN Esta ecuación es de la forma y2 = 4px, por lo tanto: V(0 ,0) 4p=12 p = p=3 Ancho Focal = 4p = 12 Foco = F(p , 0) = F(3 , 0) Ecuación de la directriz
x=-3 o x+3=0
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Dada la ecuación de una parábola con vértice en el origen, obtener su gráfica
Dada la parábola
, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
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Ecuaciones de la parábola con vértice fuera del origen.
1.- PARABOLA CON VÈRTICE EN EL ORIGEN Existen cuatro tipos de parábolas con vértice en el origen, dos verticales y dos horizontales, cuyas graficas y ecuaciones son: 1.1 PARABOLA HORIZONTAL: LA ECUACION SE DA POR: Y'= 4ax ( el ' es al cuadrado )
Cuando la parábola se abre horizontal hacia a la derecha el valor de la directriz es = a x=a lo que a seria a>0 Cuando la parábola se abre hacia la izquierda la directriz es x=a Donde a= longitud del vértice al foco, (si es positiva se abre hacia a la derecha si es negativa se abre hacia la izquierda) f= foco con coordenadas (a,0) cuando se abre a la derecha. f=foco con coordenadas (-a,0) se abre a la izquierda V= vértice con coordenadas (0,0) las directrices son X=a cuando se abre a la izquierda y, será X=-a cuando se abre hacia a la derecha El lado recto se calcula L.R= l 4a l 1.2 parábola vertical: la ecuación esta dada por X'=4ay su directriz es Y=a cuando la parábola es hacia abajo su directriz es Y=-a cuando la parábola se abre hacia arriba
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Ecuaciones generales de la parábola.
Ecuación reducida de la parábola
Dada la parábola
, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
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Ecuaciones generales de la parábola.
Dada la parábola
, calcular su vértice, su foco y la recta directriz
.
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Intersecciones: recta con parábola, parábola con parábola y parábola
Intersección de una parábola y una recta La posición relativa de una parábola y una recta puede ser: A. La recta es tangente a la parábola. En este caso su intersección es un punto. B. La recta es secante y paralela al eje de simetría de la parábola. En este caso su intersección es un punto. C. La recta es secante, pero no es paralela al eje de simetría de la parábola. En este caso su intersección sendos puntos. D. La recta es exterior a la parábola y no se tocan. En este caso no hay ningún punto común a ambas.
Las coordenadas de los puntos de intersección coinciden con la solución del sistema de ecuaciones no lineal compuesto por las ecuaciones de ambas. A continuación, mueve los deslizadores que definen los coeficientes de la parábola y la recta y fíjate en los cambios que se producen: - Cómo varía la forma de la parábola al modificar el valor del coeficiente de x². - Cómo varía la situación de la parábola al modificar los otros dos coeficientes. - Cómo varía la recta al modificar sus coeficientes. - En qué situaciones hay dos, uno o ningún punto de intersección entre ambas
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Parábola y funciones cuadráticas
En matemá cas, una función cuadrá ca o función de segundo grado es una función polinómica definida como:
redirección Función cuadrá ca Una función cuadrá ca es aquella que puede escribirse de la forma: f(x) = ax2 + bx + c donde a, b y c son números reales cualesquiera y a dis nto de cero. Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrá ca, obtenemos siempre una curva llamada parábola. Como ejemplo, ahí enes la representación gráfica de dos funciones cuadrá cas muy sencillas: f(x) = x2 f(x) = -x2 Primer forma para sacar la raíz: 1) se iguala la ecuación a cero. 2) se factoriza la ecuación. 3)cada factor se iguala a cero. Para graficar la función: 1)se determina si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo. 2)obtener los puntos de intersección en el eje x, es decir obtener las raíces de la ecuación. 3)obtener el vér ce de la función ya sea por medio de punto medio o u lizando la formula -b/2a. 4)graficar los puntos obtenidos en los puntos 1 y 2 graficar la curva. Caso especial: si la función es x2 siempre pasa por el origen f(x)=x2-4 f(x)=(x+2)(x-2) x+2=0 x-2=0 x=-2 x=2 Punto medio (-2+2)/2=0 Sus tuye valores f(0)=(o*o)-4=-4 en donde a, b y c son números reales (constantes) y a es dis nde 0. La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrá ca es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de a es posi vo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadrá cas ene numerosas aplicaciones campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el ro parabólico. La derivada de una función cuadrá ca es una función lineal y su tegral una función cúbica.
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to
en
in-
Aplicaciones de las funciones cuadráticas.
Las funciones cuadráticas se usan en muchos tipos de situaciones del mundo real. Son útiles para describir la trayectoria de una bala, para determinar la altura de un objeto lanzado y para optimizar problemas de negocios. Cuando resuelves un problema usando una función cuadrática puede ser necesario encontrar el vértice o describir una sección de la parábola. ,. Ejemplo: Empezarnos seleccionando la ubicación de los ejes de coordenadas de modo que el eje x coincida en la calzada y el origen coincida en el centro del puente. Como resultado de esto, las torres gemelas quedarán a 746-220=526 pies arriba de la calzada y ubicadas a 42002=2100 pies del centro. Los cables de forma parabólica se extenderán desde las torres, abriendo hacia arriba, y tendrán su vértice en (0,0) como se ilustra en la figura de abajo
La manera en que seleccionamos la colocación de los ejes nos permite identificar la ecuación de una parábola como y=ax2,a>0 Obsérvese que los puntos (−2100,526) y (2100,526) están en la gráfica parabólica. Con base en estos datos podemos y=ax2 526=a(2100)2 a=526(2100)2 encontrar el valor de a en y=ax2: Así, la ecuación de y=526(2100)2x2 la parábola es La altura del cable cuando x=1000 es y=526(2100)2(1000)2≈119.3pies Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
UNIDAD VI LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA Ecuaciones de centro en el ori-
la elipse con gen. Longitud
Elipse Horizontal con centro en el origen Para obtener la ecuación general de la elipse: F'P + PF = 2a Aplicando la fórmula de la distancia
Para eliminar los radicales, trasladamos uno de ellos al segundo miembro de la igualdad
Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad
Desarrollamos x2 + 2xc + c2 + y2 = 4a2 - 4a + x2 - 2xc + c2 + y2 Simplificamos 4a
= 4a2 - 4xc
Dividimos entre 4 ambos miembros de la igualdad e introducimos a al radical = a2 - xc
Volvemos a elevar al cuadrado para eliminar el radical a2(x2 - 2xc + c2 + y2) = a4 - 2a2xc + x2c2 Reduciendo términos semejantes a2x2 - x2c2 + a2y2 = a4 - a2c2 Factorizando x2(a2 - c2) + a2y2 = a2(a2 - c2)
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Dados los elementos de una elipse con centro en el origen, determinar su ecuación y gráfica.
Elipse con centro fuera del origen (partes) Si el centro de la elipse se encuentra fuera del origen del plano y su eje focal es paralelo al eje x, se obtiene la siguiente ecuación: (x – h)2 /a2 + (y – k)2/b2 = 1
Los elementos de la elipse son: Centro: (h,k) Vértices: V(h+a,k), V'(h-a,k) Focos: F(h+c,k), F'(h-c,k) Vértices del eje menor: B(h,k+b) B'(h,k -b) Excentricidad: c/a LR: 2b2/a
(x – h)2 /b2 + (y – k)2/a2 = 1
Los elementos de la elipse son: Centro: (h,k) Vértices: V(h,k+a), V'(h,k-a) Focos: F(h,k+c) F'(H,k-c) Vértices del eje menor: B(h+b,k) B'(h-b,k) Excentricidad: a/e LR: 2b2/a
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Ecuaciones de la elipse con centro fuera del origen.
La ecuación de toda elipse en coordenadas cartesianas es esta: (x - h)² . (y + k)² ---------- + ----------- = 1 a² b²
Donde: h = es la coordenada "x" del centro de la elipse k = es la coordenada "y" del centro de la elipse a = la longitud del semi-eje mayor b = la longitud del semi-eje menor Si te fijas, cuando el centro de la elipse está situado justo encima del origen de coordenadas, los valores "h" y "k" serían cero, por tanto la ecuación de una elipse cuyo centro está en el origen es esta: (x - 0)² (y + 0)² ---------- + ----------- = 1 a²
b²
La ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen es mos al sistema X'-Y' se tiene:
Se observa que: x=x'+h x' = x - h y = y' + k y' = y - k
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, si la referi-
Ecuaciones de la elipse con centro fuera del origen.
Ecuación de la elipse con centro fuera del origen de coordenadas Hasta ahora hemos estudiado a la elipse cuando el centro se halla en (0,0) del eje de coordenadas, lo que conocemos como ecuación reducida o canónica de la elipse. El centro de la elipse lo podemos tener situado en cualquier punto de los ejes de coordenadas.
En la siguiente figura hemos situado al centro de la elipse en el punto .
.
Los nuevos valores de coordenadas quedan modificados cuya comprensión no te ofrecerán dificultades: Otro modo de presentar la elipse con centro fuera del eje de coordenadas sería:
Distancia focal
semieje mayor
semieje menor Trasladamos el centro de esta elipse al origen de coordenadas y obtenemos:
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Ecuaciones generales de la elipse.
Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son: F'(-c,0) y F(c,0)
Cualquier punto elipse cumple:
Esta expresi贸n da lugar a:
Realizando las operaciones llegamos a:
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de
la
La hipérbola como lugar geométrico
Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva. Ecuaciones de la hipérbola Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas
y ecuación de la hipérbola en su forma canónica
Ecuación de una hipérbola con centro en el punto
Ejemplos: a)
b)
Si el semieje transverso a se encuentra en el eje x, y el semieje conjugado b, en el eje y, entonces la hipérbola es horizontal; si es al revés, es vertical. La excentricidad de una hipérbola siempre es mayor que uno. Ecuación de la hipérbola en su forma compleja Una hipérbola en el plano complejo es el lugar geométrico formado por un conjunto de puntos
, en el plano
; tales que, cualesquiera de ellos satisface la condición geo-
métrica de que el valor absoluto de la diferencia de sus distacias a dos puntos fijos llamados focos distancia (o sea
y
,
, es una constante positiva igual al doble de la
) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal.
La ecuación queda: Evidentemente esta operación se lleva a cabo en el conjunto de los números complejos.
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Dada la ecuación de una hipérbola con centro en el origen, obtener su gráfica.
Es posible comprobar geométricamente que la distancia del centro a cualquiera de los focos es exactamente igual a la distancia de un vértice a cualquiera de los extremos del eje imaginario
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Ecuaciones generales de la hipérbola.
Se llama ecuación reducida a la ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas. Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son: F'(-c,0) y F(c,0)
Cua lqui er pu nt o d e la hip ér bo la cu mp le :
Est a e x pr esi ón d a lu ga r a :
Rea li zan d o las op er aci one s y s abi en do qu e
, lle ga mo s a:
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Ecuación general de segundo grado
Una ecuación de segundo grado1 2 o ecuación cuadrática es una ecuación que tiene la forma de una suma de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático. La expresión canónica general de una ecuación cuadrática es:
donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es un coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede representar mediante una gráfica de una función cuadrática o parábola. Esta representación gráfica es útil, porque la intersección de esta gráfica con el eje horizontal coinciden con las soluciones de la ecuación (y dado que pueden existir dos, una o ninguna intersección, esos pueden ser los números de soluciones de la ecuación).
De una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas. Se denominafórmula cuadrática3 a la ecuación que proporciona las raíces de la ecuación cuadrática:
donde el símbolo ± indica que los valores
y constituyen las dos soluciones.
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