Canvis de variable La demostració dels canvis de variable que s’expliquen a continuació probablement us resultarà molt carregosa però són molt útils per resoldre determinats tipus d’integrals.
1. Les funcions trigonomètriques
Les funcions trigonomètriques es fan servir per resoldre integrals que contenen expressions com a2 – x2. La fórmula que relaciona les funcions sinus i cosinus és: cos2(x) + sin2(x) = 1 de manera que: cos2(x) = 1 ‐ sin2(x) i: cos(x) = 1− sin2 (x) . i el canvi de variable que es fa servir per expressions amb a2 – x2 és: x = a · sin(t) de manera que: a2 – x2 = a2 – a2 cos2(t) = a2 (1 – cos2(t)) = a2 sin2(t) També tenim que: sin(x) = 1− cos2 (x) i també es pot fer servit el canvi de variable: x = a · cos(t). Les derivades de les funcions trigonomètriques són: [sin(x)]’ = cos(x) [cos(x)]’ = – sin(x) aleshores: • pel canvi de variable x = a · sin(t): dx = a · cos(t) dt • pel canvi de variable x = a · cos(t): dx = – a · sin(t) dt Les funcions inverses (que necessitarem pel canvi de variable) són arcsin(x) i arccos(x), que també podem expressar com asin i acos o sin‐1 i cos‐1. Cal tenir en compte algunes fórmules més: sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) cos(2x) = cos2(x) – sin2(x) = 2 cos2(x) – 1 = 1 – 2 sin2(x) Aquesta última fórmula dóna dos expressions molt útils:
1 (1+ cos 2x) 2 1 2 sin (x) = (1− cos 2x) 2 cos2 (x) =
2. Les funcions hiperbòliques
Les funcions hiperbòliques tenen propietats molt semblants a les de les funcions trigonomètriques i es fan servir per resoldre integrals que contenen expressions com a2 + x2 o bé x2 – a2. e x − e− x sinh(x) = 2 x e + e− x cosh(x) = 2
D’aquestes dues expressions es dedueix la següent: cosh2(x) – sinh2(x) = 1 de manera que: cosh2(x) = 1 + sinh2(x) i: cosh(x) = 1+ sinh2 (x) . El canvi de variable que es fa servir per expressions amb a2 + x2 és: x = a · sinh(t) de manera que: a2 + x2 = a2 + a2 sinh2(t) = a2 (1 + sinh2(t)) = a2 cosh2(t) També tenim que: sinh(x) = cosh2 (x) − 1 El canvi de variable que es fa servir per expressions amb x2 – a2 és: x = a · cosh(t) de manera que: x2 – a2 = a2 cosh2(t) – a2= a2 (cosh2(t) – 1) = a2 sinh2(t) És senzill derivar aquestes dues funcions: [sinh(x)]’ = cosh(x) [cosh(x)]’ = sinh(x) aleshores: • pel canvi de variable x= a · sinh(t): dx = a · cosh(t) dt • pel canvi de variable t = a · cosh(x): dx = a · sinh(t) dt Per trobar les funcions inverses (que necessitarem pel canvi de variable) cal procedir com segueix:
e x = sinh(x) + cosh(x) = sinh(x) + 1+ sinh2 (x) per tant (definició del logaritme neperià):
(
)
x = ln sinh(x) + 1+ sinh2 (x) com que la funció és y = sinh(x) i la funció inversa consisteix en intercanviar la funció y i la variable x, obtenim la funció inversa:
(
)
y = asinh(x) = ln x + 1+ x 2 La demostració pel acosh(x) és semblant tenint en compte que: sinh2(x) = cosh2(x) – 1 de manera que:
e x = sinh(x) + cosh(x) = cosh2 (x) − 1 + cosh(x) i es procedeix de forma anàloga. Obtenim:
(
)
acosh(x) = ln cosh(x) + cosh2 (x) − 1 Cal tenir en compte algunes fórmules més: sinh(2x) = 2 sinh(x) cosh(x) cosh(2x) = cosh2(x) + sinh2(x) = 2 cosh2(x) – 1 = 1 + 2 sinh2(x) Aquesta última fórmula dóna dos expressions molt útils:
1 (1+ cosh 2x) 2 1 2 sinh (x) = (cosh 2x − 1) 2 cosh2 (x) =
Fixeu‐vos en les semblances entre les fórmules trigonomètriques i les hiperbòliques!
3. La tangent de l’angle meitat
A primer curs vam demostrar la següent fórmula:
1+ tan2 x =
1 1 2 → cos x = cos2 x 1+ tan2 x
Com que la fórmula és valida per a qualsevol x:
cos2
x = 2
1 x 1+ tan 2
2
A més, sabem que: cos(2x) = cos2(x) – sin2(x) = 2 cos2(x) – 1 que es pot llegir així:
cos x = 2 cos2
x − 1 2
Si substituïm l’expressió anterior en aquesta, queda: ⎛ x⎞ 2 − ⎜ 1+ tan2 ⎟ 1− tan2 2⎠ ⎝ 1 cos x = 2 ⋅ − 1= = 2 x 2 x 1+ tan 1+ tan 1+ tan2 2 2
Escrivint t = tan
x 2 x 2
x 1− t 2 , queda: cos x = . 2 1+ t 2
Com que: cos2(x) + sin2(x) = 1, substituint‐hi l’expressió anterior obtenim el sin(x): 2
⎛ 1− t 2 ⎞ ⎛ 1− t 2 ⎞ 2 2 ⎜ 1+ t 2 ⎟ + sin x = 1→ sin x = 1− ⎜ 1+ t 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(1+ t ) − (1− t ) x= (1+ t ) 2
→ sin2
de manera que: sin x =
2
2
2
2
2
→ sin2 x =
2
4t 2
(1+ t ) 2
2
2t 1+ t 2
El canvi de variable fent servir l’expressió de t dóna al diferenciar: ⎛ x⎞ 1 1 2 dt dt = ⎜ 1+ tan2 ⎟ ⋅ ⋅ dx = 1+ t 2 ⋅ dx → dx = 2⎠ 2 2 ⎝ 1+ t 2
(
)
4. Càlcul d’integrals amb els canvis de variable x = a ∙ sinh(t) i x = a ∙ cosh(t)
∫ =
3 + x 2 dx =
∫
∫
3+
(
)
2
3 sinh(t) ⋅ 3 cosh(t) dt
3 + 3 sinh2 (t) ⋅ 3 cosh(t) dt = 3 ∫ cosh2 (t) dt =
3 3 3 1+ cosh(2t) dt = t + sinh(2t) + C ∫ 2 2 4
(
)
Per desfer el canvi hem de fer servir la fórmula de l’argument doble:
sinh(2t) = 2 sinh(t) cosh(t) = 2 sinh(t) 1+ sinh2 (t) =2
x 3
1+
x2 2 = x 3 + x2 3 3
i el resultat final és la “senzilla” expressió:
3 3 3 ⎛ x x2 ⎞ 1 t + sinh(2t) + C = ln ⎜ + 1+ ⎟ + x 3 + x 2 2 4 2 ⎜⎝ 3 3 ⎟⎠ 2 És molt més senzilla aquesta altra integral:
∫
1 3 + x2
dx =
∫
⎛ x x2 ⎞ 3 cosh(t) dt = ∫ dt = t + C = ln ⎜ + 1+ ⎟ + C ⎜⎝ 3 3 ⎟⎠ 3 cosh(t) 1
Aneu al Wolfram Alpha i comproveu‐ho! Escriviu‐hi, per exemple: Integrate[1/Sqrt[3+ x^2]]