El rellotge trigonomètric 1. El cercle unitat Es tracta d’una circumferència de radi igual a la unitat. Sobre aquesta circumferència es mou un vector unitat, que recorda l’agulla d’un rellotge. Cada posició d’aquest vector es correspon amb una direcció determinada per l’angle que forma el vector amb l’eix positiu d’abscisses. Curiosament, el gir de l’agulla es considera positiu si és contrari al de les agulles d’un rellotge (sentit anti horari).
α
Per a cada posició d’aquest vector tenim dues components: •
L’una de color verd, la component vertical o component y,
•
l’altra de color blau, la component horitzontal o component x.
Aquestes components tenen signe, positiu o negatiu, segons la seva posició respecte dels eixos de coordenades: •
a sobre (+) o a sota (-) de l’eix d’abscisses, per la component vertical
•
a la dreta (+) o a l’esquerra (-) de l’eix d’ordenades, per la component horitzontal
En la figura les dues components són positives. És evident que el seu valor està comprès entre 0 i 1. El triangles rectangle que determinen els tres segments verifica el teorema de Pitàgores: blau2 + verd2 = vermell2 = 1 •
La component de color blau és el cosinus de l’angle α. L’escrivim cos α .
•
La component de color verd és el sinus de l’angle α. L’escrivim sin α .
Tenim doncs la fórmula: sin 2 α + cos2 α = 1 (1.1)
El sinus i el cosinus són raons trigonomètriques de l’angle. La taula següent dóna el valor d’aquestes raons pels angles més senzills: sin
cos
0º
0
1
90º
1
0
180º
0
-1
270º
-1
0
Definim dues altres raons trigonomètriques a partir de les anteriors:
tan α = cot α =
sin α (1.2), la tangent de l’angle. cos α
cos α (1.3), la cotangent de l’angle. sin α
Es pot comprovar fàcilment que: cot α =
1 (1.4) tan α
Si voleu completar la taula anterior amb la tangent i la cotangent us trobareu amb divisions per zero. En aquests casos les raons trigonomètriques diem que no estan definides. Ambdues es poden dibuixar en el nostre “rellotge”, la tangent de color groc i la cotangent de color negre:
α
Es pot demostrar que els segments que hem dibuixat són la tangent i la cotangent de l’angle a partir de la relació de semblança entre dos triangles rectangles (recordeu que el radi del rellotge és la unitat). El triangle rectangle que delimiten els segments blau, verd i vermell és semblant al triangle rectangle que té com a catet el segment groc. Ho veiem en la figura: verd groc = = groc blau 1 que coincideix amb la definició de tangent. Podeu fer el mateix amb la cotangent. α 1
Amb aquest rellotge podem doncs determinar les raons trigonomètriques de qualsevol angle. A partir de les relacions (1.1), (1.2) i (1.3) entre les diferents raons trigonomètriques es pot demostrar el següent:
A partir d’una raó trigonomètrica d’un angle podem trobar totes les altres. Les fórmules (1.1) i (1.2) permeten deduir una altra relació que us pot ser molt útil. Si dividim tots els termes de la relació (1.1) per cos2 α : sin 2 α cos2 α 1 + = 2 2 cos α cos α cos2 α i apliquem la definició de la tangent (1.2), obtenim: tan 2 α + 1 =
1 (1.5) cos2 α
Així doncs, sabent el sinus podem trobar el cosinus i la tangent a partir de les relacions (1.1) i (1.2). Es procedeix de igual forma sabent el cosinus. Si sabem la tangent caldrà utilitzar la relació (1.5) per trobar el cosinus i la relació (1.2) per trobar el sinus.
2. Angles més grans de 90º Si observem el nostre rellotge veurem que el segment de color verd correspon a altres angles a més del que hem dibuixat. Passa el mateix amb el segment de color blau. Això vol dir que una mateixa raó trigonomètrica pot correspondre a diferents angles. Diem que no és unívoca. El primer que farem es distingir quatre parts anomenades quadrants dins del sistema de referència del rellotge. Si ens fixem en el segment verd veurem que el podem moure dins del rellotge fins a quatre posicions diferents, una en cada quadrant. En el primer i segon quadrant la raó trigonomètrica serà positiva, en el tercer i en el quart serà negativa. Pel que fa al segment de color blau veiem que és positiu en el primer i el quart quadrant i negatiu en el segon i el tercer quadrant. Això ens dóna la taula de signes de les raons trigonomètriques. Per a la tangent i la cotangent només cal multiplicar els signes del sinus i el cosinus. Tenim la figura següent:
Els signes corresponen als de les coordenades (blau, verd), (abscissa, ordenada), (x, y). La taula de signes és:
sin cos Tan 1r quadrant
+
+
+
2n quadrant
+
−
−
3r quadrant
−
−
+
4t quadrant
−
+
−
Anem a veure quins angles poden correspondre a un mateix segment de color verd, la qual cosa voldrà dir que tindran el mateix sinus. Com que els angles s’han de mesurar sempre a partir de l’eix positiu d’abscisses, el segon angle s’ha d’expressar en la forma 180º - α. Tenim doncs una primera relació:
α
α
sin(180º −α) = sin α (2.1) També poden moure el segment verd al tercer quadrant. En aquest cas caldrà tenir en compte que els signes són diferents tot i que la longitud del segment sigui la mateixa:
α α
sin(180º +α) = − sin α (2.2)
α −α
360º−α
sin( −α) = sin α (2.3) Amb el segment de color blau passa exactament el mateix tot i que no és tan evident per la posició horitzontal d’aquest segment.
180º − α α
α
cos(180º −α) = − cos α (2.4)
180º + α
α
α
cos(180º +α) = − cos α (2.5)
α
360º− α
−α
cos( −α) = cos α (2.6) Així doncs: Les raons trigonomètriques dels angles més grans de 90º es poden deduir a partir de les raons dels angles del primer quadrant.
Però podem filar encara més prim si observem el que passa amb els angles complementaris:
90º− α α
sin(90º −α) = cos α (2.7) cos(90º −α) = sin α Els dos angles intercanvien doncs les seves raons trigonomètriques. A partir d’aquí podem deduir més relacions. Tenint en compte que: 90º + α = 180º − (90º − α)
L’angle 90º + α és, per tant, el suplementari de l’angle 90º − α i, a partir de les relacions (2.1), (2.4) i (2.7), tenim que: sin(90º +α) = sin(90º −α) = cos α cos(90º +α) = − cos(90º −α) = sin α
(2.8)
Així doncs, a partir d’un angle α qualsevol entre 0º i 45º podem deduir les raons trigonomètriques dels angles següents: 180º − α 180º + α 360º − α 90º − α 90º + α 270º − α Aquest últim angle és igual a 180º + (90º − α) i podem fer servir les relacions (2.2), (2.5) i (2.7).
Pels angles més significatius hem de recordar que 45º és l’angle d’un triangle rectangle isòsceles i 60º és l’angle d’un triangle equilàter. Dibuixant aquests triangles, prenent com a catet del triangle rectangle isòsceles i com a costat del triangle equilàter la unitat, podem deduir les raons trigonomètriques d’aquests angles utilitzant el teorema de Pitàgores:
2 2
1
1 Després podem obtenir la figura següent:
1
1 3 2 1