Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Kỹ năng:
Luyện thi Đại học 2014
TIẾP TUYẾN ĐƯỜNG TRÒN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
I- LÝ THUYẾT- PHƯƠNG PHÁP: 1) Tiếp tuyến của ( C ) tại M 0 ( x0 ; y0 ) ( M 0 : tiếp điểm) Tiếp tuyến của ( C ) tại M 0 ( x0 ; y0 ) có phương trình:
xx0 + yy0 − a ( x + x0 ) − b ( y + y0 ) + c = 0 (Công thức phân đôi toạ độ) Nhận xét: Râ rµng tiÕp tuyÕn ∆ ®i qua M 0 ( x0 ; y0 ) vµ cã 1 vect¬ ph¸p IM 0 = ( x0 − a; y0 − b )
∆:
( x0 − a )( x − x0 ) + ( y0 − b )( y − y0 ) = 0
2) Tiếp tuyến đi qua điểm cho trước: Điều kiện tiếp xúc: Đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 là tiếp tuyến của ( C ) ⇔ d ( I ,∆ ) = R Lưu ý: Để tiện trong việc tìm phương trình tiếp tuyến của ( C ) , chúng ta không nên xét phương trình đường thẳng dạng y = kx + m (tồn tại hệ số góc k ). Vì như thế dẫn đến sót trường hợp tiếp tuyến thẳng đứng x = C (không có hệ số góc). Nhắc: * §−êng th¼ng y = kx + m cã hÖ sè gãc k .
* §−êng th¼ng x = C (vu«ng gãc Ox) kh«ng cã hÖ sè gãc. Do ®ã, trong qu¸ tr×nh viÕt pt tiÕp tuyÕn víi (C) tõ 1 ®iÓm M 0 ( x0 ; y0 ) (ngoµi (C)) ta cã thÓ thùc hiÖn b»ng 2 p.ph¸p: * Ph−¬ng ph¸p 1: Gäi ®−êng th¼ng bÊt k× qua M 0 ( x0 ; y0 ) vµ cã hÖ sè gãc k : y − y0 = k ( x − x0 )
¸p dông ®iÒu kiÖn tiÕp xóc, gi¶i ®−îc k . * NÕu kÕt qu¶ 2 hÖ sè gãc k (t−¬ng øng 2 tiÕp tuyÕn), bµi to¸n gi¶i quyÕt xong. * NÕu gi¶i ®−îc 1 hÖ sè gãc k , th× xÐt ®−êng th¼ng x = x 0 (®©y lµ tiÕp tuyÕn thø hai).
* Ph−¬ng ph¸p 2: Gäi n ( a; b ) ( a 2 + b 2 > 0 ) lµ 1 v.t ph¸p cña ®.th¼ng ∆ ®i qua M 0 ( x0 ; y0 )
a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) = 0 ¸p dông ®iÒu kiÖn tiÕp xóc, ta ®−îc 1 ph−¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc hai theo a, b. Nhận xét: Ph−¬ng ph¸p 2 tá ra hiÖu qu¶ vµ khoa häc h¬n. 3. Vị trí tương đối của hai đường tròn-Số tiếp tuyến chung: Cho hai đường tròn ( C1 ) có tâm I1 , bán kính R1 và ( C2 ) có tâm I 2 , bán kính R2 . Trường hợp
Kết luận ( C1 ) không cắt ( C2 ) (ngoài nhau)
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
1
Số tiếp tuyến chung 4
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
I1 R1
R2
Luyện thi Đại học 2014
I2
R1 + R2 < I1 I 2
( C1 ) I1 R1
R2
3
tiếp xúc ngoài
với ( C2 )
I2
R1 + R2 = I1I 2
( C1 ) I1 R1
R2
I2
cắt ( C2 ) tại hai điểm phân biệt
2
tiếp xúc trong
1
R1 + R2 > I1I 2 > R1 − R2
( C1 )
với ( C2 )
R1 I1 I2 R2
R1 − R2 = I1I 2 II- BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài tập: Cho đường tròn (C): ( x − 2 ) + ( y − 1) = 25 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong các trường hợp sau: a) Tại điểm M ( 5; −3) b) Biết tiếp tuyến song song ∆ : 5 x − 12 y + 2 = 0 c) Biết tiếp tuyến vuông góc ∆ : 3x + 4 y + 2 = 0 Bài giải: Đường trong (C) có tâm I ( 2;1) , bán kính R = 5 . 2
2
a) Tiếp tuyến tại M ( 5; −3) nhận IM = ( 3; −4 ) làm vectơ pháp tuyến: Tiếp tuyến có phương trình: 3 ( x − 5 ) − 4 ( y + 3) = 0 ⇔ 3 x − 4 y − 27 = 0. b) Do tiếp tuyến song song ∆ : 5 x − 12 y + 2 = 0 nên tiếp tuyến có dạng d : 5 x − 12 y + m = 0 . m−2 m = 67 . Do d tiếp xúc với (C) nên d ( I , d ) = R ⇔ = 5 ⇔ m − 2 = 65 ⇔ m = − 63 13 Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm d1 : 5 x − 12 y − 63 = 0 , d 2 : 5 x − 12 y + 67 = 0 .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
2
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Luyện thi Đại học 2014 c) Do tiếp tuyến vuông góc ∆ : 5 x − 12 y + 2 = 0 nên tiếp tuyến có dạng d : 12 x + 5 y + n = 0 . n + 17 n = −82 = 5 ⇔ n + 17 = 65 ⇔ Do d tiếp xúc với (C) nên d ( I , d ) = R ⇔ . 13 n = 48 Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm d1 : 12 x + 5 y − 82 = 0 , d 2 : 12 x + 5 y + 48 = 0 . Bài tập vận dụng: Bài tập: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): x 2 + y 2 − 4 x − 2 y = 0 tại giao điểm của (C) và đường thẳng ∆ : x + y = 0 . Bài tập: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): x 2 + y 2 − 4 x − 2 y = 0 xuất phát từ A ( 3; −2 ) . Bài giải: C) có tâm I ( 2;1) và R = 5 . Cách 1: Gọi n = ( a; b ) ( a 2 + b 2 > 0 ) là một vectơ pháp của tiếp tuyến cần tìm:
∆ : a ( x − 3) + b ( y + 2 ) = 0 ⇔ ax + by − 3a + 2b = 0 . ∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ d ( I ;∆ ) = R ⇔
2a + b − 3a + 2b 2
a +b
2
= 5 ⇔ 3b − a = 5 ( a 2 + b 2 )
b a = 2 ⇔ b = 2a 2 2 2 2 2 2 ⇔ 9b − 6ab + a = 5 ( a + b ) ⇔ 2b − 3ab − 2a = 0 ⇔ b = − 1 ⇔ b = − 1 a a 2 2 TH 1: b = 2a . Lúc đó ∆ : a ( x − 3) + 2a ( y + 2 ) = 0 ⇔ x − 3 + 2 ( y + 2 ) = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 (do a ≠ 0 ) 1 TH 2: b = − a 2 1 1 Lúc đó ∆ : a ( x − 3) − a ( y + 2 ) = 0 ⇔ x − 3 − ( y + 2 ) = 0 ⇔ 2 x − y − 8 = 0 (do a ≠ 0 ) 2 2 Kết luận: Vậy có 2 tiếp tuyến của (C) xuất phát từ A. ∆1 : x + 2 y + 1 = 0 , ∆ 2 : 2 x − y − 8 = 0 . Cách 2: Xác định tọa độ các tiếp điểm. Gọi M 0 ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm của tiếp tuyến xuất phát từ A và đường tròng (C). 2 2 M 0 ∈ (C ) x0 + y0 − 4 x0 − 2 y0 = 0 Suy ra: Từ đây, giải ra hai tiếp điểm… ⇔ M A M I ⊥ M A M I = . 0 0 0 0 0
Bài tập: Cho đường tròn (C): ( x + 1) + ( y − 2 ) = 9 và điểm M ( 2; −1) . a) Chứng tỏ qua M ta vẽ được hai tiếp tuyến ∆1 và ∆ 2 với (C). Hãy viết phương trình của ∆1 và ∆ 2 . b) Gọi M 1 và M 2 lần lượt là hai tiếp điểm của ∆1 và ∆ 2 với (C), hãy viết phương trình M 1M 2 . 2
2
Bài giải: C) có tâm I ( −1; 2 ) và R = 3 . a) Ta có IM ( 3; −3) ⇒ IM = 3 2 > 3 = R nên M nằm ngoài (C).
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
3
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Luyện thi Đại học 2014 Vậy từ M tồn tại 2 tiếp tuyến với (C). Cách 1: Gọi n = ( a; b ) ( a 2 + b 2 > 0 ) là một vectơ pháp của tiếp tuyến cần tìm (Như câu trên) Cách 2: Gọi M 0 ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Lúc đó, tiếp tuyến của (C) tại M 0 có dạng ∆ : ( x + 1) ( x0 + 1) + ( y − 2 ) ( y0 − 2 ) = 9 . Mặt khác do ∆ qua M ( 2; −1) nên: ( 2 + 1) ( x0 + 1) + ( −1 − 2 ) ( y0 − 2 ) = 9 ⇔ x0 − y0 = 0 (1) Do M 0 ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) ⇔ ( x0 + 1) + ( y0 − 2 ) = 9 (2) 2
2
x0 = −1, y0 = −1 x0 − y0 = 0 Từ (1) và (2), giải hệ: ⇔ 2 2 x0 = −2, y0 = −2 ( x0 + 1) + ( y0 − 2 ) = 9 Suy ra hai tiếp điểm M 1 ( −1; −1) , M 2 ( −2; −2 ) TH 1: Tiếp tuyến ∆1 qua M ( 2; −1) và M 1 ( −1; −1) có phương trình: y = −1 . TH 2: Tiếp tuyến ∆ 2 qua M ( 2; −1) và M 2 ( −2; −2 ) có phương trình:
x−2 y +1 = ⇔ x − 4y − 6 = 0. −2 − 2 −2 + 1 b) Theo trên, hai tiếp điểm là M 1 ( −1; −1) , M 2 ( −2; −2 ) . x+2 y+2 = ⇔ x − y = 0. −1 + 2 −1 + 2 Cách 2: (Không cần xác định tọa độ M 1 , M 2 ) Gọi M 1 ( x1 ; y1 ) , M 2 ( x2 ; y2 ) . Cách 1: Phương trình M 1M 2 :
Tiếp tuyến của (C) tại M 1 : ( x + 1)( x1 + 1) + ( y − 2 )( y1 − 2 ) = 9 . Mặt khác do ∆ qua M ( 2; −1) nên: ( 2 + 1)( x1 + 1) + ( −1 − 2 )( y1 − 2 ) = 9 ⇔ x1 − y1 = 0 (3) Tương tự, tiếp tuyến của (C) tại M 1 : ( x + 1)( x2 + 1) + ( y − 2 )( y2 − 2 ) = 9 . Mặt khác do ∆ qua M ( 2; −1) nên: ( 2 + 1)( x2 + 1) + ( −1 − 2 )( y2 − 2 ) = 9 ⇔ x2 − y2 = 0 (4) Từ (3), (4) dễ thấy M 1 , M 2 ∈ ∆ : x − y = 0 hay đường thẳng M 1M 2 : x − y = 0 . Bài tập 6: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn: (C1 ) : x 2 + y 2 − 2 x − 3 = 0 và (C2 ) : x 2 + y 2 − 8 x − 8 y + 28 = 0
Bài giải:
T©m I1 (1;0 ) T©m I 2 ( 4; 4 ) Ta có ( C1 ) có và ( C2 ) có B¸n kÝnh R1 = 2 B¸n kÝnh R2 = 2 Ta có: I1I 2 = ( 3; 4 ) ⇒ I1 I 2 = 5 > 4 = R1 + R2 . Vậy ( C1 ) và ( C1 ) ngoài nhau nên tồn tại 4 tiếp tuyến chung cần tìm. Gọi ∆ : ax + by + c = 0 ( a 2 + b 2 > 0 ) là tiếp tuyến chung của ( C1 ) và ( C2 ) .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
4
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Luyện thi Đại học 2014 a+c =2 2 2 (1) d ( I1;∆ ) = R1 a 2 + b2 a+c = 2 a +b ⇔ ⇔ Lúc đó, theo giả thiết: 4a + 4b + c = 2 4a + 4b + c = 2 a 2 + b 2 (2) d ( I 2 ;∆ ) = R2 a2 + b2 3a + 4b = 0 a + c = 4a + 4b + c Từ (1) và (2) suy ra: a + c = 4a + 4b + c ⇔ ⇔ c = −5a − 4b + = − + + a c 4 a 4 b c ( ) 2 4 TH 1: 3a + 4b = 0 ⇔ a = − b . 3 14 c= b 4 16 2 4 10b 2 Lúc đó, (1) trở thành: c − b = 2 ⇔ b +b ⇔ c− b = 3 3 9 3 3 c = −2b 14 4 4 14 * Với c = b, a = − b tiếp tuyến ∆1 : − bx + by + b = 0 ⇔ −4 x + 3 y + 14 = 0 . 3 3 3 3 4 4 * Với c = −2b, a = − b tiếp tuyến ∆ 2 : − bx + by − 2b = 0 ⇔ −4 x + 3 y − 6 = 0 . 3 3 −5a − 4b TH 2: c = . 2 Lúc đó, (1) trở thành: −5a − 4b 2 = 2 a 2 + b 2 ⇔ 3a + 4b = 4 a 2 + b 2 ⇔ ( 3a + 4b ) = 4 ( a 2 + b 2 ) a+ 2
a = 0 ⇒ c = −2b ⇔ 9a + 24ab + 16b = 16a + 16b ⇔ a ( 7 a − 24b ) = 0 ⇔ a = 24 b ⇒ c = − 74 b 7 7 * Với c = −2b, a = 0 , tiếp tuyến ∆ 3 : by − 2b = 0 ⇔ y − 2 = 0 . 74 24 24 74 * Với c = − b, a = b , tiếp tuyến ∆ 4 : bx + by + b = 0 ⇔ 24 x + 7 y − 74 = 0 . 7 7 7 7 Kết luận: Vậy tồn tại 4 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán: ∆1 : − 4 x + 3 y + 14 = 0 , ∆ 2 : − 4 x + 3 y − 6 = 0 , ∆ 3 : y − 2 = 0 , ∆ 4 : 24 x + 7 y − 74 = 0 Bài tập vận dụng: Bài tập: Cho đường tròn (C): x 2 + y 2 − 6 x + 2 y + 6 = 0 và điểm A (1;3) . a) Chứng tỏ A nằm ngoài đường tròn (C). b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) xuất phát từ A. Bài tập: Lập phương trình tiếp tuyến chung của các cặp đường tròn sau: a) (C1 ) : x 2 + y 2 − 6 x + 5 = 0 và (C2 ) : x 2 + y 2 − 12 x − 6 y + 44 = 0 . 2
2
2
2
b) (C1 ) : x 2 + y 2 + 2 x − 2 y − 3 = 0 và (C2 ) : 4 x 2 + 4 y 2 − 16 x − 20 y + 21 = 0 c) (C1 ) : x 2 + y 2 = 1 và (C2 ) : x 2 + y 2 − 4 y − 5 = 0 Bài tập: (Đề dự bị 2002)
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
5
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Luyện thi Đại học 2014 2 2 2 2 Cho hai đường tròn: ( C1 ) : x + y − 10 x = 0, ( C2 ) : x + y + 4 x − 2 y − 20 = 0 a) Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của ( C1 ) , ( C2 ) và có tâm nằm trên đường thẳng x + 6 y − 6 = 0 . b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) . Bài tập: (Đề dự bị 2002) Cho hai đường tròn: ( C1 ) : x 2 + y 2 − 4 y − 5 = 0, ( C2 ) : x 2 + y 2 − 6 x + 8 y + 16 = 0 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) . Bài tập: Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 2 3x + 4 y + 4 = 0 và tạo với trục tung một góc 600.
Bài tập: Cho đường tròn (C): x 2 + y 2 − 12 x − 4 y + 36 = 0 . Viết phương trình đường tròn (C’) tiếp xúc với hai trục tọa độ, đồng thời tiếp xúc ngoài với (C). Bài tập: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C ) : x 2 + y 2 = 25 , biết rằng tiếp tuyến đó hợp với đường thẳng ∆ : x + 2 y − 1 = 0 mét gãc α mµ cos α = 2 . 5 Bài giải: (C) có tâm O ( 0;0 ) và R = 5 . Gọi nd = ( a; b ) ( a 2 + b 2 > 0 ) là một vectơ pháp của đường thẳng d cần tìm. Đường thẳng ∆ có một vectơ pháp là n∆ = (1; 2 ) . Do góc giữa đường thẳng d và ∆ là α với cosα = 2
cosα =
nd .n∆ ⇔ nd . n∆
a + 2b 2
a +b
2
5
=
5
nên suy ra:
2 ⇔ a + 2b = 2 a 2 + b 2 5
a = 0 ⇔ a + 4ab + 4b = 4 ( a + b ) ⇔ a ( 4b − 3a ) = 0 ⇔ b = 3 a 4 TH 1: a = 0 ⇒ nd = ( 0; b ) ( b ≠ 0 ) , chọn nd = ( 0;1) ⇒ d : y + m = 0 . 2
2
2
2
m = 5 =5⇔ 1 m = −5 Vậy trường hợp này có 2 tiếp tuyến d1 : y + 5 = 0, d 2 : y − 5 = 0 .
Mặt khác, d tiếp xúc với (C) nên: d ( O, d ) = R ⇔
m
3 3 a ⇒ nd = a; a ( a ≠ 0 ) , chọn nd = ( 4;3) ⇒ d : 4 x + 3 y + n = 0 . 4 4 n n = 25 Mặt khác, d tiếp xúc với (C) nên d ( O, d ) = R ⇔ = 5 ⇔ 5 n = −25 Vậy trường hợp này có 2 tiếp tuyến d3 : 4 x + 3 y + 25 = 0, d 4 : 4 x + 3 y − 25 = 0 .
TH 2: b =
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
6
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Luyện thi Đại học 2014
Bài tập: (Khối A- 2013) Cho đường thẳng ∆ : x − y = 0. Đường tròn (C) có bán kính R = 10 cắt ∆ tại A và B sao cho AB = 4 2. Tiếp tuyến của (C) tại A và B cắt nhau tại một điểm thuộc tia Oy. Viết phương trình đường tròn (C). Bài giải: Gọi M là giao điểm của tiếp tuyến tại A và B của (C), H là giao điểm của AB và IM. Khi đó M ( 0; t ) , với t ≥ 0 ; H là trung điểm của AB. Suy ra AH =
AB = 2 2. 2
1 1 1 = + 2 ⇒ AM = 2 10. 2 2 AH AM AI t
, nên t = 8 . Do đó M ( 0;8 ) . 2 Đường thẳng IM qua M và vuông góc với ∆ nên có phương trình x + y − 8 = 0 . Do đó, tọa độ x − y = 0 ⇒ H ( 4; 4 ) . điểm H thỏa mãn hệ: x y + − = 8 0 1 1 Ta có IH = IA2 − AH 2 = 2 = HM , nên IH = HM ⇒ I ( 5;3) . 4 4 2 2 Vậy phương trình đường tròn (C): ( x − 5 ) + ( y − 3) = 10.
Do đó MH = AM 2 − AH 2 = 4 2. Mà MH = d ( M ,∆ ) =
Bài toán:
XÁC ĐỊNH ĐIỂM MÀ TỪ ĐÓ KẺ ĐƯỢC TIẾP TUYẾN VÀ THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Bài tập: (Đề dự bị 2002) Cho đường thẳng d : x − y + 1 = 0 và ( C ) : x 2 + y 2 + 2 x − 4 y = 0 . Tìm toạ độ điểm M thuộc d mà qua đó ta kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( C ) tại A và B sao cho góc AMB bằng 600 . Bài giải: Cách 1: Bước 1: Gọi M ( t ; t + 1) ∈ d . Xét tam giác IAM vuông tại A, có góc IMA bằng 300 : IA IA R Ta có: sin IMA = ⇔ IM = = = 2R IM sin IMA sin 300 Bước 2: Giải phương trình IM = 2 R ⇒ M ...
A
M
30 0
I
d B
Cách 2: Tiến hành tương tự như trên, Xét tam giác IAM vuông tại A, có góc IMA bằng 300 : IA IA R Ta có: sin IMA = ⇔ IM = = = 2R IM sin IMA sin 300 2 2 ⇔ M ∈ ( C / ) ≡ ( I , 2 R ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) = 20
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
7
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Suy ra, tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình: 2 2 / ( C ) ( x + 1) + ( y − 2 ) = 20 : . x − y + 1 = 0 d Từ đây giải ra M.
Luyện thi Đại học 2014 A
M
30 0
I
d B
M
Nhận xét: Cách giải 1 tương đối dễ hình dung, nhưng cách giải 2 tốt hơn vì mang tính chất hình học và giải tích, để các bài toán biện luận số giao điểm sau này. Mở rộng: Cho đường thẳng d : x − y + 1 = 0 và đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 + 2 x − 4 y = 0 . Tìm toạ độ điểm M thuộc d mà qua đó ta kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( C ) tại A và B sao cho góc AMB bằng 450 . Kỹ thuật xử lí: Gọi α = 450 . Xét tam giác IAM vuông tại A, có góc IMA bằng
α : 2
A
M α 2
Ta có:
α IA IA2 1 − cos α IA2 2 α sin = ⇔ sin = ⇔ = IM 2 2 IM 2 IM 2 2 2 IA2 2 ⇔ IM = 1 − cos α Từ đây giải ra M.
I B
3 và parabol ( P) : y 2 = x . 2 Tìm trên (P) điểm M sao cho từ M có thể kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn (C) và hai tiếp tuyến này tạo với nhau một góc 600. Bài giải: Cách 1: Gọi M ( x02 ; x0 ) ∈ ( P) và A, B là hai tiếp điểm. Dễ thấy yêu cầu bài toán khi và chỉ khi Bài tập: (Toán học Tuổi trẻ 2010) Cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 =
AMB = 600 ⇔ OM = 2OA = 6. Từ đó ta tìm được x0 ∈
{
}
2; − 2 .
(
)
(
)
Vậy có hai điểm thỏa y.c.b.t là M 1 2; 2 , M 2 2; − 2 .
Cách 2: Tương tự cũng tính được AMB = 600 ⇔ OM = 2OA = 6.
(
)
Suy ra M ∈ ( C / ) ≡ O; 6 vậy điểm M là giao điểm của hai đường:
(C ) : x /
2
+ y 2 = 6 và ( P) : y 2 = x ….
Bài tập: (ĐH D-2007) Cho đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) = 9 và d : 3 x − 4 y + m = 0 . Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ P có thể kẻ được hai tiếp tuyên PA, PB (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều. 2
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
8
2
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Luyện thi Đại học 2014 Bài giải: (C) cã t©m I (1; −2 ) vµ b¸n kÝnh R = 3. Ta cã ∆PAB ®Òu nªn IP = 2 IA = 2 R = 6 ⇔ P thuéc
®−êng trßn (C') t©m I b¸n kÝnh R ' = 6. Nhận xét: Điểm P là điểm chung của (C’) và d. Trªn d cã duy nhÊt mét ®iÓm P tháa m·n yªu cÇu bµi to¸n khi vµ chØ khi d tiÕp xóc víi (C') m = 19 t¹i P ⇔ d ( I , d ) = 6 ⇔ m = −41 Bài tập: (ĐH A-2011) Cho đường thẳng ∆ : x + y + 2 = 0 và (C): x 2 + y 2 − 4 x − 2 y = 0 . Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc ∆ . Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10. Bài giải: Đường tròn (C) có tâm I ( 2;1) và R = 5 . Tứ giác MAIB có MAI = MBI = 900 và MA = MB ⇒ S MAIB = IA. AM = 10 10 ⇒ MA = MB = = 2 5 và IM = IA2 + MA2 = 5 5 Do M ∈ ∆ : x + y + 2 = 0 ⇒ M ( t ; −t − 2 )
t = 2 2 2 Lúc đó: IM 2 = 25 ⇔ ( t − 2 ) + ( −t − 3) = 25 ⇔ t = −3 Kết luận: Có hai điểm M thỏa y.c.b.t là M ( 2; −4 ) và M ( −3;1) . 27 có tâm I và d: x + y + 5 = 0. Từ điểm M 2 thuộc d, kẻ các tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C) (A, B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ 27 3 điểm M sao cho diện tích của tam giác IAB bằng . 8 Bài tập: Cho đường tròn (C ) : ( x − 3) + ( y + 2 ) = 2
2
Bài giải:
3 3 . Ta có M ∈ d ⇒ M ( m; − m − 5 ) . 2 AIB = 600 1 1 2 2S IAB 3 Ta có: S IAB = .IA.IB.sin AIB = .R .sin AIB ⇒ sin AIB = = ⇒ R2 2 2 2 AIB = 1200. IA =3 2 Trường hợp 1: AIB = 600 ⇒ AIM = 300 ⇒ IM = cos AIM 2 2 ⇔ ( m − 3) + ( − m − 5 + 2 ) = 18 Đường tròn (C) có tâm I ( 3; −2 ) và có bán kính R =
⇔ 2m 2 + 18 = 18 ⇔ m = 0 ⇒ M ( 0; −5 ) . Trường hợp 2: AIB = 1200 ⇒ AIM = 600 ⇒ IM =
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
9
IA cos AIM
=3 6
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN M 3 2; −3 2 − 5 2 ⇔ 2m + 18 = 54 ⇔ m = ±3 2 ⇒ M −3 2;3 2 − 5
( (
(
)
(
Luyện thi Đại học 2014
) )
)
Vậy M ( 0; −5 ) ; M 3 2; −3 2 − 5 hoặc M −3 2;3 2 − 5 .
Bài toán: PHƯƠNG TRÌNH QUA CÁC TIẾP ĐIỂM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Bài toán cơ sở: Bài tập: (ĐH B-2006) Cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 6 = 0 và điểm M ( −3;1) . Gọi
T1 , T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến ( C ) . Viết phương trình T1T2 . Gợi ý: §−êng trßn (C) cã t©m I (1;3) vµ b¸n kÝnh R = 2, MI = 2 5 > R nªn M n»m ngoµi (C).
T ∈ (C ) T ∈ (C ) NÕu T ( x0 ; y0 ) lµ tiÕp ®iÓm cña tiÕp tuyÕn kÎ tõ M ®Õn (C) th×: ⇒ MT .IT = 0 MT ⊥ IT Ta cã: MT = ( x0 + 3; y0 − 1) , IT = ( x0 − 1; y0 − 3) . Do ®ã, ta cã: x02 + y02 − 2 x0 − 6 y0 + 6 = 0 ⇒ 2 x0 + y0 − 3 = 0 (1) 2 2 x0 + y0 + 2 x0 − 4 y0 = 0 VËy, täa ®é c¸c tiÕp ®iÓm T1 vµ T2 cña c¸c tiÕp tuyÕn kÎ tõ M ®Õn (C) ®Òu tháa m·n ®¼ng thøc (1). Do ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng T1T2 : 2 x + y − 3 = 0. Bài tập: (ĐHGTVT) Cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 4 = 0 và điểm A ( 2; 2 ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) đi qua điểm A . Giả sử hai tiếp điểm là M, N, tính S AMN .
Gợi ý: Cách 1: Viết phương trình tiếp tuyến ∆1 , ∆ 2 của (C) qua A như trên. Xác định tọa độ M, N tương ứng là các tiếp điểm của ∆1 , ∆ 2 và (C). Tính S AMN . Cách 2: Dùng công thức phân đôi tọa độ, suy ra phương trình MN là: x + 4 = 0 . Xét ∆IMH : MH = IM 2 − d ( I , MN ) 2
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
10
A
M
I
2
N
= R − d ( I , MN ) ⇒ MN = 2MH 1 Từ đó suy ra: S AMN = d ( A, MN ) .MN 2 2
∆1
∆2
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Luyện thi Đại học 2014
Bài tập: Cho đường tròn ( C ) : ( x − 3) + ( y − 1) = 9 và đường thẳng ( d ) : x + y − 10 = 0 . Từ 2
2
điểm M trên ( d ) kẻ hai tiếp tuyến đến ( C ) , gọi A, B là hai tiếp điểm. Tìm tọa độ điểm M sao cho độ dài đoạn AB = 3 2 . Bài giải: Đường tròn (C) có tâm I ( 3;1) , bán kính R = OA = 3 .
y d
3 2 . 2 6 IA2 9 3 2 và IM = = =3 2 Suy ra: IH = IA2 − AH 2 = 9 − = 2 2 IH 2 2 2 Gọi M ( a;10 − a ) ∈ ( d ) ta có IM 2 = 18 ⇔ ( a − 3) + ( 9 − a ) = 18
Gọi H = AB ∩ IM , do H là trung điểm của AB nên AH =
A
M H
I
B
O
2a 2 − 24a + 90 = 18 ⇔ a 2 − 12a + 36 = 0 ⇔ a = 6 Vậy M ( 6; 4 ) . Bài tập: Cho ∆ : 5 x − 2 y − 19 = 0 và đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 4 x − 2 y = 0. Từ một điểm M nằm trên đường thẳng ∆ kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C ) (A và B là hai tiếp điểm). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB, biết rằng AB = 10. Bài giải: Đường tròn (C) có tâm I ( 2;1) , bán kính R = 5. Gọi H = MI ∩ AB.
1 10 AB = . Trong tam giác vuông MAI (tại A) với đường cao AH ta có 2 2 1 1 1 1 4 1 A = 2+ ⇒ = − ⇒ AM = 5 ⇒ MI = 10. 2 2 2 AH AI AM AM 10 5 x−5 y −3 Ta có ∆ : 5 x − 2 y − 19 = 0 ⇔ ∆ : = ⇒ M ( 5 + 2m; 3 + 5m ) M 2 5 H 2 2 Khi đó: MI = 10 ⇔ ( 3 + 2m ) + ( 2 + 5m ) = 10 3 ⇔ 29m 2 + 32m + 3 = 0 ⇔ m = −1 hoặc m = − . B 29 Chú ý rằng, đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB là đường tròn đường kính MI. + Với m = −1 ta có M ( 3; − 2 ) . Ta có AH =
2
2
5 1 5 Khi đó, phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆AMB là: x − + y + = . 2 2 2 3 139 72 + Với m = − ta có M ; . 29 29 29 2 2 197 101 5 Khi đó, phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆AMB là: x − + y − = . 58 58 2
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
11
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
x
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Luyện thi Đại học 2014
Bài tập: Cho đường tròn (T): x + y − 2 x + 4 y − 8 = 0 và điểm M ( 7;7 ) . Chứng minh rằng từ M kẻ đến (T) được hai tiếp tuyến MA, MB với A, B là các tiếp điểm. Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB. Bài giải: 2 2 (T ) ⇔ ( x − 1) + ( y + 2 ) = 13 ⇒ Tâm (T) là I (1; −2 ) ; bán kính R = 13 . 2
2
Ta có: IM ( 6;9 ) ⇒ IM = 117 > 13 . Suy ra điểm M nằm ngoài (T). Vậy từ M kẻ đến (T) được 2 tiếp tuyến.Gọi K = MI ∩ AmB . Ta có MA = MB, IA = IB ⇒ MI là đường trung trực của AB
⇒ KA=KB ⇒ KAB = KBA = KAM = KBM ⇒ K là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB. x = 1 + 2t Phương trình MI: , MI ∩ (T ) tại K1 (3;1) và K 2 (−8; −12) . y = −2 + 3t Ta có AK1 < AK 2 . Vậy K ≡ K1 , tức là K1 (3;1) .
A I
m K M
B
Bài tập: (Trung tâm Tô Hoàng, Bách Khoa, Hà Nội) Cho đường tròn (C): ( x − 4 ) + y 2 = 4 2
và M (1; −2 ) . Tìm tọa độ N thuộc Oy sao cho từ N kẻ được 2 tiếp tuyến NA, NB đến (C) đồng thời đường thẳng AB đi qua M (A, B là các tiếp điểm). Bài giải: (C) có tâm I ( 4;0 ) . Gọi N ( 0; b ) . Gọi các tiếp điểm là A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) ⇒ IA = ( x1 − 4; y1 ) ; NA = ( x1 ; y1 − b ) . NA là tiếp tuyến của (C) ⇒ NA.IA = 0 ⇔ x1 ( x1 − 4 ) + y1 ( y1 − b ) = 0
⇔ ( x1 − 4 ) + y12 + 4 x1 − by1 − 16 = 0 2
⇔ 4 x1 − by1 − 12 = 0 Suy ra: A ∈ d : 4 x − by − 12 = 0 . Tương tự, B ∈ d : 4 x − by − 12 = 0 . Vậy phương trình AB: 4 x − by − 12 = 0 . Do M ∈ AB ⇔ b = 4 ⇒ N ( 0;4 ) . Bài tập: (THPT Nguyễn Tất Thành, ĐHSP Hà Nội ) Cho đường thẳng d:x − 2 y + 4 = 0 và hai điểm A ( 0;1) , B ( 4;1) . Viết phương trình đường tròn qua A, B, biết các tiếp tuyến của đường tròn tại A và B cắt nhau tại 1 điểm thuộc đường thẳng d. Bài giải: Cách 1: Đường tròn có tâm I ( a; b ) , bán kính R . Giao của hai tiếp tiếp tuyến là M ( 2t − 4; t ) ∈ d . Điều kiện: AI ⊥ AM , BI ⊥ BM , IM ⊥ AB, AI = R ( = BI ) . Ta có: AM = ( 2t − 4; t − 1) , BM = ( 2t − 8; t − 1) , IM = ( 2t − 4 − a; t − b ) , AI = ( a; b − 1) .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
12
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Luyện thi Đại học 2014 a ( 2t − 4 ) + ( b − 1)( t − 1) = 0 a = 2t − 4 ( a − 4 )( 2t − 8 ) + ( b − 1)( t − 1) = 0 a = 2; t = 3 Suy ra: ⇔ 2.2 + 2 ( b − 1) = 0 ⇔ b = −1 4 ( 2t − 4 − a ) + 0 ( t − b ) = 0 2 2 R 2 = 22 + ( −2 ) 2 = 8 2 a + ( b − 1) = R Đường tròn có tâm I ( 2; −1) và R 2 = 8 nên có phương trình: ( x − 2 ) + ( y + 1) = 8. 2
2
Cách 2: Đường trung trực AB là x = 2 cắt đường thẳng d : x − 2 y + 4 = 0 tại M ( 2;3) . Tâm I của đường tròn nằm trên đường trung trực của AB nên I ( 2; b ) . Điều kiện: IA ⊥ MA với AI = ( 2; b − 1) , AM = ( 2; 2 ) . Suy ra: AI . AM = 0 ⇔ 2.2 + 2 ( b − 1) = 0 ⇔ b = −1 . Đường tròn có tâm I ( 2; −1) và R 2 = AI 2 = 8 nên có phương trình: ( x − 2 ) + ( y + 1) = 8. 2
2
Bài tập: Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2 x + 4 y = 0 . Tìm tọa độ các điểm M trên d: x − y = 0 , biết từ M kẻ được 2 tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B là các tiếp điểm) và đường thẳng AB 3 hợp với d một góc φ với cos φ = . 10 Bài giải: Đường tròn (C) có tâm I (1; −2 ) , bán kính R = 5. Gọi M ( m; n ) và T ( x0 ; y0 ) là tiếp tuyến kẻ từ M đến (C).
IT .MT = 0 ( x0 − 1)( x0 − m ) + ( y0 + 2 )( y0 − m ) = 0 Khi đó ta có: ⇔ 2 2 x0 + y0 − 2 x0 + 4 y0 = 0 T ∈ ( C ) 2 2 x0 + y0 − ( m + 1) x0 − ( m − 2 ) y0 − m = 0 ⇔ 2 ⇒ ( m − 1) x0 + ( m + 2 ) y0 + m = 0. 2 2 4 0 x y x y + − + = 0 0 0 0 Suy ra phương trình AB: ( m − 1) x + ( m + 2 ) y + m = 0 .
3 , nên ta có: 10 m = 0 3 = ⇔ m2 + m = 0 ⇔ 10 m = −1
Mặt khác AB tạo với d một góc φ với cos φ =
m −1 − m − 2 2
( m − 1) + ( m + 2 ) 2
2
Thử lại, ta thấy cả hai trường hợp này đều có IM = R , tức là M ∈ ( C ) . Kết luận: Không tồn tại M thỏa yêu cầu bài toán. Bài tập: Cho đường tròn (C): x 2 + y 2 − 2 x + 4 y = 0 và đường thẳng d: x − y = 0 . Tìm tọa độ các điểm M trên đường thẳng d, biết từ M kẻ được 2 tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B là các 3 tiếp tuyến) và khoảng cách từ N (1; −1) đến AB bằng . 5 Bài giải: Gọi M ( n; m ) ∈ d và A ( x0 ; y0 ) .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
13
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Luyện thi Đại học 2014 Khi đó, ta có: 2 2 IA.MA = 0 x0 + y0 − ( m + 1) x0 − ( m − 2 ) y0 − m = 0 ⇔ 2 ⇒ ( m − 1) x0 + ( m + 2 ) y0 + m = 0 2 x0 + y0 − 2 x0 + 4 y0 = 0 A ∈ ( C ) Do đó, phương trình AB: ( m − 1) x + ( m + 2 ) y + m = 0 .
3 Mặt khác, theo giả thiết: d ( N , AB ) = ⇔ 5
m−3
( m − 1)
2
+ ( m + 2)
Ta loại m = 0 , vì khi đó M ∈ ( C ) .
2
m = 0 3 . = ⇔ m = − 58 5 13
58 58 Vậy có 1 điểm M thỏa yêu cầu bài toán là: M − ; − . 13 13 Bài tập: Cho đường thẳng d: x − y + 1 = 0 và đường tròn (C): x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 4 = 0 . Tìm điểm M thuộc d sao cho từ M kẻ được 2 tiếp tuyến MA, MB với (C) (A, B là các tiếp điểm) và 1 khoảng cách từ N ;1 đến AB là lớn nhất. 2 Bài giải: Đường tròn có tâm I (1; −2 ) và bán kính R = 3 . Cách 1: (Phương pháp giải tích) Vì M ∈ d ⇒ M ( t ; t + 1) . Để từ M có thể kẻ được 2 tiếp
− 2 −2 2 −2 tuyến đến (C) ⇔ IM > R ⇔ 2t 2 + 4t + 1 > 0 ⇔ t ∈ −∞; ; +∞ (*) ∪ 2 2 Phương trình đường thẳng đi qua 2 tiếp điểm A, B có dạng: (Thực hiện như các bài trên) ( t − 1)( x − 1) + ( t + 3)( y + 2 ) − 9 = 0 3t + 1
Lúc đó, theo giả thiết: d ( N , AB ) =
với t thỏa (*). 2 2t 2 + 4t + 10 3t + 1 2t + 14 ⇒ f / (t ) = Xét f ( t ) = . 3 2 2 2t 2 + 4t + 10 2t + 4t + 10
)
(
1 Với t ≥ − ⇒ f / ( t ) > 0 thì hàm số f ( t ) đồng biến trên 3 1 Với t < − ⇒ f / ( t ) = 0 ⇔ t = −7 . 3 5 Lập bảng biến thiên, suy ra f ( t ) ≤ hay d ( N , AB ) ≤ 2 Đẳng thức xãy ra khi t = −7 tức M ( −7; −6 ) .
1 − 3 ; +∞ .
5 5 ⇒ d ( N , AB ) max = . 2 2
Kết luận: Điểm M ( −7; −6 ) là yêu cầu bài toán.
Cách 2: (Phương pháp hình học) Vì M ∈ d ⇒ M ( t ; t + 1) . Phương trình đường thẳng đi qua 2 tiếp điểm A, B có dạng: (Thực hiện như các bài trên) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
14
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Luyện thi Đại học 2014 ( t − 1)( x − 1) + ( t + 3)( y + 2 ) − 9 = 0 Ta tìm điểm cố định của đường thẳng AB: ( t − 1)( x − 1) + ( t + 3)( y + 2 ) − 9 = 0 ⇔ ( x + y + 1) t − x + 3 y − 2 = 0 ∀t
5 x=− x + y +1 = 0 4 ⇔ ⇔ − x + 3 y − 2 = 0 y = 1 4 1 5 1 7 3 Điểm cố định của AB là N ;1 K − ; . Ta có: NK = − ; − 2 4 4 4 4 58 . (XEM LẠI!!!) Lúc đó: d ( N , AB ) ≤ NK ⇒ d ( N , AB ) max = NK = 4 Đẳng thức xãy ra ⇔ NK = d ( N , AB ) ⇔ NK ⊥ d . Từ đây, giải ra được M.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
15
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Luyện thi Đại học 2014 Bài tập vận dụng: 2 2 Bài tập: Cho đường tròn (C): ( x − 1) + ( y − 2 ) = 25 . Từ E ( −6; 2 ) kẻ hai tiếp tuyến EA, EB (A, B là các tiếp điểm) đến (C). Viết phương trình AB. Bài tập: Cho đường thẳng ∆ : x − 2 y + 5 = 0 và đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 5 = 0 . Qua điểm M thuộc ∆, kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M, biết độ dài đoạn AB = 2 5 . 2
2
Bài tập: Cho (C): ( x + 6) + ( y − 6) = 50 , M là điểm thuộc (C) ( M có hoành độ và tung độ đều dương) .Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M sao cho tiếp tuyến này cắt hai trục tọa độ tại A và B nhận M là trung điểm. Bài tập: Cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 6 x + 2 y + 6 = 0 và P (1;3) . Viết phương trình các tiếp tuyến PE, PF của đường tròn (C), với E, F là các tiếp điểm. Tính diện tích tam giác PEF. 2 2 Bài tập: Cho đường tròn (C): ( x − 1) + ( y + 2 ) = 1 và đường thẳng ∆ : mx + y + m + 1 = 0 . Tìm m để trên đường thẳng ∆ tồn tại ít nhất một điểm mà qua đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến của (C) vuông góc với nhau. 2 2 Bài tập: Cho đường tròn (C): ( x − 1) + ( y − 1) = 4 và đường thẳng ∆ : x − 3 y − 6 = 0 . Tìm tọa độ điểm M trên ∆ , sao cho từ M kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) là MA, MB (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác MAB vuông. 2 2 Bài tập: Cho hai điểm A ( 2;1) , B ( 0;5 ) , đường tròn (C): ( x − 1) + ( y − 1) = 4 và đường thẳng d : x + 2 y + 1 = 0 . Từ điểm M trên d , sao cho từ M kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) là ME, MF (E, F là các tiếp điểm) và tứ giác ABEF là một hình thang. Tính độ dài đoạn EF. III- TƯ LIỆU THAM KHẢO: 1) Đề thi ĐH toàn quốc từ 2002- 2013 Bộ giáo dục và đào tạo 2) Kiến thức và kinh nghiệm làm bài thi ĐH Nguyễn Phú Khánh 2012 3) Tuyển tập đề thi thử Bắc- Trung- Nam Hoàng Văn Minh 2012 4) Nguồn tài liệu mở từ các trang web: www.viloet.vn, www.boxmath.info,... ---RẤT MONG NHẬN ĐƯỢC SỰ GÓP Ý CỦA QUÍ THẦY CÔ VÀ CÁC BẠN HỌC SINH ĐỂ CÁC EBOOK SAU HOÀN THIỆN HƠN! Xin chân thành cảm ơn!
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
16
CLB Giáo viên trẻ TP Huế