Programación lineal ruben estrella by Bastian Ater

Pontificia Universidad Católica Madre y Maestra Recinto Santo Tomás de Aquino Vice Rectoría de Post Grado

MG-617-T Modelos para la Toma de Decisiones en honor a Carlos Dreyfus PROGRAMA GENERAL Ing. Rubén Darío Estrella Sánchez, MBA Cavaliere dell’ordine al Merito della Repubblica Italiana Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)

rubendarioestrella@hotmail.com ; rubenestrella@atalayadecristo.org www.atalayadecristo.org SEPTIEMBRE, 2012 Objetivo General: Este curso persigue desarrollar habilidades en los gerentes y futuros gerentes de negocios que le permitan valorizar, aplicar y crear diferentes modelos matemáticos, útiles en el proceso de toma de decisiones en el mundo de los negocios, con la finalidad de optimizar los resultados a obtener en las diferentes situaciones del mundo real. CONTENIDO DEL PROGRAMA  Teoría de Toma de Decisiones. o Información Crítica. o Simulación. o Modelos o Toma de Decisiones.  Modelos Matemáticos. o Modelos Lineales.  Modelos de Costos, Ingresos y Beneficios.  Punto de Equilibrio  Modelos de Oferta y Demanda.  Análisis del Equilibrio.  Depreciación en línea recta. o Modelos No Lineales.  Funciones cuadráticas de ingresos, oferta y demanda.  Equilibrio entre oferta y demanda.  Modelo de ubicación. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 1 Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro

 Modelos Estadísticos. o Estadística Descriptiva.  Conceptos generales de Estadística.  Tabla de Frecuencias y Gráficos Estadísticos.  Medidas de Tendencias Central y de Dispersión.  Los Cuantiles.  Proyecto Parcial – Uso de Herramientas Estadísticas. o Estadística Inferencial.  Introducción a las Probabilidades.  Distribución Binomial.  Distribución Hipergeométrica.  Distribución de Poisson.  Distribución Normal.  Distribución T.  Aproximación Binomial a Normal.  Teoría de Regresión y Correlación.  Distribución Muestral (Adicional).  Estimados y Tamaño de Muestra.  Distribución Chi cuadrada.  El Análisis de Varianza – ANOVA.  Prueba de Hipótesis.  Pruebas no paramétricas.  Modelos de Programación Lineal. o Método Gráfico. o Método Simplex. o Método PERT. o Diagrama de Gantt.  Proyecto Final – Modelos de Programación Lineal.

Pruebas Cortas

10 puntos:

1º Parcial Proyecto Parcial 2º Parcial Proyecto Final Materiales Útiles: -

25 puntos 15 puntos 25 puntos 25 puntos

Evaluación 5 puntos (Modelos Lineales) 5 puntos (Modelos No Lineales) Modelos Lineales / No Lineales / Descriptiva Modelos Estadísticos (Presentación en el Aula) Modelos Estadísticos - Estadística Inferencial Modelos de Programación Lineal (Presentación en el Aula)

Calculadora Científica con Combinación nCr Computador Portátil – Notebook - Laptop Juego de Reglas, Compás. Manual de Ejercicios. Bibliografía indicada a continuación.

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Agenda – Calendario Modulo

Contenido

Fecha

Hora

Valor

Introducción y Reglas del Juego

3, 5 Sept.

6-8/8-10

Asistencia

Teoría de Toma de Decisiones

10, 12 Sept.

6-8/8-10

Asistencia

Modelos Lineales

10, 12 Sept.

6-8/8-10

Asistencia

Control de Lectura

17, 19 Sept.

6-8/8-10

5 puntos

Modelos No Lineales

26 Sept.

6-8/8-10

Asistencia

Control de Lectura

1, 3 Oct.

6-8/8-10

5 puntos

Modelos Estadísticos – Estadística Descriptiva

8, 10 Oct.

6-8/8-10

Asistencia

Modelos Estadísticos – Estadística Descriptiva

15, 17 Oct.

6-8/8-10

Asistencia

I , II

Primer Parcial

22, 24 Oct.

6-8/8-10

25 puntos

Proyecto Parcial – Modelos Estadísticos (Presentación en el Aula)

29, 31 Oct.

6-8/8-10

15 puntos

Modelos Estadísticos – Probabilidades

5, 7 Nov.

6-8/8-10

Asistencia

Modelos Estadísticos – Distribuciones de Probabilidades y Aproximación

12, 14 Nov.

6-8/8-10

Asistencia

Modelos Estadísticos – Teoría de Regresión y Estimación y Tamaño de Muestra

19, 21 Nov.

6-8/8-10

Asistencia

Modelos Estadísticos – Prueba de Hipótesis

26, 28 Nov.

6-8/8-10

Asistencia

Segundo Parcial

3, 5 Dic.

6-8/8-10

25 puntos

III

Modelos de Programación Lineal

10, 12 Dic.

6-8/8-10

Asistencia

III

Proyecto Final – Modelos de Programación Lineal

10, 12 Dic.

6-8/8-10

25 puntos

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4 Pontificia Universidad Católica Madre y Maestra - Recinto Santo Tomás de Aquino

MG-617-T Modelos para la Toma de Decisiones - Ing. Rubén Darío Estrella, MBA

Aplicación de las Estadísticas Proyecto Parcial Valor 15 puntos - Fecha de Entrega: 29-31/10/2012 Una empresa multinacional del Sector Supermercados que está ubicada en el Distrito Nacional, Santo Domingo y Santiago, está pensando expandir sus operaciones estableciéndose en otras 3 provincias del País, con este propósito un equipo de estudiantes de Modelos para la Toma de Decisiones fue contratado, para determinar en cuáles y qué orden debe ubicarse tomando en consideración las siguientes informaciones estadísticas: 1. Población Rural y Urbana. 2. Hogares Rurales y Urbanos. 3. Población Ocupada. 4. Población Económicamente Activa. 5. Proporción de la Ocupada en relación a la Activa. 6. Gasto Anual por Hogar Rural (En alimentos, bebidas y tabaco). 7. Gasto Anual por Hogar Urbano (En alimentos, bebidas y tabaco). 8. Demanda total (En base a la suma del Gasto Rural y Urbano). 9. Densidad Poblacional. Utilizando las Herramientas estadísticas, algunas consideraciones de Operaciones y Mercadeo, presente su Informe. - Característica del Sector Industrial, situación actual, entorno, tendencias, etc. - Estilo de vida. - Desarrollo provincial. - Nivel de Educación. - Acceso a la tecnología y medios de comunicación. - Nivel de participación de la competencia. - Distancia de los centros de distribución. - Rentabilidad del negocio.

Impreso y en CD. FECHA DE ASIGNACIÓN: 3-9-2012

www.bancentral.gov.do www.one.gov.do [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 4 Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro

5 Pontificia Universidad Católica Madre y Maestra - Recinto Santo Tomás de Aquino

MG-617-T Modelos para la Toma de Decisiones - Ing. Rubén Darío Estrella, MBA

PROYECTO FINAL Valor 25 puntos - Fecha de Entrega: 10-12/12/2012 Lineamientos generales para el trabajo final Elaborar para una empresa de su elección, las recomendaciones necesarias para lograr una mejor u óptima programación de un proceso determinante o crítico para el logro de los objetivos de la organización que la hagan más competitiva y rentable, tomando en consideración la situación actual de la empresa, cultura, posibilidades económicas, características de su sector industrial, disponibilidad de tecnología, etc. Algunos detalles a incluir en su trabajo:  Breve reseña de la empresa, historia, evolución, cultura, etc.  Característica del Sector Industrial, situación actual, entorno, tendencias, etc.  Misión, Visión y Objetivos.  Evaluar la situación actual del proceso seleccionado; hacer una crítica de la situación, emitir un diagnóstico claro y completo.  Utilizando El Diagrama Gantt indicar los tiempos empleados para la realización de este proyecto final.  Utilizando el Método PERT (Program Evaluation Review Technique - Técnica de Revisión y evaluación de programas) determine: o Lista de actividades del proceso (Descripción, actividades predecesoras inmediatas, duración, etc.). o Tiempo de finalización de cada actividad. o Actividades Críticas del proceso. o Tiempo que se pueden retardar las actividades “no críticas” o Diagramas de Red del proceso. o Diagrama de Gantt del proceso. o Determinación del tiempo total requerido del proceso. o Determinación del Camino Crítico o Ruta Crítica. o Determinación de Tiempos más próximos y Tiempos más lejanos. o Determinación de holguras. o Formas de reducir la duración del proceso. o Tiempos inciertos de actividad del proceso.  Tiempo promedio o esperado, varianza, distribución de probabilidades beta. o Variabilidad en el tiempo de terminación del proceso. o Probabilidad de terminar el proceso a tiempo. o Cómo pueden concentrarse más eficientemente los recursos en actividades, a fin de acelerar la terminación del proceso. o Qué control se debe ejercer en el flujo de gastos para las diversas actividades a lo largo del proceso. o Consideraciones de Tiempo y Costo.  Evaluación y presentación clara, evidente y objetiva de los efectos y el impacto de sus recomendaciones en la empresa: económicas, de calidad, de imagen, etc.

 Mínimo de Fuentes Bibliográficas (Libros) a utilizar: 5  Impreso y en CD. FECHA DE ASIGNACIÓN: 3-9-2012

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 Bibliografía de Modelos Lineales y No Lineales. o ANDERSON David, SWEENEY Dennis, WILLIAMS Thomas, CAMM Jeffrey and MARTIN Kipp. Métodos Cuantitativos para los Negocios. CENGAGE Learning: 11ª, 2011. o BUDNICK Franck S. Matemáticas Aplicadas para Administración, Economía y Ciencias Sociales. McGraw-Hill: Segunda Edición, 1990. o HAEUSLLER Ernest F. And PAUL Richard S. Matemáticas para Administración y Economía. Pearson Educación – Prentice Hall: Décima edición, 2003. o VISCENCIO Brambila. Economía para la Toma de Decisiones. CENGAGE Learning: Primera Edición, 2002. o HILLIER Frederick S., HILLIER Mark S. Métodos Cuantitativos para Administración. McGraw-Hill: Tercera Edición, 2008. o HILLIER Frederick and LIEBERMAN Gerald. Introducción a la Investigación de Operaciones. McGraw-Hill: Novena Edición. 2010. o RENDER Barry, STAIR Ralph M. and HANNA Michael. Métodos Cuantitativos para Negocios. Pearson – Prentice Hall: Novena Edición, 2006. o LORA Ricardo and GRULLON Ramón. METODOS CUANTITATIVOS EN LA TOMA DE DECISIONES. Departamento Editorial de la Pontificia Universidad Católica Madre y Maestra. Santiago de los Caballeros, República Dominicana: Tercera Edición, 1994. o HERNANDEZ SAMPIERI Roberto, FERNANDEZ COLLADO Carlos and BAPTISTA LUCIO Pilar. Métodos de la Investigación. Mc Graw Hill. Quinta Edición. 2010. o BONINI Charles, HASUMAN Warren and BIERMAN Harold. Análisis Cuantitativo para Negocios. McGraw-Hill: Novena Edición, 2000. o KELTON W. David, SADOWSKI Randall P. and STURROCK David T. Simulación con Software Arena. McGraw-Hill: Cuarta Edición, 2008. o HOFFMANN Laurence and BRADLEY Gerald. CÁLCULO. McGraw-Hill: Sétima Edición, 2001. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 6 Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro

o BIERMAN Harold, BONINI Charles and HASUMAN Warren. Análisis Cuantitativo para la Toma de Decisiones. McGraw-Hill: 1994. o EPPEN G.D., GOULD F.J., SCHMIDT C.D., MOORE Jeffrey and WEATHERFORD Larry. Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa. Pearson Educación – Prentice Hall: Quinta edición, 2000. o SAMUELSON Paul and NORDHAUS William. Hill: Decimoquinta Edición, 1996.

ECONOMIA. McGraw-

o HORNGREN Charles and SUNDEM Gary. Contabilidad Administrativa. Prentice-Hall Hispanoamericana: Novena Edición, 1994. o HORNGREN Charles, SUNDEM Gary and ELLIOTT John. Contabilidad Financiera. Prentice-Hall Hispanoamericana: Quinta Edición, 1994. o CHASE Richard and AQUILANO Nicholas. Dirección y Administración de la Producción y de las Operaciones. McGraw-Hill: Sexta Edición. 1995. o HIRSCHEY Mark and PAPPAS James L. Fundamentals of Managerial Economics. The Dryden Press: Fitth Edition. 1995. o LEHMANN Charles H. Geometría Analítica. México. 2006.

Editorial Limusa, S.A.,

 Bibliografía de Modelos Estadísticos. o LIND Douglas A., MARCHAL William G. and WATHEN Samuel A. Estadística Aplicada a los Negocios y a la Economía. McGraw-Hill. 13ª Edición. 2008. o WEBSTER, Allen L. Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. McGraw-Hill: Tercera Edición. 2000. o ANDERSON David, SWEENEY Dennis and WILLIAMS Thomas. Estadística para Negocios y Economía. CENGAGE Learning: 11ª Edición 2004 / Séptima Edición. 2012. o SPIEGEL Murray, SHILLER John and SRINIVASAN R. Alu. Probabilidad y Estadística. Mc Graw Hill. 3ª. Edición – Serie Shaum. 2010.

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o NIEVES Antonio and DOMINGUEZ Federico. Probabilidad y Estadística para Ingeniería un enfoque moderno. Mc Graw Hill. 2010. o HERNANDEZ SAMPIERI Roberto, FERNANDEZ COLLADO Carlos and BAPTISTA LUCIO Pilar. Métodos de la Investigación. Mc Graw Hill. Quinta Edición. 2010. o GUTIERREZ PULIDO Humberto and DE LA VARA SALAZAR Román. Control Estadístico de Calidad y Seis Sigma 6. Mc Graw Hill. 2004 o TRIOLA Mario. Estadística Elemental (Elementary Statistics). AddisonWesley: Séptima Edición. 1998. o JONSON Robert and KUBY Patricia. Estadística Elemental Lo Esencial. International Thomson Editores, S. A.: Tercera Edición 2004. o LIPSCHUTS Seymour and LIPSON Marc. PROBABILIDAD. Mc Graw Hill. Segunda Edición. 2001. o MILTON J. Susan and ARNOLD Jesse C. PROBABILIDAD Y ESTADISTICA. Mc Graw Hill. Cuarta Edición. 2004. o MONTIEL A. M., RIUS F. And BARON F.J. Elementos Básicos de Estadística Económica y Empresarial. Prentice Hall: 1997. o HOPKINS Kenneth, HOPKINS B.R. and GLASS Gene. Estadística Básica para las Ciencias Sociales y del Comportamiento. Prentice Hall: Tercera Edición. 1997. o LAPIN Lawrence L. Statistics for Modern Business. The Dryden Press: 1995.  Bibliografía de Programación Lineal. o GIDO Jack and CLEMENTS James P. Administración exitosa de Proyectos. Cenage Learning: Quinta Edición. 2012. o HILLIER Frederick and LIEBERMAN Gerald. Introducción a la Investigación de Operaciones. McGraw-Hill: Novena Edición. 2010. o ANDERSON David, SWEENEY Dennis and WILLIAMS Thomas. Métodos Cuantitativos para los Negocios. International Thomson Editores: Novena Edición. 2004 - Séptima Edición. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 8 Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro

o ARREOLA RISA Jesús S. And ARREOLA RISA Antonio. Programación Lineal – Una introducción a la toma de decisiones cuantitativa. International Thomson Editores: Primera Edición. 2003. o HILLIER Frederick S., HILLIER Mark S. Métodos Cuantitativos para Administración. McGraw-Hill: Tercera Edición, 2008. o HAEUSLLER Ernest F. And PAUL Richard S. Matemáticas para Administración y Economía. Pearson Educación – Prentice Hall: Décima edición 2003. o WINSTON Wayne L. Investigación de Operaciones – Aplicaciones y algorimos. Thomson: Cuarta Edición, 2005. o BONINI Charles, HASUMAN Warren and BIERMAN Harold. Análisis Cuantitativo para Negocios. McGraw-Hill: Novena Edición, 2000. o BIERMAN Harold, BONINI Charles and HASUMAN Warren. Análisis Cuantitativo para la Toma de Decisiones. McGraw-Hill: 1994. o LORA Ricardo and GRULLON Ramón. METODOS CUANTITATIVOS EN LA TOMA DE DECISIONES. Departamento Editorial de la Pontificia Universidad Católica Madre y Maestra. Santiago de los Caballeros, República Dominicana: Tercera Edición, 1994. o HILLIER Frederick and LIEBERMAN Gerald. Introducción a la Investigación de Operaciones. McGraw-Hill: Sexta Edición. 1997. o CHASE Richard and AQUILANO Nicholas. Dirección y Administración de la Producción y de las Operaciones. McGraw-Hill: Sexta Edición. 1995. o EPPEN G.D., GOULD F.J., SCHMIDT C.D., MOORE Jeffrey and WEATHERFORD Larry. Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa. Pearson Educación – Prentice Hall: Quinta edición 2000.

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 Modelos de Programación Lineal. La Programación Lineal es una de la más vieja y aún una de las más importantes herramientas de la investigación de operaciones, se utiliza cuando un problema se puede describir utilizando ecuaciones y desigualdades que son todas lineales. La Programación Lineal (PL) es una técnica matemática de optimización. Por técnica de optimización se entiende un método que trata de maximizar o minimizar un objetivo; por ejemplo, maximizar las utilidades o minimizar los costos. La programación lineal es un subconjunto de un área más extensa de procedimientos de optimización matemática llamada Programación Matemática. La Programación Lineal trata la planeación de las actividades para obtener un resultado optimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo matemático) entre todas las alternativas de solución. La Programación Lineal no da espacio para que haya incertidumbre en ninguna de las relaciones; no incluye ninguna probabilidad o variable aleatoria. Por consiguiente, el problema de maximizar la función objetivo, sujeta a las distintas restricciones, es conceptualmente simple. Cuando hay sólo unas pocas variables, el sentido común y algo de aritmética pueden dar una solución, y es que así se han resuelto esos problemas por generaciones. Sin embargo, como es frecuente, la intuición es poco valida cuando el problema es más complejo; ya que cuando el número de variables de decisión aumenta de tres o cuatro a cientos de miles, el problema desafía los procedimientos empíricos. La programación lineal ha hecho posible manejar de una manera ordenada, problemas con grandes cantidades de restricciones. Esta técnica tiene excepcional poder y aplicación general. Es aplicable a una gran variedad de problemas organizacionales de los negocios modernos y puede manejarse como una rutina con la ayuda de los computadores actuales. Es una de las técnicas cuantitativas que le ha dado a la gerencia elementos eficaces para abordar un conjunto de problemas que admitían sólo soluciones parciales hasta hace pocos años. En todo problema de programación lineal hay que tomar ciertas decisiones. Estas se representan con variables de decisión xj que se utilizan en el modelo de programación lineal. La estructura básica de un problema de este tipo es maximizar o minimizar la función objetivo, satisfaciendo al mismo tiempo un grupo de condiciones restrictivas o restricciones (que limitan el grado en que se puede perseguir algún objetivo). La función objetivo. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 10 Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro

En un problema de programación lineal, la función por maximizar o minimizar se llama función objetivo. Aunque por lo regular existe un numero infinito de soluciones para el sistema de restricciones (llamadas soluciones factibles o puntos factibles), la meta es encontrar una que sea una solución óptima (esto es, una que dé el valor máximo o mínimo de la función objetivo). Restricciones estructurales y restricciones de no negatividad. Las restricciones son limitaciones impuestas al grupo de decisiones permisibles. Algunos ejemplos específicos de tales restricciones son: 1. Un administrador de cartera tiene determinada cantidad de capital a su disposición. Las decisiones están limitadas por la cantidad de capital disponible y por las regulaciones gubernamentales. 2. Las decisiones del administrador de una planta están limitadas por la capacidad de dicha planta y por la disponibilidad de recursos. 3. Los planes de una aerolínea para llevar a cabo la asignación del personal y los vuelos están restringidos por las necesidades de mantenimiento de los aviones y por la cantidad de empleados disponibles. El Modelo de programación lineal se ocupa de maximizar o minimizar una función objetivo lineal sujeta a dos tipos de restricciones: 1. Restricciones estructurales. 2. Restricciones de no negatividad. Las restricciones estructurales reflejan factores como la limitación de recursos y otras situaciones que impone la situación del problema. Las restricciones de no negatividad garantizan que ninguna variable de decisión sea negativa.

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El Método Gráfico Este método se fundamenta en la versión gráfica que presentemos de todas las restricciones planteadas; las cuales se superpondrán una sobre otra, hasta llegar a limitar un área, denominada área factible. El procedimiento más funcional para la aplicación de este método es introducir una pequeña modificación en las restricciones, las cuales generalmente están planteadas como inecuaciones, transformándolas en ecuaciones. Ya convertidas las restricciones en ecuaciones para su grafica aplicamos el método de los interceptos consistente en determinar los puntos donde la recta intercepta los ejes (X e Y). Graficada la recta se sombrea la parte superior o inferior de esta dependiendo del tipo de inecuación. Si la restricción tiene el signo  se sombrea a la derecha y por encima de la línea, pero si el signo es  se subraya a la izquierda por debajo del gráfico de la línea recta. La región que satisface de manera simultanea las restricciones ya sombreada se llama área o región factible, donde cada punto en esta región representa una solución factible. Aunque existe un numero infinito de soluciones factibles, debemos encontrar una que maximice o minimice la función objetivo. La condición de no negatividad hace que el grafico de la restricción X1, X2  0, sea todo en el primer cuadrante. Caso I. Un fabricante esta tratando de decidir sobre las cantidades de producción para dos artículos x1 y x2. Se dispone de 96 unidades de material y 72 horas de mano de obra. Cada producto x1 requiere 12 unidades de materiales y 6 horas de obra al máximo. Mientras que el producto x2 usaría 8 unidades de material y 12 horas de mano de obra. El margen de beneficio es el mismo para ambos artículos US$5. El fabricante prometió construir por lo menos dos artículos del producto x1 Determinar la cantidad a producir y vender de cada artículo que garanticen mayores beneficios. Función objetivo: Z = 5x1 + 5x2 Restricciones x1 y x2  0 (condición de no negatividad) 12x1 + 8x2  96 6x1 + 12x2  72 x1  2 Maximice: Z = 5x1 + 5x2 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 12 Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro

1. Convertimos las restricciones en ecuaciones. 12x1 + 8x2 = 96 6x1 + 12x2 = 72 x1 = 2 2. Utilizamos el método del intercepto determinamos los puntos que de las respectivas líneas rectas interceptan los ejes. Para 12x1 + 8x2 = 96 a) Si x2 = 0 implica

b) Si x1= 0 implica

12x1 + 8(0) = 96 12x1 = 96 x1 = 96/12 x1 = 8 (8,0) 12(0) + 8x2 = 96 8x2 = 96 x2 = 96/8 x2 = 12 (0,12)

Para 6x1 + 12x2 = 72 a) Si x2 = 0 implica

6x1 + 12(0) = 72 6x1 = 72 x1 = 72/6 x1 = 12 (12,0)

b) Si x1= 0 implica

6(0) + 12x2 = 72 12x2 = 72 x2 = 72/12 x2 = 6 (0,6)

Para x2 = 2 (2,0) 3. Graficamos. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 13 Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro

Si la restricción tiene el signo  se sombrea a la derecha y por encima de la línea, pero si el signo es  se subraya a la izquierda por debajo del gráfico de la línea recta. La región que satisface de manera simultanea las restricciones ya sombreada se llama área o región factible, donde cada punto en esta región representa una solución factible. Aunque existe un numero infinito de soluciones factibles, debemos encontrar una que maximice o minimice la función objetivo. Para 12x1 + 8x2 = 96 (8,0) (0,12) Para 6x1 + 12x2 = 72 (12,0) (0,6) Para x2 = 2 (2,0)

Esta área factible tiene los siguientes vértices (8,0), (6,3), (2,0) y (2,5). Es preciso aclarar que cualquier punto que caiga dentro del área factible garantiza beneficios, pero son los puntos extremos o vértices de la figura lo que garantizarían máximos beneficios.

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Maximice: Z = 5x1 + 5x2 En el punto (8,0) implica Z = 5(8) + 5(0) = $40 En el punto (6,3) implica Z = 5(6) + 5(3) = $45 En el punto (2,0) implica Z = 5(2) + 5(0) = $10 En el punto (2,5) implica Z = 5(2) + 5(5) = $35 El mayor valor es $45 lo que implica que habrá que vender 6 unidades del producto x 1 y 3 producto x2. Si pretendemos obtener los mayores beneficios. Caso II. Un comprador está tratando de seleccionar la combinación más barata de dos alimentos, que debe cumplir con ciertas necesidades diarias de vitaminas. Los requerimientos vitamínicos son por lo menos 40 unidades de vitaminas W, 50 unidades de vitamina X y 49 de unidades vitaminas Y, cada onza de alimento A proporciona 4 unidades de vitamina W, 10 unidades de vitamina X y unidades de vitamina Y, cada onza de alimento B proporciona 10 unidades de W, 5 unidades de X y 7 unidades de unidades Y. El alimento A cuesta 5 centavos/onza y el alimento B 8 centavos/onza.

Vitamina W Vitamina X Vitamina Y Costo

Alimento A Alimento B 4unids/onza 10unids/onza 10unids/onza 5unids/onza 7unids/onza 7unids/onza 5cents/onza 8cents/onza

Requerimiento Vitamínico Mín. 40 50 49

Determinar la combinación que disminuirá los costos: Función Objetivo: Minimizar C = 5A + 8B Restricciones: A, B  0 4A + 10B  40 10A + 5B  50 7A + 7B  49 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 15 Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro

1. Convertimos las restricciones en ecuaciones. 4A + 10B = 40 10A + 5B = 50 7A + 7B = 49 2. Utilizamos el método del intercepto determinamos los puntos que de las respectivas líneas rectas interceptan los ejes. Para 4A + 10B = 40 a) Si B = 0 implica 4A + 10(0) = 40 4A = 40 A = 40/4 A = 10 (10,0) b) Si A = 0 implica

Para 10A + 5B = 50 a) Si B = 0 implica

b) Si A = 0 implica

Para 7A + 7B = 49 a) Si B = 0 implica

4(0) + 10B = 40 10B = 40 B = 40/10 B=4 (0,4)

10A + 5(0) = 50 10A = 50 A = 50/10 A=5 (5,0) 10(0) + 5B = 50 5B = 50 B = 50/5 B = 10 (0,10) 7A + 7(0) = 49 7A = 49 A = 49/7 A=7 (7,0)

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b) Si A = 0 implica

7(0) + 7B = 49 7B = 49 B = 49/7 B=7 (0,7)

3. Graficamos. Si la restricción tiene el signo  se sombrea a la derecha y por encima de la línea, pero si el signo es  se subraya a la izquierda por debajo del gráfico de la línea recta. La región que satisface de manera simultanea las restricciones ya sombreada se llama área o región factible, donde cada punto en esta región representa una solución factible. Aunque existe un numero infinito de soluciones factibles, debemos encontrar una que maximice o minimice la función objetivo. Para 4A + 10B = 40 (10,0) (0,4) Para 10A + 5B = 50 (5,0) (0,10) Para 7A + 7B = 49 (7,0) (0,7)

Región Factible

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Minimizar C = 5A + 8B a) En el punto (10,0) implica C = 5(10) + 8(0) = $50 b) En el punto (4.2,2.5) implica C = 5(4.2) + 8(2.5) = $41 a) En el punto (2.2,5) implica C = 5(2.2) + 8(5) = $51 a) En el punto (0,10) implica C = 5(0) + 8(10) = $80 El menor costo a que se podría comprar es a $41, pero esto implicaría 4.2 onzas del producto A y 2.5 onzas del producto B y se mantendría el nivel vitamínico. Caso III. Una empresa fabrica dos productos, los cuales deben procesarse en los departamentos 1 y 2. En la tabla se resumen las necesidades de horas de trabajo por unidad de cada producto en uno y otro departamento. También se incluyen las capacidades de horas de trabajo semanales en ambos departamento y los márgenes respectivos de utilidad que se obtienen con los dos productos. El problema consiste en determinar el número de unidades que hay que fabricar de cada producto, con el objeto de maximizar la aportación total a los costos fijos y a las utilidades. Producto A Departamento 1 3h/unidad Departamento 2 4h/unidad Margen de utilidad $5/unidad

Capacidad de Producto B Trabajo semanal 3h/unidad 120h 6h/unidad 260h $6/unidad

Si se supone que x1 y x2 son el número de unidades fabricadas y vendidas, respectivamente, de los productos A y B, entonces puede calcularse la aportación a las utilidades totales sumando las contribuciones de ambos productos. La que hace cada uno se obtiene al multiplicar el margen de utilidad por unidad por el número de unidades producidas y vendidas. Si z se define como la aportación a los costos y utilidades totales, se tendrá: Z = 5x1 + 6x2 Las restricciones vienen dadas de la siguiente forma: 3x1 + 2x2  120 departamento 1 4x1 + 6x2  260 departamento 2 El modelo de programación lineal que representa el problema se formula así: Maximice Z = 5x1 + 6x2 Sujeta a 3x1 + 2x2  120 4x1 + 6x2  260 x1  0 x2  0 [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 18 Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro

4. Convertimos las restricciones en ecuaciones. Inecuaciones o Desigualdades lineales 3x1 + 2x2  120 departamento 1 4x1 + 6x2  260 departamento 2 Ecuaciones o Igualdades lineales 3x1 + 2x2 = 120 departamento 1 4x1 + 6x2 = 260 departamento 2 5. Utilizamos el método del intercepto determinamos los puntos que de las respectivas líneas rectas interceptan los ejes. Para 3x1 + 2x2 = 120 a) Si x2 = 0 implica

b) Si x1= 0 implica

Para 4x1 + 6x2 = 260 a) Si x2 = 0 implica

b) Si x1= 0 implica

3x1 + 2(0) = 120 3x1 = 120 x1 = 120/3 x1 = 40 (40,0) 3(0) + 2x2 = 120 2x2 = 120 x2 = 120/2 x2 = 60 (0,60) 4x1 + 6(0) = 260 4x1 = 260 x1 = 260/4 x1 = 65 (65,0) 4(0) + 6x2 = 260 6x2 = 260 x2 = 260/6 x2 = 43.33 (0,43.33)

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6. Graficamos. Si la restricción tiene el signo  se sombrea a la derecha y por encima de la línea, pero si el signo es  se subraya a la izquierda por debajo del gráfico de la línea recta. La región que satisface de manera simultánea las restricciones ya sombreada se llama área o región factible, donde cada punto en esta región representa una solución factible. Aunque existe un número infinito de soluciones factibles, debemos encontrar una que maximice o minimice la función objetivo. Para 3x1 + 2x2 = 120 (40,0) (0,60) Para 4x1 + 6x2 = 260 (65,0) (0,43.33)

3x1+2x2120

4x1+6x2260

7. Ya que la función objetivo Z = 5x1 + 6x2, es equivalente a: 6/6x2 = -5/6 x1 + Z/6 x2 = -5/6 x1 + Z/6 Define una familia de rectas paralelas, cada una con pendiente de –5/6 e intersección de y (0, Z/6). La pendiente de la función objetivo es –5/6, y no recibe el influjo del valor de Z. Se determina exclusivamente por los coeficientes de las dos variables de la función objetivo. [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 20 Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro

La intersección con el eje x2 está definida por (0,Z/6). Desde ella se advierte que, al cambiar el valor de z, lo mismo sucede con la intersección con el eje x 2. Si Z aumenta el valor, también lo hace la intersección con el eje x2, lo cual significa que la línea de utilidades iguales se desplaza hacia arriba y hacia la derecha. Si quisiéramos maximizar las utilidades, tendríamos que desplazar la línea de utilidades lo más afuera posible, sin dejar de tocar un punto dentro del área de las soluciones factibles. Una vez definida el área factible usted puede tratar de encontrar la solución óptima, identificando combinaciones de los dos productos que generen un nivel de utilidad previamente establecido, por ejemplo: a) 5x1 + 6x2 = $120 b) 5x1 + 6x2 = $180 c) 5x1 + 6x2 = $240 8. A partir de la figura anterior vemos que el punto o vértice A del área factible pertenece a las rectas: 3x1 + 2x2 = 120 departamento 1 4x1 + 6x2 = 260 departamento 2 Sus coordenadas pueden hallarse resolviendo el sistema anterior. Por igualación: x1 = 120 - 2x2 3 x1 = 260 - 6x2 4 120 - 2x2 = 260 - 6x2 3 4 480 - 8x2 = 780 - 18x2 - 8x2 = 300 - 18x2 10x2 = 300 x2 = 30 3x1 + 2(30) = 120 3x1 = 60 x1 = 60/3 x1 = 20 Por eliminación: [Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 21 Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro

3x1 + 2x2 = 120 (-4) 4x1 + 6x2 = 260 (3) -12x1 - 8x2 = -480 departamento 1 12x1 +18x2 = 780 departamento 2 10x2 = 300 x2 = 30 3x1 + 2(30) = 120 3x1 = 60 x1 = 60/3 x1 = 20

Al deslizarse hacia fuera, el último punto que debe tocarse es A. Este punto se encuentra en la línea de utilidades de $280 cuando se fabrican 20 y 30 unidades, respectivamente, de los productos A y B.

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Ejercicios Propuestos. Optimice cada situación basado en el modelo gráfico e interprete los resultados. Caso I. Una compañía produce dos tipos de artículos, manuales y eléctricos. Cada uno requiere para su fabricación del uso de tres maquinas, A, B y C. La tabla siguiente da la información relacionada con la fabricación de estos artículos. Cada artículo manual requiere del uso de la maquina A durante 2 horas, de la maquina B por 1 hora y de la maquina C otra hora. Un articulo eléctrico requiere 1 hora de la maquina A, 2 horas de la maquina B y 1 hora de la maquina C. Además, supongamos que el numero máximo de horas disponibles por mes para el uso de las maquinas A, B y C es de 180, 160 y 100, respectivamente. La utilidad por cada artículo manual es de $4 y por cada artículo eléctrico es de $6. Si la compañía vende todos los artículos que puede producir, ¿cuántos artículos de cada tipo debe producir con el fin de maximizar la utilidad mensual?

Máquina A Máquina B Máquina C Utilidad/unidad

Artículo Manual 2 1 1 $4

Artículo Eléctrico 1 2 1 $6

Horas Disponibles 180 160 100

Caso II. Un agricultor va a comprar fertilizante que contienen tres nutrientes: A, B y C. Los mínimos necesarios son 160 unidades de A, 200 unidades de B y 80 unidades de C. Existen dos marcas muy aceptadas de fertilizantes en el mercado. Crece Rápido cuesta $8 una bolsa, contiene 3 unidades de A, 5 unidades de B y 1 unidad de C. Crece Fácil cuesta $6 cada bolsa, y contiene 2 unidades de cada nutriente. Si el cultivador desea minimizar el costo mientras se satisfacen los requerimientos de nutrimentos, ¿cuántas bolsas de cada marca debe comprar? La información se resume como sigue:

Nutriente A Nutriente B Nutriente C Costo/bolsa

Crece Rápido 3 unidades 5 unidades 1 unidad $8

Crece Fácil 2 unidades 2 unidades 2 unidades $6

Unidades Requeridas 160 200 80

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24 Caso III. Resuelva por el Método Gráfico: Maximizar

5000E + 4000F E+F5 10E + 15F  150 20E + 10F  160 30E + 10F  135 E, F  0

(Máxima contribución a las ganancias) (Requisito de Producción Mínima) (Capacidad en el Departamento A) (Capacidad en el Departamento B) (Horas de trabajo empleadas en las pruebas) (Condición de no negatividad)

Caso IV. Construye el diagrama de red para el siguiente listado de actividades que permitiría el traslado de una oficina del sector financiero. Predecesores Actividad Descripción Inmediatos A Seleccionar sitio de oficinas B Crear plan organizacional y financiero C Determinar requerimiento de personal B D Diseñar la instalación A,B E Construir el interior D F Seleccionar al personal que se va a transferir C G Contratar nuevos empleados F H Trasladar registros, personal clave, etc. F I Hacer arreglos financieros con instituciones B J Capacitar nuevo personal H,E,G

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