Proporcionalidad numérica, geometrica y semejanza by Bauti Ronaldo

Proporciones y Semejanza

1 PROPORCIONES Y SEMEJANZA

LA RAZON entre dos cantidades es el cociente indicado entre ellas, la razón de a y b se a escribe y se lee: a es a b. b a c PROPORCION: Es la igualdad de dos razones.  , y se lee: a es a b como c es a d. a y c b d se llaman antecedentes, b y d se llaman consecuentes. c y b se llaman medios; a y d se llaman extremos. Cualquier elemento se llama cuarta proporcional entre las otras tres. Cuando los medios o los extremos son iguales, se llama media proporcional. 12 6 x z  ; 6 es la media proporcional entre 12 y 3  , x es la media proporcional entre y  z; 6 3 y x PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES: 1. PROPIEDAD FUNDAMENTAL: En una proporción se cumple que el producto de los extremos es igual al producto de los medios. a c 4 2   a  b  c  d ;   4  5  10  2 b d 10 5 2. En una proporción se pueden intercambiar los medios o los extremos y se obtiene otra proporción a c a b 3 2 3 12    ;    b d c d 12 8 2 8 a c d c 5 15 21 15    ;    b d b a 7 21 7 5 3. En cada proporción se pueden invertir sus elementos y nos da otra proporción. a c b d 2 6 3 9    ;    b d a c 3 9 2 6 a c a  b c  d 7 14 7  5 14  10 12 24 4.    ;      b d b d 5 10 5 10 5 10 a c a  b c  d 7 14 7  5 14  10 2 4 5.    ;      b d b d 5 10 5 10 5 10 a c e ace a 6.   k  k b d f bd  f b

Proporciones y Semejanza

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA PROPORCIONALIDAD. Si se traza una paralela a un lado de un triangulo, determina segmentos proporcionales en los otros dos lados. HIPOTESIS: DE AB A–D–CyB–E–C TESIS:

CD CE  DA EB

1. Sobre CD se toman n segmentos

1. Construcción

congruentes de longitud a y sobre DA se toman m segmentos congruentes de longitud a 2. Se trazan paralelas por esos puntos a AB

2. Construcción

3. En CE se determinan n segmentos s de

3. De 2. Teorema fundamental de las paralelas

longitud b y en EB se determinan m segmentos congruentes de longitud b . 4. CD  n  a; DA  m  a; CE  n  b; EB  m  b CD n  a n 5.   DA m  a m CE n  b n 6.   EB m  b m CD CE 7.  DA EB

4. De 1 y 3. Adición de segmentos 5. De 4 6. De 4 7. De 5 y 6. Propiedad transitiva.

COROLARIO 1: CA CB  DA CE COROLARIO 2: CA CB  DA EB TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR) Si una recta corta a dos lados de un triangulo y determina segmentos proporcionales en los otros dos lados, entonces la recta es paralela al tercer lado. (Consultar su demostración)

Proporciones y Semejanza

TEOREMA DE THALES Si tres o mas rectas paralelas son cortadas por dos transversales, entonces los segmentos de una transversal son proporcionales a sus correspondientes en la otra. HIPOTESIS: m n s t1 y t2 son transversales TESIS:

AB BC  DE EF

1. Trazamos DK t1 , tal que B – L – E y C–K–F

1. Construcción

2. EL KF DE DL 3.  EF KL 4. ABLD y BCKL son paralelogramos

2. De 1 y de hipótesis

5. AB = DL y BC = KL DE AB  EF BC BC AB 7.  EF DE

3. De 2. Teorema fundamental de la proporcionalidad en  DKF 4. De hipótesis y de 1. Definición de paralelogramo 5. De 4. Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes 6. Sustitución de 5 en 3 7. De 6. Propiedad de las proporciones.

TEOREMA En todo triangulo la bisectriz de un ángulo interno divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados adyacentes.

HIPOTESIS: CD es bisectriz del ángulo ACB A–D–B

TESIS:

AD DB  AC BC

1. Por B se traza BE , tal que BE DC ;

1. Construcción

Proporciones y Semejanza

BE y AC se cortan en E AD DB  AC CE 3.   2.













7. CE  BC 8.

AD DB  AC BC

2. De 1. Teorema fundamental de las proporciones en  ABE 3. De 1. Por ser alternos internos entre paralelas 4. De 1. Por ser correspondientes entre paralelas 5. De Hipótesis. CD es bisectriz 6. De 3, 4 y 5. Propiedad transitiva 7. De 6. En un triangulo a ángulos s se oponen lados congruentes 8. Sustitución de 7 en 2

TEOREMA: La bisectriz de un ángulo exterior de un triangulo no isósceles, divide a la prolongación del lado opuesto al ángulo en segmentos proporcionales a sus lados adyacentes. HIPOTESIS: CP es bisectriz del ángulo exterior BCE TESIS:

1. Se traza BD PC , que corta a AC en D AP AC 2.  BP DC 3.   4.













7. DC  BC AP AC  BP BC AP BP  9. AC BC

AP BP  AC BC

1. Construcción 2. De 1. Teorema fundamental de la proporcionalidad en  ACP 3. De 1. Por ser alternos internos entre paralelas. 4. De 1. Por ser correspondientes entre paralelas 5. De hipótesis. PC es bisectriz 6. De 3, 4 y 5. Propiedad transitiva 7. De 6. En un triangulo a ángulos s se oponen lados congruentes 8. Sustitución de 7 en 2 9. De 8. Propiedad de las proporciones.

Proporciones y Semejanza

5 EJERCICIOS

DE AC (De hipótesis por formar ángulos correspondientes congruentes) BD BE 4 x     x 2  96  x  96  AB  4 6 BA BC x 24

2) Con las siguientes longitudes: BC = 21; EC = 9; AB = 14; BD = 5, será ¿ ED AC ? Si fueran paralelas se debería cumplir que BA BC 14 21 , lo cual es falso porque no se cumple    BD BE 5 12 que producto de medios es igual a producto de medios y por lo tanto ED no es paralelo a AC

TESIS: DC 

a b a b ; EC  bc c b

A continuación se da la demostración, colocar las razones

Proporciones y Semejanza

BD AB  DC AC BD  DC AB  AC 2.  DC AC a cb 3.  DC b 4.DC (b  c)  a  b

a b bc BE EC 6.  AB AC BE AB 7.  EC AC BE  EC AB  AC 8.  EC AC a cb 9.  EC b 10.EC (c  b)  a  b 5.DC 

11.EC 

a b cb

SEMEJANZA DE POLIGONOS. Dos polígonos son semejantes si entre sus vértices existe una correspondencia tal que los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales. A  A '; B  B '; C  C '; D  D '; E  E ' AB BC CD DE EA     k A ' B ' B 'C ' C ' D ' D ' E ' E ' A ' Donde k, se llama constante de proporcionalidad

Se escribe ABCDE  A’B’C’D’E’;  se lee: “semejante a “ SEMEJANZA DE TRIANGULOS. Dos triángulos son semejantes si tienen igual forma. En los triángulos semejantes se cumple que los ángulos correspondientes son congruentes y lados correspondientes son proporcionales.

Proporciones y Semejanza

A  D; B  E; C  F AB AC BC   DE DF EF

La semejanza es una relación de equivalencia, o sea que cumple: 1. Propiedad reflexiva: ABC ABC 2. Propiedad simétrica: ABC DEF  DEF ABC 3. Propiedad transitiva: ABC DEF y DEF PQR, entonces ABC PQR Las seis condiciones dadas en la definición de triángulos semejantes se pueden reducir a tres TEOREMA DE SEMEJANZA A – A – A Si dos triángulos tienen sus ángulos respectivamente congruentes entonces son semejantes. HIPOTESIS:

A  R; B  S ; C  T

TESIS: ABC

1. Sean D y E, puntos sobre CA y CB , tales que CD  TR y CE  TS 2. C T 3.  CDE   TRS 4. CDE  R 5. 6.

R A CDE 

7. DE

CD CE  CA CB TR TS 9.  CA CB 10. De igual modo, tomando F y G en AB y

BC , tal que BF  SR y BG  ST , puede demostrarse que

RST

1. Construcción 2. De hipótesis 3. De 1 y 2. L – A – L 4. De 3. Son ángulos correspondientes en triángulos s 5. De hipótesis 6. De 4 y 5. Propiedad transitiva 7. De 6. Por formar con una transversal ángulos correspondientes congruentes. 8. De 7. Teorema fundamental de la proporcionalidad 9. Sustitución de 1 en 8. 10.

Proporciones y Semejanza

AB CB RS TS (hágalo)    RS TS AB CB 11.

TR TS RS   CA CB AB

12. A  R; B  13. ABC RST

11. De 9 y 10

S; C  T

12. De hipótesis 13. De 11 y 12. Definición de triángulos semejantes.

COROLARIO 1. Si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes entonces son semejantes (A – A) COROLARIO 2. Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo congruente entonces son semejantes. COROLARIO 3. Las alturas correspondientes de dos triángulos semejantes tienen la misma razón que la de dos lados correspondientes.

CE AC AB BC    TH RT RS ST

COROLARIO 4. Si se traza una recta paralela a un lado de un triangulo se determina otro triangulo semejante al primero. Si DE

AB , entonces ABC

DEC

TEOREMA DE SEMEJANZA L – A – L Si en dos triángulos dos lados correspondientes son proporcionales y los ángulos comprendidos entre ellos son congruentes, entonces los triángulos son semejantes.

CA CB  NE NL C N TESIS: ABC ELN HIPÓTESIS:

Proporciones y Semejanza

9 1. Construcción

1. En CA y en CB , existen los puntos D y E tales que CD  NE y CE  NL 2. C N 3.  CDE   ELN CA CB 4.  NE NL CA CB 5.  CD CE 6. DE

2. De hipótesis 3. De 1 y 2. L – A – L 4. De hipótesis 5. Sustitución de 1 en 4 6. De 5. Reciproco del teorema fundamental de la proporcionalidad 7. De 6. Una recta paralela a un lado de un triangulo, determina un triangulo semejante al primero. 8. Sustitución de 3 en 7.

7. CDE

ABC

8. ABC

ELN

COROLARIO Si en dos triángulos rectángulos los catetos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes. EJERCICIO HIPÓTESIS: AF , BD, CE son alturas. TESIS: ABC

1. C C 2.  CFA y  CDB son rectángulos 3. CFA CDB 4.

CD BC  CF AC

5. FCD

ABC

6. A A 7.  CAE y  DAB son rectángulos 8. CAE DAB 9.

AB AD  AC AE

10. ABC

ADE

FCD FEB ADE

1. Propiedad reflexiva 2. De hipótesis. Definición de altura 3. De 1 y 2. Por tener un ángulo agudo congruente 4. De 3. Si son semejantes los lados correspondientes son proporcionales 5. De 1 y 4. Por teorema de semejanza L – A – L 6. Propiedad reflexiva 7. De hipótesis. Definición de altura. 8. De 7 y 6. Por tener un ángulo agudo congruente 9. De 8. Por ser lados correspondientes de triángulos semejantes 10. De 6 y 9. Teorema de semejanza L – A – L

Proporciones y Semejanza

11. B  B 12.  AFB y  CBE son rectángulos 13. AFB 14.

CB EB  AB FB

15. ABC 16. ABC

CBE

FEB FCD FEB ADE

11. Propiedad reflexiva 12. De hipótesis. Definición de altura y de triangulo rectángulo. 13. De 11 y 12. Por tener un ángulo agudo congruente. 14. De 13. Por ser lados correspondientes en triángulos semejantes. 15. De 11 y 14. Teorema de semejanza L – A –L 16. De 5, 10 y 15. Propiedad transitiva

NOTA: El triangulo DEF se conoce con el nombre del triangulo del pedal. TEOREMA DE SEMEJANZA L – L – L Si en dos triángulos sus lados correspondientes son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes. HIPOTESIS:

CA AB BC   FD DE EF

TESIS: ABC

1. En CA existe un punto G, tal que

1. Construcción

CG  FD y en CB existe H, tal que CH  FE 2. Se traza GH

2. Construcción

3. De hipótesis

CA BC  FD EF

4. GH

5. CGH

CAB

CA AB  CG GH CA AB 7.  FD GH CA AB  8. FD DE AB AB  9. GH DE 6.

DEF

4. De 3. Reciproco del teorema fundamental de la proporcionalidad 5. De 4. Una recta paralela a un lado de un triangulo determina un triangulo semejante al primero. 6. De 5. Los lados correspondientes son proporcionales 7. Sustitución de 1 en 6. 8. De hipótesis. 9. Sustitución de 7 en 8.

Proporciones y Semejanza

10.

AB GH  AB DE

GH  GH  DE DE 12. CGH DEF 13. ABC DEF 11. 1 

11 10. De 9. Propiedad de las proporciones. 11. De 10. 12. De 11 y 1. L – L – L 13. Sustitución de 12 en 5.

COROLARIO 1. Si dos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa y un cateto respectivamente proporcionales, entonces son semejantes. COROLARIO 2. Si dos triángulos isósceles tienen un ángulo cualquier respectivamente congruente, entonces son semejantes.

EJERCICIOS RESUELTOS DATOS: ABC es rectángulo en DEA es rectángulo en

C E

HALLAR el valor de x.

ABC DEA por ser rectángulos con un ángulo agudo congruente (A  A) x 10   20 x  160  x  8 16 20 2) HIPÓTESIS: A  CBD TESIS: BD 2  DC  AD

1. A  CBD 3. D D 4. ADB BDC BD DC 5.  AD BD 6. BD 2  DC  AD

2. 1. De hipótesis 3. Propiedad reflexiva 4. De 1 y 2. A – A 5. De 3. Por ser lados correspondientes en triángulos semejantes 6. De 4. Propiedad de las proporciones.

Proporciones y Semejanza

ABC HIPOTESIS:

TESIS:

1. 2.

3. 4. 5.

B

F BC BD   BC  2 BD 2 FE FL   FE  2 FL 2 AB BC  HF FE AB 2 BD  HF 2 FL AB BD  HF FL

6. ABD HFL AD AB 7.  HL HF AB BC 8.  HF FE AD BC 9.  HL FE

HFE

AD y HL son medianas

AD BC  HL FE

1. De hipótesis. ABC HFE 2. De hipótesis. D y L son puntos medios

3. De hipótesis. Los lados correspondientes en triángulos semejantes son proporcionales 4. Sustitución de 2 en 3 5. De 4. Simplificación 6. De 1 y 5. Semejanza L – A – L 7. De 6. Lados correspondientes en triángulos semejantes son proporcionales 8. De hipótesis. Lados correspondientes en triángulos semejantes 9. De 7 y 8. Propiedad transitiva

4) Si dos triángulos isósceles tienen un ángulo cualquiera respectivamente congruente, entonces son semejantes. HIPÓTESIS:

A D ABC es isósceles con CA  CB DEF es isósceles con FD  FE

TESIS: ABC 1. CA  CB 2. A B 3. FD  FE 4. D E

DEF

1. De hipótesis 2. En un triangulo a lados congruentes se oponen ángulos congruentes. 3. De hipótesis 4. De 3. En un triangulo a lados congruentes se oponen

Proporciones y Semejanza

5. A D 6. A B  D 7. ABC DEF

ángulos congruentes. 5. De hipótesis 6. De 2, 4 y 5. Propiedad transitiva 7. De 6. A – A

II CASO: HIPÓTESIS:

C F ABC es isósceles con CA  CB DEF es isósceles con FD  FE

TESIS: ABC 1. CA  CB 2. m ( A) = m (

3. m (

A) + m (

B) + m (

4. 2m(

A) + m(

C) = 180º

5. FD  FE 6. m ( D) = m ( 7. m ( D) + m (

DEF

1. De hipótesis

E) E) + m (

C) = 180º

F) = 180º

8. 2m ( D) + m( F) = 180º 9. 2m( A) + m( C) = 2m ( D) + m( F) 10. m ( C) = m ( F) 11. 2m ( A) + m ( C) = 2m ( D) + m ( C) 12. 2m ( A) = 2m ( D) 13. m ( A) = m ( D) 14. ABC DEF

2. De1. En un triangulo a lados congruentes se oponen ángulos congruentes 3. En un triangulo la suma de los ángulos interiores es 180º 4. Sustitución de 2 en 3 5. De hipótesis. 6. De 5. Ver la razón 2. 7. En un triángulo la suma de los ángulos interiores es 180º 8. Sustitución de 6 en 7 9. De 4 y 8. Propiedad transitiva 10. De hipótesis 11. Sustitución de 10 en 9 12. De 11. Propiedad cancelativa. 13. De 12 14. De 13 y 10. A – A

4) Se da un triangulo ABC, con P punto medio de AB , N punto medio de BC y M punto medio de CA . Demostrar ABC NMP . AYUDA: Demostrar que CMPN es un paralelogramo y recordar que en un paralelogramo los ángulos opuestos son congruentes. Demostrar que MNPA es un paralelogramo y recordar que en un paralelogramo los ángulos opuestos son congruentes.

Proporciones y Semejanza

RELACIONES MÉTRICAS EN UNA CIRCUNFERENCIA. TEOREMA Si dos cuerdas se cortan dentro de una circunferencia, el producto de las medidas de los segmentos de una cuerda es igual al producto de las medidas de los segmentos de la otra. HIPOTESIS: AB y CD son cuerdas que se cortan en E TESIS: AE  EB  DE  EC

1. Se trazan AD y CB 2. C A 3. B D 4. CEB AED CE EB 5.  AE DE 6. AE  EB  CE  DE

1. Construcción 2. Por estar inscritos en el mismo arco BD 3. Por estar inscritos en el mismo arco AC 4. De 2 y 3. A – A 5. De 4. Lados correspondientes en triángulos semejantes 6. De 5. Propiedad de las proporciones.

DEFINICIÓN: SEGMENTO DE UNA SECANTE

BC : Segmento externo de la secante AB : Segmento interno de la secante

TEOREMA: Si se trazan una tangente y una secante desde un mismo punto exterior a una circunferencia la medida del segmento tangente es media proporcional entre las medidas de la secante y su segmento externo. HIPÓTESIS: PA Tangente.

PC secante a la circunferencia y la corta en B y C. TESIS:

PA PB  PC PA

1. Se trazan AC y AB

1. Construcción

2. m  C  

2. Por ser un ángulo inscrito.

m  BAP  

m  arcoAB  2

3. Por ser un ángulo semiinscrito.

Proporciones y Semejanza

4. m( C) = m( BAP) 5. m( P) = m( P) 6. CAP ABP PA PB 7.  PC PA

15 4. De 2 y 3. Propiedad transitiva. 5. Propiedad reflexiva 6. De 4 y 5. A – A 7. De 6. En triángulos semejantes los lados correspondientes son proporcionales

TEOREMA: Si se trazan secantes desde un mismo punto exterior a una circunferencia, el producto de una secante por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por su segmento exterior. HIPÓTESIS: PA y PC son secantes PA corta a la circunferencia en B y A PC corta a la circunferencia en D y C TESIS: PA  PB  PC  PD La demostración se deja como tarea.

EJEMPLO

Se traza el radio OF. OA = OF = 0B = X  OD = x – 4 FD  DB  AD  DC ( x  x  4)  4  8  5  4(2 x  4)  40 Y resolviendo la ecuación se llega a x = 7

PROYECCIONES: La proyección de un punto a una recta es el pie de la perpendicular trazada del punto a la recta.

La proyección de un segmento sobre una recta, es otro segmento sobre la recta, obtenido de las proyecciones de los extremos del segmento.

Proporciones y Semejanza

CD es la proyección de AB sobre recta m EL es la proyección de EN sobre la recta n

La proyección de AC sobre AB es AH (sobre la prolongación de AB )

RELACIONES METRICAS EN EL TRIANGULO TEOREMA DE PITAGORAS: En todo triangulo rectángulo el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. HIPÓTESIS: ABC es rectángulo en C AB  c; BC  a; AC  b 2 2 TESIS: c = a + b2

1. Se traza la altura CH sobre la hipotenusa. 2. El complemento de  es A 3. El complemento de 4.

ACH 

B es

1. Construcción 2. De 1. Por ser ángulos agudos del triangulo rectángulo CHA 3. De Hipótesis. Por ser ángulos agudos del triangulo rectángulo CHA 4. Por tener el mismo complemento, el A

Proporciones y Semejanza

5. CHA

CHB

5. De 4. Por ser rectángulos con un ángulo agudo congruentes. 6. Propiedad Reflexiva. 7. De 1 y de hipótesis y de 6. Por tener un ángulo agudo congruente 8. De 5 y 7. Propiedad transitiva. 9. De 8. Por ser lados correspondientes en los triángulos ABC y CHA 10. De 9. Propiedad de las proporciones 11. De 8. CHA ABC CHB

6. A A 7. CHA ABC 8. CHA ABC CHB b c 9.  m b 10. b2 = cm a c 11.  n a 12. a2 = nc 13. a2 + b2 = cm + nc 14. a2 + b2 = c(m + n) 15. a2 + b2 = c2

12. De 11. Propiedad de las proporciones 13. Adición de 10 y 12 14. De 13. Factor común 15. De 14. Adición de segmentos.

COROLARIOS: 1. En un triangulo rectángulo la altura trazada sobre la hipotenusa, divide al triangulo en dos triángulos semejantes entre si y semejantes al original. 2. La altura trazada sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que determina sobre ella. 3. Todo cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. 4. La razón de los cuadrados de los catetos es igual a la razón de sus proyecciones sobre la hipotenusa 5. La altura sobre la hipotenusa es cuarta proporcional entre los lados del triangulo. AH CB  AC AB

6. El cuadrado de la longitud de un cateto es igual al cuadrado de la hipotenusa menos el cuadrado del otro cateto. TEOREMA En cualquier triangulo, el producto de un lado por su altura correspondiente, es igual al producto de otro lado por su altura correspondiente. HIPÓTESIS: CE altura sobre AB , AD altura sobre

CB , CE = h1, AD = h2, AB = c, CB = a TESIS: c  h1  a  h2

Proporciones y Semejanza

1. ADB y CEB son rectángulos. 2. B  B 3. ADB CEB

1. De hipótesis. Definición de altura 2. Propiedad reflexiva 3. De 1 y 2. Por ser triángulos rectángulos con un ángulo agudo congruente 4. De 3. Lados correspondientes en triángulos semejantes son proporcionales

a h1  c h2 5. c  h1  a  h2 4.

5. De 4. Propiedad de las proporciones

TEOREMA En un triangulo acutángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos dos veces uno de ellos por la proyección del otro sobre el. HIPÓTESIS: ABC es acutángulo. AD = m, proyección de AC sobre AB DB = n, proyección de BC sobre AB TESIS: a  b  c  2cm 2

1. 2. 3. 4. 5.

a2 = h 2 + n 2 a2 = h2 + (c – m)2 a2 = h2 + c2 – 2cm + m2 b2 = h 2 + m 2 a2 = b2 + c2 – 2cm

1. Pitágoras en CDB 2. De 1 y de hipótesis. Resta de segmentos. 3. De 2. Algebra 4. Teorema de Pitágoras en CDA 5. Sustitución de 4 en 3.

TEOREMA: En un triangulo obtusángulo, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados mas dos veces uno de ellos por la proyección del otro sobre el.

TESIS: b 2  a 2  c 2  2c  BD La demostración se deja como tarea.

Proporciones y Semejanza

TEOREMA DE LA MEDIANA En un triángulo, el cuadrado de la medida de la mediana trazada sobre un lado es igual a la semisuma de los cuadrados de los lados que salen del mismo vértice de la mediana menos la mitad del tercer lado al cuadrado. HIPÓTESIS: CD es la mediana sobre el lado AB CD  x; AC  b; BC  a; AB  c; HD  n TESIS: x 2 

a 2  b2 c 2 ( ) 2 2

Si el ángulo CDB es obtuso, entonces el ángulo CDA es agudo c c c2 En el triángulo CDB, tenemos que a 2  x 2  ( )2  2( )n  a 2  x 2   cn (1) por el teorema 2 2 4 del triángulo obtusángulo c c c2 En el triángulo CDA, tenemos que b2  x 2  ( )2  2( )n  b2  x 2   cn (2) por el teorema 2 2 4 del triángulo acutángulo c2 c2 Sumando las igualdades (1) y (2) llegamos a: a 2  b2  2 x 2   a 2  b2   2 x 2 2 2 2 2 2 a b c   x2 2 4 Pasando el 2 a dividir al lado izquierdo, llegamos a 2 a  b2 c 2  x2  ( ) 2 2 DEFINICIÓN: Se llama ceviana en un triángulo al segmento de recta que une un vértice de un triángulo con un punto del lado opuesto del triángulo, por ejemplo la mediana es una ceviana muy especial, puesto que va al punto medio del lado opuesto. D es un punto cualquiera del lado AB del triangulo CD es una ceviana

Proporciones y Semejanza

TEOREMA DE STEWART Este teorema establece una relación entre la longitud de los lados de un triángulo y la longitud de una ceviana. Su nombre se debe al matemático escoces Matthew Stewart, quien demostró este teorema en 1746 HIPÓTESIS: CD  x es una ceviana AD  m : DB  n; HD  d ; AC  b; AB  c; BC  a TESIS: a2  m  b2  n  x2  c  c  m  n

En el triángulo CDB, tenemos: a 2  x2  n2  2nd (1) En el triángulo CDA, tenemos: b2  x2  m2  2md (2) Multiplicamos la igualdad 1 por m: a2 m  x 2m  n2m  2mnd (3) Multiplicamos la igualdad 2 por n: b2 n  x2 n  m2 n  2mnd (4) Sumamos las igualdades 3 y 4 a2m  b2 n  x2m  x2n  n2m  m2n  2mnd  2mnd Simplificando queda a2m  b2n  x2m  x2n  n2m  m2n Factorizando a la derecha: a 2 m  b2n  x 2 (m  n)  nm(n  m) Pero n  m  c De donde nos queda: a2m  b2n  x2c  cmn Este teorema se puede utilizar para demostrar el teorema anterior o sea el teorema de la c mediana, teniendo en cuenta que m  n  2

Proporciones y Semejanza

21 EJERCICIOS RESUELTOS

TESIS: a 2  b 2  n 2  m 2 DEMOSTRACION: 1. a2 = h2 + n2 2. b2 = h2 + m2 3. a2 - b2 = h2 + n2 – (h2 + m2) 4. a2 - b2 = n2 – m2 2)

1. Teorema de Pitágoras en CDB 2. Teorema de Pitágoras en CDA 3. Igualdad 1 menos igualdad 2. 4. De 3. Álgebra. HIPÓTESIS: ABC cualquiera CE  h es altura CD  d es mediana n es la proyección de CD sobre AB CDA es obtuso A–D-E–B TESIS: b 2  a 2  2  c  n

DEMOSTRACION: 1. AD = DB =

c . 2

2. b2 = (AD)2 + d2 + 2(AD).n 2

c2 c c 3. b 2     d 2  2   n  b 2   d2 cn 4 2 2 2 2 2 4. a = (DB) + d – 2(DB).n 2

c2 c c 5. a 2     d 2  2   n  a 2   d2 cn 4 2 2 2 2 6. b  a  2  c  n

1. De hipótesis D es punto medio por definición de mediana 2. Relaciones métricas en el triangulo obtusángulo ADC 3. Sustitución de 1 en 2. 4. Relaciones métricas en el triangulo acutángulo DCB 5. Sustitución de 1 en 4. 6. Igualdad 3 menos la igualdad 5.

Proporciones y Semejanza

22 HIPÓTESIS: CAB rectángulo en A

AD  CB; DF  AB; DE  CA CE  p; FB  q; AC  b; AB  c TESIS:

b3 p  c3 q

1. En CDA :

DE p   DE 2  p  AE AE DE

2. En ADB :

DF q   DF 2  Q  AF AF DF

DE 2 p  AE 3.  2 q  AF DF 4. DE FA 5. CA DF 6. EDFA es un paralelogramo. 7. AE = DF; AF = DE DE 2 p  DF DE 3 p p  DE  8.       2 3 q  DE q q DF DF  DF  9. El complemento de 3 es 1 3

10. El complemento de 11.

3

12. ADB 13.

2 ADC

DE b  DF c 3

p b3 p b 14.     3  q q c c

2 es

1. En un triangulo rectángulo la altura sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que determina sobre ella. 2. En un triangulo rectángulo la altura sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que determina sobre ella. 3. División de 1 y 2. 4. De hipótesis por ser perpendiculares a la misma recta AC. 5. De hipótesis por ser perpendiculares a la misma recta AB 6. De 4 y 5. Definición de paralelogramo. 7. De 6. En un paralelogramo los lados opuestos son congruentes 8. Sustitución de 7 en 3 y álgebra. 9. En un triangulo rectángulo los ángulos agudos son complementarios 10. En un triangulo rectángulo los ángulos agudos son complementarios 11. De 9 y 10. Por tener el mismo complemento. 12. De 11. Triángulos rectángulos con un ángulo agudo congruente. 13. En dos triángulos semejantes la razón entre dos alturas correspondientes es igual a la razón de dos lados correspondientes. 14. Sustitución de 13 en 8.

Proporciones y Semejanza

4) HIPÓTESIS: BAC es rectángulo en A FLDE es un cuadrado de lado x, inscrito en el triangulo. AH  h; BC  a; AB  c; AC  b AH es altura; B – F – H – L – C TESIS:

ah x ah

Nota: En la demostración no se olvide de utilizar el teorema: En dos triángulos semejantes la razón entre dos alturas correspondientes es igual a la razón de dos lados correspondientes. 5) Si en un triangulo rectángulo, x  y son las medidas de los catetos y z es la medida de la 1 1 1 altura correspondiente a la hipotenusa, demostrar que: 2  2  2 x y z EJERCICIOS SOBRE SEMEJANZA Y RELACIONES METRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA Y EN EL TRIANGULO. 1. HIPÓTESIS: CD es bisectriz de

ACB

AP  CD; BQ  CD C–P–D–Q TESIS:

AD DB  AC BC

NOTA: Esta es otra forma de demostrar el teorema de la bisectriz interior de un ángulo de un triangulo. 2.

DE AC a. Si EB = AD; AB = 6; CE = 8; Hallar DB b. Si DB = 7; EB = 2AD; CE = 14; Hallar CB c. Si CB = 24; EB = AB; DB = 4; Hallar AB

3. HIPOTESIS: ABCD es un trapecio con AB CD . Las diagonales se cortan en O. TESIS:

OC OA  OD OB

Proporciones y Semejanza

4. HIPÓTESIS: ABC es isósceles con CA  CB

EF  CB; ED  AC TESIS: AD  EF  ED  BF 5. HIPOTESIS: A – D – B; CD es bisectriz de

m  ACB   2m  A AC  b; AB  c; BC  a

TESIS: c 

ACB

a 2  ab

6. HIPÓTESIS: TESIS:

A  CBD

AB AD  CB DB

7. HIPÓTESIS:

TESIS:

B F CAB  EHF AD y HL son medianas

AD BC  HL FE

8. Si QR MN completar:

PM  PQ PR d)  RN

PQ  PM PQ e)  PR b)

QM  PM PN f)  PM c)

9. Demostrar que el triangulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados de un triángulo dado es semejante al triangulo dado.

Proporciones y Semejanza

10. Las longitudes de los lados de un triangulo son 15, 20, y 28. ¿Cuáles son las longitudes de los segmentos en que la bisectriz del ángulo mayor divide al lado opuesto?. Contestar la misma pregunta para el caso del ángulo menor. 11. Demostrar que las bisectrices de dos ángulos correspondientes cualesquiera de triángulos semejantes están en la misma razón que los lados correspondientes. 12. Se da un paralelogramo ABCD. Una recta que pasa por B corta a AC en E, a DC en G y a la prolongación de AD en F. Demostrar: 1) AEF CEB 2) EB es media proporcional entre EG y EF . 13. Se da un triangulo rectángulo ABC con CD como altura a la hipotenusa AB. Demostrar que: AC2 – BC2 = AD2 – BD2 14. Para cuales conjuntos de longitudes será ED AC

15. HIPÓTESIS: ABC es rectángulo en C EFHD es un cuadrado TESIS: EDA CHD FBH

16. HIPÓTESIS: AE y BD son alturas TESIS: 1) AEC BDC 2) ACB ECD 3) AC  DC  BC  CE

Proporciones y Semejanza

17. HIPÓTESIS: DF  AB; CB  AB; CE  DF ; AC  CD TESIS: 1) DEC

ABC AB  DC 2) DE  AC

18. HIPÓTESIS: AB es bisectriz de CAF DE CF ; C – B – F TESIS:

CB DE  AC AE

19.

ABC rectangulo en A HIPÓTESIS:

AD bisectriz de

CAB

BE  c 2 TESIS:

EB AD

AD 

AC  b; AB  c 20.

bc 2 bc

HIPÓTESIS:  ABC rectángulo en A

AF es bisectriz KB AF TESIS: AF 

bc 2 bc

21.

HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo MF  AD; ME  AB ; A – M – C ME AD  MF AB AYUDA: Trazar ML AB y HM AD

TESIS:

Proporciones y Semejanza

22. HIPOTESIS: ADEF es un cuadrado CAB es rectángulo AB  4a; AC  3a; CE  x

TESIS: x  a 29

F es punto medio de AB

23. HIPOTESIS: ABCD es un trapecio con AD = DC = a; m( A) = 60°

DN  NC; AM  MB; AB  3a NM  y : CB  x TESIS: x  a 3; y  a

24. HIPOTESIS:

BC  a; AC  b; BA  c BE y AD son medianas perpendiculares.

a 2  b2 TESIS: c  5 2

25.

26. a) Si m = 5; h = 15; hallar el valor de a, b, c, n b) Si b  4 3, m  4 ; hallar el valor de a, c, h, n. c) Si c  6 2, m  4 ; hallar el valor de a, b, h, n. d) Si b  3 10, n  13 ; hallar el valor de a, c, h, m. e) Si b = n = 8; hallar el valor de a, c, h, m.

Proporciones y Semejanza

27. DATO:

CAD 

CBA

HALLAR el valor de x.

28.

29.

AC es bisectriz de DAB . AD  24; AB  25; AE  20; BE  16; DC  x  ?

30. Se da un triangulo ABC, se traza la mediana CD . CDB es agudo. Si AC = 7, AB = 8, CD = 5.15, HALLAR el valor de BC. 31.

Proporciones y Semejanza

32.

33. En cada una de las figuras, hallar los triángulos semejantes:

CDB  BDA

AD es un diametro BA es tangente en A

34. HIPÓTESIS: AB es un diámetro A–O–B–D DE  DA TESIS: ADE

ACB

35.

36. Desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan una tangente PT y una secante 2 que corta a la circunferencia en los puntos R y S. Demostrar que  PT   PS  PR

Proporciones y Semejanza

37. Sea ABC un triangulo isósceles con BA  BC y D un punto de AC tal que AC  3  AD . Se traza por D la perpendicular a AC que corta a al lado AB en E y a la prolongación de CB en F. Demostrar que DE  EF 38. ABC es un triangulo inscrito en una circunferencia, la bisectriz del ángulo C corta al lado AB en D y su prolongación corta a la circunferencia en P. Demostrar que

CA  CB  AD  DB  CD2 SOLUCIÓN DEL 38: Colocar las razones. 1. ACD  PCB 2. A  P 3.  ADP  PBC

CA CD   CA  CB  CD  CP 4. CP CB  CA  CB  CD  CD  DP   CA  CB  CD 2  CD  DP 5. CD  DP  AD  DB 2 6. CA  CB  CD  AD  DB 39. ABCD es un rectángulo. Se trazan las bisectrices de los cuatro ángulos del rectángulo. 1) Demostrar que EFGH es un cuadrado 2) Si AB  7 2cm y BC  3 2cm . Hallar el perímetro del cuadrado EFGH

40. Las bases mayor y menor de un trapecio miden 20 y 12 cm. respectivamente. Por un punto de uno de los lados no paralelos se traza un segmento paralelo a las bases. El 2 segmento divide a los lados en la razón . Calcular la longitud del segmento. 3

Se traza AC que corta a EF en R.

DE CF 2   de hipótesis EA FB 3

Proporciones y Semejanza

12 AD 12  ER AD  EA 12  ER DE 2       ER EA ER EA ER EA 3 36 12  ER 2 Resolviendo  , se tiene que ER  5 ER 3 20 BC 20  RF BC  FB 20  RF CF 2 RF AB  ABC RFC        RF FB RF FB RF FB 3 20  RF 2 Resolviendo  , se tiene que RF  12 RF 3 36 96 De donde se tiene que EF   12  5 5 ER DC  ADC

AER 

41. Sea ABCD un rectángulo tal que AB = 2 y BC = 5. Sea P un punto interior al rectángulo de modo que CPD = 90° y CP = DP. Hallar la longitud de PA. 42. Sea ABCD un rectángulo tal que AB = 2 cm y BC = 1 cm. Sea M el punto medio de CD . Hallar la distancia de M a la recta AC 43. Se da un triangulo ABC inscrito en una circunferencia. Se traza la bisectriz CD que corta a AB en D y a la circunferencia en E. Demostrar que el producto de los lados que forman el ángulo C es igual al cuadrado de la bisectriz mas el producto de los segmentos determinados por ella sobre el lado AB . AYUDA. Demuestre primero que: ADC EBC y después que CDA BDE . Tener en cuenta que CE = CD + DE. 44. O es el centro de la circunferencia, AB es un diámetro y M un punto de la prolongación de AB , se trazan las tangentes MN y MP a la circunferencia, la cuerda NP corta al diámetro en CA MA C. Demostrar que  CB MB

Demostración: Se trazan los segmentos AN y NB. (Construcción auxiliar)

Proporciones y Semejanza

1.m(arco NB)=m(arco BP)

m(arcoBP ) 2 m(arcoNB ) 3. m( BNM )  2 4. CNB  BNM 5. NB es bisectriz de CNM CB MB 6.  CN MN 7.El triangulo ANB es rectangulo

2. m( CNB ) 

8. NC es altura sobre la hipotenusa. 9. CAN CNB CA CN AN   CN CB BN m(arcoNB ) 11. m( NAM )  2 12. m( NAM )  m( BNM ) 13. NMA  NMA 14. ANM NBM AN MA MN 15.   BN MN MB CN MN 16. De 6:  CB MB AN MA MN CN 17.    BN MN MB CB 18. AN MA MN CN CA CN      BN MN MB CB CN CB 19. MN CA   MN  CN  MB  CA MB CN 20. MA CN   MN  CN  MA  CB MN CB MA CA  21. MA  CB  MB  CA  MB CB

10.

1. De hipótesis, si una recta que pasa por el centro de una circunferencia es perpendicular a una cuerda, entonces biseca a la cuerda y al arco 2. Por ser un ángulo inscrito. 3. Por ser un ángulo inscrito. 4.De 1, 2 y 3, propiedad transitiva 5.De 4 definición de bisectriz 6.De 5, teorema de la bisectriz interior de un ángulo de un triangulo. 7.De hipótesis, por estar inscrito en una semicircunferencia. 8.De hipótesis. 9.De 8, en un triangulo rectángulo la altura sobre la hipotenusa determina dos triángulos rectángulos semejantes. 10.De 9, lados correspondientes en triángulos semejantes 11.Por ser un ángulo inscrito 12.De 11 y 3, propiedad transitiva 13. Propiedad reflexiva 14.De 13 y 12, A-A 15. De 14, lados correspondientes en triángulos semejantes 16. Propiedad de las proporciones 17. De 15 y 16, propiedad transitiva 18. De 17, 16 y 10, propiedad transitiva

19. De 18 y propiedades de las proporciones

20. De 19 y propiedades de las proporciones

21. De 19 y 20, propiedad transitiva y algebra

Proporciones y Semejanza

45. CD = 9 cm., DB = 16 cm., AD = x, AB es un diámetro Hallar el valor de x

46. T es un punto de tangencia AB = 4 cm., BD = 12 cm., A – B – D AT = x . Hallar el valor de x.

47. MB = x, AB = 3x, CM = 5 cm., NB = 3 cm. Hallar el valor de x.

48. AM = 4 cm., MN = 5 cm., AB = x, AB = BC, CD = 2x, TD = a Calcular el valor de a y de x.

49. ABCD es un rectángulo M es el punto medio del lado AB CE  DM DE = 4 cm., EM = 3 cm., EC = x Hallar el valor de x AYUDA: Trazar CM

Proporciones y Semejanza

50. Triangulo ABC rectángulo en C CH es altura sobre la hipotenusa AM  MD HD = 2 cm., DB = x Hallar el valor de x.

51. M es el punto medio del lado AB AB = 12 cm., AC = 6 cm., CB = 8 cm., HM = x Hallar el valor de x

52. Hallar el valor de x, el ángulo ACB es obtuso

53. Los lados de un triángulo acutángulo, miden 13, 14 y 15 cm., hallar el valor de la altura relativa al lado que mide 14 cm. 54. Los lados de un triángulo, miden 3, 8 y 10 cm., hallar el valor de la mediana relativa al lado que mide 10 cm. 55. Demostrar el teorema de Apolonio HIPÓTESIS: CM es mediana 36. TESIS: a2  b2  2(mc )2 

c2 2

Proporciones y Semejanza

56. ABCD es un rectángulo, DF = 7, FE = 3, CF = x, E es punto medio, hallar el valor de x

57. Triángulos ABC y AEF son rectángulos, E es punto medio de la altura BD , B – E – D, DF = 2, FC = x. hallar el valor de x

58.

El triángulo ABC está inscrito en la circunferencia de centro D, CE es una altura. Demostrar que    Ayuda: Observar que A y CDB subtienden el mismo arco CB.

59.

El triángulo ABC está inscrito en la circunferencia de centro D, CE  h es una altura. Demostrar que AEC FBC y que a  b  h  (2R ) Donde R es el radio de la circunferencia

Proporciones y Semejanza

60. AB  BC

HIPÓTESIS: BD  AC BE es la bisectriz de

DBC

TESIS: BEA es isósceles 61. En el ejercicio anterior si tenemos que AD  x, DE  4, EC  5 Hallar el valor de x 62. AB  4; BC  x; AD  6; DE  8; FD  DB  BG  a Hallar el valor de x y de a

63. Hallar el valor de x, si CD es mediana AC  9; BC  13;CD  AB  2x

64. En una circunferencia de centro K, se traza la cuerda AB , se toma un punto C sobre AB , de tal manera que AC  CK  4cm. Si AB  9cm. Hallar BK 65. Se da un triángulo ABC, con AB  8cm. y la altura CD  6cm E es punto medio de AD y F es el punto medio de BC Calcula la longitud del segmento EF.

Proporciones y Semejanza

SOLUCIÓN: Por E se traza una paralela a la altura CD y corta al lado AC en G, G será punto medio de AC puesto que nos dicen que E es punto medio de AD del triángulo ADC y hay un teorema que dice que si se traza una paralela a un lado de un triángulo por el punto medio de un lado, pasa por el punto medio del otro lado. CD 6 EG    3 Por el teorema de la paralela media en un 2 2 triángulo. AB 8  4 y 2 2 GF AB por el teorema de la paralela media en un triángulo CDA  GEA ¿porqué? y también EGF  GEA ¿porqué? y como el ángulo CDA es recto por definición de altura, entonces el triángulo EGF es rectángulo y aplicando el teorema de Pitágoras en este triángulo, se llega a EF  5

Trazamos el segmento GF y se tiene que GF 

66. Se inscribe un triángulo equilátero en una circunferencia de radio R. Se traza la cuerda PN que corta a BC en Q y a AC en M, tal que BC  PN y MN  2PQ  2 . Hallar el radio de la circunferencia SOLUCIÓN Sea MB  2a y AM  b QP  1 y MN  2 m( B)  60  m( QMB)  30  QB  a Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo MQB se tiene que MQ  a 3 Por el teorema de las cuerdas tenemos que AM  MB  NM  MP 2ab  2( MQ  1) 2ab  2(a 3  1)  ab  a 3  1 (1) AB  BC  2a  b (Por ser el triángulo ABC equilátero), entonces CQ  a  b puesto que QB  a Por el teorema de las cuerdas tenemos que CQ  QB  NQ  QP (a  b)a  (2  a 3) 1 a 2  ab  2  a 3 (2) Reemplazando la igualdad (1) en (2), tenemos que a2  a 3  1  2  a 3

a 2  1  2  a 2 =1  a  1 Reemplazando este valor en la igualdad (1), tenemos que 1 b  3  1 y por lo tanto AB  BC  CA  2(1)  3  1  2  3

Proporciones y Semejanza

Y como el lado de un triángulo rectángulo es igual a R 3 Tenemos que: 2  3  R 3 

2 3 R 3

2 3 3 3 67. En un triángulo ABC se tiene que AB  8; BC  10; AC  12 . Se traza la ceviana BR , tal que RC  3 . Calcular la longitud de la ceviana BR. (Ayuda, aplicar el teorema de Stewart) 68. Los lados de un triángulo son AB  17, AC  13; BC  24. Si los puntos M y N dividen al lado

Racionalizando queda R 

BC en tres segmentos congruentes, hallar las longitudes de las cevianas AM y AN Solución: AM  x; AN  y

Aplicamos el teorema de Stewart (17) 2 16  (13) 2  8  x 2 24  24  8 16 5976  24 x 2  3072 2904  24 x 2 121  x 2  x  11

Aplicar nuevamente el teorema de Stewart para hallar el valor de la ceviana AN

Proporciones y Semejanza

69. Se da un triángulo ABC, CD, AE, BF son las medianas del triángulo, si CD  15; BF  12; AE  9 , hallar la longitud del lado AB del triángulo.

Las medianas de un triángulo se cortan en un punto que se llama baricentro y aplicando un teorema ya demostrado, tenemos que: 2 CG  CD  10  GD  5 3 2 GB  BF  8 3 2 GA  AE  6 3 GD es mediana en el triángulo AGB y por el teorema de la longitud de la mediana, tenemos: GA2  GB 2 AB 2 GD 2  ( ) 2 2 2 62  82 AB 2 5   2 4 2 2 AB AB 25  50    25  AB 2  100 4 4 AB  10 70. El triángulo ABC es rectángulo en C, CD es una altura, BC  BE , CB  BE Demostrar

1)ACF

EFB

2)ADC

CDB

3) DF es bisectriz de

CDB

71. En un triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa mide 4 centímetros y determina sobre la hipotenusa segmentos que están en la razón de 1 a 2. Hallar la medida del cateto mayor.

Proporciones y Semejanza

72. En un rombo la suma de las medidas de las diagonales es 70 centímetros y el radio de la circunferencia inscrita al rombo mide 12 centímetros. Encontrar la medida del lado del rombo. Las diagonales de un rombo se bisecan Sea AF  FC  x y FD  FB  y , entonces se tiene que

2 x  2 y  70  x  y  35 (ecuación 1) ADF  CDF Porque en un trapecio las diagonales son bisectrices. E es un punto de tangencia, por lo tanto FE  CD (un radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia)

DF  AF Porque

las diagonales de un rombo son perpendiculares y por lo tanto los triángulos AFD y FED son rectángulos y son semejantes ¿Por qué?

AF FD AD x y AD      EF DE DF 12 DE y x AD    xy  12  AD (ecuación 2) 12 y Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo DFA, se tiene que

AD2  x2  y 2 (ecuación 3) Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación 1, se tiene que

( x  y)2  (35)2  x2  2 xy  y 2  1225 (ecuación 4) Sustituyendo

ecuación

nos

queda

AD  24 AD  1225  AD  24 AD  1225  0 2

Resolvemos esta ecuación de segundo grado, y llegamos a que AD  25 Por lo tanto el lado del rombo es 25 centímetros. 73. ABCD es un trapecio con AD BC . Las diagonales son perpendiculares

AD  AC  4

BD  3 Calcular la base menor BC Sugerencia: Por B trazar una paralela a la diagonal AC que corta a la prolongación de la base AD en E y sea AE  x

Proporciones y Semejanza

DETERMINAR SI LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES SON VERDADERAS O FALSAS 1. Toda Proporción tiene 4 términos diferentes. ( ) 2. Si dos triángulos tienen dos lados correspondientes congruentes, entonces sus ángulos correspondientes opuestos son congruentes. ( ) 3. Si dos triángulos tienen sus ángulos correspondientes congruentes, entonces sus lados correspondientes son congruentes. ( ) 4. Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes congruentes, entonces sus ángulos correspondientes son congruentes. ( ) 5. Dos triángulos isósceles son semejantes si tienen un ángulo respectivamente congruente. 6. La altura correspondiente a la hipotenusa de un triangulo es media proporcional entre los segmentos que determina sobre la hipotenusa. ( ) 7. Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. ( ) 8. Si una recta divide proporcionalmente a dos de los lados de un triangulo, es paralela al tercer lado. ( ) 9. Dos polígonos que tienen sus ángulos respectivamente congruentes son semejantes. 10. Dos triángulos rectángulos isósceles son semejantes. ( ) 11. Si una recta divide proporcionalmente a dos de los lados de un triangulo, mide la mitad del tercer lado. ( ) 12. Las alturas correspondientes en dos triángulos semejantes son proporcionales a los lados correspondientes. ( ) 13. Triángulos congruentes son semejantes. ( ) 14. Dos triángulos rectángulos con un ángulo agudo congruente, son semejantes. 15. La semejanza es una relación de equivalencia. ( ) COMPLETAR: a  d La media proporcional entre 9 y 16 es: Una cuarta proporcionalidad entre 5, 3, 2 es: x3 4  , entoces , x  4 x3 3x  8 3x  5  , entonces el valor de x es: x2 x 1

1. Si a  b  c  d , entonces , 2. 3. 4. 5.

6. Dado el triangulo rectángulo MNP con N recto y NT la altura sobre NP , entonces NP es la media proporcional entre _____________ y MP. 7. La igualdad de dos razones se llama ____________________ 8. El perímetro de un rombo que tiene las diagonales de 15 cm. y 20 cm. es ________________ cm. 9. El cuadrado de uno de los catetos de un triangulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa __________ el cuadrado del otro cateto. 10. Una recta paralela a no de los lados de un triangulo lo divide en dos triángulos _______________ 11. La razón de los cuadrados de los catetos es igual a la razón de sus ______________________ sobre la hipotenusa. 12. En un triangulo rectángulo la altura trazada sobre la hipotenusa, divide al triangulo en dos triángulos semejantes entre si y semejante al ___________________________________________

Proporciones y Semejanza

13. La altura trazada sobre la hipotenusa es _______________ proporcional entre los __________________ que determina sobre ella. 14. Cada cateto es _____________________ proporcional entre la _____________________ y su ____________________________ sobre ella. 15. En cualquier triangulo, el producto de un lado por su _____________________ correspondiente, es igual al producto de otro lado por_____________________ correspondiente. 16. Los triángulos que siempre son semejantes son los ________________________.

Ejercicios tomados de los siguientes textos:  Geometría Euclidiana de Nelson Londoño  Geometría Euclidiana de Hemmerling  Curso de Geometría. Reunión de profesores  Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli  Geometría de Edwin E. Moise Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.