Funciones exponenciales y logaritmicas
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Temas • Funciones Exponenciales
• Funciones logarítmicas • Leyes de los logarítmos • Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 2
Funciones Exponenciales
3
Esquema del capítulo • Se estudia una nueva forma de funciones llamadas funciones exponenciales. • Las funciones exponenciales son apropiadas para modelar el crecimiento poblacional para los seres vivos. 4
Ejemplos: f ( x) 2
x
Es una función exponencial con base 2. Veamos con la rapidez que crece:
f (3) 23 8 f (10) 210 1024
f (30) 230 1,073,741,824
5
Funciones Exponenciales La función exponencial con base a se define para todos los números reales x por:
f ( x) a donde
x
a 0; a 0
Ejemplos de funciones exponenciales:
f ( x) 2 Base 2
x
h( x) 3 Base 3
x
q( x) 10 x Base 10
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Ejemplo 1:
Sea f x 3x y evalúe lo siguiente:
a) f 2 32 9 23 2 b) f 3 0.4807 3
c) f
2 3
2
4.7288
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El arco Gateway en San Luis, Missouri, tiene la forma de la gráfica de una combinación de funciones exponenciales, no una parábola como pareceria. Es una función de la forma:
y a(e e bx
bx
)
Se eligió esta forma porque es óptimo para dirtibuir las fuerzas estructurales internas del arco.
Ejemplo estructural 8
Función Exponencial Natural La función exponencial natural es la función exponencial
f ( x) e
x
e
con base . Es común referirse a ella como la función exponencial.
f ( x) e x
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Ejemplo: Evaluar la función exponencial Evalúe cada expresión correcta hasta cinco decimales. Solución:
a )e 3
20.08554
b)2e 0.53 1.17721 c)e 4.8
121.51042
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Modelo exponencial para la diseminación de un virus
Ejemplo:
Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en una ciudad pequeña con 10,000 habitantes. Después de t días, el número de personas que ha sucumbido al virus se modela mediante la función:
10000 v(t ) 0.97t 5 1245e Contesta: a) Cuántas personas infectadas hay por el virus. (t = 0)
b) Calcule el número de personas infectadas despues de un día y depués de cinco días. c) Grafique la función y describa el comportamiento.
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10000 10000 v(t ) 8 0 5 1245e 1250 Ejemplo anterior
Solución:
a) Cuántas personas infectadas hay por el virus (t = 0).
8 personas tienen inicialmente la enfermedad. b) Calcule el número de personas infectadas después de un día y cinco días. (t = 1, t = 2, t = 5) Días
Personas infectadas
1
21
2
54
5
678 12
Ejemplo anterior (cont)
Soluciรณn:
c) Grafique la funciรณn y describa el comportamiento.
2000
0
12
El contagio comienza lento, luego aumenta con rapidez y luego se estabiliza cuando estan infectados cerca de 2000 personas.
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El interés compuesto se calcula mediante la fórmula
Interes compuestos nt r A(t ) P1 n
donde: A(t) = cantidad después de t años P = principal r = tasa de interés por año n = número de veces que el interés se compone por año t = número de años
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Cálculo del interés compuesto
Ejemplo
Una suma de $1000 se invierte a una tasa de interés de 12% anualmente. Calcule las cantidades en la cuenta después de tres años si el interés se compone anualmente, cada medio año, por trimestre, mensualmente o diario. Solución: Datos P = 1000 r = 12% = 0.12
t=3
15
Cálculo del interés compuesto
Ejemplo
Capitalización
n
Cantidad después de tres años 1(3)
Anual
Semianual
Trimestral
1
0.12 10001 1
2(3)
2
0.12 10001 2
4(3)
4
0.12 10001 4
12
0.12 10001 12
365
0.12 10001 365
1404.93
1418.52
1425.76
12(3)
Mensual
Diaria
1430.77 365(3)
1433.24 16
Interés compuesto en forma continua • El interés compuesto en forma continua se calcula rt mediante la fórmula
A(t ) Pe
donde A(t) = cantidad después de t años P = principal r = tasa de interés por año t = número de años 17
Ejemplo Calcular el interés compuesto de manera continua • Calcule la cantidad después de tres años si se invierten $1000 a una tasa de interés de 12% por año, capitalizado de forma continua. • Solución: Datos: P = 1000 r = 0.12 rt A ( t ) Pe t=3
A(3) 1000e(0.12)3 1000e0.36 1433.33 Se puede comparar con el ejemplo anterior.
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Funciones LogarĂtmicas
19
Definición de la función logarítmica • Sea a un número positivo con a 1 log a . La función logarítmica con base a, y denotada por log a x y a x se define: Así, log a x es el exponente al que se debe elevar la base a para dar x. 20
Comparemos la forma Exponencial y la forma Logarítmica
Comparación Logarítmica: Exponencial: Exponente
log a x y Base
Exponente
ay x Base
En ambas formas la base es la misma.
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Ejemplo Formas logarítmicasForma y exponenciales Forma Logarítmica Exponencial
log10 100000 5
log 2 8 3
105 100000
2 8 3
3
1 log 2 3 2
2 18
log 5 s r
5r s 22
Evaluación de logarítmos log 10 1000 3
log 2 32 5 log 10 0.1 1
1 log16 4 2
10 1000 3
2 32 1 1 10 0.1 10 5
16 4 1 2
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Propiedad de los logarítmos
Propiedad
Razón
log a 1 0
Se debe elevar a a la potencia 0 para obtener 1.
log a a 1
Se debe elevar a a la potencia 1 para obtener a.
log a a x
Se debe elevar a a la x a potencia x para obtener .
x
a
loga x
x
a x eslog la potencia a la cual se debe elevar a para obtener x. © copywriter
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Ejemplo Aplicación de las propiedades logarítmicas
log 5 1 0 log 5 5 1
Propiedad 1
Propiedad 2
log 5 5 8
Propiedad 3
12
Propiedad 4
8
5
log5 12
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Graficación de funciones logarítmicas
Ejemplo
f ( x) log 2 x
Traza la gráfica de
Solución: Para construir una tabla de valores, se eligen los valores para x como potencias de 2 de modo que pueda hallar con facilidad sus logaritmos. x 3
3
22
2
21
1
2
f ( x) log 2 x
0
21
-1 -2
23
-3
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Familia de Funciones Logarítmicas y log 2 x y log 3 x y log 5 x y log 10 x
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Veamos logarítmos con base 10
ogarítmos Comunes
Definición:
Logarítmo común El logarítmo con base 10 se llama logarítmo común y se denota omitiendo la base:
log x log 10 x
28
De la definición de logarítmo se puede encontrar facílmente que:
log 10 = 1 log 100 = 2 Cómo se calcula log 50? No tenemos un número tal que 10 y , 150 es pequño y 2 es demasiado grande.
1 log 5 50 2 Las calculadoras científicas tienen una tecla equipada que da los valores de manera directa de los logaritmos comunes.
29
Evaluación de logarítmos comunes
Ejemplo
Use una calculadora para hallar los valores apropiados de f(x) = log x, use los valores para bosquejar una gráfica. x
Log x
0.01
-2
4
f ( x) log x
3
0.1
-1
0.5
-0.30
2 1 0
1
0
4
0.602
5
0.699
10
1
1
2
3
4
5
5
6
30
Propiedades de los logarítmos naturales Propiedad ln 1 0
ln e 1 ln e x x eln x x
Se tiene que elevar e a la potencia 0 Razón para obtener 1.
Se tiene que elevar e a la potencia 1 para obtener e. Se tiene que elevar e a la potencia x x para obtener e . ln x es la potencia a la cual e debe ser elevada para obtener x.
© copywriter
31
Elevar la función logaritmo natural
Ejemplo
a) ln e8
8
Definición de logarítmo natural
1 b) ln 2 ln e 2 2 e c) ln 5
Definición de logarítmo natural
1.609 Uso de la calculadora
© copywriter
32
Funciones LogarĂtmicas
33
Leyes de los logarítmos En esta sección se estudian las propiedades de los logarítmos. Estas propiedades dan a las funciones logarítmos una amplia variedad de aplicaciones. Ya que los logarítmos son exponentes, las leyes de los exponentes dan lugar a las leyes de los logarítmos.
34
yes de los logarítmos
Leyes de los logarítmos
Sea a un número positivo, con a 1 . Sea A, B y C números reales cualesquiera con A 0 yB 0 . Ley
1) log a ( AB) log a A log a B A 2) log a log a A log a B B 3) log a Ac C log a A
Descripción El logarítmos de un producto de números es la suma de los logarítmos de los números. El logarítmo de un cociente de números es la diferencia de los logarítmos de los números.
El logarítmo de una potencia de un número es el exponente multiplicado por el logarítmo de número. 35
Ejemplo Uso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresiones Evalúe cada expresión:
a) log 4 2 log 4 32 b) log 2 80 log 2 5 1 c) log 8 3 36
Ejemplo Uso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresiones
a) log 4 2 log 4 32 log 4 (2.32)
log 4 64 3 Propiedad utilizada:
1) log a ( AB) log a A log a B
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Ejemplo Uso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresiones
80 b) log 2 80 log 2 5 log 2 5 log 2 16 4 Propiedad utilizada:
A 2) log a log a A log a B B
38
Ejemplo Uso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresiones
1 c) log 8 3
Propiedad utilizada:
log 8
13
1 1 1 1 log 1 3 3 8 3 23 2 8 1 log log(1) log( 2) 2 0.301
3) log a Ac C log a A 39
Expandir expresiones logarítmicas
Ejemplo
Use las leyes de logarítmos para expandir o desarrollar cada expresión.
a) log 2 (6 x) log 2 6 log 2 x
Ley 1
b) log 5 x y
log 5 x 3 log 5 y 3 3 log 5 x 6 log 5 y
Ley 1
ln( ab) ln 3 c
Ley 2
3
ab c) ln 3 c
6
ln a ln b ln c1 3 1 ln a ln b ln c 3
Ley 3
Ley 1 Ley 3
40
Combinar expresiones logarítmicas
Ejemplo
Combinar en un solo logarítmo, la siguiente expresión:
1 a)3 log x log(x 1) log x 3 log( x 1)1 2 2 3 12
log( x ( x 1)
1 b)3 ln s ln t 4 ln( t 2 1) ln s 3 ln t 1 2 ln( t 2 1) 4 2
ln( s 3t 1 2 ) ln( t 2 1) 4 s3 t ln t 2 1 4
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Cambio de base y log b x y b x • Sea: • Entonces se forma de manera exponencial: y log a b log a x • Se toma el logarítmo base a aen y log b cada log a xlado:
• Ley 3 de logarítmo:log a x y • Se divide entre ambos log a logarítmos: b 42
Fórmula de cambio de base log a x y log a b
Por consiguiente, si x = a, entonces log a ayesta 1 fórmula se convierte en:
1 log b a log a b
43
a) log 8 5 Se usa la fórmula de cambio de base con b = 8 y a = 10:
log 10 5 log 8 5 0.77398 log 10 8
Nota: Se tiene la misma respuesta si se usa log 10 ó ln.
b) log 9 20 Se usa la fórmula de cambio de base con b = 9 y a = e:
ln 20 log 9 20 1.36342 ln 9
44
Ecuaciones Exponenciales y LogarĂtmicas
45
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas • Una ecuación exponencial es aquella en la que la variable ocurre en el exponente. x • Por ejemplo:
•
2 7
La variable x representa una dificultad por que esta en el exponente. Para tomar este caso se toma el logarítmo en cada lado y luego se usan las reglas de los logarítmos.
Veamos: 46
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
2 7 x
ln 2 ln 7 x ln 2 ln 7 x
ln 7 x 2.807 ln 2 Recuerde la regla 3
47
Normas para resolver ecuaciones exponenciales 1) Aísle la expresión exponencial en un lado de la ecuación. 2) Tome el logarítmo de cada lado, luego utilice las leyes de los logarítmos para “bajar el exponente”. 3) Despeje la variable.
48
Resolver una ecuación exponencial
Ejemplo
Encuentre la solución de:
3x 2 7
Solución:
3x 2 7 x2
Si verificas en tu calculadora:
3( 0.228756) 2 7
log( 3 ) log 7 ( x 2) log 3 log 7 log 7 ( x 2) log 3 log 7 x 2 0.228756 log 3
49
Resolución de una ecuación exponencial
Ejemplo
Resuelva la ecuación: Solución:
8e 2 x 20 20 2x e 8 ln e 2 x ln 2.5 2x ln 2.5 ln 2.5 x 0.458 2
8e 2 x 20 Atención: ln e = 1 Si verificas en tu calculadora:
8e
2 ( 0.458)
20
50
Ejemplo Resolver una ecuación exponencial en forma algebraica y haz la gráfica Resuelva la ecuación: 3 2 x Algebraicamente
e
Solución (1):
e32 x
4 4
ln e32 x ln 4 3 2x ln e ln 4 1
3 2x ln 4 2x 3 ln 4 1 x (3 ln 4) 0.807 2
51
Ejemplo Resolver una ecuación exponencial en forma algebraica y haz la gráfica 3 2 x
Resuelva la ecuación:
4
e
Solución (2): Se gráfican las ecuaciones,
y e32 x
y
y4
y4
4 3
y e32 x
2 1 0
1
2
3
4
5
5
6
52
Ejemplo Una ecuación exponencial de tipo cuadrático
Resuelva la ecuación:
e e 6 0 2x
x
Solución:
e2 x e x 6 0 (e x ) 2 e x 6 0
(e x 3)(e x 2) 0 e 3 0 ex 3 x
o
ex 2 0 e x 2 53
Ejemplo Resolver una ecuación exponencial
Resuelva la ecuación:
3xex x 2e x 0
Solución: Primero se factoriza el lado izquierdo de la ecuación.
3xex x 2e x 0 x xe (3 x) 0
Se divide entre
ex
x(3 x) 0 Las soluciones son:
x0
3 x 0 x 3
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Ecuaciones Logarítmicas Una ecuación logarítmica es aquella en la ocurre un logarítmo de la variable.
log 2 ( x 2) 5 Para despejar x, se escribe la ecuación en forma exponencial.
x 2 25 32 2 30 Otra forma de considerar el primer paso es elevar la base, 2, a cada la de ecuación.
2log2 ( x2) 25 x 2 25 x 32 2 30 Los pasos se resumen a continuación.
55
Normas para resolver ecuaciones logarítmicas 1) Aísle el término logarítmico en un lado de la ecuación; podría ser necesario combinar primero los términos logarítmicos. 2) Escriba la ecuación en forma exponencial (o eleve la base a cada lado de la ecuación). 3) Despeje la variable.
56
Ejemplo Resolver ecuaciones logarítmicas
De cada ecuación despeje x.
a) ln x 8
ln x 8
x e8 x 2981
b) log 2 (25 x) 3
25 7 23 25 x 8 x 25 8 17
57
Ejemplo Resolver una ecuacion logarítmica
Resuelva la ecuación:
4 3 log( 2 x) 16
Solución: Se aísla primero el término logarítmico. Esto permite escribir la ecuación en forma exponencial.
4 3 log( 2 x) 16 3 log( 2 x) 16 4 3 log( 2 x) 12 log( 2 x) 4 2 x 104 2x 10000 x 5000 58
Ejemplo Resolver una ecuación logarítmica de manera algebraica y gráfica
Resuelva la ecuación (1): log( x 2) log( x 1)
1
log( x 2)( x 1) 1 ( x 2)( x 1) 10 x 2 x 2 10
x 2 x 12 0 ( x 4)( x 3) 0 x 4, x 3
59
Ejemplo Resolver una ecuación logarítmica de manera algebraica y gráfica
Resuelva la gráfica (2): log( x 2) log( x 1) 1 0
y log( x 2) log( x 1) 1 4 3 2
1 0
1
2
3
4
5
5
6
60
Ejemplo Resolver una ecuación de manera gráfica
x 2 2 ln( x 2)
Resuelva la ecuación:
Solución: Primero se mueven todos los términos a un lado de la ecuación.
x 2 2 ln( x 2) 0 2 Luego se hace la gráfica: y x 2 ln( x 2) 4 3 2 1
4 3 2 1
0
1
2
3
4
5
5
6
61