Sistema de numeración. Apuntes y ejercicios.
Aplicaciones informáticas
Beatriz García Maroto.
SISTEMA DE NUMERACIÓN En un sistema de numeración es importante distinguir la base, que es el número de símbolos que utiliza y que se caracteriza por el coeficiente que determina cual es el valor de cada símbolo, dependiendo de su posición. Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, en los que el valor relativo que representa cada símbolo o cifra, depende su valor absoluto y de la posición relativa que ocupa dicha cifra con respecto a la coma decimal, íntimamente ligada al valor de la base del sistema de operación utilizado. SISTEMA DECIMAL BINARIO OCTAL HEXADECIMAL
BASE 10 2 8 16
DÍGITOS 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, 0,1 0,1,2,3,4,5,6,7 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
El teorema fundamental de la numeración relaciona una cantidad expresada en cualquier sistema de numeración, con la misma cantidad de sistema. Este teorema afirma que el valor decimal de una cantidad expresada en otro sistema de numeración viene dado por la fórmula: Nº =∑ (dígitos) i *(base) Donde i es igual a la posición respecto a la coma. Cada nº en el sistema decimal a su equivalente en el sistema binario.
DECIMAL A BINARIO 1º paso: dividimos entre 2 sucesivamente sin sacar decimales hasta obtener un cociente igual a 1. El resultado se ordena desde el cociente al resto.
45 101101 2º paso: leemos el último cociente y todos los restos en sentido contrario conforme han ido apareciendo 3º paso: en el caso de que nos pidan el resultado dentro de un byte rellenamos a 0 por delante hasta completar los 8 bits. Pasar de decimal a Binario los números: 10110 y 1710
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101 10112
17 100012
BINARIO A DECIMAL Ejemplo: 110010112 1º paso: Numeramos los bits de derecha a izquierda comenzando desde 0. 1 1 0 0 1 0 1 1 7 6 5 4 3 2 1 0
2º paso: a cada bit que sea 1 le hacemos corresponder una potencia de base 2 y exponente = al número de bit. Con los bits que sean 0 no hacemos nada. 1 1 0 0 1 0 1 1 27 26 23 21
3º paso: por último se suman todas las potencias. 27+26+23+21+20=203 *Ejercicios 12,14,15 y 16 -Pasar de Binario a Decimal 1 1 0 1 0 1 1 6 5 4 3 2 1 0 26+25+23+21+20=107 -Pasar de decimal a binario
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13 1101
BINARIO A TEXTO (Tabla de ascii) TEXTO A BINARIO 1º buscamos el número decimal que corresponde a cada letra (Hay que distinguir entre mayúsculas y minúsculas) 2º convertimos ese número decimal a binario. -Convertir la palabra “Voz” a binario: V=86 1010110 O=111 1101111 Z=122 1111011 -Convertir los números binarios a texto. 1 0 0 0 1 1 0 26+22+20=70 F 6 5 3 0 1 1 0 1 0 0 1 2 +2 +2 +2 =105 I 1 1 0 1 1 1 0 26+25+23+22+21+20=110 n
DIGITO OCTAL A DIGITO BINARIO Dígito Octal Dígitos Binario 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111
DIGITO HEXADECIMAL A DIGITO BINARIO Dígito Hexadecimal Dígito Binario 0 0000 1 0001 2 0010 10
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3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
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0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
-El procedimiento más rápido para convertir un número octal a binario consiste en sustituir cada dígito del sistema octal por su correspondiente en binario. -El mismo procedimiento para convertir un número hexadecimal a binario, cada dígito hexadecimal por su representación binaria con 4 dígitos. Ejercicio: 1.- Convierte 6378 6 --------- 110 3 --------- 011 7 --------- 111 6378 ---1100111112 2.- Convierte 2DC16 2 ------ 0010 D ------ 1101 C ------ 1100 2DC16 ----0010110111002 3.-Convertir el número 100110001,01012 a base octal y a base hexadecimal Octal: 100 110 001 , 010 100 4 6 1 , 2 48 Hexadecimal: 0001 0011 0001 , 0101 1 3 1 , 516 4.-Convertir el número decimal 16,42187510 al sistema binario. -Método más utilizado método división / multiplicación sucesiva 1º paso, convertimos la parte entera (dividiendo) 11
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16 10000 2º paso, convertir la parte fraccionaria. Multiplicar por la base del número que se quiere obtener. 0,421875 * 2= 0,84375 0,84375 * 2= 1,6875 0,6875 * 2= 1,375 0,375 * 2= 0,75 0,75 * 2= 1,5 0,5 * 2=1 0,421875 011011 Total 10000,011011 -Convierte el siguiente número decimal a octal 18810 Cogemos el último cociente con los restos de izquierda a derecha
18810 2748 -Pasar 2748 a decimal 2*82+7*81+4*80= 128+56+4=18810 -Pasar 2748 a binario 2 010 7 111 4 100 2748 0101111002 -Pasar 18810 a hexadecimal 18810 BC16
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-Pasar BC16 a binario y decimal BC16 101111002 11 * 161 + 12 * 160=188
-LA ARIMÉTICA BINARIA. -SUMA BINARIA: La suma es similar al decimal y cuando excede el resultado de los símbolos utilizados, se agrega el exceso a la suma parcial siguiente hacia la izquierda. 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10 (o acarreo el 1) -Sumar los siguientes números:
22+25=36 21+24=18 21+22+24+25=54
-RESTA BNARIA: Es similar al decimal, pero si el sustraendo excede al minuendo se genera un acarreo que se añade al siguiente digito 0-0=0 0-1=1 (no cabe, 1 y acarreo 1) 1-0=1 1-1=0 -Resta los números siguientes:
Ejercicios: -Convertir el número decimal 26 al sistema binario.
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26 110102
-Convertir los números decimales 8 y 15 al sistema binario
8 10002
15 11112 -Convertir el número decimal 36810 al sistema binario.
368 1011110102 -Convertir el número 110102 a decimal. 11010 24+23+21= 16+8+2=2610 -Sumar los números binarios 10 y 1 y su correspondiente en decimal.
-Sumar los números binarios 111 y 11 y sumar su correspondiente en decimal.
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22+21+20= 4 + 2 + 1=7 21+20= 2 + 1=3 23+21= 8 + 2=10
-Restar los números binarios 1101 y 110.
-MULTIPLICACIÓN BINARIA: La multiplicación consiste en repetir el multiplicando tantas veces como indique el multiplicador. 0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1 En un ordenador la operación de multiplicar se realiza mediante sumas repetidas. Eso crea algunos problemas en la programación porque cada suma de dos 1 origina un arrastre que se resuelve contando el número de 1 y de arrastres en cada columna. Si el número de 1, es par, la suma es un 0 y si es impar, un 1, para determinar los arrastres a la posición superior, se cuentan las parejas de 1.
-Multiplicar los números binarios 110100010101 * 1101.
-Multiplicar 1101 * 0101.
Ejercicio: 15
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-Convierte a texto los siguientes bytes. 01010100 01101001 01100111 01110010 01100101
26+24+22=84 26+25+23+20=105 26+25+22+21+20=103 26+25+24+21=114 26+25+22+20=101
T i g r e
-DIVISION BINARIA: se realiza igual que la decimal. En el caso de la binaria, es más sencillo porque se simplifica la elección de cada dígito del cociente ya que solo puede ser 0 o 1. Si el dividendo parcial es mayor o igual que el divisor, el siguiente dígito del cociente es 1, sino, es 0. 0:0=No está permitido 0:1=0 1:0=No está permitido 1:1=1
EJERCICIOS REPASO SISTEMAS NUMERACIÓN 1. Hallar el número equivalente a octal de 1010010112. 101 5 001 1 011 3 1010010112 5138 2. Hallar el número equivalente a binario de 7508. 7 111 5 101 16
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0 000 7508 1111010002 3. Hallar el número equivalente a hexadecimal de 1010011100112. 1010 A 0111 7 0011 3 1010011100112 A7316 4. Hallar el número equivalente a binario de 1F616. 1 0001 F 1111 6 0110 1F616 0001111101102 5. Realizar las siguientes sumas en binario y decimal:
26 + 24 + 23 + 21 + 20 91 26 + 24 + 2 3 + 2 1 90 7 5 4 2 0 2 + 2 + 2 + 2 + 2 181
28 + 27 + 25 + 24 + 23 + 21 + 20 443 28 + 25 + 2 4 + 2 3 + 21 + 2 0 315 29 + 27 + 26 + 25 + 24 + 22 + 21 758 23 + 22 + 20 13 25 + 22 + 20 37 25 + 24 + 21 50
6. Realizar las siguientes restas en binario y decimal: 24 + 2 0 17 3 2 2 +2 10 22 + 2 1 + 2 0 7
27 + 26 + 24 + 23 + 20 409 27 + 25 + 23 + 21 + 20 331 2 5 + 23 + 2 2 + 2 1 78 17
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28 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20 489 28 + 26 + 25 + 23 + 22 + 20 365 26 + 25 + 2 4 + 2 3 + 22 124
7. Realizar la división en binario 42 : 6 = 7
8. Expresa, en código binario, los números decimales siguientes: 191, 47, 21.
101111112
1011112
101012 9. Dados dos números binarios: 01001000 y 01000100 ¿Cuál de ellos es el mayor? 01001000 26 + 23 = 72 01000100 26 + 22 = 68 18
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Es mayor el nº 010010002 10. Convierte los siguientes números decimales en octales: 63, 513.
63 778
513 10018 11. Convertir el número decimal 15,456 al sistema binario.
0’456 * 2 0’912 0 0’912 * 2 1’824 1 0’824 * 2 1’648 1 15,456 1111,011 12. Multiplicar los números binarios 10110 y 101.
13. Convertir la palabra Mar a binario. M 4D 01001101 a 61 01100001 r 72 01110010 Mar 0100110101100001011100102
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