Meccanica Razionale (Enzo Tonti) - spicciola by bernabi.96

Consigli di Meccanica Razionale Enzo Tonti 3 dicembre 2009

Indice 1

INTRODUZIONE 1.1 Alcune semplici veritaĚ&#x20AC; . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Forma tipica di un problema di meccanica 1.1.2 Le principali leggi della meccanica . . . 1.1.3 Particella . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sistema meccanico . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Configurazione di un sistema meccanico . 1.2.2 Coordinate libere . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Spostamenti reali e virtuali . . . . . . . . 1.2.4 Gradi di libertaĚ&#x20AC; . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Come scegliere gli assi cartesiani . . . . 1.2.6 Come scegliere gli angoli . . . . . . . . . 1.3 Vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Reazioni vincolari . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Classificazione dei vincoli . . . . . . . . 1.3.3 Osservazioni sui vincoli fissi . . . . . . . 1.4 Forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Classificazione delle forze . . . . . . . .

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7 7 8 9 10 10 10 11 11 13 15 16 17 18 21 21 22 22

STATICA 2.1 Equazioni cardinali della statica . . . . . . . . . . . 2.2 Principio dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Lavoro virtuale . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Come si calcola il lavoro virtuale . . . . . . 2.2.3 Attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Statica del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Punto materiale libero nel piano . . . . . . . 2.3.2 Punto materiale vincolato ad una linea liscia . 2.4 Statica del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . .

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27 27 28 29 30 31 31 31 31 33

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INDICE

2.5

2.6

2.7 2.8 3

2.4.1 Corpo rigido con asse fisso . . . . . . . . . . . 2.4.2 Corpo rigido con 1 grado di libertà (nel piano) 2.4.3 Corpo rigido con 2 gradi di libertà (nel piano) . 2.4.4 Corpo rigido appoggiato ad un piano liscio . . 2.4.5 Corpo rigido con asse fisso (nello spazio) . . . Statica dei sistemi articolati . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Considerazioni generali . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Arco a tre cerniere . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Reazioni interne nelle cerniere . . . . . . . . . 2.5.4 Azioni interne nelle aste . . . . . . . . . . . . 2.5.5 Diagramma delle azioni interne . . . . . . . . Statica dei fili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Sollecitazione continua dei fili . . . . . . . . . 2.6.2 Osservazione sui fili . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Statica dei fili appoggiati su superficie liscia . . Determinazione del baricentro . . . . . . . . . . . . . Calcolo dei momenti d’inerzia . . . . . . . . . . . . .

CINEMATICA 3.0.1 Il tempo: istanti ed intervalli . . . . . . . . . . 3.0.2 Moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.0.3 Moto uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Cinematica del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Velocità e accelerazione . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Sistema di coordinate e base fisica . . . . . . . 3.1.3 Componenti della velocità e della accelerazione 3.1.4 Come orientare la normale ad una curva piana . 3.1.5 Alcune grandezze in coordinate polari . . . . . 3.1.6 Moto centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Cinematica del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Atto di moto rototraslatorio . . . . . . . . . . 3.2.2 Centro di istantanea rotazione . . . . . . . . . 3.3 Vincoli anolonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dinamica 4.0.1 4.0.2 4.0.3 4.0.4 4.0.5

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33 34 34 35 36 37 37 39 41 41 43 44 45 47 48 49 51

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57 57 58 58 59 59 60 62 63 63 64 65 65 66 68

Equazioni cardinali della dinamica . . . . . . . . . . Calcolo del momento angolare . . . . . . . . . . . . Teorema dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . Integrale dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . Osservazioni sul teorema e sull’integrale dell’energia

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71 71 72 74 76 76

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INDICE 4.0.6 Calcolo dell’energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . 4.0.7 Relazione simbolica della dinamica . . . . . . . . . . 4.0.8 Principio di d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . 4.0.9 Equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.0.10 Punto materiale libero . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.0.11 Particella vincolata a una linea fissa e liscia . . . . . . 4.0.12 Dinamica della particella su una superficie fissa e liscia 4.1 Dinamica del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Corpo rigido con asse fisso . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Rotolamento nel moto piano . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 L’uso del centro di istantanea rotazione in dinamica . . 4.1.4 Corpo rigido con un punto fisso . . . . . . . . . . . . 4.1.5 Corpo rigido libero nello spazio . . . . . . . . . . . . 4.1.6 Angoli nautici e angoli di Eulero . . . . . . . . . . . . 4.2 Dinamica dei sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Consigli introduttivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Osservazione sulla velocità angolare nei problemi piani 4.2.3 Osservazione sugli esseri animati e sui motori . . . . . 4.2.4 Osservazioni sui fili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Conservazione delle quantità meccaniche . . . . . . . 4.2.6 Calcolo delle Qk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Oscillazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Piccole oscillazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Fattore di amplificazione dinamica . . . . . . . . . . . 4.3.3 Modi normali di vibrazione . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4 Sistemi con massa variabile . . . . . . . . . . . . . . 4.3.5 Dinamica impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Meccanica relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Statica relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Dinamica relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Dinamica relativa della particella . . . . . . . . . . . 4.4.4 Dinamica relativa del corpo rigido . . . . . . . . . . . 4.4.5 Dinamica relativa dei sistemi . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Unità di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Come limitare gli integrali doppi . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Equazioni differenziali di uso frequente . . . . . . . . . . . . 4.8 Equazione differenziale lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Terna intrinseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10 funzioni circolari e iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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76 78 79 80 81 82 83 84 84 84 86 87 89 90 91 91 91 92 92 93 94 96 96 98 98 99 101 102 103 105 106 106 107 108 108 111 113 113 115

6 5

INDICE Esercizi risolti e commentati 5.1 Consigli per risolvere gli esercizi 5.2 Problema 1 . . . . . . . . . . . 5.2.1 Problema 3 . . . . . . . 5.2.2 Problema 4 . . . . . . . 5.2.3 Problema 5 . . . . . . . 5.2.4 Problema 6 . . . . . . . 5.2.5 Problema 8 . . . . . . . 5.2.6 Problema 9 . . . . . . . 5.2.7 commiato . . . . . . . .

A Programmi in Matlab A.1 AAA01 . . . . . A.2 AAA02 . . . . . A.3 AAA03 . . . . . A.4 AAA04 . . . . . A.5 AAA05 . . . . . A.6 AAA06 . . . . .

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117 117 118 132 134 138 139 143 144 147

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149 149 150 151 152 154 156

B RIMASUGLI 159 B.0.1 Punto materiale vincolato ad una superficie liscia . . . . . 159 B.0.2 Punto materiale vincolato ad una superficie scabra . . . . 160 C Sistemi di forze C.1 Forze su corpi rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.1 Sistemi equivalenti . . . . . . . . . . . . . C.1.2 Riduzione di un sistema di forze . . . . . . C.1.3 Come varia il momento al variare del polo. C.1.4 ProprietaĚ&#x20AC; del momento . . . . . . . . . . . C.1.5 Ricerca di un polo privilegiato . . . . . . . C.1.6 Casi particolari: forze piane . . . . . . . . C.1.7 Casi particolari: forze parallele . . . . . . .

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163 163 163 163 165 165 166 168 169

D Le diverse meccaniche 171 D.1 Le diverse meccaniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 E Dizionario 173 E.1 bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Capitolo 1

INTRODUZIONE 1.1

Alcune semplici verità

Facendo gli esercizi si capisce la teoria, si mette in evidenza ciò che si credeva di aver capito, si fissano le nozioni, si impara come utilizzarle. Un proverbio dice che tra il dire ed il fare c’è di mezzo il mare. Questo proverbio si tocca con mano facendo gli esercizi. Le nozioni apprese a lezione o da un libro sembrano chiare ma al momento di metterle in pratica sono ... appelli o sessioni d’esame che passano! Da qui discende che teoria e problemi non devono essere separati nello studio di una materia, e tanto meno i problemi devono essere affrontati senza aver prima studiato la corrispondente teoria. Qualunque procedimento diverso si risolve in una devastante perdita di tempo, spreco di fatica e, fatto non trascurabile, porta all’oblio di tutto: formule, procedimenti e concetti, nel giro di poche settimane. Lo studio ideale consiste delle seguenti fasi: posizione di alcuni problemi, studio della teoria corrispondente ed infine risoluzione dei problemi mediante la teoria appresa. Uno dei peccati capitali dell’insegnamento sta nello spiegare una teoria senza aver prima dato alcuni esempi di problemi che potranno essere risolti. E’ bene partire facendo un elenco di esempi, facendosi molte domande, creando la necessità di una teoria. Quello di iniziare una esposizione con la classica parola Consideriamo ... è altamente sconsigliabile. E’ bene dare una panoramica delle problematiche, esaminare una serie di esempi, stuzzicare la curiosità dell’allievo mostrandogli dove si vuole arrivare, quello che si sarà in grado di fare a fine corso, mostrando immagini o fotografie o oggetti sui quali ci si pongono domande. 7

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

1.1.1

Forma tipica di un problema di meccanica

Gli ingredienti della meccanica sono essenzialmente tre: 1. un sistema meccanico1 . 2. le forze che agiscono sul sistema cercando di metterlo in moto. 3. i vincoli a cui è sottoposto il sistema che ne ostacolano il movimento. Se il sistema meccanico permane nella stessa configurazione il problema è di statica. Se il sistema evolve da una configurazione ad un’altra, cioè è in movimento, il problema è di dinamica. Le domande tipiche che si pongono in un problema di meccanica sono: • • • • • • • • • • •

determinare la configurazione di equilibrio del sistema; determinare le reazioni vincolari nella posizione di equilibrio; determinare le azioni interne nella configurazione di equilibrio; determinare il moto del sistema; determinare le reazioni vincolari durante il moto; determinare una forza che mantenga il sistema in una configurazione di equilibrio prefissata; determinare una forza che mantenga il sistema in un moto prefissato; determinare il periodo delle piccole oscilazioni di un sistema ad un grado di libertà; determinare le frequenze naturali di un sistema oscillante a più gradi di libertà; determinare il tempo che il sistema impiega a raggiunge una data configurazione; determinare il punto in cui un corpo in moto si distacca dal vincolo.

I problemi della meccanica razionale, come quelli di tutta la fisica e della scienza in genere, sono semplificazioni di problemi reali. Noi ci facciamo un modello del fenomeno o del problema e a questo modello applichiamo le leggi della meccanica per studiarne il comportamento. Il modello è una semplificazione del problema reale. E qui vale il principio: Per comprendere occorre semplificare; ogni semplificazione ci allontana dalla realtà. 1 ♣ SONO STATO FEDELE? Ogni volta che useremo un termine non ancora presentato lo porremo fra virgolette: nel seguito esso sarà esplicitamente definito.

1.1. ALCUNE SEMPLICI VERITÀ

Sarebbe però ridicolo ritenere inutile, ad esempio, la meccanica dei corpi rigidi per il solo fatto che nessun corpo in natura è rigido. La schematizzazione di un corpo come rigido costituisce una prima fase nello studio di un problema di statica o di dinamica. Successivamente si potrà tener conto della sua deformabilità. Altrimenti il problema sarebbe di difficile soluzione. Anche nelle materie più pratiche, più aderenti alla realtà, come nella Scienza delle Costruzioni, nella Meccanica Applicata, lo stadio di corpo rigido costituisce la prima fase di ogni studio successivo.

1.1.2

Le principali leggi della meccanica

Per poter studiare la quiete o il moto di un sistema meccanico, note che siano le forze che agiscono su di esso ed i vincoli a cui è sottoposto, occorrono delle leggi che mettano in relazione le forze, che sono causa del moto, con le grandezze che determinano la configurazione del sistema. Attraverso esperienze secolari si sono progressivamente scoperte le leggi del movimento. Di ciascuna di queste leggi sono stati indagati i limiti di validità, si è costruito un tessuto razionale fra di esse in modo che esse siano deducibili da pochi principi indotti dalle esperienze: l’esposizione organica di queste leggi e delle loro conseguenze costituisce la meccanica razionale2 .

statica:

  le equazioni cardinali della statica    il principio dei lavori virtuali     il teorema del minimo dell’energia potenziale

le equazioni cardinali della dinamica l’equazione simbolica della dinamica il teorema dell’energia dinamica: le equazioni di Lagrange le equazioni canoniche di Hamilton l’equazione di Hamilton-Jacobi. Degli ultimi due metodi non parleremo in questa dispensa in quanto sono solitamente al di fuori di un corso di Meccanica Razionale.                         

Alla base di queste relazioni stanno i tre principi fondamentali dovuti a New2 Un giorno lo scrivente ha avuto un incontro con Abdus Salam, premio Nobel per la fisica. Quando questi gli ha chiesto di cosa fosse docente la risposta è stata: docente di Meccanica razionale. A questo punto il premio Nobel ha fatto una interminabile risata in quanto l’appellativo razionale gli aveva scatenato l’ilarità. Salam, formatosi a Cambridge, non aveva mai sentito un tale appellativo. Purtroppo solo più tardi lo scrivente ha saputo che il termine razionale è stato introdotto da Newton che viveva a Cambridge @ qualche secolo prima[27, prefazione]. ♣

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

ton: primo principio secondo principio terzo principio

1.1.3

legge di inerzia legge di moto di una particella F~ = m~a principio di azione e reazione

Particella D: si chiama particella qualunque corpo le cui dimensioni siano trascurabili rispetto alle dimensioni in gioco. 3

Per quanto possa sembrare strano un aereo con 300 passeggeri a bordo può, in un certo contesto, essere considerato come una particella. Basta chiederlo ad un radarista: a lui è sufficiente la posizione del puntino luminoso che si rivela sullo schermo radar. Anche la Terra, che ha un raggio di circa 6000 km, può essere considerata come una particella nella determinazione dell’orbita: questo avviene nello studio dei moti centrali. Quindi non è detto che la particella o particella debbano avere estensione nulla. E’ sufficiente che le sue dimensioni siano trascurabili nel contesto che si considera.

1.2

Sistema meccanico D: si chiama sistema meccanico un sistema fisico del quale ci interessa solo lo studio del moto, in particolare la sua configurazione in condizioni di quiete. Un sistema fisico viene chiamato sistema termodinamico o chimico o elettrico a seconda che di esso ci interessino gli aspetti termodinamici o chimici o elettrici.

1.2.1

Configurazione di un sistema meccanico

Determinare il moto del sistema meccanico o il suo stato di equilibrio, significa conoscere la posizione di ogni punto del sistema ad un istante generico. D: si chiama configurazione di un sistema ad un dato istante l’insieme delle posizioni di tutti i punti del sistema in quell’istante. 3 Spesso si parla di punto materiale, ma il termine particella è più pertinente. L’opposto di punto materiale sarebbe punto geometrico, ma non sembra il caso di aggiungere il termine geometrico ai punti da sempre usati in geometria.

1.2. SISTEMA MECCANICO

1.2.2

Coordinate libere

Per determinare la configurazione occorre fissare un sistema di riferimento e delle coordinate. In linea di principio occorrerebbero le coordinate di tutti i punti del sistema: ma l’esistenza di parti rigide diminuisce il numero di coordinate necessarie per determinare la configurazione. Basti osservare che per individuare la configurazione di un corpo rigido libero nello spazio, formato da un numero enorme di molecole è sufficiente dare solamente 6 coordinate! D: si chiamano coordinate libere o lagrangiane o generalizzate un insieme di variabili indipendenti sufficienti a definire la configurazione di un sistema ad ogni istante.4 Le coordinate libere si indicano con qk o con qk , essendo k = 1, 2, ..., n ed n il numero dei gradi di libertà. O. La posizione degli indici in alto è dovuta ad una convenzione generale e non deve essere confusa con un esponente. Molti autori non se la sentono di mettere gli indici in alto a motivo della possibile confusione con un esponente.

All’inizio di un problema occorre scegliere delle coordinate. Durante la fase di impostazione del problema si può fare uso di coordinate sovrabbondanti ma prima di iniziare la risoluzione sarà bene eliminare le coordinate sovrabbondanti esprimendole in funzione delle coordinate libere mediante relazioni geometriche. Le relazioni tra le coordinate cartesiane e le coordinate libere sono in generale espresse da equazioni non lineari: questo capita tutte le volte che si introducono angoli. Ne viene che le coordinate libere introducono la non linearità nelle equazioni della meccanica: si parla di non linearità geometriche. Un’altra sorgente di non linearità sono le relazioni costitutive5 cioè relazioni fra le variabili statiche e dinamiche da una parte (quali forze, momenti, quantità di moto, momenti delle quantità di moto, ecc.) e variabili geometriche e cinematiche dall’altra (quali le coordinate, gli spostamenti, le velocità, le velocità angolari, ecc.). Queste equazioni prendono il nome di costitutive perché precisano la costituzione del sistema.

1.2.3

Spostamenti reali e virtuali D: si chiama spostamento virtuale del punto P e lo si indica con δP, il vettore infinitesimo che congiunge la posizione occupata

4 5

Nocilla, p.122 Dette anche equazioni materiali o di comportamento.

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE dal punto P all’istante generico t con un’altra posizione, infinitamente vicina, che il punto P potrebbe occupare al medesimo istante nel rispetto dei vincoli, che, se mobili, si pensano congelati all’istante considerato.6

Lo spostamento virtuale è uno spostamento immaginato a titolo di prova, non è effettivamente compiuto. D: si chiama spostamento effettivo infinitesimo del punto P nel tempo dt lo spostamento dP(t) = Ṗ(t) dt subito dal punto P in conseguenza del suo movimento.

P' t+dt dP t

P' dP

δP δP

δP

P δP

δP

P δP

vincolo fisso

vincolo mobile

Figura 1.1. Spostamenti virtuali e spostamento effettivo di una particella.

vincolo fisso

t+dt

δP

vincolo mobile

spostamento effettivo

δ P irrev δP

δP

δP P spostamento non virtuale

Figura 1.2. Esempi di spostamenti virtuali e reali

In dinamica si hanno dunque due categorie di spostamenti: quelli reali dovuti al moto stesso del sistema e quelli virtuali che immaginiamo di far compiere ai 6

Sommerfeld, [30, p.53]; Lanczos, [20, pp.38-39]; Levi Civita-Amaldi, [48, v.I, p.299 ] precisano che il tempo deve essere congelato. Goldstein. [15, p.14] compie l’errore di definire virtuale uno spostamento compatibile con le forze ed i vincoli imposti al sistema ad un dato istante t. Le forze non hanno nessun ruolo nella definizione di spostamento virtuale in quanto questo è un concetto puramente geometrico.

1.2. SISTEMA MECCANICO

punti fissando i vincoli. Se i vincoli sono fissi, tra gli innumerevoli spostamenti virtuali c’è quello effettivo. In statica, in quanto non c’è moto del sistema, non vi sono spostamenti reali compiuti dai suoi punti: gli unici spostamenti che hanno senso in statica sono quelli virtuali. Uno spostamento virtuale si dice reversibile se lo spostamento opposto è pure esso virtuale; si dice irreversibile se il suo opposto non è virtuale. dqk (t) = q̇k (t) dt è la variazione effettiva subita dalle qk (t) per effetto del movimento nell’intervallo dt. E’ il differenziale della funzione. Indica la differenza tra i valori della q(t) in due istanti successivi. δqk (t) = variazione virtuale della coordinata qk (t) al medesimo istante t (detto sincrona). Le δqk non hanno nulla a che fare con l’andamento effettivo del sistema, ma vengono immaginate a titolo di prova7 .

1.2.4

Gradi di libertà

Gli spostamenti di un sistema meccanico si possono pensare ottenuti per composizione di un certo numero di spostamenti fondamentali indipendenti tra loro. Ogni spostamento fondamentale costituisce un grado di libertà del sistema. D. Si chiama numero dei gradi di libertà di un sistema meccanico il massimo numero di spostamenti virtuali indipendenti del sistema. Determinare il numero dei gradi di libertà di un sistema è fondamentale per fare il bilancio tra il numero di incognite del problema ed il numero di equazioni necessarie. Per determinare il numero dei gradi di libertà si può procedere in uno dei modi seguenti8 : [@ non ho ancora classificato i vincoli] a) metodo dei congelamenti successivi. Si immagina di congelare successivamente i movimenti possibili del sistema bloccando rotazioni, traslazioni o punti del sistema. Ogni spostamento elementare impedito indica un grado di libertà che aveva il sistema. Il minimo numero di congelamenti elementari che porta il sistema al congelamento totale costituisce il numero dei gradi di libertà del sistema. Alcuni autori trovano utile introdurre un intervallo di tempo δt infinitesimo dello stesso ordine di δP, peraltro arbitrario e introducono anche la nozione di velocità virtuale. L’autore ritiene che questo sia certamente lecito, ma inopportuno. 8 Goldstein, [15, p.12] identifica i gradi di libertà con le coordinate libere, cosa non opportuna in quanto sono due nozioni diverse: la differenza risulterà evidente trattando i sistemi anolonomi. 7

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE b) metodo del bilancio. Si assegna ad ogni vincolo un numero, che è il numero dei gradi di libertà che esso toglie al sistema. Cosı̀ ad un vincolo semplice (appoggio, carrello) si assegna il numero 1; ad un vincolo doppio (cerniera, semicerniera, pattino, manicotto) si associa il numero 2; ad un vincolo triplo (incastro) il numero 3. Si sommano tutti i numeri relativi ai diversi vincoli. Si sommano i gradi di libertà delle singole parti del sistema supposte libere. Dal totale dei gradi di libertà si toglie la somma dei vincoli: quello che rimane è il numero dei gradi di libertà del sistema

Ad esempio un’asta nel piano ha 3 gradi di libertà in quanto ammette tre spostamenti indipendenti: le traslazioni lungo due direzioni prefissate e la rotazione. O: questo secondo metodo è più rapido del precedente ma meno sicuro: vi possono essere parti in cui c’è un eccesso di vincoli e parti in cui c’è un difetto di vincoli. Inoltre nasconde eventuali labilità del sistema.

D: se il filo si avvolge sulle carrucole senza scorrimenti e se i tratti pendenti si suppongono sempre verticali, quanti gradi di libertà ha il sistema? R: Se congeliamo la ruota di sinistra basta abbassare il contrappeso di destra per far alzare e ruotare la ruota centrale. Successivamente se congeliamo la ruota di destra il sistema rimane completamente congelato. Conclusione: il sistema ha due gradi di libertà.

1 grado di libertà 2 gradi di libertà 3 gradi di libertà

2 gradi di libertà 1 grado di libertà

Figura 1.3. Quando un moto si compone di diverse fasi, i gradi di libertà di un corpo possono variare da una fase all’altra.

1.2. SISTEMA MECCANICO

1.2.5

Come scegliere gli assi cartesiani

Per impostare un problema è bene scegliere le coordinate più convenienti. Nel caso che si scelgano coordinate cartesiane è consigliabile scegliere l’asse delle x e quello delle y diretti nel modo tradizionale. Quando questo non sia opportuno possono scegliersi comunque orientati, possibilmente in modo che il sistema venga a trovarsi nel primo quadrante e che gli angoli siano coerenti con le coordinate, cioé orientati da x ad y. Gli assi cartesiani devono essere fissi, non mobili con il sistema, salvo quando si studi un problema di meccanica relativa. Anche in tal caso gli assi devono essere scelti solidali con una parte del sistema, quella che si vuole che costituisca il sistema di riferimento. y

O=A

assi mobili con il triangolo: conviene solo se è noto il moto del triangolo

assi fissi

Figura 1.4. La scelta della figura di destra è valida se è noto il moto del piano inclinato e si vuole usare la meccanica relativa

NO!

y NO! 0

x 0

x y

y NO!

NO!

Figura 1.5. Scelte inopportune, gli assi devono essere fissi

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE y

0 scelta inopportuna (è bene che l'asse x vada verso destra) x

scelta opportuna

0 ϑ x scelta opportuna, ma x = -R ϑ

scelta opportuna

x ϑ

y x scelta inopportuna scelta opportuna (è bene che l'asse x vada verso destra)

y ϑ

x y

scelta inopportuna

scelta inopportuna (il cinematismo si trova nella parte negativa dell'asse y)

scelta opportuna

x y

(l'asse y spesso si orienta verso il basso)

0 y

Figura 1.6. (sopra) La terza scelta è lecita ma sconsigliata in quanto facilmente si commettono errori di segno nella valutazione delle ascisse. (al centro) Gli angoli devono essere presi in armonia con gli assi, positivi andando da x ad y. (sotto) E’ opportuno che la figura si trovi nel primo quadrante degli assi cartesiani.

1.2.6

Come scegliere gli angoli

Ricordare innanzi tutto che anche gli angoli hanno un verso. Le velocità angolari, i momenti delle forze, i momenti angolari saranno positivi se concordi con il verso positivo degli angoli. Se sono state scelte in precedenza coordinate cartesiane il

1.3. VINCOLI

senso positivo degli angoli risulta automaticamente fissato come quello concorde con l’asse z secondo la regola del cavatappi. y

SI !

NO !

Figura 1.7. A sinistra una scelta opportuna degli assi, a destra una scelta non opportuna.

E’ opportuno che l’angolo sia quello formato tra una direzione fissa nel riferimento considerato ed una direzione solidale con il corpo mobile. Quando non convenga sceglierli in tal modo, tener presente che la velocità angolare non è più la derivata rispetto al tempo dell’angolo scelto. O

. .

asta AB ω z = φ asta BC ω z = ϑ

.y .

asta AB ω z = φ asta BC ω z = ϑ

ϑ x attenzione: asse y verso il basso

C B

x direzione mobile y

direzione fissa y

C ϑ

. ωz = ϑ

direzione mobile

ωz = ϑ

direzione fissa

Figura 1.8. Se l’angolo non è misurato a partire da una direzione fissa la velocità angolare non è uguale alla derivata dell’angolo.

1.3 Vincoli D : si chiama vincolo tutto ciò che limita la libertà di moto di un sistema.9 9

Questa definizione è cosı̀ generale che vi rientrano anche il vincolo contrattuale e il vincolo

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE I vincoli si classificano secondo quattro criterii: • • • •

fissi o mobili; lisci o scabri; ♣ unilateri o bilateri; olonomi o anolonomi.

Un vincolo si dice fisso se non varia la sua posizione nel tempo, in caso contrario si dice mobile. Un vincolo si dice scabro se esercita attrito, in caso contrario si dice liscio. Un vincolo si dice unilatero se ha fra i suoi spostamenti ve ne sono alcuni irreversibili, in caso contrario si dice bilatero. Per i vincoli olonomi e anolonomi si veda pag. 68 δ P irrev P

δP P

δP

δ P irrev

δ P irrev P

q vincolo unilatero: l'unico spostamento virtuale è irreversibile e il lavoro virtuale è nullo

vincolo unilatero: alcuni spostamenti virtuali sono reversibili, altri irreversibili

vincolo unilatero: tutti gli spostamenti virtuali sono irreversibili

Figura 1.9. Esempi di vincoli con spostamenti reversibili e irreversibili.

1.3.1

Reazioni vincolari

E’ chiaro che se tolgo un vincolo ad un sistema in equilibrio questo si muoverà e se lo tolgo ad un sistema in moto questo si muoverà in modo diverso. Ci si chiede allora quali forze sostituire al vincolo per mantenere lo stesso stato di quiete o di moto che il sistema aveva in precedenza. D : si chiama reazioni vincolare di un vincolo la forza e la coppia che occorre sostituire al vincolo per mantenere lo stesso stato di quiete o di moto che il sistema aveva in precedenza. Quando la reazione è costituita da una sola forza, interessa spesso sapere la direzione della reazione. Nel caso che il vincolo sia liscio (cioé privo di attrito) matrimoniale. Entrambi limitano la libertà di azione di una persona. Si potrebbe essere portati a dire: abbasso i vincoli! Ma cosa è l’ingegneria se non l’arte di saper vincolare dei componenti al fine di ottenere una macchina, un apparato, un dispositivo che debba perseguire un certo obiettivo? E’ l’obiettivo da raggiungere che giustifica i vincoli, anche quello matrimoniale.

1.3. VINCOLI

l’intuizione dice che la direzione della forza è perpendicolare alla direzione degli spostamenti concessi dal vincolo. Questo avviene nel caso di appoggio semplice, di carrelli e di cerniere scorrevoli. Quando il vincolo è una cerniera interessa sapere se la reazione ha una componente in una direzione assegnata, ad esempio orizzontale o verticale o normale ad un’asta. In questo caso si sostituisce la cerniera con un carrello che conceda lo spostamento nella direzione assegnata e si vede se il sistema può muoversi in quella direzione. Poiché il compito di una reazione è, per definizione, quello di impedire un movimento, se il sistema può muoversi in quella direzione vuol dire che la reazione della cerniera ha una componente nella direzione assegnata. Mettere sempre le reazioni nei versi positivi, il loro giusto segno verrà da sè dalle equazioni. O

si muove !

ϑ p

ϑ p x

x durante il moto esiste una componente orizzontale della reazione in A?

proviamo a lasciare libero lo spostamento orizzontale: A si sposta orizzontalmente.

quindi per impedirlo occorre mettere una forza orizzontale. Dunque la componente orizzontale esiste!

Figura 1.10. Come convincersi che esiste una reazione orizzontale

Grado di vincolo. Ad ogni vincolo si può assegnare un grado di vincolo costituito dal numero di spostamenti indipendenti che toglie al sistema. Faremo riferimento alla figura (1.11). I vincoli si distinguono dunque in: • semplici quando tolgono un grado di libertà. Tali sono i carrelli, le cerniere scorrevoli, gli appoggi. • doppi quando tolgono due gradi di libertà. Tali sono le cerniere, i piattelli, i manicotti. • tripli quando tolgono tre gradi di libertà. Tali sono gli incastri a terra e le saldature. Cosa vuol dire rotolare? La ruota dell’automobile sul terreno ghiacciato slitta, non rotola. Durante una frenata la ruota di un camion può strisciare: slitta e non rotola. Rotolare significa non slittare (=non strisciare= non scivolare).

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE simbolo

nome

spostamenti concessi

reazioni

vincoli semplici

appoggio a terra

carrello a terra

appoggio a terra

semicerniera scorrevole

cerniera scorrevole

cerniera a terra

vincoli doppi

cerniera interna semicerniera

piattello

vincoli tripli

manicotto

incastro a terra

incastro interno

Figura 1.11. I simboli piuĚ&#x20AC; usati per indicare i vincoli. Le frecce chiare indicano gli spostamenti concessi, quelle scure le reazioni.

1.3. VINCOLI

vincol ofisso

A vincol ofisso

C B

Figura 1.12. Anche se si vede una semicerniera scorrevole o due carrelli mobili, i vincoli sono fissi!

1.3.2

Classificazione dei vincoli

I vincoli si distinguono in due classi: 1. i vincoli di posizione od olonomi o geometrici; 2. vincoli di mobilità od anolonomi o cinematici. I vincoli finora presentati sono del primo tipo. I vincoli di mobilità si trovano a pagina 68.

1.3.3

Osservazioni sui vincoli fissi

I carrelli e le semicerniere sono dispositivi che, da soli, non costituiscono il vincolo. Cosı̀ un carrello deve appoggiarsi su un piano: il vincolo è il piano. Se questo è fisso il vincolo sarà fisso nonostante il fatto che il carrello sia mobile. Per convincersi basta osservare la figura (??b) che è equivalente a (??c). Cosı̀ una semicerniera deve appoggiarsi ad una guida: se questa è fissa il vincolo si dirà fisso nonostante la semicerniera sia mobile. Cosa vuol dire rotolare? La ruota dell’automobile sul terreno ghiacciato slitta, non rotola. Durante una frenata la ruota di un camion può strisciare: slitta e non rotola. Rotolare significa non slittare (=non strisciare= non scivolare). B

vincol ofisso

A vincol ofisso

C B

Figura 1.13. Anche se si vede una semicerniera scorrevole o due carrelli mobili, i vincoli sono fissi!

1.4

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

Forze

La scienza si caratterizza per il fatto di conferire un significato preciso ai suoi termini. I termini servono a descrivere proprietà, attributi, qualità, ecc. Se i termini non sono definiti, le proposizioni con esse formate possono risultare prive di significato o equivoche o errate. Consideriamo il termine lavoro. Nel linguaggio comune ha molti significati. Ecco alcune espressioni di uso comune: un lavoro ben remunerato; un lavoro pesante; un posto di lavoro; un lavoro poco pulito; un lavoro ben fatto; il lavoro sommerso; il lavoro intellettuale e cosı̀ via. In fisica il termine lavoro ha un significato ben preciso: nel caso di una forza costante F che sposta un corpo per un tratto di lunghezza s nella stessa direzione della forza si chiama lavoro il prodotto della forza per lo spostamento: W = F s. Se lo spostamento non ha la stessa direzione della forza la definizione è estesa definendo il lavoro come il prodotto scalare tra il vettore forza ed il vettore spostamento: W = F~ · ~s. Se poi durante lo spostamento la forza non si Rmantiene costante la definizione è ulteriormente estesa facendo l’integrale W = F~ · d~r. Quanto detto per il lavoro vale per la nozione di forza. Nel linguaggio comune il termine forza è usato con diversi significati. Si parla di forza muscolare, di forza d’animo, di forza della disperazione, di forza e coraggio, di forza pubblica e cosı̀ via. In Fisica la forza ha un significato ben più ristretto. La forza è una grandezza che esprime l’azione tra due corpi, siano essi a contatto o distanti. Questa azione che tende a far muovere un corpo ha una natura direzionale e la sua intensità è misurata con il dinamometro. Quella che abbiamo dato non è una definizione nel senso matematico in quanto è vaga. Ma questa è una caratteristica comune a tutti i concetti primitivi della scienza. Proprio perchè sono primitivi è impossibile definirli. Infatti definire una nozione vuol dire presentare la nozione in termini di altre nozioni più primitive, più familiari, più semplici. È chiaro che questo non è possibile farlo per i concetti primitivi. Si pensi alla nozione di spazio e a quella di tempo: nessuno può pretendere di darne una definizione e di fatto una definizione non c’è. Mentre il lavoro di una forza è definito (nel senso letterale del termine) in termini di forza e spostamento, la nozione di forza non può essere definita con la stessa precisione. Le forze sono le cause del moto. Una forza è caratterizzata da quattro attributi: direzione, verso, intensità e punto di applicazione.

1.4.1

Classificazione delle forze

Le forze si possono classificare secondo diversi criteri.

1.4. FORZE

Forze di contatto e a distanza. Si chiamano forze di contatto quelle che agiscono nel contatto fra due corpi. Tali sono le forze che esercitiamo con le mani e con i piedi; spingendo con un bastone o tirando con una fune; le forze dovute all’urto tra due corpi, come quella che provoca il rimbalzo di una biglia sulla sponda del bigliardo. La forza del vento su una v ela è una forza a contatto (aria-vela). Si chiamano forze a distanza quelle che agiscono su un corpo senza il contatto con altri corpi. Tali sono la forza di gravità, la forza dovuta a cariche elettriche in quiete o in moto. Forze di superficie e di volume. Si chiamano forze di superficie quelle che agiscono sulla superficie di un corpo. Esempi di forze di superficie sono: • la forza che una mano esercita quando afferriamo un oggetto, ad esempio quando sosteniamo un piatto o solleviamo una bottiglia; • la forza che il mare esercita sulla carena di una nave; • la forza del vento su una vela; • la resistenza aerodinamica che si esercita su un’auto o un aeroplano. Si chiamano forze di volume quelle che agiscono su ogni particella del corpo. Esempi di forze di volume sono: • il peso di un corpo; • le forze elettriche e magnetiche; • le forze apparenti presenti in un riferimento non inerziale. Può sembrare, a prima vista, che le forze di superficie siano sempre forze a contatto ma non è cosı̀. La repulsione o l’attrazione tra due conduttori carichi di elettricità, come le due armature di un condensatore, sono forze a distanza eppure sono forze di superficie in quanto le cariche elettriche si dispongono sulla superficie dei conduttori. Anche le forze di volume non sono necessariamente forze a distanza in quanto possono essere sono dovute all’azione a distanza di altri corpi: questo è il caso della forza centrifuga in un riferimento non inerziale. Forze attive e reattive. Le forze attive sono quelle forze agenti sul sistema che non sono dovute ai vincoli. Le forze reattive o reazioni vincolari sono quelle forze che immaginiamo di sostituire ai vincoli per mantenere la stessa configurazione di equilibrio (in statica) o lo stesso movimento (in dinamica).

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

Forze interne ed esterne. Le forze interne sono quelle agenti sul sistema dovute all’azione delle altre parti interne al sistema stesso. Tali sono le forze molecolari tra le molecole del sistema, quelle dovute alle contrazioni muscolari in un essere animato, quelle originate dal motore di un automobile. Le forze esterne sono quelle agenti sul sistema dovute all’azione di corpi esterni al sistema. Tali sono le forze peso, le forze elettriche dovute a cariche esterne, le forze esercitate mediante fili ancorati all’esterno del sistema, le resistenze aerodinamiche, ecc. Forze reali ed apparenti. D: si chiama inerzia la proprietà che ha un corpo di mantenere il suo stato di quiete o di moto se non soggetto a forze. L’inerzia si manifesta anche nella resistenza incontrata alla applicazione di una forza. La grandezza fisica che caratterizza l’inerzia è la massa. Per la meccanica razionale la classificazione più usata è quella esterne / interne ed attive / reattive. (   interne    attive   esterne    f orze  (1.1) (     interne     reattive esterne

3 5 2

Figura 1.14. I diversi tipi di forze agenti su un’auto.

1) 2-4) 3) 5)

forza attiva esterna (resistenza aerodinamica) forze reattive esterne forza attiva esterna (peso) forza reattiva esterna dovuta all’aderenza

Molle reali e ideali. • Molle reali: sono quei dispositivi che esercitano una forza di richiamo quando vengono tese o repulsiva quando vengono compresse. Ogni molla

1.4. FORZE

ha una lunghezza a riposo e può subire, in generale, sia un allungamento se sottoposta a trazione che un accorciamento se sottoposta a compressione. Ovviamente se la molla è allungata essa tende a ritornare alla configurazione di riposo e quindi esercita una forza di richiamo. L’opposto accade quando la molla è compressa. In generale la forza che una molla esercita è proporzionale alla variazione di lunghezza cioè alla differenza tra la lunghezza attuale e quella a riposo. • Molle ideali. Spesso è comodo considerare molle ideali cioé tali da: 1) 2) 3) 4)

avere lunghezza nulla a riposo; agire solo a trazione; esercitare una forza di richiamo proporzionale alla loro lunghezza; essere prive di massa e quindi non avere inerzia.

Una forza di richiamo agente su un punto P e che sia proporzionale alla distanza del punto P da un punto fisso O prende il nome di forza elastica. Una simile forza si può ottenere senza avere necessariamente una molla ideale. Ad esempio la forza di richiamo dell’estremità di un’asta metallica flessibile che sia incastrata all’altro estremo, come mostrato in figura (1.16sinistra) è una forza elastica. In un reticolo cristallino uno ione spostato dalla sua posizione di equilibrio viene attratto verso quella posizione da un’azione combinata di attrazioni e repulsioni da parte degli ioni del reticolo. Questo comporta che la forza totale di richiamo sia elastica anche per spostamenti dell’ordine di un terzo della costante reticolare (distanza tra due ioni contigui) (1.15destra). F

s ione spostato

Figura 1.15. Una forza elastica può essere causata da un dispositivo diverso da una molla ideale. (sinistra) Una lama flessibile esercita una forza elastica sull’estremo P. (destra) In un reticolo cristallino, ad esempio quello del cloruro di sodio, uno ione allontanato dalla sua posizione di riposo viene richiamato da una forza sensibilmente elastica.

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

Occorre però tener presente che i problemi tecnici esigono la considerazione di molle reali. In generale si consiglia l’uso dell’energia potenziale. Se invece si vogliono mettere in evidenza le forze, è bene seguire queste norme: 1. sostituire la molla con le due forze da essa esercitate, applicate ai due estremi e di verso opposto indicando accanto alla forza solamente il suo modulo; 2. non lasciarsi ingannare dal segno “meno” della formula f~ = −k(P−O) nella esecuzione degli esercizi. Il segno “meno” di questa formula è già espresso nel verso dato ai vettori nel disegno, ed è ovviamente errato tenerne conto una seconda volta! Seguendo scrupolosamente queste regole è impossibile sbagliare i segni. O

P O

Figura 1.16. Una molla ideale può essere sostituita da due forze opposte e proporzionali alla lunghezza della molla.

Capitolo 2

STATICA L’oggetto della statica è la ricerca delle posizioni di equilibrio di un sistema e quindi delle forze e dei vincoli che lo assicurano.

2.1

Equazioni cardinali della statica

Affinchè un sistema meccanico sia in equilibrio devono valere le due equazioni vettoriali:   ~ ~0  = 0   R+R (2.1)     M ~A + M ~0 = 0 A equivalenti alle 6 equazioni scalari  0  Ry + R0y = 0 Rz + R0z = 0    Rx + Rx = 0    0 = 0 M + M0 = 0 M + M0 = 0  MAx + MAx Ay Az Ay Az

(2.2)

Le grandezze in gioco sono: • • • •

~ risultante delle forze attive agenti sul sistema; R ~ 0 risultante delle reazioni vincolari; R ~ A momento delle forze attive; M ~ 0 momento delle reazioni vincolari M A

Le equazioni cardinali sono valide per qualunque sistema, per qualunque tipo di vincolo, per qualunque tipo di forze, per qualunque polo A. Donde il meritato attributo di equazioni cardinali della statica. Sono necessarie per l’equilibrio di un sistema, ma sono in più sufficienti solo per un corpo rigido, che ha infatti al massimo 6 gradi di libertà. 27

CAPITOLO 2. STATICA

~ M ~A Risultante e momento sono solo quelle delle forze esterne, sia attive R, 0 0 ~,M ~ . Infatti le forze ed i momenti interni si fanno equilibrio a due che reattive R A a due, per il principio d’azione e reazione, e pertanto la loro somma è nulla. Le equazioni cardinali sono sempre compatibili e indipendenti salvo il caso in cui il sistema si riduca ad un punto: in tal caso la seconda è combinazione lineare della prima. Nel caso di un sistema iperstatico, cioè con più vincoli di quelli sufficienti ad assicurare l’equilibrio quando il sistema si concepisca rigido, le equazioni cardinali non sono sufficienti a determinare le reazioni vincolari neanche se applicate ad ogni pezzo rigido in cui è decomponibile il sistema. In tal caso è necessario tenere conto della deformabilità del materiale.

2.2

Principio dei lavori virtuali

Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un sistema soggetto a vincoli lisci è che il lavoro delle forze attive per ogni spostamento virtuale non sia positivo

cioè deve verificarsi il solo verificarsi ci assicura l’equilibrio cioè privi di attrito sia interne che esterne al sistema e non solo per qualcuno infinitesimo e conforme ai vincoli sia nullo o negativo

Per definizione il lavoro virtuale è dato da def

w∗ =

N X

F~i · δPi .

(2.3)

i=1

F~i è la forza attiva che agisce sul punto Pi ; l’asterisco indica virtuale, cioè non effettivo. Il principio si esprime: w∗ ≤ 0

spostamenti virtuali generici

(2.4)

Per gli spostamenti reversibili, quindi per vincoli bilaterali, il principio diviene: w∗ = 0

spostamenti virtuali reversibili

(2.5)

Poiché in statica non esistono spostamenti reali, in quanto ci occupiamo di sistemi in equilibrio, non ha senso usare il simbolo dPi .

2.2. PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI

QUIZ: Su un piano inclinato liscio, una particella, ad esempio un dado, soggetta solo al proprio peso non puoĚ&#x20AC; stare ovviamente in equilibrio. Eppure per lo spostameno virtuale indicato in figura eĚ&#x20AC; wâ&#x2C6;&#x2014; = 0 a causa della perpendicolaritaĚ&#x20AC;. Dovremmo concludere che lâ&#x20AC;&#x2122;equilibrio câ&#x20AC;&#x2122;eĚ&#x20AC;: cosa non funziona in questa conclusione?

Î´B

Oď?łď?łď?Ľď?˛ď?śď?Ąď?şď?Šď?Żď?Žď?Ľ. Molti autori ritengono che per indicare una quantitaĚ&#x20AC; piccola o addirittura infinitesima si debba premettere alla stessa il simbolo Î´. CosÄąĚ&#x20AC; Î´W per il lavoro, Î´Q per il calore, ecc. Questo non lo ha stabilito nessuno: la matematica denota gli infinitesimi con , Îˇ, ecc. e non con Î´ , Î´Îˇ, ecc. Il simbolo Î´ davanti al punto P eĚ&#x20AC; essenziale in quanto indica la variazione di posizione del punto. Ma davanti a W non eĚ&#x20AC; necessario in quanto lâ&#x20AC;&#x2122;espressione Î´ W dovrebbe indicare la variazione del lavoro cosa che non ha senso in quanto non esiste una funzione la cui variazione esprima il lavoro compiuto. Semmai si tratta di un lavoro infinitesimo e nessun libro di matematica insegna che una quantitaĚ&#x20AC; infinitesima debba essere preceduta dal Î´ ! Basti osservare che in matematica un infinitesimo viene indicato con uno dei simboli , Îˇ, Ď&#x2030;, .... Per indicare che una quantitaĚ&#x20AC; eĚ&#x20AC; infinitesima (piccola a piacere) o semplicemente piccola eĚ&#x20AC; tradizionale usare una lettera minuscola. CosÄąĚ&#x20AC; si puoĚ&#x20AC; indicare cone W un lavoro finito e con w un lavoro piccolo o, addirittura, infinitesimo. Lâ&#x20AC;&#x2122;asterisco serve per indicare che si tratta di lavoro virtuale, non effettivo. Ricordiamo che in ottica lâ&#x20AC;&#x2122;immagine virtuale si indica con lâ&#x20AC;&#x2122;asterisco.

2.2.1 Lavoro virtuale Se qk sono coordinate (anche non libere) atte ad individuare la configurazione del sistema, il principio dei lavori virtuali per vincoli bilaterali diviene: w = â&#x2C6;&#x2014;

N X

F~i Âˇ Î´Pi =

i=1

n X

Qk Î´qk = 0.

(2.6)

k=1

Se le qk sono libere le Î´qk non sono arbitrarie1 le Î´qk sono arbitrarie e ne viene: Qk (q1 , q2 , ..., qn ) = 0

(k = 1, 2, . . . , n).

(2.7)

1 Vedremo in cinematica che per un sistema anolonomo (vedi pagina 68) le variazioni delle coordinate libere non sono arbitrarie: ne viene che lâ&#x20AC;&#x2122;espressione del lavoro virtuale che stiamo ottenendo vale per un sistema olonomo.

CAPITOLO 2. STATICA

Sono queste n equazioni nelle incognite q1 , q2 , ..., qn tante quanti i gradi di libertà. Risolte forniscono le coordinate qk della posizione di equilibrio. Per il calcolo delle Qk vedere la pagina [calcolo delle Qk ] ♣.

2.2.2

Come si calcola il lavoro virtuale

Per calcolare il lavoro virtuale di una forza F~ applicata ad un punto P si può usare sia l’espressione cartesiana w∗ = F~ · δP = F x δx p + Fy δy p + Fz δz p

(2.8)

w∗ = F~ · δP = F · |δP| cos(ϑ).

(2.9)

sia l’espressione

In linea di massima, salvo casi molto semplici, è conveniente usare l’espressione cartesiana. M C B

M δB

L L

A α

Figura 2.1.

Per calcolare il lavoro virtuale di una coppia di forze di momento M si deve considerare l’angolo di rotazione ϕ del corpo rigido a cui è applicata (supponiamo si tratti di spostamenti piani) e quindi il lavoro virtuale è dato da w∗ = M δϕ

(2.10)

essendo M il momento della coppia, positivo se concorde con l’angolo. Con riferimento alla figura 2.10 si ha w∗ = −Mδϕ + (p sin α) δs

w∗ = +M δϕ + Fδx

δs = +R δϕ

δx = δ (2 L cos ϕ) = −2 L sin ϕ δ ϕ

(2.11)

2.3. STATICA DEL PUNTO

2.2.3

Attrito

L’attrito è sempre a favore dell’equilibrio e pertanto è a sfavore del moto. Questo comporta che, salvo problemi in cui l’attrito è essenziale per l’equilibrio, esso può essere ignorato in statica. Una volta determinata la configurazione di equilibrio ignorando l’attrito, la sua eventuale presenza non fa che favorire il mantenimento dell’equilibrio.

2.3 2.3.1

Statica del punto Punto materiale libero nel piano

Posto def

Rx =

N X

Fkx

k=1

def

Ry =

N X

Fky

(2.12)

k=1

la condizione di equilibrio deve soddisfare le due equazioni R x (x, y) = 0

Ry (x, y) = 0.

(2.13)

Risolvendo il sistema delle due equazioni si trova la posizione di equilibrio (x0 , y0 ). Si può usare il principio dei lavori virtuali. Se le forze ammettono potenziale si può usare il teorema della stazionarietà del potenziale: ∂U(x, y) ∂U(x, y) (2.14) =0 = 0. ∂x ∂y

2.3.2

Punto materiale vincolato ad una linea liscia ~ giace nel piano normale alla linea. La reazione Φ Conviene far uso della prima equazione cardinale proiettata sulla terna intrinseca:

b Φ t

 Rt = 0      Rn + Φn = 0      R +Φ =0 b b

(2.15)

CAPITOLO 2. STATICA

Poiché il punto ha un solo grado di libertà la prima equazione è sufficiente a determinare la posizione di equilibrio. Le altre due servono per la determinazione della reazione. Si noti che la reazione ha come modulo q Φ = Φ2n + Φ2b . (2.16) Per trovare le componenti del versore tangente ~t basta osservare che t x = cos α

ty = sin α

n x = −sin α

ny = cos α

(2.17)

Dal momento che tan α = y0 (x)

cos α = √

1 = p 1 + (y0 )2 1 + tan2 α

y0 sin α = p 1 + (y0 )2 (2.18)

 1    ~t = p [~i + y0 ~j] si mette il segno + se y00 > 0,    02  1 + y    1    ~n = ± p [−y0~i + ~j] il segno − se y00 < 0.    02 1+y

(2.19)

~ · ~t e Rn = R ~ · ~n Per calcolare Rt e Rn nei problemi piani basta osservare che Rt = R ♣ La prima equazione Rt = 0 può essere sostituita dal principio dei lavori virtuali, oppure, se le forze attive sono conservative, con il teorema della stazionarietà del potenziale. In tal caso U deve essere espresso in funzione di una coordinata libera. Può convenire qualche volta usare le equazioni cardinali proiettate su una terna   Rx + Φx = 0    Ry + Φy = 0     R +Φ =0 z z

(2.20)

In tal caso per tener conto che la reazione è normale alla linea occorre legare fra loro le componenti della reazione. Se la linea è piana è Φ x = −y0 Φy . Se la linea è sghemba, dette x = x(λ), y = y(λ), z = z(λ) le sue equazioni parametriche, essendo: ~t = p

1 x02

y02

z02

[x0 (λ)~i + y0 (λ)~j + z0 (λ)~k]

(2.21)

2.4. STATICA DEL CORPO RIGIDO

la condizione sulla reazione diviene: ~ ·t =0 Φ

(2.22)

Φ x x0 (λ) + Φy y0 (λ) + Φz z0 (λ) = 0.

(2.23)

ovvero Esprimendo Φ x , Φy , Φz mediante le equazioni di equilibrio si ottiene la equazione pura R x x0 (λ) + Ry y0 (λ) + Rz z0 (λ) = 0. (2.24) Da questa equazione e dalle equazioni parametriche della linea si ricava il valore di λ all’equilibrio.

2.4

Statica del corpo rigido

2.4.1

Corpo rigido con asse fisso

A x

’

Figura 2.2.

Indicato con A un punto dell’asse di rotazione si possono usare le equazioni cardinali R x + HA = 0 Ry + V A = 0 MAz = 0. (2.25) Se le forze attive sono conservative la terza equazione può essere sostituita da2 dU =0 dϕ

equivalente a

dV = 0. dϕ

(2.26)

2 ♣ Alcuni autori danno più importanza al potenziale U delle forze agenti sul sistema, altri all’energia potenziale V del sistema. Per questa ragione di ogni formula che coinvolge le forze conservative forniremo le due versioni: quella con il potenziale e quella con l’energia potenziale.

CAPITOLO 2. STATICA

Stabilità dell’equilibrio. Se le forze sono conservative, l’equilibrio è stabile nella posizione di equilibrio ϕ = ϕ0 quando il potenziale U è massimo (derivata seconda negativa) ovvero quando l’energia potenziale V è minima (derivata seconda positiva):

d2 V

d2 U

equivalente a (2.27)

> 0. dϕ2

dϕ2

ϕ0

2.4.2

ϕ0

Corpo rigido con 1 grado di libertà (nel piano) y

y x

# P

Si possono usare le equazioni cardinali:   R x + R0x = 0       Ry + R0y = 0        M + M0 = 0 Qz

(2.28)

essendo Q un polo generico.

f x

Nel caso di vincoli lisci si può scegliere come polo il punto di incontro delle reazioni e scrivere l’equazione pura MCz = 0. Se le forze attive sono conservative si può usare il teorema della stazionarietà dell’energia potenziale o del potenziale. L’equilibrio è stabile se nella posizione di equilibrio l’energia potenziale è minima ovvero se il potenziale è massimo. Se i vincoli sono lisci si può usare il principio dei lavori virtuali, che conduce alla relazione: Qϕ = 0 che coincide con la MCz = 0. Se i vincoli sono scabri si aggiunge la condizione di attrito: |Φt | ≤ µ |Φn |

2.4.3

per ognuno dei vincoli scabri.

(2.29)

Corpo rigido con 2 gradi di libertà (nel piano)

Per determinare la posizione di equilibrio si possono usare le equazioni cardinali. Il polo conviene prenderlo nel punto di applicazione della reazione (ad esempio, nella figura (2.3) in A). Rx = 0

Ry + V A = 0

MAZ = 0.

(2.30)

2.4. STATICA DEL CORPO RIGIDO

Se il vincolo è liscio si può usare il principio dei lavori virtuali. Ad es. essendo x e ϕ due coordinate libere, ne viene w∗ = Q x δ x + Qϕ δ ϕ

(2.31)

e quindi Q x (x, ϕ) = 0

Qϕ (x, ϕ) = 0.

(2.32)

Se le forze attive sono conservative conviene usare la stazionarietà dell’energia potenziale: ∂V(x, ϕ) ∂V(x, ϕ) (2.33) =0 = 0. ∂x ∂ϕ

VB B

ky ϕ

ϕ ky G

G A

C y

Figura 2.3. Togliere i vincoli e sostituirli con le reazioni.

L’equilibrio è stabile se l’energia potenziale V è minima nella posizione di equilibrio. Poiché si tratta di un minimo per funzioni di due variabili, il minimo si ha per i valori (x0 , ϕ0 ) per i quali valgono contemporaneamente le due equazioni: "

∂2 V ∂x2

2.4.4

# >0 x0 ,ϕ0

 2 !2   ∂ V ∂2 V ∂2 V   > 0. −  ∂x ∂ϕ  x ,ϕ ∂x2 ∂ϕ2 0 0

(2.34)

Corpo rigido appoggiato ad un piano liscio

Il sistema ha tre gradi di libertà. Se il piano è liscio le reazioni sono perpendicolari al piano. Si possono determinare le reazioni se i punti di appoggio sono tre. Se i punti di appoggio sono più di tre, le reazioni sono indeterminate: per determinarle occorre tenere conto della deformabilità del corpo.

CAPITOLO 2. STATICA

z ΦC

ΦA

y ΦB

2.4.5

Per calcolare le reazioni vincolari si usano le equazioni   Rz + R0z = 0        Ma + Ma0 = 0 (2.35)         Mb + M 0 = 0 b

aB c

essendo a e b due rette passanti per due punti di appoggio.

Corpo rigido con asse fisso (nello spazio)

Supponiamo che l’asse fisso z sia verticale, passante per i punti A e B della figura (2.4). Le due equazioni cardinali sono  ~+Φ ~A +Φ ~B = 0  R      M ~ A + (B − A) × Φ ~ B = 0.

(2.36)

Moltiplicando scalarmente l’ultima equazione per il versore ~u e osservando che (B − A) è parallelo ad ~u si ottiene ~ A · ~u = 0 M

ovvero

MAu = 0

(2.37)

che è l’unica equazione pura.

φB

z B

φA

Figura 2.4. Il cancello è un esempio di corpo rigido con asse fisso.

Affinché le reazioni vincolari siano determinabili è necessario che vi sia ad esempio in A una cerniera a snodo e in B una cerniera scorrevole: solo cosı̀ i gradi di libertà tolti al corpo sono 5, quante sono le equazioni di equilibrio che rimangono.

2.5. STATICA DEI SISTEMI ARTICOLATI

Se i vincoli sono in numero maggiore, le reazioni non si possono determinare considerando il corpo come rigido, bensı̀ è necessario tener conto della sua deformabilità. Il problema si dirà allora iperstatico.

Per calcolare le reazioni vincolari si usano le equazioni Rz = 0

O θ

2.5 2.5.1

Mz = 0.

(2.38)

essendo a e b due rette passanti per due punti di appoggio.

Statica dei sistemi articolati Considerazioni generali

Per trovare la posizione di equilibrio, se i vincoli sono lisci è fondamentale il principio dei lavori virtuali che ha il merito di non fare intervenire le reazioni vincolari. Per ogni tipo di vincoli, lisci o scabri, unilaterali o bilateri, per ogni tipo di forze si possono usare le equazioni cardinali che devono essere applicate globalmente all’intero sistema. Ciò tuttavia non basta a fornire il numero di equazioni necessarie per la determinazione delle incognite: si devono quindi applicare anche alle singole parti del sistema cosı̀ da impedire che avvengano movimenti parziali, vale a dire movimenti di una parte del sistema rispetto all’altra. Spesso è necessario staccare una parte del sistema: si introducono cosı̀ nuove reazioni nel punto di distacco, ma si ottengono nuove equazioni di equilibrio applicando le equazioni cardinali alle singole parti staccate: queste permettono di ottenere il pareggio incognite-equazioni. È bene seguire le seguenti norme: 1. Rompere il minimo numero di vincoli dando la precedenza ai vincoli semplici (carrelli, cerniere scorrevoli, appoggi) poiché cosı̀ facendo si introduce il minimo numero di reazioni incognite. 2. Imporre l’annullarsi del momento delle forze agenti su un’asta rispetto alle cerniere attorno a cui potrebbero avvenire delle rotazioni.

CAPITOLO 2. STATICA

q A

q B A

p ks

molla ideale

ks B

Figura 2.5. Togliere il minimo numero di vincoli, sostituire le molle con le forze rispettive.

Per calcolare le reazioni a terra procedere cosı̀:

1. Rompere solo i vincoli a terra mettendo cosı̀ in evidenza le reazioni incognite.

2. Scrivere le equazioni di equilibrio per l’intera struttura e se non bastano queste tre equazioni, scrivere le equazioni di equilibrio alle rotazioni di una parte rispetto ad un’altra.

Se mancano equazioni procedere alla successiva rottura di altre cerniere (sempre il minor numero possibile): cosı̀ facendo crescono le incognite, ma in virtù del fatto che il sistema è isostatico procedendo per rotture si giungerà al pareggio. Se le forze attive, sia interne che esterne al sistema, sono conservative e se i vincoli sono lisci e bilateri, si può usare il teorema della stazionarietà del potenziale. Se le forze attive sono solo pesi e i vincoli lisci, vale il teorema di Torricelli. Se è assegnata la posizione di equilibrio e si devono trovare le reazioni vincolari si devono usare le equazioni cardinali.

2.5. STATICA DEI SISTEMI ARTICOLATI

Figura 2.6. Per sapere se esistono delle componenti orizzontali delle reazioni a terra in un arco a tre cerniere è sufficiente sostituire le cerniere con dei carrelli, osservare se il sistema si muove: in caso affermativo occorre mettere delle reazioni orizzontali.

′

q p

VA H A

R−

R R+

3 4R

Figura 2.7. Le reazioni vincolari in un arco a tre cerniere.

2.5.2

Arco a tre cerniere

Si tratta del più semplice esempio di sistema articolato.

CAPITOLO 2. STATICA C

VA M A

M B

HB B

Figura 2.8. Per trovare le reazioni a terra occorre togliere le cerniere a terra e mettere in evidenza le reazioni vincolari.

Per trovare le reazioni in A e in B, osservato che nella figura indicata non vi sono bielle3 , si considerano le componenti orizzontali e verticali. somma delle componenti orizzontali = 0 somma delle componenti verticali = 0 somma dei momenti di tutte le forze rispetto (ad es.) ad A = 0 somma dei momenti rispetto a C delle sole forze agenti su un’asta (ad es. CB) = 0 Queste quattro equazioni sono compatibili ed indipendenti e pertanto sufficienti a determinare le 4 incognite. Per calcolare le reazioni usare la regola seguente: togliere i vincoli e sostituire ad essi le reazioni.

Si chiama biella un’asta priva di peso, non caricata da forze sul suo corpo e che ha come estremi due cerniere. La caratteristica che ne consegue è che essa può essere tesa o compressa ma non inflessa. Quindi le reazioni ai suoi estremi sono opposte e allineate con l’asta.

Un’asta scarica e priva di peso incernierata alle due estremità prende il nome di biella.

2.5. STATICA DEI SISTEMI ARTICOLATI

F B

A F

NON E' BIELLA!

ΦB F ΦA LA BIEL

ΦAy

ΦAx ΜA

Figura 2.9. Le reazioni hanno le direzioni dei moti impediti.

2.5.3

Reazioni interne nelle cerniere

Figura 2.10. Togliere la cerniera, mettere in evidenza le reazioni interne, scrivere l’equilibrio dei due pezzi.

2.5.4

Azioni interne nelle aste

♣ [ATTENZIONE AI SEGNI E ALLE INTENSITA’ Cosetta dice che ai geometri si inverte ...] Si chiamano azioni interne di un’asta in un suo punto la forza ed il momento che devono essere messi nel punto dell’asta una volta tagliata per

ΦCy

ΦCx

CAPITOLO 2. STATICA

mantenere l’equilibrio dei due tronchi con le medesime reazioni vincolari esistenti prima del taglio. Esse sono:

1. l’azione assiale N

2. l’azione di taglio T

3. il momento flettente M

Per calcolare le azioni interne (dette anche sforzi interni, impropriamente giacché non si tratta di sforzi, ma di una forza e di un momento) si può procedere secondo questo schema: Si consiglia di fare la somma delle forze secondo la tangente all’asta e secondo la normale e di fare il momento rispetto al punto sezionato: cosı̀ facendo si ottengono tre equazioni in ciascuna delle quali compare una sola volta una azione interna, con grande semplicità di soluzione. Si osservi che N significa normale alla faccia della sezione e quindi diretta secondo l’asse della trave; T significa taglio rispetto alla trave e quindi tangente alla faccia della sezione. Un errore frequente sta nel verso dei momenti da applicare ai due lembi della sezione: per il principio di azione e reazione devono essere uguali ed opposti.

Figura 2.11. Errore!

2.5. STATICA DEI SISTEMI ARTICOLATI

datalastruttura

sidebbono calcolare le reazioni nelle cerniere

A B

calcolare prima lereazioni esterne

VA HA

perdeterminare lereazioni scriv ereleequazioni cardinali e itreequilibri alle rotazioni VD HD

poiaprire l’anello chiuso.

VC HC

C B

Figura 2.12. Il processo per calcolare le reazioni interne.

Se vengono indicati cosı̀ non sono opposti, come si vede esaminando il senso della rotazione che è lo stesso per entrambi.

2.5.5 Diagramma delle azioni interne Si chiama diagramma di una azione interna (N, T, M) un diagramma che indichi in ogni punto di un’asta l’intensità di una sollecitazione con il rispettivo segno.

CAPITOLO 2. STATICA

Si riportano dei segmenti perpendicolari all’asta proporzionali (in una opportuna scala) alla intensità dell’azione. Esempio: per determinare le azioni interne e disegnare il loro diagramma nell’arco a tre cerniere seguente: si devono prima calcolare le reazioni vincolari

P A

B Diagrammaazione ditaglio VA HA

P B

C Diagrammaazione assiale VC HC

M C

Diagrammamomento flettente

Figura 2.13. I tre diagrammi delle azioni interne.

Il diagramma della N e della T subisce una brusca variazione dove vi sono forze concentrate che hanno componente rispettivamente lungo la tangente e lungo la normale. Il diagramma del momento flettente M ha discontinuità dove incontra un momento concentrato. I momenti flettenti si annullano nelle cerniere, le azioni di taglio si annullano nei pattini, le azioni assiali si annullano nei manicotti.

2.6

Statica dei fili Definizione: Si chiama filo un corpo continuo che ha una dimensione prevalente sulle altre due e che non ha rigidezza flessionale (ovvero

2.6. STATICA DEI FILI

che non resiste alla flessione). Definizione: Si chiama asta o verga un corpo continuo che ha una dimensione prevalente sulle altre due e che ha una rigidezza flessionale (ovvero manifesta una resistenza alla flessione).

2.6.1

Sollecitazione continua dei fili

Si parla di sollecitazione discreta quando le forze agenti sul filo sono concentrate in un numero finito di punti, di sollecitazione continua quando esse sono distribuite con continuità. In questo secondo caso su ogni elemento infinitesimo di lunghezza ds agisce una forza infinitesima d f~ proporzionale a ds: ~ d f~ = F(s) ds

(2.39)

Per risolvere un problema sui fili è bene operare cosı̀: 1. definire un senso di percorso in cui si misura l’arco s; 2. disegnare la tangente ~t nel senso delgli archi crescenti; 3. disegnare la normale ~n verso la concavità; 4. disegnare la forza per unità di lunghezza del filo, F~ con il suo senso; 5. finalmente impostare le equazioni.

equazioni indefinite di equilibrio

  ~    ~ + dT (s) = 0  F(s)  ds     T~ (s) = T (s) ~t(s)

condizioni al contorno

      

  ~ ~    T (0) + fA = 0     −T~ (l) + f~B = 0 ~ ¡ T(0) A

T~(l) B P

Figura 2.14. dida

~ = forza per unità di lunghezza F(s) T~ (s) = tensione del filo

CAPITOLO 2. STATICA P A P T T Figura 2.15. dida

Componenti cartesiane

 d    Fx + Tx = 0    ds          d  Fy + Ty = 0    ds          d    Tz = 0  Fz + ds

(2.40)

 d    Ft (s) + T (s) = 0    ds        T (s)   Fn (s) + r(s) = 0            F (s) = 0 b

(2.41)

Componenti intrinseche

Casi particolari di sollecitazioni discrete: Casi particolari di sollecitazioni continue:

2.6. STATICA DEI FILI

Lamina liquida

tir anti

catenar ia

p fi

parabol a

x p

Figura 2.16. (destra) Filo omogeneo soggetto al solo proprio peso (catenaria); (centro) Filo che porta un peso uniforme ripartito sulla orizzontale (ponte sospeso); (sinistra) Filo teso da forze normali al contorno di modulo costante (caso della tensione superficiale).

x h y = α Ch ; α = α p

(2.42)

p = peso per unità di lunghezza del filo h = componente orizzontale della tensione (costante) x2 h y= + b; α = (2.43) 2α p p = peso per unità di lunghezza del ponte h = componente orizzontale della tensione (costante) R = costante T = costante

2.6.2

Osservazione sui fili

I fili privi di peso proprio mantengono inalterato (in statica) il valore della tensione tra il punto di applicazione di una forza e quello della successiva, anche se si avvolgono su carrucole e su superfici liscie. Si può quindi tagliare il filo e sostituire la tensione da esso esercitata considerando poi l’equilibrio dei due pezzi in cui si è diviso il sistema. Questa rottura non è necessaria con l’uso del principio dei lavori virtuali e del potenziale. Nel caso di anellini mobili sul filo, sempre prescindendo dall’attrito, la tensione si trasmette immutata da una parte all’altra dell’anellino. La posizione di equilibrio è quella in cui la linea d’azione della risultante è bisettrice dell’angolo formato dai due rami del filo. Nel piano un filo descritto dall’equazione y = f (x) con a ≤ x ≤ b, la lunghezza del filo è data dalla formula: l=

Z a

q 1 + y02 dx.

(2.44)

CAPITOLO 2. STATICA τ

Figura 2.17. dida

2.6.3

Statica dei fili appoggiati su superficie liscia

Figura 2.18. Equazioni intrinseche di equilibrio (sconsigliate in generale le componenti cartesiane)

 d    Ft (s) + T (s) = 0    ds        T (s)   Fn (s) + Φn (s) + r(s) = 0            F (s) + Φ (s) = 0 b b Φ è la reazione per unità di lunghezza ed è normale al vincolo. q Φ = Φ2n + Φ2b

(2.45)

(2.46)

Un filo, in assenza di forze di massa, (ad es. senza peso), per effetto delle forze applicate agli estremi ha tensione costante e si atteggia secondo la linea più breve congiungente i due punti A e B sulla superficie. Tale linea si chiama geodetica. Essa gode anche della proprietà di avere la sua normale principale, in ogni punto, diretta come la normale alla superficie.

2.7. DETERMINAZIONE DEL BARICENTRO

ϑ T+

T-

T+

Figura 2.19.

2.7

Determinazione del baricentro

Il baricentro di un sistema è il centro delle forze peso delle particelle che compongono il sistema stesso. Per un sistema discreto di masse è

N X k

~G = R

mk ~rk

ovvero

N X k

Per un sistema continuo:

     xG =               yG =              zG =     

PN 1 k mk xk P mk PN 1 k m k yk P mk PN 1 k m k zk P mk

(2.47)

CAPITOLO 2. STATICA

ρ ~r dC

~rG = ZC

ovvero ρ dC

          xG =                    yG =                      zG =       

ρ x dC

Z Z

ρ y dC

ZC Z

ρ dC

(2.48) ρ dC

ρ z dC

ρ dC

avendo indicato con dC l’elemento di campo e con ρ la densità (lineare, superficie o di volume rispettivamente se dC è un elemento di linea, di superficie o di volume). Se un corpo omogeneo ha un asse di simmetria o un piano di simmetria il baricentro giace su di esso. Per le linee materiali piane omogenee si può usare il I teorema di Pappo Guldino: Facendo notare una linea piana attorno ad un asse che non la intersechi, l’area della superficie di rotazione cosı̀ ottenuta è eguale alla lunghezza della linea per la circonferenza descritta dal baricentro: Per le lamine omogenee si può usare il II teorema di Pappo Guldino: Facendo ruotare una lamina omogenea attorno ad un asse che non attraversa la lamina, il volume del solido di rotazione è eguale all’area della lamina per la circonferenza descritta dal baricentro: Per calcolare il baricentro di una figura con buchi o comunque ottenuta per sottrazione di due aree si può usare la forma additiva dei baricentri computando la parte di area mancante come una massa negativa (naturalmente è solo un trucco di calcolo).

Figura 2.20. dida

2.8. CALCOLO DEI MOMENTI D’INERZIA

Se un corpo è decomponibile in parti di forma semplice il suo baricentro si può ottenere trovando i baricentri delle singole parti in cui è decomponibile, sostituendo in tali baricentri delle masse concentrate uguali a quelle delle singole parti e quindi trovando il baricentro di questo sistema discreto di masse. Esempio: lamina piana omogenea a forma di L.

Figura 2.21. Calcolo del baricentro per composizione.

2.8

Calcolo dei momenti d’inerzia particella Ir = m r2

sistema discreto N X 2 Ir = k m k rk 1

sistema continuo Z Ir = ρ r2 dC C

a) Assi paralleli b) Assi concorrenti Dato un corpo consideriamo un suo punto Q generico. Considerate le infinite rette uscenti da Q la relazione tra i momenti di inerzia del corpo rispetto a ciascuna di queste rette è espressa dalla formula: Ir = I x cos2 α + Iy cos2 (β) + 2I xy cos α cos( β)

(2.49)

Per ogni punto di un corpo rigido piano esistono sempre due rette rispetto alle quali i prodotti di inerzia sono nulli e conseguentemente i momenti di inerzia sono stazionari: queste due rette sono sempre ortogonali fra loro e prendono il nome di assi principali di inerzia del corpo relativi al punto considerato. √Se su ogni retta uscente dal punto Q si riporta un segmento di lunghezza QP = 1/ Ir il luogo dei punti P è un ellisse d’inerzia. Gli assi dell’ellisse sono assi principali di inerzia. Lamine piane.

CAPITOLO 2. STATICA

1 1 3

ma 2

ml2

12 m,l

G G

1 3

m(a2+b 2) 12 1 1 ma2 + mb 2 12 3

astaomogenea

m(a2+b 2) laminarettangolare omogenea

discoomogeneo

mR 2

mR 2 +

1 mh 12

G 1

m mR 2

mR 2

cilindro omogeneo mR 2

mR 2

2 circinferenza omogenea m sferaomogenea

G mR 2 m

mR 2

2 cono omogenea R

triangolo rettangolo omogeneo

b 1 6

m(a 2 +b 2 )

1 1

mb 2

ma 2

Figura 2.22. Momenti dâ&#x20AC;&#x2122;inerzia di uso frequente.

3 10

mR 2

2.8. CALCOLO DEI MOMENTI D’INERZIA

`C y `C x

`C x `C y

a) caso in cui sulle cerniere non agiscano forze concentrate. Sopprimere le cerniere mettendo in evidenza le reazioni su entrambi gli estremi delle aste. Per il principio di azione e reazione esse sono uguali ed opposte. Si impone quindi l’equilibrio di ciascuna asta. b) caso in cui sulle cerniere agiscano forze concentrate. In questo caso le reazioni sono indeterminate. Se interessa fare una sezione questa deve essere fatta in prossimità della cerniera. In tal caso il momento flettente è trascurabile e le rimanenti azioni interne possono ritenersi applicate direttamente sulla cerniera. Nonostante esse si possano applicare alla cerniera queste non sono le azioni interne nella cerniera ma sono le azioni interne in un punto infinitamente vicino. (Isolare la cerniera mettendo in evidenza le forze che l’asta di sinistra e quella di destra esercitano)

QUIZ: la risultante ed il momento delle forze esterne sono nulle: quindi il sistema è in equilibrio

δB

B p

CAPITOLO 2. STATICA

O θ0

L P

y P 2

1. Trovare la posizione di equilibrio (se necessario). x

θ0

3. Disegnare le reazioni trovate con il loro senso e il loro modulo.

s y P 2

2. Trovare le reazioni vincolari.

L-s

P 2

θ0 s

N M T M N

T y

P L-s L

P 2

4. Tagliare l’asta nel punto richiesto e mettere in evidenza le componenti T e N della forza ed il momento flettente M su entrambi i lembi della sezione. x 5. Distribuire il peso proprio nei due tronchi concentrandoli poi, per comodità, nei baricentri dei due pezzi in cui è divisa l’asta. 6. Equilibrare uno qualunque dei due tronchi, scrivendo che è nulla la somma delle forze e dei momenti agenti sul tronco.

M N T

G L R

superficie laterale S = 2πrL

2.8. CALCOLO DEI MOMENTI D’INERZIA

R r

volume solido rotazione: V = (2 π r)A

R r

x xG =

2 (ρπR2 ) · 0 + (−ρπr2 )d = 2r 2 2 2 ρπR + (−ρπr ) R −r

Per calcolare il momento di inerzia rispetto ad un asse parallelo ad un asse baricentrico di cui si conosca il momento di inerzia vale la formula: Ir = Iā + md2 Applicando due volte questa formula si passa da un asse generico ad un altro parallelo.

Se x e y sono due assi ortogonali che giacciono nel piano della lamina e z è ortogonale ad essi, vale la relazione Iz = I x + Iy y

CAPITOLO 2. STATICA

Capitolo 3

CINEMATICA La cinematica è quella parte della meccanica che si occupa della descrizione del movimento indipendentemente dalle cause che lo determinano. E’ stata definita come la geometria del movimento o anche come la geometria dello spazio-tempo. Quando ci si reca ad una riunione, ad una festa in una casa di qualcuno è buona norma che ci vengano presentate le persone. Analogamente quando ci si accinge a studiare un campo della scienza è buona norma presentare i personaggi di cui si farà uso. Nel bellissimo libro di fisica sperimentale di Pohl è scritto: In fisica nascono molte difficoltà non necessarie a causa dell’insufficiente definizione delle parole usate [51, v.I, p.23]. Cominciamo con l’elencare le grandezze cinematiche più comuni istante di tempo intervallo di tempo vettore raggio velocità di un punto velocità areale in un moto piano periodo di una oscillazione frequenza di una oscillazione pulsazione di una oscillazione accelerazione di un punto velocità angolare di un corpo rigido accelerazione angolare di un corpo rigido

t τ, T ~r ~v = d~r/ dt A = dA/ dt T f = 1/T ω = 2π/T = 2π f ~a = d~v/ dt ~ ω ~ α

Queste variabili saranno definite via via che ne avremo bisogno.

3.0.1

Il tempo: istanti ed intervalli

La variabile di base della cinematica è il tempo. Di esso si distinguono due enti temporali: l’istante e l’intervallo. L’estensione dell’intervallo si chiama durata 57

CAPITOLO 3. CINEMATICA

o periodo. L’istante può essere interpretato come coordinata temporale in quanto individua un evento rispetto ad un istante scelto come origine dei tempi. Si può riguardare l’istante come una quarta coordinata e considerare la quaterna t, x, y, z come coordinate di un punto dello spazio-tempo1 . I punti dello spazio-tempo si chiamano eventi. E’ importante osservare che parlare genericamente di tempo e non distinguere tra i due enti istanti ed intervalli porta a omettere distinzioni essenziali. Ad esempio lo spostamento è, per sua definizione, associato ad un intervallo di tempo mentre la posizione è associata ad un istante.

3.0.2

Moto

Uno dei concetti cinematici più importanti è quello di moto che qualcuno definisce come una successione di istanti di quiete. Viene a proposito il paradosso di Zenone. Questi avanza degli argomenti contro il movimento. Sentiamo quello della freccia. La freccia, che appare in movimento, in realtà è immobile: difatti la freccia non può occupare che uno spazio pari alla sua lunghezza ed è immobile rispetto a questo spazio; e poiché il tempo è fatto di istanti, per tutto il tempo la freccia sarà immobile. [34, v.I,p.39] Gli errori contenuti in questa analisi sono conseguenza di una mancata definizione della nozione di immobile e quindi della mancata distinzione tra istanti ed intervalli. Per sapere se un corpo è immobile occorre lasciar decorrere un intervallo di tempo, ancorché piccolo: un corpo è fermo in un intervallo di tempo se mantiene la stessa posizione durante l’intervallo. L’istante è concepito come il punto della geometria, non è dotato di estensione. Dire che un corpo è fermo in un istante non ha senso. Zenone dice ...e poiché il tempo è fatto di istanti: è vero semmai il contrario, e cioé che il tempo è fatto di intervalli, come ha rilevato Aristotele [34, v.I, p.40]. Se la freccia fosse immobile in ogni sotto-intervallo è chiaro che essa sarebbe immobile nell’intero intervallo. Ma poiché si suppone che la freccia sia in moto essa risulta in moto in qualsivoglia sotto-intervallo. Il paradosso di Zenone si rivela quindi... una fregnaccia!

3.0.3

Moto uniforme

Uno dei concetti fondamentali della cinematica è quello di moto uniforme. Esso viene definito come il moto di un punto che percorre spazi uguali in tempi uguali. 1 L’ordine può essere t, x, y, z oppure x, y, z, t. Si consiglia la prima quaterna in quanto, nella trattazione dello spazio-tempo dà luogo a formule più semplici che evitano l’unità immaginaria, assolutamente inopportuna in questo contesto

3.1. CINEMATICA DEL PUNTO

Già: in tempi uguali. Ma questo presuppone la misura dei tempi ovvero l’uso di un orologio. E l’orologio campione procede di moto uniforme? Si vede che il giudizio sulla uniformità di un moto ricade nell’assunzione che vi sia un orologio che proceda ... con moto uniforme! Il procedimento operativo è molto più sperimentale. Si considera un certo numero di orologi candidati a diventare l’orologio campione. Si dispongono tutti con le lancette sullo zero (con una tolleranza prestabilita) quindi si fanno partire tutti contemporaneamente. Dopo qualche ora o giorno o mese o anno, dipende dalla precisione che si vuole ottenere, si confrontano allo stesso istante. Alcuni sono rimasti più indietro rispetto alla media, altri sono andati molto avanti. Si scartano quegli orologi che si discostano molto dalla media: i rimanenti costituiscono i campioni che considereremo come dotati di moto uniforme [51, v.1, p.5].

3.1

Cinematica del punto

3.1.1

Velocità e accelerazione

Su molti libri di fisica e di meccanica la velocità è definita come la derivata dello spostamento. Questa definizione è equivoca e può condurre ad errori notevoli. Intanto osserviamo che la posizione di un punto rispetto ad un sistema di riferimento è determinata dal raggio vettore ~r(t). D. Si chiama spostamento di un punto, relativamente ad un intervallo di tempo τ, il vettore ~s che congiunge la posizione iniziale con quella finale del punto nell’intervallo considerato. E’ evidente che lo spostamento ~s(τ) non è relativo ad un istante ma ad un intervallo di tempo e quindi non si può farne la derivata. Per cui si ha la definizione di velocità D. Si chiama velocità di un punto ad un istante t il limite del rapporto tra il vettore spostamento ~s subı̀to in un intervallo τ contenente l’istante t e la durata dell’intervallo τ: def

~s τ−→0 τ

~v = lim

(3.1)

Dal momento che lo spostamento è l’incremento del vettore raggio, ovvero ~s = ∆~r ne viene che ~v = lim

∆t−→0

∆~r d~r = ∆t dt

(3.2)

Quindi la velocità è uguale alla derivata del vettore raggio (non dello spostamento!).

CAPITOLO 3. CINEMATICA

O. Una ragione della confusione che spesso viene fatta tra la derivata del vettore raggio e la derivata dello spostamento sta nel fatto che qualora il punto sia passato in qualche istante precedente per l’origine del sistema di riferimento, preso come istante iniziale quello del passaggio per l’origine, il vettore raggio può interpretarsi come lo spostamento iniziale.

Come si vede la nozione di velocità presuppone uno spostamento e quindi un intervallo di tempo. Infatti nessuna misura di velocità può essere fatta senza lasciar trascorrere un benché minimo intervallo temporale. Si pensi alla misura della velocità fatta con due fotocellule poste ad una certa distanza o con due fotogrammi. Questo indica che la nozione di velocità è riferita, per principio, ad un intervallo di tempo. Il fatto è che noi siamo abituati ad usare la velocità istantanea, valutata facendo il limite della velocità media quando l’estensione dell’intervallo tende a zero. Cosı̀ facendo la velocità istantanea risulta funzione dell’istante. Senonché noi non misureremo mai una velocità istantanea ma sempre e solo una velocità media su un intervallo molto piccolo ma mai infinitamente piccolo. Quindi si può dire che la velocità, come nozione, è associata ad un intervallo, quello usato per misurarla, mentre la velocità istantanea è, per sua definizione, funzione dell’istante.

3.1.2

Sistema di coordinate e base fisica D. Un sistema di coordinate è una corrispondenza tra i punti di una regione di spazio e le terne di numeri reali tale che la corrispondenza sia biunivoca e bicontinua.

Per fare un esempio, nel sistema di coordinate polari la coordinata angolare dell’origine ha un valore indefinito e quindi cade la corrispondenza biunivoca punto-coordinate. Questo porta con sé che molte espressioni matematiche usate nelle coordinate polari (ad esempio la divergenza di un vettore) abbia una singolarità per ρ = 0. Il sistema di coordinate cartesiane è privilegiato, rispetto a tutti gli altri sistemi di coordinate, per diverse ragioni. La prima ragione è che le coordinate sono delle lunghezze di segmenti; una seconda ragione è che le le linee coordinate sono rette; una terza ragione è che i vettori della base fisica, i tradizionali versori ~i, ~j, ~k, sono uniformi nello spazio, vale a dire si trasportano da un punto ad un altro per traslazione2 . 2 Il termine uniforme si deve usare per indicare l’invarianza per traslazione nello spazio, mentre il termine costante si deve usare per indicare l’invarianza nel tempo.

3.1. CINEMATICA DEL PUNTO

D. Si chiama base fisica di un sistema di coordinate in un punto l’insieme dei vettori di lunghezza unitaria (=versori) tangenti alle linee coordinate nel punto e con il verso delle coordinate crescenti.

linea ϑ P raggio vettore ρ

ϑ O polo

anomalia asse polare a

linea ρ

Figura 3.1. Coordinate polari

Il sistema di coordinate polari, che è il più usato dopo quello cartesiano, ha le linee coordinate ove varia solo l’angolo θ che sono circonferenze e la coordinata θ non è la lunghezza di un arco di circonferenza. Ne viene che i vettori della base fisica, denotati con ~eρ , ~eθ , pur avendo modulo unitario, variano da un punto ad un altro. Questo comporta che la differenza tra uno stesso vettore base, ad esempio ~eρ , relativa a due punti non è nulla, come invece accade nel riferimento cartesiano.

CAPITOLO 3. CINEMATICA

3.1.3

Componenti della velocità e della accelerazione

coordinate cartesiane

coordinate polari

~r(t) = x(t)~i + y(t) ~j + z(t) ~k   v x (t) = ẋ(t)        vy (t) = ẏ(t) ~v         vz (t) = ż(t)   a x (t) = ẍ(t)        ay (t) = ÿ(t) ~a         az (t) = z̈(t)

~r(t) = ρ(t) ~eρ     vρ (t) = ρ̇(t) ~v    vϑ (t) = ρ(t) ϑ̇(t) .     aϑ (t) = 2 ρ̇(t) ϑ̇(t) + ρ(t) ϑ̈(t) ~a    aρ (t) = ρ̈(t) − ρ(t) ϑ̇2 (t)

ds2 = dx2 + dy2 + dz2 !2 ds 2 = ẋ2 + ẏ2 + ż2 v = dt

ds2 = dρ2 + ρ2 dϑ2 !2 ds 2 v = = ρ̇2 + ρ2 ϑ̇2 dt (3.3)

v vϑ

ρ O

aϑ

vρ

O direttrice

aρ ϑ direttrice

Figura 3.2. dida ...

Le componenti vρ , vϑ , aρ , aϑ sono le proiezioni dei vettori ~v e ~a rispettivamente sulle tangenti alle linee coordinate ρ = costante, ϑ = costante. Invece di un sistema di coordinate si può far uso della terna intrinseca. Questa è molto comoda quando si conosca la traettoria del punto, in particolare, denotando con s la lunghezza dell’arco di traettoria tra un punto di riferimento ed il punto attuale, quando si consoscano le equazioni parametriche della traettoria

3.1. CINEMATICA DEL PUNTO

x(t), y(t), z(t) si ricava ~v = ṡ ~t

~a = s̈ ~t +

ṡ2 ~n. r

(3.4)

La velocità di un punto è tangente alla traiettoria; mentre l’accelerazione giace nel piano osculatore.

3.1.4

Come orientare la normale ad una curva piana

Assegnata una curva piana, fissato un verso di percorso, il versore tangente ~t alla curva in un suo punto generico ha il verso concorde al verso fissato sulla curva. Per il versore normale ~n ci sono due scuole di ... pensiero. La maggior parte degli autori orienta il versore normale verso il centro del cerchio osculatore ovvero dalla parte della concavità. Cosı̀ facendo, qualora la curva abbia un tratto rettilineo il vettore normale in quel tratto non si sa come orientarlo. Se la curva ha un flesso, come capita per una sinusoidale, a cavallo del punto di flesso la normale salta improvvisamente da una parte all’altra della curva, il che non è consigliabile. R = +7

pun to di flesso

R = -7

R = +6

Figura 3.3. Le due opposte convenzioni sul segno della normale ad una curva piana. a) la normale dalla parte della concavità; b) la normale sempre da una stessa parte.

La seconda scuola di pensiero mette la normale sempre dalla stessa parte della curva, evitando cosı̀ le discontinuità. Questo secondo modo ha l’apparente difetto di comportare raggi di curvatura negativi quando la normale non è volta verso la concavità. Ma questo non è un problema: nello studio delle superfici si usano le curvature con segno e quindi un raggio di curvatura negativo può benissimo essere accettato per una curva piana.

3.1.5

Alcune grandezze in coordinate polari ∂~eρ =0; ∂ρ

∂~eρ = ~eθ ; ∂θ

∂~eθ =0; ∂ρ

∂~eθ = −~eρ ∂θ

(3.5)

CAPITOLO 3. CINEMATICA d~eρ ∂~eρ ∂~eρ d~eθ ∂~eθ ∂~eθ = ρ̇ + θ̇ = θ̇ ~eθ = ρ̇ + θ̇ = −θ̇ ~eρ dt ∂ρ ∂θ dt ∂ρ ∂θ

~r = ρ ~eρ

d~eρ

= ρ̇ ~eρ + ρ θ̇ ~eθ

~v = ρ̇ ~eρ + ρ dt

d~eρ d~v d~eθ

~a = dt = ρ̈~eρ + ρ̇ dt + (ρ̇ θ̇ + ρθ̈)~eθ + ρθ̇ dt

= ρ̈~eρ + ρ̇θ̇~eθ + (ρ̇ θ̇ + ρθ̈)~eθ − ρθ̇2~eρ

= (ρ̈ − ρθ̇2 )~eρ + (2ρ̇θ̇ + ρθ̈)~eθ def

A =

3.1.6

1 2

(P − S ) × ~v

= 1 ρ2 θ̇ 2

(3.6)

(3.7)

velocità areale.

(3.8)

Moto centrale

E’ il moto di un punto che ha sempre l’accelerazione diretta verso un punto fisso detto centro. Il moto è piano e la velocità areale è costante. Essa è data da  1 2   in coordinate polari   2 ρ ϑ̇  4 dA(t) (3.9) A = =    dt   1 (xẏ − ẋy) in coordinate cartesiane 2 Lo studio di un moto centrale è facilitato dalla sostituzione formula di Binet aρ (θ) = d2 η2 [η(ϑ) + η(ϑ)] legge di Newton

Fρ (ρ)

G M m η2

equazione conica

η(θ)

1 e + cos(ϑ) p p

p F

θ F

1 ρ

Fθ = 0

p F=F

2a 2c

= η. Cosı̀

c a

Figura 3.4. Coniche [MANCA LA PARABOLA] ♣

3.2. CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO a b c e p d

= = = = = =

e>1 e=1 e<1 e=0

3.2 3.2.1

semiasse maggiore semiasse minore semidistanza focale eccentricità della conica = c/a ordinata nel fuoco = b2 /a 2Ȧ = = = =

iperbole parabola ellisse circonferenza

Cinematica del corpo rigido Atto di moto rototraslatorio D: Si dice atto di moto di un sistema ad un dato istante, l’insieme delle velocità dei punti del sistema a quell’istante.

Per un corpo rigido la sola conoscenza della velocità di un suo punto generico A (o di un punto solidale con esso) e della sua velocità angolare è sufficiente a determinare la velocità di ogni altro punto B del corpo (o solidale con esso) al medesimo istante secondo la formula: ~vB = ~vA + ω ~ × (B − A)

(3.10)

B e A sono due punti del corpo rigido o solidali con esso. ~vA , ~vB sono le velocità dei punti A e B. ~ è il vettore velocità angolare del corpo rigido. ω Questa formula vale solo per un atto di moto rototraslatorio che è tipico, ma non esclusivo, del corpo rigido: anche un corpo deformabile (ad esempio una gomma per cancellare) può avere uno spostamento rototraslatorio. Da questa formula si trae il fatto importante che le proiezioni delle velocità dei due punti generici A e B sulla retta che li congiunge sono equali.

Figura 3.5. FARE UNA FIGURA

CAPITOLO 3. CINEMATICA VB ~

(

~VA

~vB · ~u = ~vA · ~u ω × [B − A] · ~u ≡ 0

B u A

ω1

~ VA ω1 x (A -O) A B

ω2

ω1 x (B -A)

A e B sono due punti di uno stesso corpo rigido, ω2 è la velocità angolare del medesimo corpo rigido. ~vA = ~vB + ω2 × (B − A)

~ VA B

3.2.2

~ VB

Centro di istantanea rotazione D: Si dice moto piano il moto in cui le velocità di tutti i punti di un sistema sono in ogni istante paralleli ad un piano fisso detto piano direttore. D: Il centro di istantanea rotazione in un moto rigido piano è quel punto del piano direttore rispetto al quale l’atto di moto è rotatorio.

Il centro di istantanea rotazione, se pensato come solidale con il corpo rigido, ha velocità nulla nell’istante considerato, ma non ha in genere accelerazione nulla. Indicato con C potremo scrivere ~vC = 0, ~aC , 0.

(3.11)

Il centro di istantanea rotazione si può trovare analiticamente scegliendolo come polo C: ~vP = ω ~ · (P − C); ~vC = 0. (3.12)

3.2. CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO

y C yC (t) t) xC (

x `(t)

a(t) P YC (t) b(t)

~ j ~i

X C (t)

Dette a(t) e b(t) le coordinate di un generico punto P solidale con il corpo rigido preso come origine del riferimento mobile si ha:

~i ~j

~ ~

ȧ(t)i+ḃ(t) j =

0 0 ϕ̇(t)

a(t) − XC (t) b(t) − YC (t) 0

da cui sviluppando ed eguagliando i coefficienti si ottiene:  ḃ(t)       XC (t) = a(t) − ϕ̇(t)   ȧ(t)     YC (t) = b(t) + ϕ̇(t)

Figura 3.6. Base e rulletta di un’asta che scorre con i due estremi su due guide ortogonali. La circonferenza grande è la base mentre le circonferenze piccole sono le rullette.

L’equazione della polare fissa (o base) si ottiene eliminando t dalle due equazioni. Spesso nelle equazioni non compare esplicitamente t ma solo ϕ : basta allora eliminare ϕ dalle due equazioni per ottenere la polare fissa. Le coordinate

CAPITOLO 3. CINEMATICA

del centro relative al riferimento mobile P(x, y) sono   xC (t) = +(XC − a) cos(ϕ) + (YC − b) sin ϕ;        y (t) = − (X − a) sin ϕ + (Y − b) cos(ϕ) C C C

(3.13)

da cui eliminando t si ottiene l’equazione della polare mobile (o rulletta).

3.3

Vincoli anolonomi

Un esempio classico è quello di un disco che rotola senza strisciare su un piano (ad esempio una moneta sul tavolo): la posizione del disco (che supponiamo si mantenga sempre perpendicolare al piano di rotolamento) è individuata da quattro coordinate generalizzate (x, y, ϑ, ϕ in figura (3.3)). Ma il vincolo di rotolamento impone un legame tra le variazioni delle coordinate, precisamente (

p R dϕ = dx2 + dy2 rotolamento senza trascinamento dy = tgϑ dx moto trasversale impedito

(3.14)

Solo quando si precisa la traiettoria seguita dal disco, cioé si assegna la linea y = y(x), la relazione tra le variazioni (vincolo di mobilità) si traduce in una relazione tra le coordinate generalizzate: y(x) =

Z 0

1 R

q 1 + y0 (x)2 dx

ϑ(x) = artg( y0 (x))

(3.15)

Poiché in un problema di dinamica la traiettoria non è nota a priori ne viene che tra le coordinate generalizzate rimane un legame espresso da equazioni differenziali di cui si deve tener conto nella risoluzione del problema del moto.

rotazione (concessa) y

’

R d’

dy dx x

Figura 3.7. [anolonomo] dida

3.3. VINCOLI ANOLONOMI

16 14 12 10 8 6 4 2 0

Figura 3.8. [biellaManovella] Nel meccanismo biella-manovella, se la biella eĚ&#x20AC; corta il suo estremo non descrive un moto armonico.

16 14 12 10 8 6 4 2 0

Figura 3.9. [biellaManovella2] Nel meccanismo biella-manovella, se la biella eĚ&#x20AC; lunga il suo estremo descrive un moto molto prossimo a quello armonico.

CAPITOLO 3. CINEMATICA

Figura 3.10. [scodella] La posizione di equilibrio di unâ&#x20AC;&#x2122;asta mobile entro un circonferenza: un cucchiaio nella scodella.

Capitolo 4

Dinamica 4.0.1

Equazioni cardinali della dinamica

  ~  dP   ~+R ~0  =R    dt     d~LA   ~=M ~A + M ~0  + ~vA × P  A dt

sono due equazioni vettoriali pari a sei equazioni scalari

(4.1)

Sono valide per qualunque sistema di forze, per qualunque tipo di vincolo, per qualunque polo A fisso o mobile mobile. ~ P ~ R ~0 R ~LA ~vA ~A M ~0 M

= = = = = = =

quantità di moto totale risultante delle forze attive esterne risultante delle forze reattive esterne momento della quantità di moto rispetto ad A velocità del punto A momento delle forze attive esterne rispetto ad A momento delle forze reattive esterne rispetto ad A.

Le equazioni cardinali sono necessarie, cioè devono valere durante il movimento, per il moto di qualsiasi sistema, ma sono sufficienti, cioè bastano da sole a determinare il movimento, solo per un corpo rigido, che ha infatti al massimo 6 gradi di libertà. Esse sono compatibili tra loro e indipendenti, salvo il caso in cui il sistema si riduce ad un solo punto: in questo caso le ultime tre coincidono con le prime tre. 71

CAPITOLO 4. DINAMICA Indicando con G il centro di massa, la prima equazione si può anche scrivere: ~+R ~0 m ~aG = R

(4.2)

forma particolarmente utile per il corpo rigido. Se il punto A lo si fa coincidere con il centro di massa G la seconda equazione, si può scrivere: d~LG ~G + M ~0 =M G dt

(4.3)

forma utile particolarmente nel caso di un corpo rigido.

4.0.2

Calcolo del momento angolare

Se A è un generico punto, anche mobile rispetto ad un riferimento inerziale, è per definizione: per un sistema discreto per un sistema continuo Z N X def ~ ~LA def L = (~r − ~rA ) × ρ~v dΩ (4.5) = (~ri − ~rA ) × mi~vi (4.4) A Ω

i=1

Una volta calcolato il momento delle quantità di moto rispetto ad un polo A, per calcolare rispetto ad un altro polo B si usa la formula di trasporto: ~LB = ~LA + (~rA − ~rB ) × P ~

(4.6)

Per calcolare il momento delle quantità di moto di un sistema è conveniente calcolare separatamente il momento delle quantità di moto di ciascun corpo rigido e di ciascuna particella di cui è composto il sistema e poi sommarli. Dalla definizione del momento delle quantità di moto mediante l’uso della relazione ~vk = ~vG + ω ~ × (~rk − ~rG ) (4.7) si trova l’espressione generale del momento delle quantità di moto per un corpo rigido: ~LA = (~rG − ~rA ) × P ~ + IGx ω x ~i + IGx ωy ~j + IGz ωz ~k (4.8) essendo

~ (t) = ω x (t) ~i(t) + ωy (t) ~j(t) + ωz (t) ~k(t) ω

(4.9)

cioè: il momento delle quantità di moto di un corpo rigido rispetto ad un polo generico è la somma del momento della quantità che ha l’intera massa concentrata nel baricentro e di quella relativa al baricentro.

Z vedi riferimento pag 328 cdr x i(t)

j(t)

k(t) A

Y X

G = baricentro A = punto generico ~ = quantità di moto totale P ~i, ~j, ~k = versori di una terna di assi solidali con il corpo con origine nel baricentro e diretti come gli assi principali di inerzia IGx , IGy , IGz = momenti principali di inerzia (quindi rispetto agli assi x, y, z). ω x , ωy , ωz = componenti della velocità angolare rispetto alla terna principale di inerzia.

Dalle formule precedenti si ricavano le seguenti formule particolari. moto piano.

♣

corpo rigido con asse fisso: momento rispetto all’asse

LAz = IAz ϕ̇

momento rispetto ad un asse baricentrico

LGz = IGz ϕ̇

momento rispetto ad un asse passante per il centro di istantanea rotazione C

LCz = ICz (t) ϕ̇

momento rispetto ad un asse passante per un punto generico S

~LS = ~LG + (G − S ) × P ~ ovvero h i LS z = IGz ϕ̇ + m (xG − xS ) y˙G − (yG − yS ) ẋG

Moto dello spazio. rispetto al centro di una massa G (assi generici) essendo Z Ix = ρ(y2 + z2 ) dV, ecc. V Z Iyz = − ρyz dV, ecc. V

rispetto ad un polo generico A

LG = LGx~i + LGy ~j + LGz~k

LGx

LGy

LGz

IGx IGxy IGxz

IGyx IGy IGyz

IGzx IGzy IGz

~LA = ~LG + (~rG − ~rA ) × m~vG

ω x

ωy

ωz

CAPITOLO 4. DINAMICA

QUIZ: poichè sono verticali i carichi

sono verticali le reazioni P

φB

φA

x y

Y X

Figura 4.1. Assi principali baricentrici.

4.0.3

Teorema dell’energia

In un riferimento inerziale vale il teorema dell’energia dT int est int est = Patt + Patt + Preatt + Preatt dt

(4.10)

cioè la derivata dell’energia cinetica rispetto al tempo è uguale alla potenza delle forze attive e reattive, esterne ed interne agenti sul sistema. Questa equazione vale per qualunque tipo di vincolo e per qualunque sistema di forze.

75 Se i vincoli interni ed esterni non sono dissipativi e sono fissi, il lavoro fatto dalle reazioni è nullo: int Preatt =0

est Preatt =0

vincoli non dissipativi e fissi.

(4.11)

In questo secondo caso il teorema dell’ energia diventa: dT int est = Patt + Patt dt

vincoli non dissipativi e fissi

(4.12)

che è una equazione pura. Se il sistema è un corpo rigido la potenza delle forze interne è nulla: int Patt =0 corpo rigido (4.13) per cui il teorema dell’energia si riduce a dT est = Patt dt

corpo rigido

(4.14)

Il teorema dell’energia si usa anche nella forma integrata int + W est + W int + W est ∆T = Watt reatt att reatt

(4.15)

La potenza di un sistema di forze applicate nei punti A1 , A2 , ..., AN , è data da def

P =

N X

F~i · ~vi .

(4.16)

i=1

Se il corpo su cui agiscono le forze è rigido, tenendo conto della relazione: ~vB = ~vA + ω ~ × (B − A)

(4.17)

la precedente diviene: ~ · ~vA + M ~A · ω ~ P=R

corpo rigido

(4.18)

essendo ~ R ~ B ~A M ~ ω

= = = =

risultante del sistema di forze agenti sul corpo rigido punto generico del corpo rigido momento del sistema di forze rispetto a A velocità angolare del corpo rigido.

Nel caso in cui il corpo rigido si muova di moto piano la formula precedente diviene: (4.19) P = R x ẋA + Ry ẏA + MAz ϕ̇. Per calcolare la potenza delle forze agenti su un sistema generico si sommano le potenze relative ai singoli corpi rigidi e punti materiali di cui è composto il sistema.

CAPITOLO 4. DINAMICA

4.0.4

Integrale dell’energia

Se i vincoli non sono dissipativi, se i vincoli esterni sono fissi (cosı̀ che il sistema non riceve energia tramite i vincoli) se le forze attive, sia interne che esterne, sono conservative, vale l’integrale dell’energia: T= energia cinetica del sistema V= energia potenziale del sistema E= energia totale (si determina con le condizioni iniziali) T +V = E

(4.20)

che ha il pregio di mettere in evidenza un bilancio energetico. Si osservi che 4 ponendo U = −V, denotando con U il potenziale delle forze attive, l’integrale dell’energia acquista la forma: T − U = E.

4.0.5

(4.21)

Osservazioni sul teorema e sull’integrale dell’energia

Il teorema dell’energia può sostituire vantaggiosamente una delle equazioni cardinali nel caso di un corpo rigido in quanto per un corpo rigido dalle equazioni cardinali si può dedurre il teorema dell’energia. Se invece le equazioni cardinali sono applicate ad un sistema non rigido, il teorema dell’energia può aggiungersi ad esse in quanto contenendo il lavoro delle forze interne non può essere conseguenza delle equazioni cardinali. Se un sistema, in particolare un corpo rigido o un punto materiale, ha un solo grado di libertà il teorema dell’energia è particolarmente conveniente. Questo è vero, in particolare, quando è noto il moto del sistema e si desidera trovare il valore di una forza o di un momento incogniti che mantengono il movimento. Analoghe considerazioni valgono per l’integrale dell’energia. Esso però, pur avendo una validità più ristretta perché esclude le forze dissipative e i vincoli mobili, ha il vantaggio di essere costituito da una equazione differenziale del primo ordine, e quindi risparmia una integrazione.

4.0.6

Calcolo dell’energia cinetica

L’energia cinetica di un sistema meccanico è per definizione per un sistema discreto di particelle T=

N 1 X mk v2k 2 k=1

(4.22)

per un sistema continuo Z 1 T= ρ v2 dV (4.23) 2 V

77 ~ × (Pk − B) in cui B è un Per un corpo rigido, valendo la relazione ~vk = ~vB + ω generico punto del corpo rigido oppure solidale con esso, la formula precedente diviene: T

1 ~ × (~rG − ~rB )+ m v2B + m~vB · ω 2

(4.24)

1 + (I x ω2x + Iy ω2y + Iz ω2z + 2I xy ω x ωy + 2I xz ω x ωz + 2Iyz ωy ωz ) 2 (per i simboli si veda il paragrafo precedente). Se in particolare si sceglie B coincidente con il baricentro e se per assi si scelgono quelli principali di inerzia la formula precedente diventa: T=

1 1 2 m vG + (IGx ω2x + IGy ω2y + IGz ω2z ) 2 2

(4.25)

Per calcolare l’energia cinetica di un sistema non conviene, in generale, far uso del teorema di König applicato all’intero sistema: è meglio calcolare separatamente le energie cinetiche dei singoli corpi rigidi e punti materiali che compongono il sistema e poi sommarle. Dalle formule precedenti si ottengono le seguenti formule particolari: Moto piano. T = 21 IAz ϕ̇2 corpo rigido con asse fisso corpo rigido genericamente mobile

1 2

2 + m vG

1 2 IGz

ϕ̇2

Si faccia attenzione che ICz , in generale, è una quantità variabile: dunque nelle successive derivazioni (rispetto al tempo o rispetto alle coordinate) deve essere trattata come variabile. Per calcolare l’energia cinetica di una particella conviene, in generale, usare le coordinate cartesiane x, y, z del punto in funzione delle coordinate libere, e quindi derivarle rispetto al tempo e sommarne i quadrati. In qualche semplice caso esprimendo la velocità assoluta mediante la velocità relativa e quella di trascinamento può convenire far uso della formula T=

i 1 1 h m(~vtrasc + ~vrel )2 = m v2trasc + v2rel + 2 vrel vtrasc cos(ϑ) 2 2

essendo ϑ l’angolo formato tra ~vrel e ~vtrasc . ♣ H6D Esempio.

(4.26)

CAPITOLO 4. DINAMICA

QUIZ: w∗ = +F δxB − F δxA = 0

poiché xA = −L cos(ϑ) e xB = L cos(ϑ) ne viene δxA = −δxB e quindi

w∗ = 2 F δxB = 0

donde F = 0. Dove sta l’errore?

vrel m

m S

vtrasc

α x

x XA

Figura 4.2. Dado che scivola su un piano inclinato mobile. Le coordinate libere scelte sono xA ed s.

(

x = xA + s cos α y = s sen α

(

ẋ = ẋA + ṡ cos α ẏ = ṡ sen α

i 1 1 1 h m v2 = m( ẋ2 + ẏ2 ) = m ẋ2A + ṡ2 + 2 ẋA ṡ cos α 2 2 2

Facendo uso del secondo procedimento, essendo vtrasc = ẋA , vrel = ṡ e l’angolo tra ~vrel e ~vtrasc uguale ad α ne viene direttamente l’espressione precedente.

4.0.7

Relazione simbolica della dinamica

La disequazione: N X

(F~k − mk ~ak ) · δ~rk ≤ 0

k=1

prende il nome di relazione simbolica della dinamica.

(4.27)

79 F~k mk ~ak δPk

= = = =

forza attiva agente sul punto Pk massa della particella Pk accelerazione della particella Pk spostamento virtuale.

O. Si osservi l’uso del simbolo δ: esso è obbligatorio ! Qualora si usasse il simbolod si intenderebbe con d~ri ≡ dPi lo spostamento effettivo e come tale d~ri = ~vi dt. Ciò significa che considereremmo uno spostamento particolare, quello effettivamente compiuto, nella direzione della velocità. L’essenza dell’equazione simbolica, al contrario, è quella di affermare che una quantità è positiva o nulla per qualunque spostamento virtuale non per uno specifico spostamento (quello effettivo). Inoltre se i vincoli sono mobili lo spostamento effettivo non è compreso nella famiglia degli spostamenti virtuali e la disuguaglianza risulterebbe falsa in quanto lo spostamento effettivo non risulta, in generale, ortogonale alla reazione vincolare. La relazione simbolica vale in un riferimento inerziale e se i vincoli sono lisci. Essa non è comoda per la determinazione del movimento e viene perciò usata nelle sue forme più elaborate, come ad esempio le equazioni di Lagrange o quelle di Hamilton. O. Si ponga attenzione al fatto che nell’equazione simbolica della dinamica compaiono le forze interne nonostante la somma delle forze interne sia nulla. Infatti anche se la somma delle forze è nulla ciò non comporta che anche la somma dei lavori sia nulla. Se i vincoli sono bilateri la disequazione si trasforma in equazione e quindi acquista la forma N X

(F~k − mk ~ak ) · δ~rk = 0

vincoli bilateri

(4.28)

k=1

E’ questa l’equazione simbolica della dinamica, punto di partenza per la deduzione delle equazioni di Lagrange e di Hamilton quindi della meccanica analitica.

4.0.8

Principio di d’Alembert

Premesso che la quantità −mk~ak prende il nome di forza di inerzia, allora: Principio di d’Alembert: si passa dalle equazioni della statica a quelle della dinamica aggiungendo alle forze attive le forze di inerzia.

CAPITOLO 4. DINAMICA

Cosı̀ si passa dalle equazioni cardinali della statica a quelle della dinamica:   N N   X X       ~ ~ k − mk ak = 0 ~   ( F + Φ ) = 0 F~k + Φ   k k        k=1  k=1 (4.29) →   N N   X X         ~ ~ ~ ~   ~rk × (Fk + Φk ) = 0 ~rk × Fk + Φk − mk ~ak = 0       k=1

k=1

e dal principio dei lavori virtuali alla relazione simbolica della dinamica: N X

F~k · δ~rk ≤ 0

N X

−→

(F~k − mk ak ) · δ~rk ≤ 0

(4.30)

k=1

Il principio di d’Alembert permette di ridurre l’impostazione di un problema di dinamica alla impostazione di un corrispondente problema di statica tenendo conto appunto delle forze di inerzia. Il procedimento risulta particolarmente utile quando il moto del sistema è assegnato (e quindi le forze di inerzia sono note), mentre risultano incognite le forze attive che mantengono il movimento. In questo senso il principio di d’Alembert è particolarmente usato nella meccanica applicata.

4.0.9

Equazioni di Lagrange

Se è dato il moto del sistema soggetto a vincoli olonomi, lisci e bilateri con n gradi di libertà: se q1 (t), q2 (t), . . . , qn (t) sono n coordinate libere atte ad individuare la configurazione del sistema ad un generico istante t, le equazioni pure di movimento sono date dalle equazioni di Lagrange: d ∂T ∂T − h = Qh h dt ∂q̇ ∂q

h = 1, 2, . . . , n

(4.31)

valida per vincoli olonomi, lisci, bilateri. T (q, q̇, t) è l’energia cinetica del sistema e le Qh ( q1 , q2 , ...; q̇1 q̇2 , ...t) sono le forze generalizzate date dall’espressione differenziale lineare w∗ =

n X

Qh δqh ,

(4.32)

h=1

che esprime il lavoro virtuale delle forze attive sia esterne che interne al sistema. ∂U ∂V Se le forze generalizzate Qh ammettono potenziale, cioè Qh = h = − h ∂q ∂q le equazioni di Lagrange divengono:

d ∂L ∂L − =0 dt ∂q̇h ∂qh

def

(4.33)

L = T −V funzione di Lagrange o lagrangiana

(4.34)

I pregi delle equazioni di Lagrange sono: a) di essere equazioni pure, cioè non contenere reazioni vincolari e quindi di essere adatte al calcolo del movimento; b) di essere in numero uguale al numero dei gradi di libertà e quindi sufficienti per la determinazione del movimento; c) di essere indipendenti ovvero nessuna è combinazione delle altre; d) di valere anche se i vincoli sono mobili; e) nel caso di forze conservative di far dipendere il moto del sistema dalla sola conoscenza di due quantità: l’energia cinetica ed il potenziale. I difetti sono: a) di non permettere il calcolo delle reazioni vincolari (salvo eliminare i vincoli e considerare le reazioni come forze attive); b) di valere solo per sistemi olonomi e per vincoli lisci. In linea di massima più complicato è il sistema e più vantaggioso è l’uso delle equazioni di Lagrange.

4.0.10

Punto materiale libero

Esempi: il moto dei gravi nel vuoto, nell’aria, il moto di un elettrone in un campo magnetico. Le equazioni finite di movimento sono: ( ( coordinate cartesiane coordinate polari (4.35) x = x(t) y = y(t) z = z(t) ϑ = ϑ(t) ρ = ρ(t)

                      

Si usa l’equazione fondamentale: F~ = m ~a che assume le seguenti forme:   componenti     coordinate cartesiane   coordinate polari   intrinseche         (nel piano)       F x = m ẍ(t)   F = m s̈(t) t     2   Fρ = m(ρ̈ − ρ ϑ̇ )   Fy = mÿ(t) ṡ2 (t)       F = m   n     Fϑ = m(2ρ̇ ϑ̇ + ρ ϑ̈) r(s)   Fz = mz̈(t)   F =0 b (4.36)

CAPITOLO 4. DINAMICA

δB

QUIZ: la risultante delle forze esterne è

nulla, dunque il sistema è in equilibrio. F

Una delle equazioni cartesiane o la prima delle intrinseche può essere sostituita dal teorema dell’energia ∆T = W o, nel caso di forze attive conservative, dall’integrale dell’energia T + V = E. Per ottenere le equazioni della traiettoria si può esprimere l’arco di traettoria s in funzione del tempo, quindi ricavare il tempo in funzione di s e infine sostituire la funzione t = t(s) nelle equazioni di moto. Si ottiene x = x(s)

y = y(s)

z = z(s).

La funzione s(t) si ottiene mediante la formula Z tq s(t) = s(0) + ẋ2 + ẏ2 + ż2 dt.

(4.37)

(4.38)

Le tre equazioni differenziali del secondo ordine comportano, ad integrazione avvenuta, la nascita di 6 costanti arbitrarie che possono essere determinate una volta date le condizioni iniziali (posizione e velocità iniziali).

4.0.11

Particella vincolata a una linea fissa e liscia

Esempio: il giro della morte (particella costretta a seguire una guida a forma di circonferenza). Consiglio: fare una figura chiara, possibilmente grande. Scegliere un verso positivo per gli archi, adeguare ad esso il verso di un eventuale angolo scelto come coordinata libera, disegnare il versore tangente alla linea nel verso degli archi crescenti, disegnare la normale che giace nel piano osculatore scegliendola sempre da una stessa parte percorrendo la curva e se necessario la binormale. Un disegno ben fatto evita gli errori di segno. equazioni polari:  2     Fρ + Φρ = m(ρ̈ − ρϑ̇ )     Fϑ + Φϑ = m(2ρ̇ϑ̇ + ρϑ̈)

equazioni intrinseche:  Ft = m s̈       ṡ2  F + Φ = m n n    r     F +Φ =0 b b

(4.39)

La prima equazione può essere sostituita con ∆T = W o, per le forze conservative, con T + V = E o anche da una equazione di Lagrange. Le equazioni cartesiane sono sconsigliate.

~ = m ~a F~ + Φ b φ

equazioni polari:  2     Fρ + Φρ = m(ρ̈ − ρϑ̇ )     Fϑ + Φϑ = m(2ρ̇ϑ̇ + ρϑ̈)

t pia

osc

pia

nor

ma le

equazioni intrinseche:  Ft = m s̈       ṡ2  F + Φ = m n n    r     F +Φ =0 b b

Se il vincolo è unilatero il punto abbandona il vincolo quando Φ = 0. Se la linea è piana può essere comodo usare le coordinate polari: F

'‰

P ‰

4.0.12

  Fρ + Φρ = m (ρ̈ − ρ ϑ̇2 )        F + Φ = m (2 ρ̇ ϑ̇ + ρ ϑ̈) ϑ ϑ

diretrice

Dinamica della particella su una superficie fissa e liscia

∂ϕ ~ Se indichiamo con ϕ(x, y, z) = 0 l’equazione della superficie il vettore ~v = i+ ∂x ∂ϕ ~ ∂ϕ ~z è perpendicolare alla superficie. Le equazioni cartesiane di moto j+ ∂y ∂z sono:  ∂ϕ    m ẍ = F x + λ(P)    ∂x      ∂ϕ  (4.40) mÿ = Fy + λ(P)    ∂y      ∂ϕ     mz̈ = Fz + λ(P) ∂z Eliminando λ tra le tre equazioni di moto si ottengono due equazioni pure di tipo differenziale tra le coordinate x, y, z. Queste due equazioni aggiunte alla equazione della superficie ϕ(x, y, z) = 0 forniscono, una volta risolte, le funzioni x(t), y(t), z(t) che danno il moto del punto. Noto il movimento la funzione λ(P) si può allora ottenere da una delle tre equazioni di moto. Essa serve per calcolare la reazione.

CAPITOLO 4. DINAMICA

~ = 0, Qualora il vincolo sia unilatero il punto abbandona il vincolo quando Φ cioè λ(P) = 0. [mettere qui la figura della particella che scivola su un disco fisso @] Una delle tre equazioni può essere sostituita dal teorema dell’energia ∆ T = W o, se le forze attive sono conservative, dall’integrale primo T + V = E. Se F~ = 0 la traiettoria è una geodetica della superficie.

4.1 4.1.1

Dinamica del corpo rigido Corpo rigido con asse fisso

♣ Esempi: una puleggia che ruota su un albero; il rotore di un motore elettrico.

’(t)

Figura 4.3.

Il sistema ha un solo grado di libertà. Indicata con ϕ la coordinata libera, in assenza di attriti e di resistenze di altro tipo, l’equazione pura è: IAz ϕ̈ = MAz

(4.41)

m ẍG = R x + Φ x m ÿG = Ry + Φy

(4.42)

Le due altre equazioni (

servono per determinare la reazione nella cerniera. In assenza di attriti si può sostituire l’equazione pura (4.41) con il teorema dT dell’energia nella forma differenziale = P o nella forma finita ∆T = W. Se dt le forze sono conservative, si può sostituire la (4.41) con l’integrale dell’energia T + V = E.

4.1.2

Rotolamento nel moto piano

Se si trascura l’attrito di rotolamento rimane l’attrito statico che realizza il vincolo.

4.1. DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Per il calcolo del movimento basta usare il teorema dell’energia o un’equazione di Lagrange: quest’ultima è particolarmente consigliabile per lo studio delle piccole oscillazioni. Le equazioni cardinali sono indicate soprattutto se interessano anche le reazioni.

y G G R ϕ C

φn

xc = -Rϕ x

x c = -Rϕ

ϕ φt

Figura 4.4. Due esempi di rotolamento.

Il punto di contatto C è il centro di istantanea rotazione. Conviene usare come coordinata l’angolo ϕ. Tra xC e ϕ c’è il legame differenziale ẋC = ±R ϕ̇ col segno + se xC e ϕ crescono entrambi, col segno − se l’aumento dell’uno comporta la diminuzione dell’altro. E’ conveniente usare il baricentro come polo in quanto il momento d’inerzia IGz è costante. Lo svantaggio è che compare il momento delle 0 . forze reattive MGz  dLGz   0  = MGz + MGz    dt    (4.43)  m ẍG = T t + Φt         mÿG = Rn + Φn Se il baricentro è nel centro del disco allora è comodo usare come polo, per il calcolo dei momenti il punto di contatto C. Infatti in questo caso il momento d’inerzia rispetto a C è pure costante essendo IC = IG + mR2 . In tal caso la velocità del centro di istantanea rotazione C è parallela a quella del baricentro G. In questo caso l’equazione di moto pura diventa: ICz ϕ̈(t) = MCz

(4.44)

Se le forze attive sono conservative il movimento si determina con il solo teorema dell’energia o con l’integrale dell’energia o con l’equazione di Lagrange per il caso conservativo.

CAPITOLO 4. DINAMICA

QUIZ: perché nel (puro) rotolamento si può usare l’integrale dell’energia T +V = E pur essendo il vincolo scabro? x

La condizione che deve essere soddisfatta affinché il rotolamento puro abbia luogo è |Φt | ≤ µ|Φn |

(4.45)

Quando essa cessa di essere soddisfatta inizia lo strisciamento. O: l’equazione (4.44) esige che il momento d’inerzia Iz sia costante. Se si volesse usare come polo della figura (4.4destra)il punto di contatto C occorrerebbe tenere presente che esso è in moto, che la sua velocità non è parallela a quella del baricentro e che il momento d’inerzia ripetto a C non è costante.

G ruota ferma

H A

G b)

V H

Figura 4.5. dida ...

4.1.3

L’uso del centro di istantanea rotazione in dinamica

E’ importante osservare che il centro di istantanea rotazione si può determinare solo quando si conosca almeno la direzione della velocità di due punti, non necessariamente il loro modulo. Dunque salvo qualche caso particolare, come nei corpi rigidi con un grado solo di libertà, in cui la direzione della velocità è nota, in generale non si può sapere dove è il centro di istantanea rotazione prima di conoscere il movimento del corpo.

4.1. DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Questo fatto impedisce di usare, in generale, il centro di istantanea rotazione nella risoluzione di un problema di dinamica in cui il movimento sia da determinare. Ma anche nei pochi casi in cui il centro di istantanea rotazione sia determinabile non è conveniente usarlo nella dinamica perché esso non gode di nessun privilegio dinamico. Il suo è un privilegio cinematico solamente. Esso è altrettanto inutile in dinamica quanto il centro di massa è inutile in cinematica, in quanto esso gode di un privilegio dinamico. C C C

Figura 4.6. Centri d’istantanea rotazione di sistemi ad un grado di libertà.

Volendo a tutti i costi impiegare il centro di istantanea rotazione per risolvere un problema di dinamica nei pochi casi in cui esso è determinabile prima di conoscere il movimento, ad esempio per calcolare l’energia cinetica T = 12 I ϑ̇2 , allora si tenga presente che il momento di inerzia del corpo rigido rispetto all’asse di istantanea rotazione è variabile (è costante solo in qualche caso speciale). Donde se si deve applicare il teorema dell’energia si otterrà: dT 1 dI 2 = ϑ̇ + I ϑ̈ ϑ̇ dt 2 dt

(4.46)

Analoga attenzione se si usano le equazioni di Lagrange e se si calcola la derivata del momento della quantità di moto. In quest’ultimo caso attenzione che il centro di istantanea rotazione non è in generale, né il baricentro, né un punto fisso, né si muove parallelamente al baricentro.

4.1.4

Corpo rigido con un punto fisso

Scelta una terna solidale col corpo (quindi mobile rispetto al riferimento inerziale), con l’origine nel punto fisso e disposta secondo gli assi principali di inerzia, l’equazione relativa al momento della quantità di moto proiettata sulla terna mobile dà luogo alle equazioni di Eulero:

88 con

CAPITOLO 4. DINAMICA

   ~ = ω x~i + ωy ~j + ωz~k   ω     ω ~ ~ = Ω x ~I + Ωy J~ + Ωz K

~ = M x~i + My ~j + Mz~k M ~ = MX ~I + MY J~ + MZ K ~ M

(4.47)

I x , Iy , Iz sono i momenti di inerzia rispetto agli assi x, y, z. Per trovare la posizione del corpo ad un istante generico occorre precisare le coordinate: se si scelgono le coordinate euleriane (§65) @ si devono usare le tre relazioni:   ω x = ϕ̇ sen(ϕ) sen(ψ) + ϕ̇ cos(ψ)    ω  y = ϕ̇ sen(ϕ) cos(ψ) − ϕ̇ sen(ψ)    ω = ϕ̇ cos(ψ̇). z

(4.48)

Queste espressioni, sostituite nelle equazioni differenziali di Eulero danno luogo a tre equazioni differenziali del secondo ordine nelle incognite ϕ, ϑ, ψ. Una volta risolte (il che, in generale, è difficile) forniscono le equazioni finite di moto ϕ = ϕ(t), ϑ = ϑ(t), ψ = ψ(t) Per il calcolo della reazione nel punto fisso ci limiteremo, per semplicità, al caso in cui l’asse uscente dal punto fisso e passante per il baricentro del corpo sia un asse principale di inerzia. Sia esso l’asse z. In tal caso le coordinate del baricentro rispetto alla terna fissa risultano[15, p.102,109]:   XG = sen(ψ) cos(ϑ) zG    YG = cos(ψ) sen(ϑ) zG     Z G = cos(ϑ) zG

(4.49)

Le equazioni che determinano la reazione sono allora le seguenti:   R x + Φ x = mẌG    Ry + Φy = mŸG     R + Φ = mZ̈ z z G

(4.50)

Di qui si vede che se il punto fisso coincide con il baricentro le reazioni dinamiche coincidono con quelle statiche. Le equazioni di Eulero si potrebbero sostituire con tre equazioni di Lagrange. Una delle tre equazioni di Eulero può vantaggiosamente sostituirsi con il teodT rema dell’energia nella forma differenziale = P o nella forma finita ∆T = W. dt Se le forze sono conservative, si può sostituire la (??) con l’integrale dell’energia T + V = E.

4.1. DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Figura 4.7. da commentare

4.1.5

Corpo rigido libero nello spazio

Scelto come polo il baricentro, le equazioni cardinali sono: ~ m ~aG = R

d ~LG ~G =M dt

(4.51)

Considerando le componenti della prima equazione sugli assi X, Y, Z, e quelle della seconda sugli assi x, y, z, baricentrici e principali di inerzia, si ottiene:

  mẌG = R x    mŸG = Ry     mZ̈ G = Rz

  IGx ω̇ x − (IGy − IGz )ωy ωz = MGx    IGy ω̇y − (IGz − IGx )ωz ω x = MGy     I ω̇ − (I − I )ω ω = M Gz z Gx Gy x y Gz

(4.52)

Il corpo ha sei gradi di libertà. Le prime tre equazioni danno, una volta risolte, le tre coordinate del baricentro in funzione del tempo. Le tre rimanenti equazioni di Eulero danno le ϕ(t), ϑ(t), ψ(t); Si trovano cosı̀ le sei coordinate del corpo in funzione del tempo. L   ’: poiché la somma delle forze interne è nulla, ne viene che il lavoro delle forze interne è pure nullo poiché all’istante iniziale la velocità è nulla, ne viene l’accelerazione è nulla poiché le forze applicate sono verticali anche le reazioni saranno verticali

CAPITOLO 4. DINAMICA

4.1.6

Angoli nautici e angoli di Eulero

angolo di nutazione ϑ

angolo di precessione ϕ

angolo di rotazione propria ψ

angolo formato dall’asse Z con l’asse z angolo formato dall’asse X con la linea dei nodi (retta intersezione dei due piani) angolo formato dall’asse dei nodi con l’asse x

Regole operative per determinare gli angoli di Eulero1 : 1. si fissano due terne (destre) l’una fissa nello spazio (X, Y, Z) e l’altra solidale con il corpo (x, y, z) 2. si misura l’angolo formato da Z e z (orientato da Z a z): questo è l’angolo di nutazione 3. si determina la intersezione dei due piani XY e xy (retta dei nodi) e la si orienta applicando la regola del cavatappi sull’angolo di rotazione (ottenendo l’asse dei nodi N) (asse = retta orientata) 4. si misura l’angolo formato da X e N, orientato da X a N: questo è l’angolo di precessione 5. si misura l’angolo tra N e x, orientato da N a x: questo è l’angolo di rotazione propria.

Figura 4.8. : dovrebbe fare la figura di pagina 81 dell’eserciziario

Figura 4.9. : dovrebbe fare la figura di pagina 82 dell’eserciziario

angolo di rollio ϑ

angolo di beccheggio ψ

angolo di imbardata ϕ

angolo formato dall’asse z (l’albero della nave) con il piano verticale angolo formato dall’asse X con la retta intersezione dei due piani angolo formato dalla retta intersezione dei piani con l’asse x

Ulteriori dettagli e applicazioni si trovano in Lurié (vedi bibliografia) p. 40.

4.2. DINAMICA DEI SISTEMI

4.2

Dinamica dei sistemi

4.2.1

Consigli introduttivi

Prima di tutto stabilire quanti gradi di libertà possiede il sistema. Poi scegliere delle coordinate libere: è importante fare una buona scelta perché da essa dipende la facilità di risoluzione delle equazioni di moto. y

y O

ϕ θ

θ x

scelta opportuna

scelta opportuna y

y O y x

scelta scomoda

Figura 4.10. dida

Esaminare il tipo di vincoli (lisci, scabri, fissi, mobili, ...) e la natura delle forze (se conservative o no). In funzione di queste caratteristiche scegliere il procedimento da usare avendo cura che il numero delle equazioni pure sia uguale al numero dei gradi di libertà. Prima di iniziare i calcoli è bene scrivere in poche righe il procedimento che si vuole usare. In generale per calcolare il moto convengono le equazioni di Lagrange. Una di esse può essere sostituita dal teorema dell’energia o dall’integrale dell’energia. Talvolta conviene usare le equazioni cardinali applicandole all’intero sistema o ai singoli pezzi rigidi in cui esso è decomponibile. Questo è obbligatorio per il calcolo di reazioni vincolari rispettivamente esterne ed interne al sistema. Le osservazioni che seguono servono ad evitare gli errori più comuni.

4.2.2

Osservazione sulla velocità angolare nei problemi piani

La velocità angolare di un corpo rigido è la derivata rispetto al tempo di un angolo misurato da una direzione fissa nel riferimento inerziale ad una direzione solidale con il corpo mobile.

CAPITOLO 4. DINAMICA

Esempi:.

4.2.3

Osservazione sugli esseri animati e sui motori

Quando il testo di un problema parla di un corpo che si muove con legge assegnata ciò comporta che sul corpo (o nel suo interno) agisca un dispositivo capace di trasformare energia interna in energia cinetica. Cosı̀ un’automobile, un aeroplano, un giocattolo funzionante a batteria o a molla, un essere animato, un motore elettrico, ecc. In generale non si conosce la potenza erogata dal dispositivo e quindi nemmeno la forza che il corpo esercita sul resto del sistema. Non si deve quindi far uso del potenziale perché quello delle forze che mantengono il moto è a priori sconosciuto. Dunque non si deve usare l’integrale dell’energia, e nemmeno le equazioni di Lagrange relative al caso conservativo. Un errore frequente consiste proprio nell’applicare il teorema della energia dimenticando che si ha una produzione di energia meccanica, cinetica o potenziale (a scapito di energia chimica, elettrica, ecc.). Se è richiesto di calcolare il movimento della rimanente parte del sistema conviene far uso delle equazioni cardinali. Se si desidera invece determinare la forza o il momento che il corpo in moto esercita sulla rimanente parte del sistema, determinare prima il movimento dell’intero sistema, quindi isolare il corpo mettendo in evidenza la forza (sconosciuta) che il resto del sistema esercita sul corpo e poi applicare a quest’ultimo le equazioni cardinali o il teorema dell’energia. ♣

ω(t) O

4.2.4

ω(t) = dato ρ(t) = ? con la dinamica relativa della particella si trova ρ(t). Se si desidera il momento del motore dL0z M(t) = dt

Osservazioni sui fili

Se nel problema si presentano fili privi di peso proprio (e inestensibili) fare preferenzialmente uso delle equazioni di Lagrange o del teorema dell’energia cinetica: con ciò si evita di doverli rompere. Se viene richiesta la tensione di un filo

4.2. DINAMICA DEI SISTEMI

durante il movimento, prima di tutto si calcoli il movimento e si ricordi che la tensione non è in genere eguale a quella che si avrebbe in condizione statiche ed inoltre che non è eguale in genere nei diversi tratti di filo. Cosı̀ nei due esempi che seguono la tensione è eguale nel tratto di sinistra e in quello di destra nella prima figura, ma nella seconda figura la tensione nel tratto di destra è maggiore di quella a sinistra. Ciò si spiega fisicamente osservando che il tratto di destra è, per cosı̀ dire, impegnato a sollevare il peso p di sinistra tramite la carrucola ed inoltre a vincere l’inerzia alla rotazione della carrucola stessa che ha una massa. Invece nella prima figura la carrucola non aveva massa e questa differenza non c’era. In casi dubbi è bene supporre diversa la tensione nei diversi tratti: ci penseranno le equazioni una volta risolte a far vedere se eventualmente le tensioni sono eguali.

T2 T2

T1 p

p q

q> p

q q> p

selapule ggiae privadimassa letensioni a destr a e a sinistr a sonouguali

selapule ggiaha massa,latensione didestr a e maggior e di quel ladisinistr a

Figura 4.11. dida

4.2.5

Conservazione delle quantità meccaniche

Se è nulla la risultante delle forze esterne, attive e reattive, agenti su un sistema, si conserva la quantità di moto (e quindi la velocità del baricentro): ~ = P(t ~ 0) P(t)

(4.53)

Se è nulla solo una componente della risultante delle forze esterne (ad esempio R x + R0x = 0) allora si conserva la componente della quantità di moto secondo quella direzione (nell’esempio P x = c).

CAPITOLO 4. DINAMICA

QUIZ: velocità angolare = ϕ̇ ϕ

Se questo lo si vede fin dall’inizio del problema conviene usare come coordinate libere quelle del baricentro del sistema (solo la x se si conseva P x ). Se è nullo il momento delle forze esterne al sistema, sia attive che reattive, qualora esso sia calcolato rispetto ad un punto fisso nel riferimento inerziale, o rispetto al baricentro o rispetto ad un polo la cui velocità è in ogni istante parallela al baricentro, allora si conserva il momento della quantità di moto: ~LA (t) = ~LA (t0 )

(4.54)

Se è nulla solo una componente del momento delle forze esterne allora si conserva la corrispondente componente del momento della quantità di moto. Se è nulla la potenza delle forze interne ed esterne ad un sistema (sia delle forze attive che delle forze reattive), si conserva l’energia cinetica T (t) = T (t0 )

4.2.6

(4.55)

Calcolo delle Qk

Per calcolare le forze generalizzate Qk si può procedere cosı̀: si fanno variare le coordinate libere una alla volta facendole aumentare. Per ognuna di queste variazioni si calcola il lavoro virtuale delle forze agenti sul sistema. Ciascuno di questi lavori parziali ha la forma w∗ = Qk δqk . Si perviene cosı̀ al calcolo delle singole Qk . Durante il calcolo torna spesso comodo introdurre coordinate sovrabbondanti (vedi esempi qui sotto): esse devono poi essere eliminate mediante relazioni geometriche che le legano alle coordinate libere. Attenzione che le Qk devono risultare funzione solo delle coordinate libere.

4.2. DINAMICA DEI SISTEMI

s y

p fi

piano liscio

’ # f(t)

Figura 4.12. @sinistra consideriamo il sistema ad un grado di libertà; destra Sistema a due gradi di libertà

Esempio: con riferimento alla figura (??, sinistra) consideriamo un sistema ad un grado di libertà. Scelta come coordinata libera ϑ, torna comodo fare uso della coordinata sovrabbondante x. Infatti per l’equilibrio deve risultare w∗ = 0

w∗ = F δx.

(4.56)

b sin(π − ϕ) = a sin(ϑ)

(4.57)

essendo

Poiché x = a cos(ϑ) + b cos(π − ϕ) ne viene:

r x = a cos(ϑ) + b

da cui

1−

a 2 b

sin2 (ϑ)

(4.58)

      a 2 sin(ϑ) cos(ϑ)   δx = −a sin(ϑ) − b  δϑ r a 2 b   2  1− sin (ϑ)  b

(4.59)

      a cos(ϑ)   Qϑ = −F a sin(ϑ) 1 +  r 2 b   a 2  1− sin (ϑ)  b

(4.60)

e quindi:

Esempio: @[controllare i passaggi] con riferimento alla figura (??, destra) consideriamo un sistema a due gradi di libertà. Scelte le coordinate libere x e s w∗ = p sin α δs − k y δy + 0 δx.

(4.61)

CAPITOLO 4. DINAMICA

In questo caso ci è stato comodo introdurre la coordinata sovrabbondante y. Poiché y = h − sin α s −→ δy = −sin α δs (4.62) ne viene: h i w∗ = p sin α + k h − s sin α sin α δs + 0 δx

(4.63)

da cui Q s = p sin α + k sin α h − s sin α

4.3 4.3.1

Qx = 0

(4.64)

Oscillazioni Piccole oscillazioni

Per calcolare la frequenza delle piccole oscillazioni di un sistema soggetto a forze conservative con un grado di libertà attorno alla posizione di equilibrio stabile si procede cosı̀: A) Si determina la posizione di equilibrio e si accerta che questa sia stabile. A questo scopo 1. si calcola il potenziale delle forze attive U(q); 2. si determina la posizione di equilibrio q1 risolvendo l’equazione

dU(q) = dq

d2 U(q)

3. si constata che sia

< 0. dq2 q 1

Nel caso in cui vi siano più soluzioni q1 , q2 , ... si devono prendere in esame una alla volta e vedere per quali valori dei parametri è valida la disequazione 3). B) Si calcola l’energia cinetica T che avrà la forma generale T=

1 A(q) q̇2 2

(4.65)

e si valuta la sua espressione approssimativa nell’intorno della posizione di equilibrio stabile ponendo q1 al posto di q T prox =

1 A(q1 )q̇2 ; 2

(4.66)

4.3. OSCILLAZIONI

C) Si sviluppa in serie il potenziale arrestando lo sviluppo al termine quadratico " # # " dU 1 d2 U U(q) = U(q1 ) + (q − q1 )2 + ..... (4.67) (q − q1 ) + dq q1 2 dq2 q1 Il primo termine è una costante addittiva e può essere ignorato. Il secondo termine è nullo all’equilibrio (si veda punto 2), il terzo termine è già stato valutato al punto 3) e i termini sucessivi si trascurano Per considerare le piccole oscillazioni si effettua la posizione q(t) = q1 +η(t) e si riguarda η come quantità piccola. L’energia cinetica diventa @ 1 2 A η̇ 2 e il potenziale diventa T prox =

prox

1 (η) = B η2 2

A = A(q1 )

(4.68)

d2 U

dq2 q1

(4.69)

avendo posto

Scritto il teorema dell’energia nella forma approssimata d (T prox − U prox ) = A η̈ + B η = 0 dt

(4.70)

si otterrà allora l’equazione dei moti armonici η̈(t) + ω2 η(t) = 0 (4.71) √ che fa scaturire la pulsazione ω = B/A. [@ CONTROLLARE] Da questa si ricava il periodo e la frequenza delle piccole oscillazioni con le relazioni 2π 1 (4.72) f = . ω T L’unità di misura della frequenza è una oscillazione al secondo: questa unità si chiama hertz, il simbolo è Hz. T=

O. I nomi ed i simboli delle unità di misura si devono scrivere secondo regole precise dettate da norme internazionali: si veda [31], [41]. • i nomi delle unità di misura newton, joule, watt, pascal, hertz, che provengono dai nomi dei fisici Newton, Joule, Watt, Pascal, Hertz, si scrivono in carattere normale interamente in minuscolo; • i simboli delle unità di misura si scrivono in carattere normale con l’iniziale maiuscola: N, J, W, Pa, Hz e non devono essere seguiti da un punto: per indicare il metro si scrive “m” non “m.”

CAPITOLO 4. DINAMICA

QUIZ: si può usare il punto A per la formula

y C

dLA = MA ? dt

4.3.2

Fattore di amplificazione dinamica

4.3.3

Modi normali di vibrazione

[DA COMPLETARE ♣] Consideriamo un telaio a due piani, formato da due piedritti flessibili di altezza h e di massa trascurabile e di due traversi rigidi di uguale massa m e di uguale lunghezza, come in figura (5.16).

Figura 4.13. Un telaio oscillante: (sinistra) la configurazione indeformata; (centro) mostra il primo modo fondamentale di vibrazione in cui i traversi vibrano in concordanza di fase; (destra) il secondo modo fondamentale in cui i traversi vibrano in opposizione di fase.

(

m1 x¨1 = −c1 x˙1 + c2 ( x˙2 − x˙1 ) − kx1 + k(x2 − x1 ) + f0 sin(ωt) m2 x¨2 = −c2 ( x˙2 − x˙1 ) − k(x2 − x1 )

(4.73)

4.3. OSCILLAZIONI

0.5

D (z,e)

e=0.1

-0.5 4

e=1

-1

-1.5

e=0.2 e=0.3

e=1

-2

2 -2.5 1

e=0.1

-3

-3.5 0

0.5

1.5

2.5

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

Figura 4.14. Il fattore di amplificazione dinamica.

  x1 = +A sin(ωt) + B cos(ωt)x2 = C sin(ωt) + D cos(ωt)    x ˙1 = +A ωcos(ωt) − B ωsin(ωt) x˙2 = C ωcos(ωt) − D ωsin(ωt)     x¨ = −A ω sin(ωt) − B ω cos(ωt) x¨ = −C ω sin(ωt) − D ω cos(ωt) 1 2 2 2 2 2 (4.74) ( m1 x¨1 + (c1 + c2 ) x˙1 − c2 x˙2 + 2kx1 − kx2 = f0 sin(ωt) (4.75) m2 x¨2 + c2 x˙2 − c2 x˙1 + k x2 − k x1 = 0   [−m1 A ω2 ]sin(ωt) + [−m1 B ω2 ]cos(ωt) + +(c1 + c2 ) ωA cos(ωt) − (c1 + c2 ) ωB sin(ωt)    −c2 ωC cos(ωt) + c2 ωD sin(ωt) + +2k A sin(ωt) + 2k B cos(ωt)     −k C sin(ωt) − k D cos(ωt) = f sin(ωt) 0 (4.76)   −m2C ω2 sin(ωt) − m2 D ω2 cos(ωt) + +c2C ωcos(ωt) − c2 D ωsin(ωt)    −c (4.77)  2 A ωcos(ωt) + c2 B ωsin(ωt) + +k C sin(ωt) + k D cos(ωt)    −k A sin(ωt) − k B cos(ωt) = 0 ( [2k − m1 ω2 ]A + [−(c1 + c2 ) ω]B + [−k ]C + [c2 ω]D = f0 sen(ωt) (4.78) (c1 + c2 ) ωA + [2k − m1 ω2 ]B + [−c2 ω]C + [−k]D = 0 cos(ωt) (

4.3.4

[−k]A + [c2 ω]B + [k − m2 ω2 ]C + [−c2 ω]D = 0 sen(ωt) (−c2 ω)A + [−k ]B + [c2 ω]C + [k − m2 ω2 ]D = 0 cos(ωt)

(4.79)

Sistemi con massa variabile

Si consiglia di usare le equazioni cardinali. a) emissione continua. Supponiamo dapprima che l’emissione di massa avvenga con continuità. Sia ~vG la velocità del baricentro del corpo, ~aG la sua accelerazione.

100

CAPITOLO 4. DINAMICA Per applicare le equazioni cardinali occorre valutare la derivata della quantità di moto e del momento della quantità di moto. Per le applicazioni è spesso sufficiente considerare solo il moto del baricentro e pertanto non scriveremo l’equazione del momento delle quantità di moto. Essendo:

istante

massa del corpo

m(t)

t + dt

m − dm

massa espulsa

quantità di moto del corpo

quantità di moto della massa espulsa

m~vG dm

(m − dm) (~vG + d~vG )

dm (~vG + ~v)

si ricava: d~p ~p(t + dt) − ~p(t) (m − dm)(~vG + d~vG ) + dm(~vG + ~v) − m~vG = = (4.80) dt dt dt Sviluppando si ottiene: ~ − ṁ(t)~v(t). m(t) ~aG (t) = R

(4.81)

Questa è l’equazione fondamentale della dinamica dei corpi con massa variabile. b) emissione discreta. Se l’emissione avviene in modo repentino (esplosione, getto di breve durata, ecc.) detto τ il tempo di tale emissione la prima equazione cardinale diviene: ~ τ − µ~v + m− (~vG+ − ~vG− ) = R

(4.82)

essendo m− − ~vG + ~vG τ µ ~v+

= = = = = =

massa del corpo prima dell’espulsione; velocità del baricentro del corpo immediatamente prima dell’espulsione; velocità del baricentro immediatamente dopo l’espulsione; tempo di emissione; massa espulsa; velocità relativa di µ rispetto a m subito dopo l’emissione.

4.3. OSCILLAZIONI

4.3.5

101

Dinamica impulsiva

Si ha un moto impulsivo quando c’è una brusca variazione dell’atto di moto (urti, colpi, brusche variazioni di vincoli, cattura di una massa, espulsione di una massa, ecc.). In dinamica impulsiva la domanda tipica che ci si pone è: noto l’atto di moto un istante prima dell’urto trovare l’atto di moto immediatamente dopo. Sia τ l’intervallo di tempo che decorre dall’inizio alla fine dell’impulso. Per una particella di usa l’equazione fondamentale. Z t0 +τ + − ~ ~ ~ dt m~v − m~v = I [τ] essendo I [τ] = F(t) (4.83) t0

che esprime il teorema dell’impulso e della quantità di moto. Per un sistema si usano le equazioni cardinali integrate sull’intervallo di tempo τ:  Z t0 +τ    ~  + ~ dt  R [τ] = R(t)  ~ [τ]   ~ =P ~− + R   P   t0     (4.84)     Z t0 +τ      ~L+ = ~L− + M  ~ A [τ]   ~ ~ A (t) dt A A  M   MA [τ] = t0

~ + e ~L+ sono valutate immediatamente dopo l’urto, alla fine del tempuscolo P A ~ − e ~L− sono valutate immediatamente prima dell’urto. τ mentre P A L’energia cinetica di un corpo varia durante un moto impulsivo: la sua variazione uguaglia il lavoro fatto dal vincolo per la cattura, o per l’urto. Esempio:

!¡

m M

M + m

Figura 4.15. Asta che ruotando cattura una massa.

r velocità angolare iniziale:

ω = −

3g L

(4.85)

102

CAPITOLO 4. DINAMICA L−Az =

mL2 − ω 3

L+Az =

h mL2

L+Az = L−Az + MA

i + M L2 ω+

(4.86)

MA = 0

(4.87)

Si ricordi che MA è l’impulso del momento delle forze esterne. Ne viene

ω+ =

mL2 3 mL2 3

4.4

ω− =

+ML

1 ω− 3M 1+ m

(4.88)

Meccanica relativa P (t) z

k(t)

R (t) K O I X

r(t)

s(t) J

j(t)

› (t) i(t)

› ,x,y,z

= assi mobili

O,X,Y,Z = assi fissi nel riferimento inerziale

Figura 4.16. Relazione tra una terna inerziale ed una genericamente mobile rispetto ad essa.

Raggio vettore essendo ~ R(t) = ~s(t) = ~r(t) =

~ = ~r(t) + ~s(t) R(t)

raggio vettore del punto P rispetto ad O, X, Y, Z. raggio vettore di Ω rispetto a O, X, Y, Z raggio vettore di P rispetto a Ω, x, y, z  ~ = X(t) ~I + Y(t) J~ + Z(t) K ~  R(t)       ~ ~s(t) = a(t) ~I + b(t) J~ + c(t) K        ~r(t) = x(t)~i(t) + y(t) ~j(t) + z(t) ~k(t)

(4.89)

(4.90)

4.4. MECCANICA RELATIVA

103

Velocità ~v = ~v trasc + ~v rel

(4.91)

essendo ~v

~v trasc

~v rel

velocità di P rispetto a O, X, Y, Z velocità che P avrebbe rispetto a O, X, Y, Z se fosse congelato con la terna mobile Ω, x, y, z (velocità di trascinamento) velocità di P rispetto a Ω, x, y, z (velocità relativa)  ~  ~v = Ẋ(t)~I + Ẏ(t) J~ + Ż(t)K       trasc ~v ~ (t) × ~r(t) = ~vΩ (t) + ω (4.92)        ~v rel = ẋ(t)~i(t) + ẏ(t)~j(t) + ż(t)~k(t)

Accelerazione ~=A ~ trasc + ~a rel + ~a cor A essendo ~ A = ~ trasc = A ~a rel ~a cor

= =

accelerazione di P rispetto a O, X, Y, Z accelerazione che P avrebbe rispetto a O, X, Y, Z se fosse congelato con la terna mobile Ω, x, y, z. accelerazione di P rispetto a Ω, x, y, z. accelerazione di Coriolis                       

4.4.1

(4.93)

~ A

~ = Ẍ(t) ~I + Ÿ(t) J~ + Z̈(t) K

~ trasc = ~aΩ (t) + ω ~˙ (t) × ~r(t) − ω2 (t)~r ⊥(t) A ~a rel

= ẍ(t)~i(t) + ÿ(t) ~j(t) + z̈(t) ~k(t)

~a cor

~ (t) × ~v rel (t) = 2ω

(4.94)

Statica relativa

Un problema di statica relativa si risolve come un problema di statica assoluta pur di aggiungere alle forze agenti sul sistema le forze di trascinamento. Per una particella è: ~ trasc (4.95) F~ trasc = −mA ~ trasc l’accelerazione che la particella possiede se lo immaginiamo conessendo A gelato (quindi trascinato) con il riferimento mobile.

104

CAPITOLO 4. DINAMICA Z z ω = costante r P y Ftrasc. r Y x X

Figura 4.17. In un riferimento rotante la forza di trascinamento è diretta radialmente ed è quindi assifuga.

~ trasc = ω2~r ⊥ risulta: Per un riferimento in rotazione uniforme essendo A F~ trasc = m ω2 ~r ⊥

(4.96)

Si tratta di una forza assifuga2 . Per un corpo rigido interessa la risultante ed il momento delle forze di trascinamento: Z N X ~ trasc = − ~ trasc ρ dC R mk Aktrasc − A (4.97) C

k=1

~ trasc = − M A

N X k=1

~ trasc − (Pk − A) × mk A k

~ trasc ρ dC (P − A) × A

(4.98)

essendo A un generico punto comunque mobile nel riferimento relativo e C il campo di integrazione (linea, superficie, volume). La risultante delle forze di trascinamento coincide con quella che avrebbe l’intera massa se fosse concentrata nel baricentro. In particolare in un riferimento uniformemente rotante è: ~ trasc = m ω2 ~r ⊥ R (4.99) G Non è invece vera l’analoga proprietà per il momento delle forze di trascinamento. Un tipico errore consiste appunto nel calcolare il momento delle forze di trascinamento facendo il momento della risultante applicata nel barcicentro. 2 Chissà per quale ragione si parla tanto di forza centrifuga e non di forza assifuga, che è più corretto.

4.4. MECCANICA RELATIVA

105

Pertanto nei problemi è consigliabile calcolare di volta in volta il momento delle forze di trascinamento. ~ trasc = −ω2 ~r ⊥ ne viene: In un riferimento uniformemente rotante essendo A Z ~ trasc = ω2 M (P − A) × ~r ⊥ ρ dC (4.100) A C

Esempio: asta in un riferimento uniformemente rotante. NON VA Per un sistema basta calcolare risultante e momento delle forze di trascinamento per i diversi pezzi che compongono il sistema. La forza di trascinamento ammette potenziale e questo dipende, in generale, dalla velocità. Nel caso di un riferimento uniformemente rotante il potenziale delle forze di trascinamento è dato da: Z 1 1 U trasc = ω2 (r ⊥ )2 ρ d C = I ω2 (4.101) 2 2 C essendo I il momento di inerzia calcolato rispetto all’asse di rotazione. L’uso del potenziale delle forze di trascinamento in questo caso permette di studiare la stabilità dell’equilibrio se anche le forze attive sono conservative. z

z !z

!z O

!z O x

Figura 4.18. Tre esempi di corpi rigidi in un riferimento rotante.

4.4.2

Dinamica relativa

Un problema di dinamica relativa si riconduce ad uno di dinamica assoluta operando le seguenti modifiche: a) alla velocità e accelerazione assoluta si sostituiscono la velocità e l’accelerazione relative; b) alla energia cinetica assoluta si sostituisce quella relativa; c) alle forze attive e reattive si aggiungono le forze apparenti cioè quella di trascinamento e quella di Coriolis.

106

CAPITOLO 4. DINAMICA

4.4.3

Dinamica relativa della particella ~ − m ω2 ~r ⊥ ~ ×R F(ω, ω̇, P) = −mS~ Ω + m ω

(4.102)

~ × ~v rel F~ cor (ω, v rel ) = −2 m ω

(4.103)

m ~a rel = F~ + F~ trasc + F~ cor ~ m ~a rel = F~ + F~ trasc + F~ cor + Φ

particella libera: particella vincolata:

(4.104)

Poiché la forza di Coriolis è ortogonale alla velocità relativa la sua potenza è nulla. Dunque: Papparenti = P trasc = F~ trasc · ~v rel

4.4.4                         

T rel =

1 m (v rel )2 2

(4.105)

Dinamica relativa del corpo rigido

~ trasc = R

N X

F~ktrasc

k=1

~ trasc = M A

N X

~rk × F~ktrasc

F~ktrasc coincide con la forza di trascinamento che avrebbe l’intera massa se fosse concentrata nel baricentro @

k=1

(4.106)  N X    cor  ~  R = F~kcor      k=1       N  X    cor  ~ ~rk × F~kcor M =    A

F~kcor coincide con la forza di Coriolis che avrebbe l’intera massa se fosse concentrata nel baricentro @

k=1

(4.107)  N  X    rel ~  mk~vkrel @ P =      k=1  N  X    rel  ~  ~rk × mk ~vkrel @ L =    A k=1 (4.108)

~ rel coincide con la quantità di moto P k che avrebbe l’intera massa se fosse concentrata nel baricentro @

4.4. MECCANICA RELATIVA

107

QUIZ: Essendo w∗ = Qϑ δϑ + Qϕ δϕ = 0

sembra di poter dedurre Qϕ = 0

Qϑ = 0

E’ giusto?

Le equazioni cardinali divengono:

 ~ rel  dP   ~+R ~ trasc + R ~ cor  =R    dt          d~LArel   ~ rel = M ~A + M ~ trasc + M ~ cor  + ~vArel × P  A A dt

4.4.5

(4.109)

Dinamica relativa dei sistemi

Su ogni corpo rigido e ogni particella che compongono il sistema si opera come detto sopra. Osservazione: un problema di dinamica relativa non è dunque molto più complicato di un problema di dinamica assoluta, giacché l’unica @ difficoltà può essere il calcolo del momento delle forze apparenti. [@ FARE OSSERVAZIONI SULLA FORZA CENTRIFUGA. FAR VEDERE CHE SI PORTA A DESTRA...] H66

108

4.5

CAPITOLO 4. DINAMICA

Unità di misura da abolire

da abolire kw

da abolire

s k il

am ogr

tt Wa

tro me fm Kg omm f a r og Kg k iol rza f

kgf

jo u

t to n

in t

2 m s /

da abolire

n w to ki

ra lo g

a le

e lla

100

5 a tt 1 0 w o * k i l 3 .7

6 1 .3 a llo c a v o re vap

00 10 kgf

wa k ilo o ra

sec

ndo

sec

o ond

tro

tro a te m O S is A T IC PR

a a le te m io n S is rn a z e In t

questo sistema é da abolire (la Comunitá Economica Europea ne ha vietato l' impiego dopo il 31-12-1977. Si vrda: Gazzetta ufficiale delle Comunitá europee del 29-10-1971)

Figura 4.19. dida

4.6

Come limitare gli integrali doppi

Coordinate cartesiane: strisce orizzontali. Il primo integrale da eseguire (quello a destra) ha come estremi il valore di entrata e e quello di uscita u della retta

4.6. COME LIMITARE GLI INTEGRALI DOPPI

109

Si debba calcolare il baricentro della lamina semicircolare omogenea della figura accanto (σ = densità superficiale, m = massa). yG =

1 m

y σ dx dy

m=σ

π R2 2

Diamo per scontato che il baricentro si trova in mezzeria. parallela all’asse della corrispondente variabile. y

q xe (y) = − R2 − y2 u

e y

2 yG = π R2 σ

q xu (y) = + R2 − y2 σ y dy

xu (y)

dx xe (y)

Il secondo integrale da eseguire (quello a sinistra) ha come estremi il valore minimo e massimo della corrispondente variabile. y y max

y min

ymin = 0 ymax = R Z ymax Z xu (y) 2 yG = y dy dx π R2 ymin xe (y) Z R Z + √R2 −y2 4R 2 y dy √ dx = yG = 2 x 3π πR 0 − R2 −y2

Coordinate cartesiane: strisce verticali. Il primo integrale da eseguire (quello a destra) ha come estremi il valore di entrata e e quello di uscita u della retta parallela all’asse della corrispondente variabile. Il secondo integrale da eseguire (quello a sinistra) ha come estremi il valore minimo e massimo della corrispondente variabile. Coordinate polari.

L’equazione della circonferenza in coordinate polari è ρ = 2Rcos(θ)

110

CAPITOLO 4. DINAMICA y u

ye = 0 yG =

2 π R2 σ

p yu (x) = R2 − x2 Z Z yu (x) σ dx y dy ye (x)

x e

xmin = −R xmax = R Z xmax Z yu (x) 2 yG = dx y dy π R2 xmin ye (x) Z R Z √R2 −x2 4R 2 dx y dy = yG = 2 3π π R −R 0

x x min

x max

L’ordinata di un punto espressa in funzione di ρ e di θ è y = ρ sin(θ) 2 yG = π R2 σ

ρ sin(θ) σ ρ dρ dθ

Divisione in settori.

Divisione in corone circolari..

ρe = 0 ρu (θ) = 2 R cos(θ) Z Z ρu (θ) 2 sin(θ) dθ yG = ρ2 dρ π R2 ρe

4.7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI DI USO FREQUENTE

111

θmin = 0 θmax = π/2 Z θmax Z ρu (θ) 2 yG = sin(θ) dθ ρ2 dρ π R2 θmin ρe Z π/2 Z 2Rsin(θ) 4R 2 sin(θ) dθ ρ2 dρ = yG = 2 3π πR 0 0 u

θe = 0 2 yG = π R2

θu (ρ) = arcos Z

ρmax ρmin

ρ dρ

ρ 2R

θu θe

sin(θ) dθ

4.7

Equazioni differenziali di uso frequente

Le equazioni di movimento sono equazioni differenziali ordinarie, al più del secondo ordine. Spessissimo sono equazioni non lineari, tavolta di tipo risolubile con separazione delle variabili, talaltra assai complicate. Prima di accingersi ad integrare una equazione differenziale domandarsi sempre: devo risolverla? Si dà spesso il caso che il testo del problema ponga una domanda cui si dà risposta senza integrare l’equazione (cosı̀ quando il moto è in parte assegnato, quando si deve calcolare il periodo delle piccole oscillazioni, ecc.). Spesso si è di fronte ad una equazione di secondo ordine che appare complicata. E’ bene vedere se è possibile sostituirla con un integrale primo (conservazione dell’energia, della quantità di moto, del momento della quantità di moto). In tal caso si risparmierà almeno una integrazione. Questo capita sovente nell’uso delle equazioni di Lagrange. Spesso la lagrangiana con contiene una coordinata (ad esempio q2 ). Allora invece di scrivere l’equazione d ∂L = 0 dt ∂q̇2

(4.110)

∂L = costante ∂q̇2

(4.111)

scrivere addirittura

112

CAPITOLO 4. DINAMICA ρmin = 0 ρmax = 2R Z 2R Z arcos( ρ ) 2R 2 yG = ρ2 dρ sin(θ) dθ 2 πR 0 0

Tre tipi di equazioni frequenti sono:

ẋ = f (x)g(t) è a variabiliseparabili x

dx = f (x)

g(t)d(t)

ẍ = f ( ẋ) equazione in cui manca x(t) posto ẋ = v si ottiene v̇ = f (v) si ottiene v

dv = f (v

dt t0

ẍ = f (x)g( ẋ) posto ddotx =

d ẋ dx

ẋ Z

dotx ẋ0

ẋd ẋ = g( ẋ)

f (x)dx x0

Equazione differenziale lineare a coefficienti costanti, del II ordine, omogenea a ẍ(t) + b ẋ(t) + cx(t) = 0 ap2 + bp + c = 0

equazione caratteristica

(4.112) (4.113)

4.8. EQUAZIONE DIFFERENZIALE LINEARE

4.8

Radici p1 , p2

Integrali generali

reali distinte

x(t) = Ae p1 t + Be p2 t

reali coincidenti

x(t) = e p1 t (A + Bt)

complesse coniugate h ± ik

x(t) = eht (A cos(kt) + B sin(kt))

113

Equazione differenziale lineare

Equazione differenziale lineare a coefficienti costanti, del II ordine, non omogenea a ẍ(t) + b ẋ(t) + cx(t) = f (t) (4.114) Si risolve prima la corrispondente equazione omogenea: a ẍ + b ẋ + cx = 0 x = x(t, A, B)

(4.115)

poi si aggiunge all’integrale generale cosı̀ ottenuto un termine secondo i seguenti casi(supposto c , 0);                     

f (t) = m f (t) = mt + n f (t) = m sin(λt) f (t) = m cos(λt) f (t) = m cos(λt) + n sin(λt)

                    

M Mt + N M sin(λt) + N cos(λt) M sin(λt) + N cos(λt) M sin(λt) + N cos(λt)

(4.116)

Infine per sostituzione diretta della soluzione nell’equazione differenziale data (quella non omogenea) si determinano le costanti M, N.

4.9

Terna intrinseca

Se l’equazione della linea è x = x(λ), y = y(λ) usare le formule riportate qui sotto.

114

CAPITOLO 4. DINAMICA Linee piane. Se l’equazione della linea è y = y(x) la tangente e la normale sono date da:  1 d~r    ~t = (+~i + ẏ~j) = +p    2 ds  1 + ẏ     d~t 1    (−ẏ~i + ~j)   ~n = ds = ± p 1 + ẏ2

y C n

t s

(4.117)

vale il segno + se la concavità volge verso l’alto, cioé ÿ > 0 mentre vale il segno − se volge verso il basso, cioé ÿ < 0. L’ascissa curvilinea s a partire dall’ascissa a è data da Z x q x s= 1 + ẏ2 dx. (4.118) a

Linee sghembe 3 Se la linea è data in forma parametrica x = x(λ), y = y(λ), z = z(λ), posto ~r(λ) = x(λ)~i + y(λ)~j + z(λ)~k valgono le espressioni

                                

~t(λ)

~b(λ) =

~r˙ (λ) |~r˙ (λ)| ~r˙ (λ) × ~r¨ (λ) |~r˙ (λ) × ~r¨ (λ)|

~n(λ) = ~b(λ) × ~t(λ) (4.119)

piano osculatore: piano contenente la tangente e la normale principale piano normale: piano ortogonale alla tangente: contiene la normale principale e la binormale piano rettificante: piano contenente la tangente e la binormale

Il termine sghembe indica linee che non stanno in un piano, come un’elica.

4.10. FUNZIONI CIRCOLARI E IPERBOLICHE

4.10

Il raggio di curvatura r e l’arco s sono dati dalle formule  b  |~r˙ (λ) × ~r¨ (λ)| 1    = @     r(λ) |~r˙ (λ)|3 (4.120)  Z λ q     2 2 2   y = ẋ + ẏ + ż dλ  s(λ) no p ia

115

n re la to

λ0

Seu la linea è data mediante le equazioni y = y(x), z = z(x) posto x = λ ci si riduce al caso precedente.

o sc

funzioni circolari e iperboliche

Figura 4.20. jjjj

116

CAPITOLO 4. DINAMICA

funzioni circolari

funzioni iperboliche

cos2 (x) + sin2 (x) ≡ 1

Ch2 x − S h2 x ≡ 1

sin(0) = 0

S h(0) = 0

cos(0) = 1

Ch(0) = 1

cos(α±β) ≡ cos αcos(β)± sin αsin(β)

Ch(α±β) ≡ Ch αCh(β)±S h αS h(β)

sin(α±β) ≡ sin αcos(β)± sin(β)cos α q 1−cos(x) q 1+cos(x) x sin 2 = cos 2x = 2 2

S h(α±β) ≡ S h(α)Ch(β)±S h(β)Ch α

d cos(x) = −sin(x) dx 1 d tg(x) = = +tg2 (x) dt cos2 (x) −1 d arccos(x) = √ dx 1 − x2 d 1 arcsin(x) = √ dx 1 − x2 d 1 arctg(x) = dx 1 + x2 x3 x5 + + ... sin(x) = x − 3! 5! x2 x4 cos(x) = 1 − + − ... 2! 4! x3 2x5 + + ... tg(x) = x + 3 15

d Ch(x) = S h(x) dx 1 d T h(x) = = 1 − T h2 (x) dx Ch2 (x) d 1 S ettCh(x) = √ 2 dx x −1 d 1 S ettS h(x) = √ 2 dx x +1 d 1 S ettT h(x) = dx 1 − x2 x3 x5 S h(x) = x + + + ... 3! 5! x2 x4 Ch(x) = 1 + + + ... 2! 4! x3 2x5 T h(x) = x − + − ... 3 15

Capitolo 5

Esercizi risolti e commentati 5.1

Consigli per risolvere gli esercizi

Lo scopo che si vuole raggiungere con questi esercizi risolti in differenti modi è di offrire allo studente un metodo sistematico per affrontare gli esercizi stessi, che tolga quel senso di smarrimento che ogni studente prova davanti ad un problema nuovo. Diciamo subito che per eliminare questa sensazione di sconforto tanto comune e acquistare sicurezza, disinvoltura e confidenza con un nuovo problema occorre far pochi esercizi ben scelti (consiglieremo in seguito come sceglierli) @ purché questi siano sviscerati in tutti i loro aspetti. Si deve risolvere uno stesso esercizio con diversi procedimenti che devono essere confrontati criticamente (quale è il procedimento più conveniente? quello più sicuro? quello meno laborioso?). In questo modo si ha anche il vantaggio di poter avere una verifica della esattezza del risultato confrontando i risultati ottenuti con i diversi procedimenti. Il consiglio seguente per quanto risulti antipatico è quello che permette di fare la minor fatica con il maggior profitto: prima di fare gli esercizi di un certo tipo studiare la teoria corrispondente. Gli esercizi devono essere fatti con il libro di testo aperto davanti. La triste abitudine di imparare una materia cercando di risolvere gli esercizi senza aver prima studiato la teoria si risolve in una incredibile perdita di tempo e, non ultimo, tradisce lo scopo per cui si fanno gli esercizi che è quello di verificare, comprendere e ritenere i concetti della teoria. Questo al fine di poterla applicare quando se ne presenta l’occasione. Una norma preziosa è la seguente: se non si è capaci di risolvere un esercizio, farne uno più semplice dello stesso tipo. Ossia semplificare il problema 117

118

CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI

dato modificando l’enunciato. Tenere presente la norma che i concetti sono più importanti delle formule e che se un errore di calcolo denota mancanza di allenamento, di attenzione, un errore del procedimento indica che non è chiara la teoria corrispondente. Un’altra norma fondamentale è questa: ogni formula si può applicare solo se sono soddisfatte le condizioni di applicabilità. Pertanto prima di applicare una formula chiedersi: nel presente problema sono verificate queste condizioni? Prima di incominciare a studiare gli esercizi che seguono, leggere attentamente i paragrafi dell’introduzione della presente dispensa: vi sono riportate delle norme generali da rispettare in qualunque tipo di problema. Quando è stato ottenuto un risultato, anche parziale, racchiuderlo entro un riquadro per metterlo in evidenza. Spesso ci si accorge che un segno + deve essere cambiato in −. Invece di sovrapporre il segno cosı̀ ∓, che è causa di errori nella rilettura della formula e quindi può compromettere tutto il resto, segnare la correzione cosı̀: + −→ •¯ . L’ordine nella esecuzione degli esercizi è fondamentale. Prima di svolgere qualunque calcolo tracciare una riga di separazione; scrivere inoltre due parole all’inizio come: calcolo dell’energia cinetica oppure calcolo del momento di inerzia.

5.2

Problema 1

Enunciato. Un arco a tre cerniere ha la forma indicata in figura. L’asta AB ha forma di un quarto di circonferenza di raggio R, è omogenea e ha peso p. L’asta BC è piegata ad angolo retto, è omogenea e ha peso q. Si domanda di trovare le reazioni vincolari in A e C nonché le azioni interne in un punto generico dell’asta AB.

5.2. PROBLEMA 1

119 B

C R

Figura 5.1. dida

Classifichiamo il problema. Innanzi tutto rileggere attentamente il testo sottolineando le parole che sembrano più significative. Si tratta evidentemente di un problema di statica. Il sistema è piano, la configurazione è già di equilibrio perché non si possono dare spostamenti compatibili con i vincoli. Riassumiamo le considerazioni fatte compilando la seguente scheda: tipo di problema gradi di libertà: forze: vincoli: incognite:

statica dei sistemi articolati nessuno solo pesi : lisci, bilateri reazioni vincolari e azioni interne

Trattandosi di un problema di statica dei sistemi articolati cerchiamo sull’indice posto all’inizio del libro i paragrafi relativi (a partire da pag.37). Leggiamoli attentamente. Se sorgono dubbi apriamo il libro di testo, cerchiamo l’argomento e studiamolo di nuovo cercando la risposta alle domande che il problema pone. Troviamo le reazioni vincolari a terra (cerniere A e C). Togliamo i vincoli in A e C, sostituiamoli con le reazioni e ridisegnamo la figura e fissiamo una ben precisa convenzione per i segni. B

peso q

peso p

VC VA H

Figura 5.2. dida

120

CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI

~ = 0 dà luogo alle due seguenti equazioni La prima equazione cardinale R scalari: ( +HA + HC = 0 (R x = 0) (5.1) +VA − p − q + VC = 0 (Ry = 0) Per calcolare i momenti rispetto ad A di tutte le forze dobbiamo calcolare i momenti delle forze peso, concentrandole nei rispettivi baricentri. Determiniamo pertanto i baricentri delle due aste. Asta AB: per ragione di simmetria il baricentro si trova sulla bisettrice dell’angolo A0B. Usando il teorema di Guldino si trova rG = 2R π . Asta BC: per ragioni di simmetria il baricentro si trova sulla bisettrice dell’angolo B0C. Inoltre si trova sulla congiungente dei baricentri dei due rami dell’asta. B

′

q p

VA H A

R−

R R+

3 4R

Figura 5.3. dida

Donde ! ! 3 2R − q R + R + VC 2R = 0 MA = −p R − π 4

(5.2)

Poiché il sistema non è rigido tali equazioni non bastano (le incognite infatti sono quattro e cioè HA , VA , HC , VC ). Basterà imporre che non vi sia rotazione di un’asta rispetto all’altra. Quindi scriveremo che è nullo il momento delle forze agenti su una sola asta rispetto alla cerniera B. Sceglieremo l’asta di destra

MB = −q

3 R + VC R + HC R = 0 4

(5.3)

5.2. PROBLEMA 1

121

Riassumendo si hanno le quattro equazioni:   HA + HC = 0          VA •¯ p − q + VC = 0 esempio di correzione      !  7 2R    ) − q R + VC 2R = 0 −p(R −    π 4      3    −q R + VC R + HC R = 0 4 Risolviamo la terza (dove compare solo l’incognita VC si ottiene:

(5.4)

7 π−2 +q 2π 8

(5.5)

1 π−2 HC = − q − p 8 2π

(5.6)

1 π+2 VA = q + p 8 2π

(5.7)

VC = p Risolviamo la quarta equazione:

Dalla seconda si ottiene: Infine dalla prima:

1 π−2 HA = q + p (5.8) 8 2π Abbiamo cosı̀ trovato le reazioni vincolari. Saranno giuste le reazioni? Facciamo qualche controllo. Intanto le reazioni orizzontali in A e C devono essere verso l’interno perché l’arco tende ad abbassarsi se si sopprimono le reazioni orizzontali.

Figura 5.4. dida

122

CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI

Dunque rispetto al senso indicato nella figura dovrà risultare HA positiva e HC negativa. Un’occhiata alle formule trovate indica che queste condizioni sono soddisfatte. Le due componenti verticali VA e VC devono essere positive (perché equilibrano i pesi) e anche questo è verificato nelle formule che danno VA e VC . Andiamo bene. Dimensionalmente le quattro formule sono corrette perché ciascun termine ha le dimensioni di una forza. Segnaliamo possibili errori. Intanto qualcuno potrebbe credere che essendo verticali i pesi anche le reazioni in A e C siano verticali. Questa conclusione falsa non riposa su alcun teorema. Per quanto possa sembrare ridicola è una tipica risposta dello studente sprovveduto. Altri possono ritenere che le reazioni vincolari in A e C siano dirette secondo la congiungente le cerniere. Questo è falso perché le due aste non sono scariche, ma pesanti. La conclusione è valida solo per le aste senza peso caricate alle estremità. Molti hanno l’abitudine di scaricare le aste sostituendo al peso di ogni asta due forze applicate agli estremi. Questa pratica richiede una certa familiarità ed è pertanto da sconsigliare. Nei problemi di meccanica razionale essa non porta sostanziali vantaggi. Infine si potrebbe pensare che la quarta equazione possa essere ottenuta annullando il momento di tutte le forze del sistema rispetto ad un altro punto, ad es. C. Ma dalla reazione

~C = M ~ A + (C − A) × R ~ M

~ = 0 (prime due equazioni) ed M ~ A = 0 (terza equazione viene che essendo R ~ ne) sarà MC = 0 come conseguenza. Dunque questa equazione è combinazione lineare delle precedenti, e come tale non aggiunge nulla di nuovo. Procediamo ora al calcolo delle azioni interne. Si taglia l’asta AB in un punto d e mettiamo in evidenza le azioni ingenerico P. Indichiamo con ϑ l’angolo A0P terne M, N, T su entrambi i lembi della sezione. Poiché l’asta è pesante torniamo a distribuire il peso.

5.2. PROBLEMA 1

123

N M

T φCy

φAy A

φAx

+ φAy φCx

φAx

R cos θ R cos φ

Figura 5.5. dida

Per calcolare il momento flettente calcoliamo il momento rispetto a P delle forze agenti sul punto @ ? AP. −M + HA R sin(ϑ) − VA (R − Rcos(ϑ)) +

ϑ0

p π 2R

Rdϕ (Rcos(ϕ) − Rcos(ϑ)) = 0

donde ! !  q q π−2 π+2    M = R sin(ϑ) + p + R 1 − cos(ϑ) +p    8 2π 8 2π    2pR 2pR    ϑ cos(ϑ) + sin(ϑ) − π π

(5.9)

(5.10)

Per calcolare l’azione di taglio e quella assiale scriviamo le equazioni R x = 0, Ry = 0 per il tratto AP:   HA + N sin(ϑ) − T cos(ϑ) = 0       2p    VA − R ϑ + N cos(ϑ) + T sin(ϑ) = 0 πR donde ! !  π − 2 π + 2 q q 2p    N=− +p +p ϑ cos(ϑ) sin(ϑ) − cos(ϑ) +    8 2π 8 2π π  ! !    π−2 1 π+2 2p 1    cos(ϑ) − q + p sin(ϑ) + ϑ sin(ϑ)  T =+ q+ p 8 2π 8 2π π

(5.11)

(5.12)

Controllo dimensionale: M deve essere composta da termini le cui dimensioni siano forza per lunghezza. N e T devono essere somma di forze. Sarà giusto il momento flettente ottenuto? Facciamo qualche controllo. Per ϑ = 0 e ϑ = π2 esso deve essere nullo. Se

124

CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI

poniamo ϑ = 0 infatti si annulla. Per ϑ = π2 si ha: " # π q π¯•2 q π+2 2 =R + p+ + p +p ,0 M 2 8 2π 8 2π π

(5.13)

Dunque c’è un errore. Tornando ad esaminare l’equazione MA = 0 si vede che l’errore è nel passaggio tra questa equazione e la successiva. Scoperto questo errore di segno c’è da chiedersi: è l’unico? Non sarà che lo stesso errore è stato fatto sui termini rimanenti? Un controllo mostra subito che, per un errore in un passaggio, anche il terzo termine è stato riportato con il segno errato. Dunque, se non ci sono scappati altri errori, la espressione corretta del momento flettente è: ! !  q π+2 q π−2    + p − R (1 − cos(ϑ)) + p M = R sin(ϑ)    8 2π 8 2π (5.14)    2pR 2pR    − ϑ cos(ϑ) + sin(ϑ) π π Controlliamo ora le espressioni di T = HA     N(0) = −            T (0) = + per ϑ =

π 2

N e T . Per ϑ = 0 deve essere N = −VA e ! q π+2 +p = −VA 8 2π ! π−2 q +p = +HA 8 2π

deve essere N = −HA e T = −VA + p  π q π−2    N =− +p = −HA    2 8 2π    q π + 2 2p π π    T =− +p + = −VA + p 2 8 2π π 2

(5.15)

(5.16)

Dunque le formule soddisfano questi requisiti. Con questo non siamo sicuri che siano giuste, ma almeno c’è una buona probabilità che lo siano. Quando si vuole controllare un risultato, se questo contiene una variabile (ϑ nel nostro problema), si può vedere se per particolarti valori di questa variabile (ϑ = 0 e ϑ = π2 nel nostro problema) il risultato coincide con quello ottenibile direttamente. Adesso il problema è finito. Passiamo ad un altro problema? Un momento: e se ci venisse richiesto di trovare le azioni interne nella cerniera B le sapremmo trovare? D’accordo che l’enunciato del problema non pone questa domanda, ma poniamocela noi. Per calcolare le reazioni in B asporteremo le cerniere e indicheremo sui due lembi le reazioni interne.

5.2. PROBLEMA 1

125 φBy φBx

φ Bo φ Bv p

q φCy

φAy φAx

φCx

Figura 5.6. dida

Quindi scriveremo le equazioni R x + R0X = 0 e Ry + R0y = 0 per una delle due aste (ad es. quella di destra)      +HB + HC = 0     +VB − q + VC = 0

 π−2 1    H = q+ p    B 8 2π    1 π−2    VB = q − p 8 2π

−→

(5.17)

Attenzione: un possibile errore sta nel dimenticare di mettere le reazioni interne su entrambi i bordi delle aste. Se si facesse la figura φBy φBx B

q φCy

φAy A

φAx

φCx

Figura 5.7. dida

qualora venisse in mente di calcolare le azioni interne nell’asta AB l’assenza delle reazioni relative all’asta AB sarebbe causa di errore. Fatto questo esercizio con tutte queste precisazioni possiamo ritenere di saper risolvere un qualsiasi arco a tre cerniere, anche con condizioni di carico diverse (ad esempio con forze orizzontali) con diversa forma delle aste. Il metodo è sempre questo. Un eventuale altro esercizio potrebbe servire ad acquistare più dimestichezza con i calcoli, a fissare bene il procedimento. Ma poi basta. E’ inutile risolvere sei o dieci esercizi sugli archi a tre cerniere. Due esercizi per ogni categoria di problemi sono sufficienti. Ma attenzione: a patto che quei due siano stati risolti in più modi, che siano state poste anche domande in più rispetto all’enunciato, che non lascino lati oscuri. Solo a questa condizione il consiglio è valido.

126

CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI

Non aprire espressioni, non eseguire derivate rispetto al tempo se non è strettamente necessario. Diffidare delle espressioni troppo lunghe; ogni tanto fermarsi e chiedersi: vado bene su questa strada? è opportuno che esegua questa derivata? ho scritto tutte le equazioni che mi servono? Non avere la smania di sviluppare i calcoli: è meglio non andare fino in fondo e fermarsi ad esaminare se quello che è stato fatto è concettualmente giusto. Scrivere poco e pensare molto. Porsi spesso la domanda: posso usare questo procedimenrto, questa formula? Se si, mi conviene? Fermarsi ogni tanto a guardare il procedimento usato, esaminarlo criticamente: si poteva fare diversamente? in modo più semplice? Quale è stato il punto più difficile? Sono sicuro di avere usato la espressione giusta per calcolare quella grandezza? No? Allora andare ad aprire il testo, cercare l’argomento, rileggerlo attentamente. Si scopre senz’altro qualcosa che era sfuggito prima. Alla fine chiedersi: ho risposto a tutte le domande? Fare il controllo dimensionale e raccogliere tutte le risposte in un unico riquadro. @ MONICA: uno alla volta devono essere inseriti qui i rimanenti problemi che si trovano nel file problemi.tex Problema 2 Enunciato. In un piano verticale un disco omogeneo di massa m e raggio r rotola su un profilo circolare di raggio R senza strisciare. Inizialmente il disco si trova sulla sommità del profilo ed il suo centro possiede una velocità V0 . Il coefficiente di attrito statico tra disco e profilo è µ. Si domanda quale è la posizione del disco dalla quale esso cessa di rotolare ed inizia a strisciare. x V0 r

R ϕ

y O

Figura 5.8. dida

♣ MARCO

5.2. PROBLEMA 1 problema di gradi di libertà coordinate scelte forze vincoli incognite

127 dinamica del corpo rigido uno ϕ solo peso scabri, fissi, unilateri valore di ϕ corrispondente all’inizio dello strisciamento

Risoluzione Prima di tutto compilare una scheda come indicato qui a fianco al fine di classificare il problema. Poi fermarsi a considerare tutti gli aspetti del problema come è fatto nelle seguenti osservazioni: il rotolamento ha luogo fin tanto che è soddisfatta la condizione di attrito statico |Φt | ≤ µ|ΦN |. La posizione limite cercata è quindi quella per la quale ha luogo la uguaglianza |Φt | = µ|ΦN |. Poiché le due componenti Φt e ΦN dipendono dalla posizione, cioè dall’angolo ϕ, la posizione limite sarà data da quel valore di ϕ per cui la Φt e la ΦN soddisfano la disuguaglianza precedente. Si tratta dunque di determinare le due componenti Φt e ΦN in funzione di ϕ. Per determinare le reazioni vincolari occorre prima determinare il movimento (questo è un principio generale: le reazioni vincolari dipendono dalla posizione di equilibrio, in statica, o dal tipo di movimento, in dinamica). Poiché il sistema ha un solo grado di libertà è sufficiente avere una equazione pura di moto. Può ad esempio scegliersi l’integrale dell’energia. Infatti i vincoli sono fissi; inoltre, anche se scabri, non portano a dissipazione di energia per attrito a causa della mancanza di strisciamento. Le forze attive sono conservative. Riassumendo seguiremo il seguente procedimento: 1) troveremo il moto usando l’integrale dell’energia; 2) troveremo le reazioni vincolari ΦT e ΦN in funzione dell’angolo ϕ usando le equazioni cardinali (unico modo per calcolarle); 3) imporremo che |Φt (ϕ)| = µ|ΦN (ϕ)|; l’angolo ϕ0 per cui questa uguaglianza è soddisfatta fornirà la posizione cercata. Calcolo dell’energia cinetica. Calcolo delle reazioni vincolari

128

CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI x

AC = BC

C ϕ

φt

φn

ϕ y

y O

Figura 5.9. dida ~ dP dt

~+R ~0 =R ~ = m~vG P ~ dP ṡ2 ~n) a]G = m( s̈~t + R+r dt = m~ s = (R + r)ϕ Rt = +mg sin(ϕ)Rn = +mg cosϕ R0t = +Φt R0n = −ΦN Dunque: ( m(R + r)ϕ̈ = mg sin(ϕ) + Φt m(R + r)ϕ̇2 = mg cosϕ − ΦN donde: ( Φt = −mg sin(ϕ) + m(R + r)ϕ̈ ΦN = mg cosϕ − m(R + r)ϕ̇2 Per avere Φt e ΦN in funzione dell’angolo ϕ esprimiamo ϕ̇2 e ϕ̈ mediante ϕ facendo uso dell’integrale dell’energia V2

0 (R + r)ϕ̇2 = 43 g(1 − cosϕ) + R+r e della relazione ottenuta derivando la precedente:

(R + r)ϕ̈ = 23 g sin(ϕ) Infine: Φt (ϕ) = −mg sin(ϕ) + m 23 g sin(ϕ) = − 13 mg sin(ϕ) ΦN (ϕ) = mg cosϕ − m 43 g(1 − cosϕ) −

mV02 R+r

= − 43 mg + 37 mg cosϕ − R+r0 La condizione limite diviene:

− 13 m g sin(ϕ)0

= µ

73 m g cosϕ0 −

4 3

mV 2

Poiché 0 ≤ ϕ ≤ essere eliminato:

π 2

mg−

mV02 R+r

sarà sin(ϕ) > 0 e quindi il modulo del primo membro può

5.2. PROBLEMA 1

sin(ϕ)0 = µ

7 cosϕ0 − 4 −

129 3V02 g(R+r)

Questa espressione definisce implicitamente ϕ0 . Il problema è finito. Passiamo ad un altro? No. Proviamo invece a svolgere lo stesso problema in modo diverso. Cosı̀ invece di usare il teorema dell’energia per il calcolo del movimento si poteva usare la seconda equazione cardinale della dinamica. Scelto come polo il punto C (incidentalmente esso è il centro di istantanea rotazione) ma di esso ci interessa il fatto che la sua velocità è parallela in ogni istante a quella del baricentro cosı̀ che si potrà far uso della equazione nella forma ~LC ~ dt = MC Perché abbiamo scelto C invece del baricentro G? Semplicemente perché se si sceglie il baricentro come polo interviene il momento della reazione vincolare: Mz = −Φt r. Invece scegliendo C il momento della reazione è nullo rispetto a C e l’equazione di moto è una equazione pura. Sarà 2 LCz = ( mr2 + mr2 )ωz ICz = IGz + md2 MCz = +mgr sin(ϕ) donde: d 3m 2 2 2 R+r ϕ̈ = mgr sin(ϕ) dt ( 2 r ωz ) = mgr sin(ϕ) 3 mr r (R + r)ϕ̈ =

2 3

g sin(ϕ)

L’equazione cosı̀ ottenuta è del secondo ordine e coincide con quello che si ottiene derivando l’integrale dell’energia rispetto al tempo. Uno dei vantaggi che ha l’integrale dell’energia rispetto alle equazioni cardinali consiste appunto nel fornire una equazione differenziale del primo ordine in luogo di una del secondo ordine. Abbiamo cosı̀ ottenuto l’equazione di moto con due procedimenti diversi: questo ci permette di verificare il risultato. Calcoliamo di nuovo le reazioni vincolari, questa volta invece di far uso della terna intrinseca proviamo ad usare le componenti cartesiane. (attenzione che l’asse ( delle y è orizzontale). m ẍG = R x + R0x ~ dP ~+R ~ 0 −→ = R dt mÿG = Ry + R0y ( ( xG = (R + r)cos(ϕ) ẋG = −(R + r)sin(ϕ)ϕ̇ yG = (R + r)sin(ϕ) ẏG = (R + r)cos(ϕ)ϕ̇ ( ẍG = −(R + r)cos(ϕ)ϕ̇2 − (R + r)sin(ϕ)ϕ̈ ÿ = −(R + r)sin (ϕ) ϕ̇2 + (R + r)cos ϕϕ̈ ( G R x = −mg R0x = ΦN cos(ϕ) − Φt sin(ϕ) Ry = 0 R0y = ΦN sin(ϕ) + Φt cos(ϕ)

130

CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI

dunque: −m(R + r)cosϕϕ̇2 @m(R + r)sin(ϕ)ϕ̈ = −mg + ΦN cosϕ − Φt sin(ϕ) − m(R + r)sin(ϕ)ϕ̇2 + m(R + r)cosϕϕ̈ = ΦN sin(ϕ) + Φt cosϕ Le equazioni cosı̀ ottenute contengono entrambe Φt e ΦN : invece quelle ottenute proiettando sulla terna intrinseca contenevano ciascuna una reazione incognita. Per confrontarle con quelle già ottenute eliminamo Φt dalla prima equazione moltiplicando la prima per cosϕ, la seconda per sin(ϕ) e sommando: −m(R + r)cos2 ϕϕ̇2 − m(R + r)sin ϕ cosϕϕ̈ − − m(R + r)sin2 ϕϕ̇2 + m(R + r)sin(ϕ) cosϕϕ̈ = = −mg cosϕ + ΦN cos2 ϕ + ΦN sin2 ϕ ovvero semplificando: −m(R + r)ϕ̇2 = m g cosϕ + ΦN che coincide con quella già ottenuta. Se invece si moltiplica la prima equazione per sin ϕ; la seconda per −cosϕ e si sommano le due si ottiene: −m(R + r)sin(ϕ) cosϕϕ̇2 − m(R + r)sin2 ϕϕ̈ + + m(R + r)sin(ϕ) cosϕϕ̇ − m(R + r)cos2 ϕϕ̈ == −mg sin(ϕ) − Φt sin2 ϕ − Φt cos2 ϕ ovvero semplificando: −m(R + r)ϕ̈ = −m g sin(ϕ) − Φt Dunque abbiamo ottenuto per due vie traverse lo stesso risultato: è cosı̀ che si può sapere se un risultato è giusto. Lo studente dirà: si, ma se tutti gli esercizi li devo svolgere in due modi diversi ... non finisco più! Errore! Invece di fare, poniamo sessanta esercizi, è meglio, molto meglio, farne solo trenta svolgendoli in più modi: ciascuno varrà per due. Si acquista più padronanza facendo sessanta esercizi e ogni volta cercando disperatamente la soluzione su un eserciziario, o facendone trenta ma avendo una ragionevole certezza che il risultato sia giusto? Bene, passiamo ad un altro esercizio. ... Ma veramente potremmo farci ancora qualche domanda su questo esercizio. Basta! dirà lo studente, facciamone un altro. Evidentemente questa reazione nasce dalla convinzione che cambiando esercizio si impara qualche cosa di più. E’ un errore. E’ come se uno volendo imparare a parlare inglese cerca di incontrare più inglesi che sia possibile e invece quando può intrattenersi a lungo con un inglese si accontenta di dire due parole e poi scappa via. Al massimo imparerà a dire solo good morning e good evening e good night! Occorre sfruttare a fondo le occasioni: un esercizio è una buona occasione, è bene sviscerarlo fino in fondo. Torniamo al nostro disco. Dopo che inizia lo strisciamento come prosegue il

5.2. PROBLEMA 1

131

suo moto? Quando incomincia a strisciare i suoi gradi di libertà divengono due e quindi occorrono due coordinate per individuare la sua configurazione. Scegliamo ϕ e ϑ. Ci vorranno due equazioni di moto. Poiché c’è l’attrito dinamico conviene usare le equazioni cardinali che fanno uso delle reazioni (le equazioni di Lagrange non sono applicabili quando il vincolo è scabro). Non si può usare il teorema di conservazione dell’energia a causa dell’attrito. Dunque: ~ dP ~+R ~ 0 d ~L0 = M ~0 + M ~0 =R dt 0 (dt m ẍG = R x + R0x 0 I ϑ̈ = MGz + MGz mÿG = Ry + R0y Gz Le prime due equazioni coincidono con quelle già trovate prima e perciò evitiamo di esplicitarle. Nella seconda equazione si è scelto come polo il baricentro tanto per cambiare (non siamo qui per fare un po’ di esperienza?). Attenzione che ora ϕ e ϑ sono libere e perciò non è più applicabile la relazione ϑ̇ = R+r r ϕ̇ La seconda equazione cardinale diviene: 1 2 ϑ̈ = Φ r mr t 2 Abbiamo cosı̀ scritto tre equazioni, mentre le incognite sono quattro: ϕ, ϑ, Φt , ΦN . Manca dunque una equazione. Poiché il disco striscia sulla guida, tra Φt e ΦN intercorre la relazione |Φt | = f |ΦN | essendo f il coefficiente di attrito dinamico tra il disco e la guida. Ora il bilancio incognite-equazioni torna. Scriviamo le equazioni insieme:  2 + m g cosϕ  Φ = −m(R + r) ϕ̇  N      Φt = m(R + r)ϕ̈ − m g sin(ϕ)  1 2    2 mr ϑ̈ = −Φt r    −Φ = f Φ t N Eliminando Φt e ΦN si ottengono le due equazioni pure di moto: ( 1 2 2 mr ϑ̈ = − f m(R + r)ϕ̇ + f mg cosϕ 1 − 2 mrϑ̈ = m(R + r)ϕ̈ − m g sin(ϕ) Sommando le due equazioni si ottiene una equazione contenente solo ϕ: − f m(R + r)ϕ̇2 + m(R + r)ϕ̈ + f mg cosϕ − m g sin(ϕ) = 0 Quando si sarà risolta questa equazione si otterrà ϕ = ϕ(t). Sostituita in una qualsiasi delle due equazioni precedenti si otterrà ϑ = ϑ(t). In linea di principio dunque il moto è determinato. In linea di fatto l’equazione differenziale del secondo ordine ottenuta è non lineare e la sua integrazione esula dalle competenze di un programma usuale di analisi. O si riesce a trovare una sostituzione conveniente che la riconduce ad un tipo noto oppure si dovrebbe procedere con uno dei tanti metodi di integrazione approssimati (metodi iterativi e numerici).

132

5.2.1

CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI

Problema 3

Enunciato. Un filo omogeneo pesante si avvolge su un cilindro fisso e scabro. Sia p il peso per unità di lunghezza del filo, l la sua lunghezza, µ il coefficiente di attrito statico tra filo e cilindro. Si domanda quale è il massimo dislivello consentito tra i due estremi del filo affinché esso stia in equilibrio. ~ t

~ n D

A d

Figura 5.10. dida

In questo problema si suppone che il filo tagli ortogonalmente le generatrici del cilindro cosı̀ da essere ~ ~n = −N ~ è verso (il segno meno tiene conto che la ~n è diretta verso la concavità mentre N l’esterno della superficie). Inoltre si può prendere T~ = ~t Quindi ΦN = −Φn ΦT = Φt E’ un problema di statica dei fili su superficie scabra (§39). Le equazioni di equilibrio sono:

(

F = −p cos(ϑ) dT Ft + Φt + ds = 0

F = +p sin(ϑ) Fn + Φn + Tr = 0

ds = r d (ϑ) Da esse si ricavano le reazioni: Φt = p cos(ϑ) − 1r dTdϑ(ϑ) Φn = −p sin(ϑ) − T ((ϑ)) r La condizione di equilibrio per vincoli scabri è: |ΦT | ≤ µ|ΦN |. Il massimo dislivello tra A e B comporta la condizione limite |ΦT | = µ|Φ − N|. Supponiamo che sia B più in basso di A. Ciò comporta che la ΦT si opponga all’ulteriore abbassamento di B e quindi sia dello stesso senso del versore t segnato in figura: ΦT > 0, donde |ΦT | = Φt . Inoltre Φn < 0 perché la reazione del disco è rivolta verso l’esterno, dunque essendo ΦN = −Φn ne viene ΦN > 0.

5.2. PROBLEMA 1

133

Donde l’equazione pura di equilibrio è: +p cos(ϑ) = 1r dTdϑ(ϑ) = µ[+p sin(ϑ) + T (ϑ) r ] ovvero dT (ϑ) + µT (ϑ) = r p cos(ϑ) − µ r p sin(ϑ) dϑ E’ questa una equazione differenziale lineare del primo ordine non omogenea nella funzione T (ϑ). Per risolverla (§88) si trova prima la soluzione della equazione omogenea associata: dT −µϑ dϑ + µT = 0 −→ T (ϑ) = Ce poi si aggiunge un integrale particolare: T̄ (ϑ) = +A sin(ϑ) + B cos(ϑ) Per determinare le costanti A e B si sostituisce questa espressione di T̄ (ϑ) nella equazione non omogenea. Raccogliendo i termini uguali si ottiene: (A + µB)cos(ϑ) + (µA − B)sin(ϑ) = (rp)cos(ϑ) + (−µrp)sin(ϑ) L’equazione è identicamente soddisfatta se:  ( 1−µ2   A + µB = rp  A = 1+µ2 rp ovvero    B = 2µ 2 rp µA − B = −µrp 1+µ

Pertanto la soluzione generale sarà: 1−µ2 2µ T (ϑ) = Ce−µϑ + 1+µ 2 rp sin(ϑ) + 1+µ2 rp cos(ϑ) Ora che sappiamo come varia la tensione in funzione di ϑ porremo le condizioni che all’estremo C(ϑ = 0) essa uguagli il peso del tratto CB, all’estremo D(ϑ = π) essa uguagli il peso del tratto AD. Se x è la lunghezza del tratto CB il suo peso è px: esso uguaglia la tensione in C, cioè T (0) = px. La tensione in D è uguale al peso del tratto DA cioè T (π) = p(l − x − πr). Dunque: ♣ MARCO  2µ    C + 1+µ2 rp = px    Ce−µπ − 2µ 2 rp = p(l − x − πr) 1+µ donde eliminando C dalle due equazioni si ricava (dopo qualche passaggio) 2µ l−πr x = 1+e −µπ + 1+µ2 r Il dislivello tra B e A è: d = x − (l − x − πr) = 2x − l + πr sostituendo l’espressione di x trovata, dopo qualche semplificazione si ottiene: d = (l − πr)

1−e−µπ 1+e−µπ

4µ 1+µ2

134

CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI

che fornisce la risposta al problema. Sarà giusto il risultato? Facciamo qualche controllo. Intanto osserviamo che se non c’è attrito (µ = 0) l’equilibrio si ha solo quando A e B sono allo stesso livello, cioè d = 0. Ponendo µ = 0 nel risultato si ottiene infatti d = 0. Il primo controllo è quindi superato. Facciamo il controllo dimensionale: tutti i termini entro parentesi quadre devono avere le dimensioni di una lunghezza. Un esame del risultato mostra che cosı̀ è. Questo però non ci assicura che il risultato sia giusto. Come si fa ad esserne sicuri? L’unico modo è quello di rivedere il problema dall’inizio, esaminare attentamente le posizioni fatte strada facendo, lo svolgimento dei passaggi, vedendo se le formule sono state applicate nel rispetto delle loro condizioni di validità, se il procedimento usato è lecito. Insomma: rivedere tutto!

5.2.2

Problema 4

Tre aste di uguale lunghezza l e di uguale peso p per unità di lunghezza sono incernierate fra loro a formare un triangolo. Il vertice A è incernierato a terra, mentre il vertice C è appoggiato a terra. Sul vertice B agisce una forza orizzontale F. Determinare le azioni interne nel lato BC. F

pl C

A pl

Figura 5.11. dida

Risoluzione. Si tratta di un problema di statica dei sistemi rigidi. Non vi sono gradi di libertà perché le aste incernierate fra loro formano un sistema rigido. Questo nel piano ha tre gradi di libertà, ma la cerniera a sinistra (vincolo doppio) ed il carrello a destra (vincolo semplice) gli tolgono giusto tre gradi di libertà. Quindi non dobbiamo trovare la posizione di equilibrio: quella data essendo l’unica configurazione possibile è automaticamente di equilibrio. Per calcolare le azioni interne calcoliamo dapprima le reazioni vincolari (in qualche caso, come questo, non è indispensabile farlo, ma come norma noi se-

5.2. PROBLEMA 1

135

guiremo il criterio di calcolare le azioni interne dopo aver calcolato le reazioni vincolari). Innanzi tutto è bene disegnare i vettori peso (per non dimenticarli nel computo delle forze). Il peso di ciascuna asta è pl essendo p il peso della unità di lunghezza. Ora esplicitiamo le reazioni: in A la direzione della reazione non è nota e perciò ne consideriamo le due componenti orizzontali HA e verticale VA . In C la reazione è normale al vincolo e quindi verticale: VC . Ora scriviamo che è nulla la somma delle forze orizzontali, verticali e dei momenti rispetto ad A (polo più conveniente perché cosı̀ non compaiono i momenti delle due componenti della reazione in A).

F VA

VC C

A HA

Figura 5.12. dida

  +HA + F = 0        +VA − pl − pl − pl + VC = 0         +VC l − pl 1 − pl 1 cos60◦ − pl 2 2

(5.18) 3 2

l cos60◦ − F l sin60◦ = 0

donde   HA = −F       √      V = 3 pl + 3 F C (5.19)   2 2    √ √    3 3F 3 3    ) = pl − F  VA = 3pl − ( pl + 2 2 2 2 Cosı̀ le reazioni sono calcolate. Per determinare le azioni interne nell’asta BC la prima cosa da fare è di tornare a pensare il peso come distribuito lungo ogni asta. Quindi operiamo una sezione dell’asta BC in un punto generico S : indichiamo

136

CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI

con s la distanza di tale punto da B. Mettiamo in evidenza l’azione assiale N tangente all’asta, l’azione di taglio T normale ed il momento flettente N. Per non dimenticare il peso di ciascuno dei due pezzi in cui è divisa l’asta BC abbiamo indicato con una serie di freccine verticali il peso distribuito. Non è una bella rappresentazione e nel seguito la eviteremo. Il momento rispetto a B delle forze agenti su BS deve essere nullo. Il momento delle forze agenti su S C rispetto a C deve essere nullo. Infine il momento rispetto ad A delle forze agenti su AB e BS deve essere nullo. Esprimendo l’annullamento dei tre momenti otteniamo tre equazioni da cui ricaviamo le tre quantità N, T, M.

B 60◦

S T

60◦

M N

Figura 5.13. dida

MB= 0

MA= 0

MC= 0 A

Figura 5.14. dida

5.2. PROBLEMA 1

137

s s

s¡

T l ¡s 2

l 2

A l l ¡ T ( ¡ s)· + T (s¡ ) 2 2

l + T (s¡ ) 2

Figura 5.15. dida

  MB = +M + T s − p s 2s cos60◦ = 0        (l−s) ◦     MC = −M + T (l − s) + p(l − s) 2 cos60 = 0      MA = −pl 12 cos60◦ − Fl sin60 ◦ −p s(l cos60◦ +        −Nl cos30◦ + T (s − 12 ) + M = 0

s 2

cos60◦ )

(5.20)

Osservazione: nel calcolare il braccio della T nella terza equazione abbiamo supposto che sia s > l/2, cioè che la sezione sia fatta oltre la metà dell’asta. Il termine corrispondente è +T (s − l/2). Se fosse invece s < l/2 il termine sarebbe −T (l/2 − s) che è identico al precedente.

Figura 5.16. dida

+T s −

! ! ! l l l −T − s ≡ +T s − 2 2 2

(5.21)

Dunque non occorre considerare separatamente i due casi: la medesima espressione vale per i due casi s < l/2 ed s > l/2. Risolviamo le prime due equazioni che contengono solo M e T : +M + T s = p

p s2 − M + T (l − s) = − (l − s)2 4 4

(5.22)

138

CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI

Sommando si ottiene T=

p (2s − l) 4

(5.23)

p s(l − s) 4

(5.24)

mentre dalla prima si ricava

Infine dalla terza equazione si ricava 1 p N = − √ (3s + ) − F 2 2 3

5.2.3

(5.25)

Problema 5

♣ MARCO Due aste AB e BC di uguale lunghezza l e uguale peso p sono incernierate fra loro in B. L’estremo A è incernierato a terra mentre l’estremo C è libero di scorrere su una guida verticale passante per A. Una molla reale di lunghezza a riposo l0 congiunge A con C. Determinare la posizione di equilibrio. Risoluzione Si tratta di un problema di statica dei sistemi. Una volta determinato l’angolo che l’asta AB forma con la verticale è definita la configurazione dell’intero sistema. Dunque è sufficiente la coordinata libera ϑ. Non vi sono attriti, dunque possiamo usare il principio dei lavori virtuali. A

B p y

Figura 5.17. dida

Indicate con y1 , y2 , y3 le ordinate dei baricentri di AB e BC e del punto C rispettivamente sarà δW = pδy1 + pδy2 − k(2l cos(ϑ) − l0 )δy3 Esprimiamo ora le tre ordinate in funzione dell’unica coordianta ϑ: y1 = 21 cos(ϑ) y2 = 32 l cos(ϑ) y3 = 2l cos(ϑ)

5.2. PROBLEMA 1

139

δy1 = − 12 sin(ϑ)δ(ϑ) δy2 = − 32 l sin(ϑ)δϑ δy3 = −2l sin(ϑ)δϑ δW = [−p 2l sin(ϑ) − 32 p l sin(ϑ) − k(2l cos(ϑ) − l0 )(−2l sin(ϑ))]δϑ donde la condizione δW = 0 diviene −2p l sin(ϑ) + 2k l sin(ϑ)(2l cos(ϑ) − l0 ) = 0 ovvero sin (ϑ)[−p + 2k l cos(ϑ) − kl0 ] = 0 I casi sono due: sin (ϑ) = 0 −→ (ϑ) = 0 posizione di equilibrio in cui le aste sono allineate. Inoltre 0 cos(ϑ) = p+kl 2kl . Questa posizione di equilibrio sussiste solo se p+kl0 2kl ≤ .... ≤ k(2l − l0 )

5.2.4

Problema 6

In un piano verticale un’asta omogenea AB di lunghezza l = 20cm e di massa m = 300g poggia l’estremo B su un piano orizzontale e l’estremo A lungo una guida verticale liscia. Sull’estremo A agisce una molla verticale di costante k che ha l’altro estremo fissato d una altezza h = 18cm dall’estremo B. Si domanda quale valore deve avere la costante k (in newton al metro) affinché l’asta stia in equilibrio in posizione orizzontale. Si chiede successivamente di calcolare il periodo delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile.

A h

Figura 5.18. dida

Rileggiamo lentamente il testo per renderci familiare il problema. C’è un’asta con i due sistemi vincolati a due guide, una verticale, l’altra orizzontale. Le guide sono liscie. Il peso dell’asta è contrastato dalla molla per cui vi può essere una

140

CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI

posizione di equilibrio. La posizione di equilibrio è assegnata: è quella in cui l’asta AB è orizzontale. Allora è conveniente fare anche il

kh B

Figura 5.19. dida

nella posizione di equilibrio. k(h¡ l ) k(h+ l )

B mg

Figura 5.20. dida

♣ MARCO In A ci potrebbe essere la reazione vincolare orizzontale Φ. Ma poiché è l’unica forza orizzontale agente sull’asta, per l’equilibrio deve essere Φ = 0. Ora possiamo mettere in evidenza la forza della molla che è kh. Scrivendo che è nullo il momento, rispetto a B, delle forze agenti sull’asta, si ha MBz = −(kh)l + (mg)

1 = 0 −→ k = 2

mg 2h

Ponendo i valori numerici (facendo uso del Sistema Internazionale) m = 300g = 0, 3kg g = 9.81ms−2 h = 18cm = 0.18m 0.3·9.81 0.3·10 3 30 k = mg 2h = 2·0.18 ≈ 2·0.2 = 0.4 = 4 = 7.5 Poiché i calcoli sono stati fatti nel sistema SI e poiché k è una forza per unità di lunghezza il numero trovato è 7.5Nm−1 .

5.2. PROBLEMA 1

141

Se avete una molla in casa, anche se è una molla a compressione (come quella delle matite stilografiche) provate a determinare la costante. Se non l’avete potete usare un elastico. Ora dobbiamo vedere se la posizione di equilibrio orizzontale è stabile. Una posizione di equilibrio si dice stabile se una volta spostato il sistema da tale posizione questo vi ritorna. Proviamo dunque a ruotare di un angolo infinitesimo ϑ: DISEGNI Se lo ruotiamo in basso mg 2 1 MBz = −k(h + lϑ) + m 12 = − mg 2h (h + lϑ)l + mg 2 = − 2h l ϑ dunque il senso di MBz è opposto al senso dell’angolo cioè è di richiamo e quindi l’asta torna orizzonatale. Se la ruotiamo in alto MBz = +k(h − lϑ)l − mg 21 = −kl2 ϑ di nuovo il senso di MBz è opposto al senso dell’angolo e quindi l’asta torna orizzontale. Ne concludiamo che la posizione di equilibrio è stabile. Allo stesso risultato saremmo giunti esaminando il potenziale delle forze. Si ha: U peso = −mg xG = mg( 21 sin(ϑ) + a) Umolla = − 21 k(h − l sin(ϑ))2 ed essendo U = U peso + Umolla si ottiene U(ϑ) = −mg( 12 sin(ϑ) + a) − 12 k(h − l sin(ϑ))2 Vediamo se il potenziale è massimo nella posizione di equilibrio. A tal fine occorre esaminare il segno della derivata seconda. dU 1 dϑ = −mg( 2 cos(ϑ)) − k(h − l sin(ϑ))(−l cos(ϑ)) 2 d U = +mg 21 sin(ϑ) − k[(−l cos(ϑ))(−l cos(ϑ)) + (h − l sin(ϑ))(+l sin(ϑ))] = dϑ2 = mg 21 sin(ϑ) − k(l2 cos2 (ϑ) + hlsin(ϑ) − l2 sin2 (ϑ)) Quindi ponendo ϑ = 0 si ottiene = −kl2 Dunque la derivata seconda è negativa, il potenziale è massimo e l’equilibrio è stabile. d2 U | dϑ2 ϑ=0

Passiamo ora allo studio delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile. A questo scopo dobbiamo cercare una equazione di moto pura. Questa può essere fornita dall’integrale dell’energia: T − U = E. Calcoliamo l’energia cinetica. Poiché si tratta di un corpo rigido (un’asta) è conveniente usare il teorema di König: 2 + 1 I ω2 T = 21 m vG 2 Gz

142

CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI x x A

B yG

a y

Figura 5.21. dida

Esprimiamo ora le coordinate sovrabbondanti in funzione dell’unica coordinata libera ϑ: xG = 21 sin(ϑ)(t) + a ẋG = + 12 cos(ϑ)(t) ϑ(t) ẏG = − 12 sin(ϑ)(t) ϑ̇(t) yG = 21 cos(ϑ)(t) ne viene 2 2 1 T = 12 m[ l4 cos2 (ϑ)ϑ̇2 + l4 sin2 (ϑ)ϑ2 ] + 12 ( 12 ml2 )ϑ2 semplificando T = 16 ml2 ϑ̇2 Il potenziale, come abbiamo visto, è dato da U = −mg( 21 sin(ϑ) + a) − 12 k(h − l sin(ϑ))2 Poiché a noi interessano le piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile ϑ = 0, approssimiamo l’energia cinetica ed il potenziale (pag. 89). Poiché l’energia cinetica non contiene l’angolo ϑ ne viene che essa non deve essere approssimativa. Per il potenziale essendo l’equazione T − U = E diviene [ 16 ml2 ϑ2 ] − [(−mga − 12 kh2 ) − 12 kl2 ϑ2 ] = E Per ottenere l’equazione di moto possiamo ora derivare rispetto al tempo 1 2 2 3 ml ϑ̇ϑ̈ + kl ϑϑ̇ = 0 ovvero, eliminando ϑ̇ ϑ̈ + 3k m ϑ=0 E’ questa la tipica equazione dei moti armonici la cui forma generale è ϑ̈ + ω2 ϑ = 0. Per confronto si vede che q q ω 1 3k ω − 3k f = = m 2π 2π m Per valutare numericamente la frequenza basta ricordare che k = 7, 5N m−1 m = 0.3kg ne viene

5.2. PROBLEMA 1 f =

1 6.28

3·7.5 0.3

143

≈

1 6

22·10 3

≈

1 6

√ 70 ≈

8.4 6

= 1.4

Dunque f = 1.4 cioè 1.4 hertz (simbolo Hz). Ciò significa che l’asta fa 1.4 oscillazioni complete al secondo e quindi il periodo di una oscillazione completa (andata e ritorno) è 1 T = 1.4 ≈ 0.7 s. Con ciò il problema è finito. s−1

5.2.5

Problema 8

♣ MARCO Un anellino di peso p può scorrere senza attrito lungo una circonferenza liscia di raggio R che ruota con moto uniforme attorno ad un asse verticale. Determinare la posizione di equilibrio relativo. Classificazione del problema Statica della particella relativa ad un riferimento rotante. vincolo (la circonferenza): liscio, fisso (rispetto al riferimento rotante), bilatero, olonomo. forze attive: peso e forze apparenti (entrambe ammettono potenziale) gradi di libertà: uno. ω

t θ

F app

p p θ

Figura 5.22. dida

Risoluzione Essendo un problema di statica relativa occorre tener conto della forza apparente. Si tratta di una forza assifuga di modulo Fapp = m ω2 R sin(ϑ) Scriviamo ora la condizione di equilibrio della particella vincolato

F + Φ = 0 t F + Φ = 0 −→

F n + Φn = 0 Poiché il vincolo è liscio la reazione è normale ad esso, quindi Φt = 0. Ne viene −p sin(ϑ) + (mω2 R sin(ϑ))cos(ϑ) = 0 − p cos(ϑ) − (mω2 R sin(ϑ))sin(ϑ) + Φ = 0

144

CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI

La prima è una equazione pura che fornisce la posizione di equilibrio sin(ϑ)(−p + mω2 R cos(ϑ)) = 0 donde si ha sin(ϑ) = 0 −→ ϑ = 0 , ϑ = π e anche −p + mω2 R cos(ϑ) = 0 e quindi cos(ϑ) = ωg2 R Le prime due posizioni q di equilibrio esistono sempre, la terza esiste solo quando g ω2 R

≤ 1cioéω ≥

g R.

La seconda equazione di equilibrio fornisce la reazione vincolare Φ = +mgcos(ϑ) + mω2 Rsen2 (ϑ) Quindi per ϑ = 0 Φ = +mg per ϑ = π Φ = −mg 2 2 g per cos(ϑ) = ω2 R Φ = + ωmg2 R + mω2 R(1 − ωg4 R2 ) = mω2 R Facciamo qualche esempio numerico. Se R = 10 cm, m = 15 g e la guida fa 2 giri al secondo usando il Sistema Internazionale frequenza f = 2 Hz −→ ω = 2π f = 6.28 · 2 s−1 raggio R = 10 cm − 0.1 m −2 g = 9, 8 ms m = 0.015 kg viene g 100 2 9.8 10 = (12.56) 2 0.1 ≈ 150×0.1 = 150 = 3 ≈ 0.7 ω2 R essendo tale numero inferiore all’unità esiste la posizione di equilibrio intermedia tra 0 e π: cos(ϑ) ≈ 0.7 dalle tavole delle funzioni trigonometriche risulta ϑ ≈ 45◦ . Il valore della reazione vincolare è 1 225 Φ = 0.015(12.56)2 0.1 ≈ 15 1 150 10 = 1 = 0.225 Avendo effettuato il calcolo con le unità del Sistema Internazionale il risultato è in newton: Phi = 0.225 N (N è il simbolo del newton) Si tenga presente che un litro di acqua pesa 9.81 N, un uomo pesa circa 800 N e un etto è uguale a 0.981 N, quindi è circa 1 N .

5.2.6

Problema 9

♣ MARCO Quattro aste di uguale lunghezza l e uguale peso p sono incernierate a formare un quadrilatero come in figura. La cerniera A è attaccata ad un perno verticale che ruota con velocità angolare ω costante. La cerniera C scorre su una

5.2. PROBLEMA 1

145

guida verticale ed è ancorata ad una molle reale di costante k e lunghezza a riposo l0 . L’altro estremo della molla è vincolato a distanza (2l + l0 ) da A. Determinare la velocità angolare ϑ in funzione dell’angolo di equilibrio ω. DISEGNI Risoluzione E’ un problema di statica relativa ad un riferimento uniformemente ruotante. La posizione di equilibrio dipende dalla velocità angolare ω poiché una velocità angolare maggiore comporta un aumento dell’angolo di apertura ϑ. Immaginiamo di essere a bordo di un riferimento uniformemente ruotante: le quattro aste sono sottoposte al proprio peso, alle forze assifughe dovute alla rotazione del sistema di riferimento e alla forza della molla. Usiamo il principio dei lavori virtuali. lavoro virtuale della forza peso agente sull’asta AB: δW1 = +p δ yG = +p δ[ 21 cos(ϑ)] = −p 12 sin(ϑ) δ (ϑ) lavoro virtuale della forza peso agente sull’asta BC: δW2 = +p δ yH = +p δ[ 23 l cos(ϑ)] = −p 32 l sin(ϑ) δ ϑ Lavoro virtuale delle forze assifughe sull’asta AB: la forza assifuga agente sull’elemento di lunghezza ds e massa dm = ρ ds è data da dmω2 x = ρdsω2 s sin (ϑ) il lavoro virtuale della forza assifuga per una variazione infinitesima della configurazione (cioè per una variazione δϑ) è !

l D

D 2l+ l0

H p

C k(2l¡ 2lcos)

Figura 5.23. dida

[ρ ds ω2 s sin (ϑ)]δx = [ρ ds ω2 s sin (ϑ)]δ(s sin(ϑ)] = = [ρ ds ω2 s sin (ϑ)] · (+s cos(ϑ)δϑ) = +ρω2 s2 sin (ϑ) cos(ϑ) ds δϑ

146

CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI

Il lavoro virtuale per l’intera asta AB è R s=1 R s=1 δW3 = s=0 +ρω2 s2 sin (ϑ) cos(ϑ) ds δϑ = ρω2 sin (ϑ) cos(ϑ)δϑ s=0 s2 ds = = + 31 ρ l3 ω2 sin (ϑ) cos(ϑ)δϑ A s

B x

x B

dm ! 2x s

Figura 5.24. dida

Lavoro virtuale delle forze assifughe agenti sull’asta BC: forza assifuga agente su un tratto ds dm ω2 x = ρ ds ω2 s sin(ϑ) lavoro virtuale elementare (ρ ds ω2 s sin(ϑ))δ x = (ρ ds ω2 s sin(ϑ)) δ (s sin(ϑ)) = ρ ds ω2 s sin(ϑ) s cos(ϑ)δϑ lavoro virtuale complessivo R s=1 δW4 = s=0 ρ ds ω2 s sin(ϑ) s cos(ϑ)δϑ = 31 ρl3 ω2 sin(ϑ) cos(ϑ)δϑ Fatto questo osserviamo che il lavoro virtuale delle forze peso e delle forze apparenti assifughe relativo alle due aste di sinistra, AD e DC è il medesimo di quello relativo alle due aste di destra per evidenti ragioni di simmetria. Lavoro virtuale della molla: δWmolla = +k(2l − 2lcos(ϑ))δyC = +2 kl(1 − cos(ϑ))δ(2lcos(ϑ)) = = −4kl2 (1 − cos(ϑ))sin(ϑ)δϑ Dunque il lavoro virtuale totale è: δW = 2(δW1 + δW2 + δW3 + δW4 ) + δWmolla = = 2[−ρ 21 sin(ϑ)δ(ϑ) − 32 ρl sin(ϑ)δ(ϑ) + 31 ρl3 ω2 sin(ϑ)δϑ + + 13 ρl3 ω2 sen(ϑ) @δϑ] − 4kl2 (1 − cos(ϑ))sin (ϑ)δ(ϑ) = = 2[−2ρlsin(ϑ) + 23 ρl3 ω2 sin(ϑ) cos(ϑ)]δϑ − 4kl2 (1 − cos(ϑ))sin (ϑ)δϑ = = −4[ρgl2 sinvartheta − 13 ρl3 ω2 sin(ϑ) cos(ϑ) + kl2 (1 − cos(ϑ))sin (ϑ)]δϑ = = −4l2 sin(ϑ)[ρg − 13 ρlω2 cos(ϑ) + k(1 − cos(ϑ))]δϑ La posizione d’equilibrio si ottiene imponendo che sia δW = 0, cioè 1 3ρg + 3k sin(ϑ) = 0 −→ (ϑ) = 0ρg + k − ( ρlω2 + k)cos(ϑ) = 0 −→ cos(ϑ) = + 2 3 ρω l + 3k (5.26) Le posizioni di equilibrio sono dunque due: l’una con le aste chiuse ϑ = 0, l’altra funzione di ω. Questa seconda posizione di equilibrio sussiste solo se

5.2. PROBLEMA 1

147

3g ω2 l

≤ 1 cioé ω2 ≥ 3gl altrimenti si avrebbe cos(ϑ) > 1 e quindi non esisterebbe la soluzione. Risposta

q q 3g Dunque se ω < 3gl c’è la soluzione ϑ = 0. Se ω ≥ l oltre alla soluzione ϑ = 0 vi è anche la soluzione 3gρ+3k cos(ϑ) = ρω 2 l+3k

5.2.7

commiato

Per una buona preparazione della meccanica sono sufficienti due esercizi per ogni tipo esaminato in questa dispensa, di cui uno molto semplice ed uno di media difficoltà. In tal modo ci si assicura di saper risolvere problemi di qualunque tipo. E’ bene diluire la esecuzione degli esercizi in un periodo di diversi mesi piuttosto che concentrarla nell’ultimo mese dell’anno scolastico. Questo per una ragione che è fondamentale in qualunque studio: per apprendere occorre assimilare e questo esige un congruo tempo di sedimentazione. La nostra mente si comporta in questo, come lo stomaco. Ne risulta che l’esecuzione diviene più facile e più piacevole, né più né meno di quanto è più facile e piacevole cibarsi mediante tanti pasti distanziati piuttosto che con un unico pasto pantagruelico.

148

CAPITOLO 5. ESERCIZI RISOLTI E COMMENTATI

Appendice A

Programmi in Matlab Molte figure della dispensa sono state ottenute usando programmi in Matlab, un programma meraviglioso. E’ di semplice uso, ha il valore di un linguaggio di programmazione e include la grafica. I listati che seguono vogliono invitare lo studente ad essere concreto e a risolvere numericamente tutti i problemi di meccanica che non si possono risolvere analiticamente. L’ordine dei listati è arbitrario @. Essi sono numerati da AAA01 ad AAA99. Tutti i programmi hanno una uscita grafica e le relative figure si trovano nella pagina indicata in fondo al listato.

A.1

AAA01

% ELLISSE % Traccia una ellisse usando le coordinate polari % ———-modalità grafica——————————————————– close ; h1 = figure(1) ; set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0.5 0.5 0.5 0.5]) ; hold on ; zoom on axis equal ; axis([-12 12 -10 10]); % —————– parametri ———————————————————a = 10; % semiasse maggiore c = 8; % semidistanza focale b = sqrt(a*a-c*c); % semiasse minore p =b*b2 /a ; % parametro della conica=ordinata nel fuoco e = c/a; % eccentricità % —————– conica ————————————————————– 149

150

APPENDICE A. PROGRAMMI IN MATLAB Th = 0 : 0.01 : 2*pi; % array dei valori discreti di theta R = p ./ (1 + e*cos(Th)); % array dei valori discreti di rho X = c+ R .* cos(Th); Y = R .* sin(Th); % array coordinate cartesiane plot(X,Y,’r’,’linewidth’,2); % —————– raggi focali ——————————————————– for th = 0 : 0.16 : 2*pi; % discretizza angolo theta r = p / (1+e*cos(th)); % raggio x = c+r*cos(th); y = r*sin(th); % coordinate cartesiane plot([c x],[0 y],’b’) end % —————– fuochi, centro, assi, ecc. —————————————plot(c,0,’r+’,’linewidth’,2); plot(-c,0,’r+’,’linewidth’,2);% fuochi plot(0,0,’r+’,’linewidth’,2); % centro text(-c+0.61, 0.8,’F”’,’fontsize’,18,’fontname’,’times’);% fuoco text(0, 0.8,’C’,’fontsize’,18,’fontname’,’times’); % centro text(c, 0.8,’F’,’fontsize’,18,’fontname’,’times’); % fuoco plot([-10 10],[0 0],’color’,’k’, ’linestyle’, ’-.’) % asse maggiore plot([0 0],[-b b],’color’,’k’, ’linestyle’, ’-.’) % asse minore plot([-c -c],[0 p],’color’,’k’, ’linestyle’, ’-’) % ordinata nel fuoco % ——————————————————————————fine La figura è a pagina ....

A.2

AAA02

% —————————————————————————————% Asteroide % —————————————————————————————% Visualizza il moto di un’asta AB che si muove con gli estremi % su due assi ortogonali: A sull’asse x, B sull’asse y. % ——————————modalità grafica ————————————– close ; h1 = figure(1) ; set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0.5 0.5 0.5 0.5]) ; hold on ; zoom on ; pause off axis equal ; axis([-5 5 -5 5]); % ——————————- Dati ————————————————L = 3; % lunghezza asta in m n = 50; % numero fotogrammi p = 2 * pi / n; % passo angolare a=1.2*L; % lunghezza assi in m

A.3. AAA03

151

% ——————————-Traccia ———————————————– line([ 0 0],[-a a],’color’,’r’); % asse orizzontale line([-a a],[ 0 0],’color’,’r’); % asse verticale for k = 2 : 3 : n a = k*p; % angolo con l’asse verticale xA = L * sin(a); yA = 0; % punto A sull’asse orizzontale xB = 0; yB = L * cos(a); % punto B sull’asse verticale plot([xA yA],[ xB yB],’color’,’k’,’era’,’back’); % asta AB plot([xA xA],[0 yB],’color’,’k’,’linestyle’,’:’,’era’,’back’); plot([0 xA],[yB yB],’color’,’k’,’linestyle’,’:’,’era’,’back’); % centro di istantanea rotazione plot( xA,yB ,’r.’,’linewidth’,5,’era’,’back’); pause end; % ———————————————————————————–fine

A.3 %

AAA03

baseRulletta %——————————————————————————————— —— % Visualizza la polare fissa (base) e quella mobile (rulletta) di un’asta AB % che si muove con gli estremi su due assi ortogonali. % —————————————modalità grafica—————————— ———close ; h1 = figure(1) ; set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0 0 1 1]) ; % set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0.5 0.5 0.5 0.5]) ; hold on ; zoom on ; pause off axis equal ; axis([-5 5 -5 5]); % —————————————— Dati —————————————— —— L = 3; % lunghezza asta in m n = 50; % numero fotogrammi p = 2 * pi / n; % passo angolare a=1.2*L; % lunghezza assi in m % —————————————–Traccia ————————————— ——line([ 0 0],[-a a],’color’,’r’); % asse orizzontale

152

APPENDICE A. PROGRAMMI IN MATLAB

line([-a a],[ 0 0],’color’,’r’); % asse verticale polare fissa o base del moto A= 0 : 0.12 :2*pi; % crea array degli angoli X = L*cos(A) ; Y = L*sin(A); plot(X,Y,’b’) pause for k = 2 : 8 : 35 a = k*p; % angolo con l’asse verticale xA = L * sin(a); yA = 0; % punto A sull’asse orizzontale xB = 0; yB = L * cos(a); % punto B sull’asse verticale polare mobile o rulletta xM = (xA+xB)/2; yM = (yA+yB)/2; % punto medio asta D= 0 : 0.12 : 2*pi; % crea array degli angoli U = xM+L/2*cos(D) ; V = yM+L/2*sin(D); % array per la circonfe-

renza plot(U,V,’r’,’era’,’back’); % traccia polare mobile % plot([xA yA],[ xB yB],’color’,’k’,’era’,’back’); % asta AB plot([xA xA],[0 yB],’color’,’k’,’linestyle’,’:’,’era’,’back’); % tratto verticale plot([0 xA],[yB yB],’color’,’k’,’linestyle’,’:’,’era’,’back’); % tratto orizzontale plot( xA,yB ,’r.’,’linewidth’,5,’era’,’back’); % centro di istantanea rotazione pause end; % —————————————————————————————— - fine

A.4

AAA04

%————————————————————————————– % OSCULA %————————————————————————————– % Data una curva piana il programma traccia il cerchio osculatore % in diversi punti. La curva è utilizzata in forma parametrica % x(t) e y(t) per calcolare la tangente, la normale, il raggio ed % il centro del cerchio osculatore. % richiama f vettoreX, f vettoreY, f palla, f circo,f petalo

A.4. AAA04

153

% —————–modalità grafica———————————————close ; h1 = figure(1) ; set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0.5 0.5 0.5 0.5]) ; % set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0 0 1 1]) ; hold on ; axis on ; zoom on ; pause on axis equal ; axis([-1 10 -4 4]); % ————————————————————————————– % Traccia la linea S = 0 : 0.1 :10; [X, Y, Dx, Dy, DDx, DDy] = f petalo(S); plot(X,Y,’k’,’era’,’back’,’linewidth’,2) % assi cartesiani f vettoreX(-1, 0, 10, ’b’, 1, 0.24, 0.20 ) ; % ... spess, sL, sN f vettoreY(0, -3, 6, ’b’, 1, 0.24, 0.20 ) ; % ... spess, sL, sN %——– —————-scritte—————————h(1) = text(9 ,-0.3,’x’); h(2) = text(-0.4, 2.7, ’y’); set(h, ’fontsize’,18,’fontname’,’times’); % ————————————————————————————— for t = 0.2:1.3:9; % scelta di alcuni valori del parametro t [x, y, Dx, Dy, DDx, DDy] = f petalo(t); pause % ———– % traccia il punto f palla(x, y, 0.04, ’m’); % traccia un dischetto pause % ———– % versore tangente: t=dr/ds % tx = x’/sqr(x’*x’+y’*y’) ty = y’/sqr(x’*x’+y’*y’) den = sqrt(Dx*Dx+Dy*Dy); % sqr(x’*x’+y’*y’) tx = Dx/den; ty = Dy/den; % componenti della tangente xt = x + tx ; yt = y + ty ; % estremo del versore tangente plot([x xt], [y, yt], ’b’,’era’,’back’,’linewidth’,2); pause % ———– % versore normale. Lo scegliamo ruotando di 90 gradi % in senso orario il versore t. Cosı̀ facendo il versore normale % si trova sempre dalla stessa parte percorrendo la curva. nx = -ty ; ny=tx ; % componenti della normale xn = x + nx ; yn = y + ny ; % estremo del versore normale plot([x xn], [y, yn], ’r’,’era’,’back’,’linewidth’,2); pause % ———– % n = r dt/ds r = den*den*den /( Dy*DDx -Dx*DDy);

154

APPENDICE A. PROGRAMMI IN MATLAB % %

raggio cerchio osculatore attenzione: il raggio può essere positivo o negativo xC = x + nx * r; yC = y + ny * r; traccia un cerchietto nel centro f circo(xC, yC, 0.04, ’r’); % plot([x xC], [y, yC], ’g’,’era’,’back’);% retta dal punto al cen-

tro pause % ———– f circo(xC, yC, r, ’r’); %

traccia cerchio osculatore end %————————————————————————————fine

A.5

AAA05

% ——————————————————————————% TAGLIO % ——————————————————————————% Diagramma dell’azione di taglio su un’asta orizzontale soggetta % a carichi verticali sia concentrati che distribuiti. % —-> chiama f vettoreY % ——————–modalità grafica————————————— close ; h1 = figure(1) ; set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0 0 1 1]) ; % set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0.5 0.5 0.5 0.5]) ; hold on ; axis on ; grid off ; zoom on ; axis equal ; axis([0 16 -5 5]); % ————————- dati ———————————————— xA = 2 ; yA = 0; % estremo iniziale dell’asta xB = 12; yB= 0; % estremo finale dell’asta L = xB-xA; % lunghezza dell’asta q = 50 ; % peso dell’asta (N) fs = 0.04; % fattore scala forze fss = 2; % fattore scala carichi distribuiti p = 0.1; % passo per il diagramma % Carichi concentrati: positivi se nel senso della normale % Ff = array forze verticali concentrate discendenti i (in newton) Ff = 0; % Ff= [50] % Ff = [12 35 ]; % Sf = array posizioni (in metri) delle forze concentrate Sf=[0.4*L] % Sf = [0.4*L 0.6*L]; nf = size(Ff,2) ;

A.5. AAA05 % %

155

Carico uniforme distribuito: lo consideriamo come un carico discreto su un passo piccolo ottenuto dividendo L in w tronchi. w = 100; % numero dei tronchi g = L/w; % g = lunghezza di ogni tronco qw = q / w ; % peso di ogni tronco Fq = qw * ones(1,w); % array dei carichi uniformi (N/m) Sq = g/2 : g : L ; % array dei punti medi dei tronchi % reazioni in A e B risultante = sum(Ff) + sum(Fq); % somma delle forze momento = Ff * Sf’ + Fq * Sq’; % somma dei momenti VB = momento / L ; VA = risultante - VB ; % —————————————————————————— for s = 0 : p : L % calcola la somma delle forze concentrate fino ad s Zf = Sf (Sf ¡ s); % Z = array delle posizioni precedenti s zf = size(Zf,2); % dimensioni dell’array fn = 0; % fn = somma delle forze concentrate for k=1 : zf ; fn = fn + Ff(k); end ; % aggiungi la somma delle forze distribuite fino ad s Zq = Sq (Sq ¡ s); % U = array delle posizioni precedenti s zq = size(Zq,2); % dimensioni dell’array for h=1 : zq ; fn = fn + Fq(h); end ; % diagramma dell’azione di taglio T T = - VA + fn; % azione di taglio x = xA + s / L*(xB-xA); y = yA + s / L*(yB-yA); x1 = x ; y1 = y +T*fs; plot([x x1] , [y y1],’r’,’linewidth’,0.5,’era’,’back’) end % —————————————————————————— % traccia asta plot([xA xB],[yA yB],’k’,’linewidth’,1,’era’,’back’) % traccia reazione in A reazA = sign(VA) * VA* fs ; y0 = yA +reazA; f vettoreY(xA, yA, reazA, ’m’, 2, 0.32, 0.20 ) ; % traccia reazione in B reazB = sign(VB) * VB* fs ; y0 = yB +reazB; f vettoreY(xB, yB, reazB, ’m’, 2, 0.32, 0.20 ) ; for k=1 : nf x = xA + Sf(k) ; y = yA ; forza = -Ff(k)*fs ; yf = y + forza;

156

APPENDICE A. PROGRAMMI IN MATLAB %

f vettoreY(x, y, forza, ’b’, 2, 0.32, 0.20 ) ; end % traccia forze distribuite for k=1 : 3: w x = xA + Sq(k) ; y = yA ; xq = x ; yq = y + Fq(k)*fss; % plot([x , xq] , [y , yq] ,’b’,’linewidth’,0.5,’era’,’back’) end % ———————————————————————– fine

A.6

AAA06

%——————————————————————————— % CHASLES %——————————————————————————— % ———-modalità grafica————– close ; h1 = figure(1) ; set(h1, ’Units’, ’normalized’, ’Position’, [0 0 1 1]) ; hold on % indispensabile: traccia su una stessa pagina grafica pause off % mettere on per temporizzare % ———–assegna sagoma————a = 10 ; b = 15 ; c = 3 ; % dimensioni sagoma a L (6+1 vertici) % sagoma nella configurazione di riferimento % crea due vettori-riga con le ascisse e le ordinate dei vertici X = [0 a a c c 0 0] ; Y = [0 0 c c b b 0] ; U = ones(1,7) ; % array per convertire scalare in vettore colonna % disponi la sagoma in una posizione iniziale p = -60*pi/180 ; % angolo iniziale xR = 10 ; yR = 50 ; % primo centro di rotazione XR = xR*U ; YR = yR *U ; % effettua la rotazione Xp = XR+(X-XR)*cos(p)+(Y-YR)*sin(p) ; Yp = YR-(X-XR)*sin(p)+(Y-YR)*cos(p) ; % disponi la sagoma in una posizione finale q = 80*pi/180 ; % angolo finale xS = -20 ; yS = 10 ; % secondo centro di rotazione XS = xS*U ; YS = yS*U ; % usa la formula di rotazione Xq = XS+(X-XS)*cos(q)+(Y-YS)*sin(q) ;

A.6. AAA06

% %

% % %

157

Yq = YS-(X-XS)*sin(q)+(Y-YS)*cos(q) ; traccia sagoma nelle posizioni iniziale e finale plot(X,Y,’y’,’era’,’back’) fill(Xp,Yp,’m’,’era’,’back’) axis equal ; axis([-40 65 -40 65]) ; % [xmin xmax ymin ymax] pause ; ; fill(Xq,Yq,’b’,’era’,’back’) ———-fotogrammi——————— Ora scelgo due punti A e B, ad esempio il secondo ed il quinto punto della sagoma e ne congiungo le posizioni iniziali e finali xAi = Xp(2) ; yAi = Yp(2) ; % posizione iniziale punto A xAf = Xq(2) ; yAf = Yq(2) ; % posizione finale punto A pause ; line([xAi xAf], [ yAi yAf],’color’,’m’,’era’,’back’)

% % % %

% %

% % %

xBi = Xp(5) ; yBi = Yp(5) ; % posizione iniziale punto B xBf = Xq(5) ; yBf = Yq(5) ; % posizione finale punto B pause ; line([xBi xBf], [ yBi yBf],’color’,’m’,’era’,’back’) punti medi: M = medio(Ai,Af), N = medio(Bi,Bf) xM = (xAi+xAf)/2 ; yM = (yAi+yAf)/2 ; xN = (xBi+xBf)/2 ; yN = (yBi+yBf)/2 ; pause ; plot(xM,yM,’rx’,’era’,’back’) ; plot(xN,yN,’rx’,’era’,’back’) l’asse di un segmento passa per il punto medio ed è ruotato di 90 gradi. L’equazione dell’asse del segmento (Ai,Af) è x = xM+s*(yAf-yAi) y = yM-s*(xAf-xAi) per tracciare l’asse prendiamo, ad esempio s = 1, s = -1 x1 = xM+1*(yAf-yAi) ; y1 = yM-1*(xAf-xAi) ; x2 = xM-1*(yAf-yAi) ; y2 = yM+1*(xAf-xAi) ; pause ; line([x1 x2],[y1 y2],’color’,’g’,’era’,’back’) analogamente per l’asse del segmento (Bi,Bf)’ x = xN+t*(yBf-yBi) y = yN-t*(xBf-xBi) x3 = xN+1*(yBf-yBi) ; y3 = yN-1*(xBf-xBi) ; x4 = xN-1*(yBf-yBi) ; y4 = yN+1*(xBf-xBi) ; pause ; line([x3 x4],[y3 y4],’color’,’g’,’era’,’back’) determina l’intersezione Q degli assi. Deve essere: xM+s*(yAf-yAi) = xN+t*(yBf-yBi) ; yM-s*(xAf-xA) = yN-t*(xBf-xBi) ; donde si ricava s0 num = (xM-xN) *(xBf-xBi)+(yM-yN) *(yBf-yBi) ; den = (xAf-xAi)*(yBf-yBi)-(yAf-yAi)*(xBf-xBi) ; s0 = num/den ; da cui xQ = xM+s0*(yAf-yAi) ; yQ = yM-s0*(xAf-xAi) ;

158

APPENDICE A. PROGRAMMI IN MATLAB

XQ = xQ*U ; YQ = yQ*U ; pause ; plot(xQ,yQ,’mo’,’era’,’back’) af = q-p ; da = af/12 ; traccia sagome intermedie for a = 0 : da : af ; Xe = XQ+(Xp-XQ)*cos(a)+(Yp-YQ)*sin(a) ; Ye = YQ-(Xp-XQ)*sin(a)+(Yp-YQ)*cos(a) ; pause(1) ; plot(Xe,Ye,’k’,’era’,’back’) ; xB=Xe(5) ; yB=Ye(5) ; line([xQ xB],[yQ yB],’color’,’B’,’era’,’back’) end ————————fine———————

Appendice B

RIMASUGLI B.0.1

Punto materiale vincolato ad una superficie liscia

~ è normale alla Un punto su una superficie ha 2 gradi di libertà. La reazione Φ superficie. Se la superficie è data mediante le equazioni parametriche x = x(ξ, η)

y = y(ξ, η)

z = z(ξ, η)

siano ~u e ~v i due vettori tangenti alla superficie dati da  ∂P ∂x ~ ∂y ~ ∂z ~    ~u = i+ j+ = k    ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ         ∂y ∂z ∂P ∂x     ~v = ∂η = ∂η ~i + ∂η ~j + ∂η ~k

(B.1)

(B.2)

~ 0 sarà normale alla superficie e Dal momento che la superficie è liscia la reazione R quindi ortogonale a ciascuno dei vettori ~u e ~v. Quindi per l’equilibrio dovrà essere ~ normale lanche a forza attiva R  ∂x ∂y ∂z    R x + Ry + Rz =0     ∂ξ ∂ξ ∂ξ   ~       R · ~u = 0  ~+R ~0 = 0 →  R → (B.3)          R  ~ · ~v = 0   ∂x ∂y ∂z    = 0.  R x + Ry + Rz ∂η ∂η ∂η Se della superficie è data l’equazione f (x, y, z) = 0 la reazione che è normale ad essa è esprimibile cosı̀: Φ(P) = λ(P) grad f (P) 159

(B.4)

160

APPENDICE B. RIMASUGLI

essendo λ(x, y, z) una funzione da determinare. L’equilibrio si ha per quei valori di x, y, z per cui: Rx + λ

∂f =0 ∂x

Ry + λ

x = x(λ)

∂f =0 ∂y

y = y(λ)

Rz + λ

∂f =0 ∂z

z = z(λ).

(B.5) (B.6)

Per determinare λ corrispondente all’equilibrio si inseriscono nella equazione f (x, y, z) = 0 le espressioni (??): si ricava cosı̀ λ. Sostituita di nuovo nelle equazioni (??) si ottengono le x, y, z di equilibrio. Il valore di λ serve poi al calcolo della reazione vincolare. Se le forze attive sono conservative, si può usare il teorema della stazionarietà del potenziale come segue. Si esprime il potenziale delle forze attive U(x, y, z) in funzione dei due parametri ξ ed η: U = U(ξ, η).

(B.7)

La stazionarietà del potenziale porta allora alle due equazioni ∂U(ξ, η) =0 ∂ξ

∂U(ξ, η) =0 ∂η

(B.8)

che risolte forniscono ξ ed η di equilibrio. Queste sono equivalenti alle due equazioni (B.3).

B.0.2

Punto materiale vincolato ad una superficie scabra

Se è nota l’equazione cartesiana della superficie f (x, y, z) = 0, si ha: ∂ f~ ∂ f ~ ∂ f ~ i+ j+ k ∂y ∂z ~ = − ∇ f = s ∂x N . !2 !2 !2 |∇ f | ∂f ∂f ∂f + + ∂x ∂y ∂z

(B.9)

Se invece la superficie è data mediante le equazioni parametriche x = x(ξ, η), y = y(ξ, η), z = z(ξ, η) si ha: ∂P ∂P × ~ = ∂ξ ∂η

∂P ∂P

× ∂ξ ∂η

(B.10)

161 essendo P = P(x, y, z). La condizione di equilibrio è     RT + ΦT = 0 0 ~+R ~ =0 R −→    RN + ΦN = 0

(B.11)

~ deve essere contenuta nel cono di attrito, cioè ed inoltre la reazione Φ |ΦT | ≤ µ|ΦN |

(B.12)

162

APPENDICE B. RIMASUGLI

Appendice C

Sistemi di forze C.1

Forze su corpi rigidi

C.1.1

Sistemi equivalenti

Sovente si devono studiare corpi rigidi sui quali agiscono diverse forze. Sorge allora l’esigenza di stabilire quando due insiemi di forze sono equivalenti agli effetti dell’equilibrio per poter sostituire tale sistema di forze con un sistema equivalente composto dal minor numero possibile di forze. Si vedrà che in casi eccezzionali un sistema può essere equivalente al sistema nullo (nessuna forza); in altri ad una sola forza; in altri ancora a due forze (una coppia) e, in generale, a non più di tre forze (una forza e una coppia). Per dimostrare questo si devono introdurre tre postulati, ovvero tre proprietà che risultano soddisfatte per i corpi rigidi. • una forza applicata in un punto generico di un corpo rigido si può spostare lungo la sua retta di azione senza alterare lo stato di equilibrio o di moto del corpo; • due forze applicate in uno stesso punto di un corpo rigido possono sostituirsi con la loro risultante applicata nel punto (anche per corpi deformabili); • in un generico punto di un corpo rigido si possono aggiungere due forze opposte senza alterare lo stato di equilibrio o di moto del corpo (anche per corpi deformabili).

C.1.2

Riduzione di un sistema di forze

Consideriamo un corpo rigido, come in figura (??) e limitiamoci a considerare tre forze F~1 , F~2 , F~3 applicate in tre punti A1 , A2 , A3 . Sarà immediato rendersi conto 163

164

APPENDICE C. SISTEMI DI FORZE

che le operazioni che effettueremo si possono estendere ad un numero qualsiasi di forze. MQ F3

A3 A2 F2

Figura C.1. Un sistema di forze applicate ad un corpo rigido si può ridurre ad una sola forza applicata ad un punto prefissato e ad una coppia, descritta da un momento.

Fissiamo un generico punto Q del corpo rigido (o fuori del corpo purché solidale con esso), che chiameremo polo e proponiamoci di ridurre tutte le forze a quel polo. Consideriamo la forza F~1 . Applichiamo nel polo Q due forze opposte di direzione e modulo uguali ad F1 : per il terzo postulato non avremo alterato lo stato di equilibrio o di moto del corpo rigido. M Q1

coppia

Figura C.2. L’operazione di trasporto di una forza ad un polo Q comporta l’aggiunta di una coppia.

Riguardiamo ora la forza in Q parallela, eguale ed equiversa alla F~1 come la forza F~1 trasportata in Q e le due forze parallele e controverse, la F~1 applicata in A1 e la −F~1 applicata in Q come formanti una coppia. In altre parole, con il procedimento descritto la forza F~1 è stata portata in Q, fuori dalla sua retta d’azione,

C.1. FORZE SU CORPI RIGIDI

165

facendo intervenire una coppia correttiva. Tale coppia può essere rappresentata da ~ Q,1 che applicheremo in Q. Questa operazione può essere un vettore momento M ripetuta per le altre forze. Il risultato è che ci ritroviamo in Q tre forze e tre momenti. Sommando separatamente le forze ed i momenti in Q otterremo nel polo ~ ed un momento risultante M ~ Q. una forza risultante R Dal momento che questa operazione può essere fatta qualunque sia il numero di forze e qualunque siano i loro punti di applicazione, ne verrà che qualunque sistema di forze applicate ad un corpo rigido si può sostituire con un sistema equivalente costituito da una forza risultante applicata in un polo prefissato e da ~ Q può essere visto come un momento applicato nello stesso punto. Il momento M momento di una coppia: ne viene che un sistema di forze applicate ad un corpo rigido si può sempre ridurre ad una forza applicata in un punto e ad una coppia. ~= R

N X

F~k

~Q = M

(Ak − Q) × F~k .

(C.1)

k=1

C.1.3

N X

Come varia il momento al variare del polo.

~ sarà indipendente dal polo scelto mentre il momento È evidente che la risultante R ~ M dipenderà dal polo. Per convincersene basta esaminare il caso di una sola forza con polo Q scelto sulla sua retta d’azione o fuori della sua retta d’azione: nel primo caso il momento è nullo, nel secondo caso è diverso da zero. Intanto ci possiamo chiedere come varia il momento al variare del polo. Se indichiamo con Q0 un nuovo polo avremo: ~ Q0 = M

N X

~Q = (Ak − Q0 ) × F~k = M

N N X X ~ Q + (Q − Q0 ) × [(Ak − Q) + (Q − Q0 )] × F~k = M F~k k=1

k=1

(C.2) ovvero ~ Q0 = M ~ Q + (Q − Q0 ) × R ~ M

(C.3)

Questa formula dice come varia il momento del sistema di forze al variare del polo. Si chiama formula del trasporto del momento.

C.1.4

Proprietà del momento

Una prima proprietà si manifesta osservando che se Q e Q0 si trovano su una retta ~Q = M ~ Q0 in quanto (Q − Q0 ) × R ~ = 0. parallela alla risultante si ha M Una seconda proprietà si manifesta moltiplicando scalarmente ambo i membri dell’uguaglianza per la risultante: ~Q · R ~= M ~ Q0 · R ~ M

(C.4)

166

APPENDICE C. SISTEMI DI FORZE

La grandezza def ~Q · R ~ I = M

(C.5)

prende il nome di invariante scalare. Dal momento che la risultante non dipende dal polo, indicato con ~u il versore della risultante, come mostra la figura (??) MQ F3

Q A3

R F2 A 2

F1 A1

a) Figura C.3. Il versore della risultante

ne viene che anche ~ R (C.6) R non dipende dal polo. Questa quantità è la proiezione del vettore momento lungo la direzione della risultante. Dunque il vettore momento dipende dal polo ma la sua proiezione lungo la direzione della risultante non dipende dal polo ovvero è invariante. || def ~ MQ = MQ · ~u

C.1.5

con

~u =

Ricerca di un polo privilegiato

Dal momento che la componente del momento lungo la direzione della risultante non dipende dal polo mentre il momento varia col polo, ne viene che la componente perpendicolare alla risultante cambia in funzione del polo. Ci proponiamo di vedere se esiste un polo privilegiato per il quale la componente perpendicolare è nulla. La componente perpendicolare si può scrivere ~⊥ = M ~Q − M ~ || = M ~ Q − (M ~ Q · ~u) ~u M Q Q

(C.7)

Consideriamo un polo strategico: l’origine del sistema di assi cartesiani O. Potremo scrivere ~⊥ = M ~ O + (O − Q) × R ~− I R ~ (C.8) M Q R2

C.1. FORZE SU CORPI RIGIDI

167

Poniamoci la domanda: esiste un polo S tale che MS⊥ = 0 ?. Dovrà essere ~ O + (O − S ) × R ~− I R ~=0 M R2

(C.9)

ovvero, esplicitando il vettore che contiene il punto incognito S dovrà essere ~ ~=M ~ O − I R. (S − O) × R R2

(C.10)

A destra dell’uguaglianza abbiamo una quantità che si può calcolare, a sinistra abbiamo un vettore incognito, (S − O). Dobbiamo risolvere questa uguaglianza. per semplicità indichiamo con ~b il secondo membro: dovremo risolvere l’equazione ~ = ~b. (S − O) × R

(C.11)

Con riferimento alla figura (??a) si vede intanto che se S −O è un vettore soluzione ~ è una soluzione in e λ è un generico numero reale, anche il vettore (S − O) + λ R ~ ~ quanto il prodotto R × R ≡ 0. b a u u

R S

u a)

Figura C.4. a) la determinazione di un punto S dell’asse centrale; b) il doppio prodotto vettoriale.

È consigliabile determinare il punto T che si trova sulla retta per S parallela ad R. Infatti, tenendo conto della definizione di ~b e osservando che il versore ~ ha la forma ortogonale a ~b e a R ~t =

~b ~ R × R b

(C.12)

si ha ||T − O|| R = b

donde

  ~b  R ~ ~ × ~b b b  R (T − O) = ~t =  ×  = (C.13) R R R b R2

168

APPENDICE C. SISTEMI DI FORZE

ricordando la definizione di ~b data dalla (C.8) si ha ~ × M~O R (T − O) = (C.14) R2 Infine la retta passante per il punto T , parallela alla risultante, è formata dai punti S che soddisfano l’equazione ~ × M~O R ~ + λ R. (C.15) R2 Questa speciale retta si chiama asse centrale del sistema di forze applicate al corpo rigido. Essa è caratterizzata dal fatto che il momento rispetto a qualunque suo punto è parallelo alla risultante. Inoltre, per il fatto che r || 2 2 MS = (C.16) MS + MS⊥ (S − O) =

essendo invariante il primo termine ed essendo nullo il secondo ne viene che il momento è minimo donde il nome di asse di minimo momento. z

R S

Figura C.5. L’asse centrale di un sistema di tre forze.

C.1.6

Casi particolari: forze piane

Nel caso di un sistema di forze piano considerato un punto Q del piano i momenti delle forze sono tutti perpendicolari al piano e quindi l’invariante scalare è nullo e quindi è nulla la componente parallela alla risultante (che giace nel piano). Poiché nei punti dell’asse centrale è nullo anche la componente perpendicolare, ne viene che l’intero momento è nullo rispetto ai punti dell’asse centrale. Quindi in un sistema di forze piane l’asse centrale è anche retta di applicazione della risultante. Ovvero: l’intero sistema è equivalente alla sola risultante applicata sull’asse centrale.

C.1. FORZE SU CORPI RIGIDI

C.1.7

169

Casi particolari: forze parallele

È notevole il caso in cui le forze siano tutte parallele: è questo il caso delle forze peso. Anche in questo caso i momenti delle singole forze, e quindi il momento totale, è perpendicolare alla direzione comune delle forze. Ne viene che l’asse centrale è luogo di momento nullo, essendo nulle tanto la componente parallela che la componente perpendicolare alla risultante. Ne viene che, anche in questo caso, l’asse centrale è anche retta di applicazione della risultante. Indicato con ~u il versore della risultante, sarà   N  N  X X      ~  F~k =  R = Fk  ~u = R ~u      1 1  N  (C.17)  N  X X      ~  M = (Ak − O) × F~k =  (Ak − O)Fk  × ~u    O 1

donde  PN ~ × M ~O (Ak − O)Fk R  ~ S −O= + λ R = ~u ×  1 × 2 R R

  ~ ~u + λ R

(C.18)

Orbene, indicando con ~a un vettore, con riferimento alla figura (??b), si vede che ~u × ( ~a × ~u) = ~v = ~a − (~a · ~u) ~u

(C.19)

donde PN S −O=

  PN (Ak − O)Fk   1 (Ak − O)F k − λ R − · ~u ~u. R R

(C.20)

A questo punto si fa la sorprendente constatazione che scegliendo il valore di λ che annulla il termine fra parentesi quadre si ottiene un vettore (C − O) che non dipende dalla direzione ~u e quindi si ottiene il punto C tale che N X

C−O=

(Ak − O)Fk

(C.21)

Questo significa che cambiando la direzione a tutte le forze parallele, cambia ~u, ma non cambiando i moduli delle forze, viene individuato un punto C che è l’intersezione di tutti gli assi centrali. Questo speciale punto si chiama centro delle forze parallele, ed è rappresentato in figura (??). Risulta allora che il sistema delle forze parallele applicate ad un corpo rigido è equivalente alla sola risultante applicata nel centro del sistema di forze.

170

APPENDICE C. SISTEMI DI FORZE

F1 F2

Figura C.6. Il centro di un sistema di due forze parallele.

Nel caso particolare delle forze peso tale centro prende il nome di baricentro. In questo caso si usa indicare con pk i pesi e con G il baricentro. Quindi si ha la formula N X (Ak â&#x2C6;&#x2019; O)pk Gâ&#x2C6;&#x2019;O=

R fine

(C.22)

Appendice D

Le diverse meccaniche D.1

Le diverse meccaniche

• • • • • • • • • • • • • •

meccanica classica meccanica atomica meccanica quantistica meccanica teorica meccanica celeste meccanica analitica meccanica relativistica meccanica lagrangiana meccanica hamiltoniana meccanica dei gas meccanica dei fluidi meccanica dei solidi rigidi meccanica dei solidi deformabili meccanica statistica

meccanica classica=(sinonimo) meccanica razionale meccanica teorica (mecc. analitica; mecc. celeste; mecc. lagrangiana; mecc. hamiltoniana) meccanica atomica =meccanica quantistica meccanica dei gas=gasdinamica meccanica dei fluidi=fluidodinamica meccanica dei solidi rigidi=meccanica classica meccanica dei solidi deformabili (si studia in scienze delle costruzioni) meccanica statistica 171

172

APPENDICE D. LE DIVERSE MECCANICHE meccanica relativistica        perfetti (o ideali)   gas     reali                perfetti (o ideali)     liquidi       viscosi (o reali)     corpi     rigidi (o ideali)                 elastici                plastici    solidi           deformabili (o reali)           viscoelastici anelastici                  ecc   

Appendice E

Dizionario [NB: tutti i termini devono essere al singolare] ♣ eccezione: modi normali, Per comprendere una scienza, qualunque scienza, occorre intendersi sui suoi termini. Questo è ovvio. Poiché alcuni termini della meccanica sembrano intuitivi in quanto usati nel linguaggio comune, finisce che lo studente ha una cognizione approssimativa, se non errata, di alcuni di essi. A questo si aggiunge il fatto che durante una interrogazione lo studente è tenuto a rispondere alle domande e deve quindi, nella sua mente, organizzare una risposta. Per fare ciò occorre imparare ad esprimersi presentando la nozione a partire dalle premesse, mettere in evidenza le nozioni essenziali prima di quelle secondarie. Viene allora opportuno avere degli esempi di risposte da dare a domande del tipo: cosa è un atto di moto? cosa è il fattore di amplificazione dinamica? cosa sono i gradi di libertà di un sistema? cosa è un vincolo anolonomo? E cosı̀ via. ♣ Il dizionario che presentiamo favorisce il ripasso delle nozioni di meccanica, può essere consultato per chiarire una nozione e infine può aiutare a organizzare le risposte a possibili domande d’esame. accelerazione ~a • accelerazione media, nel moto di un punto, considerando le velocità del punto a due istanti diversi il rapporto tra la variazione della velocità e la durata dell’intervallo prende il nome di accelerazione media del punto nell’intervallo: v def ∆~ ~a¯ = (E.1) ∆t • accelerazione istantanea, è limite della accelerazione media per ∆t −→ 0 ∆~v d~v def ~a = lim = (E.2) ∆t−→0 ∆t dt 173

174

APPENDICE E. DIZIONARIO Questa è comunemente chiamata accelerazione del punto all’istante considerato. L’accelerazione di un punto giace nel piano osculatore [vedi] alla traiettoria nel punto considerato. Ne viene che l’accelerazione (istantanea) ha una componente tangenziale [vedi] ed una normale [vedi] . La misura di una accelerazione fornisce sempre una accelerazione media. L’unità di misura della velocità è il metro al secondo, simbolo m/s.

accelerazione angolare ~γ Considerato un corpo rigido si chiama accelerazione angolare la derivata della velocità angolare [vedi]. In un moto rigido piano è sufficiente considerare la grandezza scalare α indicata nella equazione (E.3 a sinistra) mentre in un moto generico nello spazio si deve considerare il ~ indicato nella equazione (E.3 a destra): vettore α scalare

α=

dω dt

vettore

~= α

~ dω dt

(E.3)

Si noti che l’accelerazione angolare è un attributo di un corpo rigido e quindi non ha un naturale punto di applicazione: si tratta di un vettore libero. Se consideriamo un punto che descrive una circonferenza non ha senso di parlare di accelerazione angolare del punto: si può invece parlare di accelerazione angolare del raggio che congiunge il centro della circonferenza con il punto in moto. L’unità di misura della accelerazione angolare è il radiante al secondo per secondo e si scrive rad/s2 . accelerazione centrifuga Nel moto di una particella, scelto un punto come polo, si chiama accelerazione centrifuga la componente del vettore accelerazione nella direzione del raggio vettore con origine nel polo e con il verso che fugge da esso. ♣ In un moto centrale [vedi] il polo più naturale è il centro del moto. Ad esempio quando una particella alfa, che ha una carica elettrica positiva, è lanciata contro un nucleo, pure esso con carica positiva, essa viene respinta e quindi l’accelerazione, come la forza, è centrifuga. assipeta. accelerazione centripeta Nel moto di una particella, scelto un punto come polo, si chiama accelerazione centripeta la componente del vettore accelerazione nella direzione del raggio vettore con origine nel polo quando questa sia diretta verso il centro. ♣ Ad esempio una particella vincolato ad una circonferenza possiede una componente normale e tangenziale: scelto il centro della circonferenza come polo, la componente normale è centripeta. In un moto centrale [vedi] il polo più naturale è il centro del moto. Nel moto

175 dei pianeti attorno al sole l’accelerazione, come la forza di attrazione, è centripeta. accelerazione di Coriolis In un sistema di riferimento non inerziale [vedi] si chiama accelerazione di Coriolis di un punto mobile la quantità ~a cor = ~ × ~v rel essendo ~v rel la velocità del punto relativa la sistema di riferimento 2ω mobile. accelerazione di trascinamento In un sistema di riferimento non inerziale [vedi] si chiama accelerazione di trascinamento di un punto mobile l’accelerazione che il punto avrebbe rispetto al riferimento inerziale qualora lo si immagini congelato nel riferimento mobile. In altre parole è l’accelerazione di trascinamento ad un istante è quella con cui il punto sarebbe trascinato qualora fosse fissato nel riferimento mobile nella posizione in cui si trova all’istante. accelerazione normale È la componente della accelerazione secondo la normale alla traiettoria. Se indichiamo con s l’ascissa curvilinea del punto sulla traiettoria, l’accelerazione normale è data da an = ṡ2 /r essendo r il raggio del cerchio osculatore. accelerazione relativa In un sistema di riferimento non inerziale [vedi] si chiama accelerazione relativa di un punto mobile la accelerazione del punto valutata rispetto al riferimento. Si veda .... accelerazione tangenziale È la componente della accelerazione secondo la tangente alla traiettoria. Se indichiamo con s l’ascissa curvilinea del punto sulla traiettoria, l’accelerazione tangenziale è data da at = s̈. afelio punto dell’orbita terrestre che è più lontano al sole ampiezza di una oscillazione. Data una particella in moto periodico lungo una retta, l’ampiezza dell’oscillazione è il massimo spostamento della particella dalla sua posizione di riposo. angoli di Eulero sono tre angoli che definiscono l’orientazione nello spazio di un corpo rigido. Sono usati nello studio dei giroscopi ed in astronomia. Considerata una terna fissa (O, X, Y, Z) ed una solidale con il corpo rigido (O, x, y, z) si opera nel modo seguente: 1. si ruota la terna mobile attorno all’asse z di un angolo ϕ che si chiama angolo di precessione: 0 ≤ ϕ ≤ 2π. L’asse x ruotato rispetto all’asse X prende il nome di asse dei nodi.

176

APPENDICE E. DIZIONARIO 2. si ruota la terna mobile attorno all’asse dei nodi x di un angolo θ che si chiama angolo di nutazione: 0 ≤ θ ≤ π. 3. si ruota la terna mobile di nuovo attorno all’asse z di un angolo ψ che si chiama angolo di rotazione propria: 0 ≤ ψ ≤ 2π.

angoli nautici ed aeronautici: sono angoli che servono ad individuare la orientazione di un corpo rigido nello spazio. Sono usati per le auto, per le navi e per gli aerei. Sono tre: angolo di beccheggio, angolo di rollio e angolo di imbardata. ascissa curvilinea di un punto lungo una curva. Fissato un punto P0 della curva, chiamato origine, e fissata una orientazione su di essa mediante un senso di percorso, si chiama ascissa curvilinea del punto P la lunghezza dell’arco di linea P0 P presa con il segno positivo o negativo secondo che P segua P0 o lo preceda. asse centrale di un sistema di vettori applicati ad un corpo rigido: è il luogo geometrico dei punti rispetto ai quali il modulo del momento totale del sistema è parallelo alla risultante ed in particolare può essere nullo. asse di istantanea rotazione nel moto piano di un corpo rigido è l’asse dell’atto di moto rotatorio [vedi]. asse di moto è l’asse dell’atto di moto elicoidale [vedi]. asse di rotazione di un moto rigido: è l’asse attorno al quale ruota un corpo rigido. Esempio la retta congiungente i cardini di una porta. assi principali d’inerzia di un corpo rispetto ad un punto. Considerato il fascio di rette passanti per il punto ed il momento d’inerzia del corpo rispetto a ciascuna retta, gli assi principali d’inerzia sono quelle rette del fascio per il quale il momento d’inerzia è stazionario. Questo significa che dato un asse principale d’inerzia, per rette che siano inclinate di un piccolo angolo α sull’asse principale, la variazione del momento d’inerzia è un infinitesimo di ordine superiore ad α. asta un sistema continuo unidimensionale, e come tale rappresentabile da una linea, dotato di rigidezza flessionale. Tipicamente una lama d’acciaio, una bacchetta, un bastone. Viene chiamata anche verga. atto di moto di un sistema ad un dato istante: è l’insieme delle velocità di tutti i punti del sistema a quel dato istante.

177 atto di moto elicoidale è quell’atto di moto di un sistema rigido in cui il vettore velocità angolare ω è parallelo al vettore velocità di traslazione. atto di moto rotatorio è l’atto di moto di un corpo rigido in cui due punti hanno velocità nulla ad un determinato istante. Ne viene che tutti i punti della retta che passa per i due punti hanno velocità nulla. Tale retta prende il nome di asse istantaneo di rotazione. Esso è tipico del corpo rigido, ma non esclusivo in quanto anche un sistema deformabile può subire uno spostamento rigido. atto di moto traslatorio è l’atto di moto di un corpo rigido in cui tutti i punti hanno la medesima velocità ad un determinato istante. Esso è tipico del corpo rigido, ma non esclusivo in quanto anche un sistema deformabile può subire uno spostamento rigido. atto di moto virtuale è l’insieme delle velocità virtuali assegnate ai punti di un sistema. attrito dinamico attrito di rotolamento o attrito volvente e ...♣ attrito statico è la causa della resistenza al moto che si manifesta fra due corpi a contatto nel punto in cui le due superfici si toccano supposto che la velocità relativa sia nulla (ad esempio ruota che rotola). Esso dipende dalla natura e dallo stato di lavorazione delle superfici a contatto. Si manifesta con una forza tangenziale (attrito radente) ed una coppia che si oppone alla rotazione di una superficie rispetto all’altra attorno alla normale comune nel punto di contatto (attrito di giro). azione È una grandezza fisica molto usata nella meccanic analitica [vedi] ed in fisica teorica. È il prodotto dell’energia per il tempo. Si distinguono due tipi di azione [49, p.♣ ], • l’azione lagrangiana, che è definita da[47] ♣ AL =

pk dqk

(E.4)

• l’azione hamiltoniana definita da Z t1 AH = (T − V) dt

(E.5)

178

APPENDICE E. DIZIONARIO

azione assiale è la forza che si deve applicare in un punto di un’asta o di una trave in direzione dell’asse della trave, per mantenere l’equilibrio quando si operi una sezione della trave. Si intende che per l’equilibrio occorre anche una azione di taglio [vedi] ed un momento flettente [vedi] . azione di taglio è la forza T~ che si deve applicare in un punto di un’asta o di una trave in direzione normale all’asse e quindi parallelamente alla sezione normale dell’asta, per mantenere l’equilibrio quando si operi una sezione. Si intende che per l’equilibrio occorre anche una azione normale [vedi] ed un momento flettente [vedi] . azioni interne in un’asta. Immaginando di operare una sezione nell’asta, per mantenere in equilibrio le due parti occorre applicare sulle due facce della sezione due forze opposte e due coppie opposte. Ciascuna di queste rappresenta l’azione che la parte rimanente dell’asta esercitava sull’altra prima della sezione. Le forze e le coppie costituiscono le azioni interne. Le azioni interne sono tre: l’azione di taglio, l’azione assiale ed il momento flettente. baricentro è il centro [vedi] del sistema dei vettori peso supposti tutti paralleli fra loro. È anche chiamato centro di gravità e lo si indica con G. base del moto detta anche polare fissa o semplicemente base. Dato un moto rigido piano si chiama base la linea descritta dai centri di istantanea rotazione visti da un osservatore fisso col piano direttore. battimenti Nella sovrapposizione di due oscillazioni unidimensionali lungo la stessa direzione si dà il caso che le frequenze siano molto vicine: in questo caso l’oscillazione risultante ha una ampiezza che aumenta e diminuisce periodicamente. Questo è il fenomeno dei battimenti. binormale ad una linea in un suo punto: è la retta perpendicolare sia alla tangente che alla normale principale. Con lo stesso nome si indica anche il versore ~b diretto come la binormale e orientato in modo che la terna di vettori tangente, normale e binormale, presi in quest’ordine, sia una terna destra. Esso è dato dalla formula ~b = ~t × ~n (E.6) C campo conservativo è un campo vettoriale per il quale la circolazione del vettore del campo lungo qualsivoglia linea chiusa è nulla. Si intende che, se il vettore è variabile nel tempo, la circolazione viene fatta congelando il tempo. Il campo si dirà conservativo se la circolazione è nulla ad ogni istante.

179 campo scalare data una regione dello spazio (o del piano) si chiama campo scalare una legge che associa ad ogni punto della regione una grandezza scalare (cioeĚ&#x20AC; una grandezza caratterizzata da un numero). campo scalare armonico eĚ&#x20AC; un campo scalare descritto da una funzione f (~r) la cui laplaciana eĚ&#x20AC; nulla in ogni punto della regione: â&#x2C6;&#x2020; f (~r) = 0 o anche â&#x2C6;&#x2021;2 f (~r) = 0. campo solenoidale eĚ&#x20AC; un campo vettoriale descritto da un vettore funzione del posto ~v(~r) la cui divergenza eĚ&#x20AC; nulla in ogni punto della regione: â&#x2C6;&#x2021; Âˇ ~v(~r) = 0. campo tensoriale una legge che associa ad ogni punto della regione una grandezza tensoriale. Esempio il campo del tensore dâ&#x20AC;&#x2122;inerzia Ihk , del tensore di deformazione hk e quello del tensore degli sforzi Ď&#x192;hk nella meccanica dei continui. campo vettoriale data una regione dello spazio (o del piano) si chiama campo vettoriale una legge che associa ad ogni punto della regione una grandezza vettoriale (cioeĚ&#x20AC; una grandezza caratterizzata da un vettore) campo vettoriale armonico eĚ&#x20AC; un campo vettoriale descritto da un vettore funzione del posto ~v(~r) il cui laplaciano eĚ&#x20AC; nullo in ogni punto della regione: â&#x2C6;&#x2020;~v(~r) = 0. campo vettoriale irrotazionale eĚ&#x20AC; un campo vettoriale descritto da un vettore funzione del posto ~v(~r) il cui rotore eĚ&#x20AC; nullo in ogni punto della regione: â&#x2C6;&#x2021; Ă&#x2014; ~v(~r) = 0. Un campo vettoriale irrotazionale eĚ&#x20AC; anche chiamato campo vettoriale potenziale in quanto esso si puoĚ&#x20AC; esprimere come gradiente di uno scalare: ~v = â&#x2C6;&#x2021; f (~r) = â&#x2C6;&#x2021; f (~r) centro di gravitaĚ&#x20AC; eĚ&#x20AC; il centro del sistema delle forze peso considerate come parallele e proporzionali alle masse. Coincide con il baricentro e lo si indica con G. centro dâ&#x20AC;&#x2122;istantanea rotazione in un moto rigido piano ad un istante considerato eĚ&#x20AC; quel punto del corpo o, se esterno, solidale con esso che ha velocitaĚ&#x20AC; nulla allâ&#x20AC;&#x2122;istante considerato. centro di massa di un sistema meccanico: eĚ&#x20AC; quel punto nel quale ponendo una massa puntiforme uguale alla massa del sistema il suo momento statico rispetto a qualunque piano coincide con quello dellâ&#x20AC;&#x2122;intero sistema rispetto a quel piano. Esso eĚ&#x20AC; dato dalla formula n n X 1X (Pk â&#x2C6;&#x2019; A)mk essendo m = mk (E.7) (C â&#x2C6;&#x2019; A) = m k=1 k=1

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APPENDICE E. DIZIONARIO

centro di un sistema di forze parallele è il punto intersezione di tutti gli assi centrali relativi a diverse direzioni delle forze parallele. Esso è il punto di applicazione della risultante, nel senso che applicando in esso la risultante di tutte le forze esso è equivalente all’intero sistema di forze, qualunque sia la loro direzione. cerchio osculatore ad una linea in un punto: è il cerchio limite di una successione di cerchi passanti per tre punti della curva quando i tre punti tendono al punto considerato. circolazione di un vettore lungo una linea L: è la grandezza scalare che si ottiene Rintegrando il prodotto scalare del vettore del campo per il vettore d~r: C = ~v(~r) · d~r. Nel caso in cui il vettore sia variabile nel tempo la circolazione L R è valutata congelando il tempo: C(t) = L ~v(~r, ~t) · d~r. concordanza di fase detto di due vibrazioni o oscillazioni che raggiungono simultaneamente le posizioni estreme situate da una medesima parte (ad esempio verso destra, o in alto). configurazione di un sistema. È la nozione che generalizza quella di posizione di un punto o di un corpo. Essa è costituita dalla posizione di tutti i punti del sistema ad un dato istante. Le figure di una danzatrice classica sono altrettante configurazioni del suo corpo. coordinate libere o coordinate lagrangiane o coordinate generalizzate: sono un insieme di coordinate indipendenti in numero sufficiente ad individuare la configurazione di un sistema meccanico [49, v.I, p.6]. Si richiede che ad ogni configurazione del sistema corrisponda un solo valore delle coordinate e viceversa. Si indicano con qk o con qk . coppia è l’insieme di due forze opposte con rette di applicazione parallele. coppie equivalenti due coppie si dicono equivalenti quando hanno lo stesso piano, la stessa orientazione e lo stesso modulo. corpo rigido Cosa è un corpo rigido? La quasi totalità dei testi di fisica e, in particolare di meccanica, definisce un corpo rigido come un corpo le cui distanze rimangono invariate qualunque sia il moto del corpo e le forze che agiscono su di esso. In un assalto di scrupolo alcuni autori precisano che in Natura nessun corpo è rigido ma che si tratta di una idealizzazione. Questa definizione non è accettabile: la fisica non è la matematica. Cosa vuol dire che le distanze tra le coppie di punti rimangono invariate? Una

181 distanza deve essere misurata! Con che cosa? con un qualche metro. E il metro usato, a sua volta è rigido? Come si vede la definizione si mangia la coda ovvero è una tautologia. La soluzione della tautologia è molto più prosaica: si tratta di scegliere un certo numero di corpi come candidati a costituire regoli campioni. Usando il confronto diretto si fanno tutti della stessa lunghezza, a meno di una tolleranza prestabilita, ad esempio di 1 mm. Si sottopongono questi candidati campioni a trazione, compressione e riscaldamento entro certi limiti di forza e di temperatura. Si confrontano di nuovo le lunghezze dei candidati e si scartano quelli che si discostano di più dalla media. I regoli che mantengono la stessa lunghezza (con la tolleranza prestabilita) costituiscono i campioni che arbitrariamente chiameremo rigidi. Come si vede è tutto molto deludente dal punto di vista matematico. Ma la Matematica, che è una scienza del Pensiero, vive in un mondo ideale e deve il suo enorme successo alla astrazione. Al contrario la Fisica, che è una scienza della Natura, vive in un mondo reale e deve fare i conti con le cose concrete. Essa deve il suo enorme successo al continuo confronto con l’esperienza ovvero alla concretezza! Si noti ancora che, secondo la teoria della relatività, la lunghezza di un regolo dipende dallo stato di moto: questo fatto rende inaccettabile, in relatività, anche la stessa definizione operativa di corpo rigido appena data. curvatura di una linea in un suo punto: è l’inverso del raggio R del cerchio osculatore alla linea nel punto: γ = 1/R. Tale numero è positivo, nullo o negativo essendo il raggio di curvatura positivo, infinito o negativo. curvatura di una superficie in un suo punto. Considerata la retta normale alla superficie in un suo punto si consideri il fascio di piani passante per tale retta. Ciascuno di essi interseca la superficie lungo una linea. Si esamini la curvatura di ciascuna linea [vedi], tenendo conto del suo segno. Vale a dire, fissato un senso sulla normale come positivo, alcune linee possono avere il centro di curvatura dalla parte positiva della superficie, altre possono averlo dalla parte negativa. La curvatura delle prime si dirà positiva, quella delle seconde negativa. Fra tutte le curvature cerchiamo la massima e la minima (sempre tenendo conto del segno). Queste due curvature sono relative a due direzioni tangenti alla superficie nel punto che prendono il nome di direzioni principali e le corrispondenti curvature si chiamano curvature principali e si indicano con kmin e kmax [46, p.194]. Si distinguono due tipi di curvature.

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APPENDICE E. DIZIONARIO • la curvatura media H della superficie nel punto è definita dalla media delle curvature principali: H = (kmin + kmax )/2.♣ La curvatura media può essere positiva, nulla o negativa. • la curvatura totale K della superficie nel punto è definita dal prodotto delle curvature principali: K = kmin kmax . Anche la curvatura totale può essere positiva, nulla o negativa. È anche chiamata curvatura gaussiana.

D dinamometro strumento per la misura delle forze. Esso si basa sulla deformazione elastica che un corpo può subire quando su di esso si esplica l’azione di un altro corpo in quite rispetto al primo. L’entità della forza si misura dalla entità dello spostamento subito dal corpo elastico previa opportuna taratura. divergenza di un vettore funzione del posto. Dato un campo vettoriale ~v(~r) si consideri un punto della regione in cui esso è definito, una superficie chiusa contenente il punto e si valuti il flusso del vettore attraverso tale superficie: R Φ = ~v(~r) · ~ndS . Al tendere a zero del massimo diametro della superficie tende a zero sia la circolazione che il volume V racchiuso. Si constata che il limite del rapporto flusso/volume è, in generale, una quantità finita: D = lim Φ/V. Tale scalare prende il nome di divergenza del vettore ~v nel punto considerato e si indica con div~v o anche ∇ · ~v. E ellisse d’inerzia data una lamina piana ed un fascio di rette passanti per un punto, si può ottenere una curva indicatrice dei momenti d’inerzia rispetto alle diverse rette del fascio riportando su ogni retta uscente dal punto, da tutte e due le parti, un segmento di lunghezza uguale all’inverso della radice quadrata del momento d’inerzia relativo alla retta. Tale luogo geometrico è una ellisse detta ellisse d’inerzia. ellissoide d’inerzia dato un corpo tridimensionale consideriamo un punto (dentro o fuori del corpo). Se per ogni semiretta uscente dal punto si riporta un segmento uguale all’inverso della radice quadrata del momento d’inerzia il luogo geometrico degli estremi del segmento è un ellissoide detto ellissoide d’inerzia. elongazione in una vibrazione è lo spostamento di un punto dalla posizione di riposo. energia cinetica È l’energia che un corpo possiede per il fatto di essere in moto. È definita come il lavoro che il corpo cede riducendosi alla quiete a anche

183 come il lavoro fatto sul corpo per portarlo dalla quiete a quello stato di moto. Si indica con T . Per una particella è definita come Z p p2 ~v(~p) · d~p = T (~p) = (E.8) 2m 0 mentre per un sistema è la somma delle energie cinetiche di tutte le particelle di cui è composto. È opportuno distinguere una energia cinetica macroscopica ed una microscopica T macro , quest’ultima dovuta al moto molecolare T micro . Quando mettiamo il formaggio nel frigo lo raffreddiamo ovvero diminuiamo la sua energia cinetica microscopica. [♣FUORI POSTO] Si noti che sarebbe meglio definire due energie cinetiche: quella data dalla formula precedente e l’energia cinetica complementare data da Z v 1 ~p(~v) · d~v = mv2 T ∗ (~v) = (E.9) 2 0 In meccanica classica queste due grandezze hanno lo stesso valore in quanto la p2 relazione ~p = m~v è lineare e si ha 2m = 12 mv2 . Ma in meccanica relativistica esse sono distinte: s  r     2 2  p v    2 ∗ 2 T (~p) = m0 c  1 + − 1 T (~v) = m0 c 1 − 1 − 2  (E.10) (m0 c)2 c Si noti che anche in meccanica classica sarebbe bene scrivere il teorema dell’energia nella forma T + V = E, la funzione di Hamilton H = T + V e invece la funzione di Lagrange L = T ∗ − V. La coincidenza tra T e T ∗ in meccanica classica rende superflua questa distinzione e spiega perché non sia comunemente usata. Si veda Sommerfeld, v.III

energia interna di un sistema meccanico: è la somma dell’energia potenziale interna e dell’energia cinetica microscopica dovuta ai moti molecolari. def Indicata con U essa si esprime cosı̀: U = V int + T micro . Si veda ....♣ energia potenziale Consideriamo un sistema meccanico soggetto a vincoli fissi e a forze indipendenti dal tempo. Consideriamo una sua configurazione di riferimento e la configurazione attuale. Si chiama energia potenziale del sistema nella configurazione attuale il lavoro che il sistema fornisce passando dalla configurazione attuale a quella di riferimento in assenza di attriti e di resistenze aerodinamiche. In modo equivalente: si chiama energia potenziale del sistema nella configurazione attuale il lavoro che dall’esterno si deve fornire al sistema per portarlo dalla configurazione di riferimento a quella attuale. Il simbolo è V.

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APPENDICE E. DIZIONARIO O. Si noti che V, U ... ♣ [osservazione già fatta?] Essa è quindi l’energia posseduta dal sistema in virtù della sua configurazione e non del suo moto. Qualora le forze siano dipendenti dal tempo o i vincoli siano mobili il lavoro è calcolato congelando il tempo ad un dato istante e quindi fissando i vincoli e le forze. In questo caso l’energia potenziale è funzione del tempo. Essa si può dividere in energia potenziale interna ed esterna a secondo che si prendano in considerazione le forze interne od esterne. Si veda ....♣

energia totale di un sistema è la somma dell’energia cinetica e dell’energia podef tenziale del sistema: E = T + V. equilibrio indifferente è una configurazione di equilibrio tale che se il sistema viene allontanato da quella configurazione esso rimane nella nuova configurazione. equilibrio instabile è una configurazione di equilibrio tale che se il sistema viene allontanato da quella configurazione esso tende ad allontanarsi sempre più. equilibrio stabile è una configurazione di equilibrio tale che se il sistema viene allontanato da quella configurazione esso tende a ritornarvi. F fase in una oscillazione retta dall’equazione x(t) = A sin(ω t + ϕ0 ) il termine fase si riferisce all’argomento della funzione trigonometrica, vale a dire alla def grandezza ϕ = (ωt + ϕ0 ). Il termine ϕ0 prende il nome di fase iniziale. Si veda la voce oscillazioni. fattore di amplificazione dinamica consideriamo il moto oscillatorio di un sistema ad un grado di libertà soggetto ad una forza impressa di tipo periodico, in particolare sinusoidale f = f0 sin(ωt) . Qualora agisse una forza costante f0 il sistema avrebbe un’elongazione statica x0 = f0 /k. Sotto l’azione della forza sinusoidale il sistema avrà un’ampiezza A(ω) contenuta nella soluzione x(t) = A(ω)sin(ωt + ϕ) . Il rapporto tra A(ω) (massima elongazione dinamica) ed x0 (elongazione statica) prende il nome di amplificazione dinamica. filo è un sistema continuo unidimensionale, e come tale rappresentabile da una linea, che sia perfettamente flessibile. Per quanto possa sembrare strano il tipico esempio di filo è ... una catenella in quanto non offre resistenza alla flessione. Un comune filo di lana, di seta, di plastica, di acciaio ha

185 una resistenza alla flessione: la prova si ha nel fatto che volendogli dare una forma arbitraria esso reagisce in misura più o meno grande prendendo una configurazione diversa. Al contrario una catenina, come quelle che portiamo appesa al collo, rimane nella configurazione che gli abbiamo data e quindi non offre resistenza alla flessione. flusso di un vettore ~v attraverso R una superficie. È la grandezza Φ ottenuta eseguendo l’integrale Φ = S ~v · d S~ sulla superficie S . forza è la grandezza vettoriale che descrive l’azione su un corpo da parte di altri corpi o di altre parti dello stesso corpo. Se tanto il corpo che subisce l’azione quanto quello la esercita sono in quiete essa si misura con il dinamometro. Nel caso in cui l’uno o l’altro o entrambi i corpi sono in moto, la grandezza più facilmente misurabile è l’impulso [vedi] che si misura con l’impulsometro [vedi] ed allora la forza media è il rapporto tra l’impulso ~I comunicato al corpo durante un intervallo di tempo τ e l’intervallo stesso. La forza istantanea è il limite di tale rapporto. forza aerodinamica vedi resistenza aerodinamica. forza apparente nome dato ad una forza che si manifesta in un riferimento non inerziale e che non è causata dall’azione di altri corpi. Sono di due tipi: la forza centrifuga [vedi] e la forza di Coriolis [vedi]. forza assifuga letteralmente fugge da un asse. Nome poco usato, ma più opportuno di forza centrifuga, letteralmente fugge da un centro. forza assipeta letteralmente va verso un asse. Nome poco usato, ma più opportuno di forza centripeta, letteralmente va verso un centro. forza attiva è una forza che si esercita sul sistema che non è dovuta ai vincoli. Termine da usare in contrapposizione al termine forza reattiva che è quella generata da un vincolo. forza centrifuga la forza apparente che fugge da un centro presente in un sistema di riferimento rotante quando ci si limiti a vederlo in due dimensioni. Guardandolo in tre dimensioni non esiste un centro, ma bensı̀ un asse, quello di rotazione, e la forza dovrebbe chiamarsi assifuga. forza centripeta la forza che punta verso un centro. Tipica è la reazione vincolare in un sistema di riferimento rotante quando ci si limiti a vederlo in due dimensioni. Guardandolo in tre dimensioni non esiste un centro, ma bensı̀ un asse, quello di rotazione, e la forza dovrebbe chiamarsi assipeta.

186

APPENDICE E. DIZIONARIO

forza conservativa è una forza dipendente dal posto per la quale la circolazione lungo qualsiasi cammino chiuso è nulla. forza di Coriolis è una forza apparente, presente in un riferimento non inerziale (ad esempio una giostra) che si manifesta su una particella dotata di velocità relativa. Ad esempio l’omino che ritira i biglietti su una giostra durante la rotazione, finchè stà fermo sperimenta solo la forza centrifuga, quando si ~ × ~vr . muove sperimenta anche la forza di Coriolis: f~ = 2 ω forza d’inerzia di un corpo è l’opposto del prodotto della massa di un corpo per def l’accelerazione del suo baricentro G: f~in = −m ~aG . forza dissipativa sinonimo di forza resistente. forza di superficie è una forza che si applica agendo sulla superficie di un corpo. Tale è una forza aerodinamica (su un pallone, su una palla da tennis, su una palla da ping pong, su un’auto, un aereo, un uccello, ecc.); quella esercitata dall’acqua sulla carena di una nave, su un pesce, su un sottomarino; quella dovuta all’attrito ad esempio quando solleviamo una bottiglia stringendo con una mano il collo della bottiglia; quella con la quale teniamo in braccio un bambino o portiamo in spalla una cassa. Le forze di superficie sono forze a contatto. forza di volume è una forza che si applica su un corpo agendo direttamente sulle particelle che lo compongono. Tale è la forza peso, la forza d’inerzia, la forza elettrica o magnetica agente su un dielettrico che dà luogo alla polarizzazione elettrica e magnetica. Le forze di volume sono forze a distanza vale a dire forze che non agiscono per contiguità nella materia. forza elastica è una forza propozionale allo spostamento dalla sua posizione di equilibrio e che ha senso opposto allo spostamento. È tipicamente la forza esercitata da una molla ideale [vedi]. forza esterna ad un sistema: è una forza che si esercita sul sistema e che proviene dall’esterno. Le forze nascono sempre a due a due e sono opposte: la somma di quelle che si esercitano su un sistema non è in generale nulla. Un galleggiante in equilibrio è soggetto a due forze esterne: la spinta idrostatica (forza di superficie) e quindi forza a contatto ed il suo peso (forza di volume) e quindi forza a distanza e la loro somma è nulla. forza generalizzata sono le quantità Qh =

N X k=1

∂~rk f~k · h ∂q

(h = 1, 2, ...., n)

(E.11)

187 essendo n il numero delle coordinate generalizzate. Esse nascono come coefficienti della forma differenziale lineare che dà il lavoro virtuale in termini delle variazioni delle coordinate generalizzate W = ∗

N X

f~k · δ~rk =

k=1

n X

Qh δqh .

(E.12)

h=1

forza impulsiva una forza di breve durata. Generalmente è una forza variabile e di notevole intensità. Tipiche sono quelle dovute a colpi, percussioni, esplosioni. forza interna ad un sistema: è una forza che si esercita tra le parti che compongono il sistema. Le forze interne nascono sempre a due a due e sono opposte, quindi la loro somma è sempre nulla (anche per un essere animato!). forza motrice forza che favorisce il movimento e quindi che fornisce energia ad un sistema meccanico. Tale è il peso agente su un corpo in caduta, ad esempio il peso di un paracadutista. forza passiva sinonimo di forza resistente. forza posizionale è una forza che dipende esclusivamente dal punto nel quale è applicata, quindi non dipende né dal tempo né dalla velocità. Le forze posizionali danno luogo ai campi di forze. forza reattiva sinonimo di reazione vincolare. forza resistente è una forza che ostacola il movimento e quindi che fa perdere energia al sistema meccanico. Opposto di forza motrice. Le forze dovute agli attriti sono generalmente resistenti ma possono essere motrici, ad esempio quando solleviamo una bottiglia circondandola con la mano. Le forze aerodinamiche possono essere resistenti, come quelle agenti sul paracadute o motrici, come quelle agenti sulla vela di una barca a vela. forza viscosa vedi resistenza viscosa. forza viva nome obsoleto per energia cinetica. L’antica denominazione forza viva (Leibnitz) rispecchia l’ambiguità della parola forza (vis viva contrapposta a vis mortix); ancora Helmholtz nel 1847 intitolava la sua Memoria relativa alla conservazione dell’energia Sulla conservazione delle forze[30, p.19].

188

APPENDICE E. DIZIONARIO

frequenza è la grandezza che misura la rapidità di una oscillazione. Quando un punto in moto compie oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio la durata di una oscillazione completa, vale a dire andata e ritorno, prende il nome di periodo. Il numero di oscillazioni per secondo prende il nome di def frequenza: f = T1 . L’unità di misura è l’hertz che si scrive Hz. Questa unità è in onore del fisico tedesco Hertz. La frequenza si indica con uno dei due simboli f , ν. Si veda la voce oscillazioni. Nella pratica si usano anche 1 i giri al minuto o i battiti al minuto: 1 giro/minuto= 60 Hz. frequenze naturali di un sistema vibrante: sono quelle frequenze per le quali il sistema vibra mantenendo tutti i suoi punti in fase, vale a dire nella loro oscillazione essi raggiungono simultaneamente le posizioni estreme. [vedi modi normali]. def P funzione di Hamilton detta anche hamiltoniana. È la grandezza H = k pk q̇k − L essendo L al funzione di Lagrange, pk le quantità di moto generalizzate, qk le forze generalizzate. def

funzione di Lagrange detta anche lagrangiana. È la grandezza L = T − V essendo T l’energia cinetica e V l’energia potenziale. G geodetica di una superficie: ogni linea congiungente due punti della superficie che sia di lunghezza stazionaria. Essa gode della proprietà che la sua normale principale in un punto ha la stessa direzione, non necessariamente lo stesso verso, della normale alla superficie nel punto. Sul piano le geodetiche sono le linee rette; sul cilindro sono le eliche cilindriche circolari; sulla superficie sferica sono gli archi di cerchio massimo. gradi di libertà di un sistema è il massimo numero di spostamenti virtuali indipendenti che il sistema può avere [50, p.13]; per un sistema olonomo è uguale al numero di coordinate libere; per un sistema anolonomo è uguale al numero di coordinate libere diminuito del numero di equazioni di legame non olonomo [49, v. I, p.6]. Alcuni autori definiscono il numero di gradi di libertà come il minimo numero di coordinate che individuano la configurazione di un sistema [54, p.88], [43, p.135] ♣ Per un sistema olonomo è il numero di coordinate libere [49, vol I, p. 6] ; per un sistema anolonomo è il numero di coordinate libere diminuito del numero di equazioni di legame non olonomo[49, vol I, p. 6].

189 gradiente di una funzione del posto. Dato un campo scalare f (~r) si consideri un punto nella sua regione di definizione. Per ogni semiretta (orientata) uscente da tale punto si può calcolare la derivata della funzione lungo la semiretta: d f /ds. Si constata che tale derivata, che dipende dal versore ~t ~ e del della semiretta, si può scrivere come prodotto scalare di un vettore G ~ ~ ~ ~ vettore t, cioè d f /ds = G · t. Il vettore G cosı̀ definito prende il nome di gradiente della funzione scalare nel punto considerato. Esso ha la direzione di massima derivata normale. La derivata d f /ds prende il nome di derivata direzionale e anche di gradiente nella direzione considerata. Il gradiente si indica con grad f (r) o anche ∇ f (r). grado di vincolo Un vincolo geometrico toglie uno o più gradi di libertà al sistema: il numero di gradi di libertà che toglie prende il nome di grado di vincolo. Il grado di vincolo di un sistema meccanico è la somma dei gradi di vincolo di tutti i suoi vincoli. H hertz unità di misura della frequenza ed è pari ad una oscillazione al secondo. I impulso grandezza fisica che esprime l’azione dinamica su un corpo da parte di altri corpi. È solitamente definito come l’integrale del prodotto della forza per il tempo ma è meglio definirlo come la grandezza dinamica misurata direttamente mediante un impulsometro [vedi] ad esempio un pendolo balistico. Si noti che è in genereale difficile misurare la forza agente su un corpo in moto mentre è facile misurare l’impulso. (si veda ...) impulso angolare sinonimo di momento angolare [vedi] e di momento della quantità di moto. impulsometro strumento per la misura degli impulsi. Esso si basa sulla deformazione elastica che un corpo può subire assorbendo l’urto di un corpo in moto che lo colpisce. L’entità dell’impulso si misura dalla entità dello spostamento massimo subito dal corpo elastico previa opportuna taratura. inerzia è un attributo dei corpi consistente nell’opporsi alla variazione dello stato di moto. integrale dell’energia afferma che in un sistema a vincoli fissi e non dissipativi soggetto a forze conservative la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale è costante. In formule T + V = E in cui E è chiamata energia totale.

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APPENDICE E. DIZIONARIO

integrale primo del moto; termine con il quale si intende una relazione differenziale tra le coordinate di un sistema contenente solamente le derivate prime. ♣ Tipica conservaizone dell’energia T + V = E e la conservazione della ~= P ~ 0. quantità di moto P invariante scalare di un sistema di forze agenti su un corpo rigido: è lo scalare ~·M ~ A essendo R ~ ed M ~ A rispettivamente la risultante ed il momento I = R risultante del sistema di forze risapetto ad un polo A. Esso ha la proprietà di avere lo stesso valore per ogni scelta del polo A. iperstatico termine riferito ad un sistema in cui il grado di vincolo [vedi] superi il numero di gradi di libertà. isocronismo in un moto oscillatorio il periodo cresce con l’aumentare dell’ampiezza delle oscillazioni. Se le oscillazioni sono di piccola ampiezza il periodo è sensibilmente indipendente dall’ampiezza. In ciò consiste l’isocronismo delle piccole oscillazioni isostatico termine riferito ad un sistema in cui il numero di gradi di libertà coincide con il grado di vincolo e in più non sia labile [vedi]. J joule unità di misura del lavoro nel Sistema Internazionale: esso è il lavoro fatto dalla forza di un newton per lo spostamento di un metro. Una volta si usava il chilogrammetro, prodotto del chilogrammo-peso per un metro. Questa unità è oggi obsoleta come lo è il cavallo vapore per la potenza, la caloria per il calore, la atmosfera per la pressione, ecc. K kilogrammo unità di misura della massa nel Sistema Internazionale (SI). Originariamente definita come la massa di un litro di acqua alla temperatura di 4 gradi centigradi è oggi precisata come la massa del campione depositato all’ufficio dei pesi e Misure a Sévres in Francia; ?♣ kilogrammo forza ♣ detto anche chilogrammo peso ♣[chilo?] unità di misura della forza nel vecchio sistema pratico, oggi da abbandonare per il Sistema Internazionale di unità di misura in cui l’unità di forza è il newton: un kilogrammo-peso è uguale a 9.81 N. L labile detto di un sistema discreto ♣ in cui il numero e la posizione dei vincoli sono tali da non mantenere fermo il sistema. ♣

191 laplaciana di una funzione del posto. Dato un campo scalare f (~r) ed un punto della sua regione di definizione si consideri la divergenza del vettore gradiente nel punto: tale funzione prende il nome di laplaciana della funzione nel punto e si indica con ∆ f (~r) o anche con ∇2 f (r). lavoro w, W Quando una forza agisce su un corpo essa compie un lavoro. Per definirlo è conveniente esaminare i seguenti casi1 • forza costante. Si chiama lavoro di una forza costante f~ relativa ad uno spostamento ~s il prodotto scalare def W = f~ · ~s ≡ f~ · ∆~r.

(E.13)

Questo è il caso del lavoro fatto dalla resistenza dell’aria su una automobile in moto a velocità costante. • forza variabile. Consideriamo un corpo in moto. Supponiamo che in un suo punto ~r agisca una forza che può dipendere dal tempo, dalla posizione, dalla velocità: f~(t, ~r, ~v). Supponiamo inoltre che sia noto il moto del punto espresso dalla funzione ~r(t). Calcolata la velocità ~v(t) si possono sostituire queste due funzioni nella espressione ~ f~(t, ~r(t), ~v(t)) cosicché la forza diviene funzione del solo tempo: F(t). In queste condizioni si chiama lavoro della forza la grandezza scalare def

W =

~ · ~v(t) d t. F(t)

(E.14)

Questo è il caso del lavoro fatto dalla resistenza dell’aria su un’automobile o su un’aereo in moto a velocità variabile. Se si suppone che la resistenza sia di tipo aerodinamico [vedi] ovvero data dalla espressione f~(~v) = −1/2 ρ C x v~v, se è nota l’equazione oraria della vettura ~r(t), con la formula precedente si può stimare il lavoro da essa compiuto durante un viaggio assegnando l’istante di partenza e di arrivo. • forza posizionale. Se la forza dipende solo dalla posizione, quindi né dal tempo né dalla velocità, si dice che siamo in presenza di un campo di forze. Per calcolare il lavoro è sufficiente precisare la traiettoria del punto mobile e non è necessario conoscere la sua equazione di moto. Indicata con L la linea si ha Z def f~(~r) · d~r. W = (E.15) L 1

Si veda la bella presentazione di [48, parte I, p.219-]

192

APPENDICE E. DIZIONARIO Quindi nel caso di forze posizionali si può fare a meno di considerare il moto del punto del corpo su cui la forza si esercita e considerare solo una linea. La nozione di lavoro, in questo caso, si identifica con quella di circolazione [vedi] del vettore forza (funzione del posto) lungo una linea. In altri termini la nozione di lavoro si depura dalla nozione di corpo e di moto per diventare una grandezza a sé stante. • forza posizionale e conservativa. Se la forza oltre ad essere posizionale è anche conservativa [vedi] allora il lavoro della forza dipende solo dagli estremi della linea e non dalla linea stessa. Per calcolare il lavoro è sufficiente precisare due punti A e B e considerare una linea qualsiasi che congiunge i due punti. In questo caso si definisce il lavoro mediante l’espressione Z B W= f~(~r) · d~r. (E.16) A

Il campo gravitazionale non è un campo di forze ma un campo di accelerazioni in quanto ad ogni punto del campo è associato il vettore accelerazione di gravità ~g. La forza nasce quando vi mettiamo un corpo di massa m: in questo caso la forza agente sul corpo è ~p = m ~g. Dal momento che la forza dipende dalla massa del corpo non si può dire che il campo gravitazionale sia un campo di forze. Un esempio di campo di forze conservativo è quello delle forze elastiche: f~ = −k ~r. Il lavoro della forza tra due punti è dato da Z B i 1 h W= −k ~r · d~r = − k ~rB2 − ~rA2 . (E.17) 2 A Il lavoro è considerato positivo se viene fatto sul corpo o sul sistema. Si noti che nella termodinamica alcuni autori usano ancora la vecchia notazione che è opposta all’attuale: il lavoro viene da loro considerato positivo se è fatto dal sistema. Considerato che lavoro e calore sono due forme di flusso di energia e che il calore è da tutti considerato positivo se fornito al sistema, si vede che è bene considerare entrambi positivi se forniti al sistema. L’unità di misura del lavoro nel Sistema Internazionale è lo joule (simbolo J). lavoro virtuale w∗ , W ∗ di un sistema di forze: è la somma dei prodotti scalari delle forze agenti sui diversi punti del sistema per uno spostamento virtuale [vedi] del sistema stesso. In formule: w = ∗

N X k=1

f~k · δ~rk .

(E.18)

193 legge di Hooke è la legge che regola le deformazioni elastiche lineari di un sistema. Data un’asta deformabile o una molla, se con F indichiamo la forza di trazione e con ∆L il suo allungamento, la relazione sperimentale F = K∆L in cui K è una costante di proporzionalità, esprime la legge di Hooke. leggi di Keplero Sono tre leggi del moto dei pianeti attorno al Sole. Esse sono valide anche per il moto dei satelliti della Terra. 1. (prima legge) Le orbite descritte dai pianeti attorno al Sole sono delle ellissi ed il Sole si trova in uno dei fuochi. 2. (seconda legge) Le aree descritte dal raggio vettore con origine nel Sole sono proporzionali al tempo impiegato a descriverle. 3. (terza legge) I quadrati dei tempi di rivoluzione di un pianeta attorno al Sole sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle orbite. M massa m, M È la grandezza che misura l’inerzia di un corpo [vedi] . Per una particella è definita come la costante di proporzionalità tra la quantità di moto della particella e la velocità. Questo presuppone che la quantità di moto [vedi] sia stata definita prima della massa. Per un sistema è definita come la somma delle masse delle particelle che lo compongono. meccanica analitica È la meccanica trattata in termini completamente matematici, donde il termine analitica, costruita a partire dalle coordinate libere [vedi] o lagrangiane. ♣ I temi di cui tratta sono: le equazioni di moto di Lagrange, le equazioni di moto di Hamilton, le trasformazioni canoniche, l’equazione di Hamilton-Jacobi, le parentesi di Poisson, di Jacobi, ecc. meccanica atomica È la meccanica utilizzata per la descrizione del mondo atomico. È sinonimo di meccanica quantistica [vedi]. meccanica celeste Termine con il quale si intende la meccanica applicata allo studio dei pianeti, delle stelle e delle galassie. Il termine celeste si rifà al colore del cielo. meccanica classica è lo studio del moto basato sulle ipotesi e sulle leggi classiche di Galileo, Newton, Eulero, Lagrange, ecc. meccanica quantistica èla meccanica valida per la descrizione del moto di sistemi a livello atomico e subatomico. Essa differisce dalla meccanica classica perché in essa non sono più valide molte nozioni della meccanica classica.

194

APPENDICE E. DIZIONARIO

meccanica relativistica è la meccanica valida per la descrizione di sistemi, essenzialmente particelle, che si muovono a velocità confrontabili con quelle della luce. A tali velocità cessano di valere alcuni assunti della meccanica classica. modi normali Un sistema vibrante possiede delle modalità di vibrazione particolari consistenti nel fatto che alcuni punti, chiamati nodi, rimangono fermi. Se il sistema vibrante è bidimensionale, come una piastra o una lastra, i nodi sono disposti lungo linee nodali. Se il sistema vibrante è un continuo tridimensionale si hanno delle superfici nodali. Quando il sistema vibra secondo uno di questi modi particolari i punti compresi tra due nodi o tra due linee nodali o tra due superfici nodali oscillano attorno alla posizione di riposo raggiungendo simultaneamente le loro posizioni estreme. Si dice che sono in concordanza di fase. Si parla allora di modi normali di vibrazione o anche di modi fondamentali di vibrazione. molla ideale Una molla priva di massa (e quindi di inerzia), di lunghezza a riposo nulla e che esercita una forza di richiamo proporzionale allo spostamento: f = −ks la costante k si chiama rigidezza della molla. È detta ideale per due ragioni: è priva di massa ed ha lunghezza a riposo nulla. molla reale È una molla di massa non trascurabile, che possiede una lunghezza a riposo non nulla, che può agire sia a trazione sia a compressione. Inoltre la forza può essere funzione sia lineare che non lineare dell’allungamento. Questo è in parte dovuto alla forma della molla. momento angolare ~LA di un sistema meccanico rispetto ad un polo A: è il momento della quantità di moto rispetto al polo. Fissato un polo A per una particella situata in B è def particella: ~LA = (B − A) × ~p

def sistema: ~LA =

N X

(Bk − A) × ~pk

k=1

(E.19) avendo indicato con ~p la quantità di moto della particella. Per un sistema è la somma dei momenti angolari delle singole masse che lo compongono. momento cinetico termine obsoleto sinonimo di quantità di moto momento della quantità di moto sinonimo di momento angolare [vedi]. momento d’inerzia J Dato un sistema meteriale e considerato un asse a, si chiama momento d’inerzia del sistema rispetto all’asse a la somma dei prodotti

195 delle masse delle singole particelle che compongono il corpo per i quadrati delle distanze delle singole masse dall’asse. Se rk indica la distanza della particella k − esima dall’asse è Ia =

n X

mk rk2 .

(E.20)

k=1

momento di un vettore rispetto ad un polo. Dato un punto A, detto polo ed un vettore ~v applicato in un punto B, si chiama momento del vettore rispetto al ~A = polo il vettore applicato in A ottenuto facendo il prodotto vettoriale M (B − A) × ~v. momento di una forza rispetto ad un polo. Dato un punto A, detto polo ed una forza f~ applicata in un punto B, si chiama momento della forz rispetto al ~A = polo il vettore applicato in A ottenuto facendo il prodotto vettoriale M ~ (B − A) × f . momento flettente M in un punto di un’asta o di una trave: è la coppia che si deve applicare al punto sezionato per mantenere l’equilibrio della trave quando si operi una sezione della trave. Si intende che per l’equilibrio occorre anche l’azione assiale [vedi] e quella di taglio [vedi] . momento statico S~ Dato un sistema meccanico e considerato un piano, si chiama momento statico del sistema di masse rispetto al piano la somma dei prodotti delle masse delle singole particelle che compongono il sistema per le distanze orientate delle singole masse dal piano: def

S =

n X

mk dk

(E.21)

k=1

Il termine orientate si riferisce al fatto che, fissata una faccia come positiva ed una come negativa, ad esempio mediante un senso di attraversamento del piano, le distanze delle masse dal piano sono positive o negative a seconda che queste si trovino dalla parte positiva o da quella negativa. movimento. moto armonico è il moto unidimensionale di una particella o di un corpo rigido nel quale l’accelerazione ~a è proporzionale allo spostamento ~s da una posizione di equilibrio ed ha segno opposto: ~a = −k~s con k > 0. moto centrale è il moto di una particella soggetta ad una forza centrale, cioè ad una forza passante per un punto fisso detto centro del moto. Ne viene che, se la particella è libera, l’accelerazione è anch’essa centrale.

196

APPENDICE E. DIZIONARIO

moto periodico il moto di un sistema meccanico che riprende la medesima configurazione ad intervali uguali di tempo. moto piano è il moto di un sistema in cui le velocità di tutti i suoi punti ad ogni istante sono paralleli ad un piano fisso detto piano direttore. In particolare si ha il moto rigido piano quando il sistema è un corpo rigido. moto rigido piano è il moto di un corpo rigido parallelo ad un piano fisso, detto piano direttore. moto rotatorio è il moto di un corpo rigido che ha un asse fisso. Si osservi che una particella che percorre una circonferenza non ha un moto rotatorio. moto traslatorio è un movimento in cui ad ogni istante l’atto di moto è traslatorio. Tipico è il movimento del tecnigrafo sul tavolo da disegno quando non si liberi la manopola delle rotazioni. moto uniforme è il moto di una particella che percorre spazi uguali in tempi uguali. Il termine spazi si deve intendere archi di linea. Cosı̀ è per un moto rettilineo uniforme, per un moto circolare uniforme, per un moto curvilineo uniforme. Dire tempi uguali presuppone il possesso di un orologio: ma a sua volta l’orologio ha una andamento uniforme? Come si vede la definizione di moto uniforme si riduce ad una tautologia, come quella di corpo rigido. In luogo di una definizione dobbiamo perciò indicare un metodo operativo per costruire un orologio campione. Si opera nel modo seguente: si confrontano l’uno con l’altro e con i processi periodici dell’astronomia quanti più possibile di orologi differenti; questo confronto porta ad una specie di lotta per la sopravvivenza: gli orologi il cui comportamento si scosta da quello della maggioranza vengono eliminati, mentre al moto dei sopravissuti si dà l’attributo di uniforme. [51, v. I, p.7] movimento sinonimo di moto. N newton N Unità di misura della forza nel Sistema Internazionale (simbolo N). Esso è la forza che imprime alla massa di un chilogrammo l’accelerazione di un metro al secondo ad ogni secondo. Si noti che l’unità newton deve essere lscritta con l’iniziale minuscola. normale principale ~n ad una linea: fra tutti i versori normali ad una linea, la normale principale è quella contenuta nel piano osculatore. Il suo verso si fissa nel modo seguente:

197 1. se la linea è piana si decide un senso di percorso della linea e, in un suo punto, si fissa ad arbitrio un senso della normale, ad esempio verso sinistra percorrendo la curva. Quindi si propaga tale senso in tutti gli altri punti della linea. 2. se la linea è sghemba (cioè non giace su un piano, ad esempio un’elica) si decide un senso di percorso della linea e, in un suo punto, si fissa ad arbitrio un senso della normale nel piano osculatore alla curva in quel punto. Quindi si propaga tale senso in tutti gli altri punti della linea nei relativi piani osculatori. Con lo stesso nome si intende il versore normale giacente nel piano osculatore. Esso è dato dalla equazione

d~t

= ~n (E.22) ds ds

normali ad una linea in un suo punto P: sono tutte le rette passanti per P e contenute nel piano normale in P. O opposizione di fase detto di due punti appartenenti ad un sistema vibrante che raggiungono simultaneamente le posizioni estreme situate da parti opposte (ad esempio quando l’una si trova all’estremo destro l’altra si trova all’estremo sinistro) oscillazioni, L’oscillazione armonica di un punto, che è il tipo più semplice e più comune di oscillazione, è espressa dalla relazione s = A cos(ω t + ϕ)

o anche

s = A cos(2π f t + ϕ)

(E.23)

Le grandezze hanno il seguente nome: simbolo s A ω t ϕ ωt + ϕ f

nome elongazione (spostamento dalla posizione di riposo) ampiezza della oscillazione pulsazione istante fase iniziale fase frequenza

Osservatore È l’insieme di un corpo rigido e di un orologio ... ♣ [Fb 4]

unità m m rad/s s rad rad Hz

198

APPENDICE E. DIZIONARIO

P particella qualunque corpo le cui dimensioni siano trascurabili rispetto alle distanze in gioco. Ad esempio un aereo è una particella rispetto al radar di terra, la stella Sirio è una particella nel contesto dell’astronomia ma non lo è nel contesto dell’astrofisica. perielio punto dell’orbita terrestre che è più vicino al sole periodo di una oscillazione T, τ è il tempo impiegato da un corpo oscillante (o sistema vibrante) a compiere un ciclo completo. peso di un corpo è la forza esercitata sul corpo dal campo gravitazionale. L’esperienza dice che il peso di un corpo è proporzionale alla massa: ~p = m~g essendo ~g il vettore accelerazione di gravità. Nei problemi di dinamica la massa è una grandezza più significativa del peso anche se a causa della proporzionalità e della approssimativa costanza della gravità sulla superficie terrestre siamo soliti parlare di peso. Nei problemi di statica il peso è più significativo della massa in quanto quest’ultima si manifesta nel moto attraverso l’inerzia. Un astronauta che sulla terra pesa 784 N, sulla luna pesa 130 N, sulla navicella pesa 0 N ma ha pur sempre la massa di 80 kg. Se l’astronauta ingrassa è perché aumenta la sua massa, non il suo peso (che in orbita è sempre nullo).

piano normale ad una linea in un suo punto è il piano perpendicolare in un un punto alla tangente alla curva. piano osculatore ad una linea in un suo punto. Consideriamo una linea, un suo punto P e altri due suoi punti P0 e P: per questi tre punti passa un piano (salvo il caso che i tre punti siano allineati). Se si fanno tendere i due punti P0 e P al punto P il piano tende ad un piano limite che prende il nome di piano osculatore della linea nel punto P. Il termine osculatore viene dal greco osculare che significa baciare: il piano bacia o meglio combacia ♣con la curva nel punto considerato. Il piano osculatore è un particolare piano tangente. Se i tre punti sono allineati il piano osculatore è indeterminato, ovvero ogni piano tangente è osculatore. piano rettificante ad una linea in un suo punto: è il piano contenente la tangente [vedi] e la binormale [vedi]. piano tangente ad una linea in un suo punto: è qualunque piano che contenga la retta tangente alla linea nel punto.

199 polare fissa si veda base. polare mobile si veda rulletta. poligono funicolare costruzione grafica che consente di determinare la retta di applicazione della risultante di un sistema di forze piane. potenziale Dato un campo vettoriale conservativo, si chiama potenziale del campo in un punto P la circolazione [vedi] del vettore lungo una linea generica che va dal punto P ad un punto P0 prefissato. Se il vettore è una forza, e allora il campo vettoriale è un campo di forze, la circolazione è un lavoro. Se il vettore è la velocità del moto di un fluido (tale circolazione non ha nulla a che fare con un lavoro) il potenziale si chiama potenziale cinetico. Se il vettore è il campo elettrico E~ la circolazione prende il nome di tensione elettrica associata alla linea ed il potenziale in un punto prende il nome di potenziale elettrico nel punto e lo si indica con ϕ. primo principio della termodinamica la somma del lavoro e del calore forniti ad un sistema termodinamico uguaglia la variazione di energia interna subita dal sistema. In formule: W + Q = ∆U. principio dei lavori virtuali è un principio che serve ad individuare la configurazione di equilibrio di un sistema soggetto ad un assegnato sistema di forze. Esso afferma che: condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un sistema soggetto a vincoli lisci è che il lavoro delle forze attive per ogni spostamento virtuale non sia mai positivo. In particolare se gli spostamenti virtuali sono reversibili il lavoro virtuale è nullo. principio di azione e reazione la forza che una prima particella esercita su una seconda particella è opposta a quella che la seconda esercita sulla prima ed ha la stessa linea d’azione. Si osservi che questo enunciato parla di particelle e non di corpi. Nel caso di corpi il principio non precisa il punto di applicazione delle due forze: vedere ad esempio la forza che una carica elettrica puntiforme esercita su un dipolo elettrico. principio di conservazione dell’energia in un sistema meccanico non soggetto a forze dissipative e a vincoli fissi si conserva la somma dell’energia potenziale V e di quella cinetica T . Si scrive T + V = E. La costante E si chiama energia totale. principio di d’Alembert per passare dalle equazioni della statica a quelle della dinamica basta aggiungere alle forze attive le forze d’inerzia.

200

APPENDICE E. DIZIONARIO

principio d’inerzia una particella non soggetto a forze dovute all’azione di altri corpi o sta fermo o si muove di moto rettilineo uniforme. (si veda Panofsky) principio di isotropia delle pressioni locali In un fluido in quiete, sia esso perfetto (= ideal) o viscoso (= reale), la pressione in un punto relativa ad un elemento di piano di giacitura assegnata non varia al variare della giacitura. Essa quindi è funzione del posto. principio di Hamilton il moto naturale di un sistema meccanico soggetto a forze attive conservative e a vincoli lisci si distingue da tutti i moti variati sincroni che rispettano le configurazioni estreme per il fatto che rende stazionaria l’azione hamiltoniana [vedi]: def

A =

(T − V)dt

(E.24)

in cui T è l’energia cinetica del sistema meccanico e V l’energia potenziale delle forze (sia esterne che interne) agenti sul sistema meccanico. principio di minimo dell’energia potenziale Un sistema meccanico in quiete ♣ tende ad assumere la configurazione in cui la sua energia potenziale è minima. principio di sovrapposizione degli effetti alcuni tipi di azioni che si manifestano su un sistema hanno la proprietà che, entro certi limiti, l’azione combinata di due o più effetti determina una deformazione del sistema che è la somma delle deformazioni che ciascuna azione determinerebbe sul sistema agendo separatamente. Tale è il caso di forze applicate a corpi elastici quando le deformazioni sono sufficientemente piccole (ad esempio una verga poco deformata dalla sua configurazione naturale). Più che un principio è una proprietà che sussite in determinati casi e per determinati sistemi. prodotto d’inerzia Jαβ Dato un sistema meccanico e considerati due piani α e β orientati, si chiama prodotto d’inerzia del sistema di masse rispetto ai due piani la somma dei prodotti delle masse delle singole particelle che compongono il sistema per le distanze orientate delle particelle dai due piani ♣. Alcuni autori includono nella definizione il segno meno, altri lo omettono: quando è incluso le formule in cui compare il prodotto d’inerzia hanno tutti i segni positivi. Noi seguiremo la regole di includere il segno meno per avere le formule più semplici. Indicate con ak e bk le distanze orientate

201 della massa puntiforme mk dai due piani α e β il prodotto d’inerzia è dato dalla formula seguente (a sinistra) Iαβ = −

n X

mk ak bk

I xy = −

n X

mk xk yk

(E.25)

Nel caso che i due piani siano i piani di un sistema di coordinate cartesiane ortogonali Oxyz, il prodotto d’inerzia rispetto ai piani xz e yz si indic a con I xy ed è dato dalla formula (E.25 destra). ♣ prodotto esterno molti autori italiani chiamano prodotto esterno il prodotto vettoriale. Nella letteratura attuale il termine prodotto esterno ha un significato diverso: esso indica una operazione che associa a due vettori un nuovo oggetto geometrico, chiamato bivettore rappresentato dal parallelogramma orientato formato dai due vettori. I bivettori, i trivettori, i vettori e gli scalari sono particolari multivettori. Il calcolo dei multivettori costituisce l’algebra esterna. Per evitare confusioni è quindi opportuno utilizzare il nomùe di prodotto vcettoriale in luogo di prodotto esterno per indicare il vettore ortogonale ai due vettori dati che ha modulo uguale all’area del parallelogramma. È opportuno anche utilizzare il simbolo × per il prodotto vettoriale ed il simbolo ∧ per il prodotto esterno. [?, p.] ♣ prodotto scalare di due vettori è il numero ottenuto moltiplicando il modulo dei due vettori per il coseno dell’angolo tra essi compreso. prodotto vettoriale di due vettori u e v: è il vettore ortogonale al piano dei due vettori, orientato secondo la regola della mano destra o del cavatappi e di modulo uguale all’area del parallelogramma formato dai due vettori. Si scrive w = u × v def

pulsazione è la grandezza ω = 2π T essendo T il periodo di una oscillazione. Essa si identifica con la velocità angolare che dovrebbe avere un moto rotatorio uniforme di uguale periodo. Poiché la frequenza è l’inverso del periodo def def f = T1 si ha anche ω = 2π f . Vale la relazione ω = 2πν = 2π/T in cui ν è la frequenza in hertz e T il periodo in secondi. ♣ L’unità di misura è il radiante al secondo: rad/s Si veda la voce oscillazioni. particella qualunque corpo le cui dimensioni siano trascurabili rispetto alle dimensioni in gioco. 10 Q quantità di moto Si distingue tra quantità di moto

202

APPENDICE E. DIZIONARIO • di una particella: è l’impulso che la particella cede riducendosi alla quiete. Essa è anche l’impulso necessario a portare la particella dalla quiete a quello stato di moto. Il simbolo è ~p e l’unità di misura è il newton × secondo: N s. • di un sistema: è la somma delle quantità di moto delle singole parti~ celle che lo compongono. Il simbolo è P. Solitamente si definisce la quantità di moto come il prodotto della massa per la velocità: questo è in contrasto con il fatto che a velocità prossime a quelle della luce la definizione ... non è più valida! La relazione quantità di moto-velocità è una relazione fenomenologica (o costitutiva o materiale). Sarebbe come definire la tensione elettrica come il prodotto della resistenza per l’intensità di corrente, riducendo cosı̀ la legge di Ohm ad una definizione, oppure come definire lo sforzo come il prodotto della deformazione per il modulo elastico, riducendo cosı̀ la legge di Hooke ad una definizione. def

quantità di moto generalizzata Sono le grandezze ph =

N X

~pk ·

k=1

∂~rk con h = ∂qh

1, 2, ..., n essendo n il numero delle coordinate generalizzate. R raggio di curvatura r, R di una linea in un suo punto: raggio del cerchio osculatore alla linea nel punto. Il suo segno è positivo o negativo a secondo che il centro del cerchio osculatore, detto anche centro di curvatura si trovi dalla stessa parte della normale principale o dalla parte opposta. raggio giratore d’inerzia ∆a Se indichiamo con Ia il momento d’inerzia di un sistema rispetto ad una retta a si chiama raggio giratore d’inerzia del sistema di masse rispetto alla retta a la quantità ∆ tale che n X

Ia = M ∆2

ovvero

∆2 =

mk rk2

k=1

(E.26)

avendo indicato con M la massa del sistema. (simbolo?) ♣ raggio vettore ~r È il vettore che congiunge l’origine di un sistema di coordinate con la posizione occupata dalla particella ad un dato istante. reazione vincolare è la forza che dobbiamo sostituire al vincolo per mantenere lo stesso stato di quiete o di moto del sistema.

203 resistenza idraulica è la resistenza al moto di un corpo in un fluido quando questa dipende in modo quadratico dalla velocità: R = − 21 C x ρAv~v[38, p.50]. resistenza viscosa è la resistenza al moto di un corpo in fluido quando questa ~ = −h~v. dipende linearmente dalla velocità: R riferimento assoluto nome obsoleto che designava un sistema di riferimento solidale con il sole (fino a quando lo si riteneva fisso) o con la nostra galassia (fino a quando la si riteneva non rotante). riferimento inerziale è un sistema nel quale vale il principio d’inerzia[30, p.10]. riferimento localmente inerziale è un riferimento che approssima un riferimento inerziale entro una certa estensione spaziale ed entro un certo intervallo di tempo. Tale è un satellite artificiale o un sistema in caduta libera nel campo di gravità. rigidezza per una molla ideale è la costante elastica k nella relazione f = k ∆L mentre per una molla reale è la costante elastica k nella relazione f = k ∆(L − L0 ) risonanza quando un sistema è libero di vibrare (o oscillare) attorno ad una configurazione di equilibrio stabile, se esso è allontanato dalla configurazione di equilibrio, vibra. Se il sistema ha un solo grado di libertà la sua vibrazione ha una determinata frequenza che si chiama frequenza propria o frequenza naturale del sistema. Se il sistema ha n gradi di libertà vi sono n modi naturali di vibrazione. Questi sono dei modi di oscillazione caratterizzati dal fatto che i diversi punti del sistema oscillano hanno la stessa frequenza ed oscillano in fase. Se ora esercitiamo sul sistema una forza periodica che ha lo stesso periodo delle oscillazioni naturali, la vibrazione si amplifica diventando molto vistosa (e rumorosa e pericolosa). La coincidenza tra il periodo delle oscillazioni impresse e quello delle oscillazioni proprie costituisce il fenomeno della risonanza. rotore di un vettore funzione del posto. Dato un campo vettoriale ~v(~r) si consideri un punto della regione in cui esso è definito e un piano passante per tale punto. In tale piano si consideri una linea chiusa (= circuito piano) contenente il punto e si valuti la circolazione del vettore lungo tale circuito: R C = ~v(~r) · d~r. Al tendere a zero della massima dimensione del circuito tende a zero sia la circolazione che l’area A racchiusa. Si constata che il limite del rapporto circolazione/area è, in generale, una quantità finita: Rn = lim C/A. Indicato con ~n il versore normale al piano si constata che si

204

APPENDICE E. DIZIONARIO ~ tale che Rn = R ~ · ~n. Tale vettore prende il nome può istituire un vettore R di rotore del vettore ~v nel punto considerato e si indica con rot × ~v o anche ∇ × ~v.

rulletta in un moto rigido piano: è la linea luogo dei centri di istantanea rotazione rispetto ad un osservatore solidale con il corpo rigido. Essa si chiama anche polare mobile. S scalare abbreviato di grandezza scalare: grandezza fisica i cui valori sono numeri e come tali possono essere messi in scala. sforzi interni Nome obsoleto ♣ per azioni interne [vedi]. sistema adiabatico è un sistema che non scambia calore con l’esterno. sistema aperto è un sistema che scambia materia con l’esterno. sistema chiuso è un sistema che non scambia materia con l’esterno. sistema conservativo un sistema meccanico soggetto a vincoli fissi, lisci e a forze posizionali e conservative. sistema continuo è un sistema meccanico che viene riguardato come un tutto unico. Tale è un filo, un’asta, una lamina, un fluido. ♣ sistema dinamico è un sistema di equazioni differenziali del primo ordine risolto rispetto alle derivate. sistema di riferimento è costituito da una piattaforma ♣ dotata di una terna di assi cartesiani e di un’orologio. sistema discreto è un sistema meccanico composto da un numero finito di particelle o corpi rigidi. Tale è un orologio, una bicicletta, un meccanismo, ecc. sistema fisico qualunque corpo o insieme di corpi, di natura qualsiasi sui quali si intendano studiare solo gli aspetti connessi con i fenomeni fisici. Ad esempio il corpo umano è un sistema fisico se ci limitiamo allo studio dei fenomeni meccanici, elettrici, ottici, termici, elettromagnetici; diviene un sistema chimico se ne studiamo i fenomeni chimici; diviene un un sistema biologico se ne studiamo i fenomeni biologici, ecc. sistema meccanico è un sistema fisico sul quale ci limitiamo a considerare gli aspetti meccanici.

205 Sistema Internazionale di unità di misura. E un insieme di prescrizioni di unità, nomi e simboli delle grandezze fisiche frutto della armonizzazione di diverse norme nazionali fra cui l’UNI italiana ♣. Si veda pag ... sistema isolato è un sistema sul quale non agiscono forze dall’esterno. sistema meccanico si intende qualunque corpo o insieme di corpi dei quali si intendano studiare solo gli aspetti connessi con i fenomeni meccanici, ovvero quelli connessi con la quiete o il moto. sistema olonomo Un sistema meccanico si dice olonomo o anolonomo a seconda che esso sia soggetto a vincoli olonomi o anolonomi [49, v.I, p.4] spostamento di un punto Considerato il movimento di un punto nello spazio e fissato un intervallo di tempo, si chiama spostamento del punto in quell’intervallo il vettore che unisce la posizione iniziale con quella finale del punto. Esso non risente quindi delle posizioni intermedie del punto ed è quindi indipendente dalla sua traiettoria. Lo spostamento di un punto durante un intervallo è uguale alla differenza tra i vettori raggi della posizione finale ed iniziale del punto: ~s = ~r + − ~r − = ∆~r. spostamento di un sistema è l’insieme degli spostamenti dei punti di un sistema. spostamento effettivo in contrapposizione a quello virtuale: è lo spostamento effettivamente subito da un punto durante il moto in un tempo infinitesimo. spostamento elicoidale è uno spostamento rototraslatorio particolare in cui la traslazione ha la stessa direzione dell’asse di rotazione. Si pensi allo spostamento di una chiave nella toppa della serratura. spostamento irreversibile è uno spostamento tale che il suo opposto non è concesso dai vincoli. ♣ spostamento piano è lo spostamento di un sistema in cui tutti i punti sono paralleli ad un piano. spostamento polare è lo spostamento di un corpo rigido con un punto fisso. spostamento reversibile è uno spostamento tale che anche il suo opposto è concesso dai vincoli. ♣ spostamento rotatorio di un corpo rigido: è uno spostamento rigido in cui due punti hanno spostamento nullo. Si dimostra che tutti i punti della retta passante per i due punti hanno spostamento nullo e tale retta si chiama asse della rotazione.

206

APPENDICE E. DIZIONARIO

spostamento rototraslatorio è uno spostamento rigido composto di una traslazione e di una rotazione. spostamento traslatorio di un corpo rigido: è uno spostamento rigido in cui tutti i punti hanno lo stesso spostamento. spostamento virtuale Si distingue tra 1. di un punto: è uno spostamento pensato a titolo di prova, quindi non effettivamente eseguito e compatibile con i vincoli del sistema. Esso può essere descritto dal vettore che congiunge la posizione attuale del punto con un’altra posizione che il punto potrebbe occupare compatibilmente con i vincoli del sistema. Qualora i vincoli siano mobili lo spostamento virtuale si intende compiuto fissando i vincoli all’istante che si considera. 2. di un sistema: è l’insieme degli spostamenti virtuali di tutti i punti del sistema. T tangente ad una linea in un suo punto P. Considerando un altro punto P0 della linea si consideri la retta PP0 che è secante la curva: facendo tendere P0 a P la secante tende ad una retta limite che si dice tangente alla linea in P. tempo La nozione di tempo sfugge a qualsiasi definizione ed è quindi presa come nozione primitiva. Il tempo può essere concepito come un insieme di istanti o di intervalli: • l’istante è una particella di tempo senza durata: esso serve per indicare una data, un appuntamento, una coincidenza, l’inizio o la fine di un processo, ecc. L’istante viene solitamente indicato con t. • l’intervallo è invece il lasso di tempo che intercorre tra due istanti: esso serve per indicare l’estensione temporale di un processo. La misura di un intervallo prende il nome di durata o anche di periodo. La durata viene solitamente indicata con T o con τ. L’unità di misura della durata è il secondo, simbolo s. Una breve riflessione indica che ogni volta che nominiamo il tempo o indichiamo un istante o un intervallo. Esaminiamo la seguente descrizione: Siamo partiti alle 7.40 (istante) e siamo giunti alle 9.40 (istante) dopo 2 ore di viaggio (intervallo). La cerimonia è iniziata alle 10.10 (istante) ed è durata un’ora abbondante (intervallo) e alle 12.30 (istante) siamo andati a pranzo. Tra una portata e l’altra intercorrevano 20 minuti (intervallo). Siamo stati a tavola fino alle 15! (istante). Siamo ripartiti

207 alle 18 (istante) e abbiamo impiegato ben quattro ore (intervallo) per giungere a casa.

teorema dell’energia afferma che in un sistema la variazione dell’energia cinetica è uguale al lavoro fatto dalle forze agenti sul sistema, siano esse interne od esterne, attive o reattive, di volume o di superficie. In formule ∆T = W in cui W è il lavoro. teorema di Chasles (nel piano): uno spostamento rigido piano, che non sia traslatorio, si può sempre ridurre ad uno spostamento rotatorio. Indicati con A e B due punti del corpo rigido e con A0 e B0 le posizioni finali di A e B, il centro di rotazione si determina come intersezione degli assi di due segmenti AA0 e BB0 . (nello spazio) Uno spostamento rigido si può ridurre in infiniti modi ad uno spostamento rototraslatorio, sempre con il medesimo vettore rotazione, ed in un unico modo ad uno spostamento elicoidale (caratterizzato dal fatto che la traslazione ha la stessa direzione del vettore rotazione). teorema di König afferma che l’energia cinetica di un sistema è uguale alla somma di quella che ha il suo baricentro se in esso vi immaginiamo concentrata l’intera massa più quella relativa al baricentro. teorema di Eulero sullo spostamento polare: ogni spostamento polare (quindi con un punto fisso) è rotatorio (cioè ha due punti fissi). terna intrinseca sinonimo di triedro intrinseco.♣ trasformazioni canoniche Usate in meccanica analitica. Sono quelle trasformazioni delle coordinate generalizzate (=lagrangiane) qk e dei momenti generalizzati pk che lasciano immutata la forma delle equazioni di moto di Hamilton. Il termine momento è usato nella letteratura inglese: esso indica la quantità di moto (inglese: momentum). triedro intrinseco o triedro principale ad una linea in un suo punto: è il triedro formato dai tre versori tangente, normale principale e binormale nel punto e dai tre piani normale, osculatore e rettificante. V velocità ~v • velocità media di un punto (=particella) in un intervallo di tempo il rapporto tra lo spostamento del punto nell’intervallo e la durata dell’intervallo stesso. Essa è anche il rapporto tra la variazione del vettore

208

APPENDICE E. DIZIONARIO raggio e l’intervallo di tempo s ∆~r def ~ ~v¯ = = τ ∆t

(E.27)

• velocità istantanea è il limite della velocità media quando la durata dell’intervallo tende a zero def

~v = lim

τ−→0

~s ∆~r d~r = lim = τ ∆t−→0 ∆t dt

(E.28)

Quest’ultima è comunenemente chiamata velocità. Si noti che una misura fornisce sempre una velocità media in quanto necessita di un intervallo, anche se piccolo: la velocità istantanea è una nozione matematica ottenuta idealizzando la nozione di velocità media passando al limite. La velocità (= velocità istantanea) di un punto è diretta secondo la tangente alla traiettoria. Si noti che non è corretto affermare che la velocità è la derivata dello spostamento in quanto essa è la derivata del vettore raggio. Qualora si disponga la terna di assi del sistema di riferimento in una posizione del punto scelta come posizione iniziale allora lo spostamento da quella posizione prende il nome di spostamento iniziale e coincide con il vettore raggio. Solo in questo caso la velocità si può considerare come la derivata dello spostamento iniziale.

~ Consideriamo dapprima un corpo rigido che ruota at~, Ω velocità angolare ω, ω torno ad un asse fisso: • velocità angolare media è il rapporto tra l’angolo descritto dal raggio vettore in un intervallo di tempo e la durata dell’intervallo. • velocità angolare istantanea Consideriamo un istante t contenuto nell’intervallo e sfacciamo tendere a zero l’intervallo attorno all’istante. Il limite della velocità angolare media quando la durata dell’intervallo tende a zero, prende il nome di velocità angolare istantanea del corpo rigido a quell’istante. Quest’ultima si chiama brevemente velocità angolare e la si indica con ω. 2 Quando si vuole indicare non solo l’entità della velocità angolare ma anche la direzione dell’asse si istituisce un vettore con la direzione dell’asse, il modulo uguale alla velocità angolare ed il verso ottenuto applicando la 2

Pronuncia oméga ♣ , con l’accento sulla e: si veda il dizionario ....

209 regola del cavatappi al senso di rotazione. Si ottiene in tal modo il vettore ~. velocità angolare che si indica con ω Si noti che la velocità angolare è un attributo di un corpo rigido e quindi non ha un naturale punto di applicazione: a differenza della forza che è, in generale un vettore applicato, si tratta di un vettore libero, vale a dire non ha un suo naturale punto di applicazione. Si noti anche che non ha senso parlare di velocità angolare di un punto. Se consideriamo un punto che descrive una circonferenza non ha senso parlare di velocità angolare del punto: si può invece mentre ha senso parlare di velocità angolare del raggio che congiunge il centro della circonferenza con il punto in moto. L’unità di misura della velocità angolare è il radiante per secondo e si scrive rad/s. La velocità angolare della terra, ad esempio, è di 6.28/ (24*3600) rad/s. Se il corpo rigido non ha un asse fisso, ma un punto fisso, il vettore velocità angolare ha la direzione dell’asse di istantanea rotazione [vedi] . Se il corpo rigido è libero il vettore ha la direzione dell’asse di moto [vedi] . ♣ [SPIEGARE] velocità areale Ȧ Nel moto centrale di un punto [vedi] è l’area descritta dal raggio vettore per unità di tempo[30, p.38] def

A =

A T

def

A T −→0 T

A = lim

~ = 1 ~r × ~v A 2

(E.29)

Anche qui si può distinguere una velocità areale media ed una velocità areale istantanea, quest’ultima denominata semplicemente velocità areale. velocità di fuga nel moto gravitazionale designa la velocità che deve avere una particella per sfuggire all’attrazione terrestre. La velocità di fuga non dipende dalla direzione della velocità iniziale ma solo dalla sua posizione. Per un campo sulla superficie terrestre è di circa 11 Km/s. velocità virtuale nozione poco felice in quanto nasce dal rapporto fra lo spostamento virtuale (che non coinvolge un intervallo di tempo) e un intervallo di tempo infinitesimo arbitrario. verga sinonimo di asta [vedi] . versore vettore di lunghezza unitaria. Lo si indica mettendo un accento circonflesso sopra il simbolo: ad es. n̂, t̂, b̂, ...

210

APPENDICE E. DIZIONARIO

versore tangente ~t ad una linea in un suo punto P. Considerando un altro punto P0 della linea, si consideri la retta PP0 che è secante la curva: facendo tendere P0 a P la secante tende ad una retta limite che si dice tangente alla linea in P. Il versore tangente è dato dalla formula ~t =

d~r ds

(E.30)

vettore La nozione di vettore è stata introdotta da Hamilton (19..♣) per indicare un ente geometrico costituito da un segmento orientato. Questo segmento è concepito come un veicolo (dal latino vehere) che trasporta un punto A (origine del vettore) in un punto B (termine del vettore). Il termine vettore si usa per denotare i mezzi di trasporto, quali gli aerei e gli autobus. Il prototipo dei vettori è lo spostamento di un punto. Altre grandezze fisiche sono rappresentabili con un vettore: tali sono la velocità, la forza, la quantità i moto, il momento di una forza, ecc. Questa definizione ha reso molto servizio alla fisica in genere e alla meccanica in particolare. Sui vettori sono state definite le operazioni di somma, prodotto per un numero, prodotto scalare e prodotto vettoriale. A partire dagli inizi di questo secolo ♣ la nozione di vettore ha subı̀to una radicale estensione. Osservato che le due operazioni fondamentali sono la somma di due vettori ed il prodotto di un vettore per un numero si è deciso di dare una definizione più estesa di vettore. Consideriamo enti matematici che si possano sommare e moltiplicare per un numero, quali, ad esempio, le funzioni di una variabile. Questi enti formano un insieme in cui sono definite le due operazioni suddette. Un insieme dotato di questa struttura prende il nome di spazio vettoriale. Gli elementi di questo insieme prendono allora il nome di vettori. Ne viene che sono vettori le funzioni di una variabile, quelle di due o più variabili, le matrici m × n, le successioni numeriche e cosı̀ via. Come si vede il salto tra la vecchia e la nuova definizione è molto grande! La vecchia nozione di prodotto scalare tra due vettori viene estesa nella nuova definizione mentre quella di prodotto vettoriale (due vettori che danno luogo ad un terzo vettore) rimane ancorata allo spazio tridimensionale e non è suscettibile di estensione. Nella nuova definizione perde senso la nozione di punto di applicazione di un vettore, di vettore scorrevole e di vettore libero. La nozione di vettore alla vecchia maniera rimane molto utile per la fisica, in particolare per la meccanica newtoniana. Il prodotto vettoriale è essenziale. La nozione estesa di vettore torna utile in molti campi della matematica, della fisica e della tecnica.

211 vettore applicato È il vettore per eccellenza, quello introdotto da Hamilton. Esso è un ente caratterizzato da un punto di applicazione, una retta che dà la direzione, un verso sulla retta ed un modulo o intensità del vettore. Tali sono lo spostamento di un punto, la velocità di un punto, il vettore campo elettrico in un punto, la forza applicata in un punto di un corpo, il momento di una forza rispetto ad un punto, ecc. vettore assiale vettore che descrive una grandezza fisica utilizzando la regola della vite. vettore libero La velocità angolare di un corpo rigido è caratterizzata da una direzione, un senso ed un modulo ma non ha importanza la sua retta di applicazione e tantomeno il suo punto di applicazione. Per questa ragione si chiama vettore libero. vettore scorrevole Le forze applicate a corpi rigidi possono scorrere lungo la loro retta di applicazione senza causare variazioni dello stato di quiete o di moto del corpo. Per questa ragione esse costituiscono dei vettori scorrevoli o cursori. Nei vettori scorrevoli è essenziale la retta di applicazione, il senso ed il modulo. vettore polare termine usato in contrapposizione a vettore assiale. vibrazione di un sistema meccanico: sinonimo di oscillazione. Generalmente il termine oscillazione si usa per il moto di una particella e per il moto d’assieme di un corpo rigido, ad esempio le oscillazioni di un pendolo, di un lampadario, di una barca. Il termine vibrazione si usa per indicare i rapidi cambiamenti di configurazione di un sistema deformabile. Cosı̀ si parla di vibrazioni di un edificio, di vibrazioni del vetro di una finestra, di vibrazioni dell’aria. Questa distinzione tra i due termini non è spesso rispettata. vincolo è tutto ciò che limita la libertà di movimento di un sistema. Un vincolo può essere di posizione o di movimento: un vincolo di posizione limita le configurazioni che il sistema può assumere; un vincolo di movimento limita il modo con il quale il sistema può andare da una configurazione ad un’altra. Si pensi al parcheggio di una motocicletta o di un’auto: esso è soggetto a vincoli di movimento che costringono a fare manovra per raggiungere una configurazione desiderata. vincolo anolonomo detto anche vincolo di mobilità o vincolo cinematico. È un vincolo che limita il modo di muoversi di un sistema nel passare da una

212

APPENDICE E. DIZIONARIO configurazione ad un’altra senza limitare le configurazioni che il sistema può assumere. È caratteristico di un vincolo anolonomo il fatto di legare le variazioni delle coordinate di configurazione e quindi di dar luogo ad equazioni differenziali non integrabili (di qui il termine anolonomo, dal greco holos che significa intero, integro, integrabile). Le equazioni non sono integrabili nel senso che non si possono ricondurre a relazioni finite fra le coordinate libere se non specificando la traiettoria che si intende seguire. [Fb, 25]

vincolo bilaterale o bilatero. È un vincolo che per ogni spostamento concesso concede anche il suo opposto. vincolo dissipativo vincolo scabro che fa perdere energia al sistema. Noi camminiamo in virtù del fatto che il terreno è un vincolo scabro: poichè non strusciamo ♣ i piedi il vincolo è non dissipativo (per fortuna!). Per riscaldarci le mani le sfreghiamo energicamente l’una con l’altra: il vincolo di una mano è l’altra mano e tale vincolo è scabro e dissipativo. vincolo fisso È un vincolo di posizione che non varia nel tempo. Una volta si usava il termine vincolo scleronomo (radice di sclerosi ♣). vincolo liscio È un vincolo privo di attrito e che quindi non manifesta resistenza al movimento che esso concede. vincolo mobile È un vincolo che varia di posizione nel tempo. È anche chiamato vincolo reonomo. vincolo olonomo detto anche vincolo geometrico o vincolo di posizione. Termine usato in contrapposizione a vincolo anolonomo [vedi] . [Fb, 25] ♣ vincolo reonomo termine obsoleto sinonimo di vincolo mobile [vedi]. vincolo scabro È un vincolo dotato di attrito e che quindi manifesta resistenza al movimento che esso concede. Non è necessariamente dissipativo [vedi] come nel caso di una ruota soggetta a puro rotolamento. vincolo scleronomo termine obsoleto sinonimo di vincolo fisso. vincolo unilaterale o unilatero. È un vincolo che ammette almeno uno spostamento irreversibile [vedi]. W

E.1. BIBLIOGRAFIA

213

watt W è l’unità di misura della potenza nel Sistema Internazionale (simbolo W). Esso è il rapporto tra joule / secondo (W=J s−1 ). Una volta si usava chilogrammetro al secondo, pari a 9,81 watt ed il cavallo vapore pari a 9.81x75=736 watt.

E.1

bibliografia

Quando lo studio del libro di testo pone delle difficoltà, un argomento è male espresso o poco chiaro, o troppo sinteticamente trattato è opportuno ricorrere ad altri libri.

Spesso si perde un pomeriggio per capire un passaggio, un argomento, una formula: è tempo usato male, veramente sprecato. È meglio andare in una biblioteca, cercare un testo diverso, e ivi leggere lo stesso argomento. Può essere che il diverso modo di esporre la stessa cosa, una diversa nomenclatura o anche soltanto un esempio facciano capire senza difficoltà quello che non si era capito sul testo.

Quindi non si abbia paura di allungare una preparazione consultando un altro libro (consultare, non studiare tutto il libro!). Eventuali differenze di nomenclature anche se fastidiose, abituano ad una certa elasticità indispensabile nella professione. Tutto questo ha lo scopo di far minor fatica e di impiegare minor tempo con il risultato di capire meglio, il che non è poca cosa.

214

APPENDICE E. DIZIONARIO

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218

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