Programme de révision Dimanche 13 avril Repos bien mérité pour certains.
Lundi 14 avril - Révision sur le chapitre 1 du livre Fonctions – Variations et continuité Lire deux ou trois fois la page 27 du livre. S’assurer que l’on connait la définition de continue en et dérivable en . Je rappelle que si est dérivable en alors est continue en et non pas la réciproque. Pour les QCM connaitre quelques exemples de fonctions pathologiques (fonctions non continues, non dérivables …). Ces exemples sont à la page 14 (valeur absolue et racine carrée) et à la page 18 (fonctions partie entière). Pour les plus dégourdies : rechercher une fonction continue sur et dérivable en aucun point de . Lire à la page 7 la ligne 3 du tableau : langage de la continuité et tableau de variation. Quand dans la colonne de gauche de ce tableau il y a écrit « on démontrera … », cela veut dire que l’on peut fabriquer une ROC sur le sujet. On demande de démontrer un corolaire : « si est une fonction continue strictement monotone… ». Pour cela faire l’exercice A page 25 dont la correction est page 26. Revoir comment on démontre qu’une équation admet au moins une solution. Il y a un exemple détaillé page 19 E. Faire les exercices correspondants 51 à 53 page 33. Pour finir : faire une petite collection d’exercices dans le livre, par exemple : 35, 36, 37, 38, 54, 69, 71, 74, 79, 80, 81, 82, 97 (PPI).
Mardi 15 avril – Révision sur le chapitre 2, Limites de suites et de fonctions Lire deux ou trois fois la page 57 du livre. Lire la troisième ligne du tableau de la page 7 : limites de suites et de fonctions. Il faut être capable de définir lim+,- ./0 1 ℓ par exemple. Il faut savoir démontrer qu’une suite croissante non majorée tend vers plus l’infini. Ce théorème est cité page 48 et sa démonstration est page 49. Relire le tableau de la page TB VII (à la fin du livre) et en profiter pour faire quelques exercices sur cette page. Il faut avoir en tête quelques exemples de suites un peu pathologiques pour les utiliser dans les QCM ou les 6 4
VRAI/FAUX. Par exemple : 34 1 .5104 qui ne converge pas et ne tend pas vers l’infini ; 34 1 qui converge vers 0 mais dont l’inverse ne converge pas. Il faut souvenir de la démonstration du théorème suivant : Soit .34 0 une suite telle que 3476 1 .34 0 où est une fonction continue en ℓ. Si .34 0 converge vers ℓ alors .80 1 8. Il faut se souvenir comment le fait que la fonction est continue en ℓ est utilisé dans la démonstration. Il faut se souvenir que une limite non justifiée au bac c’est zéro point. Les principales justifications sont : règles opératoires, croissances comparées, théorème sur les limites des composées de fonctions, théorème des gendarmes, théorèmes de comparaison (Cf tous les exemples de la page 53). Pour finir, faire une collection d’exercices : page 55 B et C (corrigés page 56), 20, 21, 22, 26, 46 à 60, absolument 70 page environ 60.
Mercredi 6 avril : la moitié du chapitre 3, les dérivées. Commentaire sur la page 7 : la nouveauté cette année est la formule qui donne la dérivée d’une composée de fonctions . 9 :0; ./0 1 :; ./0 < = 9 :./0. De cette formule on en déduite d’autres : .> ? 0; 1 3; > ? , . ln 30; 1 ?@ ?
;
, A√3C 1
?@ D √?
… Il faut évidemment bien connaitre ces formules.
Au passage, il faut bien se rappeler que la fonction racine carrée est continue sur 7 et dérivable sur 7E et la fonction valeur absolue est continue sur mais n’est pas dérivable en 0 (il faut savoir démontrer ce résultat). Relire la page 83 avec une attention particulière pour la définition de la dérivabilité en un point. Faire ensuite une cure de calcul de dérivée sans se tromper : exercices 19 à 22, 41 à 13. Quelques exercices sur les limites qui utilisent la définition de la dérivabilité : 16 à 18. Faire les exercices de la page 81, correction page 82.
Jeudi 7 avril – Révision sur le chapitre 10 du livre Nombres complexes Le mieux pour les nombres complexes est de revoir tout le cours et de noter les formules. La formule qui pose le plus souvent des problèmes est FG 1 |IJ 5 IK |. Puis prendre les annales et faire tous les exercices. Pour ce chapitre, il faudra travailler plusieurs jours. Le mieux est de faire un exercice sur les complexes tous les jours ! Courage !
Vendredi 8 avril – Chapitre 4 du livre, la fonction exponentielle A la page 7 du livre, on peut lire quelques remarques intéressantes sur la fonction exponentielle : On doit savoir démontrer l’unicité de la fonction exponentielle et connaitre la méthode d’Euler pour construire sa représentation graphique. L’unicité est démontrer page 102 du livre et la méthode d’Euler es rappelée page 101. Il faut savoir redémontrer toutes les formules du cours, le principe est souvent le même : on définit une fonction, on calcule sa dérivée, on montre que la fonction est constante et on obtient la formule. Revoir le résultat 1.5. page 104 que l’on utilise qu’assez rarement. Même chose pour l’approximation affine au voisinage de 0 : >+ 5 1 lim 11 +,L / Cette formule peut être démontrer en utilisant une limite de taux de variation. La fonction / M 1 N / est la meilleur approximation affine de la fonction exp au voisinage de 0, i .e. pour / voisin de 0, > + O 1 N /. (pour les plus dégourdies d’entre vous on pourra se demander se demander ce que veut dire / voisin de 0 ! Ne pas oublier de revoir les formules de croissance comparée page 108 indispensables pour justifier des limites. Revoir encore une fois la formule que l’on oublie trop souvent : .> ? 0= 1 3=> ? . On peut aussi se rappeler que la fonction exponentielle est strictement croissante et donc que les fonctions 3 et > ? ont les mêmes variations. Profiter de ce chapitre pour revoir les équations différentielles. Tous les résultats sont à la page 110 du livre. Rappel : il faut savoir faire les démonstrations. Faire le point : page 117. Faire les exercices de la page 115. Finir par choisir 4 ou 5 exercices sur les annales concernant la fonction exponentielle. Rappel : il faut refaire un exercice sur les nombres complexes. On peut en profiter pour revoir le lien entre la notation exponentielle > P Q et les équations différentielles page 290 du livre.
Samedi 9 avril – la fonction logarithme népérien Lire la ligne 6 de la page 7. A noter la meilleure approximation affine de la fonction / M ln.1 N /0 au voisinage de 0 est / M /. Autrement dit pour / voisin de 0, ln.1 N /0 O /. Se rappeler de formules que l’on utilise qu’assez rarement : ln.1 N S0 ln / lim 1 1 et lim 1 1. R,L +,6 / 5 1 S Savoir démontrer les formules de croissance comparée. Elles sont données page 134 (il y en a deux) et elles sont démontrées dans le T.D.1. Se rappeler que si 3 est une fonction dérivable sur un intervalle T qui ne s’annule pas sur T alors une primitive sur T de la fonction
?@ ?
est la fonction ln |3|. La démonstration de ce résultat est donnée page 136.
Revoir la fonction exponentielle de base : le plus simple est de se souvenir de la formule U 1 > U VW X . VW +
Avoir une idée de ce qu’est la fonction logarithme décimal : il suffit de se rappeler que log6L / 1 VW 6L. Faire les exercices de la page 143. Pour finir choisir quelques exercices des annales sur la fonction logarithme. Ne pas oublier de refaire des exercices sur les nombres complexes.
Dimanche 10 avril Aujourd’hui, un peu de repos. On peut se contenter de faire un sujet complet tiré des annales. Attention ne pas y passer plus de 4 heures car l’épreuve au bac dure 4 heures !
Lundi 11 avril : conditionnement et indépendance Lire la page 231 du livre. Comprendre comment on passe d’un arbre à un tableau, par exemple transformer l’arbre de la page 231 en tableau. M’envoyer un petit mail pour me dire si vous êtes intéressé par ce plan, sinon j’arrête de me fatiguer. Se rappeler que dans un arbre « on multiplie le long des branches et on ajoute les bouts de branches ». Lister les quelques formules utiles pour ce cours page 222 et 224. Faire obligatoirement le Q.C.M. page 229. Souvent les probabilités au bac sont données sous forme de Q.C.M.. Choisir quelques exercices du bac. Les probabilités, ce n’est pas très compliqué, les exercices sont un peu toujours les mêmes. Refaire quelques exercices concernant les nombres complexes et quelques dérivées pour se maintenir au niveau.
Mardi 12 avril – Suites et récurrence Se rappeler toutes les définitions liées aux suites : croissante, strictement croissante, majorée, bornée. Apprendre le théorème très important et souvent utilisé : toute suite croissante (resp. décroissante) et majorée (resp. minorée) est convergente. Je rappelle qu’une suite est convergente si et seulement si elle a une limite finie. Rappel : la suite définie par 34 1 .5104 n’est pas convergente car elle n’a pas de limite (essayer de le démontrer). Se rappeler de la définition de suites adjacentes, page 170, et du théorème correspondant : « si deux suites sont adjacentes alors elles convergent et elles ont la même limite ». Rappel : dans le livre page 170 à la ligne 23, il y a un donc un peu suspect : la suite .Y4 5 34 0 est décroissante et converge vers 0 donc ses termes sont positifs. La démonstration a été faite deux fois en classe et correspond à l’exercice 19 page 59. Voir le lien entre suites adjacentes et aire sous une courbe : activité 4 page 165. Faire les exercices de la page 175. Relire les méthodes utilisables page 177. Rappel : quand on étudie une suite type 3476 1 .34 0, comme dans l’exercice 34 page 179, on a intérêt, même si la consigne ne le dit pas, à étudier la fonction (variations, minimum, maximum). La plupart du temps les propriétés de la suite s’en déduisent facilement par récurrence ensuite. Est-ce utile de rappeler que dans ce cas il n’y a aucun lien simple entre les variations de la fonction et de la suite .34 0. Faire toutes les démonstrations par récurrence de la page 178 et 179. Faire quelques exercices concernant les suites dans les annales.
Un petit exercice qui n’a rien à voir et que j’ai inventé moi-même et qui pourrait ressembler à un P.P.I.. Dans un établissement scolaire que je ne citerai que par ses initiales pour ne pas le nommer : l’I.N.D., il y a un prof de math M.P. pour ne pas le nommer non plus. Dans cet établissement il y a 8 classes de 6e, 7 de 5e, 7 de 4e, 7 de 3e, 8 de 2nde , 6 de 1er et enfin 6 de terminale. M.P. a une classe de 4e , une classe de 2nde et une classe de terminale S. Si on choisi un élève ayant fait toute sa scolarité dans cet établissement sans redoubler, qu’elle est la probabilité qu’il n’ait jamais eu M.P. ? Soit X la variable aléatoire associée au nombre de fois où un tel élève a pu avoir M.P., donner la loi de probabilité de X et calculer l’espérance (ou l’espoir dans ce cas) de la variable aléatoire X. Maintenant oublions toutes les classes autre que la terminale. Prenons un élève qui rentre en terminale S. La probabilité qu’il ait M.P. en math est de 1/3. L’élève est décidé à redoubler tant qu’il n’aura pas M.P.. Combien de fois doit-il redoubler afin que la probabilité qu’il ait 1 fois ce prof soit supérieure à 99% ?
Mercredi 13 avril – Equations différentielles