UNIVERSIDAD DEL VALLE Facultad de Ciencias Posgrado en Ciencias Matem´ aticas Examen de Calificaci´ on ´ Algebra Agosto de 2011
INSTRUCCIONES (1) El examen debe realizarse de manera individual. (2) No est´ a permitido el uso de ning´ un material bibliogr´ afico. (3) Todo resultado utilizado en sus argumentaciones debe ser establecido de manera precisa en el examen. (4) Todos los puntos tienen igual valor. (5) El tiempo de duraci´ on del examen es de 4 Horas.
Nombre:
Calificaci´ on:
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(1) Clasifique todos los grupos finitos de orden 147 = 3 · 72 (2) Sean N es un subgrupo normal de un grupo finito G y H un subgrupo de indice finito en G. Demuestre que si [G : H] es primo con |N |, entonces N ⊆ H (3) Determinar un representante de cada clase conjugada de S5 y el n´ umero de elementos en cada clase. Use esta informaci´on para probar que los u ´nicos subgrupos normales de S5 son 1, A5 y S5 . (4) Demuestre o refute la siguiente afirmaci´on: (Q, +) es finitamente generado. L L (5) Use las propiedades de Hom para calcular Hom(Z2 Z5 , C Z12 ) (6) Sean G y G0 dos grupos y f, g ∈ Hom(G, G0 ). Si H = {x ∈ G, f (x) = g(x)}, entonces (a) Demuestre que H es un subgrupo de G. (b) Si ι denota la inyecci´on can´onica de H en G, entonces (i) Demuestre que f ◦ ι = g ◦ ι (ii) Demuestre que si G00 es un grupo y h ∈ Hom(G00 , G) tal que f ◦h = g◦h, entonces existe uno y s´olo un homomorfismo θ ∈ Hom(G00 , H) tal que h=ι◦θ (7) Muestre o refute que: (a) El ideal I generado por los polinomios p(x) y q(x), donde p(x) = 3 y q(x) = x3 − x2 + 2x − 1 en Z[x], es principal. (b) Z[x]/I es un dominio. √ (8) Sea E = Q( 3 2, ω) con ω 6= 1 y ω 3 = 1. Determinar todos los subgrupos del grupo G = Gal(E/Q), y los respectivos subcampos de E invariantes para cada uno de ellos. (9) Sean n ∈ Z+ , K (n) el cuerpo de descomposici´on del polinomio xn − 1 ∈ K[x] y E (n) el conjunto de todas las ra´ıces de xn − 1 en K (n) . Si K tiene caracter´ıstica p, demuestre que: (a) Si p - n, entonces E (n) es un grupo c´ıclico de orden n con respecto a la multiplicaci´on en K (n) . (b) Si p|n, digamos n = mpe con p - m, entonces K (n) = K (m) y E (n) = E (m) .
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