Cantidades millonarias y crecimientos espectaculares by Bibliocañada

Cantidades millonarias y crecimientos espectaculares

Vipond J. M. Duna de la playa de Monsul. Parque natural del Cabo de Gata-Nijar (Almería).

Matemáticas

GOBIERNO DE ESPAÑA

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

INDICE Prólogo.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Texto 1. Título: Los terribles protionos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Cuestionario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Para Saber Más.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Texto 2. Título abierto.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Cuestionario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Para Saber Más.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Texto 3. La apuesta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Cuestionario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Para Saber Más.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

SIGNIFICADO DE LOS ICONOS: Identificación de materias por colores: Ciencias Naturales

Cultura Clásica y Latín

Historia

Matemáticas

Identificación por niveles:

1.º de E.S.O.

B-I

1.º Bachillerato

Otros iconos:

Actividades

2.º de E.S.O.

B-II

2.º Bachillerato

3.º de E.S.O.

4.º de E.S.O.

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NOTACIÓN CIENTÍFICA

Prólogo Dicen que fue Arquímedes el primero en plantearse problemas que involucraban a números muy grandes, como aquél de los granos de arena que llenarían el Universo... Bastaría con pensar en todos los granos de arena que forman la famosa duna de la almeriense playa de Monsul para alcanzar cantidades enormes, con un montón de ceros detrás de la primera cifra. Este tipo de números están a la orden del día en los medios de comunicación, en los juegos de azar, en el mundo científico...: sin ellos, el mundo sería incomprensible. Se habla de millones, de billones, etc.; y no es fácil hacerse una idea clara de su significado. Ni siquiera es fácil anotar o leer esta clase de números. Por fortuna, se inventaron las potencias de diez que vendrán a nuestro rescate en situaciones difíciles. Queremos proponerte algunas lecturas interesantes que te ayuden a familiarizarte con el manejo de números muy grandes en diferentes situaciones. Como si de una sesión continua de cine se tratase, evocaremos imágenes de microbios creciendo sin control, de millones de estrellas por las que se expande la vida, de cálculos de probabilidades para apuestas millonarias de sucesos casi imposibles... ¡El increíble espectáculo de las cantidades enormes nos espera! ¡Que se abra el telón! 1

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MATEMÁTICAS

INSTRUCCIONES PARA EL USO DE ESTE CUADERNO En este cuaderno se incluyen unos textos y preguntas o actividades sobre ellos que tendrás que ir resolviendo. Las respuestas no siempre las hallarás en los textos que te ofrecemos. También tendrás que buscarla en libros y en internet. Cuando estés en la biblioteca, recuerda que la información que necesitas la puedes encontrar en libros de ciencias, en el número 5 de la CDU (en concreto, el 51 corresponde a Matemáticas y el 511 a la parte de geometría), o en libros sobre biografías, en el número 929. Si utilizas un libro, una enciclopedia, el artículo de una revista o una dirección de internet no te olvides de indicar su reseña bibliográfica. Hazlo de la siguiente manera: (normas aconsejadas por CEDRO) Libro APELLIDO DEL AUTOR. Inicial/es del nombre. (año de publicación) Título. Lugar de publicación: Editorial BALBUENA. L. (2008). Cuentos del cero. Tres Cantos (Madrid): Nivola Artículo de una enciclopedia Título del artículo. Título de la enciclopedia. Lugar de publicación: Editorial, año de publicación, volumen de la enciclopedia, número de la primera página del artículo-número de la última página del artículo. Teorema. Diccionario Anaya de la lengua. Madrid: Anaya, 2002. pag. 1069 Artículo de una revista APELLIDO DEL AUTOR. Inicial/es del nombre. (año de publicación) “Título del artículo”. Título de la revista, número de la revista, número de la primera página del artículo- número de la última página del artículo. ALVAREZ F. (1992) “Cálculos divertidos” Cuadernos de Pedagogía, 166, pag. 13-15 Dirección de internet Dirección de internet. Consulta: fecha http://www.divulgamat.net. Consulta: 27 de marzo de 2009.

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NOTACIÓN CIENTÍFICA

TEXTO 1 Se inician las actividades de este cuaderno con un texto que describe una amenaza imaginaria. El texto contiene referencias a conceptos matemáticos importantes. Tras su lectura, te propondremos algunas cuestiones y actividades que deberás trabajar para una mejor comprensión de esos conceptos.

Los terribles protionos*

oticias inquietantes nos llegan desde la galaxia +Q3. Damos lectura al último e-mail que nos ha enviado nuestro corresponsal en tan inhóspitos parajes. Dice así: Los protionos son una terrible especie microbiana, procedente de los laboratorios de guerra bacteriológica de alguna maléfica superpotencia del planeta Tierra. Unos restos de protionos, evaluados en aproximadamente dos mil individuos, han quedado encerrados en un recipiente hermético; y algún desaprensivo ha dejado caer ese recipiente sobre algún ignoto* cráter del satélite Luna. El Presidente de la Unión Intergaláctica está lógicamente preocupado ante la que se avecina, y ha convocado al Comité de bacteriólogos a un gabinete de crisis. - Explíqueme, muy clarito, Dr. Bacterio*, a qué peligros nos enfrentamosdijo el Presidente. - Sabemos con certeza –respondió el Jefe del Comité- que estos microbios, dejados sin control, se reproducen a un ritmo del 40% mensual. - Estos temibles microbios –continúo hablando otro de los bacteriólogosdesprenden sustancias químicas corrosivas que, a grandes dosis, resultan letales. Sabemos que, cuando se supere el número de diez mil individuos, dichas sustancias provocarán la disolución del material del que está hecho el recipiente que los encierra..., y, en fin: a partir de ahí ya no hay quien los pare...

* Texto y actividades basados en una propuesta de UDINA i ABELLÓ, F. (1989). Aritmética y Calculadoras. Madrid: Síntesis. páginas 163-167

Ignoto: que es desconocido, que no ha sido descubierto

Pr. Bacterio: A pesar del nombre, este científico no es un personaje de Mortadelo y Filemón (aclaración del narrador).

Vipond J. M.

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E.C.E.: esta sigla significa Equipo Científico de Emergencia (otra aclaración del narrador)

- En resumen, Señor Presidente –volvió a tomar la palabra el Dr. Bacterio-: si se alcanza la cifra de diez mil protionos, los muy asquerosos serán capaces de romper el recipiente, y se extenderán por todo el Universo, sembrando la muerte y la desolación. Tras unos segundos de embarazoso silencio, el Presidente volvió a dirigirse a los científicos. -La pregunta, señores, es ésta: ¿cuánto tiempo tenemos para localizar a esos malditos protionos, o como se llamen, antes de que suceda la tragedia? Dr. Bacterio, póngase en contacto con el Profesor Kripton para que reúna urgentemente a los del E.C.E.*, y tráiganme la respuesta esta tarde. De inmediato, se ha reunido el E.C.E., integrado por los más prestigiosos científicos de toda la galaxia. - ¡Señores, por favor! ¡Un poco de calma! El Profesor Kripton, hombre sensato y prudente, premio Nobel de Química en las postrimerías del siglo XX, coordinaba el E.C.E., y trataba de contener el revuelo que la noticia había levantado entre los científicos. -Tiene la palabra el señor economista de la tercera fila. - Gracias, Sr. Presidente. Si no he oído mal, hablamos de dos mil bichos capaces de crecer con una tasa mensual del 40%, que se volverán peligrosos cuando lleguen a ser diez mil; ¿es eso? - En efecto, así es –respondió el presidente. - Pues bien –prosiguió el economista. Yo, que no sé nada de bichos, pero sí soy experto en porcentajes (y también experto en crisis, dicho sea de paso), les aseguro que no hay nada que temer. El 40% de dos mil son ochocientos: ésos son los bichos que nacerán cada mes. Para alcanzar desde los dos mil bichos de inicio la cifra de diez mil harán falta ocho mil nacimientos (no necesito explicarles cómo se hace la resta, ¿verdad?). Y como cada mes nacen 800, está claro que tardarán diez meses en alcanzar la cifra fatídica. Aquí les muestro la gráfica que ilustra mis cálculos... - Según usted, entonces, tenemos diez meses para afrontar esta crisis –aclaró el presidente. - ¡Diez largos meses! –exclamó el economista. ¡No me dirán, señores, que no es tiempo más que suficiente para que nuestro glorioso ejército intergaláctico vaya a la Luna y proceda al exterminio de todo lo que se menea...! Un rumor general siguió a estas palabras. El Profesor Kripton habló de nuevo. - ¿Qué opina usted, Dr. Bacterio? El jefe del Comité de bacteriólogos no podía ocultar su nerviosismo. - En primer lugar –comenzó diciendo-, rogaría al que me ha precedido en el uso de la palabra que tuviera un poco más de respeto por la terminología científica, y no llamara bichos a los microbios. En segundo lugar, su gráfica lineal está equivo-

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NOTACIÓN CIENTÍFICA

cada; cualquier estudiante de secundaria sabe que las bacterias crecen exponencialmente. Es evidente que el tiempo disponible es mucho menor que lo que dicen sus cálculos. Más bien la gráfica tendría una pinta parecida a esto... Con gesto arisco, el bacteriólogo se puso en pié, tomó un rotulador e improvisó su dibujo en la pizarra Vileda. - ¡Pero, por favor...! ¡¿Qué clase de chapuza es ésa?! –se le escuchó decir al economista desde la tercera fila. - ¡Chapuza, la suya, caballero! –gritó el Dr. Bacterio–. Y además, ¿qué es esa tontería de hacer una guerra de exterminio en la Luna? Eso es algo que sólo puede decidir el Presidente tras valorar las distintas opciones, así que ¡no se pase de listo! - Está bien, señores –terció el coordinador-, no se enfaden. Como dijo el filósofo Leibniz, ¡calculemos! El Equipo se ha puesto de inmediato a estudiar los dos modelos de crecimiento en controversia, y otros modelos posibles. Elaborando tablas más detalladas, y representando los datos en una gráfica, han llegado a una conclusión certera acerca de cómo varía el número de protionos del recipiente según pasa el tiempo. Científicos discutiendo qué modelo es el más ajustado:

Vipond J. M.

A la hora del té, el Presidente volvió a reunirse con el Comité de bacteriólogos. - ¿Y bien? ¿Tienen ya la respuesta? ¿De cuánto tiempo disponemos para poner remedio a este desaguisado? -Se ha hecho una estimación, a partir de la tabla y la gráfica que hemos elaborado en el E.C.E. –respondió el bacteriólogo jefe-. Permítame mostrársela. De momento, como puede usted apreciar, hemos conseguido datos exactos trabajando con la variable tiempo en meses... Puede afirmarse que disponemos de cerca de cinco meses para encontrar a los protionos. -Necesito una respuesta más precisa –interrumpió el Presidente-; ¡si envío a la Luna a un C.D.S.* necesitará saber cuántos días pueden emplear en la búsqueda del cráter donde se hallan esos repugnantes microbios!. Con cinco meses y unos días habría tiempo suficiente para peinar toda la Luna hasta dar con ellos. Pero si fueran menos días, sería muy arriesgado... Desde luego, con menos de 18 semanas

C.D.S.: esta sigla significa Comando de Desinfección de Satélites (vuelve a aclarar el narrador)

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la búsqueda sería inútil, y tendríamos que pensar en alternativas más drásticas... -Bien, señor Presidente –siguió hablando el Dr. Bacterio-, precisamente hemos dejado al Equipo dándole vueltas al problema de precisar los días disponibles. Los matemáticos siguen trabajando en ello: han dicho algo de utilizar la interpolación, o de una ecuación algebraica, o algo así. Ya sabe cómo son estos matemáticos, siempre tan crípticos... En ese instante, la conversación fue interrumpida por una llamada de videófono, procedente de la sede del E.C.E. El Profesor Kripton apareció en la pantalla y saludó al Presidente. - Buenas tardes, excelencia. Le informo de que nuestros matemáticos ya han obtenido un cálculo estimativo de los días que tardará en llegarse a la cifra fatal de diez mil microbios... -¡Adelante, le escuchamos! - Son cuatro meses y ..... días. Un fallo de cobertura impidió al presidente escuchar con claridad la última cifra...

* El viejo sistema e-mail, basado en electrones, hace tiempo que fue sustituido en la parte avanzada del universo por el más seguro sistema q-mail, basado en quarks (ultima aclaración del narrador.

No nos ha llegado el final de esta crónica. Ha debido de perderse a causa de un fenómeno de disipación electrónica, provocada por una tormenta de viento interestelar... Hemos intentado contactar con nuestro corresponsal por vía q-mail* pero ha sido inútil. Seguiremos informando.

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NOTACIÓN CIENTÍFICA

CUESTIONARIO: PREGUNTA 1 ¿En qué categoría literaria incluirías este texto?: A) Divulgación científica sobre temas de Biología. B) Novela romántica. C) Texto académico de Matemáticas de nivel medio. D) Ciencia-ficción. E) Ensayo filosófico. PREGUNTA 2 Resume en un par de líneas en qué consiste la terrible amenaza a la que se refiere este texto. En particular, debes especificar cuántos microbios fueron abandonados en la Luna, y lo que significa exactamente la frase: los microbios se reproducen a un ritmo del 40% mensual.

PREGUNTA 3 Durante la discusión de los científicos, se confrontan dos modelos de crecimiento. ¿Cuáles son? ¿Quién crees tú que tenía razón, el economista o el bacteriólogo?

PREGUNTA 4 Observa la viñeta con los tres bocetos de gráfica que surgieron en la discusión. Uno de ellos fue del que trazó el economista, otro corresponde a la improvisación del bacteriólogo en la pizarra, y un tercero, de autor anónimo, fue encontrado en la papelera. Asocia, a cada gráfica su autor.

PREGUNTA 5 Elabora con cierto detalle una tabla de valores que recoja los cálculos que sugería el economista, para estudiar cómo van aumentando los protionos según pasan los meses. Utiliza este cuadro; puedes completarlo con más datos si es necesario.

Tiempo en meses

Número de protionos

2000

... ...

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PREGUNTA 6 Dibuja la gráfica que represente el número de protionos en función del tiempo, conforme a los cálculos del economista.

PREGUNTA 7 Elabora, a continuación otra tabla de valores coherente con la opinión del bacteriólogo. Puedes utilizar un cuadro análogo al de la pregunta 5.

PREGUNTA 8 Sobre el mismo diagrama de ejes en el que dibujaste la gráfica de la pregunta 6, traza en otro color la gráfica que representa la tabla de la pregunta 7. PREGUNTA 9 Según el equipo científico, ¿cuántos microbios como máximo es capaz de resistir el recipiente? ¿Cuántos meses calculan los científicos que tardará en alcanzarse esa cifra? A tenor de los datos de tus tablas y tus gráficas, ¿se justifica lo que piensan los científicos?

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NOTACIÓN CIENTÍFICA

PREGUNTA 10 Cuando el Presidente pide mayor grado de precisión, sus interlocutores le insinúan las líneas de investigación que están siguiendo los matemáticos: una de ellas, se basa en un método* y otra en el manejo de una fórmula* ¿De qué método se habla? ¿Qué tipo de fórmula creen los matemáticos que serviría?

PREGUNTA 11 Haz tu propia estimación de los días que resistirá el recipiente el embate* de los microbios.

PREGUNTA 12 Redacta tú el final de este relato, en un párrafo de unas diez líneas.

Método: modo ordenado y sistemático de proceder para llegar a un resultado. Fórmula: expresión simbólica de la relación que existe entre dos variables, escrita mediante signos y operaciones matemáticas. Embate: ataque violento.

PARA SABER MÁS .

ACTIVIDAD 1.- ¡¡Cien mil millones de estrellas bajo la amenaza protiónica!! Sugerencia para una continuación, en plan Terribles protionos, parte II: El presidente y sus científicos no han sido capaces de detener la amenaza, y los protionos revientan el frasco. Por un misterioso mecanismo ultra-taquiónico, las nubes de microbios se desplazan de forma que son capaces de alcanzar 3 estrellas el primer día. De cada estrella salen nuevas nubes hacia otras tres estrellas el 2º día. Y así, cada día se triplica el número de estrellas contaminadas. ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzarse todas las estrellas de la galaxia (unos cien mil millones)? Redacta un relato breve basado en esta idea. Añade los detalles que quieras, fruto de tu propia imaginación...

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ACTIVIDAD 2.- Se reportan otros incidentes microbiológicos en galaxias vecinas... •

Unos siglos después del incidente que acabas de leer, se produjo otro similar en una galaxia vecina. Allí los microbios abandonados también eran 2000, y tenían el mismo ritmo de reproducción que los protionos. Pero, como sabían lo que había pasado en la Luna, tomaron la precaución de fabricar recipientes con un material más resistente, que aguantara las venenosas emulsiones del doble de individuos (o sea, hasta veinte mil). Los dirigentes de esa galaxia estaban tranquilos porque pensaban que así tendrían el doble de tiempo para localizarlos. ¿Era verdad?

•

En otra galaxia lejana usaban el mismo tipo de recipientes que en la +Q3 (es decir, resistentes hasta diez mil microbios), y en principio se les extraviaron sólo mil, o sea, la mitad que en la Luna. El ritmo de crecimiento era el mismo de los protionos: el 40%. Aquí también pensaron que dispondrían del doble de tiempo que los de la galaxia +Q3, y sin embargo...

•

Tercer incidente en otra galaxia aún más remota: allí se les descontrolaron 2000, como en la Luna, pero estaban metidos en un frasco que aguantaba diez veces más, es decir, hasta cien mil microbios. Sin embargo, crecían a doble ritmo que los protionos, es decir, la tasa era del 80% mensual. Por tanto pensaron sus científicos que tendrían como cinco veces más tiempo que los de +Q3, y se lo tomaron con calma. ¿Tenían razón?

Estudia mediante tablas y gráficas la situación creada en alguna de estas galaxias, y presenta una cartulina-mural que muestre las tablas y gráficas de evolución del número de microbios, y el cálculo del tiempo realmente disponible.

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NOTACIÓN CIENTÍFICA

TEXTO 2 Lee el texto siguiente, acerca de la existencia de vida inteligente en nuestra galaxia, sin detenerte mucho en los detalles: se trata únicamente de hacerse una idea general de los argumentos que expone el autor. Posteriormente, tendrás ocasión de realizar una segunda lectura, más pausada, con el objeto de comprender mejor los cálculos matemáticos en los que se basa el texto.

TÍTULO:

“S

(abierto)

e estima que en nuestra galaxia hay aproximadamente cien mil millones de estrellas, de las que, pongamos, una décima parte tiene un planeta. De estos diez mil millones de estrellas, aproximadamente una de cada cien, quizá, tiene un planeta en la zona viva de la estrella*: ni tan cerca para que hierva el disolvente, agua, metano, o lo que sea, ni tan lejos como para que solidifique. Nos quedan, pues, aproximadamente, cien millones de estrellas de la galaxia que podrían tener vida en su sistema planetario. Como la mayoría son bastante menores que nuestro sol, sólo habría que considerar una décima parte de ellas como candidatas serias a tener planetas con vida. Esto nos deja aún con diez millones de estrellas, sólo en nuestra galaxia, susceptibles* de tener vida, y, quizás, en una décima parte de ellas se haya producido ya. Supongamos que en nuestra propia galaxia haya efectivamente un millón de estrellas con planetas que tienen vida. ¿Por qué no nos llega ninguna evidencia de ello?. En primer lugar porque nuestra galaxia es un lugar muy grande, con un volumen de unos cien billones de años-luz cúbicos Recuérdese que un año-luz es la distancia que la luz recorre en un año a la velocidad de 300 000 kilómetros por segundo, es decir, aproximadamente 10 billones de kilómetros. Por tanto, cada una de este millón de estrellas tiene, en promedio, un volumen de cien billones dividido por un millón años-luz cúbicos para ella sola. Esto da cien millones de años-luz cúbicos para cada estrella de las que se suponen que tienen vida. La raíz cúbica de cien millones es aproximadamente 500, con lo que la distancia media entre una estrella con vida y su vecina más próxima es de unos 500 años-luz: ¡unos diez mil millones de veces la distancia de la Tierra a la Luna! La distancia entre los “vecinos” inmediatos (...) parece lo bastante grande como para excluir la posibilidad de que las visitas de cortesía sean frecuentes. La segunda razón por la que es del todo improbable que nos encontremos con algún marcianito es que las civilizaciones que puedan haber existido habrán estado dispersas en el tiempo, naciendo en una época y desapareciendo después. De hecho, podría muy bien ocurrir que la vida, después de haber alcanzado cierto

*Zona viva de una estrella: la distancia adecuada para que surja la vida.

Susceptible: capaz de recibir una alteración.

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Inherente: inseparable, que forma parte de la naturaleza de algo. * El texto está escrito en una época en la cual se temía que las armas nucleares destruyeran la vida en el planeta.

estadio de complejidad, sea inherentemente* inestable y se autodestruya al cabo de unos cuantos milenios. Incluso suponiendo que la duración media de tales formas de vida avanzada sea de unos 100 millones de años -el tiempo transcurrido desde los mamíferos primitivos hasta un posible holocausto nuclear en el siglo veinte*-, si distribuimos uniformemente estos intervalos de tiempo en la historia de nuestra galaxia, de unos 12-15 mil millones de años, encontraremos que la vida avanzada se da simultáneamente en menos de diez mil estrellas de nuestra galaxia. En esta situación, la distancia media entre vecinos pasa a ser mayor de 2.000 años-luz. La tercera razón por la que no han venido turistas es que aunque se haya desarrollado vida en cierto número de planetas de la galaxia, es poco probable que les hayamos interesado lo suficiente. Esas formas de vida podrían consistir en grandes nubes de gas metano, en campos magnéticos auto-orientados, grandes praderas con seres en forma de patata, grandes entes planetarios que se pasan la vida cantando sinfonías complejas, o más probablemente una especie de espuma planetaria que se adhiere a las rocas iluminadas por su sol. No tenemos motivos para suponer que ninguna de las formas de vida citadas vaya a tener nuestras mismas aspiraciones ni nuestra misma psicología e intente llegar hasta nosotros.” PAULÓS, J. A. (1990). El hombre anumérico: el analfabetismo matemático y sus consecuencias. Barcelona: Tusquets, págs 95-97.

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NOTACIÓN CIENTÍFICA

CUESTIONARIO: PREGUNTA 1 En cuanto al tipo de texto que acabas de leer, señala si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: A) Se trata de un relato de literatura fantástica o de ciencia-ficción. V B) Está sacado de un libro de matemáticas, y contiene cálculos exactos de distancias astronómicas. V C) Partiendo de supuestos razonables, se hacen cálculos estimativos para alcanzar conclusiones científicamente aceptables. V D) El propósito del autor es exponer una serie de argumentos en torno a un tema de debate. V

F F F F

PREGUNTA 2 Pon título al texto.

PREGUNTA 3 A partir de las frases que has señalado como verdaderas en la pregunta 1, destaca aspectos estructurales del texto que justifiquen tu respuesta. (Fíjate en la organización de los párrafos, formas verbales que aparecen, palabras que se repiten...).

PREGUNTA 4 Según el autor de este texto, ¿cuál de las siguientes opciones se ajustaría a la realidad? (puede haber varias): A) Seguramente, no hay vida inteligente en nuestra galaxia (aparte de nosotros, claro). B) Hay planetas con vida avanzada, pero son muy pocos. C) Hay muchos planetas con vida inteligente, pero están muy lejos. D) Hay miles de planetas con vida, pero no es vida inteligente. E) Hubo un millón de planetas con vida inteligente pero fue en otro periodo de tiempo diferente al nuestro. F) Hay millones de civilizaciones extraterrestres deseando comunicarse con nosotros (y alguna ya nos ha visitado). G) Un ser extra-terrestre inteligente tardaría en llegar hasta nosotros unos dos mil años por lo menos. PREGUNTA 5 Señala la respuesta correcta: un año luz es una unidad de medida de A) Luminosidad. B) Tiempo. C) Longitud.

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PREGUNTA 6 En Matemáticas y en Ciencias, cuando se manejan números enormemente grandes, es muy habitual que se escriban en notación científica; ¿en qué consiste? Pon varios ejemplos. No tienen por qué ser números aparecidos en el texto; puedes buscar otros, consultando libros en la biblioteca, o en internet, etc. También te pueden servir los pensamientos de Mafalda.

QUINO (1979). Mafalda 4. Barcelona. Lumen.

PREGUNTA 7 En el texto, las grandes distancias de la galaxia se miden en años-luz. Transcribe la definición de año-luz. El autor te recuerda también cuál es la velocidad de la luz. Anota ese dato en notación científica.

PREGUNTA 8 El autor da la equivalencia aproximada del año-luz como diez billones de kilómetros. Vas a comprobar si este dato es correcto o no. Tendrás que: A) Hallar cuántos segundos entran en un año. B)

Redondear el resultado (con dos cifras significativas), y escribirlo en notación científica.

Escribir también en notación científica los kilómetros que la luz recorre en un segundo. Es la respuesta a la pregunta 7.

Multiplicar esos kilómetros por los segundos que tiene el año.

¿Coincide con lo que dice el autor? PREGUNTA 9 Otro cálculo que también puedes hacer usando la información del texto es la distancia de la Tierra a la Luna. Busca los datos, y dedúcelo, manejando la notación científica.

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NOTACIÓN CIENTÍFICA

PREGUNTA 10 Los cálculos realizados para responder a las preguntas 8 y 9 te han servido de entrenamiento para afrontar ahora la tarea principal: revisar los cálculos estimativos que propone el autor para reforzar sus argumentos. Para ello, debes realizar una lectura más pausada del texto. Es conveniente que sigas los pasos que se indican en el siguiente esquema: en la columna de la izquierda se encuentra la trascripción parcial del texto; tienes, a la derecha, espacio para verificar los cálculos indicados. Se estima que en nuestra galaxia hay aproximadamente cien mil millones de estrellas...,

A) Escribe en notación científica el número de estrellas de nuestra galaxia:

...de las que, pongamos, una décima parte tiene un planeta. De estos diez mil millones de estrellas, aproximadamente una de cada cien, quizá, tiene un planeta en la zona viva de la estrella (...). Nos quedan, pues, aproximadamente, cien millones de estrellas de la galaxia que podrían tener vida en su sistema planetario. Como la mayoría son bastante menores que nuestro sol, sólo habría que considerar una décima parte de ellas como candidatas serias a tener planetas con vida. Esto nos deja aún con diez millones de estrellas, sólo en nuestra galaxia, susceptibles de tener vida, y, quizás, en una décima parte de ellas se haya producido ya. Supongamos que en nuestra propia galaxia haya efectivamente un millón de estrellas con planetas que tienen vida. ¿Por qué no nos llega ninguna evidencia de ello?.

B) Efectúa los cálculos que sugiere el autor para estimar el número de estrellas que pueden tener algún planeta con vida:

En primer lugar porque nuestra galaxia es un lugar muy grande, con un volumen de unos cien billones de años-luz cúbicos (...).

C) Escribe el volumen de la galaxia en notación científica:

Por tanto, cada una de este millón de estrellas tiene, en promedio, un volumen de cien billones dividido por un millón (...) para ella sola. Esto da cien millones de años-luz cúbicos para cada estrella de las que se suponen que tienen vida...

D) Anota esta división para obtener el volumen disponible por cada “estrella con vida”:

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...La raíz cúbica de cien millones es aproximadamente 500, con lo que la distancia media entre una estrella con vida y su vecina más próxima es de unos 500 años-luz (...) La distancia entre los “vecinos” inmediatos (...) parece lo bastante grande como para excluir la posibilidad de que las visitas de cortesía sean frecuentes.

E) Escribe y justifica este cálculo de la raíz cúbica que el autor propone como estimación de la distancia entre estrellas con vida vecinas:

La segunda razón por la que es del todo improbable que nos encontremos con algún “marcianito” es que las civilizaciones que puedan haber existido habrán estado dispersas en el tiempo, naciendo en una época y desapareciendo después (...). Suponiendo que la duración media de tales formas de vida avanzada sea de unos 100 millones de años -el tiempo transcurrido desde los mamíferos primitivos hasta (...) el siglo veinte-...,

F) Escribe la duración supuesta de formas avanzadas de vida, en notación científica:

...si distribuimos uniformemente estos intervalos de tiempo en la historia de nuestra galaxia, de unos 12-15 mil millones de años...,

G) Escribe en notación científica la edad de nuestra galaxia:

...encontraremos que la vida avanzada se da simultáneamente en menos de diez mil estrellas de nuestra galaxia.

H) Para llegar a esta conclusión, el autor sugiere los siguientes cálculos:

En esta situación, la distancia media entre vecinos pasa a ser mayor de 2.000 años-luz.

•

Dividir la edad de la galaxia entre la duración de las formas de vida avanzada, para saber cuántos periodos con vida (al menos) han existido en nuestra galaxia:

•

Dividir el millón de estrellas que se supone que albergan vida entre ese número de periodos:

k) El autor propone revisar las cifras manejadas en el párrafo anterior, considerando sólo diez mil estrellas con vida. Así: • Rectifica el cálculo de volumen disponible para cada estrella, realizado en el cuadro D):

•

Rectifica el cálculo de la distancia entre vecinos realizado en el cuadro E)

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NOTACIÓN CIENTÍFICA

Vipond J. M.

PARA SABER MÁS. ACTIVIDAD 1.- Otros cálculos de cantidades muy grandes. Consultando bibliografía y con ayuda del profesor, puedes efectuar alguno de los cálculos que a continuación se sugieren: A) ¿Cuántos protones cubrirían el Universo? B) ¿Cuántos glóbulos rojos hay en el cuerpo humano? ¿Qué longitud ocuparían si los pusiéramos en fila? C) ¿Qué volumen ocupa toda la sangre humana? D) ¿Cuánto pesa toda la comida que un ser humano ingiere a lo largo de su vida? E) ¿Cuántos granos de arena calculó Arquímedes que llenarían el Universo? F) ¿A qué velocidad se desplaza Papá Noel en la noche de Navidad? G) ¿Cuántas moléculas de aire entran en nuestros pulmones durante un minuto? H) ¿Cuántas personas podrían vivir sobre la superficie de un asteroide de 3 kilómetros de diámetro? I) Etc. Elige uno de ellos para presentar un trabajo de investigación. En tu informe indica tus supuestos, y explica tus cálculos estimativos. Utiliza notación científica. Cita las fuentes de información consultadas.

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ACTIVIDAD 2.- Escalas de tiempo. ¿Cuántos segundos hay en dos semanas? Puedes comprobar que el cálculo arroja un número del orden de 106. En tal caso, cuatro semanas sería un número del orden de 1012 segundos, ¿o no? El trabajo que te proponemos consiste en identificar ejemplos de intervalos temporales que corresponderían a diferentes órdenes de magnitud de segundos, completando el siguiente cuadro: Orden de magnitud

Ejemplo de intervalo de tiempo

100

Un segundo

Cálculo en notación científica (2 cifras significativas)

3 x 101

102

1,2l x 102

103

Una hora

105

1,7 x 105

106

Dos semanas

Un semestre

109

3,2 x 109

1010 1011

Cuatro milenios

Sitúa en tu cuadro los siguientes hitos históricos: • • • • • • •

Tiempo transcurrido desde el último examen de matemáticas. Tiempo que hace que se inventó el cinematógrafo. Tiempo que lleva sin ganar tu equipo de fútbol favorito. Tiempo que hace que se inventó el móvil. Tiempo transcurrido desde que en Europa se conocen las cifras árabes. Tiempo que hace que aparecieron los Neandertales sobre la faz de la Tierra. Otros hitos que te parezcan interesantes.

Si has tenido que consultar fuentes bibliográficas o Internet, no olvides citarlas en tu trabajo.

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NOTACIÓN CIENTÍFICA

TEXTO 3 El siguiente texto explica, en forma de diálogo, cómo se razonan ciertos cálculos interesantes. Te proponemos que lo leas de manera similar al anterior: primero una lectura rápida, para captar la idea general, y después otra lectura más detenida, según vayas resolviendo las cuestiones planteadas, para revisar los cálculos sugeridos.

La apuesta

«E

N el comedor de la casa de descanso, se inició durante la comida una conversación sobre el modo de calcular la probabilidad de los hechos. Un joven matemático, que se hallaba entre los presentes, sacó una moneda y dijo: - Si tiro la moneda sobre la mesa, sin mirar, ¿qué probabilidad existe de que caiga con el escudo hacia arriba? - Ante todo, haga el favor de explicar lo que quiere usted decir con eso de la probabilidad –dijo una voz-. No está claro para todos. - ¡Esto es muy sencillo! La moneda puede caer sobre la mesa de dos maneras (…), con el escudo hacia arriba o hacia abajo. El número de casos posibles es igual a 2, de los cuales, para el hecho que nos interesa, es favorable sólo uno de ellos. De lo dicho se deduce la siguiente relación: el número de casos favorables 1 = el número de casos posibles 2 La fracción ½ expresa la probabilidad de que la moneda caiga con el escudo hacia arriba. - Con la moneda es muy sencillo –añadió uno-. Veamos un caso más complicado, por ejemplo con los dados. - Bueno, vamos a examinarlo –aceptó el matemático-. Tenemos un dado, o sea, un cubo con distintas cifras en las caras (…). ¿Qué probabilidad hay de que al echar el dado sobre la mesa, éste quede con una cifra determinada arriba, por ejemplo, el seis? ¿Cuántos son aquí los casos posibles? El dado puede quedarse sobre una cualquiera de las 6 caras, lo que significa que son posibles 6 casos diferentes. De ellos solamente uno es favorable para nuestro propósito, o sea, cuando quede arriba el seis. Por consiguiente, la probabilidad se obtiene dividiendo 1 por 6, es decir, se expresa con la fracción 1/6. - ¿Será posible que puedan determinarse las probabilidades en todos los casos? –preguntó una de las personas presentes-. Tomemos el siguiente ejemplo. Yo digo 19

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MATEMÁTICAS

Transeúnte: persona que pasa andando por un lugar.

* Rublo: unidad de moneda de Rusia, país donde transcurre la acción.

* Ínfimo: algo de valor muy bajo; cantidad extremadamente pequeña.

que el primer transeúnte* que va a pasar por delante de la ventana del comedor será un hombre. ¿Qué probabilidad hay de que acierte? - Es evidente que la probabilidad es igual a ½, si convenimos que en el mundo hay tantos hombres como mujeres (…). - ¿Qué probabilidad existe de que los dos primeros transeúntes que pasen sean ambos hombres? –preguntó otro de los veraneantes. - Este cálculo es algo más complicado. Enumeremos los casos que pueden presentarse. Primero: es posible que los dos transeúntes sean hombres. Segundo: que primero aparezca un hombre y después una mujer. Tercero: que primero aparezca una mujer y después un hombre. Y finalmente el cuarto caso: que ambos transeúntes sean mujeres. Por consiguiente, el número de casos posibles es igual a 4; de ellos sólo 1, el primero, nos es favorable. La probabilidad vendrá expresada por la fracción ¼. He aquí, pues, la resolución del problema. - Comprendido. Pero puede hacerse también la pregunta respecto a tres hombres. ¿Cuál será la probabilidad de que los tres primeros transeúntes sean todos hombres? - Bien, calculemos también este caso. Comencemos por hallar los casos posibles. Para dos transeúntes, el número de casos posibles, como ya sabemos es igual a cuatro. Al aumentar un tercer transeúnte el número de casos posibles se duplica, puesto que a cada grupo de los 4 enumerados, compuesto de dos transeúntes, puede añadirse, bien un hombre, bien una mujer. En total, el número de casos posibles será 4 × 2 = 8 . Evidentemente, la probabilidad será igual a 1/8., porque sólo tenemos un caso favorable. De lo dicho, se deduce la regla para efectuar el cálculo: en el caso de dos transeúntes, la probabilidad será 1 2 × 1 2 = 1 4 ; cuando se trata de tres tendremos 1 2 × 1 2 × 1 2 = 18 ; en el caso de cuatro, las probabilidades se obtendrán multiplicando cuatro veces consecutivas ½ y así sucesivamente. Como vemos la magnitud de la probabilidad va disminuyendo. - ¿Cuál será su valor, por ejemplo, para diez transeúntes? - Es decir, ¿cuál es la probabilidad de que los diez primeros transeúntes sean 1 todos hombres? Tomando ½ como factor diez veces obtenemos 1024 , o sea, menos de una milésima. Esto significa que si usted apuesta conmigo 1 rublo* a que eso ocurrirá, yo puedo jugar mil rublos a que no sucederá así. - ¡Qué apuesta más ventajosa! –dijo uno-. Yo de buen grado pondría un rublo para tener la posibilidad de ganar mil. - Pero tenga usted en cuenta que son mil probabilidades contra una. - ¡Y qué! Arriesgaría con gusto un rublo contra mil, incluso en el caso de que se exigiera que los cien primeros transeúntes fueran todos hombres. - ¿Pero se da usted cuenta de qué probabilidad tan ínfima* () existe de que suceda así? –preguntó el matemático. - Seguramente una millonésima o algo así por el estilo. - ¡Muchísimo menos! Una millonésima resulta ya cuando se trata de 20 transeúntes. Para cien será… Permítame que lo calcule aproximadamente.

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NOTACIÓN CIENTÍFICA

Una billonésima, trillonésima, cuatrillonésima… ¡Oh! Una unidad con treinta ceros. - ¿Nada más? - ¿Le parecen a usted pocos ceros? Las gotas de agua que contiene el océano no llegan ni a la milésima parte de dicho número. - ¡Qué cifra tan imponente! En ese caso, ¿cuánto apostaría usted contra mi rublo? - ¡Ja, ja,…! ¡Todo! Todo lo que tengo. - Eso es demasiado. Juéguese su bicicleta. Estoy seguro de que no la apuesta. - ¿Por qué no? ¡Con mucho gusto! Venga, la bicicleta si usted quiere. No arriesgo nada en la apuesta. - Yo sí que no expongo nada; al fin y al cabo, un rublo no es una gran suma y, sin embargo, tengo la probabilidad de ganar una bicicleta, mientras que usted casi no puede ganar nada. - Pero comprenda usted que es completamente seguro que va a perder. La bicicleta no será nunca suya, mientras que el rublo puede decirse que ya lo tengo en el bolsillo. - ¿Qué hace usted? –dijo al matemático uno de sus amigos, tratando de contenerlo- Por un rublo arriesga usted su bicicleta. ¡Usted está loco! - Al contrario –contestó el matemático-, la locura es apostar, aunque sea un rublo, en semejantes condiciones. Es seguro que gano. Es lo mismo que tirar el rublo. - Pero ¿de todos modos existe una probabilidad? - ¡Una gota de agua en el océano, mejor dicho, en diez océanos! Esa es la probabilidad: diez océanos de mi parte contra una gota. Que gano la apuesta es tan seguro como dos y dos son cuatro. - No se entusiasme usted tanto, querido joven –sonó la voz tranquila de un anciano, que durante todo el tiempo había escuchado en silencio la disputa-. No se entusiasme. - ¿Cómo, profesor, también usted razona así? - ¿Ha pensado usted que en este asunto no todos los casos tienen las mismas probabilidades? El cálculo de probabilidades se cumple concretamente sólo en los casos de idéntica posibilidad ¿no es verdad? En el ejemplo que examinamos…, sin ir más lejos –dijo el anciano prestando oído-, me parece que la propia realidad viene ahora mismo a demostrar su equivocación. ¿No oyen ustedes? Parece que suena una marcha militar, ¿verdad? - ¿Qué tiene que ver aquí la música? –comenzó a decir el joven matemático, quedándose cortado de pronto. En su rostro se expresaba el susto. Saltó del asiento, corrió hacia la ventana y asomó la cabeza. - ¡Así es! –exclamó con desaliento-. He perdido la apuesta. ¡Adiós mi bicicleta! Al cabo de un minuto quedó todo claro. Efectivamente, frente a la ventana pasó desfilando un batallón de soldados.” PERELMAN, Y. (1982). Matemáticas recreativas. Moscú: Mir, páginas 143– 148.

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MATEMÁTICAS

CUESTIONARIO: PREGUNTA 1 En este texto se define una regla matemática para expresar la probabilidad de un suceso simple. Enuncia esa regla. ¿Se puede aplicar la regla en cualquier situación? Dicha regla se conoce con el nombre de un matemático importante, el primero que publicó un tratado sistemático de teoría de las probabilidades, ¿sabes quién es? Anota en un par de líneas algún dato sobre la época en que vivió, y su obras matemáticas (Puedes buscar esta información en la biblioteca, en internet, etc.).

PREGUNTA 2 Completa las siguientes frases, según lo que has leído: A) La probabilidad de que al lanzar la moneda salga cruz es _______ %. B) Sacar un cinco al lanzar el dado tiene probabilidad de _______ (nº decimal). C) La probabilidad de que los dos primeros transeúntes que pasen sean hombres es la fracción _______. D) Que los próximos tres transeúntes sean hombres es un suceso con una probabilidad de _______. PREGUNTA 3 A) Un diagrama como el siguiente ilustra los casos analizados en el texto para resolver la cuestión de los dos transeúntes: 2º transeúnte VARON MUJER 1er transeúnte VARON VV VM MUJER MV MM Los casilleros interiores representan los cuatro casos posibles. Señala el caso favorable del que habla el personaje del texto. B) Dibuja un cuadro similar al anterior para representar la probabilidad de sumar 7 puntos al lanzar dos dados. Ayúdate del siguiente esquema, anotando en cada casilla la correspondiente suma de puntuaciones: Puntuación del segundo dado 1 Puntuación del primer dado

1 2 3 4 5 6

¿Cuántos casos posibles se tienen?_____ Destaca los casos favorables al suceso sumar 7 puntos. Anota aquí tu cálculo para la probabilidad de este suceso:

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NOTACIÓN CIENTÍFICA

PREGUNTA 4 Para representar la situación de tres transeúntes no sería práctico un cuadro como el anterior; es preferible un diagrama de árbol, como el siguiente:

El recorrido completo de una rama, de izquierda a derecha, representaría un caso cualquiera que puede ocurrir. Por ejemplo, podría ocurrir que el primer transeúnte fuese varón, el segundo mujer y el tercero varón; este caso estaría representado por la rama que se inicia yendo hacia la palabra VARÓN, luego desciende hacia MUJER, y acaba de nuevo subiendo hacia VARON El árbol tiene 8 ramas, que representan los ocho casos posibles; hemos marcado el caso favorable del problema del texto. Utiliza este mismo árbol para evaluar la probabilidad de que los tres próximos transeúntes sean: A) Exactamente dos de ellos hombres. B) Uno de ellos hombre. C) Al menos un hombre. D) Ningún hombre. PREGUNTA 5 El joven matemático del texto deduce una regla para el cálculo de probabilidades cuando se trata de sucesos compuestos: la llamada regla del producto. Enuncia esa regla.

PREGUNTA 6 Comprueba, aplicando la regla del producto, que la probabilidad de que los 10 transeúntes sean todos hombres sale

1 , 1024

como dice el texto. Escribir ese resultado en notación

científica, con tres cifras significativas. PREGUNTA 7 Cuando se plantea el problema de que salgan todos hombres siendo 20 transeúntes, ¿qué probabilidad estiman los interlocutores? Efectúa tú ese cálculo, dando el resultado en notación científica con 2 cifras significativas. ¿Se confirma la estimación previa?

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PREGUNTA 8 Efectúa el cálculo de la probabilidad de que 100 transeúntes sean todos hombres. Compara tu resultado con la estimación que realiza el matemático del diálogo.

PREGUNTA 9 El joven matemático recurre a una metáfora cuando se propone explicar el significado del número obtenido en el cálculo de la pregunta anterior. Transcribe la frase del diálogo en que aparece esta figura literaria.

PREGUNTA 10 ¿En qué consiste la apuesta que realiza el joven matemático? ¿La gana o la pierde? ¿Por qué le fallaron los cálculos?

PARA SABER MÁS. ACTIVIDAD 1.- Cómic desordenado Las frases que figuran a continuación corresponden a los 16 bocadillos de esta historieta manipulada cuyos protagonistas son unos famosos personajes de cómic. Debes ordenarlos e incorporarlos en su lugar. El diálogo del texto anterior te servirá de referencia (pues también se discute a propósito de una apuesta, aunque nuestros simpáticos galos en lugar del rublo usan como moneda el sestercio). Frases: A) Es igual a 1

2100

B) ¡¿TODO LO QUE TIENES?! C) ¡Pues yo apostaría 1 sestercio contra mil a que los próximos cien visitantes serán todos varones!. D) O sea, cien romanos juntos, ¿eh? ¿Quién es el loco ahora, Astérix? E) ¿Cuál es la probabilidad de que los cien próximos visitantes de la aldea sean todos varones? F) ¡Pero Obélix, ten en cuenta que es una probabilidad ínfima! ¡La cifra que sale es aproximadamente 10-30 ! G) ¡EL LOCO IGNORANTE ES USTED! H) Si cree que no pasará, Sr. Astérix, ¿cuánto apostaría usted contra mi sestercio? I) En la aldea gala se discute de ciencia... J) ¡Apostaría todo, Sr. Obélix! ¡Todo lo que tengo! K) ¡Está bien, Obélix! ¡Apuesto mi colección de barcos piratas contra tu sestercio! L) ¡Larguémonos, Ideafix! ¡Astérix es un fanfarrón que se toma a broma nuestras inquietudes científicas! M) ¡...PORQUE SÓLO UN LOCO APOSTARÍA ALGO TAN VALIOSO CONTRA UN MÍSERO SESTERCIO! N) ¡¡ALERTA!! ¡¡CENTURIA ROMANA ACERCÁNDOSE A LA ALDEA!!

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NOTACIÓN CIENTÍFICA

O) El señorito Astérix me sigue tomando el pelo, pero voy a aceptar su loca apuesta. P) Pues sí, hombre. La probabilidad es tan baja que en esa apuesta yo no arriesgaría nada, y tú perderás seguro. Basado en UDERZO, A. (1996). El mal trago de Obélix. Barcelona: Planeta. Pág 9.

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Actividad 2.- Pioneros del cálculo de probabilidades. Antes de que Laplace escribiera su tratado sobre probabilidad, muchos otros matemáticos se calentaron la cabeza con intrigantes problemas que tenían relación con situaciones en las que intervenía el azar, y se formulaban apuestas, como la que motiva el texto que acabas de leer. Te proponemos que busques información en libros, en Internet, etc., acerca de estos pioneros del cálculo de probabilidad, y elabores un informe resumido, de unas treinta líneas. Debes incluir en tu informe, al menos, tres matemáticos que investigaran estos temas entre los siglos XVI y XVIII. También puedes hacer referencia al tipo de juegos de azar que, desde los tiempos más remotos, han servido para plantear cuestiones interesantes relacionadas con el cálculo de probabilidades. Puedes incluir ilustraciones. No olvides citar tus fuentes de información.

Bibliocañada, la aventura continúa. Materiales para la lectura y el uso de la biblioteca escolar

Fernando Botía López Remedios de los Reyes García-Candel Basilisa López García Concepción Martínez Palazón María Ortuño Muñoz Cristina Sánchez Martínez José Miguel Vipond Depósito Legal: MU-264/2009 Estos materiales se han realizado gracias a la subvención del Ministerio de Educación, Política Social y Deporte (Orden ECI754/2008, de 10 de marzo, por la que se conceden ayudas para la elaboración de materiales para facilitar la lectura en las diferentes áreas y materias del currículo y para la realización de estudios sobre la lectura y las bibliotecas escolares, convocadas por Orden ECI/2.687/2007, de 6 de septiembre).

BIBLIOCAÑADA