Matemáticas Road to CERN

ROAD TO CERN MATEMÁTICAS ROSA ÁLVAREZ NOGUEIRAS

Road to CERN. Rosa Álvarez

Páxina 1

INDICE

0.- INTRODUCCIÓN…………………………………………………...………………3 1.- ESTRUCTURAS ALXÉBRICAS…………………………………………………...4 2.-DETERMINANTES……………………………………………………………….…6 3.- ESPACIOS VECTORIAIS…………………………………………………………..7 4.-DERIVADAS……………………………………………………………………….11 5.- OPERADOR NABLA……………………………………………………………...14 6.- ECUACIÓNS DE MAXWELL……………………………………………………15

Road to CERN. Rosa Álvarez

Páxina 2

0.- INTRODUCCIÓN

Cando me prantexei a participación neste traballo multidisciplinar que se ía realizar no Centro e valorei a pertinencia de presentar algo dende o punto de vista da asignatura de Matemáticas non se me ocurría que facer…

Tomei a miña decisión despois de escoitar a conferencia que o profesor emérito da Universidade de Santiago de Compostela, Carlos Pajares, impartiu no Cento .

Falaría dos conceptos e contidos matemáticos necesarios para desenrrolar un contido de Física ,neste caso, do Operador Nabla e a súa aplicación nas ecuacións de Maxwell.

(Suxestión feita polo profesor de Tecnoloxía do Centro, Celso Fernández Lorenzo, alma mater deste proxecto).

Road to CERN. Rosa Álvarez

Páxina 3

1.- ESTRUCTURAS ALXÉBRICAS: SEMIGRUPO, GRUPO, ANILLO E CORPO

ROAD TO CERN Dado un conxunto A definimos sobre él una operación * diremos que (A,*) ten : ESTRUCTURA DE : SEMIGRUPO

AXIOMAS         

SEMIGRUPO ABELIANO GRUPO

   

GRUPO ABELIANO



OPERACIÓN INTERNA ASOCIATIVA OPERACIÓN INTERNA ASOCIATIVA COMMUTATIVA OPERACIÓN INTERNA ASOCIATIVA ELEMENTO NEUTRO ELEMENTO SIMÉTRICO OPERACIÓN INTERNA ASOCIATIVA ELEMENTO NEUTRO ELEMENTO SIMÉTRICO COMMUTATIVA

EXPLICACIÓNS https://www.youtube.co m/watch?v=_8l9SnMK WJM

https://www.youtube.co m/watch?v=9PdwaQd7 Rew (2:57´)

Dado un conxunto A e dúas operación * e ^ diremos (A,*, ^) ten : ESTRUCTURA DE : ANILLO

AXIOMAS

ANILLO COMMUTATIVO E UNITARIO

CORPO

          

Road to CERN. Rosa Álvarez

EXPLICACIÓNS (A,*) É UN GRUPO https://www.youtube.co ABELIANO m/watch?v=VGq1Ily2v (A,^) É UN SEMIGRUPO PY DISTRIBUTIBAS (A,*) É UN GRUPO ABELIANO (A,^) É UN SEMIGRUPO DISTRIBUTIBAS COMMUTATIVA ELEMENTO NEUTRO (A,*) É UN GRUPO https://www.youtube.co ABELIANO m/watch?v=6e9TxR2fT (A,^) É UN GRUPO B0 (4:37´) ABELIANO DISTRIBUTIBAS

Páxina 4

De este xeito temos que o conxunto dos números reais (ℛ, + , ·) ten estructura de corpo . Vexámolo No conxunto R dos números reais, hai definida uhna operación, chamada suma , +,

→ℛ (a,b) → a+b

SUMA + : ℛ x ℛ

que verifica os seguintes axiomas: 1. É asociativa: (a+b)+c=a+(b+c),∀a,b,c∈ ℛ 2. Éconmutativa: a+b=b+a,∀a,b,∈ ℛ 3. Existe un elemento neutro para a suma, que o designaremos por 0: ∃0∈ ℛ: a+0=a,∀a∈ ℛ 4. Todo número real a admite un simétrico chamaremos oposto de a E designaremolo por –a : ∀a∈ ℛ,∃−a∈ ℛ: a+(−a)=0

para

a

suma,

que

(ℛ, +), coa operación suma, é un grupo conmutativo, o grupo aditivo dos números reais En ℛ hai definida unha segunda operación, chamada producto , denotaremola cun punto, ·

→ℛ (a,b) → a·b

PRODUCTO · : ℛ x ℛ

que verifica os seguintes axiomas: 5. É asociativo: (a·b) ·c=a· (b·c),∀a,b,c∈ ℛ 6. É conmutativo: a·b=b·a,∀a,b,∈ ℛ .

7. Existe un número real non nulo, que designaremos por 1, que é o elemento neutro para o producto: ∃1∈ ℛ,1≠0:a·1=a,∀a∈ ℛ 8. Todo número real a distinto de cero admite un simétrico para o producto, que chamaremos inverso de a e designaremolo por a−1 : ∀a∈ ℛ −{0}, ∃a−1∈ ℛ: a·a−1=1 9. O producto cumple a propiedade distributiva respecto da suma: a· (b+c)=a·b+a·c,∀a,b,c∈ ℛ (ℛ, ·), coa operación producto, é un grupo conmutativo e como tamén se verifica a propiedade distributiva temos que:

(ℛ, + , ·) ten estructura de corpo , é o corpo dos números reais Road to CERN. Rosa Álvarez

Páxina 5

2.-

DETERMINANTES 3X3 : Regla de Sarrus :

P ierre Sarrus (1798, 1861) fo i un mat emát ico fr ancés que est ableceu unha regra para calcular det erminant es de orden 3.

Os t ér mino s con s igno + est án for mados po los element os da diagonal pr incipal e os das d iagonais paralelas co seu correspondent e vért ice opo st o.

Os t ér mino s con signo − est án for mado s p o los element os da diagonal secundar ia e os das diago nais paralelas co seu correspondent e vért ice opo st o.

Exemplo :

VIDEO DA EXPLICACIÓN : https://www.youtube.com/watch?v=Kcg0ZtTMKaE EXERCICIOS : https://www.youtube.com/watch?v=aWN_dpEeGFA&feature=youtu.be

Road to CERN. Rosa Álvarez

Páxina 6

3.- ESPACIO VECTORIAL â„›3 O conxunto â„›3 ĂŠ un espacio vectorial sobre o corpo â„› , dotado de dĂşas operaciĂłns

(â„›3 ,+,¡R) ďƒ˜ Unha operaciĂłn interna ,A suma: ď ś

SUMA

+:

ℛ 3 x ℛ 3 →ℛ 3 (�, � ) → � + �

que cumple as seguintes propiedades:

1) propiedade conmutativa, đ?‘˘ + đ?‘Ł = đ?‘Ł + đ?‘˘ ∀ đ?‘˘, đ?‘Ł ∈ â„› 3 2) propiedade asociativa, đ?‘˘ + (đ?‘Ł + đ?‘¤) = (đ?‘˘ + đ?‘Ł) + đ?‘¤ ∀ đ?‘˘, đ?‘Ł, đ?‘¤ ∈ â„› 3 3) elemento neutro , ĂŠ decir : ∃0 ∈ â„› 3 : đ?‘˘ + 0 = đ?‘˘ ∀ đ?‘˘ ∈ â„› 3 4) elemento oposto, ∀ đ?‘˘ ∈ â„› 3 ∃ − đ?‘˘ âˆś đ?‘˘ + (−đ?‘˘) = 0 ďƒ˜ E a operaciĂłn externa ,producto por un escalar : ď ś PRODUCTO POR UN ESCALAR ¡R : â„› x â„› 3 →ℛ 3 (đ?‘Ž, đ?‘Ł ) → a¡đ?‘Ł que verifica as seguintes propiedades: 5) propiedade asociativa: đ?’‚ ¡ đ?’ƒ ¡ đ?‘˘ = đ?‘Ž ¡ đ?‘? ¡ đ?‘˘ ∀ đ?‘Ž, đ?‘? ∈ â„›

∀ đ?‘˘ ∈ â„›3

6) 1∈ â„›, sexa elemento neutro do producto: 1 ¡ đ?‘˘ = đ?‘˘ ∀ đ?‘˘ ∈ â„›3 7) propiedade distributiva del producto respecto la suma de vectores: , đ?‘Ž ¡ (đ?‘Ł + đ?‘¤) = đ?‘Ž ¡ đ?‘˘ + đ?‘Ž ¡ đ?‘Ł ) ∀đ?‘Ž ∈ â„› ,

∀ đ?‘˘, đ?‘Ł, ∈ â„› 3

8) propiedade distributiva do producto respecto a suma de escalares: đ?‘Ž + đ?‘? ¡ đ?‘˘ = đ?‘Ž ¡ đ?‘˘ + đ?‘? ¡ đ?‘Ł ∀đ?‘Ž, đ?‘? ∈ â„› ,

∀ đ?‘˘ ∈ â„›3

Polo tanto (đ?“Ąđ?&#x;‘ ,+,¡R) ten estructura de espacio vectorial , o espacio vectorial dos vectores libres do espacio

VIDEO DA EXPLICACIĂ“N : https://www.youtube.com/watch?v=H5wh0gvT3vo

Road to CERN. Rosa Ă lvarez

PĂĄxina 7

OPERACIĂ“NS CON VECTORES : ďƒ˜ ďƒ˜ ďƒ˜ ďƒ˜ ďƒ˜

SUMA PRODUCTO POR UN ESCALAR PRODUCTO ESCLAR PRODUCTO VECTORIAL PRODUCTO MIXTO ďƒ˜ SUMA

Dadas as coordenadas de dous vect ores đ?‘˘ đ?‘’ đ?‘Ł, defimos a suma dos dous vect ores como un vect or đ?’˜ que se o bt ĂŠn sumando as sĂşas respect ivas co mpo nent es : Expr es iĂłn a nalĂ­t ica da su ma de vect or es

∀ đ?‘˘, đ?‘Ł, ∈ â„› 3 ; đ?‘˘ = đ?’–đ?&#x;? , đ?’–đ?&#x;? , đ?’–đ?&#x;‘ , đ?‘Ł = đ?’—đ?&#x;? , đ?’—đ?&#x;? , đ?’—đ?&#x;‘ ⇒ đ?’˜ = (đ?’–đ?&#x;? + đ?’—đ?&#x;? , đ?’–đ?&#x;? + đ?’—đ?&#x;? , đ?’–đ?&#x;‘ + đ?’—đ?&#x;‘ ) ďƒ˜ PRODUCTO POR UN ESCALAR O pro ducto d un nĂşmero real k

por un vect or

*D e ig ual direcciĂł n qu e o vect or

.

*D o mes mo sent ido qu e o vect or

se k ĂŠ pos itivo.

*D e s ent ido co ntrario do vect or

se k ĂŠ neg ativo.

ĂŠ outr o vecto r :

*D e mĂł dulo As comp onent es d o vect or r es ulta nt e obt eĂąes e mu lt ip lica ndo p or K as comp onent es do vect or .

Expres iĂł n analĂ­ t ica do pro ducto po r un escalar

∀ đ?‘˘ = đ?’–đ?&#x;? , đ?’–đ?&#x;? , đ?’–đ?&#x;‘ ∈ â„› 3 , ∀ đ??ž ∈ â„›; đ?‘˜ ¡ đ?‘˘ = đ?’Œđ?’–đ?&#x;? , đ?’Œ đ?’–đ?&#x;? , đ?’Œđ?’–đ?&#x;‘ ďƒ˜ PRODUCTO ESCALAR O pro ducto escalar de do us v ect ores ĂŠ un nĂşmero real qu e r esu lta de mult iplicar o pro ducto dos seus s us mĂłdulos po lo coseno do ĂĄng ulo que for ma n: đ?‘˘ ¡ đ?‘Ł = đ?‘˘ đ?‘Ł cos đ?›ź Expres iĂł n analĂ­ t ica do pro ducto escalar :

� ¡ � =u1v1+u2v2

∀ đ?‘˘ = đ?’–đ?&#x;? , đ?’–đ?&#x;? , đ?’–đ?&#x;‘ , đ?‘Ł = đ?’—đ?&#x;? , đ?’—đ?&#x;? , đ?’—đ?&#x;‘ ∈ â„› 3

Exe mplo Calcu lar o producto es calar de do us vect or es cu xas coor dena das nu nha bas e or t onor mal s on: đ?‘˘ =(1, 1/2, 3) e đ?‘Ł,=(4, −4, 1) đ?‘˘ ¡ đ?‘Ł= (1, 1/2, 3) ¡ (4, −4, 1) = 1 ¡ 4 + (1/2) ¡ (−4) + 3 ¡ 1 = 4 −2 + 3 = 5

Road to CERN. Rosa Ă lvarez

PĂĄxina 8

ďƒ˜ PROD UCTO VECTORIAL El pro ducto vecto rial de do us vecto res ĂŠ ou tr o vector  A s Ăşa direcciĂł n ĂŠ perpendicular a dos dous vect or es  O seu sent ido s er Ă­a igua l ao ava nce du n t ira- rolhas ao x ir ar de đ?‘˘ a đ?‘Ł. 

O seu mĂł dulo ĂŠ igua l a:

E l p r o d uc t o v e c t o r i a l p Ăł d es e ex p r es a r me d i a n t e o d e t e r m i n a n t e

Ex emp lo : Calcu lar o pro ducto vecto rial dos vect or es = (1, 2, 3) y

= (−1, 1, 2).

Road to CERN. Rosa Ă lvarez

PĂĄxina 9

ďƒ˜ PROD UCTO MIX TO O produc to mixto dos vect ores , y ĂŠ u n n Ăşmero qu e resu l t a de cal cu l ar o produc to esc alar d o prime iro vec tor po lo produc to vec torial d os o utros do us.

O produc to mixto

represen t a se por

O produc to mixto de t res vect ores ĂŠ i gu al ao val or do det ermin an t e qu e t en por fil as as coorden adas de di t os vect or es respect o d u nh a base ort on ormal .

E xempl o : Cal cu l ar o produc to mixto dos vect ores:

*E mpreg ando a definiciĂł n :

*O u

ben

2 −1 3 đ?‘˘, đ?‘Ł , đ?‘¤ = 0 2 −5 = −19 1 −1 −2

EXERCICIOS : http://www.vitutor.com/analitica/vectores/ejercicios_producto.html http://www.vitutor.com/analitica/vectores/vectorial_mixto.html

Road to CERN. Rosa Ă lvarez

PĂĄxina 10

4.- DERIVADAS  Tasa de variaci ón medi a  Derivada dunha función nun punto  Funcións derivadas *DERIVADAS PARCIAIS DE PRIMEIRA ORDE  Tas a de variació n media Chá mas e t as a de v ariació n media (T.V.M.) o int er valo [ a, a+ h],

 Deriv ada dunha funció n nun punt o A der ivada da fu nción f(x) no pu nt o x = a é o valor do límit e s egu int e , si exist e

I nt erpret ació n xeo métrica da deriv ada A p endient e da ta nx ent e á cur va nu n pu nt o é igual á der iva da da fu nció n nes e pu nt o. m t = f'(a)

Road to CERN. Rosa Álvarez

Páxina 11

 FUN CIÓ N S DE RIVADA S

A funció n deriv ada dunha funció n f( x) é unha funció n que aso cia a cad a número real a s úa deriv ada, s i ex ist e. D enó tase p or f'( x).

A der iva da du nha fu nción obt éns e empr egando as r egr as de der ivación, s egu ndo o tip o de f u nción, e ven r ecollido na táboa segu int e :

Road to CERN. Rosa Álvarez

Páxina 12

ď ś Ex er cicios de cĂĄ lcu lo de fu nciĂłn der iva das : http :// www. vitut or .com/ fu n/4/b_a.ht ml * DERIVADAS PARCIAIS DE VARIABLES

PRIMEIRO ORDE DUNHA FUNCIĂ“N EN TRES

Dada una función f(x,y,z,) definimos as derivadas parciais seguintes 

Derivada parcial da funciĂłn f con respecto a x :

�� 

đ?œ—đ?‘“ đ?‘“ đ?‘Ľ + â„Ž, đ?‘Ś, đ?‘§ − đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ = lim â„Ž →0 đ?œ—đ?‘Ľ â„Ž

Derivada parcial da funciĂłn f con respecto a y :

�� 

�,�,� =

�,� ,� =

đ?œ—đ?‘“ đ?‘“ đ?‘Ľ, đ?‘Ś + â„Ž, đ?‘§ − đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = lim â„Ž →0 đ?œ—đ?‘Ś â„Ž

Derivada parcial da funciĂłn f con respecto a z :

��

�,�,� =

đ?œ—đ?‘“ đ?‘“ đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ + â„Ž − đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = lim â„Ž →0 đ?œ—đ?‘§ â„Ž

As distintas derivadas parciais clacĂşlanse tendo en conta as distintas regras de derivaciĂłn recollidas na tĂĄboa anterior pero considerando como constantes as outras variables , ou sexa , se estamos a calcular

đ?œ—đ?‘“ đ?œ—đ?‘Ľ

(�, �, �) as variables y e z son consideradas como

constantes e asĂ­ co resto das derivadas parciais , vexamos un exemplo : Dada f(x,y,z) =đ?‘’ đ?‘Ľ

3� 2 �

đ?‘“đ?‘Ľ

� ,�,� =

�� ��

đ?œ—đ?‘“ 3 2 đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ = 3đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 2 đ?‘§ đ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘Ś đ?‘§ đ?œ—đ?‘Ľ

� ,� ,� =

đ?œ—đ?‘“ 3 2 đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ = 2đ?‘Ľ 3 đ?‘Ś đ?‘§ đ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘Ś đ?‘§ đ?œ—đ?‘Ś

�,�,� =

đ?œ—đ?‘“ 3 2 đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ = đ?‘Ľ 3 đ?‘Ś 2 đ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘Ś đ?‘§ đ?œ—đ?‘§

ď ś Video explicativo do cĂĄlculo de derivadas parciais de primeira orde : https://www.youtube.com/watch?v=HVJmcX0-uWI ď ś Exercicios : http://www.derivadas.es/2014/02/18/derivadas-parciales-2/

Road to CERN. Rosa Ă lvarez

PĂĄxina 13

5.- OPERADOR NABLA ďƒ˜ GRADIENTE ďƒ˜ DIVERGENCIA ďƒ˜ ROTACIONAL OPERADOR NABLA Definimos o Operador Nabla đ?› =

đ?œ— đ?œ— đ?œ— đ?‘–+ đ?‘—+ đ?‘˜ đ?œ—đ?‘Ľ đ?œ—đ?‘Ś đ?œ—đ?‘§

O operador Nabla ĂŠ una magnitude vectorial na que as sĂşas compoĂąentes non son nĂşmeros, se non operaciĂłns matemĂĄticas. Vexamos algunhas utilidades deste operador ďƒ˜ GRADIENTE DUNHA FUNCIĂ“N: o É una magnitude vectorial que se aplica a campos escalares o

đ?œ—đ?‘“

đ?œ—đ?‘“

đ?œ—đ?‘“

Grad (f)= ∇ đ?‘“ = đ?œ— đ?‘Ľ đ?‘– + đ?œ— đ?‘Ś đ?‘— + đ?œ—đ?‘§ đ?‘˜

, ou sexa, o producto do escalar f por o

vector đ?› Donde f : â„œ3 → â„œ ďƒ˜ DIERGENCIA o É una magnitude escalar que se aplica a campos vectorias o

Divergencia (đ??š ) =∇ ∙ đ??š =

đ?œ— đ??š đ?œ—đ?‘Ľ đ?‘Ľ

+

đ?œ—đ?‘“ đ??š đ?œ—đ?‘Ś đ?‘Ś

+

đ?œ—đ?‘“ đ?œ—đ?‘§

đ??šđ?‘§

, ou sexa ,o producto escalar

dos vectores đ??š y đ?› Donde đ??š = Fx đ?‘–+ Fy đ?‘—+Fzđ?‘˜ ďƒ˜ ROTACIONAL o É una magnitude vectorial que se aplica a campos vectoriais o

Rotacional (đ??š ) = ∇ x F =

i

j

đ?œ—

đ?œ—

k đ?œ—

đ?œ—đ?‘Ľ

đ?œ—đ?‘Ś

đ?œ—đ?‘§

, ou sexa, o valor de este

Fx Fy Fz determinante que ĂŠ o producto vectorial dos vectores ∇ e F

ď ś VIDEO EXPLICATIVO : https://www.youtube.com/watch?v=5bXIzCkeG_E ď ś EXERCICIOS DE CĂ LCULO DE CADA UN DE ESOS ELEMENTOS Gradiente: https://www.youtube.com/watch?v=hQjPW5hsU2o Divergencia: https://www.youtube.com/watch?v=-Y07Kdth23s Rotacional: https://www.youtube.com/watch?v=4vBJ7qH9R_A

Road to CERN. Rosa Ă lvarez

PĂĄxina 14

6.- ECUACIÓNS DE MAXWELL

Unha aplicación práctica do relatado con anterioridade neste traballo son as ecuacións de Maxwell. Ditas ecuacións poden se formular de distintas maneiras. Poden se formular de forma integral ou de forma diferencial e tamén poden se expresar dependendo de si a onda se propaga polo vacío ou por un material.

As ecuacións de Maxwell representan unha das formas mais elegantes e concisas de establecer os fundamentos da Electricidade e o Magnetismo. A partir delas, pódense desenrrolar a maioría das fórmulas de traballo no campo. Debido a súa breve declaración, encerran un alto nivel de sofisticación matemática.

Estas ecuacións básicas da electricidade e o magnetismo en forma diferencial son as seguintes

Luisa Pérez, profesora acompañante na viaxe realizada as instalación do CERN, Xinebra

Road to CERN. Rosa Álvarez

Páxina 15

Road to CERN. Rosa ร lvarez

Pรกxina 16