Alumna: Clara Colet Díaz Tutora: Sandra Terán Curs: 2015/2016
Índex 1. Introducció.......................................................................4 2. Els nombres racionals.....................................................5 3. Dietari...............................................................................6 3.1. Els nombres decimals.....................................................6 3.1.1. Classificació dels decimals...................................7 3.2. Pas de decimal a fracció.................................................9 3.2.1. Pas de decimal exacte a fracció...........................9 3.2.2. Pas de decimal periòdic a fracció........................10 3.2.3. Fraccions irreductibles.........................................11 3.2.3.1. Decimals exactes............................................13 3.2.3.2. Decimals periòdics purs..................................13 3.2.3.2.1.
Els decimals obtinguts de l’11..............14
3.2.3.3. Els denominadors...........................................14
3.3. Nombre de xifres al període..........................................15 3.3.1. Descomposició en nombres primers de xifres formades per nous.....................................................15
3.3.2. Dividir un número format per 9s entre un nombre primer.........................................................................16 3.3.3. Nombre màxim de decimals periòdics.................17 3.3.4. Fórmula per trobar el nombre de decimals periòdics.....................................................................19 3.3.5. Nombre de decimals periòdics en nombres no primers.......................................................................19 3.3.6. Nombres amb tots els decimals periòdics............20 3.4. Nombre de decimals exactes........................................21 3.5. Nombre de decimals en els decimals periòdics mixts...22
4. Conclusions...................................................................23 5. Agraïments.....................................................................25 6. Bibliografia.....................................................................26 7. Annexos.........................................................................27 7.1. Annex A........................................................................27 7.2. Annex B........................................................................28
Clara Colet Díaz
Indagacions sobre la representació decimal dels nombres racionals.
1.Introducció El meu treball tracta de com representar els nombres racionals, en forma de fracció, en la seva forma decimal. L’objectiu és saber si els decimals segueixen algun patró; quan obtindrem decimals exactes, periòdics o mixts, per exemple. També observar quines característiques comparteixen els decimals, que representen nombres racionals. I finalment poder saber, no només quin tipus de decimal obtindrem sense fer la divisió, també quantes xifres tindrà dins i fora del període. La idea de fer aquest treball no va ser meva, me la va proposar el meu professor de matemàtiques, Manel Miarnau; però em va semblar interessant perquè no era el típic treball de recerca on havies de buscar molta informació en fonts externes i a partir d’aquí treure’n unes conclusions, sinó que era jo mateixa qui havia d’anar investigant i arribar-hi pel meu compte. A més a més, m’agraden les matemàtiques i, tot i que, al principi no m’ho pensava, m’ha permès descobrir moltes coses curioses i interessants. També m’ha agradat utilitzar procediments matemàtics per fer el meu treball. En definitiva ha sigut un projecte molt agraït de realitzar.
IES Pompeu Fabra
4
Curs 2015/2016
Clara Colet Díaz
Indagacions sobre la representació decimal dels nombres racionals.
2.Els nombres racionals Els nombres racionals són tots aquells nombres que poden ser expressats com a resultat de la divisió de dos nombres enters, amb el divisor diferent de 0. El conjunt dels racionals es denota
.
Es poden representar de dues formes: en forma de fracció o en forma decimal.
Les fraccions es representen de la següent manera:
, on b ha de ser
diferent de zero. a s'anomena el numerador, i b el denominador. Cada nombre racional es pot escriure en una infinitat de fraccions diferents, però es diu que està expressat en la seva fracció irreductible quan a i b no tenen cap divisor comú excepte l'1.
Els nombres decimals:
Estan formats per una part entera i una part decimal, separades per una coma. Podem dividir-los en tres grups, si són nombres reals, en funció de què formi la part decimal: Nombres decimals exactes: la seva part decimal està formada per una sèrie de dígits finita. Ex.: 0,5 Nombres decimals periòdics purs: la seva part decimal està formada per una sola sèrie de dígits que es repeteixen indefinidament com a bloc complet. És a dir, els mateixos nombres s'escriuen de manera cíclica un darrere l'altre. Per representar-los només s’escriu la primera sèrie amb ̅. una línia horitzontal al damunt. Ex.: 0, 3 Nombres decimals periòdics mixts: la seva part decimal està composta per dues sèries de dígits. La primera, està formada per una sèrie de nombres finita. La segona, és una sèrie de decimals periòdics (els ̅. decimals es repeteixen de manera cíclica). Ex.: 0,16 Hi ha nombres decimals que tenen infinits decimals no periòdics, però aquests no formarien part dels nombres racionals; són els nombres irracionals, com per exemple √2.
IES Pompeu Fabra
5
Curs 2015/2016
Clara Colet Díaz
Indagacions sobre la representació decimal dels nombres racionals.
3.Dietari 3.1.Els nombres decimals Per començar, vaig buscar els decimals que sorgien en dividir un seguit de números entre el mateix dividend. És a dir, com es representen en forma decimal fraccions amb el mateix denominador. Com ja sabem, els nombres racionals no poden tenir infinits nombres decimals no periòdics, per tant, una divisió entre dos nombres enters no pot donar com a resultat infinits decimals no periòdics. Aquest fet s’explica perquè en una divisió el residu no pot ser igual o més gran que el dividend, només pot ser més petit, en conseqüència, tenim un nombre limitat de residus. Aquests estaran compresos entre 0 i n-1 (on n és el dividend), és a dir, que podem obtenir com a màxim n residus diferents. També hem de tenir en compte que no és necessari fer infinites divisions amb el mateix dividend, ja que, els decimals que poden sorgir de dividir un nombre entre un altre (n) estarà limitat per les xifres decimals que surtin en dividir els nombres compresos entre 1 i n-1. Perquè, per exemple: tenint en compte que, 1
= 0,5 2
i
2 2
= 1; si tenim la fracció 32 = 12 + 22 = 0,5 + 1 = 1,5. El que he fet ha
sigut separar l’equació en una part exacta i una decimal, aquesta sempre tindrà un denominador més petit que el numerador, perquè sinó el resultat seria més gran d’1 i, per tant, hi hauria una part exacta. Així doncs, el resultat de la divisió serà la suma del resultat de la part exacta més el resultat de la part decimal. En conseqüència, els decimals resultants vindran determinats pels decimals que resulten de dividir un número comprès entre l’1 i l’n-1, on n és el nombre present en el denominador. Consegüentment, totes les fraccions amb un numerador més gran que el denominador seran majors que 1, i les fraccions amb el numerador més petit que el denominador seran menors que 1. Si dividim els números compresos entre 1 i n-1 entre un nombre (n), en les divisions obtindrem tots els residus possibles d’aquest nombre n; que com ja
IES Pompeu Fabra
6
Curs 2015/2016
Clara Colet Díaz
Indagacions sobre la representació decimal dels nombres racionals.
s’ha esmentat són els nombres que van de l’1 fins a n-1, el 0 només el trobarem en el cas que el decimal sigui exacte. 3.1.1.Classificació dels decimals Tots els possibles decimals que poden sorgir dels nombres compresos entre el 2 i el 16 estan representats a la taula següent, on les xifres que conformen el període es marcaran entre parèntesis. Dividends Possibles decimals 2
‘5
3
’(3) / ’(6)
4
’25 / ‘5 / ‘75
5
‘2 / ‘4 / ‘6 / ‘8
6
‘1(6) / ‘(3) / ‘5 / ‘(6) / ‘8(3)
7
‘(142857) / ‘(285714) / ‘(428571) / ‘(571428) / ‘(714285) NOTA: és la mateixa sèrie de decimals amb l’ordre canviat.
8
‘125 / ’25 / ‘375 / ‘5 / ‘625 / ’75 / ‘875
9
‘(1) / ‘(2) / ‘(3) / ‘(4) / ‘(5) / ‘(6) / ‘(7) / ‘(8)
10
‘1 / ‘2 / ‘3 / ‘4 / ‘5 / ‘6 / ‘7 / ‘8 / ‘9
11
‘(09) / ‘(18) / ‘(27) / ‘(36) / ‘(45) / ‘(54) / ‘(63) / ‘(72) / ‘(81) NOTA: els decimals són el resultat de multiplicar per 9 els numeradors, per tant, són múltiples de 9.
12
‘08(3) / ‘1(6) / ’25 / ‘(3) / ‘41(6) / ‘5 / ‘58(3) / ‘(6) / ’75 / ‘8(3) / ‘91(6)
13
‘(076923) / ‘(153846) / ‘(230769) / ‘(307692) / ‘(384615) / ‘(461538) / ‘(538461) / ‘(615384) / ‘(692307) / ‘(769230) / ‘(846153) / ‘(923076) NOTA: apareixen només dues sèries de decimals canviades d’ordre (076923 i 153846), l’una és el doble de l’altre.
14
‘0(714285) / ‘(142875) / ‘2(142875) / ‘(285714) / ‘3(571428) / ‘(428571) / ‘5 / ‘(571428) / ‘6(428571) / ‘(714285) / ‘7(857142) / ‘(857142) / ‘9(285714)
15
‘0(6) / ‘1(3) / ‘2 / ‘2(6)/ ‘(3)/ ‘4 / ‘4(6)/ ‘5(3) / ‘6/ ‘(6) / ‘7(3) /‘8 / ‘8(6) / ‘9(3)
16
‘0625 / ‘125 / ‘1875 / ’25 / ‘3125 / ‘375 / ‘4375 / ‘5 / ‘5625 / ‘625 / ‘6875 / ’75 / ‘8125 / ‘875 / ‘9375
IES Pompeu Fabra
7
Curs 2015/2016
Clara Colet Díaz
Indagacions sobre la representació decimal dels nombres racionals.
Si observem la taula podem apreciar que hi ha decimals que apareixen en més d’un nombre. Estudiant aquests casos podem veure que en els possibles decimals que s’obtenen d’un número també hi apareixeran els decimals que pots obtenir a partir de tots els factors primers d’aquest número. Per exemple, el 10 es pot expressar com 2x5, així doncs, els decimals del 10 contindran els decimals del 2 i del 5. Això es degut a que si simplifiques una fracció, o sigui, quan divideixes entre el mateix nombre al numerador i al denominador, aquesta fracció representarà al mateix nombre decimal, per exemple,
2 10
1
= . Com que 5
totes les fraccions amb denominador 2 o 5 les pots escriure amb denominador 10, tots els decimals que podem trobar en el 2 i el 5 també els trobarem en el 10. També hem de tenir present que una fracció té infinites fraccions equivalents (fraccions que representen el mateix nombre), en conseqüència, un mateix nombre decimal serà producte d’un nombre infinit de divisions. Per tant, podem saber si un decimal és pot obtenir d’un nombre (n), si aquest decimal s’obté dels nombres primers d’n. Així mateix, també és possible saber si un nombre és múltiple d’un altre mirant si és múltiple de tots els seus factors primers. Per exemple: 4 = 22 = 2 × 2 , perquè un número sigui múltiple de 4 s’ha de poder dividir dues vegades entre dos; o 6 = 3 × 2 s’ha de poder dividir entre 2 i entre 3. Com hem pogut observar, els decimals que sorgeixen d’un dividend estan relacionats amb els que s’obtenen dels seus factors primers. Fixant-nos amb aquests podem establir una primera classificació:
IES Pompeu Fabra
8
Curs 2015/2016
Decimals
Clara Colet DĂaz
Indagacions sobre la representaciĂł decimal dels nombres racionals.
Exactes
2đ?‘› Ă— 5đ?‘š
Periòdics mixts
2� × 5� × � Un decimal periòdic
Periòdics purs MÊs d'un decimal periòdic
3đ?‘› Tots els decimals possibles
7
No tots els decimals possibles
Els altres nombres
S’ha d’afegir que 7×x (on x no Ês múltiple de 7) tambÊ donarà sèries de 6 decimals periòdics, com el 7. El número 13 tambÊ dóna una sèrie de 6 periòdics. Qualsevol nombre primer multiplicat per 2 i/o 5, que com es veu a l’esquema s’obtindran decimals periòdics mixts, conservaran la sèrie del decimal periòdic.
3.2.Pas de decimal a fracció L’objectiu de passar d’un decimal a una fracció Ês aconseguir que et quedin nombres enters tant al numerador com al denominador. Per tant, has de trobar una manera d’eliminar els decimals, però que la fracció resultant representi el mateix número. Per aconseguir-ho s’utilitzen diferents mètodes. Aquests dependran del tipus de decimal que tinguem: exacte, periòdic pur o periòdic mixt.
3.2.1.Pas de decimal exacte a fracció Per passar de decimal a fracció en els decimals exactes es posaran al denominador potències de 10, que es puguin representar com un 1 seguit de zeros. Dividir entre una potència de 10 implicarà haver de moure la coma cap a la dreta un determinat nombre de vegades, indicat per l’exponent de la potència o el nombre de 0 que acompanyin l’1.
IES Pompeu Fabra
9
Curs 2015/2016
Clara Colet DĂaz
Indagacions sobre la representaciĂł decimal dels nombres racionals.
Aixà doncs, si tenim per exemple el número 100 = 103 la coma s’haurà de moure tres vegades a la dreta. Per passar a fracció un decimal nomÊs utilitzarem potències de 10 amb exponents positius i enters, ja que els exponents decimals no donen un 1 seguit de 0, que Ês el resultat que volem obtenir; i tampoc poden ser negatius perquè al dividir entre una potència negativa el que fem Ês multiplicar el numerador per la potència amb 1
l’exponent positiu: 10−1 =
1 1 10
= 10.
Però perquè hem de dividir entre una d’aquestes potències de 10? Doncs perquè al tenir un nombre finit de decimals, si movem la coma cap a la dreta tantes vegades com números decimals tinguem (multipliquem per una potència de 10), en resultarà un nombre enter; i perquè es compleixi la igualtat al denominador haurem de multiplicar pel mateix nombre. 0,125 =
0,125 Ă— 1000 125 = 1000 1000
Aquestes potències de 10, si les factoritzem, es poden representar sempre com: 2đ?‘› Ă— 5đ?‘š . 3.2.2. Pas de decimal periòdic a fracciĂł Amb els nombres decimals que no sĂłn exactes no podem utilitzar aquest mètode, perquè tenen infinits decimals, i haurĂem de dividir entre un 1 seguit d’infinits zeros; cosa que no ens permetria determinar quina ĂŠs la fracciĂł que representa el nombre en qĂźestiĂł.
Consegßentment, pels nombres decimals purs o mixtos hem de buscar un altre mètode per eliminar els decimals. Utilitzant nomÊs nombres decimals purs, la manera d’eliminar una sèrie que es va repetint infinitament Ês restant-la, però si restem dos números iguals el resultat, que serà zero, no ens permetrà fer res. Tampoc podem multiplicar un dels números per un altre que ens canvi les xifres decimals, perquè llavors ja no s’eliminaran. Per tant podem multiplicar per 10, amb la qual cosa nomÊs moure’m la coma cap a la dreta conservant les xifres decimals.
IES Pompeu Fabra
10
Curs 2015/2016
Clara Colet DĂaz
Indagacions sobre la representaciĂł decimal dels nombres racionals.
Ě…: 10đ?‘Ľ − đ?‘Ľ = 9đ?‘Ľ, posem com exemple đ?‘Ľ = 1, 9 Ě… − 1, 9 Ě… = 18 19, 9 Els decimals queden eliminats, i ens queda la equaciĂł segĂźent: 9đ?‘Ľ = 18 , on x ĂŠs el decimal que volĂem passar a fracciĂł. Aquesta equaciĂł la podem posar de manera que igualem el decimal a una fracciĂł: đ?‘Ľ =
18 9
.
Però al tenir un decimal amb mĂŠs d’una xifra dins del perĂode si multipliquem per 10 Ě…Ě…Ě…Ě… no se’ns eliminen els decimals; đ?‘Ľ = 1, 27 Ě…Ě… Ě… − 1, Ě…Ě… Ě…Ě… = 11, Ě…Ě… 12, 7 27 50 En aquesta ocasiĂł haurĂem de multiplicar per 100; 100đ?‘Ľ − đ?‘Ľ = 99đ?‘Ľ. I llavors Ě…Ě…Ě…Ě… − 1, 27 Ě…Ě…Ě…Ě… = 126. obtindrĂem:127, 27 Ara la fracciĂł resultant tindria un 99 al denominador. Seguint aquesta progressiĂł podem deduir que al denominador hi hauran d’anar tants 9 com xifres que estiguin dins del perĂode, i al numerador el podem escriure com la resta de 19-1 o de 127-1, que ĂŠs la resta del nombre sense la coma menys el nombre sense la coma i sense els decimals periòdics.
En el cas dels decimals periòdics mixts, haurem de treure els decimals exactes dividint entre uns seguits per zeros, i els decimals periòdics dividint entre nous. Aquests dos termes estaran multiplicant-se al denominador, ja que, per eliminar decimals exactes hem de multiplicar al numerador, aixĂ doncs, obtindrem, al denominador, tants nous com decimals periòdics seguits de tants zeros com decimals no periòdics. Si a això hi afegim el que hem determinat que havia d’anar al numerador obtenim: đ?‘›Âş đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘’ đ?‘?đ?‘œđ?‘šđ?‘Ž − đ?‘›Âş đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘’ đ?‘?đ?‘œđ?‘šđ?‘Ž đ?‘– đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘’ đ?‘’đ?‘™đ?‘ đ?‘‘đ?‘’đ?‘?đ?‘–đ?‘šđ?‘Žđ?‘™đ?‘ đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘–òđ?‘‘đ?‘–đ?‘?đ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘ 9 đ?‘?đ?‘œđ?‘š đ?‘‘đ?‘’đ?‘?đ?‘–đ?‘šđ?‘Žđ?‘™đ?‘ đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘–òđ?‘‘đ?‘–đ?‘?đ?‘ đ?‘ đ?‘’đ?‘”đ?‘˘đ?‘–đ?‘Ąđ?‘ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘ 0 đ?‘?đ?‘œđ?‘š đ?‘‘đ?‘’đ?‘?đ?‘–đ?‘šđ?‘Žđ?‘™đ?‘ đ?‘›đ?‘œ đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘–òđ?‘‘đ?‘–đ?‘?đ?‘
3.2.3. Fraccions irreductibles Seguint el mètode descrit anteriorment, obtindrem una fracció que no serà la fracció irreductible. Llavors haurem de simplificar la fracció obtinguda fins a obtenir-la. 0, ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 047619 =
IES Pompeu Fabra
47619 32 Ă— 11 Ă— 13 Ă— 37 1 = 3 = 999999 3 Ă— 7 Ă— 11 Ă— 13 Ă— 37 3 Ă— 7
11
Curs 2015/2016
Clara Colet Díaz
Indagacions sobre la representació decimal dels nombres racionals.
Fem aquest procés amb tots els decimals obtinguts d’un nombre com el 7: 0, ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 142857 =
33 × 11 × 13 × 37 1 = 3 7 × 3 × 11 × 13 × 37 7
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0, 285714
2 × 33 × 11 × 13 × 37 2 = 7 × 33 × 11 × 13 × 37 7
0, ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 428571 =
3 × 33 × 11 × 13 × 37 3 = 7 × 33 × 11 × 13 × 37 7
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0, 571428
4 × 33 × 11 × 13 × 37 4 = 7 × 33 × 11 × 13 × 37 7
0, ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 714285 =
5 × 33 × 11 × 13 × 37 5 = 7 × 33 × 11 × 13 × 37 7
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0, 857142
6 × 33 × 11 × 13 × 37 6 = 7 × 33 × 11 × 13 × 37 7
Si ens fixem en els resultats obtinguts veurem que tant el numerador com el denominador segueixen un patró. El denominador sempre conté els mateixos factors i el numerador és el primer decimal del 7 multiplicat pel número del numerador (de la fracció irreductible). Per tant, els decimals d’un nombre seran el primer decimal que s’ha obtingut d’aquest nombre multiplicat pel divisor (numerador). Per exemple:
3 = 0,2 × 3 5 Tots els decimals que s’obtenen de les fraccions irreductibles d’un mateix denominador segueixen el mateix patró (mateix nombre de decimals exactes i periòdics). També podem establir que totes les fraccions amb mateix denominador, quan no estiguin simplificades, seguiran el mateix patró, es podran simplificar els mateixos factors primers en totes les fraccions. Excepte quan el denominador no és un nombre primer, que en aquest cas només passarà amb les fraccions irreductibles, ja que, com que el decimal no segueix el mateix patró tampoc ho farà la fracció que s’obté a partir del decimal.
IES Pompeu Fabra
12
Curs 2015/2016
Clara Colet Díaz
Indagacions sobre la representació decimal dels nombres racionals.
3.2.3.1.Decimals exactes Seguint aquest mètode es confirma que els únics dividends amb els quals obtindràs decimals exactes serà amb el 2 i el 5; perquè són els únics factors primers que podràs obtenir al denominador, i, per tant, els únics que podràs obtenir a la fracció irreductible. És possible tenir un número, la descomposició en factors primers del qual, tingués un altre nombre primer diferent de 2 i/o 5; però en aquest cas s’hauria de poder simplificar la fracció, podent eliminar aquest factor. Per exemple: 3
1
0,5 = 6 = 2. I alhora com que el decimal, que serà el mateix número que aparegui al numerador, haurà de poder-se simplificar serà múltiple de 2 o de 5; menys en el cas que el dividend sigui un 10,100,1000, etc. ja que en aquest cas la fracció no s’hauria de simplificar. En els altres cassos quan la fracció s’hagi de 75
3
simplificar entre 5 el decimal serà múltiple de 5 (100 = 4 = 0,75), i quan s’hagi de 2
1
simplificar entre 2 serà múltiple de 2 ( 10 = 5 = 0,2). 3.2.3.2. Decimals periòdics purs En el cas dels decimals periòdics purs, en el numerador també es posa la sèrie decimal i en el denominador un nombre format per nous; al igual que en el cas dels decimals exactes la fracció sempre haurà de poder-se simplificar entre tres, menys en els cassos de 9,99,999, etc. Per tant, les seqüències de decimals periòdics seran múltiples de tres. Al ser múltiples de tres, la suma de les seves xifres ha de ser també un múltiple de tres; i en el cas de les seqüències periòdiques la suma sempre dóna nou. 1 41 1 37
= 0, ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 02439, si sumem 2+4+3+9 = 18, i si sumem 1+8 = 9. = 0, ̅̅̅̅̅ 027, si sumem 2+7 = 9.
IES Pompeu Fabra
13
Curs 2015/2016
Clara Colet DĂaz
Indagacions sobre la representaciĂł decimal dels nombres racionals.
En els decimals periòdics purs tampoc seran divisibles entre 3 les potències de 3, ja que, no s’hauran de simplificar entre cap tres; perquè al denominador tindran nomÊs la potència de 3 necessà ria (0, ̅̅̅̅̅ 037 =
37 999
=
37
).
33 Ă—37
De la mateixa manera que el perĂode ĂŠs mĂşltiple de tres tambĂŠ ho serĂ dels altres nombres primers quan aquests apareguin als denominadors de les 99
9Ă—11
fraccions no simplificades com per exemple: 0, Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 0099 = 9999 = 9Ă—11Ă—101, en aquest cas el perĂode ĂŠs mĂşltiple d’11. En tots aquests casos s’hi apliquen les mateixes excepcions que amb el 3; quan el nombre primer no es simplifiqui el perĂode no en serĂ mĂşltiple. 3.2.3.2.1.Els decimals obtinguts de l’11 Tots els decimals que s’obtenen d’11 sĂłn una sèrie de dos nombres periòdics mĂşltiples de 9. Si passem de decimal a fracciĂł un d’aquests decimals: Ě…Ě… = 0, Ě…Ě… 09
81 34 9 = 2 = 99 3 Ă— 11 11
Tenint en compte el que ja hem dit abans, que les fraccions segueixen totes el mateix patró, sempre obtindrem un 99 al denominador. Si s’ha de simplificar perquè hi quedi un 11 s’haurà d’eliminar un 9 (99=11x9); i si al denominador si elimina un 9 al numerador tambÊ. A mÊs a mÊs, com que nomÊs s’ha d’eliminar el 9 al numerador nomÊs tindrem 9 × �, on x serà el numerador de la fracció irreductible; per això, els múltiples de 9 apareixen en ordre en les xifres periòdiques (primer 9x1, seguit de 9x2, etc.)
3.2.3.3.Els denominadors Quan en una fracció nomÊs hi apareixen nous al denominador, vol dir que l’has obtingut d’un decimal periòdic pur. Aixà doncs, per a tots els nombres primers amb els quals obtinguis decimals periòdics purs, podrem trobar un múltiple nomÊs format per nous.
IES Pompeu Fabra
14
Curs 2015/2016
Clara Colet DĂaz
Indagacions sobre la representaciĂł decimal dels nombres racionals.
Per tant, factoritzant tots aquests nombres trobarem tots els nombres primers exceptuant el 2 i el 5, que, al ser els únics factors primers de 10 (com hem vist abans), són els únics nombres que no donaran decimals periòdics.
3.3. Nombre de xifres al perĂode Tots els nombres primers tenen el mateix nombre de decimals, tant si sĂłn periòdics com si no ho sĂłn, en tots els seus possibles decimals; en els cas dels altres nombres tambĂŠ seguiran un mateix patrĂł en tots els decimals resultants de fraccions irreductibles. Per tant, si una fracciĂł amb numerador 1, en la seva forma decimal, es representa amb dos decimals dins del perĂode qualsevol altre numerador tambĂŠ tindrĂ dos decimals periòdics. AixĂ doncs, podem treballar nomĂŠs amb fraccions de numerador 1. Començarem treballant nomĂŠs amb els nombres primers, i desprès generalitzarem als altres nĂşmeros les conclusions. Com ja hem vist, els decimals periòdics purs es poden representar com una fracciĂł amb un denominador format per nous; i el nombre de nous ens indicarĂ la quantitat de xifres del perĂode (exemple:
9 99
Ě…Ě…). = 0, Ě…Ě… 09
Els perĂodes, al igual que les fraccions, tambĂŠ es poden representar de Ě… = 0, Ě…Ě… Ě…Ě… = 0, Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… diferents maneres; per exemple: 0, 3 33 333 o 0, Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 027 = 0, Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 027027. En el primer cas, podem considerar, que pot haver-hi un nombre qualsevol de xifres dins el perĂode; en el segon cas, en canvi, nomĂŠs els mĂşltiples de tres, ja que, sempre s’han de repetir les tres xifres que hi ha dins del perĂode. 3.3.1. DescomposiciĂł en nombres primers de xifres formades per nous Tenint tot això en consideraciĂł, veiem que si factoritzem aquells nĂşmeros formats completament per nous obtenim tots aquells nombres, que quan divideixen a un altre, obtenen en els seus perĂodes tantes xifres com nous. Per exemple: 9 = 32 ; per tant nomĂŠs 3 đ?‘– 32 tenen un decimal periòdic. 99 = 32 Ă— 11; 3, 32 . 3 Ă— 11, 32 Ă— 11 đ?‘– 11 tenen dos decimals periòdics. I si seguim factoritzant obtenim:
IES Pompeu Fabra
15
Curs 2015/2016
Clara Colet Díaz
Indagacions sobre la representació decimal dels nombres racionals.
999 = 33 × 37 9999 = 32 × 11 × 101 99999 = 32 × 41 × 271 999999 = 33 × 7 × 11 × 13 × 37 Aquest mètode ens permet saber quins nombres tindran una certa quantitat de xifres en el seu període. Però per saber quin és el mínim nombre de xifres que hi tenen (sense comptar amb la repetició dels decimals) hem de mirar quina és la primera factorització on apareix; per tant, aquest mètode no és efectiu per saber quina quantitat de decimals hi haurà en un període perquè per interpretar correctament una descomposició has de saber quins dels números obtinguts apareixen en altres descomposicions, on la quantitat de nous sigui menor. 3.3.2. Dividir un número format per 9s entre un nombre primer Tot i així, sabent que la relació entre el dividend i les xifres decimals que se n’obtenen és el número de nous que queda al denominador, quan fem el pas de decimal a fracció, si posem les xifres formades de nous al numerador i el 99
dividend al denominador: 11 = 9, 1 37
999 37
1 ̅̅ i que = 27. Recordant que: 11 = 0, ̅̅ 09
= 0, ̅̅̅̅̅ 027, veiem que la divisió feta dóna com a resultat el decimal sense els
zeros, i, ja que, 9 és el mateix que 09 o 27 el mateix que 027 el resultat és el nombre decimal. Això és degut a que, com acabem de veure, 11 i 37 són factors primers de 99 i 999 respectivament, i si ens fixem en la descomposició de 99 i 999: 99 = 32 × 11; 999 = 33 × 37, podem veure que 999 37
99 11
= 32 = 9 i
= 33 = 27. Per tant, el període és allò per el que has de multiplicar el
dividend (el nombre entre el qual estàs dividint), per obtenir una xifra amb tants nous com decimals periòdics hi hagi al període. Al posar més nous als denominadors:
9999 11
= 909;
999999 11
= 90909, es va repetint
el període. En el cas del 37 passa el mateix:
IES Pompeu Fabra
999999999 37
16
= 27027027.
Curs 2015/2016
Clara Colet Díaz
Indagacions sobre la representació decimal dels nombres racionals.
En el primer cas si multipliquem tots els factors primers de 9999 menys l’11 veurem que dóna 909: 9999 = 32 × 11 × 101 = 11 × 909. El nombre de nous que apareixen en el numerador ha de ser un múltiple del mínim nombre de decimals que té el període per a que la divisió sigui exacta i 999
hi apareguin totes les xifres del període ( 11 = 90,8), perquè, en aquests casos, els denominadors no apareixen en la descomposició del numerador, per tant, no en són divisors; com hem explicat al punt anterior un nombre només apareixerà en les descomposicions dels nombres que tinguin un número de nous múltiple al nombre de xifres del període. Les vegades que es repeteix el període venen determinades per les vegades que hem multiplicat el mínim nombre de nous necessari; per exemple, en el cas de l’11, que té dos decimals periòdics, es necessiten com a mínim dos nous; si en poses quatre la seqüència es repetirà dues vegades, si n’hi ha sis tres, i així successivament. Per tant, aquest mètode a més a més del nombre de decimals periòdics també ens permet saber quines xifres formen aquest període quan trobem un 1 al numerador. Però perquè funcioni has de utilitzar un número de nous determinat, ja que si el resultat no és exacte el període no apareix sencer i podria no estar complet. Podríem anar provant números fins que en trobéssim un amb que el resultat fos exacte. Però, podem saber el nombre de nous a utilitzar sense necessitat d’anar provant? 3.3.3. Nombre màxim de decimals periòdics S’ha de tenir en compte que, com s’ha explicat abans, no hi pot haver un infinit nombre de decimals no periòdics, així com que un període té un limitat nombre de xifres. El nombre màxim de decimals que pot haver-hi en un període és n-1, on n és el dividend; ja que, aquest és també el màxim nombre de residus que podem trobar en una divisió. Si posem en una taula el màxim nombre de decimals que poden tenir alguns nombres primers, ens n’adonem que tots són múltiples dels decimals que tenen en els seus períodes.
IES Pompeu Fabra
17
Curs 2015/2016
Clara Colet Díaz
Indagacions sobre la representació decimal dels nombres racionals.
Nombre primer
Màxim nombre de
Decimals que formen
decimals
el període
3
2
1
7
6
6
11
10
2
13
12
6
37
36
3
41
40
5
73
72
8
79
78
13
101
100
4
Consegüentment, si al numerador posem tants nous com el nombre màxim de decimals periòdics, tindrem una fracció amb resultat exacte on hi apareixeran segur tots els decimals. Amb aquest mètode també es pot veure fàcilment quins números tenen el màxim nombre de xifres dins del període, ja que, no es repetirà cap número en el resultat. Com per exemple: 999999 = 142857 7 En el cas que no tingui tots els possibles decimals també podem saber com és el seu període, mirant les vegades que es repeteix la seqüència en el resultat de la divisió. Per exemple: 999999999999 = 76923076923 13 La seqüència es repeteix dues vegades així que, com que hi ha 12 nous, el període està format per 6 xifres. Aquestes divisions tenen el mateix nombre de xifres tant en el numerador com en el resultat, si tenim en compte els zeros que hi hauria d’haver davant de les series de números. Quan el resultat no és exacte en el resultat hi haurà tants números de més, de la següent repetició del període, com nous de més al
IES Pompeu Fabra
18
Curs 2015/2016
Clara Colet DĂaz
Indagacions sobre la representaciĂł decimal dels nombres racionals.
numerador; per exemple:
99999 11
= 9090,8 hi ha un nou de mĂŠs i un 0 que pertany
a la segĂźent repeticiĂł. 3.3.4. FĂłrmula per trobar el nombre de decimals periòdics Ara ja sabem com trobar el nombre de decimals que podem trobar en un perĂode, d’un nombre (n). đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘ đ?‘›đ?‘œđ?‘˘đ?‘ đ?‘?đ?‘œđ?‘š đ?‘’đ?‘™ đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘˘đ?‘™đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘Ą đ?‘‘đ?‘’ đ?‘› − 1 đ?‘›đ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’ (đ?‘›) Sabent que qualsevol nombre es pot representar com la resta de dos nombres, podem representar aquests nĂşmeros formats completament per nous com, per exemple: 10 − 1 = 9 100 − 1 = 99 1000 − 1 = 999 Podem determinar que: 10đ?‘Ľ − 1 = 9 ‌ 9, on x ĂŠs igual al nĂşmero de nous. Com que volem que hi hagi tants nous com mĂ xim nombre de decimals possibles, i això bĂŠ representat per n-1, l’exponent del 10 haurĂ de ser n-1; on n ĂŠs el denominador, i ha de ser un nombre primer. AixĂ doncs, podem tornar a reescriure l’expressiĂł com:
10đ?‘›âˆ’1 − 1 đ?‘› 3.3.5. Nombre de decimals periòdics en nombres no primers En el cas que no tinguem un nombre primer, el nĂşmero de decimals periòdics vindrĂ determinat pel mĂnim comĂş mĂşltiple (mcm) dels decimals periòdics que tinguin tots els seus nombres primers. Per exemple: 11 Ă— 7 Ă— 37 = 2849
IES Pompeu Fabra
19
Curs 2015/2016
Clara Colet DĂaz
Indagacions sobre la representaciĂł decimal dels nombres racionals.
L’11 tĂŠ dos decimals periòdics, el 37 en tĂŠ tres i el 7 sis. El mcm entre 2,3 i 6 ĂŠs sis; per tant, 2849 tindrĂ sis decimals periòdics. 1 = 0, Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 000351 2849 Si utilitzem la fĂłrmula en aquests casos el nombre mĂ xim de decimals periòdics no ha de ser necessĂ riament mĂşltiple del nombre de xifres del perĂode; per tant el resultat no serĂ exacte, encara que si que hi apareixeran totes les xifres del perĂode, perquè la fĂłrmula es basa en el mĂ xim nombre de decimals que podem obtenir. Quan aquests nombres no primers sĂłn el resultat d’elevar un primer a qualsevol nĂşmero les xifres del perĂode no seran les mateixes que les del nombre primer (com passaria si fĂŠssim el mcm). En alguns casos, com el 7 o l’11, els decimals sĂłn el resultat de multiplicar el nĂşmero de decimals del nombre primer (p) per p. Si p estiguĂŠs elevat al cub es multiplicarien el nĂşmero de decimals de đ?‘?2 per p. Per exemple: 49 tĂŠ 42 decimals periòdics, que ĂŠs el resultat de fer 6Ă—7; i 343 (73 ) tĂŠ 294 decimals periòdics que ĂŠs igual a 42Ă—7. 3.3.6. Nombres amb tots els decimals periòdics Un nombre (n) que tingui tots els decimals periòdics serĂ aquell que tingui tants decimals com n-1; per tant al aplicar la fĂłrmula seqßència repetida. Com per exemple el 7:
10đ?‘›âˆ’1 −1
106−1 7
đ?‘›
no apareixerĂ cap
= 142857.
Com en tots els números el resultat de 2⠄7, 3⠄7, etc. serà el resultat de 1⠄7 multiplicat per 2 i per 3 respectivament; però en aquests casos el resultat serà la mateixa seqßència de xifres, que va variant l’ordre; en el cas del 7 l’ordre seria: 285714, 428571, 571428, 714285 i 857142 respectivament. Tenir tots els decimals periòdics possibles significa que en la divisió han aparegut tots els residus (d’1 fins a n-1), com que utilitzaràs tots els residus en totes les divisions l’ordre en que estiguin col¡locades les xifres dependrà del primer número que aparegui.
IES Pompeu Fabra
20
Curs 2015/2016
Clara Colet DĂaz
Indagacions sobre la representaciĂł decimal dels nombres racionals.
En aquest tipus de nĂşmeros, al igual que en altres sèries periòdiques, es poden repetir nĂşmeros en el perĂode, mentre no es repeteixi el mateix perĂode (1â „17 = 0, Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 0588235294117647).
3.4. Nombre de decimals exactes En el cas dels decimals exactes el que relaciona el nombre de decimals amb la fracciĂł no ĂŠs el nĂşmero de nous que apareixen al denominador, ĂŠs el nĂşmero de zeros, que apareixeran sempre desprĂŠs d’un 1. Per exemple: 2 2 1 1 = 2 = = = 0,02 2 2 100 2 Ă— 5 2Ă—5 50 125 125 1 1 = 3 = 3 = = 0,125 3 1000 2 Ă— 5 2 8 Com ja sabĂem, el nĂşmero de decimals i el nĂşmero de zeros que hi ha darrere l’1 sĂłn els mateixos; ara bĂŠ, que determina, a part del decimal, el nĂşmero de zeros? Com podem veure l’únic que varia entre la descomposiciĂł de 100 i de 1000 sĂłn els exponents de 2 i 5; aquests exponents mai podran ser mĂŠs petits que els de la fracciĂł simplificada, i, si ens hi fixem, sĂłn iguals que l’exponent mĂŠs gran, entre els exponents del 2 i del 5, de la fracciĂł irreductible. Per tant, l’exponent mĂŠs alt determina el nombre de zeros, i, en conseqßència, el nombre de decimals. AixĂ doncs, podem dir que quan dividim entre 2đ?‘› Ă— 5đ?‘š el nĂşmero de decimals que obtindrem serĂ igual a l’exponent mĂŠs gran entre n i m. Per tant, per saber el nĂşmero de decimals que s’obtindran nomĂŠs s’ha de factoritzar el denominador. Per exemple: 400 = 24 Ă— 52 , tindrĂ 4 decimals. En el cas que el denominador sigui un 1 seguit de zeros (10,100,etc.) no ĂŠs necessari fer la descomposiciĂł, ja que tindran tants decimals com nĂşmero de zeros.
IES Pompeu Fabra
21
Curs 2015/2016
Clara Colet DĂaz
Indagacions sobre la representaciĂł decimal dels nombres racionals.
3.5. Nombre de decimals en els decimals periòdics mixts En un decimal periòdic mixt hi trobem una part exacta i una part periòdica. Per saber quants decimals tindrà primer l’hem de factoritzar; el resultat serà 2� × 5� × �, on la x Ês un nombre, primer o no, que dóna un decimal periòdic pur. El nombre de decimals que hi haurà a la part exacta serà el número d’exponent mÊs alt entre n i m (2� × 5� ). I la part periòdica, no nomÊs tindrà el mateix nombre de decimals, sinó que, a mÊs a mÊs serà igual que la part decimal de x, si aquesta Ês un nombre primer; en cas contrari, però, si que donarà el mateix nombre de decimals periòdics. Per exemple:
1 6
1 ̅ ; l’exponent mÊs alt = 21 ×3 = 0,16
Ês 1, un decimal exacte, i 6 periòdic Ês un decimal del tres ( 2⠄3).
IES Pompeu Fabra
22
Curs 2015/2016
Clara Colet DĂaz
Indagacions sobre la representaciĂł decimal dels nombres racionals.
4.Conclusions 1. Els decimals que pots obtenir d’un nombre (n), sent aquest nombre el dividend, venen determinats pels decimals que obtinguis de dividir des de l’1 fins a n-1 entre n.
2. La divisió de dos nombres enters no donarà mai infinits decimals no periòdics. El nombre mà xim de decimals que pot sortir Ês n-1, on n Ês el dividend.
3. NomÊs al dividir entre 2� × 5� sortiran decimals exactes. 4. Al dividir entre 2� × 5� × � sortiran decimals periòdics mixts.
5. Al dividir entre qualsevol número que no es pugui expressar com 2� × 5� × � sortiran decimals periòdics purs. 6. Tots els decimals que obtens al dividir entre un mateix nombre (n) són el 1
resultat de đ?‘› multiplicat per el nĂşmero que apareix al numerador. Per tant, si
1
= đ?‘Ľ: đ?‘›
2
đ?‘›
= 2đ?‘Ľ.
7. Tots els decimals que obtinguis de dividir entre un nĂşmero tindran el mateix nombre de xifres en els decimals exactes i/o periòdics. Menys en el cas que no sigui un nombre primer, llavors tots els decimals de les fraccions irreductibles seguiran el mateix patrĂł, però no ho faran les fraccions que es poden simplificar. 8. La fĂłrmula per passar d’un decimal exacte a fracciĂł ĂŠs: đ?‘‘đ?‘’đ?‘?đ?‘–đ?‘šđ?‘Žđ?‘™ đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘’ đ?‘™đ?‘Ž đ?‘?đ?‘œđ?‘šđ?‘Ž đ?‘˘đ?‘› 1 đ?‘ đ?‘’đ?‘”đ?‘˘đ?‘–đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘ đ?‘§đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ đ?‘?đ?‘œđ?‘š đ?‘‘đ?‘’đ?‘?đ?‘–đ?‘šđ?‘Žđ?‘™đ?‘ đ?‘’đ?‘Ľđ?‘Žđ?‘?đ?‘Ąđ?‘’đ?‘
9. La fĂłrmula per passar de decimal periòdic a fracciĂł ĂŠs: đ?‘›Âş đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘’ đ?‘?đ?‘œđ?‘šđ?‘Ž − đ?‘›Âş đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘’ đ?‘?đ?‘œđ?‘šđ?‘Ž đ?‘– đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘’ đ?‘’đ?‘™đ?‘ đ?‘‘đ?‘’đ?‘?đ?‘–đ?‘šđ?‘Žđ?‘™đ?‘ đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘–òđ?‘‘đ?‘–đ?‘?đ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘ 9 đ?‘?đ?‘œđ?‘š đ?‘‘đ?‘’đ?‘?đ?‘–đ?‘šđ?‘Žđ?‘™đ?‘ đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘–òđ?‘‘đ?‘–đ?‘?đ?‘ đ?‘ đ?‘’đ?‘”đ?‘˘đ?‘–đ?‘Ąđ?‘ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘ 0 đ?‘?đ?‘œđ?‘š đ?‘‘đ?‘’đ?‘?đ?‘–đ?‘šđ?‘Žđ?‘™đ?‘ đ?‘›đ?‘œ đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘–òđ?‘‘đ?‘–đ?‘?đ?‘
IES Pompeu Fabra
23
Curs 2015/2016
Clara Colet DĂaz
Indagacions sobre la representaciĂł decimal dels nombres racionals.
10. Per saber quants decimals periòdics obtindrĂ s d’un nĂşmero primer 10đ?‘›âˆ’1−1 s’aplica la segĂźent fĂłrmula: . Quan el nombre no ĂŠs primer el đ?‘›
nĂşmero de xifres al perĂode be determinat pel mĂnim comĂş mĂşltiple dels seus factors primers.
11. El nombre de decimals exactes que obtindràs d’un número serà el de l’exponent mÊs gran (entre el 2 i el 5) que surti de la seva descomposició en factors primers.
12. En els decimals periòdics mixts s’ha de factoritzar el denominador en els seus factors primers, i desprès aplicar per separat els dos mètodes explicats anteriorment.
IES Pompeu Fabra
24
Curs 2015/2016
Clara Colet Díaz
Indagacions sobre la representació decimal dels nombres racionals.
5. Agraïments En primer lloc voldria agrair als dos tutors que han portat el meu treball de recerca: al Manel Miarnau, per proposar-me el tema del treball, ajudar-me a començar-lo, que iniciar els projectes és sempre el més difícil, i a encarar-lo cap a la direcció correcta; i la Sandra Terán, per agafar i seguir el projecte quan estava a mig fer, i ajudar-me a enllestir-lo. També vull donar les gràcies als meus pares per donar-me suport i per implicar-se tant en el treball, per les discussions sobre les meves conclusions i altres temes que ja s’apartaven més del meu projecte. En especial vull donar les gracies al meu pare, Ramon Colet, per la seva ajuda amb els fitxers d’Excel i el document de Word. Igualment vull agrair als meus amics, en especial a la Noelia Hermosa, per escoltar-me parlar sense parar de les meves troballes, encara que no entenguessin res (i no els hi importés gaire), i per aguantar les meves queixes quan estava en un punt mort. També agrair els seus esforços per ajudar-me a triar un tema pel treball, encara que finalment no vaig seguir cap dels seus suggeriments. Per últim, donar les gràcies als treballadors d’Aigües de Barcelona que imprimiran i enquadernaran aquest treball per evitar que ho hagi de fer en una papereria.
IES Pompeu Fabra
25
Curs 2015/2016
Clara Colet Díaz
Indagacions sobre la representació decimal dels nombres racionals.
6. Bibliografia 100 qüestions de matemàtiques: http://100questionsdematematiques.blogspot.com.es/2013/10/11.html Nombre racional – Viquipèdia, l’enciclopèdia lliure: https://ca.wikipedia.org/wiki/Nombre_racional Nombre decimal – Viquipèdia, l’enciclopèdia lliure: https://ca.wikipedia.org/wiki/Nombre_decimal#Tipus_de_nombres_decimals Aprende a aprender: http://www.emowe.com/mejores-tecnicas-memorizar-numeros/ (d’on he tret la imatge de la portada)
IES Pompeu Fabra
26
Curs 2015/2016
Clara Colet Díaz
Indagacions sobre la representació decimal dels nombres racionals.
7. Annexos 7.1. Annex A Per fer la divisió de grans números decimals vaig construir el fitxer Excel annexat. En l’exemple es pot veure el seu funcionament. Número Decimal Dividend 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
8.401
Decimals Periodics Quocient
1 10 100 1000 10000 15990 75890 2810 28100 28970 37670 40660 70560 33520 83170 75610 10 100 1000 10000
Residu 0 0 0 0 1 1 9 0 3 3 4 4 8 3 9 9 0 0 0 1
15
Repetit? 1 10 100 1000 1599 7589 281 2810 2897 3767 4066 7056 3352 8317 7561 1 10 100 1000 1599
FALS FALS FALS FALS FALS FALS FALS FALS FALS FALS FALS FALS FALS FALS CERT CERT CERT CERT CERT
Aquest full calcula el resultat de dividir 1 per el número que s’indiqui, posant-lo en la cel·la B1. El fitxer simula els passos que es fan en la divisió manual, de forma que en cada línia es divideix el residu anterior multiplicat per 10 (es baixa un zero) i es calcula el nou residu. Quan es troba un valor del residu que ja havia sortit abans hem arribat al primer decimal periòdic repetit.
Microsoft Excel 97-2003 Worksheet
IES Pompeu Fabra
27
Curs 2015/2016
Clara Colet DĂaz
Indagacions sobre la representaciĂł decimal dels nombres racionals.
7.2. Annex B Xifres
NĂşmero 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
9 99 999 9.999 99.999 999.999 9.999.999 99.999.999 999.999.999 9.999.999.999 99.999.999.999 999.999.999.999 9.999.999.999.999 99.999.999.999.999 999.999.999.999.999
Primers 3 11 37 101 271 37 4.649 137 333.667 9.091 513.239 9.901 265.371.653 909.091 2.906.161
3 3 3 11 41 13 239 101 37 271 21.649 101 79 4.649 271
1 3 3 3 3 11 3 73 3 41 3 37 53 239 41
1 3 3 3 7 3 11 3 11 3 13 3 11 37
1 1 1 3 1 3 3 3 1 11 3 3 31
3
3
3 3 3
1 1 1
7 1 3 3
3
3
3
1 3
3
1
1
1
En aquesta taula apareix la descomposiciĂł en factors primers de tots els nĂşmeros de la forma 10đ?‘› − 1 fins a đ?‘› = 15. Amb aquests primers es poden construir tots els nĂşmeros amb una seqßència de decimals periòdics menor o igual a 15.
IES Pompeu Fabra
28
Curs 2015/2016