Matrices
por
Bily Helcías Batz Fernando Ramos Rene Polasek Luis Muñoz
1
TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCIÓN
03
MATRICES
04
DEFINICIÓN DE MATRICES OPERACIONES CON MATRICES
04 06
2
ENTREVISTAS
11
CHISTES
12
POEMAS
14
INFOGRAFÍA
15
INTRODUCCIÓN
Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en un gran número de situaciones. Son conocidos los métodos de resolución de los mismos cuando tienen dos ecuaciones y dos incógnitas que se estudian en la enseñanza secundaria: los de reducción, sustitución e igualación. Ahora se trata de ver cómo puede procederse cuando hay mayor número de ecuaciones y de incógnitas simplificando lo más posible la escritura.
La forma de resolver un sistema consiste en realidad en ir sustituyendo el sistema por otro equivalente (es decir, que tenga las mismas soluciones) pero que vaya siendo cada vez más sencillo, hasta llegar a uno que sepamos resolver. Las operaciones que transforman un sistema en otro equivalente son esencialmente dos: 1. Multiplicar una ecuacion por un número distinto de 0. 2. Sumar una ecuación a otra.
3
MATRICES
Una matriz es una tabla rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas del modo:
Abreviadamente se puede expresar A = (aij). Cada elemento de la matriz lleva dos subíndices. El primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, “j”, la columna. Así el elemento a23 está en la fila 2 y columna 3. Las matrices siempre se representarán con letras mayúsculas. Ejemplos:
A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su tamaño es 2 x 2. B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tama˜no es 2 x 3. C tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que su tama˜no es 4 x 3. En general, si una matriz A tiene m filas y n columnas, diremos que su tamaño o dimensión es mxn (se lee “m por n”), siempre en primer lugar el nº de filas y en segundo lugar el de columnas.
4
TIPOS DE MATRICES
Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero. Por ejemplo:
Se llama matriz fila a la que sólo tiene una fila, es decir su dimensión es 1x n. Por ejemplo:
Se llama matriz columna a la que sólo consta de una columna, es decir su dimensión será m x1. Por ejemplo:
Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir su dimensión es n x n. Por ejemplo:
Una clase especial de matrices cuadradas son las matrices triangulares. Una matriz es triangular superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos y triangular inferior si son nulos todos los elementos situados por encima de dicha diagonal. Ejemplos de estas matrices:
Si una matriz es a la vez triangular superior e inferior, sólo tiene elementos en la diagonal principal.
5
OPERACIONES CON MATRICES
SUMA Y DIFERENCIA Dadas dos matrices A y B podemos realizar su suma o diferencia de acuerdo a la siguiente regla. Para sumar o restar dos matrices del mismo tamaño, se suman o restan los elementos que se encuentren en la misma posición, resultando otra matriz de igual tamaño. Por ejemplo:
Propiedades de la suma (y diferencia) de matrices: a) Conmutativa: A + B = B + A b) Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C c) Elemento neutro: La matriz nula del tamaño correspondiente. d) Elemento opuesto de A: La matriz -A, que resulta de cambiar de signo a los elementos de A.
PRODUCTO POR UN NUMERO REAL Dada una matriz cualquiera A y un número real k, el producto k·A se realiza multiplicando todos los elementos de A por k, resultando otra matriz de igual tamaño. (Evidentemente la misma regla sirve para dividir una matriz por un número real). Por ejemplo:
6
Propiedades: a) Distributiva respecto de la suma de matrices: k·(A + B) = k·A + k·B b) Distributiva respecto de la suma de n´umeros: (k + d)·A= k·A + d·A c) Asociativa: k·(d·A)=(k·d)·A d) Elemento neutro, el n´umero 1: 1·A=A
TRASPOSICIÓN DE MATRICES Dada una matriz cualquiera A, se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At a la matriz que resulta de intercambiar las filas y las columnas de A. Por ejemplo:
entonces la matriz traspuesta de A es:
Evidentemente, si A es una matriz de tamaño m x n, su traspuesta At tendrá tamaño n x m, pues el número de columnas pasa a ser el de filas y viceversa. Si la matriz A es cuadrada, su traspuesta tendrá el mismo tamaño. Propiedades: a) (At)t = A, es decir, la traspuesta de la traspuesta es la matriz inicial. b) (A + B)t = At + Bt c) (k · A)t = k · At
PRODUCTO DE MATRICES Hay que dejar claro ya desde el principio que no todas las matrices pueden multiplicarse. Dos matrices se pueden multiplicar cuando se cumple la siguiente condición:
7
“Para multiplicar dos matrices A y B, en este orden, A·B , es condición indispensable que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B” Si no se cumple esta condición, el producto A·B no puede realizarse, de modo que esta es una condición que debemos comprobar previamente a la propia multiplicación. Una vez comprobado que el producto A·B se puede realizar, si A es una matriz m x n y B es una matriz n x p (observemos que el nº de columnas de A = n = nº de filas de B), entonces el producto A·B da como resultado una matriz C de tamaño n x p del siguiente modo: “El elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz C=A·B, se obtiene multiplicando los elementos de la fila i de A por la columna j de B y sumando los resultados” Ejemplo:
Primero comprobamos que se puede realizar el producto A·B, pues el nº de columnas de A es 4 y el número de filas de B también es 4, y el resultado, según lo dicho será una matriz de tamaño 2 x 3, tiene 2 filas y 3 columnas:
Sólo nos falta completar los elementos del matriz producto. Para ello, seguimos la regla anterior: El elemento de la fila 1 y columna 1 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A por la columna 1 de B y sumar, es decir: (−3) ・0 + 2 ・1 + 1 ・ 2 +4 ・ 3 = 0 + 2+2 +12 = 16 El elemento de la fila 1 y columna 2 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A y la columna 2 de B y sumar: (−3) ・ (−4) + 2 ・ (−2) + 1 ・ 0 +4 ・ 2 = 12 −4 +0 + 8 = 16 El elemento de la fila 1 y columna 3 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A y la columna 3 de B y sumar: (−3) ・1 + 2 ・1 + 1 ・ 2 +4 ・ 1 = −3 + 2 +2 + 4 = 5
8
Así sucesivamente se obtienen:
Propiedades del producto de matrices a) Asociativa: A· (B·C) = (A·B) ·C b) Distributiva respecto de la suma: A ・ (B + C) = A ・ B + A ・ C (B + C) ・ A = B ・ A + C ・ A c) Elemento neutro, la matriz identidad correspondiente, si A es m x n: A ・ In = A Im ・ A = A d) En general el producto de matrices no es conmutativo A ・ B _= B ・ A Pueden verse ejemplos en los ejercicios anteriores. Esta e muy importante.
s una propiedad
e) El producto de dos matrices no nulas A y B puede dar lugar a una matriz nula:
Se dice que el conjunto de las matrices con la operación producto tiene divisores de cero, es decir, hay matrices no nulas cuyo producto es nulo.
OPERACIONES CON DETERMINANTES
Las operaciones con determinantes son todas las operaciones que se pueden realizar sobra la matriz para resolución de su determinante y que no alteren su resultado, todo esto nos lleva a las propiedades de los determinantes que será mostrada a continuación: Si se intercambian las filas por las columnas en un determinante por medio de matrices de permutación, su valor no se modifica, como sabemos todo lo que decimos para las filas también podemos decir para las columnas.
9
Si todos los elementos de una fila o columna son nulos, el determinante será cero.
GAUSS JORDAN Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal unitaria. Paso 1: Aplicar al sistema el método de Gauss. Paso 2: Multiplicar cada ecuación no nula por un escalar conveniente, de manera que el coeficiente de la variable pivote sea 1. Paso 3: Comenzando por el pivote más a la derecha, xjr, eliminar esta variable de cada ecuación (salvo la ecuación r), sumándole un múltiplo conveniente de la ecuación r. Realizar la misma operación con todos los pivotes, de derecha a izquierda. Ejemplo: Resolver el sistema: x1 + x2 + x3 + 4x4 = 4 2x1 + 5x2 + 5x3 − x4 = 11 x1 + 2x2 + x3 + x4 = 3 Seguido de: x1 + 7x4 = 3 x2 − 3x4 = −1 x3 = 2 . Para dar la solución del sistema sólo hay que despejar cada variable pivote, con lo que se obtiene: x1 = 3 − 7x4 x2 = −1 + 3x4 x3 = 2
10
ENTREVISTAS Entrevista con una matriz muy famosa que logro encontrar su identidad ¿Usted como perdió su identidad? La verdad me la robaron una matriz muy parecida a mí, ya que yo soy una matriz de 3 X 3, pero como usted sabe es muy común, por eso cualquier otra matriz me la puede robar fácilmente. ¿Cómo hizo para encontrarla? Me costó un montón la verdad pero lo logre encontrar buscando a mi matriz inversa que es mi hermana y ella me ayudo muchísimo ya que somos hermanas gemelas. ¿Cuéntenos de su matriz inversa? Pues es muy parecida a mí con las mismas dimensionales pero los valores que tiene ella son distintos a los míos. ¿Bueno y como logro encontrar su identidad perdida? De la manera más fácil nos multiplicamos y la encontré. Bueno para finalizar con nuestra entrevista ¿cómo sabía usted que tenía identidad? La verdad no sabía, pero probando con mi hermana gemela la inversa nos dio la respuesta que queríamos desde mucho tiempo atrás.
11
CHISTES
¿Eres una matriz 5 x 5 o más? ¿Tiene Problemas de peso? Quieres ser una matriz flaca y hermosa como todas las modelos Compra reduce columnas fast
[
Antes Recomendado por doctores 12
]
Después
Había una vez una matriz escalonada que entró a robar a una tienda de vectores (quería tener más columnas li), luego llegaron los carabineros y quedó reducida!!!
Se abre el telón aparece una matriz 3x3 con determinante distinto de cero ¿Cómo se llama la película? RANGO 3
En una fiesta de matrices hay una matriz triste en un rincón. Se le acerca la matriz identidad y le pregunta - Anímate chica ¿qué te pasa? - Es que estoy traspuesta
13
POEMAS
Cada acierto mío… Que tú me lo festejas. Van tejiendo la inoxidable tela… de tu “Matriz Compleja”. Se van encolumnado las notas, tus incógnitas más obscenas. Por una mujer soñada… El esmero siempre vale la pena…
Si la vida te da una matriz invertida es porque quiere que mires el reflejo que aunque termine como reducida quedarás algo perplejo
14
INFOGRAFÍA
Chistes graciosos (2010, 30 de febreo). Taringa blogs [en línea]. Buenos Aires, Argentina. Revisado el 18 de septiembre de 2012, de http://www.taringa.net/posts/humor/8336265/Los-chistes-mas- graciosos-parte2.html.
Matrices y determinantes (2011, 5 de marzo). Sauce [en línea]. Bogotá, Colombia. Revisado el 18 de septiembre de 2012, de http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T06.pdf
Matrices (2009, 21 de julio). Vitutor [en línea]. Monterrey, México. Revisado el 19 de septiembre de 2012, de http://www.vitutor.com/algebra/matrices/matrices.html
15