Enseñar a resolver problemas de Matemáticas Estrategias para alumnado con necesidades educativas especiales
Antonio Miñán Espigares
Granada, 2015
© Antonio Miñán Espigares Editorial Natívola Apartado de Correos 148 18080 Granada Tel./Fax: 958 27 13 67 ISBN: 978-84-943821-0-9 Depósto Legal: GR 881-2015 pedidos: informacion@editorialnativola.es www.editorialnativola.es Impreso en España - Printed in Spain Portada: José Luis Taboada
Índice
Prólogo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Capítulo 1. Problema de investigación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Marco de la Investigación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Objetivos de la Investigación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. El problema de investigación y la hipótesis de trabajo .
15 15 24 36 37
Capítulo 2. Revisión de la Bibliografía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Las situaciones de enseñanza-aprendizaje (Un modelo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Elementos que complementan el modelo. . . . . . . . . . . 2.2.1. El lenguaje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Una filiosofía para enseñar. . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. El problema de los contenidos. . . . . . . . . . . . . . 2.2.4. La calidad del contexto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Modelo de investigación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Conceptos fundamentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Inteligencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Pensamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. Procesos cognitivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4. Estrategias de aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5. Aprender a aprender. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.6. Estrategias de enseñanza. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.7. Adaptaciones Curriculares. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.8. Problema Matemático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.9. Resolución de Problemas Matemáticos. . . . . . 2.4.10. Buenos resolutores de Problemas. . . . . . . . . . 2.4.11. Modelos de Resolución de Problemas. . . . . . 2.4.12. Buenos Profesores de Resolución de Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.13. Enseñanza Reflexiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41 43
101 105
Capítulo 3. Metodología de investigación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Proceso de Recogida de Datos. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109 109
45 48 49 50 52 53 54 55 56 59 61 66 74 78 79 83 88 93 95
6
Enseñar a resolver problemas de matemáticas Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Elaboración del Cuadernillo. . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Entrenamiento de los profesores en formación. 3.1.3. Preparación de los profesores en ejercicio. . . . 3.1.4. Recogida de datos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5. Organización de los datos. . . . . . . . . . . . . . . . .
110 111 114 125 125 129
3.2. Proceso de Análisis de Datos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Proceso de Categorización inductiva. . . . . . . . 3.2.2. Reflexión sobre un posible proceso de categorización inductiva-deductiva. . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Debate sobre las posibilidades de análisis. . . . 3.2.4. Ordenación y preparación de los datos. . . . . . . 3.2.5. Elaboración de las preguntas clave. . . . . . . . . . 3.2.6. Descripción de los datos obtenidos. . . . . . . . . .
130 131
Capítulo 4. Análisis de resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Cómputo global. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Actitud del profesor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Tipos de preguntas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3. Informaciones y respuestas. . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4. Estrategias de resolución de problemas. . . . . . a. Significatividad estadística para los datos globales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Utilización de estrategias en las clases investigadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Modelo de utilización de estrategias en clase de resolución de problemas. . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.5. Ruido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.6. Papel del profesor y del alumno en clases de Resolución de Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Papel del profesor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Papel del alumno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Eficacia del Método “La Vereda”. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Utilización de las estrategias por parte de los alumnos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Comparación del Modelo convencional con integración (Control 2) con el Modelo sistemático con integración (Experimental 2). . b. Comparación entre el modelo convencional con escolarización ordinaria y el modelo sistemático con escolarización ordinaria. . . . . .
169 169 173 174 180 181
136 139 148 157 158
182 184 189 193 193 194 195 196 199
200
209
Antonio Miñán Espigares c. Comparación entre el modelo convencional con escolarización ordinaria y el modelo convencional con integración. . . . . . . . . . . . . . . d. Comparación entre el modelo sistemático con escolarización ordinaria y el modelo sistemático con integración. . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Comparación del uso de estrategias entre profesor y alumnos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. En el modelo convencional con escolarización ordinaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. En el modelo convencional con integración. . c. En el modelo sistemático con escolarización ordinaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. En el modelo sistemático con integración. . . e. Otros aspectos de interés de la interacción Profesor-Alumno según los modelos considerados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3. Diferencias en la utilización de estrategias entre sesiones iniciales y sesiones avanzadas. . . . . . a. Efectos del Método en sesiones con estudiantes universitarios y en sesiones colectivas de niños. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Estudio del Modelo sistemático ordinario, comparando la utilización del Método en situaciones iniciales y avanzadas. . . . . . . . . . . . c. El trabajo en pequeño grupo. . . . . . . . . . . . . d. El estudio de casos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4. Diferencias en la utilización de las estrategias según el tipo de problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5. Diferencias en la utilización de las estrategias según el número de operaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . Capítulo 5. Conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Sobre la eficacia del Método. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Sobre la reacción de los profesores ante el Método. . . 5.3. Sobre los criterios de interacción. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Sobre el entrenamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Sobre el tipo de problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Sobre el número de operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Otras consideraciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. Sugerencias de investigación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliografía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
212
214 217 217 220 223 226
229 239
239
242 244 247 249 254 259 259 262 262 263 264 265 266 269 271
8
Enseñar a resolver problemas de matemáticas
Anexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anexo nº 1. Modelo cognitivo heurístico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anexo nº 2. Método La Vereda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anexo nº 3. Observaciones Exploratorias (Resumen). . . . . . . . . . Anexo nº 4. Listado inicial de categorías inductivas. . . . . . . . . . . . Anexo nº 5. Relación de grupos y cintas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anexo nº 6. Relación de problemas usados. . . . . . . . . . . . . . . . . . Anexo nº 7. Problemas usados en las transcripciones revisadas.
291 291 295 313 317 321 322 337
Capítulo 1. Problema de Investigación
Introducción “Los investigadores creen que el diseño y la enseñanza de estrategias de aprendizaje juegan un papel crítico en la constatación de ese casi imposible sueño de educar a todo el mundo”. (Beltrán, 1993, 49).
Existen dos razones primordiales para abordar este trabajo de investigación: a) una más particular: la preocupación por aportar algún tipo de solución a un problema social importante y b) otra más general: la necesidad de profundizar en los procesos mentales que intervienen en el aprendizaje, tanto los que pone en juego el alumno como los que activa el propio profesor, en las dos situaciones siguientes: P
A
A
A
16
Enseñar a resolver problemas de matemáticas Uno de los mayores problemas que afectan al sistema educativo es
el alto índice de fracaso escolar y la baja capacidad de respuestas que presenta el propio sistema. Durante el curso 1990-91, por ejemplo, 20 de cada 100 alumnos de octavo de EGB abandonaron o no consiguieron el título de Graduado escolar (Bravo, 1993). En el año 2014, según la Secretaría de Estado de Educación Español, la tasa de abandono educativo temprano, se sitúa en el 22,7%, representando la peor de la Unión Europea (Álvarez, 2014). Naturalmente, este es un problema amplio, que precisa ser abordado de forma fraccionada, de modo que facilite su análisis aunque se obtengan soluciones parciales. Como dice Novak (1997, 32) ”Tomando ejemplo de la ciencia es mejor resolver primero los problemas fáciles y dejar los difíciles para más tarde”. El tema del que nos ocupamos en esta investigación tiene que ver con la enseñanza de las Matemáticas. Para nadie es un secreto que las Matemáticas constituyen un escollo muy serio en la enseñanza. No sólo es un sentimiento subjetivo por parte de los estudiantes y sus familias, sino que hay datos objetivos que hablan por sí mismos. Tabla N° 1
Curso 6° 7° 8°
Lenguaje 29% 27% 21%
Matemáticas 36% 35% 26%
C. Sociales 27% 22% 18%
Tabla N° 1: Fracaso Escolar en España por áreas curriculares en 2ª Etapa de EGB, según Molina, S. y García, E. (1984) durante el cuso 1981-82.
Antonio Miñán Espigares
17
Tabla N° 2
Curso
Lengua
Matemáticas
ICiclo E. Primaria 6° EGB
11.9%
29.9%
22.9%
52.2%
CC. Sociales y N
26.8%
Tabla N° 2: Fracaso Escolar en España por áreas curriculares, según el instituto Nacional de Calidad y Evaluación durante el año 1995.
Al comparar las dos tablas anteriores vemos como a lo largo de los años no hay solución al fracaso escolar, sobre todo, si nos fijamos en los datos referidos a Matemáticas de 6° de EGB, nos damos cuenta que ha habido un aumento espectacular en el porcentaje de fracaso: del 36% en 1982 hemos pasado al 52,2% en 1995. Los datos hablan por sí solos. La situación española es grave y urgente, a la vista de los datos ofrecidos por la encuesta Eurostat de 2013, por la que España tiene un 23,6% de población de 18 a 24 años que no ha completado el nivel de secundaria y no sigue ningún tipo de formación. Se trata del peor dato de la unión europea, peor que países como Malta, Portugal, Rumanía e Italia, que se sitúan entre el 17 y el 20%. El abandono educativo temprano es el más alto de Europa. También debemos tener en cuenta los siguientes datos: Por lo que se refiere a áreas concretas de conocimiento, en el conjunto de la ESO menos del 70% de los alumnos supera las áreas de Ciencias de la Naturaleza, Ciencias Sociales, Lengua Castellana y Literatura, Lenguas Extranjeras y Matemáticas; en el Tercer curso apenas el 60% de los alumnos recibe evaluación